46주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#
예제 — 극한 법칙 증명을 함께 만들기#
예제 2.1은 번역표부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하며, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한 뒤 완성된 산문을 본다.
예제 2.1 — 합 법칙: ε/2 트릭의 정석#
명제. \(a_n \to A\), \(b_n \to B\)이면 \(a_n + b_n \to A + B\). (정리 46.1)
설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 받는 것(출발점)과 만들 것(도착점)을 정의 45.1로 번역해 먼저 정한다. 이번에는 받는 것이 두 종류다.
말 |
수식 번역 |
|
|---|---|---|
가정 ① (받는 것) |
두 수열이 각각 수렴한다 |
\(a_n \to A\), \(b_n \to B\) — 정의 45.1을 원하는 양수에 대해 발동할 수 있다 |
가정 ② (받는 것) |
오차 한도가 하나 주어진다 |
\(\varepsilon > 0\) (\(\varepsilon\)은 임의) |
목표 (만들 것) |
\(a_n + b_n \to A + B\) |
자연수 \(N\)을 제시하고, \(n > N\)인 모든 \(n\)에서 \(\lvert (a_n + b_n) - (A + B) \rvert < \varepsilon\)을 보인다 |
확인 11. 이 증명에서 우리가 만들어 내야 하는 대상은 무엇이고, 가정 ①과 가정 ②는 성격이 어떻게 다른가.
답
만들어 내야 하는 것은 자연수 \(N\) 하나다(\(\exists N\)이므로 제시 책임이 우리에게 있다).
가정 ②의 \(\varepsilon\)은 받는 것이므로 값을 고를 권한이 없다(\(\forall \varepsilon\)).
가정 ①은 성격이 다르다 — 두 수렴은 가정 쪽에 놓인 정의이므로 그 안의
\(\forall \varepsilon\)은 우리가 값을 골라 쓸 수 있는 자원이다(45주차 확인 17에서 확인한
방향 뒤집힘). 이 비대칭이 \(\varepsilon\)/2 트릭이 성립하는 이유다 — 받은 \(\varepsilon\)은 못 바꾸지만,
발동할 때 넣는 값은 우리가 정한다.
연습장 — 각 항을 얼마로 눌러야 하는지 역산한다. 목표 식을 삼각부등식으로 쪼개면
이므로, 오른쪽 두 항의 상한의 합이 \(\varepsilon\) 이하가 되게 하면 된다.
확인 12. 위 사슬의 첫 등호는 무엇을 한 것이며, 두 항을 각각 얼마 이내로 누르기로 정할 것인가. (§1.2의 표를 참고한다.)
답
첫 등호는 괄호를 재배열한 것이다 — \(a_n + b_n - A - B\)의 항 순서를 바꿔
\((a_n - A) + (b_n - B)\)로 묶었다(근거 ③). 이렇게 묶어야 두 수열 각각의 오차가 드러난다.
두 항은 각각 \(\frac{\varepsilon}{2}\) 이내로 누른다. 합이 정확히 \(\varepsilon\)이 되므로
사슬의 끝이 정의의 문자와 일치한다. 여기까지가 연습장이고, 본문에는 결과만 선언한다.
1단계 — 오차를 받는다.
확인 13. 첫 문장을 완성해 보자: “\(\underline{\qquad}\)이 임의로 주어졌다고 하자.”
답
“\(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자.” \(\forall \varepsilon\)을 문장으로 옮긴 줄이고,
“임의로”가 값을 고를 권한이 없음을 명시한다. 모든 \(\varepsilon\)-N 증명의 첫 줄이 같다.
2단계 — 두 정의를 \(\frac{\varepsilon}{2}\)로 발동한다.
확인 14. 둘째 문장을 완성해 보자: “\(\frac{\varepsilon}{2} > 0\)이므로, \(a_n \to A\)에 의해 \(n > N_1\)이면 \(\underline{\quad(1)\quad}\)인 자연수 \(N_1\)이 존재하고, \(b_n \to B\)에 의해 \(n > N_2\)이면 \(\underline{\quad(2)\quad}\)인 자연수 \(N_2\)가 존재한다.” 문장 첫머리의 “\(\frac{\varepsilon}{2} > 0\)이므로”를 빼면 무엇이 빠지는가.
답
(1) \(|a_n - A| < \frac{\varepsilon}{2}\) (2) \(|b_n - B| < \frac{\varepsilon}{2}\).
첫머리를 빼면 발동 자격의 확인이 빠진다. 정의 45.1이 허용하는 것은 양수뿐이므로,
\(\frac{\varepsilon}{2}\)가 양수라는 한 마디가 있어야 그 자리에 넣을 수 있다(확인 3).
한 줄이지만 이것이 트릭 전체를 떠받치는 근거다.
3단계 — 두 문턱을 하나로 합친다.
확인 15. 셋째 문장을 완성해 보자: “\(N = \underline{\quad}\)으로 잡자. \(n > N\)이면 두 조건이 동시에 성립한다.” 왜 동시에 성립하는지 한 문장으로 적어 보자.
답
\(N = \max(N_1, N_2)\). \(n > \max(N_1, N_2)\)이면 \(n\)은 두 수 중 큰 쪽보다 크므로 작은 쪽보다도
크고, 따라서 \(n > N_1\)이면서 \(n > N_2\)이다(근거 ③, (W6) 추이성). 45주차 문제 11에서 처음
쓴 \(\max\) 문턱이며, 이번 주의 모든 증명이 이 한 수 위에 선다.
4단계 — 문턱 뒤의 임의의 항을 잡고 사슬을 세운다.
확인 16. 마지막 계산을 완성해 보자: “\(n > N\)이라 하자. 그러면 \(|(a_n + b_n) - (A + B)| = |(a_n - A) + (b_n - B)| \underline{\quad(1)\quad} |a_n - A| + |b_n - B| < \underline{\quad(2)\quad} = \underline{\quad(3)\quad}\)이다.” (1)의 부등호가 오는 근거는 무엇인가.
답
(1) \(\le\) (2) \(\frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}\) (3) \(\varepsilon\).
(1)의 근거는 삼각부등식(17주차 문제 12)이다 — \(|x + y| \le |x| + |y|\)에
\(x = a_n - A\), \(y = b_n - B\)를 대입한 것이다. 그다음 부등호는 2단계에서 받은 두 부등식을
더한 것이고(근거 ③), 마지막 등호에서 예산이 정확히 맞아떨어진다.
완성본. 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.
증명의 한 줄 |
왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
\(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. |
\(\forall \varepsilon\)을 문장으로 옮긴 줄. “임의로”가 값을 고를 권한이 없음을 명시한다. |
\(\frac{\varepsilon}{2} > 0\)이므로, \(a_n \to A\)에 의해 \(n > N_1 \Rightarrow \lvert a_n - A \rvert < \frac{\varepsilon}{2}\)인 자연수 \(N_1\)이 존재하고, \(b_n \to B\)에 의해 \(n > N_2 \Rightarrow \lvert b_n - B \rvert < \frac{\varepsilon}{2}\)인 자연수 \(N_2\)가 존재한다. |
두 수렴 정의를 \(\frac{\varepsilon}{2}\)로 발동해 예산을 반씩 배분한다. 앞머리의 “\(\frac{\varepsilon}{2} > 0\)이므로”가 발동 자격(근거 ②)이다. |
\(N = \max(N_1, N_2)\)로 잡자. |
\(\exists N\)의 제시 책임을 이행한다. 큰 쪽을 넘기면 두 조건이 동시에 성립한다(45주차 문제 11). |
\(n > N\)이라 하자. |
\(\forall n\)을 옮긴 줄. 특정 값이 아니라 문턱을 넘는 임의의 \(n\)이다. |
그러면 \(\lvert (a_n + b_n) - (A + B) \rvert = \lvert (a_n - A) + (b_n - B) \rvert \le \lvert a_n - A \rvert + \lvert b_n - B \rvert < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\)이다. |
재배열(근거 ③) \(\to\) 삼각부등식(17주차 문제 12) \(\to\) 예산 합산. 사슬의 끝이 정의의 문자와 일치한다. |
따라서 정의 45.1에 의해 \(a_n + b_n \to A + B\)이다. \(\blacksquare\) |
정의 충족 선언. 어떤 정의를 만족했는지 이름을 적는다. |
구체값을 넣어 읽어 보기. 문자로 쓴 이 여섯 줄이 실제로 작동하는지 눈으로 확인한다. \(a_n = \frac{1}{n} \to 0\), \(b_n = \frac{n}{n+1} \to 1\)로 두고 \(\varepsilon = 0.1\)을 받았다고 하자.
확인 17. \(\frac{\varepsilon}{2} = 0.05\)일 때 두 정의가 주는 \(N_1\), \(N_2\)로 무엇을 잡을 수 있고, \(N\)은 얼마이며, \(n = 25\)에서 마지막 줄의 사슬은 어떤 부등식이 되는가.
답
\(\left|\frac{1}{n} - 0\right| = \frac{1}{n} < 0.05\)는 \(n > 20\)과 같으므로 \(N_1 = 20\)을 잡을
수 있다. \(\left|\frac{n}{n+1} - 1\right| = \frac{1}{n+1} < 0.05\)는 \(n > 19\)와 같으므로
\(N_2 = 19\)를 잡을 수 있다. \(N = \max(20, 19) = 20\)이다.
\(n = 25 > 20\)에서 사슬은 $\left|\left(\frac{1}{25} + \frac{25}{26}\right) - 1\right|
= 0.0015\cdots \le \frac{1}{25} + \frac{1}{26} = 0.0784\cdots < 0.05 + 0.05 = 0.1$이 된다.
모든 줄이 그대로 성립한다. \(\varepsilon\)을 다른 값으로 바꿔도, 수열을 다른 수렴 수열로
바꿔도 같은 여섯 줄이 작동한다 — 증명의 어느 줄도 수열의 구체적인 식을 쓰지 않았기 때문이다.
예제 2.2 — 샌드위치 정리#
명제. 어떤 문턱 이후 \(a_n \le b_n \le c_n\)이고 \(a_n \to L\), \(c_n \to L\)이면 \(b_n \to L\). (정리 46.3) 이번에는 설계만 함께 하고, 증명은 완성된 산문으로 본다.
확인 18. 번역표를 채워 보자. 가정은 세 개다 — ① \(a_n \to L\) ② \(c_n \to L\) ③ 끼임이 성립하는 문턱 \(N_3\)이 존재한다. 이때 이 증명에서 받는 문턱은 몇 개이고, \(N\)은 무엇으로 잡아야 하는가.
