# C18주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — 함께 만들고, 설계만 하고, 혼자 완성된 답안을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하며, 예제 2.3은 설계부터 혼자 한다. ### 예제 2.1 — 군 판정 **과제.** 다음이 군인지 판정하라. $A$: $(\mathbb{Z}, +)$ $\quad$ $B$: $(\mathbb{Z}, \times)$ $\quad$ $C$: $(\mathbb{Z}_5 - \{[0]\}, \times)$ **설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 판정 문제에는 증명 문제와 달리 옮길 수식이 따로 주어지지 않는다. 대신 가정과 목표를 **답안에서 만들 것**으로 옮긴다 — 무엇이 주어졌고 무엇을 만들어 내야 하는지를 먼저 정한다. | | **말** | **답안에서 만들 것** | |---|---|---| | 가정 (주어진 것) | 집합 하나와 그 위의 연산 하나 | $G$와 $*$를 이름으로 고정하는 걸음 ①의 한 줄 — $A$라면 "$(G, *) = (\mathbb{Z}, +)$" | | 목표 (만들 것) | "군이다" 또는 "군이 아니다" | $\underline{\quad(?)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 9.** 목표 칸의 빈칸을 채워 보자. "군이다"를 보이려면 무엇을 몇 개 만들어야 하고, "군이 아니다"를 보이려면 무엇을 몇 개 만들어야 하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "군이다": 걸음 ②~⑤ **네 개 모두**에 대해 성립 근거를 적는다. 하나라도 빠지면 답안이 완결되지 않는다. "군이 아니다": 무너지는 걸음 **하나**를 골라 그 자리의 반례를 제시한다 — 걸음 ⑤는 원소 하나, 걸음 ②는 원소 두 개, 걸음 ③은 원소 세 개이고, 걸음 ④는 항등원 후보 $e$를 식으로 몰아낸 뒤 그 $e$가 무대 밖임을 보인다. 걸음 ⑤가 가장 짧다. 전칭 주장("모든 $a$에 역원이 있다")의 부정은 존재 주장("역원 없는 $a$가 있다")이므로 증인 하나면 끝난다(1권 26주차의 증인, C7주차의 반례 서식). 이 비대칭이 판정 문제의 뼈대다 — 긍정은 네 걸음 전부, 부정은 걸음 하나. ::: **$A$ 판정 — 무한 무대에서 역원을 식으로 제시한다.** :::{container} quotebox **확인 10.** $A = (\mathbb{Z}, +)$의 걸음 ④와 ⑤를 채워 보자. 항등원은 $e = \underline{\quad}$이고 모든 $a$에 대해 $\underline{\qquad}$이며, 역원은 각 $a$에 대해 $\underline{\quad} \in \mathbb{Z}$이고 $\underline{\qquad}$이다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 항등원: $e = 0$이고 모든 $a$에 대해 $0 + a = a + 0 = a$이다. 역원: 각 $a$에 대해 $-a \in \mathbb{Z}$이고 $a + (-a) = (-a) + a = 0$이다. 두 곳 모두 **양쪽**을 적은 것에 주의한다. (G2)와 (G3)이 양쪽을 요구하므로, 한쪽만 적은 답안은 $(\mathbb{Z}, -)$처럼 한 방향만 되는 경우를 걸러내지 못한다. ::: **$B$ 판정 — 어디서 무너지는지 지목한다.** :::{container} quotebox **확인 11.** $B = (\mathbb{Z}, \times)$는 걸음 ①~⑤ 중 어디까지 통과하고 어디서 무너지는가. 무너짐의 증인을 하나 제시해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 걸음 ①~④는 통과한다(무대는 $(\mathbb{Z}, \times)$, 정수의 곱은 정수, 곱셈은 결합적, 항등원은 $1$). 걸음 ⑤에서 무너진다. 증인은 $2$다 — $2x = 1$인 정수 $x$가 없기 때문이다($x = \tfrac12$은 정수가 아니다). 준비 운동 4번 유형 3의 "나눗셈이 안 된다"가 여기서 검사 가능한 한 줄이 되었다. ::: **$C$ 판정 — 이 무대에서는 닫힘이 자동이 아니다.** :::{container} quotebox **확인 12.** $C = (\mathbb{Z}_5 - \{[0]\}, \times)$에서 걸음 ②(닫힘)를 검사해 보자. $[a] \neq [0]$이고 $[b] \neq [0]$일 때 $[a][b] \neq [0]$인가. 무대를 $\mathbb{Z}_6 - \{[0]\}$으로 바꾸면 어떤가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $\mathbb{Z}_5$에서는 성립한다. $5$가 소수이므로 $\mathbb{Z}_5$에 영인자가 없기 때문이다(1권 38주차 문제 15). 따라서 $[0]$ 아닌 둘의 곱은 $[0]$이 될 수 없고, 결과가 무대 안에 남는다. $\mathbb{Z}_6$에서는 무너진다. $[2] \neq [0]$이고 $[3] \neq [0]$인데 $[2][3] = [6] = [0]$이 무대 밖이다(C11주차 문제 12). 무대에서 $[0]$ 하나를 뺐다고 닫힘이 따라오는 것이 아니라는 것 — 이것이 문제 10의 답안이 놓친 지점이다. ::: **완성본.** 방금 만든 판단을 한 줄씩 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | $A$: 무대는 집합 $\mathbb{Z}$와 연산 $+$이다. | 걸음 ①. 집합과 연산을 함께 적지 않으면 판정 대상이 정해지지 않는다. | | 정수의 합은 정수이므로 닫힘이 성립하고, 정수 덧셈은 결합적이다. | 걸음 ②③ — 근거 ②(무대의 산술에서 상속). 결합을 표로 확인하지 않는다. | | $e = 0$이고, 모든 $a \in \mathbb{Z}$에 대해 $0 + a = a + 0 = a$이다. | 걸음 ④. "있다"로 끝내지 않고 원소를 지목하며, 양쪽을 모두 적는다. | | 각 $a \in \mathbb{Z}$에 대해 $-a \in \mathbb{Z}$이고 $a + (-a) = (-a) + a = 0$이다. | 걸음 ⑤. 무한 무대이므로 역원을 식 $-a$로 제시한다. | | 따라서 $A$는 군이다. 또 $a + b = b + a$이므로 아벨 군이다. | 결론 선언. 교환은 공리 밖의 추가 관찰이므로 따로 적는다. | | $B$: 무대는 $\mathbb{Z}$와 $\times$이다. 닫힘과 결합이 성립하고 항등원은 $1$이다. | 걸음 ①~④는 통과함을 먼저 밝힌다 — 어디까지 좋은지를 적어야 어디서 무너졌는지가 드러난다. | | 그러나 $a = 2$에 대해 $2x = 1$인 $x \in \mathbb{Z}$는 없다. 따라서 (G3)이 성립하지 않고 $B$는 군이 아니다. | 걸음 ⑤에서 탈락. 전칭의 부정이므로 증인 하나로 끝난다. | | $C$: 무대는 $\mathbb{Z}_5 - \{[0]\} = \{[1], [2], [3], [4]\}$와 $\times$이다. | 걸음 ①. 유한 무대는 원소를 나열해 두면 걸음 ⑤가 쉬워진다. | | 닫힘: $5$가 소수이므로 $\mathbb{Z}_5$에 영인자가 없고, $[0]$ 아닌 둘의 곱은 $[0]$이 아니다. | 걸음 ②. 이 무대에서는 닫힘이 자동이 아니므로 반드시 근거를 댄다. | | 결합과 교환: $\mathbb{Z}_5$의 곱셈은 $\mathbb{Z}$의 곱셈에서 상속된다(C11주차의 well-defined). | 걸음 ③ — 근거 ②. | | 항등원은 $[1]$이다. | 걸음 ④. | | 역원: $[1]^{-1} = [1]$, $[2]^{-1} = [3]$, $[3]^{-1} = [2]$, $[4]^{-1} = [4]$. | 걸음 ⑤. 유한 무대이므로 전수로 제시한다(C11주차 문제 16). | | 따라서 $C$는 군이고, 교환까지 성립하므로 아벨 군이다. | 결론 선언. | **세 판정에서 갈린 자리.** $A$와 $C$는 통과했고 $B$는 걸음 ⑤에서 탈락했다. 세 무대 모두 걸음 ②③④는 통과했으므로, 실제로 판정을 가른 것은 역원 하나다. $C$가 통과한 이유도 역원에 있다 — $5$가 소수라서 $[0]$ 아닌 모든 원소가 역원을 가진다. 같은 일을 $\mathbb{Z}_6$에서 시도하면 닫힘과 역원이 함께 무너진다(문제 10). ### 예제 2.2 — 역원의 유일성 (정리 1.2) **Result.** 군 $(G, *)$에서 각 원소 $a$의 역원은 유일하다. 이번에는 설계만 함께 하고, 본문은 완성본으로 본다. :::{container} quotebox **확인 13.** 번역표를 채워 보자. 가정 "$b$와 $c$가 둘 다 $a$의 역원"은 $a * b = b * a = \underline{\quad}$이고 $a * c = c * a = \underline{\quad}$로 번역된다. 목표 "역원이 유일하다"는 무엇을 보이는 것으로 번역되는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 가정: $a * b = b * a = e$이고 $a * c = c * a = e$. 목표: $b = c$. 유일성은 "하나뿐"을 직접 보이는 것이 아니라 둘을 잡아 같음을 보이는 것이다 (S13주차 얼굴 1, 1권 26주차의 유일성 틀). 정리 1.1에서 항등원에 대해 한 일을 역원에 대해 한 번 더 한다. ::: :::{container} quotebox **확인 14.** 정리 1.1의 증명은 $e_1 * e_2$라는 **한 식**을 두 번 읽는 것으로 끝났다. 역원에서 같은 일을 하려면 $b$와 $c$를 한 식 안에 넣어야 한다. 어떤 식에 둘이 함께 들어가는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $b * (a * c)$ 또는 $(b * a) * c$다. 두 식은 (G1)에 의해 같고, 앞의 것은 $a * c = e$로 읽으면 $b$가 되며 뒤의 것은 $b * a = e$로 읽으면 $c$가 된다. 