C1주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

내용

C1주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 전달을 함께 고치기#

세 예제는 지지대를 하나씩 뺀다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하고, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한 뒤 산문으로 확인한다.

예제 2.1 — 나쁜 글에서 좋은 글로: 같은 증명, 다른 전달#

과제. “홀수의 제곱은 홀수이다”의 두 답안을 비교하고, 답안 A를 답안 B로 고쳐 쓴다.

답안 A (수학은 옳고 전달이 무너진 초안).

$n$ 홀수. $n = 2k+1$. $n^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1$. $\therefore$ $n^2$ 홀수. $\forall$ 홀수 ✓.

설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 1권 1주차 이래 모든 증명 설계가 그랬듯, 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 먼저 정한다. 이번 주에는 그 두 칸에 수학이 아니라 전달이 들어간다.

	말	설계로의 번역
가정 (주어진 것)	답안 A	다섯 개의 단편이 담은 사실 목록 — 이 목록은 보존한다
목표 (만들 것)	동료가 각 줄의 근거를 복원할 수 있는 산문	$\underline{\quad(?)\quad}$ 를 전부 통과하는 완결 문장 열

확인 11. 목표 칸의 빈칸을 채워 보자. 답안 B가 통과해야 하는 점검 항목은 어느 목록들인가.

답

1권 20주차 글쓰기 6조, 기호 사용 10원칙, 수식 표시법 3규칙. 세 목록을 전부

통과해야 한다. 그리고 출발점 칸이 “보존한다”인 것이 이번 과제의 성격을 정한다 —

답안 A의 수학은 옳으므로, 고칠 대상은 오직 전달이다.

1단계 — 첫 문장을 낱말로 연다. 답안 A의 첫 단편 “$n$ 홀수”는 기호로 시작하고 서술어가 없다.

확인 12. 첫 문장을 완성해 보자: “$\underline{\qquad}$ $n$이 $\underline{\quad}$라 하자.”

답

“정수 $n$이 홀수라 하자.” 앞에 “정수”라는 낱말이 붙어 원칙 1을 만족하고, 동시에

$n$의 자격이 밝혀져 원칙 8도 만족한다. 두 원칙이 한 낱말로 함께 해결된다.

2단계 — 새로 등장하는 문자의 자격을 밝힌다. 답안 A의 둘째 단편 “$n = 2k+1$”에서 $k$가 처음 나타난다.

확인 13. 둘째 문장을 완성해 보자: “홀수의 정의에 의해, $\underline{\qquad}$ $k$에 대해 $n = 2k+1$이다.”

답

“어떤 정수 $k$에 대해”. $k$의 범위를 정수로 고정하는 선언이다(원칙 8). §1.4의

삭제 실험 3에서 본 대로, 이 낱말이 없으면 같은 논법으로 모든 정수가 홀수가 된다.

3단계 — 계산의 배치를 정한다. 답안 A의 셋째 단편은 등호 두 개로 이어진 계산이다.

확인 14. 이 계산을 본문에 둘 것인가 표시로 올릴 것인가. 판단의 근거가 되는 규칙 번호까지 적어 보자.

답

표시로 올린다 — 표시법 규칙 1(등호로 이어진 여러 항의 계산). 등호가 둘뿐이라

경계에 가깝지만, 뒤에서 $2k^2 + 2k$를 다시 지목해야 하므로 표시로 떼어 두는

편이 대조가 쉽다. 표시로 올린 뒤에는 규칙 2에 따라 등호를 맞춘다.

4단계 — 괄호 안이 정수임을 낱말로 확인한다. 답안 A는 이 확인을 통째로 생략했다. $2(2k^2+2k)+1$이 홀수이려면 괄호 안이 정수여야 하고, 그 근거는 닫힘성(근거 ②)이다.

5단계 — 결론을 완결 문장으로 닫는다. 답안 A의 “$\therefore$ $n^2$ 홀수”는 접속 기호와 조각으로 되어 있다(원칙 3, 원칙 6 위반). 마지막의 “$\forall$ 홀수 ✓”도 마찬가지다 — “모든 홀수에 대해 성립한다”는 주장은 첫 문장에서 $n$을 임의의 홀수로 잡은 것으로 이미 확보되었으므로, 다시 적을 필요가 없다.

확인 15. 마지막 문장을 완성해 보자: “$2k^2 + 2k$는 $\underline{\qquad}$이므로, $n^2$은 $\underline{\qquad}$.”

답

“$2k^2 + 2k$는 정수의 곱과 합이므로 정수이고, 따라서 $n^2$은 홀수이다.

$\blacksquare$” 근거 ②를 낱말로 적었고, 6조 6항에 따라 종료 표시를 달았다.

완성본 — 답안 B. 다섯 걸음을 이어 붙이면 다음 증명이 된다.

증명. 정수 $n$이 홀수라 하자. 홀수의 정의에 의해, 어떤 정수 $k$에 대해 $n = 2k + 1$이다. 그러면 다음이 성립한다.

\[ n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 \]

$2k^2 + 2k$는 정수의 곱과 합이므로 정수이다. 따라서 $n^2$은 홀수이다. $\blacksquare$

손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄	왜 이 줄을 쓰는가?
증명. 정수 $n$이 홀수라 하자.	낱말로 문장을 열고(원칙 1) $n$의 자격을 밝힌다(원칙 8). “증명.”은 6조 6항의 개시 표시다.
홀수의 정의에 의해, 어떤 정수 $k$에 대해 $n = 2k + 1$이다.	근거를 낱말로 앞세우고(근거 ①), 새 문자 $k$의 범위를 그 자리에서 고정한다(원칙 8).
그러면 다음이 성립한다. (표시된 계산 한 줄)	등호로 이어진 계산을 표시로 떼어 낸다(규칙 1). 표시 앞에 예고 문장을 두어 본문 문장이 끊기지 않게 한다.
$2k^2 + 2k$는 정수의 곱과 합이므로 정수이다.	닫힘성을 낱말로 적는다(근거 ②, 6조 5항$\cdot$원칙 6). 답안 A가 통째로 생략한 줄이다.
따라서 $n^2$은 홀수이다. $\blacksquare$	결론을 완결 문장으로 닫는다(원칙 6). $\blacksquare$가 종료 표시다(6조 6항).

두 답안의 대조. 무엇이 어떻게 달라졌는지 항목별로 정리하면 다음과 같다.

항목	답안 A의 위반	답안 B의 준수
문장 시작	“$n$ 홀수” — 기호로 시작 (원칙 1)	“정수 $n$이 …” — 낱말로
완결 문장	다섯 개의 조각 — 서술어가 없다 (원칙 6)	다섯 개의 완결된 서술문
기호 소개	$k$의 자격이 없다 (원칙 8)	“어떤 정수 $k$에 대해”
논리 기호	$\therefore$ 와 $\forall$ 를 산문에 썼다 (원칙 3)	“따라서”, “이므로”로 풀었다
수식 배치	계산을 본문에 눌러 넣었다 (규칙 1)	계산을 표시로 떼어 냈다
근거	닫힘성 확인이 없다 (근거 ②)	“정수의 곱과 합이므로 정수”

두 답안의 수학은 같다. 같은 $n = 2k+1$, 같은 전개, 같은 결론이다. 다른 것은 전달뿐이고, 그 차이는 독자가 감당해야 할 복원 작업의 양으로 나타난다 — 답안 A는 다섯 개의 조각을 문장으로 재구성하는 일을 독자에게 넘기고, 답안 B는 넘기지 않는다.

예제 2.2 — 등호 정렬과 줄바꿈#

과제. 정수 $n$과 정수 $k$가 $n = 2k + 1$을 만족한다고 하자. $n^3 + 3n^2 - n + 4$를 $k$로 전개해, 이 값이 홀수임을 보이는 표시를 작성한다.

이번에는 설계만 함께 하고, 본문은 완성본으로 본다.

확인 16. 설계표를 채워 보자. 출발점: 가정이 주는 등식은 $n = \underline{\quad}$이고, 여기서 $k$의 자격은 $\underline{\quad}$이다. 도착점: 홀수임을 보이려면 마지막 줄이 $\underline{\qquad}$ 꼴이어야 한다. 배치: 전개가 $\underline{\quad}$줄이므로 표시법 규칙 $\underline{\quad}$에 따라 표시로 올린다.

답

$n = 2k+1$이고 $k$는 정수다 — 이 자격이 출발점에 없으면 마지막 줄의 괄호

안이 정수라는 결론을 낼 수 없다(원칙 8). / 마지막 줄은 $2 \times (\text{정수}) + 1$

꼴 / 전개가 네 줄이므로 규칙 1에 따라 표시로 올리고, 규칙 2에 따라 등호를 세로로

맞춘다.

설계에서 배치가 함께 정해지는 것이 이번 주의 새로운 점이다 — 1학기까지는

출발점과 도착점만 정하면 됐다.

완성본. 정수 $n$이 홀수라 하자. 홀수의 정의에 의해, 어떤 정수 $k$에 대해 $n = 2k + 1$이다. 그러면 다음이 성립한다.

\[\begin{split} \begin{aligned}\begin{aligned} n^3 + 3n^2 - n + 4 &= (2k+1)^3 + 3(2k+1)^2 - (2k+1) + 4 \\ &= (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) + 3(4k^2 + 4k + 1) - 2k - 1 + 4 \\ &= 8k^3 + 24k^2 + 16k + 7 \\ &= 2(4k^3 + 12k^2 + 8k + 3) + 1 \end{aligned}\end{aligned} \end{split}\]

$k$가 정수이므로 $4k^3 + 12k^2 + 8k + 3$은 정수의 곱과 합으로서 정수이고, 따라서 이 값은 홀수이다.

줄별 검산. 표시로 올린 덕에 줄마다 독립적으로 검사할 수 있다.

걸음	검산	왜 이 줄이 필요한가
$(2k+1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1$	이항 전개 ✓	둘째 줄의 첫 괄호
$3(2k+1)^2 = 3(4k^2+4k+1) = 12k^2 + 12k + 3$	✓	둘째 줄의 둘째 항
계수 합산 $8k^3 + (12+12)k^2 + (6+12-2)k + (1+3-1+4)$	$8k^3 + 24k^2 + 16k + 7$ ✓	셋째 줄 — 정리
$2(4k^3+12k^2+8k+3) = 8k^3+24k^2+16k+6$, 여기에 $+1$	$= 8k^3+24k^2+16k+7$ ✓	넷째 줄 — 홀수의 정의 꼴

이 계산을 §1.1의 답안 P처럼 본문 한 줄에 눌러 넣으면 위 네 검산 중 어느 것도 눈으로 수행되지 않는다. 배치가 검사 가능성을 만든다.

