44주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

44주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 계산에서 궁합 정리까지#

세 예제에서 지지대를 하나씩 뺀다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 한 뒤 완성본을 보며, 예제 2.3은 설계부터 혼자 한 뒤 산문과 대조한다.

예제 2.1 — 상과 원상의 계산#

문제. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\)에 대해 다음을 구하시오: \(f([1, 2])\), \(f([-1, 1])\), \(f^{-1}([1, 4])\), \(f^{-1}(\{-1\})\).

설계 — 계산 전에 정하는 것. 주어진 것(출발점)과 만들 것(도착점)을 정의 44.1로 번역한다.

말

수식 번역

주어진 것

\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\)

규칙과 무대. 단사도 전사도 아니다(준비 운동 2번) — 역함수는 쓸 수 없다

만들 것 1, 2

상 \(f([1,2])\), \(f([-1,1])\)

출발점은 구간의 원소 전부, 도착점은 \(\{x^2 : x \in \text{구간}\}\)

만들 것 3, 4

원상 \(f^{-1}([1,4])\), \(f^{-1}(\{-1\})\)

출발점은 조건 \(\underline{\quad(?)\quad}\), 도착점은 그 조건의 해집합

확인 10. 번역표의 빈칸을 채워 보자. 원상을 구하는 일은 결국 무엇을 푸는 일인가.

답

조건은 \(f(x) \in Y\), 즉 여기서는 \(x^2 \in [1, 4]\)와 \(x^2 \in \{-1\}\)이다.

원상을 구하는 일은 부등식 또는 방정식을 실수 전체에서 푸는 일이다.

새로운 계산 기술은 없다 — 1부에서 하던 해집합 구하기에 이름이 붙었을 뿐이다.

1단계 — 상 두 개. 출력을 모으려면 구간 위에서 \(x^2\)이 어떤 값을 취하는지 본다.

확인 11. \(x\)가 \([1, 2]\)를 훑을 때 \(x^2\)의 최솟값과 최댓값은 각각 얼마인가. 그 사이 값이 전부 나오는가.

답

\([1, 2]\)에서 \(x^2\)은 증가하므로 최솟값 \(1^2 = 1\), 최댓값 \(2^2 = 4\)다. 그리고

\(1 \le c \le 4\)인 아무 \(c\)에 대해 \(x = \sqrt{c} \in [1, 2]\)가 \(f(x) = c\)를 만족하므로

사이 값이 전부 나온다(근거 ④ — 음이 아닌 실수의 제곱근은 존재한다, 16주차 §1.2;

여기서 쓰는 것은 \(f\)의 역함수가 아니라 \([0, \infty)\) 위에서 정의된 별개의 함수다).

따라서 \(f([1, 2]) = [1, 4]\)이다. 상을 구할 때는

끝값만이 아니라 사이 값이 다 채워지는지까지 확인한다.

확인 12. \(x\)가 \([-1, 1]\)을 훑을 때는 어떤가. 최솟값이 어디에서 나오는지 주의해 보자.

답

최솟값은 끝점이 아니라 \(x = 0\)에서 나온다 — \(f(0) = 0\). 최댓값은 양 끝

\(f(-1) = f(1) = 1\)이다. \(0 \le c \le 1\)이면 \(x = \sqrt{c} \in [0, 1] \subseteq [-1, 1]\)이

증인이므로(근거 ④ — 확인 11과 같은 인용이다) 사이 값도 전부 나온다. 따라서

\(f([-1, 1]) = [0, 1]\)이다.

끝점만 계산해 \([1, 1]\)이나 \([-1, 1]\)로 적는 경우가 있는데, 상은 구간의 상이 아니라

출력값의 모임이므로 내부 점도 후보다.

2단계 — 원상 두 개. 조건을 풀어 해집합을 구한다.

확인 13. \(1 \le x^2 \le 4\)를 절댓값으로 바꾸고, 경우를 나누어 해집합을 구해 보자.

답

\(x^2 = |x|^2\)이므로 \(1 \le x^2 \le 4\)는 \(1 \le |x| \le 2\)와 같은 말이다.

\(x \ge 0\)인 경우 \(|x| = x\)이므로 \(1 \le x \le 2\), \(x < 0\)인 경우 \(|x| = -x\)이므로

\(1 \le -x \le 2\), 즉 \(-2 \le x \le -1\)이다. 두 경우를 합치면

\(f^{-1}([1, 4]) = [-2, -1] \cup [1, 2]\)이다. 음수 가지를 빠뜨리면 절반만 남는다.

확인 14. \(f^{-1}(\{-1\})\)은 어떤 조건의 해집합인가. 그 해집합이 비어 있어도 계산이 유효한 이유는 무엇인가.

답

조건은 \(x^2 = -1\)이고, 실수의 제곱은 음이 아니므로 해가 없다 —

\(f^{-1}(\{-1\}) = \emptyset\)이다. 정의 44.1은 조건을 만족하는 원소를 모으라고만

하고 개수를 요구하지 않으므로(확인 4), 모을 것이 하나도 없으면 결과가 공집합이다.

답을 “없다”나 “정의되지 않는다”로 적으면 안 된다 — \(\emptyset\)은 멀쩡한 집합이다.

완성본. 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

\(f([1,2]) = \{x^2 : 1 \le x \le 2\}\)이고, \([1,2]\)에서 \(x^2\)은 \(1\)부터 \(4\)까지 값을 빠짐없이 취하므로 \(f([1,2]) = [1, 4]\)이다.

상의 정의(근거 ①)로 기호를 풀고, 최솟값\(\cdot\)최댓값과 사이 값(증인 \(\sqrt{c}\), 근거 ④)을 확인해 조립한다

\(f([-1,1]) = \{x^2 : -1 \le x \le 1\}\)이고, 최솟값은 \(x = 0\)에서 \(0\), 최댓값은 \(x = \pm1\)에서 \(1\)이므로 \(f([-1,1]) = [0, 1]\)이다.

같은 절차. 최솟값이 끝점이 아니라 내부에서 나온다는 점만 다르다

\(f^{-1}([1,4]) = \{x \in \mathbb{R} : 1 \le x^2 \le 4\}\)이고, 이는 \(1 \le \lvert x \rvert \le 2\)와 같으므로 \(f^{-1}([1,4]) = [-2,-1] \cup [1,2]\)이다.

