# S1주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

## 예제 — 세팅 표를 함께 세우기

완성된 세팅을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 백지에서 한 줄씩 만들고, 2.2는 설계만 함께 하고, 2.3은 설계부터 스스로 한다.

### 예제 2.1 — 분해와 세팅

**명제.** 양의 실수 $x$에 대해, $x + \dfrac{1}{x} = 2$이면 $x = 1$이다.

이 명제로 세팅 표를 만든다. 증명 자체는 S2~S3주차에서 이 명제로 계속한다. §1.1에서 막혔던 그 명제이고, 막힌 이유가 세팅 부재였음을 여기서 확인한다.

**설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것 (도착점)을 먼저 수식으로 옮긴다.

|  | **말** | **수식 번역** |
|---|---|---|
| 가정 (출발점) | $x$는 양의 실수이고 $x + \frac1x = 2$ | $\underline{\quad(?)\quad}$ |
| 목표 (도착점) | $x = 1$ | $x = 1$ (더 풀 것이 없는 등식) |

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**확인 8.** 가정 칸의 빈칸을 채워 보자. 한국어 한 줄에 조각이 몇 개 들어 있는가.
:::

:::{admonition} 답
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세 조각이다: $x \in \mathbb{R}$, $x > 0$, $x + \frac1x = 2$.

"양의 실수"라는 한 낱말이 무대 선언($x$는 실수)과 조건($x > 0$) **두 개**를

담고 있다. §1.1에서 막힌 원인은 B에 풀 정의가 없어 1권의 3단계 틀 ②$\cdot$③이

작동하지 않은 것이었고, 그 진단을 하려면 먼저 A의 조각을 다 세어 두어야 한다.
:::

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**확인 9.** 목표 B는 "$x = 1$"이다. 이 B에는 풀 정의가 없다. 그렇다면 이 명제에서 B가 맡는 역할은 무엇인가.
:::

:::{admonition} 답
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**끝나는 지점의 표시**다. B가 정해져 있어야 "어디까지 가면 끝인가"를 판정할 수

있다. 정의가 없는 B는 1권의 3단계 틀로는 다룰 수 없지만, B를 동치인 다른 모양

($x - 1 = 0$, $(x-1)^2 = 0$ 등)으로 바꾸는 길이 있다 — 그 길에 이름을 붙이는

것이 S2주차의 후진 과정이다. 이번 주에는 B를 정확히 적어 두는 데까지만 한다.
:::

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**확인 10.** 이 명제에서 허용된 근거는 무엇인가. §1.7의 목록으로 답해 보자.
:::

:::{admonition} 답
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① 실수$\cdot$양수의 정의 ② 실수의 대수 법칙과 부등식의 기본 성질(1권 16주차

(W1)~(W6)) ③ 등식 조작(양변에 $x$를 곱한 뒤 되돌릴 수 있으려면 $x \neq 0$이

필요한데, 애초에 $\frac1x$가 등장하므로 $x \neq 0$은 A에 이미 들어 있다)

④ 1권에서 증명한 명제들 ⑤ 논리 규칙. 목록에 없는 것("그래프를 보면 명백")은

근거가 아니다. 그렇다면 $x > 0$은 무엇을 하는가 — 이 명제에서는 결론에 쓰이지

않는 여유 가설이다. A의 조각을 다 적어야 "어느 조각이 실제로 쓰이는가"를

물을 수 있다.
:::

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**확인 11.** 세팅이 끝난 뒤 증명자가 취할 자세를 한 문장으로 적어 보자. $x = 3$인 경우는 검토해야 하는가.
:::

:::{admonition} 답
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"A가 참인 세계에 서 있다. 이 세계에서 B가 강제됨을 보인다."

$x = 3$은 검토하지 않는다. $3 + \frac13 = \frac{10}{3} \neq 2$이므로 그 세계에서는

A가 거짓이고, $3 \neq 1$이므로 B도 거짓이다 — 진리표 넷째 행($F \Rightarrow F$)이고,

그 행에서 명제는 이미 참이다.
:::

**완성본.** 위 네 확인의 답을 이어 붙이면 아래 세팅 표가 된다. 왼쪽 열을 베껴 쓰면서 오른쪽 열의 "왜"에 스스로 답해 본다.

| 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
| A(가설): $x$는 실수, $x > 0$, 그리고 $x + \frac1x = 2$ | 무대 선언("양의 실수")도 가설이다. 조각을 남김없이 적어야 §1.3의 걸음 ①이 완료된다. |
| B(결론): $x = 1$ | 확신시켜야 할 것. 아직 참인지 모른다는 태도를 유지한다 — B를 참으로 쓰는 순간 결론 가정 오류가 된다. |
| 허용된 근거: 실수의 대수 법칙과 부등식의 기본 성질(1권 16주차 (W1)~(W6)), 정의들, 이미 증명한 명제, 논리 규칙 | 이 목록 밖의 것은 쓸 수 없다 — §1.3의 걸음 ③. |
| 자세: "A가 참인 세계에 서 있다. 이 세계에서 B가 강제됨을 보인다." | $x = 3$ 같은 세계는 검토 대상이 아니다. 그 세계에서는 A가 거짓이라 검토 대상이 아니다 — §1.3의 걸음 ④. |

이 표가 §1.1의 막힘을 푸는 것은 아니다. 푸는 것은 S2주차의 후진 과정이다. 이 표가 하는 일은 **무엇이 부족한지를 보이는 것**이고, 그것만으로도 다음 줄을 찾는 물음이 "무엇을 해야 하지"에서 "B를 어떤 모양으로 바꿔야 하지"로 좁혀진다.

### 예제 2.2 — "A 거짓" 칸은 왜 걱정거리가 아닌가

**질문.** 예제 2.1의 명제에서 $x = 2$일 때 $x + \frac1x = 2.5 \neq 2$이고, 결론 $x = 1$도 거짓이다. 명제가 틀린 것 아닌가.

이번에는 설계만 함께 하고, 답은 완성본으로 본다.

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**확인 12.** 이 질문에 답하려면 무엇을 먼저 판정해야 하는가. $x = 2$인 세계에서 A의 진리값과 B의 진리값을 각각 적고, 진리표의 몇째 행인지 찾아 보자.
:::

:::{admonition} 답
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A: 거짓($2 + \frac12 = 2.5 \neq 2$). B: 거짓($2 \neq 1$). 따라서 진리표 넷째 행

($F \Rightarrow F$)이고, 그 행에서 $A \Rightarrow B$는 참이다. 판정 순서가 중요하다 —

**B를 보기 전에 A부터 본다.** A가 거짓이면 B는 볼 필요조차 없다.
:::

**답.** 틀리지 않았다. $x = 2$인 세계에서는 A가 거짓이므로 $A \Rightarrow B$는 그 세계에서 자동으로 참이다(진리표 넷째 행). 검토 대상이 아닌 세계는 명제의 참을 훼손하지 못한다. 명제가 거짓이 되는 유일한 길은 "A는 참인데 B가 거짓인 세계"(둘째 행)를 **하나라도** 찾는 것이고, 그런 세계를 반례라 한다(1권 29주차). 증명은 그런 세계가 없음을 보이는 일이다. $\blacksquare$

| 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
| $x = 2$에서 A의 진리값을 먼저 계산한다 | 판정 순서를 A $\to$ B로 고정한다. 순서를 바꾸면 "B가 거짓이다"에 놀라 잘못된 결론에 이른다. |
| 진리표 넷째 행임을 지목한다 | 근거를 논리 규칙(근거 ⑤)으로 명시한다. "그냥 상관없다"는 근거가 아니다. |
| 명제가 거짓이 되는 유일한 길이 둘째 행임을 다시 말한다 | 질문자가 무엇을 찾았어야 했는지를 알려 준다 — 반례는 둘째 행에서만 나온다. |

1권에서 두 번(8주차의 조건문 진리표, 29주차의 반례 서식) 만난 사실이지만, 이번 주의 용어로는 한 문장이 된다 — **증명자가 검토할 세계는 A가 참인 세계뿐이다.**

### 예제 2.3 — 분해 오류 진단

**잘못된 세팅.** 명제 "이등변삼각형의 두 밑각은 같다"에 대해 어떤 답안이 A = "두 밑각이 같다", B = "삼각형은 이등변이다"로 세팅했다.

이번에는 설계부터 스스로 해 보자.

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**확인 13.** 위 명제를 스스로 세팅해 보자. A와 B를 각각 적고, 잘못된 세팅과 무엇이 다른지 한 줄로 적는다.
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:::{admonition} 답
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A: 삼각형 $ABC$가 존재하고 $AB = AC$이다. B: $\angle B = \angle C$이다.

