42주차 — 합성함수#
이 주의 길잡이
핵심 문장: 합성 \(g \circ f\)는 오른쪽 \(f\)부터 실행하고, 단사\(\cdot\)전사는 합성으로 전달되지만 되돌릴 때는 절반만 돌아온다.
이 주의 위치: 50주 과정의 42주차. 41주차에서 만든 단사\(\cdot\)전사가 함수를 이어 붙이는 연산 위에서 어떻게 움직이는지를 정리하고, 43주차(역함수)와 48주차(무한의 크기 비교)가 쓸 부품을 만든다.
원서 대응: BoP(Book of Proof) 12.3 (Composition), 12.4 (Inverse 예열). 원서 없이 읽을 수 있다.
이번 주 목표#
합성 \(g \circ f\)의 정의를 연결 조건까지 포함해 백지에 쓰고, “오른쪽부터 실행한다”를 계산으로 확인할 수 있다.
보존 정리(단사\(\cdot\)전사\(\cdot\)전단사가 합성으로 전달됨)를 증명하고, 41주차에서 증명해 둔 결과를 부품으로 재사용해 새 함수의 성질을 두 줄로 판정할 수 있다.
역추적 정리(\(g \circ f\)가 단사이면 \(f\)가 단사, 전사이면 \(g\)가 전사)를 증명하고, 돌아오지 않는 나머지 절반을 반례로 확인한다.
항등함수 \(\mathrm{id}\)와 합성의 관계를 정리해 43주차 역함수의 언어를 준비한다.
본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.
준비 운동 (41주차 복습)#
단사\(\cdot\)전사의 정의와 증명 서식 4종을 백지에 쓰시오.
\(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 2x + 1\), \(g(x) = x^2\)일 때 \(g(f(1))\)과 \(f(g(1))\)을 계산하시오.
41주차 문제 16의 지그재그 함수는 무엇과 무엇 사이의 전단사였는지 쓰시오.
답
1. (단사) \(f : A \to B\)가 단사라는 것은 모든 \(a, a' \in A\)에 대해 \(f(a) = f(a')\)이면 \(a = a'\)이라는 뜻이다(정의 41.1). (전사) 모든 \(b \in B\)에 대해 \(f(a) = b\)인 \(a \in A\)가 존재한다는 뜻이다(정의 41.2). 서식 4종은 단사 증명(”\(f(a) = f(a')\)이라 하자” \(\to\) 등식 계산 \(\to\) “\(a = a'\)”), 단사 반증(쌍 제시 + 두 검증), 전사 증명(”\(b \in B\)라 하자” \(\to\) 증인 제작 \(\to\) 정의역 소속과 대입의 두 검증), 전사 반증(도달 불가능한 \(b_0\) 제시 + 불가능성 논증)이다.
2. \(f(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3\)이므로 \(g(f(1)) = g(3) = 9\)이다. \(g(1) = 1^2 = 1\)이므로 \(f(g(1)) = f(1) = 3\)이다. 두 값이 다르다.
3. \(\mathbb{N}\)과 \(\mathbb{Z}\) 사이의 전단사였다. \(n\)이 짝수면 \(\frac{n}{2}\), 홀수면 \(-\frac{n-1}{2}\)로 보내는 함수이며, 48주차에서 \(|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}|\)의 근거가 된다.
자주 나오는 세 가지 답 — 2번 문항#
방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.
유형 1 — 순서를 뒤집어 계산한다. \(g(f(1))\)을 “\(g\)를 먼저 하고 \(f\)를 나중에”로
읽어 \(f(g(1)) = 3\)을 적는다. 두 값을 계산한 것 자체는 옳고, 실제로 그 값은 \(f(g(1))\)의 답이다. 어긋난 것은 배정이다 — 괄호 안쪽이 먼저 계산되므로 \(g(f(1))\)에서 먼저 실행되는 것은 \(f\)다. 이번 주 §1.4가 이 순서를 기호 규약으로 고정한다.
