24주차 — 중간 종합 평가 (1~23주차) + 오답 클리닉#
이 주의 길잡이
핵심 문장: 틀린 문제는 실패가 아니라, 어느 주차로 돌아갈지 알려 주는 좌표다.
이 주의 위치: 50주 과정의 반환점. 범위는 1~23주차 전체(정의\(\cdot\)집합\(\cdot\)논리\(\cdot\)세기\(\cdot\)직접\(\cdot\)부등식\(\cdot\)케이스\(\cdot\)대우\(\cdot\)귀류\(\cdot\)합동)이고, 여기까지가 증명의 4대 기법을 갖추는 구간이었다.
원서 대응: BoP(Book of Proof) 1~6장 종합 점검. 원서 없이 읽을 수 있다.
이번 주 목표#
백지 시험 20문항으로 상반기 전체를 점검한다 (권장 150분).
오답 클리닉 절차로 약한 주차를 찾아 복습 계획을 세운다.
4대 기법(직접\(\cdot\)케이스\(\cdot\)대우\(\cdot\)귀류)의 관계 지도를 자기 언어로 완성한다.
시험 규칙#
교재와 노트를 완전히 덮는다. 백지와 펜만 쓴다.
증명 문항은 서식(오프닝~\(\blacksquare\))과 글쓰기 규칙 6조(20주차 §1.7)까지 채점 대상이다.
다 푼 뒤에는 해설의 접근만 보고 1차 재시도를 하고, 그다음 풀이로 최종 확인한다. 이어서 §2의 오답 클리닉 절차로 넘어간다.
백지 시험 (20문항)#
기본 ●○○#
1. [정의 백지 테스트] 다음 8개의 정의를 쓰시오: 짝수 / \(a \mid b\) / 소수 / 유리수 / \(\lvert x \rvert\) / \(A \subseteq B\) / \(\mathcal{P}(A)\) / \(a \equiv b \pmod n\)
2. (a) \(P \Rightarrow Q\)의 진리표를 그리시오. (b) \(P \Rightarrow Q \equiv \neg Q \Rightarrow \neg P\)를 진리표로 증명하시오.
3. 다음 문장의 부정을 만드시오 (부정 기호가 밖에 남지 않게). (a) \(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ y^2 = x\) (b) \(n\)이 소수이면 \(n\)은 홀수이다. (c) \(x > 0\)이고 \(y > 0\)이다.
4. \(A = \{1, 2\}\), \(B = \{2, 3\}\), \(U = \{1,2,3,4\}\)일 때: (a) \((A \cup B)^c\) (b) \(A - B\) (c) \(\mathcal{P}(A)\) (d) \(A \times B\)를 구하시오.
5. \(C = \{\emptyset, \{1\}, 2\}\)에 대해 참\(\cdot\)거짓: (a) \(\emptyset \in C\) (b) \(\emptyset \subseteq C\) (c) \(\{1\} \subseteq C\) (d) \(\{\{1\}\} \subseteq C\) (e) \(\{2\} \in C\)
6. \(x\)는 실수. “\(x^2 < 4\)”는 “\(x < 2\)”이기 위한 무슨 조건인지 진리집합으로 판정하시오.
표준 ●●○#
7. 남자 4명, 여자 5명 중 남자 2명\(\cdot\)여자 2명으로 위원회를 만드는 가짓수를 구하시오 — 사용한 원리를 명시하며 서술할 것.
8. 1부터 200까지의 자연수 중 4의 배수이거나 6의 배수인 것은 몇 개인가?
9. \(m, n\)이 모두 홀수이면 \(m^2 + 3n^2\)은 짝수임을 증명하시오.
10. \(x\)가 유리수이면 \(\dfrac{2x + 1}{3}\)도 유리수임을 증명하시오.
11. \(a \ge 0\), \(b \ge 0\)이면 \(\sqrt{ab} \le \dfrac{a + b}{2}\)임을 등호 조건까지 증명하시오 (AM–GM 백지 재현).
12. 모든 실수 \(x\)에 대해 \(|x - 1| + |x + 1| \ge 2\)임을 경우 나누기로 증명하시오. (경우: \(x \ge 1\) / \(-1 \le x < 1\) / \(x < -1\))
13. 정수 \(n\)에 대해, \(5n - 7\)이 짝수이면 \(n\)은 홀수임을 대우로 증명하시오.
14. \(\sqrt{5}\)는 무리수임을 증명하시오. (부품: “\(5 \mid n^2\)이면 \(5 \mid n\)” — 19주차 문제 15)
도전 ●●●#
15. \(9^{99}\)의 일의 자리를 구하시오 (합동 계산 — 주기부터).
16. \(a \equiv b \pmod n\)이면 \(a^3 \equiv b^3 \pmod n\)임을 (C5)를 인용해 증명하시오.
17. 파스칼 공식 \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\)의 세기 증명을 백지 재현하시오.
18. 다음 각 명제의 1순위 기법과 신호를 쓰시오 (증명 불필요). (a) \(n^2 + 3n\)이 홀수이면 \(n\)은 홀수이다. (b) \(\sqrt{2} + \sqrt{7}\)은 무리수이다. (c) \(a \mid b\)이고 \(b \mid c\)이면 \(a \mid c\)이다. (d) 가장 큰 소수는 존재하지 않는다.
19. (진단) 다음 답안의 결함을 모두 찾으시오.
“명제: \(x + y\)가 홀수이면 \(x\)와 \(y\)의 홀짝이 다르다. 증명: 대우로 증명한다. 대우는 ‘\(x\)와 \(y\)의 홀짝이 다르면 \(x+y\)는 홀수이다’이다. \(x = 2a\), \(y = 2b+1\)이라 하면 \(x + y = 2(a+b)+1\)은 홀수이다. 따라서 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)”
20. (서술) 직접\(\cdot\)케이스\(\cdot\)대우\(\cdot\)귀류 네 기법의 관계 지도를 그리듯 서술하시오 — 각 기법이 무엇을 가정하고 어디로 가는지, 서로 어떻게 포함\(\cdot\)조합되는지 (다섯 문장 이내).
오답 클리닉 절차#
틀린 문항마다 아래 표에서 돌아갈 주차를 찾는다.
그 주차의 “백지 복습 체크리스트”를 다시 수행한다 (개념 재독 \(\to\) 예제 재필사 \(\to\) 해당 유형 문제 2개 재풀이).
이틀 뒤 이 시험의 해당 문항을 다시 백지로 푼다. 통과하면 다음 문항 클리닉으로 넘어간다.
틀린 문항이 6개 이상이면 25주차로 넘어가지 말고 1주 복습 주간을 넣는다 — 25주차 이후의 모든 증명이 이 20문항의 도구 위에 쌓인다. 50주는 목표이지 규정이 아니다.