답
받는 문턱은 세 개다 — ①에서 \(N_1\), ②에서 \(N_2\), ③에서 \(N_3\). 세 조건을 동시에 쓰려면
\(N = \max(N_1, N_2, N_3)\)으로 잡는다. \(\max\)는 두 개짜리로 한정되지 않으며, 유한 개의
문턱이면 언제나 가장 큰 것을 잡으면 된다. 세 번째 문턱을 잊고 \(\max(N_1, N_2)\)로만 잡으면
끼임 부등식 \(a_n \le b_n \le c_n\)을 쓸 근거가 없어진다.
확인 19. \(|a_n - L| < \varepsilon\)은 \(L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon\)과 같다(17주차 문제 11의 보조정리, 엄격 부등호 형태는 18주차 문제 11의 복기에서 확인했다). 이 두 부등식 중 \(a_n\) 쪽에서 실제로 쓰는 것은 어느 절반이고, \(c_n\) 쪽에서는 어느 절반인가.
답
\(a_n\)은 아래쪽 벽이므로 왼쪽 절반 \(L - \varepsilon < a_n\)만 쓴다. \(c_n\)은 위쪽 벽이므로
오른쪽 절반 \(c_n < L + \varepsilon\)만 쓴다. 나머지 절반은 있어도 해가 없지만 사슬에는
들어가지 않는다. 이렇게 필요한 절반만 골라 쓰는 것이 부등식 증명의 일반적인 절약이다.
증명. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(a_n \to L\)이므로 자연수 \(N_1\)이 존재하여 \(n > N_1\)이면 \(|a_n - L| < \varepsilon\)이고, 17주차 문제 11의 보조정리에 의해 이는 \(L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon\)과 같으므로 특히 \(L - \varepsilon < a_n\)이다. \(c_n \to L\)이므로 자연수 \(N_2\)가 존재하여 \(n > N_2\)이면 \(|c_n - L| < \varepsilon\)이고, 같은 보조정리에 의해 특히 \(c_n < L + \varepsilon\)이다. 가정에 의해 \(n > N_3\)이면 \(a_n \le b_n \le c_n\)인 자연수 \(N_3\)이 존재한다. \(N = \max(N_1, N_2, N_3)\)으로 잡자. \(n > N\)이라 하자. 그러면 세 조건이 동시에 성립하므로
이고, 사슬의 양끝만 남기면 \(L - \varepsilon < b_n < L + \varepsilon\), 즉 \(|b_n - L| < \varepsilon\)이다(17주차 문제 11의 보조정리를 반대 방향으로 쓴 것). 따라서 정의 45.1에 의해 \(b_n \to L\)이다. \(\blacksquare\)
활용 — 진동하는 수열. \(\left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac{1}{n}\)이므로 모든 \(n\)에 대해
이다. 양끝은 각각 \(-\frac{1}{n} \to 0\)(45주차 예제 2.1과 정리 46.2, \(c = -1\))과 \(\frac{1}{n} \to 0\)(45주차 예제 2.1)으로 수렴하므로, 정리 46.3에 의해 \(\frac{(-1)^n}{n} \to 0\)이다. 부호가 계속 뒤집히는데도 수렴한다 — \((-1)^n\)(발산, 45주차 예제 2.3)과의 차이는 진폭이 0으로 줄어든다는 것 하나다. \(|a_n - L|\)을 직접 정리하려 하면 부호 때문에 경우를 나누게 되지만, 위아래로 조이면 부호를 한 번도 다루지 않는다.
예제 2.3 — 조화급수의 발산 (오렘, 14세기)#
명제. \(\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i}\)은 발산한다. 이번에는 설계부터 스스로 한 뒤 산문을 확인한다.
확인 20. 정의 46.1에 따르면 이 명제는 어떤 수열에 대한 어떤 주장인가. 그 주장을 증명하려면 어떤 서식으로 시작하는 것이 자연스러운가.
답
부분합 수열 \(S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}\)이 어떤 실수로도 수렴하지 않는다는 주장이다.
“어떤 것도 없다”는 부정 명제이므로 귀류법(21주차)으로 시작한다 — \(S_n \to L\)인 실수 \(L\)이
존재한다고 가정하고 모순을 만든다. 45주차 예제 2.3에서 \((-1)^n\)의 발산을 증명할 때와 같은
서식이며, 가정 쪽에 놓인 정의 45.1의 \(\varepsilon\)을 우리가 골라 쓸 수 있다는 점도 같다.
확인 21. 부분합을 \(2^k\) 지점에서 관찰한다. \(S_{2^{k+1}} - S_{2^k} = \frac{1}{2^k + 1} + \cdots + \frac{1}{2^{k+1}}\)에서 항의 개수는 \(\underline{\quad(1)\quad}\)개이고, 각 항은 분모가 최대 \(2^{k+1}\)이므로 \(\underline{\quad(2)\quad}\) 이상이다. 따라서 이 합은 \(\underline{\quad(3)\quad}\) 이상이다.
답
(1) \(2^{k+1} - 2^k = 2^k\) (2) \(\frac{1}{2^{k+1}}\) (3) \(2^k \cdot \frac{1}{2^{k+1}} = \frac{1}{2}\).
각 항의 분모가 \(2^{k+1}\) 이하이므로 각 항은 \(\frac{1}{2^{k+1}}\) 이상이다 — 45주차 문제 10에서
쓴 눌러놓기의 방향을 뒤집은 것으로, 여기서는 아래에서 눌러 둔다. 묶음의 크기가 \(k\)와 무관하게
\(\frac{1}{2}\) 이상이라는 것이 이 증명의 전부다.
증명. 부분합 \(S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}\)을 \(2\)의 거듭제곱 지점에서 관찰한다. \(k \ge 0\)인 정수에 대해
이다(항이 \(2^k\)개이고 각 항의 분모가 \(2^{k+1}\) 이하이므로 각 항이 \(\frac{1}{2^{k+1}}\) 이상이다). 이제 모든 자연수 \(k\)에 대해 \(S_{2^k} \ge 1 + \frac{k}{2}\)임을 귀납법으로 보인다. 기초는 \(S_{2^1} = 1 + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2}\)이다. 귀납 단계에서 \(S_{2^k} \ge 1 + \frac{k}{2}\)를 가정하면 위의 부등식에 의해
이므로 성립한다.
모순을 이끌어내기 위해 \(S_n \to L\)인 실수 \(L\)이 존재한다고 가정하자. 정의 45.1을 \(\varepsilon = 1\)에 대해 발동하면 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)이면 \(|S_n - L| < 1\), 따라서 \(S_n < L + 1\)이다. 한편 \(M = \max(2L,\ N)\)으로 두면 \(M + 1 > 0\)이므로 아르키메데스 성질에 의해 \(\frac{1}{k} < \frac{1}{M+1}\)인 자연수 \(k\)가 존재하고, 그러면 \(k > M + 1 > M\)이므로 \(k > 2L\)이고 \(k > N\)이다. \(31\)주차 문제 16에 의해 \(2^k > k > N\)이므로 위의 부등식을 \(n = 2^k\)에 적용할 수 있고, 동시에 귀납 결과를 쓸 수 있다. 그러면
이 되어 \(L + 1 > L + 1\)이라는 모순이 나온다. 따라서 그런 \(L\)은 존재하지 않고, 부분합 수열은 발산하므로 정의 46.1에 의해 \(\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i}\)은 발산한다. \(\blacksquare\)
항 \(\frac{1}{i}\)은 0으로 수렴하는 얌전한 수열인데 부분합은 어떤 값도 넘어선다. 항의 크기가 아니라 줄어드는 속도가 급수의 운명을 가른다는 §1.8의 관찰이 여기서 부등식으로 확인된다.
관찰 — 같은 뼈대#
세 예제는 소재가 전혀 다르지만 진행이 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.
걸음 |
예제 2.1 |
예제 2.2 |
예제 2.3 |
|---|---|---|---|
① 오차를 어떻게 다루는가 |
\(\varepsilon\)을 받고 \(\frac{\varepsilon}{2}\)로 배분 |
\(\varepsilon\)을 받아 그대로 두 정의에 |
\(\underline{\quad(1)\quad}\) |
② 여러 문턱의 결합 |
\(N = \max(N_1, N_2)\) |
\(\underline{\quad(2)\quad}\) |
문턱 \(N\) 하나 + 아르키메데스로 큰 \(k\) |
③ 사슬을 잇는 도구 |
삼각부등식 |
\(\underline{\quad(3)\quad}\) |
묶음 부등식과 귀납 결과 |
④ 마무리 |
정의 45.1 충족 선언 |
정의 45.1 충족 선언 |
모순 도출 후 발산 선언 |
확인 22. 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 예제 2.3만 ①과 ④의 성격이 다른 이유를 한 문장으로 적어 보자.
답
(1) \(\varepsilon = 1\)을 우리가 고름 (2) \(N = \max(N_1, N_2, N_3)\)
(3) 끼임 부등식 \(a_n \le b_n \le c_n\)과 구간 번역(17주차 문제 11).
예제 2.1과 2.2는 정의 45.1을 증명하는 쪽이라 \(\varepsilon\)을 받고 문턱을 만들지만,
예제 2.3은 수렴을 가정으로 놓고 부수는 쪽이라 \(\varepsilon\)을 골라 쓰고 문턱을 받는다.
45주차 확인 18에서 확인한 방향 뒤집힘이 그대로 재현된다.
방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.
백지 암기 대상
여러 수렴을 합치는 세 걸음
① 배분 — 최종 오차 예산 \(\varepsilon\)을 항의 개수만큼 나누어, 각 정의를 그 값으로 발동한다.
② \(\max\) 문턱 — 받은 문턱들 중 가장 큰 것을 잡아 조건들을 동시에 성립시킨다.
③ 사슬 마감 — 삼각부등식이나 끼임 부등식으로 오차들을 합쳐, 끝이 \(\varepsilon\)이 되게 한다.
이 틀은 항이 셋일 때(훈련 2)도, 계수가 붙을 때(정리 46.2)도, 문턱이 셋일 때(예제 2.2)도 그대로 작동한다. 47주차에서 문턱 \(N\)이 반경 \(\delta\)로 바뀌면 \(\max\)가 \(\min\)으로 바뀌는데, 나머지 두 걸음은 문자 그대로 같다.
빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#
훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.
훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸#
명제. \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i} = 1\).
