8주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

8주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 판정을 함께 만들기#

1~2주차의 예제는 증명을 만들었다. 이번 주의 예제는 판정을 만든다 — 절차가 있는지 없는지, 직접 만들며 확인한다. 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다.

예제 2.1 — 진리값 판정#

문제. 다음 조건문의 진리값을 구하시오. (a) \(1 + 1 = 2 \Rightarrow 2 \mid 4\) (b) \(1 + 1 = 3 \Rightarrow 2 \mid 4\) (c) \(1 + 1 = 3 \Rightarrow 2 \mid 5\) (d) \(1 + 1 = 2 \Rightarrow 2 \mid 5\)

설계 — 판정 전에 정하는 두 가지. 증명의 번역표(가정 \(\to\) 출발점, 목표 \(\to\) 도착점)와 같은 요령이다.

내용

할 일

출발점 (주어진 것)

가정과 결론, 두 명제

각각의 진리값을 확정한다

도착점 (구할 것)

조건문의 진리값

진리표 4행 중 어느 행인지 지목한다

확인 12. (a)의 출발점을 확정해 보자. 가정 “\(1 + 1 = 2\)”의 진리값은

\(\underline{\quad}\), 결론 “\(2 \mid 4\)”의 진리값은 \(\underline{\quad}\)

(근거는 2주차 정의 2.1로).

답

가정은 참(계산으로 확정), 결론도 참 — \(4 = 2 \times 2\)이고 \(2 \in \mathbb{Z}\)이므로

\(2 \mid 4\) (근거 ①). 출발점이 T, T로 확정됐으므로 도착점은 T\(\Rightarrow\)T 행 —

참이다. 두 명제의 내용이 서로 무관해도 상관없다 — 조건문의 진리값은

내용의 연관이 아니라 진리값의 조합만으로 정해진다.

확인 13. (b)와 (d)를 같은 절차로 판정해 보자. 각각 어느 행이고, 진리값은

무엇인가?

답

(b) 가정 “\(1+1=3\)” 거짓, 결론 참 — F\(\Rightarrow\)T 행, 참(공허한 참)이다.

(d) 가정 참, 결론 “\(2 \mid 5\)” 거짓(\(5 = 2c\)인 정수 \(c\)가 없다) —

T\(\Rightarrow\)F 행, 거짓이다. 유일한 거짓 행이 (d)에서 나왔다.

완성본. 네 항목의 판정을 절차와 함께 정리하면 —

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

(a) T

가정 T(\(1+1=2\)), 결론 T(\(4 = 2 \times 2\)) — T\(\Rightarrow\)T 행

(b) T

가정 F(\(1+1 \neq 3\)), 결론 T — F\(\Rightarrow\)T 행, 공허한 참

(c) T

가정 F, 결론 F(\(5 = 2c\)인 정수 없음) — F\(\Rightarrow\)F 행, 공허한 참

(d) F

가정 T, 결론 F — T\(\Rightarrow\)F, 유일한 거짓 행

가정이 거짓인 (b), (c)는 내용과 무관하게 참이다. 판정이 불편하면 §1.2의 표를 다시 채운다.

예제 2.2 — 필요·충분 판정#

문제. \(x\)는 실수. \(P\): “\(x > 2\)”, \(Q\): “\(x^2 > 4\)”. \(P\)는 \(Q\)이기 위한 무슨 조건인가?

이번에는 설계만 함께 하고, 판정은 완성된 산문으로 본다. 절차는 §1.5의 다리를 건너는 것이다: 진리집합으로 번역 \(\to\) 포함 관계를 양방향 확인 \(\to\) 조건 용어로 역번역.

확인 14. 번역표를 채워 보자. \(P\)의 진리집합 = 구간 \(\underline{\quad(1)\quad}\),

\(Q\)의 진리집합 = \(\underline{\quad(2)\quad}\) (이차부등식 — 음수 쪽을 잊지 않는다).

답

(1) \(P = (2, \infty)\) (2) \(Q = (-\infty, -2) \cup (2, \infty)\).

\(x^2 > 4\)는 \(|x| > 2\), 곧 “\(x > 2\) 또는 \(x < -2\)”다 — 진리집합이 두 조각이다.

음수 조각을 놓치면 “필요충분”이라는 오판정이 나온다 — 번역 단계의 정확성이

판정 전체를 좌우한다.

확인 15. 포함을 양방향으로 확인해 보자.

\(P \subseteq Q\)인가: \(\underline{\quad}\). \(Q \subseteq P\)인가: 반례

\(x = \underline{\quad}\)가 있는가 확인해 보자.

답

\(P \subseteq Q\): 성립 — \(x > 2\)이면 \(x^2 > 4\)다. \(Q \subseteq P\): 실패 —

\(x = -3\)은 \((-3)^2 = 9 > 4\)로 \(Q\)의 원소지만 \(P\)의 원소가 아니다.

거짓 방향에는 이렇게 반례 하나를 명시하는 것까지가 판정이다.

판정 (완성본). 진리집합은 \(P = (2, \infty)\), \(Q = (-\infty, -2) \cup (2, \infty)\). \(P \subseteq Q\)이므로 진리집합의 다리에 의해 \(P \Rightarrow Q\)는 참 — \(P\)는 충분조건이다. \(Q \nsubseteq P\)(반례 \(x = -3 \in Q\)이지만 \(\notin P\))이므로 \(Q \Rightarrow P\)는 거짓 — \(P\)는 필요조건이 아니다. 답: \(P\)는 \(Q\)이기 위한 충분조건이지만 필요조건은 아니다.

판정 절차가 “번역 \(\to\) 포함 확인(거짓 방향은 반례) \(\to\) 역번역”의 세 걸음이었다. 감이 아니라 절차로 판정한다.

예제 2.3 — only if 번역#

문제. “정수 \(n\)이 소수(prime)인 것은 only if \(n \ge 2\)”를 기호로 쓰고 진리값을 판정하시오.

이번에는 번역부터 판정까지 스스로 해 보자.

확인 16. §1.4의 only if 규칙으로 이 문장을 화살표로 번역하고, 진리값까지

판정해 보자.

답

(아래 산문이 답이다. 화살표의 방향과, 판정에서 인용한 근거를 대조한다.)

풀이. “P only if Q”는 \(P \Rightarrow Q\)이므로: (\(n\)은 소수) \(\Rightarrow\) (\(n \ge 2\)). 소수의 정의(2 이상이고 양의 약수가 1과 자신뿐인 정수)에 의해 소수인 \(n\)은 이미 \(n \ge 2\)를 만족한다 — T\(\Rightarrow\)F가 되는 \(n\)이 없으므로 참이다. 역방향 (\(n \ge 2\)) \(\Rightarrow\) (\(n\)은 소수)는 별개의 명제이고 거짓이다 — 반례 \(n = 4\). only if 문장은 역방향을 주장하지 않는다.

