25주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#
예제 — 양방향 증명을 함께 만들기#
예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 한 뒤 완성된 산문을 본다. 예제 2.3은 설계부터 스스로 한다.
예제 2.1 — 방향마다 다른 기법#
명제. 정수 \(n\)에 대해, \(n\)이 짝수 \(\iff\) \(n^2\)이 짝수.
설계 — 쓰기 전에 정하는 것. iff 명제의 번역표는 두 층이다. 먼저 명제를 두 파트로 쪼개고, 파트마다 출발점(가정)과 도착점(결론)을 정의로 번역한다.
파트 |
출발점 (가정) |
도착점 (만들 것) |
기법 |
|---|---|---|---|
(\(\Rightarrow\)) |
\(n\)이 짝수 \(\to\) \(n = 2a\)인 정수 \(a\)가 존재 |
\(n^2 = 2 \times (\text{정수})\) 꼴 |
\(\underline{\quad(1)\quad}\) |
(\(\Leftarrow\)) |
\(n^2\)이 짝수 \(\to\) \(n^2 = 2m\)인 정수 \(m\)이 존재 |
\(n = 2 \times (\text{정수})\) 꼴 |
\(\underline{\quad(2)\quad}\) |
확인 10. 표의 (1)(2)를 채워 보자. 각 파트의 출발점을 보고 §1.4의 신호를
읽으면 된다.
답
(1) 직접 — 출발점 \(n = 2a\)가 곧바로 계산에 들어갈 등식이다. (2) 대우 — 출발점
\(n^2 = 2m\)에서 \(n\)을 꺼내려면 제곱근이 필요하고, 그것은 정수 세계 밖의 연산이다.
가정이 합성식일 때의 신호 그대로다(19주차). 한 명제 안에서 기법이 둘로 갈렸다.
1단계 — 첫째 파트. 이름표를 적고, 가정을 선언하고, 정의를 풀고, 도착점의 꼴로 계산한다. 1주차의 3단계 틀이 파트 안에서 그대로 돈다.
확인 11. (\(\Rightarrow\)) 파트를 완성해 보자.
“(\(\Rightarrow\)) \(n\)이 \(\underline{\quad}\)라 가정하자. 정의에 의해
\(n = \underline{\quad}\)인 정수 \(a\)가 존재한다. 그러면
\(n^2 = (2a)^2 = 2(\,\underline{\quad}\,)\)이고, \(\underline{\qquad}\)이므로
\(n^2\)은 짝수이다.”
답
“\(n\)이 짝수라 가정하자. 정의에 의해 \(n = 2a\)인 정수 \(a\)가 존재한다. 그러면
\(n^2 = (2a)^2 = 2(2a^2)\)이고, 정수의 곱은 정수이므로(근거 ②) \(2a^2\)은 정수이다.
따라서 \(n^2\)은 짝수이다.” 여기까지가 1주차 문제 9와 같은 내용이므로, 실전에서는
그 인용 한 줄로 대체해도 된다.
2단계 — 둘째 파트를 연다. (\(\Leftarrow\))는 대우로 간다. 갈아탄다는 선언과 대우 문장의 명시가 19주차의 서식이었다.
확인 12. “(\(\Leftarrow\)) 이 방향은 \(\underline{\quad}\)로 증명한다. 증명할
문장은 ‘\(n^2\)이 짝수이면 \(n\)이 짝수’이고, 그 대우는 ‘\(\underline{\qquad}\)’이다.”
— 빈칸을 채워 보자.
답
“대우로 증명한다. … 그 대우는 ‘\(n\)이 홀수이면 \(n^2\)이 홀수’이다.” 부정만 하지
않고 앞뒤까지 바꾸었는지 여기서 한 번 확인한다(확인 4).
3단계 — 대우의 몸통을 계산하고 회수한 뒤, 종합 선언으로 마감한다.
확인 13. 남은 문장들을 완성해 보자.
“\(n\)이 홀수라 하자. \(n = 2a + 1\)인 정수 \(a\)가 존재하고
\(n^2 = 4a^2 + 4a + 1 = 2(\,\underline{\quad}\,) + 1\)이므로 \(n^2\)은 홀수이다.
\(\underline{\qquad}\)이 증명되었으므로 이 방향도 성립한다.
\(\underline{\qquad}\)이 증명되었으므로 \(n\)이 짝수 \(\iff\) \(n^2\)이 짝수이다.”
답
\(n^2 = 2(2a^2 + 2a) + 1\)이고 \(2a^2 + 2a\)는 정수이므로 \(n^2\)은 홀수다. 첫 빈칸은
“대우” — 대우와 원명제가 동치라는 9주차의 사실이 회수의 근거다. 둘째 빈칸은
“양방향” — 정의 8.2로 두 조건문을 \(\iff\)로 조립하는 마감이고, 이 줄이 없으면
답안은 조건문 두 개를 남긴 채 끝난다(확인 3).
완성본. 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.
증명의 한 줄 |
왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
(\(\Rightarrow\)) \(n\)이 짝수라 가정하자. 정의에 의해 \(n = 2a\)인 정수 \(a\)가 존재한다. |
파트 이름표 + 가정 선언 + 정의 풀어쓰기(근거 ①). 출발점이 등식이므로 직접 증명이 통한다. |
\(n^2 = (2a)^2 = 2(2a^2)\)이고 \(2a^2\)은 정수이므로 \(n^2\)은 짝수이다. |
도착점 꼴 \(2 \times (\text{정수})\)로 변형(근거 ③) + 정수 확인(근거 ②). 첫째 조건문 완료. |
(\(\Leftarrow\)) 이 방향은 대우로 증명한다. 대우는 “\(n\)이 홀수이면 \(n^2\)이 홀수”이다. |
기법 전환 선언. 가정 \(n^2 = 2m\)이 \(n\)을 내주지 않으므로 우회로를 택했다(19주차 신호). |
\(n\)이 홀수라 하자. \(n = 2a+1\)인 정수 \(a\)가 존재하고 \(n^2 = 2(2a^2 + 2a) + 1\)이므로 \(n^2\)은 홀수이다. |
대우의 몸통 — 1주차 문제 11과 같은 계산이다. |
대우가 증명되었으므로 이 방향도 성립한다. |
대우 증명의 회수(9주차). 둘째 조건문 완료. |
양방향이 증명되었으므로 \(n\)이 짝수 \(\iff\) \(n^2\)이 짝수이다. \(\blacksquare\) |
종합 선언 — 정의 8.2로 두 조건문을 \(\iff\)로 조립(근거 ①). |
확인 14. \(n^2 = 144\)인 정수 \(n\)이 짝수임을 위 정리로 판정하려면 어느 방향을
쓰는가. \(n = 10\)일 때 \(n^2\)이 짝수임을 말하려면 어느 방향인가.
답
앞은 (\(\Leftarrow\)) 방향이고 뒤는 (\(\Rightarrow\)) 방향이다. 두 방향을 다
증명해 두었기 때문에 어느 쪽으로든 건너갈 수 있다 — 15주차에서 확인한 “정의는
전부 \(\iff\)”가 정의에 준 성질을, 이번 주 서식이 정의 아닌 명제 쌍에도 만들어 준다.
예제 2.2 — 합동과 나머지를 잇는 다리#
명제. 정수 \(a, b\)와 자연수 \(n\)에 대해, \(a \equiv b \pmod n\) \(\iff\) \(a\)와 \(b\)를 \(n\)으로 나눈 나머지가 같다.
20주차 §1.4에서 “나머지가 같다”는 관점을 연습장 전용 도구로 두고 그 정당화를 이번 주로 미뤄 두었다. 그 빚을 여기서 회수한다. 이번에는 설계만 함께 하고, 증명은 완성된 산문으로 본다.
확인 15. 번역표를 채워 보자. 두 파트의 출발점과 도착점을 정의 20.1
(\(a \equiv b \pmod n \iff n \mid (a-b)\))로 옮기면 된다.
(\(\Rightarrow\)) 출발점: \(\underline{\qquad}\) / 도착점: \(\underline{\qquad}\)
(\(\Leftarrow\)) 출발점: \(\underline{\qquad}\) / 도착점: \(\underline{\qquad}\)
답
(\(\Rightarrow\)) 출발점 \(n \mid (a - b)\) / 도착점 \(r = r'\) (두 나머지가 같다).
(\(\Leftarrow\)) 출발점 \(r = r'\) / 도착점 \(n \mid (a - b)\).
두 파트 모두 나머지 \(r, r'\)을 이름으로 부를 수 있어야 시작되므로, 파트를 열기
전에 나눗셈 정리로 \(a = nq + r\), \(b = nq' + r'\) (\(0 \le r, r' < n\))을 먼저
세워 둔다. 양쪽이 같은 설정을 쓰므로 설정은 파트 밖에 둔다.
(\(\Rightarrow\)) 파트에서 쓸 부품을 먼저 따로 세운다.
보조정리. 자연수 \(n\)과 정수 \(m\)에 대해, \(n \mid m\)이고 \(|m| < n\)이면 \(m = 0\)이다.
