S18주차 — 일반화: 명제를 키우는 기술

내용

S18주차 — 일반화: 명제를 키우는 기술#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 증명을 다 읽었으면 그 증명문에 묻는다 — 이 증명은 특정한 값의 어떤 성질을 실제로 썼는가. 쓰이지 않은 특수성은 명제에서 지울 수 있고, 지운 자리에 문자를 놓는 것이 일반화다.

이 주의 위치: 1학기 20주 과정의 S18주차. S1주차부터 S17주차까지의 열일곱 주는 전부 “주어진 명제를 어떻게 증명하는가”였고, S17주차의 결정 나무가 그 물음의 답을 하나로 접었다. 이번 주는 물음이 처음으로 바뀐다 — 증명 한 편을 손에 쥔 상태에서 “그 다음에 증명할 명제는 무엇인가”를 정한다. 1권 1주차 확인 13에서 관찰로만 지나갔던 사실과 1권 29~30주차의 반례\(\cdot\)판별이 여기서 하나의 절차로 묶인다. 다음 주 S19주차의 정의 만들기는 이번 주가 만든 명제를 담을 무대를 짓는 일이다.

원서 대응: Solow 16장. 주간 루틴 1일차에 원서 16장을 통독한 뒤 이 문서로 온다.

이번 주 목표#

발동 질문을 장착한다 — “이 증명에서 특정한 값(또는 대상)의 어떤 성질이 실제로 사용되었는가.” 사용되지 않은 특수성이 곧 일반화의 여지다.
세 가지 축 — 상수 \(\to\) 변수, 특정 대상 \(\to\) 임의 대상, 강한 가설 \(\to\) 약한 가설 — 을 백지에 쓰고, 증명문의 어떤 관찰이 어느 축을 지목하는지 말할 수 있다.
일반화의 네 걸음(정독 \(\cdot\) 재진술 \(\cdot\) 반례 검문 \(\cdot\) 증명 재검사)을 절차로 실행하고, 각 걸음을 빼면 무엇이 무너지는지 사례로 말할 수 있다.
일반화의 산물을 정리 \(\cdot\) 추측 \(\cdot\) 거짓 명제로 라벨한다. 검문을 통과한 것과 증명된 것을 구별하는 것이 이번 주의 기준이다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (S17주차 복습)#

노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다.

S17주차 §1의 기법 선택 결정 나무 골격(0~3단계)을 백지에 재현하시오.
S9주차\(\cdot\)S17주차 시험의 통과 여부를 확인하시오. 미통과 항목이 있으면 해당 주차를 복습한 뒤 재도전한다 — 이번 주는 그 위에 선다.
1권 29주차 정의 29.2의 반례 서술 서식 세 줄(제시 \(\cdot\) 검증 1(가정 만족) \(\cdot\) 검증 2(결론 위배))을 재현하시오. 이번 주에 그대로 쓴다.

이어서 다음 과제를 해 보자. 명제 “\(4^2 - 4\)는 3의 배수이다”를 증명하고, 그 증명문을 손에 쥔 채 “이보다 넓은 참인 명제”를 하나 적어 보자. 조건을 하나 붙인다 — 이번 주의 새 이름을 쓰지 말고 S17주차까지의 도구만으로 밀어 보자.

자주 나오는 세 가지 답#

이 자리에서 나오는 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 S17주차까지를 제대로 익힌 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다.

유형 1 — 증명에서 멈춘다. “\(4^2 - 4 = 4(4-1) = 4 \cdot 3\)이므로 3의 배수이다.

증명이 끝났으므로 더 할 일이 없다.” 앞부분은 완전히 옳다 — 결정 나무 2단계가 지목한 구성법으로 \(k = 4\)를 제시했고, 증명문에 빠진 줄이 없다. 간격은 뒷부분에 있다. 완성된 증명문은 명제 하나를 확정하는 데서 그치지 않고 자기가 무엇을 썼는지에 대한 정보를 함께 담고 있는데, 그 정보를 아직 읽지 않았다. 그 정보를 읽어 내는 물음이 정의 18.1의 발동 질문이다.