관찰 — 세 판정의 같은 뼈대#

세 예제는 묻는 것(진리값 / 조건의 종류 / 번역)이 달라 보이지만 뼈대가 같다.

확인 17. 각 예제에서 세 걸음에 해당하는 작업을 찾아 보자.

① 번역: 예제 2.1은 부분 명제의 진리값 확정, 예제 2.2는 \(\underline{\quad}\)으로

번역, 예제 2.3은 \(\underline{\quad}\)로 번역.

② 판정: 예제 2.1은 진리표의 행 지목, 예제 2.2와 2.3은 \(\underline{\quad}\) 확인

(거짓 방향은 반례).

③ 역번역: 판정 결과를 문제가 쓴 언어로 되돌린다.

답

① 예제 2.2는 진리집합으로, 예제 2.3은 화살표 기호로 번역했다.

② 포함 관계(또는 T\(\Rightarrow\)F인 사례의 유무)를 확인했다. 세 예제 모두

정확히 이 세 걸음이다.

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

백지 암기 대상

판정의 3단 절차

① 번역 — 문장을 기호\(\cdot\)진리값\(\cdot\)진리집합으로 옮긴다 \(\to\)

② 판정 — 진리표의 행 또는 포함 관계로 확인한다 (거짓 판정에는 반례 명시) \(\to\)

③ 역번역 — 결과를 문제의 언어로 되돌린다

증명의 3단계 틀(1주차)이 증명의 기본형이었듯, 이 절차가 판정의 기본형이다. §4의 판정 문제는 전부 이 절차로 푼다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

훈련 1 ●○○ — 규칙의 빈칸#

\(P \Rightarrow Q\)에 대해: (1) 유일하게 거짓이 되는 진리값 조합: \(P\)는 \(\underline{\quad}\), \(Q\)는 \(\underline{\quad}\). (2) “\(P\)는 \(Q\)이기 위한 충분조건” = 기호로 \(\underline{\quad}\). (3) “\(P\)는 \(Q\)이기 위한 필요조건” = 기호로 \(\underline{\quad}\). (4) 진리집합 관점: \(P \Rightarrow Q\) 참 \(\iff\) \(P\ \underline{\quad}\ Q\). (5) \(P \iff Q\) 참 \(\iff\) 진리집합 \(P\ \underline{\quad}\ Q\).

훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#

판정문의 수식과 근거 낱말이 빈칸이다.

명제. \(x\)는 실수. “\(x > 1\)은 \(x > 0\)이기 위한 무슨 조건인가.”

판정. 진리집합으로 번역하면 \(P = \underline{\quad(1)\quad}\), \(Q = \underline{\quad(2)\quad}\) (구간 표기). \(P\ \underline{\quad(3)\quad}\ Q\)이므로 진리집합의 다리에 의해 \(P \Rightarrow Q\)는 참이다 — 근거: \(\underline{\quad(4)\quad}\)가 되는 \(x\)가 없다. 역방향 \(Q \Rightarrow P\)는 반례 \(x = \underline{\quad(5)\quad}\)에서 가정 참, 결론 거짓 — \(\underline{\quad(6)\quad}\) 행 — 이 되어 거짓이다. 따라서 \(x > 1\)은 \(x > 0\)이기 위한 \(\underline{\quad(7)\quad}\)조건(이고 필요조건은 아니)이다.

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

판정의 3단 절차 각 칸을 통째로 채운다.

명제. \(x\)는 실수. “\(|x| \le 1\)은 \(x^2 \le 1\)이기 위한 무슨 조건인지” 판정한다.

판정의 뼈대.

  • ① 번역 (두 진리집합): \(\underline{\quad(1)\quad}\)

  • ② 판정 (포함 관계, 양방향): \(\underline{\quad(2)\quad}\)

  • ③ 역번역\(\cdot\)결론: \(\underline{\quad(3)\quad}\)

(문제 13이 이 훈련의 \(|x| \le 1\) 자리에 \(x \le 1\)이 들어간 짝을 다룬다.)

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다 \(\to\) 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 판정 문제는 3단 절차(번역 \(\to\) 판정 \(\to\) 역번역)로, 거짓 판정에는 반례를 명시한다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. “(b)는 참(맞음)”은 0점이고, “가정이 거짓이므로

F\(\Rightarrow\)T 행 — 공허한 참”이 만점이다. 조건 판정은 포함(참 방향)과

반례(거짓 방향)가 근거의 전부다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. 진리값을 구하시오. (a) \(2 > 1 \Rightarrow 3 > 2\) (b) \(2 < 1 \Rightarrow 3 > 2\) (c) \(2 > 1 \Rightarrow 3 < 2\) (d) \(\pi \in \mathbb{Q} \Rightarrow 1 = 2\)

힌트

예제 2.1의 절차 그대로 — 가정과 결론의 진리값을 각각 확정한 뒤, 진리표

4행 중 어느 행인지만 지목한다. (d)에서 \(\pi\)가 무리수라는 사실은 지금은

증명 없이 인정하고 쓴다(이 과정이 직접 증명하는 무리수는 21주차의 \(\sqrt{2}\)다).

2. 진리값을 구하시오. (a) \(1 + 1 = 2 \Rightarrow 2 + 2 = 5\) (b) \(1 + 1 = 3 \Rightarrow 2 + 2 = 5\) (c) (\(2\)는 소수) \(\Rightarrow\) (\(3\)은 소수) (d) (\(4\)는 소수) \(\Rightarrow\) \(\pi \in \mathbb{Q}\)

힌트

문제 1과 같은 절차다. 소수\(\cdot\)\(\pi\) 같은 수학적 내용에 현혹되지 말고 각 부분

명제의 진리값만 추출한다.

3. 다음을 \(P \Rightarrow Q\) 꼴로 번역하시오 (\(P, Q\)가 무엇인지 명시). (a) \(n\)이 6의 배수이면 \(n\)은 3의 배수이다. (b) \(x^2 = 9\) if \(x = 3\). (c) \(n\)은 \(n\)이 짝수일 때만(only if) 4의 배수이다. (d) 연속함수임은 미분가능하기 위한 필요조건이다.

힌트

각 문장에서 신호어(if / only if / 충분 / 필요)를 먼저 찾는다. if 뒤 = 가정,

only if 뒤 = 결론, 충분 = 꼬리, 필요 = 머리 — §1.4의 표를 카드처럼 쓴다.

4. \(P \iff Q\)의 진리표를 \((P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)\)로부터 유도해 작성하시오. (열: \(P, Q, P{\Rightarrow}Q, Q{\Rightarrow}P\), 그리고 \(\land\))

힌트

7주차의 절차 — 안쪽 열부터 하나씩 추가한다. \(Q \Rightarrow P\) 열을 만들 때

가정이 \(Q\)라는 것에 주의한다: T\(\Rightarrow\)F 판정의 T가 \(Q\) 자리다.

