S1주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

예제 — 세팅 표를 함께 세우기

완성된 세팅을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 백지에서 한 줄씩 만들고, 2.2는 설계만 함께 하고, 2.3은 설계부터 스스로 한다.

예제 2.1 — 분해와 세팅

명제. 양의 실수 \(x\)에 대해, \(x + \dfrac{1}{x} = 2\)이면 \(x = 1\)이다.

이 명제로 세팅 표를 만든다. 증명 자체는 S2~S3주차에서 이 명제로 계속한다. §1.1에서 막혔던 그 명제이고, 막힌 이유가 세팅 부재였음을 여기서 확인한다.

설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것 (도착점)을 먼저 수식으로 옮긴다.

	말	수식 번역
가정 (출발점)	\(x\)는 양의 실수이고 \(x + \frac1x = 2\)	\(\underline{\quad(?)\quad}\)
목표 (도착점)	\(x = 1\)	\(x = 1\) (더 풀 것이 없는 등식)

확인 8. 가정 칸의 빈칸을 채워 보자. 한국어 한 줄에 조각이 몇 개 들어 있는가.

답

세 조각이다: \(x \in \mathbb{R}\), \(x > 0\), \(x + \frac1x = 2\).

“양의 실수”라는 한 낱말이 무대 선언(\(x\)는 실수)과 조건(\(x > 0\)) 두 개를

담고 있다. §1.1에서 막힌 원인은 B에 풀 정의가 없어 1권의 3단계 틀 ②\(\cdot\)③이

작동하지 않은 것이었고, 그 진단을 하려면 먼저 A의 조각을 다 세어 두어야 한다.

확인 9. 목표 B는 “\(x = 1\)”이다. 이 B에는 풀 정의가 없다. 그렇다면 이 명제에서 B가 맡는 역할은 무엇인가.

답

끝나는 지점의 표시다. B가 정해져 있어야 “어디까지 가면 끝인가”를 판정할 수

있다. 정의가 없는 B는 1권의 3단계 틀로는 다룰 수 없지만, B를 동치인 다른 모양

(\(x - 1 = 0\), \((x-1)^2 = 0\) 등)으로 바꾸는 길이 있다 — 그 길에 이름을 붙이는

것이 S2주차의 후진 과정이다. 이번 주에는 B를 정확히 적어 두는 데까지만 한다.

확인 10. 이 명제에서 허용된 근거는 무엇인가. §1.7의 목록으로 답해 보자.

답

① 실수\(\cdot\)양수의 정의 ② 실수의 대수 법칙과 부등식의 기본 성질(1권 16주차

(W1)~(W6)) ③ 등식 조작(양변에 \(x\)를 곱한 뒤 되돌릴 수 있으려면 \(x \neq 0\)이

필요한데, 애초에 \(\frac1x\)가 등장하므로 \(x \neq 0\)은 A에 이미 들어 있다)

④ 1권에서 증명한 명제들 ⑤ 논리 규칙. 목록에 없는 것(“그래프를 보면 명백”)은

근거가 아니다. 그렇다면 \(x > 0\)은 무엇을 하는가 — 이 명제에서는 결론에 쓰이지

않는 여유 가설이다. A의 조각을 다 적어야 “어느 조각이 실제로 쓰이는가”를

물을 수 있다.

확인 11. 세팅이 끝난 뒤 증명자가 취할 자세를 한 문장으로 적어 보자. \(x = 3\)인 경우는 검토해야 하는가.

답

“A가 참인 세계에 서 있다. 이 세계에서 B가 강제됨을 보인다.”

\(x = 3\)은 검토하지 않는다. \(3 + \frac13 = \frac{10}{3} \neq 2\)이므로 그 세계에서는

A가 거짓이고, \(3 \neq 1\)이므로 B도 거짓이다 — 진리표 넷째 행(\(F \Rightarrow F\))이고,

그 행에서 명제는 이미 참이다.

완성본. 위 네 확인의 답을 이어 붙이면 아래 세팅 표가 된다. 왼쪽 열을 베껴 쓰면서 오른쪽 열의 “왜”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄	왜 이 줄을 쓰는가?
A(가설): \(x\)는 실수, \(x > 0\), 그리고 \(x + \frac1x = 2\)	무대 선언(“양의 실수”)도 가설이다. 조각을 남김없이 적어야 §1.3의 걸음 ①이 완료된다.
B(결론): \(x = 1\)	확신시켜야 할 것. 아직 참인지 모른다는 태도를 유지한다 — B를 참으로 쓰는 순간 결론 가정 오류가 된다.
허용된 근거: 실수의 대수 법칙과 부등식의 기본 성질(1권 16주차 (W1)~(W6)), 정의들, 이미 증명한 명제, 논리 규칙	이 목록 밖의 것은 쓸 수 없다 — §1.3의 걸음 ③.
자세: “A가 참인 세계에 서 있다. 이 세계에서 B가 강제됨을 보인다.”	\(x = 3\) 같은 세계는 검토 대상이 아니다. 그 세계에서는 A가 거짓이라 검토 대상이 아니다 — §1.3의 걸음 ④.

이 표가 §1.1의 막힘을 푸는 것은 아니다. 푸는 것은 S2주차의 후진 과정이다. 이 표가 하는 일은 무엇이 부족한지를 보이는 것이고, 그것만으로도 다음 줄을 찾는 물음이 “무엇을 해야 하지”에서 “B를 어떤 모양으로 바꿔야 하지”로 좁혀진다.

예제 2.2 — “A 거짓” 칸은 왜 걱정거리가 아닌가

질문. 예제 2.1의 명제에서 \(x = 2\)일 때 \(x + \frac1x = 2.5 \neq 2\)이고, 결론 \(x = 1\)도 거짓이다. 명제가 틀린 것 아닌가.

이번에는 설계만 함께 하고, 답은 완성본으로 본다.

확인 12. 이 질문에 답하려면 무엇을 먼저 판정해야 하는가. \(x = 2\)인 세계에서 A의 진리값과 B의 진리값을 각각 적고, 진리표의 몇째 행인지 찾아 보자.

답

A: 거짓(\(2 + \frac12 = 2.5 \neq 2\)). B: 거짓(\(2 \neq 1\)). 따라서 진리표 넷째 행

(\(F \Rightarrow F\))이고, 그 행에서 \(A \Rightarrow B\)는 참이다. 판정 순서가 중요하다 —

B를 보기 전에 A부터 본다. A가 거짓이면 B는 볼 필요조차 없다.

답. 틀리지 않았다. \(x = 2\)인 세계에서는 A가 거짓이므로 \(A \Rightarrow B\)는 그 세계에서 자동으로 참이다(진리표 넷째 행). 검토 대상이 아닌 세계는 명제의 참을 훼손하지 못한다. 명제가 거짓이 되는 유일한 길은 “A는 참인데 B가 거짓인 세계”(둘째 행)를 하나라도 찾는 것이고, 그런 세계를 반례라 한다(1권 29주차). 증명은 그런 세계가 없음을 보이는 일이다. \(\blacksquare\)

증명의 한 줄	왜 이 줄을 쓰는가?
\(x = 2\)에서 A의 진리값을 먼저 계산한다	판정 순서를 A \(\to\) B로 고정한다. 순서를 바꾸면 “B가 거짓이다”에 놀라 잘못된 결론에 이른다.
진리표 넷째 행임을 지목한다	근거를 논리 규칙(근거 ⑤)으로 명시한다. “그냥 상관없다”는 근거가 아니다.
명제가 거짓이 되는 유일한 길이 둘째 행임을 다시 말한다	질문자가 무엇을 찾았어야 했는지를 알려 준다 — 반례는 둘째 행에서만 나온다.

1권에서 두 번(8주차의 조건문 진리표, 29주차의 반례 서식) 만난 사실이지만, 이번 주의 용어로는 한 문장이 된다 — 증명자가 검토할 세계는 A가 참인 세계뿐이다.

예제 2.3 — 분해 오류 진단

잘못된 세팅. 명제 “이등변삼각형의 두 밑각은 같다”에 대해 어떤 답안이 A = “두 밑각이 같다”, B = “삼각형은 이등변이다”로 세팅했다.

이번에는 설계부터 스스로 해 보자.

확인 13. 위 명제를 스스로 세팅해 보자. A와 B를 각각 적고, 잘못된 세팅과 무엇이 다른지 한 줄로 적는다.

답

A: 삼각형 \(ABC\)가 존재하고 \(AB = AC\)이다. B: \(\angle B = \angle C\)이다.

