# 28주차 — 집합 증명 심화: 곱, 멱집합, 첨자 집합

:::{admonition} 이 주의 길잡이
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**핵심 문장**: 원소가 순서쌍이면 "$(x, y) \in \cdots$라 하자"로 시작한다 — 추적 대상의 자료형이 바뀔 뿐 엔진은 27주차와 같다.

**이 주의 위치**: 50주 과정의 28주차. 27주차의 원소 추적을 세 자료형(순서쌍$\cdot$집합$\cdot$첨자족)으로 확장하고, 4주차와 6주차에서 관찰로만 남겨 둔 항목들을 정리로 승격한다.

**원서 대응**: BoP(Book of Proof) 8.4 (Examples: Perfect Proofs)와 1.2$\cdot$1.8의 증명화 — 병행자 참고용. 원서 없이 읽을 수 있다.
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## 이번 주 목표

1. 데카르트 곱이 낀 항등식을 순서쌍 추적으로 증명한다.
1. 멱집합이 낀 포함$\cdot$상등$\cdot$iff를 증명한다 ($\mathcal{P}(A \cap B) = \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)$ 등).
1. 첨자 합$\cdot$교의 드모르간을 양화사 부정(11주차)으로 증명한다.
1. 수론 조건제시 집합의 상등을 양방향 증인 제작으로 증명한다.

본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

## 준비 운동 (27주차 복습)

1. $A = B$의 증명 서식을 쓰시오 (27주차 정의 27.1).
1. 드모르간 법칙(집합)을 원소 추적으로 증명할 때 엔진이 되는 논리 법칙의 이름을 쓰시오.
1. $(a, b) = (c, d) \iff \underline{\quad}$를 완성하시오 (6주차 정의 6.1).
1. $X \in \mathcal{P}(A)$를 부분집합 기호로 번역하시오 (4주차 정의 4.2).
1. 임의의 집합 $A, B, C$에 대해 $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$가 성립하는지, 27주차의 원소 추적으로 시작해 보시오.

### 자주 나오는 세 가지 답 — 5번 문항

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

- **유형 1 — 오프닝을 그대로 옮긴 답.** "$x \in A \times (B \cap C)$라 하자. 그러면

$x \in A$이고 $x \in B \cap C$이다"로 시작한다. 오프닝의 서식은 정확하다 — 27주차 §1.4가 정한 대로 왼쪽 집합의 임의의 원소를 잡았다. 빠진 것은 원소의 **자료형**이다. $A = \{1\}$, $B = C = \{2\}$이면 왼쪽 집합의 원소는 순서쌍 $(1,2)$ 하나뿐이고, 그것을 $x$로 잡는 순간 "$x \in A$"가 거짓이 된다. §1.1에서 해부한다.

- **유형 2 — 수치 대입으로 확인.** 작은 집합을 넣어 양변을 나열하고 같음을 확인한다.

계산은 옳고, 거짓인 후보를 걸러내는 데는 이 방법이 가장 빠르다(27주차 §1.7의 실험 단계). 문제는 주장이 "임의의 집합 $A, B, C$"에 대한 것이라는 점이다 — 확인한 사례 밖에서 무너지는 주장의 표본은 1주차 문제 18에 있다.

- **유형 3 — 말로 설명.** "왼쪽은 첫 성분이 $A$에 있고 둘째 성분이 $B$에도 $C$에도

있는 쌍의 모임이고, 오른쪽도 같은 모임이다." 이 문장의 내용은 정확히 증명이 할 말이다. 빠진 것은 번역이다 — "첫 성분이 $A$에 있고"가 $x \in A$라는 논리식이 되고 "같다"가 양방향 포함(정의 27.1)이 되어야 검사 가능해진다. 그 번역표를 §1.2에서 만든다.

## 개념 — 세 자료형의 번역표

### 1 27주차의 도구만으로 밀어붙이면 어디서 막히는가

이번 주의 명제 셋을 이미 가진 도구로 끝까지 밀어붙여 보자.

:::{admonition} 시도 1 — 곱을 27주차 번역 사전으로
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명제: $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$.

"($\subseteq$) $x \in A \times (B \cap C)$라 하자. 번역 사전을 찾으면 … "
:::

여기서 멈춘다. 27주차 §1.5의 번역 사전에 실린 항목은 $\cup, \cap, -, {}^c$ 네 개뿐이고 $\times$는 없다. 사전에 없는 기호를 만나면 다음 줄을 쓸 근거가 없다. 그래도 $\cap$의 항목을 빌려 억지로 밀면 "$x \in A$이고 $x \in B \cap C$"가 나온다.