정리 1.1과 다른 점은 $a$가 가운데 끼어 있다는 것이고, 그래서 괄호를 옮길 자격 — 곧 (G1) — 이 필요하다. 항등원 유일성 증명에는 (G1)이 필요 없었다. ::: **완성본.** 각 줄이 어느 공리를 쓰는지 오른쪽 열에서 확인하며 베껴 쓴다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | $b$와 $c$가 모두 $a$의 역원이라 하자. 곧 $a * b = b * a = e$이고 $a * c = c * a = e$이다. | 유일성 서식의 첫 줄 — 둘을 잡는다(S13주차 얼굴 1). | | $b = b * e$ | (G2). 계산을 시작할 기준점을 만든다. | | $\phantom{b} = b * (a * c)$ | $e = a * c$ ($c$가 역원)를 대입한다. $b$와 $c$가 한 식에 들어왔다. | | $\phantom{b} = (b * a) * c$ | **(G1) 결합** — 괄호를 옮긴다. 이 줄이 증명의 유일한 재결합이다. | | $\phantom{b} = e * c$ | $b * a = e$ ($b$가 역원)를 대입한다. | | $\phantom{b} = c$ | (G2). | | 따라서 $b = c$이고 $a$의 역원은 유일하다. $\blacksquare$ | 목표 선언. 이제 $a^{-1}$이라는 표기를 쓸 자격이 생겼다. | **재결합이 없으면 결론이 거짓이다.** 위 다섯 등호 중 (G1)을 쓴 것은 셋째 등호(완성본 표의 넷째 줄) 하나뿐이다. 그 한 줄을 못 쓰면 $b * (a * c)$와 $(b * a) * c$가 서로 다른 값일 수 있고, 실제로 §1.4의 세 원소 표에서 $a$의 역원이 둘이었다. 공리 하나를 빼면 정리 하나가 무너진다는 것을 §1.4의 삭제 실험과 이 증명이 함께 보인다. ### 예제 2.3 — $S_3$은 아벨 군이 아니다 **과제.** $S_3$에서 두 순열의 합성이 순서에 의존함(비아벨)을 보이라. 이번에는 설계부터 스스로 해 보자. :::{container} quotebox **확인 15.** 번역표를 채워 보자. 가정 "$S_3$은 군이다"에서 쓸 수 있는 것은 $\underline{\qquad}$이고, 목표 "아벨 군이 아니다"는 $\underline{\qquad}$인 $\sigma, \tau$를 몇 개 제시하는 것으로 번역되는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 가정: 합성이 이항연산이고 (G1)(G2)(G3)이 성립한다(§1.7의 표). 목표: $\sigma \circ \tau \neq \tau \circ \sigma$인 $\sigma, \tau \in S_3$를 **한 쌍** 제시한다. "모든 $\sigma, \tau$에 대해 $\sigma \circ \tau = \tau \circ \sigma$"의 부정이므로 증인 한 쌍이면 충분하다. 판정 문제의 부정 쪽과 같은 비대칭이다(확인 9). ::: **증명.** $\sigma = (1\,2)$, $\tau = (1\,2\,3)$이라 하자. 둘 다 $S_3$의 원소다. 합성은 오른쪽부터 적용하므로, $\sigma \circ \tau$는 각 원소에서 다음과 같다. $$ 1 \xrightarrow{\ \tau\ } 2 \xrightarrow{\ \sigma\ } 1, \qquad 2 \xrightarrow{\ \tau\ } 3 \xrightarrow{\ \sigma\ } 3, \qquad 3 \xrightarrow{\ \tau\ } 1 \xrightarrow{\ \sigma\ } 2 $$ 곧 $\sigma \circ \tau$는 $1 \mapsto 1$, $2 \mapsto 3$, $3 \mapsto 2$이므로 $\sigma \circ \tau = (2\,3)$이다. 같은 방식으로 $\tau \circ \sigma$를 계산하면 $$ 1 \xrightarrow{\ \sigma\ } 2 \xrightarrow{\ \tau\ } 3, \qquad 2 \xrightarrow{\ \sigma\ } 1 \xrightarrow{\ \tau\ } 2, \qquad 3 \xrightarrow{\ \sigma\ } 3 \xrightarrow{\ \tau\ } 1 $$ 곧 $\tau \circ \sigma$는 $1 \mapsto 3$, $2 \mapsto 2$, $3 \mapsto 1$이므로 $\tau \circ \sigma = (1\,3)$이다. $(2\,3) \neq (1\,3)$이므로 $\sigma \circ \tau \neq \tau \circ \sigma$이고, $S_3$은 아벨 군이 아니다. $\blacksquare$ 이번 답안은 표 없이 산문으로 적었다. 표는 연습 단계의 장치이고, 실전의 증명은 처음부터 끝까지 이런 산문이다. 이번 주의 목표는 이 산문을 백지에서 재현하는 것이다. $S_3$은 원소가 $3! = 6$개인 가장 작은 비아벨 군이다(위수가 다섯 이하인 군이 모두 아벨이라는 사실은 다음 주 C19주차의 부분군$\cdot$라그랑주 정리가 준비된 뒤에 증명된다 — 지금은 인정하고 쓴다). 정삼각형의 대칭으로 읽으면 $\sigma$는 반사이고 $\tau$는 회전이며, 위 계산은 반사 뒤 회전한 결과와 회전 뒤 반사한 결과가 다르다는 뜻이다. ### 관찰 — 세 답안의 같은 뼈대 예제 2.1은 판정, 2.2는 증명, 2.3은 반증이다. 소재도 목표도 다르지만 뼈대가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자. | **걸음** | **예제 2.1 (판정)** | **예제 2.2 (증명)** | **예제 2.3 (반증)** | |---|---|---|---| | ① 무대와 쓸 공리를 선언 | "무대는 $\mathbb{Z}$와 $+$이다" | $\underline{\quad(1)\quad}$ | "$\sigma = (1\,2)$, $\tau = (1\,2\,3) \in S_3$" | | ② 공리와 정의를 등식으로 푼다 | "$0 + a = a + 0 = a$" | "$a * b = b * a = e$" | $\underline{\quad(2)\quad}$ | | ③ 목표 꼴을 만든다 | 걸음 ②~⑤ 네 줄을 모두 채운다 | $\underline{\quad(3)\quad}$ | 두 값이 다름을 보인다 | :::{container} quotebox **확인 16.** 빈칸 (1)~(3)을 채우고, 세 예제에서 ③이 요구하는 분량이 왜 서로 다른지 한 줄로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) "$b$와 $c$가 모두 $a$의 역원이라 하자" — 무대는 임의의 군 $G$이고 쓸 공리는 (G1)(G2)(G3)이다. (2) 합성의 정의를 원소마다 풀어 쓴 $1 \xrightarrow{\tau} 2 \xrightarrow{\sigma} 1$ 등의 계산. (3) 재결합으로 $b$와 $c$를 만나게 해 $b = c$를 얻는 다섯 등호. 분량이 다른 이유는 목표가 덮어야 할 범위가 다르기 때문이다. 예제 2.1의 $A$$\cdot$$C$ 판정과 예제 2.2의 "유일하다"는 모든 원소를 덮어야 하므로 길고, 예제 2.1의 $B$ 판정과 예제 2.3의 "아벨이 아니다"는 부정이라 증인 하나(한 쌍)면 끝난다. ::: 방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **군 답안의 3단 틀** ① 무대($G$와 $*$)와 다룰 원소를 선언하고 쓸 공리를 정한다 $\to$ ② 공리와 정의를 등식으로 풀어 쓴다 $\to$ ③ (G1)로 재결합하고 (G3)으로 항을 지워 목표 꼴을 만든다 (반증이면 증인 하나를 제시한다) ::: 이 틀은 다음 주 C19주차의 부분군$\cdot$동형 답안에서도 소재만 바꿔 그대로 쓰인다. ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6 해설에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다. ### 훈련 1 ●○○ — 수식과 절차 빈칸 **Result.** $(\mathbb{Z}_6, +)$는 아벨 군이다. **답안.** 무대는 집합 $\mathbb{Z}_6 = \{[0], [1], [2], [3], [4], [5]\}$와 연산 $+$이다. - 걸음 ② 닫힘: $[a] + [b] = [\underline{\quad(1)\quad}] \in \mathbb{Z}_6$ (C11주차의 well-defined). - 걸음 ③ 결합: $([a] + [b]) + [c] = [\underline{\quad(2)\quad}] = [a+(b+c)] = [a] + ([b] + [c])$ — 근거는 정수 덧셈의 결합법칙이다. - 걸음 ④ 항등원: $e = [\underline{\quad(3)\quad}]$이고, 모든 $[a]$에 대해 $[0] + [a] = [a] + [0] = [a]$이다. - 걸음 ⑤ 역원: $[a]$의 역원은 $[\underline{\quad(4)\quad}]$이다. 실제로 $[a] + [6-a] = [6] = [\underline{\quad(5)\quad}]$이다. 예를 들어 $[2]$의 역원은 $[4]$이다. - 교환: $[a] + [b] = [a+b] = [b+a] = [b] + [a]$이므로 $\underline{\quad(6)\quad}$ 군이다. - 이 군의 위수(원소 개수)는 $\underline{\quad(7)\quad}$이다. ### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께 이번에는 등호마다 근거도 빈칸이다. 정리 1.3의 오른쪽 소거를 증명한다. **Result.** 군 $(G, *)$에서 $b * a = c * a$이면 $b = c$이다. **증명.** $b * a = c * a$라 하자. $a$의 역원 $a^{-1}$이 $\underline{\quad(1)\quad}$에 의해 존재하므로, 양변의 **오른쪽**에 $a^{-1}$을 붙이면 $$ (b * a) * a^{-1} = (c * a) * a^{-1} $$ 이다. 