유형 2 — 숫자를 문자로 바꾸고 그대로 선언한다. “모든 정수 \(n\)에 대해

\(n^2 - n\)은 3의 배수이다.” 조작의 방향은 정확하다 — 이번 주가 실제로 하는 일이 상수 자리에 문자를 놓는 것이고, 이 답은 그 조작을 이미 손으로 하고 있다. 간격은 두 가지다. 어느 상수를 풀 것인지가 근거 없이 정해졌고, 푼 뒤에 검증이 없다. 실제로 이 명제는 거짓이다 — \(n = 2\)에서 \(2^2 - 2 = 2\)이고 2는 3의 배수가 아니다. 검증을 절차로 세우는 것이 §1.4다.

유형 3 — 어느 숫자를 풀지 정하지 못한다. “\(4\)를 풀 수도 있고 \(3\)을 풀 수도

있고 둘 다 풀 수도 있는데 무엇이 맞는지 모르겠다.” 이 답은 다른 둘보다 앞서 있다 — 선택지가 여럿이라는 것을 이미 보았기 때문이다. 간격은 선택의 기준이 어디에 있는지 모른다는 것뿐이다. 기준은 명제에 있지 않고 증명문 안에 있고, 그 사실이 §1.6 판정법의 전부다.

이번 주가 새로 주는 것. 세 유형을 늘어놓으면 이번 주의 몫이 계산이 아니라는 것이 보인다. 계산은 유형 1이 이미 끝냈고, 조작은 유형 2가 이미 했다. 비어 있는 것은 세 가지다 — 증명문에서 무엇을 읽어야 하는지(정의 18.1과 §1.3 걸음 ①), 읽은 것이 어느 축을 지목하는지(§1.6), 그리고 만들어 낸 명제를 무엇으로 부를 자격이 있는지(§1.5).

개념 — 일반화#

1 S17주차까지의 도구로는 어디서 막히는가#

이번 주의 절차를 세우기 전에, 가진 도구로 두 번 막혀 본다.

막힘 (가) — 결정 나무에 넣을 것이 없다. S17주차의 결정 나무를 준비 운동의 과제에 적용해 보자.

시도 — 결정 나무를 돌려 본다

0단계: A/B 분해. 가정 \(A\)는 없고 결론 \(B\)는 “\(4^2 - 4\)는 3의 배수이다”.

숨은 양화사도 숨은 가설도 없다.

1단계: 결론 “3의 배수이다”에는 부정 신호(무리수 \(\cdot\) \(\neq\) \(\cdot\) \(\notin\) \(\cdot\)

“…가 아니다”)가 없으므로 그대로 2단계로 내려간다.

2단계: 결론이 숨은 \(\exists\)(”\(4^2 - 4 = 3k\)인 정수 \(k\)가 존재한다”)이므로 구성법.

3단계: \(k = 4\)를 제시하고 검증한다. \(3 \cdot 4 = 12 = 4^2 - 4\).

나무가 즉시 답을 냈고, 그 답은 이미 손에 있던 증명이다. 그리고 여기서

나무는 더 이상 돌지 않는다.

확인 1. 결정 나무가 답하지 못한 물음을 한 문장으로 적어 보자. 나무가 다시 돌려면 무엇이 입력으로 들어와야 하는가.

답

“이 명제 다음에는 어떤 명제를 증명해야 하는가”에는 답하지 않는다. 결정 나무는

명제를 입력으로 받아 기법을 출력하는 장치이므로, 명제 자체가 출력이 되어야

하는 자리에서는 돌 것이 없다. 나무가 다시 돌려면 새 명제 하나가 입력으로

들어와야 하고, 그 명제를 만드는 일이 이번 주의 몫이다.

막힘 (나) — 문자로 바꾸기는 했는데 그 다음이 없다. 유형 2의 답을 그대로 다시 적고 검사해 보자.

시도 — 상수를 문자로 바꾸기만 한다

원래 명제: “\(4^2 - 4\)는 3의 배수이다.”

바꾼 명제: “모든 정수 \(n\)에 대해 \(n^2 - n\)은 3의 배수이다.”

\(n = 4\): \(12 = 3 \cdot 4\). 성립한다.

\(n = 3\): \(6 = 3 \cdot 2\). 성립한다.

\(n = 2\): \(2\). 3의 배수가 아니다.