증명. \(n \mid m\)이므로 \(m = nc\)인 정수 \(c\)가 존재하고, 절댓값을 취하면 \(|m| = |n||c| = n|c|\)이다(\(|xy| = |x||y|\) — 17주차 문제 10, 근거 ④; \(n\)은 자연수이므로 \(|n| = n\)). 만약 \(c \neq 0\)이면 \(|c| \ge 1\)이므로(0이 아닌 정수의 절댓값은 1 이상 — 22주차 §1.9에서 인정하고 쓰는 사실, 증명은 33주차) \(|m| = n|c| \ge n\)이 되어 \(|m| < n\)과 모순이다. 따라서 \(c = 0\)이고 \(m = nc = 0\)이다. \(\blacksquare\)
증명. 나눗셈 정리에 의해 \(a = nq + r\), \(b = nq' + r'\) (\(0 \le r, r' < n\))인 정수 \(q, q', r, r'\)이 존재한다. 두 식을 빼면
이다.
(\(\Rightarrow\)) \(a \equiv b \pmod n\)이라 가정하자. 정의 20.1에 의해 \(n \mid (a-b)\)이고, 또 \(n \mid n(q - q')\)이다. 그러면 \(r - r' = (a - b) - n(q - q')\)은 \(n\)의 배수 두 개의 차이므로 \(n \mid (r - r')\)이다(2주차 문제 7). 한편 \(0 \le r < n\)이고 \(0 \le r' < n\)이므로 \(-n < r - r' < n\), 곧 \(|r - r'| < n\)이다. 보조정리에 의해 \(r - r' = 0\), 즉 \(r = r'\)이다.
(\(\Leftarrow\)) \(r = r'\)이라 가정하자. 그러면 위 등식에서 \(r - r' = 0\)이므로 \(a - b = n(q - q')\)이고, \(q - q'\)은 정수이므로 \(n \mid (a - b)\)이다. 정의 20.1에 의해 \(a \equiv b \pmod n\)이다.
양방향이 증명되었으므로 두 문장은 동치이다. \(\blacksquare\)
포인트. 20주차에서 “계산과 직관의 도구로만” 쓰기로 했던 나머지 관점이 정리로 승격되어 근거 ④에 등록됐다. (\(\Rightarrow\)) 안의 보조정리는 33주차에서 나눗셈 정리의 유일성을 증명할 때 그대로 재사용된다.
예제 2.3 — TFAE 순환 사슬#
명제. 정수 \(n\)에 대해 다음은 모두 동치이다. ① \(n\)은 짝수 ② \(n + 1\)은 홀수 ③ \(7n\)은 짝수.
이번에는 설계부터 스스로 한다. 정의 25.2에 따라 필요한 것은 조건문 3개이고, 정할 것은 순환의 순서다.
확인 16. ①\(\Rightarrow\)②, ②\(\Rightarrow\)③, ③\(\Rightarrow\)① 세 개를 증명한다고 하자. 각 화살표에서 출발점과
도착점을 정의로 번역하고, 어느 화살표에 대우가 필요한지 판정해 보자.
답
①\(\Rightarrow\)②: 출발점 \(n = 2a\), 도착점 \(n + 1 = 2 \times (\text{정수}) + 1\) — 직접.
②\(\Rightarrow\)③: 출발점 \(n + 1 = 2a + 1\)에서 \(n = 2a\)가 바로 나오므로 도착점
\(7n = 2 \times (\text{정수})\)까지 직접으로 간다.
③\(\Rightarrow\)①: 출발점 \(7n = 2m\)이 \(n\)을 내주지 않으므로 대우로 간다. 대우는 “\(n\)이
홀수이면 \(7n\)이 홀수”이고, 홀수끼리의 곱은 홀수이므로(1주차 문제 8) 한 줄이다.
증명. ①\(\Rightarrow\)②\(\Rightarrow\)③\(\Rightarrow\)①의 순환을 보인다.
(①\(\Rightarrow\)②) \(n\)이 짝수라 하자. \(n = 2a\)인 정수 \(a\)가 존재하므로 \(n + 1 = 2a + 1\)이고, \(a\)는 정수이므로 \(n + 1\)은 홀수이다.
(②\(\Rightarrow\)③) \(n + 1\)이 홀수라 하자. \(n + 1 = 2a + 1\)인 정수 \(a\)가 존재하므로 \(n = 2a\)이고, 따라서 \(7n = 14a = 2(7a)\)이다. \(7a\)는 정수이므로 \(7n\)은 짝수이다.
(③\(\Rightarrow\)①) 대우로 증명한다. 대우는 “\(n\)이 홀수이면 \(7n\)이 홀수”이다. \(n\)이 홀수라 하면 7도 홀수이므로 곱 \(7n\)은 홀수이다(1주차 문제 8). 대우가 증명되었으므로 ③\(\Rightarrow\)①도 성립한다.
순환이 완성되었으므로 ①, ②, ③은 모두 동치이다. \(\blacksquare\)
확인 17. 위 증명에서 ②\(\Rightarrow\)①은 직접 증명되지 않았다. 어떻게 복원되는가.
그리고 절약된 조건문은 몇 개인가.
답
②\(\Rightarrow\)③\(\Rightarrow\)①로 이어 붙인다(조건문의 추이성, 9주차 문제 9). 쌍마다 양방향으로 하면
\(2\binom{3}{2} = 6\)개가 필요한데 3개로 끝났으므로 3개를 절약했다. 절약의 대가는
순서 설계다 — 순환이 닫히지 않으면(예를 들어 ①\(\Rightarrow\)② 대신 ②\(\Rightarrow\)①을 증명하면)
아무 동치도 복원되지 않는다.
관찰 — 같은 뼈대#
세 예제가 겉보기에 다른 문제였는지 대응표로 확인해 보자.
예제 2.1 |
예제 2.2 |
예제 2.3 |
|
|---|---|---|---|
증명할 조건문의 수 |
2 |
\(\underline{\quad(1)\quad}\) |
\(\underline{\quad(2)\quad}\) |
(\(\Rightarrow\))의 기법 |
직접 |
직접 (보조정리 사용) |
\(\underline{\quad(3)\quad}\) |
(\(\Leftarrow\))의 기법 |
대우 |
\(\underline{\quad(4)\quad}\) |
해당 없음 (사슬로 대체) |
마감 문장 |
양방향 증명 선언 |
양방향 증명 선언 |
\(\underline{\quad(5)\quad}\) |
확인 18. 빈칸 (1)~(5)를 채우고, 세 예제에서 새로 배운 증명 기법이
무엇이었는지 답해 보자.
답
(1) 2 (2) 3 (3) 직접 2개(①\(\Rightarrow\)②, ②\(\Rightarrow\)③)와 대우 1개(③\(\Rightarrow\)①) — 사슬에는
(\(\Rightarrow\))/(\(\Leftarrow\)) 구분이 없으므로 세 화살표의 기법을 이 칸에
함께 적는다 (4) 직접 (5) 순환 완성 선언.
새로 배운 증명 기법은 없다. 각 파트 안에서 실제로 일한 것은 1주차의 직접
증명과 19주차의 대우뿐이고, 이번 주에 추가된 것은 그 기법들을 **몇 개, 어떤
순서로 배치하는가**라는 설계 층이다.
이번 주에 확인한 것
\(\iff\) 증명은 새 기법이 아니라 배치다. 명제를 조건문 여러 개로 쪼개고,
조건문마다 신호를 다시 읽어 기법을 고르고, 마지막에 종합 선언으로 묶는다.
쪼개는 방식이 둘(정의 25.1의 양방향, 정의 25.2의 순환 사슬)이고, 사슬을 한
줄로 잇는 변형 방식(§1.6)이 셋째 도구다.
빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#
예제에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.
훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸#
명제. 정수 \(n\)에 대해, \(n\)이 홀수 \(\iff\) \(n^2\)이 홀수.
증명. (\(\Rightarrow\)) \(n\)이 홀수라 가정하자. 이는 1주차 문제 \(\underline{\quad(1)\quad}\)에서 증명되었다: \(n = 2a+1\)이면 \(n^2 = 2(2a^2 + 2a) + 1\)이다. (\(\Leftarrow\)) \(\underline{\quad(2)\quad}\)로 증명한다. 그 대우는 “\(n\)이 \(\underline{\quad(3)\quad}\)이면 \(n^2\)은 \(\underline{\quad(4)\quad}\)이다”인데, 이는 1주차 문제 9에서 증명되었다. 양방향이 성립하므로 동치이다. \(\blacksquare\)
훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#
이번에는 구조 낱말과 근거 문장도 빈칸이다.
명제. 정수 \(n\)에 대해, \(n\)이 짝수 \(\iff\) \(n + 6\)이 짝수.
증명. (\(\Rightarrow\)) \(n\)이 짝수라 \(\underline{\quad(1)\quad}\)하자. \(\underline{\quad(2)\quad}\)에 의해 \(n = 2a\)인 정수 \(a\)가 존재한다. 그러면
이고 \(\underline{\quad(4)\quad}\)이므로 \(a + 3\)은 정수이다. 따라서 \(n + 6\)은 짝수이다. (\(\Leftarrow\)) \(n + 6\)이 짝수라 가정하자. 정의에 의해 \(n + 6 = 2b\)인 정수 \(b\)가 존재한다. 그러면 \(n = 2b - 6 = 2(\,\underline{\quad(5)\quad}\,)\)이고 \(b - 3\)은 정수이므로 \(n\)은 짝수이다. \(\underline{\quad(6)\quad}\)이 증명되었으므로 \(n\)이 짝수 \(\iff\) \(n + 6\)이 짝수이다. \(\blacksquare\)
훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#
명제. 정수 \(n\)에 대해 다음은 모두 동치이다. ① \(2 \mid n\) ② \(2 \mid n^2\) ③ \(2 \mid 5n\).