원상의 정의(근거 ①)로 기호를 조건으로 풀고, 절댓값과 경우 나누기(17주차)로 해집합을 구한다

\(f^{-1}(\{-1\}) = \{x \in \mathbb{R} : x^2 = -1\} = \emptyset\)이다.

같은 절차. 해가 없으면 결과는 공집합이며, 이것으로 계산이 끝난다

대입 검산. \(-1.5 \in f^{-1}([1,4])\)인지 확인해 보면 \((-1.5)^2 = 2.25 \in [1, 4]\) ✓. \(-0.5\)는 \((-0.5)^2 = 0.25 \notin [1,4]\)이므로 탈락 ✓ — 실제로 \(-0.5 \notin [-2,-1] \cup [1,2]\)다. 계산한 집합의 안팎에서 한 점씩 골라 조건에 넣어 보는 것이 원상 계산의 검산이다.

예제 2.2 — (P2): 반쪽 포함과 등호 반례#

명제. \(f(X_1 \cap X_2) \subseteq f(X_1) \cap f(X_2)\)이며, 등호는 일반적으로 성립하지 않는다.

이번에는 설계만 함께 한다. 할 일이 두 개(포함 증명과 반례)이므로 번역표도 두 줄이다.

말

수식 번역

목표 1

왼쪽이 오른쪽에 포함됨

결론이 \(\subseteq\)이므로 첫 문장은 \(\underline{\quad(1)\quad}\)

목표 2

등호가 일반적으로는 거짓

반례 한 벌 — 후보 제시, 양변 계산, 다름 확인의 세 줄

쓸 도구

상의 원소 번역

\(y \in f(X_1 \cap X_2)\)를 \(\underline{\quad(2)\quad}\)로 푼다

확인 15. 번역표의 빈칸 (1)(2)를 채워 보자.

답

(1) “\(y \in f(X_1 \cap X_2)\)라 하자” — 27주차 \(\subseteq\) 증명의 표준 오프닝이다.

왼쪽 집합의 원소를 아무거나 하나 잡는다.

(2) “\(f(x) = y\)인 \(x \in X_1 \cap X_2\)가 존재한다” — 증인 \(x\)를 확보한다.

증인을 잡았으면 그 \(x\)에 이름을 고정해 두고 끝까지 같은 \(x\)를 쓴다.

확인 16. 확보한 증인 \(x\)는 \(X_1 \cap X_2\)의 원소다. 여기서 오른쪽 집합의 두 조각을 각각 얻으려면 무엇을 쓰는가. 그리고 이 방향이 문제없이 끝나는 이유는 무엇인가.

답

교집합의 정의(5주차)로 \(x \in X_1\)이고 \(x \in X_2\)를 얻는다. 그러면 같은 \(x\)가

\(y \in f(X_1)\)의 증인이자 \(y \in f(X_2)\)의 증인이 된다. 이 방향이 문제없는 이유는

증인이 하나뿐이기 때문이다 — 하나의 원소가 양쪽 소속을 동시에 증명한다.

반대 방향에서는 증인을 두 개 얻게 되고, 그 둘이 같다는 보장이 없다.

완성본.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

\(y \in f(X_1 \cap X_2)\)라 하자.

결론이 \(\subseteq\)이므로 왼쪽 집합의 임의의 원소를 잡는다(27주차 서식)

상의 원소 번역에 의해 \(f(x) = y\)인 \(x \in X_1 \cap X_2\)가 존재한다. 그런 \(x\)를 하나 잡자.

근거 ① 정의 44.1. \(\exists\)를 만나면 증인을 잡아 이름을 고정한다(26주차)

교집합의 정의에 의해 \(x \in X_1\)이고 \(x \in X_2\)이다.

근거 ① 교집합의 정의(5주차). 확보한 정보를 두 조각으로 나눈다

\(x \in X_1\)이고 \(f(x) = y\)이므로 \(y \in f(X_1)\)이다. 마찬가지로 \(x \in X_2\)이고 \(f(x) = y\)이므로 \(y \in f(X_2)\)이다.

상의 원소 번역을 반대 방향으로 쓴다. 같은 증인 하나가 양쪽을 동시에 책임진다

따라서 \(y \in f(X_1) \cap f(X_2)\)이고, \(f(X_1 \cap X_2) \subseteq f(X_1) \cap f(X_2)\)이다. \(\blacksquare\)

교집합의 정의로 합치고 포함을 선언한다

등호 반례. 확인 7에서 이미 계산한 것이 그대로 반례가 된다. \(f(x) = x^2\), \(X_1 = \{1\}\), \(X_2 = \{-1\}\)이라 하자. 좌변은 \(X_1 \cap X_2 = \emptyset\)이고, 확인 7에서 본 대로 \(f(\emptyset) = \emptyset\)이다. 우변은 \(f(X_1) \cap f(X_2) = \{1\} \cap \{1\} = \{1\}\)이다. \(\emptyset \neq \{1\}\)이므로 등호는 성립하지 않는다 ✗.

해부. 우변의 \(1\)은 왼쪽 항에서는 증인 \(1\)로, 오른쪽 항에서는 증인 \(-1\)로 들어갔다. 서로 다른 두 증인이 우연히 같은 값을 낸 것이다. 역방향 증명을 시도하면 “\(f(x_1) = y = f(x_2)\)인 \(x_1 \in X_1\), \(x_2 \in X_2\)를 얻었다”까지는 가지만 \(x_1 = x_2\)를 말할 근거가 없어 거기서 멈춘다. \(f\)가 단사이면 바로 그 근거가 생겨 증인이 강제로 일치하고 등호가 산다 — 문제 12가 그 증명이다.

예제 2.3 — (P4): 원상은 ∩도 보존한다#

명제. \(f^{-1}(Y_1 \cap Y_2) = f^{-1}(Y_1) \cap f^{-1}(Y_2)\).

이번에는 설계부터 혼자 한다. 아래 확인에 스스로 답한 뒤 풀이와 대조한다.

