36주차 — 관계의 정의와 성질

내용

36주차 — 관계의 정의와 성질#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 관계는 순서쌍들의 집합이다 — “\(<\)”조차도.

이 주의 위치: 50주 과정의 36주차. 8부(관계)의 첫 주다. 6주차의 데카르트 곱이 무대가 되고, 20주차에서 \(\equiv\)에 대해 확인했던 (C1)~(C3)이 임의의 관계에 붙는 이름을 얻는다.

원서 대응: BoP(Book of Proof) 11.1 (Relations), 11.2 (Properties of Relations) — 병행자 참고용이고, 이 교재는 원서 없이 읽을 수 있다.

이번 주 목표#

관계의 집합론적 정의(\(R \subseteq A \times A\))를 백지에 쓰고, 익숙한 기호들이 왜 전부 관계인지 설명할 수 있다.
반사\(\cdot\)대칭\(\cdot\)추이 세 성질을 정의하고, 판정(증명 또는 반증)을 30주차 모드로 수행한다.
유한 관계를 화살표 그림\(\cdot\)격자표로 시각화해 성질을 점검한다.
“대칭적이고 추이적이면 반사는 공짜”라는 유명한 함정을 해부한다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (35주차 복습)#

\(A = \{1, 2\}\)일 때 \(A \times A\)를 나열하시오 (6주차 — 오늘의 무대다).
20주차 (C1)~(C3)의 이름과 내용을 쓰시오.
귀납 오류 박물관 3관(전달의 첫 고리)의 대표 사례는 무엇인지 쓰시오.

자주 나오는 세 가지 답 — 2번 문항#

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

유형 1 — 이름만 나열. “반사, 대칭, 추이”라고 적고 내용 칸을 비운다. 이름 세 개는

정확하다. 빠진 것은 각 이름이 요구하는 문장이다. 이번 주의 판정은 이름을 고르는 일이 아니라 그 문장이 참인지 따지는 일이므로, 문장을 쓰지 못하면 판정이 시작되지 않는다.

유형 2 — 법 표기 누락. “\(a \equiv a\)”, “\(a \equiv b\)이면 \(b \equiv a\)”까지 적고

\(\pmod n\)을 빠뜨린다. 세 문장의 뼈대는 옳다. 다만 합동은 법 \(n\)이 정해져야 참\(\cdot\)거짓이 결정되는 명제이므로, 법이 빠진 문장은 판정 대상이 되지 못한다 (20주차 §1.3).

유형 3 — 등호의 성질로 대체. “\(\equiv\)는 등호처럼 행동한다”고만 적는다. 이 관찰이

정확히 이번 주의 출발점이다. 빠진 것은 “등호처럼”이 세 문장으로 분해된다는 점이고, 이번 주에는 그 세 문장이 \(\equiv\)가 아닌 임의의 관계 \(R\)에 대한 검사 항목이 된다.

개념 — 관계와 세 가지 성질#

1 “\(<\)를 정의하라”에서 막히는 자리#

35주 동안 짝수\(\cdot\)나누어떨어짐\(\cdot\)합동을 전부 정의해 왔다. 그런데 가장 먼저 배운 기호 하나는 아직 정의된 적이 없다. “\(<\)”이다. 지금 가진 도구만으로 정의를 시도해 보자.

시도 — 말로 되풀이하기

요구: \(\mathbb{Z}\) 위의 관계 “\(<\)”를 정의하라.

“\(x < y\)란 \(x\)가 \(y\)보다 작다는 뜻이다. 작다는 것은 수직선에서 왼쪽에 있다는 뜻이고,

왼쪽에 있다는 것은 더 작다는 뜻이므로 … “

여기서 멈춘다. 같은 말이 되돌아올 뿐 판정 기준이 나오지 않는다. 1주차 §1.1에서 “홀수란 2로 나누어떨어지지 않는 수”로 밀어붙이다 멈춘 자리와 같은 종류의 막힘이다.

확인 1. 1주차부터 지금까지, 정의가 갖춰야 했던 것은 무엇이었는가.

그리고 “\(<\)”에는 그것을 붙이기 어려운 사정이 하나 더 있다 — 무엇인가.

답

정의는 판정 가능한 조건을 주어야 했다. 짝수는 “\(n = 2k\)인 정수 \(k\)의 존재”,

\(a \mid b\)는 “\(b = ac\)인 정수 \(c\)의 존재”였다.