잘못된 세팅은 A와 B가 서로 바뀌었다. 한국어 “~의 …는 \(-\)이다” 꼴에서

“~”(이등변삼각형이라는 자격)가 가설이고 “\(-\)“(밑각이 같다는 성질)가 결론이다.

진단. 가설과 결론을 뒤집었다. 이 세팅으로 증명하면 원명제가 아니라 그 역(1권 9주차)을 증명하게 된다. 역이 참인지 거짓인지는 별개의 문제이고, 이 경우에는 역도 참이지만 — 그것은 별개의 명제이므로 원명제의 증명이 되지 못한다. 분해를 검산하는 방법은 하나다: “무엇이라고 가정하고, 무엇을 보이는가”를 소리 내어 말해 보는 것. “이등변이라고 가정하고, 밑각이 같음을 보인다” ✓. “밑각이 같다고 가정하고, 이등변임을 보인다” ✗ — 원명제가 물은 것이 아니다. 세팅 단계의 이 뒤집기와 나란히 놓고 볼 다른 병 — A와 B를 옳게 알면서 개시 문장에서 B를 가정하는 것 — 을 문제 18에서 다룬다. \(\blacksquare\)

관찰 — 세 예제의 같은 뼈대

예제 2.1, 2.2, 2.3은 소재가 전혀 다르다. 하나는 대수, 하나는 진리표, 하나는 기하다. 그런데 셋 다 같은 네 걸음(§1.3)을 밟았다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

걸음	예제 2.1	예제 2.2	예제 2.3
① A를 남김없이	조각 세 개를 세었다	\(x = 2\)에서 A의 진리값을 먼저 계산	\(\underline{\quad(1)\quad}\)
② B를 정확히	\(x = 1\)	\(x = 1\) (거짓임을 확인)	\(\angle B = \angle C\)
③ 허용된 근거 확정	확인 10의 목록	\(\underline{\quad(2)\quad}\)	기하의 정의와 정리들
④ 검토 범위 자르기	\(x = 3\)은 보지 않는다	넷째 행은 자동 참	\(\underline{\quad(3)\quad}\)

확인 14. 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 세 예제가 공통으로 한 일을 한 문장으로 적어 보자.

답

(1) 삼각형의 존재와 \(AB = AC\)라는 자격을 A로 잡았다

(2) 진리표, 곧 논리 규칙(근거 ⑤)

(3) 역을 증명하는 일은 이 명제의 검토 범위가 아니다.

공통으로 한 일: **어떤 명제든 증명에 손대기 전에 A\(\cdot\)B\(\cdot\)허용된 근거\(\cdot\)검토 범위

네 가지를 먼저 확정했다.**

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

백지 암기 대상

세팅의 네 걸음

① A를 남김없이 적는다(숨은 무대 선언 포함) \(\to\) ② B를 정확히 적는다 \(\to\)

③ 허용된 근거의 목록을 확정한다 \(\to\) ④ “A가 참인 세계에 선다”를 선언한다

이 네 걸음은 이번 학기 20주 내내 모든 명제 앞에서 반복된다. 달라지는 것은

네 걸음이 끝난 뒤에 무엇을 하는가이고, 그것이 S2주차부터의 내용이다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며

세 훈련은 같은 네 걸음을 지지대만 줄여 가며 반복한다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6 해설에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

훈련 1 ●○○ — 수식과 낱말 빈칸

명제. 홀수인 소수 \(p\)에 대해, \(p^2 + 1\)은 짝수이다.

• A(가설, 숨은 것 포함): \(p\)는 \(\underline{\quad(1)\quad}\)이고, \(p\)는 소수이며, \(p\)는 \(\underline{\quad(2)\quad}\)이다.

• B(결론): \(\underline{\quad(3)\quad}\)

• 증명의 첫 문장: “\(p\)를 \(\underline{\quad(4)\quad}\)라 하자.”

• A가 거짓인 세계의 예: \(p = \underline{\quad(5)\quad}\) (소수이지만 홀수가 아니다). 이 세계는 검토 대상인가? \(\underline{\quad(6)\quad}\)

훈련 2 ●●○ — 빈칸과 근거를 함께

이번에는 각 칸에 붙는 근거 번호(§1.7의 ①~⑤)도 빈칸이다.

명제. 정수 \(n\)에 대해, \(n\)이 3의 배수이면 \(n^2\)도 3의 배수이다.

• A: \(\underline{\quad(1)\quad}\)

• B: \(\underline{\quad(2)\quad}\)

• A의 “3의 배수”를 등식으로 바꾸는 번역의 근거는 근거 \(\underline{\quad(3)\quad}\)이고, 번역 결과는 \(n = \underline{\quad(4)\quad}\)인 정수 \(k\)가 존재한다는 것이다.

• B를 만들려면 \(n^2 = 3 \times (\text{정수})\) 꼴을 제시해야 한다. 괄호 안이 정수임을 보증하는 근거는 근거 \(\underline{\quad(5)\quad}\)이다.

• A가 거짓인 세계의 예: \(n = \underline{\quad(6)\quad}\). 그 세계에서 B의 진리값은 \(\underline{\quad(7)\quad}\)이고, 그럼에도 명제가 훼손되지 않는 이유는 진리표의 \(\underline{\quad(8)\quad}\)째 행이기 때문이다.

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고

명제. 소수는 무한히 많다. (1권 21주차 예제 2.3에서 증명한 명제다 — 그 증명이 빌려 쓴 “2 이상의 모든 정수는 소수인 약수를 가진다”는 1권 33주차 문제 6에서 회수했다. 여기서는 증명을 다시 쓰지 않고 세팅만 한다.)

이 명제에는 “이면”이 없다. §1.5의 무조건 명제 처리가 필요하다. 네 걸음의 각 칸을 통째로 채운다.

• ① A: \(\underline{\quad(1)\quad}\)

• ② B: \(\underline{\quad(2)\quad}\)

• ③ 허용된 근거: \(\underline{\quad(3)\quad}\)

• ④ 검토 범위: \(\underline{\quad(4)\quad}\) (A가 거짓인 세계가 있는가?)

(이 훈련이 문제 8의 예행연습이다.)

연습문제 (20문항)

문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다 \(\to\) 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. 이번 주에는 채점 항목이 셋이다.

① A를 남김없이 적었는가 — 숨은 무대 선언이 빠지면 감점이 아니라 명제의 판정이

성립하지 않는다.

② A와 B가 뒤집히지 않았는가 — “무엇을 가정하고 무엇을 보이는가”를 소리 내어 검산한다.

③ 각 줄의 근거를 §1.7의 ①~⑤로 지목할 수 있는가 — “당연히”는 근거가 아니다.

“\(n\)은 짝수다(맞음)”는 0점이고, “\(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재하므로(근거 ①) 짝수다”가 만점이다.

기본 ●○○

1. [백지] “증명 과제”의 세 요소(주어진 것 / 해야 할 일 / 허용된 근거)를 쓰시오.

백지 암기 대상

힌트

§1.2의 상자 세 줄이다. 세 줄을 외우는 것이 아니라, 각 줄이

§1.3의 어느 걸음과 짝을 이루는지 함께 적으면 복구가 쉬워진다.

2. 진리표를 그리고, 네 행 각각에 증명자에게 주는 지시(증명이 도달할 칸 / 명제가 거짓이 되는 칸 / 검토 대상 아님)를 이름으로 붙이시오.

힌트

먼저 1권 8주차의 진리표를 그대로 그린다. 그 다음 각 행에서 A의 진리값만 본다 —

A가 거짓인 행은 이름이 하나로 정해지고, A가 참인 두 행만 이름이 갈린다.

3. 다음 명제들의 A와 B를 분해하시오 (숨은 가설 포함). (a) 짝수의 제곱은 4의 배수이다. (b) \(x\)가 2보다 큰 실수이면 \(x^2 - x > 2\)이다. (c) 두 유리수의 곱은 유리수이다.

힌트

세 문항 모두 문장에 적혀 있지 않은 무대 선언이 A에 하나씩 들어간다.

(c)의 “두 유리수”라는 명사구는 문자 두 개와 자격 두 개로 풀어 적는다.

4. 빈칸 훈련을 백지에서 완성하시오.

힌트

§3의 훈련 1\(\cdot\)2\(\cdot\)3을 문제만 보고 다시 채우라는 뜻이다. 훈련 3이 가장 오래 걸린다 —

“이면”이 없는 명제의 A가 무엇이었는지가 관건이다(§1.5).

5. 예제 2.1(세팅 표)을 명제 “실수 \(x\)에 대해, \(x^3 = 8\)이면 \(x = 2\)이다”로 다시 작성하시오.