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**확인 1.** 억지 번역이 실제로 어긋나는지 구체적인 집합으로 확인해 보자.

$A = \{1\}$, $B = C = \{2\}$일 때 $A \times (B \cap C)$의 원소를 전부 적고,

그중 하나를 $x$로 잡아 "$x \in A$"의 참$\cdot$거짓을 판정해 보자.
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:::{admonition} 답
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$A \times (B \cap C) = \{1\} \times \{2\} = \{(1,2)\}$ — 원소는 순서쌍 $(1,2)$ 하나다.

$x = (1,2)$로 잡으면 "$x \in A$", 곧 "$(1,2) \in \{1\}$"은 거짓이다. $\{1\}$의 원소는

수 1이지 순서쌍이 아니기 때문이다. 억지 번역은 첫 줄부터 거짓 문장을 만들었다.

무너진 것은 논리가 아니라 **자료형**이다 — 이 집합의 원소는 수가 아니라 순서쌍이므로,

잡아야 할 것도 $x$ 하나가 아니라 성분 둘을 가진 $(x, y)$다.
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:::{admonition} 시도 2 — 멱집합을 27주차 번역 사전으로
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명제: $\mathcal{P}(A \cap B) = \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)$.

"($\subseteq$) $X \in \mathcal{P}(A \cap B)$라 하자. 그러면 … "
:::

같은 자리에서 멈춘다. 사전에 $\mathcal{P}$ 항목이 없다. 게다가 여기서 잡은 $X$는 수도 순서쌍도 아니고 **집합**이다 — 정의 4.2에 의해 $\mathcal{P}(A \cap B)$의 원소는 $A \cap B$의 부분집합들이다. 원소가 집합인 자리에서는 소속($\in$)과 포함($\subseteq$)이 한 줄 안에 함께 등장하므로, 둘을 잇는 통로가 따로 필요하다.

:::{admonition} 시도 3 — 첨자 여집합을 9주차 드모르간으로
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명제: $\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right)^{\!c} = \bigcap_{i \in I} A_i^{\,c}$.

"$x \in \big(\bigcup_i A_i\big)^c$이면 $\neg(x \in A_1 \lor x \in A_2 \lor \cdots)$이므로, 드모르간 2를 반복 적용하면 … "
:::

여기서도 멈춘다. 드모르간 2($\neg(P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q$)는 명제 **두 개**짜리 법칙이고, 9주차에서 $2^2 = 4$행짜리 진리표로 증명했다. 명제가 셋이면 두 번 적용해 처리할 수 있지만, $I = \mathbb{N}$이면 $\lor$가 무한히 이어진다.

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**확인 2.** 첨자가 무한할 때 "드모르간 2를 반복 적용한다"가 근거가 되지 못하는

이유를 진리표의 크기로 설명해 보자.
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:::{admonition} 답
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명제 변수가 $n$개인 진리표의 행은 $2^n$개다. 첨자가 무한하면 변수도 무한이므로 표를

그릴 수도, 검사를 끝낼 수도 없다. "반복 적용"도 유한 번의 적용을 뜻하므로 무한한

$\lor$에는 닿지 않는다. 필요한 것은 개수를 세지 않고 무한 개를 한 문장으로 다루는

표기 — 10주차의 양화사 $\exists, \forall$다. 6주차 정의 6.2가 이미 $\bigcup$을

"적어도 하나", $\bigcap$을 "모든"으로 정의해 두었다.
:::

세 시도가 막힌 자리는 전부 같다 — **번역표가 없는 기호를 만난 자리**다. 이번 주에 하는 일은 새 증명법을 배우는 것이 아니라 번역표를 세 줄 늘리는 것뿐이다. 27주차 §1.5의 세 걸음(번역 $\to$ 논리 조작 $\to$ 역번역)은 한 글자도 바뀌지 않는다.