5. 다음 표현을 각각 화살표 하나(\(P \Rightarrow Q\) 또는 \(Q \Rightarrow P\))로 번역하시오. (\(P\): 오늘은 일요일, \(Q\): 학교에 안 간다) (a) 일요일이면 학교에 안 간다. (b) 학교에 안 가는 날은 일요일뿐이다(only if). (c) 일요일임은 학교에 안 가기 위한 충분조건이다. (d) 학교에 안 감은 일요일이기 위한 필요조건이다.

힌트

(b)가 관건이다 — “안 가는 날(\(Q\))은 일요일(\(P\))뿐” = \(Q\) only if \(P\). only if

뒤가 결론이므로 화살표는 \(Q\)에서 나간다. 번역 후 네 답 중 같은 것이 몇 개인지

세어 본다.

6. 빈칸에 “충분/필요/필요충분” 중 알맞은 말을 넣으시오. (a) \(P \Rightarrow Q\)가 참일 때, \(P\)는 \(Q\)이기 위한 \(\underline{\quad}\)조건. (b) \(P \Rightarrow Q\)가 참일 때, \(Q\)는 \(P\)이기 위한 \(\underline{\quad}\)조건. (c) \(P \iff Q\)가 참일 때, \(P\)는 \(Q\)이기 위한 \(\underline{\quad}\)조건.

힌트

암기 문장 하나로 전부 풀린다: 충분은 화살표의 꼬리, 필요는 머리. (c)는

화살표가 양쪽으로 나 있다.

표준 ●●○#

7. \(x\)는 실수. 각 쌍에 대해 “\(P\)는 \(Q\)이기 위한 (충분/필요/필요충분/어느 쪽도 아닌) 조건”을 판정하고 진리집합 포함 관계로 근거를 쓰시오. (a) \(P\): \(x = 1\), \(Q\): \(x^2 = 1\) (b) \(P\): \(x^2 = 1\), \(Q\): \(x = 1\) (c) \(P\): \(0 \le x \le 1\), \(Q\): \(x^2 \le x\) (d) \(P\): \(x > 0\), \(Q\): \(x \ge 0\)

힌트

예제 2.2의 3단 절차를 네 번 반복한다. (c)는 \(x^2 \le x\)를 이항\(\cdot\)인수분해해

진리집합을 구간으로 바꾸는 것이 먼저다. 거짓 방향에는 반드시 반례 하나.

8. \(n\)은 정수. “\(8 \mid n \Rightarrow 2 \mid n\)”이 참임을 진리집합의 포함 관계로 설명하고, 역 “\(2 \mid n \Rightarrow 8 \mid n\)”의 반례를 드시오.

9. 다음 명제의 진리값을 판정하시오 (\(x\)는 실수 전체에서, “모든 \(x\)에 대해”가 생략된 것으로 본다). (a) \(x > 3 \Rightarrow x > 1\) (b) \(x > 1 \Rightarrow x > 3\) (c) \(|x| < 2 \Rightarrow -2 < x < 2\) (d) \(x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0\)

힌트

“모든 \(x\)” 조건문의 참 = T\(\Rightarrow\)F가 되는 \(x\)가 하나도 없음 = 진리집합의

포함. 거짓 판정에는 T\(\Rightarrow\)F를 실제로 일으키는 \(x\)를 하나 제시한다.

10. “이번 주말에 날씨가 맑으면 등산을 간다”고 말한 사람이 있다. 다음 중 이 사람이 거짓말쟁이가 되는 상황을 모두 고르고 이유를 쓰시오. (a) 맑았고, 등산을 갔다 (b) 맑았는데, 등산을 안 갔다 (c) 비가 왔고, 등산을 갔다 (d) 비가 왔고, 등산을 안 갔다

11. \(x\)는 실수, \(n\)은 정수. 각각 “\(P\)는 \(Q\)이기 위한 무슨 조건”인지 판정하시오 (근거 포함). (a) \(P\): \(x = 3\), \(Q\): \(3x = 9\) (b) \(P\): 삼각형 \(T\)는 정삼각형, \(Q\): \(T\)는 이등변삼각형 (c) \(P\): \(|x| = 2\), \(Q\): \(x = 2\) (d) \(P\): \(n\)은 12의 배수, \(Q\): \(n\)은 4의 배수이고 6의 배수 (“공배수는 최소공배수의 배수”는 지금은 인정하고 쓴다 — 20주차에서 증명)

12. 다음 영어 문장을 화살표로 번역하시오. (a) If \(n\) is odd, then \(n^2\) is odd. (b) A function is continuous only if it is defined everywhere. (\(P\): 연속, \(Q\): 모든 점에서 정의됨) (c) \(x = 2\) is sufficient for \(x^2 = 4\). (d) \(n > 0\) is necessary for \(n \in \mathbb{N}\).

13. \(P(x)\): “\(x^2 \le 1\)”, \(Q(x)\): “\(x \le 1\)” (\(x \in \mathbb{R}\)). 두 진리집합을 구간으로 쓰고 포함 관계를 판정한 뒤, “\(P\)는 \(Q\)이기 위한 무슨 조건인지” 답하시오.

힌트

\(x^2 \le 1\)의 진리집합은 훈련 3에서 구했다. \(x \le 1\)의 진리집합은 왼쪽으로

무한히 뻗는 구간이다 — 크게 음수인 \(x\)가 어느 집합에 속하는지가 판정을 가른다.

14. “정수 \(n\)에 대해, \(n\)이 짝수 \(\iff\) \(n^2\)이 짝수”는 참이다. 양방향 화살표를 각각 어떻게 증명할 수 있는지 계획만 쓰시오. (힌트: \(\to\) 방향은 1주차 문제 9. \(\leftarrow\) 방향은 무엇이 필요한가? — 답은 9주차에서 나온다)

힌트

\(\iff\)는 화살표 두 개의 \(\land\)다 — 계획도 방향별로 하나씩. \(\leftarrow\) 방향은

\(n^2 = 2k\)에서 \(n\)을 꺼내려는 순간 막힌다(1주차 문제 11의 예고). 그 방향의

우회로를 1주차의 증명 목록에서 찾아 본다.

도전 ●●●#

진리표 비교 — 문제 15\(\cdot\)16이 쓰는 작업

두 복합 명제가 “같다”는 주장은, 구성 명제의 모든 진리값 조합에서 두 명제의

진리값이 일치함을 표로 확인하는 것으로 검증한다. 이 관계의 정식 명칭(논리적

동치, \(\equiv\))과 체계적 활용은 9주차의 주제다 — 지금은 표 두 열의 대조로

충분하다.

