S19주차 — 정의 만들기와 공리계: 수학을 짓는 법

S19주차 — 정의 만들기와 공리계: 수학을 짓는 법#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 정의와 공리는 읽는 쪽에서는 주어진 것이지만 만드는 쪽에서는 검사해야 할 것이다 — 무순환 \(\cdot\) well-defined \(\cdot\) 무모순, 이 세 검사를 통과하지 못한 문장은 정의도 공리도 아니다.

이 주의 위치: 1학기 20주 과정의 S19주차. S1주차부터 S17주차까지는 주어진 정의와 공리 위에서 증명을 만드는 일이었고, S18주차에서 처음으로 명제 자체를 만들었다. 이번 주는 그 명제가 쓸 용어와 출발 명제를 만든다. 1권 6주차 §1.7이 읽을거리로 지나간 러셀의 역설이 여기서 공리 하나의 실패 사례라는 이름을 얻고, 1권 20주차 §1.7의 글쓰기 규칙 6조 위에 만드는 쪽의 책임 네 줄이 얹힌다.

원서 대응: Solow 17~18장. 주간 루틴 1일차에 원서 17~18장을 통독한 뒤 이 문서로 온다.

이번 주 목표#

  1. 수학 이론의 네 층위(무정의 용어 \(\to\) 공리 \(\to\) 정의 \(\to\) 정리)를 백지에 쓰고, 각 층을 빼면 무엇이 무너지는지 사례로 말할 수 있다.

  2. 좋은 정의의 네 조건(명확성 \(\cdot\) 무순환 \(\cdot\) well-defined \(\cdot\) 비공허\(\cdot\)비자명)을 백지에 쓰고, 주어진 “정의” 후보가 어느 조건에서 걸리는지 판정할 수 있다.

  3. well-defined 검사 서식 세 줄을 실행한다 — 같은 대상의 두 표현을 잡고, 표현이 같다는 등식에서 값이 같다는 등식을 유도하거나, 값이 갈리는 표현 한 쌍을 제시한다.

  4. 공리계의 세 덕목(무모순성 \(\cdot\) 독립성 \(\cdot\) 완전성)과 각각의 검사법(모형 \(\cdot\) 반례 모형)을 알고, 러셀의 역설을 “공리 하나가 무모순성을 깨뜨린 사례”로 다시 읽는다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (S18주차 복습)#

노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다.

  1. S18주차 정의 18.2의 세 일반화 축과 S18주차 §1.4의 반례 검문 서식 세 줄을 백지에 재현하시오.

  2. 1권 6주차 §1.7의 러셀의 역설을 재현하시오 — \(R = \{x : x \notin x\}\)에서 어느 쪽을 골라도 모순이 나오는 두 줄까지.

  3. 1권 20주차 §1.7의 글쓰기 규칙 6조를 재현하시오. 이번 주에 그 위로 네 줄이 더 얹힌다.

이어서 다음 과제를 해 보자. 아래 두 문장은 각각 정의로 성립하는가. 성립하지 않는다면 무엇이 어긋났는지 적어 보자. 조건을 하나 붙인다 — 이번 주의 새 이름을 쓰지 말고 S18주차까지의 도구만으로 판정해 보자.

  • (가) “정수 \(n\)이 넷수라 함은, \(n = 4k\)인 정수 \(k\)가 존재하는 것이다.”

  • (나) “유리수 \(\dfrac ab\)의 무게 \(w\!\left(\dfrac ab\right)\)를 \(a + b\)로 정한다.”

자주 나오는 세 가지 답#

이 자리에서 나오는 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 S18주차까지를 제대로 익힌 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다.

  • 유형 1 — 둘 다 정의로 인정한다. “(가)는 짝수의 정의에서 2를 4로 바꾼 것이고,

(나)는 계산 규칙을 하나 정한 것이므로 둘 다 정의다.” (가)에 대해서는 옳다 — 1권 1주차 정의 1.1과 조각의 배치가 같고, 조각 삭제 실험을 걸면 1권 1주차와 똑같이 “정수 \(k\)”에서 무너지므로(자격을 지우면 임의의 \(x\)가 \(x = 4 \cdot \frac x4\)로 넷수가 된다) 그 조각이 제 역할을 하고 있음이 확인된다. 간격은 (나)에 있다. \(\frac12\)과 \(\frac24\)는 같은 유리수인데 (나)를 그대로 계산하면 \(1 + 2 = 3\)과 \(2 + 4 = 6\)으로 답이 갈린다. 같은 대상에 두 값이 붙는 문장을 정의라 부를 수 있는지가 아직 판정되지 않았다.

  • 유형 2 — 소화 절차를 돌린다. S4주차 §1.8의 세 걸음(iff 재작성 \(\cdot\) 양면

문장화 \(\cdot\) 예 2개와 비예 2개)을 두 문장에 각각 실행한다. 절차 실행은 정확하고, 그것이 정의를 만났을 때 할 일의 전부라고 배운 대로 한 것이다. 간격은 절차의 전제에 있다 — 소화 절차는 이미 정의로 성립하는 문장을 손에 쥔 상태에서 그것을 증명에 배치하는 절차이지, 문장이 정의로 성립하는지를 묻는 절차가 아니다. 실제로 (나)에 소화 절차를 돌려도 결함이 드러나지 않는다(§1.1에서 실행해 본다).

