S6주차 — 선택법: 결론의 “모든”을 만난 순간

내용

S6주차 — 선택법: 결론의 “모든”을 만난 순간#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 결론이 “모든 …”이면 첫 일은 계산이 아니라 선언이다 — 자격만 갖춘 대상 하나를 임의로 잡는 순간, 전칭 명제가 그 하나에 대한 명제로 교체된다.

이 주의 위치: 1학기 20주 과정의 S6주차. S5주차가 결론의 \(\exists\)를 다뤘고 이번 주는 결론의 \(\forall\)를 다룬다. 1권 10주차에서 읽는 법만 배웠던 \(\forall\)가, 1권 27주차(\(\subseteq\) 원소 추적)\(\cdot\)1권 41주차(단사 서식)\(\cdot\)1권 45주차(\(\varepsilon\)-N의 첫 줄)에서 서식으로 외웠던 첫 문장들과 함께 여기서 하나의 이름을 얻는다.

원서 대응: Solow 5장. 양화사 4부작의 둘째 장이며, 주간 루틴 1일차에 원서 5장을 통독한 뒤 이 문서로 온다.

이번 주 목표#

결론 속의 전칭 양화사를 감지한다 — 드러난 것(“모든”, “임의의”, “각각의”)과 숨은 것(\(\subseteq\), 단사, “홀수의 제곱은 홀수다” 같은 무관사 총칭문)까지.
선택법의 절차 네 걸음을 백지에 쓰고, 각 걸음을 빼면 무엇이 무너지는지 말할 수 있다.
치환 검사로 “임의로 잡았다”가 왜 전칭 전체를 처리하는지 설명할 수 있다.
선택법의 반칙 목록 네 가지 — 특정값 대입, 자격 초과 가정, 문자 재사용, 선잡기 — 를 자기 답안에서 검열할 수 있다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (S5주차 복습)#

노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다.

결론 쪽 \(\exists\)의 처리(”…로 두자”)와 가정 쪽 \(\exists\)의 사용(“그런 …를 잡자”)의 차이를 쓰시오 (S5주차 문제 13).
존재 진술의 표준형 3요소(대상 / 자격 / 사건)를 쓰시오.
1권 27주차의 \(A \subseteq B\) 증명 첫 문장을 재현하시오.

이어서 다음 명제의 증명을 시작해 보자. “모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 - 6x + 10 > 0\)이다.” 첫 문장을 무엇으로 쓰는가.

자주 나오는 세 가지 답#

이 자리에서 나오는 답은 대개 다음 세 가지 중 하나다. 셋 다 S1~S5주차를 제대로 익힌 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다.

유형 1 — 값을 몇 개 넣어 확인한다. \(x = 0\)이면 10, \(x = 3\)이면 1, \(x = 10\)이면

50 — 전부 양수이므로 참이라고 적는다. 확인한 세 값에 대해서는 옳고, 명제가 참일 것이라는 정찰로서도 유용하다. 문제는 실수가 무한히 많다는 것이다. 확인하지 않은 나머지 전부는 무엇이 보장하는가. (1권 1주차 문제 18의 \(n^2 + n + 41\)이 39번째까지 성공하고 40번째에서 무너진 것이 이 간격의 표본이다.)

유형 2 — 판별식이나 그래프로 답한다. “판별식이 \(36 - 40 = -4 < 0\)이고 최고차항이

양수이므로 항상 양수”라고 적는다. 결론은 옳고 계산도 옳다. 빠진 것은 “모든 \(x\)에 대해”라는 구절을 처리한 문장이다. 판별식은 이차식이라는 대상에 대해 말할 뿐, 이 증명문 어디에도 \(x\)가 무대에 올라온 줄이 없다. 그래서 이 답은 “무엇에 대한 증명인가”를 되물으면 대답할 문장을 갖고 있지 않다.

유형 3 — 변형만 해 놓고 첫 문장을 못 쓴다. \((x-3)^2 + 1\)까지 변형해 놓고

이것을 어떻게 증명문으로 시작해야 할지 몰라 멈춘다. 계산은 이미 완성되어 있다. 빠진 것은 그 계산 앞에 놓일 한 문장뿐이고, 그 한 문장이 이번 주의 주제다.