15. 진리표를 사용해 다음을 확인하시오: \(P \Rightarrow Q\)와 \(\neg P \lor Q\)는 모든 조합에서 진리값이 같다. 이 사실이 “조건문은 \(\neg, \lor\)만으로 조립할 수 있다”는 뜻임을 음미하시오. (9주차 부정 만들기의 열쇠)

힌트

4행 표에 \(\neg P\) 열을 먼저 만들고 \(Q\)와 \(\lor\)한다. 완성되면 §1.1의 실패한

조립 시도와 비교해 보자 — \(\neg\)가 합류하면 어떻게 되는가.

16. \(P \Rightarrow (Q \Rightarrow R)\)와 \((P \land Q) \Rightarrow R\)의 진리표(8행)를 만들어 비교하시오. 같은가? 이 결과를 “가정이 두 개인 정리”의 서술과 연결해 한 문장으로 해석하시오.

힌트

지름길이 있다 — 조건문이 F가 되는 행은 드물다(유일한 거짓 행). 각 명제가

F가 되는 진리값 조합만 찾아 비교하면 나머지 행은 전부 T로 일치한다.

17. 다음 주장의 오류를 지적하시오: “명제 ‘\(x^2 = 4 \Rightarrow x = 2\)’는 \(x = 2\)일 때 T\(\Rightarrow\)T로 참이므로, 참인 명제이다.”

힌트

“모든 \(x\)” 조건문의 참이 무엇이었는지 복기한다 — 어떤 \(x\) 하나에서의 확인으로

충분한가? 가정 \(x^2 = 4\)를 참으로 만드는 \(x\)가 2 말고 또 있는지 찾아 본다.

18. (a) “\(\emptyset\)의 모든 원소는 홀수이다”의 진리값을 판정하시오. (b) “\(\emptyset\)의 모든 원소는 짝수이다”는? (c) 두 답이 동시에 성립하는 것이 왜 모순이 아닌지, 조건문의 진리표로 설명하시오.

힌트

“모든 \(x\)에 대해, \(x \in \emptyset \Rightarrow \cdots\)” 꼴로 다시 쓰는 것이

첫걸음이다. 가정 \(x \in \emptyset\)의 진리값은 \(x\)가 무엇이든 정해져 있다.

19. 다음 두 동치를 판정하시오 (참/거짓 + 근거). (a) “\(x \in A \cap B\)”와 “(\(x \in A\)) \(\land\) (\(x \in B\))”는 필요충분 관계이다. (b) “\(A \subseteq B\)”와 “\(A \cup B = B\)”는 필요충분 관계이다. (5주차 문제 16의 결과 + 나머지 한 방향)

힌트

(a)는 \(A \cap B\)의 정의가 무엇이었는지 적어 보면 끝난다. (b)는 방향 두 개를

각각: (\(\to\))는 5주차 문제 16이 이미 증명했고, (\(\leftarrow\))는 항상 참인 포함

\(A \subseteq A \cup B\)(5주차 문제 10(b))에 상등을 결합한다.

20. (서술) 수학이 “F \(\Rightarrow\) 무엇이든 = T”라는 규칙을 채택해야만 하는 이유를 다음 예로 설명하시오: “모든 정수 \(x\)에 대해, \(4 \mid x \Rightarrow 2 \mid x\)”는 참이어야 마땅한 명제다. 그런데 \(x = 3\)을 대입하면 가정도 결론도 거짓이 된다. 만약 F\(\Rightarrow\)F를 F로 정했다면 무슨 일이 벌어지는가? (세 문장 이내)

힌트

§1.3의 행 변경 실험을 이 사례로 다시 수행한다 — F\(\Rightarrow\)F = F라는 가상의 규칙

아래에서 \(x = 3\)이 명제에 무슨 짓을 하는지 추적한다.

백지 재현 — 복습 프로토콜#

권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용. 판정의 3단 절차(§2 관찰)와 §1.4의 번역 규칙만 펴 놓고, 예제 2.2의 판정을 처음부터 끝까지 적는다. 본문과 진리표는 보지 않는다.

2차 시도 (5일차) — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다:

  • \(P \Rightarrow Q\)의 진리표를 그리고, 거짓이 되는 유일한 행을 짚었다.

  • 공허한 참이 왜 필요한지 일상 사례(§1.2의 약속 문장) 또는 “\(4 \mid x \Rightarrow 2 \mid x\)”로 설명했다.

  • “only if / 충분 / 필요”를 화살표로 번역하는 규칙을 썼다 (충분 = 꼬리, 필요 = 머리).

  • 진리집합의 다리 — “모든 \(x\): \(P(x) \Rightarrow Q(x)\) 참 \(\iff P \subseteq Q\)” — 를 쓰고 유도(확인 9의 네 줄)를 재현했다.

  • \(P \iff Q\)의 정의(화살표 두 개의 \(\land\))와 진리표를 썼다.

  • 예제 2.2의 판정(번역 \(\to\) 포함 확인 \(\to\) 역번역)을 반례까지 포함해 재현했다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점

처방

F 행의 진리값이 헷갈린다

§1.2 — 두 표(약속\(\cdot\)\(x>3\))를 다시 채우며 F 행이 강제되는 과정을 재현한다

only if 방향이 뒤집힌다

§1.4 — “Q 없이 P 없다”의 해부와 확인 6의 대입 검산

충분\(\cdot\)필요가 뒤바뀐다

§1.4 암기 문장 + 훈련 1의 (2)(3)

진리집합 번역이 막힌다

§1.5의 표 채우기 + 예제 2.2의 확인 14

거짓 방향에서 반례를 잊는다

예제 2.2의 확인 15 — 거짓 판정은 반례 하나 명시까지가 판정이다

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) 참, 거짓 (2) \(P \Rightarrow Q\) (3) \(Q \Rightarrow P\) (4) \(\subseteq\) (5) \(=\)

※ (2)와 (3)의 차이가 이번 주의 절반이다 — 충분은 꼬리, 필요는 머리.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) \((1, \infty)\) (2) \((0, \infty)\) (3) \(\subseteq\) (4) T\(\Rightarrow\)F (5) \(\frac{1}{2}\) (0과 1 사이의 아무 실수나 된다) (6) T\(\Rightarrow\)F (7) 충분

※ (5)의 반례는 “\(Q\)에는 속하고 \(P\)에는 속하지 않는” 수 — 두 집합의 차 \((0, 1]\)에서 아무거나 고르면 된다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) \(P = \{x : |x| \le 1\} = [-1, 1]\), \(Q = \{x : x^2 \le 1\} = [-1, 1]\). (2) \(P \subseteq Q\)이고 \(Q \subseteq P\) — 두 진리집합이 같은 구간이므로 양방향 포함이 모두 성립한다 (\(|x| \le 1\)과 \(x^2 \le 1\)은 양변 제곱\(\cdot\)제곱근의 동치 변형으로 서로 오간다). (3) 진리집합이 상등이므로 양방향 화살표가 모두 참 — \(|x| \le 1\)은 \(x^2 \le 1\)이기 위한 필요충분조건이다.