좌변은 $\underline{\quad(2)\quad}$에 의해 $b * (a * a^{-1}) = b * \underline{\quad(3)\quad} = b$이고, 우변도 같은 방식으로 $\underline{\quad(4)\quad}$이다. 따라서 $b = c$이다. $\blacksquare$ $a^{-1}$을 오른쪽이 아니라 왼쪽에 붙이면 이 증명은 작동하지 않는다. 그 이유를 한 문장으로 적으면 $\underline{\quad(5)\quad}$이고, 이것이 정리 1.3에 왼쪽 소거와 오른쪽 소거가 **따로** 진술된 이유다. ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 이번에는 처음 보는 무대에서 다섯 걸음을 통째로 세운다. **Result.** $G = \{[1], [3], [5], [7]\} \subseteq \mathbb{Z}_8$은 곱셈에 대해 아벨 군이다. **답안의 뼈대.** 각 칸을 통째로 채운다. - (1) 걸음 ① 무대 선언: $\underline{\qquad}$ - (2) 걸음 ② 닫힘 — 곱셈표를 실제로 만들어 확인한다: $\underline{\qquad}$ - (3) 걸음 ③ 결합과 교환: $\underline{\qquad}$ - (4) 걸음 ④⑤ 항등원과 역원: $\underline{\qquad}$ - (5) 결론과 위수, 그리고 이 군을 문제 15의 $\{1, -1, i, -i\}$와 비교한 한 줄: $\underline{\qquad}$ ## 연습문제 (20문항) 해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 군 판정 문제는 다섯 걸음을 모두 적고, 정리 증명 문제는 등호마다 어느 공리를 썼는지 밝힌다. 이 두 가지가 이번 주 답안의 형식이다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 **근거**가 점수다. 이번 주 답안의 채점 항목은 넷이다. ① 판정 답안에 **무대**(집합과 연산)가 한 줄로 선언되어 있는가. "$\mathbb{Z}$는 군이다"는 아직 명제가 아니다. ② "군이다" 답안에 걸음 ②~⑤가 **모두** 적혀 있는가. 가장 흔한 누락은 걸음 ⑤(역원)와 걸음 ②(닫힘)다. ③ 항등원과 역원을 원소로 **지목**했는가. "존재한다"로 끝난 답안은 존재 주장을 되풀이한 것이지 확인한 것이 아니다. ④ 증명 답안의 각 등호에 **(G1)/(G2)/(G3) 중 무엇인지** 적혀 있는가. 특히 재결합 한 줄이 (G1)임을 밝혔는가. 난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** [백지] 이항연산, 군의 세 공리, 아벨 군, 항등원$\cdot$역원 유일성, 순열군을 쓰시오. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **힌트** 다섯 항목 모두 으로 표시된 상자에 있다(§1.3, §1.4, §1.6, §1.7). 조각의 이유까지 함께 떠올리면 잊은 조각을 남은 조각에서 복구할 수 있다 — (G2)에 "$e * a = a * e$" 양쪽이 들어간 이유는 §1.4의 해부 표에 적혀 있다. ::: **2.** 다음이 군인지 판정하시오 (아니면 어느 공리 실패). (a) $(\mathbb{N}, +)$ (b) $(\mathbb{Q}, +)$ (c) $(\mathbb{R} - \{0\}, \times)$ (d) $(\mathbb{Z}, -)$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 네 문항 모두 §1.2의 표에 같거나 비슷한 줄이 있다. (a)는 $\mathbb{N}$에 $0$을 넣는 관례와 넣지 않는 관례에서 무너지는 공리가 서로 다르므로 둘 다 밝힌다. (d)는 걸음 ⑤가 아니라 그보다 앞 걸음에서 먼저 무너진다 — 숫자 세 개로 확인된다. ::: **3.** 예제 2.1(군 판정)을 백지 재현하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 세 무대 각각에서 걸음 ①~⑤를 세로로 적는다. $C$에서 걸음 ②(닫힘)에 근거를 달았는지 반드시 확인한다 — 그 한 줄이 예제 2.1과 문제 10을 가른다. ::: **4.** §3의 빈칸 사다리 훈련 1~3을 백지에서 완성하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 세 훈련의 채점 지점은 값이 아니라 근거 낱말이다 — 훈련 1의 걸음 ③에 적힌 근거가 "$\mathbb{Z}_6$의 결합"이 아니라 "정수 덧셈의 결합"인 이유를 말할 수 있어야 하고, 훈련 2의 (1)(2)는 각각 어느 공리인지 이름으로 적혀야 한다. 훈련 3은 다섯 걸음의 순서만 먼저 세로로 적어 두고 칸을 채운다. ::: **5.** 예제 2.2(역원 유일성)를 백지 재현하시오 — 결합법칙 사용 지점 밑줄. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 다섯 등호 중 (G1)은 한 번만 쓰인다. 그 한 줄을 찾지 못하면 §1.4의 세 원소 표를 다시 보고, 그 표에서 역원이 둘이 되는 이유를 말로 적어 본다. ::: **6.** $(\mathbb{Z}_4, +)$의 각 원소의 역원을 구하시오 ($[0], [1], [2], [3]$). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 구하는 것은 $[a] + [x] = [0]$인 $[x]$다. 훈련 1의 (4)와 같은 요령이고 $6$ 자리에 $4$를 넣으면 된다. 자기 자신이 역원인 원소가 두 개 나오는데, 그것이 오류인지 아닌지는 검산으로 판정한다. ::: ### 표준 ●●○ **7.** 항등원 유일성을 증명하시오 (S13주차 얼굴 1 — $e_1 = e_1 * e_2 = e_2$). **8.** 소거법칙을 증명하시오 ($a*b = a*c \Rightarrow b = c$ — 역원을 양변에). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 훈련 2가 오른쪽 소거였다. 이 문제는 왼쪽이므로 $a^{-1}$을 양변의 **왼쪽**에 붙인다. 붙인 다음 곧바로 $b = c$가 나오지 않고 (G1)을 한 번 써야 한다는 것이 핵심이다. ::: **9.** $(\mathbb{Z}_5^*, \times)$가 군임을 확인하시오 (각 0 아닌 원소의 역원 — 예제 2.1 $C$; $5$ 소수라 전부 존재). **10.** 다음 제시된 증명을 평가하시오 (C5주차의 증명 평가 다섯 걸음). :::{container} quotebox **Result.** $(\mathbb{Z}_6^*, \times)$ (0 아닌 원소, 곱셈)는 군이다. **증명.** 결합$\cdot$교환$\cdot$항등원 $[1]$ 있음. 따라서 군. ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 답안이 건드리지 않은 걸음이 둘 있다. 하나는 걸음 ⑤이고, 다른 하나는 확인 12에서 이미 검사한 걸음이다. 두 곳 모두에서 반례 원소를 하나씩 제시할 수 있다. ::: **11.** $(fg)^{-1} = g^{-1} f^{-1}$ (역원의 역순, 신발–양말 정리의 군판)을 군에서 증명하시오 (C12주차 문제 16 — $(fg)(g^{-1}f^{-1}) = e$ 확인). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown "$(fg)$의 역원을 구한다"고 시작하면 막힌다. 대신 $g^{-1}f^{-1}$이 역원의 자격을 갖추는지 **검사**한다 — 곱해서 $e$가 되는지 양쪽 모두. 자격을 갖추면 정리 1.2가 "그것이 유일한 역원"이라고 마무리해 준다. ::: **12.** $(a^{-1})^{-1} = a$ (역원의 역원은 자신)를 증명하시오 (역원의 정의 + 유일성). **13.** $S_3$의 원소 6개를 모두 나열하고 (항등$\cdot$3순환 2개$\cdot$2순환 3개), 위수를 확인하시오 ($3! = 6$). **14.** 다음이 이항연산이 **아님**을 보이시오 (닫힘 실패). (a) $\mathbb{N}$의 뺄셈 ($3 - 5 \notin \mathbb{N}$). (b) 홀수 집합의 덧셈 ($3 + 5 = 8$ 짝수). ### 도전 ●●● **15.** (군 공리 종합) $G = \{1, -1, i, -i\}$ (복소수, 곱셈)가 군임을 증명하시오 (닫힘 표$\cdot$결합$\cdot$항등원 1$\cdot$역원 각각 — $i^{-1} = -i$ 등). 아벨인가? 위수 4. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 닫힘은 $4 \times 4$ 곱셈표 열여섯 칸을 실제로 채워야 한다. $i^2 = -1$ 하나만 알면 나머지 칸은 거기서 나온다. 결합은 표로 확인하지 않는다 — 복소수 곱셈의 결합법칙을 인용한다(근거 ②). ::: :::{admonition} 새 낱말 — 원소의 위수 (order of an element) :class: quotebox 군 $G$의 원소 $a$에 대해 $a^k$는 $a$를 $k$번 연산한 것을 뜻한다($a^1 = a$이고 $a^{k+1} = a^k * a$). $a^k = e$인 양의 정수 $k$가 존재할 때 그중 **가장 작은** $k$를 $a$의 **위수**라 한다. 군 전체의 원소 개수도 위수라 부르므로, 답안에서는 "원소 $a$의 위수"처럼 대상을 밝혀 적는다. 연산이 덧셈으로 적힌 무대에서는 $a^k$ 대신 $ka$로 쓴다 — $\mathbb{Z}_6$에서 $[2]$의 세제곱은 $3[2] = [2] + [2] + [2]$를 뜻한다. ::: **16.** (순열 합성) $S_3$에서 $(1\,2\,3) \circ (1\,2\,3)$과 $(1\,2\,3)^{-1}$을 구하시오. 3순환의 위수가 3임을 확인하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 예제 2.3처럼 $1, 2, 3$ 각각을 화살표 두 번으로 따라간다. 