28주차 — 집합 증명 심화: 곱, 멱집합, 첨자 집합

내용

28주차 — 집합 증명 심화: 곱, 멱집합, 첨자 집합#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 원소가 순서쌍이면 “\((x, y) \in \cdots\)라 하자”로 시작한다 — 추적 대상의 자료형이 바뀔 뿐 엔진은 27주차와 같다.

이 주의 위치: 50주 과정의 28주차. 27주차의 원소 추적을 세 자료형(순서쌍\(\cdot\)집합\(\cdot\)첨자족)으로 확장하고, 4주차와 6주차에서 관찰로만 남겨 둔 항목들을 정리로 승격한다.

원서 대응: BoP(Book of Proof) 8.4 (Examples: Perfect Proofs)와 1.2\(\cdot\)1.8의 증명화 — 병행자 참고용. 원서 없이 읽을 수 있다.

이번 주 목표#

데카르트 곱이 낀 항등식을 순서쌍 추적으로 증명한다.
멱집합이 낀 포함\(\cdot\)상등\(\cdot\)iff를 증명한다 (\(\mathcal{P}(A \cap B) = \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)\) 등).
첨자 합\(\cdot\)교의 드모르간을 양화사 부정(11주차)으로 증명한다.
수론 조건제시 집합의 상등을 양방향 증인 제작으로 증명한다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (27주차 복습)#

\(A = B\)의 증명 서식을 쓰시오 (27주차 정의 27.1).
드모르간 법칙(집합)을 원소 추적으로 증명할 때 엔진이 되는 논리 법칙의 이름을 쓰시오.
\((a, b) = (c, d) \iff \underline{\quad}\)를 완성하시오 (6주차 정의 6.1).
\(X \in \mathcal{P}(A)\)를 부분집합 기호로 번역하시오 (4주차 정의 4.2).
임의의 집합 \(A, B, C\)에 대해 \(A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\)가 성립하는지, 27주차의 원소 추적으로 시작해 보시오.

자주 나오는 세 가지 답 — 5번 문항#

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

유형 1 — 오프닝을 그대로 옮긴 답. “\(x \in A \times (B \cap C)\)라 하자. 그러면

\(x \in A\)이고 \(x \in B \cap C\)이다”로 시작한다. 오프닝의 서식은 정확하다 — 27주차 §1.4가 정한 대로 왼쪽 집합의 임의의 원소를 잡았다. 빠진 것은 원소의 자료형이다. \(A = \{1\}\), \(B = C = \{2\}\)이면 왼쪽 집합의 원소는 순서쌍 \((1,2)\) 하나뿐이고, 그것을 \(x\)로 잡는 순간 “\(x \in A\)”가 거짓이 된다. §1.1에서 해부한다.

유형 2 — 수치 대입으로 확인. 작은 집합을 넣어 양변을 나열하고 같음을 확인한다.

계산은 옳고, 거짓인 후보를 걸러내는 데는 이 방법이 가장 빠르다(27주차 §1.7의 실험 단계). 문제는 주장이 “임의의 집합 \(A, B, C\)”에 대한 것이라는 점이다 — 확인한 사례 밖에서 무너지는 주장의 표본은 1주차 문제 18에 있다.

유형 3 — 말로 설명. “왼쪽은 첫 성분이 \(A\)에 있고 둘째 성분이 \(B\)에도 \(C\)에도

있는 쌍의 모임이고, 오른쪽도 같은 모임이다.” 이 문장의 내용은 정확히 증명이 할 말이다. 빠진 것은 번역이다 — “첫 성분이 \(A\)에 있고”가 \(x \in A\)라는 논리식이 되고 “같다”가 양방향 포함(정의 27.1)이 되어야 검사 가능해진다. 그 번역표를 §1.2에서 만든다.

개념 — 세 자료형의 번역표#

1 27주차의 도구만으로 밀어붙이면 어디서 막히는가#

이번 주의 명제 셋을 이미 가진 도구로 끝까지 밀어붙여 보자.

시도 1 — 곱을 27주차 번역 사전으로

명제: \(A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\).

“(\(\subseteq\)) \(x \in A \times (B \cap C)\)라 하자. 번역 사전을 찾으면 … “

여기서 멈춘다. 27주차 §1.5의 번역 사전에 실린 항목은 \(\cup, \cap, -, {}^c\) 네 개뿐이고 \(\times\)는 없다. 사전에 없는 기호를 만나면 다음 줄을 쓸 근거가 없다. 그래도 \(\cap\)의 항목을 빌려 억지로 밀면 “\(x \in A\)이고 \(x \in B \cap C\)”가 나온다.