확인 17. 두 가지를 먼저 정해 보자. ① 결론이 집합 상등이므로 쓸 수 있는 서식이 두 가지 있다(27주차) — 무엇과 무엇인가. ② 이 명제에서는 둘 중 어느 쪽이 유리한가. §1.4의 두 번역 중 어느 것을 쓰게 되는지 보고 판단해 보자.

답

① 양방향 포함(\(\subseteq\)와 \(\supseteq\)를 각각 증명)과 동치 사슬(한 줄로 왕복)이다.

② 동치 사슬이 유리하다. 이 명제에 등장하는 기호는 원상뿐이고, 원상의 원소

번역 “\(x \in f^{-1}(Y) \iff f(x) \in Y\)”는 \(\exists\)가 없는 동치이므로 왕복이

보장된다. 예제 2.2를 이렇게 한 줄 사슬로 못 쓴 이유는 상의 번역이 동치가

아니어서가 아니라(번역 자체는 \(\iff\)다), \(\exists\)가 \(\cap\)(“그리고”)을 통과하지

못하기 때문이다 — “\(X_1 \cap X_2\)에 증인이 있다”는 “\(X_1\)에 증인이 있고

\(X_2\)에 증인이 있다”와 같은 말이 아니다.

풀이. 임의의 \(x \in A\)에 대해 다음이 성립한다.

\[ x \in f^{-1}(Y_1 \cap Y_2) \iff f(x) \in Y_1 \cap Y_2 \iff f(x) \in Y_1 \ \text{그리고}\ f(x) \in Y_2 \]
\[ \iff x \in f^{-1}(Y_1) \ \text{그리고}\ x \in f^{-1}(Y_2) \iff x \in f^{-1}(Y_1) \cap f^{-1}(Y_2) \]

첫째 동치는 원상의 원소 번역(정의 44.1), 둘째는 교집합의 정의(5주차), 셋째는 원상의 원소 번역을 각 조각에 반대 방향으로 적용한 것, 넷째는 다시 교집합의 정의다. 모든 단계가 동치이므로 두 집합은 서로를 포함하고, 따라서 상등이다. \(\blacksquare\)

같은 사슬에서 “그리고”를 “또는”으로, \(\cap\)을 \(\cup\)으로 바꾸면 (P3)의 증명이 된다 — 훈련 2에서 그 사슬의 빈칸을 채운다. 상과 원상의 비대칭은 결국 \(\exists\)의 유무 하나였다.

관찰 — 세 예제의 같은 뼈대#

소재는 계산\(\cdot\)포함 증명\(\cdot\)상등 증명으로 다르지만 걸음은 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

단계

예제 2.1

예제 2.2

예제 2.3

① 기호를 원소 번역으로 푼다

\(f(X) = \{x^2 : x \in X\}\), \(f^{-1}(Y) = \{x : x^2 \in Y\}\)

\(y \in f(X_1 \cap X_2)\)를 증인 존재로

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

② 얻은 조건을 다룬다

최댓값\(\cdot\)최솟값 확인, 부등식 풀이

\(\underline{\quad(2)\quad}\)

“그리고”를 두 조각으로 분리

③ 도착점 쪽 정의로 되감아 선언한다

구간\(\cdot\)공집합으로 조립

\(y \in f(X_1) \cap f(X_2)\) 선언

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

확인 18. 대응표의 (1)(2)(3)을 채워 보자.

답

(1) \(x \in f^{-1}(Y_1 \cap Y_2)\)를 \(f(x) \in Y_1 \cap Y_2\)로 (원상의 원소 번역).

(2) 증인 \(x\)를 잡고 교집합의 정의로 \(x \in X_1\), \(x \in X_2\)를 얻는다.

(3) 원상의 원소 번역과 교집합의 정의로 되감아 \(x \in f^{-1}(Y_1) \cap f^{-1}(Y_2)\)를

얻고, 모든 단계가 동치이므로 상등을 선언한다.

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

백지 암기 대상

상\(\cdot\)원상 문제의 3단계

① 기호를 §1.4의 원소 번역으로 푼다 \(\to\) ② 얻은 조건을 다룬다(상 쪽이면 증인을

잡고, 원상 쪽이면 조건을 논리 연산으로 정리한다) \(\to\) ③ 도착점 쪽 기호의 원소

번역으로 되감아 결론을 선언한다.

상 쪽이 끼면 \(\exists\)가 “그리고”를 통과하지 못하므로 사슬 대신 양방향 포함으로

쓰고, 원상만 나오면 동치 사슬로 한 번에 쓴다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

모의시험 전의 마지막 다리다. 훈련 1은 계산, 훈련 2는 동치 사슬 증명, 훈련 3은 포함 증명 — 시험에 나오는 세 종류의 일을 하나씩 예행한다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6 해설에 있다.

훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸#

과제. \(h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(h(x) = 2x + 1\)이라 하자.

\[ h([0, 3]) = \{2x + 1 : 0 \le x \le 3\} = [\underline{\quad(1)\quad},\ \underline{\quad(2)\quad}] \]
\[ h^{-1}(\{7\}) = \{x \in \mathbb{R} : 2x + 1 = 7\} = \{\underline{\quad(3)\quad}\} \]
\[ h^{-1}([1, 9]) = \{x \in \mathbb{R} : 1 \le 2x + 1 \le 9\} = [\underline{\quad(4)\quad},\ \underline{\quad(5)\quad}] \]
\[ h^{-1}(\emptyset) = \underline{\quad(6)\quad} \]

\(h\)는 전단사이므로 \(h^{-1}(\{7\})\)의 원소 개수는 \(\underline{\quad(7)\quad}\)개다.

훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#

이번에는 근거 문장도 빈칸이다.

명제. (P3) \(f^{-1}(Y_1 \cup Y_2) = f^{-1}(Y_1) \cup f^{-1}(Y_2)\).