  • 유형 3 — (나)가 이상한데 이름을 붙이지 못한다. “\(\frac12\)과 \(\frac24\)에서

답이 다르게 나오는 것이 걸리는데 이것을 무엇이라 불러야 할지 모르겠다.” 관찰은 정확하고, 이번 주가 하는 일의 절반이 이미 끝나 있다. 비어 있는 것은 이름과 검사 서식뿐이다 — 그 이름이 정의 19.3의 well-defined이고, 서식은 같은 절의 세 줄이다.

이번 주가 새로 주는 것. 세 유형을 늘어놓으면 이번 주의 몫이 새 계산이 아니라는 것이 보인다. 계산은 유형 1이 이미 했고, 절차 실행은 유형 2가 이미 했고, 관찰은 유형 3이 이미 했다. 비어 있는 것은 세 가지다 — 문장이 정의로 성립하는지 묻는 검사 목록(정의 19.2), 그 목록 중 계산이 필요한 한 항목의 서식(정의 19.3), 그리고 정의가 아니라 출발 명제를 만들 때의 검사 목록(정의 19.4).

개념 — 만드는 쪽의 검사 목록#

1 S18주차까지의 도구로는 어디서 막히는가#

이번 주의 목록을 세우기 전에, 가진 도구로 두 번 막혀 본다.

막힘 (가) — 소화 절차가 (나)를 통과시킨다. S4주차 §1.8의 세 걸음을 준비 운동의 (나)에 그대로 걸어 보자.

시도 — 소화 절차를 돌려 본다

① iff 재작성: “\(w\!\left(\frac ab\right) = m\) \(\iff\) \(m = a + b\).” 조건 안에

양화사는 없고 등식 하나뿐이다. 문자 \(a, b\)는 범위를 훑는 문자가 아니라 유리수를

적은 표현을 지정하는 매개변수다.

② 양면 문장화: 전진면 — “\(w\!\left(\frac ab\right)\)가 사실 목록에 있으면 나는

등식 \(w\!\left(\frac ab\right) = a + b\)를 잡을 수 있다.” 후진면 — “\(w\)의 값을

구하려면 분자와 분모를 더하면 된다.”

③ 예와 비예: \(w\!\left(\frac13\right) = 4\), \(w\!\left(\frac25\right) = 7\).

비예는 만들 것이 없다 — 어떤 분수를 넣어도 값이 나온다.

①과 ②는 통과하고, ③은 비예를 하나도 만들 수 없다는 신호를 낸다. 그러나 그

신호가 무엇을 뜻하는지 읽을 목록이 아직 없다.

확인 1. 위 절차가 (나)의 결함을 잡지 못한 이유는 무엇인가. 절차의 어느 걸음도 묻지 않은 물음을 한 문장으로 적어 보자.

답

세 걸음 중 어느 것도 같은 대상이 두 표현을 가질 수 있다는 사실을 묻지

않는다. ①은 조건의 논리 구조를, ②는 정의를 증명의 어느 자리에 놓을지를,

③은 조건의 경계를 확인한다. 셋 다 표현 하나를 손에 쥔 상태에서 하는 일이다.

묻지 않은 물음은 이것이다 — “\(\frac12\)과 \(\frac24\)처럼 **같은 유리수의 서로 다른

두 표현**을 넣으면 값이 같은가.” 이 물음이 정의 19.3의 전부다.

막힘 (나) — 반례 검문도 (나)를 잡지 못한다. S18주차 §1.4의 반례 검문 서식은 작은 사례와 경계 사례를 넣는 절차다. 그것을 걸어 보자.

시도 — 반례 검문을 돌려 본다

작은 사례 정찰: \(\frac11\), \(\frac12\), \(\frac13\)에 각각 \(2, 3, 4\)가 나온다.

경계\(\cdot\)특수 사례 공격: \(\frac01\)에 \(1\), \(\frac{-1}2\)에 \(1\)이 나온다.

위반이 나오려면 무엇이 위반되는지가 먼저 정해져 있어야 하는데,

(나)에는 참\(\cdot\)거짓을 물을 결론이 없다.

확인 2. 반례 검문이 (나)에서 돌지 않는 이유는 무엇인가. 검문의 입력은 무엇이고 (나)는 무엇인가.

답

반례 검문의 입력은 명제이고 (나)는 정의다. 검문은 “가정을 만족하면서

결론을 위배하는 대상”을 찾는 절차인데(1권 29주차 정의 29.2의 서식), 정의에는

위배할 결론이 없다. 정의는 참도 거짓도 아니고 성립하거나 성립하지 않을

뿐이다. 그래서 명제를 검사하는 도구를 그대로 가져다 쓸 수 없고, 정의를 검사하는

별도의 목록이 필요하다.

두 막힘의 원인은 하나다. S18주차까지의 도구는 전부 이미 성립하는 정의와 공리를 받아 쓰는 도구다. S4주차의 소화 절차는 남이 지은 정의를 증명에 배치하고, S17주차의 결정 나무는 남이 세운 명제에 기법을 붙이고, S18주차의 네 걸음은 남이 쓴 증명문에서 새 명제를 뽑는다. 세 도구 모두 “이 문장이 정의로 성립하는가”와 “이 출발 명제들이 서로 충돌하지 않는가”를 이미 해결된 것으로 놓고 시작한다. 이번 주는 그 전제를 검사 대상으로 끌어내린다.

2 사례 표를 채워 보기#

정의 후보를 여러 개 늘어놓고 각각 무엇이 어긋났는지 적어 보자. 어긋난 자리에 이름은 아직 없다 — 현상만 적는다.