확인 2. 위 시도가 만들어 낸 것은 정리인가 추측인가 거짓 명제인가. 그리고 “상수를 문자로 바꾼다”는 조작 자체에 잘못이 있는가.

답

거짓 명제다. \(n = 2\)가 반례이고, 1권 29주차 정의 29.2의 서식으로 적으면

“제시: \(n = 2\) / 검증 1(가정 만족): 2는 정수이다 / 검증 2(결론 위배):

\(2^2 - 2 = 2\)이고 \(2 = 3k\)인 정수 \(k\)는 없다”가 된다.

조작 자체에는 잘못이 없다. 빠진 것은 조작의 앞과 뒤다 — 앞에서 어느 상수를

풀 것인지 정하는 근거가 없었고, 뒤에서 만들어진 명제를 검사하는 걸음이

없었다. 이번 주의 절차는 이 앞뒤를 채우는 것이다.

두 막힘의 원인은 하나다. 증명문을 결과로만 읽고 자료로 읽지 않았다. 완성된 증명문에는 “이 명제가 참이다”라는 결론 말고도 “이 결론을 얻는 데 무엇이 쓰였는가”라는 자료가 줄마다 적혀 있는데, S17주차까지는 그 자료를 쓸 일이 없었다.

2 사례 표를 채워 보기#

증명문을 자료로 읽는 일을 실제로 해 보자. 아래 표의 왼쪽 열은 전부 이미 완성된 증명이다. 각 증명이 등장하는 특정 값에 대해 실제로 쓴 성질과, 한 줄도 쓰지 않은 특수성을 갈라 적는다.

완성된 증명	증명이 실제로 쓴 성질	한 줄도 쓰이지 않은 특수성
\(6 + 8 = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 2(3+4)\)이므로 짝수이다	6과 8이 각각 2의 배수라는 것	6과 8이 그 값이라는 것 — 값 자체는 마지막 줄에 등장하지 않는다
\(4^2 - 4 = 4(4-1) = 4 \cdot 3\)이므로 3의 배수이다	\(\underline{\quad(1)\quad}\)	4가 짝수라는 것, 4가 제곱수라는 것
덧셈의 교환법칙에 의해 \(2 + 3 = 3 + 2\)이다	없다 — 덧셈의 교환법칙 한 줄뿐이다	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
\(x^2 + y^2 - 2xy = (x-y)^2 \ge 0\)이므로 \(x^2 + y^2 \ge 2xy\)이다 (1권 16주차 예제 2.1)	제곱이 0 이상이라는 것 — 곧 무대에 \(\underline{\quad(3)\quad}\)가 있다는 것	\(x, y\)가 어떤 특정 값이라는 것
\(2 = 2 \cdot 1\)이고 \(4 = 2 \cdot 2\)이므로 \(2 \cdot 4 = (2 \cdot 1)(2 \cdot 2) = 4(1 \cdot 2)\)이고 \(1 \cdot 2\)는 정수이다	\(\underline{\quad(4)\quad}\)	2와 4가 그 값이라는 것

확인 3. 빈칸 (1)~(4)를 채우고, 셋째 열이 채워진 줄에서 명제에 대해 무엇을 할 수 있는지 한 문장으로 적어 보자.

답

(1) \(4 - 1 = 3\)이라는 것 — 곧 4가 3보다 1 큰 수라는 것.

(2) 2와 3이 그 값이라는 것, 그리고 정수라는 것까지. 교환법칙은 실수에서도

그대로 성립하므로 “정수”조차 쓰이지 않았다.

(3) 순서 관계 \(\ge\). 1권 16주차의 (W1)이 그것이다.

(4) 2와 4가 각각 2를 인수로 갖는다는 것.

셋째 열의 특수성은 명제에서 지워도 증명이 그대로 돈다. 지운 자리에 문자를

놓으면 더 넓은 명제가 되고, 원래 증명문이 그 명제의 증명으로 그대로 쓰인다.

이 표를 채우는 데 새로운 기호도 새로운 계산도 쓰이지 않았다 — 이미 완성된

증명문을 한 줄씩 다시 읽은 것이 전부다.

셋째 열을 채우는 일이 이번 주의 조작 전체이므로, 그것을 묻는 물음에 이름을 붙인다.