확인 1. 억지 번역이 실제로 어긋나는지 구체적인 집합으로 확인해 보자.

\(A = \{1\}\), \(B = C = \{2\}\)일 때 \(A \times (B \cap C)\)의 원소를 전부 적고,

그중 하나를 \(x\)로 잡아 “\(x \in A\)”의 참\(\cdot\)거짓을 판정해 보자.

답

\(A \times (B \cap C) = \{1\} \times \{2\} = \{(1,2)\}\) — 원소는 순서쌍 \((1,2)\) 하나다.

\(x = (1,2)\)로 잡으면 “\(x \in A\)”, 곧 “\((1,2) \in \{1\}\)”은 거짓이다. \(\{1\}\)의 원소는

수 1이지 순서쌍이 아니기 때문이다. 억지 번역은 첫 줄부터 거짓 문장을 만들었다.

무너진 것은 논리가 아니라 자료형이다 — 이 집합의 원소는 수가 아니라 순서쌍이므로,

잡아야 할 것도 \(x\) 하나가 아니라 성분 둘을 가진 \((x, y)\)다.

시도 2 — 멱집합을 27주차 번역 사전으로

명제: \(\mathcal{P}(A \cap B) = \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)\).

“(\(\subseteq\)) \(X \in \mathcal{P}(A \cap B)\)라 하자. 그러면 … “

같은 자리에서 멈춘다. 사전에 \(\mathcal{P}\) 항목이 없다. 게다가 여기서 잡은 \(X\)는 수도 순서쌍도 아니고 집합이다 — 정의 4.2에 의해 \(\mathcal{P}(A \cap B)\)의 원소는 \(A \cap B\)의 부분집합들이다. 원소가 집합인 자리에서는 소속(\(\in\))과 포함(\(\subseteq\))이 한 줄 안에 함께 등장하므로, 둘을 잇는 통로가 따로 필요하다.

시도 3 — 첨자 여집합을 9주차 드모르간으로

명제: \(\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right)^{\!c} = \bigcap_{i \in I} A_i^{\,c}\).

“\(x \in \big(\bigcup_i A_i\big)^c\)이면 \(\neg(x \in A_1 \lor x \in A_2 \lor \cdots)\)이므로, 드모르간 2를 반복 적용하면 … “

여기서도 멈춘다. 드모르간 2(\(\neg(P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q\))는 명제 두 개짜리 법칙이고, 9주차에서 \(2^2 = 4\)행짜리 진리표로 증명했다. 명제가 셋이면 두 번 적용해 처리할 수 있지만, \(I = \mathbb{N}\)이면 \(\lor\)가 무한히 이어진다.

확인 2. 첨자가 무한할 때 “드모르간 2를 반복 적용한다”가 근거가 되지 못하는

이유를 진리표의 크기로 설명해 보자.

답

명제 변수가 \(n\)개인 진리표의 행은 \(2^n\)개다. 첨자가 무한하면 변수도 무한이므로 표를

그릴 수도, 검사를 끝낼 수도 없다. “반복 적용”도 유한 번의 적용을 뜻하므로 무한한

\(\lor\)에는 닿지 않는다. 필요한 것은 개수를 세지 않고 무한 개를 한 문장으로 다루는

표기 — 10주차의 양화사 \(\exists, \forall\)다. 6주차 정의 6.2가 이미 \(\bigcup\)을

“적어도 하나”, \(\bigcap\)을 “모든”으로 정의해 두었다.

세 시도가 막힌 자리는 전부 같다 — 번역표가 없는 기호를 만난 자리다. 이번 주에 하는 일은 새 증명법을 배우는 것이 아니라 번역표를 세 줄 늘리는 것뿐이다. 27주차 §1.5의 세 걸음(번역 \(\to\) 논리 조작 \(\to\) 역번역)은 한 글자도 바뀌지 않는다.

2 곱의 소속 — 사례로 판정 기준 찾기#

\(S = \{1, 2\}\), \(T = \{5, 6\}\)으로 두면 \(S \times T = \{(1,5), (1,6), (2,5), (2,6)\}\)이다. 이 나열과 대조해 각 행을 채워 보자.

