S10주차 — NOT 다루기: 부정을 안으로 밀어 넣는 기계

S10주차 — NOT 다루기: 부정을 안으로 밀어 넣는 기계#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 부정은 내용의 문제가 아니라 위치의 문제다 — 표면의 NOT을 본체까지 밀어 넣으면 남는 것은 뒤집힌 부등호 하나이고, 거기서부터는 지금까지의 기법이 그대로 작동한다.

이 주의 위치: 1학기 20주 과정의 S10주차이자 부정 3부작(S10주차 기계 \(\cdot\) S11주차 귀류 \(\cdot\) S12주차 대우)의 첫 주. S9주차 종합시험은 “결론이 부정문일 때”를 답할 수 없는 칸으로 남겨 두었고(S9주차 문제 20), 이번 주가 그 칸을 채운다. 1권 11주차에서 규칙표로 세워 둔 부정 만들기가, 여기서 부정형 결론을 만난 증명의 첫 걸음이라는 이름과 자리를 얻는다.

원서 대응: Solow 8장. 주간 루틴 1일차에 원서 8장을 통독한 뒤 이 문서로 온다.

이번 주 목표#

  1. 부정 신호를 감지한다 — 겉 NOT(“않다”, “아니다”)과 숨은 NOT(무리수, \(\notin\), \(\neq\), \(\nmid\), 발산, “단사가 아니다”, “유계가 아니다”)을 같은 신호로 읽는다.

  2. NOT 밀어넣기 기계 6칙(이중부정 \(\cdot\) 드모르간 둘 \(\cdot\) 조건문 부정 \(\cdot\) 양화사 반전 둘)과 적용 규칙을 백지 수준으로 굳히고, 자격은 부정되지 않는다는 사고를 피한다.

  3. 부정형 결론의 처방 ① 긍정형 재표현 — NOT을 밀어 넣은 결과가 구성\(\cdot\)선택 게임으로 바뀌는 것 — 을 실전한다.

  4. 처방 ②(대우, S12주차)\(\cdot\)③(귀류, S11주차)의 자리를 예약하고, 그 둘 모두 이번 주 기계를 부품으로 쓴다는 것을 확인한다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (S9주차 복습)#

노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다.

  1. 네 칸 표(양화사의 위치 \(\times\) \(\forall\)\(\cdot\)\(\exists\))를 기법 이름\(\cdot\)첫 문장\(\cdot\)값을 고르는 쪽까지 재현하시오 (S9주차 1부 항목 9 — 이번 주 내내 사용한다).

  2. 1권 11주차의 부정 규칙 총목록 여섯 줄을 쓰시오 — \(\neg(P \wedge Q)\), \(\neg(P \vee Q)\), \(\neg(P \Rightarrow Q)\), \(\neg\forall\), \(\neg\exists\), \(\neg\neg P\).

  3. S8주차 문제 14에서 “\(a_n \to L\)이 아니다”를 전개한 결과를 재현하시오.

이어서 다음 과제를 해 보자. 명제 “\(f(x) = x^2\) (\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\))은 증가함수가 아니다”의 증명에서, 첫 문장을 적어 보자.

자주 나오는 세 가지 답#

이 자리에서 나오는 답은 대개 다음 세 가지 중 하나다. 셋 다 S1주차~S9주차를 제대로 익힌 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다.

  • 유형 1 — 그래프로 답한다. “\(x < 0\) 구간에서 값이 내려가므로 증가함수가 아니다.”

관찰은 정확하다. 빠진 것은 그 관찰을 정의의 문장으로 옮기는 줄이다. 채점자가 검사할 수 있는 것은 그래프가 아니라 정의를 만족하거나 위반하는 구체적 대상이므로, “내려간다”를 어떤 두 수에 대한 어떤 부등식으로 적을지가 아직 정해지지 않았다.

  • 유형 2 — 쌍은 찾았으나 서식이 없다. “\(-1\)과 \(0\)을 보면 된다”라고 적고 멈춘다.