### 2 곱의 소속 — 사례로 판정 기준 찾기

$S = \{1, 2\}$, $T = \{5, 6\}$으로 두면 $S \times T = \{(1,5), (1,6), (2,5), (2,6)\}$이다. 이 나열과 대조해 각 행을 채워 보자.

| **순서쌍** | **첫 성분이 $S$에 있는가** | **둘째 성분이 $T$에 있는가** | **$S \times T$에 있는가** |
|---|---|---|---|
| $(1, 5)$ | 예 | 예 | 예 |
| $(2, 7)$ | 예 | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ |
| $(5, 1)$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | $\underline{\quad(4)\quad}$ | $\underline{\quad(5)\quad}$ |
| $(2, 6)$ | 예 | 예 | $\underline{\quad(6)\quad}$ |

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**확인 3.** 빈칸 (1)~(6)을 채우고, 마지막 열이 "예"인 행의 공통점을 앞의 두 열로

한 문장으로 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
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(1) 아니오  (2) 아니오  (3) 아니오  (4) 아니오  (5) 아니오  (6) 예.

마지막 열이 "예"인 행은 정확히 **앞의 두 열이 동시에 "예"인 행**이다. 셋째 행이

특히 눈여겨볼 자리다 — 5와 1은 각각 $T$와 $S$에 속하지만 **자리가 바뀌어** 있어

탈락한다. 성분과 집합의 짝이 고정되어 있다는 것이 이 표의 관찰이다.
:::

이 관찰에 정식 이름과 형식을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 6주차 정의 6.1을 조건제시법의 소속 판정(정의 3.3)으로 읽어 적었을 뿐이다.

### 정의 28.1 — 순서쌍의 소속 판정 (membership in a product) [백지 암기 대상]

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집합 $S, T$와 대상 $x, y$에 대해

$$
(x, y) \in S \times T \iff x \in S \ \land\ y \in T
$$

곧 $S \times T$의 원소는 **순서쌍**이며, 그 소속은 첫 성분의 $S$ 소속과 둘째 성분의

$T$ 소속 두 조각으로 정확히 분해된다.
:::

읽는 법 — "$(x, y) \in S \times T$"는 "순서쌍 $(x, y)$가 $S$와 $T$의 곱에 속한다"로 읽고, 증명에서는 "첫 성분은 $S$에, 둘째 성분은 $T$에"로 소리 내어 푼다. 읽는 법까지가 정의다.

### 3 정의 해부 — 조각마다 하는 일

| **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** |
|---|---|---|
| "순서쌍 $(x, y)$" | 원소의 자료형 선언 | 오프닝을 바꾼다 — "$x \in \cdots$라 하자"가 아니라 "$(x,y) \in \cdots$라 하자" |
| "$x \in S$" | 첫 성분의 소속 조건 | 왼쪽 집합에서 받아 오고, 오른쪽 집합으로 갈 때 제시한다 |
| "$\land$" | 두 조건의 결합 | 성분 하나만 확인하고 끝내면 판정이 미완성이다 |
| "$y \in T$" | 둘째 성분의 소속 조건 | 첫 성분과 **독립적으로** 검사된다 |
| 성분과 집합의 짝 | 첫째는 $S$, 둘째는 $T$ | 자리를 바꾸면 다른 명제다 — 일반적으로 $S \times T \neq T \times S$인 이유(6주차 예제 2.2) |

**조각 삭제 실험 ①.** 첫 조각(자료형)을 지우고 "$x \in S \times T$라 하자"로 시작해 보자. 그러면 다음 줄에 쓸 수 있는 것은 "$x \in S$이고 $x \in T$"뿐이다.

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**확인 4.** 그 문장은 어느 집합의 판정 기준인가. $S = \{1\}$, $T = \{2\}$로 두 집합을

각각 계산해 무엇이 어긋나는지 확인해 보자.
:::

:::{admonition} 답
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"$x \in S$이고 $x \in T$"는 $S \cap T$의 판정 기준(정의 5.1)이다. $S \times T = \{(1,2)\}$로

원소가 하나인데 $S \cap T = \emptyset$으로 원소가 없다 — 자료형 조각을 지운 번역은

곱의 판정을 교집합의 판정으로 바꿔 읽은 것이며, 원소가 있는 집합을 빈 집합으로

만든다. 문제 18의 답안이 정확히 이 지점에서 무너진다.
:::

**조각 삭제 실험 ②.** 마지막 조각(성분과 집합의 짝)을 지우고 "두 성분이 각각 $S$나 $T$ 중 어딘가에 속하기만 하면 된다"로 느슨하게 해 보자.

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**확인 5.** 이 느슨한 기준으로 $(5, 1)$과 $S = \{1,2\}$, $T = \{5,6\}$을 판정하면