문항 |
주차 |
문항 |
주차 |
|---|---|---|---|
1 |
1\(\cdot\)2\(\cdot\)4\(\cdot\)15\(\cdot\)17\(\cdot\)20 (정의) |
11 |
16 (부등식) |
2 |
8\(\cdot\)9 (조건문\(\cdot\)대우 동치) |
12 |
17 (케이스\(\cdot\)절댓값) |
3 |
11 (부정 규칙) |
13 |
19 (대우) |
4 |
5\(\cdot\)6 (집합 연산\(\cdot\)곱) |
14 |
21 (귀류\(\cdot\)무리수) |
5 |
4 (\(\in\)/\(\subseteq\)) |
15 |
20 (합동 계산) |
6 |
8 (진리집합) |
16 |
20 (합동 성질) |
7 |
12\(\cdot\)13 (세기 서술) |
17 |
13 (세기 논증) |
8 |
14 (포함–배제) |
18 |
23 (기법 선택) |
9 |
15 (직접 증명) |
19 |
11\(\cdot\)19\(\cdot\)23 (부정\(\cdot\)대우 진단) |
10 |
15 (직접 증명) |
20 |
22\(\cdot\)23 (기법 관계) |
해설#
틀린 문제는 접근만 읽고 재시도한 뒤, 그다음에 풀이를 확인한다.
문제 1#
접근. 정의는 낱말의 뜻풀이가 아니라 등식과 조건까지가 본체다. 여덟 정의의 출처는 1주차 정의 1.1(짝수), 2주차 정의 2.1(\(a \mid b\)), 15주차 정의 15.2(소수), 15주차 정의 15.1(유리수), 17주차 정의 17.1(절댓값), 4주차 정의 4.1(부분집합), 4주차 정의 4.2(멱집합), 20주차 정의 20.1(합동)이다. 채점 지점은 조건을 담은 낱말들 — “존재한다”, 유리수의 \(b \neq 0\), 소수의 \(n \ge 2\), 절댓값의 케이스 구분, 부분집합의 “모든”, 멱집합의 “전부”, 합동의 \(n \mid (a-b)\) — 이며, 이 중 하나라도 빠지면 정의가 다른 대상을 가리키게 된다.
풀이. ① 짝수. 정수 \(n\)이 짝수라는 것은, \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다는 뜻이다. ② 나누어떨어짐. 정수 \(a, b\)에 대해 \(a \mid b\)라는 것은, \(b = ac\)인 정수 \(c\)가 존재한다는 뜻이다. ③ 소수. \(n \ge 2\)인 정수 \(n\)이 소수라는 것은, \(n\)의 양의 약수가 \(1\)과 \(n\)뿐이라는 뜻이다. ④ 유리수. 실수 \(x\)가 유리수라는 것은, \(x = \dfrac{a}{b}\)인 정수 \(a, b\) (\(b \neq 0\))가 존재한다는 뜻이다. ⑤ 절댓값. 실수 \(x\)에 대해 \(x \ge 0\)이면 \(|x| = x\)이고, \(x < 0\)이면 \(|x| = -x\)이다. ⑥ 부분집합. \(A\)의 모든 원소가 \(B\)의 원소일 때 \(A \subseteq B\)라 쓴다. 즉 “모든 \(x\)에 대해, \(x \in A\)이면 \(x \in B\)이다”. ⑦ 멱집합. \(\mathcal{P}(A)\)는 \(A\)의 부분집합 전부를 원소로 모은 집합이다: \(\mathcal{P}(A) = \{X : X \subseteq A\}\). ⑧ 합동. 정수 \(a, b\)와 자연수 \(n\)에 대해, \(a \equiv b \pmod n\)이라는 것은 \(n \mid (a - b)\)라는 뜻이다.
복기. ①②④⑧은 “~인 정수가 존재한다” 또는 나누어떨어짐 꼴이라 증명에서 곧바로 등식을 내어 준다. ③⑥⑦은 등식이 아니라 판정 기준으로 쓰이고, ⑤는 정의 자체가 케이스이므로 절댓값이 걸린 증명이 경우 나누기가 되는 이유가 된다. 하나라도 틀렸다면 해당 주차의 정의 상자를 다시 암기한 뒤 이 문항만 재시험한다.
문제 2#
접근. (a)는 조건문의 정의(8주차 정의 8.1)를 그대로 표로 옮기는 일이고, 기억해야 할 것은 거짓이 되는 행이 “\(P\)가 참인데 \(Q\)가 거짓”인 단 한 행뿐이라는 사실이다. (b)는 두 식의 진리값 열을 만들어 네 행 전부에서 일치함을 보이는 작업이며, 9주차 예제 2.1의 6열 표를 그대로 재현하면 된다. 동치의 정의(9주차 정의 9.1)가 “모든 행에서 진리값이 같다”이므로, 결론 문장은 반드시 열 두 개의 일치를 지목하며 닫아야 한다.
풀이. (a) 조건문의 진리표는 다음과 같다.
\(P\) |
\(Q\) |
\(P \Rightarrow Q\) |
|---|---|---|
T |
T |
T |
T |
F |
F |
F |
T |
T |
F |
F |
T |
거짓이 되는 행은 둘째 행(\(P\) 참, \(Q\) 거짓) 하나뿐이다.
(b) 여섯 열을 만든다.
\(P\) |
\(Q\) |
\(P \Rightarrow Q\) |
\(\neg Q\) |
\(\neg P\) |
\(\neg Q \Rightarrow \neg P\) |
|---|---|---|---|---|---|
T |
T |
T |
F |
F |
T |
T |
F |
F |
T |
F |
F |
F |
T |
T |
F |
T |
T |
F |
F |
T |
T |
T |
T |
셋째 열과 여섯째 열이 네 행 모두에서 (T, F, T, T)로 일치한다. 따라서 정의 9.1에 의해 \(P \Rightarrow Q \equiv \neg Q \Rightarrow \neg P\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 여섯째 열을 만들 때 앞선 두 열(\(\neg Q\)가 가정, \(\neg P\)가 결론)을 (a)의 규칙에 넣는다는 점이 유일한 기술이다. 둘째 행에서 가정 \(\neg Q\)가 참이고 결론 \(\neg P\)가 거짓이므로 F가 되고, 그 한 행이 두 열을 동시에 F로 만든다.
문제 3#
접근. 세 문항이 각각 다른 규칙을 요구한다. (a)는 양화사 층별 뒤집기(\(\forall \to \exists\), \(\exists \to \forall\))를 바깥쪽부터 차례로 적용하고 마지막에 남은 열린 문장을 부정한다. (b)는 조건문의 부정이 “이면”이 아니라 “인데” 꼴이 된다는 규칙 \(\neg(P \Rightarrow Q) \equiv P \wedge \neg Q\)다. (c)는 드모르간 법칙이다. 세 경우 모두 “부정 기호가 밖에 남지 않게”가 조건이므로, 답에는 \(\neg\)나 “~가 아니다”가 문장 전체를 감싸는 형태가 남아 있으면 안 된다 (11주차).