순서쌍	첫 성분이 \(S\)에 있는가	둘째 성분이 \(T\)에 있는가	\(S \times T\)에 있는가
\((1, 5)\)	예	예	예
\((2, 7)\)	예	\(\underline{\quad(1)\quad}\)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
\((5, 1)\)	\(\underline{\quad(3)\quad}\)	\(\underline{\quad(4)\quad}\)	\(\underline{\quad(5)\quad}\)
\((2, 6)\)	예	예	\(\underline{\quad(6)\quad}\)

확인 3. 빈칸 (1)~(6)을 채우고, 마지막 열이 “예”인 행의 공통점을 앞의 두 열로

한 문장으로 적어 보자.

답

(1) 아니오 (2) 아니오 (3) 아니오 (4) 아니오 (5) 아니오 (6) 예.

마지막 열이 “예”인 행은 정확히 앞의 두 열이 동시에 “예”인 행이다. 셋째 행이

특히 눈여겨볼 자리다 — 5와 1은 각각 \(T\)와 \(S\)에 속하지만 자리가 바뀌어 있어

탈락한다. 성분과 집합의 짝이 고정되어 있다는 것이 이 표의 관찰이다.

이 관찰에 정식 이름과 형식을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 6주차 정의 6.1을 조건제시법의 소속 판정(정의 3.3)으로 읽어 적었을 뿐이다.

정의 28.1 — 순서쌍의 소속 판정 (membership in a product) [백지 암기 대상]#

집합 \(S, T\)와 대상 \(x, y\)에 대해

\[ (x, y) \in S \times T \iff x \in S \ \land\ y \in T \]

곧 \(S \times T\)의 원소는 순서쌍이며, 그 소속은 첫 성분의 \(S\) 소속과 둘째 성분의

\(T\) 소속 두 조각으로 정확히 분해된다.

읽는 법 — “\((x, y) \in S \times T\)”는 “순서쌍 \((x, y)\)가 \(S\)와 \(T\)의 곱에 속한다”로 읽고, 증명에서는 “첫 성분은 \(S\)에, 둘째 성분은 \(T\)에”로 소리 내어 푼다. 읽는 법까지가 정의다.

3 정의 해부 — 조각마다 하는 일#

조각	하는 일	증명에서의 역할
“순서쌍 \((x, y)\)”	원소의 자료형 선언	오프닝을 바꾼다 — “\(x \in \cdots\)라 하자”가 아니라 “\((x,y) \in \cdots\)라 하자”
“\(x \in S\)”	첫 성분의 소속 조건	왼쪽 집합에서 받아 오고, 오른쪽 집합으로 갈 때 제시한다
“\(\land\)”	두 조건의 결합	성분 하나만 확인하고 끝내면 판정이 미완성이다
“\(y \in T\)”	둘째 성분의 소속 조건	첫 성분과 독립적으로 검사된다
성분과 집합의 짝	첫째는 \(S\), 둘째는 \(T\)	자리를 바꾸면 다른 명제다 — 일반적으로 \(S \times T \neq T \times S\)인 이유(6주차 예제 2.2)

조각 삭제 실험 ①. 첫 조각(자료형)을 지우고 “\(x \in S \times T\)라 하자”로 시작해 보자. 그러면 다음 줄에 쓸 수 있는 것은 “\(x \in S\)이고 \(x \in T\)”뿐이다.

확인 4. 그 문장은 어느 집합의 판정 기준인가. \(S = \{1\}\), \(T = \{2\}\)로 두 집합을

각각 계산해 무엇이 어긋나는지 확인해 보자.

답

“\(x \in S\)이고 \(x \in T\)”는 \(S \cap T\)의 판정 기준(정의 5.1)이다. \(S \times T = \{(1,2)\}\)로

원소가 하나인데 \(S \cap T = \emptyset\)으로 원소가 없다 — 자료형 조각을 지운 번역은

곱의 판정을 교집합의 판정으로 바꿔 읽은 것이며, 원소가 있는 집합을 빈 집합으로

만든다. 문제 18의 답안이 정확히 이 지점에서 무너진다.

조각 삭제 실험 ②. 마지막 조각(성분과 집합의 짝)을 지우고 “두 성분이 각각 \(S\)나 \(T\) 중 어딘가에 속하기만 하면 된다”로 느슨하게 해 보자.