증명. 임의의 \(x \in A\)에 대해:

\(x \in f^{-1}(Y_1 \cup Y_2) \iff \underline{\quad(1)\quad}\) — 근거: \(\underline{\quad(2)\quad}\)

\(\iff f(x) \in Y_1\) 또는 \(f(x) \in Y_2\) — 근거: \(\underline{\quad(3)\quad}\)

\(\iff x \in \underline{\quad(4)\quad}\) 또는 \(x \in \underline{\quad(5)\quad}\) — 근거: 원상의 원소 번역(반대 방향)

\(\iff x \in f^{-1}(Y_1) \cup f^{-1}(Y_2)\) — 근거: \(\underline{\quad(6)\quad}\)

모든 단계가 \(\underline{\quad(7)\quad}\)이므로 두 집합은 상등이다. \(\blacksquare\)

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

명제. \(X_1 \subseteq X_2 \subseteq A\)이면 \(f(X_1) \subseteq f(X_2)\)이다. (상의 단조성 — 문제 10의 부품)

지지대는 뼈대 세 칸뿐이다. 각 칸을 문장으로 통째로 채운다.

  • ① 결론이 \(\subseteq\)이므로 첫 문장: \(\underline{\quad(1)\quad}\)

  • ② 상의 원소 번역으로 확보되는 것과, 가정 \(X_1 \subseteq X_2\)를 쓰는 자리: \(\underline{\quad(2)\quad}\)

  • ③ 되감아 결론을 선언하는 문장: \(\underline{\quad(3)\quad}\)

연습문제 (20문항)#

이 20문항은 9부(40~44주차) 총정리 모의시험을 겸한다. 규칙은 세 줄이다.

  • 교재와 노트를 덮고 150분 안에 푼다. 시험 중에는 힌트 상자를 열지 않는다.

  • 다 푼 뒤 §6 해설로 채점한다. 문제 1(정의)에서 하나라도 틀리면 해당 주차의 정의 상자부터 재복습한 뒤 넘어간다.

  • 채점 후 틀린 문제는 힌트 상자와 해설의 ‘접근’까지만 읽고 한 번 더 시도한다 — 그래도 안 되면 풀이를 읽는다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. 판정 문제는 판정과 이유가 모두 맞아야 정답으로

친다. 증명 문제는 결론이 아니라 각 줄의 근거(정의\(\cdot\)이미 증명한 명제)를 채점하고,

반례 문제는 후보 제시\(\cdot\)양변 계산\(\cdot\)다름 확인의 세 줄이 다 있어야 완결로 친다.

역함수를 다루는 문제(5, 15)에서는 자격(전단사 확인)과 검증(항등식 두 개)이

빠지면 계산이 맞아도 미완이다. 총정리 범위는 40~44주차 전부다. 문항이 어느

주차의 도구를 쓰는지는 이렇다 — 문제 1~3은 40주차, 문제 1\(\cdot\)4\(\cdot\)16\(\cdot\)18은 41주차,

문제 7~9는 42주차, 문제 5\(\cdot\)15\(\cdot\)19는 43주차, 문제 1\(\cdot\)6\(\cdot\)10~14\(\cdot\)17\(\cdot\)18(b)는 이번 주,

문제 20은 종합이다.

기본 ●○○#

1. [정의 백지 테스트] 함수(\(\exists!\) 조건) / 단사 / 전사 / 상 \(f(X)\) / 원상 \(f^{-1}(Y)\)를 정의하시오.

힌트

정의는 유도가 아니라 암기의 확인이다. 다섯 개 각각에 빠지면 정의가 무너지는

조각이 하나씩 있다 — 자기 채점할 때 그 조각의 유무부터 본다. 원상의 정의에

“역함수”라는 낱말이 들어갔다면 그 자리가 무너진 자리다.

2. \(A = \{1,2,3\}\), \(B = \{a,b\}\): 관계 \(\{(1,a),(2,b)\}\), \(\{(1,a),(1,b),(2,a),(3,b)\}\), \(\{(1,b),(2,b),(3,a)\}\) 중 함수를 골라내고, 탈락자의 위반 조건을 지적하시오.

힌트

정의역 \(A\)의 원소 \(1, 2, 3\)을 하나씩 심문한다. 각 입력에 대응하는 순서쌍이

정확히 하나인지 세면 된다 — 없으면 전체성 위반, 둘 이상이면 유일성 위반이다.

출력이 겹치는 것은 함수 조건과 무관하다.

3. \(f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(f(n) = 4n - 3\)의 치역을 조건제시법으로 쓰고 양방향 포함으로 증명하시오.

힌트

치역은 정의 44.1의 \(f(\mathbb{Z})\)다. 후보 집합을 \(\{4k - 3 : k \in \mathbb{Z}\}\)로

세우고 27주차 양방향 포함을 쓴다. (\(\supseteq\)) 방향이 증인 제작이다 —

만든 증인이 정의역에 속하는지(근거 ②)까지 확인해야 완결이다.

4. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 5 - 2x\)가 전단사임을 증명하시오.

힌트

41주차 서식 4종 중 단사 증명과 전사 증명을 각각 쓴다. 두 조건은 서로 독립이므로

한쪽만으로는 전단사가 되지 않는다. 전사 증명의 증인은 \(y = 5 - 2x\)를 \(x\)에 대해

푼 식이고, 그 식이 문제 5의 답으로 그대로 이어진다.

5. 문제 4의 \(f\)의 역함수를 구하고 두 항등식으로 검증하시오.

힌트

순서는 자격 \(\to\) 계산 \(\to\) 검증이다. 자격은 문제 4에서 이미 확보했다(43주차 핵심

정리). 검증은 \(f^{-1} \circ f = \mathrm{id}\)와 \(f \circ f^{-1} = \mathrm{id}\) 두 개를

각각 계산해 보이는 것이고, 한쪽만으로는 미완이다.

6. \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(x) = x^2\)에 대해 계산하시오: (a) \(g([0, 3])\) (b) \(g(\{-2, 2\})\) (c) \(g^{-1}(\{9\})\) (d) \(g^{-1}([0, 1])\) (e) \(g^{-1}(\{-4\})\)

힌트

(a)(b)는 상 — 출력을 모으고, 집합이 중복을 흡수한다는 점을 잊지 않는다.

(c)(d)(e)는 원상 — 조건 \(g(x) \in Y\)를 실수 전체에서 푼다. 예제 2.1의 확인 13처럼

음수 가지를 반드시 확인하고, 해가 없으면 답은 \(\emptyset\)이다.