풀이. (a) 바깥의 \(\forall x\)가 \(\exists x\)로, 안쪽의 \(\exists y\)가 \(\forall y\)로 뒤집히고, 마지막에 \(y^2 = x\)가 \(y^2 \neq x\)가 된다.
말로 옮기면 “어떤 실수 \(x\)는 어느 실수의 제곱과도 같지 않다”이다. 이 부정 명제는 참이며, 증인은 음수다 — \(x = -1\)에 대해 모든 실수 \(y\)가 \(y^2 \ge 0 > -1\)을 만족한다. 따라서 원래 명제는 거짓이었다.
(b) 원문은 “모든 정수 \(n\)에 대해, \(n\)이 소수이면 \(n\)은 홀수이다”이므로, 전칭이 존재로 바뀌고 조건문이 “인데” 꼴로 풀린다: “\(n\)이 소수인데 홀수가 아닌 그런 \(n\)이 존재한다.” 기호로는 \(\exists n\), (\(n\)은 소수) \(\wedge\) (\(n\)은 홀수가 아니다)이고, 정수 범위에서 “홀수가 아니다”는 “짝수이다”이므로 “짝수인 소수가 존재한다”로도 적는다. 이 부정 역시 참이다 — \(n = 2\)가 증인이다.
(c) 드모르간에 의해 “그리고”가 “또는”으로 바뀌고 각 조각이 부정된다. “\(x > 0\)”의 부정은 “\(x \le 0\)”이므로 답은 “\(x \le 0\)이거나 \(y \le 0\)이다.”
복기. (c)에서 “\(x < 0\)이거나 \(y < 0\)”으로 적는 경우가 많다. 원인은 부등호를 뒤집으면서 등호를 흘린 것이며, \(x = 0\)이 “\(x > 0\)”을 만족하지 않는다는 사실을 확인하면 등호가 부정 쪽에 남아야 함이 드러난다.
문제 4#
접근. 네 문항 모두 정의를 그대로 실행하는 계산이다. 여집합은 전체집합에서 빼는 것이므로 \(U\)를 반드시 사용해야 하고, 차집합은 “\(A\)에 있으면서 \(B\)에 없는 것”, 멱집합은 부분집합 전부(원소 수 \(2^{|A|}\)), 데카르트 곱은 순서쌍 전부(원소 수 \(|A| \times |B|\))다. 개수를 먼저 계산해 두면 나열이 끝난 뒤 빠뜨린 원소가 있는지 검산할 수 있다.
풀이. (a) 먼저 \(A \cup B = \{1,2\} \cup \{2,3\} = \{1,2,3\}\)이다. 여집합은 \(U\)에서 이것을 뺀 것이므로 \((A \cup B)^c = \{1,2,3,4\} - \{1,2,3\} = \{4\}\). (b) \(A - B\)는 \(A\)의 원소 중 \(B\)에 없는 것이다. \(1 \notin B\)이므로 남고, \(2 \in B\)이므로 빠진다. 따라서 \(A - B = \{1\}\). (c) \(A = \{1,2\}\)의 부분집합은 \(2^2 = 4\)개다: \(\mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}\). (d) \(A \times B\)는 앞자리가 \(A\), 뒷자리가 \(B\)인 순서쌍 전부이므로 \(2 \times 2 = 4\)개다: \(A \times B = \{(1,2), (1,3), (2,2), (2,3)\}\).
복기. (c)의 답은 집합을 원소로 갖는 집합이므로 중괄호가 두 겹이고, 특히 \(\emptyset\)과 \(A\) 자신을 빠뜨리지 않아야 개수 4가 맞는다. (d)에서 \((2,2)\)를 “같은 수라서” 제외하는 경우가 있는데, 순서쌍은 두 자리가 서로 다른 집합에서 오므로 같은 값이 겹치는 것이 정상이다.
문제 5#
접근. \(C = \{\emptyset, \{1\}, 2\}\)의 원소 목록을 먼저 종이에 박아 둔다 — 원소는 \(\emptyset\), \(\{1\}\), \(2\)의 셋뿐이다. 그다음 \(\in\)과 \(\subseteq\)를 구분한다. “\(X \in C\)”는 \(X\)가 이 목록에 그대로 실려 있는지를 묻고(한 겹 대조), “\(X \subseteq C\)”는 \(X\)의 원소를 하나씩 꺼내 그것들이 목록에 있는지를 묻는다(원소 건너보내기). 겹의 수를 세는 것이 판정의 전부다 (4주차).
풀이. (a) 참. 목록의 첫째 항이 \(\emptyset\)이므로 \(\emptyset \in C\)이다. (b) 참. \(\emptyset \subseteq C\)를 풀면 “모든 \(x\)에 대해, \(x \in \emptyset\)이면 \(x \in C\)”인데 가정 \(x \in \emptyset\)이 결코 참이 되지 않으므로 조건문은 항상 참이다 — 공허한 참이며, 이 논증은 \(C\)가 무엇이든 성립한다. (c) 거짓. \(\{1\} \subseteq C\)를 풀면 \(\{1\}\)의 원소 \(1\)이 \(C\)의 원소여야 한다. 목록에 있는 것은 \(\{1\}\)이라는 집합이지 \(1\)이라는 수가 아니므로 \(1 \notin C\)이고, 따라서 포함이 성립하지 않는다. (d) 참. \(\{\{1\}\}\)의 원소는 \(\{1\}\) 하나뿐이고, \(\{1\}\)은 목록의 둘째 항이므로 \(\{1\} \in C\)이다. 원소가 전부 \(C\)에 있으므로 \(\{\{1\}\} \subseteq C\)이다. (e) 거짓. \(\{2\} \in C\)는 \(\{2\}\)라는 집합이 목록에 있는지를 묻는다. 목록에 있는 것은 \(2\)이지 \(\{2\}\)가 아니다.
복기. 판정이 갈리는 자리는 (c)와 (d), 그리고 (d)와 (e)의 한 겹 차이다 — 목록에 실린 것이 \(\{1\}\)과 \(2\)이므로, \(\{1\}\)은 한 겹 올린 \(\{\{1\}\}\)의 포함을 참으로 만들지만 \(2\)는 한 겹 올린 \(\{2\}\)의 소속을 거짓으로 만든다. 반면 (a)와 (b)는 묻는 겹이 다른데도 둘 다 참이다 — (a)는 목록 대조로, (b)는 공허한 참으로 성립하므로 참이 되는 경로 자체가 다르다. 판정이 흔들리면 “지금 묻는 것이 상자 자체인가, 상자 안의 내용물인가”를 소리 내어 되묻는다.