개념 — 선택법#

1 전진-후진만으로는 어디서 막히는가#

S1~S5주차의 도구만 가지고 위 명제를 밀어붙여 본다. S3주차의 분석표를 그려 본다.

시도 — 분석표를 그려 보기

명제: 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 - 6x + 10 > 0\)이다.

후진 기록. B: \(x^2 - 6x + 10 > 0\). 핵심 질문: “어떤 실수가 양수임을 어떻게

보이는가?” 답: 제곱과 양수의 합으로 쓴다 (1권 16주차 (W1)). \(\to\) B1:

\(x^2 - 6x + 10\)을 \((\ )^2 + (\text{양수})\) 꼴로 쓴다.

전진 기록. A: …

여기서 멈춘다. A 칸에 적을 것이 없다.

확인 1. A 칸이 비는 이유는 무엇인가. “가정이 없어서”라고 답하기 전에, B라고 적은 문장이 지금 참인지 거짓인지 물을 수 있는 문장인지부터 검사해 보자.

답

B라고 적은 \(x^2 - 6x + 10 > 0\)은 아직 참\(\cdot\)거짓을 물을 수 없는 문장이다.

\(x\)가 무엇인지 정해지지 않았기 때문이다 — 1권 7주차의 열린 문장이다.

열린 문장에는 후진도 전진도 걸리지 않는다. 후진의 사슬은 겉으로는 그려지지만

그 사슬의 각 줄이 무엇에 대한 주장인지가 없다(§0 유형 3의 정체가 이것이다).

필요한 것은 계산이 아니라, \(x\)를 무대에 올리면서 그 \(x\)가 무엇인지 선언하는

첫 문장이다.

이 주 전체의 기준

결론이 “모든 …”이면, 증명의 첫 일은 계산이 아니라 대상 하나를 무대에 올리는 선언이다.

그 선언의 형식과, 하나를 올린 것이 왜 전체를 처리하는가 — 이 둘이 이번 주의 내용이다.

2 전칭 진술의 세 요소 — 사례 표를 채워 보기#

선언의 형식을 정하려면 전칭 진술이 무엇으로 되어 있는지부터 봐야 한다. S5주차에서 존재 진술을 대상 / 자격 / 사건으로 분해했다. 전칭 진술도 같은 세 요소다. 표의 빈칸을 채운다.

명제	대상	자격	사건
모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 - 6x + 10 > 0\)	실수 \(x\)	없음 (실수인 것이 전부)	\(x^2 - 6x + 10 > 0\)
모든 양의 실수 \(x\)에 대해 \(x + \frac1x \ge 2\)	실수 \(x\)	\(\underline{\quad(1)\quad}\)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
모든 홀수 \(n\)에 대해 \(8 \mid (n^2 - 1)\)	정수 \(n\)	\(\underline{\quad(3)\quad}\)	\(\underline{\quad(4)\quad}\)
홀수의 제곱은 홀수이다	정수 \(n\)	\(\underline{\quad(5)\quad}\)	\(\underline{\quad(6)\quad}\)

확인 2. 빈칸 (1)~(6)을 채워 보자. 그리고 넷째 줄에는 “모든”이라는 낱말이 없는데 왜 전칭 진술로 읽는지 한 마디로 적는다.

답

(1) \(x > 0\) (2) \(x + \frac1x \ge 2\) (3) \(n\)은 홀수 (4) \(8 \mid (n^2 - 1)\)

(5) \(n\)은 홀수 (6) \(n^2\)은 홀수.

넷째 줄: 관사 없는 총칭문이기 때문이다. “홀수의 제곱은 홀수이다”는 특정 홀수

하나에 대한 주장이 아니라 홀수 전부에 대한 주장이므로, “모든 홀수 \(n\)에 대해

\(n^2\)은 홀수이다”와 같은 문장이다. 한국어와 영어 모두 이 총칭문에는 양화사

낱말이 나타나지 않는다 — 그래서 눈으로 잡아내야 한다.

확인 3. 낱말 “모든”이 없는데도 전칭인 문장을 세 개 더 찾아 보자. 이미 배운 정의 중에서 찾으면 된다.