역원은 화살표를 거꾸로 읽으면 된다 — $1 \to 2 \to 3 \to 1$을 뒤집으면 어떤 순환 표기가 되는가. ::: :::{admonition} 이 문제가 빌려 쓰는 사실 — 라그랑주 정리 :class: quotebox "유한군에서 각 원소의 위수는 군의 위수를 나눈다"는 사실은 지금은 인정하고 쓴다. 증명에는 부분군과 잉여류가 필요하므로 다음 주 C19주차의 부분군 뒤에 놓일 내용이다. 이번 주에는 계산한 위수가 실제로 군의 위수를 나누는지 관찰하는 데까지만 쓴다. ::: **17.** (유한군 위수) $\mathbb{Z}_6$에서 $[2]$의 위수(§4의 새 낱말 상자)를 구하시오. 라그랑주 정리 맛보기(위수가 군 위수를 나눔 — $3 \mid 6$). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $[2]$, $[2] + [2]$, $[2] + [2] + [2]$를 차례로 계산해 처음으로 $[0]$이 나오는 자리를 찾는다. 이어서 $\mathbb{Z}_6$의 여섯 원소 전부에서 위수를 구해 $6$의 약수만 나오는지 확인하면 라그랑주 정리의 관찰이 완성된다. ::: **18.** (진단 종합) 다음 제시된 증명을 평가하시오. :::{container} quotebox **Result.** 군에서 $a * a = a$이면 $a = e$이다. **증명.** $a * a = a$이라 하자. 양변에 $a^{-1}$을 곱하면 $a^{-1}*(a*a) = a^{-1}*a$, 곧 $(a^{-1}*a)*a = e$, $e*a = e$, $a = e$. 따라서 성립. ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 평가의 판정은 옳음$\cdot$틀림$\cdot$불완전 셋 중 하나다(C5주차). 등호를 하나씩 따라가며 각 줄이 어느 공리에서 나오는지 옆에 적어 본다. 모든 줄에 공리를 붙일 수 있다면 논리는 성립하는 것이고, 그때 남는 물음은 답안의 형식에 관한 것이다. ::: :::{admonition} 새 도구 — $GL_2(\mathbb{R})$과 행렬식 :class: quotebox 문제 19의 무대는 성분이 실수인 $2 \times 2$ 행렬 중 **가역**인 것 전체이고 $GL_2(\mathbb{R})$로 쓴다. 행렬 곱이 결합적이라는 것, $\det(AB) = \det A \cdot \det B$, 그리고 "$A$가 가역인 것과 $\det A \neq 0$인 것이 동치"라는 사실은 이번 주에 증명하지 않고 인정하고 쓴다. 항등원 후보는 $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$이다. ::: **19.** (설계) $2 \times 2$ 가역 행렬의 집합 $GL_2(\mathbb{R})$이 행렬 곱에 대해 군임을 논하시오 (결합 ✓, 항등원 $I$, 역원: 가역이라 존재; 닫힘: 가역 곱은 가역). 비아벨임을 두 행렬로 보이시오 (행렬 곱은 순서 의존). "연속적 대칭의 군". :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 비아벨의 증인은 성분이 $0$과 $1$뿐인 두 행렬로 충분하다. 대각선 아래에 $1$을 하나 둔 것과 위에 $1$을 하나 둔 것을 두 순서로 곱해 본다. 둘 다 행렬식이 $1$이므로 무대 안의 원소임도 함께 밝힌다. ::: **20.** (서술) (a) 군이 "대칭을 대수로 만든 것"임을 예제 2.3($S_3$ = 삼각형 대칭)으로 뒷받침하고, 세 공리가 $\mathbb{Z}$$\cdot$$\mathbb{Z}_n$$\cdot$순열을 통합함을 세 문장 이내로. (b) 역원 유일성 증명(예제 2.2)에서 결합법칙이 핵심인 이유를 두 문장 이내 설명하시오. ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 이 과정의 한 주는 다섯 날로 나뉜다. 교안만 보는 주가 아니라 원서와 교안을 번갈아 읽는 주이므로, 백지 재현은 마지막 날에 놓인다. | **요일** | **할 일** | |---|---| | 1일차 | 원서 Chartrand 15.1~15.3 통독 — 모르는 문장은 표시만 하고 통과한다 | | 2일차 | 교안 §0~§2 — 개념과 예제. 확인 상자를 연필로 먼저 채운다 | | 3일차 | 원서 15.1~15.3 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서 연습문제 몇 개를 직접 시도한다 | | 4일차 | 교안 §3 빈칸 사다리와 §4 연습문제 20문항 | | 5일차 | 백지 재현 1차(틀 카드)$\cdot$2차(완전 백지) + 체크리스트 | **1차 시도 — 틀 카드 허용.** 군 판정의 다섯 걸음(§1.5)과 군 답안의 3단 틀(§2 관찰), 근거 목록(§1.8)만 한 장에 적어 펴 놓고, 예제 2.1과 2.2를 처음부터 끝까지 적는다. 정의와 본문은 보지 않는다. **2차 시도 — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다. - [ ] 정의 1.1(이항연산)을 세 조각 그대로 쓰고, 공역이 $G$라는 조각이 지키는 것을 한 문장으로 말했다. - [ ] 군의 세 공리 (G1)(G2)(G3)을 양쪽 등식과 (G2)의 존재-우선 어순까지 정확히 썼고, 아벨 군의 추가 조건을 덧붙였다. - [ ] 군 판정의 다섯 걸음을 순서대로 썼고, "군이 아니다"를 보일 때는 무너지는 걸음 하나만 잡으면 된다는 비대칭을 말했다(걸음 ⑤는 원소 하나, ②는 둘, ③은 셋, ④는 $e$를 몰아내는 논증). - [ ] 정리 1.1(항등원 유일)을 세 줄로 재현했고, 그 증명이 (G1)을 쓰지 않는다는 것을 확인했다. - [ ] 예제 2.2(역원 유일)를 다섯 등호로 재현했고, (G1)이 쓰인 한 줄에 밑줄을 그었다. - [ ] §1.4의 세 원소 표를 다시 만들어, 결합을 빼면 역원이 둘이 되는 것을 보였다. - [ ] 예제 2.1의 세 무대를 다섯 걸음으로 판정했고, $C$의 닫힘에 근거를 달았다. - [ ] 예제 2.3을 재현했고, 두 합성의 계산을 화살표로 각각 적었다. - [ ] 정의 1.3(순열군)을 쓰고, $S_n$이 군인 이유 네 가지를 C12주차의 정리로 댔다. - [ ] §1.8의 근거 목록을 재현하고, "표를 그려 보니 결합이 성립한다"가 왜 목록 밖인지 말했다. - [ ] 원서 15.1~15.3을 두 번 읽었고, 1일차에 표시한 문장이 모두 해결되었다. **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | 판정 답안의 첫 줄이 나오지 않는다 | §1.5 걸음 ① — 집합과 연산을 함께 적는 한 줄이 첫 문장이다 | | 군이 아님을 보이는데 답안이 길어진다 | 확인 9 — 부정은 무너지는 걸음 하나로 끝난다. 걸음 ⑤는 원소 하나, ②는 둘, ③은 셋, ④는 $e$를 식으로 몰아낸다 | | 닫힘을 늘 생략하게 된다 | 확인 12와 문제 10 — 무대에서 원소를 뺀 경우에는 닫힘이 자동이 아니다 | | 항등원까지 확인하고 답안을 끝낸다 | §1.5의 걸음 삭제 실험 — 생략된 걸음 ⑤가 오답을 만든 실제 사례가 문제 10이다 | | 유일성 증명에서 두 대상을 만나게 하지 못한다 | 확인 14 — $b * (a * c)$ 한 식에 둘을 넣는 것이 전부다 | | 재결합을 어디서 쓰는지 모르겠다 | 예제 2.2의 넷째 줄과 §1.4의 세 원소 표 | | 순열 합성의 방향이 헷갈린다 | §1.7의 표기 상자 — 오른쪽을 먼저 적용한다. 예제 2.3의 화살표를 그대로 따라 그린다 | | 무엇을 인용해도 되는지 모르겠다 | §1.8의 근거 목록 — 출처를 대면 인용, 못 대면 증명 | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) $a+b$ (2) $(a+b)+c$ (3) $0$ (4) $6-a$ (5) $0$ (6) 아벨 (7) $6$ ※ (2)를 채우고 나면 그 줄의 근거가 왜 "정수 덧셈의 결합법칙"으로 적혀 있는지가 드러난다. 근거를 "$\mathbb{Z}_6$의 결합법칙"이라 적으면 순환 논증이 된다 — 지금 보이려는 것이 그것이기 때문이다. 정확한 근거는 한 층 아래의 **정수 덧셈**이고, $[a] + [b] = [a+b]$라는 연산의 정의가 아래층의 법칙을 위층으로 올려 준다(C11주차의 well-defined). (4)의 $[6-a]$는 $a = 0$일 때 $[6] = [0]$이 되어 그대로 성립한다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) (G3) 역원 공리 (2) (G1) 결합 (3) $e$ (4) $c$ (5) $G$가 아벨이라는 가정이 없어 $a^{-1} * (b * a)$의 $a^{-1}$과 $a$를 만나게 할 수 없다 ※ 이 증명이 왼쪽에서 작동하지 않는 이유를 한 번 더 적어 둔다. 왼쪽에 붙이면 $a^{-1} * (b * a)$가 되고, (G1)로 괄호를 옮기면 $(a^{-1} * b) * a$가 되어 지우려던 $a^{-1}$과 $a$가 여전히 떨어져 있다. 소거하려는 항과 곱하는 위치가 **맞닿아야** (G1) 한 번으로 $e$가 만들어진다. 이것이 왼쪽 소거와 오른쪽 소거를 따로 진술하는 이유이고, 아벨 군에서는 둘이 하나로 합쳐진다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) 무대는 집합 $G = \{[1], [3], [5], [7]\} \subseteq \mathbb{Z}_8$과 $\mathbb{Z}_8$의 곱셈이다. (2) 곱셈표를 만든다. $[3][3] = [9] = [1]$, $[3][5] = [15] = [7]$, $[3][7] = [21] = [5]$, $[5][5] = [25] = [1]$, $[5][7] = [35] = [3]$, $[7][7] = [49] = [1]$이고 $[1]$과의 곱은 그대로다. 열여섯 칸의 값이 모두 $G$ 안에 있으므로 닫힘이 성립한다. (3) 결합과 교환은 $\mathbb{Z}_8$의 곱셈에서 상속되고, $\mathbb{Z}_8$의 곱셈은 정수 곱셈에서 상속된다(근거 ②, C11주차의 well-defined). 표로 확인하지 않는다. (4) 항등원은 $[1]$이다. 