문제 6#
접근. 조건의 판정은 진리집합의 포함 방향으로 환원된다 (8주차). \(P(x) \Rightarrow Q(x)\)가 참인 것과 \(P \subseteq Q\)가 같은 말이므로, 두 진리집합을 구간으로 구한 뒤 어느 쪽이 어느 쪽에 들어가는지만 확인하면 된다. 포함이 성립하는 쪽이 충분조건이고, 역방향 포함이 깨지면 필요조건은 아니다.
풀이. 먼저 진리집합을 구한다. \(x^2 < 4 \iff |x| < 2 \iff -2 < x < 2\)이므로 \(P = (-2, 2)\)이고, \(Q = \{x : x < 2\} = (-\infty, 2)\)이다. 정방향: \(-2 < x < 2\)인 모든 \(x\)는 \(x < 2\)를 만족하므로 \(P \subseteq Q\)이다. 따라서 “\(x^2 < 4\)”이면 “\(x < 2\)”이고, \(P\)는 \(Q\)이기 위한 충분조건이다. 역방향: \(x = -5\)는 \(x < 2\)를 만족하지만 \(x^2 = 25 \ge 4\)이므로 \(P\)에 속하지 않는다. 즉 \(Q \subseteq P\)는 거짓이고, \(P\)는 \(Q\)이기 위한 필요조건이 아니다. 결론: 충분조건이지만 필요조건은 아니다. \(\blacksquare\)
복기. 반례 \(x = -5\)가 음수라는 점이 핵심이다. 양수만 시험하면 \(x^2 < 4\)와 \(x < 2\)가 같아 보이므로 판정이 “필요충분”으로 기운다 — 진리집합을 구간으로 그려 두면 왼쪽 끝이 서로 다르다는 사실이 눈에 남는다.
문제 7#
접근. 위원회 하나를 정하는 일을 두 단계의 목록으로 분해한다 — ① 남자 2명 고르기 ② 여자 2명 고르기. 각 단계는 순서가 없는 선택이므로 조합(13주차 정의 13.1)이고, 단계를 잇는 것은 곱셈 원리(12주차)다. 이 문제는 “사용한 원리를 명시하며 서술할 것”이 조건이므로, 수 60만 적으면 채점 대상의 절반이 비어 있는 답안이 된다. 곱셈 원리를 쓰려면 첫 단계의 결과와 무관하게 둘째 단계의 선택지 수가 일정하다는 사실을 확인하고 적어야 한다.
풀이. 남자 4명 중 2명을 고르는 방법은 순서가 무관하므로
가지이고, 여자 5명 중 2명을 고르는 방법은
가지이다. 위원회 하나는 (남자 2명의 모임, 여자 2명의 모임)이라는 길이 2의 목록으로 유일하게 결정되고, 남자를 어떻게 고르든 여자 쪽 선택지 수는 언제나 10으로 일정하다. 따라서 곱셈 원리에 의해 위원회의 가짓수는 \(6 \times 10 = 60\)가지이다. \(\blacksquare\)
복기. 두 수를 더해 16으로 적는 경우가 있는데, 원인은 “남자를 고르거나 여자를 고르거나”로 읽은 것이다. 덧셈 원리는 한 번에 한 갈래만 일어나는 분할에 쓰고, 곱셈 원리는 두 단계가 모두 일어나는 목록에 쓴다.
문제 8#
접근. “이거나”이므로 합집합의 크기이고, 두 조건을 만족하는 수가 겹치므로 포함–배제의 원리(14주차 예제 2.1)를 쓴다: \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\). 1부터 \(N\)까지 \(d\)의 배수의 개수는 \(\lfloor N/d \rfloor\)로 세고, 겹침 \(A \cap B\)는 4의 배수이면서 6의 배수인 수, 곧 4와 6의 공배수이므로 최소공배수 \(\mathrm{lcm}(4,6) = 12\)의 배수다.
풀이. \(A\)를 1부터 200까지의 4의 배수의 집합, \(B\)를 6의 배수의 집합이라 하자.
(\(6 \times 33 = 198 \le 200 < 204\), \(12 \times 16 = 192 \le 200 < 204\)이므로 두 몫이 맞다.) 포함–배제에 의해
따라서 67개이다. \(\blacksquare\)
복기. 겹침을 \(4 \times 6 = 24\)의 배수로 잡아 8개로 세면 답이 75가 되어 어긋난다. 원인은 공배수를 곱으로 오인한 것이며, 4와 6이 공통 인수 2를 가지므로 곱은 공배수 전체가 아니라 그 일부만 센다. 두 수가 서로소일 때만 곱이 최소공배수와 일치한다.
문제 9#
접근. 가정과 결론이 모두 홀짝이므로 직접 증명이 1순위다. 두 가지 길이 있다. 하나는 부품 조립 — “홀수의 제곱은 홀수”(1주차 문제 11), “홀수 \(\times\) 홀수 = 홀수”(1주차 문제 8), “홀수 + 홀수 = 짝수”(1주차 예제 2.3)를 근거 ④로 인용해 잇는 길이다. 다른 하나는 정의를 대입해 끝까지 전개하는 길이며, 백지 시험에서는 인용할 문제 번호가 기억나지 않을 수 있으므로 전개 쪽이 안전하다. 어느 길이든 마지막은 \(2 \times (\text{정수})\) 꼴을 실제로 만들어 보여야 닫힌다.
풀이. \(m, n\)을 홀수라 하자. 정의 1.2에 의해 \(m = 2a+1\), \(n = 2b+1\)인 정수 \(a, b\)가 존재한다. 그러면
이고, 정수의 합과 곱은 정수이므로(근거 ②) \(2a^2 + 2a + 6b^2 + 6b + 2 \in \mathbb{Z}\)이다. 따라서 정의 1.1에 의해 \(m^2 + 3n^2\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)
복기. 부품 조립으로 쓰면 다음 세 줄이다 — \(m\)이 홀수이므로 \(m^2\)은 홀수(1주차 문제 11), \(n^2\)도 홀수이고 3이 홀수이므로 \(3n^2\)은 홀수(1주차 문제 8), 홀수와 홀수의 합은 짝수(1주차 예제 2.3)이므로 \(m^2 + 3n^2\)은 짝수이다. 상수항 \(1 + 3 = 4\)가 짝수라는 점이 두 길 모두의 급소이며, 계수 3이 짝수였다면 결론이 뒤집힌다.
문제 10#
접근. 가정도 결론도 유리수이므로 직접 증명이고, 정의 15.1이 등식 \(x = a/b\)를 내어 주므로 그것을 식에 대입한 뒤 다시 “정수 분의 정수” 꼴로 정리하는 것이 전부다. 채점 지점은 두 곳이다 — 분자와 분모가 정수임을 각각 확인하는 것, 그리고 새 분모 \(3b\)가 0이 아님을 확인하는 것. 유리수 증명에서 \(b \neq 0\)의 확인이 빠지면 정의의 조각 하나가 검증되지 않은 채 결론을 선언한 답안이 된다.