정의 18.1 — 일반화 (generalization)와 발동 질문 [백지 암기 대상]#

증명 한 편을 완성한 뒤 그 증명문에 묻는다 — “이 증명은 특정한 값(또는 대상)의 어떤 성질을 실제로 사용했는가?”

사용된 성질만이 명제의 가설에 남을 자격이 있다. 사용되지 않은 특수성은 문자로

바꿀 수 있고, 그렇게 명제를 넓히는 일을 일반화라 한다.

이 물음은 명제가 아니라 증명문에 던진다는 점이 요점이다. 같은 명제라도 증명이 달라지면 발동 질문의 답이 달라지고, 따라서 얻는 일반화도 달라진다 — 예제 2.1에서 둘째 등식을 버리고 첫째 등식만 남긴 증명문이 전혀 다른 일반화를 낳는 것이 그 사례다.

1권에서 이미 한 번 했던 관찰. 1권 1주차 확인 13은 “증명의 \(a\), \(b\) 자리에 넣을 수 있는 것은 아무 정수나 전부”라고 답하면서 그 근거를 “증명의 어느 줄도 \(a\), \(b\)가 특정 정수라는 사실을 쓰지 않았기 때문”이라고 적었다. 그 한 줄이 정의 18.1이다. 1권에서는 완성된 증명이 옳다는 것을 확인하는 데 쓰였고, 여기서는 새 명제를 만드는 데 쓰인다 — 같은 관찰의 방향이 뒤집힌 것이 이번 주의 전부다. S6주차의 임의성 원칙(“자격 외의 성질을 쓰지 않았으므로 치환 검사를 통과한다”)도 같은 관찰이며, 이번 주는 그것을 “쓰지 않은 성질은 애초에 자격에 넣지 않아도 된다”로 읽는다.

정의 18.2 — 세 가지 일반화 축 (axes of generalization) [백지 암기 대상]#

발동 질문의 답이 지목하는 방향은 셋이다.

① 상수 \(\to\) 변수: 명제 안의 특정 수를 문자로 바꾼다.

② 특정 대상 \(\to\) 임의 대상: 특정 집합\(\cdot\)함수\(\cdot\)도형을 그 성질을 갖는 것 전체로 바꾼다.

③ 강한 가설 \(\to\) 약한 가설: 증명이 쓰지 않은 가설을 지우거나 약한 것으로 바꾼다.

축	무엇을 푸는가	예
① 상수 \(\to\) 변수	명제에 값으로 박혀 있는 수	“\(2 \cdot 4\)는 4의 배수” \(\to\) “두 짝수의 곱은 4의 배수” / “3의 배수” \(\to\) “\(m\)의 배수”
② 특정 대상 \(\to\) 임의 대상	이름이 붙은 하나의 대상	“\(\mathbb{R}\)에서 성립한다” \(\to\) “순서를 가진 무대에서 성립한다” / 특정 삼각형 \(\to\) 임의의 삼각형
③ 강한 가설 \(\to\) 약한 가설	가설 목록에 있으나 증명이 안 쓴 조건	“미분가능이면” \(\to\) “연속이면” / “양의 정수” \(\to\) “정수”

축 ③이 가장 다루기 어렵다. 축 ①과 ②는 “쓰이지 않은 특수성”이 눈에 보이는 자리에 있지만, 축 ③은 가설 목록과 증명문을 한 줄씩 대조해야 쓰이지 않은 가설이 드러나기 때문이다. 그리고 가설을 약화하면 결론까지 약해지는 경우가 있어 재검사가 반드시 따라온다(예제 2.2).

3 절차 해부 — 일반화의 네 걸음#

일반화는 네 걸음으로 실행한다. 걸음마다 하는 일이 다르다.

걸음	하는 일	이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가
① 증명문 정독 — 특정 값이 등장하는 줄을 전부 표시하고 각 줄이 그 값의 어떤 성질을 쓰는지 적는다	발동 질문의 답을 목록으로 만든다	어느 축으로 갈지 근거 없이 고르게 된다 — §0 유형 3의 막힘이 그대로 남는다
② 재진술 — 쓰이지 않은 특수성 자리에 문자를 놓고 명제를 다시 적는다	새 명제를 만든다	검증할 대상도 증명할 대상도 없다. 관찰만 있고 명제가 없는 상태로 끝난다
③ 반례 검문 — 작은 사례와 경계 사례를 새 명제에 대입한다	거짓 명제를 먼저 걸러낸다	거짓 명제를 정리로 선언하게 된다 (아래 삭제 실험)
④ 증명 재검사 — 원래 증명문을 새 명제 위에서 한 줄씩 다시 읽는다	산물이 정리인지 추측인지 판정한다	검문만 통과한 명제를 증명된 것으로 부르게 된다 (아래 삭제 실험)

걸음 삭제 실험 (가) — 반례 검문을 지우면. 걸음 ③을 지운 답안을 검사해 보자.