※ 문제 13은 훈련 3의 \(|x| \le 1\) 자리를 “\(x \le 1\)”로 바꾸고 \(x^2 \le 1\)을 \(P\) 자리로 옮긴 명제다 — 절댓값이 사라지는 순간 왼쪽 경계가 풀려 결과가 달라진다.

문제 1#

접근. 예제 2.1의 절차: 가정과 결론의 진리값을 각각 확정한 뒤 진리표 4행 중 어디인지만 찾는다. 가정이 F이면 결론과 무관하게 자동 T다.

풀이. (a) 가정 \(2 > 1\)은 참, 결론 \(3 > 2\)도 참 — T\(\Rightarrow\)T 행이므로 참. (b) 가정 \(2 < 1\)은 거짓 — 결론을 볼 것도 없이 참 (결론이 참이므로 F\(\Rightarrow\)T 행, 공허한 참). (c) 가정 참, 결론 \(3 < 2\) 거짓 — T\(\Rightarrow\)F, 유일한 거짓 행이므로 거짓. (d) 가정 \(\pi \in \mathbb{Q}\)는 거짓 — \(\pi\)가 무리수라는 사실은 지금은 증명 없이 인정하고 쓴다(이 과정이 직접 증명하는 무리수는 21주차의 \(\sqrt{2}\)다). F\(\Rightarrow\)F 행, 참. 결론이 \(1 = 2\)처럼 터무니없는 거짓이어도 판정은 흔들리지 않는다 — 조건문의 진리값은 행만 본다.

문제 2#

접근. 문제 1과 동일한 절차다. 소수\(\cdot\)\(\pi\) 같은 수학적 내용에 현혹되지 말고 각 부분 명제의 진리값만 추출한다 — 가정과 결론 사이에 내용상 연관이 없어도 조건문의 진리값은 정의대로 정해진다.

풀이. (a) 가정 \(1+1=2\) 참, 결론 \(2+2=5\) 거짓 — T\(\Rightarrow\)F 행, 거짓. (b) 가정 \(1+1=3\) 거짓 — F\(\Rightarrow\)F 행, 참 (공허한 참). (c) 가정 “2는 소수” 참, 결론 “3은 소수” 참 — T\(\Rightarrow\)T 행, 참. 2와 3 사이에 아무 논리적 연관이 없어도 판정은 참이다. (d) 가정 “4는 소수”는 거짓(\(4 = 2 \times 2\)로 약수 2를 가진다) — F\(\Rightarrow\)F 행, 참.

복기. (c)의 판정에 저항감이 남는다면 그 정체는 “\(\Rightarrow\)가 인과를 주장한다”는 오해다 — 정의 8.1은 인과가 아니라 진리값 조합만 본다.

문제 3#

접근. 각 문장에서 신호어(if / only if / 충분 / 필요)를 찾고 §1.4의 규칙을 적용한다: if 뒤 = 가정, only if 뒤 = 결론, 충분 = 화살표의 꼬리, 필요 = 머리.

풀이. (a) \(P\): \(6 \mid n\), \(Q\): \(3 \mid n\) — “\(P\)이면 \(Q\)” 그대로 \(P \Rightarrow Q\). (b) \(P\): \(x = 3\), \(Q\): \(x^2 = 9\) — if 뒤(\(x = 3\))가 가정이므로 \(P \Rightarrow Q\). 문장에서 결론이 앞에 나와 있어도 규칙은 같다. (c) \(P\): \(4 \mid n\), \(Q\): \(2 \mid n\) — only if 뒤(짝수)가 결론이므로 \(P \Rightarrow Q\). §1.4의 예문과 같은 명제다. (d) \(P\): 미분가능, \(Q\): 연속 — 필요조건(연속)이 화살표의 머리이므로 (미분가능) \(\Rightarrow\) (연속), 곧 \(P \Rightarrow Q\).

복기. 네 항목 전부 결론이 “더 넓은 쪽”이다 — 참인 화살표는 언제나 넓거나 같은 진리집합을 향해 나간다(이 네 항목에서는 전부 진짜로 더 넓다). 번역이 의심될 때 쓸 수 있는 감시 장치다.

문제 4#

접근. 7주차의 진리표 절차 — 안쪽 열부터 하나씩 추가한다. \(Q \Rightarrow P\) 열은 가정이 \(Q\)이므로, \(Q\)가 T이고 \(P\)가 F인 행에서 거짓이 된다.

풀이.

\(P\)

\(Q\)

\(P \Rightarrow Q\)

\(Q \Rightarrow P\)

\(\land\)

T

T

T

T

T

T

F

F

T

F

F

T

T

F

F

F

F

T

T

T

셋째 열은 TF에서, 넷째 열은 FT에서 — 서로 다른 행에서 거짓이 된다. \(\land\)는 둘 다 참인 행에서만 참이므로 마지막 열은 TT와 FF에서만 T다. 정의 8.2의 진리표(“진리값이 같을 때만 참”)가 유도됐다.

검산. TT 행과 FF 행에서 T, 나머지에서 F — §1.6의 표와 일치한다 ✓.

문제 5#

접근. 신호어 규칙을 문장마다 적용한다. (b)만 문장 구조가 뒤집혀 있다 — “안 가는 날(\(Q\))은 일요일(\(P\))뿐”은 “\(Q\) only if \(P\)”다.

풀이. (a) “일요일이면 안 간다” — if 구조 그대로 \(P \Rightarrow Q\). (b) “\(Q\)인 것은 오직 \(P\)일 때뿐” = \(Q\) only if \(P\) — only if 뒤가 결론이므로 \(Q \Rightarrow P\). 안 감으로부터 일요일임이 따라 나온다는, (a)와 별개의 주장이다. (c) 충분조건 = 꼬리 — \(P \Rightarrow Q\). (d) \(Q\)가 필요조건 = \(Q\)가 머리 — \(P \Rightarrow Q\).

※ (a), (c), (d)는 같은 명제의 세 가지 문형이고 (b)만 역방향이다. 넷 중 하나만 다른 것을 골라내는 감각이 §1.4 표의 목적지다.

문제 6#

접근. 암기 문장 “충분 = 꼬리, 필요 = 머리”를 기계적으로 적용한다. (c)는 정의 8.2에 의해 화살표가 양방향으로 나 있는 경우다.

풀이. (a) 충분 — \(P\)가 화살표의 꼬리다. \(P\)를 확인하면 \(Q\)가 따라 나온다. (b) 필요 — \(Q\)가 화살표의 머리다. \(Q\)가 거짓이면 T\(\Rightarrow\)F 금지에 의해 \(P\)도 참일 수 없다. (c) 필요충분 — 화살표가 양방향이므로 \(P\)는 꼬리(충분)이자 머리(필요)다.

문제 7#

접근. 예제 2.2의 3단 절차를 네 번. (c)는 부등식 \(x^2 \le x\)를 진리집합(구간)으로 바꾸는 번역이 판정의 전부다.