힌트

예제 2.1의 네 행(A / B / 허용된 근거 / 자세)을 그대로 따라 쓴다. 다만 이번 B는

삼차식이 상대다 — 그 차이가 허용된 근거의 목록에 어떤 영향을 주는지 함께 적는다.

6. “모든 증명의 첫 문장이 ‘A라 가정하자’인 이유”를 진리표의 어느 행들로 설명하시오.

힌트

네 행을 “증명자가 손댈 것이 있는 행”과 “이미 끝난 행”으로 두 무리로 가른다.

손댈 것이 있는 행들의 공통점 한 가지가 그대로 답이 된다.

표준 ●●○

7. 다음 명제의 A, B를 분해하고, “A가 거짓이라 검토 대상이 아닌 세계”의 예를 하나씩 드시오. (a) \(n\)이 6의 배수이면 \(n\)은 3의 배수이다. (b) 함수 \(f\)가 증가함수이면 \(f\)는 단사이다. (1권 41주차 문제 13)

힌트

검토 대상이 아닌 세계란 “A를 만족하지 않는 대상”이다. (b)에서는 그 대상이 수가 아니라

함수이므로, 증가함수가 아닌 함수를 하나 대면 된다.

8. 무조건 명제 “\(\sqrt2\)는 무리수이다”를 \(A \Rightarrow B\) 틀로 재구성하시오 — A에 무엇이 들어가는가? 그리고 1권 21주차의 실제 증명에서 “허용된 근거”로 사용된 것 세 가지를 나열하시오.

힌트

앞부분은 §1.5의 무조건 명제 처리 그대로다. 뒷부분은 1권 21주차의 증명을 펴 놓고

줄마다 “이 줄의 근거는 ①~⑤ 중 무엇인가”를 적어 보면 세 가지가 저절로 모인다.

9. 명제 “정수 \(a, b\)에 대해, \(a \mid b\)이고 \(b \mid a\)이면 \(|a| = |b|\)이다”를 세팅하고, 가설 A가 두 조각임을 명시한 뒤 — 두 조각을 각각 어떻게 쓸 수 있는 꼴로 번역할지(정의 전개) 쓰시오 (증명은 하지 않아도 됨; 1권 2주차 문제 20 참조).

힌트

“\(a \mid b\)”를 정의로 풀면 정수 하나가 나온다. 두 조각을 풀면 정수가 둘 나오는데,

두 정수에 같은 문자를 쓰면 안 되는 이유가 1권 1주차 예제 2.1의 문자 재사용 경고다.

10. 다음 학생의 이해를 진단하시오: “명제 ‘\(x > 3\)이면 \(x^2 > 9\)’를 증명하려면 \(x \le 3\)인 경우에 \(x^2 \le 9\)인 것도 보여야 완전하다.”

힌트

그 학생이 검토하려는 세계는 진리표의 몇째 행인가. 그리고 그 행까지 처리하면

결과적으로 어떤 명제를 증명하게 되는지를 기호로 적어 본다 — §1.3의 실험 4다.

11. 다음 학생의 이해를 진단하시오: “\(x = -5\)일 때 \(x^2 = 25 > 9\)인데 \(x > 3\)은 거짓이다. 그러므로 명제 ‘\(x > 3\)이면 \(x^2 > 9\)’에는 문제가 있다.”

12. 명제 “\(n^2 + n + 41\)은 모든 자연수 \(n\)에서 소수이다”(1권 1주차 문제 18)가 거짓임을 아는 상태에서 — 이 명제가 거짓이 되는 칸(A 참, B 거짓)에 해당하는 세계를 정확히 명시하시오 (A와 B가 각각 무엇이고, 그 세계에서 왜 A 참\(\cdot\)B 거짓인지).

힌트

1권 1주차 문제 18의 반례가 그대로 답이다. 다만 “반례를 댄다”에서 끝내지 말고,

그 하나의 \(n\)에서 A의 진리값과 B의 진리값을 각각 계산해 두 줄로 적는 것이 이 문제다.

13. “허용된 근거”의 목록에 없는 것을 쓴 가짜 증명의 예를 1권에서 하나 회수하시오: 1권 23주차 문제 19에서 어떤 ‘정리’가 인용되었고, 왜 그것이 허용된 근거가 아니었는가?

힌트

그 답안이 인용한 문장을 명제 하나로 떼어 내 참\(\cdot\)거짓을 판정한다. 거짓이면

정리일 수 없고, 정리가 아니면 근거 ④의 자격을 갖추지 못한다.

14. 명제 “이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다”를 세팅하시오 (A에 숨은 가설이 몇 개인지 세어 볼 것 — 기하 명제는 숨은 가설이 특히 많다).

힌트

문장에 등장하는 대상을 하나씩 세어 본다: 삼각형, 꼭지각, 이등분선, 밑변.

각 대상이 “존재한다”와 “이런 자격을 갖는다” 두 줄씩을 요구한다. B도 한 조각이

아니라는 점에 주의한다 — “수직”과 “이등분”은 서로 다른 주장이다.

도전 ●●●

이 문제가 회수하는 것 — 존재와 유일의 두 의무

문제 15는 1권 26주차의 두 의무를 이번 주의 용어로 다시 본다. “조건을 만족하는 것이

하나뿐이다”라는 한국어는 두 가지를 동시에 주장한다: ① 그런 것이 적어도 하나

있다(존재) ② 많아야 하나다(유일). 증명도 두 벌이 필요하고, 세팅 표도 두 개가

세워진다. 이번 주에는 두 세팅 표를 세우는 데까지만 하고, 각각의 표준 절차는

S5주차(구성법)와 S13주차(유일성 방법)에서 배운다.

15. 하나의 문장이 두 가지 다른 방식으로 세팅될 수 있는 예: “\(x^2 = 4\)인 양의 실수는 2뿐이다”를 (a) “존재+유일” 방식(1권 26주차)으로 (b) “\(A \Rightarrow B\)” 방식(”\(x\)가 양의 실수이고 \(x^2 = 4\)이면 \(x = 2\)”)으로 각각 세팅하고, 두 세팅의 관계를 한 문장으로 쓰시오.

힌트

(b)의 조건문은 “조건을 만족하면 그 값일 수밖에 없다”를 말한다. 그것이 (a)의

두 의무 중 어느 쪽에 해당하는지 짚으면, 두 세팅의 관계가 한 문장으로 나온다.

16. 진리표의 “검토 대상 아님” 두 행(\(F \Rightarrow T\), \(F \Rightarrow F\))이 둘 다 T로 정의된 것이 증명자에게 왜 편리한지 — 1권 8주차 문제 20(“모든 4의 배수는 짝수” 명제)을 이번 주의 용어로 다시 서술하시오.

힌트

그 명제는 “모든 정수 \(x\)에 대해”로 시작하므로, \(x = 3\)처럼 4의 배수가 아닌

정수에서도 조건문이 참이어야 한다. 만약 그 두 행을 거짓으로 정했다면 증명자가

어떤 세계들까지 책임져야 했을지를 세어 본다.

이 문제가 미리 쓰는 도구 — B를 동치인 모양으로 바꾸기

문제 17은 B를 손대는 문제다. 지금까지는 B를 정확히 적어 두기만 했는데, 여기서는

B를 참\(\cdot\)거짓이 함께 움직이는 다른 모양으로 갈아 끼운다. 이 조작이 정당한

이유(동치 변형이면 원래 B를 보인 것과 같다)는 1권 25주차에서 확립했고, 그것을

절차로 만드는 것이 S2주차의 후진 과정이다. 이번 주에는 변형 후보를 나열하는

데까지만 한다.

17. 다음 명제를 세팅하고, B를 “동치인 다른 모양”으로 바꿔 쓸 수 있는 만큼 바꿔 보시오 (S2 후진 과정의 예열): “양의 실수 \(a, b\)에 대해, \(a \neq b\)이면 \(\dfrac{a+b}{2} > \sqrt{ab}\)이다.” (B의 변형 후보: 차가 양수 / 제곱 비교 / … 1권 16주차의 도구들로)

힌트

양변에 양수 \(2\)를 곱하고((W3)), 양변에서 \(2\sqrt{ab}\)를 빼((W2)) 한쪽을 0으로

만든다. 그러면 남은 식 \(a + b - 2\sqrt{ab}\)가 완전제곱 \((\sqrt a - \sqrt b)^2\)과

같은 식임이 보인다 — 그 순간 근거 ②의 (W1)이 바로 적용된다.

18. (진단) 다음 답안의 문제를 이번 주의 용어로 지적하시오.