잘못된 세팅은 A와 B가 서로 바뀌었다. 한국어 "~의 …는 $-$이다" 꼴에서

"~"(이등변삼각형이라는 자격)가 가설이고 "$-$"(밑각이 같다는 성질)가 결론이다.
:::

**진단.** 가설과 결론을 뒤집었다. 이 세팅으로 증명하면 원명제가 아니라 그 **역**(1권 9주차)을 증명하게 된다. 역이 참인지 거짓인지는 별개의 문제이고, 이 경우에는 역도 참이지만 — 그것은 별개의 명제이므로 원명제의 증명이 되지 못한다. 분해를 검산하는 방법은 하나다: **"무엇이라고 가정하고, 무엇을 보이는가"를 소리 내어 말해 보는 것.** "이등변이라고 가정하고, 밑각이 같음을 보인다" ✓. "밑각이 같다고 가정하고, 이등변임을 보인다" ✗ — 원명제가 물은 것이 아니다. 세팅 단계의 이 뒤집기와 나란히 놓고 볼 다른 병 — A와 B를 옳게 알면서 개시 문장에서 B를 가정하는 것 — 을 문제 18에서 다룬다. $\blacksquare$

### 관찰 — 세 예제의 같은 뼈대

예제 2.1, 2.2, 2.3은 소재가 전혀 다르다. 하나는 대수, 하나는 진리표, 하나는 기하다. 그런데 셋 다 같은 네 걸음(§1.3)을 밟았다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

| **걸음** | **예제 2.1** | **예제 2.2** | **예제 2.3** |
|---|---|---|---|
| ① A를 남김없이 | 조각 세 개를 세었다 | $x = 2$에서 A의 진리값을 먼저 계산 | $\underline{\quad(1)\quad}$ |
| ② B를 정확히 | $x = 1$ | $x = 1$ (거짓임을 확인) | $\angle B = \angle C$ |
| ③ 허용된 근거 확정 | 확인 10의 목록 | $\underline{\quad(2)\quad}$ | 기하의 정의와 정리들 |
| ④ 검토 범위 자르기 | $x = 3$은 보지 않는다 | 넷째 행은 자동 참 | $\underline{\quad(3)\quad}$ |

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**확인 14.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 세 예제가 공통으로 한 일을 한 문장으로 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
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(1) 삼각형의 존재와 $AB = AC$라는 자격을 A로 잡았다

(2) 진리표, 곧 논리 규칙(근거 ⑤)

(3) 역을 증명하는 일은 이 명제의 검토 범위가 아니다.

공통으로 한 일: **어떤 명제든 증명에 손대기 전에 A$\cdot$B$\cdot$허용된 근거$\cdot$검토 범위

네 가지를 먼저 확정했다.**
:::

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

:::{admonition} 백지 암기 대상
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**세팅의 네 걸음**

① A를 남김없이 적는다(숨은 무대 선언 포함) $\to$ ② B를 정확히 적는다 $\to$

③ 허용된 근거의 목록을 확정한다 $\to$ ④ "A가 참인 세계에 선다"를 선언한다

이 네 걸음은 이번 학기 20주 내내 모든 명제 앞에서 반복된다. 달라지는 것은

네 걸음이 끝난 **뒤**에 무엇을 하는가이고, 그것이 S2주차부터의 내용이다.
:::

## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며

세 훈련은 같은 네 걸음을 지지대만 줄여 가며 반복한다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6 해설에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

### 훈련 1 ●○○ — 수식과 낱말 빈칸

**명제.** 홀수인 소수 $p$에 대해, $p^2 + 1$은 짝수이다.

- A(가설, 숨은 것 포함): $p$는 $\underline{\quad(1)\quad}$이고, $p$는 소수이며, $p$는 $\underline{\quad(2)\quad}$이다.
- B(결론): $\underline{\quad(3)\quad}$
- 증명의 첫 문장: "$p$를 $\underline{\quad(4)\quad}$라 하자."
- A가 거짓인 세계의 예: $p = \underline{\quad(5)\quad}$ (소수이지만 홀수가 아니다). 이 세계는 검토 대상인가? $\underline{\quad(6)\quad}$

### 훈련 2 ●●○ — 빈칸과 근거를 함께

이번에는 각 칸에 붙는 근거 번호(§1.7의 ①~⑤)도 빈칸이다.

**명제.** 정수 $n$에 대해, $n$이 3의 배수이면 $n^2$도 3의 배수이다.

- A: $\underline{\quad(1)\quad}$
- B: $\underline{\quad(2)\quad}$
- A의 "3의 배수"를 등식으로 바꾸는 번역의 근거는 근거 $\underline{\quad(3)\quad}$이고, 번역 결과는 $n = \underline{\quad(4)\quad}$인 정수 $k$가 존재한다는 것이다.
- B를 만들려면 $n^2 = 3 \times (\text{정수})$ 꼴을 제시해야 한다. 괄호 안이 정수임을 보증하는 근거는 근거 $\underline{\quad(5)\quad}$이다.
- A가 거짓인 세계의 예: $n = \underline{\quad(6)\quad}$. 그 세계에서 B의 진리값은 $\underline{\quad(7)\quad}$이고, 그럼에도 명제가 훼손되지 않는 이유는 진리표의 $\underline{\quad(8)\quad}$째 행이기 때문이다.

### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고

**명제.** 소수는 무한히 많다. (1권 21주차 예제 2.3에서 증명한 명제다 — 그 증명이 빌려 쓴 "2 이상의 모든 정수는 소수인 약수를 가진다"는 1권 33주차 문제 6에서 회수했다. 여기서는 증명을 다시 쓰지 않고 세팅만 한다.)

이 명제에는 "이면"이 없다. §1.5의 무조건 명제 처리가 필요하다. 네 걸음의 각 칸을 통째로 채운다.

- ① A: $\underline{\quad(1)\quad}$
- ② B: $\underline{\quad(2)\quad}$
- ③ 허용된 근거: $\underline{\quad(3)\quad}$
- ④ 검토 범위: $\underline{\quad(4)\quad}$ (A가 거짓인 세계가 있는가?)

(이 훈련이 문제 8의 예행연습이다.)

## 연습문제 (20문항)

문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

:::{admonition} 이번 주의 채점 기준
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답이 아니라 **근거**가 점수다. 이번 주에는 채점 항목이 셋이다.

① A를 남김없이 적었는가 — 숨은 무대 선언이 빠지면 감점이 아니라 명제의 판정이

성립하지 않는다.

② A와 B가 뒤집히지 않았는가 — "무엇을 가정하고 무엇을 보이는가"를 소리 내어 검산한다.

③ 각 줄의 근거를 §1.7의 ①~⑤로 지목할 수 있는가 — "당연히"는 근거가 아니다.

"$n$은 짝수다(맞음)"는 0점이고, "$n = 2k$인 정수 $k$가 존재하므로(근거 ①) 짝수다"가 만점이다.
:::

### 기본 ●○○

**1.** [백지] "증명 과제"의 세 요소(주어진 것 / 해야 할 일 / 허용된 근거)를 쓰시오.

:::{admonition} 백지 암기 대상
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**힌트**

§1.2의  상자 세 줄이다. 세 줄을 외우는 것이 아니라, 각 줄이

§1.3의 어느 걸음과 짝을 이루는지 함께 적으면 복구가 쉬워진다.
:::

**2.** 진리표를 그리고, 네 행 각각에 증명자에게 주는 지시(증명이 도달할 칸 / 명제가 거짓이 되는 칸 / 검토 대상 아님)를 이름으로 붙이시오.

:::{admonition} 힌트
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먼저 1권 8주차의 진리표를 그대로 그린다. 그 다음 각 행에서 A의 진리값만 본다 —

A가 거짓인 행은 이름이 하나로 정해지고, A가 참인 두 행만 이름이 갈린다.
:::

**3.** 다음 명제들의 A와 B를 분해하시오 (숨은 가설 포함). (a) 짝수의 제곱은 4의 배수이다. (b) $x$가 2보다 큰 실수이면 $x^2 - x > 2$이다. (c) 두 유리수의 곱은 유리수이다.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

세 문항 모두 문장에 적혀 있지 않은 무대 선언이 A에 하나씩 들어간다.