“정의” 후보

어긋난 것을 현상으로 적으면

“정수 \(n\)이 큰 수라 함은 \(n\)이 큰 것이다.”

조건에 피정의어가 그대로 들어가 있어 조건을 풀 수 없다

“짝수: 홀수가 아닌 정수 / 홀수: 짝수가 아닌 정수.”

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

“실수 \(x\)가 초록수라 함은 \(x \neq x\)인 것이다.”

조건을 만족하는 대상이 하나도 없어 이름이 아무것도 가리키지 않는다

“실수 \(x\)가 빨강수라 함은 \(x = x\)인 것이다.”

\(\underline{\quad(2)\quad}\)

“정수 \(n\)이 작은 수라 함은 \(n < 100\)인 것이다.”

조건 자체는 판정 가능하지만 이름과 조건이 어긋난다 — \(-10^6\)도 \(99\)도 같은 이름을 받는다

“유리수 \(\frac ab\)의 무게를 \(a + b\)로 정한다.”

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

확인 3. 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 여섯 줄을 갈라 놓는 물음이 몇 개인지 세어 보자.

답

(1) 두 이름이 서로를 조건으로 삼아 어느 쪽도 더 원초적인 것으로 내려가지

않는다 — 첫 줄과 같은 일이 두 문장에 걸쳐 일어난 것이다.

(2) 모든 실수가 조건을 만족해 이름이 아무것도 구별하지 못한다.

(3) 같은 대상(\(\frac12 = \frac24\))에 서로 다른 값(\(3\)과 \(6\))이 붙는다.

물음은 네 개다. 조건 안에 애매어가 있거나 이름이 조건과 어긋나는가(첫째 줄의

“큰”은 애매어이고, 다섯째 줄은 조건은 판정되지만 이름이 조건과 어긋난다),

조건이 피정의어로 되돌아오는가(첫째\(\cdot\)둘째 줄), 같은 대상의 두 표현에 값이

갈리는가(여섯째 줄), 조건을 만족하는 것이 있고 또 전부는 아닌가(셋째\(\cdot\)넷째 줄).

이 네 물음에 이름을 붙이는 것이 정의 19.2이고, 이름 붙은 뒤 각각을 지워 보는 것이 §1.4다. 물음 자체에 새로운 것은 없다 — 1권 1주차 §1.3에서 짝수의 정의를 조각으로 갈라 하나씩 지워 본 것, S4주차 §1.8의 걸음 ③에서 예와 비예를 만들어 경계를 더듬은 것이 이미 이 물음들이었다. 지금까지 정의를 읽을 때마다 소리 없이 통과시켜 온 검사에 이름과 순서를 주는 것뿐이다.

정의 19.1 — 수학 이론의 네 층위 [백지 암기 대상]#

모든 수학 이론은 아래에서 위로 네 층으로 쌓인다.

① 무정의 용어(undefined terms): 정의하지 않고 출발하는 원초 개념. 집합론의 “집합”과 “원소”, 기하의 “점”과 “선”이 그것이다.

② 공리(axioms): 증명 없이 참으로 놓는 출발 명제. 무정의 용어들 사이의 관계를 규정한다.

③ 정의(definitions): 무정의 용어와 공리, 그리고 이미 정의된 용어만을 써서 새 용어를 iff로 도입한 것.

④ 정리(theorems): 공리와 정의와 논리만으로 증명되는 명제.

\(T \iff C\)의 \(\iff\)는 “쌍조건문”이라 읽고 “그리고 그때뿐”으로 새긴다(S4주차 §1.3). 정의는 겉으로 “만약 …이면”으로 적혀 있어도 언제나 이 꼴이다.

확인 4. 1권 1주차 정의 1.1(짝수)을 네 층위 중 어디에 놓아야 하는가. 그리고 그 정의가 쓰는 낱말들은 어느 층에서 왔는가.

답

정의 1.1은 ③층이다. 그 정의가 쓰는 낱말은 “정수”, “곱”, “존재한다”인데,

곱과 존재는 더 아래층에서 오고 “정수”도 집합론과 산술의 공리로 내려간다.

곧 정의 하나를 아래로 계속 풀면 반드시 ②층의 공리와 ①층의 무정의 용어에

닿는다. S4주차가 “애매하면 정의로 돌아간다”고 했을 때 그 되돌아감이 어디서

끝나는지를 이 표가 정한다 — 바닥은 ①층이고, 거기서는 되돌아갈 곳이 없다.

3 층위 해부 — 층마다 하는 일#

네 층은 각각 다른 일을 하고, 어느 하나를 빼면 무너지는 것이 다르다.

층

하는 일

이 층을 빼면 무엇이 무너지는가

① 무정의 용어

되돌아감의 바닥을 놓는다

모든 용어를 정의하려면 무한 후퇴하거나 순환한다 (아래 삭제 실험 가)

② 공리

증명의 출발 사실을 놓는다

증명할 것은 있는데 무엇에서 출발할지가 없다 — 모든 증명이 근거를 요구받으며 무한히 거슬러 올라간다

③ 정의

아래층의 것으로 새 이름을 만든다

이론이 커지지 못한다. 공리의 낱말만으로 모든 것을 매번 풀어 써야 한다

④ 정리

아래 세 층에서 새 사실을 뽑는다

이론에 내용이 없다 — 공리에 적힌 것만 아는 상태로 끝난다

층 삭제 실험 (가) — ①층을 지우면. “모든 용어를 정의해야 한다”는 규칙을 세운 이론을 만들어 보자. “점”을 정의하려면 그 정의에 쓰인 낱말들을 다시 정의해야 하고, 그 낱말들에 쓰인 낱말들을 또 정의해야 한다. 낱말의 수가 유한하면 언젠가 앞에서 쓴 낱말이 다시 나오므로 순환이 생기고(§1.2 표의 둘째 줄이 바로 그 꼴이다), 순환을 피하려면 낱말이 무한히 필요하다. 어느 쪽이든 정의가 끝나지 않는다.