결과가 어떻게 되는가. 그리고 $S \times T$와 $T \times S$의 관계는 어떻게 되는가.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

$(5,1)$이 통과한다 — $5 \in T$이고 $1 \in S$이기 때문이다. 그러면 $S \times T$와

$T \times S$가 같은 집합이 되어, 6주차 예제 2.2에서 확인한 "곱은 교환되지 않는다"가

무너진다. 순서쌍을 도입한 이유 자체, 곧 자리의 구별이 사라진다. 짝을 고정하는 이

조각이 문제 15의 정리(**$A, B$가 공집합이 아닐 때** $A \times B = B \times A \iff A = B$)를

떠받친다.
:::

### 4 멱집합의 소속 — 층을 오르내리는 통로

$A = \{1, 2\}$로 고정하고 각 행을 채워 보자.

| **대상 $X$** | **$X \subseteq A$인가** | **$X \in \mathcal{P}(A)$인가** |
|---|---|---|
| $\{1\}$ | 예 | 예 |
| $\{1, 2\}$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ |
| $\{1, 3\}$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | $\underline{\quad(4)\quad}$ |
| $\emptyset$ | $\underline{\quad(5)\quad}$ | $\underline{\quad(6)\quad}$ |

:::{container} quotebox
**확인 6.** 빈칸 (1)~(6)을 채우고, 두 열 사이의 관계를 한 문장으로 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
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(1) 예  (2) 예  (3) 아니오  (4) 아니오  (5) 예  (6) 예. 두 열의 값이 모든 행에서

일치한다 — $\mathcal{P}(A)$의 소속 판정과 $A$의 부분집합 판정은 같은 물음이다.

정의 4.2가 $\mathcal{P}(A) = \{X : X \subseteq A\}$였으므로 당연한 일치이고, 이 일치가

증명에서 층을 오르내리는 통로가 된다.
:::

### 정의 28.2 — 멱집합의 소속 판정 (membership in a power set) [백지 암기 대상]

:::{container} quotebox
집합 $A$와 대상 $X$에 대해

$$
X \in \mathcal{P}(A) \iff X \subseteq A
$$

$\mathcal{P}(A)$의 원소는 수가 아니라 **집합**이다.
:::

읽는 법 — "$X \in \mathcal{P}(A)$"는 "집합 $X$가 $A$의 멱집합에 속한다"로 읽고, 증명에서는 "$X$는 $A$의 부분집합"으로 소리 내어 푼다. 읽는 법까지가 정의다.

식 자체에 새로운 것은 없다 — 정의 4.2를 소속 판정의 꼴로 옮겨 적었을 뿐이다. 이 한 줄이 하는 일은 층 바꾸기다. 왼쪽은 "$\mathcal{P}(A)$라는 집합의 원소"라는 소속 문장이고 오른쪽은 "$A$의 부분집합"이라는 포함 문장이므로, $\in$과 $\subseteq$ 사이를 왕복하는 통로가 이 등치 하나다.

:::{container} quotebox
**확인 7.** $A = \{1, 2\}$일 때 다섯 명제의 참$\cdot$거짓을 판정해 보자.

(가) $2 \in A$  (나) $\{2\} \in A$  (다) $\{2\} \subseteq A$

(라) $\{2\} \in \mathcal{P}(A)$  (마) $2 \in \mathcal{P}(A)$
:::

:::{admonition} 답
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(가) 참.  (나) 거짓 — $A$의 원소는 수 1과 2이지 집합 $\{2\}$가 아니다.  (다) 참.

(라) 참 — 정의 28.2에 의해 (다)와 같은 말이다.  (마) 거짓 — $\mathcal{P}(A)$의 원소는

전부 집합인데 2는 수다. (나)와 (라)의 차이, (가)와 (마)의 차이가 층의 구별이다.

