S7주차 — 특수화: 가정의 “모든”을 써먹는 순간

내용

S7주차 — 특수화: 가정의 “모든”을 써먹는 순간#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 가정 쪽의 “모든”은 의무가 아니라 재료다 — 자격을 검증한 값 하나를 넣으면 그 값에 대한 사실 하나가 나온다.

이 주의 위치: 1학기 20주 과정의 S7주차. S6주차가 결론의 \(\forall\)를 다뤘고 이번 주는 가정의 \(\forall\)를 다룬다. 1권 16주차에서 (W3)을 인용하던 순간, 1권 27주차에서 \(A \subseteq B\)를 원소 하나에 쓰던 순간, 1권 46주차 확인 3에서 “정의 45.1을 \(\frac{\varepsilon}{2}\)에 대해 발동할 권리”를 따지던 순간 — 감각으로 하던 그 동작이 여기서 걸음 번호가 붙은 이름을 얻는다.

원서 대응: Solow 6장. 양화사 4부작의 셋째 장이며, 주간 루틴 1일차에 원서 6장을 통독한 뒤 이 문서로 온다.

이번 주 목표#

가정 속의 전칭을 감지한다 — 드러난 것(“모든”, “임의의”)과 숨은 것(\(\subseteq\), 함수 항등식, 상계, 수렴, 그리고 인용하는 기성 정리 전부).
특수화의 세 걸음(값 지정 \(\cdot\) 자격 검증 \(\cdot\) 사실 수령)을 백지에 쓰고, 각 걸음을 빼면 무엇이 무너지는지 말할 수 있다.
네 칸 표를 완성한다 — 같은 기호 \(\forall\)가 결론에 있으면 의무이고 가정에 있으면 권리인 이유를 설명할 수 있다.
하나의 전칭 사실을 여러 번, 다른 값으로 쓰는 다중 특수화를 실행할 수 있다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (S6주차 복습)#

노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다.

선택법의 절차 네 걸음과 반칙 목록 4종을 쓰시오.
네 칸 표에서 이미 채운 세 칸(결론의 \(\forall\) \(\cdot\) 결론의 \(\exists\) \(\cdot\) 가정의 \(\exists\))의 첫 문장을 각각 쓰시오.
S6주차 문제 7의 방식 2는 S3주차 문제 18의 명제에 \(a = x\), \(b = 1\)을 넣는 길이었다. 그 순간에 확인했어야 할 것은 무엇이었는지 쓰시오.

이어서 다음 명제의 증명을 시작해 보자. “\(A \subseteq B\)이면 \(C \cap A \subseteq C \cap B\)이다.” 첫 문장은 S6주차가 이미 준다 — 결론이 포함관계이므로 선택법이고, “\(x \in C \cap A\)를 임의로 잡자.”로 시작한다. 문제는 그다음이다. 가정으로 받은 \(A \subseteq B\)를 어떤 문장으로 쓰는가.

자주 나오는 세 가지 답#

이 자리에서 나오는 답은 대개 다음 세 가지 중 하나다. 셋 다 S6주차까지를 제대로 익힌 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다.

유형 1 — 가정을 그대로 옮겨 적는다. “\(A \subseteq B\)이므로 \(x \in B\)이다.”

결론은 실제로 참이고, 근거가 \(A \subseteq B\)라는 지목도 옳다. 빠진 것은 그 사이의 한 걸음이다. \(A \subseteq B\)는 \(x\)에 대한 문장이 아니라 \(A\)의 모든 원소에 대한 문장이므로, 이것을 \(x\) 하나에 대한 문장으로 바꿔 놓는 줄이 따로 있어야 한다. 그리고 그 줄에는 \(x\)가 \(A\)에 속한다는 확인이 반드시 들어간다 — 그 확인이 빠지면 \(x \in C\)만 아는 상태에서도 같은 문장을 적게 된다.

유형 2 — 가정 쪽에서 다시 임의로 잡는다. “\(y \in A\)를 임의로 잡자. 그러면

\(y \in B\)이다.” 선택법의 절차 자체는 정확히 실행되었고, 적은 두 문장에 거짓은 없다. 문제는 이렇게 무대에 올린 \(y\)가 지금 다루고 있는 \(x\)와 아무 관계도 맺지 못한다는 것이다. 필요한 것은 새 대상을 잡는 일이 아니라, 이미 무대에 있는 \(x\)를 가정에 넣는 일이다. 잡는 동작과 넣는 동작은 방향이 반대다.

