S17주차 — 기법 선택 총정리 + 기법 종합 백지시험

내용

S17주차 — 기법 선택 총정리 + 기법 종합 백지시험#

이 주의 길잡이

핵심 문장: S1주차부터 S16주차까지의 열여섯 주는 하나의 결정 나무로 접힌다 — 명제의 겉모양을 읽고 가지를 따라 내려가면 첫수가 나오며, 이번 주는 그 나무가 백지에서 되살아나는지를 검사한다.

이 주의 위치: 1학기 20주 과정의 S17주차. 새 진도가 없는 두 번째 평가 주간이다. S9주차가 S1주차~S8주차에 대해 한 일을 S10주차~S16주차까지 얹어 전 범위에 대해 하고, 1권 23주차의 기법 선택 훈련과 1권 24주차의 종합 평가가 여기서 한 형식으로 합쳐진다. 다음 주부터는 증명을 만드는 일에서 명제를 만드는 일로 넘어가므로, 그 전에 기법 선택 절차를 고정해 둔다.

원서 대응: Solow 15장(기법 요약)과 1~14장 전체. 새로 읽을 장은 없다. 시험 전날 각 장의 요약 절만 훑고 오는 것으로 충분하다.

이번 주 목표#

전 기법을 하나의 결정 나무로 통합한다 — 명제의 겉모양(양화사$\cdot$연결사$\cdot$부정$\cdot$정의 속 구조)에서 기법으로 내려가는 흐름을 한 장으로 만든다.
낯선 명제에서 구조 판독 $\to$ 기법 지목 $\to$ 첫수 서술을 즉답 수준으로 만든다.
종합시험 20문항으로 전 기법(후진$\cdot$전진, 정의의 두 면, 양화사 넷, 부정 3부작, 유일성, 귀납, 양자택일, 최대$\cdot$최소)을 점검한다.
오답을 주차별 재학습 지도로 되돌린다.

준비 운동 (S16 복습)#

max$\cdot$min의 부등식 번역표 네 칸을 백지에 쓰시오.
S9주차 시험의 백지 복원 10항목을 다시 채우시오 — 이번 주는 그 열 항목 위에 S10주차~S16주차의 기법을 얹는다.

개념 — 기법 선택 결정 나무#

열여섯 주 동안 기법은 하나씩 도착했고, 도착할 때마다 그 주의 소재가 함께 왔다. 시험장에는 소재가 오지 않는다. 오는 것은 명제 한 줄뿐이고, 그 한 줄에서 첫 문장을 뽑아내는 절차만 있으면 된다. 그 절차를 한 장으로 접은 것이 아래의 결정 나무다.

백지 암기 대상

기법 선택 결정 나무

0단계 — 판 세팅 (항상 한다). $A$와 $B$로 분해하고, 숨은 가설$\cdot$숨은 양화사$\cdot$정의 속에 접힌 구조를 전부 문면으로 끌어낸다 (S1주차$\cdot$S4주차).

1단계 — 결론에 부정이 박혀 있는가. 신호는 무리수, $\notin$, $\neq$, “…가 아니다”, “…는 없다”, “무한히 많다”이다.

$\cdot$ 있으면 NOT 기계 N1~N6으로 전개한다 (S10주차). 전개 결과를 보고 셋 중 하나로 간다.

$\cdot$ 전개가 긍정형 특성화로 끝나면 그대로 직접 증명.

$\cdot$ 명제가 조건문이고 $\neg B$와 $\neg A$가 둘 다 풀리는 문장이면 대우 (S12주차).

$\cdot$ 뒤집을 $A$가 아예 없거나 $\neg A$가 다루기 어려우면 귀류 (S11주차).

2단계 — 결론의 최상위 구조는 무엇인가.

$\cdot$ $\exists$ 또는 숨은 $\exists$(존재, “짝수다”, 방정식의 해) $\to$ 구성법 (S5주차).

$\cdot$ $\forall$ 또는 숨은 $\forall$(모든, $\subseteq$, 단사, 총칭문) $\to$ 선택법 (S6주차).

$\cdot$ $\lor$(또는) $\to$ 소거법, $\land$(그리고) $\to$ 조각마다 따로 증명 (둘 다 S15주차).

$\cdot$ 정확히 하나 / 유일 $\to$ 존재(구성) + 유일(얼굴 1 또는 얼굴 2) (S13주차).

$\cdot$ max$\cdot$min이 든 부등식 $\to$ 번역표로 $\forall$ 또는 $\exists$로 환원 (S16주차).

$\cdot$ 자연수 전체에 대한 $\forall$이고 직전 항에 의존 $\to$ 귀납법 (S14주차).

$\cdot$ 겹 양화사($\forall\exists$, $\forall\varepsilon\exists N$) $\to$ 바깥부터 한 겹씩 (S8주차).

3단계 — 본체. 과녁 쪽에서 후진(핵심 질문과 방향 검사, S2주차), 사실 목록 쪽에서 전진(조준, S3주차), 그리고 만남. 막히면 정의의 두 면으로 귀환하고 (S4주차), 사실 목록의 $\forall$는 특수화로 (S7주차), 사실 목록의 $\lor$는 경우법으로 소비한다 (S15주차).