고른 쌍은 정확하고, 실제로 이번 주 예제 2.1의 답안이 그 쌍을 쓴다. 빠진 것은 그 쌍이 왜 반례인지의 검증 두 조각(\(-1 < 0\)이라는 것과 \(f(-1) \ge f(0)\)이라는 것)과, 그 두 조각이 왜 하필 그 둘인지의 근거다. 근거는 §1.3의 전개가 만들어 준다.

  • 유형 3 — 첫 문장이 나오지 않는다. 결론에 \(\forall\)도 \(\exists\)도 보이지 않아 네 칸 표를 펼

자리가 없다. 이 멈춤은 정확한 멈춤이다 — 기법을 잊어서가 아니라 기법을 고르는 데 필요한 겉모양이 표면의 NOT에 가려져 있어서 생긴 멈춤이고, §1.1이 그 자리를 다룬다.

개념 — 부정의 위치#

1 지금까지의 기법만으로는 어디서 막히는가#

새 규칙을 세우기 전에, S5주차~S9주차의 도구만으로 준비 운동의 명제를 밀어붙여 본다.

시도 — 네 칸 표로 조준하기

명제: \(f(x) = x^2\) (\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\))은 증가함수가 아니다.

“결론 \(B\)는 ‘\(f\)는 증가함수가 아니다’이다. 네 칸 표를 쓰려면 \(B\)의 겉모양에서 가장

바깥 양화사를 찾아야 한다. 그런데 \(B\)에는 \(\forall\)도 \(\exists\)도 없다. 후진 과정의 핵심 질문을

만들어 보자 — ‘어떻게 하면 함수가 증가함수가 아님을 보일 수 있는가?’ 이 질문의

표준 답안지는 정의인데, ‘증가함수가 아니다’라는 낱말의 정의는 어디에도 …”

여기서 멈춘다. 다음 줄이 나오지 않는다.

확인 1. 멈춘 자리에서 정확히 무엇이 없어서 멈추었는가. 없는 것이 기법인지, 아니면 다른 것인지 한 구절로 적어 보자.

답

없는 것은 기법이 아니라 겉모양이다. “겉모양이 기법을 정한다”는 이번 학기의

규칙은 그대로 살아 있는데, 표면의 NOT이 겉모양을 덮고 있어 그 규칙이 발동하지

못한다. 정의 목록에 “증가함수가 아니다”라는 항목이 없는 것도 같은 이유다 —

정의된 것은 “증가함수”이고, NOT은 그 정의 바깥에 붙어 있다.

그러므로 할 일은 새 기법을 배우는 것이 아니라 NOT의 위치를 옮기는 것이다.

옮기고 나면 겉모양이 드러나고, 그 순간 네 칸 표가 다시 작동한다.

2 사례 표 채우기 — 부정 신호#

NOT은 “아니다”라는 낱말로만 오지 않는다. 아래 표의 왼쪽 열은 전부 문면에 NOT이 없거나 한 낱말에 숨어 있는 진술이다. 오른쪽 열의 빈칸을 채워 보자.

겉모습

숨은 NOT을 드러낸 꼴

\(x\)는 무리수이다

\(\neg\)(\(x\)는 유리수이다) — 1권 정의 15.1이 무리수를 그렇게 정의한다

\(x \notin A\)

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

\(a \neq b\)

\(\underline{\quad(2)\quad}\)

\(a \nmid b\)

\(\neg\)(\(a \mid b\))

\((a_n)\)은 \(L\)로 수렴하지 않는다

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

\(f\)는 단사가 아니다

\(\underline{\quad(4)\quad}\)

\(S\)는 위로 유계가 아니다

\(\underline{\quad(5)\quad}\)

\(n\)은 소수가 아니다

\(\neg\)(\(n\)은 소수이다)

기호 \(\neg\)는 “논리 부정”이라 읽고, 뒤에 오는 문장 전체가 성립하지 않는다는 뜻이다. “\(\neg P\)”는 소리 내어 “\(P\)가 아니다”로 읽는다.