유형 3 — 전개까지만 하고 멈춘다. \(x \in C\)이고 \(x \in A\)까지 풀어 놓은 뒤

\(A \subseteq B\)를 어떻게 써야 할지 몰라 멈춘다. 재료는 이미 전부 모여 있다. 빠진 것은 가정을 소비하는 문장 하나뿐이고, 그 한 문장이 이번 주의 주제다.

개념 — 특수화#

1 선택법만으로는 어디서 막히는가#

S6주차까지의 도구만 가지고 위 명제를 밀어붙여 본다. 결론이 포함관계이므로 선택법의 네 걸음을 그대로 연다.

시도 — 선택법만으로 밀어붙이기

명제: \(A \subseteq B\)이면 \(C \cap A \subseteq C \cap B\)이다.

걸음 ①. “\(x \in C \cap A\)를 임의로 잡자.”

걸음 ②. 사실 목록: \(A \subseteq B\), 그리고 \(x \in C \cap A\).

교체된 결론: 이 \(x\)에 대해 \(x \in C \cap B\).

전진. 교집합의 정의에 의해 \(x \in C\)이고 \(x \in A\)이다.

후진. 핵심 질문 “어떤 원소가 \(C \cap B\)에 속함을 어떻게 보이는가?” 답:

그 원소가 \(C\)에 속하고 \(B\)에도 속함을 각각 보인다. \(x \in C\)는 이미 있다.

남은 것은 \(x \in B\) 하나다.

사실 목록에 남은 것은 \(A \subseteq B\)뿐이다. 그런데 이 문장은 …

여기서 멈춘다. 사실 목록의 \(A \subseteq B\)는 \(x\)라는 글자를 하나도 담고 있지 않다. 전진 걸음은 “가진 사실에서 따라 나오는 새 사실을 적는” 동작인데, \(x\)가 등장하지 않는 문장에서 \(x\)에 대한 문장이 저절로 따라 나오지는 않는다.

확인 1. 멈춘 자리에서 \(x \in B\)를 얻으려면, \(A \subseteq B\)를 어떤 꼴의 문장으로

바꿔 놓아야 하는가. “\(\dots\)이면 \(x \in B\)이다” 꼴로 한 구절 적어 보자.

답

“\(x \in A\)이면 \(x \in B\)이다” — 곧 \(x\)라는 글자가 들어간 조건문이 필요하다.

\(A \subseteq B\)는 정의를 펴면 \(\forall y\,[y \in A \Rightarrow y \in B]\)이고, 이 문장은

\(y\)가 어떤 원소이든 성립한다고 주장한다. 그러므로 \(y\) 자리에 \(x\)를 넣은 문장

“\(x \in A\)이면 \(x \in B\)”도 그중 하나로 이미 주장되어 있다. 이 개별 문장을 꺼내

적는 줄이 빠져 있었던 것이다.

“\(x \in A\)이므로 곧바로 \(x \in B\)”라고 답했다면 결론은 옳다. 다만 그 한 줄 안에

두 가지 일이 겹쳐 있다 — 개별 문장을 꺼내는 일과, \(x\)가 그 문장을 쓸 자격을

갖췄음을 확인하는 일이다. 이번 주는 그 둘을 갈라 적는다.

이 주 전체의 기준

가정 쪽의 전칭 문장은 그대로는 전진에 쓰이지 않는다.

값을 하나 넣어 그 값에 대한 문장으로 바꿔야 사실 목록에 들어간다.

2 구체 사례 표를 채워 보기#

전칭 사실 하나를 놓고, 값을 넣었을 때 무엇이 나오는지 직접 적어 본다. 다음 명제를 (G)라 부르자 — 1권 16주차 예제 2.2에서 증명한 산술–기하 평균 부등식의 양변에 2를 곱한 꼴이다.

전칭 사실 (G)

모든 실수 \(u, v\)에 대해, \(u \ge 0\)이고 \(v \ge 0\)이면 \(u + v \ge 2\sqrt{uv}\)이다.

