15주차 — 직접 증명의 틀

15주차 — 직접 증명의 틀#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 증명은 “P라 가정하자”로 열고, 정의를 펼치고, “따라서 Q이다”로 닫는 한 편의 글이다.

이 주의 위치: 50주 과정의 15주차. 4부(증명 기법)의 개막 — 1~2주차의 3단계 틀을 공식 서식으로 승격하고, 무대를 소수\(\cdot\)유리수까지 넓힌다.

원서 대응: BoP(Book of Proof) 4.1 (Theorems), 4.2 (Definitions), 4.3 (Direct Proof). 원서 없이 읽을 수 있다.

이번 주 목표#

  1. 정리\(\cdot\)명제\(\cdot\)보조정리\(\cdot\)따름정리\(\cdot\)추측 — 수학 문헌의 용어를 역할로 구분할 수 있다.

  2. 소수\(\cdot\)합성수\(\cdot\)유리수의 정의를 백지에 수식으로 쓰고, 각 조각이 왜 필요한지 설명할 수 있다.

  3. 직접 증명의 공식 서식(오프닝 \(\to\) 몸통 \(\to\) 마감)을 익히고, 존재 명제의 증명이 증인 제작임을 안다(10주차 회수).

  4. 증명을 기호 나열이 아닌 문장으로 쓰는 규범 세 가지를 익힌다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (14주차 복습)#

  1. \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\) 증명의 뼈대(서로소 분할 두 번 + 덧셈 원리)를 말로 재현하시오.

  2. “적어도 하나”를 세는 표준 전략을 한 문장으로 쓰시오.

  3. 1주차 3단계 틀(① 문자 잡기 ② 정의 풀기 ③ 목표 꼴 변형)을 쓰고, 그 틀로 “\(n\)이 짝수이면 \(n^2\)도 짝수이다”를 안 보고 증명하시오. (1주차 문제 9다. 12~14주차 세 주 동안 증명문의 소재는 정수에서 집합\(\cdot\)개수로 옮겨 가 있었다 — 14주차 예제 2.1이 그 세 주의 대표 증명이다. 정의를 풀어 쓰는 정수 쪽 증명을 손이 아직 기억하는지 확인하는 자리다.)

자주 나오는 세 가지 답 — 3번 문항#

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

  • 유형 1 — 기호 나열. “\(n = 2a\). \(n^2 = 4a^2\). 짝수.” 계산은 전부 옳다. 빠진 것은

문장이다 — “그러면”, “이므로”, “따라서”가 없으면 줄과 줄 사이의 논리 관계를 읽는 사람이 복원할 수 없다. 이번 주의 글쓰기 규범 1이 정확히 이 간격을 메운다.

  • 유형 2 — 근거 생략. “짝수의 제곱이니 당연히 짝수다”라고 적고 끝낸다. 결론은

옳다. 빠진 것은 근거의 사슬이다 — 1주차부터의 채점 기준대로 답이 아니라 근거가 점수인데, 세 주 동안 세기 문제를 풀면서 이 습관이 무뎌지기 쉽다. 이번 주에 “증명에서 쓸 수 있는 것”의 목록이 공식 규격으로 명문화된다.

  • 유형 3 — 첫 문장이 나오지 않음. 틀은 배웠는데 14주 분량의 도구 속에서 첫

수가 헷갈린다. 자연스러운 상태다 — 이번 주의 서식이 첫 문장부터 마지막 문장까지를 고정 문구로 못 박는다. 외울 것은 짧은 서식 하나다.

개념 — 증명의 공식 서식#

1 말 정의로 유리수를 다루면 어디서 막히는가#

이번 주부터 4부 — 증명 기법 본편 — 가 시작된다. 재료는 1~2주차의 3단계 틀이고, 이번 주에 하는 일은 두 가지다: 틀을 공식 서식으로 승격하는 것, 그리고 무대를 정수 밖으로 넓히는 것. 첫 대상은 유리수다.

유리수는 3주차의 수 집합 목록에서 만났다 — “분수 꼴로 쓸 수 있는 수”. 이 말만으로 대표 명제를 밀어붙여 보자.

