C17주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#
예제 — ε 서식과 미분 절차를 함께 만들기#
완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 백지에서 시작해 한 줄씩 만든다. 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다.
예제 2.1 — 수열 극한 ε-N#
명제. \(\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n + 1}{n} = 2\).
이 명제는 1권 45주차 예제 2.2와 같은 것이다. 같은 명제를 다시 세우는 이유는 두 가지다 — 정수론\(\cdot\)기수\(\cdot\)조합론을 거쳐 온 뒤에도 중첩 양화사 처리가 그대로임을 확인하기 위해서이고, 이번 주 뒤쪽에서 미분 계산이 얹힐 바닥이 이 서식이기 때문이다.
설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 증명을 쓰기 전에 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 정의로 번역해서 정한다.
말 |
수식 번역 |
|
|---|---|---|
가정 (출발점) |
수열의 식이 주어졌다 |
\(a_n = \dfrac{2n+1}{n}\), 목표값 \(L = 2\) |
목표 (도착점) |
\((a_n)\)이 \(2\)로 수렴한다 |
\(\underline{\qquad(?)\qquad}\) |
확인 10. 목표 칸의 빈칸을 채워 보자. 1권 정의 45.1을 이 수열에 적용해 양화사까지 그대로 적는다.
답
\(\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n > N:\ \left|\dfrac{2n+1}{n} - 2\right| < \varepsilon\).
양화사가 세 겹이므로 답안도 세 겹으로 열린다 — \(\varepsilon\)은 받고(\(\forall\)),
\(N\)은 제시하고(\(\exists\)), \(n\)은 다시 받는다(\(\forall\)). S8주차의 중첩 양화사
처리가 그대로 적용되는 자리다.
연습장 — 역산으로 문턱을 찾는다. 본문에 적을 것이 아니라 \(N\)을 발견하기 위한 계산이다(1권 45주차 §1.6의 규율: 역산은 발견이고 증명이 아니다).
확인 11. 연습장에서 \(\left|\frac{2n+1}{n} - 2\right|\)를 정리해 보자. 그리고 그것이 \(\varepsilon\)보다 작아지는 \(n\)의 조건을 구해 보자.
답
\(\left|\dfrac{2n+1}{n} - 2\right| = \left|\dfrac{2n+1-2n}{n}\right| = \left|\dfrac1n\right| = \dfrac1n\)
(마지막 등식은 \(n \ge 1 > 0\)이므로 성립한다).
따라서 \(\frac1n < \varepsilon \iff n > \frac1\varepsilon\)이고, 문턱은 \(\frac1\varepsilon\)
근처에서 잡으면 된다.
1단계 — \(\varepsilon\)을 받는다. 첫 문장은 창작이 아니라 정해진 형식이다.
확인 12. 첫 문장을 완성해 보자: “\(\underline{\qquad}\)을 임의로 주어진 양수라 하자.”
답
“\(\varepsilon\)을 임의로 주어진 양수라 하자.” 이 문장이 첫 번째 양화사 \(\forall \varepsilon > 0\)을
처리한다. 여기서 \(\varepsilon\)에 구체적인 수를 넣으면 그 수에 대해서만 증명한 것이 된다.
2단계 — \(N\)을 구성하고 존재 근거를 밝힌다. 연습장에서 얻은 \(\frac1\varepsilon\)을 자연수로 올린다.
확인 13. 둘째 문장을 완성해 보자: “\(N\)을 \(\underline{\qquad}\)인 자연수라 하자. 그런 \(N\)이 존재하는 근거는 \(\underline{\qquad}\)이다.”
답
“\(N\)을 \(N > \frac1\varepsilon\)인 자연수라 하자.” 근거는 아르키메데스 성질이다
(1권 45주차 §1.5, 근거 ④). \(N = \left\lceil \frac1\varepsilon \right\rceil\)처럼 식으로
적어도 되지만, 그때도 그 값이 자연수라는 근거는 같은 성질에서 나온다.
“\(N = \frac1\varepsilon\)으로 두자”라고만 적으면 자연수 보장이 빠진다.
3단계 — \(n\)을 받는다. 세 번째 양화사를 처리하는 문장이다.
확인 14. 셋째 문장을 완성해 보자: “\(\underline{\qquad}\)인 자연수 \(n\)을 임의로 잡자.”
답
“\(n > N\)인 자연수 \(n\)을 임의로 잡자.” 여기서도 특정한 \(n\)을 고르면 안 된다 —
결론이 “\(n > N\)인 모든 \(n\)”에 대한 주장이기 때문이다.
4단계 — 본체 부등식을 잇는다. 재료는 \(n > N > \frac1\varepsilon\) 하나뿐이다.
확인 15. 마지막 문장을 완성해 보자: “\(n > N > \frac1\varepsilon\)이므로 \(\frac1n < \underline{\quad}\)이고, 따라서 \(\left|\frac{2n+1}{n} - 2\right| = \underline{\quad} < \underline{\quad}\)이다.”
답
\(\frac1n < \varepsilon\)이고, \(\left|\frac{2n+1}{n} - 2\right| = \frac1n < \varepsilon\)이다.
(\(n > \frac1\varepsilon\)의 양변에 양수끼리의 역수를 취하면 부등호가 뒤집혀
\(\frac1n < \varepsilon\)이 된다 — 근거 ③.)
세 겹의 양화사를 모두 처리했으므로 1권 정의 45.1에 의해 증명이 끝난다.
완성본. 방금 만든 문장을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.
증명의 한 줄 |
왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
\(\varepsilon\)을 임의로 주어진 양수라 하자. |
첫 양화사 \(\forall \varepsilon > 0\)을 처리한다. 특정한 값을 넣으면 전칭이 깨진다. |
\(N\)을 \(N > \frac1\varepsilon\)인 자연수라 하자. 그런 자연수의 존재는 아르키메데스 성질이 보장한다. |
둘째 양화사 \(\exists N\)을 처리한다. 연습장의 역산이 이 식을 만들었고, 존재 근거를 대는 것이 근거 ④의 인용이다. |
\(n > N\)인 자연수 \(n\)을 임의로 잡자. |
셋째 양화사 \(\forall n > N\)을 처리한다. |
그러면 \(n > N > \frac1\varepsilon\)이므로 \(\frac1n < \varepsilon\)이다. |
재료를 목표 부등식이 쓸 수 있는 꼴로 바꾼다(근거 ③). |
따라서 \(\left\lvert \frac{2n+1}{n} - 2 \right\rvert = \left\lvert \frac1n \right\rvert = \frac1n < \varepsilon\)이다. 정의 45.1에 의해 \(\frac{2n+1}{n} \to 2\)이다. \(\blacksquare\) |
본체를 계산해 목표 부등식에 도달하고, 정의를 인용해 닫는다. |
연습장은 본문에 들어가지 않는다. 위 다섯 줄 어디에도 “\(\frac1n < \varepsilon\)이려면 \(n > \frac1\varepsilon\)이어야 한다”는 역산이 없다. 역산은 \(N\)을 발견하는 데 쓰였고, 본문은 발견된 \(N\)에서 출발해 앞으로만 간다. 이 분리가 1권 45주차의 규율이며, 이번 주 모든 \(\varepsilon\) 증명에 그대로 적용된다.
예제 2.2 — 연속 ε-δ#
명제. \(f(x) = 3x - 1\)은 \(x = 2\)에서 연속이다.
이번에는 설계만 함께 하고, 본문은 완성본으로 본다.
설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 예제 2.1과 같은 자리를 연속의 언어로 채운다.
말 |
수식 번역 |
|
|---|---|---|
가정 (출발점) |
함수의 식과 점이 주어졌다 |
\(f(x) = 3x - 1\), \(a = 2\) |
목표 (도착점) |
\(f\)가 \(2\)에서 연속이다 |
\(\underline{\qquad(?)\qquad}\) |
확인 16. 번역표를 채워 보자. 먼저 \(f(2)\)의 값을 구하고, “\(f\)가 \(2\)에서 연속”을 §1.6의 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 직접형으로 옮겨 적는다.
답
\(f(2) = 3 \cdot 2 - 1 = 5\).
목표: \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x:\ |x - 2| < \delta \Rightarrow |f(x) - 5| < \varepsilon\).
예제 2.1과 비교하면 제시하는 것이 문턱 \(N\)에서 반경 \(\delta\)로 바뀌었을 뿐,
받고-제시하고-받고-확인하는 순서는 같다.
확인 17. 연습장에서 \(|f(x) - 5|\)를 \(|x - 2|\)로 표현해 보자. 그리고 그것이 \(\varepsilon\)보다 작아지려면 \(|x-2|\)가 무엇보다 작아야 하는지 구해 보자.
답
\(|f(x) - 5| = |3x - 1 - 5| = |3x - 6| = 3|x - 2|\).
\(3|x-2| < \varepsilon \iff |x - 2| < \frac\varepsilon3\)이므로 \(\delta = \frac\varepsilon3\)으로
잡으면 된다. 일차함수에서는 \(\delta = \frac{\varepsilon}{|\text{기울기}|}\)가 늘 통한다 —
기울기가 입력 오차를 출력 오차로 몇 배 키우는지를 나타내는 수이기 때문이다.
곧 출력 오차 \(\varepsilon\)을 기울기의 절댓값으로 나눈 값이 입력 반경이 된다.
증명의 한 줄 |
왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
\(f(2) = 3 \cdot 2 - 1 = 5\)이다. |
연속의 세 조건 중 ①(\(f(2)\)가 정의됨)을 확인하고, 비교 대상을 명시한다. |
\(\varepsilon\)을 임의로 주어진 양수라 하자. |
첫 양화사 \(\forall \varepsilon > 0\)을 처리한다. |
\(\delta = \frac\varepsilon3\)으로 두자. \(\varepsilon > 0\)이므로 \(\delta > 0\)이다. |
둘째 양화사 \(\exists \delta > 0\)을 처리한다. 연습장의 역산이 이 값을 만들었고, \(\delta > 0\)임을 밝히는 것이 정의가 요구하는 자격 확인이다. |
\(\lvert x - 2 \rvert < \delta\)인 \(x\)를 임의로 잡자. |
셋째 양화사 \(\forall x\)를 처리한다. |
그러면 \(\lvert f(x) - 5 \rvert = \lvert 3x - 6 \rvert = 3\lvert x - 2 \rvert < 3\delta = 3 \cdot \frac\varepsilon3 = \varepsilon\)이다. |
본체를 계산해 목표 부등식에 도달한다(근거 ③). |
따라서 \(\lim_{x \to 2} f(x) = 5 = f(2)\)이고, 1권 정의 47.2에 의해 \(f\)는 \(2\)에서 연속이다. \(\blacksquare\) |
세 조건 ②③이 함께 확인되었음을 선언하며 정의로 닫는다. |
예제 2.3 — 미분계수의 계산과 정리 1.2의 증명#
이번에는 설계부터 스스로 해 보자. 두 개의 명제를 연달아 다룬다.
명제 (계산). \(f(x) = x^2\)은 임의의 \(a\)에서 미분가능하고 \(f'(a) = 2a\)이다.
명제 (정리 1.2). \(f\)가 \(a\)에서 미분가능하면 \(f\)는 \(a\)에서 연속이다.
확인 18. 두 명제 각각의 설계를 적어 보자. 계산 쪽은 §1.5의 네 걸음 중 ①에 해당하는 식을, 정리 쪽은 출발점(가정이 주는 것)과 도착점(만들 것)을 각각 한 줄로 쓴다.
답
계산. 걸음 ①의 식은 \(\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \dfrac{(a+h)^2 - a^2}{h}\)이다.
