S16주차 — 최대/최소법: max·min을 양화사로 번역하기

이 주의 길잡이

핵심 문장: max와 min은 명사가 아니라 접혀 있는 양화사 덩어리다 — 펴면 “\(\max S \le c\)”는 \(\forall\) 명제, “\(\max S \ge c\)”는 \(\exists\) 명제가 되고, 그 순간 S5~S8주차의 기법이 그대로 돌아간다.

이 주의 위치: 1학기 20주 과정의 S16주차이자 양화사 4부작(S5~S8주차)의 응용 완결편. 1권 16주차 정의 16.2가 최솟값을 두 조각으로 세워 두었고 1권 16주차 문제 18이 “부등식 + 등호 달성”의 2단 답안을 요구했는데, 그 두 조각이 여기서 \(\forall\)와 \(\exists\)라는 양화사 이름을 얻어 선택법\(\cdot\)구성법에 각각 연결된다. S4주차 문제 18이 “두 과녁”으로 예고한 자리에 서식이 붙고, 다음 주 S17주차의 결정 나무는 이번 주의 판정표를 마지막 가지로 받는다.

원서 대응: Solow 14장. 주간 루틴 1일차에 원서 14장을 통독한 뒤 이 문서로 온다.

이번 주 목표

1. max\(\cdot\)min의 정의를 **두 조각(소속 + 지배)**으로 분해하고, 각 조각이 어느 양화사인지 지목한다.

2. 부등식 번역표 네 칸을 백지에 쓰고, 그 네 칸이 왜 그렇게 갈리는지를 정의에서 유도한다.

3. “\(\max S = c\)”의 2부 서식을 절차 해부로 굳히고, 각 걸음을 빼면 무엇이 무너지는지 사례로 말한다.

4. 상계\(\cdot\)하계\(\cdot\)상한(sup)을 구분하고, max와 sup의 경계가 소속 조각의 유무 하나임을 밝힌다 — 1권 22주차 문제 10(최솟값 부재)과 S11주차 문제 18(최댓값 부재)에서 “없다”고만 적던 집합에 이름을 붙이는 자리이며, 실수의 완비성으로 가는 문턱이다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (S15주차 복습)

노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다.

1. \(\lor\)가 가정 쪽에 있을 때와 결론 쪽에 있을 때 각각 어느 도구가 붙는지 쓰시오.

2. S6주차 선택법의 첫 문장과 S5주차 구성법의 마지막 걸음을 각각 한 줄로 쓰시오 — 이번 주에 둘 다 쓴다.

3. 1권 16주차 문제 18에서 “\(x > 0\)일 때 \(x + \frac9x\)의 최솟값이 6이다”를 주장하려면 답안에 무엇이 두 가지 들어가야 했는지 쓰시오.

이어서 다음 과제를 해 보자. 명제 “\(S = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \le 9\}\)의 최댓값은 3이다”를 증명해 보자. 조건을 하나 붙인다 — 이번 주의 새 이름을 쓰지 말고 S15주차까지의 도구만으로 밀어 보자.

자주 나오는 세 가지 답

이 자리에서 나오는 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 S15주차까지를 제대로 익힌 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다.

• 유형 1 — 집합을 먼저 푼다. “\(x^2 \le 9\)는 \(-3 \le x \le 3\)과 같으므로

\(S = [-3, 3]\)이고, 따라서 최댓값은 3이다.” 집합을 구간으로 푼 계산은 옳고, 그 계산이 없으면 이 문제는 시작되지 않는다. 비어 있는 것은 마지막 한 걸음이다 — 구간 \([-3, 3]\)의 오른쪽 끝이 3이라는 것과 “3이 \(S\)의 최댓값이다”라는 명제는 다른 문장이고, 뒤의 문장이 요구하는 것이 무엇인지는 아직 적히지 않았다. 그 요구를 조각으로 적어 내는 것이 정의 16.1이다.

• 유형 2 — 상계만 증명한다. “임의의 \(x \in S\)를 잡자. \(x^2 \le 9\)이므로 \(x \le 3\)이다.

따라서 최댓값은 3이다.” 앞의 두 문장은 옳고 완결되어 있다 — S6주차 선택법의 서식 그대로다. 그러나 증명된 것은 “3은 \(S\)의 모든 원소보다 크거나 같다”까지이고, 이 사실은 4에 대해서도, 100에 대해서도 똑같이 참이다. 곧 이 답안은 3을 하나로 지목하지 못한다. 무엇이 더 필요한지는 §1.1의 둘째 막힘에서 정확히 드러난다.