사정 하나는 판정 대상이다. 짝수는 정수 하나를 심사했지만, “\(<\)”가 심사하는 것은

\(x\)도 \(y\)도 아닌 두 수의 짝이다. 짝을 원소로 삼는 무대는 이미 6주차에 준비되어

있다 — 데카르트 곱 \(A \times A\)다.

2 통과한 짝을 모아 보기 — 정의를 만들어 보기#

무대를 \(A = \{1, 2, 3\}\)으로 줄이고, \(A \times A\)의 아홉 개 순서쌍을 하나씩 심사해 보자. 심사 기준은 “\(y - x\)가 자연수인가”로 잡는다.

순서쌍 \((x, y)\)	\(y - x\)	\(y - x \in \mathbb{N}\)인가
\((1, 2)\)	\(1\)	예
\((1, 3)\)	\(\underline{\quad(1)\quad}\)	\(\underline{\quad}\)
\((2, 1)\)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)	\(\underline{\quad}\)
\((3, 3)\)	\(\underline{\quad(3)\quad}\)	\(\underline{\quad}\)

확인 2. 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 아홉 개 중 심사를 통과한 순서쌍만 모아 집합으로

적어 보자. 그 집합은 무엇의 부분집합인가.

답

(1) \(2\), 예 (2) \(-1\), 아니오 (3) \(0\), 아니오 (0은 자연수가 아니다).

통과한 순서쌍은 \((1,2), (1,3), (2,3)\) 셋이고, 모으면 \(\{(1,2), (1,3), (2,3)\}\)이다.

이것은 \(A \times A\)의 부분집합이다. “\(1 < 2\)”라는 문장은 “\((1,2)\)가 이 집합에

속한다”와 같은 말이 된다.

이 관찰에 정식 이름을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 한 심사와 수집을 문장으로 굳혔을 뿐이다.

정의 36.1 — 관계 (relation) [백지 암기 대상]#

집합 \(A\) 위의 관계 \(R\)란 \(A \times A\)의 부분집합이다: \(R \subseteq A \times A\).

\((x, y) \in R\)일 때 “\(x\)는 \(y\)와 관계있다”고 하고 \(x\,R\,y\)로 쓴다.

\((x, y) \notin R\)이면 \(x\,\not R\,y\)로 쓴다.

기호 \(x\,R\,y\)는 “엑스 알 와이”, 곧 “\(x\)는 \(y\)와 \(R\)의 관계에 있다”로 읽는다. \(\not R\)은 막대에 빗금을 그은 것으로 “관계에 있지 않다”이다. 읽는 법까지가 정의다. 순서쌍 표기 \((x, y) \in R\)과 중위 표기 \(x\,R\,y\)는 완전히 같은 명제의 두 표기이고, 증명에서는 편한 쪽을 쓴다. 정의 36.1을 \(<\)에 적용하면 다음 한 줄이 나온다.

\[ < \;=\; \{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} : y - x \in \mathbb{N}\} \;=\; \{\dots, (1,2), (1,3), (2,3), \dots\} \]

“\(1 < 2\)”라는 익숙한 문장은 “\((1,2) \in\ <\)”의 관례적 표기였던 것이다. 마찬가지로 \(=\), \(\le\), \(\mid\)(2주차), \(\equiv \pmod n\)(20주차), \(\mathcal{P}(S)\) 위의 \(\subseteq\)(4주차)도 전부 순서쌍들의 집합이다. 그래서 “관계를 정의한다”는 “어떤 순서쌍을 넣을지 조건을 준다”와 같은 말이 된다.

확인 3. \(\mathbb{Z}\) 위의 관계 \(=\)를 정의 36.1의 꼴로, 곧 조건제시법의 집합으로

적어 보자.

답

\(= \;=\; \{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} : x - y = 0\}\) (또는 \(\{(x, x) : x \in \mathbb{Z}\}\)).

두 번째 표기는 \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\)를 격자로 그렸을 때 정확히 대각선에

놓인 순서쌍 전부다. 등호가 대각선이라는 이 그림이 정의 36.2 바로 뒤의 그림 언어

문단(§1.5)에서 반사성의 그림 언어가 된다.