이후는 전개 \(\to\) 약분 \(\to\) 극한의 세 걸음이 남는다.
정리. 출발점은 “\(\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)가 존재하고 그 값이 \(f'(a)\)”이고,
도착점은 “\(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)”, 곧 “\(\lim_{x \to a}\{f(x) - f(a)\} = 0\)”이다.
출발점의 식에는 분모 \(x - a\)가 있고 도착점의 식에는 없으므로, 분모를 없애는 조작이
다리가 된다 — 곱하면 사라진다. \(x \to a\) 형(§1.4)을 쓰는 이유가 여기에 있다.
증명 (계산). \(a\)를 임의의 실수라 하고, \(h \ne 0\)이라 하자. 그러면
이고, \(h \ne 0\)이므로 분자와 분모를 \(h\)로 나눌 수 있어 \(\frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h\)이다. 합\(\cdot\)상수함수\(\cdot\)항등함수의 극한(§1.7)에 의해 \(\lim_{h \to 0}(2a + h) = 2a\)이므로 정의 1.1의 극한이 존재하고, 따라서 \(f\)는 \(a\)에서 미분가능하며 \(f'(a) = 2a\)이다. \(\blacksquare\)
증명 (정리 1.2). \(f\)가 \(a\)에서 미분가능하다고 하자. 곧 정의 1.1과 §1.4의 치환 \(x = a + h\)에 의해 \(\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)\)이다. \(x \ne a\)인 \(x\)에 대해
가 성립한다(\(x - a \ne 0\)이므로 우변의 약분이 정당하다). 우변은 두 함수의 곱이고, \(x \to a\)에서 첫 인수는 가정에 의해 \(f'(a)\)로, 둘째 인수는 \(0\)으로 간다. 곱의 극한 법칙(§1.7)에 의해
이다. 따라서 \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)이고, 정의 47.2에 의해 \(f\)는 \(a\)에서 연속이다. \(\blacksquare\)
두 증명 모두 표 없이 산문으로 적었다. 표는 연습 단계의 장치이고, 실전의 증명은 처음부터 끝까지 이런 산문이다. 이번 주의 목표는 이 산문을 백지에서 재현하는 것이다.
정리 1.2의 증명에서 실제로 한 일은 한 줄뿐이다 — 도착점의 식 \(f(x) - f(a)\)를 출발점의 식이 들어 있는 곱으로 다시 쓴 것이다. \(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)를 만들려면 분모가 필요하고, 그 분모를 상쇄하려면 \((x-a)\)를 곱해야 하며, 그 인수가 마침 \(0\)으로 간다. 미분가능이 연속을 함의하는 이유 전체가 이 한 줄에 들어 있다.
관찰 — 두 ε 증명의 같은 뼈대#
예제 2.1은 수열을, 예제 2.2는 함수를 다뤘지만 뼈대가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.
걸음 |
예제 2.1 (\(\varepsilon\)-N) |
예제 2.2 (\(\varepsilon\)-\(\delta\)) |
|---|---|---|
① 상대가 던지는 것을 받는다 |
“\(\varepsilon\)을 임의로 주어진 양수라 하자” |
\(\underline{\quad(1)\quad}\) |
② 연습장에서 역산해 제시할 것을 만든다 |
\(N > \frac1\varepsilon\) (근거: 아르키메데스 성질) |
\(\underline{\quad(2)\quad}\) |
③ 검증 범위의 대상을 다시 받는다 |
“\(n > N\)인 자연수 \(n\)을 임의로 잡자” |
\(\underline{\quad(3)\quad}\) |
④ 본체 부등식을 잇고 정의로 닫는다 |
\(\lvert a_n - 2 \rvert = \frac1n < \varepsilon\) |
\(\underline{\quad(4)\quad}\) |
확인 19. 빈칸 (1)~(4)를 채워 보자. 그리고 두 서식에서 다른 것이 무엇인지 한 줄로 적어 보자.
답
(1) “\(\varepsilon\)을 임의로 주어진 양수라 하자” — 글자 그대로 같다.
(2) \(\delta = \frac\varepsilon3\) (근거: \(\varepsilon > 0\)이므로 \(\delta > 0\)).
(3) “\(|x - 2| < \delta\)인 \(x\)를 임의로 잡자”.
(4) \(|f(x) - 5| = 3|x-2| < 3\delta = \varepsilon\).
다른 것은 걸음 ②에서 제시하는 물건뿐이다 — 수열에서는 문턱 \(N\)(자연수, 그 뒤의
모든 항을 가둔다), 함수에서는 반경 \(\delta\)(양수, 그 안의 모든 \(x\)를 가둔다).
걸음 ①③④는 문자만 바뀐 같은 문장이다.
방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.
백지 암기 대상
\(\varepsilon\) 서식의 네 걸음
① 상대가 던지는 오차 \(\varepsilon > 0\)을 임의로 받는다 \(\to\) ② 연습장의 역산으로 제시할 것(\(N\) 또는 \(\delta\))을 만들고 그 존재\(\cdot\)자격의 근거를 밝힌다 \(\to\) ③ 검증 범위 안의 대상(\(n > N\) 또는 \(|x-a|<\delta\)인 \(x\))을 임의로 받는다 \(\to\) ④ 본체 부등식을 계산해 \(< \varepsilon\)에 도달하고 정의를 인용해 닫는다
예제 2.3은 이 서식을 직접 쓰지 않는다. 대신 그 서식으로 이미 확립된 극한들을 법칙으로 조립한다 — 정의 1.1이 요구하는 것이 “극한의 존재”이고, 극한의 존재는 이 서식으로 검증되거나 이미 증명된 법칙에서 물려받거나 둘 중 하나이기 때문이다. 곧 미분의 계산은 \(\varepsilon\) 서식 위에 한 층 얹힌 것이지 그것을 대체하는 것이 아니다.
이 서식이 §4의 \(\varepsilon\) 문제(3, 6, 7, 9와 17의 연속 부분, 11, 14, 그리고 훈련 1과 3)의 채점표이고, §1.5의 네 걸음이 미분 문제(2, 8, 12, 15, 16, 19, 그리고 훈련 2)의 채점표다. 나머지 셋은 어느 쪽도 아니다 — 문제 5는 정리 1.2의 증명을 재현하는 문항이므로 채점표가 §6 문제 5의 복기에 적힌 세 항목이고, 문제 9와 17의 미분 불가능 부분과 문제 18은 1권 정의 47.1의 부정을 쓰므로 \(\varepsilon\) 서식을 뒤집은 서식이 채점표다.
빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#
예제의 필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.
훈련 1 ●○○ — 수식과 절차의 빈칸#
이차함수의 연속은 일차함수와 달리 \(\delta\)를 **두 제약의 \(\min\)**으로 잡아야 한다. 남는 인수 \(|x+3|\)을 상수로 눌러야 하기 때문이다(1권 47주차 예제 2.2의 \(\min\) 트릭).
명제. \(f(x) = x^2\)은 \(x = 3\)에서 연속이다.
증명. \(f(3) = 9\)이다.
연습장: \(|f(x) - 9| = |x^2 - 9| = |x - 3| \cdot |x + 3|\). 남는 인수 \(|x+3|\)을 누르기 위해 \(x\)를 \(3\) 근처로 먼저 제한한다 — \(|x - 3| < 1\)이면 \(2 < x < 4\)이므로 \(|x + 3| < \underline{\quad(1)\quad}\)이다. 그러면 \(|f(x) - 9| \le \underline{\quad(1)\quad} \cdot |x-3|\)이고, 이것이 \(\varepsilon\)보다 작으려면 \(|x - 3| < \underline{\quad(2)\quad}\)이면 된다.
본문: \(\varepsilon\)을 임의로 주어진 양수라 하자. \(\delta = \min\{1,\ \underline{\quad(2)\quad}\}\)로 두자. 두 수 모두 양수이므로 \(\delta > 0\)이다. \(|x - 3| < \delta\)인 \(x\)를 임의로 잡자. \(\delta \le 1\)이므로 \(|x - 3| < 1\)이고 따라서 \(|x + 3| < \underline{\quad(1)\quad}\)이며, \(\delta \le \underline{\quad(2)\quad}\)이므로 \(|x - 3| < \underline{\quad(2)\quad}\)이다. 그러면
이다. 따라서 1권 정의 47.2에 의해 \(f\)는 \(3\)에서 연속이다. \(\blacksquare\)
관찰. 이차함수의 연속 증명에서 \(\delta\)가 \(\underline{\quad(4)\quad}\)개의 제약을 \(\min\)으로 묶는 이유는, 하나는 남는 인수를 가두기 위한 것이고 다른 하나는 오차를 맞추기 위한 것이기 때문이다. \(\min\)을 쓰는 근거는 \(\underline{\quad(5)\quad}\)이다.
검산. \(\varepsilon = 0.7\)이면 \(\delta = \min\{1, 0.1\} = \underline{\quad(6)\quad}\)이다.
훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#
이번에는 절차의 걸음 이름과 근거 문장도 빈칸이다.
명제. \(f(x) = 4x^2 + 1\)은 임의의 \(a\)에서 미분가능하고 \(f'(a) = 8a\)이다.
증명. \(a\)를 임의의 실수라 하자. 정의 1.1에 따라 \(\underline{\quad(1)\quad}\)을 세운다.
여기서 분자의 상수항 \(+1\)과 \(4a^2\)이 소거되는 것이 §1.5의 걸음 \(\underline{\quad(3)\quad}\)이고, 남은 두 항에는 \(h\)가 인수로 들어 있다. \(\underline{\quad(4)\quad}\)이므로 분자와 분모를 \(h\)로 나눌 수 있고, 그 결과는 \(8a + 4h\)이다.
\(\lim_{h\to0}(8a + 4h) = 8a\)인 근거는 \(\underline{\quad(5)\quad}\)이다. 극한이 존재하므로 \(f\)는 \(a\)에서 \(\underline{\quad(6)\quad}\)하고 \(f'(a) = 8a\)이다. \(\blacksquare\)
따름. 정리 1.2에 의해 \(f\)는 모든 점에서 \(\underline{\quad(7)\quad}\)이다.
훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#
훈련 1은 \(a = 3\)이라는 구체적인 점에서의 연속이었다. 이번에는 같은 함수를 임의의 점에서 다룬다. 상수 \(7\)이 나올 수 없으므로 가두는 상수 자체를 \(a\)로 설계해야 한다.
명제. \(f(x) = x^2\)은 임의의 실수 \(a\)에서 연속이다.
증명의 뼈대. \(\varepsilon\) 서식의 네 걸음 칸을 통째로 채운다.
① 연습장 — \(|x^2 - a^2|\)을 인수분해하고, \(|x - a| < 1\)일 때 남는 인수를 \(a\)로 눌러 보자: \(\underline{\quad(1)\quad}\)
② \(\varepsilon\)을 받고 \(\delta\)를 구성한다(그 \(\delta\)가 양수인 근거까지): \(\underline{\quad(2)\quad}\)
③ 검증 범위의 \(x\)를 받고 두 제약이 각각 무엇을 주는지 밝힌다: \(\underline{\quad(3)\quad}\)
④ 본체 부등식을 잇고 정의로 닫는다: \(\underline{\quad(4)\quad}\)
(안내: 삼각부등식 \(|x + a| \le |x| + |a|\)를 쓰면 \(|x - a| < 1\)에서 \(|x| < |a| + 1\)이 나온다. 가두는 상수가 \(a\)에 의존해도 된다 — \(\delta\)는 \(\varepsilon\)과 \(a\) 둘 다에 의존할 수 있고, 정의가 금지하는 것은 \(x\)에 의존하는 것뿐이다. 이 점을 답에 한 줄로 적는다.)