답

\(A \subseteq B\) (1권 27주차), “\(f\)는 단사이다” (1권 41주차), “\(a_n \to L\)”

(1권 45주차)의 바깥 \(\forall \varepsilon\). 셋 다 정의 문장 안에 \(\forall\)가

들어 있고, 겉의 기호나 낱말에는 그것이 보이지 않는다.

이 셋의 증명 첫 문장을 1권에서 각각 서식으로 외웠다는 것이 §1.3의 요점이다.

두 가지에 이름을 붙인다. 세 요소로 편 꼴이 전칭 진술의 표준형이고, 낱말 없이 숨어 있는 전칭을 찾는 일이 전칭 감지다. 식이나 절차 자체에 새로운 것은 없다 — 표에서 한 일은 1권 10주차의 양화사 읽기 그대로이고, 새로운 것은 그 구조가 증명의 첫 문장을 지정한다는 점뿐이다.

3 전칭 감지 — 숨은 ∀까지#

§1.2에서 채운 세 요소를 한 줄로 굳히고, 그 줄을 불러내는 신호를 함께 적는다.

백지 암기 대상

전칭 감지

모든 전칭 진술은 다음 표준형으로 정돈된다.

\[ \forall x \in (\text{대상의 범위}) : \quad \text{자격}(x) \Rightarrow \text{사건}(x) \]

감지 신호는 두 갈래다 — 드러난 낱말(“모든”, “임의의”, “각각의”, “…마다”)과,

낱말이 없는 자리(무관사 총칭문, 그리고 \(\subseteq\)\(\cdot\)단사\(\cdot\)수렴처럼 정의 안에 \(\forall\)를 품은 표현).

표준형의 줄은 “모든 대상 \(x\)에 대하여, \(x\)가 자격을 갖추면 사건이 일어난다”로 읽는다. 자격이 없으면 조건문 없이 \(\forall x : \text{사건}(x)\)로 줄여 적는다. 아래 표가 두 갈래의 신호를 편 꼴과 함께 나열한 것이다.

신호	예	편 꼴
드러난 전칭: “모든”, “임의의”, “각각의”, “…마다”	모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 - 6x + 10 > 0\)	\(\forall x \in \mathbb{R} : x^2 - 6x + 10 > 0\)
숨은 전칭 — 무관사 총칭문	홀수의 제곱은 홀수이다	\(\forall n \in \mathbb{Z} : n\) 홀수 \(\Rightarrow n^2\) 홀수
숨은 전칭 — 정의 속 (포함)	\(A \subseteq B\)	\(\forall x : x \in A \Rightarrow x \in B\)
숨은 전칭 — 정의 속 (단사)	\(f\)는 단사이다	\(\forall x_1 \forall x_2 : f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\)
숨은 전칭 — 정의 속 (수렴)	\(a_n \to L\)	\(\forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall n > N : \lvert a_n - L \rvert < \varepsilon\)

확인 4. 위 표의 셋째 줄을 보고, 1권 27주차에서 외운 \(A \subseteq B\) 증명의 첫 문장이 표준형의 어느 요소를 선언하는 문장인지 짚어 보자.

답

“\(x \in A\)라 하자”는 자격을 선언하는 문장이다. 대상은 \(x\), 자격은

\(x \in A\), 사건은 \(x \in B\)이고, 첫 문장이 하는 일은 대상을 무대에 올리면서

그 대상이 자격을 갖췄다고 못 박는 것이다.

1권 27주차에서 이유 없이 서식으로 외웠던 그 첫 문장이, 이번 주에

선택법의 첫 걸음이라는 이름을 얻는다.

4 선택법 — 절차와 해부#

전칭을 증명하는 정공법은 전부 검사가 아니라 대표 하나에 대한 검사다.

백지 암기 대상

선택법 (한 판의 절차)

① 자격을 갖춘 대상 \(x\)를 임의로 잡는다. (“실수 \(x\)를 임의로 잡자.”)

② 사실 목록에 “\(x\)는 자격을 만족한다”를 넣고, 결론을 “이 \(x\)에서 사건이 일어난다”로 교체한다.

③ 교체된 판을 이긴다 — S2\(\cdot\)S3주차의 후진과 전진, 필요하면 다른 기법.

④ \(x\)가 임의였음을 근거로 전칭 결론을 선언한다.