증명. 부분합은 \(S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2^i} = 1 - \frac{1}{2^n}\)이다 (31주차 문제 11 \(\sum_{i=0}^{n} 2^i = 2^{n+1} - 1\)에 \(n\) 대신 \(n-1\)을 넣은 \(\sum_{i=0}^{n-1} 2^i = 2^n - 1\)의 양변을 \(2^n\)으로 나눈 것 — 첨자를 뒤집는 단계까지의 자세한 계산은 문제 4의 풀이에 있다). 따라서
이다. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 31주차 문제 16에 의해 \(n < 2^n\)이므로 \(\frac{1}{2^n} < \underline{\quad(2)\quad}\)이다. 아르키메데스 성질에 의해 \(\frac{1}{N} < \underline{\quad(3)\quad}\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 이 \(N\)을 잡자. \(n > N\)이라 하자. 그러면
이다. 따라서 정의 45.1에 의해 \(S_n \to \underline{\quad(5)\quad}\)이고, 정의 46.1에 의해 급수의 합은 1이다. \(\blacksquare\)
훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#
이번에는 구조 낱말과 근거 문장도 빈칸이다. 항이 셋으로 늘면 배분도 셋으로 나뉜다.
명제. \(a_n \to A\), \(b_n \to B\), \(c_n \to C\)이면 \(a_n + b_n + c_n \to A + B + C\).
증명. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(\frac{\varepsilon}{3} > 0\)이므로 (\(\underline{\quad(1)\quad}\) — 근거 ②), 세 수렴 정의를 각각 \(\frac{\varepsilon}{3}\)에 대해 발동하면 자연수 \(N_1, N_2, N_3\)이 존재하여 \(n > N_1\)이면 \(|a_n - A| < \frac{\varepsilon}{3}\), \(n > N_2\)이면 \(\underline{\quad(2)\quad}\), \(n > N_3\)이면 \(|c_n - C| < \frac{\varepsilon}{3}\)이다. \(N = \underline{\quad(3)\quad}\)으로 잡자. \(n > N\)이면 세 조건이 동시에 성립한다 (\(\underline{\quad(4)\quad}\) — 가장 큰 것을 넘으면 나머지도 넘는다). \(n > N\)이라 하자. 그러면
이다. 첫 부등호는 \(\underline{\quad(6)\quad}\)을 두 번 적용해 얻는다. 따라서 정의 45.1에 의해 \(a_n + b_n + c_n \to A + B + C\)이다. \(\blacksquare\)
훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#
이번에는 부분합의 닫힌 꼴을 세우는 것부터 시작한다. (\(r = \frac{1}{3}\)인 등비급수이고, 31주차 문제 18의 합 공식을 쓴다.)
명제. \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{3^i} = \frac{1}{2}\).
증명의 뼈대. 각 칸을 통째로 채운다.
부분합의 닫힌 꼴: \(S_n = \underline{\quad(1)\quad}\)
① 오차 받기: \(\underline{\quad(2)\quad}\)
② 문턱 선언: \(\underline{\quad(3)\quad}\)
③ 항 잡기: \(\underline{\quad(4)\quad}\)
④ 사슬 계산과 마무리: \(\underline{\quad(5)\quad}\)
(이 훈련이 문제 17의 예행연습이다 — 문제 17은 같은 계산을 임의의 \(r\)에 대해 한다.)
연습문제 (20문항)#
해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다 \(\to\) 그래도 안 되면 풀이를 읽는다.
이번 주의 채점 기준
답이 아니라 근거가 점수다. “\(\frac{2n^2+n}{n^2}\)의 극한은 2다(맞음)”는 0점이고,
“\(2 + \frac{1}{n}\)으로 분해해 상수열의 수렴(45주차 문제 3)과 \(\frac{1}{n} \to 0\)(45주차
예제 2.1)을 부품으로 놓고 정리 46.1을 인용하면 \(2 + 0 = 2\)”가 만점이다. 특히 네 곳을 본다 —
① 정의를 \(\frac{\varepsilon}{2}\)(또는 \(\frac{\varepsilon}{\lvert c \rvert}\))로 발동할 때
그 값이 양수임을 밝혔는가 ② 문턱을 \(\max\)로 합쳤는가 ③ 부등식 사슬의 끝이 \(\varepsilon\)인가
④ 급수 문제에서 부분합 수열을 명시했는가. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.
기본 ●○○#
1. [백지] 합 법칙과 \(\varepsilon\)/2 트릭의 구조(예산 배분 \(\to\) max 문턱 \(\to\) 삼각부등식), 급수 수렴의 정의를 쓰시오.
힌트
구조는 §2 관찰의 “세 걸음” 상자, 급수의 정의는 정의 46.1이다. 세 걸음 각각에 대해
“무엇을 하는가”와 “그 줄이 없으면 어느 문장이 근거를 잃는가”를 함께 적으면 완결된다.
2. 극한 법칙을 인용해 다음 극한을 구하시오 (\(\varepsilon\)-N 불필요 — 어느 법칙을 어디에 썼는지만 명시). (a) \(\lim \left(\frac1n + \frac{n}{n+1}\right)\) (b) \(\lim \frac{3n+2}{n}\) (\(= 3 + \frac2n\)으로 분해) (c) \(\lim \frac{2n^2 + n}{n^2}\)
힌트
각 식을 이미 극한을 아는 조각들의 합으로 분해하는 것이 전부다. 쓸 수 있는 부품은 세
가지뿐이다 — 상수열(45주차 문제 3), \(\frac{1}{n} \to 0\)(45주차 예제 2.1),
\(\frac{n}{n+1} \to 1\)(45주차 문제 9). 계수는 정리 46.2로 떼어 낸다.
3. \(S_n = 1 - \frac{1}{2^n}\)의 처음 네 값을 계산하고, \(\sum \frac{1}{2^i}\)의 “합이 1”이라는 말이 어떤 극한 명제인지 쓰시오.
힌트
계산은 §1.6의 표에서 한 번 했다. 뒷부분은 정의 46.1을 그대로 옮겨 적으면 되고,
“무한개를 더한다”는 표현이 답에 남아 있으면 아직 번역이 끝나지 않은 것이다.
4. 빈칸 훈련(\(\sum \frac{1}{2^i} = 1\))을 백지에서 완성하시오.
힌트
네 걸음의 순서를 먼저 적고 그 안을 채운다 — 부분합의 닫힌 꼴 \(\to\) \(\varepsilon\) 받기 \(\to\)
아르키메데스로 문턱 \(\to\) 사슬. 사슬에서 \(\frac{1}{2^n}\)을 \(\frac{1}{n}\)으로 바꿔 놓는 근거가
31주차 문제 16이다.
5. 예제 2.1(합 법칙)을 백지에 재현하시오.
힌트
여섯 줄이다. 둘째 줄 앞머리의 “\(\frac{\varepsilon}{2} > 0\)이므로”와 셋째 줄의 \(\max\),
다섯째 줄의 삼각부등식 — 이 세 곳이 빠지기 쉬우니 먼저 적어 두고 나머지를 채운다.
6. 샌드위치로 \(\lim \frac{(-1)^n}{n} = 0\)을 증명하시오 (예제 2.2 활용부 재현).
힌트
위아래 벽을 먼저 적는다: \(-\frac{1}{n} \le \frac{(-1)^n}{n} \le \frac{1}{n}\).
그다음 양끝이 각각 0으로 수렴하는 근거를 인용해야 하는데, 왼쪽 벽의 근거에는 정리 46.2가
한 번 필요하다.
표준 ●●○#
7. 상수배 법칙: \(a_n \to A\)이면 \(c\,a_n \to cA\)임을 증명하시오. (\(c = 0\)인 경우와 \(c \neq 0\)인 경우 — \(c \neq 0\)에서 정의를 \(\frac{\varepsilon}{|c|}\)로 발동, \(|c\,a_n - cA| = |c||a_n - A|\))
힌트
경우를 나누는 이유가 답안에 드러나야 한다 — \(\frac{\varepsilon}{|c|}\)이 \(c = 0\)에서
정의되지 않기 때문이다(확인 5). \(c = 0\) 쪽은 상수열 하나로 끝나고, \(c \neq 0\) 쪽은
\(\frac{\varepsilon}{|c|} > 0\)임을 밝히는 한 줄에서 시작한다.
8. 합 법칙과 상수배를 조립해 차 법칙(\(a_n - b_n \to A - B\))을 두 줄로 유도하시오.
힌트
새 \(\varepsilon\)-N 증명을 쓰지 않는다. \(a_n - b_n\)을 뺄셈이 아니라 덧셈으로 다시 읽으면
두 정리를 그대로 인용할 수 있다. 어떤 상수 \(c\)를 쓰면 되는가.
9. \(\lim \frac{n^2 + 3n + 1}{n^2} = 1\)을 법칙 조립으로 구하고, 각 부품의 출처를 밝히시오.
10. 샌드위치 정리(예제 2.2)를 백지에 재현하시오.
11. \(b_n\)이 모든 \(n\)에 대해 \(0 \le b_n \le \frac{5}{n}\)을 만족하면 \(b_n \to 0\)임을 샌드위치로 보이시오. (원형인 \(\frac{\cos n}{n}\)은 삼각함수를 쓰므로 부등식만 남긴 형태다.)
12. 망원(telescoping) 급수: \(\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i(i+1)} = 1\)임을 증명하시오. (부분합 \(= \frac{n}{n+1}\) — 31주차 문제 10, 그리고 45주차 문제 9)
힌트
급수 문제의 첫 줄은 언제나 부분합 수열을 적는 것이다. 닫힌 꼴은 31주차 문제 10이
귀납법으로 이미 증명해 두었으므로 근거 ④로 인용하면 되고, 그 뒤로는 45주차 문제 9와
완전히 같은 수열의 극한 문제가 남는다.
13. 예제 2.3(조화급수 발산)의 핵심 부등식 \(S_{2^{k+1}} - S_{2^k} \ge \frac12\)을 백지에서 재현하고, \(S_{2^k} \ge 1 + \frac k2\)의 귀납 단계를 완성하시오.
힌트
두 수만 세면 된다 — 묶음 안의 항의 개수와 각 항의 최소 크기. 개수는
\(2^{k+1} - 2^k\)을 계산해 얻고, 최소 크기는 분모가 가장 클 때 나온다. 귀납 단계는
\(S_{2^{k+1}}\)을 \(S_{2^k}\)와 묶음의 합으로 쪼개는 한 줄에서 시작한다.
14. \(0.999\cdots = 1\)을 급수의 언어로 판결하시오: \(0.999\cdots\)의 정의는 \(\sum_{i=1}^{\infty} \frac{9}{10^i}\) — 부분합 \(S_n = 1 - \frac{1}{10^n}\)을 확인하고 극한을 증명하시오.