(c)의 "두 유리수"라는 명사구는 문자 두 개와 자격 두 개로 풀어 적는다.
:::

**4.** 빈칸 훈련을 백지에서 완성하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

§3의 훈련 1$\cdot$2$\cdot$3을 문제만 보고 다시 채우라는 뜻이다. 훈련 3이 가장 오래 걸린다 —

"이면"이 없는 명제의 A가 무엇이었는지가 관건이다(§1.5).
:::

**5.** 예제 2.1(세팅 표)을 명제 "실수 $x$에 대해, $x^3 = 8$이면 $x = 2$이다"로 다시 작성하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

예제 2.1의 네 행(A / B / 허용된 근거 / 자세)을 그대로 따라 쓴다. 다만 이번 B는

삼차식이 상대다 — 그 차이가 허용된 근거의 목록에 어떤 영향을 주는지 함께 적는다.
:::

**6.** "모든 증명의 첫 문장이 'A라 가정하자'인 이유"를 진리표의 어느 행들로 설명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

네 행을 "증명자가 손댈 것이 있는 행"과 "이미 끝난 행"으로 두 무리로 가른다.

손댈 것이 있는 행들의 공통점 한 가지가 그대로 답이 된다.
:::

### 표준 ●●○

**7.** 다음 명제의 A, B를 분해하고, "A가 거짓이라 검토 대상이 아닌 세계"의 예를 하나씩 드시오. (a) $n$이 6의 배수이면 $n$은 3의 배수이다. (b) 함수 $f$가 증가함수이면 $f$는 단사이다. (1권 41주차 문제 13)

:::{admonition} 힌트
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검토 대상이 아닌 세계란 "A를 만족하지 않는 대상"이다. (b)에서는 그 대상이 수가 아니라

함수이므로, 증가함수가 아닌 함수를 하나 대면 된다.
:::

**8.** 무조건 명제 "$\sqrt2$는 무리수이다"를 $A \Rightarrow B$ 틀로 재구성하시오 — A에 무엇이 들어가는가? 그리고 1권 21주차의 실제 증명에서 "허용된 근거"로 사용된 것 세 가지를 나열하시오.

:::{admonition} 힌트
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앞부분은 §1.5의 무조건 명제 처리 그대로다. 뒷부분은 1권 21주차의 증명을 펴 놓고

줄마다 "이 줄의 근거는 ①~⑤ 중 무엇인가"를 적어 보면 세 가지가 저절로 모인다.
:::

**9.** 명제 "정수 $a, b$에 대해, $a \mid b$이고 $b \mid a$이면 $|a| = |b|$이다"를 세팅하고, 가설 A가 **두 조각**임을 명시한 뒤 — 두 조각을 각각 어떻게 쓸 수 있는 꼴로 번역할지(정의 전개) 쓰시오 (증명은 하지 않아도 됨; 1권 2주차 문제 20 참조).

:::{admonition} 힌트
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"$a \mid b$"를 정의로 풀면 정수 하나가 나온다. 두 조각을 풀면 정수가 둘 나오는데,

두 정수에 같은 문자를 쓰면 안 되는 이유가 1권 1주차 예제 2.1의 문자 재사용 경고다.
:::

**10.** 다음 학생의 이해를 진단하시오: "명제 '$x > 3$이면 $x^2 > 9$'를 증명하려면 $x \le 3$인 경우에 $x^2 \le 9$인 것도 보여야 완전하다."

:::{admonition} 힌트
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그 학생이 검토하려는 세계는 진리표의 몇째 행인가. 그리고 그 행까지 처리하면

결과적으로 어떤 명제를 증명하게 되는지를 기호로 적어 본다 — §1.3의 실험 4다.
:::

**11.** 다음 학생의 이해를 진단하시오: "$x = -5$일 때 $x^2 = 25 > 9$인데 $x > 3$은 거짓이다. 그러므로 명제 '$x > 3$이면 $x^2 > 9$'에는 문제가 있다."

**12.** 명제 "$n^2 + n + 41$은 모든 자연수 $n$에서 소수이다"(1권 1주차 문제 18)가 거짓임을 아는 상태에서 — 이 명제가 거짓이 되는 칸(A 참, B 거짓)에 해당하는 세계를 정확히 명시하시오 (A와 B가 각각 무엇이고, 그 세계에서 왜 A 참$\cdot$B 거짓인지).

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

1권 1주차 문제 18의 반례가 그대로 답이다. 다만 "반례를 댄다"에서 끝내지 말고,

그 하나의 $n$에서 A의 진리값과 B의 진리값을 각각 계산해 두 줄로 적는 것이 이 문제다.
:::

**13.** "허용된 근거"의 목록에 없는 것을 쓴 가짜 증명의 예를 1권에서 하나 회수하시오: 1권 23주차 문제 19에서 어떤 '정리'가 인용되었고, 왜 그것이 허용된 근거가 아니었는가?

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

그 답안이 인용한 문장을 명제 하나로 떼어 내 참$\cdot$거짓을 판정한다. 거짓이면

정리일 수 없고, 정리가 아니면 근거 ④의 자격을 갖추지 못한다.
:::

**14.** 명제 "이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다"를 세팅하시오 (A에 숨은 가설이 몇 개인지 세어 볼 것 — 기하 명제는 숨은 가설이 특히 많다).

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

문장에 등장하는 대상을 하나씩 세어 본다: 삼각형, 꼭지각, 이등분선, 밑변.

각 대상이 "존재한다"와 "이런 자격을 갖는다" 두 줄씩을 요구한다. B도 한 조각이

아니라는 점에 주의한다 — "수직"과 "이등분"은 서로 다른 주장이다.
:::

### 도전 ●●●

:::{admonition} 이 문제가 회수하는 것 — 존재와 유일의 두 의무
:class: quotebox

문제 15는 1권 26주차의 두 의무를 이번 주의 용어로 다시 본다. "조건을 만족하는 것이

하나뿐이다"라는 한국어는 두 가지를 동시에 주장한다: ① 그런 것이 적어도 하나

있다(존재) ② 많아야 하나다(유일). 증명도 두 벌이 필요하고, 세팅 표도 두 개가

세워진다. 이번 주에는 두 세팅 표를 세우는 데까지만 하고, 각각의 표준 절차는

S5주차(구성법)와 S13주차(유일성 방법)에서 배운다.
:::

**15.** 하나의 문장이 **두 가지 다른 방식**으로 세팅될 수 있는 예: "$x^2 = 4$인 양의 실수는 2뿐이다"를 (a) "존재+유일" 방식(1권 26주차)으로 (b) "$A \Rightarrow B$" 방식("$x$가 양의 실수이고 $x^2 = 4$이면 $x = 2$")으로 각각 세팅하고, 두 세팅의 관계를 한 문장으로 쓰시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

(b)의 조건문은 "조건을 만족하면 그 값일 수밖에 없다"를 말한다. 그것이 (a)의

두 의무 중 어느 쪽에 해당하는지 짚으면, 두 세팅의 관계가 한 문장으로 나온다.
:::

**16.** 진리표의 "검토 대상 아님" 두 행($F \Rightarrow T$, $F \Rightarrow F$)이 **둘 다 T**로 정의된 것이 증명자에게 왜 편리한지 — 1권 8주차 문제 20("모든 4의 배수는 짝수" 명제)을 이번 주의 용어로 다시 서술하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

그 명제는 "모든 정수 $x$에 대해"로 시작하므로, $x = 3$처럼 4의 배수가 아닌

정수에서도 조건문이 참이어야 한다. 만약 그 두 행을 거짓으로 정했다면 증명자가

어떤 세계들까지 책임져야 했을지를 세어 본다.
:::

:::{admonition} 이 문제가 미리 쓰는 도구 — B를 동치인 모양으로 바꾸기
:class: quotebox

문제 17은 B를 손대는 문제다. 지금까지는 B를 정확히 적어 두기만 했는데, 여기서는

B를 **참$\cdot$거짓이 함께 움직이는 다른 모양**으로 갈아 끼운다. 이 조작이 정당한

이유(동치 변형이면 원래 B를 보인 것과 같다)는 1권 25주차에서 확립했고, 그것을

절차로 만드는 것이 S2주차의 후진 과정이다. 이번 주에는 변형 후보를 나열하는

데까지만 한다.
:::

**17.** 다음 명제를 세팅하고, B를 "동치인 다른 모양"으로 바꿔 쓸 수 있는 만큼 바꿔 보시오 (S2 후진 과정의 예열): "양의 실수 $a, b$에 대해, $a \neq b$이면 $\dfrac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$이다." (B의 변형 후보: 차가 양수 / 제곱 비교 / … 1권 16주차의 도구들로)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

양변에 양수 $2$를 곱하고((W3)), 양변에서 $2\sqrt{ab}$를 빼((W2)) 한쪽을 0으로

만든다. 그러면 남은 식 $a + b - 2\sqrt{ab}$가 완전제곱 $(\sqrt a - \sqrt b)^2$과

같은 식임이 보인다 — 그 순간 근거 ②의 (W1)이 바로 적용된다.
:::

**18.** (진단) 다음 답안의 문제를 이번 주의 용어로 지적하시오.

:::{container} quotebox
"명제: $n$이 홀수이면 $n^2$이 홀수이다. 증명: $n^2$이 홀수라고 하자. 그러면 $n$도 홀수여야 한다. 따라서 명제가 성립한다."