연습문제 (20문항)#
해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다 \(\to\) 그래도 안 되면 풀이를 읽는다.
극한 문제는 \(\varepsilon\) 서식의 네 걸음(§2 관찰)을, 미분 문제는 정의로 계산하는 네 걸음(§1.5)을 답안에 드러나게 쓴다.
이번 주의 채점 기준
답이 아니라 근거가 점수다. 이번 주 답안의 채점 항목은 넷이다.
① \(\varepsilon\) 답안에서 \(N\) 또는 \(\delta\)가 \(\varepsilon\)의 식으로 제시되고 그 존재\(\cdot\)자격의 근거가 적혀 있는가. “충분히 큰 \(N\)”은 제시가 아니다.
② \(\varepsilon\) 답안에 연습장의 역산이 본문에 섞여 있지 않은가. 본문은 제시된 값에서 출발해 앞으로만 간다.
③ 미분 답안에 **”\(h \ne 0\)이므로”**가 약분 자리에 적혀 있는가. 이 한 마디가 계산의 자격이다.
④ 미분 답안이 값만 적고 끝나지 않고 **”극한이 존재하므로 미분가능하다”**는 판정으로 닫는가.
난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.
기본 ●○○#
1. [백지] \(\varepsilon\)-N\(\cdot\)\(\varepsilon\)-\(\delta\) 정의, 연속의 세 조건, 미분가능 정의, “미분 \(\Rightarrow\) 연속”을 쓰시오.
힌트
다섯 항목 각각에 대해 “이것이 없으면 빈 답”인 조각을 먼저 정한다. \(\varepsilon\)-N과 \(\varepsilon\)-\(\delta\)는
양화사 세 개의 순서와 “\(0 < |x-a|\)”의 유무, 연속은 세 조건 각각, 미분가능은
차분몫과 “극한이 존재한다”는 문구, 정리는 진술과 그 역이 거짓이라는 사실이다.
2. 미분계수를 정의로 구하시오. (a) \(f(x) = 3x + 2\)에서 \(f'(a)\) (b) \(f(x) = x^2\)에서 \(f'(1)\) (c) \(f(x) = x^3\)에서 \(f'(a)\)
힌트
세 문항 모두 §1.5의 네 걸음이 그대로다. (c)의 전개에서 필요한 것은
\((a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3\)이며, \(a^3\)이 소거된 뒤 남는 세 항에 \(h\)가
모두 들어 있는지 확인한다. 값만 적지 말고 판정 문장으로 닫는다.
3. 예제 2.1(\(\varepsilon\)-N)을 백지 재현하시오.
힌트
다섯 줄이다. \(\varepsilon\) 받기 \(\to\) \(N\) 제시와 존재 근거 \(\to\) \(n\) 받기 \(\to\) 재료 변형 \(\to\)
본체 계산과 정의 인용. 둘째 줄에 아르키메데스 성질이, 마지막 줄에 1권 정의 45.1이
실제로 적혀 있는지 스스로 채점한다.
4. 빈칸 훈련을 백지에서 완성하시오.
힌트
훈련 1은 \(\min\) 트릭의 표준형이다. 두 제약이 각각 무엇을 담당하는지 —
하나는 남는 인수를 가두고 하나는 오차를 맞춘다 — 를 말로 먼저 정리하면
훈련 3에서 상수를 스스로 설계할 수 있다.
5. 예제 2.3(미분 \(\Rightarrow\) 연속)을 백지 재현하시오.
힌트
핵심은 한 줄이다 — 도착점의 식 \(f(x) - f(a)\)를 출발점의 식이 들어 있는 곱으로
다시 쓰는 줄. 그 줄을 먼저 적고 나머지를 앞뒤로 채운다. \(x \ne a\)라는 단서를
어디에 적어야 하는지도 확인한다.
6. \(\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2} = 0\)을 \(\varepsilon\)-N으로 증명하시오.
힌트
연습장에서 \(\frac{1}{n^2} < \varepsilon\)을 \(n\)에 대해 풀면 \(n > \frac{1}{\sqrt\varepsilon}\)이
나온다. 본문에서는 그 값보다 큰 자연수 \(N\)을 아르키메데스 성질로 잡고, \(n > N\)에서
\(n^2 > N^2\)임을 한 줄로 밝힌다. S8주차 문제 8과 같은 수열이다.
표준 ●●○#
7. \(f(x) = 5x + 2\)가 \(x = 1\)에서 연속임을 \(\varepsilon\)-\(\delta\)로 증명하시오.
힌트
예제 2.2와 기울기만 다르다. \(f(1)\)을 먼저 계산하고 \(|f(x) - f(1)|\)을 \(|x-1|\)의
상수배로 정리하면 \(\delta\)가 곧바로 나온다.
8. \(f(x) = x^3\)의 \(a\)에서 미분계수가 \(3a^2\)임을 정의로 증명하시오.
힌트
문제 2의 (c)와 같은 계산이지만, 이번에는 판정 문장까지 갖춘 완전한 증명문으로
적는다. 약분 뒤 남는 식은 \(3a^2 + 3ah + h^2\)이고, 이 식의 \(h \to 0\) 극한을
어떤 법칙으로 계산했는지 한 줄로 밝힌다.
9. \(f(x) = |x|\)가 \(x = 0\)에서 미분 불가함을 보이시오. 그러나 연속임도 확인하시오.
힌트
차분몫이 \(\frac{|h|}{h}\)로 간단해진다. 절댓값의 정의를 부호별로 풀어 두 경우의 값을
각각 구한 뒤, “두 값이 다르면 극한이 존재하지 않는다”를 1권 정의 47.1의 언어로 논증한다
(\(\varepsilon = 1\)을 던져 보면 모순이 나온다). 연속 쪽은 \(\delta = \varepsilon\) 한 번으로 끝난다.
문제 10과 18이 쓰는 절차 — 증명 평가
제시된 증명을 채점할 때는 C5주차의 다섯 걸음을 순서대로 돌린다:
① 명제 진위 ② 논리 ③ 가정 사용 ④ 양화사와 자격 ⑤ 전달.
판정은 셋 중 하나로 적는다 — 옳음 / 틀림(어느 줄이 왜) / 불완전(무엇이 빠졌는가).
결론이 맞다는 이유로 통과시키지 않고, 결론이 틀렸다는 이유로 계산까지 틀렸다고 적지 않는다.
10. 다음 제시된 증명을 평가하시오.
Result. \(f(x) = x^2\)은 \(x = 0\)에서 미분가능하다.
제시된 증명. \(f'(0) = \lim_{h\to0}\frac{h^2 - 0}h = \lim_{h\to0} h = 0\). 따라서 미분가능하고 \(f'(0) = 0\)이다.
힌트
다섯 걸음을 차례로 돌린다. 걸음 ①에서 명제 자체의 진위를 먼저 판정하면
나머지 걸음의 성격이 정해진다 — 참인 명제에 붙은 증명은 옳음이거나 불완전이다.
걸음 ②에서 검사할 것은 약분 한 줄이다.
11. \(\lim_{x\to2}(x^2 + 1) = 5\)를 \(\varepsilon\)-\(\delta\)로 증명하시오.
힌트
\(|x^2 + 1 - 5| = |x - 2| \cdot |x + 2|\)로 인수분해된다. 훈련 1과 같은 \(\min\) 트릭이며,
가두는 상수만 다르다 — \(|x-2| < 1\)에서 \(|x+2|\)가 무엇보다 작은지 계산한다.
12. \(f, g\)가 \(a\)에서 미분가능하면 \(f + g\)도 미분가능하고 \((f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)\)임을 정의로 증명하시오.
힌트
\((f+g)(a+h) = f(a+h) + g(a+h)\)를 쓰면 차분몫이 두 차분몫의 합으로 갈라진다.
그 갈라짐이 성립하는 근거(분배)와, 두 극한을 합치는 근거(§1.7의 합 법칙)를
각각 한 줄로 밝힌다. 결론에서 “극한이 존재하므로 미분가능”을 빠뜨리지 않는다.
13. 연속의 세 조건 판정: \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}\) (\(x \neq 2\))는 \(x = 2\)에서 연속인가.
힌트
§1.6의 세 조건을 순서대로 하나씩 검사한다. ①이 깨지면 ②와 ③을 검사할 필요가
없지만, ②가 성립하는지는 따로 확인할 값이 있다 — 그 값이 있으면 함수를 고쳐
연속으로 만들 수 있다.
14. 다음이 \(x = 0\)에서 연속이 아님을 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 부정으로 보이시오: \(f(x) = 0\) (\(x \le 0\)), \(f(x) = 1\) (\(x > 0\)).
힌트
먼저 연속 정의의 부정을 층별로 적는다(C4주차 문제 11, S10주차 문제 17):
“\(\exists \varepsilon > 0,\ \forall \delta > 0,\ \exists x\) …”. 그러면 답안의 구조가
정해진다 — \(\varepsilon\)은 내가 고르고, \(\delta\)는 상대가 던지며, 그 \(\delta\)에
맞춰 \(x\)를 만들어야 한다. 만드는 \(x\)는 \(\delta\)의 식이어야 한다.
도전 ●●●#
15. (미분 계산 종합) \(f(x) = \frac1x\) (\(x \neq 0\))의 \(a \neq 0\)에서 미분계수가 \(-\frac1{a^2}\)임을 정의로 증명하시오.
힌트
분자 \(\frac{1}{a+h} - \frac1a\)를 먼저 하나의 분수로 통분한다. 통분한 뒤 분자에
\(-h\)가 남으므로 \(h\)로 나누는 것이 가능해진다. \(h\)가 충분히 작으면 \(a + h \ne 0\)임을
밝히는 한 줄도 필요하다 — 어디에 적어야 하는지 생각한다.
문제 16이 빌려 쓰는 기법 — 항 쪼개기
차분몫의 분자 \(f(a+h)g(a+h) - f(a)g(a)\)에는 재료 \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)와
\(\frac{g(a+h)-g(a)}{h}\)가 그대로 들어 있지 않다. 두 재료를 동시에 꺼내려면 항 하나를
더하고 빼야 한다 — C6주차가 \(ac - bd = c(a-b) + b(c-d)\)로 세운 그 기법이다.
무엇을 더하고 뺄지는 “두 재료가 각각 나타나게 하려면”이라는 목적에서 정해진다.
16. (곱의 미분) \(f, g\)가 \(a\)에서 미분가능이면 \((fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)\)임을 정의로 증명하시오.
힌트
\(f(a+h)g(a)\)를 더하고 빼면 분자가 \(f(a+h)\{g(a+h)-g(a)\} + g(a)\{f(a+h)-f(a)\}\)가
된다. \(h\)로 나눈 뒤 \(h \to 0\)을 적용할 때 \(f(a+h) \to f(a)\)가 필요한데,
그 사실의 근거가 정리 1.2다 — 미분가능하면 연속이므로.
문제 17이 인정하고 쓰는 사실
이 과정은 삼각함수를 정의하지 않았다. 문제 17에서 쓰는 것은 두 가지뿐이며
둘 다 인정하고 쓴다: ① 모든 실수 \(t\)에 대해 \(|\sin t| \le 1\)이다.
② \(\sin t\)는 \(t\)가 커짐에 따라 값 \(1\)과 \(-1\)을 각각 무한히 여러 번 취한다.
두 사실만으로 연속과 미분 불가능이 모두 나온다.