힌트
부분합 확인은 31주차 문제 18의 등비합 공식에 \(r = \frac{1}{10}\)을 넣는 계산이다.
극한은 훈련 1과 문자만 다르다 — \(2^n\) 자리에 \(10^n\)이 들어가고, \(10^n > n\)의 근거는
\(10^n \ge 2^n > n\)으로 잇는다.
도전 ●●●#
유한 개의 최댓값 — 문제 15에서 처음 쓴다
유한개의 실수 \(x_1, \dots, x_N\)에는 반드시 최댓값 \(\max(x_1, \dots, x_N)\)이 존재한다.
\(\max(N_1, N_2)\)를 쓸 때 이미 두 개짜리로 썼고, 여기서는 개수가 \(N\)개로 늘 뿐이다.
무한 개에는 이 사실이 성립하지 않는다 — 자연수 전체에는 최댓값이 없다. 그래서 문제 15는
수열을 “앞의 유한 개”와 “문턱 뒤의 무한 개”로 잘라 각각 다른 도구로 처리한다.
15. (수렴 \(\Rightarrow\) 유계) \(a_n \to L\)이면 \((a_n)\)은 유계임을 — 즉 모든 \(n\)에 대해 \(|a_n| \le M\)인 \(M\)이 존재함을 — 증명하시오. (힌트: \(\varepsilon = 1\) 발동 \(\to\) \(n > N\)에서 \(|a_n| < |L| + 1\) (삼각); 앞부분 \(a_1, \dots, a_N\)은 유한 개이므로 최댓값 존재 — \(M = \max(|a_1|, \dots, |a_N|, |L| + 1)\))
베르누이 부등식 — 문제 16에서 다시 쓴다
\(x \ge -1\)인 실수 \(x\)와 모든 자연수 \(n\)에 대해 \((1 + x)^n \ge 1 + nx\)이다(32주차 문제 11에서
귀납법으로 증명했다). 문제 16은 이 부등식을 \(\frac{1}{r^n}\)에 적용해 \(r^n\)을 위에서 누른다 —
32주차의 부등식이 이번 주의 극한을 완성하는 자리다.
16. 등비급수: \(0 < r < 1\)이면 \(r^n \to 0\)임을 증명하시오. (힌트: \(h = \frac1r - 1 > 0\)으로 놓으면 \(\frac{1}{r^n} = (1+h)^n \ge 1 + nh\) (베르누이, 32주차 문제 11) — 따라서 \(0 < r^n \le \frac{1}{1 + nh}\), 샌드위치)
17. 문제 16을 이용해 \(|r| < 1\)일 때 \(\sum_{i=0}^{\infty} r^i = \frac{1}{1 - r}\)임을 증명하시오. (부분합 = \(\frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}\) — 31주차 문제 18)
힌트
문제 16이 다루는 것은 \(0 < r < 1\)인 경우뿐이다. \(r = 0\)과 \(-1 < r < 0\)을 어떻게 처리할지
먼저 정한다 — 음수 쪽은 \(|r^{n+1}| = |r|^{n+1}\)을 위아래 벽으로 삼으면 샌드위치가 작동한다.
지수가 \(n\)이 아니라 \(n+1\)인 것도 정리 46.2로 넘길 수 있다.
18. (진단) 다음 답안의 결함을 지적하시오.
“합 법칙 증명: \(\varepsilon > 0\)이 주어졌다. \(a_n \to A\)이므로 \(|a_n - A| < \varepsilon\) (\(n > N_1\)), \(b_n \to B\)이므로 \(|b_n - B| < \varepsilon\) (\(n > N_2\)). 그러면 \(|(a_n + b_n) - (A+B)| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon\). \(2\varepsilon\)이 나왔으니 실패인가, 아니면 괜찮은가?”
(사실 이 논증은 구제 가능하다 — “임의의 \(\varepsilon\)에 대해 \(< 2\varepsilon\)”이 왜 수렴 정의와 동치인지 논하고, 그럼에도 표준 서식(\(\varepsilon\)/2)이 선호되는 이유를 쓰시오.)
힌트
판정할 것이 둘이다. 하나는 논리 — “모든 \(\varepsilon\)에 대해 \(< 2\varepsilon\)”이라는 문장
전체에서 \(\varepsilon\) 자리에 다른 양수를 넣어 보면 무엇이 나오는가. 다른 하나는 서식 —
이 답안에는 §0 유형 2의 간격도 그대로 남아 있다. 두 지적이 성격이 다르다는 점을 밝힌다.
19. “\(\sum a_i\)가 수렴하면 \(a_i \to 0\)”임을 증명하시오. (힌트: \(a_n = S_n - S_{n-1}\) — 두 부분합 수열이 같은 극한 \(L\)로 수렴, 차 법칙(문제 8)) 그리고 역이 거짓임을 조화급수로 확인하시오 — 필요조건이지 충분조건이 아니다(8주차의 언어).
힌트
새 \(\varepsilon\)-N 증명이 필요 없다. \(a_n\)을 부분합의 차로 다시 쓰면 문제 8이 곧바로 적용된다.
다만 한 줄을 확인해야 한다 — 한 칸 밀린 수열 \((S_{n-1})\)도 같은 \(L\)로 수렴하는가. 그
근거는 문턱을 하나 올리는 것으로 얻어진다.
20. (서술) (a) \(\varepsilon\)/2 트릭을 “오차 예산”의 은유로 설명하고, 세 항이면 예산을 어떻게 나눌지 쓰시오. (b) 조화급수와 \(\sum \frac{1}{i^2}\)의 운명이 갈린 이유를 “감소 속도”의 관점에서 두 문장 이내로.
백지 재현 — 복습 프로토콜#
권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.
1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용. §2 관찰의 “세 걸음” 상자와 근거 목록(§1.9)만 펴 놓고 예제 2.1을 처음부터 끝까지 적는다. 정의 45.1과 본문은 보지 않는다.
2차 시도 (5일차) — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다.
정리 46.1을 진술하고 예제 2.1의 여섯 줄을 재현했다.
둘째 줄에 “\(\frac{\varepsilon}{2} > 0\)이므로”를, 셋째 줄에 \(\max\)를 적었다.
정리 46.3(샌드위치)을 재현하고, 문턱이 세 개인 이유를 말했다.
정의 46.1(급수와 부분합)을 조각 그대로 썼고, 그 정의로 \(\sum \frac{1}{2^i} = 1\)을 증명했다.
조화급수의 묶음 부등식 \(S_{2^{k+1}} - S_{2^k} \ge \frac{1}{2}\)을 항의 개수와 최소 크기부터 세워 재현했다.
“항이 0으로 감”이 필요조건일 뿐인 이유를 조화급수와 함께 설명했다(문제 19).
세 급수(\(\frac{1}{2^i}\), \(\frac{1}{i}\), \(\frac{1}{i^2}\))의 판정과 그 근거를 각각 한 줄로 적었다.
막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.
막힌 지점 |
처방 |
|---|---|
왜 \(\frac{\varepsilon}{2}\)로 발동하는지 모르겠다 |
§1.2의 배분 표 — \(p + q \le \varepsilon\) 한 줄이 이유의 전부다 |
\(\max\)를 어디에 쓰는지 헷갈린다 |
§1.3의 조각 삭제 실험 — \(\min\)으로 잡으면 어느 문장이 무너지는지 확인한다 |
사슬이 \(2\varepsilon\)에서 끝난다 |
예제 2.1의 2단계 — 발동한 값이 \(\varepsilon\)인지 \(\frac{\varepsilon}{2}\)인지 되짚는다 |
급수 문제의 첫 줄이 안 나온다 |
정의 46.1 — 첫 줄은 언제나 부분합 \(S_n\)을 적는 것이다 |
부분합의 닫힌 꼴이 안 나온다 |
31주차 문제 10\(\cdot\)11\(\cdot\)18 — 귀납법으로 이미 증명해 둔 공식을 인용한다 |
샌드위치의 벽이 안 보인다 |
예제 2.2 활용부 — 절댓값을 먼저 씌워 크기를 잰 뒤 양쪽에 부호를 붙인다 |
발산 증명의 시작이 안 보인다 |
예제 2.3의 확인 20 — 수렴을 가정하고 \(\varepsilon\)을 골라 모순을 만든다 |
어느 정리를 인용할지 모르겠다 |
§1.9의 근거 목록 — 이번 주에 늘어난 칸은 ④뿐이다 |
하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.
해설#
각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.
빈칸 사다리 — 훈련 1#
(1) \(\frac{1}{2^n}\) (2) \(\frac{1}{n}\) (3) \(\varepsilon\) (4) \(\varepsilon\) (5) \(1\)
※ (1)에서 \(|S_n - 1| = \left|1 - \frac{1}{2^n} - 1\right| = \left|-\frac{1}{2^n}\right| = \frac{1}{2^n}\)이다 — 절댓값 안의 부호를 빼는 데 \(|-x| = |x|\)(17주차 문제 4)를 쓴다. (2)는 31주차 문제 16의 \(n < 2^n\)에서 양변의 역수를 취한 것이고, 양수의 역수 비교이므로 부등호가 뒤집힌다.
빈칸 사다리 — 훈련 2#
(1) \(\varepsilon > 0\)이고 \(3 > 0\)이므로 양수를 양수로 나눈 값은 양수이다 (2) \(|b_n - B| < \frac{\varepsilon}{3}\) (3) \(\max(N_1, N_2, N_3)\) (4) \(\max\) 문턱 (45주차 문제 11) (5) \(\frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon\) (6) 삼각부등식 (17주차 문제 12)
※ (6)에서 두 번 적용한다는 것은 \(|x + y + z| = |(x + y) + z| \le |x + y| + |z| \le |x| + |y| + |z|\)의 두 단계를 말한다. 항이 넷이면 세 번, \(m\)개면 \(m - 1\)번이고 배분은 \(\frac{\varepsilon}{m}\)씩이다.
