C18주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

내용

C18주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 함께 만들고, 설계만 하고, 혼자#

완성된 답안을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하며, 예제 2.3은 설계부터 혼자 한다.

예제 2.1 — 군 판정#

과제. 다음이 군인지 판정하라. \(A\): \((\mathbb{Z}, +)\) \(\quad\) \(B\): \((\mathbb{Z}, \times)\) \(\quad\) \(C\): \((\mathbb{Z}_5 - \{[0]\}, \times)\)

설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 판정 문제에는 증명 문제와 달리 옮길 수식이 따로 주어지지 않는다. 대신 가정과 목표를 답안에서 만들 것으로 옮긴다 — 무엇이 주어졌고 무엇을 만들어 내야 하는지를 먼저 정한다.

	말	답안에서 만들 것
가정 (주어진 것)	집합 하나와 그 위의 연산 하나	\(G\)와 \(\)를 이름으로 고정하는 걸음 ①의 한 줄 — \(A\)라면 “\((G, ) = (\mathbb{Z}, +)\)”
목표 (만들 것)	“군이다” 또는 “군이 아니다”	\(\underline{\quad(?)\quad}\)

확인 9. 목표 칸의 빈칸을 채워 보자. “군이다”를 보이려면 무엇을 몇 개 만들어야 하고, “군이 아니다”를 보이려면 무엇을 몇 개 만들어야 하는가.

답

“군이다”: 걸음 ②~⑤ 네 개 모두에 대해 성립 근거를 적는다. 하나라도 빠지면

답안이 완결되지 않는다.

“군이 아니다”: 무너지는 걸음 하나를 골라 그 자리의 반례를 제시한다 — 걸음 ⑤는

원소 하나, 걸음 ②는 원소 두 개, 걸음 ③은 원소 세 개이고, 걸음 ④는 항등원 후보

\(e\)를 식으로 몰아낸 뒤 그 \(e\)가 무대 밖임을 보인다.

걸음 ⑤가 가장 짧다. 전칭 주장(“모든 \(a\)에 역원이 있다”)의 부정은 존재 주장(“역원

없는 \(a\)가 있다”)이므로 증인 하나면 끝난다(1권 26주차의 증인, C7주차의 반례 서식).

이 비대칭이 판정 문제의 뼈대다 — 긍정은 네 걸음 전부, 부정은 걸음 하나.

\(A\) 판정 — 무한 무대에서 역원을 식으로 제시한다.

확인 10. \(A = (\mathbb{Z}, +)\)의 걸음 ④와 ⑤를 채워 보자. 항등원은 \(e = \underline{\quad}\)이고 모든 \(a\)에 대해 \(\underline{\qquad}\)이며, 역원은 각 \(a\)에 대해 \(\underline{\quad} \in \mathbb{Z}\)이고 \(\underline{\qquad}\)이다.

답

항등원: \(e = 0\)이고 모든 \(a\)에 대해 \(0 + a = a + 0 = a\)이다.

역원: 각 \(a\)에 대해 \(-a \in \mathbb{Z}\)이고 \(a + (-a) = (-a) + a = 0\)이다.

두 곳 모두 양쪽을 적은 것에 주의한다. (G2)와 (G3)이 양쪽을 요구하므로,

한쪽만 적은 답안은 \((\mathbb{Z}, -)\)처럼 한 방향만 되는 경우를 걸러내지 못한다.

\(B\) 판정 — 어디서 무너지는지 지목한다.

확인 11. \(B = (\mathbb{Z}, \times)\)는 걸음 ①~⑤ 중 어디까지 통과하고 어디서 무너지는가. 무너짐의 증인을 하나 제시해 보자.

답

걸음 ①~④는 통과한다(무대는 \((\mathbb{Z}, \times)\), 정수의 곱은 정수, 곱셈은 결합적,

항등원은 \(1\)). 걸음 ⑤에서 무너진다. 증인은 \(2\)다 — \(2x = 1\)인 정수 \(x\)가 없기

때문이다(\(x = \tfrac12\)은 정수가 아니다). 준비 운동 4번 유형 3의 “나눗셈이 안 된다”가

여기서 검사 가능한 한 줄이 되었다.

\(C\) 판정 — 이 무대에서는 닫힘이 자동이 아니다.

확인 12. \(C = (\mathbb{Z}_5 - \{[0]\}, \times)\)에서 걸음 ②(닫힘)를 검사해 보자. \([a] \neq [0]\)이고 \([b] \neq [0]\)일 때 \([a][b] \neq [0]\)인가. 무대를 \(\mathbb{Z}_6 - \{[0]\}\)으로 바꾸면 어떤가.

답

\(\mathbb{Z}_5\)에서는 성립한다. \(5\)가 소수이므로 \(\mathbb{Z}_5\)에 영인자가 없기

때문이다(1권 38주차 문제 15). 따라서 \([0]\) 아닌 둘의 곱은 \([0]\)이 될 수 없고,

결과가 무대 안에 남는다.

\(\mathbb{Z}_6\)에서는 무너진다. \([2] \neq [0]\)이고 \([3] \neq [0]\)인데

\([2][3] = [6] = [0]\)이 무대 밖이다(C11주차 문제 12). 무대에서 \([0]\) 하나를 뺐다고

닫힘이 따라오는 것이 아니라는 것 — 이것이 문제 10의 답안이 놓친 지점이다.

완성본. 방금 만든 판단을 한 줄씩 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄	왜 이 줄을 쓰는가?
\(A\): 무대는 집합 \(\mathbb{Z}\)와 연산 \(+\)이다.	걸음 ①. 집합과 연산을 함께 적지 않으면 판정 대상이 정해지지 않는다.
정수의 합은 정수이므로 닫힘이 성립하고, 정수 덧셈은 결합적이다.	걸음 ②③ — 근거 ②(무대의 산술에서 상속). 결합을 표로 확인하지 않는다.
\(e = 0\)이고, 모든 \(a \in \mathbb{Z}\)에 대해 \(0 + a = a + 0 = a\)이다.	걸음 ④. “있다”로 끝내지 않고 원소를 지목하며, 양쪽을 모두 적는다.
각 \(a \in \mathbb{Z}\)에 대해 \(-a \in \mathbb{Z}\)이고 \(a + (-a) = (-a) + a = 0\)이다.	걸음 ⑤. 무한 무대이므로 역원을 식 \(-a\)로 제시한다.
따라서 \(A\)는 군이다. 또 \(a + b = b + a\)이므로 아벨 군이다.	결론 선언. 교환은 공리 밖의 추가 관찰이므로 따로 적는다.
\(B\): 무대는 \(\mathbb{Z}\)와 \(\times\)이다. 닫힘과 결합이 성립하고 항등원은 \(1\)이다.	걸음 ①~④는 통과함을 먼저 밝힌다 — 어디까지 좋은지를 적어야 어디서 무너졌는지가 드러난다.
그러나 \(a = 2\)에 대해 \(2x = 1\)인 \(x \in \mathbb{Z}\)는 없다. 따라서 (G3)이 성립하지 않고 \(B\)는 군이 아니다.	걸음 ⑤에서 탈락. 전칭의 부정이므로 증인 하나로 끝난다.
\(C\): 무대는 \(\mathbb{Z}_5 - \{[0]\} = \{[1], [2], [3], [4]\}\)와 \(\times\)이다.	걸음 ①. 유한 무대는 원소를 나열해 두면 걸음 ⑤가 쉬워진다.
닫힘: \(5\)가 소수이므로 \(\mathbb{Z}_5\)에 영인자가 없고, \([0]\) 아닌 둘의 곱은 \([0]\)이 아니다.	걸음 ②. 이 무대에서는 닫힘이 자동이 아니므로 반드시 근거를 댄다.
결합과 교환: \(\mathbb{Z}_5\)의 곱셈은 \(\mathbb{Z}\)의 곱셈에서 상속된다(C11주차의 well-defined).	걸음 ③ — 근거 ②.
항등원은 \([1]\)이다.	걸음 ④.
역원: \([1]^{-1} = [1]\), \([2]^{-1} = [3]\), \([3]^{-1} = [2]\), \([4]^{-1} = [4]\).	걸음 ⑤. 유한 무대이므로 전수로 제시한다(C11주차 문제 16).
따라서 \(C\)는 군이고, 교환까지 성립하므로 아벨 군이다.	결론 선언.

세 판정에서 갈린 자리. \(A\)와 \(C\)는 통과했고 \(B\)는 걸음 ⑤에서 탈락했다. 세 무대 모두 걸음 ②③④는 통과했으므로, 실제로 판정을 가른 것은 역원 하나다. \(C\)가 통과한 이유도 역원에 있다 — \(5\)가 소수라서 \([0]\) 아닌 모든 원소가 역원을 가진다. 같은 일을 \(\mathbb{Z}_6\)에서 시도하면 닫힘과 역원이 함께 무너진다(문제 10).

예제 2.2 — 역원의 유일성 (정리 1.2)#

Result. 군 \((G, *)\)에서 각 원소 \(a\)의 역원은 유일하다.

이번에는 설계만 함께 하고, 본문은 완성본으로 본다.

확인 13. 번역표를 채워 보자. 가정 “\(b\)와 \(c\)가 둘 다 \(a\)의 역원”은 \(a * b = b * a = \underline{\quad}\)이고 \(a * c = c * a = \underline{\quad}\)로 번역된다. 목표 “역원이 유일하다”는 무엇을 보이는 것으로 번역되는가.

답

가정: \(a * b = b * a = e\)이고 \(a * c = c * a = e\).

목표: \(b = c\).

유일성은 “하나뿐”을 직접 보이는 것이 아니라 둘을 잡아 같음을 보이는 것이다

(S13주차 얼굴 1, 1권 26주차의 유일성 틀). 정리 1.1에서 항등원에 대해 한 일을

역원에 대해 한 번 더 한다.

확인 14. 정리 1.1의 증명은 \(e_1 * e_2\)라는 한 식을 두 번 읽는 것으로 끝났다. 역원에서 같은 일을 하려면 \(b\)와 \(c\)를 한 식 안에 넣어야 한다. 어떤 식에 둘이 함께 들어가는가.

답

\(b * (a * c)\) 또는 \((b * a) * c\)다. 두 식은 (G1)에 의해 같고, 앞의 것은 \(a * c = e\)로

읽으면 \(b\)가 되며 뒤의 것은 \(b * a = e\)로 읽으면 \(c\)가 된다.

정리 1.1과 다른 점은 \(a\)가 가운데 끼어 있다는 것이고, 그래서 괄호를 옮길 자격 —

곧 (G1) — 이 필요하다. 항등원 유일성 증명에는 (G1)이 필요 없었다.

완성본. 각 줄이 어느 공리를 쓰는지 오른쪽 열에서 확인하며 베껴 쓴다.

