S5주차 — 구성법: 결론의 “존재한다”를 만난 순간

이 주의 길잡이

핵심 문장: 존재한다는 결론은 유도되지 않는다 — 물건을 하나 만들어 내놓고, 그 물건이 조건을 전부 만족함을 검증하는 것이 증명이다.

이 주의 위치: 1학기 20주 과정의 S5주차. 양화사 4부작(S5~S8)의 첫 주 — S2\(\cdot\)S3에서 만든 후진\(\cdot\)전진 절차가 결론의 겉모양에 따라 갈라지는 첫 갈림길이다. 1권 26주차에서 손으로 익힌 증인 서식이 여기서 절차와 검증 목록을 얻는다.

원서 대응: Solow 4장. 주간 루틴 1일차에 4장을 통독한 뒤 이 문서로 온다.

이번 주 목표

1. 결론 속의 존재 양화사를 감지한다 — 겉으로 드러난 것(“존재한다”)과 정의 속에 숨은 것(“짝수다”, “유리수다”, “합성수다”)까지.

2. 존재 진술을 대상 / 자격 / 사건 세 칸으로 분해하고, 그 분해로 검증 목록을 빠짐없이 뽑는다.

3. 구성법의 세 걸음(연습장에서 후보 찾기 \(\to\) 답안에서 제시 \(\to\) 자격\(\cdot\)사건 전수 검증)을 백지에 쓰고 실제로 수행한다.

4. 증인을 찾는 세 공급로(역산 \(\cdot\) 재료 조립 \(\cdot\) 기성 존재 정리)를 구별해 명제마다 알맞은 것을 고른다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (S4주차 복습)

노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다.

1. 정의의 양면(전진면\(\cdot\)후진면)이 각각 하는 일을 쓰시오.

2. “\(n\)은 삼각수” 정의(S4주차 문제 5)의 후진면을 한 문장으로 쓰시오 — \(n\)이 삼각수임을 보이려면 무엇을 만들면 되는가?

3. 1권 26주차의 구성적 존재 증명 서식(정의 26.1 — 증인 지정 \(\to\) 조건 전부 검증)을 재현하시오.

자주 나오는 세 가지 답

3번을 적은 뒤 실제로 존재 명제 하나를 증명해 보면, 대개 다음 세 가지 중 하나가 나온다. 셋 다 1권을 제대로 마친 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다.

• 유형 1 — 서식은 적었지만 증인 칸이 비어 있다. “증인을 제시하고 검증한다”는

두 줄은 정확하다. 문제는 그 증인을 어디서 가져오는지가 서식에 없다는 것이다. 1권에서는 증인이 대부분 눈에 보였다(\(\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2\) 같은). 이번 주는 증인이 보이지 않을 때 찾는 절차를 §1.5에서 세 갈래로 정리한다.

• 유형 2 — 증인을 제시하고 사건만 확인한다. 예를 들어 “\(n\)보다 큰 소수가

존재한다”에 \(p = n + 1\)을 내놓고 “\(p > n\)이다”로 끝낸다. 확인한 부분은 옳다. 빠진 것은 \(p\)가 소수인가라는 조건이고, 실제로 \(n = 7\)이면 \(p = 8\)은 소수가 아니다. 검증 목록을 빠짐없이 뽑는 장치가 §1.2의 분해다.

• 유형 3 — “그런 것이 존재한다고 하자”로 시작한다. 증명해야 할 문장을 첫 줄에

가정으로 올려 놓는다. 이 답이 나오는 것은 1권 15주차 이래 “가정하자”로 증명을 여는 것이 몸에 붙었기 때문이고, 그 습관 자체는 옳다. 다만 존재 결론에서는 가정할 자리가 아니라 만들 자리다 — §1.4의 삭제 실험이 이 차이를 보인다.

개념 — 구성법

1 후진과 전진만으로는 어디서 막히는가

S2\(\cdot\)S3\(\cdot\)S4의 절차만으로 다음 명제를 밀어붙여 보자.

명제. 실수 \(a, b\)에 대해 \(a < b\)이면, \(a < c < b\)인 실수 \(c\)가 존재한다.

시도 — 후진과 전진만으로

후진: 결론 B는 “\(a < c < b\)인 실수 \(c\)가 존재한다”. 핵심 질문 — “그런 실수가

존재함을 어떻게 보이는가?” S4주차의 답안지 1번은 정의다. 그런데 “존재한다”는

정의된 낱말이 아니라 문장의 논리 구조이므로 전개할 정의가 없다.