유형 2 — 값 하나만 보고 같다고 판정한다. 두 값을 각각 계산한 뒤 “차이는
있지만 큰 의미는 없다”로 넘어가거나, 하필 두 값이 같아지는 입력을 골라 “순서를 바꿔도 같다”로 적는다. 계산은 정확하다. 빠진 것은 판정의 기준이다 — 두 함수가 같은지 다른지는 40주차 함수 상등의 세 기준으로 정해지고, 다름을 보이는 데 필요한 것은 값이 갈리는 입력 하나다. 실제로 위 \(f, g\)에서 \(x = 0\)을 골랐다면 양쪽 다 \(1\)이 나와 반증이 되지 않는다(예제 2.1 확인 15).
유형 3 — 규칙식을 만들지 않고 값만 낸다. \(9\)와 \(3\)을 적고 멈춘다. 물음이
값 두 개였으므로 답으로는 충분하다. 다만 이번 주에 다룰 대상은 값이 아니라 함수 \(g \circ f\)이고, 함수를 다루려면 정의역\(\cdot\)공역\(\cdot\)규칙식이 있어야 한다 (40주차 정의 40.1). 값 계산에서 규칙식 \(g(f(x)) = (2x+1)^2\)으로 올라서는 것이 §1.2와 예제 2.1의 작업이다.
개념 — 이어 붙이기와 성질의 이동#
1 41주차의 도구만으로는 다시 쓰지 못하는 것#
41주차 문제 16에서 지그재그 함수 \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{Z}\)가 전단사임을 증명했다. 또 \(g : \mathbb{Z} \to E\)(\(E\)는 짝수 정수 전체), \(g(m) = 2m\)이 전단사임은 41주차의 서식 두 개로 각각 세 줄이면 된다. 이제 묻는다 — “\(f\)를 적용한 뒤 \(g\)를 적용한다”는 대응은 \(\mathbb{N}\)에서 \(E\)로의 전단사인가.
시도 — 41주차의 서식만으로 밀어붙이기
이 대응의 규칙을 손으로 펼치면, \(n\)이 짝수일 때는 \(2 \cdot \frac{n}{2} = n\),
\(n\)이 홀수일 때는 \(2 \cdot \left(-\frac{n-1}{2}\right) = -(n-1)\)이다.
단사 증명을 하려면 두 입력의 홀짝에 따라 (짝, 짝), (짝, 홀), (홀, 짝), (홀, 홀)의
네 경우를 밟아야 하고, 전사 증명을 하려면 목표값의 부호에 따라 두 경우를 더
밟아야 한다. 여섯 갈래를 다 지나면 결론은 나온다. 그러나 …
여기서 멈춘다. \(f\)가 전단사임과 \(g\)가 전단사임은 이미 증명해 둔 사실인데, 그 둘을 쓰지 못하고 조각 정의를 처음부터 다시 펼쳤다. 함수를 하나 더 이어 붙이면 경우는 다시 곱해지고, \(A, B, C\)가 그냥 집합이어서 \(f\)와 \(g\)에 규칙식이 없으면 이 계산은 시작조차 되지 않는다. 막힘의 정체는 계산의 길이가 아니라 부품 재사용의 불가능이다 — 이미 증명한 명제(근거 ④)를 쓰려면 “이어 붙인 대응”이 먼저 하나의 함수로서 이름과 표기를 가져야 한다.
확인 1. “\(f\) 다음 \(g\)”라는 대응을 하나의 함수로 다루려면 무엇부터 정해야 하는가. 40주차 정의 40.1이 요구하는 세 정보로 답해 보자.
답
정의역, 공역, 대응 규칙이다. 정의역은 \(f\)의 정의역 \(A\)이고(입력을 받는 쪽이
\(f\)다), 공역은 \(g\)의 공역 \(C\)이며(마지막에 값을 내놓는 쪽이 \(g\)다), 규칙은
“\(x\)를 \(g(f(x))\)로 보낸다”이다. 이 세 정보가 정해지면 대응은 표기를 가질 수
있고, 그때부터 “\(f\)와 \(g\)의 성질에서 이 함수의 성질로” 가는 정리를 세울 수
있다. §1.6이 정확히 그 정리다.
2 표를 채워 규칙을 찾아내기#
구체 사례부터 채워 보자. \(f, g : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\)를 \(f(n) = n + 1\), \(g(n) = n^2\)으로 두고, 각 입력에 두 함수를 두 가지 순서로 적용한다.