3 정의 해부 — 조각마다 하는 일#

정의 36.1의 한 문장은 세 조각으로 되어 있고, 조각마다 판정에서 맡는 역할이 다르다.

조각	하는 일	판정에서의 역할
“집합 \(A\) 위의”	무대의 선언	같은 조건이라도 무대가 바뀌면 다른 관계다 (문제 14에서 회수한다)
“\(A \times A\)의”	원소의 자격 제한	\(R\)의 원소는 \(A\)의 원소가 아니라 \(A\)의 원소 두 개로 만든 순서쌍이다
“부분집합이다”	소속 조건의 제공	\(x\,R\,y\)의 참\(\cdot\)거짓은 “\((x,y)\)가 \(R\)에 들어 있는가”로 환원된다

조각 삭제 실험. 둘째 조각에서 “순서”를 지워 보자. 곧 \(R\)을 순서쌍이 아니라 \(\{x, y\}\) 꼴의 짝(두 원소 집합)들의 모임으로 두는 것이다. 그러면 \(\{1, 2\} = \{2, 1\}\)이므로 \(1 < 2\)와 \(2 < 1\)이 같은 문장이 된다.

확인 4. 순서를 지우는 순간 정확히 무엇이 무너지는가.

\(<\)만의 문제인지, \(\mid\)와 \(\subseteq\)는 어떤지 함께 생각해 보자.

답

\(1 < 2\)가 참이면 \(2 < 1\)도 참이 되어 버리므로, \(<\)는 아무 두 수도 구별하지 못하는

관계가 된다. \(\mid\)도 마찬가지다 — \(2 \mid 6\)과 \(6 \mid 2\)의 참\(\cdot\)거짓이 갈리는 것이

2주차 문제 3의 내용이었는데, 순서가 없으면 그 구별이 사라진다. \(\subseteq\)도 같다.

곧 방향을 가진 모든 관계가 붕괴한다. 6주차가 집합이 아니라 순서쌍을 따로 만든

이유가 여기서 회수된다.

4 유한 관계를 눈으로 — 화살표 그림과 격자표#

무대가 유한하면 관계를 그림으로 그릴 수 있고, 그림은 판정의 실험 도구가 된다. 화살표 그림은 \(A\)의 원소를 점으로 찍고 \(x\,R\,y\)일 때 \(x\)에서 \(y\)로 화살표를 그린 것이며, \(x\,R\,x\)는 자기 자신으로 돌아오는 고리가 된다. 격자표는 행에 \(x\), 열에 \(y\)를 놓고 \(x\,R\,y\)인 칸에 ✓를 넣은 것이다. \(A = \{1, 2, 3\}\) 위의 관계 \(S = \{(1,1), (1,2), (2,3)\}\)을 격자표로 그리면 —

\(x \backslash y\)	1	2	3
1	✓	✓
2			✓
3

확인 5. 위 표에서 \(2\,S\,1\)은 참인가. 그리고 아홉 칸 중 ✓가 붙은 칸은 몇 개이며,

그것이 정의 36.1의 무엇에 해당하는가.

답

\(2\,S\,1\)은 거짓이다 — 2행 1열이 비어 있다. ✓는 세 개이고, 이 세 칸이 곧 \(S\)의 원소

세 개다. 격자표는 \(A \times A\) 전체를 아홉 칸으로 펼쳐 놓고 그중 어느 칸을 \(R\)에

넣었는지 표시한 그림이므로, “부분집합”이라는 조각을 눈으로 본 것과 같다.

5 무엇을 검사할 것인가 — 세 질문의 발견#

관계가 집합이라는 것만으로는 아직 할 일이 없다. 20주차에서 \(\equiv \pmod n\)을 두고 “등호처럼 행동한다”고 말했던 근거가 무엇이었는지 되짚으면 검사 항목이 나온다. \(\mathbb{Z}\) 위의 관계 셋을 세 질문으로 심사해 보자.

	① 모든 \(x\)에서 \(x\,R\,x\)인가	② \(x\,R\,y\)이면 항상 \(y\,R\,x\)인가	③ \(x\,R\,y\), \(y\,R\,z\)이면 항상 \(x\,R\,z\)인가
\(=\)	예	예	예
\(\le\)	예	\(\underline{\quad(1)\quad}\)	예
\(<\)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)	아니오	\(\underline{\quad(3)\quad}\)

확인 6. 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 아니오라고 답한 칸마다 그 판단의 근거가 되는

구체적인 수를 하나씩 적어 보자. 그리고 세 질문 ①②③이 20주차의 무엇과 같은 문장인지

답해 보자.