역원은 (2)의 표에서 읽는다 — $[1][1] = [1]$, $[3][3] = [1]$, $[5][5] = [1]$, $[7][7] = [1]$이므로 네 원소가 모두 자기 자신의 역원이다. (5) 따라서 $G$는 아벨 군이고 위수는 $4$다. 문제 15의 $\{1, -1, i, -i\}$도 위수 $4$인 아벨 군이지만 그쪽에서는 $i^2 = -1 \neq 1$이라 $i$의 위수가 $4$인 반면, 이 군에서는 항등원이 아닌 세 원소의 위수가 모두 $2$다. 위수가 같아도 곱셈표의 모양이 다르다. ※ 위수 $4$인 군이 서로 다른 모양으로 두 개 있다는 이 관찰이 다음 주 C19주차의 동형(isomorphism)이 답할 물음이다 — "같은 군인가"를 판정하는 기준이 필요하다. ### 문제 1 **접근.** 백지 재현 문항이다. 다섯 항목을 순서대로 적되, 각 항목마다 "이 조각이 없으면 무엇이 무너지는가"를 한 줄씩 덧붙이면 채점과 복구가 동시에 된다. **풀이.** 모범 답안은 다음 다섯 항목이다. **① 이항연산.** 집합 $G$ 위의 이항연산 $*$은 함수 $* : G \times G \to G$다. 공역이 $G$라는 조각에 닫힘이 들어 있고, 그 조각이 있어야 $(a * b) * c$를 쓸 수 있다. **② 군의 세 공리.** $(G, *)$가 군이라는 것은 (G1) 모든 $a, b, c$에 대해 $(a*b)*c = a*(b*c)$, (G2) 어떤 $e \in G$가 존재하여 모든 $a$에 대해 $e*a = a*e = a$, (G3) 각 $a$에 대해 $a*b = b*a = e$인 $b \in G$가 존재한다는 뜻이다. (G2)와 (G3)은 양화사의 순서가 반대다 — (G2)는 $e$ 하나가 모든 $a$를 상대하고, (G3)은 $a$마다 제 $b$를 고른다. **③ 아벨 군.** 위의 셋에 더해 모든 $a, b$에 대해 $a * b = b * a$이면 아벨 군이다. 교환은 공리 목록 안이 아니라 밖에 있다. **④ 항등원$\cdot$역원의 유일성.** 항등원은 유일하다($e_1 = e_1 * e_2 = e_2$). 각 원소의 역원도 유일하다($b = b*e = b*(a*c) = (b*a)*c = e*c = c$). 앞의 증명은 (G2)만 쓰고, 뒤의 증명은 (G1)을 한 번 쓴다. **⑤ 순열군.** $X_n = \{1, \dots, n\}$ 위의 전단사를 순열이라 하고, 모든 순열의 집합에 합성을 준 것이 $S_n$이다. 위수는 $n!$이고 $n \ge 3$에서 아벨이 아니다. **복기.** 다섯 항목의 순서 자체가 의존 관계다 — ①이 있어야 (G1)을 진술할 수 있고, (G2)가 있어야 (G3)을 진술할 수 있으며, (G1)이 있어야 ④의 뒷부분이 성립한다. 항목을 잊었을 때 이 의존 관계를 따라가면 남은 항목에서 복구할 수 있다. ### 문제 2 **접근.** 네 무대 모두 다섯 걸음으로 판정한다. "군이 아니다"라고 답할 때는 어느 걸음에서 무너지는지와 그 자리의 반례 원소를 함께 적어야 답안이 완결된다. **풀이.** **(a) $(\mathbb{N}, +)$ — 군이 아니다.** $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$으로 두는 관례에서는 걸음 ④에서 무너진다. $e + a = a$이려면 $e = 0$이어야 하는데 $0 \notin \mathbb{N}$이므로 (G2)가 성립하지 않는다. $\mathbb{N}$에 $0$을 포함하는 관례에서는 걸음 ④는 통과하고($e = 0$) 걸음 ⑤에서 무너진다 — $a = 1$에 대해 $1 + x = 0$인 $x$는 $-1$이고 $-1 \notin \mathbb{N}$이므로 (G3)이 성립하지 않는다. 어느 관례에서든 닫힘과 결합은 성립한다. **(b) $(\mathbb{Q}, +)$ — 아벨 군이다.** 닫힘: 유리수의 합은 유리수. 결합: 유리수 덧셈의 결합법칙(근거 ②). 항등원: $e = 0$이고 $0 + a = a + 0 = a$. 역원: 각 $a$에 대해 $-a \in \mathbb{Q}$이고 $a + (-a) = (-a) + a = 0$. 교환도 성립하므로 아벨 군이다. **(c) $(\mathbb{R} - \{0\}, \times)$ — 아벨 군이다.** 닫힘: $a \neq 0$이고 $b \neq 0$이면 $ab \neq 0$이므로 결과가 무대 안에 남는다(이 무대는 $0$을 뺐으므로 닫힘을 반드시 확인한다). 결합: 실수 곱셈의 결합법칙. 항등원: $e = 1$. 역원: 각 $a \neq 0$에 대해 $\tfrac1a \in \mathbb{R} - \{0\}$이고 $a \cdot \tfrac1a = \tfrac1a \cdot a = 1$. 교환도 성립하므로 아벨 군이다. $0$을 빼지 않으면 $0 \cdot x = 1$인 $x$가 없어 걸음 ⑤가 무너진다 — 원소 하나 때문에 전체가 군이 아니게 된다. **(d) $(\mathbb{Z}, -)$ — 군이 아니다.** 걸음 ②는 통과하지만(정수의 차는 정수) 걸음 ③에서 무너진다: $(5 - 3) - 1 = 2 - 1 = 1$이고 $5 - (3 - 1) = 5 - 2 = 3$이므로 $1 \neq 3$이고 (G1)이 성립하지 않는다. 걸음 ④도 무너진다. 항등원 후보 $e$가 있다면 모든 $a$에 대해 $a * e = a$, 곧 $a - e = a$이어야 하므로 $e = 0$이 강제된다. 그런데 $0 - a = -a \neq a$($a \neq 0$)이므로 왼쪽에서 실패한다. 따라서 양쪽에서 작동하는 항등원은 없다 — 후보 하나를 배제한 것이 아니라 모든 후보를 $0$으로 몰아낸 뒤 그 $0$을 배제한 것이다. **검산.** (a)와 (d)는 §1.2 표의 둘째$\cdot$셋째 줄과 일치하고, (b)와 (c)는 첫째$\cdot$다섯째 줄과 같은 모양이다. **복기.** 네 문항이 무너지는 자리가 걸음 ③, ④, ⑤로 서로 다르다. 판정 답안을 쓸 때 습관적으로 역원만 확인하면 (d)처럼 걸음 ③에서 이미 무너진 경우를 놓친다 — 다섯 걸음을 순서대로 밟는 이유가 이것이다. ### 문제 3 **접근.** 예제 2.1의 재현이다. 채점 항목은 셋이다 — 세 무대 각각에 걸음 ①이 있는가, $A$와 $C$에 걸음 ②~⑤가 모두 있는가, $B$에 무너지는 걸음과 증인 원소가 지목되어 있는가. **풀이.** $A = (\mathbb{Z}, +)$: 무대 선언 $\to$ 닫힘(정수의 합은 정수) $\to$ 결합(정수 덧셈의 결합법칙) $\to$ 항등원 $0$, $0 + a = a + 0 = a$ $\to$ 역원 $-a$, $a + (-a) = (-a) + a = 0$ $\to$ 군이고 교환도 성립하므로 아벨 군. $B = (\mathbb{Z}, \times)$: 무대 선언 $\to$ 닫힘$\cdot$결합 성립, 항등원 $1$ $\to$ 그러나 $a = 2$에 대해 $2x = 1$인 정수 $x$가 없으므로 (G3) 실패 $\to$ 군이 아니다. $C = (\mathbb{Z}_5 - \{[0]\}, \times) = \{[1], [2], [3], [4]\}$: 무대 선언 $\to$ 닫힘($5$가 소수라 $\mathbb{Z}_5$에 영인자가 없으므로 $[0]$ 아닌 둘의 곱은 $[0]$이 아니다) $\to$ 결합$\cdot$교환($\mathbb{Z}$의 곱셈에서 상속) $\to$ 항등원 $[1]$ $\to$ 역원 $[1]^{-1} = [1]$, $[2]^{-1} = [3]$, $[3]^{-1} = [2]$, $[4]^{-1} = [4]$ $\to$ 아벨 군. **검산.** $C$의 역원을 곱으로 확인한다: $[2][3] = [6] = [1]$ ✓, $[4][4] = [16] = [1]$ ✓, $[1][1] = [1]$ ✓. 네 원소 모두 역원이 무대 안에 있다. **복기.** $C$의 닫힘 한 줄이 이 예제의 핵심이다. 그 줄이 없으면 같은 형식의 답안이 $\mathbb{Z}_6$에서 그대로 오답이 된다(문제 10). 무대에서 원소를 뺀 경우에는 닫힘을 반드시 따로 확인한다. ### 문제 4 **접근.** 사다리 세 훈련의 답은 위의 세 항목에 있다. 대조할 때는 값이 맞는지보다 근거 낱말이 맞는지를 본다 — 훈련 2의 (1)(2)가 각각 (G3)과 (G1)인 것, 훈련 1의 걸음 ③에 적힌 근거가 "$\mathbb{Z}_6$의 결합"이 아니라 "정수 덧셈의 결합"인 것이 채점 지점이다. **풀이.** 훈련 1: (1) $a+b$ (2) $(a+b)+c$ (3) $0$ (4) $6-a$ (5) $0$ (6) 아벨 (7) $6$. 훈련 2: (1) (G3) (2) (G1) (3) $e$ (4) $c$ (5) 아벨이라는 가정이 없어 $a^{-1}$과 $a$를 맞닿게 할 수 없다는 것. 훈련 3: 위의 다섯 항목 그대로. **자주 틀리는 지점.** 훈련 1 (4)에 $[-a]$라고 적는 경우가 많다. $[-a] = [6-a]$이므로 값은 같지만, $\mathbb{Z}_6$의 원소를 $[0]$~$[5]$로 적기로 한 관례에서는 $[6-a]$가 표준 표기다. 훈련 3 (3)에서 결합의 근거를 곱셈표로 대는 경우가 많은데, 표로 확인하려면 세 원소 조합 $4^3 = 64$개를 대조해야 한다 — 상속을 인용하는 편이 짧고 정확하다. **복기.** 사다리 채점은 값이 아니라 근거 낱말을 본다. 위층($\mathbb{Z}_n$)의 법칙을 아래층(정수)에서 찾는 습관은 $\mathbb{Z}_n$이 등장하는 모든 주차에서 그대로 쓰이고, 훈련 3의 $\mathbb{Z}_8$과 문제 9의 $\mathbb{Z}_5$가 같은 요령으로 풀린다. ### 문제 5 **접근.** 예제 2.2의 재현이고, 추가 요구는 (G1)이 쓰인 자리에 밑줄을 긋는 것이다. 다섯 등호 중 (G1)은 정확히 한 번 쓰인다. **풀이.** $b$와 $c$가 모두 $a$의 역원이라 하자. 곧 $a * b = b * a = e$이고 $a * c = c * a = e$이다. 그러면 $$ b = b * e = b * (a * c) = \underline{(b * a) * c} = e * c = c $$ 이고, 따라서 $a$의 역원은 유일하다. $\blacksquare$ 밑줄 친 등호가 (G1) 결합이다. 