풀이. (a) \(P = \{1\}\), \(Q = \{-1, 1\}\) (\(x^2 = 1\)의 해 두 개). \(P \subseteq Q\)이므로 \(P \Rightarrow Q\) 참. 역포함은 실패 — 반례 \(x = -1 \in Q\)이지만 \(\notin P\). \(\to\) 충분조건 (필요는 아님). (b) (a)와 진리집합이 뒤바뀐 상황: \(P = \{-1, 1\} \supseteq \{1\} = Q\). \(Q \Rightarrow P\) 참(포함 \(Q \subseteq P\)), \(P \Rightarrow Q\) 거짓(반례 \(x = -1\)). \(\to\) 필요조건 (충분은 아님). (c) \(x^2 \le x \iff x(x-1) \le 0 \iff 0 \le x \le 1\) (고1 이차부등식 — 두 근 0, 1 사이). 두 진리집합이 모두 \([0, 1]\)로 일치 \(\to\) 필요충분조건. (d) \(P = (0, \infty)\), \(Q = [0, \infty)\). \(P \subseteq Q\) 성립(참 방향), 역은 반례 \(x = 0 \in Q\)이지만 \(\notin P\). \(\to\) 충분조건 (필요는 아님).

복기. 경계점 하나(\(x = 0\), \(x = -1\))가 판정을 가른다 — 반례는 두 집합의 차집합에서 나오고, 차집합은 대개 경계에 몰려 있다. 반례 탐색은 경계부터 본다.

문제 8#

접근. 두 진리집합의 포함을 원소 추적으로 확인한다 — 4주차 문제 12에서 연습한 “\(x \in E\)라 하자 \(\to\) …”의 작업이다. 반례는 “짝수인데 8의 배수가 아닌” 수 중 가장 작은 것부터 찾는다.

풀이. 진리집합은 \(P = \{8k : k \in \mathbb{Z}\}\), \(Q = \{2k : k \in \mathbb{Z}\}\). 포함을 원소 추적으로 확인한다: \(n \in P\)라 하자. 정의에 의해 \(n = 8k\)인 정수 \(k\)가 존재하고, \(n = 8k = 2(4k)\)에서 \(4k\)는 정수이므로 \(n \in Q\)이다. 따라서 \(P \subseteq Q\)이고, 진리집합의 다리에 의해 “\(8 \mid n \Rightarrow 2 \mid n\)”은 참이다. 역의 반례: \(n = 2\). 가정 확인 — \(2 = 2 \times 1\)이므로 \(2 \mid 2\) 참. 결론 확인 — \(2 = 8c\)인 정수 \(c\)가 없으므로(\(c = \frac{1}{4}\)) \(8 \nmid 2\). T\(\Rightarrow\)F가 발생하므로 역은 거짓이다. \(\blacksquare\)

복기. 반례 제시의 완결 조건(2주차 §4의 ‘반례로 반박하기’ 상자) 그대로 — 가정이 참임을 등식으로, 결론이 거짓임을 정의로 각각 확인한다. “2는 8의 배수가 아니니까”만으로는 절반이다.

문제 9#

접근. “모든 \(x\)” 조건문의 참 = T\(\Rightarrow\)F인 \(x\)가 없음 = 진리집합의 포함. 참 판정은 포함으로, 거짓 판정은 T\(\Rightarrow\)F를 일으키는 \(x\) 하나로 근거를 댄다.

풀이. (a) 참 — 진리집합 \((3, \infty) \subseteq (1, \infty)\): \(x > 3\)이면 \(3 > 1\)과 합쳐 \(x > 1\)이다. (b) 거짓 — 반례 \(x = 2\): 가정 \(2 > 1\) 참, 결론 \(2 > 3\) 거짓으로 T\(\Rightarrow\)F가 발생한다. (a)가 참이라고 그 역까지 참인 것은 아니다 — 역은 별개의 명제다(9주차의 주제). (c) 참 — \(|x| < 2\)의 진리집합이 정확히 \((-2, 2)\)이고 결론의 진리집합도 \((-2, 2)\)다. 진리집합이 상등이므로 사실은 필요충분이다. (d) 참 — \(x^2 > 0\)인데 \(x = 0\)이면 \(0^2 = 0 > 0\)이 되어 모순이므로, 가정이 참인 \(x\)는 전부 \(x \neq 0\)이다. 진리집합은 둘 다 \(\mathbb{R} - \{0\}\) — 이것도 필요충분이다.

문제 10#

접근. 거짓말이 되는 상황 = 유일한 거짓 행 T\(\Rightarrow\)F에 해당하는 상황만 찾는다. §1.2에서 채운 약속 표와 같은 구조다 — 같은 판정을 상자 없이 스스로 한다.

풀이. (b)만. (a) 가정 참(맑음), 결론 참(감) — T\(\Rightarrow\)T, 약속 이행. (b) 가정 참(맑음), 결론 거짓(안 감) — T\(\Rightarrow\)F, 약속이 깨지는 유일한 상황. (c) 가정 거짓(비) — 약속이 비 오는 날에 요구하는 것이 없으므로, 등산을 갔어도 위반이 아니다 (F\(\Rightarrow\)T). (d) 가정 거짓, 결론 거짓 — 역시 위반이 아니다 (F\(\Rightarrow\)F). 비 오는 날의 행동은 무엇이든 약속과 무관하다.

복기. §1.2의 표가 문제로 재등장했다 — 개념에서 해부한 사례를 스스로 재구성하는 이중 노출이다. 일상에서도 수학에서도 “거짓 행은 하나”라는 기준은 같다.

문제 11#

접근. 전부 3단 절차로 판정한다. (d)는 양방향을 각각 — 12의 배수이면 4와 6의 공배수인가? 그 역은? (5주차 문제 9의 “2와 3의 공배수 = 6의 배수” 감각의 연장이다.)

풀이. (a) \(x = 3 \iff 3x = 9\) — 양변을 3으로 곱하거나 나누는 동치 변형으로 서로 오가므로 진리집합이 \(\{3\}\)으로 상등 \(\to\) 필요충분조건. (b) 정삼각형은 세 변이 같으므로 특히 두 변이 같다 — 이등변이다. \(P \Rightarrow Q\) 참. 역은 거짓 — 반례: 변의 길이가 \(2, 2, 3\)인 이등변삼각형은 정삼각형이 아니다. \(\to\) 충분조건 (필요는 아님). (c) \(P\)의 진리집합 \(\{-2, 2\}\), \(Q\)의 진리집합 \(\{2\}\). \(Q \subseteq P\)이므로 \(Q \Rightarrow P\) 참(필요조건 성립), \(P \Rightarrow Q\)는 반례 \(x = -2\)(가정 \(|-2| = 2\) 참, 결론 \(-2 = 2\) 거짓)로 거짓. \(\to\) 필요조건 (충분은 아님). (d) (\(\to\)) \(n = 12k = 4(3k) = 6(2k)\)이므로 4의 배수이고 6의 배수 — 참. (\(\leftarrow\)) 4와 6의 공배수이면 최소공배수 12의 배수이므로 참 (“공배수는 최소공배수의 배수”는 지금은 인정하고 쓴다 — 20주차에서 증명). 양방향 성립 \(\to\) 필요충분조건.