(무엇을 A로, 무엇을 B로 놓고 증명해 버렸는가? 1권 15주차 문제 18과 같은 병인가, 다른 병인가?)
:::

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

첫 문장이 무엇을 가정했는지만 보면 A와 B의 배치가 드러난다. 그 다음 둘째 문장의

근거를 §1.7의 ①~⑤ 중에서 찾아 본다 — 찾을 수 없다면 그것도 별개의 위반이다.
:::

**19.** "증명이 설득해야 할 상대"는 누구인가 — Solow식 답: **회의적인 독자**. 이 관점에서 (a) "자명하다"라는 문장이 증명에서 위험한 이유 (b) 1권 20주차 글쓰기 규칙 6조가 전부 "독자"를 위한 규칙인 이유를 각각 두 문장 이내로 쓰시오.

**20.** (서술) 1권 과정(기법 중심)과 이 책(과정 관리 중심)의 관계를 자기 언어로 정리하시오: 1권에서 이미 알던 것 중 이번 주에 **이름**을 얻은 것 두 가지, 그리고 아직 이름이 없는 채 남아 있는 습관(예: "막히면 정의로 돌아간다")이 앞으로 어떤 이름을 얻게 될지 예상 한 가지 (다섯 문장 이내).

## 백지 재현 — 복습 프로토콜

이 학기의 한 주는 원서와 교안을 번갈아 도는 5일 루틴이다. 백지 재현은 그 마지막 날에 놓인다.

| **요일** | **할 일** |
|---|---|
| 1일차 | Solow 1장 통독. 모르는 문장은 표시만 하고 통과한다 |
| 2일차 | 이 문서의 §1 개념과 §2 예제 |
| 3일차 | Solow 1장 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서의 연습문제 몇 개를 직접 시도한다 |
| 4일차 | 이 문서의 §3 사다리와 §4 연습문제 20문항 |
| 5일차 | 백지 재현(1차$\cdot$2차)과 체크리스트 |

재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

**1차 시도 (5일차 오전) — 틀 카드 허용.** §1.3의 네 걸음 표와 §1.7의 근거 목록만 펴 놓고, 예제 2.1의 세팅 표 네 행을 처음부터 끝까지 적는다. 본문과 진리표는 보지 않는다.

**2차 시도 (5일차 오후) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다.

- [ ] 증명 과제의 세 요소(주어진 것 / 해야 할 일 / 허용된 근거)를 백지에 썼다.
- [ ] $A \Rightarrow B$의 진리표 네 행을 그리고 각 행이 증명자에게 주는 지시를 적었다.
- [ ] 세팅의 네 걸음을 순서대로 쓰고, 걸음마다 빼면 무엇이 무너지는지 한 줄씩 댔다.
- [ ] 임의의 명제 하나를 골라 A(숨은 가설 포함)와 B를 즉시 분해했다.
- [ ] "증명자가 검토할 세계는 A가 참인 세계뿐이다"를 진리표로 설명했다.
- [ ] 분해 뒤집기 오류(예제 2.3)와 결론 가정 오류(문제 18)를 구분해 말했다.
- [ ] 근거 목록 ①~⑤를 쓰고, ⑤가 1권의 목록에 없던 이유를 한 문장으로 댔다.
- [ ] Solow 1장을 두 번(1일차 통독, 3일차 재독) 읽었다.

**막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

| **막힌 지점** | **처방** |
|---|---|
| A에 무엇을 넣어야 할지 모르겠다 | §1.5 분해표 — 무대 선언이 숨은 가설이라는 것부터 다시 본다 |
| A와 B가 자꾸 뒤집힌다 | 예제 2.3 — "무엇이라고 가정하고 무엇을 보이는가"를 소리 내어 말하는 검산법 |
| A 거짓인 세계가 왜 무시되는지 흐릿하다 | §1.4 진리표와 예제 2.2 — 판정 순서를 A $\to$ B로 고정한다 |
| 각 줄의 근거를 대지 못한다 | §1.7 근거 목록 — 다섯 줄뿐이므로 후보를 하나씩 대조한다 |
| 무조건 명제에서 A가 비어 보인다 | §1.5의 무조건 명제 처리와 훈련 3 |
| 세팅은 되는데 그다음이 없다 | 이번 주 범위가 세팅까지다 — 그다음을 만드는 절차는 S2주차의 후진 과정이다. 예제 2.1 끝 문단 |

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 적어 보고 다음날 재시도한다.

## 해설

각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 1

(1) 정수 (소수의 무대. "자연수"라 적어도 된다)  (2) 홀수  (3) $p^2 + 1$은 짝수이다 (4) 홀수인 소수  (5) $2$  (6) 아니다 — A가 거짓인 세계(진리표 넷째 행)이므로 검토 대상이 아니다.

※ (5)와 (6)이 이 훈련의 핵심이다. $p = 2$는 이 명제를 위협하는 사례처럼 보이지만, $p = 2$에서 A의 셋째 조각("$p$는 홀수")은 거짓이고($2$는 홀수가 아니다) B도 거짓이므로($2^2 + 1 = 5$는 홀수다) 진리표 넷째 행($F \Rightarrow F$)이고, 명제는 그 세계에서 이미 참이다. A의 조각을 다 적어 두지 않으면 이 판정을 할 수 없다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 2

(1) $n$은 정수이고 $n$은 3의 배수이다  (2) $n^2$은 3의 배수이다  (3) ① (정의) (4) $3k$  (5) ② (정수의 곱은 정수 — 닫힘성)  (6) $4$ (3의 배수가 아닌 정수 아무거나) (7) 거짓 ($4^2 = 16$은 3의 배수가 아니다)  (8) 넷 ($F \Rightarrow F$)

※ (6)(7)(8)을 이어 읽으면 이렇게 된다: "$n = 4$에서 A도 거짓이고 B도 거짓이지만, 그 조합은 진리표 넷째 행이라 $A \Rightarrow B$가 참이다." 예제 2.2가 물은 것과 같은 상황을 스스로 만들어 본 것이다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 3

(1) 자연수$\cdot$정수$\cdot$소수의 표준 정의와 공리 전부. "이면"이 없는 명제이므로 A 자리에 언제나 참으로 주어져 있는 것들이 들어간다. (2) 소수의 집합은 무한하다. (3) 소수$\cdot$합성수의 정의(근거 ①), 나눗셈과 나머지의 성질(근거 ②③), 1권 33주차에서 증명한 "2 이상의 모든 정수는 소수인 약수를 가진다"(근거 ④), 논리 규칙(근거 ⑤). (4) A가 거짓인 세계가 없다. 따라서 진리표 셋째$\cdot$넷째 행이 아예 등장하지 않고, 검토 범위를 잘라 낼 여지도 없다 — 이 명제에는 봐줄 세계가 하나도 없다.

※ 무조건 명제는 "가정이 없는 명제"가 아니라 "가정이 항상 참인 명제"다. 이 구분이 문제 8의 전부다.

### 문제 1

**접근.** §1.2의 [백지 암기 대상] 상자 세 줄이다. 세 줄을 나열하는 것으로 끝내지 말고, 각 줄이 §1.3의 어느 걸음에서 확정되는지 짝을 지어 두면 백지에서 복구하기 쉬워진다. 세 요소는 각각 "무엇을 가지고 시작하는가 / 언제 끝나는가 / 무엇을 써도 되는가"라는 세 물음의 답이다.

**풀이.** ① **주어진 것**: "A는 참"이라는 정보. 이것이 증명 도중 손에 쥐고 있는 것 전부이고, 세팅의 걸음 ①에서 숨은 가설까지 남김없이 적어 확정한다. ② **해야 할 일**: "B도 참"임을 확립하는 것. 걸음 ②에서 확정하며, 이것이 있어야 "어디까지 가면 끝인가"를 판정할 수 있다. ③ **허용된 근거**: 정의, 공리, 이미 증명된 정리, 논리 규칙. 걸음 ③에서 확정하며, §1.7의 근거 ①~⑤가 이 목록의 구체형이다.