삭제 실험 — 검문 없이 선언한 답안

“\(4^2 - 4 = 4(4-1) = 4 \cdot 3\)이므로 3의 배수이다. 이 증명은 4의 어떤 특수성도

쓰지 않았다. 따라서 모든 정수 \(n\)에 대해 \(n^2 - n\)은 3의 배수이다.”

확인 4. 위 답안에서 거짓인 문장은 어느 것인가. 그 문장이 거짓이라는 것을 알아채는 가장 짧은 방법은 무엇인가.

답

거짓인 문장은 두 개다. 마지막 문장(명제)이 거짓이고, 그 앞의 “4의 어떤

특수성도 쓰지 않았다”도 거짓이다. 증명의 마지막 등식 \(4(4-1) = 4 \cdot 3\)은

\(4 - 1 = 3\)을 썼고, 그것이 정확히 4의 특수성이다 — 걸음 ①의 정독이 부실했다.

가장 짧은 방법은 걸음 ③ 한 줄이다. \(n = 2\)를 대입하면 \(2^2 - 2 = 2\)이고 즉시

무너진다. 곧 **걸음 ③은 새 명제만 검사하는 것이 아니라 걸음 ①의 오독까지

잡는다.** 정독이 어려운 만큼 검문이 값싸다는 것이 이 배치의 이유다.

걸음 삭제 실험 (나) — 증명 재검사를 지우면. 걸음 ④를 지운 답안을 검사해 보자.

삭제 실험 — 검문 통과를 증명으로 삼은 답안

“\(1^3 + 2^3 = 9 = (1+2)^2\)이다. 일반화: 모든 자연수 \(n\)에 대해

\(1^3 + \cdots + n^3 = (1 + \cdots + n)^2\)이다.

검문: \(n = 1\), \(2\), \(3\)에서 각각 \(1 = 1\), \(9 = 9\), \(36 = 36\). 반례 없음.

따라서 이 등식은 정리이다.”

확인 5. 위 답안의 계산 중 틀린 것이 있는가. 그렇다면 무엇이 잘못되었는가.

답

계산은 한 줄도 틀리지 않았다. 실제로 이 등식은 참이며, S14주차 문제 8에서

귀납으로 증명되었다. 잘못된 것은 마지막 한 줄의 자격이다 — 검문 세 개를

통과한 것과 증명된 것은 다르다. 검문은 거짓 명제를 걸러 낼 수 있을 뿐 참을

보증하지 못한다. 이 답안이 위험한 이유는 결론이 우연히 참이라는 데 있다:

같은 형식의 답안을 페르마 수에 적용하면 다섯 사례를 통과하고도 거짓

명제를 정리로 선언하게 된다(문제 18).

4 반례 검문의 서식 [백지 암기 대상]#

걸음 ③은 다음 세 줄로 실행한다.

백지 암기 대상

반례 검문의 서식

① 작은 사례 정찰 — \(n = 1, 2, 3\)처럼 손으로 계산되는 값을 넣는다.

② 경계\(\cdot\)특수 사례 공격 — \(0\), 음수, 등호가 성립하는 자리, \(1\), 빈 집합, 정의가

두 갈래로 갈리는 지점을 넣는다. 일반화가 무너지는 자리는 대개 경계에 있다.

③ 하나라도 위반이 나오면 반례다. 1권 29주차 정의 29.2의 서식(제시 \(\cdot\)

검증 1(가정 만족) \(\cdot\) 검증 2(결론 위배))으로 적고, 자격을 좁히거나 결론을 바꿔

명제를 되물린다.