이 두 사실은 이 교재 안에서는 증명되지 않는다 — 삼각함수의 정의 자체가 이 과정
밖에 있으므로 증명도 원서를 넘어선 해석학 과목의 몫이며, 여기서는 인정하고 쓴다.
17. (연속하나 미분 불가) \(f(x) = x \sin\frac1x\) (\(x \neq 0\)), \(f(0) = 0\)이 \(x = 0\)에서 연속이나 미분 불가능함을 논하시오. “연속 \(\supsetneq\) 미분가능”의 정교한 예이다.
힌트
연속 쪽은 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 한 번으로 끝난다 — \(|f(x) - f(0)| = |x||\sin\frac1x| \le |x|\)이므로
\(\delta = \varepsilon\)이다(이것이 조임의 아이디어를 부등식 하나로 쓴 것이다).
미분 쪽은 차분몫을 계산하면 \(\sin\frac1h\)이 그대로 남는다. 이 식이 하나의 값으로
모이지 않음을 보이려면, 서로 다른 두 값으로 가는 \(h\)의 열을 각각 만들면 된다.
18. (진단 종합) 다음 제시된 증명을 평가하시오.
Result. \(f(x) = |x|\)는 \(x = 0\)에서 미분가능하다.
제시된 증명. \(f'(0) = \lim_{h\to0}\frac{|h| - 0}h = \lim_{h\to0}\frac{|h|}h\)이다. \(h > 0\)이면 \(1\)이고 \(h < 0\)이면 \(-1\)이므로, 평균해서 \(0\)이다. 따라서 미분가능하다.
힌트
걸음 ①부터 걸린다 — 명제 자체가 참인지 먼저 판정한다(문제 9). 그다음 걸음 ②에서
“평균해서”라는 조작이 정의 47.1의 어느 요구와 충돌하는지 정확히 지목한다.
판정 낱말은 틀림이며, 어느 줄이 왜 틀렸는지까지 적어야 답안이 완성된다.
19. (설계) \(f(x) = \sqrt x\)가 \(x = 4\)에서 미분가능하고 \(f'(4) = \frac14\)임을 정의로 증명하시오.
힌트
차분몫 \(\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}\)의 분자에서 \(h\)를 꺼낼 수 없다. 분자와 분모에
켤레 \(\sqrt{4+h}+2\)를 곱하면 분자가 유리화되어 \(h\)가 나온다. 그 곱셈이 정당하려면
켤레가 \(0\)이 아니어야 하는데, \(\sqrt{4+h} + 2 \ge 2 > 0\)이므로 문제없다.
S6주차 문제 19가 같은 함수의 연속을 다뤘고, 이 문제는 그 미분판이다.
20. (서술) (a) 미분가능이 연속보다 강한 조건임을 예제 2.3(미분\(\Rightarrow\)연속)과 \(|x|\)(연속하나 미분 불가)로 뒷받침하고, “매끄러움 > 끊김 없음”을 세 문장 이내로 쓰시오. (b) 1권이 “빚”으로 남긴 미분이 어떻게 극한(1권 45~47주차)의 응용으로 청산되는지 두 문장 이내로 설명하시오.
힌트
(a)는 “강하다”를 정확히 정의하는 것부터 시작한다 — 한쪽이 다른 쪽을 함의하고 역은
성립하지 않을 때 그렇게 말한다. 두 방향 각각의 근거가 어느 결과인지 짚는다.
(b)는 정의 1.1을 다시 읽고, 그 문장에서 이번 주에 새로 만든 부분이 어디까지인지
표시해 보면 답이 나온다.
백지 재현 — 복습 프로토콜#
이 과정의 한 주는 다섯 날로 나뉜다. 교안만 보는 주가 아니라 원서와 교안을 번갈아 읽는 주이므로, 백지 재현은 마지막 날에 놓인다.
요일 |
할 일 |
|---|---|
1일차 |
원서 Chartrand 14장 통독 — 모르는 문장은 표시만 하고 통과한다 |
2일차 |
교안 §0~§2 — 개념과 예제. 확인 상자를 연필로 먼저 채운다 |
3일차 |
원서 14장 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서 연습문제 몇 개를 직접 시도한다 |
4일차 |
교안 §3 빈칸 사다리와 §4 연습문제 20문항 |
5일차 |
백지 재현 1차(틀 카드)\(\cdot\)2차(완전 백지) + 체크리스트 |
1차 시도 — 틀 카드 허용. \(\varepsilon\) 서식의 네 걸음(§2 관찰), 미분계수 계산의 네 걸음(§1.5), 연속의 세 조건(§1.6)만 한 장에 적어 펴 놓고, 예제 2.1과 2.3을 처음부터 끝까지 적는다. 정의와 본문은 보지 않는다.
2차 시도 — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다.
1권 정의 45.1(\(\varepsilon\)-N)과 47.1(\(\varepsilon\)-\(\delta\))을 양화사 순서까지 그대로 썼고, “\(0 < |x-a|\)”가 하는 일을 한 줄로 말했다.
연속의 세 조건을 셋 다 쓰고, 각 조건이 깨지는 사례를 하나씩 댔다.
정의 1.1(미분가능성과 미분계수)을 조각 그대로 썼고, 차분몫이 무엇의 기울기인지 말했다.
예제 2.1을 재현했고, 아르키메데스 성질을 인용한 줄과 1권 정의 45.1로 닫은 줄을 손가락으로 짚었다.
예제 2.2를 재현했고, 연습장의 역산이 본문에 섞이지 않았음을 확인했다.
예제 2.3의 두 증명을 모두 재현했고, “\(h \ne 0\)이므로”와 곱의 극한 법칙을 인용한 자리를 각각 짚었다.
정리 1.2를 진술하고 증명했으며, 그 역이 거짓인 이유를 반례와 함께 한 문단 적었다.
\(\min\) 트릭(훈련 1)에서 두 제약이 각각 무엇을 담당하는지 말했다.
§1.8의 근거 목록을 재현하고, “\(h\)가 아주 작으면 무시할 수 있다”가 왜 목록 밖인지 말했다.
원서 14장을 두 번 읽었고, 1일차에 표시한 문장이 모두 해결되었다.
막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.
막힌 지점 |
처방 |
|---|---|
\(\varepsilon\) 증명의 첫 줄이 나오지 않는다 |
§2 관찰의 네 걸음 — 첫 문장은 창작이 아니라 정해진 형식이다 |
\(N\)이나 \(\delta\)를 무엇으로 잡을지 모르겠다 |
예제 2.1 확인 11과 예제 2.2 확인 17 — 연습장에서 역산부터 한다 |
역산이 본문에 섞여 채점에서 걸린다 |
예제 2.1의 마지막 문단 — 본문은 제시된 값에서 출발해 앞으로만 간다 |
\(\delta\)를 하나로 잡았는데 부등식이 닫히지 않는다 |
훈련 1과 문제 11 — 남는 인수를 가두는 제약이 하나 더 필요하다 |
차분몫에서 다음 줄이 나오지 않는다 |
§1.5의 걸음 ② — 분자를 전개해 상수항을 소거하면 모든 항에 \(h\)가 남는다 |
약분해도 되는지 확신이 서지 않는다 |
§1.3의 셋째 조각과 §1.5의 걸음 ③ — 정의가 \(h \ne 0\)을 보장한다 |
값은 나왔는데 답안이 미완성으로 보인다 |
§1.5의 걸음 ④와 확인 6 — 판정 문장이 빠진 경우다 |
미분 불가능을 어떻게 쓰는지 모르겠다 |
문제 9와 18 — 좌우가 다른 두 값으로 감을 보이고 정의 47.1과 충돌시킨다 |
무엇을 인용해도 되는지 모르겠다 |
§1.7과 §1.8 — 출처를 대면 인용, 못 대면 증명 |
하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.
해설#
각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.
빈칸 사다리 — 훈련 1#
(1) \(7\) (2) \(\frac\varepsilon7\) (3) \(\varepsilon\) (4) 두 (5) 두 제약을 동시에 만족시키기 위해서다 — \(\min\)을 취하면 \(\delta \le 1\)이면서 \(\delta \le \frac\varepsilon7\)이므로 두 부등식이 함께 성립한다 (6) \(0.1\)
※ (1)의 유도: \(|x - 3| < 1\)이면 \(2 < x < 4\)이므로 \(5 < x + 3 < 7\)이고, 이 범위에서 \(x + 3 > 0\)이므로 \(|x + 3| = x + 3 < 7\)이다. 부등식이 절댓값을 벗을 수 있는 이유가 “\(x + 3 > 0\)”이라는 한 줄이며, 이 줄을 빠뜨리면 음수 쪽 가능성이 남는다. (6)의 검산: \(\varepsilon = 0.7\)이면 \(\frac{\varepsilon}{7} = 0.1\)이고 \(\min\{1, 0.1\} = 0.1\)이다. 이때 \(|x-3| < 0.1\)이면 \(|x^2 - 9| < 0.1 \times 7 = 0.7 = \varepsilon\)이 실제로 성립한다. 경계 사례 한 줄: 연습장의 “\(|f(x) - 9| \le 7|x-3|\)”에서 부등호가 \(\le\)인 것은 \(x = 3\)에서 양변이 모두 \(0\)이 되기 때문이다. 반면 본문의 마지막 사슬 \(|x-3| \cdot |x+3| < \frac\varepsilon7 \cdot 7 = \varepsilon\)은 \(x = 3\)에서도 \(0 < \varepsilon\)이므로 강부등식 그대로다 — 하나의 부등식을 세우는 자리와 두 강부등식을 곱해 잇는 자리에서 경계의 처리가 다르다.
빈칸 사다리 — 훈련 2#
(1) 차분몫 \(\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}\) (2) \(8ah + 4h^2\) (3) ② (4) \(h \ne 0\) (5) 극한의 합 법칙과 상수배 법칙(§1.7) — \(\lim_{h\to0} 8a = 8a\)이고 \(\lim_{h\to0} 4h = 0\)이므로 합은 \(8a\)이다 (6) 미분가능 (7) 연속
※ (2)의 유도: \(4(a+h)^2 + 1 = 4a^2 + 8ah + 4h^2 + 1\)이므로 \(4a^2 + 1\)을 빼면 \(8ah + 4h^2\)이 남는다. 상수항 \(+1\)이 소거되는 것이 이 계산의 절반이고, 남은 두 항에서 \(h\)를 인수로 꺼낼 수 있는 것이 나머지 절반이다. 검산: \(a = 1\)이면 \(f'(1) = 8\)이며, \(h = 0.01\)에서 차분몫은 \(8 + 4(0.01) = 8.04\)로 \(8\)에 가깝다.
빈칸 사다리 — 훈련 3#
(1) \(|x^2 - a^2| = |x - a| \cdot |x + a|\)이다. \(|x - a| < 1\)이면 삼각부등식에 의해 \(|x| = |(x - a) + a| \le |x - a| + |a| < 1 + |a|\)이고, 다시 삼각부등식으로 \(|x + a| \le |x| + |a| < 2|a| + 1\)이다. 따라서 \(|x^2 - a^2| \le (2|a|+1)|x-a|\)이고, 이것이 \(\varepsilon\)보다 작으려면 \(|x - a| < \frac{\varepsilon}{2|a|+1}\)이면 된다.
(2) \(\varepsilon\)을 임의로 주어진 양수라 하자. \(\delta = \min\left\{1,\ \frac{\varepsilon}{2|a|+1}\right\}\)로 두자. \(2|a| + 1 \ge 1 > 0\)이므로 \(\frac{\varepsilon}{2|a|+1} > 0\)이고, 두 수 모두 양수이므로 \(\delta > 0\)이다. (\(\delta\)가 \(\varepsilon\)뿐 아니라 \(a\)에도 의존하지만, 1권 정의 47.2가 금지하는 것은 \(x\)에 대한 의존뿐이므로 문제되지 않는다.)