증명의 한 줄	왜 이 줄을 쓰는가?
\(b\)와 \(c\)가 모두 \(a\)의 역원이라 하자. 곧 \(a * b = b * a = e\)이고 \(a * c = c * a = e\)이다.	유일성 서식의 첫 줄 — 둘을 잡는다(S13주차 얼굴 1).
\(b = b * e\)	(G2). 계산을 시작할 기준점을 만든다.
\(\phantom{b} = b * (a * c)\)	\(e = a * c\) (\(c\)가 역원)를 대입한다. \(b\)와 \(c\)가 한 식에 들어왔다.
\(\phantom{b} = (b * a) * c\)	(G1) 결합 — 괄호를 옮긴다. 이 줄이 증명의 유일한 재결합이다.
\(\phantom{b} = e * c\)	\(b * a = e\) (\(b\)가 역원)를 대입한다.
\(\phantom{b} = c\)	(G2).
따라서 \(b = c\)이고 \(a\)의 역원은 유일하다. \(\blacksquare\)	목표 선언. 이제 \(a^{-1}\)이라는 표기를 쓸 자격이 생겼다.

재결합이 없으면 결론이 거짓이다. 위 다섯 등호 중 (G1)을 쓴 것은 셋째 등호(완성본 표의 넷째 줄) 하나뿐이다. 그 한 줄을 못 쓰면 \(b * (a * c)\)와 \((b * a) * c\)가 서로 다른 값일 수 있고, 실제로 §1.4의 세 원소 표에서 \(a\)의 역원이 둘이었다. 공리 하나를 빼면 정리 하나가 무너진다는 것을 §1.4의 삭제 실험과 이 증명이 함께 보인다.

예제 2.3 — \(S_3\)은 아벨 군이 아니다#

과제. \(S_3\)에서 두 순열의 합성이 순서에 의존함(비아벨)을 보이라.

이번에는 설계부터 스스로 해 보자.

확인 15. 번역표를 채워 보자. 가정 “\(S_3\)은 군이다”에서 쓸 수 있는 것은 \(\underline{\qquad}\)이고, 목표 “아벨 군이 아니다”는 \(\underline{\qquad}\)인 \(\sigma, \tau\)를 몇 개 제시하는 것으로 번역되는가.

답

가정: 합성이 이항연산이고 (G1)(G2)(G3)이 성립한다(§1.7의 표).

목표: \(\sigma \circ \tau \neq \tau \circ \sigma\)인 \(\sigma, \tau \in S_3\)를 한 쌍

제시한다. “모든 \(\sigma, \tau\)에 대해 \(\sigma \circ \tau = \tau \circ \sigma\)”의

부정이므로 증인 한 쌍이면 충분하다. 판정 문제의 부정 쪽과 같은 비대칭이다(확인 9).

증명. \(\sigma = (1\,2)\), \(\tau = (1\,2\,3)\)이라 하자. 둘 다 \(S_3\)의 원소다. 합성은 오른쪽부터 적용하므로, \(\sigma \circ \tau\)는 각 원소에서 다음과 같다.

\[ 1 \xrightarrow{\ \tau\ } 2 \xrightarrow{\ \sigma\ } 1, \qquad 2 \xrightarrow{\ \tau\ } 3 \xrightarrow{\ \sigma\ } 3, \qquad 3 \xrightarrow{\ \tau\ } 1 \xrightarrow{\ \sigma\ } 2 \]

곧 \(\sigma \circ \tau\)는 \(1 \mapsto 1\), \(2 \mapsto 3\), \(3 \mapsto 2\)이므로 \(\sigma \circ \tau = (2\,3)\)이다. 같은 방식으로 \(\tau \circ \sigma\)를 계산하면

\[ 1 \xrightarrow{\ \sigma\ } 2 \xrightarrow{\ \tau\ } 3, \qquad 2 \xrightarrow{\ \sigma\ } 1 \xrightarrow{\ \tau\ } 2, \qquad 3 \xrightarrow{\ \sigma\ } 3 \xrightarrow{\ \tau\ } 1 \]

곧 \(\tau \circ \sigma\)는 \(1 \mapsto 3\), \(2 \mapsto 2\), \(3 \mapsto 1\)이므로 \(\tau \circ \sigma = (1\,3)\)이다. \((2\,3) \neq (1\,3)\)이므로 \(\sigma \circ \tau \neq \tau \circ \sigma\)이고, \(S_3\)은 아벨 군이 아니다. \(\blacksquare\)

이번 답안은 표 없이 산문으로 적었다. 표는 연습 단계의 장치이고, 실전의 증명은 처음부터 끝까지 이런 산문이다. 이번 주의 목표는 이 산문을 백지에서 재현하는 것이다.

\(S_3\)은 원소가 \(3! = 6\)개인 가장 작은 비아벨 군이다(위수가 다섯 이하인 군이 모두 아벨이라는 사실은 다음 주 C19주차의 부분군\(\cdot\)라그랑주 정리가 준비된 뒤에 증명된다 — 지금은 인정하고 쓴다). 정삼각형의 대칭으로 읽으면 \(\sigma\)는 반사이고 \(\tau\)는 회전이며, 위 계산은 반사 뒤 회전한 결과와 회전 뒤 반사한 결과가 다르다는 뜻이다.

관찰 — 세 답안의 같은 뼈대#

예제 2.1은 판정, 2.2는 증명, 2.3은 반증이다. 소재도 목표도 다르지만 뼈대가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

걸음	예제 2.1 (판정)	예제 2.2 (증명)	예제 2.3 (반증)
① 무대와 쓸 공리를 선언	“무대는 \(\mathbb{Z}\)와 \(+\)이다”	\(\underline{\quad(1)\quad}\)	“\(\sigma = (1\,2)\), \(\tau = (1\,2\,3) \in S_3\)”
② 공리와 정의를 등식으로 푼다	“\(0 + a = a + 0 = a\)”	“\(a * b = b * a = e\)”	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
③ 목표 꼴을 만든다	걸음 ②~⑤ 네 줄을 모두 채운다	\(\underline{\quad(3)\quad}\)	두 값이 다름을 보인다

확인 16. 빈칸 (1)~(3)을 채우고, 세 예제에서 ③이 요구하는 분량이 왜 서로 다른지 한 줄로 적어 보자.

답

(1) “\(b\)와 \(c\)가 모두 \(a\)의 역원이라 하자” — 무대는 임의의 군 \(G\)이고 쓸 공리는

(G1)(G2)(G3)이다.

(2) 합성의 정의를 원소마다 풀어 쓴 \(1 \xrightarrow{\tau} 2 \xrightarrow{\sigma} 1\) 등의 계산.

(3) 재결합으로 \(b\)와 \(c\)를 만나게 해 \(b = c\)를 얻는 다섯 등호.

분량이 다른 이유는 목표가 덮어야 할 범위가 다르기 때문이다. 예제 2.1의 \(A\)\(\cdot\)\(C\)

판정과 예제 2.2의 “유일하다”는 모든 원소를 덮어야 하므로 길고, 예제 2.1의 \(B\)

판정과 예제 2.3의 “아벨이 아니다”는 부정이라 증인 하나(한 쌍)면 끝난다.

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

백지 암기 대상

군 답안의 3단 틀

① 무대(\(G\)와 \(*\))와 다룰 원소를 선언하고 쓸 공리를 정한다 \(\to\) ② 공리와 정의를 등식으로 풀어 쓴다 \(\to\) ③ (G1)로 재결합하고 (G3)으로 항을 지워 목표 꼴을 만든다 (반증이면 증인 하나를 제시한다)

이 틀은 다음 주 C19주차의 부분군\(\cdot\)동형 답안에서도 소재만 바꿔 그대로 쓰인다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6 해설에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

훈련 1 ●○○ — 수식과 절차 빈칸#

Result. \((\mathbb{Z}_6, +)\)는 아벨 군이다.

답안. 무대는 집합 \(\mathbb{Z}_6 = \{[0], [1], [2], [3], [4], [5]\}\)와 연산 \(+\)이다.

걸음 ② 닫힘: \([a] + [b] = [\underline{\quad(1)\quad}] \in \mathbb{Z}_6\) (C11주차의 well-defined).
걸음 ③ 결합: \(([a] + [b]) + [c] = [\underline{\quad(2)\quad}] = [a+(b+c)] = [a] + ([b] + [c])\) — 근거는 정수 덧셈의 결합법칙이다.
걸음 ④ 항등원: \(e = [\underline{\quad(3)\quad}]\)이고, 모든 \([a]\)에 대해 \([0] + [a] = [a] + [0] = [a]\)이다.
걸음 ⑤ 역원: \([a]\)의 역원은 \([\underline{\quad(4)\quad}]\)이다. 실제로 \([a] + [6-a] = [6] = [\underline{\quad(5)\quad}]\)이다. 예를 들어 \([2]\)의 역원은 \([4]\)이다.
교환: \([a] + [b] = [a+b] = [b+a] = [b] + [a]\)이므로 \(\underline{\quad(6)\quad}\) 군이다.
이 군의 위수(원소 개수)는 \(\underline{\quad(7)\quad}\)이다.

훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#

이번에는 등호마다 근거도 빈칸이다. 정리 1.3의 오른쪽 소거를 증명한다.

Result. 군 \((G, *)\)에서 \(b * a = c * a\)이면 \(b = c\)이다.

증명. \(b * a = c * a\)라 하자. \(a\)의 역원 \(a^{-1}\)이 \(\underline{\quad(1)\quad}\)에 의해 존재하므로, 양변의 오른쪽에 \(a^{-1}\)을 붙이면

\[ (b * a) * a^{-1} = (c * a) * a^{-1} \]

이다. 좌변은 \(\underline{\quad(2)\quad}\)에 의해 \(b * (a * a^{-1}) = b * \underline{\quad(3)\quad} = b\)이고, 우변도 같은 방식으로 \(\underline{\quad(4)\quad}\)이다. 따라서 \(b = c\)이다. \(\blacksquare\)

\(a^{-1}\)을 오른쪽이 아니라 왼쪽에 붙이면 이 증명은 작동하지 않는다. 그 이유를 한 문장으로 적으면 \(\underline{\quad(5)\quad}\)이고, 이것이 정리 1.3에 왼쪽 소거와 오른쪽 소거가 따로 진술된 이유다.

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

이번에는 처음 보는 무대에서 다섯 걸음을 통째로 세운다.

Result. \(G = \{[1], [3], [5], [7]\} \subseteq \mathbb{Z}_8\)은 곱셈에 대해 아벨 군이다.

답안의 뼈대. 각 칸을 통째로 채운다.