• 유형 3 — 첫 문장이 나오지 않는다. “최댓값”이 명사여서 후진 과정의 핵심 질문(“어떻게

하면 어떤 수가 집합의 최댓값이 되는가”)에 댈 답 목록이 손에 없다. S4주차의 진단대로 이것은 정의가 없는 상태이지 능력의 문제가 아니고, 이번 주의 정의 16.1이 그 답 목록을 준다.

이번 주가 새로 주는 것. 세 유형을 늘어놓으면 이번 주의 몫이 계산이 아니라는 것이 보인다. 계산은 유형 1과 유형 2가 이미 끝냈다. 비어 있는 것은 두 가지다 — max\(\cdot\)min이라는 명사를 양화사 문장으로 펴는 번역(§1.3), 그리고 그렇게 펴진 두 조각을 답안 위에 배치하는 서식(§1.4)이다.

개념 — 최대/최소법

1 max를 만나면 어디서 막히는가

이번 주의 도구를 세우기 전에, max가 놓인 두 자리에서 각각 한 번씩 막혀 본다.

막힘 (가) — 목표에 max가 있을 때. 준비 운동의 명제를 S3주차의 후진 과정으로 밀어 보자.

시도 — 핵심 질문에 댈 답이 없다

목표 \(B\): “\(\max S = 3\)이다.”

핵심 질문: “어떻게 하면 어떤 실수가 어떤 집합의 최댓값임을 보일 수 있는가?”

답 목록: … 비어 있다.

여기서 멈춘다. S5~S8주차의 네 기법은 모두 명제의 겉모양에 있는 양화사를 보고 붙는데, “\(\max S = 3\)”의 겉모양에는 \(\forall\)도 \(\exists\)도 없다. 등호 하나뿐이다.

확인 1. 위 시도가 멈춘 자리에서, 답 목록을 채우려면 무엇이 있어야 하는가. S4주차의 어느 절차가 그것을 공급하는가.

답

정의가 있어야 한다. S4주차가 세운 대로 후진 질문의 표준 답안지는 정의이고,

“최댓값”이라는 낱말의 정의를 펴야 목표가 검사 가능한 조건으로 바뀐다.

정의를 펴기 전까지 “\(\max S = 3\)”은 계산할 수 없는 명사이고, 편 뒤에야 양화사가 드러나

기법이 붙는다. 이번 주의 전체 줄거리가 이 한 줄이다 — 명사를 펴면 양화사가 나온다.

막힘 (나) — 부등식 안에 max가 있을 때. 이번에는 목표가 등식이 아니라 부등식이다. 명제 “\(\max S \ge 5\)이다”와 “\(\max S \le 5\)이다”를 각각 증명한다고 하자. 두 명제는 부등호만 다르다.

확인 2. 두 명제에 각각 S6주차 선택법(“임의의 \(x \in S\)를 잡자”)을 붙여 보자. 어느 쪽에서 그 첫 문장이 목표에 닿고, 어느 쪽에서 헛도는가. 헛도는 쪽에서 실제로 증명되는 것은 무엇인가.

답

“\(\max S \le 5\)” 쪽에서는 닿는다 — 임의의 원소가 5 이하임을 보이면 최댓값도 원소이므로

5 이하다. “\(\max S \ge 5\)” 쪽에서는 헛돈다. 임의의 \(x \in S\)에 대해 \(x \ge 5\)를 보이려

하면 증명되는 것은 “\(S\)의 전원이 5 이상”이고, 이는 원래 목표보다 훨씬 강한 명제이며

대개 거짓이다(\(S = [0, 9]\)에서 \(\max S = 9 \ge 5\)는 참이지만 전원이 5 이상은 거짓).

곧 같은 낱말 max가 붙어 있어도 부등호의 방향에 따라 붙는 기법이 다르다. 어느 쪽에

무엇이 붙는지를 네 칸으로 정리하는 것이 §1.3이다.

두 막힘의 원인은 하나다. max\(\cdot\)min은 그 자체로는 기법을 부르지 않는다. 기법을 부르는 것은 양화사이고, 양화사는 정의를 편 뒤에야 보인다.