층 삭제 실험 (나) — ②층을 지우면. 공리 없이 정의와 논리만 가진 이론을 만들어 보자. “짝수와 짝수의 합은 짝수이다”를 증명하려면 \(2a + 2b = 2(a+b)\)라는 변형이 필요한데, 그 변형은 분배법칙을 쓴다. 분배법칙을 증명하라고 요구하면 더 아래의 성질이 필요하고, 그 요구는 끝나지 않는다. 어딘가에서 “이것은 증명 없이 놓는다”고 선언해야 증명이 시작된다.

확인 5. 위 두 실험을 하나의 문장으로 합쳐 보자. 무정의 용어와 공리가 존재하는 이유는 하나인가 둘인가.

답

하나다. 둘 다 되돌아감이 유한 번에 끝나야 한다는 요구에서 나온다.

용어 쪽의 되돌아감을 끝내는 것이 무정의 용어이고, 근거 쪽의 되돌아감을 끝내는

것이 공리다. 한 문장으로 적으면 이렇다 — 이론은 유한한 바닥 위에 서야 하고,

바닥은 용어의 바닥과 근거의 바닥 두 종류가 있다.

정의 19.2 — 좋은 정의의 네 조건 [백지 암기 대상]#

새 용어를 도입하는 문장이 정의로 성립한다 함은, 다음 네 조건을 모두 만족하는 것이다.

① 명확성: 용어와 조건이 iff로 이어지고, 조건 안에 판정할 수 없는 애매한 낱말이 없으며, 이름이 조건과 어긋나지 않는다.

② 무순환: 조건에 쓰인 용어들이 피정의어를 직접 또는 간접으로 포함하지 않는다 — 곧 조건이 전부 아래층의 용어로만 되어 있다.

③ well-defined: 같은 대상이 여러 표현을 가질 때, 정의가 주는 결과가 표현의 선택에 무관하다.

④ 비공허\(\cdot\)비자명: 조건을 만족하는 대상이 존재하고(비공허), 무대의 전부는 아니다(비자명).

각 조건의 위반 사례를 §1.2 표에서 가져와 붙이면 다음과 같다.

조건

위반 사례

위반이 일으키는 일

① 명확성

“\(n\)이 작은 수라 함은 \(n < 100\)인 것이다”

조건은 판정되지만 이름이 뜻과 어긋나 읽는 사람이 오해한다

② 무순환

“짝수: 홀수가 아닌 정수 / 홀수: 짝수가 아닌 정수”

조건을 아래층까지 풀 수 없어 판정이 시작되지 않는다

③ well-defined

“유리수 \(\frac ab\)의 무게는 \(a + b\)”

같은 대상에 두 값이 붙어 등식이 무너진다

④ 비공허\(\cdot\)비자명

“\(x \neq x\)인 실수” / “\(x = x\)인 실수”

이름이 아무것도 가리키지 않거나 아무것도 구별하지 못한다

④는 조건으로 대상을 가르는 정의에만 걸린다. 무대의 모든 원소에 값을 주는 정의(문제 12의 \(h\)가 그렇다)에는 가를 대상이 없으므로, ④ 대신 “정의가 모든 입력에서 값을 주는가”를 점검한다(문제 15의 다섯째 점검). 어느 쪽인지는 정의가 참\(\cdot\)거짓을 주는지 값을 주는지로 갈린다.

확인 6. 네 조건 중 셋은 정의 문장만 보면 판정할 수 있고 하나는 계산을 요구한다. 어느 것이고, 왜 그런가.

답

③ well-defined가 계산을 요구한다. ①은 낱말과 이름을 보면 되고, ②는 조건에 쓰인

용어의 목록을 아래층까지 따라가면 되고, ④는 대상 하나와 비대상 하나를 만들면

끝난다. ③만은 같은 대상의 두 표현을 실제로 잡아 값이 같은지 유도해야 하고,

그 유도가 정의 19.3의 검사 서식이다. 정의를 지을 때 가장 자주 빠뜨리는 조건이 ③인 이유도

여기 있다 — 나머지 셋은 읽으면 걸리고, ③만은 계산해야 걸린다.

4 조건 해부 — 조건 삭제 실험#

네 조건 각각을 지워 보고 무엇이 무너지는지 확인한다. 실험은 실제로 무너지는 사례로 한다.