걸음 ②가 실제로 무엇을 하는지는 표로 보는 편이 빠르다. 명제 “모든 양의 실수 \(x\)에 대해 \(x + \frac1x \ge 2\)”에서 걸음 ①을 실행하면 판이 이렇게 바뀐다.

	걸음 ① 이전	걸음 ① 이후
사실 목록	비어 있음	\(x\)는 실수이고 \(x > 0\)
결론	모든 양의 실수 \(x\)에 대해 \(x + \frac1x \ge 2\)	\(x + \frac1x \ge 2\) (무대에 오른 그 \(x\) 하나에 대해)
문장의 종류	전칭 명제	참\(\cdot\)거짓을 물을 수 있는 닫힌 문장

절차 해부. 네 걸음이 각각 다른 일을 한다.

걸음	하는 일	이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가
① 임의로 잡는다	열린 문장을 닫는다 — 이후 모든 줄이 이 \(x\)에 대한 문장이 된다	계산은 있는데 무엇에 대한 계산인지가 없는 글이 된다 (§0 유형 3)
② 자격을 목록에 넣고 결론을 교체한다	전진의 출발 재료를 만든다	전진 칸이 비어 A에서 출발할 수 없다 (§1.1의 막힘)
③ 교체된 판을 이긴다	사건을 실제로 확보한다	선언만 있고 아무것도 보이지 않은 글이 된다
④ 임의성을 근거로 선언한다	대표 하나의 결과를 전체로 옮긴다	글은 여전히 옳지만, 대표 하나의 사실에서 전칭으로 넘어가는 자리가 지면에서 사라져 자기 답안이 반칙을 저질렀는지 점검할 지점이 없어진다 — 무너지는 것은 증명이 아니라 검열이다

넷째 줄은 앞의 세 줄과 기준이 다르다는 데 주의한다. ①~③ 중 하나를 지우면 증명 자체가 무너지지만, ④만 지운 글은 ①~③이 지켜져 있는 한 여전히 옳은 증명이다 — 전칭 결론을 허가하는 것은 마지막 선언 문장이 아니라 논증의 형식이기 때문이다. 그래서 압축된 증명은 ④를 자주 생략한다(§5의 3일차 요령이 그 자리를 찾는 일이다). 실제로 지웠을 때 결론이 무너지는 것은 ④의 문장이 아니라 ①의 낱말 “임의로”이고, 아래의 실험이 그것이다.

걸음 삭제 실험 — ①의 “임의로”를 뺀 경우. 명제 “모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 \ge x\)이다”를 다뤄 본다. “임의로”를 빼고 값을 하나 정해 잡으면 이런 글이 된다.

실수 \(x = 2\)를 잡자. 그러면 \(x^2 = 4\)이고 \(x = 2\)이므로 \(x^2 \ge x\)이다.

따라서 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 \ge x\)이다.

이 결론은 거짓이다. \(x = \frac12\)이면 \(x^2 = \frac14 < \frac12\)이다. 무너진 자리는 마지막 줄이다. 확보된 것은 “\(x = 2\)에서 사건이 일어난다”뿐인데 선언은 “모든 \(x\)에서”라고 적혀 있고, 걸음 ④의 근거인 임의성이 없으므로 그 선언은 근거를 잃는다.

확인 5. 위 실험에서 “임의로”라는 낱말이 실제로 하는 일은 무엇인가. 그리고 이 실험이 §0의 어느 유형과 같은 오류인지 짚어 보자.

답

“임의로”는 이후의 모든 줄에서 자격 밖의 정보를 쓰지 않겠다는 제한을 건다.

\(x = 2\)라고 적는 순간 그 제한이 깨지고, “\(x^2 = 4\)”라는 줄은 \(x\)가 2라는

자격 밖의 정보를 쓴 줄이 된다. 그런 줄이 하나라도 있으면 걸음 ④를 쓸 수 없다.

§0의 유형 1(값 몇 개 확인)과 같은 오류다. 유형 1은 값을 여러 개 넣었고 이

실험은 하나만 넣었을 뿐, 확보한 것이 유한 개라는 점은 같다.