표의 일곱째 줄에 쓰인 낱말 하나만 여기서 정해 둔다. S7주차가 준 것은 상계의 정의 “\(M\)은 \(S\)의 상계이다 \(\equiv \forall x\,[\,x \in S \Rightarrow x \le M\,]\)”이고, 그 앞에 \(\exists M\)을 붙인 꼴에는 아직 이름이 없었다. 그 꼴에 이름을 준다.

위로 유계 (bounded above)

집합 \(S\)가 위로 유계라는 것은 \(S\)의 상계가 존재한다는 뜻이다. 기호로 적으면

\(\exists M\ \forall x \in S: x \le M\)이다. 상계는 S7주차의 정의 그대로이고, 그 앞의

\(\exists M\) 한 겹이 이번 주에 붙는 것이다.

확인 2. 빈칸 (1)~(5)를 채워 보자. (3)~(5)는 정의를 펴야 나온다.

답

(1) \(\neg\)(\(x \in A\)) (2) \(\neg\)(\(a = b\))

(3) \(\neg\)(\(a_n \to L\)) — 정의 45.1을 펴면 \(\neg(\forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall n > N: |a_n - L| < \varepsilon)\)

(4) \(\neg\)(\(f\)는 단사이다) — 정의 41.1을 펴면 \(\neg\big(\forall x_1 \forall x_2\,[f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2]\big)\)

(5) \(\neg\)(\(S\)는 위로 유계이다) — 위 상자의 정의를 펴면 \(\neg\big(\exists M\ \forall x \in S: x \le M\big)\)이고, 안쪽의 \(\forall x \in S: x \le M\)은 S7주차의 상계 정의다

(1)(2)는 기호 하나에, (3)(4)(5)는 낱말 하나에 NOT이 접혀 있다. 접힌 NOT을 펴는

것이 전개의 걸음 ①이고, 펴기 전에는 어떤 규칙도 적용할 수 없다.

확인 3. 위 여덟 줄의 오른쪽 열에 이번 학기에 처음 보는 것이 하나라도 있는가.

답

없다. \(\neg\)의 뜻은 1권 7주차 정의 7.3, 규칙표는 1권 11주차 §1.3, 정의들은

1권 15\(\cdot\)41\(\cdot\)45주차와 S7주차의 것 그대로다. 낱말 하나만 이번 주에 이름을 얻었다 —

“위로 유계”는 1학기 어느 주차에도 정의 상자로 나온 적이 없고, S7주차가 준 것은

상계다. 그러나 붙은 것은 상계 앞의 \(\exists M\) 한 겹이고 그 겹도 이미 아는

양화사이므로, 식 자체에 새로운 것은 없다.

이번 주가 새로 하는 것은 두 가지다. 하나는 이 여덟 줄을 “부정 신호”라는 한 이름

아래 모아 감지 대상으로 삼는 것이고, 다른 하나는 전개된 문장을 증명으로 잇는

것이다. 1권 11주차는 부정문을 만드는 데서 멈췄고 — 만들어진 부정문을 어떻게

증명하는지는 그때 다루지 않았다 — S8주차 문제 14도 전개까지만 하고 증명은 이 주에

넘겼다. 그 넘겨받은 자리가 여기다.

이 감지 대상에 이름을 붙인다. 왼쪽 열에 나오는 낱말과 기호를 부정 신호라 한다. 부정 신호를 결론에서 보면 §1.5의 세 처방 중 하나를 고르고, 가정에서 보면 그 자리에서 바로 전개해 둔다.