예제 2.3 — 진단: 흔한 전달 오류 여섯 종#

과제. 다음 여섯 조각 각각에서 위반한 원칙을 지목하고 고쳐 쓴다.

“$\sqrt2$는 무리수이다”를 문장의 첫머리에 기호로 시작해 적은 경우
“모든 소수 $> 2$는 홀수”
“정수 $n$이 홀수이므로 $n \equiv 1$ 또는 $3 \pmod 4$”
“$n = 2k$” ($k$에 대한 언급 없음)
“정리: 모든 홀수 $t$는 $2$로 나누어떨어지지 않는다”
“$a \equiv b \pmod n$, $c \equiv q \pmod n$”

이번에는 설계부터 스스로 해 보자.

확인 17. 진단의 순서를 세 걸음으로 정해 보자. 여섯 조각을 아무 순서로나 훑는 대신, 무엇을 먼저 확인하고 무엇을 나중에 확인할 것인가.

답

① 수학이 옳은지 먼저 본다 — 여섯 조각 모두 수학적 오류는 없다. 따라서 고칠

대상이 전달로 확정된다. ② 문장 층(원칙 1$\cdot$2$\cdot$4$\cdot$6)을 먼저 잡는다. 문장이

완결되지 않으면 나머지 판정이 불가능하기 때문이다. ③ 기호 선택 층(원칙 3$\cdot$5$\cdot$9$\cdot$10)과

진술 설계 층(원칙 7$\cdot$8)을 본다. 두 층은 문장이 완결된 뒤에야 판정할 수 있다.

진단과 수정. 여섯 조각을 순서대로 처리한다.

첫째 조각은 원칙 1 위반이다. 문장이 수식으로 시작하면 앞 문장의 마침표와 붙어 읽히므로, 낱말을 앞에 세워 “수 $\sqrt2$는 무리수이다”로 고친다.

둘째 조각은 원칙 6 위반이다. “$> 2$”가 서술어 자리에 앉아 문장이 조각으로 남았고, §1.4의 삭제 실험 2에서 본 것과 같은 두 갈래 독해가 생긴다. “$2$보다 큰 모든 소수는 홀수이다”로 고친다.

셋째 조각도 원칙 6 위반이다. “또는 $3$”에는 좌변도 법도 붙어 있지 않아 무엇이 $3$과 합동이라는 것인지 문장이 말하지 않는다. “정수 $n$이 홀수이므로 $n \equiv 1 \pmod 4$ 또는 $n \equiv 3 \pmod 4$이다”로 고친다.

넷째 조각은 원칙 8 위반이다. $k$가 어디서 온 문자인지 선언이 없으므로 범위가 열려 있고, 삭제 실험 3의 붕괴가 그대로 재연된다. “어떤 정수 $k$에 대해 $n = 2k$이다”로 고친다.

다섯째 조각은 원칙 7 위반이다. 낱말 “홀수”가 $t$의 자리를 그대로 대신할 수 있어 그 이름이 아무 일도 하지 않으므로 지운다 — “정리: 모든 홀수는 $2$로 나누어떨어지지 않는다”. 증명 안에서 홀수 하나를 지목해야 할 때 그 자리에서 이름을 도입한다.

여섯째 조각은 원칙 10 위반이다. 앞 합동식의 $a$와 $b$가 짝을 이루므로 뒤 합동식의 두 문자도 짝을 이루어야 한다. “$a \equiv b \pmod n$, $c \equiv d \pmod n$”으로 고친다.

여섯 조각의 수학은 모두 옳았다. 그럼에도 이런 위반이 쌓이면 독자는 문장마다 복원 작업을 하게 되고, 복원 비용이 어느 선을 넘으면 근거 추적을 중단한다. 전달 오류의 실제 대가는 이 중단이다.

관찰 — 같은 뼈대#

세 예제는 소재가 다르지만 걸음의 배치가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

걸음	예제 2.1	예제 2.2	예제 2.3
수학 확인	답안 A의 계산은 옳다	전개와 계수는 옳다	$\underline{\quad(1)\quad}$
위반 지목	원칙 1$\cdot$3$\cdot$6$\cdot$8, 규칙 1	$\underline{\quad(2)\quad}$	원칙 1$\cdot$6$\cdot$7$\cdot$8$\cdot$10
배치 결정	계산을 표시로	네 줄을 표시로, 등호 정렬	$\underline{\quad(3)\quad}$
산문 완성	답안 B 다섯 문장	표시 앞뒤의 두 문장	여섯 개의 수정문

확인 18. 빈칸 (1)~(3)을 채워 보자.

답

(1) 여섯 조각 모두 수학적 오류가 없다. (2) 초안에 해당하는 문장이 없으므로

배치가 판정 대상이다 — 지목할 기존 문장 대신 규칙 1$\cdot$2를 어떻게 적용할지가

걸린다. 다만 완성본의 첫 문장에서 $k$의 자격을 밝히는 원칙 8은 여기서도 그대로

걸린다. (3) 여섯 조각이 모두 짧은 식이므로 본문에 그대로 둔다(규칙 1의 반대편

판정).

확인 19. 세 예제에서 공통으로 반복된 순서를 세 걸음으로 적어 보자.

답

① 수학을 먼저 확인해 고칠 대상을 전달로 확정한다 $\to$ ② 위반을 원칙$\cdot$규칙 번호로

지목한다 $\to$ ③ 배치를 정한 뒤 완결 문장으로 다시 쓴다.

순서가 뒤바뀌면 안 된다. 수학에 오류가 있는 답안은 전달을 고치는 대상이 아니라

다시 증명해야 하는 대상이고(문제 15가 그 경우다), 배치를 정하기 전에 문장을

쓰면 표시로 올려야 할 계산을 본문에 쓴 뒤 다시 옮기게 된다.

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

백지 암기 대상

전달 교정의 3단 뼈대

① 수학 확인 — 초안이 담은 사실을 목록으로 적고 오류가 있는지 판정한다(있으면 교정이 아니라 재증명이다) $\to$ ② 위반 지목 — 6조$\cdot$10원칙$\cdot$표시법 3규칙의 번호로 위반 자리를 적는다 $\to$ ③ 배치와 재작성 — 어느 식을 표시로 올릴지 정한 뒤 완결 문장으로 다시 쓴다.

이 뼈대는 C5주차의 증명 평가(제출된 증명을 채점하는 훈련)와 C9주차에서 그대로 쓰인다. 바뀌는 것은 ①에서 판정할 수학의 난도뿐이다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6에 있다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다.

훈련 1 ●○○ — 원칙 번호와 수식 빈칸#

초안. 다음 답안의 전달 오류를 원칙 번호로 지목하고 고친다.

“$n$ even. so $n=2k$. then $\forall$ such $n$, $n^2 = 4k^2 \Rightarrow n^2$ even.”

“$n$ even”으로 문장을 시작했다 — 원칙 $\underline{\quad(1)\quad}$ 위반.
$k$의 자격을 밝히지 않았다 — 원칙 $\underline{\quad(2)\quad}$ 위반.
$\forall$와 $\Rightarrow$를 산문에 썼다 — 원칙 $\underline{\quad(3)\quad}$ 위반.
수정본: “정수 $n$이 $\underline{\quad(4)\quad}$라 하자. 그러면 어떤 정수 $k$에 대해

$n = 2k$이다. 따라서 $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$이고, $2k^2$이 정수이므로 $n^2$은 $\underline{\quad(5)\quad}$이다.”

훈련 2 ●●○ — 위반과 근거를 함께#

이번에는 배치 판정과 근거 문장도 빈칸이다.

초안.

“$m$ 짝수. $m = 2k$. $m^2 + 2m = 4k^2 + 4k = 4(k^2+k)$. $\therefore$ 4의 배수.”

첫 조각이 기호로 시작하고 서술어가 없다 — 원칙 $\underline{\quad(1)\quad}$ 위반.
$k$가 선언 없이 등장한다 — 원칙 $\underline{\quad(2)\quad}$ 위반.
$\therefore$ 를 접속사로 썼다 — 원칙 $\underline{\quad(3)\quad}$ 위반.
등호 두 개로 이어진 계산이 본문에 눌려 있다 — 표시법 규칙 $\underline{\quad(4)\quad}$ 위반.
수정본의 첫 두 문장: “정수 $m$이 짝수라 하자. 짝수의 정의에 의해, 어떤 정수 $k$에 대해 $m = \underline{\quad(5)\quad}$이다. 그러면 다음이 성립한다.”

수정본의 표시는 다음과 같다.

\[ m^2 + 2m = 4k^2 + 4k = 4(\underline{\quad(6)\quad}) \]

이어지는 문장은 이렇게 닫는다 — “위 (6)의 괄호 안은 $\underline{\quad(7)\quad}$이므로 정수이고, 따라서 $m^2 + 2m$은 4의 배수이다. $\blacksquare$”

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

이번에는 3단 뼈대의 각 칸을 통째로 채운다.

초안.

“thm: $\forall$ 정수 $n$, $n$ odd $\Rightarrow$ $n^2-1$ 4의 배수. pf: $n=2a+1$ $\Rightarrow$ $n^2-1 = 4a^2+4a = 4(a^2+a)$ $\Rightarrow$ done.”

① 수학 확인: $\underline{\quad(1)\quad}$
② 위반 지목: $\underline{\quad(2)\quad}$
③ 배치 결정: $\underline{\quad(3)\quad}$
④ 완성 산문: $\underline{\quad(4)\quad}$

(이 훈련이 문제 15$\cdot$18의 예행연습이다.)

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 접근까지만 읽고 다시 시도한다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. 이번 주의 근거는 번호다. “이 문장은 어색하다”는 0점이고, “이 문장은 원칙 6 위반이다 — 관계 기호가 서술어 자리에 있어 문장이 조각으로 남았다”가 만점이다. 교정 문제의 제출물은 두 가지다: ① 위반 목록(원칙 번호와 자리) ② 수정본 전문. 지적만 하고 수정본을 쓰지 않으면 절반만 제출한 것이고, 수정본만 쓰고 번호를 달지 않으면 무엇을 고쳤는지 검사할 수 없다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. [백지] 소통의 3목표, 기호 10원칙, 수식 표시법 3규칙(표시 여부 / 등호 정렬 / 줄바꿈 위치)을 쓰시오.