2 사례 표를 채워 보기

정의를 세우기 전에, 유한집합에서 손으로 판정해 본다. \(S = \{1, 3, 5, 7\}\)이라 하자 (\(\max S = 7\), \(\min S = 1\)은 눈으로 보인다). 각 명제가 참인지 판정하고, 그 판정을 위해 실제로 무엇을 했는지를 오른쪽 열에 적는다.

명제	참\(\cdot\)거짓	판정하려고 실제로 한 일
\(\max S \le 7\)	참	네 원소 \(1, 3, 5, 7\)을 전부 검사해 모두 7 이하임을 확인했다
\(\max S \le 4\)	거짓	전부 검사하다 \(5\)에서 걸렸다 — 반례 하나로 무너진다
\(\max S \ge 5\)	참	\(\underline{\quad(1)\quad}\)
\(\min S \ge 1\)	참	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
\(\min S \le 3\)	참	\(3 \in S\)이고 \(3 \le 3\)인 원소 하나를 제시했다

확인 3. 빈칸 (1)(2)를 채우고, 완성된 다섯 줄이 두 부류로 갈리는 기준을 한 문장으로 적어 보자.

답

(1) \(5 \in S\)이고 \(5 \ge 5\)인 원소 하나를 제시했다(7을 제시해도 된다).

(2) 네 원소를 전부 검사해 모두 1 이상임을 확인했다.

갈리는 기준: 전원 검사인가, 원소 하나 제시인가. 첫째\(\cdot\)둘째\(\cdot\)넷째 줄은 전원 검사이고

(\(\forall\)), 셋째\(\cdot\)다섯째 줄은 하나 제시다(\(\exists\)). 그리고 이 표를 만드는 데 **새로운 기호나 규칙은

하나도 쓰이지 않았다** — 1권 16주차 정의 16.2의 두 조각과 1권 10주차에서 읽는 법을 정한

\(\forall\)\(\cdot\)\(\exists\)가 전부다.

이 관찰에 이름과 형식을 붙인다. 정의부터 세운다.

정의 16.1 — 최댓값 (maximum)·최솟값 (minimum) [백지 암기 대상]

실수들의 집합 \(S\)와 실수 \(M\)에 대해, \(M\)이 \(S\)의 최댓값이다(\(M = \max S\))라는 것은

다음 두 조각이 모두 성립한다는 뜻이다.

① (소속) \(M \in S\)이다.

② (지배) 모든 \(x \in S\)에 대해 \(x \le M\)이다.

\(m\)이 \(S\)의 최솟값이다(\(m = \min S\))라는 것은 ① \(m \in S\)이고 ② 모든 \(x \in S\)에

대해 \(m \le x\)라는 뜻이다.

\(\max S\)는 “에스의 최댓값”, \(\min S\)는 “에스의 최솟값”으로 읽는다. 조각 ①은 “그런 원소가 집합 안에 있다”는 \(\exists\) 성격의 요구이고(값 \(M\)이 이미 지목되어 있으므로 실제로는 자격 검증이다), 조각 ②는 문면 그대로 \(\forall\) 문장이다.

이 문서에서 번호만 적은 정의 16.1\(\cdot\)정의 16.2는 이번 주(S16주차)가 세우는 정의이고, 1권 16주차에도 같은 번호의 정의가 따로 있으므로 그쪽을 부를 때는 언제나 “1권 16주차 정의 16.1”처럼 권과 주차를 앞에 붙여 구별한다.

정의 해부. 두 조각이 하는 일이 다르고, 이번 주의 기법 배당도 여기서 갈린다.

조각	하는 일	증명에서의 역할
① \(M \in S\) (소속)	값을 하나로 지목한다	증인을 내놓고 자격을 검증하는 한 줄 — S5주차 구성법
② 모든 \(x \in S\)에 대해 \(x \le M\) (지배)	위에서 막는다	“임의의 \(x \in S\)를 잡자”로 여는 \(\forall\) 증명 한 덩어리 — S6주차 선택법