풀이. \(x\)를 유리수라 하자. 정의 15.1에 의해 \(x = \dfrac{a}{b}\)인 정수 \(a, b\) (\(b \neq 0\))가 존재한다. 그러면
여기서 \(2a + b\)는 정수의 곱과 합이므로 정수이고(근거 ②), \(3b\)도 정수이다. 또 \(b \neq 0\)이고 \(3 \neq 0\)이므로 \(3b \neq 0\)이다. 따라서 정의 15.1에 의해 \(\dfrac{2x+1}{3}\)은 유리수이다. \(\blacksquare\)
복기. 통분 과정을 생략하고 곧바로 \(\dfrac{2a+b}{3b}\)를 적어도 되지만, 그 경우에도 분자\(\cdot\)분모가 정수라는 문장과 \(3b \neq 0\)이라는 문장은 남겨야 한다. 이 두 문장이 정의의 조각과 일대일로 대응하는 부분이다.
문제 11#
접근. 부등식이므로 차를 만들어 제곱으로 묶는 전략(16주차 예제 2.1)을 쓰는데, 여기서는 \(\sqrt a\)와 \(\sqrt b\)를 문자로 보아 \((\sqrt a - \sqrt b)^2 \ge 0\)에서 출발하는 것이 가장 짧다(16주차 예제 2.2). 근거는 (W1) “모든 실수 \(t\)에 대해 \(t^2 \ge 0\)”이다. 가정 \(a \ge 0\), \(b \ge 0\)은 세 곳에서 쓰인다 — \(\sqrt a\), \(\sqrt b\)가 실수로 존재하게 하는 데, \((\sqrt a)^2 = a\)가 성립하게 하는 데, 그리고 \(\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}\)가 성립하게 하는 데(16주차 §1.2의 인정 사실). 등호 조건은 따로 계산하지 않고 (W1)의 등호 조건에서 그대로 따라 나온다.
풀이. \(a \ge 0\), \(b \ge 0\)이라 하자. 그러면 \(\sqrt a\)와 \(\sqrt b\)는 실수이고, \(\sqrt a - \sqrt b\)도 실수이므로 (W1)에 의해
좌변을 전개하면 \((\sqrt a)^2 - 2\sqrt a \sqrt b + (\sqrt b)^2 = a - 2\sqrt{ab} + b\)이고(마지막 등식에서 \(a, b \ge 0\)일 때의 \(\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}\)를 썼다 — 16주차 §1.2의 인정 사실),
양변에 \(2\sqrt{ab}\)를 더하면 \(a + b \ge 2\sqrt{ab}\)이고, 양변을 양수 2로 나누어도 부등호 방향은 바뀌지 않으므로
등호 조건: 위 변형은 모두 동치 변형이므로, 등호가 성립하는 것과 \((\sqrt a - \sqrt b)^2 = 0\)인 것은 같은 말이다. 이는 \(\sqrt a = \sqrt b\)와 같고, \(a, b \ge 0\)에서 제곱근이 같으면 양변을 제곱하여 \(a = b\)이다. 역으로 \(a = b\)이면 양변이 모두 \(a\)가 되어 등호가 성립한다. 따라서 등호는 \(a = b\)일 때에만 성립한다. \(\blacksquare\)
복기. 결론에서 출발해 양변을 제곱하며 내려가는 서술은 순환이 된다 — 증명하려는 것을 가정에 놓았기 때문이다. 반드시 \((\sqrt a - \sqrt b)^2 \ge 0\)에서 시작해 결론으로 내려와야 하며, 이것이 차–제곱 전략의 방향 규칙이다.
문제 12#
접근. 절댓값이 두 개이므로 정의 17.1을 벗기려면 각 절댓값의 부호가 갈리는 지점을 모두 표시해야 한다. \(|x-1|\)은 \(x = 1\)에서, \(|x+1|\)은 \(x = -1\)에서 갈리므로 실수선이 세 구간으로 나뉜다. 각 구간에서 두 절댓값을 동시에 벗겨 식을 정리하고, 그 구간의 조건을 부등식으로 사용해 2 이상임을 보인다. 케이스 증명의 채점 기준 두 가지 — 빠짐없음(세 구간의 합집합이 \(\mathbb{R}\))과 각 경우의 완결 — 를 마지막에 명시한다 (17주차).
풀이. \(x\)를 임의의 실수라 하자. 경우 1: \(x \ge 1\). 이때 \(x - 1 \ge 0\)이므로 \(|x-1| = x-1\)이고, \(x + 1 \ge 2 > 0\)이므로 \(|x+1| = x+1\)이다. 따라서 합은 \((x-1) + (x+1) = 2x\)이고, \(x \ge 1\)이므로 \(2x \ge 2\)이다. ✓ 경우 2: \(-1 \le x < 1\). 이때 \(x - 1 < 0\)이므로 \(|x-1| = -(x-1) = 1-x\)이고, \(x + 1 \ge 0\)이므로 \(|x+1| = x+1\)이다. 따라서 합은 \((1-x) + (x+1) = 2\)이고, \(2 \ge 2\)이다. ✓ 이 구간 전체에서 등호가 성립한다. 경우 3: \(x < -1\). 이때 \(x - 1 < -2 < 0\)이므로 \(|x-1| = 1-x\)이고, \(x + 1 < 0\)이므로 \(|x+1| = -(x+1) = -x-1\)이다. 따라서 합은 \((1-x) + (-x-1) = -2x\)이고, \(x < -1\)의 양변에 \(-2\)를 곱하면 부등호가 뒤집혀 \(-2x > 2\)이다. ✓ 세 구간 \([1, \infty)\), \([-1, 1)\), \((-\infty, -1)\)의 합집합이 \(\mathbb{R}\) 전체이므로, 모든 실수 \(x\)에 대해 \(|x-1| + |x+1| \ge 2\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 경우 3에서 \(-2x > 2\)를 얻을 때 음수를 곱하면서 부등호를 뒤집는 자리가 유일한 계산상의 급소다. 기하적으로 읽으면 \(|x-1| + |x+1|\)은 수직선에서 \(x\)로부터 \(1\)과 \(-1\)까지의 거리의 합이고, 이 합은 두 점 사이의 거리 2보다 작을 수 없으며 \(x\)가 두 점 사이에 있을 때 정확히 2가 된다 — 경우 2가 통째로 등호인 이유다.
문제 13#
접근. 가정이 \(5n-7\)이라는 합성식이고 결론이 \(n\)이라는 단순식이다. 직접 증명은 \(5n - 7 = 2k\)에서 \(n\)의 꼴을 끌어내야 하는데 5로 나누는 단계가 정수 범위에서 보장되지 않아 막힌다. 반면 결론의 부정 “\(n\)은 짝수”는 곧바로 \(n = 2k\)라는 등식을 내어 주므로 대우가 1순위다(19주차 정의 19.1). 대우를 만들 때는 두 조각을 모두 부정하고 순서를 바꾼다는 규칙을 그대로 적용한다.