표준 ●●○#

7. \(f(x) = 3x + 2\), \(g(x) = x^2 - 1\) (\(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\))일 때 \(g \circ f\)와 \(f \circ g\)를 구하고 다름을 입력 하나로 보이시오.

힌트

42주차 정의 42.1은 괄호 안쪽, 곧 오른쪽 함수부터 실행하라고 한다. 두 합성을

각각 전개한 뒤 “식이 달라 보인다”로 끝내지 말고, 40주차 함수 상등의 셋째

기준을 부정할 입력 하나를 제시한다.

8. 단사 보존 정리(\(f, g\) 단사 \(\Rightarrow\) \(g \circ f\) 단사)를 백지 재현하시오.

9. “\(g \circ f\)가 전사이지만 \(f\)는 전사가 아닌” 반례를 구성하고 검증하시오.

힌트

42주차 역추적 정리는 “\(g \circ f\) 전사 \(\Rightarrow\) \(g\) 전사”만 준다. 돌아오지 않는

나머지 절반을 반례로 확인하는 문항이다. 반례의 완결 조건은 두 검증이다 —

가정 부분이 참임과 결론 부분이 거짓임을 각각 확인한다. 원소가 한두 개인

유한집합으로 조립하는 것이 가장 짧다.

궁합 정리 증명의 두 서식 — 문제 10~14에서 쓴다

상이 등장하는 명제(10~13의 좌변)는 원소 번역에 \(\exists\)가 끼어 각 방향마다

증인을 새로 지목해야 하므로 양방향 포함으로 쓰는 것이 안전하다. 각 방향에서

증인을 잡고, 잡은 증인이 어느 집합에 속하는지 추적한다.

원상만 등장하는 명제(훈련 2, 예제 2.3)는 \(\exists\)가 없으므로 동치 사슬로

한 번에 쓸 수 있다. 어느 서식을 쓸지는 §1.4의 두 번역 중 어느 것을 쓰게 되는지가

정한다 — 이것이 §2 관찰의 3단계 중 ①의 실제 쓰임이다.

10. (P1) \(f(X_1 \cup X_2) = f(X_1) \cup f(X_2)\)를 증명하시오. (양방향 — 상의 번역(\(\exists\))과 “또는”의 케이스)

힌트

(\(\subseteq\)) 증인 \(x \in X_1 \cup X_2\)를 잡으면 “또는”이 나오므로 17주차 경우

나누기로 두 갈래를 각각 처리한다. (\(\supseteq\))도 “또는”에서 시작하는 경우 나누기이고,

각 경우에서 \(X_i \subseteq X_1 \cup X_2\)를 써서 증인을 큰 집합으로 옮긴다

(훈련 3의 단조성과 같은 동작이다).

11. 예제 2.2((P2) 포함 증명 + 등호 반례)를 백지 재현하시오.

12. \(f\)가 단사이면 (P2)의 등호 \(f(X_1 \cap X_2) = f(X_1) \cap f(X_2)\)가 성립함을 증명하시오. (힌트: \(y \in\) 우변 \(\to\) \(X_1\)의 증인 \(x_1\), \(X_2\)의 증인 \(x_2\) — 단사성이 \(x_1 = x_2\)를 강제)

힌트

(\(\subseteq\))는 단사 가정 없이 성립하므로 예제 2.2의 증명을 그대로 쓴다(근거 ④).

새로 할 일은 (\(\supseteq\))뿐이다. 증인이 두 개 나오는 자리가 예제 2.2의 해부에서

지목한 바로 그 지점이고, 단사의 정의가 그 두 증인을 같게 만든다.

13. (P5) \(X \subseteq f^{-1}(f(X))\)를 증명하고, \(f(x) = x^2\), \(X = \{1\}\)로 등호가 깨지는 반례를 완성하시오.

힌트

증명은 세 줄이면 끝난다 — \(x \in X\)를 잡고, \(x\) 자신이 \(f(x) \in f(X)\)의 증인임을

확인하고, 원상의 정의로 되감는다. 반례는 확인 8에서 이미 계산했다. 등호가 깨진

이유를 “\(X\) 밖의 원소가 같은 출력을 갖는다”로 지목하는 줄까지가 완결이다.

14. (P6) \(f(f^{-1}(Y)) \subseteq Y\)를 증명하고, \(f(x) = x^2\), \(Y = \{-1\}\)… 또는 \(Y = [-1, 0)\)으로 등호 반례를 제시하시오.

힌트

좌변에 상과 원상이 겹쳐 있으므로 번역을 두 번 한다 — 먼저 상의 번역으로

증인 \(x \in f^{-1}(Y)\)를 잡고, 그다음 원상의 번역으로 \(f(x) \in Y\)를 얻는다.

반례에서는 \(Y\)에 치역 밖 원소를 넣는다. 등호가 깨진 이유는 전사가 아니라는 것이다.

도전 ●●●#

\(\mathbb{Z}_n\) 위의 함수 — 문제 15에서 먼저 통과시킬 검문

\(\mathbb{Z}_n\)의 원소는 대표원이 여럿인 방(합동류)이므로, 대표원으로 적은 규칙에는

잘 정의됨 검문이 먼저 붙는다(38주차, 40주차 §1.7). 검문의 형식은 정해져 있다 —

“\([a] = [a']\)이라 하자”로 시작해 “\(\varphi([a]) = \varphi([a'])\)”로 끝나는 한 문단이다.

이 검문을 통과하기 전에는 단사\(\cdot\)전사 판정을 시작할 수 없다.

15. \(\varphi : \mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_6\), \(\varphi([a]) = [5a]\): 잘 정의됨을 확인하고, 전단사인지 값 전수로 판정한 뒤, 전단사라면 역함수를 구하시오. (힌트: \([5] = [-1]\))

힌트

잘 정의됨은 20주차 문제 9(b)를 근거 ④로 인용하면 두 줄이다. 판정은 방이 여섯

개뿐이므로 값을 전부 계산해 목록을 만드는 것이 가장 확실하다 — 중복이 없으면

단사, 여섯 방이 다 나오면 전사다. 역함수는 값 목록의 대칭을 관찰한 뒤

43주차 특징짓기 정리로 확정한다.