시도 — 말 풀이로 밀어붙이기

명제: 두 유리수의 합은 유리수이다.

“\(x\)와 \(y\)를 유리수라 하자. 유리수란 분수로 나타낼 수 있는 수이다.

그러므로 \(x\)는 분수로 나타낼 수 있고, \(y\)도 분수로 나타낼 수 있다.

따라서 \(x + y\)는 … “

여기서 멈춘다. 1주차 §1.1에서 “홀수”로, 2주차 §1.1에서 “나누어떨어진다”로 두 번 만난 그 자리다 — “나타낼 수 있다”는 서술은 아직 등식이 아니라서 통분이 시작되지 않는다.

확인 1. 멈춘 자리에서 통분이 시작되려면 \(x\)를 어떤 등식으로 적어야 하는가?

그리고 그 등식의 분자\(\cdot\)분모에는 어떤 자격이 붙어야 하는가?

(\(\frac{3}{\pi}\)도 생김새는 분수라는 점을 함께 생각해 보자.)

답

“\(x = \frac{a}{b}\)인 (무엇) \(a, b\)가 존재한다” 꼴의 등식이 필요하다. 그리고

자격이 없으면 \(\frac{3}{\pi}\) 같은 표현도 분수로 통과되어 아무 수나 유리수가

된다 — 분자\(\cdot\)분모는 정수여야 하고, 분모는 0이 아니어야 한다.

사실 3주차의 조건제시법 \(\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} : a, b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0\}\)

안에 이미 다 들어 있다 — 이번 주는 그것을 증명에서 쓰는 문장 꼴로 꺼낸다(§1.2).

2 표 채우기 — 유리수의 정의#

구체 사례부터 채워 보자. 각 수를 \(\frac{(\text{정수})}{(\text{0이 아닌 정수})}\) 꼴로 적는다.

수

\(\frac{(\text{정수})}{(\text{0이 아닌 정수})}\) 표현

\(0.75\)

\(\frac{3}{4}\)

\(-5\)

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

\(0\)

\(\underline{\quad(2)\quad}\)

\(2.4\)

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

확인 2. 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 각 수의 표현이 하나뿐인지도 생각해 보자.

답

(1) \(\frac{-5}{1}\) (2) \(\frac{0}{1}\) (3) \(\frac{12}{5}\). 셋 다 분자는 정수, 분모는

0이 아닌 정수다. 표현은 하나가 아니다 — \(0.75 = \frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \frac{-3}{-4}\).

그래서 정의는 그런 표현이 존재한다는 것만 요구한다 — 하나만 제시하면 자격

심사는 끝난다. 정수 \(-5\)도 표를 통과한다 — 모든 정수는 유리수다(3주차 §1.4

포함 관계 — 근거는 \(n = \frac{n}{1}\)).

이 관찰에 정식 이름을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 3주차의 조건제시법을 증명에서 쓰는 문장으로 굳혔을 뿐이다.

정의 15.1 — 유리수 (rational number) [백지 암기 대상]#

실수 \(x\)가 유리수라는 것은, \(x = \dfrac{a}{b}\)인 정수 \(a, b\) (\(b \neq 0\))가

존재한다는 뜻이다. 유리수가 아닌 실수를 무리수(irrational number)라 한다.

이 문장은 “엑스는 비 분의 에이. 그런 정수 에이와 비가 존재하고, 비는 0이 아니다”로 읽는다. 읽는 법까지가 정의다. 유리수 전체의 집합이 3주차의 \(\mathbb{Q}\)다.

정의 해부. 조각마다 증명에서 맡는 역할이 다르다.