확인 6. 걸음 ②에서 사실 목록에 들어가는 것은 정확히 무엇인가. 명제 “모든 양의 실수 \(x\)에 대해 \(x + \frac1x \ge 2\)”의 경우로 답해 보자. 목록에 들어가지 않는 것도 하나 들어 본다.

답

들어가는 것은 자격뿐이다: “\(x\)는 실수이고 \(x > 0\)이다.”

들어가지 않는 것은 사건 \(x + \frac1x \ge 2\)이다 — 그것은 지금 보여야 할 결론이므로

목록에 넣으면 결론을 가정한 것이 된다 (S3주차 §1.3의 목록 입장 규정).

마찬가지로 \(x \ge 1\)이나 \(x\)가 정수라는 것도 들어가지 않는다. 자격에 없기 때문이다.

5 왜 대표 하나로 충분한가 — 치환 검사#

선택법이 정당한 이유는 완성된 증명문이 다음 검사를 통과하기 때문이다.

치환 검사

완성된 증명문에서 문자 \(x\)를, 자격을 만족하는 아무 구체적 값 \(x_0\)으로 전부 바꿔 읽는다.

모든 줄이 그대로 참이면, 바꿔 읽은 그 글은 \(x_0\)에 대한 완전한 증명이다.

걸음 ①~③을 지킨 증명문은 \(x\)에 대해 자격 외의 어떤 성질도 쓰지 않았으므로, 어떤 \(x_0\)을 넣어도 각 줄의 근거가 그대로 유효하다. 따라서 한 편의 증명문이 자격을 만족하는 모든 값에 대한 증명을 동시에 확보한다. 걸음 ④의 “임의였으므로”는 이 검사를 통과했다는 선언이다.

거꾸로, 자격 밖의 성질을 한 줄이라도 썼다면 그 줄에서 치환이 깨진다. §1.4의 실험이 그 사례다 — “\(x^2 = 4\)”라는 줄은 \(x_0 = 5\)를 넣는 순간 거짓이 된다.

확인 7. 다음 증명문에 치환 검사를 걸어 보자. 자격은 “실수”이고, \(x_0 = -1\)을 넣어 읽는다. 통과하는가.

“실수 \(x\)를 임의로 잡자. \(x^2 - 6x + 10 = (x-3)^2 + 1\)이고 \((x-3)^2 \ge 0\)이므로 \((x-3)^2 + 1 \ge 1 > 0\)이다.”

답

통과한다. \(x_0 = -1\)을 넣으면 “\((-1)^2 - 6(-1) + 10 = (-1-3)^2 + 1\)”, 곧

\(1 + 6 + 10 = 16 + 1 = 17\)이고 \(17 \ge 1 > 0\) — 모든 줄이 참이다.

\(x_0 = 100\)이나 \(x_0 = \sqrt2\)를 넣어도 같다. 증명문의 어느 줄도 \(x\)가 특정 값이라는

정보를 쓰지 않았고, 쓴 것은 “\(x\)는 실수”라는 자격과 (W1)뿐이기 때문이다.

6 반칙 목록#

치환 검사를 깨뜨리는 답안의 유형은 네 가지로 정리된다. 자기 답안을 검열할 때 이 네 줄을 훑는다.

백지 암기 대상

반칙 목록

특정값 대입 \(\cdot\) 자격 초과 가정 \(\cdot\) 문자 재사용 \(\cdot\) 선잡기 — 이 넷이 치환 검사를 깨뜨린다.

반칙	예	무엇이 무너지는가
특정값 대입	“\(x = 1\)일 때 참, \(x = 2\)일 때 참, 그러므로 모든 \(x\)에서 참”	확보된 것이 유한 개뿐이라 걸음 ④의 근거가 없다 (§1.4 삭제 실험)
자격 초과 가정	“임의의 실수 \(x\)를 잡자. \(x > 0\)이므로 …”	자격에 없는 성질을 목록에 넣었으므로 음수 \(x_0\)에서 치환이 깨진다
문자 재사용	이미 쓰이고 있는 문자 \(k\)를 다시 “임의의 \(k\)를 잡자”로 쓴다	서로 다른 두 대상이 표기에 의해 같은 것으로 강제된다 (1권 1주차의 문자 분리와 같은 오류)
선잡기	사건 쪽에 나오는 존재 대상을 먼저 정한 뒤에 \(x\)를 잡는다	뒤에 정해질 것이 앞의 것에 의존할 수 없게 되어 명제가 다른 명제로 바뀐다 (S8주차의 주제)

확인 8. 다음 두 문장 중 반칙은 어느 쪽인가. 반칙이 아닌 쪽은 왜 합법인가.