(3) \(|x - a| < \delta\)인 \(x\)를 임의로 잡자. \(\delta \le 1\)이므로 \(|x - a| < 1\)이고, (1)에 의해 \(|x + a| < 2|a| + 1\)이다. 또 \(\delta \le \frac{\varepsilon}{2|a|+1}\)이므로 \(|x - a| < \frac{\varepsilon}{2|a|+1}\)이다. 두 제약이 각각 가두기와 오차 맞추기를 담당한다.
(4) 그러면 \(|f(x) - f(a)| = |x - a| \cdot |x + a| < \frac{\varepsilon}{2|a|+1} \cdot (2|a|+1) = \varepsilon\)이다. 따라서 정의 47.2에 의해 \(f\)는 \(a\)에서 연속이다. \(\blacksquare\)
※ 훈련 1과 다른 것은 가두는 상수뿐이다. \(a = 3\)이면 \(2|a| + 1 = 7\)이므로 훈련 1의 \(7\)이 이 일반형의 특수한 경우임을 알 수 있다. 구체적인 점에서 통한 설계가 일반화되는지 확인하는 것이 이 훈련의 목적이다.
문제 1#
접근. 백지 문항은 채점표를 먼저 정하고 시작한다. 다섯 항목 각각에서 “이것이 없으면 빈 답”인 조각을 정해 두면, 쓰다가 막혀도 어디가 비었는지 알 수 있다. \(\varepsilon\)-N과 \(\varepsilon\)-\(\delta\)는 양화사 세 개와 그 순서가, 연속은 세 조건이 각각 따로, 미분가능은 차분몫과 “존재한다”는 문구가, 정리는 진술과 역의 반례가 핵심이다.
풀이. (모범 답안)
\(\varepsilon\)-N. 수열 \((a_n)\)이 \(L\)로 수렴한다는 것은 \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n > N:\ |a_n - L| < \varepsilon\)이라는 뜻이다. 양화사의 순서가 뜻을 결정한다 — \(N\)은 \(\varepsilon\)을 보고 정하므로 \(\varepsilon\)에 의존해도 되고, \(n\)은 \(N\)이 정해진 뒤에 임의로 주어진다.
\(\varepsilon\)-\(\delta\). \(\lim_{x \to a} f(x) = L\)이라는 것은 \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x:\ 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon\)이라는 뜻이다. “\(0 < |x - a|\)”는 \(x = a\)를 판정 범위에서 배제하며, 이 조각이 있기 때문에 \(f(a)\)가 정의되지 않아도 극한을 말할 수 있다.
연속의 세 조건. \(f\)가 \(a\)에서 연속이라는 것은 \(\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\)이고, 이는 ① \(f(a)\)가 정의됨 ② 극한이 존재함 ③ 둘이 같음의 셋을 모두 요구한다. 직접형은 \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x:\ |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \varepsilon\)이며, \(x = a\)에서 자동 성립하므로 “\(0 <\)”가 필요 없다.
미분가능. \(f\)가 \(a\)에서 미분가능하다는 것은 \(\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)가 존재한다는 뜻이고, 그 값을 \(f'(a)\)로 쓴다. 동치형은 \(\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)이다.
미분 \(\Rightarrow\) 연속. \(f\)가 \(a\)에서 미분가능하면 \(a\)에서 연속이다. 역은 거짓이며, 반례는 \(f(x) = |x|\), \(a = 0\)이다.
복기. 다섯 항목은 독립된 암기 항목이 아니라 하나의 사슬이다 — \(\varepsilon\)-N이 \(\varepsilon\)-\(\delta\)로 옮겨 가고, \(\varepsilon\)-\(\delta\)가 연속을 정의하고, 연속의 재료인 극한이 미분가능을 정의하며, 마지막 정리가 그 둘을 잇는다. 사슬로 외우면 하나를 잊어도 이웃에서 복구된다.
문제 2#
접근. 세 문항 모두 §1.5의 네 걸음이다. 차분몫을 세우고, 전개해 상수항을 소거하고, “\(h \ne 0\)이므로” 약분하고, 남은 식에 극한을 적용한다. 값만 적으면 채점 항목 ④가 비므로 판정 문장으로 닫는다.
풀이.
(a) \(f(x) = 3x + 2\), 임의의 실수 \(a\)에 대해 \(h \ne 0\)이면
이다(\(h \ne 0\)이므로 약분이 정당하다). 상수함수의 극한이므로 \(\lim_{h\to0} 3 = 3\)이고, 극한이 존재하므로 \(f\)는 \(a\)에서 미분가능하며 \(f'(a) = 3\)이다.
(b) \(f(x) = x^2\), \(a = 1\). \(h \ne 0\)이면
이다. \(\lim_{h\to0}(2+h) = 2\)이므로 \(f\)는 \(1\)에서 미분가능하고 \(f'(1) = 2\)이다.
(c) \(f(x) = x^3\), 임의의 실수 \(a\). \((a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3\)이므로 \(h \ne 0\)이면
이다. 극한의 합\(\cdot\)곱\(\cdot\)상수배 법칙(§1.7)에 의해 \(\lim_{h\to0}(3a^2 + 3ah + h^2) = 3a^2\)이므로 (\(h^2 = h \cdot h\)에 곱 법칙을 쓰면 \(0\)이다), \(f\)는 \(a\)에서 미분가능하고 \(f'(a) = 3a^2\)이다.
검산. (b)는 예제 2.3의 \(f'(a) = 2a\)에 \(a = 1\)을 넣은 값과 같고, (c)는 \(a = 1\)에서 \(3\)이 되어 \(x^3\)의 그래프가 \(x=1\) 근처에서 \(x^2\)보다 가파르다는 관찰과 어긋나지 않는다.
복기. 세 문항의 차이는 걸음 ②의 전개 계산량뿐이다. 다항식에서는 상수항이 늘 소거되고 남은 항이 모두 \(h\)를 인수로 갖는데, 이는 우연이 아니라 분자가 \(f(a+h) - f(a)\)라는 차이기 때문이다.
문제 3#
접근. 백지 재현 문항은 “무엇을 적었는가”가 아니라 “어느 줄이 어느 양화사를 처리하는가”를 스스로 짚을 수 있는지를 검사한다. 다섯 줄을 적은 뒤 각 줄 옆에 ① \(\forall\varepsilon\) ② \(\exists N\) ③ \(\forall n\) ④ 본체 ⑤ 정의 인용을 써 넣는다.
풀이. \(\varepsilon\)을 임의로 주어진 양수라 하자. 아르키메데스 성질에 의해 \(N > \frac1\varepsilon\)인 자연수 \(N\)이 존재하므로 그런 \(N\)을 하나 잡자. \(n > N\)인 자연수 \(n\)을 임의로 잡자. 그러면 \(n > N > \frac1\varepsilon > 0\)이므로 양변의 역수를 취해 \(\frac1n < \varepsilon\)이다. 따라서
이다. \(\varepsilon\)이 임의였으므로 1권 정의 45.1에 의해 \(\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n} = 2\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 자기 채점 항목은 세 가지다 — ① \(N\)의 존재 근거를 댔는가 ② 역산이 본문에 섞이지 않았는가 ③ 마지막에 정의를 인용해 닫았는가. 재현이 막히는 자리는 대개 ①이며, “\(N = \frac1\varepsilon\)으로 두자”라고 적고 넘어가면 자연수 보장이 사라진다.
문제 4#
접근. 훈련 1~3의 답은 §6 앞부분에 있다. 백지에서 완성한다는 것은 답을 외워 쓰는 것이 아니라, 각 훈련의 설계 결정을 스스로 다시 내리는 것이다 — 훈련 1은 가두는 상수를 \(7\)로 정한 이유, 훈련 2는 어느 걸음에서 무엇이 소거되는지, 훈련 3은 가두는 상수를 \(a\)의 식으로 설계하는 방법이다.
풀이. 훈련 1의 답은 (1) \(7\) (2) \(\frac\varepsilon7\) (3) \(\varepsilon\) (4) 두 (5) 두 제약을 동시에 만족시키기 위해 (6) \(0.1\)이다. 훈련 2의 답은 (1) 차분몫 (2) \(8ah + 4h^2\) (3) ② (4) \(h \ne 0\) (5) 극한의 합\(\cdot\)상수배 법칙 (6) 미분가능 (7) 연속이다. 훈련 3의 답은 위 “빈칸 사다리 — 훈련 3” 항목에 네 칸 모두 적혀 있다.
복기. 세 훈련은 지지대만 다를 뿐 같은 기술을 세 번 쓴다. 훈련 1에서 \(\min\)의 두 제약을 말로 정리해 두면 훈련 3에서 상수를 스스로 설계할 수 있고, 훈련 2에서 걸음 이름을 채워 두면 문제 8\(\cdot\)15\(\cdot\)19의 답안 구조가 저절로 나온다.
문제 5#
접근. 정리 1.2의 증명에서 실제로 만드는 것은 한 줄이다 — 도착점의 식 \(f(x) - f(a)\)를 출발점의 식 \(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)가 들어 있는 곱으로 다시 쓰는 줄. 그 줄을 먼저 적고 앞뒤를 채우면 재현이 막히지 않는다.
풀이. \(f\)가 \(a\)에서 미분가능하다고 하자. 곧 \(\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)가 존재하고 그 값이 \(f'(a)\)이다. \(x \ne a\)인 \(x\)에 대해 \(x - a \ne 0\)이므로
가 성립한다. \(x \to a\)에서 첫 인수의 극한은 가정에 의해 \(f'(a)\)이고 둘째 인수의 극한은 \(0\)이므로, 곱의 극한 법칙(§1.7)에 의해 \(\lim_{x\to a}\{f(x) - f(a)\} = f'(a) \cdot 0 = 0\)이다. 따라서 \(\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\)이고, 정의 47.2에 의해 \(f\)는 \(a\)에서 연속이다. \(\blacksquare\)
복기. 자기 채점 항목은 셋이다 — ① “\(x \ne a\)”라는 단서를 곱으로 쓰는 줄 앞에 적었는가 ② 두 인수의 극한을 각각 밝혔는가 ③ 곱의 극한 법칙을 이름으로 인용했는가. ②를 빠뜨리면 “우변이 \(0\)으로 간다”가 근거 없는 단언이 된다.
문제 6#
접근. \(\varepsilon\) 서식의 네 걸음이다. 연습장에서 \(\frac{1}{n^2} < \varepsilon\)을 \(n\)에 대해 풀면 \(n > \frac{1}{\sqrt\varepsilon}\)이 나오고, 본문에서는 그 값보다 큰 자연수를 아르키메데스 성질로 잡는다. 본체에서는 \(n > N\)에서 \(n^2 > N^2\)으로 넘어가는 한 줄이 필요하다 — 양수끼리는 제곱해도 부등호가 유지된다.
풀이. 연습장: \(\left|\frac{1}{n^2} - 0\right| = \frac{1}{n^2}\)이고, \(\frac{1}{n^2} < \varepsilon \iff n^2 > \frac1\varepsilon \iff n > \frac{1}{\sqrt\varepsilon}\)이다.