나머지 등호의 근거는 차례로 (G2), $c$가 역원이라는 가정, $b$가 역원이라는 가정, (G2)다. **복기.** 재결합이 필요한 이유는 지워야 할 짝 $b$와 $a$가 처음에는 괄호로 갈라져 있기 때문이다. $b * (a * c)$에서 $b$와 $a$는 이웃해 있지만 괄호가 다르므로 $b * a$를 $e$로 바꿀 수 없다. 괄호를 옮겨 둘을 같은 괄호에 넣는 것이 (G1)이 하는 일 전부다. 훈련 2의 (5)에서 왼쪽 소거가 안 되는 이유도 같은 구조다 — 지울 짝을 맞닿게 만들 수 있는가가 관건이다. ### 문제 6 **접근.** 구하는 것은 $[a] + [x] = [0]$인 $[x]$이므로 $[x] = [4-a]$다. 훈련 1에서 $6$이던 자리에 $4$가 들어간다. 유한 무대이므로 네 원소를 전수로 적는다. **풀이.** $\mathbb{Z}_4 = \{[0], [1], [2], [3]\}$에서 각 원소의 덧셈 역원은 다음과 같다. $[0]$의 역원은 $[0]$이다: $[0] + [0] = [0]$. $[1]$의 역원은 $[3]$이다: $[1] + [3] = [4] = [0]$. $[2]$의 역원은 $[2]$이다: $[2] + [2] = [4] = [0]$. $[3]$의 역원은 $[1]$이다: $[3] + [1] = [4] = [0]$. **검산.** 네 등식 모두 좌변의 정수 합이 $0$ 또는 $4$이고, $\mathbb{Z}_4$에서 $[4] = [0]$이 므로 성립한다. 또 역원 관계는 서로 짝이 되어야 하는데 $[1]$과 $[3]$이 서로의 역원으로 맞물리고, $[0]$과 $[2]$는 각자 자기 자신이다 — 짝이 어긋난 곳이 없다. **복기.** 자기 자신이 역원인 원소가 둘($[0]$과 $[2]$) 나오는 것은 오류가 아니다. $[2]$의 위수가 $2$라는 뜻이고, 문제 17의 위수 계산과 같은 현상이다. 일반적으로 $\mathbb{Z}_n$에서 $[a]$가 자기 자신의 역원인 것은 $2a \equiv 0 \pmod n$일 때이고, $n$이 짝수이면 $[0]$과 $[n/2]$ 두 원소가 그렇다. ### 문제 7 **접근.** 유일성 서식 그대로다 — 항등원이 둘 있다고 가정하고 같음을 보인다 (S13주차 얼굴 1). 도구는 (G2) 하나뿐이고 (G1)도 (G3)도 쓰지 않는다. **풀이.** $e_1$과 $e_2$가 둘 다 군 $(G, *)$의 항등원이라 하자. $e_2$가 항등원이므로 모든 $x$에 대해 $x * e_2 = x$이고, 특히 $x = e_1$을 넣으면 $e_1 * e_2 = e_1$이다. 한편 $e_1$이 항등원이므로 모든 $x$에 대해 $e_1 * x = x$이고, 특히 $x = e_2$를 넣으면 $e_1 * e_2 = e_2$이다. 따라서 $$ e_1 = e_1 * e_2 = e_2 $$ 이고 항등원은 유일하다. $\blacksquare$ **복기.** 이 논법은 "각자가 상대를 자기로 만드는 성질을 갖고 있으므로, 둘을 한 식에 넣으면 그 식이 양쪽 모두와 같아진다"로 요약된다. 연산 기호를 바꿔도 그대로 작동하고, S13주차 문제 9의 덧셈판이 바로 이 구조였다. 유일성이 확보되어야 "그 항등원"이라 정관사를 붙일 수 있고, $e$라는 한 글자 표기가 정당해진다. ### 문제 8 **접근.** 소거는 곱셈의 성질이 아니라 역원의 성질이다. $a$를 지우려면 $a^{-1}$을 곱해야 하고, 왼쪽에 있는 $a$는 왼쪽에 붙여야 맞닿는다. 붙인 다음 (G1)로 괄호를 옮겨야 $a^{-1} * a$가 한 괄호에 들어간다. **풀이.** $a * b = a * c$라 하자. (G3)에 의해 $a^{-1} \in G$가 존재하므로 양변의 **왼쪽**에 $a^{-1}$을 붙이면 $$ a^{-1} * (a * b) = a^{-1} * (a * c) $$ 이다. (G1)에 의해 좌변은 $(a^{-1} * a) * b$이고 우변은 $(a^{-1} * a) * c$이다. (G3)에 의해 $a^{-1} * a = e$이므로 이는 $e * b = e * c$이고, (G2)에 의해 $b = c$이다. $\blacksquare$ 오른쪽 소거($b * a = c * a \Rightarrow b = c$)는 $a^{-1}$을 양변의 오른쪽에 붙여 같은 방식으로 얻는다 — 그 증명이 §3 훈련 2다. **복기.** 이 증명이 쓴 공리는 (G3) $\to$ (G1) $\to$ (G3) $\to$ (G2) 순이다. 순서가 중요하다: (G1)을 쓰기 전에는 $a^{-1}$과 $a$가 서로 다른 괄호에 있어 지울 수 없다. 1권 38주차 문제 11에서 $\mathbb{Z}_6$의 $[3][x] = [3][y]$인데 $[x] \neq [y]$인 반례를 만든 것은, 그 무대에 $[3]^{-1}$이 없어 첫 걸음부터 시작할 수 없기 때문이었다. ### 문제 9 **접근.** 예제 2.1의 $C$와 같은 무대다. 다섯 걸음을 모두 적되, 닫힘에 근거를 대는 것과 역원을 전수로 제시하는 것이 채점 지점이다. **풀이.** 무대는 $\mathbb{Z}_5^* = \mathbb{Z}_5 - \{[0]\} = \{[1], [2], [3], [4]\}$와 $\mathbb{Z}_5$의 곱셈이다. 닫힘: $[a][b] = [ab]$이고, $5$가 소수이므로 $5 \mid ab$이면 $5 \mid a$ 또는 $5 \mid b$이다 (유클리드 보조정리, C15주차). 따라서 $[a] \neq [0]$이고 $[b] \neq [0]$이면 $[ab] \neq [0]$이므로 곱이 무대 안에 남는다(1권 38주차 문제 15). 결합과 교환: $\mathbb{Z}_5$의 곱셈은 정수 곱셈에서 상속된다 — $([a][b])[c] = [(ab)c] = [a(bc)] = [a]([b][c])$이고 $[a][b] = [ab] = [ba] = [b][a]$이다. 항등원: $[1]$이다. 모든 $[a]$에 대해 $[1][a] = [a][1] = [a]$이다. 역원: $[1][1] = [1]$, $[2][3] = [6] = [1]$, $[3][2] = [1]$, $[4][4] = [16] = [1]$이므로 $[1]^{-1} = [1]$, $[2]^{-1} = [3]$, $[3]^{-1} = [2]$, $[4]^{-1} = [4]$이다. 네 원소 모두 역원이 무대 안에 있다. 따라서 $(\mathbb{Z}_5^*, \times)$는 아벨 군이고 위수는 $4$다. $\blacksquare$ **검산.** $[6] = [1]$은 $6 - 1 = 5$가 $5$의 배수이므로 성립하고, $[16] = [1]$은 $16 - 1 = 15$가 $5$의 배수이므로 성립한다. **복기.** 역원이 전부 존재하는 이유는 $5$가 소수라는 사실 하나에서 온다. 소수가 아니면 무너진다는 것이 문제 10이고, 두 문제를 나란히 읽으면 "소수 모듈러스가 곱셈군을 만든다"는 문장의 근거가 정확히 무엇인지 드러난다. ### 문제 10 **접근.** 증명 평가의 다섯 걸음(C5주차)을 답안에 돌린다. 이 답안이 확인한 것은 결합$\cdot$교환$\cdot$항등원 셋이고, 군 판정의 다섯 걸음 중 **걸음 ②(닫힘)와 걸음 ⑤(역원)**를 건드리지 않았다. 두 곳 모두에서 실제로 반례가 나오므로 판정은 "틀림"이다. **풀이.** 판정: **틀림**. 무대 $\mathbb{Z}_6^* = \{[1], [2], [3], [4], [5]\}$와 곱셈은 군이 아니다. 두 곳이 무너진다. 첫째, 걸음 ②(닫힘)가 무너진다. $[2] \in \mathbb{Z}_6^*$이고 $[3] \in \mathbb{Z}_6^*$인데 $[2][3] = [6] = [0] \notin \mathbb{Z}_6^*$이다(C11주차 문제 12). 곱이 무대 밖으로 나가므로 곱셈은 이 무대 위의 이항연산조차 아니다. 둘째, 걸음 ⑤(역원)가 무너진다. $[2]$의 역원 후보를 전수로 확인하면 $[2][1] = [2]$, $[2][2] = [4]$, $[2][3] = [0]$, $[2][4] = [8] = [2]$, $[2][5] = [10] = [4]$이므로 $[2][x] = [1]$이 되는 $x$가 없다. 따라서 답안이 검사한 세 항목이 모두 옳다 하더라도 결론은 거짓이다. 결함의 위치는 "따라서 군"이라고 적은 마지막 줄이다 — 검사하지 않은 두 조건을 검사한 것처럼 결론에 포함시켰다. **복기.** 이 답안이 그럴듯한 이유는 확인한 세 항목이 실제로 참이기 때문이다. 증명 평가에서 검사할 것은 적힌 줄의 참$\cdot$거짓만이 아니라 **적히지 않은 줄**이다. 군 판정 답안에서 가장 자주 빠지는 두 줄이 정확히 닫힘과 역원이고, 이 문제가 그 둘을 한꺼번에 보여 준다. **덧붙임.** $\mathbb{Z}_6$에서 곱셈군을 만들려면 무대를 "$6$과 서로소인 잉여류" $\{[1], [5]\}$로 잡아야 한다. 그러면 $[5][5] = [25] = [1]$이므로 닫힘과 역원이 함께 성립하고 위수 $2$인 아벨 군이 된다. ### 문제 11 **접근.** 역원을 "구하는" 문제가 아니라 후보의 **자격을 검사하는** 문제로 바꾼다. $g^{-1} f^{-1}$을 $fg$에 양쪽에서 곱해 $e$가 나오면, 정리 1.2(역원의 유일성)가 "그것이 $fg$의 역원"이라고 마무리해 준다. **풀이.** 군 $(G, *)$의 원소 $f, g$에 대해 $fg$는 $f * g$를 뜻한다. 먼저 $$ (fg)(g^{-1}f^{-1}) = f(g g^{-1})f^{-1} = f e f^{-1} = f f^{-1} = e $$ 이다. 첫 등호는 (G1)을 **두 번** 적용한 것이고 — 먼저 $(f * g) * (g^{-1} * f^{-1})$을 $f * (g * (g^{-1} * f^{-1}))$로, 다시 안쪽을 $(g * g^{-1}) * f^{-1}$로 옮긴다 — 둘째가 (G3), 셋째가 (G2), 넷째가 (G3)이다. 괄호를 생략해 적을 수 있는 것은 §1.4에서 인정하고 쓰기로 한 일반 결합법칙 덕이다. 다음으로 $$ (g^{-1}f^{-1})(fg) = g^{-1}(f^{-1}f)g = g^{-1} e g = g^{-1} g = e $$ 이고 근거는 같은 순서다 — 첫 등호는 여기서도 (G1)을 두 번 쓴다. 따라서 $g^{-1}f^{-1}$은 $fg$의 역원의 자격을 양쪽에서 만족한다. 