C20주차 — 전 과정 수료: 조망 + 최종 수료 시험

내용

C20주차 — 전 과정 수료: 조망 + 최종 수료 시험#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 90주가 남긴 것은 분야별 지식의 목록이 아니라 하나의 절차다 — 명제를 받아 진리 상태를 재고, 결론의 겉모양에서 기법을 지목하고, 무대의 정의를 전진면과 후진면으로 펴고, 완성한 답안에 다섯 걸음을 돌리는 절차이며, 앞으로 만날 환론$\cdot$선형대수$\cdot$해석학은 이 절차에 새 정의와 새 대상을 들여올 뿐이다.

이 주의 위치: 2학기 20주 과정의 마지막 주. C9주차가 전반부를 하나의 기법 지도로 접었고, C10주차~C19주차가 그 지도를 추측$\cdot$동치관계$\cdot$함수$\cdot$기수$\cdot$정수론$\cdot$조합론$\cdot$해석학$\cdot$군론의 무대로 옮겨 심었다. 이번 주는 2학기 전체를 한 장으로 통합하고, 1권 50주차와 S20주차가 각자의 범위에 대해 한 일을 90주 전체에 대해 한다. 이 주차 뒤에는 다음 주차가 없다.

원서 대응: Chartrand 16~18장(환론$\cdot$선형대수$\cdot$실수와 복소수)의 조망. 세 장은 새 기법을 들여오는 자리가 아니라 지금까지의 도구를 새 대상 위에 얹는 자리이므로, 이번 주에는 정의와 정리의 진술만 훑고 증명은 각 분야를 정식으로 공부할 때로 미룬다.

이번 주 목표#

Chartrand 16~18장이 여는 세 분야(환론$\cdot$선형대수$\cdot$실수와 복소수)를 조망하고, 지금까지의 도구가 각 분야에서 무엇이 되는지 확인한다.
C1주차~C19주차를 하나의 통합 지도로 접고, 2학기를 관통한 네 주제를 이름으로 부른다.
1권$\cdot$1학기$\cdot$2학기를 아우르는 최종 수료 시험 20문항으로 전 범위를 점검하고, 오답을 재학습 지도로 되돌린다.
앞으로 낯선 증명 교재를 혼자 읽고 그 연습문제에 손을 댈 수 있는 상태인지 확인한다.

준비 운동 (전 과정 복습)#

S17주차의 기법 선택 결정 나무와 C9주차 §1의 Chartrand 전반부 기법 지도를 백지에 재현하시오.
2학기에 회수한 빚 셋 — 산술의 기본정리의 유일성(C15주차 정리 1.5), 미분의 정의(C17주차), 유클리드 보조정리(C15주차 정리 1.4) — 이 각각 무엇에 기대어 세워졌는지 한 줄씩 적으시오.
C1주차~C19주차의 [백지 암기 대상] 상자 가운데 불안한 것 다섯 개를 골라 다시 채우시오.

세 항목에서 막힌 자리가 그대로 시험에서 막히는 자리다. 채워지지 않은 항목이 있으면 §1로 넘어가기 전에 해당 주차의 상자로 돌아간다. §1과 §2는 새 내용을 주는 절이 아니라 이미 가진 것을 하나의 순서로 배열하는 절이므로, 배열될 재료가 비어 있으면 §2의 통합 지도도 빈 채로 외우게 된다.

항목 1에 적은 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 두 나무의 일부를 정확히 붙들었고, 셋 다 이번 주에 메울 간격이 하나씩 있다.

유형 1 — 두 나무를 하나로 합쳐 적는다. S17주차의 결정 나무와 C9주차의 기법 지도를

구분 없이 한 그림으로 그린다. 잎의 목록은 대체로 옳다. 간격은 두 나무의 층위가 다르다는 것이다 — 결정 나무는 명제의 겉모양에서 기법을 지목하는 나무이고, 기법 지도는 그 앞뒤에 진리 상태 점검(1단계)과 검증(4단계)을 붙여 놓은 절차다. 합쳐 적으면 진리 상태 점검이 가장 먼저 떨어져 나가고, 문제 1(f)처럼 명제가 참인지부터 물어야 하는 자리에서 기법이 먼저 지목된다.

유형 2 — 잎은 전부 적었으나 갈래를 가르는 물음이 없다. 귀류$\cdot$대우$\cdot$구성$\cdot$선택$\cdot$귀납$\cdot$반례를

빠짐없이 나열하되, 명제를 받았을 때 어느 잎으로 내려갈지 정해 주는 물음이 적혀 있지 않다. 재료는 다 있다. 간격은 절차이며, 물음이 없는 나무는 검색표이지 절차가 아니다. 문제 1의 여섯 명제 앞에서 이 간격이 그대로 드러난다.