증명의 뼈대. ①\(\Rightarrow\)②\(\Rightarrow\)③\(\Rightarrow\)①의 순환으로 간다.
(①\(\Rightarrow\)②): \(\underline{\quad(1)\quad}\)
(②\(\Rightarrow\)③): \(\underline{\quad(2)\quad}\)
(③\(\Rightarrow\)①): \(\underline{\quad(3)\quad}\)
마감 문장: \(\underline{\quad(4)\quad}\)
(②\(\Rightarrow\)③에서는 먼저 \(n\)이 짝수임을 끌어내야 하고, 그 단계에 19주차 예제 2.1 (”\(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수”)이 필요하다. ③\(\Rightarrow\)①은 대우가 짧다.)
연습문제 (20문항)#
해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다 \(\to\) 그래도 안 되면 풀이를 읽는다.
이번 주의 채점 기준
답이 아니라 근거가 점수다. iff 답안에서는 세 곳을 본다 —
① (\(\Rightarrow\))와 (\(\Leftarrow\)) 두 파트가 모두 있는가
② 각 파트가 그 파트의 가정에서 출발해 그 파트의 결론에 도달하는가
③ 마지막에 종합 선언(또는 순환 완성 선언)이 있는가.
한 방향만 있는 답안은 절반이 아니라 미완성으로 본다 — §1.1에서 본 대로
나머지 방향이 거짓일 수도 있기 때문이다.
힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.
기본 ●○○#
1. [백지] iff 증명의 서식과 “최다 실수”(한 방향만 증명)를 쓰시오.
힌트
정의 25.1의 네 조각(파트 이름표, 두 파트 본문, 종합 선언)을 순서대로 적는다.
“최다 실수” 항목에는 그 실수가 왜 미완성인지를 §1.1의 사례로 한 줄 덧붙인다.
2. 다음 iff 명제를 두 조건문으로 분해하시오 (증명 불필요, 방향 표기 연습). (a) \(x + 2 = 5 \iff x = 3\) (b) \(n\)은 3의 배수 \(\iff\) \(n^2\)은 3의 배수 (c) \(A \subseteq B \iff A \cup B = B\)
힌트
기계적으로 하면 된다. 왼쪽을 \(P\), 오른쪽을 \(Q\)로 두고 “\(P \Rightarrow Q\)”와
“\(Q \Rightarrow P\)”를 그대로 적는다. 참\(\cdot\)거짓 판정은 이 문제의 요구가 아니다.
3. 빈칸 훈련을 백지에서 완성하시오.
힌트
§3 훈련 1의 명제만 보고 처음부터 쓴다. 두 방향 모두 1주차의 기증명 명제
인용으로 닫히는 조립형이다 — 어느 문제를 어느 방향에 붙일지가 요점이다.
4. 동치 변형 사슬로 증명하시오: 실수 \(x\)에 대해 \(3x - 6 = 0 \iff x = 2\). (각 단계가 왜 \(\iff\)인지 한 마디씩)
힌트
§1.6의 가역성 표를 옆에 놓는다. 단계마다 “무슨 연산으로 되돌리는가”를 한
마디로 적으면 그것이 \(\iff\)의 근거가 된다.
5. 예제 2.1을 백지에 재현하시오.
힌트
완성본 표의 여섯 줄을 순서대로 떠올린다. 잘 빠지는 줄은 셋째 줄(기법 전환
선언)과 마지막 줄(종합 선언)이다.
6. 다음 답안의 결함을 지적하시오.
“명제: \(n\)이 짝수 \(\iff\) \(3n\)이 짝수. 증명: \(n = 2k\)이면 \(3n = 2(3k)\)이므로 짝수이다. \(\blacksquare\)”
힌트
두 방향을 먼저 각각 적어 놓고, 답안의 문장이 어느 방향에 해당하는지 대조한다.
남은 방향은 어떤 문장이고, 어떤 기법으로 채울 수 있는가.
표준 ●●○#
7. 정수 \(x\)에 대해, \(x^3\)이 짝수 \(\iff\) \(x\)가 짝수임을 증명하시오. (부품: 1주차 문제 13, 19주차 문제 8)
힌트
두 방향 중 하나는 이미 증명돼 있다 — 19주차 문제 8이 “\(n^3\)이 짝수이면 \(n\)이
짝수”다. 남은 방향만 직접 증명으로 채우면 된다.
8. 정수 \(a, b\)에 대해, \(ab\)가 홀수 \(\iff\) \(a\)와 \(b\)가 모두 홀수임을 증명하시오. (부품: 1주차 문제 8, 19주차 문제 10)
힌트
양쪽 방향이 모두 기증명 명제다. 어느 것이 어느 방향인지 판별하는 것이
절반이다 — 19주차 문제 10과 1주차 문제 8의 결론을 각각 읽어 본다.
9. 정수 \(m, n\)에 대해, \(m + n\)이 짝수 \(\iff\) \(m\)과 \(n\)의 홀짝이 같음을 증명하시오. (한 방향은 케이스 — 19주차 문제 13)
힌트
“홀짝이 같다”는 그 자체가 두 경우의 “또는”이다. 그 문장이 가정 쪽에 오는
방향에서는 경우 나누기(17주차)가 되고, 결론 쪽에 오는 방향에서는 부정이
“홀짝이 다르다”가 되어 대우가 편해진다.
10. 집합 \(A, B\)에 대해, \(A \subseteq B \iff A \cup B = B\)임을 증명하시오. ((\(\Rightarrow\))는 5주차 문제 16; (\(\Leftarrow\))는 \(A \subseteq A \cup B\) 활용 — 8주차 문제 19의 계획 완성)
집합의 iff — 이번 주에 회수하는 예습
5주차와 6주차에서 집합 명제를 증명할 때 실제로는 이번 주 서식의 한 방향씩만
증명해 두었다. 문제 10과 11은 그 반쪽들을 짝지어 완성하는 문제다. 준비된
부품은 넷이다 — 5주차 문제 16(\(A \subseteq B\)이면 \(A \cup B = B\)),
5주차 문제 19(\(A \subseteq B\)이면 \(A \cap B = A\)),
5주차 문제 10(b)(\(A \subseteq A \cup B\)), 6주차 문제 18(\(A \cap B \subseteq B\)).
어느 부품이 어느 방향에 들어가는지를 먼저 배정하고 시작한다.
힌트
(\(\Leftarrow\))는 한 줄이다. 가정이 \(A \cup B = B\)라는 등식이므로, 이미 아는
포함 \(A \subseteq A \cup B\)의 오른쪽을 그 등식으로 바꿔 치면 된다.
11. 집합 \(A, B\)에 대해, \(A \subseteq B \iff A \cap B = A\)임을 증명하시오.
힌트
문제 10과 같은 구조다. (\(\Rightarrow\))는 5주차 문제 19, (\(\Leftarrow\))는
\(A \cap B \subseteq B\)(6주차 문제 18)의 왼쪽을 등식으로 바꿔 친다.
12. 정수 \(n\)에 대해, \(6 \mid n \iff 2 \mid n\) 그리고 \(3 \mid n\)임을 증명하시오. ((\(\Rightarrow\))는 2주차식 직접; (\(\Leftarrow\))는 20주차 문제 13)
힌트
(\(\Rightarrow\))의 결론이 “그리고”이므로 두 부분을 각각 마감한다(18주차 문제 18).
(\(\Leftarrow\))는 20주차 문제 13에서 이미 증명했으므로 인용 한 줄로 끝난다.
13. 실수 \(x\)에 대해, \(x^2 = x \iff x = 0\) 또는 \(x = 1\) — 동치 변형 사슬로 증명하고 각 단계의 가역성 근거를 붙이시오.
이 문제가 쓰는 사실 — 영인수 성질 (zero-product property)
실수 \(a, b\)에 대해 \(ab = 0 \iff a = 0\) 또는 \(b = 0\)이다.
(\(\Leftarrow\)) \(a = 0\)이면 \(ab = 0 \cdot b = 0\)이고, \(b = 0\)이어도 \(ab = a \cdot 0 = 0\)이다.
(\(\Rightarrow\)) \(ab = 0\)이라 하자. \(a = 0\)이면 결론이 이미 성립하므로 \(a \neq 0\)인
경우만 보면 된다. 그때는 역수 \(\frac{1}{a}\)가 존재하므로
\(b = 1 \cdot b = \left(\frac{1}{a} \cdot a\right) b = \frac{1}{a}(ab) = \frac{1}{a} \cdot 0 = 0\)이다.
어느 경우든 \(a = 0\) 또는 \(b = 0\)이다. \(\blacksquare\)
정수는 실수이므로 정수에 대해서도 그대로 성립한다 — 2주차 문제 20과 15주차에서
“지금은 인정하고 쓴다”로 미뤄 둔 사실이 여기서 회수된다.
힌트
사슬은 네 단계다. 각 단계 옆에 “무엇으로 되돌리는가”를 적되, 셋째 단계만은
되돌리기가 아니라 위 상자의 영인수 성질(그 자체가 iff)을 이름으로 인용한다.
14. 정수 \(n\)에 대해 TFAE를 순환 사슬로 증명하시오: ① \(n\)은 홀수 ② \(n^2\)은 홀수 ③ \(n + 2\)는 홀수.