전진: 사실 목록은 \(a < b\) 하나다. 여기서 \(b - a > 0\), \(2a < a + b\),

\(a + b < 2b\), \(\frac{b-a}{2} > 0\) … 참인 사실을 얼마든지 유도할 수 있다.

여기서 멈춘다. 전진 목록이 아무리 길어져도 문자 \(c\)가 한 번도 나타나지 않는다. \(c\)는 가정에 없던 문자이고, 전진은 목록에 있는 것에서만 새 사실을 만든다.

확인 1. 만남(S3주차 §1.5)이 일어나려면 전진 목록의 어떤 사실 \(A_m\)과 후진의 과녁 \(B_k\)가 같은 문장이어야 한다. 위 시도에서 만남이 영원히 일어나지 않는 이유를 한 문장으로 적어 보자.

답

과녁에는 문자 \(c\)가 있는데 전진 목록의 어느 사실에도 \(c\)가 없으므로, 두 쪽이

같은 문장이 될 수 없다. \(c\)는 가정에서 유도되는 것이 아니라 이쪽에서

정해 주어야 하는 문자다. “\(\frac{a+b}{2}\)가 답이다”라고 이미 떠올렸다면 그

직관은 옳다 — 다만 그 식은 전진의 산물이 아니라 이쪽에서 골라 배정한 값이고,

그 배정을 정식 절차로 만드는 것이 이번 주의 일이다.

이 주 전체의 기준

존재 결론은 유도되지 않는다. 존재 결론은 제작된다.

그리고 제작물은 조건을 만족한다는 것을 따로 검증해야 한다.

2 존재 진술을 뜯어보기 — 사례 표

먼저 존재 진술이 실제로 어떻게 생겼는지 사례로 확인한다. 아래 표의 빈칸을 채워 보자. 왼쪽 열의 말을 논리 문장으로 열어 쓰기만 하면 된다.

존재 진술	대상	자격	사건
\(a < c < b\)인 실수 \(c\)가 존재한다	\(c\)	\(c\)는 실수	\(a < c < b\)
\(n\)은 짝수이다	\(k\)	\(\underline{\quad(1)\quad}\)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
\(91\)은 합성수이다	정수 쌍 \((a, b)\)	\(\underline{\quad(3)\quad}\)	\(\underline{\quad(4)\quad}\)
\(r\)은 유리수이다	정수 쌍 \((a, b)\)	\(\underline{\quad(5)\quad}\)	\(\underline{\quad(6)\quad}\)

확인 2. 빈칸 (1)~(6)을 채우고, 네 줄이 공통으로 갖는 꼴을 한 문장으로 적어 보자.

답

(1) \(k\)는 정수 (2) \(n = 2k\)

(3) \(a\)와 \(b\)는 정수이고 \(a > 1\), \(b > 1\) (4) \(91 = ab\)

(5) \(a\)와 \(b\)는 정수이고 \(b \neq 0\) (6) \(r = \dfrac{a}{b}\)

공통 꼴: “**어떤 자격을 갖춘 대상이 있어서, 그 대상에 대해 어떤 사건이

일어난다.**” 자격과 사건의 구분은 문법적인 것이고 논리적으로는 둘 다 대상이

만족해야 할 조건이다. 그래도 두 칸으로 나누는 이유는 §1.4에서 드러난다 —

검증 누락은 거의 언제나 자격 칸에서 난다.

이 관찰에 이름과 형식을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일을 문장으로 굳혔을 뿐이다.

백지 암기 대상

존재 진술의 표준형

모든 존재 진술은 다음 꼴로 정돈된다.

\[ \exists\ (\text{자격을 갖춘})\ \text{대상}\ :\ \text{사건} \]

예 — “\(a < c < b\)인 유리수 \(c\)가 존재한다”: 대상은 \(c\), 자격은 “\(c\)는 유리수”,

사건은 “\(a < c < b\)”.

표기 — \(\exists\)

“존재한다”로 읽는다. “\(\exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\)”는 “\(n = 2k\)인 정수

\(k\)가 존재한다”와 완전히 같은 말이다(1권 10주차). 답안에 기호로 적어도 되고

말로 적어도 된다. 이 문서는 분해를 보일 때만 기호를 쓰고, 증명 본문은 말로 쓴다.