유형 3 — 무대 전개 단계를 빠뜨린다. 기법까지는 정확히 지목하는데 그다음 걸음이

비어 있다. 기법 지목은 첫 문장의 동사를 정할 뿐이고, 몸통은 무대의 정의를 펴는 데서 나온다. 이 단계가 없으면 “임의로 잡자” 다음 줄에 결론이 곧바로 나오는 답안이 된다. 문제 7$\cdot$9$\cdot$11$\cdot$14가 전부 무대 전개에서 갈리는 문항이다.

다음 세계 조망 (Chartrand 16~18장)#

C19주차까지로 증명을 읽고 쓰고 채점하는 일은 한 벌 갖춰졌다. Chartrand의 마지막 세 장은 여기에 기법을 더하지 않는다. 대신 이미 가진 도구를 세 종류의 새 대상 위에 얹는다. 아래 상자는 각 장이 무엇을 대상으로 삼는지와, 그 대상이 이 과정의 어느 자리에서 이미 한 번 지나갔는지를 짝지은 것이다.

환론 (ring theory, 16장): 군에 연산을 하나 더 얹은 구조다 — 덧셈에 대해 아벨 군이고, 곱셈이 분배법칙으로 덧셈과 맞물린다. $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}_n$(C11주차 정의 11.5), 다항식, 정사각 행렬이 모두 환이다. 주요 주제는 이상(ideal)과 인수분해이며, C15주차 정리 1.5의 산술의 기본정리는 “$\mathbb{Z}$라는 환에서 인수분해가 유일하다”는 진술의 한 사례로 다시 읽힌다.

선형대수 (linear algebra, 17장): 벡터공간과 선형사상, 그리고 그것을 좌표로 적은 행렬. C18주차 문제 19의 $GL_2(\mathbb{R})$이 그 무대의 한 조각이고, 차원$\cdot$기저$\cdot$고윳값이 새 어휘다. C12주차의 함수와 C19주차의 준동형이 여기서 선형사상이라는 하나의 이름으로 다시 나타난다.

실수와 복소수 (18장): 실수를 유리수에서 짓는 일과 복소수의 도입. 이 과정은 실수의 완비성 — 위로 유계인 비공집합에 상한이 존재한다는 성질 — 을 S16주차에서 공리로 채택해 증명 없이 인정하고 썼고, 중간값 정리도 같은 자격으로 인용했다(C7주차 문제 13). 18장은 인정하고 쓰던 그 사실을 증명 대상으로 되돌린다. C17주차의 극한$\cdot$연속$\cdot$미분이 그 위에 다시 놓인다.

세 분야의 공통점은 대상이 아니라 도구에 있다. 집합$\cdot$논리$\cdot$양화사$\cdot$귀납$\cdot$동치관계$\cdot$함수$\cdot$구조는 어느 분야에서도 그대로 쓰이고, 달라지는 것은 무대의 정의뿐이다. 새 책을 펼쳤을 때 늘어나는 것은 외울 기법이 아니라 펴야 할 정의라는 뜻이다.

확인 1. 위 세 분야가 이 과정에서 이미 한 번 나타났던 자리를 각각 하나씩 대 보자. 환론$\cdot$선형대수$\cdot$실수는 각각 어느 주차의 무엇이었는가.

답

환론 — C15주차의 산술의 기본정리. 소인수분해의 존재와 유일성을 $\mathbb{Z}$ 하나에서

증명한 것이 환론에서는 “어떤 환에서 인수분해가 유일한가”라는 물음이 된다.

선형대수 — C18주차 문제 19의 $GL_2(\mathbb{R})$. 가역 행렬의 집합이 행렬 곱에 대해

군임을 확인한 것이 선형사상의 세계로 들어가는 입구였다.

실수 — S16주차의 상한과 완비성 공리, 그리고 C17주차의 극한$\cdot$연속$\cdot$미분. 완비성을 공리로

받아들이고 그 위에서 극한을 다룬 것이 18장에서 되짚어진다.

확인 2. “새 분야는 새 대상일 뿐 증명하는 절차는 같다”는 진술을 검사해 보자. 군의 동형(C19주차)을 증명할 때 쓴 절차 가운데, 환이나 벡터공간으로 무대를 옮겨도 그대로 쓰이는 것은 무엇이고 갈아 끼워야 하는 것은 무엇인가.