힌트
화살표가 쉬운 쪽으로 순환을 짠다. ①\(\Rightarrow\)②는 1주차 문제 11 인용 한 줄, ②\(\Rightarrow\)③은
먼저 \(n\)이 홀수임을 끌어내야 하므로 19주차 문제 4가 필요하다. ③\(\Rightarrow\)①은
\(n = (n+2) - 2\)로 되돌리면 직접으로 끝난다.
도전 ●●●#
이 구간에서 인정하고 쓰는 사실
나눗셈 정리. 정수 \(a\)와 자연수 \(d\)에 대해 \(a = dq + r\), \(0 \le r < d\)인
정수 \(q, r\)이 유일하게 존재한다. 17주차에서 인정하고 쓰기로 한 사실이며,
증명은 33주차 최소원리에서 한다. 문제 15가 이 사실 위에 선다.
15. 예제 2.2(합동 \(\Longleftrightarrow\) 같은 나머지)를 보조정리(”\(n \mid m\), \(|m| < n\)이면 \(m = 0\)”) 포함하여 백지에 재현하시오.
힌트
재현의 순서는 네 덩어리다 — ① 나눗셈 정리로 \(a, b\)를 설정 ② 두 식을 빼서
\(a - b = n(q-q') + (r-r')\) ③ 보조정리 ④ 두 파트. 가장 자주 비는 곳은
\(|r - r'| < n\)의 근거(\(0 \le r, r' < n\)에서 나온다)다.
16. 실수 \(x, y \ge 0\)에 대해, \(x = y \iff x^2 = y^2\)임을 증명하시오. 그리고 부호 조건이 없으면 어느 방향이 무너지는지 반례로 보이시오. (부품: 19주차 문제 17)
힌트
한 방향은 대입 한 줄이고 다른 방향에 계산이 남는다. 19주차 문제 17
(”\(x, y \ge 0\)일 때 \(x \neq y\)이면 \(x^2 \neq y^2\)”)의 대우가 필요한 방향과
정확히 일치한다. 반례는 §1.1에서 \(x^2 = 4\)가 \(x\)의 부호를 되돌려 주지
못한 것과 같은 방식으로 만든다.
17. 정수 \(a, b\)에 대해, \(a \equiv b \pmod 2 \iff a + b\)가 짝수임을 증명하시오. (힌트: \(a - b\)와 \(a + b\)의 홀짝이 항상 같음 — \((a+b) - (a-b) = 2b\))
힌트
정의 20.1로 왼쪽을 “\(2 \mid (a - b)\)”로 바꾸면 명제는 “\(a - b\)가 짝수 \(\iff\)
\(a + b\)가 짝수”가 된다. 두 수의 차가 \(2b\)로 짝수라는 사실 하나가 양방향을
동시에 처리한다.
18. TFAE 서식의 효율: 명제 5개가 동치임을 보이는 데 필요한 조건문 증명의 최소 개수는? 쌍마다 양방향으로 하면 몇 개인가? 순환 사슬이 충분한 근거(임의의 \(P_i \Rightarrow P_j\)가 복원되는 이유)를 두 문장으로 쓰시오.
힌트
쌍의 개수는 13주차의 \(\binom{5}{2}\)다. 복원 근거에는 “사슬을 따라 이어 붙인다”와
“조건문은 추이적이다”(9주차 문제 9) 두 가지를 모두 적는다.
19. (무연근의 정체) 방정식 \(\sqrt{x} = x - 2\)를 다음 절차로 분석하시오. (a) 양변을 제곱해 \(x^2 - 5x + 4 = 0\)을 얻고 후보 \(x = 1, 4\)를 구하시오. (b) 각 후보를 원래 방정식에 대입해 무연근을 가려내시오. (c) “제곱” 단계가 \(\iff\)가 아니라 \(\Rightarrow\)인 이유와, 그것이 왜 “해가 아닌 후보”를 만들어내는지 두 문장으로 설명하시오.
힌트
(c)는 해집합의 언어로 적는 것이 가장 짧다 — \(\Rightarrow\)만 보존하는 변형은
해집합을 넓히고, 넓어진 부분이 곧 무연근이다. 확인 8에서 \(x = 1\)이 어느
방정식의 해였는지가 그 근거다.
20. (서술) (a) “정의는 전부 iff”(15주차)라는 사실과 이번 주 서식의 관계를 한 문장으로. (b) iff 증명에서 두 방향의 난이도가 크게 다를 수 있는 이유를, 예제 2.1을 예로 들어 두 문장 이내로 쓰시오.
백지 재현 — 복습 프로토콜#
권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.
1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용. 정의 25.1의 서식과 번역표 양식(예제 2.1의 설계 표)만 펴 놓고 예제 2.1을 처음부터 끝까지 적는다. 본문과 해설은 보지 않는다.
2차 시도 (5일차) — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다:
iff 서식(파트 이름표 + 두 파트 본문 + 종합 선언)을 백지에 썼다.
예제 2.1(방향마다 다른 기법)을 처음부터 끝까지 재현했다.
예제 2.2(합동 \(\Longleftrightarrow\) 같은 나머지)를 보조정리 포함해 재현했다.
TFAE 순환 사슬의 원리와 효율(문제 18)을 설명했다.
동치 변형 사슬에서 “제곱의 함정”(무연근)을 설명했다.
“한 방향만 증명” 오류(문제 6)를 진단하고 빠진 방향을 실제로 채웠다.
(\(\Leftarrow\)) 파트를 대우로 바꿀 때의 뒤집기를 정확히 했다(확인 4).
막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.
막힌 지점 |
처방 |
|---|---|
어느 방향부터 써야 할지 모르겠다 |
예제 2.1의 설계 표 — 파트마다 출발점과 도착점을 먼저 번역한다 |
두 파트 중 한쪽에서 계산이 나아가지 않는다 |
§1.4 — 그 파트의 가정만 보고 신호를 다시 읽는다(합성식이면 대우) |
대우 문장이 원명제와 같아 보인다 |
확인 4 — 부정만 했는지, 앞뒤까지 바꿨는지 점검한다 |
마지막 줄을 무엇으로 닫을지 모르겠다 |
확인 3 — 종합 선언은 정의 8.2의 인용이다 |
TFAE에서 어느 순서로 돌릴지 모르겠다 |
예제 2.3의 확인 16 — 화살표별 난이도를 먼저 적어 본다 |
동치 사슬 어디서 \(\iff\)가 깨졌는지 모르겠다 |
§1.6의 가역성 표 — 단계마다 되돌리는 연산을 적어 본다 |
하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.
해설#
각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.
빈칸 사다리 — 훈련 1#
(1) 11 (2) 대우 (3) 짝수 (4) 짝수
※ (3)(4)가 둘 다 “짝수”인 것이 뒤집기의 결과다. (\(\Leftarrow\)) 파트는 “\(n^2\)이 홀수이면 \(n\)이 홀수”이므로 대우는 부정하고 앞뒤를 바꾼 “\(n\)이 짝수이면 \(n^2\)이 짝수” — 1주차 문제 9다. “\(n^2\)이 짝수이면 \(n\)이 짝수”로 적으면 증명해야 할 것을 그대로 다시 적은 셈이라 진전이 없다.
빈칸 사다리 — 훈련 2#
(1) 가정 (2) 짝수의 정의 (근거 ①) (3) \(a + 3\) (4) 정수의 합은 정수 (근거 ②) (5) \(b - 3\) (6) 양방향
※ 두 방향 모두 직접 증명으로 닫힌다 — 가정이 양쪽 다 “짝수”라는 정의 하나로 풀리는 꼴이기 때문이다. 상수 6이 짝수라는 점이 양방향을 동시에 작동시킨다. 6이 홀수였다면 명제 자체가 거짓이 된다.
빈칸 사다리 — 훈련 3#
(1) \(2 \mid n\)이라 하자. \(n = 2a\)인 정수 \(a\)가 존재하므로 \(n^2 = 4a^2 = 2(2a^2)\)이고 \(2a^2\)은 정수이므로 \(2 \mid n^2\)이다. (2) \(2 \mid n^2\)이라 하자. 19주차 예제 2.1(”\(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수”, 그 대우가 1주차 문제 11 “\(n\)이 홀수이면 \(n^2\)이 홀수”)에 의해 \(n\)은 짝수이므로 \(n = 2a\)인 정수 \(a\)가 존재한다. 그러면 \(5n = 10a = 2(5a)\)이고 \(5a\)는 정수이므로 \(2 \mid 5n\)이다. (3) 대우로 증명한다. 대우는 “\(n\)이 홀수이면 \(5n\)이 홀수”이다. \(n\)이 홀수이면 5도 홀수이므로 곱 \(5n\)은 홀수이다(1주차 문제 8). 대우가 증명되었으므로 ③\(\Rightarrow\)①도 성립한다. (4) 순환이 완성되었으므로 ①, ②, ③은 모두 동치이다. \(\blacksquare\)
※ 이 방향으로 돌린 이유는 ③\(\Rightarrow\)①의 대우가 한 줄로 끝나기 때문이다. 반대로 돌려도 ②\(\Rightarrow\)①에 대우가 필요하므로 전체 노력은 비슷하다 — 사슬 설계에 유일한 정답은 없고, 화살표별 난이도를 먼저 적어 보는 습관이 요점이다.