**복기.** 세 요소는 "출발점 / 도착점 / 이동 규칙"이라는 세 자리에 각각 대응한다. 증명 도중 막혔을 때 물어야 할 것도 이 셋뿐이다 — 무엇을 가졌는가, 무엇을 만들어야 하는가, 지금 쓰려는 이 줄은 목록 안에 있는가.

### 문제 2

**접근.** 1권 8주차의 진리표를 먼저 그대로 그린다. 그다음 각 행에서 **A의 진리값만** 본다. A가 거짓인 두 행은 이름이 하나로 정해지고, A가 참인 두 행만 이름이 갈린다. 이름 붙이기는 장식이 아니라 "이 행에서 증명자가 할 일이 있는가"의 표시다.

**풀이.**

| **$A$** | **$B$** | **$A \Rightarrow B$** | **행의 이름** | **증명자가 할 일** |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | 증명이 도달할 칸 | 이 칸에 도달하는 것이 증명의 목표 |
| T | F | F | 명제가 거짓이 되는 유일한 칸 | 이 칸이 불가능함을 보이는 것이 증명 |
| F | T | T | 검토 대상 아님 | 없음 (자동으로 참) |
| F | F | T | 검토 대상 아님 | 없음 (자동으로 참) |

셋째$\cdot$넷째 행이 T인 것은 1권 8주차에서 확인한 공허한 참이고, 그 덕분에 증명자의 책임 범위가 첫째$\cdot$둘째 두 행으로 잘린다.

**복기.** 이 표를 "$A \Rightarrow B$의 진리값을 계산하는 표"로 읽으면 이번 주의 쓸모가 사라진다. **행마다 증명자의 할 일을 적은 표**로 읽는 것이 이번 주의 읽는 법이고, 그 읽는 법이 문제 6$\cdot$10$\cdot$11$\cdot$16의 공통 도구다.

### 문제 3

**접근.** 세 문항 모두 문장에 적혀 있지 않은 무대 선언이 A에 하나씩 들어간다. 분해의 순서는 언제나 같다: ① 이 문장이 무엇에 대한 주장인지(무대) ② 그 대상이 갖춰야 할 자격(조건) ③ 그때 성립한다고 주장하는 것(결론).

**풀이.** **(a) 짝수의 제곱은 4의 배수이다.** A: $n$은 정수이고 $n$은 짝수이다. B: $n^2$은 4의 배수이다. "짝수의"라는 명사구가 무대 선언(정수)과 자격(짝수) 두 조각을 담고 있다. 검산: $n = 6$이면 A가 참이고 $n^2 = 36 = 4 \times 9$로 B도 참이다.

**(b) $x$가 2보다 큰 실수이면 $x^2 - x > 2$이다.** A: $x$는 실수이고 $x > 2$이다. B: $x^2 - x > 2$이다. 여기서는 무대 선언이 문장에 명시되어 있다("실수"). 검산: $x = 3$이면 A가 참이고 $x^2 - x = 6 > 2$로 B도 참이다.

**(c) 두 유리수의 곱은 유리수이다.** A: $x$와 $y$는 유리수이다. B: $xy$는 유리수이다. "두 유리수"라는 명사구 하나에 문자 두 개와 자격 두 개가 압축되어 있다. 문자를 꺼내 이름을 붙이지 않으면 B를 적을 수조차 없다. 검산: $x = \frac23$, $y = \frac34$이면 $xy = \frac12$로 유리수다.

**복기.** 세 문항 모두 A를 적는 일이 "명사구를 문자와 자격으로 푸는 일"이었다. 한국어의 명사구가 조각 여러 개를 한 낱말에 담는 것이 숨은 가설의 주된 발생원이다.

### 문제 4

**접근.** §3의 훈련 1$\cdot$2$\cdot$3을 문제만 보고 다시 채우라는 뜻이다. 답을 외워서 적는 것이 아니라, 훈련마다 어느 걸음이 물어졌는지를 먼저 지목한 뒤 채운다.

**풀이.** 답은 위의 "빈칸 사다리 — 훈련 1$\cdot$2$\cdot$3" 항목과 대조한다. 훈련별로 관건은 다음 한 가지씩이다. 훈련 1: (5)(6) — $p = 2$가 위협이 아닌 이유. A의 셋째 조각도 B도 거짓이라 넷째 행이다. 훈련 2: (3)(5) — 각 줄의 근거를 ①~⑤ 중 하나로 지목하는 일. "정의로 푼다"는 ①, "괄호 안이 정수다"는 ②. 훈련 3: (1)(4) — "이면"이 없는 명제의 A는 비어 있는 것이 아니라 표준 정의$\cdot$공리 전부이고, 그래서 A가 거짓인 세계가 없다.

**복기.** 세 훈련이 순서대로 걸음 ①(조각 세기) $\to$ 걸음 ③(근거 대기) $\to$ 걸음 ①과 ④ (무조건 명제)를 물었다. 백지에서 막히는 자리가 곧 다시 볼 절의 번호다.

### 문제 5

**접근.** 예제 2.1의 네 행(A / B / 허용된 근거 / 자세)을 그대로 따라 쓴다. 이번 A는 조각이 둘이고 양수 조건이 없다. 그렇다고 허용된 근거의 목록이 줄지는 않는다 — 달라지는 것은 B의 상대가 삼차식이라는 점이고, 그래서 인수분해와 영인수 성질이 목록에 새로 들어온다.

**풀이.**

| 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
| A: $x$는 실수이고 $x^3 = 8$이다 | 조각 두 개. 무대 선언("실수")이 문장에 명시되어 있으므로 그대로 A로 올린다. |
| B: $x = 2$이다 | 풀 정의가 없는 등식. 끝나는 지점의 표시 역할만 한다. |
| 허용된 근거: 실수의 대수 법칙, 인수분해, 영인수 성질(1권 25주차 문제 13), (W1) (1권 16주차), 논리 규칙 | B가 삼차식이므로 예제 2.1의 목록에 인수분해와 영인수 성질이 더해진다. 나눗셈은 아래 유도에 쓰이지 않는다. |
| 자세: "$x^3 = 8$인 실수의 세계에 서 있다. 그 세계에서 $x = 2$가 강제됨을 보인다." | $x = 1$처럼 $x^3 \neq 8$인 세계는 검토하지 않는다 — 그 세계에서는 A가 거짓이다. |

세팅만 요구한 문제이지만, 세팅이 끝나면 실제 증명의 방향도 보인다. $x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4) = 0$이고 둘째 인수는 $x^2 + 2x + 4 = (x+1)^2 + 3 \ge 3 > 0$이므로 (근거 ② — (W1)), 영인수 성질에 의해 $x - 2 = 0$, 곧 $x = 2$이다.

**검산.** $2^3 = 8$ ✓. 그리고 실수 범위에서 $x^3 = 8$의 해가 2뿐이라는 것은 위 유도가 보인 그대로다.

### 문제 6

**접근.** 네 행을 "증명자가 손댈 것이 있는 행"과 "이미 끝난 행"의 두 무리로 가른다. 손댈 것이 있는 행들의 공통점 한 가지가 그대로 답이 된다. 이 문제는 "첫 문장이 관습이 아니라 귀결"임을 보이는 것이 목적이다.

**풀이.** A가 거짓인 두 행(셋째$\cdot$넷째)에서는 $A \Rightarrow B$가 진리표에 의해 자동으로 참이므로 증명자가 할 일이 없다. 증명이 필요한 것은 A가 참인 두 행(첫째$\cdot$둘째)뿐이고, 그중 둘째 행(A 참, B 거짓)이 일어나지 않음을 보이면 명제 전체가 참이 된다. 두 행 모두 A가 참이라는 공통점을 가지므로, 증명자는 처음부터 "A가 참인 세계"에 들어가 서면 되고 아무것도 잃지 않는다. 그 진입을 선언하는 문장이 "A라 가정하자"이다.

**복기.** 이 논증의 형태를 기억해 둘 만하다 — "네 경우 중 두 경우는 이미 결론이 나 있으므로 나머지 두 경우만 본다." 경우를 줄이는 이 방식은 1권 17주차의 경우 나누기와 같은 뼈대이고, S15주차의 양자택일법에서 다시 나온다.

### 문제 7

**접근.** 분해를 먼저 끝낸 뒤, "A를 만족하지 않는 대상"을 하나 대면 그것이 검토 대상이 아닌 세계다. 그런 세계를 대는 연습은 A를 정확히 적었는지 검사하는 장치이기도 하다 — A를 잘못 적으면 엉뚱한 대상이 나온다. 특정 증인을 댈 때는 셋째 행인지 넷째 행인지까지 한 행으로 못 박는다.