조각

하는 일

증명에서의 역할

“실수 \(x\)가 유리수라는 것은”

판정 대상의 선언

무대는 실수 전체 — 무리수 후보도 같은 기준으로 심사한다

“\(x = \frac{a}{b}\)인”

등식 제공

통분\(\cdot\)사칙 계산이 시작되는 지점 — 1.1의 막힘이 풀리는 자리

“정수 \(a, b\)가”

분자\(\cdot\)분모의 자격 제한

이 조각이 빠지면 정의가 무너진다 (아래 실험)

“\(b \neq 0\)”

분모 보호

값 없는 표현(\(\frac{a}{0}\))의 침입 차단 — 예제 2.2의 점검 대상

“존재한다”

요구 조건의 명시

표현 하나만 제시하면 성립. 가정이면 받아 쓰고, 목표이면 만들어 제시한다

조각 삭제 실험. 셋째 조각 “정수”를 지워 보자. 그러면 임의의 실수 \(x\)를 \(x = \frac{x}{1}\)로 쓸 수 있으므로 — 분자 자리에 \(\pi\)든 \(\sqrt{2}\)든 허용되므로 — 모든 실수가 유리수가 된다. “유리수”라는 말이 아무것도 구별하지 못하게 된다. 1주차 §1.3에서 “짝수”가, 2주차 §1.3에서 “나눈다”가 무너진 것과 같은 붕괴다.

확인 3. 이번에는 넷째 조각 “\(b \neq 0\)”을 지워 보자. 무엇이 잘못되는가?

(\(x = \frac{5}{0}\)이라는 표현이 가리키는 수는 무엇인가.)

답

\(\frac{5}{0}\)은 수가 아니다 — \(0 \times c = 5\)인 \(c\)가 없으므로(2주차 문제 2(b)와

같은 계산) 이 표현에는 값이 없다. 값 없는 표현이 들어오면 정의라는 조건 자체가

검사 불가능해진다. \(b \neq 0\)은 장식이 아니라 정의가 작동하기 위한 조건이고,

그래서 유리수가 등장하는 모든 증명에서 “분모가 0이 아님”을 확인하는 문장이

요구된다(예제 2.2, 문제 11).

3 소수와 합성수 — 쪼개짐의 정의#

두 번째 새 무대는 2 이상의 정수다. 이번 기준은 “가운데 범위의 곱으로 쪼개지는가”다. 각 행에서 \(1 < a, b < n\)인 분해 \(n = a \times b\)를 찾아 보자.

\(n\)

\(n = a \times b\) (\(1 < a, b < n\)인 분해)

있는가

\(6\)

\(2 \times 3\)

있다

\(7\)

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

\(\underline{\quad}\)

\(15\)

\(\underline{\quad(2)\quad}\)

\(\underline{\quad}\)

\(2\)

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

\(\underline{\quad}\)

확인 4. 빈칸을 채워 보자. 분해가 없는 행은 “없다”가 답이다.

답

(1) 없다 — 양의 정수 곱으로는 \(7 = 1 \times 7\)(과 \(7 \times 1\))뿐이고, \(1\)과 \(7\)은

“\(1 < a, b < 7\)” 범위 밖이다. (2) \(3 \times 5\) — 있다. (3) 없다 — 양의 분해로는

\(2 = 1 \times 2\)뿐이다.

“가운데 범위의 분해가 존재하는가”로 2 이상의 정수가 두 부류로 갈린다.

분해가 있는 쪽에 붙인 이름이 합성수이고, 없는 쪽이 소수다 — 다만 소수는 약수

쪽 말로 정의하는 것이 표준이라 아래 정의 15.2는 약수로 적는다. 두 표현이 같은

경계를 긋는다는 것은 아직 확인하지 않은 사실이고, 문제 4 해설에서 확인한다.

정의 15.2 — 소수 (prime) [백지 암기 대상]#

\(n \ge 2\)인 정수 \(n\)이 소수라는 것은, \(n\)의 양의 약수가 \(1\)과 \(n\)뿐이라는 뜻이다.

정의 15.3 — 합성수 (composite) [백지 암기 대상]#

\(n \ge 2\)인 정수 \(n\)이 합성수라는 것은, \(n = ab\)인 정수 \(a, b\)

(\(1 < a, b < n\))가 존재한다는 뜻이다.

이 두 정의는 계산의 재료라기보다 판정 기준으로 쓰인다. 해부 표의 셋째 열도 그에 맞춘다.