정리 1.2에 의해 $fg$의 역원은 유일하므로 $(fg)^{-1} = g^{-1}f^{-1}$이다. $\blacksquare$ **검산.** $S_3$에서 확인한다. $f = (1\,2)$, $g = (1\,2\,3)$이면 예제 2.3에서 $fg = (2\,3)$이고, $(2\,3)^{-1} = (2\,3)$이다. 한편 $g^{-1} = (1\,3\,2)$, $f^{-1} = (1\,2)$이므로 $g^{-1}f^{-1} = (1\,3\,2) \circ (1\,2)$를 계산하면 $1 \to 2 \to 1$, $2 \to 1 \to 3$, $3 \to 3 \to 2$이므로 $(2\,3)$이다. 일치한다. **복기.** 순서가 뒤집히는 이유는 안쪽에서부터 지워야 하기 때문이다. $fg$의 오른쪽에 무언가를 붙여 지우려면 가장 가까운 $g$부터 만나야 하므로 $g^{-1}$이 먼저 온다. 같은 구조가 1권 43주차 문제 15(신발–양말 정리)와 C12주차 문제 16에 있었고, 거기서는 함수와 합성으로, 여기서는 군의 원소와 $*$로 적혔을 뿐이다. §1.1에서 본 "무대마다 다시 쓰던 증명"이 한 번으로 줄어든 실례다. ### 문제 12 **접근.** $(a^{-1})^{-1}$은 "$a^{-1}$의 역원"이다. 그러니 $a$가 $a^{-1}$의 역원 자격을 갖추는지 확인하고, 유일성으로 마무리한다. 문제 11과 같은 전략이다. **풀이.** (G3)에 의해 $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$이다. 이 등식을 $a^{-1}$을 주인공으로 읽으면, $a$는 $a^{-1}$에 양쪽에서 곱해 $e$를 만드는 원소다 — 곧 $a$는 $a^{-1}$의 역원의 자격을 만족한다. 정리 1.2에 의해 $a^{-1}$의 역원은 유일하므로 $(a^{-1})^{-1} = a$이다. $\blacksquare$ **검산.** $\mathbb{Z}_6$에서 $[2]^{-1} = [4]$이고 $[4]^{-1} = [2]$이므로 $([2]^{-1})^{-1} = [2]$다. $S_3$에서 $(1\,2\,3)^{-1} = (1\,3\,2)$이고 $(1\,3\,2)^{-1} = (1\,2\,3)$이다(문제 16). **복기.** 새로 계산한 것이 하나도 없다는 점이 이 증명의 특징이다. (G3)의 등식은 $a$와 $a^{-1}$에 대해 **대칭**이고, 그 대칭을 읽는 방향만 바꾸면 결론이 나온다. "이미 가진 등식을 다른 주인공으로 다시 읽는다"는 것은 이후에도 자주 쓰는 수법이다. ### 문제 13 **접근.** $S_3$의 원소는 $\{1,2,3\}$ 위의 전단사이고, 전단사는 $1, 2, 3$의 상을 차례로 정하는 방식으로 헤아린다. 순환 표기로 적을 때는 고정되는 원소를 생략한다. **풀이.** $S_3$의 여섯 원소는 다음과 같다. $\mathrm{id}$: $1 \mapsto 1$, $2 \mapsto 2$, $3 \mapsto 3$ (항등순열, 1개). $(1\,2)$: $1 \mapsto 2$, $2 \mapsto 1$, $3 \mapsto 3$. $(1\,3)$: $1 \mapsto 3$, $3 \mapsto 1$, $2 \mapsto 2$. $(2\,3)$: $2 \mapsto 3$, $3 \mapsto 2$, $1 \mapsto 1$ (2순환 3개). $(1\,2\,3)$: $1 \mapsto 2$, $2 \mapsto 3$, $3 \mapsto 1$. $(1\,3\,2)$: $1 \mapsto 3$, $3 \mapsto 2$, $2 \mapsto 1$ (3순환 2개). $1 + 3 + 2 = 6 = 3!$이므로 위수는 $6$이다. $\blacksquare$ **검산.** 세기를 다른 방법으로 다시 한다. $1$의 상을 정하는 방법이 $3$가지, 남은 값 중에서 $2$의 상을 정하는 방법이 $2$가지, $3$의 상은 남은 하나로 강제되므로 $3 \times 2 \times 1 = 6$이다(C16주차의 곱셈 원리). 두 셈이 일치한다. **복기.** 순환 표기의 개수를 셀 때 $(1\,2\,3)$과 $(2\,3\,1)$과 $(3\,1\,2)$가 같은 순열임에 주의한다 — 순환은 시작점을 어디로 잡아도 같은 대응을 준다. 3순환을 $3! = 6$개로 세지 않고 $2$개로 세는 이유가 이것이다. ### 문제 14 **접근.** 이항연산이 아님을 보이는 것은 닫힘의 부정, 곧 존재 주장이다. 무대 안의 원소 두 개를 지목하고 그 연산 결과가 무대 밖임을 보이면 끝난다 — 반례 하나면 충분하다. **풀이.** **(a) $\mathbb{N}$의 뺄셈.** $3 \in \mathbb{N}$이고 $5 \in \mathbb{N}$이다. 그런데 $3 - 5 = -2$이고 $-2 \notin \mathbb{N}$이다. 따라서 뺄셈은 $\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$의 함수가 아니므로 $\mathbb{N}$ 위의 이항연산이 아니다. $\blacksquare$ **(b) 홀수 집합의 덧셈.** $O$를 홀수 전체의 집합이라 하자. $3 \in O$이고 $5 \in O$이다. 그런데 $3 + 5 = 8 = 2 \times 4$이므로 $8$은 짝수이고 $8 \notin O$이다. 따라서 덧셈은 $O$ 위의 이항연산이 아니다. $\blacksquare$ **복기.** 두 반례 모두 정의 1.1의 셋째 조각 — 공역이 $G$라는 조각 — 을 정면으로 위반한다. §1.3의 조각 삭제 실험에서 그 조각을 지우면 $\mathbb{N}$의 뺄셈이 통과한다고 했는데, 이 문제가 그 실험의 실물이다. (b)는 덧붙여, 홀수 집합이 덧셈에 대해 닫히지 않는 대신 곱셈에 대해서는 닫힌다는 것도 확인해 두면 좋다($3 \times 5 = 15$는 홀수). ### 문제 15 **접근.** 유한 무대이므로 걸음 ②(닫힘)는 곱셈표를 실제로 채워 확인하고, 걸음 ③은 복소수 곱셈에서 상속받아 인용한다. $i^2 = -1$ 하나에서 표의 모든 칸이 나온다. **풀이.** 무대는 $G = \{1, -1, i, -i\}$와 복소수 곱셈이다. 걸음 ② 닫힘. 곱셈표는 다음과 같다. | **$\times$** | **$1$** | **$-1$** | **$i$** | **$-i$** | |---|---|---|---|---| | $1$ | $1$ | $-1$ | $i$ | $-i$ | | $-1$ | $-1$ | $1$ | $-i$ | $i$ | | $i$ | $i$ | $-i$ | $-1$ | $1$ | | $-i$ | $-i$ | $i$ | $1$ | $-1$ | 계산의 근거는 $i^2 = -1$이다: $i \cdot i = -1$, $i \cdot (-i) = -i^2 = 1$, $(-i)(-i) = i^2 = -1$, $(-1)(-1) = 1$이다. 열여섯 칸의 값이 모두 $G$ 안에 있으므로 닫힘이 성립한다. 걸음 ③ 결합과 교환. 복소수 곱셈의 결합법칙과 교환법칙에서 상속된다(근거 ②). 걸음 ④ 항등원. $e = 1$이고 모든 $a \in G$에 대해 $1 \cdot a = a \cdot 1 = a$이다. 걸음 ⑤ 역원. $1^{-1} = 1$, $(-1)^{-1} = -1$ ($(-1)(-1) = 1$), $i^{-1} = -i$ ($i(-i) = 1$), $(-i)^{-1} = i$이다. 네 원소 모두 역원이 $G$ 안에 있다. 따라서 $G$는 군이고, 교환도 성립하므로 **아벨 군**이며 위수는 $4$다. $\blacksquare$ **검산.** 곱셈표가 아벨임은 표가 주대각선에 대해 대칭인 것으로 확인된다. 실제로 $(2,3)$칸과 $(3,2)$칸이 모두 $-i$이고, $(2,4)$칸과 $(4,2)$칸이 모두 $i$다. **복기.** $i$의 거듭제곱을 보면 $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$이므로 $G$의 네 원소가 모두 $i$의 거듭제곱으로 나온다 — $i$의 위수가 $4$이고, 한 원소가 군 전체를 만든다. 훈련 3의 $\{[1],[3],[5],[7]\} \subseteq \mathbb{Z}_8$은 위수가 같은 $4$인데 항등원 아닌 세 원소의 위수가 모두 $2$라 그런 원소가 없다. 위수가 같아도 구조가 다를 수 있다는 것 — 이 물음을 정면으로 다루는 것이 다음 주 C19주차다. ### 문제 16 **접근.** 예제 2.3과 같은 계산이다. $1, 2, 3$ 각각에 $(1\,2\,3)$을 두 번 적용해 합성을 구하고, 역원은 대응을 거꾸로 읽어 구한다. 위수는 거듭제곱이 처음으로 $\mathrm{id}$가 되는 지수다. **풀이.** $\tau = (1\,2\,3)$이라 하자. 곧 $1 \mapsto 2$, $2 \mapsto 3$, $3 \mapsto 1$이다. $\tau \circ \tau$: $1 \to 2 \to 3$, $2 \to 3 \to 1$, $3 \to 1 \to 2$이므로 $\tau^2$은 $1 \mapsto 3$, $2 \mapsto 1$, $3 \mapsto 2$이고, 곧 $\tau^2 = (1\,3\,2)$이다. $\tau^{-1}$: 역순열은 $\tau$의 대응을 거꾸로 읽은 것이다. $\tau$가 $1 \mapsto 2$이므로 $\tau^{-1}$은 $2 \mapsto 1$, $\tau$가 $2 \mapsto 3$이므로 $\tau^{-1}$은 $3 \mapsto 2$, $\tau$가 $3 \mapsto 1$이므로 $\tau^{-1}$은 $1 \mapsto 3$이다. 곧 $\tau^{-1} = (1\,3\,2)$이고, $\tau^2 = \tau^{-1}$이다. 위수. $\tau^1 = (1\,2\,3) \neq \mathrm{id}$, $\tau^2 = (1\,3\,2) \neq \mathrm{id}$이고 $$ \tau^3 = \tau \circ \tau^2 = (1\,2\,3) \circ (1\,3\,2) $$ 를 계산하면 $1 \to 3 \to 1$, $2 \to 1 \to 2$, $3 \to 2 \to 3$이므로 $\tau^3 = \mathrm{id}$이다. 따라서 $\tau$의 위수는 $3$이다. $\blacksquare$ **검산.