지운 조건

통과하게 되는 문장

무너지는 것

① 명확성

“\(n\)이 흥미로운 정수라 함은 \(n\)이 흥미로운 성질을 갖는 것이다”

두 사람이 같은 \(n\)을 놓고 판정이 갈린다. 정의의 목적인 합의가 사라진다

② 무순환

“짝수: 홀수가 아닌 정수 / 홀수: 짝수가 아닌 정수”

\(4\)가 짝수인지 물으면 홀수인지를 물어야 하고, 그것은 다시 짝수인지를 묻는다. 판정이 끝나지 않는다

③ well-defined

“유리수 \(\frac ab\)의 무게는 \(a + b\)”

\(\frac12 = \frac24\)인데 무게가 \(3\)과 \(6\)으로 갈린다. \(3 = 6\)을 유도할 수 있게 되므로 이론 전체가 무너진다

④ 비공허

“\(x \neq x\)인 실수를 초록수라 한다”

“모든 초록수는 \(7\)보다 크다”와 “모든 초록수는 \(7\)보다 작다”가 동시에 참이 된다(공허 참). 이름을 쓴 정리가 아무것도 말하지 않는다

④ 비자명

“\(x = x\)인 실수를 빨강수라 한다”

“빨강수”와 “실수”가 같은 뜻이 되어 새 이름이 아무 정보도 더하지 않는다

③의 붕괴는 다른 셋보다 무겁다. \(\frac12 = \frac24\)이므로 무게가 정의라면 \(w\!\left(\frac12\right) = w\!\left(\frac24\right)\)여야 하는데 좌변은 \(3\)이고 우변은 \(6\)이므로 \(3 = 6\)이 유도된다. 여기서 \(3 = 6\) 하나만 잘못되는 것이 아니다 — 양변에서 \(3\)을 빼면 \(0 = 3\)이고, 양변에 임의의 실수 \(x\)를 곱해 \(0 = 3x\)를 얻으면 모든 실수가 \(0\)이 된다. 정의 하나의 결함이 산술 전체를 무너뜨린다.

확인 7. 1권 1주차 §1.3에서 짝수의 정의에서 “정수”라는 조각을 지웠을 때 무너진 것은 네 조건 중 무엇이었는가.

답

④의 비자명이다. “정수”를 지우면 임의의 \(x\)를 \(x = 2 \times \frac x2\)로 쓸 수

있어 모든 수가 짝수가 되고, “짝수”라는 이름이 아무것도 구별하지 못하게 된다.

1권 1주차는 그것을 “정의가 무너진다”고만 적었고, 여기서 그 붕괴가 네 조건 중

몇 번째인지 이름을 얻는다. 조각 삭제 실험은 이번 주에도 그대로 쓰이는 도구이며,

다만 무너지는 것을 목록의 항목으로 지목할 수 있게 된 것이 달라진 점이다.

정의 19.3 — well-defined [백지 암기 대상]#

대상 \(r\)에 값을 주는 정의가 well-defined라 함은, 같은 대상의 어느 두 표현 \(r_1\), \(r_2\)에 대해서도 \(r_1 = r_2\)이면 정의가 주는 값이 같다는 것이다. 조건을 만족하지 못하면 ill-defined라 하고, 그 문장은 정의로 성립하지 않는다.

“well-defined”는 “웰 디파인드”로 읽고 한국어로는 “잘 정의됨”으로 적는다. 이번 주 답안에서는 어느 쪽으로 적어도 같다.

백지 암기 대상

well-defined 검사 서식

① 두 표현 잡기 — 같은 대상의 서로 다른 두 표현을 각각 문자로 잡는다. 유리수면 \(\frac ab\)와 \(\frac{a'}{b'}\), 잉여류면 \([a]\)와 \([a']\)이다.

② 같음을 등식으로 — “두 표현이 같은 대상이다”를 계산 가능한 등식으로 옮긴다. 유리수면 \(ab' = a'b\), 법 \(n\)의 잉여류면 \(n \mid (a - a')\)이다.

③ 값의 같음을 유도하거나 갈리는 쌍을 제시 — ②의 등식에서 정의가 주는 두 값이 같음을 유도하면 well-defined이고, 값이 갈리는 표현 한 쌍을 실제로 제시하면 ill-defined다.

세 걸음은 각각 다른 일을 하고, 어느 하나를 빼면 무너지는 것이 다르다.

걸음

하는 일

이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가

① 두 표현 잡기

갈릴 수 있는 자리를 문자로 고정한다

표현이 하나뿐이라 착각해 검사 자체를 건너뛴다

② 같음을 등식으로

“같은 대상”을 계산 가능한 등식으로 옮긴다

대입할 등식이 없어 ③의 유도가 시작되지 않는다

③ 값의 같음 유도 또는 갈리는 쌍 제시

통과\(\cdot\)불통과를 확정한다

“아마 같을 것이다”에서 끝나 판정이 남지 않는다

걸음 ②가 이 서식의 핵심이다. “같은 대상”이라는 말은 그대로는 계산에 들어가지 않으므로 등식으로 번역해야 하고, 그 번역은 대상이 무엇이냐에 따라 다르다. 번역표를 만들어 두면 이후 어떤 대상에서도 같은 서식이 돈다.

대상

표현

“두 표현이 같다”의 등식

유리수

\(\frac ab\) (\(b \neq 0\))

\(ab' = a'b\)

법 \(n\)의 잉여류

\([a]\)

\(n \mid (a - a')\)

집합

원소의 나열

\(A \subseteq B\)이고 \(B \subseteq A\) (외연성)

걸음 삭제 실험 — 걸음 ②를 빼면. 준비 운동 (나)의 무게 \(w\)에 걸음 ①과 ③만 걸어 보자. ①에서 \(\frac12\)과 \(\frac24\)를 잡고 곧바로 ③으로 넘어가면 손에 남는 것은 값 \(3\)과 \(6\), 그리고 \(3 \neq 6\)뿐이다. 두 값이 갈렸다는 사실이 결함이 되려면 “\(\frac12\)과 \(\frac24\)가 같은 대상”이라는 말이 근거 목록의 무엇인가와 이어져야 하는데, 그 말은 아직 등식이 아니라 문장이므로 이을 자리가 없다. 곧 “두 값이 다른 것이 왜 문제인가”에 답할 수 없다. 걸음 ②의 \(1 \cdot 4 = 2 \cdot 2\)가 들어와야 \(\frac12 = \frac24\)가 근거 ③이 다루는 등식이 되고, 그때 비로소 \(w\!\left(\frac12\right) = w\!\left(\frac24\right)\)여야 한다는 요구가 생겨 \(3 = 6\)이 유도된다.