되물림의 예. “모든 자연수 \(n\)에 대해 \(2^n > n^2\)”은 \(n = 2\)에서 \(4 > 4\)가 거짓이므로 무너진다. 자격을 “\(n \ge 5\)”로 좁히면 참이 되고(S14주차 문제 11), 좁힌 명제가 이번에는 증명 가능하다. 되물림은 후퇴가 아니라 자격의 확정이다.

확인 6. 검문을 열 사례에서 통과한 명제를 “정리”라 불러도 되는가. 그리고 검문을 한 사례에서 통과하지 못한 명제를 “거짓”이라 불러도 되는가.

답

앞은 안 되고 뒤는 된다. 검문 통과는 반례를 아직 찾지 못했다는 뜻일 뿐이므로

산물의 라벨은 “추측”이다. 반면 위반 사례 하나는 전칭 명제의 부정을 확정하므로

“거짓”이라 부를 수 있다 — 1권 29주차의 반증이 그것이고, 반례 하나가 곧

\(\neg S\)의 완전한 증명이다. 이 비대칭이 검문을 값싸게 만드는 이유이면서

동시에 검문만으로 끝내면 안 되는 이유다.

5 일반화의 세 산물#

걸음 ③과 ④의 결과에 따라 산물의 이름이 정해진다.

걸음 ③\(\cdot\)④의 결과	산물	그 다음에 할 일
검문 통과, 원래 증명이 한 줄도 안 고치고 돈다	정리	새 진술로 다시 적고 근거 목록 ④에 올린다
검문 통과, 몇 줄을 고치면 돈다	정리	고친 증명을 처음부터 끝까지 다시 적는다 — 고친 줄만 적은 것은 증명이 아니다
검문 통과, 증명은 막힌다	추측	“추측”이라는 라벨을 달아 보관한다. 참일 수도 거짓일 수도 있다
검문에서 반례가 나온다	거짓 명제	걸음 ①로 돌아가 증명문을 다시 정독한다 \(\to\) 자격을 좁히거나 결론을 바꿔 걸음 ②를 다시 한다
되물림에서 결론 자체를 바꿨고, 바뀐 진술이 검문과 재증명을 통과한다	다른 축의 정리	산물이 원 명제를 특수 경우로 포함하지 않는다는 것을 답안에 명시한다 — 원 명제와 무관한 새 정리다
검문 통과, 검증 1(가정 만족)에서 걸러진 값 중 결론을 만족하는 것이 있다	정리(넓힐 자리가 남았다)	걸음 ②로 돌아가 자격을 그만큼 넓히고 검문을 다시 한다

셋째 줄이 이번 주가 1권 29~30주차와 이어지는 자리다. 일반화가 만든 추측은 참\(\cdot\)거짓이 표시되지 않은 명제이며, 그 앞에 서는 훈련이 1권 30주차였다.

6 판정법 — 증명문의 관찰이 축을 정한다 [백지 암기 대상]#

걸음 ①의 목록을 놓고 위에서부터 훑는다.

걸음 ①에서 관찰된 것	축	첫수
특정 수가 값으로 쓰이지 않고 자격(“정수”, “짝수”, “2의 배수”)으로만 쓰였다	① 상수 \(\to\) 변수	그 수를 문자로 놓고 자격을 가설로 올린다
특정 수가 계산에 값으로 들어간다 (\(4 - 1 = 3\)처럼)	축 없음	그 수는 풀 수 없다. 다른 수를 다시 검사하거나, 그 계산을 버리고 남는 구조가 보장하는 것으로 결론을 바꾼다
특정 대상의 이름만 쓰이고 그 대상만의 성질은 안 쓰였다	② 특정 \(\to\) 임의	무대를 그 성질을 갖는 대상 전체로 넓힌다
가설 목록에 있으나 증명문의 어느 줄에서도 인용되지 않은 조건이 있다	③ 가설 약화	그 조건을 지운다
가설이 한 자리에서 부분적으로만 쓰였다	③ 가설\(\cdot\)결론 동시 조정	쓰인 만큼만 남기고 결론을 그만큼 낮춘다
가설이 한 자리에서 어떤 결과를 끌어내는 데만 쓰였다	③ 가설 약화	그 가설을 지우고 끌어낸 결과를 새 가설로 올린다 (결론은 그대로)

한 줄 요약: 증명이 쓴 것은 가설로 남기고, 쓰지 않은 것은 문자로 푼다.