(가) “임의의 홀수 \(n\)을 잡자. 그러면 \(n = 2k + 1\)인 정수 \(k\)가 존재한다.”

(나) “임의의 정수 \(n\)을 잡자. 그러면 \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다.”

답

(나)가 자격 초과다. 자격은 “정수”뿐인데 짝수라는 성질을 얹었다 — \(n_0 = 3\)을

넣으면 치환이 깨진다.

(가)는 합법이다. “\(n = 2k+1\)인 정수 \(k\)가 존재한다”는 자격(“홀수”)에서

정의(근거 ①)로 따라 나온 문장이기 때문이다.

구분 기준은 하나다: 그 문장이 자격에서 따라 나오는가. 따라 나오면 목록에

들어갈 자격이 있고, 아니면 반칙이다.

7 네 칸 표 — 양화사가 어디 있느냐가 기법을 정한다#

S5주차와 이번 주, 그리고 다음 두 주를 한 장에 놓으면 다음과 같다.

양화사가 있는 곳	기법	첫 문장	값을 고르는 쪽
결론의 \(\forall\)	선택법 (이번 주)	“자격을 갖춘 …를 임의로 잡자”	상대가 고른 셈으로 친다
결론의 \(\exists\)	구성법 (S5주차)	“… 로 두자”	내가 고른다
가정의 \(\exists\)	전진 한 걸음	“그런 …를 잡자”	이미 정해져 있고 이름만 받는다
가정의 \(\forall\)	특수화 (S7주차)	“…에 적용하면”	내가 고른다

같은 기호 \(\forall\)라도 결론에 있으면 의무이고 가정에 있으면 재료다. 이 표에서 칸을 착각하는 것이 §1.6의 반칙 중 상당수의 정체다 — 결론의 \(\forall\)를 결론의 \(\exists\)처럼 다뤄 값을 하나 정해 버리면 곧바로 특정값 대입이 된다.

확인 9. 명제 “모든 실수 \(x\)에 대해, \(x > 0\)이면 \(xy = 1\)인 실수 \(y\)가 존재한다”에는 전칭과 존재가 하나씩 있다. 각각 표의 어느 칸이고, 증명의 첫 두 문장은 어떤 꼴이 되는가.

답

바깥의 \(\forall x\)는 결론의 \(\forall\) — 선택법. 안쪽의 “존재한다”는 결론의 \(\exists\) —

구성법. 첫 두 문장은 “실수 \(x\)를 임의로 잡고, \(x > 0\)이라 하자.”와

“\(y = \frac1x\)로 두자.”의 꼴이 된다.

순서가 정해져 있다는 점에 주의한다. \(x\)를 잡기 전에 증인을 정할 수는 없다 —

증인 \(\frac1x\)가 \(x\)의 식이고, 무대에 \(x\)가 없으면 그 식을 적을 자리조차 없기

때문이다. 순서를 뒤집는 것이 반칙 목록의 선잡기다.

8 근거 목록 갱신#

근거	이번 주에 추가되는 것	이번 주에는 이렇게 쓴다
① 정의	변화 없음	자격을 등식으로 푸는 걸음(홀수 \(\to\) \(2k+1\))에서 계속 쓴다
② 닫힘성	변화 없음	“정수의 곱은 정수이므로”를 별도 설명 없이 쓴다
③ 등식의 성질	변화 없음	교체된 판 안에서 전진 걸음의 대부분이 여기서 나온다
④ 이미 증명한 명제	1권 16주차 (W1)~(W6), 1권 9주차의 드모르간 법칙, S3주차 문제 18(\(a^2 + ab + b^2 \ge 0\)), S5주차 문제 3(a)(\(n^2 + n\)은 짝수)	“(W1)에 의해”, “S3주차 문제 18에 의해”로 한 줄에 끝낸다

목록의 칸이 늘지는 않는다. 이번 주가 늘리는 것은 근거가 아니라 첫 문장의 형식이다.