확인 8. 준비 운동 (나)의 무게 \(w\)에 검사 서식 세 걸음을 걸어 보자.

답

① \(\frac12\)과 \(\frac24\)를 잡는다.

② \(1 \cdot 4 = 4\)이고 \(2 \cdot 2 = 4\)이므로 \(ab' = a'b\)가 성립한다 — 같은 대상이다.

③ 정의가 주는 값은 \(1 + 2 = 3\)과 \(2 + 4 = 6\)이고 \(3 \neq 6\)이다. 값이 갈리는

표현 한 쌍을 제시했으므로 ill-defined다. 준비 운동에서 이름 없이 관찰한 것이

여기서 세 줄의 서식으로 적힌다.

확인 9. 1권 1주차 정의 1.1(”\(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다”)에는 well-defined 검사가 필요한가.

답

필요 없다. 그 정의는 \(n\)에 값을 주지 않고 “짝수인가 아닌가”라는 참\(\cdot\)거짓만

준다. 정수도 표현은 여럿이다 — \(6\)은 \(2 \cdot 3\)으로도 \(4 + 2\)로도 \(\frac{12}2\)로도

적힌다. 그런데도 검사가 필요 없는 것은 표현의 개수 때문이 아니라, 이 정의가

대표원을 골라 값을 계산하지 않고 대상 자체에 참\(\cdot\)거짓을 주기 때문이다.

\(6\)을 어떻게 적든 짝수인지 아닌지는 그대로이므로, 표현 선택이 개입할 자리가

없다. 일반적으로 **성질을 정하는 정의는 검사가 자동으로 통과하고, 대표원을

골라 값이나 연산을 계산하는 정의만이 검사를 요구한다.** 이 갈림이 예제 2.1과

예제 2.2를 나누는 기준이다.

1권에서 감각으로 하던 것이 여기서 이름을 얻는다. 1권 20주차 §1.5의 (C4) 합 보존과 (C5) 곱 보존 — “\(a \equiv b\)이고 \(c \equiv d\)이면 \(a + c \equiv b + d\)” — 을 증명한 계산이 정확히 well-defined 검사였다. 그때는 합동의 한 성질로 증명했을 뿐이지만, C11주차에서 \(\mathbb{Z}_n\)의 덧셈을 \([a] + [b] = [a+b]\)로 정의하는 순간 그 계산이 정의의 성립 조건이 된다. 문제 11과 문제 17이 그 예습이다.

정의 19.4 — 공리계의 세 덕목 [백지 암기 대상]#

공리들의 묶음을 공리계라 한다. 공리계를 세울 때 검사하는 것은 다음 셋이다.

① 무모순성(consistency): 공리들에서 \(P\)와 \(\neg P\)가 함께 유도되지 않는다. 검사법은 모형 제시 — 공리를 전부 만족하는 실제 대상을 하나 내놓으면 된다.

② 독립성(independence): 각 공리가 나머지 공리들에서 유도되지 않는다. 검사법은 반례 모형 — 그 공리만 거짓이고 나머지는 참인 대상을 공리마다 하나씩 내놓는다.

③ 완전성(completeness): 그 언어로 적을 수 있는 모든 명제가 증명되거나 반증된다. 충분히 강한 이론에서는 요구하지 않는다.

5 덕목 해부 — 검사법이 왜 그 꼴인가#

세 덕목은 중요도가 같지 않고, 검사법의 모양도 다르다.

덕목

검사에 필요한 것

이 검사를 빼면 무엇이 무너지는가

① 무모순성

모형 하나

모순이 유도되면 그 공리계에서는 모든 명제가 증명된다 — 이론이 아무것도 배제하지 못한다

② 독립성

공리 개수만큼의 반례 모형

유도 가능한 명제가 공리 목록에 섞여 있어도 알 수 없다. 이론은 여전히 작동하지만 목록이 최소가 아니다

③ 완전성

이론 전체에 대한 논증

대개 요구하지 않는다 — 재귀적으로 공리화 가능하고(공리 목록을 기계적으로 판정할 수 있고) 산술을 담을 만큼 강한 무모순 이론은 완전할 수 없다(괴델 제1불완전성 — 범위 밖이므로 인정하고 쓴다)

무모순성이 최우선인 이유. 모순된 공리계에서 \(P\)와 \(\neg P\)가 함께 유도된다고 하자. 임의의 명제 \(Q\)에 대해, \(P\)가 참이므로 “\(P\) 또는 \(Q\)”가 참이고(\(\lor\) 첨가), “\(P\) 또는 \(Q\)”와 \(\neg P\)가 함께 있으므로 \(Q\)가 나온다(선언 삼단논법). \(Q\)는 무엇이든 될 수 있으므로 그 이론은 모든 명제를 증명한다. 무엇이든 증명하는 이론은 아무것도 주장하지 않는 이론과 같다. 여기 쓴 두 추론 — \(P\)에서 “\(P\) 또는 \(Q\)”를 얻는 \(\lor\) 첨가와, “\(P\) 또는 \(Q\)”와 \(\neg P\)에서 \(Q\)를 얻는 선언 삼단논법 — 은 §1.8의 근거 목록 ④에 이번 주에 인정하고 쓰는 논리 규칙으로 올린다. 결론의 \(\lor\)를 다루는 S15주차의 소거법과는 방향이 반대다. 소거법은 결론이 “\(P\) 또는 \(Q\)”일 때 \(\neg P\)를 가정해 \(Q\)를 유도하는 증명 전략이고, 여기서 쓰는 것은 가정으로 주어진 “\(P\) 또는 \(Q\)”와 \(\neg P\)에서 \(Q\)를 뽑는 추론이다.