본문: \(\varepsilon\)을 임의로 주어진 양수라 하자. 아르키메데스 성질에 의해 \(N > \frac{1}{\sqrt\varepsilon}\)인 자연수 \(N\)을 잡을 수 있다. \(n > N\)인 자연수 \(n\)을 임의로 잡자. 그러면 \(n > N > \frac{1}{\sqrt\varepsilon} > 0\)이고, 양수끼리 제곱하면 부등호가 유지되므로 \(n^2 > \frac1\varepsilon\)이다. 따라서
이다. \(\varepsilon\)이 임의였으므로 1권 정의 45.1에 의해 \(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2} = 0\)이다. \(\blacksquare\)
검산. \(\varepsilon = 0.01\)이면 \(\frac{1}{\sqrt\varepsilon} = 10\)이므로 \(N = 11\)을 잡을 수 있고, \(n = 11\)에서 \(\frac{1}{121} \approx 0.0083 < 0.01\)이 실제로 성립한다.
복기. \(\frac1n \to 0\)의 증명과 다른 곳은 연습장의 역산 한 줄뿐이다. 부등식을 \(n\)에 대해 풀 때 제곱근이 나오면 그것이 곧 문턱의 식이 되고, 본문에서는 그 역과정 (제곱)을 한 줄로 되짚는다. 역산과 본문이 서로 역방향이라는 구조가 여기서 잘 보인다.
문제 7#
접근. 예제 2.2와 기울기만 다르다. 먼저 \(f(1)\)을 계산해 비교 대상을 정하고, \(|f(x) - f(1)|\)을 \(|x - 1|\)의 상수배로 정리하면 \(\delta\)가 곧바로 나온다.
풀이. \(f(1) = 5 \cdot 1 + 2 = 7\)이다.
연습장: \(|f(x) - 7| = |5x + 2 - 7| = |5x - 5| = 5|x - 1|\)이고, \(5|x-1| < \varepsilon \iff |x - 1| < \frac\varepsilon5\)이다.
본문: \(\varepsilon\)을 임의로 주어진 양수라 하자. \(\delta = \frac\varepsilon5\)로 두자. \(\varepsilon > 0\)이므로 \(\delta > 0\)이다. \(|x - 1| < \delta\)인 \(x\)를 임의로 잡자. 그러면
이다. 따라서 \(\lim_{x\to1} f(x) = 7 = f(1)\)이고, 1권 정의 47.2에 의해 \(f\)는 \(1\)에서 연속이다. \(\blacksquare\)
검산. \(\varepsilon = 0.5\)이면 \(\delta = 0.1\)이고, \(x = 1.09\)에서 \(f(x) = 7.45\)이므로 \(|f(x) - 7| = 0.45 < 0.5\)가 성립한다.
복기. 일차함수 \(f(x) = mx + b\) (\(m \ne 0\))의 연속은 언제나 \(\delta = \frac{\varepsilon}{|m|}\) 한 줄로 끝난다. 기울기가 입력 오차를 출력 오차로 몇 배 키우는지를 나타내는 수이기 때문이며, \(|m|\)이 클수록 같은 출력 오차에 더 좁은 입력 반경이 필요하다.
문제 8#
접근. 문제 2의 (c)와 같은 계산이지만 이번에는 완전한 증명문으로 적는다. 채점 항목 ③(약분 근거)과 ④(판정 문장)가 답안에 실제로 있는지 확인하며 쓴다.
풀이. \(a\)를 임의의 실수라 하고 \(h \ne 0\)이라 하자. \((a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3\)이므로 분자는
이고, 세 항 모두 \(h\)를 인수로 갖는다. \(h \ne 0\)이므로 분자와 분모를 \(h\)로 나눌 수 있어
이다. 극한의 합\(\cdot\)곱\(\cdot\)상수배 법칙(§1.7)에 의해 \(\lim_{h\to0}(3a^2 + 3ah + h^2) = 3a^2 + 0 + 0 = 3a^2\)이다. 셋째 항에는 곱 법칙이 쓰인다 — \(h^2 = h \cdot h\)이고 \(\lim_{h\to0} h = 0\)이므로 \(\lim_{h\to0} h^2 = 0\)이다. 둘째 항은 상수배 법칙, 첫째 항은 상수함수의 극한이다. 극한이 존재하므로 \(f\)는 \(a\)에서 미분가능하고 \(f'(a) = 3a^2\)이다. \(\blacksquare\)
검산. \(a = 2\)이면 \(f'(2) = 12\)이고, \(h = 0.01\)에서 차분몫은 \(12 + 6(0.01) + 0.0001 = 12.0601\)로 \(12\)에 가깝다.
복기. \(x^2\)에서 \(2a\), \(x^3\)에서 \(3a^2\)이 나오는 규칙성이 보이지만, 규칙성을 관찰한 것과 증명한 것은 다르다. \(x^n\)의 일반형도 이항정리(C16주차 정리 1.3)로 분자를 전개하면 같은 방식으로 나온다. 여기에 문제 12의 합 법칙을 항의 개수만큼 되풀이하면 C16주차 문제 13이 “인정하고 쓴다”로 미뤄 둔 다항식의 항별 미분에 닿는다 — 그 되풀이(수학적 귀납법)까지가 이 주차 밖의 한 걸음이므로, 이번 주가 갚은 것은 \(n = 2, 3\)의 계산과 두 함수에 대한 합 법칙까지다.
문제 9#
접근. 두 가지를 따로 증명한다. 미분 불가능은 정의 1.1의 극한이 존재하지 않음을, 연속은 1권 정의 47.2가 성립함을 보이면 된다. 차분몫은 \(f(0) = 0\)이므로 \(\frac{|h|}{h}\)로 간단해지고, 절댓값을 부호별로 푸는 것이 첫 걸음이다.
풀이.
미분 불가능. \(h \ne 0\)일 때 차분몫은 \(\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \frac{|h| - 0}{h} = \frac{|h|}{h}\)이다. 절댓값의 정의에 의해 \(h > 0\)이면 \(|h| = h\)이므로 값은 \(\frac hh = 1\)이고, \(h < 0\)이면 \(|h| = -h\)이므로 값은 \(\frac{-h}{h} = -1\)이다.
이 극한이 존재한다고 가정하고 그 값을 \(L\)이라 하자. 정의 47.1에서 \(\varepsilon = 1\)을 잡으면, \(0 < |h| < \delta\)인 모든 \(h\)에 대해 \(\left|\frac{|h|}{h} - L\right| < 1\)이 되는 \(\delta > 0\)이 존재해야 한다. 그런데 \(h_1 = \frac\delta2 > 0\)과 \(h_2 = -\frac\delta2 < 0\)은 둘 다 \(0 < |h| < \delta\)를 만족하고 차분몫의 값은 각각 \(1\)과 \(-1\)이다. 따라서 \(|1 - L| < 1\)이고 \(|-1 - L| < 1\)이어야 하는데, 삼각부등식에 의해
가 되어 \(2 < 2\)라는 모순이 나온다. 그러므로 그런 \(L\)은 존재하지 않고, 극한이 존재하지 않으므로 \(f\)는 \(0\)에서 미분 불가능하다. \(\blacksquare\)
연속. \(f(0) = |0| = 0\)이다. \(\varepsilon\)을 임의로 주어진 양수라 하고 \(\delta = \varepsilon\)으로 두자. \(|x - 0| < \delta\)인 \(x\)를 임의로 잡으면
이다. 따라서 정의 47.2에 의해 \(f\)는 \(0\)에서 연속이다. \(\blacksquare\)
복기. “좌우에서 다른 값으로 간다”를 그대로 적으면 답안이 아니라 관찰이다. 증명이 되려면 그 관찰을 정의 47.1과 충돌시켜야 하고, 충돌의 도구가 \(\varepsilon = 1\)과 삼각부등식이다. 값의 간격이 \(2\)이므로 \(\varepsilon\)은 \(1\) 이하 아무 수나 되며, \(1\)을 고른 것은 계산이 가장 짧기 때문이다. 이 문제가 1권 9주차 문제 10과 47주차 문제 19가 “인정하고 쓴다”로 미뤄 둔 사실의 청산이다.
문제 10#
접근. C5주차의 다섯 걸음을 순서대로 돌린다. 걸음 ①에서 명제 자체의 진위를 먼저 판정하면 나머지 걸음의 성격이 정해진다 — 참인 명제에 붙은 증명은 옳음이거나 불완전이며, 틀림이 되려면 논리에 결함이 있어야 한다.
풀이.
걸음 ① 명제 진위. 참이다. 예제 2.3에서 \(f(x) = x^2\)이 모든 \(a\)에서 미분가능하고 \(f'(a) = 2a\)임을 증명했으므로, \(a = 0\)에서 미분가능하고 \(f'(0) = 0\)이다.
걸음 ② 논리. 세 줄을 검사한다. 차분몫을 \(\frac{h^2 - 0}{h}\)로 세운 것은 \(f(0) = 0\)이므로 옳다. \(\frac{h^2}{h} = h\)로 약분한 것도 옳다 — 다만 그 정당성이 “\(h \ne 0\)”에서 나온다는 사실이 답안에 적혀 있지 않다. \(\lim_{h\to0} h = 0\)도 옳다.
걸음 ③ 가정 사용. 이 명제에는 소비할 가정이 없고 함수의 식만 주어졌으므로 해당 없음이다.
걸음 ④ 양화사와 자격. \(a = 0\)이라는 한 점에 대한 주장이므로 전칭을 사례로 대신한 문제가 없다.
걸음 ⑤ 전달. 문장이 완결되어 있고 마지막에 판정(“미분가능하고 \(f'(0) = 0\)”)이 적혀 있다.
판정. 옳음. 계산과 결론 모두 정확하다. 다만 약분 자리에 “\(h \ne 0\)이므로” 한 마디를 넣으면 완성도가 높아진다 — 채점 기준 ③이 요구하는 문구이며, 이 한 마디가 빠진 답안은 문제 18처럼 \(\frac{|h|}{h}\)를 다루는 상황에서 같은 실수로 이어질 수 있다.
복기. 결론이 맞다는 이유로 통과시키는 것과 다섯 걸음을 실제로 돌린 뒤 통과시키는 것은 다르다. 이 답안은 걸음 ②에서 근거 하나가 비었을 뿐이므로 판정은 옳음이고, 비판은 보완 제안으로 적는다.
문제 11#
접근. \(|x^2 + 1 - 5| = |x^2 - 4| = |x - 2||x + 2|\)로 인수분해된다. 남는 인수 \(|x+2|\)를 상수로 눌러야 하므로 훈련 1과 같은 \(\min\) 트릭이며, 가두는 상수만 계산하면 된다.
풀이. 연습장: \(|x - 2| < 1\)이면 \(1 < x < 3\)이므로 \(3 < x + 2 < 5\)이고, 이 범위에서 \(x + 2 > 0\)이므로 \(|x + 2| < 5\)이다. 그러면 \(|x^2 - 4| \le 5|x - 2|\)이고, 이것이 \(\varepsilon\)보다 작으려면 \(|x - 2| < \frac\varepsilon5\)이면 된다.
본문: \(\varepsilon\)을 임의로 주어진 양수라 하자. \(\delta = \min\left\{1, \frac\varepsilon5\right\}\)로 두자. 두 수 모두 양수이므로 \(\delta > 0\)이다. \(0 < |x - 2| < \delta\)인 \(x\)를 임의로 잡자. \(\delta \le 1\)이므로 \(|x - 2| < 1\)이고 따라서 \(|x + 2| < 5\)이며, \(\delta \le \frac\varepsilon5\)이므로 \(|x - 2| < \frac\varepsilon5\)이다. 그러면
이다. 따라서 1권 정의 47.1에 의해 \(\lim_{x\to2}(x^2+1) = 5\)이다. \(\blacksquare\)
검산. \(\varepsilon = 0.5\)이면 \(\delta = 0.1\)이고, \(x = 2.09\)에서 \(x^2 + 1 = 5.3681\)이므로 오차는 \(0.3681 < 0.5\)이다.