확인 5. 이 느슨한 기준으로 \((5, 1)\)과 \(S = \{1,2\}\), \(T = \{5,6\}\)을 판정하면

결과가 어떻게 되는가. 그리고 \(S \times T\)와 \(T \times S\)의 관계는 어떻게 되는가.

답

\((5,1)\)이 통과한다 — \(5 \in T\)이고 \(1 \in S\)이기 때문이다. 그러면 \(S \times T\)와

\(T \times S\)가 같은 집합이 되어, 6주차 예제 2.2에서 확인한 “곱은 교환되지 않는다”가

무너진다. 순서쌍을 도입한 이유 자체, 곧 자리의 구별이 사라진다. 짝을 고정하는 이

조각이 문제 15의 정리(\(A, B\)가 공집합이 아닐 때 \(A \times B = B \times A \iff A = B\))를

떠받친다.

4 멱집합의 소속 — 층을 오르내리는 통로#

\(A = \{1, 2\}\)로 고정하고 각 행을 채워 보자.

대상 \(X\)	\(X \subseteq A\)인가	\(X \in \mathcal{P}(A)\)인가
\(\{1\}\)	예	예
\(\{1, 2\}\)	\(\underline{\quad(1)\quad}\)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
\(\{1, 3\}\)	\(\underline{\quad(3)\quad}\)	\(\underline{\quad(4)\quad}\)
\(\emptyset\)	\(\underline{\quad(5)\quad}\)	\(\underline{\quad(6)\quad}\)

확인 6. 빈칸 (1)~(6)을 채우고, 두 열 사이의 관계를 한 문장으로 적어 보자.

답

(1) 예 (2) 예 (3) 아니오 (4) 아니오 (5) 예 (6) 예. 두 열의 값이 모든 행에서

일치한다 — \(\mathcal{P}(A)\)의 소속 판정과 \(A\)의 부분집합 판정은 같은 물음이다.

정의 4.2가 \(\mathcal{P}(A) = \{X : X \subseteq A\}\)였으므로 당연한 일치이고, 이 일치가

증명에서 층을 오르내리는 통로가 된다.

정의 28.2 — 멱집합의 소속 판정 (membership in a power set) [백지 암기 대상]#

집합 \(A\)와 대상 \(X\)에 대해

\[ X \in \mathcal{P}(A) \iff X \subseteq A \]

\(\mathcal{P}(A)\)의 원소는 수가 아니라 집합이다.

읽는 법 — “\(X \in \mathcal{P}(A)\)”는 “집합 \(X\)가 \(A\)의 멱집합에 속한다”로 읽고, 증명에서는 “\(X\)는 \(A\)의 부분집합”으로 소리 내어 푼다. 읽는 법까지가 정의다.

식 자체에 새로운 것은 없다 — 정의 4.2를 소속 판정의 꼴로 옮겨 적었을 뿐이다. 이 한 줄이 하는 일은 층 바꾸기다. 왼쪽은 “\(\mathcal{P}(A)\)라는 집합의 원소”라는 소속 문장이고 오른쪽은 “\(A\)의 부분집합”이라는 포함 문장이므로, \(\in\)과 \(\subseteq\) 사이를 왕복하는 통로가 이 등치 하나다.

확인 7. \(A = \{1, 2\}\)일 때 다섯 명제의 참\(\cdot\)거짓을 판정해 보자.

(가) \(2 \in A\) (나) \(\{2\} \in A\) (다) \(\{2\} \subseteq A\)

(라) \(\{2\} \in \mathcal{P}(A)\) (마) \(2 \in \mathcal{P}(A)\)

답

(가) 참. (나) 거짓 — \(A\)의 원소는 수 1과 2이지 집합 \(\{2\}\)가 아니다. (다) 참.

(라) 참 — 정의 28.2에 의해 (다)와 같은 말이다. (마) 거짓 — \(\mathcal{P}(A)\)의 원소는

전부 집합인데 2는 수다. (나)와 (라)의 차이, (가)와 (마)의 차이가 층의 구별이다.

4주차 §1.5에서 \(\in\)과 \(\subseteq\)를 가른 그 구별이 한 층 더 올라간 것이며,

증명에서 대문자 \(X\)를 쓰는 이유가 여기에 있다.

5 첨자족의 소속 — 무한을 양화사로#

6주차 정의 6.2의 말을 10주차의 기호로 바꿔 적어 보자.