**풀이.** **(a)** A: $n$은 정수이고 $6 \mid n$이다. B: $3 \mid n$이다. 검토 대상이 아닌 세계의 예: $n = 4$. $4$는 6의 배수가 아니므로 A가 거짓이고, $3 \nmid 4$이므로 B도 거짓이다 — 진리표 넷째 행($F \Rightarrow F$)이다. 그 행에서 $A \Rightarrow B$는 참이므로 이 세계는 명제를 훼손하지 못한다. **(b)** A: $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$는 함수이고 증가함수이다(모든 $x < y$에 대해 $f(x) < f(y)$). B: $f$는 단사이다. 검토 대상이 아닌 세계의 예: $f(x) = x^2$. $-1 < 1$인데 $f(-1) = 1 = f(1)$이므로 증가함수가 아니고, 따라서 A가 거짓이다. B도 거짓이므로($f(-1) = f(1)$이라 단사가 아니다) 진리표 넷째 행이고, 이 $f$는 명제를 훼손하지 못한다 — 명제가 거짓이 되는 것은 A가 참인 세계에서뿐이다.

**복기.** (b)에서 검토 대상이 아닌 세계의 대상이 수가 아니라 함수라는 점이 요점이다. "세계"란 A의 문자에 넣을 수 있는 대상 전부를 말하고, 그 대상이 무엇인지는 무대 선언이 정한다.

### 문제 8

**접근.** 앞부분은 §1.5의 무조건 명제 처리 그대로다. 뒷부분은 1권 21주차의 증명을 펴 놓고 줄마다 "이 줄의 근거는 §1.7의 ①~⑤ 중 무엇인가"를 적어 보면 세 가지가 저절로 모인다. 이 문제의 목적은 "무조건 명제도 아무것도 없이 시작하지 않는다"를 구체적으로 확인하는 것이다.

**풀이.** A: 실수$\cdot$유리수$\cdot$정수의 표준 정의와 공리들 — 언제나 참으로 주어져 있는 것 전부. B: $\sqrt2$는 무리수이다. A가 거짓인 세계는 없으므로 진리표 셋째$\cdot$넷째 행은 등장하지 않는다. 1권 21주차의 증명에서 허용된 근거로 실제 사용된 것 세 가지: ① 유리수의 정의($\frac ab$ 꼴, $b \neq 0$)와 기약분수 표현의 존재 — 후자는 1권 33주차에서 증명한 명제이므로 근거 ④다. ② "$n^2$이 짝수이면 $n$은 짝수이다" — 1권 19주차에서 대우로 증명한 명제, 근거 ④. ③ 등식의 대수 조작(양변 제곱, 이항, 대입) — 근거 ③. 여기에 귀류법의 형식 자체가 근거 ⑤(논리 규칙)로 한 자리를 차지한다.

**복기.** 무조건 명제는 "가정이 없는 명제"가 아니라 "가정이 항상 참인 명제"다. 그래서 손이 비어 보여도 실제로는 정의와 기증명 정리를 가득 쥐고 시작한다. 막혔을 때 "지금 쓸 수 있는 것이 없다"고 느낀다면, 대개 A를 적지 않았기 때문이다.

### 문제 9

**접근.** 문항이 말하는 "두 조각"은 조건 두 개($a \mid b$, $b \mid a$)를 가리킨다. 우리 세는 법(§1.3)으로는 무대 선언까지 합해 조각이 셋이다. 조건 두 조각은 정의를 두 번 풀어야 하고, 두 번 풀어 나오는 정수 두 개에 **서로 다른 문자**를 주는 것이 이 문제의 채점 지점이다. 같은 문자를 쓰면 두 조각이 같은 정보라고 몰래 가정한 것이 된다.

**풀이.** A: $a, b$는 정수이고, $a \mid b$이며, $b \mid a$이다 (조각 셋 — 무대 선언 한 조각과 조건 두 조각). B: $|a| = |b|$이다. 두 조각의 번역: $a \mid b$ $\to$ 정의에 의해 $b = ak$인 정수 $k$가 존재한다 (근거 ①). $b \mid a$ $\to$ 정의에 의해 $a = b\ell$인 정수 $\ell$이 존재한다 (근거 ①). 문자 $k$와 $\ell$은 서로 달라야 한다. 여기까지가 문항의 요구이고, 아래는 참고 유도다. 두 번역을 결합하면 $a = b\ell = (ak)\ell = a(k\ell)$을 얻고, 여기서 $a = 0$인 경우와 그렇지 않은 경우로 갈라 처리하는 것이 1권 2주차 문제 20의 몸통이었다. $a = 0$이면 $b = ak = 0$이므로 $|a| = |b| = 0$이다(근거 ③). $a \neq 0$이면 $k\ell = 1$이고, 정수 두 개의 곱이 1이 되는 경우는 $k = \ell = 1$ 또는 $k = \ell = -1$뿐이므로 $b = a$ 또는 $b = -a$, 곧 $|a| = |b|$이다. 두 경우가 모두 닫혔다.

**검산.** $a = 6$, $b = -6$이면 $6 \mid -6$이고 $-6 \mid 6$이며 절댓값이 둘 다 6으로 같다 ✓. $a = 0$, $b = 0$인 경우도 A를 만족하고 결론도 성립한다.

**복기.** 가정이 "그리고"로 묶여 있으면 조각 수만큼 번역이 나오고, 번역마다 새 문자가 생긴다. 조각을 세는 습관이 문자 재사용 오류를 막는다.

### 문제 10

**접근.** 그 학생이 검토하려는 세계가 진리표의 몇째 행인지를 먼저 지목한다. 그다음, 그 행까지 처리하면 결과적으로 어떤 명제를 증명하게 되는지를 기호로 적어 본다. §1.3의 걸음 삭제 실험 4가 이 진단의 원형이다.

**풀이.** 오해다. "$x \le 3$인 경우"는 A("$x > 3$")가 거짓인 세계이고, 진리표 셋째$\cdot$넷째 행에 해당한다. 그 두 행에서 $A \Rightarrow B$는 이미 참이므로 **보일 것이 없다.** 그런데도 "그 경우에 $x^2 \le 9$임"까지 보이려는 것은 사실상 "$x > 3 \iff x^2 > 9$"라는 쌍조건문을 증명하겠다는 뜻이 된다. 그 쌍조건문은 참도 아니다 — $x = -5$는 $x^2 = 25 > 9$이면서 $x > 3$이 아니므로 역 방향의 반례다. 결국 이 학생은 원명제(참)를 증명하려다 더 강한 명제(거짓)를 스스로 떠맡았다.

**복기.** "완전하게 하려고 더 보이는 것"이 항상 안전한 것은 아니다. 무엇을 보여야 하는지는 걸음 ②와 ④에서 이미 정해져 있고, 그 범위를 넘어서면 증명 대상 자체가 바뀐다. 검토 범위를 자르는 걸음 ④가 절약이 아니라 정확성의 문제인 이유다.

### 문제 11

**접근.** $x = -5$인 세계에서 A와 B의 진리값을 각각 계산한다. 순서가 중요하다 — 예제 2.2에서 고정한 대로 B를 보기 전에 A부터 본다. A가 거짓이면 그 세계는 이미 결론이 나 있다.

**풀이.** 오해다. $x = -5$에서 A("$x > 3$")는 거짓이고 B("$x^2 > 9$")는 참이므로, 이 세계는 진리표 셋째 행($F \Rightarrow T$)이고 $A \Rightarrow B$는 참이다. "A가 거짓인데 B가 참"은 명제가 거짓이 되는 조건이 아니다 — 명제가 거짓이 되는 것은 오직 "A 참, B 거짓"인 둘째 행에서뿐이다. 이 학생이 실제로 찾아낸 것은 **역**("$x^2 > 9 \Rightarrow x > 3$")의 반례이고, 역의 반례는 원명제를 조금도 훼손하지 못한다(1권 9주차에서 역과 원명제가 다른 명제임을 확인했다). 반례를 찾으려면 $x > 3$이면서 $x^2 \le 9$인 실수를 찾아야 하는데, 그런 실수는 없다.

**복기.** 문제 10과 11은 같은 명제에 대한 서로 다른 오해다. 10은 A가 거짓인 세계를 **책임지려** 했고, 11은 A가 거짓인 세계를 **반례로 오인**했다. 두 오해 모두 판정 순서를 A $\to$ B로 고정하면 발생하지 않는다.

### 문제 12

**접근.** "명제가 거짓이 되는 칸"을 명시하라는 것은 반례를 대라는 것과 같지만, 요구가 하나 더 있다. 그 하나의 $n$에서 A의 진리값과 B의 진리값을 **각각 계산해 두 줄로 적는 것**이 이 문제다. 반례의 정체가 곧 둘째 행의 목격자임을 확인하는 자리다.