답

그대로 쓰이는 것: 전단사 증명의 두 갈래(단사$\cdot$전사, C12주차 정의 12.2), 구조 보존 등식을

임의의 두 원소에 대해 확인하는 선택법, 비동형을 보일 때 불변량의 차이를 지목하는 반례

서식.

갈아 끼우는 것: 보존해야 할 연산의 개수와 이름뿐이다. 군에서는 $\varphi(a*b) =

\varphi(a)\cdot\varphi(b)$ 하나였고, 환에서는 덧셈과 곱셈 두 등식이 되며, 벡터공간에서는

덧셈과 스칼라배 두 등식이 된다. 증명의 골격은 세 경우 모두 같고, 확인할 등식의 수만

늘어난다.

2학기 통합 지도 [백지 암기 대상]#

C1주차~C19주차는 열아홉 개의 독립된 주제가 아니다. 언어를 세우고, 기법을 갖추고, 구조로 들어가고, 무한과 수를 다루고, 분야로 나가는 다섯 구간이다. 아래 상자가 그 다섯 구간과 전 구간을 관통한 네 주제를 한 장에 접은 것이며, 1부의 복원 대상이다.

백지 암기 대상

2학기 통합 지도 (C1주차~C19주차)

C1주차~C4주차 — 언어. 수학적 글쓰기(기호 사용의 원칙) $\to$ 집합(인덱스 모임$\cdot$분할) $\to$ 논리(동치의 대수) $\to$ 양화사와 특성화. 이 넉 주가 하는 일은 명제를 문면 그대로 읽을 수 있게 만드는 것이다.

C5주차~C8주차 — 기법. 직접$\cdot$대우와 자명$\cdot$공허, 그리고 증명 평가 $\to$ 다섯 무대의 직접 증명 심화(나눗셈$\cdot$합동$\cdot$실수 부등식$\cdot$집합 포함$\cdot$데카르트 곱) $\to$ 반례$\cdot$귀류$\cdot$존재 $\to$ 귀납과 최소 반례.

C9주차~C12주차 — 구조로 들어가기. 전반부 종합과 기법 지도 $\to$ prove or disprove(참$\cdot$거짓이 표시되지 않은 명제) $\to$ 동치관계와 분할 $\to$ 함수(단사$\cdot$전사$\cdot$전단사$\cdot$역함수).

C13주차~C16주차 — 무한과 수. 기수(가산$\cdot$비가산) $\to$ 기수 비교와 슈뢰더–번슈타인 정리 $\to$ 정수론(최대공약수$\cdot$베주 항등식$\cdot$유클리드 보조정리$\cdot$산술의 기본정리) $\to$ 조합론(세는 것으로 증명하기).

C17주차~C19주차 — 분야. 해석학(극한$\cdot$연속$\cdot$미분) $\to$ 군론 I(이항연산$\cdot$군$\cdot$순열군) $\to$ 군론 II(부분군$\cdot$위수$\cdot$동형).

관통 주제 넷. ① 증명 평가 — 채점자 되기(C5주차$\cdot$C9주차) ② well-defined — 대표로 정의한 것이 대표 선택에 의존하지 않음(C11주차$\cdot$C18주차) ③ 유일성(1권 26주차 정의 26.3 $\to$ S13주차 $\to$ C11주차 $\to$ C15주차 $\to$ C18주차) ④ 빚 회수 — 산술의 기본정리의 유일성(C15주차)$\cdot$미분의 정의(C17주차)$\cdot$유클리드 보조정리(C15주차).

다섯 구간의 이음. 언어가 명제를 문면 그대로 읽을 수 있게 만들어 기법에 넘기고, 기법이 명제 한 줄에서 첫 문장을 뽑는 절차를 구조에 넘기며, 구조가 대상 사이의 관계와 대응을 무한과 수에 넘기고, 거기서 세운 기수$\cdot$정수론$\cdot$조합론이 분야의 정리를 증명하는 재료가 된다. 이 다섯 구간이 쓰는 절차는 1학기 S17주차의 기법 선택 결정 나무를 C9주차 §1의 기법 지도가 받아 그 2단계에 그대로 심은 것이다.

네 관통 주제는 장식이 아니다. 각각이 맡은 일이 있고, 빠지면 무너지는 자리가 있다. 아래 표의 셋째 열은 이번 주 문항으로 채운다.