1권과의 관계. 정의 16.1의 min 쪽은 1권 16주차 정의 16.2와 요구하는 내용이 같다 — 다만 그 정의는 지배를 조각 ①, 소속을 조각 ②로 번호 매겼고, 이 문서는 S4주차 문제 18의 순서를 따라 소속을 조각 ①로 앞세운다. 조각 ②(지배)만 만족하는 수를 하계라 부른 것도 거기서 정한 이름이다(1권 쪽 번호로는 조각 ①이다). 1권 16주차 문제 18은 최솟값 주장에 “① 부등식 ② 등호 달성”의 2단을 요구했고, 1권 18주차의 유형별 첫수 표는 그 2단을 “하계/상계 + 등호 달성”으로 적어 두었다. 이번 주가 더하는 것은 조각이 아니라 이름이다 — 조각 ②가 \(\forall\) 문장이므로 S6주차 선택법이, 조각 ①이 값 하나를 내놓는 일이므로 S5주차 구성법이 각각 붙는다는 것. S4주차 문제 18이 “두 과녁”이라 부른 것에 여기서 기법이 배당된다.

확인 4. 정의 16.1에서 조각 ①을 지우면 무엇이 무너지는가. \(S = \{1, 3, 5, 7\}\)에서 실제로 무너지는 사례를 하나 들어 보자.

답

조각 ②만 남으면 상계가 전부 최댓값이 된다. \(S = \{1, 3, 5, 7\}\)에서 \(8\)도, \(100\)도

모든 원소보다 크거나 같으므로 조각 ②를 만족한다 — “최댓값”이라는 말이 값을 하나로

지목하지 못하게 된다(1권 16주차 정의 16.2가 소속 조각을 지워 보인 붕괴와 같다 — 1권에서는

그 조각이 ②로 매겨져 있다).

거꾸로 조각 ②를 지우면 원소는 전부 최댓값이 된다 — \(3 \in S\)이므로 3도 최댓값이라는

주장이 통과한다. 두 조각은 각각 다른 붕괴를 막고 있으므로 어느 하나도 뺄 수 없다.

3 부등식 번역표 [백지 암기 대상]

max\(\cdot\)min이 부등식 안에 들어 있을 때는 정의를 통째로 펴는 대신 다음 네 줄로 곧장 번역한다. 아래 표는 \(\max S\) 또는 \(\min S\)가 존재할 때 유효하다.

부등식	양화사 번역	붙는 기법
\(\max S \le c\)	\(\forall x \in S:\ x \le c\) (곧 “\(c\)는 \(S\)의 상계”)	선택법 (S6주차)
\(\max S \ge c\)	\(\exists x \in S:\ x \ge c\)	구성법 (S5주차)
\(\min S \ge c\)	\(\forall x \in S:\ x \ge c\) (곧 “\(c\)는 \(S\)의 하계”)	선택법 (S6주차)
\(\min S \le c\)	\(\exists x \in S:\ x \le c\)	구성법 (S5주차)

한 줄 요약: max를 위에서 누르는 것과 min을 아래서 받치는 것은 전원 검사(\(\forall\))이고, 그 반대 방향은 원소 하나 찾기(\(\exists\))다.

네 줄이 하늘에서 떨어진 것이 아님을 첫째 줄과 둘째 줄에서 확인해 둔다. 재료는 정의 16.1의 두 조각뿐이다.

확인 5. \(\max S\)가 존재한다고 하자. “\(\max S \le c\)”와 “\(\forall x \in S: x \le c\)”가 서로를 함의함을 각각 한 줄로 보여 보자. 각 줄에서 정의 16.1의 어느 조각을 썼는지 짚는다.

답

(\(\to\)) \(\max S \le c\)라 하자. 임의의 \(x \in S\)에 대해 조각 ②가 \(x \le \max S\)를 주고,

추이성 (W6, 1권 16주차)으로 \(x \le c\)다. 쓴 것은 조각 ②.

(\(\leftarrow\)) 모든 \(x \in S\)가 \(c\) 이하라 하자. 조각 ①이 \(\max S \in S\)를 주므로, 그 \(\forall\) 문장을

\(x = \max S\)에 특수화하면(S7주차) \(\max S \le c\)다. 쓴 것은 조각 ①.

양방향 각각에 조각이 하나씩 쓰였다는 것이 요점이다 — **번역표는 정의의 두 조각을

부등호 방향에 따라 나눠 쓴 결과일 뿐, 새로운 사실이 아니다.**

둘째 줄도 같은 방식이다. (\(\rightarrow\)) \(\max S \ge c\)이면 \(\max S\) 자신이 조각 ①에 의해 \(S\)의 원소이므로 “\(c\) 이상인 원소”의 증인이 된다. (\(\leftarrow\)) 어떤 \(x_0 \in S\)가 \(x_0 \ge c\)이면 조각 ②로 \(\max S \ge x_0 \ge c\)다.