넣는 값 \((u, v)\)	자격 검증	나오는 문장
\((4, 9)\)	\(4 \ge 0\) ✓, \(9 \ge 0\) ✓	\(13 \ge 2\sqrt{36} = 12\)
\((a, b)\) — 단 \(a > 0\), \(b > 0\)	\(\underline{\quad(1)\quad}\)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
\((x^2, 1)\) — \(x\)는 실수	\(\underline{\quad(3)\quad}\)	\(\underline{\quad(4)\quad}\)
\((-1, -4)\)	\(\underline{\quad(5)\quad}\)	\(\underline{\quad(6)\quad}\)

확인 2. 표의 빈칸 (1)~(6)을 채워 보자. 특히 마지막 줄은 둘째 칸과 셋째 칸을

모두 적은 뒤, 그 셋째 칸을 사실 목록에 넣어도 되는지까지 판정해 보자.

답

(1) \(a > 0\)이므로 \(a \ge 0\) ✓, 같은 이유로 \(b \ge 0\) ✓.

(2) \(a + b \ge 2\sqrt{ab}\).

(3) \(x^2 \ge 0\)은 1권 16주차 (W1) ✓, \(1 \ge 0\) ✓.

(4) \(x^2 + 1 \ge 2\sqrt{x^2}\).

(5) \(-1 \ge 0\)이 거짓이므로 자격 위반이다.

(6) 글자만 옮겨 적으면 \(-5 \ge 2\sqrt{4} = 4\)가 되지만, 이 문장은 거짓이다.

사실 목록에 넣을 수 없다.

셋째 열을 만드는 데 새로운 수학은 한 줄도 쓰이지 않았다 — (G)의 \(u\), \(v\) 자리에

첫째 열을 그대로 옮겨 적었을 뿐이다. 새로운 것은 식이 아니라, **그 문장을 사실

목록에 넣어도 되는지를 결정하는 둘째 열**이다.

이 동작에 이름을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일을 절차로 굳혔을 뿐이다.

3 특수화 — 절차와 해부#

§1.2에서 표의 셋째 열을 만들며 실제로 한 동작을 세 걸음의 절차로 굳힌다.

백지 암기 대상

특수화 (specialization) — 한 판의 절차

사실 목록에 \(\forall t\,[\,\text{자격}(t) \Rightarrow \text{사건}(t)\,]\) 꼴의 문장이 있을 때:

① 값 지정 — 결론을 보고 넣을 값 \(t_0\)를 정한다. 지금 무대에 있는 문자와 상수로만 조립한다.

② 자격 검증 — 자격\((t_0)\)이 성립함을 증명한다.

③ 사실 수령 — 사건\((t_0)\)을 사실 목록에 추가한다.

세 동사로 기억한다: 정한다 \(\cdot\) 검증한다 \(\cdot\) 받는다.

표기 — “…에 적용한다”

“(G)를 \((u, v) = (4, 9)\)에 적용하면 \(13 \ge 12\)이다”는 “모든 \(u, v\)에 대해 성립한다고

이미 확보한 문장 (G)에서, \(u\)와 \(v\) 자리에 4와 9를 넣은 개별 문장을 꺼낸다”로 읽는다.

답안에는 “적용” 대신 “(G)에서 \(u = 4\), \(v = 9\)로 두면”이라고 적어도 같다.

(G)처럼 전칭 사실에 이름표를 붙여 두면, 같은 사실을 여러 번 쓸 때 어느 것을

썼는지 한 글자로 지목할 수 있다 — 다중 특수화(§1.6)에서 곧 필요해진다.

절차 해부. 세 걸음이 각각 무엇을 하고, 빠지면 무엇이 무너지는가.

걸음	하는 일	이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가
① 값 지정	전칭 문장을 개별 문장으로 바꿀 값을 정한다	값이 없으면 전칭 문장은 사실 목록에 그대로 남아 전진에 쓰이지 못한다 — §0 유형 3의 멈춤이 그것이다
② 자격 검증	정한 값이 그 문장을 쓸 조건을 만족함을 보인다	거짓 문장이 사실 목록에 들어간다. 표 넷째 줄의 \(-5 \ge 4\)가 들어가면 그 뒤의 모든 줄이 보증을 잃는다
③ 사실 수령	얻은 개별 문장을 명시적으로 적어 목록에 넣는다	적지 않은 사실은 다음 줄의 근거가 되지 못한다. 검사하는 쪽에서는 어느 사실을 썼는지 복원할 수 없다

걸음 ② 삭제 실험. 자격 검증을 생략하면 정확히 무엇이 무너지는지 실제 사례로 확인한다. S6주차 §3 훈련 1에서 증명한 전칭 사실을 (T)라 하자.