복기. (b)의 반례는 수가 아니라 도형이다 — 반례는 “가정은 만족하고 결론은 어기는 대상”이면 무엇이든 된다. 반례 = 숫자라는 고정 관념을 여기서 끊어 둔다.

문제 12#

접근. 영어 신호어를 §1.4의 표로 처리한다: if 뒤 = 가정, only if 뒤 = 결론, sufficient = 꼬리, necessary = 머리. 우리말 번역과 동시에 화살표 방향을 정한다.

풀이. (a) if 뒤가 가정 — (\(n\) 홀수) \(\Rightarrow\) (\(n^2\) 홀수). 1주차 문제 11에서 증명한 그 명제다. (b) only if 뒤가 결론 — (연속) \(\Rightarrow\) (모든 점에서 정의됨). “정의된 곳에서만 연속일 수 있다”는 뜻이다. (c) sufficient가 붙은 쪽이 꼬리 — (\(x = 2\)) \(\Rightarrow\) (\(x^2 = 4\)). (d) necessary가 붙은 쪽(\(n > 0\))이 머리 — (\(n \in \mathbb{N}\)) \(\Rightarrow\) (\(n > 0\)). “자연수라면 반드시 양수”라는 주장이다.

복기. 신호어 넷의 처리 규칙은 언어가 바뀌어도 같다 — 대학 교재의 정리 서술 대부분이 이 네 문형 중 하나로 온다.

문제 13#

접근. 훈련 3에서 \(x^2 \le 1\)의 진리집합을 구했다 — \([-1, 1]\). 크게 음수인 \(x\)(이를테면 \(-5\))가 어느 집합에 속하는지 확인하면 포함의 방향이 보인다.

풀이. 진리집합: \(P = \{x : x^2 \le 1\} = [-1, 1]\), \(Q = \{x : x \le 1\} = (-\infty, 1]\). \(P \subseteq Q\) 성립 — \(-1 \le x \le 1\)이면 특히 \(x \le 1\)이다. 역포함은 실패 — 반례 \(x = -5\): 가정 \(-5 \le 1\)은 참이지만 \((-5)^2 = 25 > 1\)이므로 \(-5 \notin P\), 곧 결론이 거짓이다. 따라서 \(P \Rightarrow Q\)만 참 — **\(P\)는 \(Q\)이기 위한 충분조건 (필요는 아님)**이다.

복기. 훈련 3(필요충분)과 이 문제의 차이는 절댓값 하나다 — \(x \le 1\)은 음수 방향이 뚫려 있어 진리집합이 왼쪽으로 샌다. 문장 한 조각이 진리집합의 모양을, 진리집합의 모양이 판정을 바꾼다.

문제 14#

접근. 정의 8.2에 의해 \(\iff\)는 화살표 두 개의 \(\land\)다 — 계획도 방향마다 하나씩. 각 방향에 대해 “이미 증명돼 있는가 / 직접 증명이 되는가 / 막히면 어떤 우회로가 있는가”를 1주차의 증명 목록과 대조한다.

풀이. (계획 예시) (\(\to\)) \(n\) 짝수 \(\Rightarrow\) \(n^2\) 짝수: 1주차 문제 9에서 직접 증명 완료 (\(n = 2a\) 대입, \(n^2 = 2(2a^2)\)). 근거 ④로 인용만 하면 된다. (\(\leftarrow\)) \(n^2\) 짝수 \(\Rightarrow\) \(n\) 짝수: 직접 증명을 시도하면 \(n^2 = 2k\)에서 \(n\)을 꺼낼 방법이 없어 3단계 틀이 막힌다(1주차 문제 11의 예고에서 만난 막힘). 우회로: 이 명제 대신 “\(n\) 홀수 \(\Rightarrow\) \(n^2\) 홀수”를 증명하는 것 — 이것은 1주차 문제 11에서 이미 증명했다. 이 우회(대우)가 원명제와 진리값이 같다는 보증은 9주차에서 진리표로 확정하고, 증명법으로의 정식 채용은 19주차에서 한다. 이처럼 iff 증명 = 두 개의 조건문 증명이고, 방향마다 다른 기법을 쓸 수 있다 (25주차에서 서식으로 승격한다).

문제 15#

접근. 4행 진리표에 \(\neg P\) 열을 만들고 \(Q\)와 \(\lor\)한 뒤, \(P \Rightarrow Q\) 열과 대조한다. 완성되면 §1.1의 실패한 조립 시도가 어떻게 회수되는지 본다.

풀이.

\(P\)

\(Q\)

\(P \Rightarrow Q\)

\(\neg P\)

\(\neg P \lor Q\)

T

T

T

F

T

T

F

F

F

F

F

T

T

T

T

F

F

T

T

T

3열과 5열이 네 행 전부에서 일치한다 — \(P \Rightarrow Q\)와 \(\neg P \lor Q\)는 같은 명제의 두 표기다. 뜻으로 읽으면 “P이면 Q” = “P가 아니거나, Q다” — 가정이 거짓이거나(공허한 참 두 행) 결론이 참이면 조건문은 참이다.

복기. §1.1에서 실패한 조립이 \(\neg\)의 합류로 성공했다 — 화살표는 새 원소가 아니라 \(\neg, \lor\) 조합에 붙인 이름이었다. 이 등식 덕분에 조건문의 부정을 논리 계산으로 처리할 수 있게 된다(9주차에서 \(\neg(P \Rightarrow Q) \equiv P \land \neg Q\)가 나온다).

문제 16#

접근. 지름길 — 조건문은 유일한 거짓 행만 찾으면 나머지는 전부 T다. 좌변이 F가 되는 조합과 우변이 F가 되는 조합을 각각 구해 비교한다.

풀이. 좌변 \(P \Rightarrow (Q \Rightarrow R)\)이 F이려면: \(P\)가 T이고 \(Q \Rightarrow R\)이 F — 후자는 \(Q\)가 T, \(R\)이 F일 때다. 즉 좌변이 F인 조합은 (\(P\), \(Q\), \(R\)) = (T, T, F) 하나뿐이다. 우변 \((P \land Q) \Rightarrow R\)이 F이려면: \(P \land Q\)가 T(둘 다 T)이고 \(R\)이 F — 역시 (T, T, F) 하나뿐이다. 두 명제는 같은 한 행에서만 F이고 나머지 7행에서 모두 T — 여덟 행 전부 일치한다. 해석: “P이면, (Q이면 R)”이라는 정리는 “P와 Q를 둘 다 가정하면 R”과 같은 정리다. 증명이 “P와 Q를 가정하자”로 한꺼번에 시작해도 되는 근거다(15주차 증명 서식의 재료).