(1) 걸음 ① 무대 선언: \(\underline{\qquad}\)
(2) 걸음 ② 닫힘 — 곱셈표를 실제로 만들어 확인한다: \(\underline{\qquad}\)
(3) 걸음 ③ 결합과 교환: \(\underline{\qquad}\)
(4) 걸음 ④⑤ 항등원과 역원: \(\underline{\qquad}\)
(5) 결론과 위수, 그리고 이 군을 문제 15의 \(\{1, -1, i, -i\}\)와 비교한 한 줄: \(\underline{\qquad}\)

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다 \(\to\) 그래도 안 되면 풀이를 읽는다.

군 판정 문제는 다섯 걸음을 모두 적고, 정리 증명 문제는 등호마다 어느 공리를 썼는지 밝힌다. 이 두 가지가 이번 주 답안의 형식이다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. 이번 주 답안의 채점 항목은 넷이다.

① 판정 답안에 무대(집합과 연산)가 한 줄로 선언되어 있는가. “\(\mathbb{Z}\)는 군이다”는 아직 명제가 아니다.

② “군이다” 답안에 걸음 ②~⑤가 모두 적혀 있는가. 가장 흔한 누락은 걸음 ⑤(역원)와 걸음 ②(닫힘)다.

③ 항등원과 역원을 원소로 지목했는가. “존재한다”로 끝난 답안은 존재 주장을 되풀이한 것이지 확인한 것이 아니다.

④ 증명 답안의 각 등호에 (G1)/(G2)/(G3) 중 무엇인지 적혀 있는가. 특히 재결합 한 줄이 (G1)임을 밝혔는가.

난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. [백지] 이항연산, 군의 세 공리, 아벨 군, 항등원\(\cdot\)역원 유일성, 순열군을 쓰시오.

백지 암기 대상

힌트

다섯 항목 모두 으로 표시된 상자에 있다(§1.3, §1.4, §1.6, §1.7).

조각의 이유까지 함께 떠올리면 잊은 조각을 남은 조각에서 복구할 수 있다 —

(G2)에 “\(e * a = a * e\)” 양쪽이 들어간 이유는 §1.4의 해부 표에 적혀 있다.

2. 다음이 군인지 판정하시오 (아니면 어느 공리 실패). (a) \((\mathbb{N}, +)\) (b) \((\mathbb{Q}, +)\) (c) \((\mathbb{R} - \{0\}, \times)\) (d) \((\mathbb{Z}, -)\)

힌트

네 문항 모두 §1.2의 표에 같거나 비슷한 줄이 있다. (a)는 \(\mathbb{N}\)에 \(0\)을 넣는

관례와 넣지 않는 관례에서 무너지는 공리가 서로 다르므로 둘 다 밝힌다.

(d)는 걸음 ⑤가 아니라 그보다 앞 걸음에서 먼저 무너진다 — 숫자 세 개로 확인된다.

3. 예제 2.1(군 판정)을 백지 재현하시오.

힌트

세 무대 각각에서 걸음 ①~⑤를 세로로 적는다. \(C\)에서 걸음 ②(닫힘)에 근거를 달았는지

반드시 확인한다 — 그 한 줄이 예제 2.1과 문제 10을 가른다.

4. §3의 빈칸 사다리 훈련 1~3을 백지에서 완성하시오.

힌트

세 훈련의 채점 지점은 값이 아니라 근거 낱말이다 — 훈련 1의 걸음 ③에 적힌 근거가

“\(\mathbb{Z}_6\)의 결합”이 아니라 “정수 덧셈의 결합”인 이유를 말할 수 있어야 하고,

훈련 2의 (1)(2)는 각각 어느 공리인지 이름으로 적혀야 한다. 훈련 3은 다섯 걸음의

순서만 먼저 세로로 적어 두고 칸을 채운다.

5. 예제 2.2(역원 유일성)를 백지 재현하시오 — 결합법칙 사용 지점 밑줄.

힌트

다섯 등호 중 (G1)은 한 번만 쓰인다. 그 한 줄을 찾지 못하면 §1.4의 세 원소 표를

다시 보고, 그 표에서 역원이 둘이 되는 이유를 말로 적어 본다.

6. \((\mathbb{Z}_4, +)\)의 각 원소의 역원을 구하시오 (\([0], [1], [2], [3]\)).

힌트

구하는 것은 \([a] + [x] = [0]\)인 \([x]\)다. 훈련 1의 (4)와 같은 요령이고 \(6\) 자리에

\(4\)를 넣으면 된다. 자기 자신이 역원인 원소가 두 개 나오는데, 그것이 오류인지

아닌지는 검산으로 판정한다.

표준 ●●○#

7. 항등원 유일성을 증명하시오 (S13주차 얼굴 1 — \(e_1 = e_1 * e_2 = e_2\)).

8. 소거법칙을 증명하시오 (\(a*b = a*c \Rightarrow b = c\) — 역원을 양변에).

힌트

훈련 2가 오른쪽 소거였다. 이 문제는 왼쪽이므로 \(a^{-1}\)을 양변의 왼쪽에 붙인다.

붙인 다음 곧바로 \(b = c\)가 나오지 않고 (G1)을 한 번 써야 한다는 것이 핵심이다.

9. \((\mathbb{Z}_5^*, \times)\)가 군임을 확인하시오 (각 0 아닌 원소의 역원 — 예제 2.1 \(C\); \(5\) 소수라 전부 존재).

10. 다음 제시된 증명을 평가하시오 (C5주차의 증명 평가 다섯 걸음).

Result. \((\mathbb{Z}_6^*, \times)\) (0 아닌 원소, 곱셈)는 군이다.

증명. 결합\(\cdot\)교환\(\cdot\)항등원 \([1]\) 있음. 따라서 군.

힌트

답안이 건드리지 않은 걸음이 둘 있다. 하나는 걸음 ⑤이고, 다른 하나는 확인 12에서

이미 검사한 걸음이다. 두 곳 모두에서 반례 원소를 하나씩 제시할 수 있다.

11. \((fg)^{-1} = g^{-1} f^{-1}\) (역원의 역순, 신발–양말 정리의 군판)을 군에서 증명하시오 (C12주차 문제 16 — \((fg)(g^{-1}f^{-1}) = e\) 확인).

힌트

“\((fg)\)의 역원을 구한다”고 시작하면 막힌다. 대신 \(g^{-1}f^{-1}\)이 역원의 자격을

갖추는지 검사한다 — 곱해서 \(e\)가 되는지 양쪽 모두. 자격을 갖추면 정리 1.2가

“그것이 유일한 역원”이라고 마무리해 준다.

12. \((a^{-1})^{-1} = a\) (역원의 역원은 자신)를 증명하시오 (역원의 정의 + 유일성).

13. \(S_3\)의 원소 6개를 모두 나열하고 (항등\(\cdot\)3순환 2개\(\cdot\)2순환 3개), 위수를 확인하시오 (\(3! = 6\)).

14. 다음이 이항연산이 아님을 보이시오 (닫힘 실패). (a) \(\mathbb{N}\)의 뺄셈 (\(3 - 5 \notin \mathbb{N}\)). (b) 홀수 집합의 덧셈 (\(3 + 5 = 8\) 짝수).

도전 ●●●#

15. (군 공리 종합) \(G = \{1, -1, i, -i\}\) (복소수, 곱셈)가 군임을 증명하시오 (닫힘 표\(\cdot\)결합\(\cdot\)항등원 1\(\cdot\)역원 각각 — \(i^{-1} = -i\) 등). 아벨인가? 위수 4.

힌트

닫힘은 \(4 \times 4\) 곱셈표 열여섯 칸을 실제로 채워야 한다. \(i^2 = -1\) 하나만 알면

나머지 칸은 거기서 나온다. 결합은 표로 확인하지 않는다 — 복소수 곱셈의 결합법칙을

인용한다(근거 ②).

새 낱말 — 원소의 위수 (order of an element)

군 \(G\)의 원소 \(a\)에 대해 \(a^k\)는 \(a\)를 \(k\)번 연산한 것을 뜻한다(\(a^1 = a\)이고

\(a^{k+1} = a^k * a\)). \(a^k = e\)인 양의 정수 \(k\)가 존재할 때 그중 가장 작은 \(k\)를

\(a\)의 위수라 한다. 군 전체의 원소 개수도 위수라 부르므로, 답안에서는 “원소

\(a\)의 위수”처럼 대상을 밝혀 적는다.

연산이 덧셈으로 적힌 무대에서는 \(a^k\) 대신 \(ka\)로 쓴다 — \(\mathbb{Z}_6\)에서 \([2]\)의

세제곱은 \(3[2] = [2] + [2] + [2]\)를 뜻한다.

16. (순열 합성) \(S_3\)에서 \((1\,2\,3) \circ (1\,2\,3)\)과 \((1\,2\,3)^{-1}\)을 구하시오. 3순환의 위수가 3임을 확인하시오.

힌트

예제 2.3처럼 \(1, 2, 3\) 각각을 화살표 두 번으로 따라간다. 역원은 화살표를 거꾸로

읽으면 된다 — \(1 \to 2 \to 3 \to 1\)을 뒤집으면 어떤 순환 표기가 되는가.

이 문제가 빌려 쓰는 사실 — 라그랑주 정리

“유한군에서 각 원소의 위수는 군의 위수를 나눈다”는 사실은 지금은 인정하고 쓴다.

증명에는 부분군과 잉여류가 필요하므로 다음 주 C19주차의 부분군 뒤에 놓일 내용이다.

이번 주에는 계산한 위수가 실제로 군의 위수를 나누는지 관찰하는 데까지만 쓴다.

17. (유한군 위수) \(\mathbb{Z}_6\)에서 \([2]\)의 위수(§4의 새 낱말 상자)를 구하시오. 라그랑주 정리 맛보기(위수가 군 위수를 나눔 — \(3 \mid 6\)).

힌트

\([2]\), \([2] + [2]\), \([2] + [2] + [2]\)를 차례로 계산해 처음으로 \([0]\)이 나오는 자리를

찾는다. 이어서 \(\mathbb{Z}_6\)의 여섯 원소 전부에서 위수를 구해 \(6\)의 약수만 나오는지

확인하면 라그랑주 정리의 관찰이 완성된다.

18. (진단 종합) 다음 제시된 증명을 평가하시오.

Result. 군에서 \(a * a = a\)이면 \(a = e\)이다.

증명. \(a * a = a\)이라 하자. 양변에 \(a^{-1}\)을 곱하면 \(a^{-1}*(a*a) = a^{-1}*a\), 곧 \((a^{-1}*a)*a = e\), \(e*a = e\), \(a = e\). 따라서 성립.

힌트

평가의 판정은 옳음\(\cdot\)틀림\(\cdot\)불완전 셋 중 하나다(C5주차). 등호를 하나씩 따라가며 각

줄이 어느 공리에서 나오는지 옆에 적어 본다. 모든 줄에 공리를 붙일 수 있다면 논리는

성립하는 것이고, 그때 남는 물음은 답안의 형식에 관한 것이다.