\(n\) |
\(f(n)\) |
\(g(f(n))\) |
\(g(n)\) |
\(f(g(n))\) |
|---|---|---|---|---|
\(0\) |
\(1\) |
\(1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(4\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(2\) |
\(\underline{\quad(1)\quad}\) |
\(\underline{\quad(2)\quad}\) |
\(4\) |
\(\underline{\quad(3)\quad}\) |
\(-3\) |
\(-2\) |
\(\underline{\quad(4)\quad}\) |
\(9\) |
\(\underline{\quad(5)\quad}\) |
확인 2. 빈칸 (1)~(5)를 채우고, 셋째 열과 다섯째 열을 \(n\)에 대한 식으로 각각 적어 보자. 두 열은 언제 같고 언제 다른가.
답
(1) \(3\) (2) \(9\) (3) \(5\) (4) \(4\) (5) \(10\).
셋째 열은 \(g(f(n)) = (n+1)^2\)이고 다섯째 열은 \(f(g(n)) = n^2 + 1\)이다.
\(n = 0\)에서는 둘 다 \(1\)로 우연히 같지만 \(n = 1, 2, -3\)에서는 갈린다.
두 값이 같아지는 표본 하나로는 두 열이 같다고 판정할 수 없다는 것이 여기서
드러난다 — 같음은 모든 입력을 요구하고, 다름은 값이 갈리는 입력 하나면 된다.
두 열을 만드는 데 새로 쓴 것은 없다 — \(f\)의 값을 계산하고 그 값을 다시 \(g\)에
넣었을 뿐이다.
이 절차에 정식 이름과 기호를 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 두 번 계산한 일에 이름을 붙였을 뿐이다.
정의 42.1 — 합성 (composition) [백지 암기 대상]#
\(f : A \to B\), \(g : B \to C\)일 때, \(f\)와 \(g\)의 합성 \(g \circ f : A \to C\)는
모든 \(x \in A\)에 대해
로 정해지는 함수이다.
기호 \(g \circ f\)는 “\(g\) 합성 \(f\)”로 읽고, 뜻은 “\(f\)를 먼저 하고 \(g\)를 나중에 한다”이다. \(\circ\)는 합성을 나타내는 기호이며 곱셈 점과 다르다. 읽는 법까지가 정의다.
\(g \circ f\)가 실제로 함수라는 것 — 각 \(x \in A\)에 출력이 정확히 하나 — 은 두 단계 각각의 유일성에서 따라온다. \(f\)가 함수이므로 \(f(x)\)가 유일하게 정해지고, \(f(x) \in B\)는 \(g\)의 정의역에 속하므로 \(g(f(x))\)가 다시 유일하게 정해진다 (40주차 정의 40.1의 \(\exists!\)가 두 번 작동한다).
예. §1.2의 \(f(n) = n+1\), \(g(n) = n^2\)에 대해 \(g \circ f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\)는 \((g \circ f)(n) = (n+1)^2\)이고, \(f \circ g : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\)는 \((f \circ g)(n) = n^2 + 1\)이다.
3 정의 해부 — 조각마다 하는 일#
이 정의는 네 조각으로 되어 있고, 조각마다 증명에서 맡는 역할이 다르다.
조각 |
하는 일 |
증명에서의 역할 |
|---|---|---|
“\(f : A \to B\), \(g : B \to C\)일 때” |
연결 조건의 선언 — \(f\)의 공역과 \(g\)의 정의역이 같다 |
합성을 쓰기 전에 반드시 통과해야 하는 검문. 이 검문이 문제 19의 전부다 |
“\(g \circ f : A \to C\)” |
새 함수의 정의역과 공역 선언 |
정의역은 \(f\)에서, 공역은 \(g\)에서 물려받는다 — 합성의 무대를 정한다 |
“\((g \circ f)(x) = g(f(x))\)” |
대응 규칙의 제공 |
합성에 관한 모든 계산과 증명이 지나가는 유일한 등식 (§2의 관찰) |
“모든 \(x \in A\)에 대해” |
규칙의 적용 범위 |
함수 상등(40주차)의 셋째 기준을 검사할 때 이 범위를 쓴다 — 문제 7과 13 |
조각 삭제 실험. 첫째 조각의 연결 조건을 지워 보자. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x - 5\)와 \(g : [0, \infty) \to \mathbb{R}\), \(g(x) = \sqrt{x}\)를 잡고 규칙식만 그대로 쓰면 \(g(f(x)) = \sqrt{x - 5}\)이다. 여기에 \(x = 1\)을 넣으면 \(\sqrt{-4}\)가 되어 실수 세계에 값이 없다. 곧 “각 입력에 출력이 정확히 하나”가 깨지고, \(g \circ f\)는 함수가 아니게 된다.