관통 주제	하는 일	이 주제를 빼면 무엇이 무너지는가
① 증명 평가	완성한 답안에 다섯 걸음을 돌려 옳음$\cdot$틀림$\cdot$불완전을 가른다	문제 13의 특정 값 둘이 전칭 명제의 증명으로 통과한다 — 결론이 참이라는 이유로 자기 답안의 결함도 함께 통과한다
② well-defined	대표로 정의한 대응이 대표 선택에 의존하지 않음을 확인한다	문제 17의 $\varphi([k]) = i^k$가 정의되었는지 물을 자리가 없어진다 — $[0] = [4]$인데 $i^0$과 $i^4$이 다르면 함수 자체가 없다
③ 유일성	존재를 보인 뒤 “그것뿐”까지 따로 증명한다	문제 15가 성립하지 않는다 — 소인수분해가 존재만 하고 유일하지 않으면 지수를 세는 논증이 근거를 잃는다
④ 빚 회수	인정하고 쓰던 사실을 증명 대상으로 되돌린다	문제 7$\cdot$12가 각각 유클리드 보조정리와 미분의 정의를 기성품으로 인용한 채 남는다 — 무엇을 증명했고 무엇을 빌렸는지 구분되지 않는다

확인 3. 관통 주제 ③ 유일성이 S13주차 $\to$ C11주차 $\to$ C15주차 $\to$ C18주차의 순서로 적힌 이유가 있다. 네 자리에서 유일성의 대상이 각각 무엇이었는지 대 보자.

답

S13주차 — “정확히 하나”라는 진술 자체의 두 얼굴(존재 + 유일)과 그 서식.

C11주차 — 동치류의 유일성. 한 원소가 속하는 동치류가 하나뿐이라는 사실이 동치류들의

모임을 분할로 만든다.

C15주차 — 소인수분해의 유일성. 유클리드 보조정리가 이 유일성을 낳는다.

C18주차 — 항등원과 역원의 유일성. 항등원 쪽은 (G2) 하나로 증명되고(정리 1.1),

역원 쪽에서 비로소 결합법칙 (G1)이 유일한 도구가 된다(정리 1.2). 두 정리가

소비하는 공리가 다르다는 것이 C18주차의 관찰이다.

대상은 네 번 모두 다르고, 서식도 하나가 아니다. S13주차$\cdot$C11주차$\cdot$C18주차는

얼굴 1 — 조건을 만족하는 둘을 잡아 같음을 보인다. C15주차는 얼굴 2 계열 —

서로 다른 두 소인수분해를 갖는 최소 반례를 잡아 모순을 낸다(C15주차 예제 2.3의

서식이 최소 반례법이다). 유일성이라는 목표가 하나여도 개시문은 둘이라는 것이

S13주차의 요지다.

확인 4. 다섯 구간 가운데 “구조로 들어가기”(C9주차~C12주차)가 그 이름을 얻은 이유는 무엇인가. 그 앞의 두 구간과 무엇이 달라졌는가.

답

C1주차~C8주차의 대상은 정수$\cdot$실수$\cdot$집합처럼 이미 손에 있던 것이었고, 증명의 무대는 그

대상 위에서 정의를 펴는 일이었다. C11주차의 동치관계와 C12주차의 함수는 대상이 아니라

대상들 사이의 관계와 대응을 다루며, 그것 자체가 새로운 연구 대상이 된다. 동치관계가

집합을 조각내고 함수가 두 집합을 잇는 순간, 증명은 원소를 추적하는 일에서 구조를

비교하는 일로 옮겨 간다. C13주차의 기수와 C18주차~C19주차의 군이 그 옮겨 간 자리에서만

가능한 물음이다.

관통 주제	하는 일	이 주제를 빼면 무엇이 무너지는가
① 증명 평가	완성한 답안에 다섯 걸음을 돌려 옳음\(\cdot\)틀림\(\cdot\)불완전을 가른다	문제 13의 특정 값 둘이 전칭 명제의 증명으로 통과한다 — 결론이 참이라는 이유로 자기 답안의 결함도 함께 통과한다
② well-defined	대표로 정의한 대응이 대표 선택에 의존하지 않음을 확인한다	문제 17의 \(\varphi([k]) = i^k\)가 정의되었는지 물을 자리가 없어진다 — \([0] = [4]\)인데 \(i^0\)과 \(i^4\)이 다르면 함수 자체가 없다
③ 유일성	존재를 보인 뒤 “그것뿐”까지 따로 증명한다	문제 15가 성립하지 않는다 — 소인수분해가 존재만 하고 유일하지 않으면 지수를 세는 논증이 근거를 잃는다
④ 빚 회수	인정하고 쓰던 사실을 증명 대상으로 되돌린다	문제 7\(\cdot\)12가 각각 유클리드 보조정리와 미분의 정의를 기성품으로 인용한 채 남는다 — 무엇을 증명했고 무엇을 빌렸는지 구분되지 않는다