“명제: \(n\)이 홀수이면 \(n^2\)이 홀수이다. 증명: \(n^2\)이 홀수라고 하자. 그러면 \(n\)도 홀수여야 한다. 따라서 명제가 성립한다.”

(무엇을 A로, 무엇을 B로 놓고 증명해 버렸는가? 1권 15주차 문제 18과 같은 병인가, 다른 병인가?)

힌트

첫 문장이 무엇을 가정했는지만 보면 A와 B의 배치가 드러난다. 그 다음 둘째 문장의

근거를 §1.7의 ①~⑤ 중에서 찾아 본다 — 찾을 수 없다면 그것도 별개의 위반이다.

19. “증명이 설득해야 할 상대”는 누구인가 — Solow식 답: 회의적인 독자. 이 관점에서 (a) “자명하다”라는 문장이 증명에서 위험한 이유 (b) 1권 20주차 글쓰기 규칙 6조가 전부 “독자”를 위한 규칙인 이유를 각각 두 문장 이내로 쓰시오.

20. (서술) 1권 과정(기법 중심)과 이 책(과정 관리 중심)의 관계를 자기 언어로 정리하시오: 1권에서 이미 알던 것 중 이번 주에 이름을 얻은 것 두 가지, 그리고 아직 이름이 없는 채 남아 있는 습관(예: “막히면 정의로 돌아간다”)이 앞으로 어떤 이름을 얻게 될지 예상 한 가지 (다섯 문장 이내).

백지 재현 — 복습 프로토콜

이 학기의 한 주는 원서와 교안을 번갈아 도는 5일 루틴이다. 백지 재현은 그 마지막 날에 놓인다.

요일	할 일
1일차	Solow 1장 통독. 모르는 문장은 표시만 하고 통과한다
2일차	이 문서의 §1 개념과 §2 예제
3일차	Solow 1장 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서의 연습문제 몇 개를 직접 시도한다
4일차	이 문서의 §3 사다리와 §4 연습문제 20문항
5일차	백지 재현(1차\(\cdot\)2차)과 체크리스트

재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

1차 시도 (5일차 오전) — 틀 카드 허용. §1.3의 네 걸음 표와 §1.7의 근거 목록만 펴 놓고, 예제 2.1의 세팅 표 네 행을 처음부터 끝까지 적는다. 본문과 진리표는 보지 않는다.

2차 시도 (5일차 오후) — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다.

• 증명 과제의 세 요소(주어진 것 / 해야 할 일 / 허용된 근거)를 백지에 썼다.

• \(A \Rightarrow B\)의 진리표 네 행을 그리고 각 행이 증명자에게 주는 지시를 적었다.

• 세팅의 네 걸음을 순서대로 쓰고, 걸음마다 빼면 무엇이 무너지는지 한 줄씩 댔다.

• 임의의 명제 하나를 골라 A(숨은 가설 포함)와 B를 즉시 분해했다.

• “증명자가 검토할 세계는 A가 참인 세계뿐이다”를 진리표로 설명했다.

• 분해 뒤집기 오류(예제 2.3)와 결론 가정 오류(문제 18)를 구분해 말했다.

• 근거 목록 ①~⑤를 쓰고, ⑤가 1권의 목록에 없던 이유를 한 문장으로 댔다.

• Solow 1장을 두 번(1일차 통독, 3일차 재독) 읽었다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점	처방
A에 무엇을 넣어야 할지 모르겠다	§1.5 분해표 — 무대 선언이 숨은 가설이라는 것부터 다시 본다
A와 B가 자꾸 뒤집힌다	예제 2.3 — “무엇이라고 가정하고 무엇을 보이는가”를 소리 내어 말하는 검산법
A 거짓인 세계가 왜 무시되는지 흐릿하다	§1.4 진리표와 예제 2.2 — 판정 순서를 A \(\to\) B로 고정한다
각 줄의 근거를 대지 못한다	§1.7 근거 목록 — 다섯 줄뿐이므로 후보를 하나씩 대조한다
무조건 명제에서 A가 비어 보인다	§1.5의 무조건 명제 처리와 훈련 3
세팅은 되는데 그다음이 없다	이번 주 범위가 세팅까지다 — 그다음을 만드는 절차는 S2주차의 후진 과정이다. 예제 2.1 끝 문단

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 적어 보고 다음날 재시도한다.

해설

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1

(1) 정수 (소수의 무대. “자연수”라 적어도 된다) (2) 홀수 (3) \(p^2 + 1\)은 짝수이다 (4) 홀수인 소수 (5) \(2\) (6) 아니다 — A가 거짓인 세계(진리표 넷째 행)이므로 검토 대상이 아니다.

※ (5)와 (6)이 이 훈련의 핵심이다. \(p = 2\)는 이 명제를 위협하는 사례처럼 보이지만, \(p = 2\)에서 A의 셋째 조각(”\(p\)는 홀수”)은 거짓이고(\(2\)는 홀수가 아니다) B도 거짓이므로(\(2^2 + 1 = 5\)는 홀수다) 진리표 넷째 행(\(F \Rightarrow F\))이고, 명제는 그 세계에서 이미 참이다. A의 조각을 다 적어 두지 않으면 이 판정을 할 수 없다.

빈칸 사다리 — 훈련 2

(1) \(n\)은 정수이고 \(n\)은 3의 배수이다 (2) \(n^2\)은 3의 배수이다 (3) ① (정의) (4) \(3k\) (5) ② (정수의 곱은 정수 — 닫힘성) (6) \(4\) (3의 배수가 아닌 정수 아무거나) (7) 거짓 (\(4^2 = 16\)은 3의 배수가 아니다) (8) 넷 (\(F \Rightarrow F\))

※ (6)(7)(8)을 이어 읽으면 이렇게 된다: “\(n = 4\)에서 A도 거짓이고 B도 거짓이지만, 그 조합은 진리표 넷째 행이라 \(A \Rightarrow B\)가 참이다.” 예제 2.2가 물은 것과 같은 상황을 스스로 만들어 본 것이다.

빈칸 사다리 — 훈련 3

(1) 자연수\(\cdot\)정수\(\cdot\)소수의 표준 정의와 공리 전부. “이면”이 없는 명제이므로 A 자리에 언제나 참으로 주어져 있는 것들이 들어간다. (2) 소수의 집합은 무한하다. (3) 소수\(\cdot\)합성수의 정의(근거 ①), 나눗셈과 나머지의 성질(근거 ②③), 1권 33주차에서 증명한 “2 이상의 모든 정수는 소수인 약수를 가진다”(근거 ④), 논리 규칙(근거 ⑤). (4) A가 거짓인 세계가 없다. 따라서 진리표 셋째\(\cdot\)넷째 행이 아예 등장하지 않고, 검토 범위를 잘라 낼 여지도 없다 — 이 명제에는 봐줄 세계가 하나도 없다.

※ 무조건 명제는 “가정이 없는 명제”가 아니라 “가정이 항상 참인 명제”다. 이 구분이 문제 8의 전부다.

문제 1

접근. §1.2의 [백지 암기 대상] 상자 세 줄이다. 세 줄을 나열하는 것으로 끝내지 말고, 각 줄이 §1.3의 어느 걸음에서 확정되는지 짝을 지어 두면 백지에서 복구하기 쉬워진다. 세 요소는 각각 “무엇을 가지고 시작하는가 / 언제 끝나는가 / 무엇을 써도 되는가”라는 세 물음의 답이다.

풀이. ① 주어진 것: “A는 참”이라는 정보. 이것이 증명 도중 손에 쥐고 있는 것 전부이고, 세팅의 걸음 ①에서 숨은 가설까지 남김없이 적어 확정한다. ② 해야 할 일: “B도 참”임을 확립하는 것. 걸음 ②에서 확정하며, 이것이 있어야 “어디까지 가면 끝인가”를 판정할 수 있다. ③ 허용된 근거: 정의, 공리, 이미 증명된 정리, 논리 규칙. 걸음 ③에서 확정하며, §1.7의 근거 ①~⑤가 이 목록의 구체형이다.

복기. 세 요소는 “출발점 / 도착점 / 이동 규칙”이라는 세 자리에 각각 대응한다. 증명 도중 막혔을 때 물어야 할 것도 이 셋뿐이다 — 무엇을 가졌는가, 무엇을 만들어야 하는가, 지금 쓰려는 이 줄은 목록 안에 있는가.

문제 2

접근. 1권 8주차의 진리표를 먼저 그대로 그린다. 그다음 각 행에서 A의 진리값만 본다. A가 거짓인 두 행은 이름이 하나로 정해지고, A가 참인 두 행만 이름이 갈린다. 이름 붙이기는 장식이 아니라 “이 행에서 증명자가 할 일이 있는가”의 표시다.