4주차 §1.5에서 $\in$과 $\subseteq$를 가른 그 구별이 한 층 더 올라간 것이며,

증명에서 대문자 $X$를 쓰는 이유가 여기에 있다.
:::

### 5 첨자족의 소속 — 무한을 양화사로

6주차 정의 6.2의 말을 10주차의 기호로 바꿔 적어 보자.

| **표현** | **정의 6.2의 말** | **논리식** |
|---|---|---|
| $x \in \bigcup_{i \in I} A_i$ | 적어도 하나의 $i \in I$에 대해 $x \in A_i$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ |
| $x \in \bigcap_{i \in I} A_i$ | 모든 $i \in I$에 대해 $x \in A_i$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ |

:::{container} quotebox
**확인 8.** 빈칸 (1)(2)를 채워 보자. 새로 배우는 내용이 있는가.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(1) $\exists i \in I,\ x \in A_i$  (2) $\forall i \in I,\ x \in A_i$. 새로 배우는 내용은

없다 — 6주차의 "적어도 하나"와 "모든"을 10주차 정의 10.1의 기호로 바꿔 적은

것뿐이다. 표기를 바꾸는 이유는 하나다: 이 꼴이 되어야 11주차의 부정 규칙을 쓸 수 있다.
:::

### 정의 28.3 — 첨자족의 소속 판정 (membership in an indexed union or intersection) [백지 암기 대상]

:::{container} quotebox
첨자 집합 $I$와 집합족 $\{A_i\}_{i \in I}$에 대해

$$
x \in \bigcup_{i \in I} A_i \iff \exists i \in I,\ x \in A_i
$$

$$
x \in \bigcap_{i \in I} A_i \iff \forall i \in I,\ x \in A_i
$$
:::

읽는 법 — $\{A_i\}_{i \in I}$는 "첨자 집합 $I$에 걸친 집합족"으로 읽고, 첨자 하나를 고르면 집합 하나가 나오는 목록으로 본다. 합집합은 $\exists$, 교집합은 $\forall$ — 6주차에서 "$\lor$의 무한판이 $\exists$"라고 예고했던 대응이 여기서 등치가 된다. 이 표기가 확인 2에서 막혔던 자리를 연다. 무한한 $\lor$를 부정하는 규칙은 없었지만, $\exists$를 부정하는 규칙은 11주차 부정 총목록 5행에 이미 있다. 이 과정에서 $I$는 항상 비어 있지 않다고 약속한다 — $I = \emptyset$이면 $\bigcap$의 판정이 공허하게 참이 되어 다른 사정이 생긴다.

:::{container} quotebox
**확인 9.** $x \in \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right)^{\!c}$를 여집합의 정의(정의 5.2)와

정의 28.3으로 번역한 뒤, 11주차의 규칙으로 부정 기호를 한 겹 안으로 밀어 보자.
:::

:::{admonition} 답
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여집합의 정의로 $\neg\big(x \in \bigcup_{i \in I} A_i\big)$이고, 정의 28.3으로 이는

$\neg\big(\exists i \in I,\ x \in A_i\big)$이다. 11주차 총목록 5행

$\neg\exists \leadsto \forall\neg$에 의해 $\forall i \in I,\ x \notin A_i$가 된다.

첨자가 무한해도 규칙 한 번으로 끝난다 — 양화사는 개수를 세지 않기 때문이다.

이 세 줄이 예제 2.3의 몸통 전부다.
:::

### 6 세 오프닝 — 원소의 자료형이 첫 문장을 정한다

이번 주에 첫 문장을 정하는 물음은 하나뿐이다: **왼쪽 집합의 원소는 무엇인가.**

| **왼쪽 집합의 꼴** | **원소의 자료형** | **첫 문장** | **이어지는 번역** |
|---|---|---|---|
| $S \times T$가 낀 표현 | 순서쌍 | "$(x, y) \in \cdots$라 하자" | 정의 28.1 — 성분 둘로 분해 |
| $\mathcal{P}(\cdot)$가 낀 표현 | 집합 | "$X \in \cdots$라 하자" | 정의 28.2 — $\subseteq$로 층 이동 |
| $\bigcup, \bigcap$이 낀 표현 | 보통 원소 | "$x \in \cdots$라 하자" | 정의 28.3 — $\exists$ 또는 $\forall$ |

문자 선택에도 뜻이 있다. 순서쌍에는 성분 둘이 보이도록 $(x, y)$를 쓰고, 원소가 집합인 자리에는 대문자 $X$를 쓴다. 표기가 자료형을 기억시킨다.

:::{container} quotebox
**확인 10.** 다음 세 목표의 첫 문장을 각각 적어 보자.