풀이. 원명제의 가정은 “\(5n-7\)이 짝수”, 결론은 “\(n\)이 홀수”이므로, 대우는 “\(n\)이 짝수이면 \(5n-7\)은 홀수이다”이다 (정수 범위에서 “홀수가 아니다”는 “짝수이다”이고, “짝수가 아니다”는 “홀수이다”이다). 이 대우를 증명한다. \(n\)을 짝수라 하자. 정의 1.1에 의해 \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그러면
이고 \(5k - 4\)는 정수이므로(근거 ②), 정의 1.2에 의해 \(5n - 7\)은 홀수이다. 이로써 대우가 증명되었다. 대우는 원명제와 논리적으로 동치이므로(문제 2에서 진리표로 확인한 사실), 원명제 “\(5n-7\)이 짝수이면 \(n\)은 홀수이다”도 참이다. \(\blacksquare\)
복기. \(-7\)을 \(-8 + 1\)로 쪼개는 자리가 이 증명의 유일한 기술이다. \(10k - 7\)에서 멈추면 정의의 꼴 \(2(\text{정수}) + 1\)이 아니므로 아직 증명이 닫히지 않은 상태다. 또 답안 첫 줄에 “대우로 증명한다”와 대우 문장을 명시하지 않으면, 읽는 쪽에서는 가정과 결론이 뒤바뀐 답안으로 보인다.
문제 14#
접근. 결론이 “무리수이다”, 곧 “유리수가 아니다”라는 부정형이므로 직접 만들 재료가 없다. 귀류법으로 “유리수이다”를 가정하면 정의 15.1이 등식을 내어 준다 (21주차 예제 2.2의 \(\sqrt2\) 증명과 같은 뼈대이고, 부품만 5짜리로 바꾼다). 기약분수(정의 21.2)로 두는 것이 모순을 만드는 장치이며, 마지막에 분자와 분모가 공통 약수 5를 가진다는 사실이 그 가정과 충돌한다. 부품 “\(5 \mid n^2\)이면 \(5 \mid n\)”은 19주차 문제 15에서 이미 증명했으므로 근거 ④로 인용한다.
풀이. 모순을 이끌기 위해 \(\sqrt5\)가 유리수라고 가정하자. 정의 15.1에 의해 \(\sqrt 5 = \dfrac{a}{b}\)인 정수 \(a, b\) (\(b \neq 0\))가 존재하고, 공약수를 약분하여 \(a\)와 \(b\)가 서로소인 기약분수로 둘 수 있다(정의 21.2). 양변을 제곱하면 \(5 = \dfrac{a^2}{b^2}\)이고, 양변에 \(b^2\)을 곱하면
\(b^2\)은 정수이므로 이 등식은 \(5 \mid a^2\)을 뜻한다. 19주차 문제 15에 의해 \(5 \mid a\)이므로, \(a = 5c\)인 정수 \(c\)가 존재한다. 이를 대입하면
같은 이유로 \(5 \mid b^2\)이고, 다시 19주차 문제 15에 의해 \(5 \mid b\)이다. 그러면 5가 \(a\)와 \(b\)의 공약수인데, 이는 \(\dfrac{a}{b}\)가 기약분수라는 가정과 모순이다. 따라서 처음의 가정이 거짓이고, \(\sqrt5\)는 무리수이다. \(\blacksquare\)
복기. 기약이라는 단서를 처음에 걸어 두지 않으면 마지막 줄에서 부딪힐 대상이 없어 증명이 닫히지 않는다. 또 \(5 \mid a^2\)에서 곧바로 \(5 \mid a\)로 넘어가는 것은 5가 소수이기 때문에 성립하는 성질이고, 인용 없이 자명한 것으로 쓰면 그 자리가 논리 비약이 된다 — 실제로 4처럼 소수가 아닌 수에서는 \(4 \mid 6^2\)이지만 \(4 \nmid 6\)이다.
문제 15#
접근. 일의 자리를 구하는 것은 10으로 나눈 나머지를 구하는 것, 곧 법 10에서의 합동을 구하는 것이다. 지수가 99로 크므로 직접 계산하지 않고 (C5) 곱 보존을 반복 적용해 지수를 쪼갠다(20주차 §1.6의 방법 — 확인 8\(\cdot\)9에서 \(3^{100}\)의 일의 자리를 구한 그 절차다). 절차는 세 단계다 — ① \(9^k\)를 작은 \(k\)부터 계산해 나머지가 1로 돌아오는 주기를 찾는다 ② 99를 주기로 나눈 몫과 나머지를 구한다 ③ 거듭제곱을 그 모양으로 쪼갠다.
풀이. 법 10에서 9의 거듭제곱을 차례로 계산한다.
\(9^2 \equiv 1\)이므로 주기는 2이다. 이제 \(99 = 2 \times 49 + 1\)이므로
\(9^2 \equiv 1\)이므로 (C5)를 반복 적용하면 \((9^2)^{49} \equiv 1^{49} = 1 \pmod{10}\)이고(반복 적용은 인정하고 쓴다 — 20주차 §1.6, 엄밀한 증명은 31주차 문제 13), 다시 (C5)로 \(9\)를 곱하면
따라서 \(9^{99}\)을 10으로 나눈 나머지는 9이고, 일의 자리는 9이다. \(\blacksquare\)
복기. 검산으로 다른 길을 하나 더 쓸 수 있다. \(9 \equiv -1 \pmod{10}\)이므로 (C5)에 의해 \(9^{99} \equiv (-1)^{99} = -1 \equiv 9 \pmod{10}\)이다. 두 길의 답이 일치한다. 주기를 찾을 때 나머지가 1로 돌아오는 지점을 기준으로 삼는 이유는, 1이 되어야 그 뭉치를 통째로 지울 수 있기 때문이다.
문제 16#
접근. (C5)는 “\(a \equiv b\)이고 \(c \equiv d\)이면 \(ac \equiv bd \pmod n\)”이다(20주차). 여기서 \(c, d\) 자리에 새로운 합동을 넣을 필요가 없다 — 가진 합동이 하나뿐이므로 그것을 자기 자신과 짝지어 쓰면 지수가 하나씩 올라간다. 따라서 두 번 적용하면 3제곱에 도달한다. 답안에서는 (C5)를 쓸 때마다 어떤 두 합동에 적용했는지를 괄호로 밝히는 것이 채점 지점이다.