16. 41주차 문제 16의 지그재그 함수 \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{Z}\)가 전단사임을 백지 재현하시오 (케이스 단사 + 케이스 증인 전사).

힌트

규칙이 홀짝으로 갈리므로 단사 증명도 경우로 나뉜다. 다만 경우를 나누기 전에

“출력의 부호가 입력의 홀짝을 결정한다”를 먼저 확인해야 짝수-홀수 교차

경우가 배제된다. 전사는 \(\mathbb{Z}\)를 \(k \ge 1\)과 \(k \le 0\)으로 나누어 각각

증인을 제작하고, 만든 증인이 자연수인지 확인한다.

17. \(f : A \to B\)에 대해 다음이 동치임을 증명하시오: (i) \(f\)는 단사 (ii) 모든 \(b \in B\)에 대해 \(f^{-1}(\{b\})\)는 많아야 한 원소.

힌트

동치 증명이므로 (i) \(\Rightarrow\) (ii)와 (ii) \(\Rightarrow\) (i)를 각각 쓴다.

“많아야 한 원소”는 “원소가 두 개 있다고 하면 사실은 같다”로 번역해 다룬다

(26주차 \(\exists!\)의 유일성 부분과 같은 어법이다). 양쪽 모두에서 다리 역할을

하는 등식은 \(f(a) = b = f(a')\) 하나뿐이다.

18. (진단) 다음 두 답안의 결함을 각각 지적하시오. (a) “\(f(x) = 3x - 2\)가 단사임을 보인다: \(a = a'\)이면 \(3a - 2 = 3a' - 2\)이므로 단사이다.” (b) “\(f(x) = x^2\)에서 \(f^{-1}([1,4]) = [1,2]\)이다 — \(f^{-1}(y) = \sqrt y\)이므로.”

힌트

(a)는 답안의 첫 문장과 마지막 문장을 정의 41.1의 조건문과 나란히 놓는다 —

41주차 문제 18에서 같은 꼴을 다뤘다. (b)는 결함이 두 개다. 하나는 인용한

대상의 존재 여부, 다른 하나는 기호를 읽는 방식이다. §1.3의 조각 삭제 실험 2가

그 자리다.

19. 신발–양말 정리 또는 역함수 유일성 중 하나를 골라 백지 재현하시오 (결합법칙 사용 지점 표시).

힌트

신발–양말은 후보 \(f^{-1} \circ g^{-1}\)을 세워 항등식 두 개를 확인한 뒤 43주차

특징짓기 정리와 유일성을 근거 ④로 인용해 확정한다. 유일성 재현은 그 유일성

자체가 증명 대상이므로 근거로 쓸 수 없고, 항등함수의 성질과 가정, 그리고

결합법칙(42주차 문제 7)만으로 \(g_1\)에서 \(g_2\)까지 등식 사슬을 만든다.

결합법칙을 쓴 등호에 표시를 남기는 것까지가 요구 사항이다.

20. (서술) 9부 지도를 그리시오: 함수의 정의(\(\exists!\)) \(\to\) 단사\(\cdot\)전사(원상 개수의 언어) \(\to\) 합성(보존\(\cdot\)역추적) \(\to\) 역함수(전단사 \(\Longleftrightarrow\) 역관계가 함수) \(\to\) 상\(\cdot\)원상(\(\exists\)의 유무가 가른 궁합) — 각 화살표에 핵심 정리 하나씩 (다섯 문장 이내).

힌트

화살표가 넷이고 마디가 다섯이므로 문장도 다섯이면 충분하다. 각 문장에는

정리 이름 하나와 그 정리가 무엇을 무엇으로 바꿔 놓았는지가 들어가야 한다.

문제 17이 둘째 마디의 정확한 진술이고, 43주차 핵심 정리가 넷째 마디다.

백지 재현 — 복습 프로토콜#

권장 일정 — 1~2일차: §0~§3 학습 / 3일차: 1차 재현 / 4일차: 모의시험(§4) 150분과 채점 / 5일차: 완전 백지 재현과 오답 재시도. 재현은 두 번으로 나눈다 — 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

1차 시도 (3일차) — 틀 카드 허용. 정의 44.1, 궁합 정리, ‘상\(\cdot\)원상 문제의 3단계’ 세 상자만 펴 놓고 예제 2.2와 예제 2.3을 처음부터 끝까지 적는다. 본문은 보지 않는다.

2차 시도 (5일차) — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다.

  • 정의 44.1을 조건제시법으로 쓰고, \(f^{-1}(Y)\)를 읽는 법과 “역함수와 무관”을 반례와 함께 설명했다.

  • (P1)~(P6)을 쓰고, 등호인 것 셋과 반쪽인 것 셋을 구분했다.

  • 예제 2.2의 포함 증명과 등호 반례를 백지에서 재현했다.

  • 예제 2.3의 동치 사슬을 근거까지 붙여 재현했다.

  • 상\(\cdot\)원상 비대칭의 근원(\(\exists\)의 유무)을 한 문장으로 설명했다.

  • 모의시험에서 틀린 문제를 전부 다시 풀어 통과했다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점