3 NOT 밀어넣기 기계 — 6칙 [백지 암기 대상]#

규칙

변환

읽는 법

N1 (이중부정)

\(\neg\neg P \leadsto P\)

두 번 뒤집으면 제자리

N2 (드모르간, \(\wedge\))

\(\neg(P \wedge Q) \leadsto \neg P \vee \neg Q\)

“둘 다”의 실패는 “한쪽이라도 실패”

N3 (드모르간, \(\vee\))

\(\neg(P \vee Q) \leadsto \neg P \wedge \neg Q\)

“하나라도”의 실패는 “둘 다 실패”

N4 (조건문 부정)

\(\neg(P \Rightarrow Q) \leadsto P \wedge \neg Q\)

약속 위반은 “조건은 됐는데 이행 안 함”

N5 (\(\forall\) 반전)

\(\neg\forall x \in S,\ P(x) \leadsto \exists x \in S,\ \neg P(x)\)

“전원 통과”의 실패는 “낙제자 존재”

N6 (\(\exists\) 반전)

\(\neg\exists x \in S,\ P(x) \leadsto \forall x \in S,\ \neg P(x)\)

“합격자 존재”의 실패는 “전원 낙제”

기호 \(\leadsto\)는 “…로 바뀐다”로 읽는다(1권 11주차 §1.5의 기호 그대로다). 여섯 줄 전부 1권 9주차의 동치 목록과 1권 10주차의 판정 기준에서 이미 증명된 것이고, 이번 주는 이름만 새로 붙여 부른다.

적용 규칙

NOT이 본체(등호\(\cdot\)부등호\(\cdot\)소속)에 닿을 때까지 바깥부터 한 겹씩 민다. 한 걸음에 규칙

하나만 쓴다. 본체에 닿으면 \(\neg(a = b)\)는 \(a \neq b\), \(\neg(a < b)\)는 \(a \ge b\),

\(\neg(x \in A)\)는 \(x \notin A\), \(\neg(a \mid b)\)는 \(a \nmid b\)로 적는다.

\(\ge\)는 “\(<\)가 아닌 경우 전부”이지 “반대 방향 부등호”가 아니다.

이 적용을 걸음으로 쪼개면 넷이다. 절차를 해부한다.

걸음

하는 일

이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가

① 정의 노출

낱말\(\cdot\)기호에 접힌 NOT과 양화사를 정의의 문장으로 편다

뒤집을 양화사가 문면에 없으므로 N1~N6 중 어느 것도 적용할 수 없다 — §1.1의 멈춤이 그대로 재연된다

② 겹 벗기기

가장 바깥 연결사\(\cdot\)양화사 하나에 규칙 하나를 적용한다

두 겹을 한꺼번에 뒤집으면 안쪽에 처리되지 않은 연결사가 남아 진리값이 어긋난다(아래 실험)

③ 본체 도달

등호\(\cdot\)부등호\(\cdot\)소속을 뒤집어 NOT을 없앤다

\(\neg(<)\)를 \(>\)로 적는 사고가 여기서 나온다 — 등호 쪽 증인을 잃는다(아래 실험)

④ 게임 판독

전개문의 겉모양을 네 칸 표에 넣어 기법을 정한다

전개는 옳게 끝났는데 답안의 첫 문장이 정해지지 않는다 — 손에 든 것이 문장뿐이고 지시가 없다

걸음 삭제 실험 1 — 걸음 ②의 “한 겹씩”을 지우면. 증가함수의 정의 \(\forall x_1 \forall x_2\,(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2))\)를 부정할 때, \(\forall\) 두 개를 \(\exists\)로 바꾸고 후건만 뒤집은 채 조건문 꼴을 그대로 남긴 문장을 보자. 부정을 후건에만 통과시키고 조건문을 남기는 것은 1권 10주차 §0의 유형 1과 같은 사고다.

\[ \exists x_1 \exists x_2\,\big(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)\big) \]

이 문장에 \(x_1 = 1\), \(x_2 = 0\)을 넣으면 전건 “\(1 < 0\)”이 거짓이므로 조건문 전체가 참이다. 곧 이 문장은 어떤 \(f\)에 대해서도 참이고, 증가함수인 \(f(x) = x\)에 대해서도 참이다. 원문도 참, “부정”도 참 — 원문과 부정은 언제나 진리값이 반대여야 한다는 부정의 자격 (1권 11주차 §1.3)이 무너졌다. 조건문을 남겨 둔 채 양화사만 뒤집으면 안 되는 이유가 이것이다.