전칭 사실 (T)

모든 실수 \(t\)에 대해, \(t > 0\)이면 \(t + \dfrac1t \ge 2\)이다.

여기에 걸음 ②를 건너뛰고 \(t = -1\)을 넣으면 산출 문장은 \(-1 + \frac{1}{-1} \ge 2\), 곧 \(-2 \ge 2\)가 된다. 이것은 거짓이다. 그런데 (T)는 참인 명제이고 글자를 옮겨 적는 동작에도 실수가 없었다. 거짓이 나온 원인은 오직 하나 — \(-1\)이 자격 \(t > 0\)을 만족하지 않는데도 넣었다는 것이다.

확인 3. (T)에 \(t = -1\)을 넣어 \(-2 \ge 2\)를 얻은 답안이 있다. 이 답안이

무너뜨린 것은 (T)인가, 아니면 다른 무엇인가. 한 문장으로 판정해 보자.

답

(T)는 그대로 참이다. 무너진 것은 그 답안의 사실 목록이다.

(T)가 주장하는 것은 “모든 실수에 대해 \(t + \frac1t \ge 2\)”가 아니라 “자격을

갖춘 \(t\)에 대해서만”이므로, 자격 밖의 \(-1\)에 대해서는 (T)가 아무것도 주장하지

않는다. 아무것도 주장하지 않는 자리에서 문장을 하나 꺼내 목록에 넣었으니,

그 목록에는 근거 없는 문장이 하나 섞인 것이다. 그 뒤로 이어지는 줄은 전부

그 문장을 딛고 있으므로 함께 보증을 잃는다.

자격 검증은 형식적 절차가 아니라, 산출 문장의 참\(\cdot\)거짓을 가르는 관문이다.

4 가정 속의 전칭 감지 [백지 암기 대상]#

특수화를 쓰려면 먼저 사실 목록에서 전칭 문장을 찾아야 한다. “모든”이라는 낱말이 보이지 않는 자리에 숨어 있는 경우가 대부분이다.

가정의 모양	펼친 전칭 문장	넣는 것 \(\to\) 나오는 것
\(A \subseteq B\)	\(\forall y\,[\,y \in A \Rightarrow y \in B\,]\)	\(A\)에 속함이 확인된 원소 \(\to\) 그 원소가 \(B\)에 속한다는 문장
모든 실수 \(x, y\)에 대해 \(f(x+y) = f(x)+f(y)\)	\(\forall x \forall y\,[\,\cdots\,]\) — 전칭이 두 겹	실수 두 개 \((x_0, y_0)\) \(\to\) 등식 \(f(x_0+y_0) = f(x_0)+f(y_0)\)
“\(M\)은 \(S\)의 상계이다”	\(\forall x\,[\,x \in S \Rightarrow x \le M\,]\)	\(S\)에 속함이 확인된 원소 \(\to\) 그 원소가 \(M\) 이하라는 부등식
\(a_n \to L\)	\(\forall \varepsilon\,[\,\varepsilon > 0 \Rightarrow \exists N \cdots\,]\)	양수 \(\varepsilon\) \(\to\) 그 \(\varepsilon\)에 맞는 문턱 \(N\)의 존재
기성 정리 — (W1)~(W6), (G), (T), S3주차 문제 18	정리의 전칭 변수 전부	정리가 요구하는 자격을 갖춘 값 \(\to\) 그 값에서의 결론

마지막 줄이 이번 주의 핵심이다. 1권 내내 해 온 “정리 인용”의 논리적 정체가 특수화다. 1권 16주차에서 (W3)을 “양변에 양수를 곱해도 부등호가 유지된다”로 쓸 때마다 우리는 전칭 정리에 그 순간의 구체적 값을 넣고 있었고, “곱하는 것이 양수인가”를 확인하던 습관이 바로 걸음 ②였다. 1권 46주차 확인 3의 “정의 45.1을 \(\frac{\varepsilon}{2}\)에 대해 발동할 권리는 어디서 나오는가”라는 물음도 같은 걸음을 다른 말로 물은 것이다. 감각으로 하던 동작이 여기서 걸음 번호를 얻는다.

확인 4. 다음 두 문장 중 특수화가 실행된 것은 어느 쪽인가. 실행되지 않은

쪽은 무엇이 빠져 있는가.

(가) “\(M\)은 \(S\)의 상계이고 \(7 \in S\)이므로, 상계의 정의를 \(x = 7\)에 적용하면 \(7 \le M\)이다.”