** $\tau^2 = \tau^{-1}$이라는 결과는 $\tau^3 = \mathrm{id}$와 맞물린다 — $\tau^3 = \mathrm{id}$의 양변에 $\tau^{-1}$을 붙이면 $\tau^2 = \tau^{-1}$이다. 두 계산이 서로를 확인한다. **복기.** 3순환의 위수가 $3$인 것은 우연이 아니다. $k$순환은 $k$번 적용해야 각 원소가 제자리로 돌아오므로 위수가 $k$다. 이 관찰로 $S_3$의 위수 표가 완성된다 — $\mathrm{id}$는 $1$, 2순환 셋은 각각 $2$, 3순환 둘은 각각 $3$이고, 모두 $6$의 약수다 (문제 17의 라그랑주 관찰). ### 문제 17 **접근.** $\mathbb{Z}_6$의 연산은 덧셈이므로 $[2]^k$는 $k[2] = [2] + \cdots + [2]$를 뜻한다. 처음으로 $[0]$이 나오는 $k$가 위수다. **풀이.** $\mathbb{Z}_6$에서 $[2]$의 거듭제곱을 차례로 계산한다. $1[2] = [2] \neq [0]$, $2[2] = [4] \neq [0]$, $3[2] = [6] = [0]$이다. 따라서 $[2]^k = [0]$이 되는 최소의 양의 정수 $k$는 $3$이고, $[2]$의 위수는 $3$이다. $\blacksquare$ 라그랑주 관찰. $\mathbb{Z}_6$의 위수는 $6$이고 $3 \mid 6$이다. 나머지 원소의 위수도 구해 확인한다. $[0]$은 $1[0] = [0]$이므로 위수 $1$. $[1]$은 $6[1] = [6] = [0]$이 처음 이므로 위수 $6$. $[3]$은 $2[3] = [6] = [0]$이므로 위수 $2$. $[4]$는 $1[4] = [4]$, $2[4] = [8] = [2]$, $3[4] = [12] = [0]$이므로 위수 $3$. $[5]$는 $6[5] = [30] = [0]$이 처음이므로 위수 $6$. 나온 위수는 $1, 6, 3, 2, 3, 6$이고 전부 $6$의 약수다. **검산.** $[4]$의 위수를 다른 길로 확인한다. $[4] = [2] + [2] = 2[2]$이고 $[2]$의 위수가 $3$이므로 $3[4] = 6[2] = [0]$이다. 그리고 $1[4], 2[4]$가 $[0]$이 아님을 위에서 확인했으므로 위수는 $3$이다. **복기.** 위수가 $6$인 원소($[1]$과 $[5]$)가 존재한다는 것은 그 한 원소의 거듭제곱이 군 전체를 만든다는 뜻이다. 이런 원소를 가진 군을 순환군이라 하고, 다음 주 C19주차의 부분군$\cdot$동형에서 다시 다룬다. 라그랑주 정리의 증명도 그때의 부분군이 준비되어야 가능하므로, 이번 주에는 관찰까지가 몫이다. ### 문제 18 **접근.** 평가의 판정은 옳음$\cdot$틀림$\cdot$불완전 셋 중 하나다(C5주차). 등호를 하나씩 따라가며 각 줄에 공리를 붙여 본다. 모든 줄에 공리가 붙으면 논리는 성립한다. **풀이.** 판정: **옳음**. 각 줄의 근거는 다음과 같다. $a * a = a$의 양변 왼쪽에 $a^{-1}$을 곱하면 $a^{-1} * (a * a) = a^{-1} * a$이다 — (G3)이 $a^{-1}$의 존재를 준다. 좌변은 (G1)에 의해 $(a^{-1} * a) * a$이고, 우변은 (G3)에 의해 $e$이므로 $(a^{-1} * a) * a = e$이다. 다시 (G3)에 의해 $a^{-1} * a = e$ 이므로 좌변은 $e * a$이고, 따라서 $e * a = e$이다. (G2)에 의해 $e * a = a$이므로 $a = e$이다. 모든 줄이 (G1)(G2)(G3) 중 하나에서 나오므로 논증은 성립한다. 보완할 점은 논리가 아니라 형식이다. 답안이 각 등호의 근거를 밝히지 않아, 읽는 쪽이 위와 같이 공리를 붙여 가며 검사해야 한다. 이번 주의 채점 기준 ④에 따르면 근거 표기를 덧붙여야 완결된 답안이다. **검산.** 결론을 다른 길로 확인한다. $a * a = a$의 양변에 소거법칙(정리 1.3)을 쓰면 된다 — $a * a = a = a * e$이므로 왼쪽 소거에 의해 $a = e$다. 두 줄로 끝난다. **복기.** 이 결과는 "군에는 $e$ 말고 다른 멱등원이 없다"로 읽힌다. 군이 아닌 무대에서는 사정이 다르다 — $(\mathbb{Z}, \times)$에서 $0 \times 0 = 0$이지만 $0$은 항등원이 아니다. 차이를 만드는 것은 역시 (G3)이고, $0$에 역원이 없다는 사실이다. ### 문제 19 **접근.** 다섯 걸음 중 걸음 ②(닫힘)만 근거가 필요하고 나머지는 행렬 대수의 알려진 사실에서 온다. 비아벨은 반례 한 쌍이므로 성분이 단순한 두 행렬로 충분하다. **풀이.** 무대는 $GL_2(\mathbb{R}) = \{A : A$는 $2 \times 2$ 실행렬이고 $\det A \neq 0\}$와 행렬 곱이다. 걸음 ② 닫힘. $A, B \in GL_2(\mathbb{R})$이면 $\det(AB) = \det A \cdot \det B$이고 $\det A \neq 0$, $\det B \neq 0$이므로 $\det(AB) \neq 0$이다. 따라서 $AB \in GL_2(\mathbb{R})$이다. 걸음 ③ 결합. 행렬 곱은 결합적이다(인정하고 쓰는 사실). 걸음 ④ 항등원. $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$이고 $\det I = 1 \neq 0$ 이므로 $I \in GL_2(\mathbb{R})$이며, 모든 $A$에 대해 $IA = AI = A$이다. 걸음 ⑤ 역원. $A \in GL_2(\mathbb{R})$이면 $\det A \neq 0$이므로 $A$는 가역이고 $A^{-1}$이 존재하며 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$이다. 또 $\det A \cdot \det(A^{-1}) = \det I = 1$ 이므로 $\det(A^{-1}) \neq 0$이고, 따라서 $A^{-1}$도 무대 안에 있다. 그러므로 $GL_2(\mathbb{R})$은 군이다. 비아벨. $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$이라 하자. 둘 다 행렬식이 $1$이므로 무대 안의 원소다. 계산하면 $$ \begin{aligned}AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\end{aligned} $$ 이고 $AB \neq BA$이다. 따라서 $GL_2(\mathbb{R})$은 아벨 군이 아니다. $\blacksquare$ **검산.** $AB$의 $(1,1)$성분은 $1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 2$이고 $BA$의 $(1,1)$성분은 $1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$이다. 한 칸만 비교해도 두 행렬이 다름을 알 수 있다. 또 $\det(AB) = \det(BA) = 1$이므로 두 결과가 모두 무대 안에 있다. **복기.** $GL_2(\mathbb{R})$은 평면의 가역 선형변환 전체이고, 회전$\cdot$반사$\cdot$확대가 모두 그 안에 있다. $S_3$이 정삼각형의 유한한 대칭을 담았다면 $GL_2(\mathbb{R})$은 평면의 연속적인 대칭을 담는다 — 원소가 유한 개인 무대와 무한히 많은 무대에서 같은 세 공리가 작동한다는 것이 이번 주의 요지다. ### 문제 20 **접근.** (a)는 예제 2.3과 §1.7의 대응을 근거로 쓰고, (b)는 예제 2.2의 넷째 줄과 §1.4의 세 원소 표를 근거로 쓴다. 두 물음 모두 "무엇이 무너지는가"를 말해야 답이 된다. **풀이.** (예시 답안) **(a)** 예제 2.3에서 $S_3$의 여섯 원소는 정삼각형을 자기 자신으로 옮기는 회전과 반사에 하나씩 대응하고, 순열의 합성은 두 대칭을 잇달아 적용하는 것과 같으므로, $S_3$은 삼각형의 대칭 전체를 대수의 대상으로 옮겨 놓은 것이다. 군의 정의가 요구하는 것은 결합$\cdot$항등원$\cdot$역원 셋뿐이고, 이 셋은 "잇달아 적용한다", "아무것도 하지 않는다", "되돌린다"에 각각 해당하므로 대칭이 있는 곳에는 언제나 군이 있다. 그래서 $\mathbb{Z}$의 덧셈, $\mathbb{Z}_n$의 덧셈, 순열의 합성, 가역 행렬의 곱이 소재를 가리지 않고 한 이름 아래 묶이고, 그 이름 위에서 증명한 유일성과 소거법칙이 네 무대 전부에서 한꺼번에 성립한다. **(b)** 예제 2.2의 증명은 $b = b * e = b * (a * c) = (b * a) * c = e * c = c$인데, 가운데 등호 $b * (a * c) = (b * a) * c$가 정확히 (G1) 결합법칙이고 이 한 줄이 없으면 $b$와 $a$가 서로 다른 괄호에 갇혀 $b * a = e$를 쓸 수 없다. 실제로 §1.4의 세 원소 표는 결합만 빠진 구조에서 $a$의 역원이 $a$와 $b$ 둘이 되는 것을 보이므로, 결합법칙이 빠지면 결론 자체가 거짓이 된다. **복기.** 두 물음이 함께 말하는 것은 공리 목록의 길이에 관한 것이다. 요구를 더 줄이면(결합을 빼면) 이름이 덮는 대상은 넓어지지만 그 위에서 증명할 수 있는 것이 사라지고, 요구를 더 늘리면(교환을 넣으면) 정리는 늘지만 $S_3$과 $GL_2(\mathbb{R})$이 이름 밖으로 나간다. 세 공리는 그 사이에서 고른 지점이다. --- **다음 주 예고 (C19주차):** Chartrand 15.4~15.6 — **군론 II: 부분군$\cdot$동형**. 이번 주에 군 하나를 세웠다면 다음 주에는 군 **안의 군**(부분군)과 군 **사이의 관계**(동형)를 다룬다. 부분군은 세 공리를 다시 검사하지 않고도 판정할 수 있고, 동형은 "이름만 다른 같은 군"을 정식으로 정의한다 — 문제 15의 $\{1,-1,i,-i\}$와 훈련 3의 $\{[1],[3],[5],[7]\}$이 왜 다른 군인지에 대한 답이 거기 있다. C11주차의 동치관계와 C12주차의 전단사, 그리고 이번 주의 세 공리가 한꺼번에 쓰인다. 원서 15.4~15.6을 통독하고 오는 것이 1일차의 일이다.