걸음 삭제 실험 2 — 걸음 ③에서 \(\neg(<)\)를 \(>\)로 적으면. 전개문이

\[ \exists x_1 \exists x_2\,\big(x_1 < x_2 \wedge f(x_1) > f(x_2)\big) \]

가 된다. 상수함수 \(f(x) = 0\)을 넣어 보자. 이 \(f\)는 증가함수가 아니므로 올바른 부정은 참이어야 하는데, 어떤 쌍에서도 \(f(x_1) > f(x_2)\)가 성립하지 않으므로 위 문장은 거짓이다. 여기서도 진리값이 반대가 아니다. 등호가 붙은 \(\ge\)를 \(>\)로 좁히는 순간 등호로만 위반하는 사례가 증인 자격을 잃는다.

확인 4. 명제 “\(S\)는 위로 유계이다”는 \(\exists M\ \forall x \in S: x \le M\)이다. 이것의 부정을 걸음 ②③에 따라 두 줄로 전개해 보자. 각 줄에 규칙 번호를 단다.

답

첫 줄 — 가장 바깥은 \(\exists M\)이므로 N6:

\(\forall M\ \neg\big(\forall x \in S: x \le M\big)\).

둘째 줄 — 남은 바깥은 \(\forall x\)이므로 N5:

\(\forall M\ \exists x \in S:\ \neg(x \le M)\).

걸음 ③ — 본체 도달: \(\forall M\ \exists x \in S:\ x > M\).

읽으면 “어떤 문턱 \(M\)을 제시해도 그것을 넘는 원소가 \(S\) 안에 있다”이다.

이 전개가 문제 3(a)와 문제 9의 출발점이다.

확인 5. 위 전개에서 걸음 ④를 수행해 보자. 전개문의 가장 바깥 겹은 네 칸 표의 어느 칸이고, 답안의 첫 문장은 무엇인가.

답

가장 바깥은 \(\forall M\)이고 이것은 **결론의 \(\forall\)**이므로 선택법(S6주차)이다. 첫 문장은

“실수 \(M\)을 임의로 잡자.”이다. 그다음 겹 \(\exists x\)는 결론의 \(\exists\)이므로 구성법(S5주차)

— 둘째 문장은 “\(x = \dots\)으로 두자.”가 되고, 증인은 \(M\)의 식이어도 된다(S8주차의

의존성의 문법). 전개가 끝나는 순간 답안의 문장 개수까지 정해진다.

4 자격은 부정되지 않는다#

전개에서 가장 자주 무너지는 자리다. 명제 “모든 양수 \(x\)에 대해 \(P(x)\)”의 부정은 “어떤 양수 \(x\)에 대해 \(\neg P(x)\)”이지, “어떤 \(x\)는 양수가 아니거나 \(\neg P(x)\)”가 아니다. 양화사에 붙은 자격(“양수”, “\(\in S\)”, “\(n > N\)”)은 심사가 벌어지는 범위의 선언이지 주장의 내용이 아니므로, 주장을 뒤집어도 범위는 그대로 남는다.

N4가 그 이유를 계산으로 보여 준다. 자격이 붙은 전칭은 조건문으로 풀어 쓸 수 있다:

\[ \forall x\,[\,x > 0 \Rightarrow P(x)\,] \]

여기에 N5를 적용하면 \(\exists x\ \neg[\,x > 0 \Rightarrow P(x)\,]\)이고, 이어서 N4를 적용하면

\[ \exists x\,[\,x > 0 \wedge \neg P(x)\,] \]

이다. 자격 “\(x > 0\)”이 \(\wedge\)의 한쪽으로 살아남는다. 뒤집힌 것은 \(P\)뿐이다.