새 도구 — \(GL_2(\mathbb{R})\)과 행렬식

문제 19의 무대는 성분이 실수인 \(2 \times 2\) 행렬 중 가역인 것 전체이고

\(GL_2(\mathbb{R})\)로 쓴다. 행렬 곱이 결합적이라는 것, \(\det(AB) = \det A \cdot \det B\),

그리고 “\(A\)가 가역인 것과 \(\det A \neq 0\)인 것이 동치”라는 사실은 이번 주에 증명하지

않고 인정하고 쓴다. 항등원 후보는 \(I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)이다.

19. (설계) \(2 \times 2\) 가역 행렬의 집합 \(GL_2(\mathbb{R})\)이 행렬 곱에 대해 군임을 논하시오 (결합 ✓, 항등원 \(I\), 역원: 가역이라 존재; 닫힘: 가역 곱은 가역). 비아벨임을 두 행렬로 보이시오 (행렬 곱은 순서 의존). “연속적 대칭의 군”.

힌트

비아벨의 증인은 성분이 \(0\)과 \(1\)뿐인 두 행렬로 충분하다. 대각선 아래에 \(1\)을 하나

둔 것과 위에 \(1\)을 하나 둔 것을 두 순서로 곱해 본다. 둘 다 행렬식이 \(1\)이므로 무대

안의 원소임도 함께 밝힌다.

20. (서술) (a) 군이 “대칭을 대수로 만든 것”임을 예제 2.3(\(S_3\) = 삼각형 대칭)으로 뒷받침하고, 세 공리가 \(\mathbb{Z}\)\(\cdot\)\(\mathbb{Z}_n\)\(\cdot\)순열을 통합함을 세 문장 이내로. (b) 역원 유일성 증명(예제 2.2)에서 결합법칙이 핵심인 이유를 두 문장 이내 설명하시오.

백지 재현 — 복습 프로토콜#

이 과정의 한 주는 다섯 날로 나뉜다. 교안만 보는 주가 아니라 원서와 교안을 번갈아 읽는 주이므로, 백지 재현은 마지막 날에 놓인다.

요일	할 일
1일차	원서 Chartrand 15.1~15.3 통독 — 모르는 문장은 표시만 하고 통과한다
2일차	교안 §0~§2 — 개념과 예제. 확인 상자를 연필로 먼저 채운다
3일차	원서 15.1~15.3 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서 연습문제 몇 개를 직접 시도한다
4일차	교안 §3 빈칸 사다리와 §4 연습문제 20문항
5일차	백지 재현 1차(틀 카드)\(\cdot\)2차(완전 백지) + 체크리스트

1차 시도 — 틀 카드 허용. 군 판정의 다섯 걸음(§1.5)과 군 답안의 3단 틀(§2 관찰), 근거 목록(§1.8)만 한 장에 적어 펴 놓고, 예제 2.1과 2.2를 처음부터 끝까지 적는다. 정의와 본문은 보지 않는다.

2차 시도 — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점	처방
판정 답안의 첫 줄이 나오지 않는다	§1.5 걸음 ① — 집합과 연산을 함께 적는 한 줄이 첫 문장이다
군이 아님을 보이는데 답안이 길어진다	확인 9 — 부정은 무너지는 걸음 하나로 끝난다. 걸음 ⑤는 원소 하나, ②는 둘, ③은 셋, ④는 \(e\)를 식으로 몰아낸다
닫힘을 늘 생략하게 된다	확인 12와 문제 10 — 무대에서 원소를 뺀 경우에는 닫힘이 자동이 아니다
항등원까지 확인하고 답안을 끝낸다	§1.5의 걸음 삭제 실험 — 생략된 걸음 ⑤가 오답을 만든 실제 사례가 문제 10이다
유일성 증명에서 두 대상을 만나게 하지 못한다	확인 14 — \(b * (a * c)\) 한 식에 둘을 넣는 것이 전부다
재결합을 어디서 쓰는지 모르겠다	예제 2.2의 넷째 줄과 §1.4의 세 원소 표
순열 합성의 방향이 헷갈린다	§1.7의 표기 상자 — 오른쪽을 먼저 적용한다. 예제 2.3의 화살표를 그대로 따라 그린다
무엇을 인용해도 되는지 모르겠다	§1.8의 근거 목록 — 출처를 대면 인용, 못 대면 증명

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) \(a+b\) (2) \((a+b)+c\) (3) \(0\) (4) \(6-a\) (5) \(0\) (6) 아벨 (7) \(6\)

※ (2)를 채우고 나면 그 줄의 근거가 왜 “정수 덧셈의 결합법칙”으로 적혀 있는지가 드러난다. 근거를 “\(\mathbb{Z}_6\)의 결합법칙”이라 적으면 순환 논증이 된다 — 지금 보이려는 것이 그것이기 때문이다. 정확한 근거는 한 층 아래의 정수 덧셈이고, \([a] + [b] = [a+b]\)라는 연산의 정의가 아래층의 법칙을 위층으로 올려 준다(C11주차의 well-defined). (4)의 \([6-a]\)는 \(a = 0\)일 때 \([6] = [0]\)이 되어 그대로 성립한다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) (G3) 역원 공리 (2) (G1) 결합 (3) \(e\) (4) \(c\) (5) \(G\)가 아벨이라는 가정이 없어 \(a^{-1} * (b * a)\)의 \(a^{-1}\)과 \(a\)를 만나게 할 수 없다

※ 이 증명이 왼쪽에서 작동하지 않는 이유를 한 번 더 적어 둔다. 왼쪽에 붙이면 \(a^{-1} * (b * a)\)가 되고, (G1)로 괄호를 옮기면 \((a^{-1} * b) * a\)가 되어 지우려던 \(a^{-1}\)과 \(a\)가 여전히 떨어져 있다. 소거하려는 항과 곱하는 위치가 맞닿아야 (G1) 한 번으로 \(e\)가 만들어진다. 이것이 왼쪽 소거와 오른쪽 소거를 따로 진술하는 이유이고, 아벨 군에서는 둘이 하나로 합쳐진다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) 무대는 집합 \(G = \{[1], [3], [5], [7]\} \subseteq \mathbb{Z}_8\)과 \(\mathbb{Z}_8\)의 곱셈이다.

(2) 곱셈표를 만든다. \([3][3] = [9] = [1]\), \([3][5] = [15] = [7]\), \([3][7] = [21] = [5]\), \([5][5] = [25] = [1]\), \([5][7] = [35] = [3]\), \([7][7] = [49] = [1]\)이고 \([1]\)과의 곱은 그대로다. 열여섯 칸의 값이 모두 \(G\) 안에 있으므로 닫힘이 성립한다.

(3) 결합과 교환은 \(\mathbb{Z}_8\)의 곱셈에서 상속되고, \(\mathbb{Z}_8\)의 곱셈은 정수 곱셈에서 상속된다(근거 ②, C11주차의 well-defined). 표로 확인하지 않는다.

(4) 항등원은 \([1]\)이다. 역원은 (2)의 표에서 읽는다 — \([1][1] = [1]\), \([3][3] = [1]\), \([5][5] = [1]\), \([7][7] = [1]\)이므로 네 원소가 모두 자기 자신의 역원이다.

(5) 따라서 \(G\)는 아벨 군이고 위수는 \(4\)다. 문제 15의 \(\{1, -1, i, -i\}\)도 위수 \(4\)인 아벨 군이지만 그쪽에서는 \(i^2 = -1 \neq 1\)이라 \(i\)의 위수가 \(4\)인 반면, 이 군에서는 항등원이 아닌 세 원소의 위수가 모두 \(2\)다. 위수가 같아도 곱셈표의 모양이 다르다.

※ 위수 \(4\)인 군이 서로 다른 모양으로 두 개 있다는 이 관찰이 다음 주 C19주차의 동형(isomorphism)이 답할 물음이다 — “같은 군인가”를 판정하는 기준이 필요하다.

문제 1#

접근. 백지 재현 문항이다. 다섯 항목을 순서대로 적되, 각 항목마다 “이 조각이 없으면 무엇이 무너지는가”를 한 줄씩 덧붙이면 채점과 복구가 동시에 된다.

풀이. 모범 답안은 다음 다섯 항목이다.

① 이항연산. 집합 \(G\) 위의 이항연산 \(*\)은 함수 \(* : G \times G \to G\)다. 공역이 \(G\)라는 조각에 닫힘이 들어 있고, 그 조각이 있어야 \((a * b) * c\)를 쓸 수 있다.

② 군의 세 공리. \((G, *)\)가 군이라는 것은 (G1) 모든 \(a, b, c\)에 대해 \((a*b)*c = a*(b*c)\), (G2) 어떤 \(e \in G\)가 존재하여 모든 \(a\)에 대해 \(e*a = a*e = a\), (G3) 각 \(a\)에 대해 \(a*b = b*a = e\)인 \(b \in G\)가 존재한다는 뜻이다. (G2)와 (G3)은 양화사의 순서가 반대다 — (G2)는 \(e\) 하나가 모든 \(a\)를 상대하고, (G3)은 \(a\)마다 제 \(b\)를 고른다.

③ 아벨 군. 위의 셋에 더해 모든 \(a, b\)에 대해 \(a * b = b * a\)이면 아벨 군이다. 교환은 공리 목록 안이 아니라 밖에 있다.

④ 항등원\(\cdot\)역원의 유일성. 항등원은 유일하다(\(e_1 = e_1 * e_2 = e_2\)). 각 원소의 역원도 유일하다(\(b = b*e = b*(a*c) = (b*a)*c = e*c = c\)). 앞의 증명은 (G2)만 쓰고, 뒤의 증명은 (G1)을 한 번 쓴다.

⑤ 순열군. \(X_n = \{1, \dots, n\}\) 위의 전단사를 순열이라 하고, 모든 순열의 집합에 합성을 준 것이 \(S_n\)이다. 위수는 \(n!\)이고 \(n \ge 3\)에서 아벨이 아니다.

복기. 다섯 항목의 순서 자체가 의존 관계다 — ①이 있어야 (G1)을 진술할 수 있고, (G2)가 있어야 (G3)을 진술할 수 있으며, (G1)이 있어야 ④의 뒷부분이 성립한다. 항목을 잊었을 때 이 의존 관계를 따라가면 남은 항목에서 복구할 수 있다.

문제 2#

접근. 네 무대 모두 다섯 걸음으로 판정한다. “군이 아니다”라고 답할 때는 어느 걸음에서 무너지는지와 그 자리의 반례 원소를 함께 적어야 답안이 완결된다.

풀이.

(a) \((\mathbb{N}, +)\) — 군이 아니다. \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}\)으로 두는 관례에서는 걸음 ④에서 무너진다. \(e + a = a\)이려면 \(e = 0\)이어야 하는데 \(0 \notin \mathbb{N}\)이므로 (G2)가 성립하지 않는다. \(\mathbb{N}\)에 \(0\)을 포함하는 관례에서는 걸음 ④는 통과하고(\(e = 0\)) 걸음 ⑤에서 무너진다 — \(a = 1\)에 대해 \(1 + x = 0\)인 \(x\)는 \(-1\)이고 \(-1 \notin \mathbb{N}\)이므로 (G3)이 성립하지 않는다. 어느 관례에서든 닫힘과 결합은 성립한다.