확인 3. 위 실험에서 \(f\)의 공역을 다르게 선언하면 합성을 살릴 수 있는가. 그리고 문제 19의 상황(\(f(x) = x^2\), \(g(x) = \sqrt{x}\))과는 무엇이 다른가.
답
살릴 수 없다. \(f(x) = x - 5\)의 치역은 \(\mathbb{R}\) 전체이므로 공역을 어떻게
선언해도 \(g\)의 정의역 \([0, \infty)\) 안에 들어가지 않는다 — 합성을 만들려면
\(f\)의 정의역을 \([5, \infty)\)로 좁힌 뒤, 그때의 치역 \([0, \infty)\)를
공역으로 다시 선언해야 한다. 곧 \(\tilde{f} : [5, \infty) \to [0, \infty)\),
\(\tilde{f}(x) = x - 5\)이다. 정의역만 좁히고 공역을 \(\mathbb{R}\)로 둔 채로는
연결 조건이 여전히 어긋난다 — 연결 조건은 치역이 아니라 공역으로 걸린다.
문제 19는 사정이 다르다.
\(f(x) = x^2\)의 치역은 이미 \([0, \infty)\)이므로 공역만 다시 선언하면 연결된다.
두 경우를 가르는 것은 하나다 — \(f\)의 치역이 \(g\)의 정의역 안에 들어 있는가.
연결 조건은 형식적 장식이 아니라 값이 존재하는지를 가르는 조건이다.
4 읽는 순서 — 오른쪽부터#
기호에서는 \(g\)가 왼쪽에 있지만, 실행은 \(x\)에 가까운 \(f\)부터다. 정의의 우변 \(g(f(x))\)에서 괄호 안쪽이 먼저 계산되기 때문이다.
확인 4. \(f(x) = x^2\), \(g(x) = x + 1\) (\(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\))일 때 \((g \circ f)(3)\)과 \((f \circ g)(3)\)을 각각 계산해 보자.
답
\((g \circ f)(3) = g(f(3)) = g(9) = 10\)이고, \((f \circ g)(3) = f(g(3)) = f(4) = 16\)이다.
앞의 계산에서 먼저 실행된 것은 \(f\)이고, 뒤의 계산에서 먼저 실행된 것은 \(g\)다.
기호 순서와 실행 순서가 반대라는 점이 이번 주 계산에서 가장 자주 어긋나는
자리이며, 준비 운동의 유형 1이 그 현상이다.
5 합성의 대수 — 결합법칙, 교환 불가, 항등함수#
백지 암기 대상
합성의 대수
결합법칙: 연결이 가능한 \(f : A \to B\), \(g : B \to C\), \(h : C \to D\)에 대해
\(h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\)이다.
교환 불가: 일반적으로 \(g \circ f \neq f \circ g\)이다 (예제 2.1).
항등함수: \(\mathrm{id}_A : A \to A\)를 \(\mathrm{id}_A(x) = x\)로 정의하면,
모든 \(f : A \to B\)에 대해 \(f \circ \mathrm{id}_A = f\)이고 \(\mathrm{id}_B \circ f = f\)이다.
기호 \(\mathrm{id}_A\)는 “\(A\)의 항등함수”로 읽는다. 아래 첨자는 무대를 밝히는 것이므로, 어느 집합 위의 항등함수인지가 문맥에서 분명할 때만 생략한다.
확인 5. 결합법칙 \(h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\)를 증명하려면 무엇을 확인해야 하는가. 40주차 함수 상등의 세 기준으로 답해 보자.
답
① 정의역이 같은가 — 양쪽 다 \(A\)다. ② 공역이 같은가 — 양쪽 다 \(D\)다.