확인 6. 명제 “모든 양수 \(x\)에 대해 \(x + \frac1x \ge 2\)”는 참이다(\(x > 0\)일 때 \(x + \frac1x - 2 = \frac{(x-1)^2}{x} \ge 0\) — (W1)과 (W5), 1권 16주차). 자격까지 부정한 문장 “어떤 \(x\)는 양수가 아니거나 \(x + \frac1x < 2\)이다”는 참인가 거짓인가. 그리고 그 답이 왜 판정인가.

답

참이다. \(x = -1\)을 넣으면 “\(-1\)은 양수가 아니다”가 성립하므로 \(\vee\)의 한쪽이

참이고 문장 전체가 참이 된다.

그런데 원명제도 참이다. 원문과 “부정”이 동시에 참이므로 진리값이 반대가 아니고,

따라서 그 문장은 원명제의 부정이 아니다. 목격자는 \(x = -1\) — 원명제의 무대에

애초에 들어오지 않는 대상이다. 자격을 부정하면 원명제와 무관한 세계의 대상이

증인 자리에 들어온다.

올바른 부정은 “어떤 양수 \(x\)에 대해 \(x + \frac1x < 2\)이다”이고, 이 문장은 거짓이다

— 원명제가 참이므로 그래야 한다.

5 부정형 결론의 3처방 [백지 암기 대상]#

부정형 결론의 3처방

결론 \(B\)가 부정형일 때 고를 수 있는 길은 셋이다.

① 긍정형 재표현 — NOT을 기계로 본체까지 밀거나, 배타성과 전수성이 증명된 특성화로 갈아탄다(“짝수가 아니다”를 “홀수이다”로). 밀어 넣은 결과는 대개 구성\(\cdot\)선택 게임이 된다. 이번 주의 주력이다.

② 대우로 게임 교체 (S12주차) — \(B\)의 NOT을 가정 자리로 보내 결론을 긍정형으로 되살린다.

③ 귀류로 게임 교체 (S11주차) — \(\neg B\)를 가정으로 받는다. 받는 순간 N1로 NOT이 벗겨져 다룰 수 있는 긍정문이 손에 들어온다.

셋 중 무엇을 고르든 첫 동작은 같다 — NOT을 정확히 전개하는 것이다. 전개가 틀리면 세 처방 모두 틀린 명제를 향한다.

확인 7. 다음 세 결론에 어느 처방이 가장 먼저 후보가 되는가. (가) “\(f\)는 단사가 아니다” (나) “\(\sqrt2\)는 무리수이다” (다) “\(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 홀수가 아니다”

답

(가) ① — 정의를 펴서 전개하면 \(\exists \exists [\wedge]\)가 되어 증인 쌍 하나를 제시하는

구성 게임이 된다(훈련 1).

(나) ③ — “무리수”는 \(\neg\)(유리수)라는 부정형 정의이고, 밀어 넣어 봐야 “\(\frac ab\) 표현이

존재하지 않는다”라는 또 다른 부정형이 나온다. \(\neg B\)(“유리수이다”)를 가정으로 받으면

곧바로 등식이 손에 들어온다 — 1권 21주차가 그 길이었다.

(다) ② — 결론 “홀수가 아니다”의 NOT을 가정 자리로 보내면 “\(n\)이 홀수이면 \(n^2\)은

짝수가 아니다”가 되어 양쪽이 다 긍정형이 된다. 1권 19주차의 대우가 이 처방이다.

세 문항 모두 판단의 기준은 하나다 — **어느 길이 등식이나 양화사를 가장 빨리

손에 쥐어 주는가**.

6 반례의 문법 — N4와 N5의 합작#

“명제 \(\forall x\,[P(x) \Rightarrow Q(x)]\)는 거짓이다”를 보이는 것은 그 명제의 부정을 증명하는 것과 같은 일이다. 부정을 전개하면 N5와 N4가 차례로 작동해

\[ \exists x\,[\,P(x) \wedge \neg Q(x)\,] \]

가 되고, 이것은 결론의 \(\exists\)이므로 구성법이 지정된다 — \(P\)를 만족하면서(검증 1) \(Q\)를 위반하는(검증 2) 증인 하나를 제시하고 검증하면 끝난다.