확인 10. 무모순성 검사에 모형이 하나면 충분한 이유는 무엇인가.

답

모형은 공리를 전부 만족하는 실제 대상이다. 만약 공리계에서 \(P\)와 \(\neg P\)가

함께 유도된다면 그 모형 안에서도 \(P\)와 \(\neg P\)가 함께 성립해야 하는데, 실제

대상에서 그런 일은 일어나지 않는다. 곧 모형 하나의 존재가 모순 유도의 불가능을

보증한다. 반면 독립성은 “각 공리가 나머지에서 유도되지 않음”이라는 별개의

주장이 공리마다 하나씩 있으므로, 모형도 공리마다 하나씩 필요하다.

덕목 삭제 실험 — 독립성을 지우면. 공리 A1(비반사), A2(추이), A3(삼분)을 그대로 늘어놓은 공리계를 보자(예제 2.3에서 다시 다룬다). A3에 \(y = x\)를 넣으면 “\(x \prec x\), \(x = x\), \(x \prec x\) 중 정확히 하나가 성립한다”가 되는데, \(x = x\)가 참이므로 나머지는 거짓이어야 하고 곧 \(x \not\prec x\)다. 이것이 A1이므로 A1은 A3에서 한 줄로 유도된다. 독립성을 검사하지 않으면 이 사실이 드러나지 않는다. 이론은 여전히 무모순이고 정리도 그대로다. 무너지는 것은 이론이 아니라 목록의 쓸모다 — 공리 목록을 읽는 사람은 A1이 별도의 요구라고 읽게 되고, 새 모형을 만들 때 A1을 따로 검증하려 애쓰게 된다. 가상의 사례가 아니라 실물이므로 처리도 따라온다 — 예제 2.3에서 이 공리계를 최소로 고치는 두 방법을 본다.

확인 11. 어떤 답안이 “\(S = \{a, b\}\)에 관계를 하나도 두지 않으면 A1과 A2는 참이고 A3은 거짓이다”라고 적었다. 이 답안은 세 덕목 중 무엇을 검사한 것인가. 그리고 A2가 참이라는 주장의 근거는 무엇인가.

답

A3의 독립성을 검사한 것이다. A3만 거짓이고 나머지는 참인 모형을 제시했으므로

A3은 A1과 A2에서 유도되지 않는다. A2가 참인 근거는 공허 참이다 — A2는

“\(x \prec y\)이고 \(y \prec z\)이면 \(x \prec z\)”인데 전건을 만족하는 \(x, y, z\)가

하나도 없으므로 함의가 자동으로 참이 된다(1권 8주차의 진리표). A1은 공허 참이

아니다 — A1은 “모든 \(x\)에 대해 \(x \not\prec x\)”라는 전건 없는 전칭 문장이므로,

어느 \(x\)에서도 \(x \prec x\)가 성립하지 않는다는 사실로 결론이 직접 참이 된다.

조건문이 아닌 전칭 문장에는 공허 참이 붙지 않는다.

관계가 하나도 없는 모형이 독립성 검사에서 자주 쓰이는 이유가 이 공허 참이다.

6 러셀의 역설 — 공리 하나가 무모순성을 깨뜨린 사례#

1권 6주차 §1.7이 읽을거리로 지나간 것을 이번 주의 목록으로 다시 읽는다.

소박한 집합론의 공리 하나

무제한 내포: 임의의 성질 \(P\)에 대해 \(\{x : P(x)\}\)는 집합이다.

이 공리는 편리하다. 조건만 적으면 집합이 생기므로, 1권 3~6주차에서 집합을 다룰 때 쓴 표기가 전부 이 공리 위에 서 있다. 그런데 \(P(x)\)를 “\(x \notin x\)”로 잡고 \(R = \{x : x \notin x\}\)를 만들면, \(R \in R\)이라 해도 \(R \notin R\)이 나오고 \(R \notin R\)이라 해도 \(R \in R\)이 나온다. 두 갈래 모두 모순이므로 이 공리를 가진 공리계는 무모순이 아니다.

확인 12. 러셀의 역설이 드러낸 것은 정의 19.2의 결함인가 정의 19.4의 결함인가.

답

정의 19.4의 결함, 곧 무모순성의 실패다. \(R\)의 정의 자체는 네 조건을

어기지 않는다 — 조건 “\(x \notin x\)”에 애매어가 없고, 피정의어로 되돌아오지

않고, 값이 아니라 소속을 정하므로 well-defined 검사도 자동 통과한다.

무너진 것은 그 정의를 허용한 공리다. 곧 정의 하나하나를 아무리 잘 검사해도,

그 정의들을 만들 권한을 주는 공리가 모순을 낳으면 이론이 무너진다.

검사가 두 층에서 각각 필요한 이유가 여기 있다.