빈칸 사다리 — 훈련 3#
(1) \(S_n = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right)\). 31주차 문제 18에서 \(r = \frac13\)으로 \(\sum_{i=0}^{n-1} \left(\frac13\right)^i = \frac{(1/3)^n - 1}{1/3 - 1} = \frac{3}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right)\)을 얻고, 여기에 \(\frac13\)을 곱하면 첨자가 1부터 \(n\)까지인 합 \(\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right)\)이 된다. (2) \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. (3) 아르키메데스 성질에 의해 \(\frac{1}{N} < \varepsilon\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 이 \(N\)을 잡자. (4) \(n > N\)이라 하자. (5) \(\left|S_n - \frac12\right| = \frac{1}{2 \cdot 3^n} < \frac{1}{3^n} \le \frac{1}{2^n} < \frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \varepsilon\)이다. 따라서 정의 45.1에 의해 \(S_n \to \frac12\)이고, 정의 46.1에 의해 급수의 합은 \(\frac12\)이다. \(\blacksquare\)
※ \(3^n \ge 2^n\)은 (W3)과 \(n\)에 대한 귀납법(31주차)으로 모든 자연수 \(n\)에서 얻는다 — 기초는 \(3^1 \ge 2^1\)이고, 귀납 단계는 \(3^k \ge 2^k\)의 양변에 양수 \(3\)을 곱해 \(3^{k+1} \ge 3 \cdot 2^k \ge 2 \cdot 2^k = 2^{k+1}\)을 얻는다(두 부등호 모두 (W3)이다). \(2^n > n\)은 31주차 문제 16이다. 훈련 1과 문자만 다르고 뼈대는 같다.
문제 1#
접근. 세 걸음의 이름만 나열하면 절반이다. 각 걸음이 무엇을 해결하는지 — 그 줄이 없으면 어느 문장이 근거를 잃는지 — 를 함께 적어야 구조를 재현한 것이 된다. 급수의 정의는 부분합이라는 낱말이 반드시 들어가야 한다.
풀이. 정리 46.1(합 법칙). \(a_n \to A\)이고 \(b_n \to B\)이면 \(a_n + b_n \to A + B\)이다. 구조 세 걸음. ① 예산 배분 — 최종 오차 한도 \(\varepsilon\)을 두 항에 \(\frac{\varepsilon}{2}\)씩 나누고, 각 수렴 정의를 그 값에 대해 발동한다. 정의 45.1의 첫 조각이 \(\forall \varepsilon > 0\)이므로 \(\frac{\varepsilon}{2} > 0\)인 한 발동이 허용되며, 이 배분이 없으면 사슬의 끝이 \(2\varepsilon\)이 되어 정의의 문자와 어긋난다. ② \(\max\) 문턱 — 두 정의에서 받은 \(N_1\), \(N_2\)에 대해 \(N = \max(N_1, N_2)\)로 잡는다. 이 줄이 없으면 두 부등식이 서로 다른 구간에서만 성립하므로 같은 \(n\)에서 함께 쓸 근거가 없다. ③ 삼각부등식 — \(|(a_n - A) + (b_n - B)| \le |a_n - A| + |b_n - B|\)로 두 오차를 하나로 합치고, 배분한 예산을 더해 \(\varepsilon\)으로 마감한다. 정의 46.1(급수의 수렴). 수열 \((a_i)\)의 부분합을 \(S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i\)로 두었을 때, 부분합 수열 \((S_n)\)이 \(L\)로 수렴하면 급수 \(\sum_{i=1}^{\infty} a_i\)가 \(L\)로 수렴한다고 하고 \(\sum_{i=1}^{\infty} a_i = L\)로 쓴다. 부분합 수열이 발산하면 급수도 발산한다.
복기. 세 걸음은 서로 독립이 아니다 — ①이 정하는 값이 ③의 마지막 등호에서 회수된다. 그래서 배분을 바꾸면(예: \(\frac{\varepsilon}{3}\)과 \(\frac{2\varepsilon}{3}\)) 사슬의 마지막 줄도 함께 바뀐다.
문제 2#
접근. \(\varepsilon\)-N 증명을 다시 쓰지 않는다. 각 식을 극한을 이미 아는 조각들의 합으로 분해한 뒤, 정리 46.1과 46.2를 인용해 조립하는 것이 전부다. 인용한 정리의 이름과 부품의 출처를 적는 것이 채점 대상이다.
풀이. (a) \(\frac{1}{n} \to 0\)이다(45주차 예제 2.1). \(\frac{n}{n+1} \to 1\)이다(45주차 문제 9). 두 수열이 각각 수렴하므로 정리 46.1(합 법칙)에 의해 \(\frac{1}{n} + \frac{n}{n+1} \to 0 + 1 = 1\)이다. 따라서 극한은 \(1\)이다. (b) \(\frac{3n+2}{n} = \frac{3n}{n} + \frac{2}{n} = 3 + \frac{2}{n}\)으로 분해한다(근거 ③). 상수열 \(3\)은 \(3\)으로 수렴한다(45주차 문제 3). \(\frac{2}{n} = 2 \cdot \frac{1}{n}\)이고 \(\frac{1}{n} \to 0\)이므로 정리 46.2(상수배, \(c = 2\))에 의해 \(\frac{2}{n} \to 2 \cdot 0 = 0\)이다. 정리 46.1에 의해 \(3 + \frac{2}{n} \to 3 + 0 = 3\)이다. (c) \(\frac{2n^2 + n}{n^2} = \frac{2n^2}{n^2} + \frac{n}{n^2} = 2 + \frac{1}{n}\)이다. 상수열 \(2 \to 2\)(45주차 문제 3)와 \(\frac{1}{n} \to 0\)(45주차 예제 2.1)에 정리 46.1을 쓰면 극한은 \(2 + 0 = 2\)이다.
복기. 세 문항 모두 같은 절차다 — 분수를 항별로 쪼갠다 \(\to\) 각 조각의 극한을 인용한다 \(\to\) 정리로 합친다. 고등학교에서 규칙으로 쓰던 계산이 이제 정리 인용이 되었고, 인용할 정리가 있다는 것이 45주차와 달라진 점이다. (검산: (b)에서 \(n = 100\)이면 \(\frac{302}{100} = 3.02\)로 \(3\)에 가깝다 ✓)
문제 3#
접근. 앞부분은 대입 계산이고, 뒷부분이 이 문제의 본체다. “합이 1”이라는 일상어를 정의 46.1이 정한 문장으로 옮겨 적는 것이며, 답에 “무한개를 더한다”는 표현이 남아 있으면 번역이 끝나지 않은 것이다.
풀이. \(S_1 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\), \(S_2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\), \(S_3 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\), \(S_4 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}\)이다. “\(\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i} = 1\)”은 다음 극한 명제다 — 부분합 수열 \((S_n) = \left(1 - \frac{1}{2^n}\right)\)이 \(1\)로 수렴한다, 즉 \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n\,(n > N \Rightarrow |S_n - 1| < \varepsilon)\)이다. 이 문장에는 무한 번의 덧셈이 한 번도 등장하지 않는다. 등장하는 것은 유한합 \(S_n\)과, 그 유한합들이 이루는 수열의 극한뿐이다.
복기. 급수의 등호는 근사가 아니라 극한값의 지정이다. 이 번역이 되면 문제 14의 \(0.999\cdots = 1\) 논쟁도 계산 문제로 축소된다.
문제 4#
접근. 훈련 1의 빈칸을 채우는 것과 백지에서 완성하는 것은 다른 일이다. 백지에서는 순서를 먼저 세운다 — 부분합의 닫힌 꼴 \(\to\) \(\varepsilon\) 받기 \(\to\) 문턱 선언 \(\to\) 항 잡기 \(\to\) 사슬. 닫힌 꼴은 새로 유도하지 말고 31주차 문제 11을 인용한다.
풀이. 부분합은 \(S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2^i}\)이다. 31주차 문제 11은 모든 정수 \(n \ge 0\)에 대해 \(\sum_{i=0}^{n} 2^i = 2^{n+1} - 1\)이라고 진술하므로, \(n \ge 1\)인 \(n\)에 대해 \(n\) 대신 \(n - 1\)을 넣으면(\(n - 1 \ge 0\)이므로 대입이 허용된다) \(\sum_{i=0}^{n-1} 2^i = 2^n - 1\)이다. 양변을 \(2^n\)으로 나누면 좌변은 \(\sum_{i=0}^{n-1} \frac{2^i}{2^n} = \sum_{i=0}^{n-1} 2^{i-n} = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{2^j} = S_n\)이므로 (\(j = n - i\)로 첨자를 뒤집었다 — \(i\)가 \(0\)부터 \(n-1\)까지면 \(j\)는 \(n\)부터 \(1\)까지다), \(S_n = \frac{2^n - 1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n}\)이다. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 의해 \(\frac{1}{N} < \varepsilon\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 이 \(N\)을 잡자. \(n > N\)이라 하자. 31주차 문제 16에 의해 \(n < 2^n\)이고 두 값이 모두 양수이므로 \(\frac{1}{2^n} < \frac{1}{n}\)이다. 또 \(0 < N < n\)이므로 \(\frac{1}{n} < \frac{1}{N}\)이다. 따라서
이다. 그러므로 정의 45.1에 의해 \(S_n \to 1\)이고, 정의 46.1에 의해 \(\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i} = 1\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 급수 증명의 두 층이 여기서 분명해진다 — 아래층은 귀납법(31주차)으로 얻은 닫힌 꼴, 위층은 \(\varepsilon\)-N(45주차)으로 얻은 극한이다. 두 파트의 결과가 하나의 명제에서 만난다. (검산: \(\varepsilon = 0.01\)이면 \(N = 101\)을 잡을 수 있고, \(n = 200\)에서 \(\frac{1}{2^{200}}\)은 \(0.01\)보다 훨씬 작다 ✓)
문제 5#
접근. 여섯 줄의 순서를 먼저 적고 그 안을 채운다. 빠지기 쉬운 세 곳을 미리 표시해 둔다 — 둘째 줄 앞머리의 발동 자격, 셋째 줄의 \(\max\), 다섯째 줄의 삼각부등식.
풀이. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(\varepsilon > 0\)이고 \(2 > 0\)이므로 \(\frac{\varepsilon}{2} > 0\)이다(근거 ②). \(a_n \to A\)이므로 정의 45.1을 \(\frac{\varepsilon}{2}\)에 대해 발동하면 자연수 \(N_1\)이 존재하여 \(n > N_1\)이면 \(|a_n - A| < \frac{\varepsilon}{2}\)이다. 같은 방식으로 \(b_n \to B\)에서 자연수 \(N_2\)가 존재하여 \(n > N_2\)이면 \(|b_n - B| < \frac{\varepsilon}{2}\)이다. \(N = \max(N_1, N_2)\)로 잡자. \(n > N\)이라 하자. 그러면 \(n > N_1\)이고 \(n > N_2\)이므로 두 부등식이 동시에 성립한다. 삼각부등식(17주차 문제 12)에 의해
이다. 따라서 정의 45.1에 의해 \(a_n + b_n \to A + B\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 이 증명은 \(a_n\)과 \(b_n\)의 구체적인 식을 한 번도 쓰지 않는다. 쓴 것은 “수렴한다”는 자격뿐이고, 그래서 한 번의 증명이 모든 수렴 수열 쌍을 처리한다. 확인 17의 구체값 대입이 그 일반성을 눈으로 확인한 자리다.