표현	정의 6.2의 말	논리식
\(x \in \bigcup_{i \in I} A_i\)	적어도 하나의 \(i \in I\)에 대해 \(x \in A_i\)	\(\underline{\quad(1)\quad}\)
\(x \in \bigcap_{i \in I} A_i\)	모든 \(i \in I\)에 대해 \(x \in A_i\)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)

확인 8. 빈칸 (1)(2)를 채워 보자. 새로 배우는 내용이 있는가.

답

(1) \(\exists i \in I,\ x \in A_i\) (2) \(\forall i \in I,\ x \in A_i\). 새로 배우는 내용은

없다 — 6주차의 “적어도 하나”와 “모든”을 10주차 정의 10.1의 기호로 바꿔 적은

것뿐이다. 표기를 바꾸는 이유는 하나다: 이 꼴이 되어야 11주차의 부정 규칙을 쓸 수 있다.

정의 28.3 — 첨자족의 소속 판정 (membership in an indexed union or intersection) [백지 암기 대상]#

첨자 집합 \(I\)와 집합족 \(\{A_i\}_{i \in I}\)에 대해

\[ x \in \bigcup_{i \in I} A_i \iff \exists i \in I,\ x \in A_i \]

\[ x \in \bigcap_{i \in I} A_i \iff \forall i \in I,\ x \in A_i \]

읽는 법 — \(\{A_i\}_{i \in I}\)는 “첨자 집합 \(I\)에 걸친 집합족”으로 읽고, 첨자 하나를 고르면 집합 하나가 나오는 목록으로 본다. 합집합은 \(\exists\), 교집합은 \(\forall\) — 6주차에서 “\(\lor\)의 무한판이 \(\exists\)”라고 예고했던 대응이 여기서 등치가 된다. 이 표기가 확인 2에서 막혔던 자리를 연다. 무한한 \(\lor\)를 부정하는 규칙은 없었지만, \(\exists\)를 부정하는 규칙은 11주차 부정 총목록 5행에 이미 있다. 이 과정에서 \(I\)는 항상 비어 있지 않다고 약속한다 — \(I = \emptyset\)이면 \(\bigcap\)의 판정이 공허하게 참이 되어 다른 사정이 생긴다.

확인 9. \(x \in \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right)^{\!c}\)를 여집합의 정의(정의 5.2)와

정의 28.3으로 번역한 뒤, 11주차의 규칙으로 부정 기호를 한 겹 안으로 밀어 보자.

답

여집합의 정의로 \(\neg\big(x \in \bigcup_{i \in I} A_i\big)\)이고, 정의 28.3으로 이는

\(\neg\big(\exists i \in I,\ x \in A_i\big)\)이다. 11주차 총목록 5행

\(\neg\exists \leadsto \forall\neg\)에 의해 \(\forall i \in I,\ x \notin A_i\)가 된다.

첨자가 무한해도 규칙 한 번으로 끝난다 — 양화사는 개수를 세지 않기 때문이다.

이 세 줄이 예제 2.3의 몸통 전부다.

6 세 오프닝 — 원소의 자료형이 첫 문장을 정한다#

이번 주에 첫 문장을 정하는 물음은 하나뿐이다: 왼쪽 집합의 원소는 무엇인가.

왼쪽 집합의 꼴	원소의 자료형	첫 문장	이어지는 번역
\(S \times T\)가 낀 표현	순서쌍	“\((x, y) \in \cdots\)라 하자”	정의 28.1 — 성분 둘로 분해
\(\mathcal{P}(\cdot)\)가 낀 표현	집합	“\(X \in \cdots\)라 하자”	정의 28.2 — \(\subseteq\)로 층 이동
\(\bigcup, \bigcap\)이 낀 표현	보통 원소	“\(x \in \cdots\)라 하자”	정의 28.3 — \(\exists\) 또는 \(\forall\)

문자 선택에도 뜻이 있다. 순서쌍에는 성분 둘이 보이도록 \((x, y)\)를 쓰고, 원소가 집합인 자리에는 대문자 \(X\)를 쓴다. 표기가 자료형을 기억시킨다.

확인 10. 다음 세 목표의 첫 문장을 각각 적어 보자.