(b) \((\mathbb{Q}, +)\) — 아벨 군이다. 닫힘: 유리수의 합은 유리수. 결합: 유리수 덧셈의 결합법칙(근거 ②). 항등원: \(e = 0\)이고 \(0 + a = a + 0 = a\). 역원: 각 \(a\)에 대해 \(-a \in \mathbb{Q}\)이고 \(a + (-a) = (-a) + a = 0\). 교환도 성립하므로 아벨 군이다.

(c) \((\mathbb{R} - \{0\}, \times)\) — 아벨 군이다. 닫힘: \(a \neq 0\)이고 \(b \neq 0\)이면 \(ab \neq 0\)이므로 결과가 무대 안에 남는다(이 무대는 \(0\)을 뺐으므로 닫힘을 반드시 확인한다). 결합: 실수 곱셈의 결합법칙. 항등원: \(e = 1\). 역원: 각 \(a \neq 0\)에 대해 \(\tfrac1a \in \mathbb{R} - \{0\}\)이고 \(a \cdot \tfrac1a = \tfrac1a \cdot a = 1\). 교환도 성립하므로 아벨 군이다. \(0\)을 빼지 않으면 \(0 \cdot x = 1\)인 \(x\)가 없어 걸음 ⑤가 무너진다 — 원소 하나 때문에 전체가 군이 아니게 된다.

(d) \((\mathbb{Z}, -)\) — 군이 아니다. 걸음 ②는 통과하지만(정수의 차는 정수) 걸음 ③에서 무너진다: \((5 - 3) - 1 = 2 - 1 = 1\)이고 \(5 - (3 - 1) = 5 - 2 = 3\)이므로 \(1 \neq 3\)이고 (G1)이 성립하지 않는다. 걸음 ④도 무너진다. 항등원 후보 \(e\)가 있다면 모든 \(a\)에 대해 \(a * e = a\), 곧 \(a - e = a\)이어야 하므로 \(e = 0\)이 강제된다. 그런데 \(0 - a = -a \neq a\)(\(a \neq 0\))이므로 왼쪽에서 실패한다. 따라서 양쪽에서 작동하는 항등원은 없다 — 후보 하나를 배제한 것이 아니라 모든 후보를 \(0\)으로 몰아낸 뒤 그 \(0\)을 배제한 것이다.

검산. (a)와 (d)는 §1.2 표의 둘째\(\cdot\)셋째 줄과 일치하고, (b)와 (c)는 첫째\(\cdot\)다섯째 줄과 같은 모양이다.

복기. 네 문항이 무너지는 자리가 걸음 ③, ④, ⑤로 서로 다르다. 판정 답안을 쓸 때 습관적으로 역원만 확인하면 (d)처럼 걸음 ③에서 이미 무너진 경우를 놓친다 — 다섯 걸음을 순서대로 밟는 이유가 이것이다.

문제 3#

접근. 예제 2.1의 재현이다. 채점 항목은 셋이다 — 세 무대 각각에 걸음 ①이 있는가, \(A\)와 \(C\)에 걸음 ②~⑤가 모두 있는가, \(B\)에 무너지는 걸음과 증인 원소가 지목되어 있는가.

풀이. \(A = (\mathbb{Z}, +)\): 무대 선언 \(\to\) 닫힘(정수의 합은 정수) \(\to\) 결합(정수 덧셈의 결합법칙) \(\to\) 항등원 \(0\), \(0 + a = a + 0 = a\) \(\to\) 역원 \(-a\), \(a + (-a) = (-a) + a = 0\) \(\to\) 군이고 교환도 성립하므로 아벨 군.

\(B = (\mathbb{Z}, \times)\): 무대 선언 \(\to\) 닫힘\(\cdot\)결합 성립, 항등원 \(1\) \(\to\) 그러나 \(a = 2\)에 대해 \(2x = 1\)인 정수 \(x\)가 없으므로 (G3) 실패 \(\to\) 군이 아니다.

\(C = (\mathbb{Z}_5 - \{[0]\}, \times) = \{[1], [2], [3], [4]\}\): 무대 선언 \(\to\) 닫힘(\(5\)가 소수라 \(\mathbb{Z}_5\)에 영인자가 없으므로 \([0]\) 아닌 둘의 곱은 \([0]\)이 아니다) \(\to\) 결합\(\cdot\)교환(\(\mathbb{Z}\)의 곱셈에서 상속) \(\to\) 항등원 \([1]\) \(\to\) 역원 \([1]^{-1} = [1]\), \([2]^{-1} = [3]\), \([3]^{-1} = [2]\), \([4]^{-1} = [4]\) \(\to\) 아벨 군.

검산. \(C\)의 역원을 곱으로 확인한다: \([2][3] = [6] = [1]\) ✓, \([4][4] = [16] = [1]\) ✓, \([1][1] = [1]\) ✓. 네 원소 모두 역원이 무대 안에 있다.

복기. \(C\)의 닫힘 한 줄이 이 예제의 핵심이다. 그 줄이 없으면 같은 형식의 답안이 \(\mathbb{Z}_6\)에서 그대로 오답이 된다(문제 10). 무대에서 원소를 뺀 경우에는 닫힘을 반드시 따로 확인한다.

문제 4#

접근. 사다리 세 훈련의 답은 위의 세 항목에 있다. 대조할 때는 값이 맞는지보다 근거 낱말이 맞는지를 본다 — 훈련 2의 (1)(2)가 각각 (G3)과 (G1)인 것, 훈련 1의 걸음 ③에 적힌 근거가 “\(\mathbb{Z}_6\)의 결합”이 아니라 “정수 덧셈의 결합”인 것이 채점 지점이다.

풀이. 훈련 1: (1) \(a+b\) (2) \((a+b)+c\) (3) \(0\) (4) \(6-a\) (5) \(0\) (6) 아벨 (7) \(6\). 훈련 2: (1) (G3) (2) (G1) (3) \(e\) (4) \(c\) (5) 아벨이라는 가정이 없어 \(a^{-1}\)과 \(a\)를 맞닿게 할 수 없다는 것. 훈련 3: 위의 다섯 항목 그대로.

자주 틀리는 지점. 훈련 1 (4)에 \([-a]\)라고 적는 경우가 많다. \([-a] = [6-a]\)이므로 값은 같지만, \(\mathbb{Z}_6\)의 원소를 \([0]\)~\([5]\)로 적기로 한 관례에서는 \([6-a]\)가 표준 표기다. 훈련 3 (3)에서 결합의 근거를 곱셈표로 대는 경우가 많은데, 표로 확인하려면 세 원소 조합 \(4^3 = 64\)개를 대조해야 한다 — 상속을 인용하는 편이 짧고 정확하다.

복기. 사다리 채점은 값이 아니라 근거 낱말을 본다. 위층(\(\mathbb{Z}_n\))의 법칙을 아래층(정수)에서 찾는 습관은 \(\mathbb{Z}_n\)이 등장하는 모든 주차에서 그대로 쓰이고, 훈련 3의 \(\mathbb{Z}_8\)과 문제 9의 \(\mathbb{Z}_5\)가 같은 요령으로 풀린다.

문제 5#

접근. 예제 2.2의 재현이고, 추가 요구는 (G1)이 쓰인 자리에 밑줄을 긋는 것이다. 다섯 등호 중 (G1)은 정확히 한 번 쓰인다.

풀이. \(b\)와 \(c\)가 모두 \(a\)의 역원이라 하자. 곧 \(a * b = b * a = e\)이고 \(a * c = c * a = e\)이다. 그러면

\[ b = b * e = b * (a * c) = \underline{(b * a) * c} = e * c = c \]

이고, 따라서 \(a\)의 역원은 유일하다. \(\blacksquare\)

밑줄 친 등호가 (G1) 결합이다. 나머지 등호의 근거는 차례로 (G2), \(c\)가 역원이라는 가정, \(b\)가 역원이라는 가정, (G2)다.

복기. 재결합이 필요한 이유는 지워야 할 짝 \(b\)와 \(a\)가 처음에는 괄호로 갈라져 있기 때문이다. \(b * (a * c)\)에서 \(b\)와 \(a\)는 이웃해 있지만 괄호가 다르므로 \(b * a\)를 \(e\)로 바꿀 수 없다. 괄호를 옮겨 둘을 같은 괄호에 넣는 것이 (G1)이 하는 일 전부다. 훈련 2의 (5)에서 왼쪽 소거가 안 되는 이유도 같은 구조다 — 지울 짝을 맞닿게 만들 수 있는가가 관건이다.

문제 6#

접근. 구하는 것은 \([a] + [x] = [0]\)인 \([x]\)이므로 \([x] = [4-a]\)다. 훈련 1에서 \(6\)이던 자리에 \(4\)가 들어간다. 유한 무대이므로 네 원소를 전수로 적는다.

풀이. \(\mathbb{Z}_4 = \{[0], [1], [2], [3]\}\)에서 각 원소의 덧셈 역원은 다음과 같다.

\([0]\)의 역원은 \([0]\)이다: \([0] + [0] = [0]\). \([1]\)의 역원은 \([3]\)이다: \([1] + [3] = [4] = [0]\). \([2]\)의 역원은 \([2]\)이다: \([2] + [2] = [4] = [0]\). \([3]\)의 역원은 \([1]\)이다: \([3] + [1] = [4] = [0]\).

검산. 네 등식 모두 좌변의 정수 합이 \(0\) 또는 \(4\)이고, \(\mathbb{Z}_4\)에서 \([4] = [0]\)이 므로 성립한다. 또 역원 관계는 서로 짝이 되어야 하는데 \([1]\)과 \([3]\)이 서로의 역원으로 맞물리고, \([0]\)과 \([2]\)는 각자 자기 자신이다 — 짝이 어긋난 곳이 없다.

복기. 자기 자신이 역원인 원소가 둘(\([0]\)과 \([2]\)) 나오는 것은 오류가 아니다. \([2]\)의 위수가 \(2\)라는 뜻이고, 문제 17의 위수 계산과 같은 현상이다. 일반적으로 \(\mathbb{Z}_n\)에서 \([a]\)가 자기 자신의 역원인 것은 \(2a \equiv 0 \pmod n\)일 때이고, \(n\)이 짝수이면 \([0]\)과 \([n/2]\) 두 원소가 그렇다.

문제 7#

접근. 유일성 서식 그대로다 — 항등원이 둘 있다고 가정하고 같음을 보인다 (S13주차 얼굴 1). 도구는 (G2) 하나뿐이고 (G1)도 (G3)도 쓰지 않는다.