③ 모든 \(x \in A\)에서 값이 같은가 — 정의 42.1을 두 번씩 펼치면 양쪽 모두
\(h(g(f(x)))\)가 된다. 문제 7이 이 세 확인을 답안으로 적는 자리이고, 이 법칙
덕분에 세 함수 이상의 합성을 괄호 없이 \(h \circ g \circ f\)로 쓸 수 있다.
확인 6. \(\mathrm{id}_A\)가 전단사임을 41주차의 서식 두 개로 각각 한 줄씩 적어 보자.
답
(단사) \(\mathrm{id}_A(a) = \mathrm{id}_A(a')\)이라 하자. 좌변은 \(a\)이고 우변은
\(a'\)이므로 \(a = a'\)이다.
(전사) \(b \in A\)라 하자. 증인으로 \(b\) 자신을 잡으면 \(b \in A\)이고
\(\mathrm{id}_A(b) = b\)이므로 두 검증이 끝난다.
따라서 \(\mathrm{id}_A\)는 전단사다. 문제 17이 이 사실을 부품으로 쓴다.
항등함수는 합성이라는 연산에서 곱셈의 \(1\)에 해당하는 자리를 차지한다. 43주차의 역함수는 “합성해서 \(\mathrm{id}\)가 되는 짝”으로 정의되므로, 이 성질이 다음 주 정의의 배경이 된다.
6 보존 정리 — 성질은 합성으로 전달된다#
백지 암기 대상
보존 정리
\(f : A \to B\), \(g : B \to C\)에 대해 다음이 성립한다.
(i) \(f\)와 \(g\)가 모두 단사이면 \(g \circ f\)도 단사이다.
(ii) \(f\)와 \(g\)가 모두 전사이면 \(g \circ f\)도 전사이다.
(iii) (따름) \(f\)와 \(g\)가 모두 전단사이면 \(g \circ f\)도 전단사이다.
(i)의 증명은 예제 2.2에서 함께 만들고, (ii)는 문제 8에서 쓴다.
확인 7. (iii)이 (i)과 (ii)에서 어떻게 따라오는가. 그리고 이것으로 §1.1의 막힘이 어떻게 풀리는가.
답
전단사는 단사이면서 전사라는 뜻이다(정의 41.3). \(f\)와 \(g\)가 전단사이면 둘 다
단사이므로 (i)에 의해 \(g \circ f\)가 단사이고, 둘 다 전사이므로 (ii)에 의해
\(g \circ f\)가 전사다. 두 조건을 합치면 전단사다.
§1.1의 물음은 이제 두 줄로 끝난다 — 지그재그가 전단사임(41주차 문제 16)과
\(g(m) = 2m\)이 전단사임을 인용하고 (iii)을 적용하면 된다. 경우 나누기 여섯
갈래가 사라진 자리에 근거 ④의 인용이 들어섰다. 문제 15가 그 답안이다.
(iii)은 48주차에서 “\(|A| = |B|\)이고 \(|B| = |C|\)이면 \(|A| = |C|\)”, 곧 크기 같음의 추이성이 된다.
7 역추적 정리 — 절반만 돌아온다#
보존 정리는 \(f\)와 \(g\)의 성질에서 \(g \circ f\)의 성질로 내려간다. 거꾸로 \(g \circ f\)의 성질에서 \(f\)와 \(g\)의 성질로 올라갈 수도 있는지 묻는 것이 자연스럽다.
백지 암기 대상
역추적 정리
\(f : A \to B\), \(g : B \to C\)에 대해 다음이 성립한다.
(iv) \(g \circ f\)가 단사이면 \(f\)는 단사이다. (\(g\)는 단사가 아닐 수 있다.)
(v) \(g \circ f\)가 전사이면 \(g\)는 전사이다. (\(f\)는 전사가 아닐 수 있다.)
(iv)가 성립하는 이유는 이렇다. \(f\)가 두 입력을 같은 값으로 보내면 그 값에 \(g\)를 적용해도 결과는 여전히 같다 — 한 번 합쳐진 두 입력은 뒤 단계에서 다시 갈라지지 않는다. 곧 \(f\)가 단사가 아니면 \(g \circ f\)도 단사가 아니고, 그 대우가 (iv)다. (v)는 더 짧다. \(g \circ f\)의 출력은 전부 \(g\)의 출력이므로, \(g \circ f\)가 \(C\)를 남김없이 덮으면 \(g\)도 \(C\)를 남김없이 덮는다.