처방

\(f(X)\)와 \(f^{-1}(Y)\) 중 어디에 무엇을 넣는지 헷갈린다

§1.3 해부 표 첫 행 — 상은 정의역 쪽을 받아 공역 쪽을 내놓고, 원상은 그 반대다

원상 계산에서 음수 가지를 빠뜨린다

예제 2.1 확인 13과 문제 18(b) — 조건을 절댓값으로 옮기고 17주차 경우 나누기로 푼다

증명의 첫 문장이 나오지 않는다

§2 관찰의 3단계와 훈련 3 — 결론이 \(\subseteq\)면 원소를 하나 잡고, \(=\)면 서식 두 가지 중 하나를 고른다

상 쪽 증명에서 증인을 잡지 않고 넘어간다

§1.4 원소 번역 — 상의 번역에는 \(\exists\)가 붙는다. 26주차 증인 잡기를 재복습한다

(P1)~(P6) 중 어디에 등호가 붙는지 기억나지 않는다

확인 7과 확인 8의 실험을 다시 손으로 수행한다 — 반례가 곧 기억 장치다

역함수 문제(5, 15)에서 검증을 빠뜨린다

문제 5 해설의 세 단계(자격 \(\to\) 계산 \(\to\) 검증)를 순서대로 재필사한다

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) \(1\) (2) \(7\) — \(x\)가 \(0\)에서 \(3\)까지 갈 때 \(2x+1\)은 \(1\)에서 \(7\)까지 증가하고, 일차식이므로 사이 값도 전부 나온다. (3) \(3\) — \(2x + 1 = 7\)에서 \(2x = 6\), \(x = 3\). (4) \(0\) (5) \(4\) — \(1 \le 2x+1 \le 9\)의 각 변에서 1을 빼면 \(0 \le 2x \le 8\), 2로 나누면 \(0 \le x \le 4\). (6) \(\emptyset\) — 조건 “\(h(x) \in \emptyset\)”을 만족하는 \(x\)는 없다. (7) \(1\) — \(h\)가 전단사이면 모든 원상 \(h^{-1}(\{b\})\)의 원소가 정확히 하나다(문제 17과 41주차 문제 19).

※ (1)(2)와 (4)(5)를 비교한다. 상은 정의역 쪽 구간에 규칙을 적용해 얻고, 원상은 공역 쪽 구간을 조건으로 놓고 푼다. 계산의 방향이 반대다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) \(f(x) \in Y_1 \cup Y_2\) (2) 원상의 원소 번역 (근거 ①, 정의 44.1) (3) 합집합의 정의 (근거 ①, 5주차) (4) \(f^{-1}(Y_1)\) (5) \(f^{-1}(Y_2)\) (6) 합집합의 정의 (근거 ①, 5주차) (7) 동치

※ 예제 2.3과 비교하면 바뀐 것은 \(\cap\)이 \(\cup\)으로, “그리고”가 “또는”으로 바뀐 것뿐이다. 원상에는 \(\exists\)가 없으므로 두 연산 모두에서 사슬이 끝까지 왕복한다 — (P3)과 (P4)가 나란히 등호인 이유가 이 한 줄이다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) “\(y \in f(X_1)\)이라 하자.” (2) “상의 원소 번역에 의해 \(f(x) = y\)인 \(x \in X_1\)이 존재한다. 그런 \(x\)를 하나 잡자. 가정 \(X_1 \subseteq X_2\)에 의해 \(x \in X_2\)이다.” — 가정을 쓰는 자리는 증인을 잡은 직후다. 증인을 잡기 전에는 옮길 대상이 없다. (3) “\(x \in X_2\)이고 \(f(x) = y\)이므로 상의 원소 번역에 의해 \(y \in f(X_2)\)이다. 따라서 \(f(X_1) \subseteq f(X_2)\)이다. \(\blacksquare\)”

※ 증인 하나를 잡아 더 큰 집합으로 옮기는 이 동작이 문제 10의 (\(\supseteq\)) 방향에서 그대로 쓰인다. 상이 등장하는 증명의 최소 단위라고 볼 수 있다.

문제 1#

접근. 정의는 유도하는 것이 아니라 암기를 확인하는 것이다. 다섯 개 각각에 빠지면 정의가 무너지는 조각이 하나씩 있으므로, 그 조각의 유무로 자기 채점한다.

풀이. (함수) \(f\)가 \(A\)에서 \(B\)로의 함수라는 것은 \(f \subseteq A \times B\)이고 모든 \(a \in A\)에 대해 \((a, b) \in f\)인 \(b \in B\)가 정확히 하나 존재한다는 뜻이다(40주차 정의 40.1). “정확히 하나”를 “적어도 하나”로 적으면 유일성이 사라져 한 입력에 두 출력이 허용된다. (단사) 모든 \(a, a' \in A\)에 대해 \(f(a) = f(a')\)이면 \(a = a'\)이다(41주차 정의 41.1). 화살표를 뒤집어 적으면 모든 함수가 만족하는 문장이 된다(문제 18(a)). (전사) 모든 \(b \in B\)에 대해 \(f(a) = b\)인 \(a \in A\)가 존재한다(41주차 정의 41.2). “\(b \in B\)”를 “\(b \in f(A)\)”로 바꾸면 자동으로 참이 되어 내용이 없어진다. (상) \(X \subseteq A\)에 대해 \(f(X) = \{f(x) : x \in X\}\). 조각 “\(x \in X\)”가 빠지면 어떤 \(X\)를 넣어도 치역 하나로 고정된다(§1.3 삭제 실험 1). (원상) \(Y \subseteq B\)에 대해 \(f^{-1}(Y) = \{x \in A : f(x) \in Y\}\). “역함수”라는 낱말이 들어가면 정의가 무너진다 — 이 집합은 \(f\)가 전단사가 아니어도 정의된다.

복기. 다섯 정의가 9부의 뼈대 전부다. 하나라도 형식이 무너졌으면 답을 베끼지 말고 해당 주차(40\(\cdot\)41\(\cdot\)44주차)의 해부 표로 돌아가 조각의 이유와 함께 재암기한다.

문제 2#

접근. 판정 기준은 정의 40.1의 두 조각뿐이다. 정의역 \(A = \{1,2,3\}\)의 원소를 하나씩 심문하며 대응하는 순서쌍의 개수를 센다 — 0개면 전체성 위반, 2개 이상이면 유일성 위반이다. 출력이 겹치는지는 이 판정과 무관하다.

풀이. 첫째 \(\{(1,a),(2,b)\}\): 입력 \(1\)에 하나, \(2\)에 하나, \(3\)에는 없다. 전체성 위반이므로 함수가 아니다. 둘째 \(\{(1,a),(1,b),(2,a),(3,b)\}\): 입력 \(1\)에 \((1,a)\)와 \((1,b)\) 두 개가 있다. 유일성 위반이므로 함수가 아니다(전체성 자체는 만족한다). 셋째 \(\{(1,b),(2,b),(3,a)\}\): 입력 \(1\)에 하나, \(2\)에 하나, \(3\)에 하나 — 세 입력 모두 정확히 하나이므로 함수다.