힌트

10원칙을 한 줄씩 순서대로 떠올리려 하면 중간에서 끊긴다. 세 묶음으로 나눠

묶음 이름부터 세운다: 문장 층(1$\cdot$2$\cdot$4$\cdot$6), 기호 선택 층(3$\cdot$5$\cdot$9$\cdot$10), 진술 설계

층(7$\cdot$8). 묶음이 서면 그 안의 항목은 따라 나온다.

2. 다음 문장의 위반 원칙을 지목하고 고치시오. (a) “$2^{31} - 1$은 소수이다”를 기호로 시작하도록 적은 문장. (b) “$n \ge 2$는 정수이면 $n$은 소수 또는 합성수.” (c) “$x^2 = 4$이므로 $x = 2$ 또는 $-2$.”

힌트

세 문장 모두 수학은 옳다. 각 문장을 소리 내어 낱말로 읽어 보고, 읽다가 문법이

어긋나는 자리를 짚는다. (a)는 첫 글자, (b)는 서술어 자리, (c)는 “또는” 뒤가

그 자리다.

3. 예제 2.1의 답안 A를 답안 B로 고쳐 쓰시오 (전 원칙 준수).

힌트

답안 A의 다섯 조각을 먼저 사실 목록으로 옮겨 적는다. 그러면 고칠 것이 사실이

아니라 문장임이 눈에 보인다. 조각마다 빠진 것은 서술어, 문자 소개, 배치 셋

중 하나다.

4. §3의 빈칸 사다리 훈련 1~3을 백지에서 완성하시오.

힌트

훈련 3이 막히면 §2 관찰의 3단 뼈대를 먼저 적고, 네 칸을 그 뼈대에 대응시킨다.

초안의 수학이 옳은지부터 판정하는 것이 ①이다.

5. 예제 2.2의 표시를 백지에서 재현하고 등호 정렬$\cdot$홀수 정의 꼴 마무리를 확인하시오.

힌트

재현이 막히는 자리는 대개 셋째 줄의 계수 정리다. $k^2$의 계수는 $12 + 12$,

$k$의 계수는 $6 + 12 - 2$, 상수항은 $1 + 3 - 1 + 4$로 따로 세어 적는다.

6. “언 기호(frozen symbol)”란 무엇인지 설명하고, $m, n$(정수), $A, B$(집합), $f$(함수), $x, y$(실수)의 관례를 어긴 예를 각각 하나씩 만드시오.

힌트

관례를 어기는 가장 빠른 방법은 문자를 서로 맞바꾸는 것이다. 정수 자리에 $x$를,

실수 자리에 $n$을, 집합 자리에 $f$를 넣어 보고, 그 문장을 처음 읽는 사람이

무엇을 잘못 기대하게 되는지 한 줄로 적는다.

표준 ●●○#

7. 다음 증명의 전달을 전면 개선하시오 (수학은 유지, 원칙 위반을 모두 수정).

“$a, b$ 유리수. $a = p/q$, $b = r/s$. $a + b = (ps + qr)/(qs)$. $ps+qr, qs$ 정수, $qs \neq 0$. $\Rightarrow a + b$ 유리수. $\blacksquare$”

힌트

위반 목록을 먼저 만든다. 그리고 원칙 8을 적용할 때 $p, q, r, s$ 넷의 자격을

한꺼번에 선언해야 한다 — 정수라는 것만으로는 부족하고, 분모가 될 두 문자에는

0이 아니라는 조건이 함께 붙는다. 그 조건이 마지막 줄 $qs \neq 0$의 근거다.

8. 표시로 올려야 하는 경우와 본문에 두는 것이 나은 경우를 각각 예로 판정하시오: (a) “$x + 1$” (b) “$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}2$의 귀납 단계 계산 4줄” (c) “$a^2 \ge 0$” (d) “이차방정식 근의 공식 유도 6줄”. 각각 표시/본문 중 무엇인지 + 이유.

힌트

판정 기준은 둘이다 — 식이 몇 줄에 걸치는가(규칙 1), 그리고 뒤에서 그 식을 다시

인용할 것인가(부칙). 첫 기준으로 (a)(b)(d)가 갈리고, (c)는 둘째 기준이 판정을

뒤집을 수 있는 경계 사례다.

9. 원칙 6(단어$\cdot$기호 혼용)의 위반 5개를 만들고 각각 고치시오 (예: “$\ge$”를 서술어로 쓴 경우, “또는 3”처럼 기호 생략 등).

힌트

위반을 만드는 자리는 네 곳으로 정해져 있다: 관계 기호를 서술어로 쓰는 자리,

등식의 좌변을 생략하는 자리, 논리 접속을 기호로 대신하는 자리, 수량 형용사를

기호로 적는 자리. 네 자리에서 하나씩 만들고 다섯째는 앞의 조합으로 만든다.

10. 다음 정리 진술에서 불필요한 기호를 제거하시오 (원칙 7). (a) “정리: 모든 짝수 정수 $n$의 제곱 $n^2$은 4의 배수이다.” (b) “정리: 임의의 집합 $A$에 대해 $A \subseteq A$이다.” — 각각 기호가 정말 불필요한지 판단(반례: 기호가 진술에 필수인 경우도 있음).

힌트

판정 기준은 “몇 번 나오는가”가 아니라 “그 이름이 일을 하는가”다. 문자를 지우고

낱말로만 진술해 본 뒤, 읽기가 나아졌는지 나빠졌는지로 판정한다. 나빠지는

사례를 하나 만들어 두면 판정 기준이 선명해진다.

11. 줄바꿈 규칙 실습: 긴 식 “$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$”을 본문에서 두 줄로 쪼갤 때 올바른 쪼갬과 틀린 쪼갬을 각각 쓰고, 왜 첫 줄이 “$+$”로 끝나야 하는지 설명하시오.

힌트

틀린 쪼갬을 먼저 적고, 그 첫 줄만 가리고 읽어 본다. 그 자체로 완결된 등식으로

읽히는지가 판정이다. 확인 8에서 한 번 다뤘다.

12. 나선형 쓰기(spiral) 실습: “$\sqrt2$가 무리수임”을 증명하는 소논문을 쓴다고 할 때, 처음 계획에서 빠뜨렸다가 나중에 “앞에 넣었어야 했다”고 깨달을 만한 항목(정의$\cdot$보조정리$\cdot$예제) 세 개를 예상하시오 (예: 유리수의 기약분수 표현, “$a^2$ 짝수 $\Rightarrow$ $a$ 짝수” 보조정리).

힌트

본증명을 머릿속으로 한 번 끝까지 써 보고, 멈칫하는 자리를 표시한다. 멈칫하는

자리마다 “여기서 인용한 것이 앞에 세워져 있는가”를 묻는다. 결론 문장에서

쓰는 용어가 정의되어 있는지도 함께 본다.

13. 독자 의식 실습: 같은 명제 “$A \cup B = B \iff A \subseteq B$”를 (a) 이번 학기 동료 학생용 (b) 증명을 처음 배우는 사람용으로 각각 도입 문장을 다르게 쓰시오 — 독자에 따라 무엇을 더 설명해야 하는지.

힌트

두 도입 문장의 차이는 길이가 아니라 전제할 수 있는 것의 목록이다. 목록을

먼저 두 줄로 적는다 — 동료가 이미 아는 것, 초학자가 아직 모르는 것. 그 차이가

그대로 (b)에 추가될 문장이 된다.

14. 1권 20주차 6조와 Chartrand 10원칙을 대응표로 만드시오 — 어느 원칙이 6조의 어느 조항을 확장/세분화하는가 (예: 6조의 “문자 소개” $\leftrightarrow$ 원칙 8, “기호로 시작 금지” $\leftrightarrow$ 원칙 1).

힌트

여섯 조항을 왼쪽 열에 두고 오른쪽에 원칙 번호를 붙인다. 대응이 없는 칸이

양쪽에 하나씩 생기는데, 그 두 칸이 이번 주가 실제로 추가한 것이다.

도전 ●●●#

이 문제가 요구하는 판정 — 교정인가 재증명인가

§2 관찰의 3단 뼈대는 ①에서 수학이 옳은지 먼저 판정한다. 옳으면 전달 교정이고, 틀렸으면 교정 대상이 아니라 재증명 대상이다. 다음 문제의 초안은 뒤쪽이다 — 전달도 무너져 있지만 그 전에 경우 하나가 통째로 빠져 있다. 빠진 경우를 메우는 도구는 S15주차의 경우법이고, 그 채점 기준은 두 가지다: ① 경우들이 전체를 빠짐없이 덮는가 ② 각 경우가 각각 완결되는가.

15. (전면 재작성) 다음 “증명”을 소통 관점에서 전면 재작성하시오. 수학적 결함도 있으면 함께 수정.

“claim: $n^2+n$ even $\forall n$. pf: $n=2k \Rightarrow n^2+n = 4k^2+2k$ even. done.”

(전달 오류 + 수학 결함(홀수 케이스 누락 — S15주차 경우법)을 모두 잡아 완전한 답안으로.)

힌트

먼저 초안이 실제로 다룬 $n$이 어떤 $n$인지 적어 본다. “$n = 2k$”라고 놓은 순간

짝수만 다룬 것이 된다. 홀수 $n$에 대해 같은 계산을 해 보면 답이 나오고, 두

경우를 합치는 문장이 마지막에 필요하다. 경우를 나누지 않는 별해도 있다 —

$n^2 + n$을 인수분해해 보자.

이 문제가 쓰는 도구 — 주석 열이 붙은 정렬 표시

표시된 계산에서 각 줄의 근거를 오른쪽에 적으면 검사가 훨씬 빨라진다. 정렬 표시에서 등호를 맞추는 열 뒤에 한 열을 더 열고, 그 열에 근거를 낱말로 적는다. 화면에서는 등호가 세로로 맞고 근거가 오른쪽에 나란히 서는 형태가 된다. 근거 칸에는 수식이 아니라 낱말을 쓴다 — 근거를 기호로 적으면 계산과 구별되지 않는다(6조 5항).

16. (등호 정렬 대작) $(n+1)^3 - (n+1)$을 전개해 $(n^3 - n) + 3n(n+1)$ 꼴로 정리하는 과정을 등호 정렬 표시로 작성하시오 (S14주차 예제 2.2의 계산을 주석 열이 붙은 정렬 표시로 — 각 등호 줄의 근거를 오른쪽에 주석으로). 최종적으로 이것이 3의 배수 귀납에 쓰임을 한 문장.