풀이. \(a \equiv b \pmod n\)이라 하자. ① (C5)를 두 합동 (\(a \equiv b\))와 (\(a \equiv b\))에 적용한다. 곱 보존에 의해 \(a \cdot a \equiv b \cdot b\), 즉
② 다시 (C5)를 두 합동 (\(a^2 \equiv b^2\))와 (\(a \equiv b\))에 적용한다. 곱 보존에 의해 \(a^2 \cdot a \equiv b^2 \cdot b\), 즉
따라서 \(a \equiv b \pmod n\)이면 \(a^3 \equiv b^3 \pmod n\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 같은 방식을 반복하면 지수를 하나씩 올릴 수 있다. 다만 “모든 자연수 \(k\)에 대해 \(a^k \equiv b^k \pmod n\)”이라는 일반형은 반복 자체를 정당화하는 귀납법이 필요하므로, 지금은 인정하고 쓴다(31주차 문제 13 — 20주차 §1.6의 유보와 같다). 이 성질이 문제 15에서 \(9^{99}\)의 지수를 쪼갤 때 쓴 근거이고, 두 문항은 같은 도구의 증명과 사용에 해당한다. 반대로 나눗셈은 (C5)로 보장되지 않으므로 \(a^3 \equiv b^3\)에서 \(a \equiv b\)를 되돌리는 서술은 성립하지 않는다.
문제 17#
접근. 등식의 양변을 각각 무엇의 개수로 읽고, 같은 대상을 두 방법으로 세어 일치를 보이는 세기 논증이다(13주차 예제 2.2). 좌변은 정의 그대로 \(k\)-부분집합의 개수이고, 우변은 특정 원소 하나를 지정해 부분집합 전체를 “그 원소를 포함하는 것”과 “포함하지 않는 것”으로 가른 결과다. 채점 지점은 세 곳이다 — ① 세는 대상을 문장으로 선언했는가 ② 분할이 서로소이고 빠짐이 없음을 밝혔는가 ③ 각 무리의 개수를 근거와 함께 세었는가.
풀이. \(n \ge 1\)이고 \(1 \le k \le n-1\)인 정수라 하자. 집합 \(S = \{1, 2, \dots, n\}\)의 원소 \(k\)개짜리 부분집합의 개수를 두 가지 방법으로 센다. 세는 방법 ①. 정의 13.1에 의해 그 개수는 \(\dbinom{n}{k}\)이다. 세는 방법 ②. \(S\)의 원소 하나를 지정해 “갑”이라 부르자(예를 들어 원소 \(n\)). \(S\)의 모든 \(k\)-부분집합은 갑을 포함하거나 포함하지 않거나 둘 중 하나이며, 두 경우가 동시에 일어날 수는 없다. 따라서 이 두 무리는 서로소이고 합쳐서 전체를 덮는다.
갑을 포함하는 \(k\)-부분집합: 갑이 이미 한 자리를 차지했으므로 남은 \(k-1\)개를 갑을 제외한 \(n-1\)개 원소 중에서 고르면 되고, 그 방법은 \(\dbinom{n-1}{k-1}\)가지다.
갑을 포함하지 않는 \(k\)-부분집합: \(k\)개 전부를 갑을 제외한 \(n-1\)개 원소 중에서 골라야 하므로 \(\dbinom{n-1}{k}\)가지다.
덧셈 원리에 의해 방법 ②의 총계는 \(\dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k}\)이다. 두 방법이 같은 대상을 세었으므로 두 값은 같다. 따라서
이다. \(\blacksquare\)
복기. 세기 증명의 형식은 “무엇을 세는가”를 선언하는 첫 문장과 “같은 대상을 세었으므로 같다”는 마지막 문장 사이에 두 개의 세기를 넣는 것이다. 분할의 서로소\(\cdot\)완전성을 밝히지 않으면 덧셈 원리를 쓸 자격이 확인되지 않아 논증이 성립하지 않는다.
문제 18#
접근. 증명을 쓰는 것이 아니라 기법을 고르는 문항이므로, 볼 것은 가정의 모양과 결론의 모양뿐이다(23주차). 판단 규칙은 세 가지다 — ① 가정이 등식을 내어 주면 직접 ② 가정이 합성식이라 풀리지 않고 결론의 부정이 잘 풀리면 대우 ③ 결론이 “~가 아니다”, “존재하지 않는다” 같은 부정형이면 귀류. 각 답에는 기법 이름과 함께 그렇게 판단한 신호를 적어야 한다.
풀이. (a) 대우. 신호: 가정 “\(n^2 + 3n\)이 홀수”가 합성식이라 정의를 풀어도 \(n\) 자체의 꼴이 나오지 않는 반면, 결론의 부정 “\(n\)은 짝수”는 \(n = 2k\)라는 등식을 곧바로 내어 준다. 대우는 “\(n\)이 짝수이면 \(n^2 + 3n\)은 짝수이다”이고, \(n = 2k\)를 대입해 \(4k^2 + 6k = 2(2k^2 + 3k)\)로 전개된다. (b) 귀류. 신호: 결론 “무리수이다”가 “유리수가 아니다”라는 부정형이라 직접 만들 대상이 없다. \(\sqrt2 + \sqrt7 = r\)이 유리수라 가정하고 양변을 제곱하면 \(9 + 2\sqrt{14} = r^2\), 곧 \(\sqrt{14} = \dfrac{r^2 - 9}{2}\)이므로 \(\sqrt{14}\)가 유리수라는 결론이 따라 나온다. 다만 \(\sqrt{14}\)가 무리수라는 사실은 23주차까지 확보된 부품(2\(\cdot\)3\(\cdot\)5 버전)만으로는 곧바로 나오지 않는다 — 7 버전 부품 “\(7 \mid n^2\)이면 \(7 \mid n\)”을 먼저 만들어야 한다(21주차 §4의 “부품 갈아 끼우기” 상자). 이 문항은 기법 판정만 요구하므로, 모순의 상대가 될 사실을 따로 확보해야 한다는 점을 지적하는 데서 멈춘다. (c) 직접. 신호: 가정 두 개 \(a \mid b\)와 \(b \mid c\)가 모두 정의 2.1로 등식을 내어 주고, 결론 \(a \mid c\)도 같은 꼴의 등식을 만들면 되는 목표다. 이 명제가 2주차 예제 2.1의 추이성이며, \(b = ak\), \(c = bl\)을 이어 \(c = a(kl)\)을 얻는다. (d) 귀류. 신호: “존재하지 않는다”는 부정 존재 명제이고 “가장 큰”이라는 최대성이 걸려 있어, 직접 다룰 대상이 아예 없다. 가장 큰 소수 \(p\)가 있다고 가정하면 소수가 유한 개라는 뜻이므로, 21주차 예제 2.3(소수는 무한히 많다)과 곧바로 충돌한다.