표기 — 상계\(\cdot\)하계

“\(c\)가 \(S\)의 상계(upper bound)이다”는 “모든 \(x \in S\)에 대해 \(x \le c\)이다”의 줄임이고,

“\(c\)가 \(S\)의 하계(lower bound)이다”는 “모든 \(x \in S\)에 대해 \(c \le x\)이다”의 줄임이다

(1권 16주차 정의 16.2에서 하계라는 이름을 이미 정했다). 상계\(\cdot\)하계는 집합 안에 있어야

한다는 요구가 없다 — 이 한 가지가 §1.5의 전부를 만든다.

확인 6. 다음 두 목표에 각각 어느 기법이 붙는가. 첫 문장을 실제로 적어 보자. (가) \(S = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \le 9\}\)에 대해 \(\max S \le 3\). (나) 같은 \(S\)에 대해 \(\max S \ge 2\).

답

(가) 번역표 첫째 줄 — 선택법. 첫 문장: “임의의 \(x \in S\)를 잡자.”

(나) 번역표 둘째 줄 — 구성법. 첫 문장: “\(x_0 = 3\)으로 두자.” (증인은 \(S\)의 원소이면서

2 이상이면 되므로 \(2\) 자신이나 \(2.5\)를 내놓아도 된다. 이어서 자격 검증 두 줄 —

\(x_0 \in S\)인가(\(3^2 = 9 \le 9\) ✓), \(x_0 \ge 2\)인가(✓) — 를 붙이면 끝난다.)

두 목표는 같은 집합\(\cdot\)같은 낱말인데 첫 문장이 완전히 다르다. 첫 문장을 정하는 것은

max가 아니라 부등호의 방향이다.

4 절차 해부 — “\(\max S = c\)”의 2부 서식 [백지 암기 대상]

부등식이 아니라 등식으로 주장할 때는 두 조각을 모두 세워야 한다. 답안은 네 걸음으로 적는다.

걸음	하는 일	이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가
① 후보 지목 “\(c = 3\)임을 보인다”	증명할 값을 하나로 고정한다	아래 두 조각이 무엇에 대한 주장인지 정해지지 않는다
② 소속 “\(c \in S\)” 검증	값이 실제로 달성됨을 보인다 (S5주차 구성법의 자격 검증)	상계임만 증명되어, 집합 밖의 수도 최댓값으로 통과한다 (아래 삭제 실험)
③ 상계 “\(\forall x \in S: x \le c\)” 증명	값이 천장임을 보인다 (S6주차 선택법)	값이 하나로 지목되지 않는다 — 집합의 아무 원소나 최댓값으로 통과한다
④ 종합 “두 조각이 성립하므로 \(\max S = c\)”	정의 16.1을 인용해 이름을 회수한다	사실 두 개가 나열된 채 끝나고, 원래 목표가 선언되지 않는다

min일 때는 걸음 ③의 부등호만 뒤집는다(\(\forall x \in S: c \le x\)). 걸음 ②와 ④는 글자까지 같다.

걸음 삭제 실험 — 소속 검증을 지우면. 걸음 ②를 지운 답안을 검사해 보자.

삭제 실험 — 소속을 확인하지 않은 답안

명제: \(S = \{x \in \mathbb{R} : 0 \le x < 1\}\)의 최댓값은 1이다.

“임의의 \(x \in S\)를 잡자. \(x < 1\)이므로 \(x \le 1\)이다. 따라서 1은 상계이고,

\(\max S = 1\)이다.”

확인 7. 위 답안의 계산은 옳은가. 그렇다면 무엇이 잘못되었는가. 명제 자체는 참인가.

답

계산은 옳다 — “1이 \(S\)의 상계”라는 것은 참이고 선택법 서식도 정확하다.

잘못된 것은 걸음 ②가 없다는 것이고, 실제로 \(1 \notin S\)이므로(\(x < 1\)이 배제한다)

그 걸음은 채워질 수도 없다. 그리고 명제 자체가 거짓이다 — 이 집합에는 최댓값이 없다

(S11주차 문제 18이 \((0,1)\)판을 증명했고, 1권 22주차 문제 10은 최솟값판을 증명했다).