둘째 줄이 §0 유형 2의 답을 막는 자리다. “\(4^2 - 4\)는 3의 배수” 증명에서 4는 \(4 - 1 = 3\)이라는 계산에 값으로 들어가므로 풀 수 없는 상수였고, 그것을 확인하지 않은 채 문자로 놓았기 때문에 거짓 명제가 나왔다.

7 근거 목록 갱신#

근거의 칸은 이번 주에도 네 개다. 이번 주가 채우는 것은 ①과 ④다.

근거	이번 주에 추가\(\cdot\)갱신되는 것	이번 주에는 이렇게 쓴다
① 정의	S18주차 정의 18.1(발동 질문) \(\cdot\) 정의 18.2(세 축)	증명문을 읽어 성질 목록을 만들고, 목록이 지목하는 축을 §1.6 표의 몇째 줄인지까지 밝힌다
② 닫힘성	변화 없음	일반화한 명제의 재증명 안에서 “\(a + b\)는 정수이므로”를 별도 설명 없이 쓴다
③ 등식\(\cdot\)부등식의 성질	변화 없음	1권 16주차 (W1)~(W6). 축 ②의 무대를 논할 때 어느 성질이 무대에 있어야 하는지 지목하는 데 쓴다
④ 이미 증명한 명제\(\cdot\)채택한 사실	1권 29주차 정의 29.2(반례 서식) — 걸음 ③의 서식. 부품: 연속 두 정수의 곱은 짝수(1권 1주차 문제 16), \(a \mid b\)이고 \(b \mid a\)이면 \(a = b\) 또는 \(a = -b\)(1권 2주차 문제 20), \(x^2 + y^2 \ge 2xy\)(1권 16주차 예제 2.1), 세제곱 합 공식(S14주차 문제 8), \(n \ge 5\)에서 \(2^n > n^2\)(S14주차 문제 11), 가법함수의 배수 성질의 특수 경우 — \(f(2x) = 2f(x)\) \(\cdot\) \(f(3x) = 3f(x)\) \(\cdot\) \(f(x/2) = f(x)/2\)(S7주차 문제 15), \(f(1) = 3\)일 때 정수에서 \(f(n) = 3n\)(S13주차 문제 17), 평균값 정리와 최대\(\cdot\)최소 정리(이 교재의 범위 밖 — 미적분학의 결과로 인정하고 사용한다), 피타고라스 정리\(\cdot\)코사인 법칙\(\cdot\)평행선 공준과 구면 기하의 사실(이 교재의 범위 밖 — 기하의 결과로 인정하고 사용한다)	“1권 1주차 문제 16에 의해”처럼 출처를 대고 한 줄로 끝낸다

목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 “작은 사례 여러 개에서 성립하므로”는 근거가 아니다 — 그것은 걸음 ③의 검문 결과일 뿐이고, 산물의 라벨을 “추측”으로 정하는 데만 쓰인다.

확인 7. 어떤 답안에 다음 두 문장이 나왔다. 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) “\(n = 1, 2, 3, 4, 5\)에서 확인했으므로 모든 자연수에서 성립한다.”

(나) “\(n(n-1)\)은 연속한 두 정수의 곱이므로 짝수이다.”

답

(가) 불허. 걸음 ③의 결과를 걸음 ④의 결론으로 쓴 것이며, 이것이 §1.3 삭제 실험

(나)에서 본 격상이다. 허용되는 형태는 “다섯 사례에서 반례가 나오지 않았으므로

이 명제를 추측으로 둔다”까지다.

(나) 허용 — 근거 ④. 1권 1주차 문제 16이 출처이고, 한 줄로 인용하면 된다.

다만 \(n(n-1)\)이 실제로 연속한 두 정수의 곱이라는 것(하나는 \(n-1\), 다른 하나는

\(n\))은 답안에 적어야 한다. 인용은 대상이 그 정리의 가설을 만족할 때만 선다.

정의 18.1\(\cdot\)18.2와 §1.4의 서식, §1.6의 판정법 표는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 통째로 외우기보다 “증명이 쓴 것은 남기고 쓰지 않은 것은 푼다”라는 한 문장에서 나머지를 재구성하는 쪽이 재현률이 높다.