풀이.

\(A\)	\(B\)	\(A \Rightarrow B\)	행의 이름	증명자가 할 일
T	T	T	증명이 도달할 칸	이 칸에 도달하는 것이 증명의 목표
T	F	F	명제가 거짓이 되는 유일한 칸	이 칸이 불가능함을 보이는 것이 증명
F	T	T	검토 대상 아님	없음 (자동으로 참)
F	F	T	검토 대상 아님	없음 (자동으로 참)

셋째\(\cdot\)넷째 행이 T인 것은 1권 8주차에서 확인한 공허한 참이고, 그 덕분에 증명자의 책임 범위가 첫째\(\cdot\)둘째 두 행으로 잘린다.

복기. 이 표를 “\(A \Rightarrow B\)의 진리값을 계산하는 표”로 읽으면 이번 주의 쓸모가 사라진다. 행마다 증명자의 할 일을 적은 표로 읽는 것이 이번 주의 읽는 법이고, 그 읽는 법이 문제 6\(\cdot\)10\(\cdot\)11\(\cdot\)16의 공통 도구다.

문제 3

접근. 세 문항 모두 문장에 적혀 있지 않은 무대 선언이 A에 하나씩 들어간다. 분해의 순서는 언제나 같다: ① 이 문장이 무엇에 대한 주장인지(무대) ② 그 대상이 갖춰야 할 자격(조건) ③ 그때 성립한다고 주장하는 것(결론).

풀이. (a) 짝수의 제곱은 4의 배수이다. A: \(n\)은 정수이고 \(n\)은 짝수이다. B: \(n^2\)은 4의 배수이다. “짝수의”라는 명사구가 무대 선언(정수)과 자격(짝수) 두 조각을 담고 있다. 검산: \(n = 6\)이면 A가 참이고 \(n^2 = 36 = 4 \times 9\)로 B도 참이다.

(b) \(x\)가 2보다 큰 실수이면 \(x^2 - x > 2\)이다. A: \(x\)는 실수이고 \(x > 2\)이다. B: \(x^2 - x > 2\)이다. 여기서는 무대 선언이 문장에 명시되어 있다(“실수”). 검산: \(x = 3\)이면 A가 참이고 \(x^2 - x = 6 > 2\)로 B도 참이다.

(c) 두 유리수의 곱은 유리수이다. A: \(x\)와 \(y\)는 유리수이다. B: \(xy\)는 유리수이다. “두 유리수”라는 명사구 하나에 문자 두 개와 자격 두 개가 압축되어 있다. 문자를 꺼내 이름을 붙이지 않으면 B를 적을 수조차 없다. 검산: \(x = \frac23\), \(y = \frac34\)이면 \(xy = \frac12\)로 유리수다.

복기. 세 문항 모두 A를 적는 일이 “명사구를 문자와 자격으로 푸는 일”이었다. 한국어의 명사구가 조각 여러 개를 한 낱말에 담는 것이 숨은 가설의 주된 발생원이다.

문제 4

접근. §3의 훈련 1\(\cdot\)2\(\cdot\)3을 문제만 보고 다시 채우라는 뜻이다. 답을 외워서 적는 것이 아니라, 훈련마다 어느 걸음이 물어졌는지를 먼저 지목한 뒤 채운다.

풀이. 답은 위의 “빈칸 사다리 — 훈련 1\(\cdot\)2\(\cdot\)3” 항목과 대조한다. 훈련별로 관건은 다음 한 가지씩이다. 훈련 1: (5)(6) — \(p = 2\)가 위협이 아닌 이유. A의 셋째 조각도 B도 거짓이라 넷째 행이다. 훈련 2: (3)(5) — 각 줄의 근거를 ①~⑤ 중 하나로 지목하는 일. “정의로 푼다”는 ①, “괄호 안이 정수다”는 ②. 훈련 3: (1)(4) — “이면”이 없는 명제의 A는 비어 있는 것이 아니라 표준 정의\(\cdot\)공리 전부이고, 그래서 A가 거짓인 세계가 없다.

복기. 세 훈련이 순서대로 걸음 ①(조각 세기) \(\to\) 걸음 ③(근거 대기) \(\to\) 걸음 ①과 ④ (무조건 명제)를 물었다. 백지에서 막히는 자리가 곧 다시 볼 절의 번호다.

문제 5

접근. 예제 2.1의 네 행(A / B / 허용된 근거 / 자세)을 그대로 따라 쓴다. 이번 A는 조각이 둘이고 양수 조건이 없다. 그렇다고 허용된 근거의 목록이 줄지는 않는다 — 달라지는 것은 B의 상대가 삼차식이라는 점이고, 그래서 인수분해와 영인수 성질이 목록에 새로 들어온다.

풀이.

증명의 한 줄	왜 이 줄을 쓰는가?
A: \(x\)는 실수이고 \(x^3 = 8\)이다	조각 두 개. 무대 선언(“실수”)이 문장에 명시되어 있으므로 그대로 A로 올린다.
B: \(x = 2\)이다	풀 정의가 없는 등식. 끝나는 지점의 표시 역할만 한다.
허용된 근거: 실수의 대수 법칙, 인수분해, 영인수 성질(1권 25주차 문제 13), (W1) (1권 16주차), 논리 규칙	B가 삼차식이므로 예제 2.1의 목록에 인수분해와 영인수 성질이 더해진다. 나눗셈은 아래 유도에 쓰이지 않는다.
자세: “\(x^3 = 8\)인 실수의 세계에 서 있다. 그 세계에서 \(x = 2\)가 강제됨을 보인다.”	\(x = 1\)처럼 \(x^3 \neq 8\)인 세계는 검토하지 않는다 — 그 세계에서는 A가 거짓이다.

세팅만 요구한 문제이지만, 세팅이 끝나면 실제 증명의 방향도 보인다. \(x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4) = 0\)이고 둘째 인수는 \(x^2 + 2x + 4 = (x+1)^2 + 3 \ge 3 > 0\)이므로 (근거 ② — (W1)), 영인수 성질에 의해 \(x - 2 = 0\), 곧 \(x = 2\)이다.

검산. \(2^3 = 8\) ✓. 그리고 실수 범위에서 \(x^3 = 8\)의 해가 2뿐이라는 것은 위 유도가 보인 그대로다.

문제 6

접근. 네 행을 “증명자가 손댈 것이 있는 행”과 “이미 끝난 행”의 두 무리로 가른다. 손댈 것이 있는 행들의 공통점 한 가지가 그대로 답이 된다. 이 문제는 “첫 문장이 관습이 아니라 귀결”임을 보이는 것이 목적이다.

풀이. A가 거짓인 두 행(셋째\(\cdot\)넷째)에서는 \(A \Rightarrow B\)가 진리표에 의해 자동으로 참이므로 증명자가 할 일이 없다. 증명이 필요한 것은 A가 참인 두 행(첫째\(\cdot\)둘째)뿐이고, 그중 둘째 행(A 참, B 거짓)이 일어나지 않음을 보이면 명제 전체가 참이 된다. 두 행 모두 A가 참이라는 공통점을 가지므로, 증명자는 처음부터 “A가 참인 세계”에 들어가 서면 되고 아무것도 잃지 않는다. 그 진입을 선언하는 문장이 “A라 가정하자”이다.

복기. 이 논증의 형태를 기억해 둘 만하다 — “네 경우 중 두 경우는 이미 결론이 나 있으므로 나머지 두 경우만 본다.” 경우를 줄이는 이 방식은 1권 17주차의 경우 나누기와 같은 뼈대이고, S15주차의 양자택일법에서 다시 나온다.

문제 7

접근. 분해를 먼저 끝낸 뒤, “A를 만족하지 않는 대상”을 하나 대면 그것이 검토 대상이 아닌 세계다. 그런 세계를 대는 연습은 A를 정확히 적었는지 검사하는 장치이기도 하다 — A를 잘못 적으면 엉뚱한 대상이 나온다. 특정 증인을 댈 때는 셋째 행인지 넷째 행인지까지 한 행으로 못 박는다.