풀이. \(e_1\)과 \(e_2\)가 둘 다 군 \((G, *)\)의 항등원이라 하자. \(e_2\)가 항등원이므로 모든 \(x\)에 대해 \(x * e_2 = x\)이고, 특히 \(x = e_1\)을 넣으면 \(e_1 * e_2 = e_1\)이다. 한편 \(e_1\)이 항등원이므로 모든 \(x\)에 대해 \(e_1 * x = x\)이고, 특히 \(x = e_2\)를 넣으면 \(e_1 * e_2 = e_2\)이다. 따라서

\[ e_1 = e_1 * e_2 = e_2 \]

이고 항등원은 유일하다. \(\blacksquare\)

복기. 이 논법은 “각자가 상대를 자기로 만드는 성질을 갖고 있으므로, 둘을 한 식에 넣으면 그 식이 양쪽 모두와 같아진다”로 요약된다. 연산 기호를 바꿔도 그대로 작동하고, S13주차 문제 9의 덧셈판이 바로 이 구조였다. 유일성이 확보되어야 “그 항등원”이라 정관사를 붙일 수 있고, \(e\)라는 한 글자 표기가 정당해진다.

문제 8#

접근. 소거는 곱셈의 성질이 아니라 역원의 성질이다. \(a\)를 지우려면 \(a^{-1}\)을 곱해야 하고, 왼쪽에 있는 \(a\)는 왼쪽에 붙여야 맞닿는다. 붙인 다음 (G1)로 괄호를 옮겨야 \(a^{-1} * a\)가 한 괄호에 들어간다.

풀이. \(a * b = a * c\)라 하자. (G3)에 의해 \(a^{-1} \in G\)가 존재하므로 양변의 왼쪽에 \(a^{-1}\)을 붙이면

\[ a^{-1} * (a * b) = a^{-1} * (a * c) \]

이다. (G1)에 의해 좌변은 \((a^{-1} * a) * b\)이고 우변은 \((a^{-1} * a) * c\)이다. (G3)에 의해 \(a^{-1} * a = e\)이므로 이는 \(e * b = e * c\)이고, (G2)에 의해 \(b = c\)이다. \(\blacksquare\)

오른쪽 소거(\(b * a = c * a \Rightarrow b = c\))는 \(a^{-1}\)을 양변의 오른쪽에 붙여 같은 방식으로 얻는다 — 그 증명이 §3 훈련 2다.

복기. 이 증명이 쓴 공리는 (G3) \(\to\) (G1) \(\to\) (G3) \(\to\) (G2) 순이다. 순서가 중요하다: (G1)을 쓰기 전에는 \(a^{-1}\)과 \(a\)가 서로 다른 괄호에 있어 지울 수 없다. 1권 38주차 문제 11에서 \(\mathbb{Z}_6\)의 \([3][x] = [3][y]\)인데 \([x] \neq [y]\)인 반례를 만든 것은, 그 무대에 \([3]^{-1}\)이 없어 첫 걸음부터 시작할 수 없기 때문이었다.

문제 9#

접근. 예제 2.1의 \(C\)와 같은 무대다. 다섯 걸음을 모두 적되, 닫힘에 근거를 대는 것과 역원을 전수로 제시하는 것이 채점 지점이다.

풀이. 무대는 \(\mathbb{Z}_5^* = \mathbb{Z}_5 - \{[0]\} = \{[1], [2], [3], [4]\}\)와 \(\mathbb{Z}_5\)의 곱셈이다.

닫힘: \([a][b] = [ab]\)이고, \(5\)가 소수이므로 \(5 \mid ab\)이면 \(5 \mid a\) 또는 \(5 \mid b\)이다 (유클리드 보조정리, C15주차). 따라서 \([a] \neq [0]\)이고 \([b] \neq [0]\)이면 \([ab] \neq [0]\)이므로 곱이 무대 안에 남는다(1권 38주차 문제 15).

결합과 교환: \(\mathbb{Z}_5\)의 곱셈은 정수 곱셈에서 상속된다 — \(([a][b])[c] = [(ab)c] = [a(bc)] = [a]([b][c])\)이고 \([a][b] = [ab] = [ba] = [b][a]\)이다.

항등원: \([1]\)이다. 모든 \([a]\)에 대해 \([1][a] = [a][1] = [a]\)이다.

역원: \([1][1] = [1]\), \([2][3] = [6] = [1]\), \([3][2] = [1]\), \([4][4] = [16] = [1]\)이므로 \([1]^{-1} = [1]\), \([2]^{-1} = [3]\), \([3]^{-1} = [2]\), \([4]^{-1} = [4]\)이다. 네 원소 모두 역원이 무대 안에 있다.

따라서 \((\mathbb{Z}_5^*, \times)\)는 아벨 군이고 위수는 \(4\)다. \(\blacksquare\)

검산. \([6] = [1]\)은 \(6 - 1 = 5\)가 \(5\)의 배수이므로 성립하고, \([16] = [1]\)은 \(16 - 1 = 15\)가 \(5\)의 배수이므로 성립한다.

복기. 역원이 전부 존재하는 이유는 \(5\)가 소수라는 사실 하나에서 온다. 소수가 아니면 무너진다는 것이 문제 10이고, 두 문제를 나란히 읽으면 “소수 모듈러스가 곱셈군을 만든다”는 문장의 근거가 정확히 무엇인지 드러난다.

문제 10#

접근. 증명 평가의 다섯 걸음(C5주차)을 답안에 돌린다. 이 답안이 확인한 것은 결합\(\cdot\)교환\(\cdot\)항등원 셋이고, 군 판정의 다섯 걸음 중 **걸음 ②(닫힘)와 걸음 ⑤(역원)**를 건드리지 않았다. 두 곳 모두에서 실제로 반례가 나오므로 판정은 “틀림”이다.

풀이. 판정: 틀림. 무대 \(\mathbb{Z}_6^* = \{[1], [2], [3], [4], [5]\}\)와 곱셈은 군이 아니다. 두 곳이 무너진다.

첫째, 걸음 ②(닫힘)가 무너진다. \([2] \in \mathbb{Z}_6^*\)이고 \([3] \in \mathbb{Z}_6^*\)인데 \([2][3] = [6] = [0] \notin \mathbb{Z}_6^*\)이다(C11주차 문제 12). 곱이 무대 밖으로 나가므로 곱셈은 이 무대 위의 이항연산조차 아니다.

둘째, 걸음 ⑤(역원)가 무너진다. \([2]\)의 역원 후보를 전수로 확인하면 \([2][1] = [2]\), \([2][2] = [4]\), \([2][3] = [0]\), \([2][4] = [8] = [2]\), \([2][5] = [10] = [4]\)이므로 \([2][x] = [1]\)이 되는 \(x\)가 없다.

따라서 답안이 검사한 세 항목이 모두 옳다 하더라도 결론은 거짓이다. 결함의 위치는 “따라서 군”이라고 적은 마지막 줄이다 — 검사하지 않은 두 조건을 검사한 것처럼 결론에 포함시켰다.

복기. 이 답안이 그럴듯한 이유는 확인한 세 항목이 실제로 참이기 때문이다. 증명 평가에서 검사할 것은 적힌 줄의 참\(\cdot\)거짓만이 아니라 적히지 않은 줄이다. 군 판정 답안에서 가장 자주 빠지는 두 줄이 정확히 닫힘과 역원이고, 이 문제가 그 둘을 한꺼번에 보여 준다.

덧붙임. \(\mathbb{Z}_6\)에서 곱셈군을 만들려면 무대를 “\(6\)과 서로소인 잉여류” \(\{[1], [5]\}\)로 잡아야 한다. 그러면 \([5][5] = [25] = [1]\)이므로 닫힘과 역원이 함께 성립하고 위수 \(2\)인 아벨 군이 된다.

문제 11#

접근. 역원을 “구하는” 문제가 아니라 후보의 자격을 검사하는 문제로 바꾼다. \(g^{-1} f^{-1}\)을 \(fg\)에 양쪽에서 곱해 \(e\)가 나오면, 정리 1.2(역원의 유일성)가 “그것이 \(fg\)의 역원”이라고 마무리해 준다.

풀이. 군 \((G, *)\)의 원소 \(f, g\)에 대해 \(fg\)는 \(f * g\)를 뜻한다. 먼저

\[ (fg)(g^{-1}f^{-1}) = f(g g^{-1})f^{-1} = f e f^{-1} = f f^{-1} = e \]

이다. 첫 등호는 (G1)을 두 번 적용한 것이고 — 먼저 \((f * g) * (g^{-1} * f^{-1})\)을 \(f * (g * (g^{-1} * f^{-1}))\)로, 다시 안쪽을 \((g * g^{-1}) * f^{-1}\)로 옮긴다 — 둘째가 (G3), 셋째가 (G2), 넷째가 (G3)이다. 괄호를 생략해 적을 수 있는 것은 §1.4에서 인정하고 쓰기로 한 일반 결합법칙 덕이다. 다음으로

\[ (g^{-1}f^{-1})(fg) = g^{-1}(f^{-1}f)g = g^{-1} e g = g^{-1} g = e \]

이고 근거는 같은 순서다 — 첫 등호는 여기서도 (G1)을 두 번 쓴다. 따라서 \(g^{-1}f^{-1}\)은 \(fg\)의 역원의 자격을 양쪽에서 만족한다. 정리 1.2에 의해 \(fg\)의 역원은 유일하므로 \((fg)^{-1} = g^{-1}f^{-1}\)이다. \(\blacksquare\)

검산. \(S_3\)에서 확인한다. \(f = (1\,2)\), \(g = (1\,2\,3)\)이면 예제 2.3에서 \(fg = (2\,3)\)이고, \((2\,3)^{-1} = (2\,3)\)이다. 한편 \(g^{-1} = (1\,3\,2)\), \(f^{-1} = (1\,2)\)이므로 \(g^{-1}f^{-1} = (1\,3\,2) \circ (1\,2)\)를 계산하면 \(1 \to 2 \to 1\), \(2 \to 1 \to 3\), \(3 \to 3 \to 2\)이므로 \((2\,3)\)이다. 일치한다.

복기. 순서가 뒤집히는 이유는 안쪽에서부터 지워야 하기 때문이다. \(fg\)의 오른쪽에 무언가를 붙여 지우려면 가장 가까운 \(g\)부터 만나야 하므로 \(g^{-1}\)이 먼저 온다. 같은 구조가 1권 43주차 문제 15(신발–양말 정리)와 C12주차 문제 16에 있었고, 거기서는 함수와 합성으로, 여기서는 군의 원소와 \(*\)로 적혔을 뿐이다. §1.1에서 본 “무대마다 다시 쓰던 증명”이 한 번으로 줄어든 실례다.