검산. (T, T, F) 한 행을 실제로 계산하면: 좌변 = T\(\Rightarrow\)(T\(\Rightarrow\)F) = T\(\Rightarrow\)F = F, 우변 = (T\(\land\)T)\(\Rightarrow\)F = T\(\Rightarrow\)F = F ✓.

문제 17#

접근. “모든 \(x\)” 조건문의 참 = 모든 \(x\)에서 T\(\Rightarrow\)F가 없음. 한 \(x\)에서의 T\(\Rightarrow\)T 확인은 그 \(x\)에 대한 확인일 뿐이다. 가정 \(x^2 = 4\)를 참으로 만드는 \(x\)를 전부 나열해 본다.

풀이. 가정 \(x^2 = 4\)의 진리집합은 \(\{-2, 2\}\) — \(x = 2\) 말고 \(x = -2\)도 가정을 참으로 만든다. \(x = -2\)에서 가정은 참인데 결론 \(-2 = 2\)는 거짓 — T\(\Rightarrow\)F가 발생하므로 명제는 거짓이다. 주장의 오류는 한 \(x\)(\(x = 2\)) 에서의 성립 확인을 “모든 \(x\)”에 대한 증명으로 승격한 것 — 1주차 준비 운동에서 해부한 “예시 확인은 증명이 아니다”와 같은 오류가 판정 문제에서 재발한 것이다. 진리집합으로 보면 \(\{-2, 2\} \nsubseteq \{2\}\) — 포함이 실패하는 지점(\(-2\))이 곧 반례다.

문제 18#

접근. “\(\emptyset\)의 모든 원소는 ~이다”를 조건문 “모든 \(x\)에 대해, \(x \in \emptyset \Rightarrow \cdots\)”로 다시 쓴다. 가정의 진리값이 \(x\)와 무관하게 정해져 있다는 것이 판정의 전부다.

풀이. (a) 참. 임의의 \(x\)에 대해 가정 \(x \in \emptyset\)은 거짓이므로, 조건문 “\(x \in \emptyset \Rightarrow x\)는 홀수”는 모든 \(x\)에서 F 행 — 공허하게 참이다. T\(\Rightarrow\)F가 되는 \(x\)가 존재할 수 없으므로 전체 명제는 참이다. (b) 참. 같은 논리다 — 결론을 “짝수”로 바꿔도 가정이 항상 거짓이라는 사실은 변하지 않고, F\(\Rightarrow\)(무엇이든) = T이다. (c) 두 문장 모두 가정이 항상 거짓이므로 어떤 결론을 붙여도 참이다. 두 문장이 충돌하려면 홀수이면서 짝수인 원소가 있어야 하는데, 원소가 없으므로 충돌할 자리 자체가 없다. 4주차에서 “어길 원소가 없어서 참”이라고 설명한 \(\emptyset \subseteq A\)의 정체가 바로 이 구조 — 조건문의 공허한 참 — 였다.

문제 19#

접근. (a)는 계산 문제가 아니다 — \(A \cap B\)의 정의가 무엇이었는지 적으면 끝난다. (b)는 두 방향을 각각: (\(\to\))는 5주차 문제 16이 이미 증명했고, (\(\leftarrow\))는 항상 참인 포함 \(A \subseteq A \cup B\)(5주차 문제 10(b))에 가정의 상등을 결합한다.

풀이. (a) 참 — 필요충분이다. 5주차 정의 5.1에서 \(A \cap B\)를 정의한 문장이 정확히 “\(x \in A \cap B \iff (x \in A) \land (x \in B)\)”였다 — 정의란 말과 조건을 쌍조건문으로 잇는 선언이므로, 모든 정의는 그 자체로 필요충분 관계다. (“정의 = iff” 관례의 정식 논의는 25주차에서 한다.) (b) 참 — 필요충분이다. 두 방향을 각각 확인한다. (\(\to\)) \(A \subseteq B\)라 가정하자. 5주차 문제 16에 의해 \(A \cup B = B\)이다 (근거 ④ — 이미 증명한 명제의 인용). (\(\leftarrow\)) \(A \cup B = B\)라 가정하자. \(A \subseteq A \cup B\)는 임의의 집합에서 항상 참이므로(5주차 문제 10(b)), 상등을 대입하면 \(A \subseteq A \cup B = B\), 곧 \(A \subseteq B\)이다. 양방향이 모두 성립하므로 필요충분 관계다. \(\blacksquare\)

복기. (b)의 두 방향은 재료가 다르다 — 기존 정리 인용과, 항상 참인 포함에 상등 대입. 방향마다 다른 기법을 쓴다는 문제 14의 계획이 집합에서 실행된 첫 사례다(완전한 서식은 25주차 문제 10에서).

문제 20#

접근. §1.3의 행 변경 실험을 서술로 완성한다. F\(\Rightarrow\)F = F라는 가상의 규칙 아래에서 명제가 어떻게 되는지 \(x = 3\)으로 추적한 뒤, 그 결말을 받아들일 수 없는 이유를 적는다.

풀이. (예시 답안) “모든 정수 \(x\)에 대해 \(4 \mid x \Rightarrow 2 \mid x\)”는 4의 배수가 모두 짝수이므로 당연히 참이어야 한다. 그런데 F\(\Rightarrow\)F를 F로 정하면 \(x = 3\)(가정 거짓, 결론 거짓)에서 조건문이 거짓이 되어 “모든 정수 \(x\)에 대해”가 무너진다. 즉 가정에 해당하지 않는 \(x\)들이 명제를 훼방하지 못하게 하려면 F\(\Rightarrow\)F(같은 이유로 F\(\Rightarrow\)T도 — 예컨대 \(x = 2\))를 T로 정할 수밖에 없다.

복기. 공허한 참은 관대함이 아니라 설계다 — 참\(\cdot\)거짓이 가정의 진리집합 안에서만 결정되게 하는 장치이고, 그 대가로 조건문 증명은 가정이 참인 경우만 다루면 된다(확인 5). 이번 주의 핵심 문장 — 거짓은 단 한 행 — 이 이 설계의 요약이다.

다음 주 예고: \(P \Rightarrow Q\)를 뒤집고(\(Q \Rightarrow P\): 역), 부정을 붙여(\(\neg Q \Rightarrow \neg P\): 대우) 어느 것이 원래와 진리값이 같은지 진리표로 판결한다. 대우가 원명제와 같다는 판결이 문제 14의 (\(\leftarrow\)) 방향이 쓴 우회로의 보증서이고, 19주차 대우 증명법의 이론적 근거가 된다. 문제 15의 \(P \Rightarrow Q \equiv \neg P \lor Q\)가 부정 계산의 출발점이다.