(나) “\(M\)은 \(S\)의 상계이므로 \(7 \le M\)이다.”

답

(가)가 특수화다. 넣는 값(\(x = 7\)), 자격(\(7 \in S\)), 산출(\(7 \le M\))이 전부

문장에 적혀 있다.

(나)에는 걸음 ②가 빠져 있다. 상계의 정의가 보장하는 것은 \(S\)에 속하는

원소에 대한 부등식뿐이므로, 7이 \(S\)에 속한다는 확인 없이는 \(7 \le M\)을 주장할

근거가 없다. 실제로 \(S = \{1, 2\}\)이고 \(M = 3\)이면 \(M\)은 \(S\)의 상계이지만

\(7 \le 3\)은 거짓이다.

판정 기준은 하나다: **넣은 값이 자격을 만족한다는 문장이 답안에 실제로 적혀

있는가.**

5 네 칸 표의 완성 — 누가 고르는가#

S5\(\cdot\)S6주차와 이번 주를 한 장에 놓으면 네 칸이 모두 채워진다.

양화사가 있는 곳	기법	첫 문장	값을 고르는 쪽	의무인가 권리인가
결론의 \(\forall\)	선택법 (S6주차)	“자격을 갖춘 …를 임의로 잡자”	상대가 고른 셈으로 친다	의무 — 어느 값이 와도 이겨야 한다
결론의 \(\exists\)	구성법 (S5주차)	“… 로 두자”	내가 고른다	의무 — 하나는 반드시 제시해야 한다
가정의 \(\exists\)	전진 한 걸음	“그런 …를 잡자”	이미 정해져 있고 이름만 받는다	권리 — 받아 쓰면 된다
가정의 \(\forall\)	특수화 (이번 주)	“…에 적용하면”	내가 고른다	권리 — 몇 번이든 골라 쓸 수 있다

확인 5. 이 표에서 “내가 고른다”에 해당하는 칸은 둘이다. 그 둘이 표에서

서로 붙어 있지 않은 두 줄(둘째 줄과 넷째 줄)이라는 점을 확인하고, 두 칸에서

값을 고르는 기술이 어떤 점에서 같은지 한 줄로 적어 보자.

답

둘째 줄(결론의 \(\exists\))과 넷째 줄(가정의 \(\forall\))이다.

두 칸 모두 결론을 보고 거꾸로 값을 정한다. 구성법의 증인은 “무엇을 세우면

결론의 등식이 성립하는가”를 역산해 얻고, 특수화의 넣는 값은 “무엇을 넣으면

결론에 필요한 문장이 나오는가”를 역산해 얻는다. 두 경우 모두 고른 값은 지금

무대에 있는 문자와 상수로만 조립해야 한다.

나머지 두 칸은 반대다. 결론의 \(\forall\)는 상대가 고른 값을 받는 자리이고,

가정의 \(\exists\)는 이미 정해진 것에 이름만 붙이는 자리다. 증명이 막히는 이유의

상당 부분은 이 네 칸을 헷갈리는 데서 온다.

6 다중 특수화 — 같은 사실을 여러 번#

전칭 사실은 한 번 쓰면 없어지는 것이 아니다. 같은 문장에 다른 값을 넣어 여러 개의 개별 사실을 얻을 수 있고, 그렇게 얻은 사실들을 더하거나 곱해 결론을 만든다.

(G)를 \((a, b)\), \((b, c)\), \((c, a)\) 세 쌍에 각각 넣어 세 부등식을 얻은 뒤 곱한다 (예제 2.2).
\(f(x+y) = f(x) + f(y)\)에 \((0, 0)\)을 넣고, 또 \((x, -x)\)를 넣는다 (문제 9).
수렴의 정의에 \(\varepsilon\) 대신 \(\frac{\varepsilon}{2}\)를 넣는다 — 1권 46주차에서

두 수렴을 합칠 때 쓰던 배분이 바로 이 걸음이었다.

확인 6. 1권 10주차 문제 18에서 “\(x + y = y\)를 만족하는 \(x\)가 두 개일 수

있는가”를 논증할 때, \(x\)의 조건에 \(y = x'\)을 넣고 \(x'\)의 조건에 \(y = x\)를 넣었다.

이 동작은 이번 주의 어느 절차 몇 번 실행에 해당하는가.