3 숨은 존재 양화사 감지

존재 결론이 언제나 “존재한다”라는 낱말을 달고 오지는 않는다. 정의 안에 존재 양화사가 들어 있으면, 그 낱말을 결론에 쓰는 순간 존재 결론이 된다.

백지 암기 대상

감지 신호

① 드러난 신호 — “존재한다”, “있다”, “어떤 …가 …이다”.

② 숨은 신호 — 정의를 열었을 때 \(\exists\)가 나오는 낱말. 짝수, 홀수, 배수,

유리수, 합성수, “방정식이 해를 갖는다”, “함수가 고정점을 갖는다”.

판별법: S4주차의 소화 절차 ①(정의를 iff로 재작성)을 실행해 조건 \(C\)의 논리

구조를 노출한다. \(C\)에 \(\exists\)가 있으면 이번 주 기법이 발동한다.

확인 3. 다음 결론 중 숨은 존재 양화사를 가진 것은 어느 것인가. 가진 것은 표준형으로 열어 적어 보자.

(가) \(n^2 + n\)은 짝수이다 (나) 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 \ge 0\)이다 (다) \(f(x) = x^3 + x\)는 고정점을 갖는다

답

(가)와 (다).

(가) \(\exists k \in \mathbb{Z} : n^2 + n = 2k\) — 대상 \(k\) / 자격 정수 / 사건 등식.

(다) \(\exists c \in \mathbb{R} : f(c) = c\) — 대상 \(c\) / 자격 실수 / 사건 등식.

(나)는 전칭이다. 결론에 “모든”이 보이면 S6주차의 선택법이 발동한다 — 이번 주

기법을 쓰면 안 되는 자리를 구별하는 것도 감지의 일부다.

1권에서 “정의 꼴을 만들어 제시한다”고 적었던 마무리 문장의 상당수가 사실은 숨은 존재 양화사의 구성이었다. 1권 26주차에서 “증인을 하나 대고 확인한다”로 손에 익힌 동작이, 여기서 구성법이라는 이름과 검증 목록을 얻는다.

4 구성법 — 절차와 해부

백지 암기 대상

구성법 (한 번의 절차)

① (연습장) 증인 후보를 찾는다 — 공급로 세 갈래는 §1.5.

② (답안) “\(c = \cdots\)로 두자”로 증인을 제시한다. 제시하는 식은 가정에

등장하는 문자와 이미 확보한 값만으로 조립한다.

③ (답안) 자격 검증과 사건 검증을 하나도 빠짐없이, 각각 근거를 들어 적는다.

①은 제출본에서 지워지고 ②의 “두자”만 남는다 — S3주차 문제 14에서 본

“‘잡자’로 시작하는 줄은 지워진 후진의 흔적”이라는 규칙의 존재 결론 판이다.

(S3주차에서는 그 줄을 관행대로 “잡자”로 적었지만, §1.6의 규칙에 따르면 결론 쪽

증인이므로 이번 주부터는 “두자”로 쓴다 — 문제 14가 그 예다.)

절차 해부. 세 걸음이 각각 다른 일을 한다.

걸음	하는 일	이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가
① 연습장에서 후보를 찾는다	제시할 식을 실제로 확보한다	제시할 것이 없어 ②가 시작되지 않는다 — §1.1의 막힘이 그대로 남는다
② 답안에서 증인을 제시한다	존재 문자에 구체적인 식을 배정한다	제시할 대상이 무대에 없어 ③이 가리킬 것이 사라진다 — 그 빈자리를 “존재한다고 하자”로 메우면 곧바로 순환이 된다 (삭제 실험 2)
③ 자격과 사건을 전수 검증한다	제시물이 조건을 실제로 만족함을 확인한다	조건의 일부만 만족하는 후보가 통과한다 (삭제 실험 1)

걸음 삭제 실험 — ③을 뺀 경우. 명제 “임의의 정수 \(n\)에 대해, \(n < p\)인 소수 \(p\)가 존재한다”(참)에 대해 다음 답안을 본다.

“\(p = n + 1\)로 두자. 그러면 \(p > n\)이다. 따라서 그러한 소수가 존재한다.”

확인 4. 이 답안이 검증한 것과 검증하지 않은 것을 각각 적고, 검증하지 않은 쪽이 실제로 성립하지 않는 \(n\)을 하나 들어 보자.