네 걸음은 각각 하나의 일을 맡고, 하나라도 빠지면 그 자리에서 절차가 멈춘다.

걸음	하는 일	이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가
0단계 — 판 세팅	$A$와 $B$로 분해하고 숨은 가설$\cdot$숨은 양화사$\cdot$정의 속 구조를 문면으로 끌어낸다	숨은 양화사가 문면에 없어 2단계가 읽을 겉모양이 없다 — “$A \cap B \subseteq A$”는 $\subseteq$를 풀기 전에는 $\forall$로 보이지 않아 선택법에 닿지 못한다
1단계 — 부정 판독	결론의 부정 신호를 감지해 NOT 기계로 전개한다	부정이 박힌 결론은 최상위 구조가 가려진 채 남는다 — “단사가 아니다”를 전개하지 않으면 그것이 $\exists$라는 사실이 드러나지 않아 구성법이 지목되지 않는다
2단계 — 구조 판독	전개된 결론의 최상위 구조에서 잎 하나를 지목한다	첫 문장의 동사가 정해지지 않는다 — 답안이 “…를 증명한다” 한 줄에서 멈춘다
3단계 — 본체	후진$\cdot$전진으로 잎과 사실 목록을 잇고, 막히면 정의의 두 면으로 귀환한다	첫수만 있고 본체가 빈 답안이 된다 — “임의로 잡자” 다음 줄에 결론이 곧바로 나온다

셋째 열이 걸음 삭제 실험이며, 1단계 행의 실험은 아래 확인 4에서 한 번 더 풀어 쓴다.

나무의 각 잎은 이미 배운 기법이다. 잎마다 신호와 첫 문장을 한 줄로 붙여 두면 1부의 정답지가 된다.

잎(기법)	나무 위의 신호	답안의 첫 문장	주차
구성법	결론의 $\exists$	“…로 두자” 뒤에 자격$\cdot$사건 전수 검증	S5주차
선택법	결론의 $\forall$	“자격을 갖춘 …를 임의로 잡자”	S6주차
특수화	가정의 $\forall$	“…에 적용하자” 뒤에 자격 검증과 수령	S7주차
이름 받기	가정의 $\exists$	“그런 …를 잡자”	S5주차~S8주차
중첩 처리	겹 양화사	바깥 겹부터 열고, 연 순서의 역순으로 닫는다	S8주차
NOT 전개	결론의 부정형	규칙 번호 [N1]~[N6]을 줄마다 단다	S10주차
귀류	뒤집을 $A$가 없다	“결론을 부정하여 …라 가정하자”	S11주차
대우	합성식의 성질에서 재료의 성질로	“대우를 증명한다. 대우는 …이다”	S12주차
유일성	“정확히 하나”	얼굴 1은 “둘을 잡자”, 얼굴 2는 “둘이 다르다고 하자”	S13주차
귀납법	자연수 $\forall$ + 직전 의존	“$n$에 대한 귀납법으로 증명한다”	S14주차
경우법	가정의 $\lor$	“케이스로 나눈다” 뒤에 전수성 확인	S15주차
소거법	결론의 $\lor$	“한쪽이 거짓이라 하자”	S15주차
최대$\cdot$최소	max$\cdot$min이 든 부등식	번역표로 $\forall$ 또는 $\exists$로 바꾼 뒤 그 칸의 기법	S16주차

확인 1. 명제 “$\sqrt3$은 무리수이다”는 1단계에서 어느 갈래로 내려가는가. 대우가 아니라 귀류가 되는 이유를 한 문장으로 적어 보자.

답

“무리수”가 부정형 낱말이므로 1단계에 걸리고, NOT 기계로 풀면 “$\sqrt3 = a/b$인

정수 $a$와 0이 아닌 정수 $b$는 존재하지 않는다”가 된다. 이 명제는 조건문이 아니라

무조건 명제이므로 뒤집을 $A$가 없고, 따라서 대우문을 만들 자리가 없다. 남는 처방은

귀류뿐이다 — S12주차 판정법의 셋째 줄이 그대로 이 자리다.

확인 2. 결론이 “$x = 0$ 또는 $y = 0$”인 명제와, 가정이 “$x = 0$ 또는 $y = 0$”인 명제는 2단계에서 서로 다른 잎으로 간다. 각각 어느 잎인가.

답

결론의 $\lor$는 소거법이다 — 한쪽을 거짓이라 가정하고 다른 쪽을 얻는다. 가정의 $\lor$는

경우법이다 — 케이스로 나누고 각 케이스에서 같은 결론에 닿은 뒤 전수성을 확인한다.

같은 기호가 놓인 자리만으로 도구가 갈린다는 것이 S15주차의 요지이고, 결정 나무가

결론 쪽과 가정 쪽을 따로 묻는 이유이기도 하다.