확인 8. 1권 29주차의 반례 서술 서식은 “반례 제시 + 가정 성립 확인 + 결론 위배 확인”의 세 조각이었다. 이 세 조각은 위 전개식의 어느 부분에서 나오는가.

답

“반례 제시”는 \(\exists x\)의 처리(구성법의 증인 제시), “가정 성립 확인”은 \(\wedge\)의

왼쪽 \(P(x)\)의 검증, “결론 위배 확인”은 오른쪽 \(\neg Q(x)\)의 검증이다. 세 조각이 전개식의

세 부분과 하나씩 대응한다.

1권 29주차에서는 이 서식을 규칙으로 받아 외웠다. 여기서 그 서식은 유도된 것이

된다 — 반증은 별개의 기법이 아니라 “부정 전개 + 구성법”이다. 1권에서 서식으로

하던 일이 이번 주에 이름과 유도를 얻는 자리가 정확히 여기다.

7 근거 목록 갱신#

근거

이번 주에 추가되는 것

이번 주에는 이렇게 쓴다

① 정의

변화 없음

전개의 걸음 ①이 전부 여기서 나온다. 낱말을 정의의 양화사 문장으로 펴는 줄마다 “정의에 의해”를 단다

② 닫힘성\(\cdot\)기본 성질

변화 없음

증인의 자격 검증에서 (W1) \(x^2 \ge 0\), (W2) 양변에 같은 수 더하기, (W4) 양수의 합\(\cdot\)곱, (W5) 양수로 나눈 몫, (W6) 추이성(1권 16주차)을 그대로 쓴다

③ 등식의 성질

변화 없음

본체에 닿은 뒤의 계산은 대부분 여기다

④ 이미 증명한 명제 — 기존에 가진 것

부정 규칙 총목록(1권 11주차 §1.3), 홀짝의 전수성(1권 33주차 예제 2.2의 따름정리)과 배타성(1권 22주차 문제 5), 유리수의 차의 닫힘(1권 15주차 문제 9), \(\sqrt2\)의 무리수성(1권 21주차), \(x \le \lvert x \rvert\)(1권 17주차 문제 5), 연속 정수 곱의 짝수성(1권 1주차 문제 16), 천장의 성질(S5주차 문제 14)

“1권 22주차 문제 5에 의해”처럼 한 줄로 인용하고, 인용한 명제의 가정이 충족됨을 확인한다

④ 이미 증명한 명제 — 이번 주에 이름을 얻는 것

N1~N6 여섯 규칙과 부정의 자격(원문과 부정은 진리값이 반대)

전개의 각 줄 옆에 “[N4]”처럼 규칙 번호를 단다. 번호가 없으면 그 줄이 어디서 나왔는지 확정되지 않는다

근거의 번호가 늘지는 않는다. 이번 주가 늘리는 것은 근거의 종류가 아니라 결론이 부정형일 때의 처방 선택이다.

확인 9. 어떤 답안에 “\(f\)가 단사가 아니므로 \(f(x_1) = f(x_2)\)이고 \(x_1 \neq x_2\)인 실수 \(x_1, x_2\)가 존재한다”는 문장이 나왔다. 이 한 문장에는 이번 주의 걸음이 몇 개 들어 있는가.

답

셋이다. ① 걸음 ① 정의 노출 — “단사”를 \(\forall x_1 \forall x_2[f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2]\)로 편 것.

② 걸음 ② 겹 벗기기 — N5를 두 번, 이어 N4를 적용한 것.

③ 걸음 ③ 본체 도달 — \(\neg(x_1 = x_2)\)를 \(x_1 \neq x_2\)로 적은 것.

압축된 한 문장이지만 세 걸음이 실제로 수행되어야 나온다. 답안에서 이 문장을 한 줄로

써도 되지만, 규칙 번호를 묻는 문항에서는 세 걸음을 모두 드러내야 한다.