조각

하는 일

판정에서의 역할

“\(n \ge 2\)인 정수”

무대 제한

\(1\), \(0\), 음수는 심사 대상 자체가 아니다 — 문제 4에서 판정

“양의 약수가” (15.2)

후보 제한

이 낱말이 빠지면 소수가 전멸한다 (아래 실험)

“\(1\)과 \(n\)뿐” (15.2)

판정 기준

그 외의 양의 약수가 하나라도 나오면 소수 탈락

“\(1 < a, b < n\)” (15.3)

분해의 자격

\(1 \times n\) 같은 하나마나 한 분해를 차단한다

조각 삭제 실험 두 개.

  • 15.2에서 “양의”를 지우면: 모든 정수 \(n\)은 약수 \(-1\)과 \(-n\)도 가지므로

(\(n = (-1) \times (-n)\)이고 \(-n \in \mathbb{Z}\) — 정의 2.1의 꼴 그대로다. 음수 약수가 정의를 통과한다는 것은 2주차 문제 1(c)에서 확인했다) “약수가 \(1\)과 \(n\)뿐”인 수가 하나도 없다 — 소수가 전멸한다.

  • 15.3에서 “\(1 < a, b < n\)”을 지우면: \(7 = 1 \times 7\)이 분해로 인정되어 \(7\)이 —

모든 수가 — 합성수가 된다. 소수와 합성수의 경계가 사라진다.

확인 5. \(n = 1\)은 소수인가, 합성수인가. 정의로 판정해 보자.

답

둘 다 아니다. 두 정의 모두 첫 조각에서 “\(n \ge 2\)”를 요구하므로 \(1\)은 심사 대상이

아니다. “1도 소수 같다”는 느낌은 정의 앞에서 힘이 없다 — 애매하면 정의로

돌아간다(1주차 §1.5). 이 판정은 문제 4에서 다시 요구된다.

4 정의 재정비 — 4부 내내 쓸 목록#

4부의 증명에 등장할 정의를 한 자리에 모은다. 익숙한 것도 토씨까지 다시 확인한다. 이번에는 10주차에서 배운 기호 \(\exists\)로 압축해 적는다 — “\(\exists k \in \mathbb{Z},\ n = 2k\)”는 “\(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다”의 기호 표기일 뿐, 내용은 1주차의 그 정의다.

백지 암기 대상

정의 목록 — 전부

  • \(n\)은 짝수 \(\iff\) \(\exists k \in \mathbb{Z},\ n = 2k\) (정의 1.1)

  • \(n\)은 홀수 \(\iff\) \(\exists k \in \mathbb{Z},\ n = 2k+1\) (정의 1.2)

  • \(a \mid b\) \(\iff\) \(\exists c \in \mathbb{Z},\ b = ac\) (정의 2.1)

  • \(n \ge 2\)가 소수 \(\iff\) \(n\)의 양의 약수가 \(1\)과 \(n\)뿐이다 (정의 15.2)

  • \(n \ge 2\)가 합성수 \(\iff\) \(\exists a, b \in \mathbb{Z}\ (1 < a, b < n),\ n = ab\) (정의 15.3)

  • \(x\)는 유리수 \(\iff\) \(\exists a, b \in \mathbb{Z}\ (b \neq 0),\ x = \frac{a}{b}\); 유리수가 아닌 실수는 무리수 (정의 15.1)

목록의 \(\iff\)는 8주차의 필요충분 기호다. 정의는 전부 \(\iff\)다 — 정의된 용어와 조건이 완전히 같은 말이어서, 증명에서 양방향으로 자유롭게 오간다(8주차 문제 19에서 판정한 관계다).

확인 6. \(\iff\)의 두 방향은 증명에서 각각 언제 쓰는가. “홀수”를 예로,

(\(\Rightarrow\)) 방향이 쓰이는 상황과 (\(\Leftarrow\)) 방향이 쓰이는 상황을

하나씩 적어 보자.