힌트

네 줄로 끊는다: 이항 전개 / 정리 / $n^3 - n$ 덩어리 분리 / 인수 묶기. 셋째 줄에서

$n^3 - n$을 통째로 묶어 내는 것이 이 계산의 목적이다 — 그 덩어리가 귀납 가정이

걸리는 자리이기 때문이다.

이 문제가 쓰는 구분 — 대상 언어와 메타 언어

어떤 글에서 논리 기호가 다루어지는 대상일 때가 있고, 그 논리를 사용해 다른 것을 논증할 때가 있다. 앞의 경우 그 기호는 글의 소재이므로 본문에 등장해야 하고, 뒤의 경우 그 기호는 도구이므로 낱말로 풀어 쓴다. 전자를 대상 언어, 후자를 메타 언어라 부르는 관점으로 정리하면 원칙 3의 예외가 예외가 아니게 된다. 이 구분의 정식 취급은 C3주차다.

17. (원칙의 예외) 원칙 3은 “논리를 논의할 때는 $\Rightarrow, \forall, \exists$를 써도 된다”고 예외를 둔다. C3~C4주차(논리$\cdot$양화사)에서 이 기호들을 본문에 쓰는 것이 정당한 이유와, 그럼에도 증명의 산문에서는 여전히 단어로 쓰는 이유를 구분해 설명하시오 (메타 논의 vs 증명 서술의 차이).

힌트

한 문서 안에 두 경우가 같이 나타나는 상황을 상상하면 구분이 선명해진다.

C3주차의 본문은 “$P \Rightarrow Q$의 대우는 무엇인가”를 논하면서, 그 장의

예제 증명은 “…이면 …이다”로 적는다. 같은 기호가 한쪽에서는 소재이고 다른

쪽에서는 도구다.

18. (진단 종합) 다음 한 문단 증명에서 전달 오류를 모두(원칙 번호와 함께) 찾고 완전 재작성하시오.

“Thm: $\sqrt2$ irrational. Pf: suppose $\sqrt2 = a/b$, gcd=1. $\Rightarrow 2 = a^2/b^2 \Rightarrow a^2 = 2b^2 \Rightarrow 2 \mid a^2 \Rightarrow 2 \mid a \Rightarrow a = 2c \Rightarrow 4c^2 = 2b^2 \Rightarrow b^2 = 2c^2 \Rightarrow 2 \mid b$. but gcd(a,b)=1. contradiction. $\blacksquare$”

(기호 시작$\cdot$$\Rightarrow$ 남용$\cdot$문자 미소개$\cdot$i.e. 등 — 그리고 이것이 “옳은 증명의 나쁜 전달”임을 논평.)

힌트

화살표를 하나씩 세어 보면 여덟 개다. 여덟 개를 전부 접속 낱말로 바꾸되,

바꾸면서 각 화살표가 실제로 어떤 근거로 성립했는지 적는다. 그러면 원 증명이

생략한 근거가 어디에 몇 개 있었는지도 함께 드러난다.

19. (창작) 자신이 1학기에 증명한 명제 하나를 골라, Chartrand 10원칙과 수식 표시법을 완벽히 준수한 모범 답안으로 다시 쓰시오. 그리고 자신의 1학기 원답안과 비교해 개선된 지점 세 개를 표시하시오.

힌트

명제는 계산이 두 줄 이상 나오는 것으로 고른다. 계산이 한 줄이면 표시법을

적용할 자리가 없어 원칙 절반이 놀게 된다. 개선 지점 세 개는 서로 다른 층에서

하나씩 고르면 자기 답안의 약점 분포가 보인다 — 문장 층, 진술 설계 층, 배치 층.

20. (서술) (a) “증명이 옳은 것과 잘 전달되는 것은 다르다”를 예제 2.1(같은 수학, 다른 전달)로 뒷받침하고, 이것이 S1주차의 “회의적 독자” 관점의 실천임을 세 문장 이내로. (b) 왜 수학자들이 완성 글에서 $\Rightarrow, \forall, \exists$를 피하는지(원칙 3), 그럼에도 노트$\cdot$설계에서는 쓰는지(1학기 분석표) — “설계 도구와 전달 매체의 분리”로 두 문장 이내 설명하시오.

힌트

(b)의 두 문장은 각각 한 쪽씩 맡는다. 첫 문장은 설계 기록이 무엇을 담는지

(아직 참이 확인되지 않은 목표까지 담는다 — S3주차 §1.7), 둘째 문장은 제출물이

무엇만 담는지(확보된 참을 확보된 순서대로)를 적으면 된다.

백지 재현 — 복습 프로토콜#

이번 주의 5일 루틴. 원서와 교안을 번갈아 쓰는 순서다.

요일	할 일
1일차	원서 Chartrand 0장 통독 (모르는 문장은 표시만 하고 통과)
2일차	교안 §0~§2 — 개념과 예제. 확인 상자는 연필로 먼저 답한다
3일차	원서 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서 0장의 연습문제 몇 개를 직접 시도
4일차	교안 §3 빈칸 사다리 + §4 연습문제 20문항
5일차	백지 재현 1차(틀 카드)$\cdot$2차(완전 백지) + 체크리스트

0장은 학기 내내 주기적으로 다시 읽을 장이다. 이번 주에 한 번 통독한 뒤, 이후 주차에서 답안을 쓰다 막힐 때마다 해당 원칙 항목만 되돌아 읽는 방식으로 쓴다.

1차 시도 — 틀 카드 허용. 다음 세 상자만 옮겨 적은 카드를 펴 놓는다: 기호 사용 10원칙, 수식 표시법 3규칙, 전달 교정의 3단 뼈대. 그 상태에서 예제 2.1의 답안 A를 답안 B로 고치는 과정을 처음부터 끝까지 적는다. 예제 본문과 확인 상자는 보지 않는다.

2차 시도 — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다.

소통의 세 목표, 기호 사용 10원칙, 수식 표시법 3규칙을 백지에 썼다.
전달 교정의 3단 뼈대를 백지에 쓰고, ①에서 판정이 갈리면 무엇이 달라지는지 말했다.
예제 2.1의 답안 B를 다섯 문장으로 재현했다 (표시 배치 포함).
예제 2.2의 정렬 표시를 네 줄로 재현하고 계수 검산을 수행했다.
예제 2.3의 여섯 조각을 원칙 번호로 진단하고 각각 고쳤다.
1권 20주차 6조와 10원칙의 대응(문제 14)을 표로 만들었다.
원서 0장을 완독했고, 1일차에 표시한 문장이 전부 해결되었다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점	처방
원칙 열 개가 중간에서 끊긴다	§1.4 해부 표 — 각 원칙이 막는 붕괴와 함께 외운다
어느 식을 표시로 올릴지 판정이 안 된다	§1.5 규칙 1과 확인 7 — 줄 수와 등호 개수로 판정한다
위반은 찾는데 수정본이 안 나온다	예제 2.1의 1~5단계 — 걸음마다 고칠 것이 하나씩 정해져 있다
수학이 틀린 초안을 전달만 고치고 만다	§2 관찰의 3단 뼈대 ① — 판정이 갈리는 자리다 (문제 15)
무엇을 생략해도 되는지 모르겠다	§1.6 전제 1 — 기준 독자를 같은 과정의 동료로 고정한다
정렬 표시를 손으로 쓸 때 등호가 어긋난다	예제 2.2 완성본 — 등호를 먼저 세로로 찍고 좌우를 채운다

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 적고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) 1 (2) 8 (3) 3 (4) 짝수 (5) 짝수

※ 셋째 항목에서 $\forall$와 $\Rightarrow$가 함께 걸리는 것에 주의한다. 두 기호는 서로 다른 일을 하지만(하나는 양화사, 하나는 함의), 산문에서 쓰지 않는다는 점에서는 같은 원칙 3의 대상이다. 수정본에서 $\forall$가 사라진 자리는 첫 문장의 “정수 $n$이 짝수라 하자”가 대신한다 — 임의의 $n$을 잡는 문장이 곧 “모든”의 처리이기 때문이다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) 1 (2) 8 (3) 3 (4) 1 (5) $2k$ (6) $k^2 + k$ (7) 정수의 곱과 합

※ (4)의 판정이 이 훈련의 새로운 부분이다. 등호 두 개로 이어진 계산이므로 표시법 규칙 1이 걸린다. (7)은 근거 ②(닫힘성)를 낱말로 적는 자리이고, “$k^2 + k \in \mathbb{Z}$”로 기호만 적으면 §1.7 확인 10에서 진단한 미달이 된다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) 초안의 계산은 옳다. $n = 2a+1$일 때 $n^2 - 1 = (4a^2 + 4a + 1) - 1 = 4a^2 + 4a = 4(a^2+a)$이고 $a^2 + a$가 정수이므로 결론도 옳다. 따라서 이 초안은 재증명 대상이 아니라 전달 교정 대상이다. (2) 원칙 1(첫 조각 “thm:”과 “pf:” 뒤가 기호로 시작), 원칙 3($\forall$와 $\Rightarrow$를 산문에 씀 — 화살표 세 개), 원칙 6(진술과 결론이 조각으로 남음), 원칙 8($a$의 자격 없음), 6조 6항(개시$\cdot$종료 표시 없음), 표시법 규칙 1(등호 두 개의 계산이 본문에 눌림). (3) $n^2 - 1$의 전개를 표시로 올린다. 정리 진술은 짧으므로 본문에 둔다. (4) 완성 산문은 다음과 같다.

정리. 정수 $n$이 홀수이면 $n^2 - 1$은 4의 배수이다.

증명. 정수 $n$이 홀수라 하자. 홀수의 정의에 의해, 어떤 정수 $a$에 대해 $n = 2a + 1$이다. 그러면 다음이 성립한다.

\[ n^2 - 1 = (2a+1)^2 - 1 = 4a^2 + 4a = 4(a^2 + a) \]

$a^2 + a$는 정수의 곱과 합이므로 정수이다. 따라서 $n^2 - 1$은 4의 배수이다. $\blacksquare$

※ 정리 진술에서 $\forall$를 지우고 “정수 $n$이 홀수이면”으로 적은 것이 원칙 3의 처리다. 진술에 남은 $n$은 두 번 일하므로 원칙 7의 대상이 아니다.

문제 1#

접근. 세 목록은 길이가 다르므로 외우는 방식도 달라야 한다. 3목표는 한 문장으로 외우고, 3규칙은 “어디에 놓는가 / 무엇을 맞추는가 / 어디서 끊는가”라는 세 물음으로 외운다. 10원칙은 한 줄씩 순서대로 떠올리면 중간에서 끊기므로 세 묶음으로 나눈다.