문제 1#
접근. 정의 25.1의 서식을 조각 단위로 재현한다. 서식만 적고 끝내지 말고, “최다 실수”가 왜 미완성인지까지 적어야 두 요구가 채워진다.
풀이. 서식은 다음과 같다.
명제. \(P \iff Q\).
증명. (\(\Rightarrow\)) \(P\)라 가정하자. … 따라서 \(Q\)이다.
(\(\Leftarrow\)) \(Q\)라 가정하자. … 따라서 \(P\)이다.
양방향이 증명되었으므로 \(P \iff Q\)이다. \(\blacksquare\)
최다 실수는 한 방향만 증명하고 \(\iff\)를 선언하는 것이다. \(\iff\)는 정의 8.2에 의해 두 조건문의 \(\land\)이므로, 한 방향만으로는 명제의 절반이 아니라 아무것도 확정되지 않는다 — 나머지 방향이 거짓일 수 있기 때문이다. §1.1의 “\(x = 2 \iff x^2 = 4\)”가 그 사례로, (\(\Rightarrow\))만 증명한 답안이 거짓 명제를 결론으로 내놓는다.
복기. 서식은 네 조각(이름표 \(\cdot\) 첫 파트 \(\cdot\) 둘째 파트 \(\cdot\) 종합 선언)의 개수로 외운다. 답안을 마친 뒤 조각을 세어 보는 것이 가장 빠른 자가 채점이다.
문제 2#
접근. 판정이나 증명은 요구되지 않았다. 왼쪽을 \(P\), 오른쪽을 \(Q\)로 두고 “\(P \Rightarrow Q\)”와 “\(Q \Rightarrow P\)”를 기계적으로 적는다. 이 분해가 모든 iff 문제의 첫 동작이다.
풀이. (a) (\(\Rightarrow\)) “\(x + 2 = 5\)이면 \(x = 3\)이다” / (\(\Leftarrow\)) “\(x = 3\)이면 \(x + 2 = 5\)이다”. (b) (\(\Rightarrow\)) “\(n\)이 3의 배수이면 \(n^2\)이 3의 배수이다”, 곧 “\(3 \mid n \Rightarrow 3 \mid n^2\)” / (\(\Leftarrow\)) “\(n^2\)이 3의 배수이면 \(n\)이 3의 배수이다”, 곧 “\(3 \mid n^2 \Rightarrow 3 \mid n\)”. (c) (\(\Rightarrow\)) “\(A \subseteq B\)이면 \(A \cup B = B\)이다” / (\(\Leftarrow\)) “\(A \cup B = B\)이면 \(A \subseteq B\)이다”.
복기. (b)의 두 방향은 난이도가 크게 다르다 — (\(\Rightarrow\))는 \(n = 3k\)를 제곱하면 끝나지만 (\(\Leftarrow\))는 19주차 예제 2.2의 대우 논증이 필요하다. 분해만 해 놓아도 어느 쪽에 계산이 남는지 보인다. (c)는 문제 10에서 증명한다.
문제 3#
접근. 두 방향 모두 1주차의 기증명 명제 인용으로 닫히는 조립형이다. 새로 계산할 것은 없고 배정이 전부이며, (\(\Leftarrow\))의 대우에서 앞뒤를 바꾸는지가 채점 포인트다.
풀이. (\(\Rightarrow\)) \(n\)이 홀수라 가정하자. \(n = 2a + 1\)인 정수 \(a\)가 존재하고 \(n^2 = 4a^2 + 4a + 1 = 2(2a^2 + 2a) + 1\)이며 \(2a^2 + 2a\)는 정수이므로 \(n^2\)은 홀수이다 (1주차 문제 11). (\(\Leftarrow\)) 대우로 증명한다. 증명할 문장은 “\(n^2\)이 홀수이면 \(n\)이 홀수”이고 그 대우는 “\(n\)이 짝수이면 \(n^2\)이 짝수”이다. \(n = 2a\)이면 \(n^2 = 2(2a^2)\)이고 \(2a^2\)은 정수이므로 \(n^2\)은 짝수이다 (1주차 문제 9). 대우가 증명되었으므로 이 방향도 성립한다. 양방향이 증명되었으므로 \(n\)이 홀수 \(\iff\) \(n^2\)이 홀수이다. \(\blacksquare\)
복기. 인용으로 끝나는 방향이라도 “그 문장이 곧 이 방향이다”라는 연결 문장은 적어야 한다. 인용만 던져 놓으면 읽는 쪽이 방향을 대조해야 한다.
문제 4#
접근. 각 단계에 “무슨 연산으로 되돌리는가”를 붙이면 그것이 \(\iff\)의 근거가 된다(§1.6). 두 단계는 이항과 0이 아닌 수로 나누기이며, 둘 다 되돌리는 연산이 무조건 존재한다.
풀이.
첫째 \(\iff\): 양변에 6을 더했다. 양변에서 6을 빼면 되돌아오므로 가역이고, 두 방정식의 해집합이 같다. 둘째 \(\iff\): 양변을 \(3\)으로 나눴다. \(3 \neq 0\)이므로 나눗셈이 가능하고, 양변에 3을 곱하면 되돌아오므로 가역이다. 두 단계가 모두 \(\iff\)이므로 사슬 전체가 \(3x - 6 = 0 \iff x = 2\)를 준다. \(\blacksquare\)
검산. \(x = 2\)를 원식에 넣으면 \(3 \cdot 2 - 6 = 0\)으로 성립한다. 사슬이 전부 \(\iff\)이므로 다른 해가 없다는 것까지 함께 보장된다 — 대입 검증이 확인 절차일 뿐이고 필수 단계가 아니라는 점이 문제 19와의 차이다.
복기. 나누는 수가 문자일 때는 이 문장이 그대로 통하지 않는다. “0이 아닌 수로 나눈다”의 “0이 아닌”이 §1.6 표의 조건 칸이고, 확인 없이 문자로 나누면 사슬이 끊긴다.
문제 5#
접근. 예제 2.1의 완성본 여섯 줄을 순서대로 복원한다. 자주 비는 줄은 셋째 줄(기법 전환 선언)과 마지막 줄(종합 선언)이다.
풀이. (\(\Rightarrow\)) \(n\)이 짝수라 가정하자. 정의에 의해 \(n = 2a\)인 정수 \(a\)가 존재한다. 그러면 \(n^2 = (2a)^2 = 2(2a^2)\)이고 \(2a^2\)은 정수이므로 \(n^2\)은 짝수이다. (\(\Leftarrow\)) 이 방향은 대우로 증명한다. 대우는 “\(n\)이 홀수이면 \(n^2\)이 홀수”이다. \(n\)이 홀수라 하면 \(n = 2a + 1\)인 정수 \(a\)가 존재하고 \(n^2 = 2(2a^2 + 2a) + 1\)이므로 \(n^2\)은 홀수이다. 대우가 증명되었으므로 이 방향도 성립한다. 양방향이 증명되었으므로 \(n\)이 짝수 \(\iff\) \(n^2\)이 짝수이다. \(\blacksquare\)
복기. 자가 채점표는 세 줄이다 — 두 파트가 다 있는가, (\(\Leftarrow\))의 대우가 앞뒤까지 뒤집혔는가, 종합 선언이 있는가. §4 채점 기준 상자의 ①②③과 같다.
문제 6#
접근. 두 방향을 먼저 각각 적어 놓고 답안의 문장이 어느 방향인지 대조한다. 그러면 비어 있는 방향이 곧바로 드러난다.
풀이. 두 방향은 (\(\Rightarrow\)) “\(n\)이 짝수이면 \(3n\)이 짝수”, (\(\Leftarrow\)) “\(3n\)이 짝수이면 \(n\)이 짝수”이다. 답안의 “\(n = 2k\)이면 \(3n = 2(3k)\)”는 가정이 “\(n\)이 짝수”이므로 (\(\Rightarrow\)) 방향만 증명한 것이다. (\(\Leftarrow\))는 전혀 다루어지지 않았고 종합 선언도 없으므로 \(\iff\)는 미완성이다. 빠진 방향을 채우면 다음과 같다. (\(\Leftarrow\)) 대우로 증명한다. 대우는 “\(n\)이 홀수이면 \(3n\)이 홀수”이다. \(n\)이 홀수이면 3도 홀수이므로 곱 \(3n\)은 홀수이다 (1주차 문제 8). 대우가 증명되었으므로 이 방향도 성립한다. 이제 양방향이 증명되었으므로 \(n\)이 짝수 \(\iff\) \(3n\)이 짝수이다. \(\blacksquare\)
복기. 이 명제는 실제로 참이므로 결론만 보면 답안이 옳아 보인다 — \(\iff\) 답안의 결함은 결론이 아니라 덮인 방향의 수를 세어야 드러난다. §1.1의 \(x = 2 \iff x^2 = 4\)는 같은 구조가 거짓 명제까지 통과시킨 사례였다.
문제 7#
접근. (\(\Rightarrow\))는 19주차 문제 8이 그대로 그 문장이다. 남은 (\(\Leftarrow\))는 가정 “\(x\)가 짝수”가 등식으로 풀리므로 직접으로 간다. 인용으로 끝나는 방향과 계산하는 방향이 나뉘는 전형적인 조립형이다.