해결. 무제한 내포를 약화해 분출 공리로 바꾼다 — 임의의 성질로 집합을 만드는 것이 아니라, 이미 있는 집합 \(A\)에서 \(\{x \in A : P(x)\}\)만 만들 수 있게 한다. 그러면 \(R_A = \{x \in A : x \notin x\}\)에 러셀의 논법을 걸어도 나오는 것은 모순이 아니라 “\(R_A \notin A\)”라는 참인 결론이다(문제 14에서 직접 유도한다). 공리를 약화하는 대가로 만들 수 있는 집합이 줄고, 그 대가로 무모순성을 회복한다. 현대 집합론(ZF)이 택한 길이다.

7 만드는 쪽의 네 책임 [백지 암기 대상]#

1권 20주차 §1.7의 글쓰기 규칙 6조는 증명을 발표할 때의 규칙이다. 정의와 공리를 발표할 때는 그 위에 네 줄이 더 얹힌다.

백지 암기 대상

만드는 쪽의 네 책임

① 무정의 용어를 명시한다 — 이 정의\(\cdot\)공리계가 정의 없이 전제하는 용어가 무엇인지 먼저 적는다.

② 네 조건을 점검한다 — 정의 19.2의 ①~④를 순서대로 통과시키고, ③은 검사 서식 세 줄을 실제로 적는다.

③ 무모순성의 근거를 댄다 — 공리계를 세웠으면 모형 하나를 제시한다.

④ 층위를 지킨다 — 새 용어는 아래층의 용어로만 정의하고, 새 공리는 나머지에서 유도되지 않음을 확인한다.

확인 13. 어떤 답안이 “정수 \(n\)이 반짝수라 함은 \(n\)이 짝수의 절반인 것이다”라고 적고 예로 \(3\)과 \(7\)을 들었다. 네 책임 중 무엇이 지켜지지 않았는가.

답

②가 지켜지지 않았다. 조건 “짝수의 절반”은 아래층 용어로 풀면 “\(n = \frac m2\)인

짝수 \(m\)이 존재한다”인데, 임의의 정수 \(n\)에 대해 \(m = 2n\)을 잡으면 조건이 늘

성립한다. 곧 모든 정수가 반짝수이므로 ④ 비자명을 어긴다. 예로 든 \(3\)과 \(7\)은

조건을 만족하기는 하지만, 비예를 만들어 보지 않았기 때문에 붕괴가 드러나지

않았다 — S4주차 §1.8 걸음 ③이 예 두 개와 비예 두 개를 함께 요구한 이유다.

①과 ④는 어기지 않았고 ③은 공리계가 아니므로 해당하지 않는다.

8 근거 목록 갱신#

근거의 칸은 이번 주에도 네 개다. 이번 주가 채우는 것은 ①과 ④다.

근거

이번 주에 추가\(\cdot\)갱신되는 것

이번 주에는 이렇게 쓴다

① 정의

S19주차 정의 19.1(네 층위) \(\cdot\) 19.2(좋은 정의의 네 조건) \(\cdot\) 19.3(well-defined와 검사 서식) \(\cdot\) 19.4(공리계의 세 덕목)

정의 후보를 판정할 때 네 조건 중 몇 번에 걸리는지까지 지목하고, ③이면 검사 서식 세 줄을 적는다

② 닫힘성

변화 없음

well-defined 유도 안에서 “\(ab' - a'b\)는 정수이므로”를 별도 설명 없이 쓴다

③ 등식\(\cdot\)부등식의 성질

변화 없음

교차곱 조작과 인수분해에 쓴다. 1권 16주차 (W1)~(W6)도 그대로 유효하다

④ 이미 증명한 명제\(\cdot\)채택한 사실

부품: 러셀의 논법(1권 6주차 §1.7), 합동의 (C1)~(C5)(1권 20주차 §1.5), 반사\(\cdot\)대칭\(\cdot\)추이의 정의(1권 36주차), 최댓값의 유일성(S13주차), 항등원의 유일성(S13주차 문제 9), 수렴 수열의 꼬리가 유계임(S7주차 문제 11), 유한하고 비어 있지 않은 실수 집합에 최댓값이 존재함(S16주차가 최댓값을 정의했으나 이 명제를 정리로 세우지는 않았으므로 인정하고 쓴다), 구면 기하의 존재(S18주차 문제 9(b))와 쌍곡 기하의 존재(이 교재의 범위 밖 — 인정하고 쓴다), 괴델의 제1불완전성 정리와 제2불완전성 정리(범위 밖 — 인정하고 쓴다. 문제 18이 쓰는 것은 제2불완전성이다), 논리 규칙 둘: \(P\)에서 “\(P\) 또는 \(Q\)”를 얻는 \(\lor\) 첨가와 “\(P\) 또는 \(Q\)”\(\cdot\)\(\neg P\)에서 \(Q\)를 얻는 선언 삼단논법(§1.5에서 쓴다)

“1권 20주차 §1.5 (C4)에 의해”처럼 출처를 대고 한 줄로 끝낸다

목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 “관례상 그렇게 쓴다”는 근거가 아니다 — 관례를 쓰려면 그 관례를 정의로 명시하는 것이 ①의 몫이고, 명시하지 않은 관례에 기댄 계산은 well-defined 검사에서 갈린다(문제 9).

정의 19.1~19.4와 정의 19.3 뒤의 검사 서식은 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 통째로 외우기보다 “읽는 쪽에서 주어진 것이 만드는 쪽에서는 검사 대상이다”라는 한 문장에서 나머지를 재구성하는 쪽이 재현률이 높다.