답

(1) 아니오 — \(1 \le 2\)이지만 \(2 \le 1\)은 거짓이다. (2) 아니오 — \(1 < 1\)이 거짓이다.

(3) 예 — \(x < y\)이고 \(y < z\)이면 \(y - x\)와 \(z - y\)가 자연수이고 자연수의 합은

자연수이므로 \((y-x) + (z-y) = z - x \in \mathbb{N}\), 곧 \(x < z\)다 (증명은 문제 7).

이미 채워져 있는 \(<\)의 대칭 칸도 근거가 필요하다 — \(1 < 2\)이지만 \(2 < 1\)은 거짓이다.

“반례가 없다”는 것은 \(\forall\) 명제의 근거가 되지 못한다(§1.9).

세 질문은 20주차의 (C1) 반사, (C2) 대칭, (C3) 추이를 \(\equiv\) 대신 임의의 관계 \(R\)에

대해 물은 것이다. 20주차에서는 \(\equiv\) 하나에 대한 정리 세 개였고, 이번 주에는 모든

관계에 던질 수 있는 검사 항목 세 개가 된다.

세 질문에 이름을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 20주차에서 \(\equiv\)에 대해 증명했던 세 문장의 \(\equiv\)를 \(R\)로 바꿔 적었을 뿐이다.

정의 36.2 — 세 가지 성질 [백지 암기 대상]#

\(A\) 위의 관계 \(R\)에 대해:

반사적(reflexive): 모든 \(x \in A\)에 대해 \(x\,R\,x\).

대칭적(symmetric): 모든 \(x, y \in A\)에 대해, \(x\,R\,y\)이면 \(y\,R\,x\).

추이적(transitive): 모든 \(x, y, z \in A\)에 대해, \(x\,R\,y\)이고 \(y\,R\,z\)이면 \(x\,R\,z\).

그림 언어로 옮기면 이렇다. 반사는 모든 점에 자기 고리가 있다는 것이고, 격자표로는 대각선 칸이 전부 ✓라는 것이다. 대칭은 화살표가 항상 왕복한다는 것이고, 격자표로는 표가 대각선에 대해 대칭이라는 것이다. 추이는 두 칸짜리 길이 있으면 지름길도 있다는 것이다.

6 정의 36.2 해부 — 조각마다 하는 일#

세 문장은 조각을 공유한다. 셋을 한 표로 해부하면 —

조각	하는 일	판정에서의 역할
“모든 ~에 대해” (세 성질 공통)	무대 전체에 대한 요구	하나라도 실패하면 불성립 — 반증은 반례 하나로 끝난다
“\(x\,R\,x\)” (반사)	요구되는 결론	성립 증명은 임의의 \(x\)를 잡아 이 문장을 유도하는 일이다
“\(x\,R\,y\)이면” (대칭)	조건부	짝이 없는 원소에는 아무것도 요구하지 않는다 — 문제 15의 함정이 여기서 자란다
“\(x\,R\,y\)이고 \(y\,R\,z\)이면” (추이)	가정 두 개	사슬이 실제로 있을 때만 지름길을 요구한다

조각 삭제 실험 A — 반사에서 “모든”을 지우면. “모든 \(x\)”를 “어떤 \(x\)”로 바꾸면 \(A = \{1, 2\}\) 위의 \(R = \{(1,1)\}\)이 반사적이 되고, \(\mathbb{N}\) 위의 서로소 관계(문제 12)도 \(x = 1\) 하나 때문에 반사적이 된다.

조각 삭제 실험 B — 대칭에서 조건부를 지우면. “\(x\,R\,y\)이면”을 지우고 “모든 \(x, y\)에 대해 \(y\,R\,x\)”로 바꾸면, \(A \times A\) 전체를 담은 관계 하나만 대칭적이 되고 \(=\)조차 대칭적이 아니게 된다 (\(1 \ne 2\)인데 \(2 = 1\)을 요구하게 되므로).

확인 7. 실험 A에서 “모든”을 “어떤”으로 바꾸면, §1.5의 표에는 어떤 일이 벌어지는가.