풀이. 세 목표 — 옳게(주장과 근거에 오류가 없다), 명확하게(정해 둔 독자가 각 줄의 근거를 복원할 수 있다), 흥미롭게(왜 이 명제를 다루는지와 핵심 지점이 드러난다).

10원칙 — 문장 층: 1(문장을 기호로 시작하지 않는다), 2(기호 사이에 낱말을 넣는다), 4(줄임말을 기호 곁에 두지 않는다), 6(낱말과 기호를 문법이 깨지도록 섞지 않는다). 기호 선택 층: 3(산문에 논리 기호를 쓰지 않는다), 5(작은 정수는 낱말로, 지정된 값은 숫자로), 9(언 기호의 관례를 지킨다), 10(짝을 이루는 자리에 짝을 이루는 기호). 진술 설계 층: 7(일하지 않는 기호를 진술에서 뺀다), 8(도입하는 기호의 자격을 그 자리에서 밝힌다).

표시법 3규칙 — 규칙 1(짧은 식은 본문, 여러 줄 계산은 표시로), 규칙 2(표시된 계산은 등호를 세로로 정렬), 규칙 3(본문에서 식을 쪼갤 때 첫 줄을 연산$\cdot$비교 기호로 끝낸다). 부칙으로 나중에 참조할 식에는 번호를 붙인다.

복기. 세 묶음의 이름이 곧 위반 진단의 순서다. 답안을 점검할 때 문장 층부터 보고, 문장이 완결된 뒤에 기호 선택 층을, 마지막에 진술 설계 층을 본다 — 예제 2.3 확인 17에서 세운 그 순서다.

문제 2#

접근. 세 문장 모두 수학은 옳다. 따라서 3단 뼈대 ①의 판정은 “전달 교정”이고, 고칠 자리는 문법이 어긋나는 지점이다. 각 문장을 기호까지 전부 낱말로 소리 내어 읽어 보면 어긋나는 자리가 드러난다.

풀이. (a) 원칙 1 위반이다. 문장이 수식 $2^{31} - 1$로 시작하면 앞 문장의 마침표와 붙어 읽히고, 새 문장이 시작되었다는 신호가 없다. 수정: “수 $2^{31} - 1$은 소수이다.” 앞에 “수”라는 낱말 하나를 세우는 것으로 끝난다.

(b) 원칙 6 위반이다. “$n \ge 2$는 정수이면”에서 관계식 $n \ge 2$가 주어 자리에 놓여 “…는 정수이면”의 서술과 충돌하고, 문장이 조각으로 남는다. 수정: “정수 $n$이 $n \ge 2$를 만족하면, $n$은 소수이거나 합성수이다.” 또는 기호를 전부 낱말로 옮겨 “1을 초과하는 모든 정수는 소수이거나 합성수이다.”

(c) 원칙 6 위반이다. “또는 $-2$”에는 좌변이 없어 무엇이 $-2$인지 문장이 말하지 않는다. 수정: “$x^2 = 4$이므로 $x = 2$ 또는 $x = -2$이다.”

검산. 세 수정본을 기호까지 낱말로 바꿔 소리 내어 읽어 본다. (a)는 “수 이의 삼십일제곱 빼기 일은 소수이다”, (b)는 “정수 엔이 엔은 이 이상을 만족하면”, (c)는 “엑스는 이 또는 엑스는 마이너스 이이다” — 셋 다 완결된 문장이 된다.

문제 3#

접근. 예제 2.1에서 함께 만든 답안 B를 이번에는 스캐폴드 없이 적는다. 관건은 다섯 걸음의 순서를 기억하는 것이 아니라, 답안 A의 다섯 조각 각각에서 무엇이 빠졌는지를 다시 판정하는 것이다. 조각마다 빠진 것은 서술어, 문자 소개, 배치 셋 중 하나다.

풀이. 답안 A의 조각별 결손은 이렇다. “$n$ 홀수”에는 서술어와 $n$의 자격이 없고, “$n = 2k+1$”에는 $k$의 자격과 이 등식이 나온 근거가 없고, 계산 조각에는 배치가 없고, “$\therefore$ $n^2$ 홀수”에는 서술어가 없으며 접속이 기호로 되어 있고, “$\forall$ 홀수 ✓”는 첫 문장이 이미 확보한 것을 중복해 적은 군더더기다. 다섯 결손을 메우면 답안 B가 된다.

증명. 정수 $n$이 홀수라 하자. 홀수의 정의에 의해, 어떤 정수 $k$에 대해 $n = 2k + 1$이다. 그러면 다음이 성립한다.

\[ n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 \]

$2k^2 + 2k$는 정수의 곱과 합이므로 정수이다. 따라서 $n^2$은 홀수이다. $\blacksquare$

복기. 수정 전후로 계산은 한 글자도 달라지지 않았다. 늘어난 것은 낱말뿐이고, 그 낱말이 하는 일은 독자가 스스로 복원해야 했던 정보를 지면으로 옮긴 것이다. 전달 교정의 성과는 언제나 이 형태로 나타난다.

문제 4#

접근. 세 훈련은 지지대가 다르므로 막히는 자리도 다르다. 훈련 1은 원칙 번호만 대면 되고, 훈련 2는 배치 판정과 근거 문장이 추가되며, 훈련 3은 3단 뼈대 자체를 칸으로 채운다. 훈련 3에서 막히면 ①(수학 확인)부터 다시 한다.

풀이. 세 훈련의 완성 산문은 다음과 같다.

훈련 1의 수정본. “정수 $n$이 짝수라 하자. 그러면 어떤 정수 $k$에 대해 $n = 2k$이다. 따라서 $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$이고, $2k^2$이 정수이므로 $n^2$은 짝수이다. $\blacksquare$”

훈련 2의 수정본. “정수 $m$이 짝수라 하자. 짝수의 정의에 의해, 어떤 정수 $k$에 대해 $m = 2k$이다. 그러면 $m^2 + 2m = 4k^2 + 4k = 4(k^2 + k)$이고, $k^2 + k$는 정수의 곱과 합이므로 정수이다. 따라서 $m^2 + 2m$은 4의 배수이다. $\blacksquare$” (계산은 표시로 올려 적는다.)

훈련 3의 수정본. 위 “빈칸 사다리 — 훈련 3” 항목의 정리$\cdot$증명이 그대로 답이다. 네 칸 중 ①의 판정이 가장 중요하다 — 초안의 수학이 옳으므로 교정이고, 만약 틀렸다면 문제 15처럼 재증명이었다.

복기. 세 훈련의 난도 차이는 수학이 아니라 스스로 만들어야 하는 판단의 개수에서 온다. 훈련 1은 판단이 세 개(원칙 번호 셋), 훈련 2는 다섯 개(원칙 셋 + 배치 + 근거), 훈련 3은 네 칸 전부다.

문제 5#

접근. 재현이 막히는 자리는 정해져 있다. 첫째 줄의 대입은 기계적이고, 넷째 줄의 묶기는 목표 꼴이 정해 준다. 실제로 막히는 것은 셋째 줄의 계수 정리다. 세 종류의 항을 따로 세어 적는다.

풀이. 정수 $n$이 홀수라 하자. 홀수의 정의에 의해, 어떤 정수 $k$에 대해 $n = 2k+1$이다. 그러면 다음이 성립한다.

\[\begin{split} \begin{aligned}\begin{aligned} n^3 + 3n^2 - n + 4 &= (2k+1)^3 + 3(2k+1)^2 - (2k+1) + 4 \\ &= (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) + 3(4k^2 + 4k + 1) - 2k - 1 + 4 \\ &= 8k^3 + 24k^2 + 16k + 7 \\ &= 2(4k^3 + 12k^2 + 8k + 3) + 1 \end{aligned}\end{aligned} \end{split}\]

$k$가 정수이므로 $4k^3 + 12k^2 + 8k + 3$은 정수의 곱과 합으로서 정수이고, 따라서 이 값은 홀수이다.

검산. $k^2$의 계수는 $12 + 12 = 24$, $k$의 계수는 $6 + 12 - 2 = 16$, 상수항은 $1 + 3 - 1 + 4 = 7$이다. 마지막 줄은 $2 \times (4k^3 + 12k^2 + 8k + 3) = 8k^3 + 24k^2 + 16k + 6$에 $1$을 더한 것이므로 셋째 줄과 일치한다. 수치 검산으로는 $k = 1$일 때 $n = 3$이고 $27 + 27 - 3 + 4 = 55$이며, 우변은 $2(4 + 12 + 8 + 3) + 1 = 2 \times 27 + 1 = 55$이다.

복기. 등호 정렬의 실제 효용이 이 검산에서 드러난다. 네 줄이 세로로 놓여 있어 계수 하나를 검사할 때 그 줄만 보면 되고, §1.1의 답안 P처럼 한 줄에 눌려 있으면 같은 검사에 훨씬 긴 시간이 든다.

문제 6#

접근. 정의를 먼저 정확히 적고, 위반 예는 문자를 서로 맞바꾸는 방식으로 만든다. 중요한 것은 예를 만드는 것이 아니라 각 예에서 독자가 무엇을 잘못 기대하게 되는지를 적는 것이다. 그것이 언 기호가 하는 일의 증거다.

풀이. 언 기호란 관례로 특정 종류의 대상에 고정된 문자를 뜻한다. 문자를 보는 순간 독자가 그 종류를 기대하게 되므로, 관례를 어기면 독자는 문장을 두 번 읽는다.

$m, n$(정수)의 위반: “실수 $n$에 대해 $n^2 \ge 0$이다.” 독자는 $n$을 보고 정수 범위의 주장으로 읽었다가 “실수”에서 되돌아온다. 정수 관례가 실수 주장을 가린다.

$A, B$(집합)의 위반: “$A$를 실수라 하고 $A \in B$라 하자.” 대문자 $A$가 집합이라는 기대를 어겨, 독자는 $A \in B$를 “집합 $A$가 집합족 $B$의 원소”로 잘못 읽는다.

$f$(함수)의 위반: “어떤 정수 $f$에 대해 $f = 2g + 1$이다.” $f$와 $g$는 함수 관례가 붙은 문자라, 독자는 등식을 함수의 합성이나 함숫값 관계로 읽으려 한다.

$x, y$(실수)의 위반: “집합 $x$와 $y$에 대해 $x \cup y = y$이다.” 소문자 $x, y$는 실수 관례이므로 독자는 $\cup$가 나올 때까지 두 대상을 수로 붙들고 있다.

복기. 네 예의 공통점은 수학적 오류가 하나도 없다는 것이다. 언 기호는 참$\cdot$거짓의 문제가 아니라 독해 속도의 문제이고, 그래서 원칙 9는 전달 층의 규칙이다.