돌아오지 않는 나머지 절반의 사정도 기계적으로 설명된다. \(g\)가 두 원소를 같은 값으로 보내더라도 그 두 원소가 \(f\)의 치역 밖에 있으면 합성은 그 사건을 겪지 않고, \(f\)가 \(B\)의 어떤 원소에 도달하지 못하더라도 \(g\)가 다른 입력으로 같은 값을 이미 내놓고 있으면 합성의 전사성은 유지된다.
확인 8. (iv)의 괄호 “\(g\)는 단사가 아닐 수 있다”를 확정하려면 무엇을 제시해야 하는가.
답
\(g \circ f\)는 단사인데 \(g\)는 단사가 아닌 구체적인 \(f, g\) 한 벌, 곧 반례를
제시하면 된다. 반례의 완결 조건은 두 검증이다 — 가정 부분(\(g \circ f\)가 단사)이
참임과 결론 부분(\(g\)가 단사)이 거짓임을 각각 확인한다. 예제 2.3 후반부가
그 반례이고, 문제 10이 (v) 쪽의 같은 작업이다.
암기 문장은 **”단사는 앞이 책임, 전사는 뒤가 책임”**이다. 여기서 앞은 먼저 실행되는 \(f\), 뒤는 나중에 실행되는 \(g\)를 가리킨다. 문제 20(a)가 이 문장을 두 반례로 뒷받침하는 자리다.
8 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개#
칸의 개수는 늘지 않는다. ① 칸에 정의 42.1과 항등함수가 추가되고, ④ 칸에 이번 주의 두 정리가 들어온다.
근거 |
내용 |
이번 주에는 이렇게 쓴다 |
|---|---|---|
① 정의 |
1~41주차의 정의 전부 + 정의 42.1(합성), 항등함수 \(\mathrm{id}_A\) |
“\((g \circ f)(x)\)”와 “\(g(f(x))\)” 사이를 양방향으로 번역한다 |
② 닫힘성 |
정수\(\cdot\)실수의 합\(\cdot\)차\(\cdot\)곱은 각각 정수\(\cdot\)실수 |
문제 11의 \(\mathbb{Z}_4\) 계산에서 쓴다 — 대표원 \(3(a+1)\)이 다시 정수다 |
③ 등식의 성질 |
대입 / 전개 / 묶기 / 양변 연산 |
예제 2.1의 전개, 문제 2와 문제 6의 계산 전체 |
④ 이미 증명한 명제 |
40주차 정의 40.1과 함수 상등의 세 기준, 40주차 문제 9, 41주차 정의 41.1~41.3과 서식 4종, 41주차 문제 3\(\cdot\)8\(\cdot\)13\(\cdot\)16, 41주차 예제 2.3, 20주차 문제 9(a)(b) + 이번 주의 보존 정리\(\cdot\)역추적 정리와 예제\(\cdot\)문제 |
문제 15를 (i)(ii) 인용 두 줄로 끝낸다. 문제 12는 41주차 문제 13(증가함수)을 이 칸에서 꺼내 쓴다 |
목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다.
확인 9. 다음 세 문장은 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가. (가) “\((g \circ f)(a) = g(f(a))\)이므로” (나) “\(g(f(a)) = g(f(a'))\)이고 \(g\)가 단사이므로 \(f(a) = f(a')\)이다” (다) “\(g \circ f\)의 그래프가 한 번씩만 만나므로 단사이다”
답
(가) 허용 — 근거 ① 정의 42.1이다. 합성 기호를 두 단계 계산으로 푸는 문장이다.
(나) 허용 — 근거 ① 정의 41.1을 \(b = f(a)\), \(b' = f(a')\)에 적용한 것이다.
다만 앞 줄에 \(g(f(a)) = g(f(a'))\)가 실제로 확보되어 있어야 한다.
(다) 불허 — 그림은 목록에 없다(41주차 §1.9와 같다). 같은 내용을 정의 41.1의
등식 계산으로 바꿔 적어야 근거가 된다. 내용이 아니라 꼴이 근거의 자격을 정한다.
정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 정의 42.1은 연결 조건까지 포함해 외운다. 조각을 잊어도 §1.3의 삭제 실험에서 재구성할 수 있다.