**풀이.** A: $n$은 자연수이다. B: $n^2 + n + 41$은 소수이다. 명제가 거짓이 되는 세계: $n = 40$. A의 진리값: 참 — $40$은 자연수다. B의 진리값: 거짓 — 계산하면

$$
40^2 + 40 + 41 = 40 \cdot 41 + 41 = 41 \cdot (40 + 1) = 41^2 = 1681
$$

이고, $1681 = 41 \times 41$은 1과 자기 자신 외에 41을 약수로 가지므로 소수가 아니다. 따라서 $n = 40$인 세계는 A 참$\cdot$B 거짓, 곧 진리표 둘째 행이다. 이 세계가 하나 존재하므로 전칭 명제 전체가 거짓이다.

**검산.** $41 \times 41 = 1681$ ✓. 그리고 $n = 41$도 같은 자리다: $41^2 + 41 + 41 = 41(41 + 1 + 1) = 41 \times 43$.

**복기.** 1권 29주차의 반례 서식이 요구하던 두 검증("가정을 만족하는가", "결론이 거짓인가")이 정확히 "A 참 확인 + B 거짓 확인"이었다. 반례란 둘째 행의 목격자이고, 서식의 두 줄은 그 행의 두 칸을 각각 확인하는 절차였다.

### 문제 13

**접근.** 그 답안이 인용한 문장을 명제 하나로 떼어 내 참$\cdot$거짓을 판정한다. 거짓이면 정리일 수 없고, 정리가 아니면 근거 ④("이미 증명한 명제")의 자격을 갖추지 못한다. 근거 목록이 하는 일이 바로 이 자격 심사다.

**풀이.** 1권 23주차 문제 19의 답안은 "$\sqrt2 + \sqrt5$는 무리수이다"를 보이면서 **"무리수와 무리수의 합은 무리수이다"**를 정리로 인용했다. 그 문장은 정리가 아니라 거짓 명제다 — $\sqrt2$와 $-\sqrt2$는 둘 다 무리수인데 합은 $0$으로 유리수이므로 반례가 존재한다. 허용된 근거의 목록에 오를 수 있는 것은 "**증명된** 정리"뿐이므로, 미증명이며 게다가 거짓인 명제의 인용은 규칙 위반이다. 답안의 결론 자체는 참이지만 ($\sqrt2 + \sqrt5$는 실제로 무리수다) 결론이 참인 것과 증명이 옳은 것은 별개다.

**복기.** 인용은 근거 중에서 가장 검사하기 쉬운 종류다 — 인용된 문장을 떼어 내 참$\cdot$거짓만 물으면 된다. 그럼에도 가장 자주 통과되는 위반이기도 하다. "그럴듯한 문장"과 "증명된 문장" 사이의 간격을 목록이 대신 지켜 준다.

### 문제 14

**접근.** 문장에 등장하는 대상을 하나씩 센다: 삼각형, 꼭지각, 이등분선, 밑변. 대상마다 "존재한다"와 "이런 자격을 갖는다"가 각각 A의 조각이 된다. 그리고 B도 한 조각이 아니다 — "수직"과 "이등분"은 서로 다른 두 주장이다.

**풀이.** A(조각 셋): ① 삼각형 $ABC$가 존재한다. ② $AB = AC$이다 (이등변의 자격. 꼭지각은 $A$이고 밑변은 $BC$가 된다). ③ 선분 $AD$는 각 $A$의 이등분선이고, $D$는 밑변 $BC$ 위의 점이다. B(조각 둘): $AD \perp BC$이고, $BD = DC$이다. 숨은 가설이 셋, 결론이 둘이다. ③이 없으면 $D$가 무엇인지 정해지지 않아 B를 적을 수조차 없고, ②가 없으면 어느 각이 꼭지각인지 정해지지 않는다. 결론이 "그리고"로 묶여 있으므로 증명도 두 벌이 필요하다 — 1권 18주차 문제 18에서 결론이 "그리고"로 묶인 명제를 두 부분으로 나눠 각각 보인 그 서식이다.

**복기.** 기하 명제가 어려워 보이는 큰 이유는 정리 자체가 아니라 A의 조각이 많고 대부분 문장에 적혀 있지 않다는 데 있다. 세팅만 정확히 해도 증명의 절반은 끝난다.

### 문제 15

**접근.** "뿐이다"라는 한국어가 두 가지를 동시에 주장한다는 것부터 짚는다. 존재와 유일이 각각 별도의 세팅 표를 요구하고, (b)의 조건문은 그중 한쪽에만 대응한다. 어느 쪽인지 지목하면 두 세팅의 관계가 한 문장으로 나온다.

**풀이.** **(a) 존재+유일 세팅.** 세팅 표가 두 개 필요하다. 존재 쪽 — A: 실수와 제곱의 표준 정의. B: $x^2 = 4$이고 $x > 0$인 실수 $x$가 존재한다. (증인 $x = 2$를 제시하고 $2^2 = 4$, $2 > 0$을 검증하면 끝난다.) 유일 쪽 — A: 실수와 제곱의 표준 정의. B: $x^2 = 4$이고 $x > 0$인 실수는 많아야 하나다. **(b) 조건문 세팅.** A: $x$는 실수, $x > 0$, $x^2 = 4$이다. B: $x = 2$이다. **두 세팅의 관계.** (b)의 조건문은 (a)의 **유일성 의무**를 이행하는 한 가지 방식(강제형)이다 — (b)가 참이면 조건을 만족하는 것이 둘 있을 수 없으므로 유일성이 따라 나온다(1권 26주차 문제 11에서 유일성을 이 강제 방식으로 보였다). 다만 (b)는 값까지 지목하므로 "많아야 하나"보다 강한 진술이고, 그래서 (b)만으로는 존재 의무가 남는다. 따라서 (b)만으로는 원문장의 절반만 증명한 것이고, 완전한 증명에는 (b)에 더해 증인 $x = 2$의 제시가 필요하다.

**복기.** 한국어의 "뿐이다 / 유일하다 / 오직 하나"는 항상 두 의무를 뜻한다. 세팅 단계에서 세팅 표를 두 개 세워 두면 존재 쪽을 빠뜨리는 일이 없다. 두 의무의 표준 절차는 S5주차(구성법)와 S13주차(유일성 방법)에서 따로 배운다.

### 문제 16

**접근.** 그 명제는 "모든 정수 $x$에 대해"로 시작하므로, 4의 배수가 아닌 정수에서도 조건문이 참이어야 전칭 명제가 참이 된다. 검토 대상이 아닌 두 행을 거짓으로 정했다면 증명자가 어떤 세계들까지 책임져야 했을지를 세어 보면 편리함의 정체가 드러난다.

**풀이.** 명제 "모든 정수 $x$에 대해 $4 \mid x \Rightarrow 2 \mid x$"를 이번 주의 용어로 읽으면 이렇게 된다. 각 정수 $x$마다 판정이 하나씩 열린다. $x = 8$에서는 A가 참이고 B도 참이므로 첫째 행(증명이 도달할 칸)이다. $x = 3$에서는 A("$4 \mid 3$")가 거짓이고 B("$2 \mid 3$")도 거짓이라 진리표 넷째 행이므로 자동으로 참이다. $x = 6$에서는 A가 거짓이고 B가 참이라 셋째 행이며 역시 자동으로 참이다. 검토 대상이 아닌 두 행을 T로 정한 덕분에, 증명자는 **A가 참인 세계들(4의 배수들)에서만 보이면** 전칭 명제 전체가 참이 된다. 만약 그 두 행을 F로 정했다면 $x = 3$, $x = 5$, $x = 6$ 같은 무한히 많은 세계에서 조건문이 거짓이 되어, 참이어야 마땅한 이 명제가 거짓이 되어 버린다. 정의가 증명자의 책임 범위를 정확히 "A가 참인 세계"로 잘라 준다.

**복기.** "A가 거짓이면 $A \Rightarrow B$는 B가 무엇이든 참"은 임의의 약속이 아니라, 전칭 조건문이 쓸모 있으려면 그렇게 정할 수밖에 없는 규칙이다. 1권 8주차 문제 20이 물은 것이 정확히 이 필연성이고, 이번 주는 거기에 "책임 범위 자르기"라는 이름을 붙였다.