문제 7#

접근. 3단 뼈대 ①부터 한다. 초안의 수학은 옳다 — 두 유리수를 분수로 놓고 통분해 더한 것이고, 결론도 참이다. 다만 초안은 $qs \neq 0$을 적어 놓고도 그 근거인 $q \neq 0$, $s \neq 0$을 유리수의 정의에서 옮겨 적지 않았다 — 그래서 적혀 있는 $qs \neq 0$이 근거 없는 단언으로 남는다. 이것은 수학적 결함이 아니라 원칙 8의 결손이다(정의에 이미 들어 있는 조건을 문자 소개 자리에 옮겨 적지 않았을 뿐이다). ②로 넘어가면 위반은 원칙 1, 3, 6, 8과 표시법 규칙 1이다.

풀이.

정리. 두 유리수의 합은 유리수이다.

증명. $a$와 $b$를 유리수라 하자. 유리수의 정의에 의해, 정수 $p, q, r, s$가 존재하여 $q \neq 0$, $s \neq 0$이고 $a = \dfrac{p}{q}$, $b = \dfrac{r}{s}$이다. 그러면 다음이 성립한다.

\[ a + b = \frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps + qr}{qs} \]

$ps + qr$과 $qs$는 정수의 곱과 합이므로 정수이고, $q \neq 0$이고 $s \neq 0$이므로 $qs \neq 0$이다. 따라서 $a + b$는 유리수의 정의를 만족하므로 유리수이다. $\blacksquare$

위반 목록. 원칙 1 — “$a, b$ 유리수”가 기호로 시작한다. 원칙 6 — 다섯 조각 전부 서술어가 없다. 원칙 8 — $p, q, r, s$의 자격이 없고 $q, s$의 0 아님 조건이 없다. 원칙 3 — $\Rightarrow$를 접속사로 썼다. 규칙 1 — 통분 계산이 본문에 눌려 있다. 6조 6항 — 개시 표시가 없다.

검산. $a = \frac12$, $b = \frac23$이면 $\frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac76$이고, $\frac12 + \frac23 = \frac36 + \frac46 = \frac76$으로 일치한다.

문제 8#

접근. 판정 기준은 두 가지다 — 식이 몇 줄에 걸치는가(규칙 1), 그리고 나중에 그 식을 다시 인용할 것인가(부칙). 첫 기준으로 대부분이 갈리고, 짧은데도 표시로 올려야 하는 경우는 둘째 기준이 만든다.

풀이. (a) 본문. $x + 1$은 한 항이라 줄이 끊길 여지가 없고, 표시로 올리면 문장의 흐름만 끊어진다. 짧은 식을 표시로 올리는 것도 규칙 1의 위반이다.

(b) 표시. 네 줄이 등호로 이어지므로 규칙 1의 대상이고, 규칙 2에 따라 등호를 세로로 맞춘다. 귀납 단계는 각 줄이 “직전 줄과 같다”는 주장의 연속이므로 정렬의 효용이 가장 큰 자리다.

(c) 본문. $a^2 \ge 0$은 한 관계식이다. 다만 이 부등식을 뒤에서 여러 번 인용할 글이라면 부칙에 따라 표시로 올려 번호를 붙이는 판단도 가능하다 — 판정 기준이 길이에서 인용 여부로 바뀌는 경계 사례다.

(d) 표시. 여섯 줄 유도이므로 규칙 1과 2의 대상이고, 근의 공식은 뒤에서 거의 반드시 인용되므로 부칙에 따라 번호까지 붙인다.

복기. 정리하면 판정 순서는 이렇다 — 여러 줄인가(예: 표시) $\to$ 아니면 뒤에서 인용하는가(예: 표시하고 번호) $\to$ 둘 다 아니면 본문. 세 물음으로 모든 경우가 갈린다.

문제 9#

접근. 위반을 무작정 지어내면 비슷한 것만 다섯 개가 나온다. 원칙 6이 깨지는 자리를 먼저 유형으로 정리한다: 관계 기호를 서술어로 쓰는 자리, 등식의 좌변을 생략하는 자리, 논리 접속을 기호로 대신하는 자리, 수량을 기호로 적는 자리.

풀이. 다섯 쌍은 다음과 같다.

첫째. “모든 정수 $> 5$는 …” $\to$ “5를 초과하는 모든 정수는 …”. 관계 기호가 명사구를 수식하는 자리에 그대로 놓여 문장이 조각으로 남았다.

둘째. “$x = 1$ 또는 $2$” $\to$ “$x = 1$ 또는 $x = 2$”. 둘째 값의 좌변이 생략되어 무엇이 2인지 문장이 말하지 않는다.

셋째. “함수가 미분가능 $\Rightarrow$ 연속” $\to$ “함수가 미분가능하면 연속이다”. 논리 접속을 기호로 대신해 서술어가 사라졌다(원칙 3도 함께 걸린다).

넷째. “$n$은 $\ge 0$이다” $\to$ “$n$은 음이 아니다” 또는 “$n \ge 0$이다”. 관계 기호가 서술어 자리에 반쯤 들어가 어중간한 형태가 되었다.

다섯째. “집합 $A \cap B \neq \emptyset$인 경우” $\to$ “$A \cap B$가 공집합이 아닌 경우”. “집합”이라는 낱말이 걸리는 대상이 $A$인지 $A \cap B$인지 정해지지 않았다.

복기. 다섯 수정 모두 낱말을 늘렸다. 원칙 6의 교정은 거의 항상 기호를 낱말로 푸는 방향으로 진행되고, 반대 방향(낱말을 기호로 줄이는 방향)의 교정은 원칙 5가 지정한 좁은 경우뿐이다.

문제 10#

접근. 원칙 7의 판정 기준은 등장 횟수가 아니라 “그 이름이 일을 하는가”다. 판정 방법은 하나다 — 문자를 지우고 낱말로만 진술해 본 뒤, 읽기가 나아졌는지 나빠졌는지 본다. 나빠지는 사례를 하나 만들어 두면 기준이 선명해진다.

풀이. (a) 기호를 지울 수 있다. “모든 짝수 정수의 제곱은 4의 배수이다.” $n$이 두 번 등장하지만 두 번 모두 같은 대상의 같은 자리를 가리키고, 그 자리는 “제곱”이라는 낱말로 대신 지목된다. 지운 편이 읽기 좋다.

(b) 기호를 지울 수 있다. “모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다.” 여기서도 $A$의 두 번째 등장이 “자기 자신”이라는 낱말로 대체된다. 다만 이 진술을 증명할 때는 “$A$를 집합이라 하자”로 이름을 도입해야 한다 — 원칙 7의 후반부가 그 절차다.

반례 — 기호가 필수인 경우. “정수 $a$가 정수 $b$를 나누고 $b$가 정수 $c$를 나누면 $a$는 $c$를 나눈다.” 여기서 세 문자를 지우면 “첫째 수가 둘째 수를 나누고 둘째가 셋째를 나누면 첫째가 셋째를 나눈다”가 되어 읽기가 나빠진다. 세 대상이 서로 얽힌 관계를 지목해야 하므로 이름이 일을 하고 있다.

복기. 원칙 7의 대상은 기호 일반이 아니라 등장 횟수와 무관하게 낱말로 대체해도 읽기가 나빠지지 않는 이름이다. §1.3의 “모든 합성수 $m$은 소수인 약수를 갖는다”의 $m$이 전형이고, (a)의 $n$과 (b)의 $A$도 두 번씩 등장하지만 “제곱”과 “자기 자신”이라는 낱말이 그 자리를 대신하므로 같은 판정을 받는다. 반면 위 반례의 $a, b, c$는 낱말로 바꾸면 읽기가 나빠지므로 남긴다.

문제 11#

접근. 규칙 3의 이유는 “규칙이니까”가 아니라 오독을 막기 위해서다. 틀린 쪼갬을 먼저 적고 첫 줄만 가리고 읽어 보면, 그 줄이 그 자체로 완결된 등식처럼 읽히는지 아닌지가 바로 드러난다.

풀이. 올바른 쪼갬은 첫 줄을 “$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b +$”로 끝내고 둘째 줄을 “$6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$”로 잇는 것이다. 첫 줄 끝의 $+$ 기호가 “아직 남았다”는 신호를 준다.

틀린 쪼갬은 첫 줄을 “$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b$”로 끝내고 둘째 줄을 “$+\, 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$”로 시작하는 것이다. 첫 줄이 그 자체로 완결된 등식으로 읽히므로, 독자는 “$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b$”라는 거짓 등식을 한 번 읽고 다음 줄에서 정정해야 한다. 잘못된 정보를 한 번 준 뒤 회수하는 셈이다.

복기. 이 문제 자체가 표시법의 논거이기도 하다. 식을 표시로 올리면 줄을 쪼갤 일이 없어 규칙 3의 판단이 아예 필요 없어진다. 규칙 3은 표시로 올리기 애매한 중간 길이의 식에만 걸리는 규칙이다.

문제 12#

접근. 나선형 쓰기의 실습은 “무엇을 빠뜨릴까”를 상상하는 것이 아니라, 본증명을 머릿속으로 끝까지 써 보고 멈칫하는 자리를 표시하는 것이다. 멈칫하는 자리마다 “여기서 인용한 것이 앞에 세워져 있는가”를 묻는다.

풀이. 세 항목은 다음과 같다.

첫째, 유리수의 기약분수 표현. 귀류법으로 $\sqrt2 = \frac ab$라 놓을 때 “서로소인 $a, b$”를 잡아야 마지막의 모순이 성립한다. 모든 유리수를 서로소 분자$\cdot$분모로 쓸 수 있다는 사실이 앞에 없으면 그 정규화가 근거 없이 등장한다.

둘째, 보조정리 “$a^2$이 짝수이면 $a$가 짝수”. 본증명의 중간에서 두 번 인용된다. 이 보조정리 없이 그 줄을 쓰면 “$a^2$이 짝수이므로 $a$도 짝수”가 근거 없는 단언이 된다. 이 보조정리 자체가 대우 증명을 요구하므로 분량도 작지 않다.

셋째, 무리수의 정의. 결론 문장이 “따라서 $\sqrt2$는 무리수이다”인데, 무리수가 “유리수가 아닌 실수”로 정의되어 있지 않으면 귀류의 결론이 명제의 결론과 연결되지 않는다.