문제 6#
접근. 샌드위치를 쓰려면 벽 두 개와 그 벽의 극한이 필요하다. 벽은 절댓값에서 나온다 — \(\left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac{1}{n}\)이므로 값은 \(-\frac{1}{n}\)과 \(\frac{1}{n}\) 사이에 있다. 왼쪽 벽의 수렴을 말하는 데 정리 46.2가 한 번 필요하다.
풀이. 모든 자연수 \(n\)에 대해 \((-1)^n\)은 \(1\) 또는 \(-1\)이므로 \(|(-1)^n| = 1\)이다. 몫을 곱으로 다시 읽으면 근거 목록 안의 \(|xy| = |x||y|\)(17주차 문제 10)로 처리된다.
여기서 \(\frac{1}{n} > 0\)이므로 \(\left|\frac{1}{n}\right| = \frac{1}{n}\)이다(절댓값의 케이스 정의). 따라서 17주차 문제 11의 보조정리에 의해
이다. 오른쪽 벽은 \(\frac{1}{n} \to 0\)이다(45주차 예제 2.1). 왼쪽 벽은 \(-\frac{1}{n} = (-1) \cdot \frac{1}{n}\)이므로 정리 46.2(상수배, \(c = -1\))에 의해 \(-\frac{1}{n} \to (-1) \cdot 0 = 0\)이다. 두 벽이 같은 값 \(0\)으로 수렴하고 끼임이 모든 \(n\)에서 성립하므로, 정리 46.3(샌드위치)에 의해 \(\frac{(-1)^n}{n} \to 0\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 부호가 진동하는 수열에서 \(|a_n - L|\)을 직접 정리하려 하면 \(n\)의 홀짝으로 경우를 나누게 된다. 절댓값으로 크기를 먼저 재고 양쪽에 부호를 붙여 벽을 만들면 경우 나누기가 사라진다 — 이번 주에 얻은 가장 재사용성이 높은 수법이다.
문제 7#
접근. \(|c\,a_n - cA| = |c|\,|a_n - A|\)이므로, 최종 오차를 \(\varepsilon\) 이내로 하려면 \(|a_n - A|\)를 \(\frac{\varepsilon}{|c|}\) 이내로 누르면 된다. 다만 이 식은 \(c = 0\)에서 정의되지 않으므로 경우를 나눈다. 나누는 이유를 답안에 적는 것이 채점 대상이다.
풀이. 경우 1: \(c = 0\). 이때 모든 \(n\)에 대해 \(c\,a_n = 0\)이고 \(cA = 0\)이므로, \((c\,a_n)\)은 값이 \(0\)인 상수열이다. 상수열은 그 값으로 수렴하므로(45주차 문제 3) \(c\,a_n \to 0 = cA\)이다. ✓ 경우 2: \(c \neq 0\). \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(c \neq 0\)이므로 \(|c| > 0\)이고(17주차 문제 3과 절댓값의 케이스 정의), 따라서 \(\frac{\varepsilon}{|c|} > 0\)이다 (근거 ②). \(a_n \to A\)이므로 정의 45.1을 이 값에 대해 발동하면 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)이면 \(|a_n - A| < \frac{\varepsilon}{|c|}\)이다. 이 \(N\)을 잡자. \(n > N\)이라 하자. \(|xy| = |x||y|\)(17주차 문제 10)에 의해
이다(양변에 양수 \(|c|\)를 곱했으므로 부등호가 유지된다 — (W3)). 따라서 정의 45.1에 의해 \(c\,a_n \to cA\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 배분의 두 번째 형태다. 합에서는 예산을 항의 개수로 나누었고, 상수배에서는 계수의 크기로 나눈다. 어느 쪽이든 “사슬의 끝이 정확히 \(\varepsilon\)이 되도록 발동값을 역산한다”는 같은 절차다. (검산: \(c = 3\), \(a_n = \frac{1}{n}\), \(\varepsilon = 0.6\)이면 발동값은 \(0.2\)이고 \(N = 5\)로 충분하다. \(n = 10\)에서 \(\left|\frac{3}{10}\right| = 0.3 < 0.6\) ✓)
문제 8#
접근. 새 \(\varepsilon\)-N 증명을 쓰지 않는다. 뺄셈을 덧셈으로 다시 읽으면 이미 가진 두 정리가 그대로 적용된다 — 15주차에서 익힌 부품 재사용이다.
풀이. \(c = -1\)에 대해 정리 46.2(상수배)를 쓰면, \(b_n \to B\)이므로 \((-1)b_n = -b_n \to (-1)B = -B\)이다. 이제 \(a_n \to A\)이고 \(-b_n \to -B\)이므로 정리 46.1 (합 법칙)에 의해
이다. \(\blacksquare\)
복기. 두 줄로 끝난 이유는 \(a_n - b_n\)을 새로운 연산으로 보지 않고 \(a_n + (-1)b_n\)이라는 기존 연산의 조합으로 읽었기 때문이다. 정리를 하나 더 만들 것인가, 있는 정리를 조합할 것인가는 언제나 먼저 검토할 선택지다. 문제 19가 이 결과를 부품으로 쓴다.
문제 9#
접근. 분수를 항별로 쪼개면 극한을 아는 세 조각이 나온다. 정리 46.1은 수열 두 개를 다루므로 세 조각을 합칠 때는 두 번 적용한다. 각 부품의 출처를 명시하는 것이 문제의 요구다.
풀이. 먼저 식을 분해한다(근거 ③).
부품은 셋이다. ① 상수열 \(1\)은 \(1\)로 수렴한다(45주차 문제 3). ② \(\frac{3}{n} = 3 \cdot \frac{1}{n}\)이고 \(\frac{1}{n} \to 0\)(45주차 예제 2.1)이므로 정리 46.2(\(c = 3\))에 의해 \(\frac{3}{n} \to 0\)이다. ③ \(\frac{1}{n^2} \to 0\)이다(45주차 빈칸 사다리 훈련 1, 그리고 45주차 문제 4에서 백지 재현했다). 정리 46.1을 먼저 ①과 ②에 적용하면 \(1 + \frac{3}{n} \to 1 + 0 = 1\)이고, 그 결과와 ③에 다시 적용하면
이다. 따라서 극한은 \(1\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 정리 46.1은 항이 두 개인 법칙이므로, 항이 \(m\)개면 \(m-1\)번 적용한다. 훈련 2처럼 \(\frac{\varepsilon}{3}\) 배분으로 세 항짜리 법칙을 직접 증명해 두면 한 번에 처리할 수도 있다 — 어느 쪽이든 근거가 명시되면 만점이다. (검산: \(n = 1000\)이면 값은 \(1.003001\)로 \(1\)에 가깝다 ✓)
문제 10#
접근. 문턱이 세 개라는 점과, 각 벽에서 필요한 절반만 쓴다는 점이 이 증명의 전부다. \(a_n\) 쪽은 왼쪽 절반, \(c_n\) 쪽은 오른쪽 절반이다.
풀이. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(a_n \to L\)이므로 자연수 \(N_1\)이 존재하여 \(n > N_1\)이면 \(|a_n - L| < \varepsilon\)이고, 17주차 문제 11의 보조정리에 의해 이는 \(L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon\)과 같으므로 특히 \(L - \varepsilon < a_n\)이다. \(c_n \to L\)이므로 자연수 \(N_2\)가 존재하여 \(n > N_2\)이면 \(|c_n - L| < \varepsilon\)이고, 특히 \(c_n < L + \varepsilon\)이다. 가정에 의해 자연수 \(N_3\)이 존재하여 \(n > N_3\)이면 \(a_n \le b_n \le c_n\)이다. \(N = \max(N_1, N_2, N_3)\)으로 잡자. \(n > N\)이라 하자. 그러면 세 조건이 동시에 성립하므로
이다. 사슬의 양끝을 (W6) 추이성으로 이으면 \(L - \varepsilon < b_n < L + \varepsilon\)이고, 17주차 문제 11의 보조정리를 반대 방향으로 쓰면 \(|b_n - L| < \varepsilon\)이다. 따라서 정의 45.1에 의해 \(b_n \to L\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 이 증명에는 삼각부등식이 나오지 않는다. 두 오차를 합치는 문제가 아니라 값을 구간에 가두는 문제이기 때문이고, 그래서 도구가 구간 번역(17주차 문제 11)으로 바뀐다. 어떤 부등식 도구를 쓸지는 “합치는가, 가두는가”로 갈린다.
문제 11#
접근. 벽이 이미 문제에 주어져 있다. 남은 일은 두 벽이 각각 \(0\)으로 수렴한다는 근거를 대는 것이고, 아래쪽 벽은 상수열, 위쪽 벽은 상수배다.
풀이. 가정에 의해 모든 \(n\)에 대해 \(0 \le b_n \le \frac{5}{n}\)이다. 아래쪽 벽 \(a_n = 0\)은 값이 \(0\)인 상수열이므로 \(a_n \to 0\)이다(45주차 문제 3). 위쪽 벽은 \(c_n = \frac{5}{n} = 5 \cdot \frac{1}{n}\)이고 \(\frac{1}{n} \to 0\)이므로(45주차 예제 2.1) 정리 46.2(상수배, \(c = 5\))에 의해 \(c_n \to 5 \cdot 0 = 0\)이다. 두 벽이 같은 값 \(0\)으로 수렴하고 \(a_n \le b_n \le c_n\)이 모든 \(n\)에서 성립하므로, 정리 46.3(샌드위치)에 의해 \(b_n \to 0\)이다. \(\blacksquare\)
복기. \(b_n\)의 식을 한 번도 쓰지 않았다는 점이 이 문제의 핵심이다. 부등식만 알면 극한이 결정되므로, 식이 지저분하거나 아예 알려지지 않은 수열에도 샌드위치가 적용된다. 원래 문제였던 \(\frac{\cos n}{n}\)도 \(\left|\frac{\cos n}{n}\right| \le \frac{1}{n}\)이라는 부등식 하나만 있으면 같은 방식으로 처리된다. (검산: \(b_n = \frac{3}{n+1}\)은 조건을 만족하고 실제로 \(0\)으로 수렴한다 ✓)
문제 12#
접근. 급수 문제의 첫 줄은 부분합을 적는 것이다. 닫힌 꼴은 31주차 문제 10이 귀납법으로 이미 증명해 두었으므로 인용하고, 그 뒤로는 45주차 문제 9와 같은 수열의 극한만 남는다.