### 문제 17

**접근.** 세팅부터 하고, B만 손댄다. 양변에 양수 $2$를 곱하고 이항해서 한쪽을 0으로 만들면, 남은 식이 완전제곱과 같은 식임이 드러난다. 변형마다 **가역인지**를 확인하며 내려가는 것이 핵심이다 — 가역이 아니면 바꿔 놓은 B를 보여도 원래 B를 보인 것이 되지 않는다. 양변이 0 이상일 때의 제곱 비교 원리는 1권 16주차 문제 17에 준비되어 있지만, 이 사슬에는 쓰이지 않는다.

**풀이.** A: $a, b$는 실수이고 $a > 0$, $b > 0$, $a \neq b$이다. B: $\dfrac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$이다. B의 동치 변형 사슬의 각 단계는 가역이다 — 양변에 양수 $2$를 곱하기((W3)), 양변에서 같은 수 $2\sqrt{ab}$를 빼기((W2)), 그리고 $a + b - 2\sqrt{ab} = (\sqrt a)^2 - 2\sqrt a \sqrt b + (\sqrt b)^2 = (\sqrt a - \sqrt b)^2$이라는 항등식(같은 식의 다른 표기이므로 자동으로 가역). 사슬은 다음과 같다.

$$
\frac{a+b}{2} > \sqrt{ab} \iff a + b > 2\sqrt{ab} \iff a + b - 2\sqrt{ab} > 0 \iff (\sqrt a - \sqrt b)^2 > 0
$$

마지막 모양에서 판정이 갑자기 쉬워진다. $a \neq b$이면 $\sqrt a \neq \sqrt b$이고 (만약 $\sqrt a = \sqrt b$이면 양변을 제곱해 $a = b$가 되어 A의 넷째 조각과 어긋난다), 따라서 (W1)의 등호 조건에 의해 $(\sqrt a - \sqrt b)^2 > 0$이다. B가 참이다.

**검산.** $a = 1$, $b = 4$로 확인하면 $\frac{1+4}{2} = 2.5$이고 $\sqrt{4} = 2$이므로 $2.5 > 2$ ✓. 그리고 $a = b$일 때는 등호가 되어 부등식이 성립하지 않는다 — A의 넷째 조각이 왜 필요한지가 여기서 드러난다.

**복기.** 이 문제에서 한 일은 "B를 동치인 다른 모양으로 갈아 끼우기"뿐이다. A는 마지막 한 걸음에서만 쓰였다. 이 조작을 절차로 만들어 "B를 보이려면 무엇을 보이면 충분한가"라는 물음을 반복하는 것이 S2주차의 후진 과정이고, 이 문제가 그 예고편이다.

### 문제 18

**접근.** 첫 문장이 무엇을 가정했는지만 보면 A와 B의 배치가 드러난다. 그다음 둘째 문장의 근거를 §1.7의 ①~⑤ 중에서 찾아 본다 — 찾을 수 없다면 그것은 배치와는 별개의 두 번째 위반이다. 병이 하나인지 둘인지 세는 것이 이 문제의 요구다.

**풀이.** 위반이 둘이다. 첫째, "$n^2$이 홀수라고 하자"는 **B를 가정한 것**이다. 원명제의 A는 "$n$은 정수이고 $n$은 홀수", B는 "$n^2$은 홀수"인데, 이 답안은 B를 A 자리에 놓고 A를 B 자리에 놓았다 — 개시 문장에서 배치를 뒤집었으므로 증명한 것은 원명제가 아니라 그 역이다. 둘째, "그러면 $n$도 홀수여야 한다"는 근거가 없는 단언이다. ①~⑤ 어디에도 이 줄을 정당화하는 것이 없으므로, 뒤집힌 명제조차 증명하지 못했다. 1권 15주차 문제 18의 답안과 **같은 계열**이다. 그 답안도 "$x^2$이 홀수라 하자"로 열어 결론을 가정했다. 예제 2.3과는 무너진 걸음이 다르다. 예제 2.3은 **세팅 단계**에서 A와 B를 잘못 적은 것(걸음 ①$\cdot$②의 실패)이고, 이 답안은 A와 B를 옳게 알면서 **개시 문장**에서 B를 가정한 것(걸음 ④의 실패)이다 — 증상은 같아 보이지만 무너진 걸음이 다르다. 올바른 개시: "$n$을 홀수라 하자."

**복기.** 첫 문장만 읽어도 A와 B의 배치를 검사할 수 있다. 답안을 검토할 때 가장 싼 검사이므로 가장 먼저 한다 — 첫 문장이 A를 가정했는가, B를 가정했는가.

### 문제 19

**접근.** 상대를 "회의적인 독자"로 놓으면 두 물음이 같은 원리의 두 사례가 된다. 독자는 각 줄에 "왜?"를 물을 수 있고, 그 물음에 목록 ①~⑤로 답하지 못하는 줄은 증명에서 무효다. (b)의 규칙들도 전부 독자의 검증 비용을 낮추는 장치로 읽힌다.

**풀이.** (예시 답안) **(a)** "자명하다"는 회의적인 독자 앞에서 근거가 아니다 — 독자가 "왜?"라고 물었을 때 내놓을 정의나 정리가 그 자리에 없기 때문이고, 허용된 근거의 목록에 '자명'이라는 항목은 없다. 오히려 자명해 보이는 문장일수록 근거를 명시하거나 표준 정리로 인용해야 한다 (1권 22주차 문제 5가 "어떤 정수도 짝수이면서 동시에 홀수일 수 없다"라는 당연해 보이는 사실을 실제로 증명한 사례다). **(b)** 1권 20주차의 글쓰기 규칙 6조는 전부 "독자가 각 줄의 근거를 스스로 재구성할 수 있는가"를 위한 규칙이다 — 기호로 문장을 시작하지 않기(1조), 모든 기호를 소개한 뒤 쓰기(2조), $\Rightarrow$를 접속사로 남용하지 않기(4조)는 모두 독자의 검증 비용을 낮추는 장치이고, 증명이 사적인 계산 기록이 아니라 회의적인 독자를 향한 공적인 설득문이기 때문이다.

**복기.** "상대가 누구인가"를 정해 두면 채점 기준이 자동으로 따라 나온다. 상대가 자기 자신이면 "나는 알겠다"가 통과 기준이 되고, 상대가 회의적인 독자면 "각 줄에 근거가 붙어 있는가"가 기준이 된다. 이 책은 후자를 택한다.

### 문제 20

**접근.** 이름을 얻은 것 두 가지와 아직 이름이 없는 습관 하나를 고르는 문제다. 후보를 찾는 방법은 간단하다 — 1권에서 "그냥 그렇게 하는 것"으로 배운 동작 중, 이번 주에 "왜 그렇게 하는가"의 답이 붙은 것을 찾으면 된다.

**풀이.** (예시 답안) 1권 15주차에서 "$P$라 가정하자"로 열고 "따라서 $Q$이다"로 닫으라고 배운 서식이, 이번 주에 "주어진 것 A"와 "해야 할 일 B"라는 두 목록의 이름을 얻었다. 그리고 "가정부터 쓰고 시작한다"는 습관은 "증명자가 검토할 세계는 A가 참인 세계뿐"이라는 진리표의 귀결이라는 이름을 얻었다 — 서식이 관습이 아니라 논리의 결과였음이 밝혀진 것이다. 아직 이름이 없는 습관으로는 "막히면 정의로 돌아간다"가 있는데, 이것은 앞으로 "결론 B 앞에서 던지는 표준 질문의 답이 대개 정의"라는 자리를 얻을 것으로 예상한다(S4주차). 요컨대 1권은 개별 기법을 하나씩 세웠고, 이 책은 그 기법들을 언제 어떤 순서로 꺼내는지의 관리 절차를 세운다.

**복기.** 이 정리를 노트 맨 앞에 적어 두고 학기 내내 갱신한다. "1권에서 감각으로 하던 것이 이번 주에 이름을 얻었다"는 항목이 매주 하나씩 늘어나는 것이 이 학기가 진행되고 있다는 표시다.

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**다음 주 예고 (S2주차):** 이 책의 중심 도구인 **후진 과정**을 세운다. 결론 B 앞에서 "B가 참임을 보이려면 무엇을 보이면 충분한가"라는 핵심 질문을 던지고, 그 답으로 B를 더 다루기 쉬운 B1으로 갈아 끼우는 절차다. 이번 주 문제 17에서 $\frac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$를 $(\sqrt a - \sqrt b)^2 > 0$까지 끌고 내려간 그 사슬이 정확히 후진 과정이었고, 다음 주에 그 사슬을 만드는 규칙과 멈추는 조건을 배운다. 예제 2.1에서 세팅만 하고 남겨 둔 명제 "$x + \frac1x = 2$이면 $x = 1$"도 그때 끝낸다. 루틴 1일차에 Solow 2장을 먼저 통독한다.