복기. 세 항목의 공통점은 전부 본증명을 쓰다가 필요해진다는 것이다. 계획 단계에서는 보이지 않고 집필 중에 드러나므로, 앞으로 돌아가 삽입한 뒤 처음부터 다시 읽는 절차가 필요하다. 삽입 후 재독에서 첫째 항목이 둘째 항목의 진술 방식에 영향을 주는 것도 확인된다.

문제 13#

접근. 두 도입 문장의 차이는 길이가 아니라 전제할 수 있는 것의 목록이다. 목록을 먼저 두 줄로 적고, 그 차이만큼을 (b)에 추가한다.

풀이. 전제 목록은 이렇다. 동료 학생은 집합의 상등을 양방향 포함으로 보인다는 것, 부분집합의 정의, 합집합의 정의, 그리고 동치 명제는 양방향을 각각 보인다는 것을 이미 안다. 초학자는 이 중 어느 것도 확정적으로 알지 못한다.

(a) 동료 학생용 도입. “집합 $A$, $B$에 대해 $A \cup B = B$와 $A \subseteq B$가 동치임을 보인다. 두 방향을 차례로 증명한다.” 전제된 것을 다시 설명하지 않는다.

(b) 초학자용 도입. “집합 $A$, $B$에 대해 $A \cup B = B$와 $A \subseteq B$가 동치임을 보인다. 두 집합이 같다는 것은 서로를 포함한다는 뜻이고, $A \subseteq B$란 $A$의 모든 원소가 $B$에 속한다는 뜻이다. 또 두 명제가 동치임을 보이려면 각 방향을 따로 증명해야 한다. 이제 한 방향씩 본다.” 정의 둘과 증명 전략 하나를 명시했다.

복기. 독자를 정하지 않으면 (b)를 써야 할 자리에 (a)를 쓰게 되고, 명확성이 무너지는 자리가 정확히 거기다. §1.6에서 기준 독자를 “같은 과정을 밟는 동료”로 고정한 이유가 이것이다 — 기준이 있어야 무엇을 생략할지 판정된다.

문제 14#

접근. 여섯 조항을 왼쪽에 두고 대응하는 원칙 번호를 오른쪽에 붙인다. 대응이 비는 칸이 양쪽에 하나씩 생기는데, 그 두 칸이 이번 주가 실제로 추가한 것과 유지한 것이다.

풀이.

1권 20주차 6조	Chartrand 10원칙	무엇이 세분되었는가
1조 문장을 수식 기호로 시작하지 않는다	원칙 1	같은 규칙. 원칙 2가 “기호 사이에도 낱말”로 범위를 넓힌다
2조 모든 기호는 소개한 뒤 사용한다	원칙 8	같은 규칙. 원칙 9$\cdot$10이 “어떤 문자를 고를 것인가”를 새로 추가한다
3조 등호는 같은 대상 사이에만 쓴다	원칙 6	낱말$\cdot$기호 혼용 금지의 한 사례로 흡수된다
4조 $\Rightarrow$를 접속사로 남용하지 않는다	원칙 3	대상이 $\forall, \exists, \ni$까지 넓어지고, 논리 논의라는 예외가 붙는다
5조 기호보다 말이 명확하면 말로 쓴다	원칙 4$\cdot$5$\cdot$7	세 자리로 나뉜다 — 줄임말, 수량 표기, 진술의 군더더기 이름. 다만 “근거를 낱말로 적으라”는 5조의 일반 취지는 10원칙에 대응 항목이 없어 6조로 남는다
6조 증명의 시작과 끝을 표시한다	대응 없음	10원칙에 대응 항목이 없다. 6조가 그대로 유지된다

빈 칸이 하나 더 있다. 수식 표시법 3규칙은 6조 어느 조항에도 대응하지 않는다. 6조가 문장 층의 규범인 데 비해 표시법은 배치 층의 규범이고, 이 층이 이번 주에 새로 열렸다.

복기. 대응표를 만들면 6조가 폐기된 것이 아니라 아래로 흡수되고 위로 확장된 것임이 보인다. 흡수는 3조가 원칙 6의 사례가 된 것이고, 확장은 문자 선택 층과 배치 층이 새로 붙은 것이다.

문제 15#

접근. 3단 뼈대 ①에서 판정이 갈린다. 초안이 실제로 다룬 $n$이 어떤 $n$인지 적어 보면, “$n = 2k$”라고 놓은 순간 짝수만 다룬 것이 된다. 결론은 참인데 증명이 절반이므로 이것은 전달 교정이 아니라 재증명 대상이다.

풀이. 초안의 결함은 두 층이다. 수학 층에서는 $n$이 홀수인 경우가 통째로 빠졌고, 전달 층에서는 원칙 1(기호로 시작), 원칙 3($\forall$와 $\Rightarrow$), 원칙 6(조각), 원칙 8($k$ 미소개), 6조 6항(개시$\cdot$종료 표시 없음)이 걸린다. 둘 다 고친 답안은 다음과 같다.

정리. 모든 정수 $n$에 대해 $n^2 + n$은 짝수이다.

증명. 정수 $n$이 주어졌다고 하자. 모든 정수는 짝수이거나 홀수이므로 두 경우로 나눈다.

경우 1: $n$이 짝수인 경우. 짝수의 정의에 의해, 어떤 정수 $k$에 대해 $n = 2k$이다. 그러면 $n^2 + n = 4k^2 + 2k = 2(2k^2 + k)$이고, $2k^2 + k$는 정수이므로 $n^2 + n$은 짝수이다.

경우 2: $n$이 홀수인 경우. 홀수의 정의에 의해, 어떤 정수 $k$에 대해 $n = 2k+1$이다. 그러면 다음이 성립한다.

\[ n^2 + n = (2k+1)^2 + (2k+1) = 4k^2 + 4k + 1 + 2k + 1 = 4k^2 + 6k + 2 = 2(2k^2 + 3k + 1) \]

$2k^2 + 3k + 1$은 정수이므로 $n^2 + n$은 짝수이다.

두 경우가 모든 정수를 덮고 각 경우에서 결론이 나왔으므로, 모든 정수 $n$에 대해 $n^2 + n$은 짝수이다. $\blacksquare$

별해 (경우를 나누지 않는 길). $n^2 + n = n(n+1)$은 연속한 두 정수의 곱이다. 연속한 두 정수 중 하나는 짝수이므로 그 곱도 짝수이다. 이 길은 짧지만 “연속한 두 정수 중 하나는 짝수”라는 사실 자체가 경우법으로 증명되는 것이므로, 경우 나누기가 사라진 것이 아니라 보조 사실 안으로 옮겨 간 것이다.

검산. $n = 3$이면 $9 + 3 = 12$로 짝수이고, 경우 2의 식에서 $k = 1$일 때 $2(2 + 3 + 1) = 12$로 일치한다.

복기. 이 문제가 가르치는 것은 3단 뼈대 ①의 무게다. ①을 건너뛰고 전달만 고치면 “읽기 좋은 틀린 증명”이 나온다. 전달 교정은 수학이 옳다는 판정 뒤에만 시작된다.

문제 16#

접근. 네 줄로 끊는다: 이항 전개, 동류항 정리, $n^3 - n$ 덩어리 분리, 인수 묶기. 셋째 줄에서 $n^3 - n$을 통째로 묶어 내는 것이 이 계산의 목적이다 — 그 덩어리가 귀납 가정이 걸리는 자리이기 때문이다. 근거는 오른쪽 열에 낱말로 적는다.

풀이.

\[\begin{split} \begin{aligned}\begin{aligned} (n+1)^3 - (n+1) &= (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - (n + 1) && \text{(이항 전개)} \\ &= n^3 + 3n^2 + 2n && \text{(동류항 정리)} \\ &= (n^3 - n) + (3n^2 + 3n) && \text{($n^3 - n$ 덩어리 분리)} \\ &= (n^3 - n) + 3n(n+1) && \text{(공통 인수 묶기)} \end{aligned}\end{aligned} \end{split}\]

귀납 가정에 의해 $n^3 - n$이 3의 배수이고 $3n(n+1)$도 3의 배수이므로, 두 3의 배수의 합인 $(n+1)^3 - (n+1)$도 3의 배수이다.

검산. 둘째 줄은 $n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n - 1 = n^3 + 3n^2 + 2n$으로 맞고, 셋째 줄은 $(n^3 - n) + 3n^2 + 3n = n^3 + 3n^2 + 2n$으로 둘째 줄과 일치한다. 수치로는 $n = 2$일 때 좌변이 $27 - 3 = 24$이고, 우변이 $(8 - 2) + 3 \cdot 2 \cdot 3 = 6 + 18 = 24$이다.

복기. 주석 열의 값어치는 셋째 줄에서 드러난다. 셋째 줄은 계산이 아니라 재그룹 이라, 무엇을 위해 그렇게 묶었는지가 식만으로는 보이지 않는다. 근거 열이 그 의도를 지면에 남긴다 — S3주차 §1.6에서 “압축된 증명이 지우는 것”으로 꼽은 항목 중 하나를 미리 복원해 두는 셈이다.

문제 17#

접근. 같은 문서 안에 두 경우가 함께 나타나는 상황을 상상하면 구분이 선명해진다. C3주차의 본문은 “$P \Rightarrow Q$의 대우는 무엇인가”를 논하면서, 같은 장의 예제 증명은 “…이면 …이다”로 적는다. 같은 기호가 한쪽에서는 소재이고 다른 쪽에서는 도구다.

풀이. C3~C4주차에서 논리 기호를 본문에 쓰는 것이 정당한 이유는, 그 장에서 기호 자체가 다루어지는 대상이기 때문이다. “$P \Rightarrow Q$와 $\neg Q \Rightarrow \neg P$가 동치이다”라는 주장에서 $\Rightarrow$는 논증의 도구가 아니라 논증의 소재이고, 소재를 낱말로 풀어 쓰면 어느 것이 논의되는 형식인지 지목할 수 없게 된다. 원칙 3이 이 경우를 예외로 둔 이유가 이것이다.

그럼에도 증명의 산문에서 낱말을 쓰는 이유는 다르다. 그 자리에서 논리는 사용되는 도구이고, 독자가 확인해야 할 것은 논리의 형식이 아니라 각 줄이 어떤 근거로 다음 줄을 낳는가이다. 화살표는 그 근거를 담지 못한다 — “$A \Rightarrow B$”는 두 문장의 관계만 적을 뿐 왜 그 관계가 성립하는지 적지 않으므로, 낱말로 “정의에 의해”, “닫힘성에 의해”를 적어야 근거가 지면에 남는다.