여기서 서식의 성질 하나가 드러난다. **걸음 ②의 점검은 답안의 흠만 잡는 것이 아니라

명제 자체가 거짓인 자리까지 지목한다** — 채울 수 없는 걸음 ②가 곧 반례의 산지다.

이 답안이 실제로 증명한 것에는 따로 이름이 있고, 그 이름이 §1.5의 상한이다.

5 max가 없을 때 — 상한 (supremum)

삭제 실험의 답안이 증명한 것은 “1은 상계”까지였다. 그런데 \(S = \{x : 0 \le x < 1\}\)의 상계 중에서 1은 특별하다 — \(1\)보다 작은 어떤 수도 상계가 되지 못한다. 이 성질에 이름을 준다.

정의 16.2 — 상한 (supremum) [백지 암기 대상]

실수 \(c\)가 집합 \(S\)의 상한(\(c = \sup S\))이라는 것은 다음 두 조각이 모두 성립한다는

뜻이다.

① (상계) 모든 \(x \in S\)에 대해 \(x \le c\)이다.

② (최소성) \(c' < c\)인 임의의 \(c'\)은 상계가 아니다 — 곧 \(x > c'\)인 \(x \in S\)가 존재한다.

부등호를 모두 뒤집으면 하한(\(\inf S\), infimum, 최대하계)의 정의가 된다.

\(\sup S\)는 “에스의 상한” 또는 “에스의 최소상계”로, \(\inf S\)는 “에스의 하한”으로 읽는다. 조각 ①은 \(\forall\) 문장이라 선택법이 붙고, 조각 ②는 “임의의 \(c'\)에 대해 … 존재한다”는 \(\forall\)\(\exists\) 겹구조라 S8주차의 바깥부터 벗기기가 그대로 붙는다 — 바깥의 \(\forall\)는 선택법(”\(c' < c\)인 \(c'\)을 임의로 잡자”), 안쪽의 \(\exists\)는 구성법(그 \(c'\)을 넘는 원소를 실제로 만들어 제시)이다.

정의 해부. 조각마다 막고 있는 붕괴가 다르다.

조각	하는 일	증명에서의 역할
① 모든 \(x \in S\)에 대해 \(x \le c\) (상계)	위에서 막는다	“임의의 \(x \in S\)를 잡자”로 여는 \(\forall\) 증명 한 덩어리 — S6주차 선택법
② \(c' < c\)인 임의의 \(c'\)은 상계가 아니다 (최소성)	상계 여럿 중 가장 작은 것 하나로 좁힌다	바깥 \(\forall\)는 선택법으로, 안쪽 \(\exists\)는 구성법으로 벗기는 두 겹 — S8주차

조각 삭제 실험. \(S = \{x \in \mathbb{R} : 0 \le x < 1\}\)에서 각 조각을 지워 본다. 조각 ②(최소성)를 지우면 상계가 전부 상한이 된다 — \(2\)도 \(100\)도 모든 원소보다 크거나 같아 조각 ①을 통과하므로, “상한”이라는 말이 값을 하나로 지목하지 못한다. 거꾸로 조각 ①(상계)을 지우면 집합보다 작은 수까지 통과한다 — \(c = -5\)에 대해 \(c' < -5\)인 어떤 \(c'\)도 \(0 \in S\) 때문에 상계가 아니므로 조각 ②만은 성립한다. 두 조각은 각각 다른 붕괴를 막고 있으므로 어느 하나도 뺄 수 없다.

확인 8. \(S = \{x \in \mathbb{R} : 0 \le x < 1\}\)에서 \(\sup S = 1\)의 조각 ②를 세우려 한다. \(c' = 0.9\)가 상계가 아님을 보이는 증인 하나를 제시하고, 그 증인이 만족해야 할 조건 두 가지를 적어 보자.

답

증인 예: \(x = 0.95\). 조건은 두 가지다 — ㄱ. \(x \in S\)일 것(\(0 \le 0.95 < 1\) ✓),

ㄴ. \(x > c'\)일 것(\(0.95 > 0.9\) ✓). S5주차의 자격 검증 목록이 그대로 적용된다.