풀이. (\(\Rightarrow\)) \(x^3\)이 짝수라 가정하자. 19주차 문제 8(”\(n^3\)이 짝수이면 \(n\)이 짝수”)에 의해 \(x\)는 짝수이다. (그 문제의 대우 “\(x\)가 홀수이면 \(x^3\)이 홀수”가 1주차 문제 13이다.) (\(\Leftarrow\)) \(x\)가 짝수라 가정하자. 정의에 의해 \(x = 2a\)인 정수 \(a\)가 존재하고 \(x^3 = (2a)^3 = 8a^3 = 2(4a^3)\)이다. \(4a^3\)은 정수이므로 \(x^3\)은 짝수이다. 양방향이 증명되었으므로 \(x^3\)이 짝수 \(\iff\) \(x\)가 짝수이다. \(\blacksquare\)
복기. 세제곱이든 제곱이든 “\(x^k\)의 홀짝은 \(x\)의 홀짝과 같다”가 되풀이되고, 이유도 매번 같다 — 한 방향은 정의 전개로 풀리고 반대 방향은 가정이 합성식이라 대우가 필요하다. 문제 14의 TFAE도 같은 구조 위에 선다.
문제 8#
접근. 양쪽이 모두 기증명 명제다. 19주차 문제 10의 결론이 “\(x\)와 \(y\)가 모두 홀수”이므로 그것이 (\(\Rightarrow\))이고, 1주차 문제 8의 결론이 “\(ab\)가 홀수”이므로 그것이 (\(\Leftarrow\))다. 배정이 절반이다.
풀이. (\(\Rightarrow\)) \(ab\)가 홀수라 가정하자. 19주차 문제 10(”\(xy\)가 홀수이면 \(x\)와 \(y\)가 모두 홀수”)에 의해 \(a\)와 \(b\)는 모두 홀수이다. (\(\Leftarrow\)) \(a\)와 \(b\)가 모두 홀수라 가정하자. \(a = 2s+1\), \(b = 2t+1\)인 정수 \(s, t\)가 존재하고 \(ab = 4st + 2s + 2t + 1 = 2(2st + s + t) + 1\)이며 \(2st + s + t\)는 정수이므로 \(ab\)는 홀수이다 (1주차 문제 8). 양방향이 증명되었으므로 \(ab\)가 홀수 \(\iff\) \(a\)와 \(b\)가 모두 홀수이다. \(\blacksquare\)
복기. (\(\Rightarrow\))의 결론이 “그리고”이고 (\(\Leftarrow\))의 가정이 “그리고”다. 결론 쪽의 “그리고”는 두 부분을 각각 증명해야 하고(18주차 문제 18), 가정 쪽의 “그리고”는 두 정보를 다 받아 쓸 수 있다 — 같은 낱말이 위치에 따라 다르게 작동한다는 5주차 §1.3 방향 표의 내용이다.
문제 9#
접근. “홀짝이 같다”는 그 자체가 “또는”이다. 그 문장이 가정 쪽에 오는 (\(\Leftarrow\))에서는 경우 나누기가 되고(19주차 문제 13의 대우 몸통이 그것이다), 결론 쪽에 오는 (\(\Rightarrow\))에서는 부정이 “홀짝이 다르다”가 되어 대우가 짧아진다.
풀이. (\(\Leftarrow\)) \(m\)과 \(n\)의 홀짝이 같다고 가정하고 두 경우로 나눈다. 경우 1 — 둘 다 짝수. \(m = 2s\), \(n = 2t\)인 정수 \(s, t\)가 존재하고 \(m + n = 2(s + t)\)이며 \(s + t\)는 정수이므로 \(m + n\)은 짝수이다. 경우 2 — 둘 다 홀수. \(m = 2s+1\), \(n = 2t+1\)인 정수 \(s, t\)가 존재하고 \(m + n = 2s + 2t + 2 = 2(s + t + 1)\)이며 \(s+t+1\)은 정수이므로 \(m + n\)은 짝수이다. 두 경우가 “홀짝이 같다”의 전부를 덮으므로 어느 경우든 \(m + n\)은 짝수이다. (\(\Rightarrow\)) 대우로 증명한다. 대우는 “\(m\)과 \(n\)의 홀짝이 다르면 \(m + n\)이 홀수”이다. 홀짝이 다르므로 하나는 짝수, 다른 하나는 홀수다. \(m\)이 짝수이고 \(n\)이 홀수인 경우 \(m = 2s\), \(n = 2t+1\)인 정수 \(s, t\)가 존재하고 \(m + n = 2(s+t) + 1\)이므로 홀수이다. 반대 경우는 \(m\)과 \(n\)의 역할만 바뀌고 덧셈이 교환적이므로 같은 계산이 그대로 성립한다. 대우가 증명되었으므로 이 방향도 성립한다. 양방향이 증명되었으므로 \(m + n\)이 짝수 \(\iff\) 홀짝이 같다. \(\blacksquare\)
복기. 한 iff 안에 케이스와 대우가 함께 들어왔다 — 방향마다 신호를 다시 읽으면 기법이 자연히 갈린다는 §1.4가 두 겹으로 나타난 사례다. 이 결과는 문제 17에서 부품으로 다시 쓰인다.
문제 10#
접근. (\(\Rightarrow\))는 5주차 문제 16이 그대로 그 문장이다. (\(\Leftarrow\))는 가정이 등식이므로, 항상 성립하는 포함 \(A \subseteq A \cup B\)의 오른쪽을 그 등식으로 바꿔 치면 한 줄로 끝난다.
풀이. (\(\Rightarrow\)) \(A \subseteq B\)라 가정하고 두 포함을 각각 보인다. \(x \in A \cup B\)이면 \(x \in A\) 또는 \(x \in B\)인데, \(x \in A\)인 경우 가정에 의해 \(x \in B\)이므로 어느 경우든 \(x \in B\)이다 — 따라서 \(A \cup B \subseteq B\)이다. 역으로 \(x \in B\)이면 합집합의 정의에 의해 \(x \in A \cup B\)이므로 \(B \subseteq A \cup B\)이다. 두 포함이 성립하므로 \(A \cup B = B\)이다 (5주차 문제 16). (\(\Leftarrow\)) \(A \cup B = B\)라 가정하자. 5주차 문제 10(b)에 의해 언제나 \(A \subseteq A \cup B\)이고, 가정에서 \(A \cup B = B\)이므로 \(A \subseteq B\)이다. 양방향이 증명되었으므로 \(A \subseteq B \iff A \cup B = B\)이다. \(\blacksquare\)
복기. “부분집합”이라는 관계가 “합집합이 무엇인가”라는 등식으로 번역되는 iff이고, 27주차의 집합 등식 증명이 이런 번역을 대량으로 쓴다. 8주차 문제 19(b)에서 필요충분 관계로 판정만 했던 동치를 여기서 서식에 맞춘 증명으로 완성한 것이다.
문제 11#
접근. 문제 10과 같은 구조다. (\(\Rightarrow\))는 5주차 문제 19가 그 문장이고, (\(\Leftarrow\))는 항상 성립하는 포함 \(A \cap B \subseteq B\)(6주차 문제 18)의 왼쪽을 가정의 등식으로 바꿔 친다.
풀이. (\(\Rightarrow\)) \(A \subseteq B\)라 가정하고 두 포함을 각각 보인다. \(A \cap B \subseteq A\)는 언제나 성립한다(5주차 예제 2.3). 역으로 \(x \in A\)이면 가정에 의해 \(x \in B\)이므로 \(x \in A\)이고 \(x \in B\), 곧 \(x \in A \cap B\)이다 — 따라서 \(A \subseteq A \cap B\)이다. 두 포함이 성립하므로 \(A \cap B = A\)이다 (5주차 문제 19). (\(\Leftarrow\)) \(A \cap B = A\)라 가정하자. 6주차 문제 18에 의해 언제나 \(A \cap B \subseteq B\)이고, 가정에서 \(A \cap B = A\)이므로 \(A \subseteq B\)이다. 양방향이 증명되었으므로 \(A \subseteq B \iff A \cap B = A\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 문제 10과 11을 나란히 놓으면 \(A \subseteq B\)의 세 표현(\(A \cup B = B\), \(A \cap B = A\), 원래의 포함)이 모두 동치임이 보인다 — 세 명제의 TFAE로 묶으면 순환 사슬 3개로 충분하다(정의 25.2).
문제 12#
접근. (\(\Rightarrow\))의 결론이 “그리고”이므로 두 부분을 각각 마감한다. (\(\Leftarrow\))는 20주차 문제 13에서 이미 증명한 명제이므로 인용으로 닫힌다.
풀이. (\(\Rightarrow\)) \(6 \mid n\)이라 가정하자. 정의 2.1에 의해 \(n = 6k\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그러면 \(n = 2(3k)\)이고 \(3k\)는 정수이므로 \(2 \mid n\)이다. 또한 \(n = 3(2k)\)이고 \(2k\)는 정수이므로 \(3 \mid n\)이다. 따라서 \(2 \mid n\)이고 \(3 \mid n\)이다. (\(\Leftarrow\)) \(2 \mid n\)이고 \(3 \mid n\)이라 가정하자. \(3 \mid n\)에서 \(n = 3k\)인 정수 \(k\)가 존재하고, \(n\)이 짝수이므로 \(3k\)가 짝수다. 만약 \(k\)가 홀수이면 홀수 3과의 곱 \(3k\)가 홀수가 되어(1주차 문제 8) 모순이므로 \(k\)는 짝수이고 \(k = 2l\)인 정수 \(l\)이 존재한다. 그러면 \(n = 3(2l) = 6l\)이므로 \(6 \mid n\)이다 (20주차 문제 13). 양방향이 증명되었으므로 \(6 \mid n \iff 2 \mid n\) 그리고 \(3 \mid n\)이다. \(\blacksquare\)
복기. (\(\Leftarrow\))에 계산이 몰리는 데는 이유가 있다 — 2와 3이 서로소이기 때문이며, 4와 6처럼 서로소가 아닌 쌍에서는 무너진다(\(n = 12\)는 4와 6의 배수이지만 24의 배수가 아니다). 이 결과는 27주차 문제 11과 36주차 문제 16(b)의 부품이다.