복기. 훈련 1(\(a = 3\), 상수 \(7\)), 이 문제(\(a = 2\), 상수 \(5\)), 훈련 3(일반 \(a\), 상수 \(2|a|+1\))이 같은 설계의 세 사례다. 가두는 상수는 늘 “\(|x - a| < 1\)일 때 남는 인수가 넘지 못하는 값”으로 계산되며, 그 계산이 답안의 연습장 부분이다.
문제 12#
접근. 정의로 증명하라고 했으므로 차분몫에서 출발한다. \((f+g)(a+h) = f(a+h) + g(a+h)\)를 쓰면 분자가 두 차로 갈라지고, \(h\)로 나누면 두 차분몫의 합이 된다. 두 극한이 각각 존재하므로 합 법칙을 쓸 수 있다.
풀이. \(f\)와 \(g\)가 \(a\)에서 미분가능하다고 하자. 곧 \(\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a)\)이고 \(\lim_{h\to0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h} = g'(a)\)이다.
\(h \ne 0\)이라 하자. 합함수의 정의에 의해 \((f+g)(a+h) = f(a+h) + g(a+h)\)이고 \((f+g)(a) = f(a) + g(a)\)이므로
이다(마지막 등식은 분수의 분배, 근거 ③). 우변의 두 항은 \(h \to 0\)에서 각각 \(f'(a)\)와 \(g'(a)\)로 수렴하므로, 극한의 합 법칙(§1.7)에 의해 좌변의 극한도 존재하고 그 값은 \(f'(a) + g'(a)\)이다. 극한이 존재하므로 \(f + g\)는 \(a\)에서 미분가능하고 \((f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)\)이다. \(\blacksquare\)
검산. \(f(x) = x^2\), \(g(x) = 3x + 2\)이면 \(f'(a) = 2a\)(예제 2.3), \(g'(a) = 3\)(문제 2의 (a))이므로 \((f+g)'(a) = 2a + 3\)이다. 직접 계산해도 \(\frac{\{(a+h)^2 + 3(a+h) + 2\} - (a^2 + 3a + 2)}{h} = 2a + h + 3 \to 2a + 3\)으로 일치한다.
복기. 이 증명이 하는 일은 “정의를 쓰고, 갈라놓고, 이미 아는 법칙으로 합친다”의 세 걸음이다. 미분의 나머지 법칙(곱은 문제 16)도 같은 골격이며, 다른 것은 갈라놓는 방법뿐이다 — 합은 그냥 갈라지고, 곱은 항을 더하고 빼야 갈라진다.
문제 13#
접근. §1.6의 세 조건을 순서대로 검사한다. ①이 깨지면 그 자체로 불연속이지만, ②가 성립하는지는 따로 볼 값이 있다 — 극한이 존재하면 함수를 고쳐 연속으로 만들 수 있고, 그 구분이 이 문제의 요점이다.
풀이.
조건 ① 검사. \(f\)의 정의역은 \(x \ne 2\)인 실수 전체이므로 \(f(2)\)가 정의되어 있지 않다. 조건 ①이 깨졌고, 따라서 \(f\)는 \(x = 2\)에서 연속이 아니다.
조건 ② 검사. \(x \ne 2\)에서
이다(\(x \ne 2\)이므로 약분이 정당하다). 극한은 \(x = 2\)를 배제한 범위만 보므로 (\(0 < |x - 2|\)), \(\lim_{x\to2} f(x) = \lim_{x\to2}(x+2) = 4\)이며 극한은 존재한다. (이 극한 자체를 \(\varepsilon\)-\(\delta\)로 쓰면 \(\delta = \varepsilon\) 한 줄로 끝난다.)
결론. \(f\)는 \(2\)에서 연속이 아니지만, 그 이유는 극한이 없어서가 아니라 함숫값이 없어서다. 새 함수 \(\tilde f\)를 \(x \ne 2\)에서 \(\tilde f(x) = f(x)\), \(\tilde f(2) = 4\)로 정의하면 세 조건이 모두 성립하므로 \(\tilde f\)는 \(2\)에서 연속이다. 이런 불연속을 제거 가능 불연속(removable discontinuity)이라 한다. \(\blacksquare\)
복기. 세 조건을 분해해 두는 실익이 여기서 드러난다. “연속이 아니다”라는 결론은 같아도, ①이 깨진 경우는 값 하나를 채워 고칠 수 있고 문제 14처럼 ②가 깨진 경우는 어떤 값을 채워도 고칠 수 없다. 답안에는 어느 조건이 깨졌는지를 반드시 적는다.
문제 14#
접근. 먼저 연속 정의의 부정을 층별로 적는다. 원명제가 \(\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x\,[|x| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(0)| < \varepsilon]\)이므로, 부정은 \(\exists \varepsilon > 0\ \forall \delta > 0\ \exists x\,[|x| < \delta \wedge |f(x) - f(0)| \ge \varepsilon]\)이다 (C4주차 문제 11, S10주차 문제 17). 그러면 답안의 구조가 정해진다 — \(\varepsilon\)은 내가 고르고, \(\delta\)는 상대가 던지며, 그에 맞춰 \(x\)를 만든다.
풀이. \(f(0) = 0\)이다(\(0 \le 0\)이므로 첫째 식이 적용된다).
\(\varepsilon = \frac12\)로 두자. \(\delta\)를 임의로 주어진 양수라 하자. \(x = \frac\delta2\)로 두면 \(x > 0\)이므로 \(f(x) = 1\)이고, 또
이다. 그런데
이다. 곧 이 \(\delta\)에 대해 조건을 위반하는 \(x\)가 존재한다. \(\delta\)가 임의였으므로 어떤 \(\delta > 0\)도 \(\varepsilon = \frac12\)에 대응하지 못하며, 따라서 \(f\)는 \(0\)에서 연속이 아니다. \(\blacksquare\)
복기. 부정 증명의 채점 항목은 셋이다 — ① \(\varepsilon\)을 구체적인 수로 골랐는가 ② \(\delta\)를 임의로 받았는가(특정한 값으로 고정하면 증명이 아니다) ③ \(x\)를 \(\delta\)의 식으로 만들었는가. ③이 핵심이다. \(x = 0.001\)처럼 고정된 수를 쓰면 그보다 작은 \(\delta\) 앞에서 무너진다. \(\frac\delta2\)는 어떤 \(\delta\)가 와도 “\(\delta\)보다 작은 양수”라는 두 조건을 동시에 만족하므로 안전하다. 문제 13과 비교하면, 이 함수는 좌우 극한이 \(0\)과 \(1\)로 달라 극한 자체가 없으므로 \(f(0)\)을 어떤 값으로 고쳐도 연속이 되지 않는다.
문제 15#
접근. 차분몫의 분자 \(\frac{1}{a+h} - \frac1a\)에서 \(h\)를 꺼낼 수 없으므로 먼저 통분한다. 통분하면 분자에 \(-h\)가 나타나 \(h\)로 나누는 것이 가능해진다. \(a + h\)가 분모에 있으므로 \(a + h \ne 0\)을 밝히는 줄도 필요하다.
풀이. \(a \ne 0\)이라 하자. \(|h| < |a|\)이고 \(h \ne 0\)인 \(h\)만 생각한다 (극한은 \(h\)가 \(0\)에 충분히 가까운 범위만 보므로 이렇게 제한해도 된다). 이때 \(|a + h| \ge |a| - |h| > 0\)이므로 \(a + h \ne 0\)이고, \(\frac{1}{a+h}\)가 정의된다. 그러면
이고, \(h \ne 0\)이므로 분자와 분모를 \(h\)로 나눌 수 있어
이다. \(h \to 0\)에서 분모 \(a(a+h)\)는 \(a^2\)으로 가고(합\(\cdot\)곱\(\cdot\)상수함수\(\cdot\)항등함수의 극한, §1.7) \(a^2 \ne 0\)이므로, 몫의 극한 법칙(§1.7)을 써서 \(\lim_{h\to0}\frac{-1}{a(a+h)} = -\frac{1}{a^2}\)을 얻는다. 극한이 존재하므로 \(f\)는 \(a\)에서 미분가능하고 \(f'(a) = -\frac{1}{a^2}\)이다. \(\blacksquare\)
검산. \(a = 2\)이면 \(f'(2) = -\frac14\)이고, \(h = 0.01\)에서 차분몫은 \(\frac{-1}{2 \times 2.01} = -0.2488\ldots\)로 \(-0.25\)에 가깝다.
복기. 부호가 음수인 것은 우연이 아니다 — \(\frac1x\)는 \(x\)가 커질수록 값이 작아지므로 어느 점에서나 감소하고, 미분계수가 음수인 것이 그 감소를 수로 적은 것이다. 이 계산의 기술은 하나뿐이다: 분자가 분수이면 먼저 통분한다. 통분한 뒤에야 \(h\)가 인수로 드러난다.
문제 16#
접근. 차분몫의 분자 \(f(a+h)g(a+h) - f(a)g(a)\)에는 두 재료 \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)와 \(\frac{g(a+h)-g(a)}{h}\)가 그대로 들어 있지 않다. 두 재료를 동시에 꺼내려면 항 하나를 더하고 빼야 한다 — C6주차의 항 쪼개기다. 무엇을 더하고 뺄지는 “두 차가 각각 나타나게 하려면”이라는 목적이 정한다.
풀이. \(f\)와 \(g\)가 \(a\)에서 미분가능하다고 하자. \(h \ne 0\)이라 하자. 분자에 \(f(a+h)g(a)\)를 더하고 빼면
이다(우변을 전개하면 \(f(a+h)g(a)\)가 소거되어 좌변이 나온다). 양변을 \(h\)로 나누면 (\(h \ne 0\)이므로 정당하다)
이다. 이제 \(h \to 0\)에서 우변의 각 인수를 본다. \(f\)가 \(a\)에서 미분가능하므로 정리 1.2에 의해 \(a\)에서 연속이고, 곧 \(\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\)이다. §1.4의 치환 \(x = a + h\)로 옮기면 \(\lim_{h\to0} f(a+h) = f(a)\)이다. 또 가정에 의해 \(\frac{g(a+h)-g(a)}{h} \to g'(a)\)이고 \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \to f'(a)\)이며, \(g(a)\)는 상수다. 곱의 극한 법칙과 합 법칙(§1.7)에 의해 우변의 극한이 존재하고 그 값은 \(f(a)g'(a) + g(a)f'(a)\)이다.
극한이 존재하므로 \(fg\)는 \(a\)에서 미분가능하고 \((fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)\)이다. \(\blacksquare\)
검산. \(f(x) = x\), \(g(x) = x^2\)이면 \(f'(a) = 1\), \(g'(a) = 2a\)이므로 공식은 \(1 \cdot a^2 + a \cdot 2a = 3a^2\)을 준다. \(fg(x) = x^3\)의 미분계수는 문제 8에서 \(3a^2\)이었으므로 일치한다.
복기. 이 증명에서 정리 1.2가 쓰이는 자리를 놓치기 쉽다. \(\lim_{h\to0} f(a+h) = f(a)\)는 저절로 성립하는 것이 아니라 \(f\)의 연속이며, 그 연속은 미분가능에서 나온다. 곧 정리 1.2가 없으면 곱의 미분 법칙을 증명할 수 없다 — 이번 주에 세운 정리가 곧바로 부품으로 재취업하는 사례다. 항 쪼개기의 선택은 하나가 아니다. \(f(a)g(a+h)\)를 더하고 빼면 \(g(a+h)\{f(a+h)-f(a)\} + f(a)\{g(a+h)-g(a)\}\)가 나오고 결론은 같다.
