18주차 — 직접 증명 종합 + 백지 시험#
이 주의 길잡이
핵심 문장: 전략은 문제 유형이 정한다 — 그리고 막히는 지점이 다음 기법의 입구다.
이 주의 위치: 50주 과정의 18주차. 4부(직접 증명)의 마무리 — 15~17주차 + 1~2주차 소재를 총동원하는 4부 수료 시험.
원서 대응: BoP(Book of Proof) 4장 전체 마무리. 원서 없이 읽을 수 있다.
이번 주 목표#
직접 증명의 전략 지도를 한 장으로 정리한다.
백지 시험 20문항으로 4부를 수료한다 (통과 기준: 증명 문항에서 논리 비약 없음).
“직접 증명이 막히는 신호”를 식별한다 — 5부(대우\(\cdot\)귀류)의 예고.
준비 운동 (17주차 복습)#
경우 나누기의 채점 기준 2가지를 쓰시오.
삼각부등식을 진술하시오.
\(n^2\)을 3으로 나눈 나머지가 될 수 있는 값은? (17주차 문제 8)
1번의 대조 지점은 17주차 §1.3의 채점 기준 두 가지이고, 2번의 대조 지점은 이번 주 시험 문제 16의 해설이다. 3번은 아래에서 유형별로 대조한다.
자주 나오는 세 가지 답 — 3번 문항#
방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주 시험이 메우려는 정확한 간격이 있다.
유형 1 — 대입 확인. \(n = 1, 2, 3, 4\)를 넣어 \(n^2 = 1, 4, 9, 16\)의 나머지가
각각 \(1, 1, 0, 1\)임을 확인하고 “0 또는 1”로 끝낸다. 계산은 전부 옳고 답도 맞다. 빠진 것은 확인하지 않은 정수 전부다 — 정수는 무한히 많으므로 유한 번의 대입은 “될 수 있는 값”의 목록을 닫지 못한다. 목록을 닫는 것은 확인이 아니라 문자다.
유형 2 — 답만 적기. “0 또는 1”이라고만 쓴다. 결과는 맞지만 **나머지 2가 왜
불가능한지**가 어디에도 없다. 이번 주 시험 문제 13이 같은 질문을 mod 5로 다시 묻는 이유가 여기에 있다 — 채점되는 것은 나온 값이 아니라 나오지 않은 값의 근거다.
유형 3 — 두 경우만 분할. \(n = 3q\)와 \(n = 3q+1\)까지는 전개하고 \(n = 3q+2\)를
빠뜨린다. 다룬 두 경우의 계산은 옳지만, 세 번째 경우가 없으면 그 경우에서 나머지 2가 나올 가능성이 열린 채로 남는다. 17주차 채점 기준 ①(빠짐없음)이 요구하는 것이 정확히 이 세 번째 경우이며, \(n = 3q+2\)에서 \(n^2 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1\)이 되어 나머지가 1로 확정될 때 비로소 목록이 닫힌다.
개념 — 직접 증명 전략 지도#
유형별 첫수 [백지 암기 대상]#
문제 신호 |
첫수 |
|---|---|
짝수/홀수/배수 |
정의 전개: \(2k\), \(2k+1\), \(ak\) 대입 후 목표 꼴로 묶기 |
유리수 |
\(\frac{a}{b}\) (\(b \neq 0\)) 표현 + 닫힘성 조립 (15주차) |
부등식 \(A \ge B\) |
차 \(A - B\) \(\to\) 제곱들로 정리 \(\to\) (W1) (16주차) |
“모든 정수 \(n\)” + 나머지 성질 |
mod \(n\) 분할 (17주차) |
절댓값 |
케이스 정의, 또는 보조정리(\(-\vert x\vert \le x \le \vert x\vert \), \(\vert a\vert \le b \iff -b \le a \le b\)) 재사용 |
존재(\(\exists\)) 결론 |
가정의 재료로 증인 제작 + 조건 검증 (15주차) |
“또는”이 가정에 |
경우 나누기 / 대칭이면 WLOG (17주차) |
최솟값\(\cdot\)최댓값 주장 |
부등식(하계/상계) + 등호 달성의 2단 구성 (16주차 문제 18) |
표의 왼쪽 열은 문제 문장을 읽는 즉시 눈에 들어오는 낱말이고, 오른쪽 열은 그 낱말이 지정하는 첫 문장이다. 전략을 고르는 일은 취향이 아니라 신호를 읽는 일이다.