풀이. (a) A: \(n\)은 정수이고 \(6 \mid n\)이다. B: \(3 \mid n\)이다. 검토 대상이 아닌 세계의 예: \(n = 4\). \(4\)는 6의 배수가 아니므로 A가 거짓이고, \(3 \nmid 4\)이므로 B도 거짓이다 — 진리표 넷째 행(\(F \Rightarrow F\))이다. 그 행에서 \(A \Rightarrow B\)는 참이므로 이 세계는 명제를 훼손하지 못한다. (b) A: \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)는 함수이고 증가함수이다(모든 \(x < y\)에 대해 \(f(x) < f(y)\)). B: \(f\)는 단사이다. 검토 대상이 아닌 세계의 예: \(f(x) = x^2\). \(-1 < 1\)인데 \(f(-1) = 1 = f(1)\)이므로 증가함수가 아니고, 따라서 A가 거짓이다. B도 거짓이므로(\(f(-1) = f(1)\)이라 단사가 아니다) 진리표 넷째 행이고, 이 \(f\)는 명제를 훼손하지 못한다 — 명제가 거짓이 되는 것은 A가 참인 세계에서뿐이다.

복기. (b)에서 검토 대상이 아닌 세계의 대상이 수가 아니라 함수라는 점이 요점이다. “세계”란 A의 문자에 넣을 수 있는 대상 전부를 말하고, 그 대상이 무엇인지는 무대 선언이 정한다.

문제 8

접근. 앞부분은 §1.5의 무조건 명제 처리 그대로다. 뒷부분은 1권 21주차의 증명을 펴 놓고 줄마다 “이 줄의 근거는 §1.7의 ①~⑤ 중 무엇인가”를 적어 보면 세 가지가 저절로 모인다. 이 문제의 목적은 “무조건 명제도 아무것도 없이 시작하지 않는다”를 구체적으로 확인하는 것이다.

풀이. A: 실수\(\cdot\)유리수\(\cdot\)정수의 표준 정의와 공리들 — 언제나 참으로 주어져 있는 것 전부. B: \(\sqrt2\)는 무리수이다. A가 거짓인 세계는 없으므로 진리표 셋째\(\cdot\)넷째 행은 등장하지 않는다. 1권 21주차의 증명에서 허용된 근거로 실제 사용된 것 세 가지: ① 유리수의 정의(\(\frac ab\) 꼴, \(b \neq 0\))와 기약분수 표현의 존재 — 후자는 1권 33주차에서 증명한 명제이므로 근거 ④다. ② “\(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다” — 1권 19주차에서 대우로 증명한 명제, 근거 ④. ③ 등식의 대수 조작(양변 제곱, 이항, 대입) — 근거 ③. 여기에 귀류법의 형식 자체가 근거 ⑤(논리 규칙)로 한 자리를 차지한다.

복기. 무조건 명제는 “가정이 없는 명제”가 아니라 “가정이 항상 참인 명제”다. 그래서 손이 비어 보여도 실제로는 정의와 기증명 정리를 가득 쥐고 시작한다. 막혔을 때 “지금 쓸 수 있는 것이 없다”고 느낀다면, 대개 A를 적지 않았기 때문이다.

문제 9

접근. 문항이 말하는 “두 조각”은 조건 두 개(\(a \mid b\), \(b \mid a\))를 가리킨다. 우리 세는 법(§1.3)으로는 무대 선언까지 합해 조각이 셋이다. 조건 두 조각은 정의를 두 번 풀어야 하고, 두 번 풀어 나오는 정수 두 개에 서로 다른 문자를 주는 것이 이 문제의 채점 지점이다. 같은 문자를 쓰면 두 조각이 같은 정보라고 몰래 가정한 것이 된다.

풀이. A: \(a, b\)는 정수이고, \(a \mid b\)이며, \(b \mid a\)이다 (조각 셋 — 무대 선언 한 조각과 조건 두 조각). B: \(|a| = |b|\)이다. 두 조각의 번역: \(a \mid b\) \(\to\) 정의에 의해 \(b = ak\)인 정수 \(k\)가 존재한다 (근거 ①). \(b \mid a\) \(\to\) 정의에 의해 \(a = b\ell\)인 정수 \(\ell\)이 존재한다 (근거 ①). 문자 \(k\)와 \(\ell\)은 서로 달라야 한다. 여기까지가 문항의 요구이고, 아래는 참고 유도다. 두 번역을 결합하면 \(a = b\ell = (ak)\ell = a(k\ell)\)을 얻고, 여기서 \(a = 0\)인 경우와 그렇지 않은 경우로 갈라 처리하는 것이 1권 2주차 문제 20의 몸통이었다. \(a = 0\)이면 \(b = ak = 0\)이므로 \(|a| = |b| = 0\)이다(근거 ③). \(a \neq 0\)이면 \(k\ell = 1\)이고, 정수 두 개의 곱이 1이 되는 경우는 \(k = \ell = 1\) 또는 \(k = \ell = -1\)뿐이므로 \(b = a\) 또는 \(b = -a\), 곧 \(|a| = |b|\)이다. 두 경우가 모두 닫혔다.

검산. \(a = 6\), \(b = -6\)이면 \(6 \mid -6\)이고 \(-6 \mid 6\)이며 절댓값이 둘 다 6으로 같다 ✓. \(a = 0\), \(b = 0\)인 경우도 A를 만족하고 결론도 성립한다.

복기. 가정이 “그리고”로 묶여 있으면 조각 수만큼 번역이 나오고, 번역마다 새 문자가 생긴다. 조각을 세는 습관이 문자 재사용 오류를 막는다.

문제 10

접근. 그 학생이 검토하려는 세계가 진리표의 몇째 행인지를 먼저 지목한다. 그다음, 그 행까지 처리하면 결과적으로 어떤 명제를 증명하게 되는지를 기호로 적어 본다. §1.3의 걸음 삭제 실험 4가 이 진단의 원형이다.

풀이. 오해다. “\(x \le 3\)인 경우”는 A(”\(x > 3\)”)가 거짓인 세계이고, 진리표 셋째\(\cdot\)넷째 행에 해당한다. 그 두 행에서 \(A \Rightarrow B\)는 이미 참이므로 보일 것이 없다. 그런데도 “그 경우에 \(x^2 \le 9\)임”까지 보이려는 것은 사실상 “\(x > 3 \iff x^2 > 9\)”라는 쌍조건문을 증명하겠다는 뜻이 된다. 그 쌍조건문은 참도 아니다 — \(x = -5\)는 \(x^2 = 25 > 9\)이면서 \(x > 3\)이 아니므로 역 방향의 반례다. 결국 이 학생은 원명제(참)를 증명하려다 더 강한 명제(거짓)를 스스로 떠맡았다.

복기. “완전하게 하려고 더 보이는 것”이 항상 안전한 것은 아니다. 무엇을 보여야 하는지는 걸음 ②와 ④에서 이미 정해져 있고, 그 범위를 넘어서면 증명 대상 자체가 바뀐다. 검토 범위를 자르는 걸음 ④가 절약이 아니라 정확성의 문제인 이유다.

문제 11

접근. \(x = -5\)인 세계에서 A와 B의 진리값을 각각 계산한다. 순서가 중요하다 — 예제 2.2에서 고정한 대로 B를 보기 전에 A부터 본다. A가 거짓이면 그 세계는 이미 결론이 나 있다.

풀이. 오해다. \(x = -5\)에서 A(”\(x > 3\)”)는 거짓이고 B(”\(x^2 > 9\)”)는 참이므로, 이 세계는 진리표 셋째 행(\(F \Rightarrow T\))이고 \(A \Rightarrow B\)는 참이다. “A가 거짓인데 B가 참”은 명제가 거짓이 되는 조건이 아니다 — 명제가 거짓이 되는 것은 오직 “A 참, B 거짓”인 둘째 행에서뿐이다. 이 학생이 실제로 찾아낸 것은 역(”\(x^2 > 9 \Rightarrow x > 3\)”)의 반례이고, 역의 반례는 원명제를 조금도 훼손하지 못한다(1권 9주차에서 역과 원명제가 다른 명제임을 확인했다). 반례를 찾으려면 \(x > 3\)이면서 \(x^2 \le 9\)인 실수를 찾아야 하는데, 그런 실수는 없다.

복기. 문제 10과 11은 같은 명제에 대한 서로 다른 오해다. 10은 A가 거짓인 세계를 책임지려 했고, 11은 A가 거짓인 세계를 반례로 오인했다. 두 오해 모두 판정 순서를 A \(\to\) B로 고정하면 발생하지 않는다.

문제 12

접근. “명제가 거짓이 되는 칸”을 명시하라는 것은 반례를 대라는 것과 같지만, 요구가 하나 더 있다. 그 하나의 \(n\)에서 A의 진리값과 B의 진리값을 각각 계산해 두 줄로 적는 것이 이 문제다. 반례의 정체가 곧 둘째 행의 목격자임을 확인하는 자리다.