(가) $A \times (B - C) \subseteq (A \times B) - (A \times C)$

(나) $\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) \subseteq \mathcal{P}(A \cup B)$

(다) $\bigcap_{i \in I} A_i \subseteq A_j$ (여기서 $j \in I$는 고정된 첨자)
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(가) "$(x, y) \in A \times (B - C)$라 하자."  (나) "$X \in \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)$라

하자."  (다) "$x \in \bigcap_{i \in I} A_i$라 하자." 세 문장 모두 27주차 §1.4의

$A \subseteq B$ 서식("왼쪽 집합의 임의의 원소를 잡는다")을 그대로 실행한 것이고,

달라진 것은 잡은 원소를 부르는 이름뿐이다. 각각 문제 11, 문제 9, 훈련 3의 첫 문장이다.
:::

### 7 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개, ④ 행에 추가

이번 주에도 새 칸은 생기지 않는다. ① 칸에 정의 28.1~28.3이 추가되고, ④ 칸에 동치가 셋 새로 등록된다. 예제 2.1에서 필요해지는 **멱등** $P \land P \equiv P$와, 재배열에 쓰는 $\land$의 **교환$\cdot$결합**이다. 9주차 목록 여덟 개에는 없으므로 여기서 진리표로 검증해 등록한다.

| **$P$** | **$P \land P$** |
|---|---|
| 참 | 참 |
| 거짓 | 거짓 |

:::{container} quotebox
**확인 11.** 위 표가 등록의 근거로 충분한 이유를 적어 보자. 행이 두 개뿐인 이유도

함께 적는다.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

변수가 $P$ 하나뿐이므로 행은 $2^1 = 2$개이고, 두 행 모두에서 $P$ 열과 $P \land P$ 열의

값이 일치한다. 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 두 식은 동치이므로(9주차 §1.4의 판정

절차), 검사할 경우가 전부 소진되어 증명이 끝난다. 같은 방식으로 $\land$의 교환

($P \land Q \equiv Q \land P$)과 결합($(P \land Q) \land R \equiv P \land (Q \land R)$)도

4행$\cdot$8행 표로 검증되며, 이번 주에는 이 셋을 함께 근거 ④로 쓴다.
:::

| **근거** | **내용** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** |
|---|---|---|
| ① 정의 | 부분집합(정의 4.1)$\cdot$멱집합(정의 4.2), 집합 연산(정의 5.1$\cdot$5.2), 순서쌍과 곱(정의 6.1)$\cdot$첨자족(정의 6.2), 상등 판정(정의 27.1), **소속 판정(정의 28.1$\cdot$28.2$\cdot$28.3)** | $(x,y) \in S \times T$를 성분 둘로 분해한다 |
| ② 닫힘성 | 정수의 합$\cdot$차$\cdot$곱은 정수 | 증인 $3a + b$가 정수임을 별도 설명 없이 쓴다(문제 14) |
| ③ 등식의 성질 | 대입 / 전개 / 묶기, 지수법칙과 거듭제곱의 단조성(중등 대수로 인정하고 쓴다) | $12a + 4b = 4(3a + b)$로 고쳐 쓴다 |
| ④ 이미 증명한 명제 | 9주차 동치 목록 8개, **멱등과 $\land$의 교환$\cdot$결합**, 11주차 부정 총목록, 1~27주차의 예제$\cdot$문제 | "$\neg\exists \leadsto \forall\neg$에 의해"로 한 줄을 정당화한다 |

:::{container} quotebox
**확인 12.** 어떤 답안에 다음 세 문장이 나왔다. 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) "$\bigcup$은 '적어도 하나'이니 그림을 보면 당연하다"

(나) "정의 28.1에 의해 $(x,y) \in A \times B$는 $x \in A$이고 $y \in B$이다"

(다) "$\neg(\forall i \in I,\ x \in A_i)$이므로 $\exists i \in I,\ x \notin A_i$이다"
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(가) 불허 — 그림은 근거 목록 밖이다(27주차 §1.8). 같은 관찰을 정의 28.3으로

"$\exists i \in I,\ x \in A_i$"라 적어야 근거가 된다.

(나) 허용 — 근거 ①. 정의에 의한 번역이므로 양방향으로 쓸 수 있다.

(다) 허용 — 근거 ④. 11주차 부정 총목록 4행 $\neg\forall \leadsto \exists\neg$의

인용이며, 첨자가 무한해도 그대로 적용된다.
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정의 28.1~28.3은 외운다 — 통째로만 외우지 말고 §1.3의 조각별 역할과 함께 외운다. 세 규칙을 잊어도 "이 집합의 원소는 무엇인가"라는 물음 하나에서 재구성할 수 있다.