문제 13#
접근. 사슬 네 단계 각각에 근거를 붙인다. 첫째\(\cdot\)넷째는 이항(가역), 둘째는 인수분해(같은 식의 다른 표기), 셋째는 영인수 성질이다. 셋째만 되돌리기가 아니라 정리 인용이라는 점이 핵심이다.
풀이.
첫째 단계: 양변에서 \(x\)를 뺐고, 양변에 \(x\)를 더하면 되돌아오므로 가역이다. 둘째 단계: 인수분해는 같은 식의 다른 표기이므로 두 방정식은 글자만 다르고 동일하다. 셋째 단계: 영인수 성질(문제 13에 딸린 상자)이며, 이 성질 자체가 iff이므로 양방향이 함께 확보된다 — 곱이 0이면 인수 중 하나가 0이라는 부분이 (\(\Rightarrow\)), 인수 중 하나가 0이면 곱이 0이라는 부분이 (\(\Leftarrow\))다. 넷째 단계: 둘째 조건의 양변에 1을 더했고, 1을 빼면 되돌아오므로 가역이다. 네 단계가 모두 \(\iff\)이므로 사슬 전체가 \(x^2 = x \iff x = 0\) 또는 \(x = 1\)을 준다. \(\blacksquare\)
검산. \(x = 0\)이면 \(0 = 0\), \(x = 1\)이면 \(1 = 1\)로 원식이 성립하고, 사슬이 전부 \(\iff\)이므로 이 둘 외의 해는 없다.
복기. “양변을 \(x\)로 나누면 \(x = 1\)”이라고 적으면 해 \(x = 0\)이 사라진다 — \(x\)가 0일 수 있어 그 나눗셈이 가역이 아니기 때문이다(§1.6의 넷째 행). 해를 잃는 변형과 해를 더하는 변형(문제 19의 제곱)이 각각 \(\Leftarrow\)만, \(\Rightarrow\)만 보존하는 변형이다.
문제 14#
접근. 화살표별 난이도를 먼저 적고 순환을 짠다. ①\(\Rightarrow\)②는 1주차 문제 11 인용 한 줄, ②\(\Rightarrow\)③은 먼저 \(n\)이 홀수임을 끌어내야 하므로 19주차 문제 4가 필요하고, ③\(\Rightarrow\)①은 \(n = (n+2) - 2\)로 되돌리면 직접으로 끝난다.
풀이. ①\(\Rightarrow\)②\(\Rightarrow\)③\(\Rightarrow\)①의 순환을 보인다. (①\(\Rightarrow\)②) \(n\)이 홀수라 하자. \(n = 2k+1\)인 정수 \(k\)가 존재하고 \(n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\)이며 \(2k^2 + 2k\)는 정수이므로 \(n^2\)은 홀수이다 (1주차 문제 11). (②\(\Rightarrow\)③) \(n^2\)이 홀수라 하자. 19주차 문제 4(”\(n^2\)이 홀수이면 \(n\)이 홀수”)에 의해 \(n\)은 홀수이므로 \(n = 2k + 1\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그러면 \(n + 2 = 2k + 3 = 2(k + 1) + 1\)이고 \(k + 1\)은 정수이므로 \(n + 2\)는 홀수이다. (③\(\Rightarrow\)①) \(n + 2\)가 홀수라 하자. \(n + 2 = 2m + 1\)인 정수 \(m\)이 존재하므로 \(n = 2m - 1 = 2(m - 1) + 1\)이고 \(m - 1\)은 정수이므로 \(n\)은 홀수이다. 순환이 완성되었으므로 ①, ②, ③은 모두 동치이다. \(\blacksquare\)
복기. ②\(\Rightarrow\)③을 직접 잇지 못하고 ①(”\(n\)이 홀수”)을 경유했다. 사슬의 화살표 하나를 증명할 때 다른 명제를 경유해도 문제가 없다 — 필요한 것은 그 화살표가 참임을 보이는 것뿐이고, 경유 자체가 근거 ④의 인용이다. 쌍마다 하면 6개인데 3개로 끝났다.
문제 15#
접근. 재현의 순서는 네 덩어리다 — ① 나눗셈 정리로 설정 ② 두 식을 빼서 \(a - b = n(q - q') + (r - r')\) ③ 보조정리 ④ 두 파트. 가장 자주 비는 곳은 \(|r - r'| < n\)의 근거다.
풀이. 보조정리부터 적는다. 자연수 \(n\)과 정수 \(m\)에 대해 \(n \mid m\)이고 \(|m| < n\)이면 \(m = 0\)이다. 실제로 \(m = nc\)인 정수 \(c\)가 존재하고 \(|m| = |n||c| = n|c|\)인데(\(|xy| = |x||y|\) — 17주차 문제 10; \(n\)은 자연수이므로 \(|n| = n\)), \(c \neq 0\)이면 \(|c| \ge 1\)이므로(0이 아닌 정수의 절댓값은 1 이상 — 22주차 §1.9에서 인정하고 쓰는 사실) \(|m| \ge n\)이 되어 \(|m| < n\)과 모순이다. 따라서 \(c = 0\)이고 \(m = 0\)이다. 본 증명. 나눗셈 정리에 의해 \(a = nq + r\), \(b = nq' + r'\) (\(0 \le r, r' < n\))인 정수 \(q, q', r, r'\)이 존재한다. 두 식을 빼면 \(a - b = n(q - q') + (r - r')\)이다. (\(\Rightarrow\)) \(a \equiv b \pmod n\)이라 하자. 정의 20.1에 의해 \(n \mid (a - b)\)이고, 또 \(n \mid n(q - q')\)이다. 그러면 \(r - r' = (a - b) - n(q - q')\)은 \(n\)의 배수 두 개의 차이므로 \(n \mid (r - r')\)이다(2주차 문제 7). 한편 \(0 \le r < n\), \(0 \le r' < n\)이므로 \(-n < r - r' < n\), 곧 \(|r - r'| < n\)이다. 보조정리에 의해 \(r - r' = 0\), 즉 \(r = r'\)이다. (\(\Leftarrow\)) \(r = r'\)이라 하자. 그러면 \(a - b = n(q - q')\)이고 \(q - q'\)은 정수이므로 \(n \mid (a - b)\), 곧 \(a \equiv b \pmod n\)이다. 양방향이 증명되었으므로 두 문장은 동치이다. \(\blacksquare\)
복기. 채점 포인트는 여섯이다 — ① 나눗셈 정리를 인용한 설정 문장 ② (\(\Rightarrow\))에서 \(n \mid (r - r')\)의 유도 ③ \(|r - r'| < n\)의 근거를 \(0 \le r, r' < n\)에서 끌어냈는가 ④ 보조정리를 인용만 하지 않고 증명했는가 ⑤ \(|m| = |n||c|\)에 \(|xy| = |x||y|\)(17주차 문제 10)를 근거로 붙였는가 ⑥ \(|c| \ge 1\)에 “0이 아닌 정수의 절댓값은 1 이상”(22주차 §1.9)을 근거로 붙였는가. 이 정리는 41주차에서 비둘기집으로 같은 나머지 쌍을 찾을 때 그대로 쓰인다.
문제 16#
접근. (\(\Rightarrow\))는 대입 한 줄이다. (\(\Leftarrow\))가 실제 계산이 드는 쪽이며, 19주차 문제 17(”\(x, y \ge 0\)일 때 \(x \neq y\)이면 \(x^2 \neq y^2\)”)의 대우가 정확히 그 방향이다. 반례는 §1.1의 \(x = -2\)와 같은 구조의 반례(\(x = 1\), \(y = -1\))다.
풀이. (\(\Rightarrow\)) \(x = y\)라 가정하자. 같은 수를 두 번 곱한 값은 같으므로 \(x^2 = y^2\)이다. (\(\Leftarrow\)) \(x^2 = y^2\)이라 가정하자. 그러면 \(x^2 - y^2 = 0\)이고 \((x - y)(x + y) = 0\)이므로, 영인수 성질(문제 13에 딸린 상자)에 의해 \(x - y = 0\) 또는 \(x + y = 0\)이다. \(x - y = 0\)이면 \(x = y\)다. \(x + y = 0\)인 경우 \(x, y \ge 0\)이므로 음이 아닌 두 수의 합이 0이 되려면 \(x = y = 0\)이어야 하고, 역시 \(x = y\)다. 어느 경우든 \(x = y\)이다 (19주차 문제 17의 대우). 양방향이 증명되었으므로 \(x = y \iff x^2 = y^2\)이다. \(\blacksquare\) 부호 조건을 없애면 (\(\Leftarrow\))가 무너진다. 반례는 \(x = 1\), \(y = -1\)이다 — \(x^2 = 1 = y^2\)이지만 \(x \neq y\)이다. (\(\Rightarrow\))는 부호 조건과 무관하게 언제나 참이므로, 한 방향에만 조건이 필요한 iff다.