임의의 \(c'\)에 대해 통하는 증인이 필요하므로 실전에서는 \(\frac{c' + 1}{2}\)처럼 \(c'\)을 재료로

만든 식을 쓴다. 단 \(c'\)이 충분히 작으면 이 식이 집합 밖으로 나가므로(\(c' = -3\)이면

\(\frac{c'+1}{2} = -1\)이고 이는 \(S\)의 원소가 아니다) 자격 검증 ㄱ에서 경우를 나눠야

한다(문제 14). 두 수 사이의 평균은 S8주차\(\cdot\)S11주차에서 반복해 쓴 표준 증인이다.

max와 sup의 관계. 두 정의는 조각 ①이 서로 자리를 바꿔 앉아 있다. max는 “상계 + 소속”, sup은 “상계 + 최소성”이다. 둘의 관계는 한 줄로 정리된다.

보조 명제 16.A — max가 존재하면 \(\max S = \sup S\)이다.

\(M = \max S\)라 하자. 조각 ②(지배)에 의해 \(M\)은 상계다. 임의의 \(c' < M\)을 잡으면

\(M \in S\)(조각 ①)이고 \(M > c'\)이므로 \(M\) 자신이 “\(c'\)을 넘는 \(S\)의 원소”의 증인이다 —

곧 \(c'\)은 상계가 아니다. 정의 16.2의 두 조각이 충족되므로 \(M = \sup S\)다. \(\blacksquare\)

확인 9. 보조 명제 16.A의 대우를 쓰면 어떤 판정에 쓸 수 있는가. \(S = \{x : 0 \le x < 1\}\)에 최댓값이 없음을 그 대우로 한 줄로 보여 보자.

답

대우로 읽으면 “\(\sup S\)가 \(S\)의 원소가 아니면 최댓값은 존재하지 않는다”가 된다

(max가 존재한다면 16.A로 \(\max S = \sup S\)이므로 \(\sup S \in S\)여야 하기 때문이다).

\(S = \{x : 0 \le x < 1\}\)에서는 \(\sup S = 1\)이고 \(1 \notin S\)이므로 최댓값이 없다.

**”최댓값이 없다”를 후보 \(M\)마다 따로 무너뜨리던 S4주차 문제 18(b)\(\cdot\)S11주차 문제 18의

작업이, 상한을 손에 넣은 뒤에는 한 줄로 줄어든다.** 문제 9\(\cdot\)15가 이 줄을 쓴다.

상한이 언제나 존재하는지는 이번 주가 답하지 않는다. “위로 유계이고 공집합이 아닌 실수 부분집합은 반드시 상한을 가진다”는 실수의 완비성 공리이고, 증명하는 사실이 아니라 실수 체계에 얹는 약속이다 — 이번 주에는 문제 18에서 인정하고 쓰고, 이 과정에서는 끝까지 인정하고 쓰는 것으로 마무리한다. 완비성을 공리로 세워 그 귀결들을 정리로 증명하는 것은 해석학 교재의 첫 장이 하는 일이고(1권 50주차가 같은 안내를 남겼다), 2권에서는 C20주차의 다음 세계 조망이 그 자리를 한 줄로 가리킨다. 자연수 쪽에는 이에 대응하는 사실이 이미 있다 — 최소원리(1권 33주차)다. 두 사실의 대조가 문제 16이다.

6 판정법 — 명제의 겉모양에서 기법으로 [백지 암기 대상]

명제를 읽고 첫 문장을 정하는 물음표 목록이다. 위에서부터 훑는다.

명제의 겉모양	펴면 무엇이 나오는가	첫 문장
\(\max S = c\) (또는 \(\min S = c\))	두 조각의 \(\land\) — 소속과 지배	2부 서식 네 걸음(§1.4). 걸음 ②부터 쓰면 대개 짧다
\(\max S \le c\) \(\cdot\) \(\min S \ge c\)	\(\forall\) 문장 (상계\(\cdot\)하계)	“임의의 \(x \in S\)를 잡자” (선택법)
\(\max S \ge c\) \(\cdot\) \(\min S \le c\)	\(\exists\) 문장	“\(x_0 = \ldots\)으로 두자” + 자격 검증 두 줄 (구성법)
\(\max S\)가 존재하지 않는다	후보마다 두 조각 중 하나가 무너진다는 \(\forall\) 문장	\(\sup S\)를 먼저 구하고 보조 명제 16.A의 대우 한 줄 (집합이 공집합이 아니고 위로 유계일 때. 위로 유계가 아니면 상한이 없으므로 후보마다 직접 무너뜨린다 — 문제 19)
\(\sup S = c\)	상계(\(\forall\)) \(\land\) 최소성(\(\forall\)\(\exists\))	두 조각을 나눠 적고, 최소성은 바깥 \(\forall\)부터 벗긴다 (S8주차)
가정에 “\(M\)은 상계이다”가 있다	\(\forall\) 문장이 가정 쪽에 있다	관심 있는 원소에 특수화한다 (S7주차, 문제 11)