복기. (a)와 (c)를 가르는 것은 가정이 등식을 내어 주는지 여부 하나다. (b)와 (d)는 둘 다 귀류지만 모순의 출처가 다르다 — (b)는 별도로 확보해야 할 사실(\(\sqrt{14}\)의 무리수성)과 부딪히고, (d)는 이미 증명된 명제(21주차 예제 2.3)와 부딪힌다.
문제 19#
접근. 진단 문항에서는 계산이 맞는지가 아니라 논리의 뼈대가 맞는지를 본다. 확인 순서는 두 단계다 — ① 답안이 대우라고 부른 문장이 정말 대우인가(원명제의 가정과 결론을 각각 부정하고 순서를 바꾼 것인가) ② 그 문장을 증명하는 부분이 가정의 모든 경우를 덮는가. 이 답안은 두 단계 모두에서 무너진다.
풀이. 결함은 두 가지다. ① 대우가 아니라 역이다. 원명제를 \(P \Rightarrow Q\)로 두면 \(P\)는 “\(x+y\)가 홀수”, \(Q\)는 “\(x\)와 \(y\)의 홀짝이 다르다”이다. 대우 \(\neg Q \Rightarrow \neg P\)는 “\(x\)와 \(y\)의 홀짝이 같으면 \(x+y\)는 짝수이다”이다. 답안이 대우라 부른 “홀짝이 다르면 \(x+y\)는 홀수이다”는 \(Q \Rightarrow P\), 곧 역이다. 역은 원명제와 논리적으로 동치가 아니므로(9주차 예제 2.2), 역을 증명해도 원명제는 증명되지 않은 채로 남는다. 이 역 자체는 참이지만, 참인 별개의 명제를 증명한 것일 뿐이다. ② 케이스 누락이다. 설령 그 역을 증명하려 했다 해도, “\(x\)와 \(y\)의 홀짝이 다르다”는 (\(x\) 짝, \(y\) 홀)과 (\(x\) 홀, \(y\) 짝)의 두 경우를 뜻한다. 답안은 \(x = 2a\), \(y = 2b+1\)이라는 한 경우만 다루었고, 두 경우가 대칭이라는 선언(WLOG)도 없다. 따라서 가정의 절반이 검증되지 않았다. 올바른 길. 대우 “\(x\)와 \(y\)의 홀짝이 같으면 \(x+y\)는 짝수이다”를 두 경우로 증명한다. 경우 1 (둘 다 짝수): \(x = 2a\), \(y = 2b\)인 정수 \(a, b\)가 존재하고, \(x + y = 2a + 2b = 2(a+b)\)이므로 짝수이다. 경우 2 (둘 다 홀수): \(x = 2a+1\), \(y = 2b+1\)인 정수 \(a, b\)가 존재하고, \(x + y = 2a + 2b + 2 = 2(a+b+1)\)이므로 짝수이다. 두 경우가 “홀짝이 같다”를 빠짐없이 덮으므로 대우가 증명되었고, 대우는 원명제와 동치이므로 원명제도 참이다 (19주차 문제 13). \(\blacksquare\)
복기. 대우와 역은 자리 배치가 같고(둘 다 \(Q\) 쪽이 가정, \(P\) 쪽이 결론) 부정을 했는지 여부만 다르므로 서로 바꿔 쓰기 쉽다. 대우를 적은 뒤에는 반드시 “둘 다 부정했는가, 그리고 자리를 바꾸었는가”를 소리 내어 확인한다 — 9주차 §1.7의 세 구절 그대로, 역은 자리만, 이는 부정만, 대우는 둘 다이다. 곧 자리를 바꾸지 않고 둘 다 부정하면 이(inverse)이고, 부정 없이 자리만 바꾸면 역이다.
문제 20#
접근. 네 기법을 나열하는 것이 아니라 관계를 그려야 하므로, 축을 두 개 잡는다 — ① 각 기법이 무엇을 가정에 놓고 무엇을 목표로 삼는가 ② 어느 기법이 어느 기법을 포함하거나 그 안에서 보조로 쓰이는가. 관계의 핵심 세 가지는 대우가 귀류의 특수형이라는 포함(22주차), 케이스는 독립 기법이라기보다 모든 기법 안에서 쓰이는 분할 장치라는 점, 그리고 네 기법의 몸통이 모두 같은 기술(정의 전개\(\cdot\)대수 변형\(\cdot\)기증명 명제 인용)이라는 점이다(23주차).
풀이. (예시 답안) 직접 증명은 \(P\)를 가정에 놓고 정보가 \(P\)에서 \(Q\)로 순방향으로 흐르게 하는 기본형이다. 케이스 나누기는 별개의 기법이라기보다 그 흐름 도중 가정이 여러 갈래로 갈릴 때 세계를 서로소이고 빠짐없이 쪼개는 보조 장치이며, 네 기법 어디에서나 쓰인다. 대우 증명은 \(\neg Q\)를 가정에 놓고 \(\neg P\)로 가는 직접 증명, 곧 동치인 명제로 갈아탄 것이다. 귀류법은 \(P\)와 \(\neg Q\)를 동시에 가정에 쥐고 아무 모순으로나 달리는 가장 자유로운 형태여서 대우를 특수형으로 포함한다 — 모순을 \(P\)와 \(\neg P\)의 충돌로 고정하면 그것이 곧 대우다. 네 기법의 몸통은 모두 같은 기술이며, 선택은 취향이 아니라 가정과 결론의 모양이라는 신호가 결정한다.
복기. 이 서술을 백지에 재현할 때 관계어 세 개 — “포함한다”, “안에서 쓰인다”, “갈아탄다” — 가 각각 어느 쌍에 붙는지만 정확하면 문장 수는 달라도 된다. 관계를 못 적고 기법을 나열만 했다면 22주차와 23주차를 다시 읽는다.
통과 기준과 다음 단계#
통과: 문제 1 만점 + 증명 문항(9~14, 16, 17) 중 6개 이상 서식\(\cdot\)논리 무결 + 문제 18 신호 판정 4개 중 3개 이상.
통과 시에는 25주차(동치 증명)로 넘어간다. 이후 파트에서는 “기법”이 아니라 대상(iff\(\cdot\)존재\(\cdot\)집합\(\cdot\)함수\(\cdot\)극한)이 주인공이 되고, 4대 기법은 그 대상을 다루는 도구로 쓰인다.
미달 시에는 오답 클리닉 절차를 마친 뒤 재시험한다. 미달 상태로 25주차에 들어가면 6부의 iff\(\cdot\)존재 증명이 4대 기법 위에 그대로 얹히므로, 남은 결손이 다음 부에 누적된다.
다음 주 예고: 6부 개막 — 동치(iff) 증명. “\(P \iff Q\)”가 화살표 두 개라는 사실(8주차)을 증명 서식으로 승격시키고, 방향마다 다른 기법을 조합하는 법, 그리고 “다음은 모두 동치이다(TFAE)”라는 대학 교재의 표준 서식을 다룬다.