복기. 반례 제시의 완결 조건은 둘이다(2주차 도전 구간의 상자) — 가정 부분이 실제로 참임을 확인하고(\(1^2 = (-1)^2\)), 결론 부분이 실제로 거짓임을 확인한다 (\(1 \neq -1\)). 그리고 어느 방향의 반례인지 명시해야 한다.
문제 17#
접근. 정의 20.1로 왼쪽을 “\(a - b\)가 짝수”로 바꾸면 명제는 “\(a - b\)가 짝수 \(\iff\) \(a + b\)가 짝수”가 된다. 두 수의 차가 \((a+b) - (a-b) = 2b\)로 짝수라는 사실 하나가 양방향을 동시에 처리한다.
풀이. 먼저 보조 사실을 세운다. \(a + b\)와 \(a - b\)는 홀짝이 같다. 실제로 \(a + b = (a - b) + 2b\)이므로, \(a - b\)가 짝수이면 \(a + b\)는 짝수 두 개의 합이라 짝수이고(1주차 예제 2.1), \(a - b\)가 홀수이면 \(a + b\)는 홀수와 짝수의 합이라 홀수다(1주차 빈칸 훈련). 두 경우가 전부이므로 홀짝이 일치한다. (\(\Rightarrow\)) \(a \equiv b \pmod 2\)라 가정하자. 정의 20.1에 의해 \(2 \mid (a - b)\), 곧 \(a - b\)가 짝수이므로 위 사실에 의해 \(a + b\)도 짝수이다. (\(\Leftarrow\)) \(a + b\)가 짝수라 가정하자. 위 사실에 의해 \(a - b\)도 짝수이므로 \(2 \mid (a - b)\)이고, 정의 20.1에 의해 \(a \equiv b \pmod 2\)이다. 양방향이 증명되었으므로 \(a \equiv b \pmod 2 \iff a + b\)가 짝수이다. \(\blacksquare\)
검산. \(a = 3\), \(b = 7\): \(a - b = -4\)로 짝수이고 \(a + b = 10\)으로 짝수 — 양쪽이 함께 성립한다. \(a = 3\), \(b = 4\): \(a - b = -1\), \(a + b = 7\)로 양쪽이 함께 실패한다.
복기. 두 방향이 같은 보조 사실 하나에 기대는 구조다. 이럴 때는 보조 사실을 파트 밖에 먼저 세우면 두 파트가 각각 두 줄로 줄어든다 — 예제 2.2에서 나눗셈 정리 설정을 파트 밖에 둔 것과 같은 배치다. 이 결과는 36주차 문제 10에서 “\(x + y\)가 짝수” 관계의 정체를 밝히는 데 쓰인다.
문제 18#
접근. 쌍의 개수는 13주차의 \(\binom{5}{2}\)로 센다. 복원 근거에는 “사슬을 따라 이어 붙인다”와 “조건문은 추이적이다”(9주차 문제 9)를 모두 적어야 두 문장이 채워진다.
풀이. 순환 사슬로 하면 \(P_1 \Rightarrow P_2 \Rightarrow P_3 \Rightarrow P_4 \Rightarrow P_5 \Rightarrow P_1\)의 5개다. 쌍마다 양방향으로 하면 쌍이 \(\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10\)개이고 각 쌍에 두 방향이 있으므로 \(2 \times 10 = 20\)개다. 근거: 임의의 \(i, j\)에 대해 순환이므로 \(P_i\)에서 출발해 화살표를 따라가면 언젠가 \(P_j\)에 도달하고, 그 구간의 조건문들을 이어 붙이면 조건문의 추이성(9주차 문제 9)에 의해 \(P_i \Rightarrow P_j\)가 얻어진다. 반대 방향 \(P_j \Rightarrow P_i\)도 순환의 나머지 구간으로 같은 방식으로 얻어지므로, 5개가 20개를 전부 복원한다.
검산. \(n = 3\)일 때 같은 공식으로 세면 사슬은 3개, 쌍마다는 \(2\binom{3}{2} = 6\)개다 — 확인 5와 예제 2.3의 수치와 일치한다.
복기. 일반화하면 사슬은 \(n\)개, 쌍마다는 \(n(n-1)\)개다. \(n\)이 커질수록 차이가 벌어지므로 대학 교재의 큰 동치 정리는 예외 없이 순환 사슬로 서술된다. 대신 사슬은 끊기면 아무것도 남지 않는다 — 화살표 하나를 빠뜨리면 어느 두 명제 사이의 동치도 복원되지 않는다.
문제 19#
접근. (a)는 기계적 계산이다. (b)는 원 방정식에 대입해 검증하되, \(\sqrt{x}\)가 정의되려면 \(x \ge 0\)이고 등식이 성립하려면 우변 \(x - 2\)도 0 이상이어야 한다는 점을 함께 본다. (c)는 §1.6의 언어로, 해집합이 넓어진다는 말로 적는다.
풀이. (a) 양변을 제곱하면 \(x = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4\)이므로 \(x^2 - 5x + 4 = 0\)이다. 인수분해하면 \((x - 1)(x - 4) = 0\)이고, 영인수 성질에 의해 후보는 \(x = 1\)과 \(x = 4\)이다. (b) \(x = 4\): 좌변 \(\sqrt{4} = 2\), 우변 \(4 - 2 = 2\)로 일치하므로 해다. \(x = 1\): 좌변 \(\sqrt{1} = 1\), 우변 \(1 - 2 = -1\)로 일치하지 않으므로 해가 아니다. 따라서 \(x = 1\)이 무연근이고, 원 방정식의 해는 \(x = 4\)뿐이다. (c) “\(A = B \Rightarrow A^2 = B^2\)”은 참이지만 역은 거짓이다 — \(A = -B\)인 경우에도 제곱이 같기 때문이다. 따라서 제곱 단계는 사슬을 \(\iff\)에서 \(\Rightarrow\)로 격하시키고, 제곱한 방정식의 해집합은 원래 해집합을 포함하는 더 큰 집합이 되며 그 초과분이 무연근이다. 실제로 \(x = 1\)은 \(\sqrt{x} = -(x - 2)\)의 해로, 제곱이 두 방정식을 한 식으로 합쳐 버린 결과다. 그래서 제곱을 쓴 풀이는 마지막에 원 방정식 대입 검증을 반드시 붙인다.
검산. \(x \ge 0\)이면서 \(x - 2 \ge 0\)인 범위, 곧 \(x \ge 2\)에서만 해가 가능한데 후보 \(x = 1\)은 그 범위 밖이므로 대입 전에도 탈락을 예상할 수 있다.
복기. 문제 13과 나란히 놓으면 대칭이 보인다 — 0일 수 있는 문자로 나누면 해를 잃고(\(\Leftarrow\)만 보존), 제곱하면 해를 얻는다(\(\Rightarrow\)만 보존). 어느 쪽이든 사슬이 \(\iff\)가 아니게 되므로, 변형마다 되돌리는 연산을 확인하는 습관이 두 사고를 동시에 막는다. 43주차 역함수의 검증 단계도 같은 이유로 있다.
문제 20#
접근. (a)는 15주차의 “정의는 전부 \(\iff\)”와 정의 25.1을 한 문장으로 잇는다. (b)는 예제 2.1의 두 파트에서 가정이 다르다는 점을 지목한다. 서술 문제이므로 근거가 되는 사실이 문장 안에 들어와야 답이 완성된다.
풀이. (예시 답안) (a) 정의가 전부 \(\iff\)이므로 정의된 용어와 그 조건 사이에는 처음부터 양방향 번역이 허용돼 있고, 이번 주의 서식은 정의가 아닌 두 명제 사이에 그 양방향 번역을 새로 만드는 작업이다. (그래서 iff를 하나 증명해 두면 그 뒤로는 정의를 쓰듯 양쪽으로 번역할 수 있다 — 확인 14에서 \(n^2 = 144\)의 판정에 (\(\Leftarrow\)) 방향을 골라 쓴 것이 그 예다.) (b) 두 방향은 가정이 서로 다르고, 기법 선택의 신호는 가정을 보고 읽기 때문이다. 예제 2.1에서 (\(\Rightarrow\))의 가정 “\(n\)이 짝수”는 \(n = 2a\)로 즉시 풀려 직접 증명이 통했지만, (\(\Leftarrow\))의 가정 “\(n^2\)이 짝수”는 \(n\)에 대한 정보를 직접 내주지 않아 대우라는 우회로가 필요했다.
복기. 서술 문제의 채점 기준도 §4 상자와 같다 — 결론 문장만 있으면 절반이고, 그 문장을 참으로 만드는 근거(정의 8.2, 15주차의 정의 목록, 19주차의 신호)가 문장 안에 들어와야 완결된다.
다음 주 예고: 존재(\(\exists\))와 유일성의 증명으로 넘어간다. 증인을 실제로 만들어 보이는 구성적 증명, 증인을 끝내 특정하지 않고도 존재를 확정하는 비구성적 증명, 그리고 “둘이라 가정하고 같음을 보이는” 유일성 서식을 익힌다. 유일성 서식의 마지막 줄이 이번 주의 종합 선언과 같은 자리에 놓인다. 이번 주의 종합 선언이 그 자리에서 어떻게 되풀이되는지가 다음 주의 첫 관문이다.