확인 3. “모든 $\varepsilon > 0$에 대해 $\frac1{2^n} < \varepsilon$인 자연수 $n$이 존재한다”에서 첫 문장 두 개는 무엇인가. 순서를 바꾸면 무엇이 달라지는가.

답

바깥이 $\forall \varepsilon$이므로 첫 문장은 선택법의 “$\varepsilon > 0$을 임의로

잡자”이고, 남은 겹이 $\exists n$이므로 둘째 문장은 구성법의 “$n = \cdots$으로

두자”이다. 증인 $n$이 $\varepsilon$의 식이어도 되는 것은 $\varepsilon$이 먼저

확정되었기 때문이다(맞춤 증인). 순서를 바꾸어 $\exists n \forall \varepsilon$으로

읽으면 하나의 $n$이 모든 $\varepsilon$을 감당해야 하는 만능 증인 요구가 되어

명제 자체가 달라지고, 실제로 거짓이 된다.

확인 4. 결정 나무에서 2단계가 1단계보다 뒤에 오는 이유는 무엇인가.

답

부정이 박힌 결론은 최상위 구조가 아직 보이지 않기 때문이다. “$L$로 수렴하지

않는다”는 겉으로는 $\forall$도 $\exists$도 아니지만, NOT 기계로 전개하면 $\exists \varepsilon

\forall N \exists n$이라는 세 겹이 드러난다. 극한값을 고정하지 않은 “수렴하지

않는다”는 바깥에 $\forall L$이 하나 더 붙어 네 겹이 된다(S10주차 문제 14).

어느 쪽이든 전개하지 않은 채 2단계로 가면 지목할 겉모양이 없어 나무가 멈춘다.

1단계는 2단계가 읽을 수 있는 꼴을 만드는 걸음이다.

핵심 관찰. 이 절에 새 기법은 없다. 결정 나무는 S1주차~S16주차를 “언제 쓰는가”로 재배열한 색인이며, 각 잎은 이미 이름을 가진 기법이다. 시험이 보는 것은 잎의 내용이 아니라 잎까지 내려가는 길을 참조 없이 걸을 수 있는지다.

걸음	하는 일	이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가
0단계 — 판 세팅	\(A\)와 \(B\)로 분해하고 숨은 가설\(\cdot\)숨은 양화사\(\cdot\)정의 속 구조를 문면으로 끌어낸다	숨은 양화사가 문면에 없어 2단계가 읽을 겉모양이 없다 — “\(A \cap B \subseteq A\)”는 \(\subseteq\)를 풀기 전에는 \(\forall\)로 보이지 않아 선택법에 닿지 못한다
1단계 — 부정 판독	결론의 부정 신호를 감지해 NOT 기계로 전개한다	부정이 박힌 결론은 최상위 구조가 가려진 채 남는다 — “단사가 아니다”를 전개하지 않으면 그것이 \(\exists\)라는 사실이 드러나지 않아 구성법이 지목되지 않는다
2단계 — 구조 판독	전개된 결론의 최상위 구조에서 잎 하나를 지목한다	첫 문장의 동사가 정해지지 않는다 — 답안이 “…를 증명한다” 한 줄에서 멈춘다
3단계 — 본체	후진\(\cdot\)전진으로 잎과 사실 목록을 잇고, 막히면 정의의 두 면으로 귀환한다	첫수만 있고 본체가 빈 답안이 된다 — “임의로 잡자” 다음 줄에 결론이 곧바로 나온다

잎(기법)	나무 위의 신호	답안의 첫 문장	주차
구성법	결론의 \(\exists\)	“…로 두자” 뒤에 자격\(\cdot\)사건 전수 검증	S5주차
선택법	결론의 \(\forall\)	“자격을 갖춘 …를 임의로 잡자”	S6주차
특수화	가정의 \(\forall\)	“…에 적용하자” 뒤에 자격 검증과 수령	S7주차
이름 받기	가정의 \(\exists\)	“그런 …를 잡자”	S5주차~S8주차
중첩 처리	겹 양화사	바깥 겹부터 열고, 연 순서의 역순으로 닫는다	S8주차
NOT 전개	결론의 부정형	규칙 번호 [N1]~[N6]을 줄마다 단다	S10주차
귀류	뒤집을 \(A\)가 없다	“결론을 부정하여 …라 가정하자”	S11주차
대우	합성식의 성질에서 재료의 성질로	“대우를 증명한다. 대우는 …이다”	S12주차
유일성	“정확히 하나”	얼굴 1은 “둘을 잡자”, 얼굴 2는 “둘이 다르다고 하자”	S13주차
귀납법	자연수 \(\forall\) + 직전 의존	“\(n\)에 대한 귀납법으로 증명한다”	S14주차
경우법	가정의 \(\lor\)	“케이스로 나눈다” 뒤에 전수성 확인	S15주차
소거법	결론의 \(\lor\)	“한쪽이 거짓이라 하자”	S15주차
최대\(\cdot\)최소	max\(\cdot\)min이 든 부등식	번역표로 \(\forall\) 또는 \(\exists\)로 바꾼 뒤 그 칸의 기법	S16주차