문제 17#
접근. 두 가지를 따로 다룬다. 연속은 \(|f(x)| \le |x|\)라는 부등식 하나로 끝나고, 미분 불가능은 차분몫이 \(\sin\frac1h\)으로 남아 하나의 값으로 모이지 않음을 보인다. 쓰는 사실은 문제에 딸린 상자의 두 가지뿐이다.
풀이.
연속. \(f(0) = 0\)이다. \(\varepsilon\)을 임의로 주어진 양수라 하고 \(\delta = \varepsilon\)으로 두자. \(|x - 0| < \delta\)인 \(x\)를 임의로 잡자. \(x = 0\)이면 \(|f(x) - f(0)| = 0 < \varepsilon\)이다. \(x \ne 0\)이면 \(|\sin\frac1x| \le 1\)이므로
이다. 따라서 1권 정의 47.2에 의해 \(f\)는 \(0\)에서 연속이다. \(\blacksquare\)
미분 불가능. \(h \ne 0\)일 때 차분몫은
이다(\(h \ne 0\)이므로 약분이 정당하다). 이 극한이 존재한다고 가정하고 그 값을 \(L\)이라 하자. 1권 정의 47.1에서 \(\varepsilon = 1\)을 잡으면 \(0 < |h| < \delta\)인 모든 \(h\)에 대해 \(\left|\sin\frac1h - L\right| < 1\)이 되는 \(\delta > 0\)이 존재해야 한다. 그런데 인정하고 쓰는 사실 ②에 의해, \(\frac1h\)가 아무리 커지는 범위에서도 \(\sin\frac1h = 1\)이 되는 \(h\)와 \(\sin\frac1h = -1\)이 되는 \(h\)가 각각 존재한다. 곧 \(0 < |h| < \delta\) 안에 차분몫의 값이 \(1\)인 \(h_1\)과 \(-1\)인 \(h_2\)가 있다. 그러면 \(|1 - L| < 1\)이고 \(|-1 - L| < 1\)이어야 하는데, 삼각부등식에 의해 \(2 = |1 - (-1)| \le |1 - L| + |L + 1| < 2\)가 되어 모순이다. 따라서 극한이 존재하지 않고 \(f\)는 \(0\)에서 미분 불가능하다. \(\blacksquare\)
복기. \(|x|\)와 이 함수는 “연속하나 미분 불가”의 두 종류를 보여 준다. \(|x|\)는 좌우에서 각각 하나의 값으로 가되 두 값이 다른 뾰족점이고, 이 함수는 어느 한쪽에서도 값이 정해지지 않는 진동이다. 증명의 마지막 모순은 두 경우가 똑같지만(문제 9와 대조해 보면 같은 세 줄이다), 그 모순을 만드는 두 \(h\)를 어디서 구했는지가 다르다 — 하나는 부호에서, 하나는 진동에서 나온다. 연속 증명에서 \(\delta = \varepsilon\)이 통하는 이유는 \(|\sin\frac1x| \le 1\)이 \(|f(x)|\)를 \(|x|\)로 눌러 주기 때문이며, 이것이 조임의 아이디어를 부등식 한 줄로 쓴 것이다(수열판은 1권 정리 46.3).
문제 18#
접근. C5주차의 다섯 걸음을 돌린다. 걸음 ①에서 명제 자체가 거짓임이 이미 문제 9에서 증명되었으므로, 이 답안은 반드시 어딘가 틀렸다. 어느 줄이 왜 틀렸는지 지목하는 것이 이 문항의 과제다.
풀이.
걸음 ① 명제 진위. 거짓이다. 문제 9에서 \(f(x) = |x|\)가 \(x = 0\)에서 미분 불가능함을 증명했다. 거짓 명제에 붙은 증명은 반드시 틀렸으므로, 남은 일은 결함의 위치를 찾는 것이다.
걸음 ② 논리. 첫 두 줄은 옳다 — 차분몫이 \(\frac{|h|}{h}\)이고, \(h > 0\)에서 \(1\), \(h < 0\)에서 \(-1\)이라는 계산은 정확하다. 결함은 셋째 줄 “평균해서 \(0\)이다”에 있다. 극한의 정의(정의 47.1)는 \(0 < |h| < \delta\)인 모든 \(h\)에서 차분몫이 한 수 \(L\)의 \(\varepsilon\) 이내에 있을 것을 요구한다. 좌우에서 얻은 두 값의 평균을 취하는 조작은 그 정의 어디에도 없으며, 정의가 요구하는 것은 두 값의 대표가 아니라 모든 값의 근접이다. 실제로 \(L = 0\)을 넣어 보면 \(\varepsilon = \frac12\)에 대해 \(|1 - 0| = 1 \ge \frac12\)이므로 조건이 곧바로 깨진다.
걸음 ③ 가정 사용. 소비할 가정이 없는 명제이므로 해당 없음이다.
걸음 ④ 양화사와 자격. 결함이 여기에도 걸린다. 답안은 \(h > 0\)인 경우와 \(h < 0\)인 경우를 각각 본 뒤 하나의 값을 만들어 냈는데, 정의의 \(\forall h\)는 경우별 값을 합성하라는 뜻이 아니라 모든 \(h\)가 같은 \(L\) 근처에 있어야 한다는 뜻이다.
걸음 ⑤ 전달. 마지막 줄 “따라서 미분가능하다”에서 \(f'(0)\)의 값을 명시하지 않았다. 다만 이는 부차적인 결함이다.
판정. 틀림. 결함이 있는 줄은 “평균해서 \(0\)이다”이며, 이유는 좌우에서 다른 값으로 가면 극한이 존재하지 않기 때문이다 — 평균은 극한의 정의에 없는 조작이다. 올바른 결론은 문제 9의 것, 곧 \(f\)는 \(0\)에서 미분 불가능이다.
복기. 이 답안이 그럴듯한 이유는 계산이 한 줄도 틀리지 않았기 때문이다. 오류는 계산이 아니라 정의에 없는 조작을 끼워 넣은 자리에 있다. 증명 평가에서 걸음 ②가 검사하는 것이 정확히 이것이며, “각 줄이 정의에서 따라오는가”라는 질문에 “평균”은 답할 근거가 없다.
문제 19#
접근. 차분몫 \(\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}\)의 분자에서 \(h\)를 꺼낼 수 없다. 제곱근의 차는 켤레를 곱해 유리화하면 제곱의 차가 되어 \(h\)가 드러난다. 켤레가 \(0\)이 아님을 확인하는 줄이 그 곱셈의 자격이다.
풀이. \(h \ne 0\)이고 \(h > -4\)라 하자(그래야 \(\sqrt{4+h}\)가 정의된다). \(\sqrt{4+h} \ge 0\)이므로 \(\sqrt{4+h} + 2 \ge 2 > 0\)이고, 따라서 분자와 분모에 \(\sqrt{4+h}+2\)를 곱해도 된다. 그러면
이고, \(h \ne 0\)이므로 분자와 분모를 \(h\)로 나눌 수 있어
이다. \(\sqrt{\phantom{x}}\)가 \(4\)에서 연속이므로(S6주차 문제 19가 그 \(\varepsilon\)-\(\delta\)를 세웠다) \(\lim_{h\to0}\sqrt{4+h} = 2\)이고, 따라서 분모는 \(4\)로 간다. \(4 \ne 0\)이므로 몫의 극한 법칙(§1.7)에 의해
이다. 극한이 존재하므로 \(f\)는 \(4\)에서 미분가능하고 \(f'(4) = \frac14\)이다. \(\blacksquare\)
검산. \(h = 0.01\)이면 \(\sqrt{4.01} = 2.00250\ldots\)이므로 차분몫은 \(\frac{1}{\sqrt{4.01}+2} = 0.2498\ldots\)로 \(0.25\)에 가깝다.
복기. 이 문제의 기술은 하나다: 분자에 제곱근의 차가 있으면 켤레를 곱한다. 문제 15의 “분자가 분수이면 통분한다”와 같은 자리의 기술이며, 둘 다 목적이 같다 — 분자에서 \(h\)를 인수로 드러내어 걸음 ③의 약분을 가능하게 하는 것. S6주차 문제 19가 같은 함수의 연속을 다뤘고, 이 문제가 그 미분판이다.
문제 20#
접근. (a)는 “강하다”를 정확히 정의하는 것부터 시작한다 — 한쪽이 다른 쪽을 함의하고 그 역은 성립하지 않을 때 그렇게 말한다. 두 방향 각각의 근거가 어느 결과인지 짚는 것이 답의 뼈대다. (b)는 정의 1.1을 다시 읽고, 그 문장에서 이번 주에 새로 만든 부분이 어디까지인지 표시해 보면 답이 나온다.
풀이. (예시 답안)
(a) 예제 2.3에서 미분가능이 연속을 함의함을 증명했다 — \(x \ne a\)에서 \(f(x) - f(a) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)\)로 쓰면 우변의 극한이 \(f'(a) \cdot 0 = 0\)이므로 \(f(x) \to f(a)\)이다. 반대로 문제 9에서 \(f(x) = |x|\)가 \(0\)에서 연속이면서 미분 불가능함을 증명했으므로 역은 거짓이고, 따라서 미분가능은 연속의 진부분 조건이다 (연속 \(\supsetneq\) 미분가능). 연속은 “값이 끊기지 않는다”만 요구하지만 미분가능은 그 위에 “차분몫이 하나의 값으로 모인다”, 곧 접선이 하나로 정해진다는 것까지 요구하므로, 매끄러움이 끊김 없음보다 강한 요구다.
(b) 미분계수는 할선의 기울기 \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)에 \(h \to 0\)의 극한을 씌운 값으로 정의되므로, 1권 45~47주차에서 세운 극한의 직접 응용이다 — 정의 1.1에서 이번 주가 새로 만든 것은 차분몫이라는 대상 식과 그 이름뿐이고, 판정 규칙은 1권 정의 47.1의 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 그대로다. 그래서 극한을 엄밀하게 만든 순간 미분은 그 위에 한 줄로 정의되며, 1권 9주차 문제 10과 47주차 문제 19가 “인정하고 쓴다”\(\cdot\)”대학 과목으로 이월”로 미뤄 둔 항목이 여기서 증명되는 명제가 된다.
복기. 채점 항목은 네 가지다 — ① (a)에서 “강하다”의 뜻을 함의와 역으로 정의했는가 ② (a)의 두 방향 각각에 이번 주의 구체적인 결과를 근거로 댔는가 ③ (b)에서 정의 1.1의 어느 부분이 새것이고 어느 부분이 물려받은 것인지 구분했는가 ④ (b)에서 갚은 항목을 1권의 자리로 지목했는가. 네 항목 모두 결론이 아니라 근거를 묻는다.
다음 주 예고 (C18): Chartrand 15.1~15.3 — 군론 I. 이번 주까지는 수와 함수를 다뤘고, 다음 주부터는 연산 자체를 대상으로 삼는다. 집합 하나와 이항연산 하나에 결합법칙\(\cdot\)항등원\(\cdot\)역원의 세 공리만 얹으면 정수의 덧셈, C11주차의 \(\mathbb{Z}_n\), 대칭 변환, 순열이 하나의 구조로 묶인다. S13주차의 유일성 증명 서식이 항등원과 역원의 유일성에서 곧바로 재취업하고, S19주차의 공리계 이야기가 실물로 등장한다. 원서 15.1~15.3을 통독하고 온다.