답

§1.5의 표는 한 칸도 바뀌지 않는다. 실험 A가 건드리는 것은 ① 열뿐인데, ①을

“어떤 \(x\)에 대해 \(x\,R\,x\)”로 읽어도 \(=\)와 \(\le\)는 이미 “예”였고, \(<\)는 \(x < x\)인 \(x\)가

하나도 없으므로 여전히 “아니오”다. 실험 A의 붕괴가 드러나는 곳은 표가 아니라

\(A = \{1,2\}\) 위의 \(R = \{(1,1)\}\)이나 서로소 관계(문제 12) 같은 개별 관계다.

표 자체가 관계들을 구별하지 못하게 되려면 대칭\(\cdot\)추이의 “모든”까지 함께 “어떤”으로

바꿔야 한다. 그때는 \(\le\)의 대칭 칸이 \(x = y = 1\) 한 벌로 “예”가 되고, \(<\)의 대칭 칸도

\(x = y = 1\)에서 가정 \(1 < 1\)이 거짓이라 조건문이 공허하게 참이 되어 “예”가 되므로,

아홉 칸 중 \(<\)의 반사 칸 하나만 “아니오”로 남는다. 정의의 조각 하나하나가 이런 붕괴를

막는 조건이다. 실험 A는 문제 12에서, 실험 B는 문제 15에서 각각 실제 문제로 다시 만난다.

7 판정은 증명 또는 반증이다#

세 성질은 각각 \(\forall\)(또는 \(\forall\) + 조건문) 꼴의 명제이므로, 판정은 30주차의 “증명 또는 반증” 모드 그 자체다.

	성립 증명	불성립 증명
반사	임의의 \(x\)를 잡아 \(x\,R\,x\)를 유도 (\(\forall\) 증명)	무대에 속하면서 \(x_0 \not R x_0\)인 반례 하나
대칭	“\(x\,R\,y\)라 가정하자 \(\to\) \(y\,R\,x\)” (조건문 증명)	\(x_0\,R\,y_0\)인데 \(y_0 \not R x_0\)인 반례
추이	“\(x\,R\,y\), \(y\,R\,z\)라 가정하자 \(\to\) \(x\,R\,z\)”	사슬은 있는데 지름길이 없는 반례

불성립 쪽은 29주차의 반례 완전 서식 그대로다. 세 조각으로 되어 있다. ① 반례를 구체적으로 제시한다 ② 가정 부분이 실제로 참임을 확인한다 ③ 결론 부분이 실제로 거짓임을 확인한다. 다만 반사는 조건문이 아니라 조건 없는 \(\forall\) 문장이라 확인할 ‘가정 부분’이 없다 — 이 자리에서 ②는 “\(x_0\)이 무대 \(A\)에 속한다”는 확인으로 축약된다. 29주차의 검증 1이 그것이고, 짧다고 생략하지 않는다.

확인 8. 어떤 답안이 “\(\mid\)는 대칭이 아니다. 반례: \(2\)와 \(4\)”라고만 적었다.

완전 서식의 세 조각 중 무엇이 빠져 있는가.

답

②와 ③이 빠졌다. \(2 \mid 4\)가 참임을 확인하는 줄(\(4 = 2 \times 2\)이고 \(2 \in \mathbb{Z}\))과

\(4 \mid 2\)가 거짓임을(곧 \(4 \nmid 2\)임을) 확인하는 줄(\(2 = 4c\)인 정수 \(c\)가 없다)이

있어야 반례가 반례로 작동한다. 수 두 개를 적은 것만으로는 어느 방향이 참이고 어느

방향이 거짓인지 답안에 나타나지 않는다.

8 성적표 — 익숙한 관계들의 판정#

이번 주 내내 검증할 표다. 지금은 아는 만큼만 채우고, §2와 §4에서 각 칸의 근거를 하나씩 회수한다.

관계	반사	대칭	추이
\(=\) (on \(\mathbb{Z}\))	✓	✓	✓
\(\le\) (on \(\mathbb{Z}\))	✓	✗	✓
\(<\) (on \(\mathbb{Z}\))	✗	✗	✓
\(\mid\) (on \(\mathbb{N}\))	✓	\(\underline{\quad(1)\quad}\)	✓
\(\equiv \pmod n\) (on \(\mathbb{Z}\))	✓	✓	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
\(\subseteq\) (on \(\mathcal{P}(S)\), \(S \ne \emptyset\))	✓	✗	\(\underline{\quad(3)\quad}\)

확인 9. 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 세 칸의 근거가 각각 몇 주차의 무엇인지 적어 보자.