확인 1. 다음 두 명제는 §1의 유형별 첫수 표의 어느 행에 해당하며, 답안의 첫 문장에 무엇을 적어야 하는가. (가) “\(a > 0\), \(b > 0\)이면 \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\)이다.” (나) “합이 999인 연속한 세 정수가 존재한다.”
답
(가) 부등식 \(A \ge B\) 행이다. 첫 문장은 오프닝 “\(a > 0\), \(b > 0\)이라 가정하자”이고,
몸통의 첫수는 차 \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - 2\)를 계산해 제곱으로 정리하는 것이다.
(나) 존재 결론 행이다. 가정이 없으므로 오프닝은 증인을 제시하는 문장이 되고,
증인은 조건식 \(3n = 999\)를 역산해 만든다. 시험의 문제 9와 문제 12가 각각 이 두 행이다.
공통 뼈대 (모든 유형 위에)#
① If–Then 분해표 \(\to\) ② 서식(“~라 가정하자 / 임의의 ~라 하자”로 오프닝) \(\to\) ③ 몸통은 정의\(\cdot\)가정\(\cdot\)대수\(\cdot\)기증명 정리만 \(\to\) ④ “따라서 ~이다. \(\blacksquare\)”로 마감 \(\to\) ⑤ 등호 조건\(\cdot\)가정 소비처 점검.
⑤가 마지막에 놓인 이유는, 증명이 끝난 것처럼 보이는 답안에서 가장 자주 비는 칸이 이 두 가지이기 때문이다. 등호 조건이 없으면 최솟값 주장이 미완성이 되고, 가정이 한 번도 쓰이지 않았다면 그 증명은 가정이 필요 없는 더 강한 명제를 증명했거나 어딘가에서 가정을 몰래 썼거나 둘 중 하나다.
확인 2. 16주차 예제 2.2(AM–GM)에서 가정 “\(a \ge 0\), \(b \ge 0\)”은 증명의 어느 지점에서 소비되는가.
답
\(\sqrt{a}\)와 \(\sqrt{b}\)를 실수로 쓰는 지점에서 소비된다. 증명의 몸통은
\((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0\)에 (W1)을 적용하는 것인데, (W1)은 실수의 제곱에
대한 성질이므로 \(\sqrt{a}\), \(\sqrt{b}\)가 실수로 존재해야 인용할 수 있다.
가정이 소비되는 지점을 짚지 못하면 그 가정을 빼도 되는 것처럼 보인다.
직접 증명이 막히는 신호 (5부 예고)#
가정에서 정보를 꺼낼 수 없다. 예: “\(n^2\)이 홀수이면 \(n\)은 홀수” — \(n^2 = 2a+1\)에서 \(n\)을 꺼내려면 제곱근이 필요한데 정수 세계를 벗어난다 (1주차 문제 11 해설의 예고가 지목한 막힘). \(\to\) 대우(19주차): 가정과 결론을 부정해 뒤집으면 다루기 쉬운 쪽이 가정이 된다.
결론이 “~가 아니다/없다” 꼴. 부정형은 목표 꼴을 만들 수가 없다. \(\to\) 귀류법(21주차): 결론의 부정을 가정으로 삼아 모순을 끌어낸다.
이번 시험에는 이 두 막힘을 일부러 건드리는 문항이 들어 있다. 막히는 자리를 정확히 지목하는 것 자체가 이번 주의 학습 목표이므로, 막혔다고 해서 답안을 비워 두지 말고 어디서 왜 멈추었는지를 문장으로 적는다.
확인 3. 다음 두 명제 중 어느 쪽이 “가정에서 정보를 꺼낼 수 없는 막힘”이고 어느 쪽이 “부정형 결론의 막힘”인가. (가) “\(n^2\)이 3의 배수이면 \(n\)은 3의 배수이다.” (나) “\(\sqrt{2}\)는 무리수이다.”
답
(가)가 가정 쪽 막힘이다. 오프닝 “\(n^2\)이 3의 배수라 가정하자”와 정의 풀기
“\(n^2 = 3k\)인 정수 \(k\)가 존재한다”까지는 쓸 수 있지만 거기서 \(n\)에 대한 등식이
나오지 않는다 — 대우로 뒤집는 19주차의 소재다.
(나)가 부정형 결론의 막힘이다. “무리수이다”는 “유리수가 아니다”이므로 만들어야 할
목표 꼴 자체가 없다 — 귀류법이 필요한 21주차의 소재다. 시험 문제 20이 이 진단을 요구한다.