(가) \(A \times (B - C) \subseteq (A \times B) - (A \times C)\)

(나) \(\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) \subseteq \mathcal{P}(A \cup B)\)

(다) \(\bigcap_{i \in I} A_i \subseteq A_j\) (여기서 \(j \in I\)는 고정된 첨자)

답

(가) “\((x, y) \in A \times (B - C)\)라 하자.” (나) “\(X \in \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)\)라

하자.” (다) “\(x \in \bigcap_{i \in I} A_i\)라 하자.” 세 문장 모두 27주차 §1.4의

\(A \subseteq B\) 서식(“왼쪽 집합의 임의의 원소를 잡는다”)을 그대로 실행한 것이고,

달라진 것은 잡은 원소를 부르는 이름뿐이다. 각각 문제 11, 문제 9, 훈련 3의 첫 문장이다.

7 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개, ④ 행에 추가#

이번 주에도 새 칸은 생기지 않는다. ① 칸에 정의 28.1~28.3이 추가되고, ④ 칸에 동치가 셋 새로 등록된다. 예제 2.1에서 필요해지는 멱등 \(P \land P \equiv P\)와, 재배열에 쓰는 \(\land\)의 교환\(\cdot\)결합이다. 9주차 목록 여덟 개에는 없으므로 여기서 진리표로 검증해 등록한다.

\(P\)	\(P \land P\)
참	참
거짓	거짓

확인 11. 위 표가 등록의 근거로 충분한 이유를 적어 보자. 행이 두 개뿐인 이유도

함께 적는다.

답

변수가 \(P\) 하나뿐이므로 행은 \(2^1 = 2\)개이고, 두 행 모두에서 \(P\) 열과 \(P \land P\) 열의

값이 일치한다. 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 두 식은 동치이므로(9주차 §1.4의 판정

절차), 검사할 경우가 전부 소진되어 증명이 끝난다. 같은 방식으로 \(\land\)의 교환

(\(P \land Q \equiv Q \land P\))과 결합(\((P \land Q) \land R \equiv P \land (Q \land R)\))도

4행\(\cdot\)8행 표로 검증되며, 이번 주에는 이 셋을 함께 근거 ④로 쓴다.

근거	내용	이번 주에는 이렇게 쓴다
① 정의	부분집합(정의 4.1)\(\cdot\)멱집합(정의 4.2), 집합 연산(정의 5.1\(\cdot\)5.2), 순서쌍과 곱(정의 6.1)\(\cdot\)첨자족(정의 6.2), 상등 판정(정의 27.1), 소속 판정(정의 28.1\(\cdot\)28.2\(\cdot\)28.3)	\((x,y) \in S \times T\)를 성분 둘로 분해한다
② 닫힘성	정수의 합\(\cdot\)차\(\cdot\)곱은 정수	증인 \(3a + b\)가 정수임을 별도 설명 없이 쓴다(문제 14)
③ 등식의 성질	대입 / 전개 / 묶기, 지수법칙과 거듭제곱의 단조성(중등 대수로 인정하고 쓴다)	\(12a + 4b = 4(3a + b)\)로 고쳐 쓴다
④ 이미 증명한 명제	9주차 동치 목록 8개, 멱등과 \(\land\)의 교환\(\cdot\)결합, 11주차 부정 총목록, 1~27주차의 예제\(\cdot\)문제	“\(\neg\exists \leadsto \forall\neg\)에 의해”로 한 줄을 정당화한다

확인 12. 어떤 답안에 다음 세 문장이 나왔다. 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) “\(\bigcup\)은 ‘적어도 하나’이니 그림을 보면 당연하다”

(나) “정의 28.1에 의해 \((x,y) \in A \times B\)는 \(x \in A\)이고 \(y \in B\)이다”

(다) “\(\neg(\forall i \in I,\ x \in A_i)\)이므로 \(\exists i \in I,\ x \notin A_i\)이다”

답

(가) 불허 — 그림은 근거 목록 밖이다(27주차 §1.8). 같은 관찰을 정의 28.3으로

“\(\exists i \in I,\ x \in A_i\)”라 적어야 근거가 된다.

(나) 허용 — 근거 ①. 정의에 의한 번역이므로 양방향으로 쓸 수 있다.

(다) 허용 — 근거 ④. 11주차 부정 총목록 4행 \(\neg\forall \leadsto \exists\neg\)의

인용이며, 첨자가 무한해도 그대로 적용된다.

정의 28.1~28.3은 외운다 — 통째로만 외우지 말고 §1.3의 조각별 역할과 함께 외운다. 세 규칙을 잊어도 “이 집합의 원소는 무엇인가”라는 물음 하나에서 재구성할 수 있다.