답

(1) ✗ — 반례 \(2 \mid 4\)이지만 \(4 \nmid 2\) (예제 2.1에서 완전 서식으로 쓴다).

(2) ✓ — 20주차 (C3), 그 주 문제 7에서 증명했다.

(3) ✓ — 4주차의 “\(X \subseteq Y\)이고 \(Y \subseteq Z\)이면 \(X \subseteq Z\)” (문제 11에서 인용한다).

\(\subseteq\) 행에 \(S \ne \emptyset\)이라는 단서가 붙은 이유는 대칭 칸에 있다. 반례를 만들려면

서로 다른 두 부분집합이 필요한데, \(S = \emptyset\)이면 \(\mathcal{P}(S) = \{\emptyset\}\)이라

무대의 원소가 하나뿐이고 \(\subseteq\)는 \(\{(\emptyset, \emptyset)\}\)이 되어 대칭 칸이 ✓로

뒤집힌다. 무대가 성질을 바꾸는 사례이고, 문제 14에서 정면으로 다룬다.

세 성질을 모두 가진 관계(\(=\), \(\equiv\))가 다음 주의 주인공이다. 20주차에서

“(C1)~(C3): \(\equiv\)는 등호처럼 행동한다”고 적었던 것이 정확히 이 표의 예고였다.

9 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개#

칸의 개수는 늘지 않는다. ① 칸에 정의가 두 개 추가되고, ④ 칸이 30주 치의 정리들을 한꺼번에 받는다.

근거	내용	이번 주에는 이렇게 쓴다
① 정의	기존 정의 전부 + 정의 36.1, 36.2	“\(x\,R\,y\)” \(\leftrightarrow\) “\((x,y) \in R\)” \(\leftrightarrow\) 소속 조건 사이를 번역한다
② 닫힘성	정수의 합\(\cdot\)차\(\cdot\)곱은 정수, 자연수의 합은 자연수	“\(k + l\)은 정수이므로”를 별도 설명 없이 쓴다. \(<\)의 추이(문제 7)는 뒤쪽 문장으로 닫는다
③ 등식\(\cdot\)부등식의 성질	대입 / 전개 / 묶기 / 양변 연산 (16주차, 29주차 §1.6)	\(y + 2x = 3(x+y) - (x+2y)\) 같은 항등식 변형, “음이 아닌 두 수의 합은 음이 아니다”(문제 4), “같은 부호인 두 수의 곱은 양수”(문제 14)
④ 이미 증명한 명제	2주차 예제 2.1(\(\mid\)의 추이)\(\cdot\)예제 2.2(배수의 합)\(\cdot\)문제 7(배수의 차), 4주차 \(\subseteq\)의 성질과 \(\vert \mathcal{P}(X)\vert = 2^{\vert X\vert }\), 6주차 \(\vert A \times B\vert = \vert A\vert \cdot \vert B\vert \), 10주차 한정기호 순서, 12주차 곱셈 원리, 17주차 문제 4(절댓값)와 부호에 따른 경우 나누기, 20주차 (C1)~(C3), 25주차 문제 9\(\cdot\)12\(\cdot\)17	“\(\mid\)의 추이성은 2주차 예제 2.1이다”로 인용을 끝낸다

목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 “화살표 그림을 보니 그렇다”는 목록에 없다 — 그림은 후보를 찾는 도구이고, 답안의 근거는 정의 36.2에 대입한 문장이어야 한다.

확인 10. 어떤 답안에 다음 두 문장이 나왔다. 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) “\(a \mid b\)이고 \(b \mid c\)이므로 2주차 예제 2.1에 의해 \(a \mid c\)이다”

(나) “표를 보면 대각선이 다 차 있으므로 반사적이다”

답

(가) 허용 — 근거 ④. 30주 전에 증명한 정리를 이름으로 인용한다.

(나) 불허 — 그림은 근거 목록 밖이다. 같은 내용을 “\(A\)의 각 원소 \(x\)에 대해

\((x,x) \in R\)임을 세 개 모두 확인했다”로 적으면 근거 ①이 되어 허용된다. 내용이 아니라

꼴이 근거의 자격을 정한다.