답

검증한 것은 사건 “\(p > n\)”뿐이고, 자격 “\(p\)는 소수이다”는 검증하지 않았다.

그리고 검증할 수도 없다 — \(n = 7\)이면 \(p = 8\)이고 \(8 = 2 \times 4\)는 소수가

아니다. 사건만 보고 자격을 놓치는 것이 존재 증명에서 가장 흔한 결함이며,

§1.2의 두 칸 분해는 정확히 이 누락을 막기 위한 장치다.

(이 명제 자체는 참이다. 올바른 증명은 예제 2.3에서 만든다.)

걸음 삭제 실험 — ②를 불법 동작으로 바꾼 경우. §1.1의 명제에 다음 답안을 본다.

“\(a < c < b\)인 실수 \(c\)가 존재한다고 하자. 그러면 \(c\)는 \(a\)보다 크고 \(b\)보다

작다. 따라서 그러한 \(c\)가 존재한다.”

확인 5. 이 답안이 가정한 문장과 결론으로 삼은 문장을 각각 적어 보자. 두 문장은 어떤 관계인가?

답

가정한 문장도 “그런 \(c\)가 존재한다”, 결론으로 삼은 문장도 “그런 \(c\)가

존재한다” — 같은 문장이다. 증명해야 할 것을 허용된 근거 목록에 몰래 등록한

것이므로 아무것도 증명되지 않았다(S1주차의 증명 과제 언어로: 해야 할 일을

주어진 것으로 옮겨 적었다).

1권 15주차에서 금지한 “결론을 가정하지 않는다”가 존재 결론에서는 이 꼴로

나타난다. 존재 결론에서 합법인 첫 동작은 “존재한다고 하자”가 아니라

“\(c = \cdots\)로 두자”다.

5 증인의 세 공급로

절차 ①이 하는 일에는 정해진 갈래가 있다. 막혔을 때 검토할 후보가 셋뿐이라는 점에서, 이 표는 §1.4의 서식만큼 실전에서 자주 쓰인다.

공급로	방법	예
① 역산	사건을 증인에 대한 방정식\(\cdot\)부등식으로 보고 거꾸로 푼다	“\(ax + b = 0\)인 \(x\)” \(\to\) \(x = -\dfrac{b}{a}\) (예제 2.1)
② 재료 조립	가정이 준 문자를 조립해 후보를 만든다	“\(m = 2j\), \(n = 2k\)일 때 \(m + n = 2c\)인 \(c\)” \(\to\) \(c = j + k\)
③ 기성 존재 정리	직접 만들 수 없을 때, 존재를 보장하는 정리를 인용한다	소수의 무한성(1권 21주차 예제 2.3), 중간값 정리(문제 18), 최소원리(1권 33주차)

③이 필요한 이유는 어떤 증인에는 이름을 붙일 수 없기 때문이다. “\(x^3 + x = 5\)의 해”는 초등적인 닫힌 식으로 적을 수 없지만 중간값 정리가 그 존재를 보장한다. 구성법의 “구성”이 언제나 명시적인 공식을 뜻하지는 않는다.

확인 6. 다음 세 명제의 증인은 각각 어느 공급로에서 나오는가.

(가) \(3x - 12 = 0\)인 실수 \(x\)가 존재한다 (나) \(m\)과 \(n\)이 홀수일 때 \(m + n = 2c\)인 정수 \(c\)가 존재한다 (다) \(n\)보다 큰 소수 \(p\)가 존재한다

답

(가) ① 역산 — 사건을 방정식으로 풀면 \(x = 4\)가 곧 후보다.

(나) ② 재료 조립 — \(m = 2j + 1\), \(n = 2k + 1\)을 받아 두면 \(m + n = 2(j+k+1)\)이므로

\(c = j + k + 1\)이 후보다. 후보의 재료가 전부 가정에서 나온 문자다.

(다) ③ 기성 존재 정리 — \(n\)에서 출발해 소수를 만드는 공식이 없으므로, 소수가

무한히 많다는 이미 증명된 사실을 인용한다.

6 두 가지 반칙

반칙 1 — 검증 누락. 자격 하나, 사건 하나라도 검증을 빠뜨리면 증명이 아니다. 특히 자격 쪽의 “정수인가”, “양수인가”, “분모가 0이 아닌가”, “제곱근 안이 음수가 아닌가”가 자주 빠진다. 답안을 쓰기 전에 자격과 사건을 목록으로 먼저 적고, 검증을 마친 항목에 표시하며 채워 나가면 누락이 눈에 보인다.