풀이. 부분합을 \(S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)}\)로 두자. 31주차 문제 10에 의해 모든 자연수 \(n\)에 대해
이다. 한편 45주차 문제 9에서 \(\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1\)임을 증명했다. 따라서 부분합 수열 \((S_n)\)은 \(1\)로 수렴하고, 정의 46.1에 의해 \(\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i(i+1)} = 1\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 두 주차의 결과가 각각 한 줄씩 인용되어 명제 하나를 완성한다 — 31주차의 귀납법이 닫힌 꼴을, 45주차의 \(\varepsilon\)-N이 극한을 담당한다. 급수 문제에서 실제로 어려운 곳은 거의 언제나 닫힌 꼴을 찾는 앞쪽이고, 뒤쪽은 이미 아는 수열의 극한으로 환원된다. (검산: \(n = 3\)이면 \(\frac12 + \frac16 + \frac1{12} = \frac{6+2+1}{12} = \frac{9}{12} = \frac34 = \frac{3}{3+1}\) ✓)
문제 13#
접근. 세어야 할 것이 두 개다 — 묶음 안의 항의 개수와 각 항의 최솟값. 개수는 첨자의 차로 나오고, 최솟값은 분모가 가장 클 때 나온다. 귀납 단계는 \(S_{2^{k+1}}\)을 \(S_{2^k}\)와 묶음의 합으로 쪼개는 한 줄에서 시작한다.
풀이. 핵심 부등식. 묶음 \(\frac{1}{2^k + 1} + \frac{1}{2^k + 2} + \cdots + \frac{1}{2^{k+1}}\)의 항은 첨자가 \(2^k + 1\)부터 \(2^{k+1}\)까지이므로 \(2^{k+1} - 2^k = 2^k(2 - 1) = 2^k\)개다. 각 항의 분모는 \(2^{k+1}\) 이하이므로 각 항은 \(\frac{1}{2^{k+1}}\) 이상이다(양수의 역수 비교). 따라서
이다. ✓ 귀납. 명제 \(P(k)\): \(S_{2^k} \ge 1 + \frac{k}{2}\). [기초] \(k = 1\)일 때 \(S_{2^1} = S_2 = 1 + \frac{1}{2}\)이므로 \(S_2 \ge 1 + \frac{1}{2}\)이다. ✓ [귀납 단계] \(P(k)\)가 참이라고 가정하자. 즉 \(S_{2^k} \ge 1 + \frac{k}{2}\)이다. 그러면 핵심 부등식에 의해
이므로 \(P(k+1)\)이 참이다. ✓ 따라서 귀납법에 의해 모든 자연수 \(k\)에 대해 \(S_{2^k} \ge 1 + \frac{k}{2}\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 부등식을 귀납으로 잇는 형태는 32주차의 부등식 귀납과 같은 꼴이다. 다른 점은 귀납 단계에서 더하는 양이 상수 \(\frac{1}{2}\)로 고정된다는 것이고, 그 고정이 부분합을 무한히 밀어 올린다. (검산: \(k = 2\)이면 \(S_4 = 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 = \frac{25}{12} \approx 2.083 \ge 1 + 1 = 2\) ✓)
문제 14#
접근. 두 부분으로 나뉜다. 앞은 부분합의 닫힌 꼴 확인이고 31주차 문제 18의 등비합 공식에 \(r = \frac{1}{10}\)을 넣는 계산이다. 뒤는 극한이고 훈련 1과 문자만 다르다.
풀이. 부분합. 31주차 문제 18에 의해 \(r \neq 1\)이면 \(\sum_{i=0}^{m} r^i = \frac{r^{m+1} - 1}{r - 1}\)이다. \(r = \frac{1}{10}\), \(m = n - 1\)을 넣으면
이고, 양변에 \(\frac{9}{10}\)을 곱하면 첨자를 1부터 \(n\)까지로 옮긴 합이 나온다.
극한. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 의해 \(\frac{1}{N} < \varepsilon\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 이 \(N\)을 잡자. \(n > N\)이라 하자. \(10^n \ge 2^n\)은 (W3)과 \(n\)에 대한 귀납법(31주차)으로 얻는다 — 기초는 \(10^1 \ge 2^1\)이고, 귀납 단계는 \(10^k \ge 2^k\)의 양변에 양수 \(10\)을 곱해 \(10^{k+1} \ge 10 \cdot 2^k \ge 2 \cdot 2^k = 2^{k+1}\)을 얻는다. 31주차 문제 16에 의해 \(2^n > n\)이다. 따라서 \(10^n > n\)이고 양수의 역수 비교로 \(\frac{1}{10^n} < \frac{1}{n}\)이다. 그러면
이다. 그러므로 정의 45.1에 의해 \(S_n \to 1\)이고, 정의 46.1에 의해 \(0.999\cdots = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{9}{10^i} = 1\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 판결은 이렇다 — \(0.999\cdots\)는 “1에 가까워지는 무언가”가 아니다. 이 기호는 정의 46.1에 의해 부분합 수열의 극한을 가리키고, 그 극한이 정확히 1이다. 등호는 근사의 표시가 아니라 정리다. \(0.999\cdots\)와 \(1\)은 같은 실수의 두 가지 표기이며, 49주차 대각선 논법에서 십진 전개의 비유일성을 다룰 때 이 사실이 다시 쓰인다.
문제 15#
접근. 수열을 두 덩어리로 자른다. 문턱 뒤의 무한한 꼬리는 극한이 통제하고(\(\varepsilon = 1\)로 발동하면 \(L\) 주변에 갇힌다), 앞의 유한한 머리는 개수가 유한하므로 최댓값이 존재한다. 두 경계 중 큰 것을 \(M\)으로 잡으면 끝난다.
풀이. \(a_n \to L\)이므로 정의 45.1을 \(\varepsilon = 1\)에 대해 발동하면(가정 쪽의 \(\forall \varepsilon\)이므로 값을 골라 쓸 수 있다) 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)이면 \(|a_n - L| < 1\)이다. 이때 삼각부등식(17주차 문제 12)에 의해
이므로, \(n > N\)인 모든 \(n\)에 대해 \(|a_n| < |L| + 1\)이다. 한편 \(a_1, a_2, \dots, a_N\)은 유한 개이므로 \(M_0 = \max(|a_1|, |a_2|, \dots, |a_N|)\)이 존재한다(유한개의 실수에는 최댓값이 있다). \(M = \max(M_0,\ |L| + 1)\)로 잡자. \(n\)이 임의의 자연수라 하자. \(n \le N\)이면 \(|a_n| \le M_0 \le M\)이고, \(n > N\)이면 \(|a_n| < |L| + 1 \le M\)이다. 어느 경우에도 \(|a_n| \le M\)이므로 \((a_n)\)은 유계다. \(\blacksquare\)
복기. “유한 부분은 \(\max\)로, 무한 꼬리는 극한으로”라는 분업이다. 이 분업은 해석학에서 반복해 등장하며, 무한을 다루는 명제를 유한 문제와 통제된 꼬리로 쪼개는 표준 수법이다. 역은 거짓이다 — \((-1)^n\)은 \(|a_n| \le 1\)로 유계지만 발산한다(45주차 예제 2.3). 이 결과는 확인 6에서 \(b_n = n\)이 수렴하지 않는 근거로 이미 쓰였다.
문제 16#
접근. \(r^n\)을 직접 다루는 대신 역수 \(\frac{1}{r^n}\)을 본다. \(\frac{1}{r} > 1\)이므로 \(\frac{1}{r} = 1 + h\) 꼴로 쓸 수 있고, 베르누이 부등식이 \((1+h)^n\)을 아래에서 밀어 올린다. 역수를 되돌리면 \(r^n\)이 위에서 눌리고, 아래 벽은 \(0\)이므로 샌드위치가 완성된다.
풀이. \(0 < r < 1\)이므로 \(\frac{1}{r} > 1\)이고, \(h = \frac{1}{r} - 1\)로 두면 \(h > 0\)이며 \(\frac{1}{r} = 1 + h\)이다. \(h > 0 \ge -1\)이므로 베르누이 부등식(32주차 문제 11)을 적용할 수 있고, 모든 자연수 \(n\)에 대해
이다. 세 값이 모두 양수이므로 역수를 취하면 부등호가 뒤집혀 \(0 < r^n < \frac{1}{nh}\)이다. 아래 벽 \(a_n = 0\)은 상수열이므로 \(0\)으로 수렴한다(45주차 문제 3). 위 벽은 \(\frac{1}{nh} = \frac{1}{h} \cdot \frac{1}{n}\)이고 \(\frac{1}{n} \to 0\)(45주차 예제 2.1)이므로 정리 46.2(상수배, \(c = \frac{1}{h}\))에 의해 \(\frac{1}{nh} \to \frac{1}{h} \cdot 0 = 0\)이다. 두 벽이 같은 값 \(0\)으로 수렴하므로 정리 46.3(샌드위치)에 의해 \(r^n \to 0\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 32주차에서 귀납법으로 얻은 부등식이 46주차의 극한을 완성한다 — 이 과정에서 가장 긴 릴레이 중 하나다. 수법 자체도 재사용성이 높다: 다루기 어려운 양의 역수를 취해 아래에서 키운 뒤 되돌리면 원래 양이 위에서 눌린다. (검산: \(r = 0.5\)이면 \(h = 1\)이고 부등식은 \(2^n \ge 1 + n\) — \(n = 4\)에서 \(16 \ge 5\) ✓)
문제 17#
접근. 부분합 공식은 31주차 문제 18이 준다. 남은 것은 \(r^{n+1} \to 0\)인데, 문제 16이 다루는 것은 \(0 < r < 1\)뿐이므로 \(r = 0\)과 음수 구간을 따로 처리한다. 그다음은 정리 46.2와 정리 46.1(또는 문제 8)의 조립이다.