문제 12#

접근. \((a^{-1})^{-1}\)은 “\(a^{-1}\)의 역원”이다. 그러니 \(a\)가 \(a^{-1}\)의 역원 자격을 갖추는지 확인하고, 유일성으로 마무리한다. 문제 11과 같은 전략이다.

풀이. (G3)에 의해 \(a * a^{-1} = a^{-1} * a = e\)이다. 이 등식을 \(a^{-1}\)을 주인공으로 읽으면, \(a\)는 \(a^{-1}\)에 양쪽에서 곱해 \(e\)를 만드는 원소다 — 곧 \(a\)는 \(a^{-1}\)의 역원의 자격을 만족한다. 정리 1.2에 의해 \(a^{-1}\)의 역원은 유일하므로 \((a^{-1})^{-1} = a\)이다. \(\blacksquare\)

검산. \(\mathbb{Z}_6\)에서 \([2]^{-1} = [4]\)이고 \([4]^{-1} = [2]\)이므로 \(([2]^{-1})^{-1} = [2]\)다. \(S_3\)에서 \((1\,2\,3)^{-1} = (1\,3\,2)\)이고 \((1\,3\,2)^{-1} = (1\,2\,3)\)이다(문제 16).

복기. 새로 계산한 것이 하나도 없다는 점이 이 증명의 특징이다. (G3)의 등식은 \(a\)와 \(a^{-1}\)에 대해 대칭이고, 그 대칭을 읽는 방향만 바꾸면 결론이 나온다. “이미 가진 등식을 다른 주인공으로 다시 읽는다”는 것은 이후에도 자주 쓰는 수법이다.

문제 13#

접근. \(S_3\)의 원소는 \(\{1,2,3\}\) 위의 전단사이고, 전단사는 \(1, 2, 3\)의 상을 차례로 정하는 방식으로 헤아린다. 순환 표기로 적을 때는 고정되는 원소를 생략한다.

풀이. \(S_3\)의 여섯 원소는 다음과 같다.

\(\mathrm{id}\): \(1 \mapsto 1\), \(2 \mapsto 2\), \(3 \mapsto 3\) (항등순열, 1개). \((1\,2)\): \(1 \mapsto 2\), \(2 \mapsto 1\), \(3 \mapsto 3\). \((1\,3)\): \(1 \mapsto 3\), \(3 \mapsto 1\), \(2 \mapsto 2\). \((2\,3)\): \(2 \mapsto 3\), \(3 \mapsto 2\), \(1 \mapsto 1\) (2순환 3개). \((1\,2\,3)\): \(1 \mapsto 2\), \(2 \mapsto 3\), \(3 \mapsto 1\). \((1\,3\,2)\): \(1 \mapsto 3\), \(3 \mapsto 2\), \(2 \mapsto 1\) (3순환 2개).

\(1 + 3 + 2 = 6 = 3!\)이므로 위수는 \(6\)이다. \(\blacksquare\)

검산. 세기를 다른 방법으로 다시 한다. \(1\)의 상을 정하는 방법이 \(3\)가지, 남은 값 중에서 \(2\)의 상을 정하는 방법이 \(2\)가지, \(3\)의 상은 남은 하나로 강제되므로 \(3 \times 2 \times 1 = 6\)이다(C16주차의 곱셈 원리). 두 셈이 일치한다.

복기. 순환 표기의 개수를 셀 때 \((1\,2\,3)\)과 \((2\,3\,1)\)과 \((3\,1\,2)\)가 같은 순열임에 주의한다 — 순환은 시작점을 어디로 잡아도 같은 대응을 준다. 3순환을 \(3! = 6\)개로 세지 않고 \(2\)개로 세는 이유가 이것이다.

문제 14#

접근. 이항연산이 아님을 보이는 것은 닫힘의 부정, 곧 존재 주장이다. 무대 안의 원소 두 개를 지목하고 그 연산 결과가 무대 밖임을 보이면 끝난다 — 반례 하나면 충분하다.

풀이.

(a) \(\mathbb{N}\)의 뺄셈. \(3 \in \mathbb{N}\)이고 \(5 \in \mathbb{N}\)이다. 그런데 \(3 - 5 = -2\)이고 \(-2 \notin \mathbb{N}\)이다. 따라서 뺄셈은 \(\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}\)의 함수가 아니므로 \(\mathbb{N}\) 위의 이항연산이 아니다. \(\blacksquare\)

(b) 홀수 집합의 덧셈. \(O\)를 홀수 전체의 집합이라 하자. \(3 \in O\)이고 \(5 \in O\)이다. 그런데 \(3 + 5 = 8 = 2 \times 4\)이므로 \(8\)은 짝수이고 \(8 \notin O\)이다. 따라서 덧셈은 \(O\) 위의 이항연산이 아니다. \(\blacksquare\)

복기. 두 반례 모두 정의 1.1의 셋째 조각 — 공역이 \(G\)라는 조각 — 을 정면으로 위반한다. §1.3의 조각 삭제 실험에서 그 조각을 지우면 \(\mathbb{N}\)의 뺄셈이 통과한다고 했는데, 이 문제가 그 실험의 실물이다. (b)는 덧붙여, 홀수 집합이 덧셈에 대해 닫히지 않는 대신 곱셈에 대해서는 닫힌다는 것도 확인해 두면 좋다(\(3 \times 5 = 15\)는 홀수).

문제 15#

접근. 유한 무대이므로 걸음 ②(닫힘)는 곱셈표를 실제로 채워 확인하고, 걸음 ③은 복소수 곱셈에서 상속받아 인용한다. \(i^2 = -1\) 하나에서 표의 모든 칸이 나온다.

풀이. 무대는 \(G = \{1, -1, i, -i\}\)와 복소수 곱셈이다.

걸음 ② 닫힘. 곱셈표는 다음과 같다.

\(\times\)	\(1\)	\(-1\)	\(i\)	\(-i\)
\(1\)	\(1\)	\(-1\)	\(i\)	\(-i\)
\(-1\)	\(-1\)	\(1\)	\(-i\)	\(i\)
\(i\)	\(i\)	\(-i\)	\(-1\)	\(1\)
\(-i\)	\(-i\)	\(i\)	\(1\)	\(-1\)

계산의 근거는 \(i^2 = -1\)이다: \(i \cdot i = -1\), \(i \cdot (-i) = -i^2 = 1\), \((-i)(-i) = i^2 = -1\), \((-1)(-1) = 1\)이다. 열여섯 칸의 값이 모두 \(G\) 안에 있으므로 닫힘이 성립한다.

걸음 ③ 결합과 교환. 복소수 곱셈의 결합법칙과 교환법칙에서 상속된다(근거 ②).

걸음 ④ 항등원. \(e = 1\)이고 모든 \(a \in G\)에 대해 \(1 \cdot a = a \cdot 1 = a\)이다.

걸음 ⑤ 역원. \(1^{-1} = 1\), \((-1)^{-1} = -1\) (\((-1)(-1) = 1\)), \(i^{-1} = -i\) (\(i(-i) = 1\)), \((-i)^{-1} = i\)이다. 네 원소 모두 역원이 \(G\) 안에 있다.

따라서 \(G\)는 군이고, 교환도 성립하므로 아벨 군이며 위수는 \(4\)다. \(\blacksquare\)

검산. 곱셈표가 아벨임은 표가 주대각선에 대해 대칭인 것으로 확인된다. 실제로 \((2,3)\)칸과 \((3,2)\)칸이 모두 \(-i\)이고, \((2,4)\)칸과 \((4,2)\)칸이 모두 \(i\)다.

복기. \(i\)의 거듭제곱을 보면 \(i^1 = i\), \(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\), \(i^4 = 1\)이므로 \(G\)의 네 원소가 모두 \(i\)의 거듭제곱으로 나온다 — \(i\)의 위수가 \(4\)이고, 한 원소가 군 전체를 만든다. 훈련 3의 \(\{[1],[3],[5],[7]\} \subseteq \mathbb{Z}_8\)은 위수가 같은 \(4\)인데 항등원 아닌 세 원소의 위수가 모두 \(2\)라 그런 원소가 없다. 위수가 같아도 구조가 다를 수 있다는 것 — 이 물음을 정면으로 다루는 것이 다음 주 C19주차다.

문제 16#

접근. 예제 2.3과 같은 계산이다. \(1, 2, 3\) 각각에 \((1\,2\,3)\)을 두 번 적용해 합성을 구하고, 역원은 대응을 거꾸로 읽어 구한다. 위수는 거듭제곱이 처음으로 \(\mathrm{id}\)가 되는 지수다.

풀이. \(\tau = (1\,2\,3)\)이라 하자. 곧 \(1 \mapsto 2\), \(2 \mapsto 3\), \(3 \mapsto 1\)이다.

\(\tau \circ \tau\): \(1 \to 2 \to 3\), \(2 \to 3 \to 1\), \(3 \to 1 \to 2\)이므로 \(\tau^2\)은 \(1 \mapsto 3\), \(2 \mapsto 1\), \(3 \mapsto 2\)이고, 곧 \(\tau^2 = (1\,3\,2)\)이다.

\(\tau^{-1}\): 역순열은 \(\tau\)의 대응을 거꾸로 읽은 것이다. \(\tau\)가 \(1 \mapsto 2\)이므로 \(\tau^{-1}\)은 \(2 \mapsto 1\), \(\tau\)가 \(2 \mapsto 3\)이므로 \(\tau^{-1}\)은 \(3 \mapsto 2\), \(\tau\)가 \(3 \mapsto 1\)이므로 \(\tau^{-1}\)은 \(1 \mapsto 3\)이다. 곧 \(\tau^{-1} = (1\,3\,2)\)이고, \(\tau^2 = \tau^{-1}\)이다.

위수. \(\tau^1 = (1\,2\,3) \neq \mathrm{id}\), \(\tau^2 = (1\,3\,2) \neq \mathrm{id}\)이고

\[ \tau^3 = \tau \circ \tau^2 = (1\,2\,3) \circ (1\,3\,2) \]

를 계산하면 \(1 \to 3 \to 1\), \(2 \to 1 \to 2\), \(3 \to 2 \to 3\)이므로 \(\tau^3 = \mathrm{id}\)이다. 따라서 \(\tau\)의 위수는 \(3\)이다. \(\blacksquare\)

검산. \(\tau^2 = \tau^{-1}\)이라는 결과는 \(\tau^3 = \mathrm{id}\)와 맞물린다 — \(\tau^3 = \mathrm{id}\)의 양변에 \(\tau^{-1}\)을 붙이면 \(\tau^2 = \tau^{-1}\)이다. 두 계산이 서로를 확인한다.

복기. 3순환의 위수가 \(3\)인 것은 우연이 아니다. \(k\)순환은 \(k\)번 적용해야 각 원소가 제자리로 돌아오므로 위수가 \(k\)다. 이 관찰로 \(S_3\)의 위수 표가 완성된다 — \(\mathrm{id}\)는 \(1\), 2순환 셋은 각각 \(2\), 3순환 둘은 각각 \(3\)이고, 모두 \(6\)의 약수다 (문제 17의 라그랑주 관찰).