반칙 2 — 순환. 증인을 정의할 때 쓸 수 있는 것은 가정에 등장하는 문자와 이미 확보한 값뿐이다. 존재를 주장하는 그 문자를 “존재한다고 하자”로 먼저 확보한 뒤 증인으로 삼는 것은 확인 5에서 본 순환이다.

두 반칙이 헷갈리는 것은 같은 \(\exists\)가 위치에 따라 반대 방향의 의무를 주기 때문이다. 정리하면 다음과 같다.

\(\exists\)가 있는 위치	이쪽이 할 일	답안의 낱말
가정 쪽 (이미 참임이 보장된 존재)	그런 대상을 하나 받아 문자로 붙잡는다	“그런 \(k\)를 잡자”
결론 쪽 (이쪽이 보장해야 할 존재)	그런 대상을 만들어 내놓고 검증한다	“\(m = \cdots\)으로 두자”

이 대조는 문제 13에서 한 문제 안에 나란히 놓고 연습한다. S7주차에서 전칭 양화사의 같은 대조와 합쳐져 네 칸 표가 된다.

7 근거 목록 갱신

이번 주에 목록의 칸이 늘지는 않는다. 채워지는 것은 주로 ④이고, ④의 이름은 1권 45주차와 같이 “이미 증명한 명제\(\cdot\)채택한 사실”로 넓힌다 — 이번 주에는 증명 없이 채택한 채로 쓰는 사실이 있기 때문이다. ④는 “1권에서 가져오는 것”과 “이번 주에 채택하는 것” 두 줄로 나누어 적는다.

근거	이번 주에 추가되는 것	이번 주에는 이렇게 쓴다
① 정의	팩토리얼(1권 12주차 정의 12.2) — \(1 \le j \le k\)이면 \(j\)가 \(k!\)의 인수라는 것은 정의에서 곧바로 나온다	숨은 존재 양화사를 노출할 때, 자격 검증의 마지막 줄에서, 그리고 문제 15의 \(j \mid k!\)에서 쓴다
② 닫힘성	유리수의 닫힘(1권 15주차 문제 15)	자격 검증의 주력 근거 — “정수의 곱은 정수”, “유리수를 0 아닌 유리수로 나누면 유리수”
③ 등식의 성질	변화 없음	사건 검증의 대입 계산이 전부 여기서 나온다
④ 이미 증명한 명제\(\cdot\)채택한 사실 — 1권에서 가져오는 것	소수의 무한성(1권 21주차 예제 2.3), 무리수 산술(1권 21주차 훈련 1\(\cdot\)문제 8), 배수의 합(1권 2주차 예제 2.2), 2와 3의 배수 결합(1권 20주차 문제 13), 절댓값의 기본 성질 \(x \le \lvert x \rvert\)(1권 17주차 문제 5), 정수의 짝\(\cdot\)홀 이분(1권 17주차), 아르키메데스 성질(1권 45주차 — 다만 문제 14에서는 인용하지 않고 천장으로 구성한다)	공급로 ③이 곧 근거 ④의 사용이다 — 정리 이름을 명시하고 그 가정이 충족됨을 확인한 뒤 결론을 가져온다
④ 이미 증명한 명제\(\cdot\)채택한 사실 — 이번 주에 채택하는 것	천장의 두 성질(S3주차 문제 14의 기호 — §4에서 채택), 중간값 정리와 다항함수의 연속성(문제 18에서 채택)	증명 없이 채택하고 쓰는 사실이므로, 인용할 때 성질이나 정리의 문장을 그대로 적고 그 가정이 충족됨을 확인한다

확인 7. 어떤 존재 증명에 다음 두 문장이 나왔다. 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) “\(j + k + 1\)은 정수이므로” (나) “이런 수는 당연히 있으므로”

답

(가) 허용 — 근거 ②. \(j, k\)가 정수이면 합도 정수이고, 별도 설명 없이 쓴다.

(나) 불허 — 목록 밖이다. 존재는 “당연히”로 확보되지 않는다. 만들어 내놓거나

(①②), 존재를 보장하는 정리를 이름과 함께 인용하거나(③) 둘 중 하나여야 한다.