복기. 두 경우를 가르는 물음은 하나다 — 이 기호가 지금 말해지고 있는 것인가, 말하는 데 쓰이는 것인가. 앞이면 본문에 쓰고, 뒤이면 낱말로 푼다. 이 구분은 C3주차에서 정식으로 다뤄지고, 그때까지는 이 물음 하나만 들고 다니면 된다.

문제 18#

접근. 화살표를 하나씩 세어 보면 여덟 개다. 여덟 개를 전부 접속 낱말로 바꾸되, 바꾸면서 각 화살표가 실제로 어떤 근거로 성립했는지 적는다. 그러면 원 증명이 생략한 근거가 어디에 몇 개 있었는지도 함께 드러난다.

풀이. 위반 목록은 다음과 같다. 원칙 1 — “Thm:”과 “Pf:” 뒤가 기호로 시작하고, “suppose $\sqrt2 = a/b$”도 마찬가지다. 원칙 3 — $\Rightarrow$가 여덟 번 접속사로 쓰였다. 원칙 6 — 진술과 각 걸음이 전부 조각이고 서술어가 없다. 원칙 8 — $a$, $b$, $c$의 자격(정수라는 것)이 밝혀지지 않았고, “gcd=1”이 무엇의 최대공약수인지 적혀 있지 않다. 원칙 2 — “$2 \mid a^2$”처럼 기호와 기호가 낱말 없이 연달아 붙어, 나눔 관계인지 다른 관계인지 문맥 없이는 판정되지 않는다. 6조 6항 — 개시 표시가 없다. 재작성은 다음과 같다.

정리. $\sqrt2$는 무리수이다.

증명. 귀류법으로, $\sqrt2$가 유리수라 가정하자. 그러면 서로소인 양의 정수 $a$와 $b$가 존재하여 $\sqrt2 = \dfrac{a}{b}$이다. 양변을 제곱하면 $2 = \dfrac{a^2}{b^2}$이고, 양변에 $b^2$을 곱하면 다음을 얻는다.

\[ a^2 = 2b^2 \]

따라서 $a^2$은 짝수이고, 정수의 제곱이 짝수이면 그 정수도 짝수이므로 $a$는 짝수이다. 짝수의 정의에 의해, 어떤 정수 $c$에 대해 $a = 2c$이다. 이를 위 식에 대입하면 $4c^2 = 2b^2$이고, 양변을 2로 나누면 $b^2 = 2c^2$이다. 따라서 $b^2$도 짝수이고, 같은 근거로 $b$도 짝수이다. 그러면 $a$와 $b$가 공약수 2를 가지므로 서로소라는 가정에 모순이다. 따라서 $\sqrt2$는 무리수이다. $\blacksquare$

논평. 원 증명의 논리는 완전히 옳다. 여덟 개의 화살표는 모두 성립하는 함의이고, 결론도 참이다. 무너진 것은 전달뿐이다 — 화살표 나열은 각 걸음이 어떤 근거로 성립하는지를 지면에서 지우고, 그 복원을 독자에게 넘긴다. 재작성본에서 늘어난 것은 정확히 그 근거들이다(“정수의 제곱이 짝수이면 그 정수도 짝수”, “짝수의 정의에 의해”, “양변을 2로 나누면”). “옳은 증명의 나쁜 전달”의 표본이다.

문제 19#

접근. 명제는 계산이 두 줄 이상 나오는 것으로 고른다. 계산이 한 줄이면 표시법을 적용할 자리가 없어 원칙 절반이 놀게 된다. 개선 지점 세 개는 서로 다른 층에서 하나씩 고르면 자기 답안의 약점 분포가 보인다 — 문장 층, 진술 설계 층, 배치 층.

풀이. 자기 답안을 대상으로 하는 문제이므로 채점은 다음 절차로 한다. ① 원답안을 그대로 옮겨 적는다(기억으로 고쳐 적으면 비교가 무의미해진다). ② 10원칙과 표시법 3규칙을 차례로 대조하며 위반에 번호를 단다. ③ 번호가 달린 자리만 고쳐 새 답안을 쓴다. ④ 두 답안을 나란히 놓고 달라진 자리 세 개를 층별로 표시한다.

시연으로, 1권 1주차의 “홀수와 홀수의 합은 짝수”를 예로 든다. 흔한 원답안은 “$m, n$ 홀수. $m = 2a+1$, $n = 2b+1$. $m+n = 2a+2b+2 = 2(a+b+1)$. 짝수.” 형태다. 층별 개선은 이렇게 나온다. 문장 층 — 네 조각을 완결 문장으로 바꾸고 첫 문장을 낱말로 연다(원칙 1$\cdot$6). 진술 설계 층 — $a$, $b$의 자격을 “어떤 정수”로 밝힌다 (원칙 8). 배치 층 — 등호 두 개의 계산을 표시로 올린다(규칙 1). 고친 답안은 “정수 $m$과 $n$을 홀수라 하자. 홀수의 정의에 의해, 어떤 정수 $a$, $b$에 대해 $m = 2a+1$이고 $n = 2b+1$이다. 그러면 $m + n = 2a + 2b + 2 = 2(a+b+1)$이고, $a+b+1$은 정수이므로 $m+n$은 짝수이다. $\blacksquare$”가 된다.

복기. 세 층에서 하나씩 나온다는 것은 우연이 아니다. 학습자마다 약한 층이 다르고, 층별로 세어 보면 자기 답안이 어느 층에서 반복적으로 무너지는지 드러난다. 그 층의 원칙만 카드로 만들어 답안 옆에 두는 것이 가장 빠른 교정 방법이다.

문제 20#

접근. (a)는 예제 2.1의 두 답안이 담은 수학이 같다는 사실 하나로 논증이 끝난다. (b)는 두 문장이 각각 한 쪽씩 맡는다 — 설계 기록이 무엇을 담는지, 제출물이 무엇만 담는지.

풀이. (a) 예제 2.1의 답안 A와 답안 B는 같은 $n = 2k+1$, 같은 전개, 같은 결론을 담고 있으므로 수학적으로 구별되지 않는다. 그럼에도 A는 다섯 조각을 문장으로 재구성하는 일을 독자에게 넘기고 B는 넘기지 않으며, 넘겨진 쪽에서는 근거 추적이 중단될 수 있다. S1주차에서 증명의 상대를 회의적인 독자로 놓은 관점이 종이 위에서는 “독자가 각 줄의 근거를 스스로 복원할 수 있게 쓰기”로 실현되고, 답안 A는 그 관점의 시험을 통과하지 못한다.

(b) 설계 기록은 아직 참임이 확인되지 않은 목표까지 담으므로, 화살표와 양화사 기호로 압축해 적는 것이 오히려 효율적이다(S3주차 §1.7의 분석표). 제출물은 확보된 참만 확보된 순서대로 담으므로 그 압축을 풀어 각 걸음의 근거를 낱말로 적어야 하고, 그래서 같은 사람이 같은 증명을 두 가지 문법으로 쓰게 된다.

복기. 두 물음은 같은 원리의 앞뒤다. 설계와 제출을 나누는 이유도, 완성 글에서 논리 기호를 푸는 이유도, 읽는 사람이 다르기 때문이다 — 설계 기록의 독자는 자기 자신이고 제출물의 독자는 회의적인 타인이다.

다음 주 예고 (C2주차): Chartrand 1장 — 집합을 두 번째 언어로 다시 만난다. 1권 3~6주차의 집합을 Chartrand의 기호와 용어로 재조직하고(원소$\cdot$부분집합$\cdot$멱집합$\cdot$연산$\cdot$ 데카르트 곱$\cdot$인덱스 집합족), 이 책만의 강조점인 집합 만들기 표기법과 서로소 집합족을 얻는다. 겹치지만 다른 언어로 다시 세우는 첫 복습이고, 이번 주에 정한 전달 규칙이 그 재조직의 서식이 된다. 원서 1장을 통독하고 온다.

증명의 한 줄	왜 이 줄을 쓰는가?
증명. 정수 \(n\)이 홀수라 하자.	낱말로 문장을 열고(원칙 1) \(n\)의 자격을 밝힌다(원칙 8). “증명.”은 6조 6항의 개시 표시다.
홀수의 정의에 의해, 어떤 정수 \(k\)에 대해 \(n = 2k + 1\)이다.	근거를 낱말로 앞세우고(근거 ①), 새 문자 \(k\)의 범위를 그 자리에서 고정한다(원칙 8).
그러면 다음이 성립한다. (표시된 계산 한 줄)	등호로 이어진 계산을 표시로 떼어 낸다(규칙 1). 표시 앞에 예고 문장을 두어 본문 문장이 끊기지 않게 한다.
\(2k^2 + 2k\)는 정수의 곱과 합이므로 정수이다.	닫힘성을 낱말로 적는다(근거 ②, 6조 5항\(\cdot\)원칙 6). 답안 A가 통째로 생략한 줄이다.
따라서 \(n^2\)은 홀수이다. \(\blacksquare\)	결론을 완결 문장으로 닫는다(원칙 6). \(\blacksquare\)가 종료 표시다(6조 6항).

항목	답안 A의 위반	답안 B의 준수
문장 시작	“\(n\) 홀수” — 기호로 시작 (원칙 1)	“정수 \(n\)이 …” — 낱말로
완결 문장	다섯 개의 조각 — 서술어가 없다 (원칙 6)	다섯 개의 완결된 서술문
기호 소개	\(k\)의 자격이 없다 (원칙 8)	“어떤 정수 \(k\)에 대해”
논리 기호	\(\therefore\) 와 \(\forall\) 를 산문에 썼다 (원칙 3)	“따라서”, “이므로”로 풀었다
수식 배치	계산을 본문에 눌러 넣었다 (규칙 1)	계산을 표시로 떼어 냈다
근거	닫힘성 확인이 없다 (근거 ②)	“정수의 곱과 합이므로 정수”

걸음	검산	왜 이 줄이 필요한가
\((2k+1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1\)	이항 전개 ✓	둘째 줄의 첫 괄호
\(3(2k+1)^2 = 3(4k^2+4k+1) = 12k^2 + 12k + 3\)	✓	둘째 줄의 둘째 항
계수 합산 \(8k^3 + (12+12)k^2 + (6+12-2)k + (1+3-1+4)\)	\(8k^3 + 24k^2 + 16k + 7\) ✓	셋째 줄 — 정리
\(2(4k^3+12k^2+8k+3) = 8k^3+24k^2+16k+6\), 여기에 \(+1\)	\(= 8k^3+24k^2+16k+7\) ✓	넷째 줄 — 홀수의 정의 꼴