풀이. \(|r| < 1\)이므로 \(r \neq 1\)이고, 31주차 문제 18에 의해 모든 정수 \(n \ge 0\)에 대해
이다. 이제 \(r^{n+1} \to 0\)임을 세 경우로 보인다. 경우 1: \(r = 0\). 모든 \(n \ge 0\)에 대해 \(r^{n+1} = 0\)이므로 상수열이고 \(0\)으로 수렴한다 (45주차 문제 3). 경우 2: \(0 < r < 1\). 문제 16에 의해 \(r^n \to 0\)이고, \(r^{n+1} = r \cdot r^n\)이므로 정리 46.2(상수배, \(c = r\))에 의해 \(r^{n+1} \to r \cdot 0 = 0\)이다. 경우 3: \(-1 < r < 0\). 이때 \(0 < |r| < 1\)이므로 경우 2에 의해 \(|r|^{n+1} \to 0\)이다. \(|r^m| = |r|^m\)은 \(|xy| = |x||y|\)(17주차 문제 10)와 \(m\)에 대한 귀납법(31주차)으로 모든 자연수 \(m\)에서 얻으므로(\(|r^{k+1}| = |r^k \cdot r| = |r^k|\,|r| = |r|^k |r| = |r|^{k+1}\)), \(|r^{n+1}| = |r|^{n+1}\)이다. 따라서 17주차 문제 11의 보조정리에 의해 \(-|r|^{n+1} \le r^{n+1} \le |r|^{n+1}\)이다. 위 벽은 \(0\)으로 수렴하고, 아래 벽도 정리 46.2 (\(c = -1\))에 의해 \(0\)으로 수렴하므로, 정리 46.3(샌드위치)에 의해 \(r^{n+1} \to 0\)이다. 세 경우 모두 \(r^{n+1} \to 0\)이다. 마지막으로 조립한다. 상수열 \(1 \to 1\)(45주차 문제 3)과 \(r^{n+1} \to 0\)에 차 법칙(문제 8)을 쓰면 \(1 - r^{n+1} \to 1 - 0 = 1\)이고, \(1 - r \neq 0\)이므로 정리 46.2 (\(c = \frac{1}{1-r}\))에 의해
이다. 따라서 정의 46.1에 의해 \(\sum_{i=0}^{\infty} r^i = \frac{1}{1-r}\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 훈련 1(\(r = \frac12\), 첨자 시작만 다름)과 문제 14(\(r = \frac{1}{10}\)), 훈련 3 (\(r = \frac13\))이 모두 이 정리의 특수형이었다. 개별 사례를 먼저 손으로 처리한 뒤 일반형을 증명하는 순서였고, 일반형이 나온 뒤에는 특수형을 다시 계산할 필요가 없다. (검산: \(r = \frac12\)이면 \(\frac{1}{1 - 1/2} = 2\)이고, \(\sum_{i=0}^{\infty} 2^{-i} = 1 + \sum_{i=1}^{\infty} 2^{-i} = 1 + 1 = 2\)로 훈련 1과 일치한다 ✓)
문제 18#
접근. 지적할 것이 두 가지이고 성격이 다르다. 하나는 논리 판정 — “\(\forall \varepsilon\)에 대해 \(< 2\varepsilon\)”이 정의와 동치인지 \(\varepsilon\) 자리에 다른 값을 넣어 확인한다. 다른 하나는 서식 결함 — 이 답안은 \(\max\) 문턱을 적지 않았다.
풀이. ① 결론 부분은 구제 가능하다. 답안이 실제로 증명한 것은 “모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해, 충분히 큰 \(n\)에서 \(|(a_n + b_n) - (A + B)| < 2\varepsilon\)”이라는 문장이다. 이 문장은 \(\varepsilon\)에 대한 전칭 문장이므로 \(\varepsilon\) 자리에 아무 양수나 넣을 수 있다. 임의의 \(\varepsilon' > 0\)이 주어졌을 때 \(\varepsilon = \frac{\varepsilon'}{2} > 0\)을 넣으면 \(< 2 \cdot \frac{\varepsilon'}{2} = \varepsilon'\)을 얻는다. 즉 “모든 \(\varepsilon'\)에 대해 \(< \varepsilon'\)”이 따라 나오므로, 두 문장은 동치이다. 따라서 사슬의 끝이 \(2\varepsilon\)이라는 사실 자체는 결함이 아니다 — ②의 누락만 메우면 이 답안은 그대로 수렴 증명이 된다. “\(2\varepsilon\)이 나왔으니 실패”라는 판정은 오답이다 — \(2\varepsilon\)도 \(\varepsilon\)과 함께 임의로 작아지기 때문이다. ② 그럼에도 남는 결함이 하나 있다. 답안은 \(n > N_1\)과 \(n > N_2\)에서 각각 성립하는 두 부등식을 같은 \(n\)에서 함께 썼는데, 그런 \(n\)이 존재한다는 말(\(N = \max(N_1, N_2)\))이 없다. 이것은 동치성으로 구제되지 않는 진짜 누락이며, §0 유형 2의 간격 그대로다. ③ 표준 서식이 선호되는 이유. 처음부터 \(\frac{\varepsilon}{2}\)로 발동하면 사슬의 끝이 정의의 문자 그대로 “\(< \varepsilon\)”으로 떨어져, 읽는 쪽에 치환 논증이라는 한 겹을 요구하지 않는다. 명료성의 문제이지 논리의 문제가 아니다.
복기. 답안을 판정할 때는 “논리가 무너졌는가”와 “서식이 빠졌는가”를 분리해서 본다. 이 답안은 앞은 무사하고 뒤가 빠졌다. 무너진 것과 빠진 것을 구분해 지적하는 것이 진단의 기술이다.
문제 19#
접근. 새 \(\varepsilon\)-N 증명이 필요 없다. \(a_n\)을 부분합의 차로 다시 쓰면 문제 8이 곧바로 적용된다. 확인할 것은 한 칸 밀린 수열도 같은 극한으로 수렴하는가 하나뿐이고, 그 근거는 문턱을 하나 올리는 것이다.
풀이. \(\sum_{i=1}^{\infty} a_i\)가 수렴한다고 하자. 정의 46.1에 의해 부분합 수열 \(S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i\)가 어떤 실수 \(L\)로 수렴한다. 밀린 수열도 \(L\)로 수렴한다. \(T_n = S_{n-1}\)(\(n \ge 2\))로 두자. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(S_n \to L\)이므로 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)이면 \(|S_n - L| < \varepsilon\)이다. \(N' = N + 1\)로 잡자. \(n > N'\)이면 \(n - 1 > N\)이므로 \(|T_n - L| = |S_{n-1} - L| < \varepsilon\)이다. 따라서 \(T_n \to L\)이다. 차 법칙. \(n \ge 2\)에 대해 \(a_n = S_n - S_{n-1} = S_n - T_n\)이다. 문제 8(차 법칙)에 의해
이므로 \(a_n \to 0\)이다. (수열의 처음 유한 개 항은 극한에 영향을 주지 않는다 — 정의 45.1이 보는 것은 문턱 뒤뿐이므로, \(n \ge 2\)에서만 정의된 식으로 논해도 결론은 같다.) \(\blacksquare\) 역은 거짓이다. 조화급수에서 \(a_i = \frac{1}{i}\)이고 \(\frac{1}{i} \to 0\)이지만 (45주차 예제 2.1), \(\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i}\)은 발산한다(예제 2.3). 따라서 “항이 0으로 감”에서 “급수가 수렴함”으로 가는 화살표는 거짓이고 조화급수가 그 반례다.
복기. 8주차의 낱말로 정리하면, \(a_i \to 0\)은 급수 수렴의 필요조건이지 충분조건이 아니다. 실전에서는 대우로 쓴다 — 항이 0으로 가지 않으면 급수는 반드시 발산한다. 예를 들어 \(\sum (-1)^i\)은 항이 0으로 가지 않으므로 발산이 즉시 판정된다.
문제 20#
접근. (a)는 §1.2의 배분 조건 \(p + q \le \varepsilon\)을 말로 옮기고, 항이 셋일 때로 확장한다. (b)는 예제 2.3의 묶음과 32주차 문제 10의 천장을 나란히 놓는다. 두 문항 모두 “왜 그렇게 나누는가”, “왜 운명이 갈리는가”라는 이유가 답의 본체다.
풀이. (예시 답안) (a) 최종 오차 한도 \(\varepsilon\)은 쓸 수 있는 총량이고, 오차가 발생하는 곳이 두 군데(두 수열)이면 각각에 얼마씩 배정할지 미리 정해 두면 된다. 배정한 값의 합이 \(\varepsilon\) 이하이면 삼각부등식으로 합친 결과가 \(\varepsilon\)을 넘지 않는다. \(\frac{\varepsilon}{2}\)씩 나누는 것은 대칭이고 합이 정확히 \(\varepsilon\)이라 계산이 가장 짧기 때문에 표준이 되었을 뿐, 배분은 유일하지 않다. 항이 셋이면 각 정의를 \(\frac{\varepsilon}{3}\)으로 발동하고 문턱을 \(\max(N_1, N_2, N_3)\)으로 잡으면 합이 \(\varepsilon\)이 된다(훈련 2). 합이 \(\varepsilon\) 이하이기만 하면 \(\frac{\varepsilon}{2}, \frac{\varepsilon}{4}, \frac{\varepsilon}{4}\)처럼 불균등하게 나누어도 증명은 완성된다. (b) \(\frac{1}{i}\)은 값이 절반으로 줄어드는 데 항의 개수가 두 배 필요할 만큼 느리게 감소해서, 첨자를 \(2^k\)에서 \(2^{k+1}\)로 옮길 때마다 묶음이 \(\frac{1}{2}\) 이상을 보태고 그 보탬이 무한히 쌓인다. 반면 \(\frac{1}{i^2}\)은 충분히 빨리 감소해 부분합이 \(2 - \frac{1}{n}\) 이하라는 천장 아래 갇히고(32주차 문제 10), 증가하면서 위로 유계이므로 수렴한다 — 항의 크기가 아니라 감소 속도가 급수의 운명을 가른다.
복기. 두 문항이 이번 주의 두 축을 요약한다. (a)는 유한한 예산을 나누는 기술이고, (b)는 무한합의 수렴을 부분합의 유계성으로 판정하는 관점이다. 두 축 모두 무한을 직접 다루지 않고 유한한 양의 비교로 바꾼다는 점에서 같다.
다음 주 예고. 수열(\(n \to \infty\))에서 함수(\(x \to a\))로 무대를 옮긴다. 문턱 \(N\)이 반경 \(\delta\)로 바뀌어 “입력을 \(a\)에 \(\delta\)만큼 가까이 하면 출력이 \(L\)에 \(\varepsilon\)만큼 가까워진다”는 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 정의가 되고, 그 정의로 연속을 정의한다. 이번 주의 세 걸음은 그대로 살아남되 \(\max\)가 \(\min\)으로 바뀐다 — 문턱은 둘 다 넘겨야 하지만 반경은 둘 다 안쪽이어야 하기 때문이다(47주차 문제 13이 이번 주 예제 2.1의 번역이다). \(x^2\)의 극한 증명에서는 반경을 두 번 조이는 min 트릭이 나오고, 절댓값 함수 \(|x|\)의 연속성도 그때 증명한다.