답

(\(\Rightarrow\)) 가정에 “홀수”가 있을 때 — “\(n\)이 홀수이므로 \(n = 2k+1\)인 정수

\(k\)가 존재한다”로 등식을 받아 온다. (\(\Leftarrow\)) 목표가 “홀수”일 때 —

“\(2(\text{정수})+1\) 꼴을 만들었으므로 홀수이다”로 결론을 닫는다. 1주차 §1.3의

방향 표(“받아서 쓴다 / 만들어 제시한다”)가 곧 \(\iff\)의 두 방향이었던 것이다.

5 수학 문헌의 용어 — 명제의 다섯 역할#

증명된 결과들을 문헌에서는 역할에 따라 다르게 부른다.

용어

뜻

정리 (theorem)

참임이 증명된 중요한 명제

명제 (proposition)

참임이 증명된, 정리보다 가벼운 결과

보조정리 (lemma)

더 큰 정리를 증명하기 위한 디딤돌 결과

따름정리 (corollary)

정리에서 짧게 따라 나오는 결과

추측 (conjecture)

참이라 믿어지지만 아직 증명되지 않은 명제

구분선은 두 개다. 증명이 있는가(다섯 중 추측만 없다), 그리고 다른 결과와의 관계가 무엇인가(디딤돌인가, 본체인가, 부산물인가). 전부 “명제”라는 점은 같고 역할이 다를 뿐이다.

확인 7. 1주차 문제 17(”\(n\)이 홀수이면 \(n^2 - 1\)은 8의 배수”)은 문제 15와

16을 부품으로 썼다. 이 관계에서 문제 15\(\cdot\)16이 맡은 역할은 무엇인가.

답

보조정리다. 문제 15\(\cdot\)16 자체도 증명된 명제이지만, 문제 17의 증명에 디딤돌로

쓰이는 순간 그 역할의 이름이 보조정리가 된다. 역할은 명제에 새겨진 성질이

아니라 관계 속에서 정해진다 — 같은 결과가 어느 증명에서는 보조정리이고 다른

자리에서는 그 자체로 정리다.

6 직접 증명의 서식 — 3단계 틀의 승격#

1주차부터 쓰던 3단계 틀을 공식 서식으로 승격한다. 승격의 근거부터 확인한다 — 조건문 “\(P\)이면 \(Q\)이다”를 증명하는데 왜 “\(P\)라 가정하자”로 시작해도 되는가.

확인 8. 8주차의 진리표에서, \(P \Rightarrow Q\)가 참임을 보이기 위해 실제로

처리해야 할 행은 네 행 중 어느 행인가. \(P\)가 거짓인 두 행은 왜 걱정하지

않아도 되는가.

답

\(P\)가 참인 행 — 그때 \(Q\)가 거짓이 되는 일이 없음을 보이면 된다. \(P\)가 거짓인 두

행은 조건문이 자동으로 참이다(8주차 공허한 참). 그래서 증명은 “\(P\)라 가정하자”로

\(P\)가 참인 세계에 들어가, 그 안에서 \(Q\)를 만들면 끝난다 — 8주차에서 예고한

“증명 서식으로의 승격”이 정확히 이 문장이다.

백지 암기 대상

직접 증명의 서식

명제. \(P\)이면 \(Q\)이다.

증명. \(P\)라 가정하자.

\(\quad\vdots\) (정의 풀기 \(\to\) 대수 변형 \(\to\) 필요하면 이미 증명한 명제 인용)

따라서 \(Q\)이다. \(\blacksquare\)

서식의 각 부분에 이름을 붙인다 — 오프닝(”\(P\)라 가정하자”), 몸통(정의\(\cdot\)변형\(\cdot\)인용), 마감(“따라서 \(Q\)이다. \(\blacksquare\)”).

  • \(\forall\)이 붙은 명제(“모든 정수 \(n\)에 대해 …”)의 오프닝은 “\(n\)을 임의의 정수라

하자”다. 특정 값이 아닌 문자로 잡아야 모든 경우가 한 번에 처리된다(1주차 예제 2.1에서 대입으로 확인한 일반성).

  • 몸통에서 쓸 수 있는 것은 정의, 가정, 대수 법칙, 이미 증명한 정리 — 이 네

가지뿐이다. 근거 목록 ①~④와 같은 목록이다(§1.9에서 대조한다).