풀이. A: \(n\)은 자연수이다. B: \(n^2 + n + 41\)은 소수이다. 명제가 거짓이 되는 세계: \(n = 40\). A의 진리값: 참 — \(40\)은 자연수다. B의 진리값: 거짓 — 계산하면

\[ 40^2 + 40 + 41 = 40 \cdot 41 + 41 = 41 \cdot (40 + 1) = 41^2 = 1681 \]

이고, \(1681 = 41 \times 41\)은 1과 자기 자신 외에 41을 약수로 가지므로 소수가 아니다. 따라서 \(n = 40\)인 세계는 A 참\(\cdot\)B 거짓, 곧 진리표 둘째 행이다. 이 세계가 하나 존재하므로 전칭 명제 전체가 거짓이다.

검산. \(41 \times 41 = 1681\) ✓. 그리고 \(n = 41\)도 같은 자리다: \(41^2 + 41 + 41 = 41(41 + 1 + 1) = 41 \times 43\).

복기. 1권 29주차의 반례 서식이 요구하던 두 검증(“가정을 만족하는가”, “결론이 거짓인가”)이 정확히 “A 참 확인 + B 거짓 확인”이었다. 반례란 둘째 행의 목격자이고, 서식의 두 줄은 그 행의 두 칸을 각각 확인하는 절차였다.

문제 13

접근. 그 답안이 인용한 문장을 명제 하나로 떼어 내 참\(\cdot\)거짓을 판정한다. 거짓이면 정리일 수 없고, 정리가 아니면 근거 ④(“이미 증명한 명제”)의 자격을 갖추지 못한다. 근거 목록이 하는 일이 바로 이 자격 심사다.

풀이. 1권 23주차 문제 19의 답안은 “\(\sqrt2 + \sqrt5\)는 무리수이다”를 보이면서 **”무리수와 무리수의 합은 무리수이다”**를 정리로 인용했다. 그 문장은 정리가 아니라 거짓 명제다 — \(\sqrt2\)와 \(-\sqrt2\)는 둘 다 무리수인데 합은 \(0\)으로 유리수이므로 반례가 존재한다. 허용된 근거의 목록에 오를 수 있는 것은 “증명된 정리”뿐이므로, 미증명이며 게다가 거짓인 명제의 인용은 규칙 위반이다. 답안의 결론 자체는 참이지만 (\(\sqrt2 + \sqrt5\)는 실제로 무리수다) 결론이 참인 것과 증명이 옳은 것은 별개다.

복기. 인용은 근거 중에서 가장 검사하기 쉬운 종류다 — 인용된 문장을 떼어 내 참\(\cdot\)거짓만 물으면 된다. 그럼에도 가장 자주 통과되는 위반이기도 하다. “그럴듯한 문장”과 “증명된 문장” 사이의 간격을 목록이 대신 지켜 준다.

문제 14

접근. 문장에 등장하는 대상을 하나씩 센다: 삼각형, 꼭지각, 이등분선, 밑변. 대상마다 “존재한다”와 “이런 자격을 갖는다”가 각각 A의 조각이 된다. 그리고 B도 한 조각이 아니다 — “수직”과 “이등분”은 서로 다른 두 주장이다.

풀이. A(조각 셋): ① 삼각형 \(ABC\)가 존재한다. ② \(AB = AC\)이다 (이등변의 자격. 꼭지각은 \(A\)이고 밑변은 \(BC\)가 된다). ③ 선분 \(AD\)는 각 \(A\)의 이등분선이고, \(D\)는 밑변 \(BC\) 위의 점이다. B(조각 둘): \(AD \perp BC\)이고, \(BD = DC\)이다. 숨은 가설이 셋, 결론이 둘이다. ③이 없으면 \(D\)가 무엇인지 정해지지 않아 B를 적을 수조차 없고, ②가 없으면 어느 각이 꼭지각인지 정해지지 않는다. 결론이 “그리고”로 묶여 있으므로 증명도 두 벌이 필요하다 — 1권 18주차 문제 18에서 결론이 “그리고”로 묶인 명제를 두 부분으로 나눠 각각 보인 그 서식이다.

복기. 기하 명제가 어려워 보이는 큰 이유는 정리 자체가 아니라 A의 조각이 많고 대부분 문장에 적혀 있지 않다는 데 있다. 세팅만 정확히 해도 증명의 절반은 끝난다.

문제 15

접근. “뿐이다”라는 한국어가 두 가지를 동시에 주장한다는 것부터 짚는다. 존재와 유일이 각각 별도의 세팅 표를 요구하고, (b)의 조건문은 그중 한쪽에만 대응한다. 어느 쪽인지 지목하면 두 세팅의 관계가 한 문장으로 나온다.

풀이. (a) 존재+유일 세팅. 세팅 표가 두 개 필요하다. 존재 쪽 — A: 실수와 제곱의 표준 정의. B: \(x^2 = 4\)이고 \(x > 0\)인 실수 \(x\)가 존재한다. (증인 \(x = 2\)를 제시하고 \(2^2 = 4\), \(2 > 0\)을 검증하면 끝난다.) 유일 쪽 — A: 실수와 제곱의 표준 정의. B: \(x^2 = 4\)이고 \(x > 0\)인 실수는 많아야 하나다. (b) 조건문 세팅. A: \(x\)는 실수, \(x > 0\), \(x^2 = 4\)이다. B: \(x = 2\)이다. 두 세팅의 관계. (b)의 조건문은 (a)의 유일성 의무를 이행하는 한 가지 방식(강제형)이다 — (b)가 참이면 조건을 만족하는 것이 둘 있을 수 없으므로 유일성이 따라 나온다(1권 26주차 문제 11에서 유일성을 이 강제 방식으로 보였다). 다만 (b)는 값까지 지목하므로 “많아야 하나”보다 강한 진술이고, 그래서 (b)만으로는 존재 의무가 남는다. 따라서 (b)만으로는 원문장의 절반만 증명한 것이고, 완전한 증명에는 (b)에 더해 증인 \(x = 2\)의 제시가 필요하다.

복기. 한국어의 “뿐이다 / 유일하다 / 오직 하나”는 항상 두 의무를 뜻한다. 세팅 단계에서 세팅 표를 두 개 세워 두면 존재 쪽을 빠뜨리는 일이 없다. 두 의무의 표준 절차는 S5주차(구성법)와 S13주차(유일성 방법)에서 따로 배운다.

문제 16

접근. 그 명제는 “모든 정수 \(x\)에 대해”로 시작하므로, 4의 배수가 아닌 정수에서도 조건문이 참이어야 전칭 명제가 참이 된다. 검토 대상이 아닌 두 행을 거짓으로 정했다면 증명자가 어떤 세계들까지 책임져야 했을지를 세어 보면 편리함의 정체가 드러난다.

풀이. 명제 “모든 정수 \(x\)에 대해 \(4 \mid x \Rightarrow 2 \mid x\)”를 이번 주의 용어로 읽으면 이렇게 된다. 각 정수 \(x\)마다 판정이 하나씩 열린다. \(x = 8\)에서는 A가 참이고 B도 참이므로 첫째 행(증명이 도달할 칸)이다. \(x = 3\)에서는 A(”\(4 \mid 3\)”)가 거짓이고 B(”\(2 \mid 3\)”)도 거짓이라 진리표 넷째 행이므로 자동으로 참이다. \(x = 6\)에서는 A가 거짓이고 B가 참이라 셋째 행이며 역시 자동으로 참이다. 검토 대상이 아닌 두 행을 T로 정한 덕분에, 증명자는 A가 참인 세계들(4의 배수들)에서만 보이면 전칭 명제 전체가 참이 된다. 만약 그 두 행을 F로 정했다면 \(x = 3\), \(x = 5\), \(x = 6\) 같은 무한히 많은 세계에서 조건문이 거짓이 되어, 참이어야 마땅한 이 명제가 거짓이 되어 버린다. 정의가 증명자의 책임 범위를 정확히 “A가 참인 세계”로 잘라 준다.

복기. “A가 거짓이면 \(A \Rightarrow B\)는 B가 무엇이든 참”은 임의의 약속이 아니라, 전칭 조건문이 쓸모 있으려면 그렇게 정할 수밖에 없는 규칙이다. 1권 8주차 문제 20이 물은 것이 정확히 이 필연성이고, 이번 주는 거기에 “책임 범위 자르기”라는 이름을 붙였다.

문제 17

접근. 세팅부터 하고, B만 손댄다. 양변에 양수 \(2\)를 곱하고 이항해서 한쪽을 0으로 만들면, 남은 식이 완전제곱과 같은 식임이 드러난다. 변형마다 가역인지를 확인하며 내려가는 것이 핵심이다 — 가역이 아니면 바꿔 놓은 B를 보여도 원래 B를 보인 것이 되지 않는다. 양변이 0 이상일 때의 제곱 비교 원리는 1권 16주차 문제 17에 준비되어 있지만, 이 사슬에는 쓰이지 않는다.