마지막 줄이 이번 주에 특히 자주 쓰인다. 상계\(\cdot\)하계는 결론에 있으면 선택법으로 만들어야 할 것이지만, 가정에 있으면 이미 손에 든 재료다 — 관심 있는 원소에 특수화해 개별 부등식을 꺼내 써먹을 것이다. 위치가 처리법을 정한다는 S6~S7주차의 원리가 그대로 반복된다.

7 근거 목록 갱신

근거의 칸은 이번 주에도 네 개다. 이번 주가 채우는 것은 ①과 ④다.

근거	이번 주에 추가\(\cdot\)갱신되는 것	이번 주에는 이렇게 쓴다
① 정의	S16주차 정의 16.1(최댓값\(\cdot\)최솟값) \(\cdot\) 정의 16.2(상한\(\cdot\)하한)	이름과 두 조각 사이를 양방향으로 번역한다. 집합 자체를 푸는 데는 기존 정의(1권 16주차 정의 16.1의 대소 관계, 1권 3주차의 조건제시법)를 쓴다
② 닫힘성	변화 없음	“\(n + 1\)은 자연수이므로”를 별도 설명 없이 쓴다. 1권 16주차 (W4)(W5)도 이 칸이다 — 양수의 합\(\cdot\)곱이 양수, 양수의 역수가 양수
③ 등식\(\cdot\)부등식의 성질	변화 없음	1권 16주차 (W2)(W3)(W6). 이번 주에는 추이성 (W6)과 양수 곱 (W3)이 거의 매 줄에 나온다
④ 이미 증명한 명제\(\cdot\)채택한 사실	번역표 네 줄(§1.3에서 유도) \(\cdot\) 보조 명제 16.A(max = sup). 부품: \(0 \le a < b \Rightarrow a^2 < b^2\)(1권 16주차 문제 11), 아르키메데스 성질(S5주차 문제 14), 최소원리(1권 33주차), 영인수 성질(S15주차 예제 2.2), 1권 16주차 (W1)(제곱은 0 이상)과 삼분법(1권 16주차 §1.2의 인정 사실), 완비성 공리(문제 18에서 인정하고 사용 — 이 과정에서는 끝까지 인정하고 쓴다)	“1권 16주차 문제 11에 의해”처럼 출처를 대고 한 줄로 끝낸다

목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 “그래프를 그려 보면 3이 가장 크므로”는 목록에 없다 — 그림은 후보를 찾는 데는 쓰되, 답안에서는 두 조각으로 다시 적어야 근거가 선다.

확인 10. 어떤 답안에 다음 두 문장이 나왔다. 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) “\(M\)이 상계이고 \(7 \in S\)이므로 \(7 \le M\)이다.”

(나) “\(c\)는 \(S\)의 상계이므로 \(c = \max S\)이다.”

답

(가) 허용 — 근거 ①(§1.3 표기 상자가 정한 상계의 정의를 편 \(\forall\) 문장을 S7주차의 특수화로

소비한 것이다. 문제 11을 푼 뒤에는 그 결과를 근거 ④로 인용할 수 있다).

자격 검증은 “\(7 \in S\)”이고 문장 안에 이미 적혀 있다.

(나) 불허 — 조각 ①(소속)이 비어 있다. \(c \in S\)가 함께 확인되어야 정의 16.1이 발동한다.

이 문장이 통과되면 §1.4 삭제 실험의 붕괴가 그대로 재연된다. 반대로 “\(c\)가 상계이고

\(c \in S\)이므로 \(c = \max S\)”는 허용되고, 이것이 문제 8에서 정리로 승격되어 이후 답안의

마지막 줄을 한 줄로 줄여 준다.