3단계 틀과의 대응은 다음과 같다.

1주차 3단계 틀

서식

① 문자 잡기\(\cdot\)가정 선언

오프닝 — “\(P\)라 가정하자” / “임의의 ~라 하자”

② 정의 풀어쓰기

몸통의 첫 수

③ 목표 꼴 변형 + 정수 확인

몸통의 나머지 + 마감 “따라서 \(Q\)이다”

새로 배우는 절차는 없다 — 달라진 것은 여닫는 문장이 고정 문구로 굳었다는 것, 그리고 몸통의 허용 목록이 명문화되었다는 것이다.

확인 9. 다음 두 명제의 오프닝(첫 문장)만 적어 보자.

(가) “\(x, y\)가 유리수이면 \(x + y\)는 유리수이다.”

(나) “모든 정수 \(n\)에 대해 \(2 \mid n(n+1)\)이다.”

답

(가) “\(x, y\)를 유리수라 하자.” (“~라 가정하자”와 같은 말이다.)

(나) “\(n\)을 임의의 정수라 하자.” 조건문은 가정을 선언하며, \(\forall\) 명제는

임의의 대표를 무대에 올리며 시작한다. 문제 5가 이 연습의 확장이다.

7 존재 명제의 증명 — 증인 제작#

결론이 “\(\exists x,\ P(x)\)” 꼴이면 서식이 달라진다. 10주차 비대칭 표의 그 칸이다 — \(\exists\)의 참에 필요한 것은 증인 하나와 검증이다.

존재 명제의 서식

명제. \(P(x)\)인 \(x\)가 존재한다.

증명. \(x = (\text{증인})\)을 제시한다.

(검증: 이 \(x\)가 \(P\)의 조건 전부를 만족함을 확인한다)

따라서 그런 \(x\)가 존재한다. \(\blacksquare\)

증인은 상수일 수도 있고(문제 5(d)), 가정의 재료로 만들어질 수도 있다(예제 2.3, 문제 14, 문제 17). 어느 쪽이든 검증이 본체다 — 증인만 던지고 조건 확인을 생략하면 심사 없는 주장일 뿐이다. 조건이 여러 개면 전부 점검한다(문제 17: 유리수인가, 그리고 사이에 있는가).

확인 10. “\(n^2 = n\)인 정수 \(n\)이 존재한다”를 서식대로 짧게 증명해 보자.

답

“증인으로 \(n = 0\)을 제시한다. \(0 \in \mathbb{Z}\)이고 \(0^2 = 0\)이므로 조건을

만족한다. 따라서 그런 정수가 존재한다. \(\blacksquare\)” (\(n = 1\)도 증인이다.

존재 증명에는 증인 하나면 충분하고, 어느 증인을 골라도 된다.) 이 명제가

문제 5(d)의 소재다.

8 증명 글쓰기 규범 — 실패 답안 해부#

서식과 별도로, 증명이라는 글의 문법이 있다. 규칙을 나열하기 전에 실패 사례부터 해부한다. 다음은 계산 방향이 옳은데도 증명이 되지 못한 답안이다.

답안 A

명제: \(x\)가 홀수이면 \(x^2\)은 홀수이다.

증명: \(x^2\)이 홀수라 하자. \(x^2 = 2k+1\). \(x = 2m+1\). \((2m+1)^2 = 4m^2+4m+1\) 홀수. 맞다. \(\blacksquare\)

확인 11. 첫 문장 “\(x^2\)이 홀수라 하자”는 서식의 오프닝 “\(P\)라 가정하자”와

어떻게 다른가. 이 명제의 \(P\)와 \(Q\)를 적고 비교해 보자.

답

\(P\)는 “\(x\)가 홀수”, \(Q\)는 “\(x^2\)이 홀수”다. 오프닝에 놓을 것은 \(P\)인데 답안 A는

\(Q\) — 증명해야 할 결론 — 를 가정했다. 결론을 손에 쥐고 출발했으므로 이후의 어떤

계산도 결론을 새로 세우지 못한다 — 순환이다. 치명상은 이 한 문장이고, 나머지

문장들에도 결함이 있다. 아래 규범으로 하나씩 잡는다.