풀이. A: \(a, b\)는 실수이고 \(a > 0\), \(b > 0\), \(a \neq b\)이다. B: \(\dfrac{a+b}{2} > \sqrt{ab}\)이다. B의 동치 변형 사슬의 각 단계는 가역이다 — 양변에 양수 \(2\)를 곱하기((W3)), 양변에서 같은 수 \(2\sqrt{ab}\)를 빼기((W2)), 그리고 \(a + b - 2\sqrt{ab} = (\sqrt a)^2 - 2\sqrt a \sqrt b + (\sqrt b)^2 = (\sqrt a - \sqrt b)^2\)이라는 항등식(같은 식의 다른 표기이므로 자동으로 가역). 사슬은 다음과 같다.

\[ \frac{a+b}{2} > \sqrt{ab} \iff a + b > 2\sqrt{ab} \iff a + b - 2\sqrt{ab} > 0 \iff (\sqrt a - \sqrt b)^2 > 0 \]

마지막 모양에서 판정이 갑자기 쉬워진다. \(a \neq b\)이면 \(\sqrt a \neq \sqrt b\)이고 (만약 \(\sqrt a = \sqrt b\)이면 양변을 제곱해 \(a = b\)가 되어 A의 넷째 조각과 어긋난다), 따라서 (W1)의 등호 조건에 의해 \((\sqrt a - \sqrt b)^2 > 0\)이다. B가 참이다.

검산. \(a = 1\), \(b = 4\)로 확인하면 \(\frac{1+4}{2} = 2.5\)이고 \(\sqrt{4} = 2\)이므로 \(2.5 > 2\) ✓. 그리고 \(a = b\)일 때는 등호가 되어 부등식이 성립하지 않는다 — A의 넷째 조각이 왜 필요한지가 여기서 드러난다.

복기. 이 문제에서 한 일은 “B를 동치인 다른 모양으로 갈아 끼우기”뿐이다. A는 마지막 한 걸음에서만 쓰였다. 이 조작을 절차로 만들어 “B를 보이려면 무엇을 보이면 충분한가”라는 물음을 반복하는 것이 S2주차의 후진 과정이고, 이 문제가 그 예고편이다.

문제 18

접근. 첫 문장이 무엇을 가정했는지만 보면 A와 B의 배치가 드러난다. 그다음 둘째 문장의 근거를 §1.7의 ①~⑤ 중에서 찾아 본다 — 찾을 수 없다면 그것은 배치와는 별개의 두 번째 위반이다. 병이 하나인지 둘인지 세는 것이 이 문제의 요구다.

풀이. 위반이 둘이다. 첫째, “\(n^2\)이 홀수라고 하자”는 B를 가정한 것이다. 원명제의 A는 “\(n\)은 정수이고 \(n\)은 홀수”, B는 “\(n^2\)은 홀수”인데, 이 답안은 B를 A 자리에 놓고 A를 B 자리에 놓았다 — 개시 문장에서 배치를 뒤집었으므로 증명한 것은 원명제가 아니라 그 역이다. 둘째, “그러면 \(n\)도 홀수여야 한다”는 근거가 없는 단언이다. ①~⑤ 어디에도 이 줄을 정당화하는 것이 없으므로, 뒤집힌 명제조차 증명하지 못했다. 1권 15주차 문제 18의 답안과 같은 계열이다. 그 답안도 “\(x^2\)이 홀수라 하자”로 열어 결론을 가정했다. 예제 2.3과는 무너진 걸음이 다르다. 예제 2.3은 세팅 단계에서 A와 B를 잘못 적은 것(걸음 ①\(\cdot\)②의 실패)이고, 이 답안은 A와 B를 옳게 알면서 개시 문장에서 B를 가정한 것(걸음 ④의 실패)이다 — 증상은 같아 보이지만 무너진 걸음이 다르다. 올바른 개시: “\(n\)을 홀수라 하자.”

복기. 첫 문장만 읽어도 A와 B의 배치를 검사할 수 있다. 답안을 검토할 때 가장 싼 검사이므로 가장 먼저 한다 — 첫 문장이 A를 가정했는가, B를 가정했는가.

문제 19

접근. 상대를 “회의적인 독자”로 놓으면 두 물음이 같은 원리의 두 사례가 된다. 독자는 각 줄에 “왜?”를 물을 수 있고, 그 물음에 목록 ①~⑤로 답하지 못하는 줄은 증명에서 무효다. (b)의 규칙들도 전부 독자의 검증 비용을 낮추는 장치로 읽힌다.

풀이. (예시 답안) (a) “자명하다”는 회의적인 독자 앞에서 근거가 아니다 — 독자가 “왜?”라고 물었을 때 내놓을 정의나 정리가 그 자리에 없기 때문이고, 허용된 근거의 목록에 ‘자명’이라는 항목은 없다. 오히려 자명해 보이는 문장일수록 근거를 명시하거나 표준 정리로 인용해야 한다 (1권 22주차 문제 5가 “어떤 정수도 짝수이면서 동시에 홀수일 수 없다”라는 당연해 보이는 사실을 실제로 증명한 사례다). (b) 1권 20주차의 글쓰기 규칙 6조는 전부 “독자가 각 줄의 근거를 스스로 재구성할 수 있는가”를 위한 규칙이다 — 기호로 문장을 시작하지 않기(1조), 모든 기호를 소개한 뒤 쓰기(2조), \(\Rightarrow\)를 접속사로 남용하지 않기(4조)는 모두 독자의 검증 비용을 낮추는 장치이고, 증명이 사적인 계산 기록이 아니라 회의적인 독자를 향한 공적인 설득문이기 때문이다.

복기. “상대가 누구인가”를 정해 두면 채점 기준이 자동으로 따라 나온다. 상대가 자기 자신이면 “나는 알겠다”가 통과 기준이 되고, 상대가 회의적인 독자면 “각 줄에 근거가 붙어 있는가”가 기준이 된다. 이 책은 후자를 택한다.

문제 20

접근. 이름을 얻은 것 두 가지와 아직 이름이 없는 습관 하나를 고르는 문제다. 후보를 찾는 방법은 간단하다 — 1권에서 “그냥 그렇게 하는 것”으로 배운 동작 중, 이번 주에 “왜 그렇게 하는가”의 답이 붙은 것을 찾으면 된다.

풀이. (예시 답안) 1권 15주차에서 “\(P\)라 가정하자”로 열고 “따라서 \(Q\)이다”로 닫으라고 배운 서식이, 이번 주에 “주어진 것 A”와 “해야 할 일 B”라는 두 목록의 이름을 얻었다. 그리고 “가정부터 쓰고 시작한다”는 습관은 “증명자가 검토할 세계는 A가 참인 세계뿐”이라는 진리표의 귀결이라는 이름을 얻었다 — 서식이 관습이 아니라 논리의 결과였음이 밝혀진 것이다. 아직 이름이 없는 습관으로는 “막히면 정의로 돌아간다”가 있는데, 이것은 앞으로 “결론 B 앞에서 던지는 표준 질문의 답이 대개 정의”라는 자리를 얻을 것으로 예상한다(S4주차). 요컨대 1권은 개별 기법을 하나씩 세웠고, 이 책은 그 기법들을 언제 어떤 순서로 꺼내는지의 관리 절차를 세운다.

복기. 이 정리를 노트 맨 앞에 적어 두고 학기 내내 갱신한다. “1권에서 감각으로 하던 것이 이번 주에 이름을 얻었다”는 항목이 매주 하나씩 늘어나는 것이 이 학기가 진행되고 있다는 표시다.

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다음 주 예고 (S2주차): 이 책의 중심 도구인 후진 과정을 세운다. 결론 B 앞에서 “B가 참임을 보이려면 무엇을 보이면 충분한가”라는 핵심 질문을 던지고, 그 답으로 B를 더 다루기 쉬운 B1으로 갈아 끼우는 절차다. 이번 주 문제 17에서 \(\frac{a+b}{2} > \sqrt{ab}\)를 \((\sqrt a - \sqrt b)^2 > 0\)까지 끌고 내려간 그 사슬이 정확히 후진 과정이었고, 다음 주에 그 사슬을 만드는 규칙과 멈추는 조건을 배운다. 예제 2.1에서 세팅만 하고 남겨 둔 명제 “\(x + \frac1x = 2\)이면 \(x = 1\)”도 그때 끝낸다. 루틴 1일차에 Solow 2장을 먼저 통독한다.