답

특수화 두 번이다 — 전칭 사실이 둘(“모든 \(y\)에 대해 \(x + y = y\)”, “모든 \(y\)에

대해 \(x' + y = y\)”)이고, 각각에 값을 한 번씩 넣었다. 자격은 “실수”뿐이므로

검증이 한 줄로 끝나 눈에 띄지 않았을 뿐이다.

넣는 값을 \(x'\)과 \(x\)로 고른 이유도 이번 주의 언어로 설명된다. 결론이 \(x = x'\)

이므로, 산출 문장에 \(x\)와 \(x'\)이 함께 나타나도록 역산해 고른 것이다.

1권에서 “상투적인 첫 수”라고만 적어 둔 동작이 다중 특수화의 첫 경험이었다.

7 반칙 목록 — 특수화판#

자기 답안을 검열할 때 이 네 줄을 훑는다.

백지 암기 대상

반칙 목록

자격 미검증 \(\cdot\) 결론 등록 \(\cdot\) 칸 착각 \(\cdot\) 무대 밖 문자 — 이 넷이 특수화를 무효로 만든다.

반칙	예	무엇이 무너지는가
자격 미검증	(T)를 \(t = -1\)에 적용해 \(-2 \ge 2\)를 얻는다	거짓 문장이 사실 목록에 들어가고, 그 뒤의 모든 줄이 보증을 잃는다 (§1.3 삭제 실험)
결론 등록	“이 명제는 모든 실수에 대해 성립하므로 \(x = 5\)에 적용하면 …”	아직 증명되지 않은 문장을 사실 목록에 넣었다 — 순환이다 (문제 18)
칸 착각	결론의 \(\forall\)를 가정의 \(\forall\)처럼 다루어 “\(x = 5\)에서 참이므로 모든 \(x\)에서 참”	결론 쪽의 \(\forall\)는 선택법의 의무이지 특수화의 권리가 아니다 (S6주차 반칙 목록의 특정값 대입)
무대 밖 문자	아직 무대에 올라오지 않은 문자 \(N\)을 넣는 값으로 쓴다	넣은 값이 무엇인지 정해지지 않아 산출 문장이 뜻을 갖지 못한다 (S6주차의 선잡기와 같은 병)

확인 7. 다음 답안의 반칙은 넷 중 어느 것인가.

“모든 양의 실수 \(u, v\)에 대해 \(u + v \ge 2\sqrt{uv}\)이다. 이를 \((u, v) = (x, y)\)에

적용하면 모든 실수 \(x, y\)에 대해 \(x + y \ge 2\sqrt{xy}\)이다.”

답

자격 미검증이다. 넣은 값 \((x, y)\)에 대해 \(x > 0\), \(y > 0\)이 확인되지 않았는데

산출 문장을 “모든 실수 \(x, y\)”에 대해 주장했다.

반례로 \(x = -1\), \(y = -4\)를 넣으면 \(-5 \ge 4\)가 되어 산출 문장이 거짓이 된다.

올바른 결론은 “모든 양의 실수 \(x, y\)에 대해”이며, 자격을 그대로 달고 나오는

것이 특수화의 산출 문장이다.

8 근거 목록 갱신#

근거	이번 주에 추가되는 것	이번 주에는 이렇게 쓴다
① 정의	변화 없음	\(\subseteq\)\(\cdot\)상계\(\cdot\)수렴을 전칭 문장으로 펴는 걸음에서 계속 쓴다
② 닫힘성	변화 없음	넣는 값을 조립할 때 그 값이 정수\(\cdot\)실수임을 한 줄로 확인한다
③ 등식의 성질	변화 없음	여러 산출 부등식을 더하거나 곱해 결론을 조립할 때 쓴다
④ 이미 증명한 명제	(G) — 1권 16주차 예제 2.2, (T) — S6주차 §3 훈련 1, S6주차 문제 12(\(u^2+v^2 \ge 2uv\)), 1권 46주차 문제 15(수렴하면 유계)	“(G)를 \((a, b)\)에 적용하면”처럼 이름표와 넣는 값을 함께 적는다

목록의 칸이 늘지는 않는다. 이번 주가 바꾸는 것은 근거의 개수가 아니라 근거 ④를 쓰는 형식이다. 지난주까지 “(W3)에 의해”로 끝내던 한 줄이, 이번 주부터는 “무엇에 적용했고 자격은 무엇이었는가”를 함께 적는 세 걸음짜리 문장이 된다.