백지 암기 대상

증명 글쓰기 규범

  1. 문장으로 쓴다. 수식은 문장의 일부다. 논리 연결(“그러면”, “이므로”, “따라서”)이 없으면 어느 줄이 어느 줄의 근거인지 읽는 사람이 복원할 수 없다.

  2. 모든 문자는 등장할 때 소개한다. “~인 정수 \(k\)가 존재한다”, “\(m\)을 임의의 정수라 하자” 없이 문자를 쓰면, 그 문자가 임의인지\(\cdot\)존재가 보장된 것인지\(\cdot\)특정 값인지 정해지지 않은 채 계산이 진행된다.

  3. 결론을 가정하지 않는다. 오프닝에 놓을 수 있는 것은 가정 \(P\)뿐이다. 보이려는 \(Q\)에서 출발한 논증은 순환이 되어 결론의 참을 전혀 보태지 못한다.

답안 A는 셋을 전부 위반했다: 첫 문장이 규범 3을(확인 11), \(k\)와 \(m\)이 소개 없이 등장해 규범 2를, “맞다”로 끝나는 기호 나열이 규범 1을. 이 답안의 정식 채점은 문제 18에서 한다 — 올바른 증명으로 고쳐 쓰는 것까지가 그 문제다.

9 근거 목록 갱신 — 서식의 몸통과 같은 목록#

1주차 §1.6에서 세 칸으로 시작해 2주차 §1.6에서 네 칸이 된 근거 목록이, 이번 주 서식의 “몸통에서 쓸 수 있는 것”과 같은 목록임을 확인한다. 칸은 그대로 네 개다.

근거

내용

이번 주의 갱신

① 정의

1.1, 1.2, 2.1에 15.1(유리수), 15.2(소수), 15.3(합성수) 추가

“유리수” \(\leftrightarrow\) “\(\frac{a}{b}\) 꼴 존재” 사이를 번역한다

② 닫힘성

정수의 합\(\cdot\)차\(\cdot\)곱은 정수

그대로 — 분자\(\cdot\)분모의 정수 확인에 쓰인다

③ 등식\(\cdot\)대수의 성질

대입\(\cdot\)전개\(\cdot\)묶기\(\cdot\)양변 연산, 그리고 통분

통분이 예제 2.2에서 증명의 몸통이 된다

④ 이미 증명한 명제

1~14주차의 결과 전부

보조정리 인용이라는 정식 이름을 얻는다(§1.5) — 문제 12, 15, 17이 연습 자리다

서식의 “정의, 가정, 대수 법칙, 이미 증명한 정리”와 이 표는 같은 허용 범위의 두 정리 방식이다 — 가정은 오프닝에서 확보되고, ①이 정의, ③이 대수 법칙, ④가 이미 증명한 정리에 대응한다. ②(닫힘성)는 이 과정에서 증명하지 않고 인정하고 쓰는 기성 사실로, ④와 같은 “이미 확보된 명제” 계열이다. 목록 밖의 것(“그림을 보면 명백”, “직관적으로 당연”)은 이번 주에도 근거가 되지 않는다 — 왜 안 되는지는 문제 20에서 언어로 정리한다.

확인 12. 어떤 증명에 다음 세 문장이 나왔다. 각각 허용되는가?

허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) “통분하면 \(x + y = \frac{ad + bc}{bd}\)이다”

(나) “1주차 문제 16에 의해 \(a(a+1)\)은 짝수이다”

(다) “수직선을 그려 보면 명백하므로”

답

(가) 허용 — 근거 ③. 통분은 두 등식을 결합하는 대수 변형이다.

(나) 허용 — 근거 ④, 보조정리 인용. 이렇게 출처(어느 주차의 어느 문제\(\cdot\)예제인지)를

밝히며 인용하는 것이 검증 가능성을 지킨다.

(다) 불허 — 목록 밖이다. 그림은 탐색의 도구이지 근거가 아니다. 그림이 보여 주는

내용을 ①~④의 사슬로 다시 만들어 적어야 근거가 된다.