문제 17#

접근. \(\mathbb{Z}_6\)의 연산은 덧셈이므로 \([2]^k\)는 \(k[2] = [2] + \cdots + [2]\)를 뜻한다. 처음으로 \([0]\)이 나오는 \(k\)가 위수다.

풀이. \(\mathbb{Z}_6\)에서 \([2]\)의 거듭제곱을 차례로 계산한다.

\(1[2] = [2] \neq [0]\), \(2[2] = [4] \neq [0]\), \(3[2] = [6] = [0]\)이다.

따라서 \([2]^k = [0]\)이 되는 최소의 양의 정수 \(k\)는 \(3\)이고, \([2]\)의 위수는 \(3\)이다. \(\blacksquare\)

라그랑주 관찰. \(\mathbb{Z}_6\)의 위수는 \(6\)이고 \(3 \mid 6\)이다. 나머지 원소의 위수도 구해 확인한다. \([0]\)은 \(1[0] = [0]\)이므로 위수 \(1\). \([1]\)은 \(6[1] = [6] = [0]\)이 처음 이므로 위수 \(6\). \([3]\)은 \(2[3] = [6] = [0]\)이므로 위수 \(2\). \([4]\)는 \(1[4] = [4]\), \(2[4] = [8] = [2]\), \(3[4] = [12] = [0]\)이므로 위수 \(3\). \([5]\)는 \(6[5] = [30] = [0]\)이 처음이므로 위수 \(6\). 나온 위수는 \(1, 6, 3, 2, 3, 6\)이고 전부 \(6\)의 약수다.

검산. \([4]\)의 위수를 다른 길로 확인한다. \([4] = [2] + [2] = 2[2]\)이고 \([2]\)의 위수가 \(3\)이므로 \(3[4] = 6[2] = [0]\)이다. 그리고 \(1[4], 2[4]\)가 \([0]\)이 아님을 위에서 확인했으므로 위수는 \(3\)이다.

복기. 위수가 \(6\)인 원소(\([1]\)과 \([5]\))가 존재한다는 것은 그 한 원소의 거듭제곱이 군 전체를 만든다는 뜻이다. 이런 원소를 가진 군을 순환군이라 하고, 다음 주 C19주차의 부분군\(\cdot\)동형에서 다시 다룬다. 라그랑주 정리의 증명도 그때의 부분군이 준비되어야 가능하므로, 이번 주에는 관찰까지가 몫이다.

문제 18#

접근. 평가의 판정은 옳음\(\cdot\)틀림\(\cdot\)불완전 셋 중 하나다(C5주차). 등호를 하나씩 따라가며 각 줄에 공리를 붙여 본다. 모든 줄에 공리가 붙으면 논리는 성립한다.

풀이. 판정: 옳음. 각 줄의 근거는 다음과 같다.

\(a * a = a\)의 양변 왼쪽에 \(a^{-1}\)을 곱하면 \(a^{-1} * (a * a) = a^{-1} * a\)이다 — (G3)이 \(a^{-1}\)의 존재를 준다. 좌변은 (G1)에 의해 \((a^{-1} * a) * a\)이고, 우변은 (G3)에 의해 \(e\)이므로 \((a^{-1} * a) * a = e\)이다. 다시 (G3)에 의해 \(a^{-1} * a = e\) 이므로 좌변은 \(e * a\)이고, 따라서 \(e * a = e\)이다. (G2)에 의해 \(e * a = a\)이므로 \(a = e\)이다. 모든 줄이 (G1)(G2)(G3) 중 하나에서 나오므로 논증은 성립한다.

보완할 점은 논리가 아니라 형식이다. 답안이 각 등호의 근거를 밝히지 않아, 읽는 쪽이 위와 같이 공리를 붙여 가며 검사해야 한다. 이번 주의 채점 기준 ④에 따르면 근거 표기를 덧붙여야 완결된 답안이다.

검산. 결론을 다른 길로 확인한다. \(a * a = a\)의 양변에 소거법칙(정리 1.3)을 쓰면 된다 — \(a * a = a = a * e\)이므로 왼쪽 소거에 의해 \(a = e\)다. 두 줄로 끝난다.

복기. 이 결과는 “군에는 \(e\) 말고 다른 멱등원이 없다”로 읽힌다. 군이 아닌 무대에서는 사정이 다르다 — \((\mathbb{Z}, \times)\)에서 \(0 \times 0 = 0\)이지만 \(0\)은 항등원이 아니다. 차이를 만드는 것은 역시 (G3)이고, \(0\)에 역원이 없다는 사실이다.

문제 19#

접근. 다섯 걸음 중 걸음 ②(닫힘)만 근거가 필요하고 나머지는 행렬 대수의 알려진 사실에서 온다. 비아벨은 반례 한 쌍이므로 성분이 단순한 두 행렬로 충분하다.

풀이. 무대는 \(GL_2(\mathbb{R}) = \{A : A\)는 \(2 \times 2\) 실행렬이고 \(\det A \neq 0\}\)와 행렬 곱이다.

걸음 ② 닫힘. \(A, B \in GL_2(\mathbb{R})\)이면 \(\det(AB) = \det A \cdot \det B\)이고 \(\det A \neq 0\), \(\det B \neq 0\)이므로 \(\det(AB) \neq 0\)이다. 따라서 \(AB \in GL_2(\mathbb{R})\)이다.

걸음 ③ 결합. 행렬 곱은 결합적이다(인정하고 쓰는 사실).

걸음 ④ 항등원. \(I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)이고 \(\det I = 1 \neq 0\) 이므로 \(I \in GL_2(\mathbb{R})\)이며, 모든 \(A\)에 대해 \(IA = AI = A\)이다.

걸음 ⑤ 역원. \(A \in GL_2(\mathbb{R})\)이면 \(\det A \neq 0\)이므로 \(A\)는 가역이고 \(A^{-1}\)이 존재하며 \(AA^{-1} = A^{-1}A = I\)이다. 또 \(\det A \cdot \det(A^{-1}) = \det I = 1\) 이므로 \(\det(A^{-1}) \neq 0\)이고, 따라서 \(A^{-1}\)도 무대 안에 있다.

그러므로 \(GL_2(\mathbb{R})\)은 군이다.

비아벨. \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)이라 하자. 둘 다 행렬식이 \(1\)이므로 무대 안의 원소다. 계산하면

\[\begin{split} \begin{aligned}AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\end{aligned} \end{split}\]

이고 \(AB \neq BA\)이다. 따라서 \(GL_2(\mathbb{R})\)은 아벨 군이 아니다. \(\blacksquare\)

검산. \(AB\)의 \((1,1)\)성분은 \(1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 2\)이고 \(BA\)의 \((1,1)\)성분은 \(1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1\)이다. 한 칸만 비교해도 두 행렬이 다름을 알 수 있다. 또 \(\det(AB) = \det(BA) = 1\)이므로 두 결과가 모두 무대 안에 있다.

복기. \(GL_2(\mathbb{R})\)은 평면의 가역 선형변환 전체이고, 회전\(\cdot\)반사\(\cdot\)확대가 모두 그 안에 있다. \(S_3\)이 정삼각형의 유한한 대칭을 담았다면 \(GL_2(\mathbb{R})\)은 평면의 연속적인 대칭을 담는다 — 원소가 유한 개인 무대와 무한히 많은 무대에서 같은 세 공리가 작동한다는 것이 이번 주의 요지다.

문제 20#

접근. (a)는 예제 2.3과 §1.7의 대응을 근거로 쓰고, (b)는 예제 2.2의 넷째 줄과 §1.4의 세 원소 표를 근거로 쓴다. 두 물음 모두 “무엇이 무너지는가”를 말해야 답이 된다.

풀이. (예시 답안)

(a) 예제 2.3에서 \(S_3\)의 여섯 원소는 정삼각형을 자기 자신으로 옮기는 회전과 반사에 하나씩 대응하고, 순열의 합성은 두 대칭을 잇달아 적용하는 것과 같으므로, \(S_3\)은 삼각형의 대칭 전체를 대수의 대상으로 옮겨 놓은 것이다. 군의 정의가 요구하는 것은 결합\(\cdot\)항등원\(\cdot\)역원 셋뿐이고, 이 셋은 “잇달아 적용한다”, “아무것도 하지 않는다”, “되돌린다”에 각각 해당하므로 대칭이 있는 곳에는 언제나 군이 있다. 그래서 \(\mathbb{Z}\)의 덧셈, \(\mathbb{Z}_n\)의 덧셈, 순열의 합성, 가역 행렬의 곱이 소재를 가리지 않고 한 이름 아래 묶이고, 그 이름 위에서 증명한 유일성과 소거법칙이 네 무대 전부에서 한꺼번에 성립한다.

(b) 예제 2.2의 증명은 \(b = b * e = b * (a * c) = (b * a) * c = e * c = c\)인데, 가운데 등호 \(b * (a * c) = (b * a) * c\)가 정확히 (G1) 결합법칙이고 이 한 줄이 없으면 \(b\)와 \(a\)가 서로 다른 괄호에 갇혀 \(b * a = e\)를 쓸 수 없다. 실제로 §1.4의 세 원소 표는 결합만 빠진 구조에서 \(a\)의 역원이 \(a\)와 \(b\) 둘이 되는 것을 보이므로, 결합법칙이 빠지면 결론 자체가 거짓이 된다.

복기. 두 물음이 함께 말하는 것은 공리 목록의 길이에 관한 것이다. 요구를 더 줄이면(결합을 빼면) 이름이 덮는 대상은 넓어지지만 그 위에서 증명할 수 있는 것이 사라지고, 요구를 더 늘리면(교환을 넣으면) 정리는 늘지만 \(S_3\)과 \(GL_2(\mathbb{R})\)이 이름 밖으로 나간다. 세 공리는 그 사이에서 고른 지점이다.

다음 주 예고 (C19주차): Chartrand 15.4~15.6 — 군론 II: 부분군\(\cdot\)동형. 이번 주에 군 하나를 세웠다면 다음 주에는 군 안의 군(부분군)과 군 사이의 관계(동형)를 다룬다. 부분군은 세 공리를 다시 검사하지 않고도 판정할 수 있고, 동형은 “이름만 다른 같은 군”을 정식으로 정의한다 — 문제 15의 \(\{1,-1,i,-i\}\)와 훈련 3의 \(\{[1],[3],[5],[7]\}\)이 왜 다른 군인지에 대한 답이 거기 있다. C11주차의 동치관계와 C12주차의 전단사, 그리고 이번 주의 세 공리가 한꺼번에 쓰인다. 원서 15.4~15.6을 통독하고 오는 것이 1일차의 일이다.