검산. 셋째에서 출력 \(b\)가 두 번 나오지만 이는 단사가 아니라는 뜻일 뿐 함수 조건과는 무관하다. 실제로 \(|A| = 3 > 2 = |B|\)이므로 이 무대에서는 단사인 함수가 아예 없다(41주차 비둘기집).

문제 3#

접근. 치역은 정의 44.1의 \(f(\mathbb{Z})\)다. 후보 집합을 세운 뒤 27주차 양방향 포함으로 상등을 증명한다. (\(\subseteq\))는 출력이 그 꼴임을 확인하는 방향이고, (\(\supseteq\))는 증인을 제작하는 방향이다.

풀이. 치역을 \(S = \{4k - 3 : k \in \mathbb{Z}\}\)라 주장한다.

(\(\subseteq\)) \(y \in f(\mathbb{Z})\)라 하자. 상의 원소 번역에 의해 \(y = f(n) = 4n - 3\)인 \(n \in \mathbb{Z}\)가 존재한다. \(k = n\)으로 두면 \(k \in \mathbb{Z}\)이고 \(y = 4k - 3\)이므로 \(y \in S\)이다.

(\(\supseteq\)) \(y \in S\)라 하자. \(y = 4k - 3\)인 \(k \in \mathbb{Z}\)가 존재한다. 증인으로 \(n = k\)를 제작한다. \(n = k \in \mathbb{Z}\)이므로 정의역에 속하고(근거 ②), \(f(n) = 4k - 3 = y\)이므로 대입 검증도 통과한다. 따라서 \(y \in f(\mathbb{Z})\)이다.

양방향이 성립하므로 \(f(\mathbb{Z}) = \{4k - 3 : k \in \mathbb{Z}\}\)이다. \(\blacksquare\)

검산. \(k = 0\)이면 \(-3 = f(0)\) ✓, \(k = 1\)이면 \(1 = f(1)\) ✓. 한편 \(2 \notin S\)이다 — \(4k - 3 = 2\)이면 \(4k = 5\)이고 \(k = \frac54\)는 정수가 아니다. 치역이 \(\mathbb{Z}\) 전체가 아니므로 \(f\)는 전사가 아니다.

문제 4#

접근. 단사와 전사는 서로 독립인 두 조건이므로 41주차 서식대로 각각 증명한다. 단사는 등식 계산, 전사는 증인 제작이고, 전사의 증인은 \(y = 5 - 2x\)를 \(x\)에 대해 푼 식에서 나온다.

풀이. (단사) \(a, a' \in \mathbb{R}\)이고 \(f(a) = f(a')\)이라 하자. 즉 \(5 - 2a = 5 - 2a'\)이다. 양변에서 \(5\)를 빼면 \(-2a = -2a'\)이고, 양변을 \(-2\)로 나누면 \(a = a'\)이다(근거 ③). 따라서 \(f\)는 단사다.

(전사) \(y \in \mathbb{R}\)라 하자. \(x = \dfrac{5 - y}{2}\)로 두자. 실수의 뺄셈과 나눗셈 결과는 실수이므로 \(x \in \mathbb{R}\)이다(근거 ②, 정의역 소속 검증). 그리고

\[ f(x) = 5 - 2 \cdot \frac{5 - y}{2} = 5 - (5 - y) = y \]

이므로 대입 검증도 통과한다. 따라서 \(f\)는 전사다.

단사이고 전사이므로 \(f\)는 전단사다. \(\blacksquare\)

복기. 전사 증명에서 만든 증인식 \(\dfrac{5-y}{2}\)이 문제 5의 역함수식 그대로다 — 전사 증명과 역함수 계산은 같은 방정식 풀이의 두 쓰임이다(43주차).

문제 5#

접근. 순서는 자격 \(\to\) 계산 \(\to\) 검증이다. 자격은 문제 4에서 확보한 전단사성이고, 43주차 핵심 정리가 그것으로 역함수의 존재를 보장한다. 계산은 \(y = f(x)\)를 \(x\)에 대해 푸는 일이며, 검증은 항등식 두 개다.

풀이. (자격) 문제 4에서 \(f\)는 전단사이므로 43주차 핵심 정리에 의해 역함수 \(f^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 존재한다.

(계산) \(y = 5 - 2x\)라 하자. 양변에 \(2x\)를 더하고 \(y\)를 빼면 \(2x = 5 - y\)이고, 양변을 \(2\)로 나누면 \(x = \dfrac{5 - y}{2}\)이다. 따라서 \(f^{-1}(y) = \dfrac{5 - y}{2}\)이다.

(검증 1) 모든 \(x \in \mathbb{R}\)에 대해

\[ f^{-1}(f(x)) = \frac{5 - (5 - 2x)}{2} = \frac{2x}{2} = x \]

이므로 \(f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}\)이다.

(검증 2) 모든 \(y \in \mathbb{R}\)에 대해

\[ f(f^{-1}(y)) = 5 - 2 \cdot \frac{5 - y}{2} = 5 - (5 - y) = y \]

이므로 \(f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}\)이다. \(\blacksquare\)

검산. \(f(1) = 3\)이고 \(f^{-1}(3) = \dfrac{5-3}{2} = 1\) ✓. 구체적인 값 한 쌍으로 왕복을 확인하는 것이 계산 실수를 잡는 가장 빠른 방법이다.

문제 6#

접근. (a)(b)는 상이므로 출력을 모으고, (c)(d)(e)는 원상이므로 조건 \(g(x) \in Y\)를 실수 전체에서 푼다. 원상에서는 음수 가지 확인이, 상에서는 중복 흡수와 최솟값 위치가 확인 지점이다.

풀이. (a) \(g([0,3]) = \{x^2 : 0 \le x \le 3\}\). \([0,3]\)에서 \(x^2\)은 증가하므로 최솟값 \(0\), 최댓값 \(9\)이고 사이 값도 전부 나온다 — \(g([0,3]) = [0, 9]\). (b) \(g(-2) = 4\), \(g(2) = 4\)이므로 출력을 모으면 \(\{4, 4\} = \{4\}\)이다 — 집합은 중복을 흡수한다(3주차). \(g(\{-2,2\}) = \{4\}\). (c) \(x^2 = 9\)의 해는 \(x = 3\)과 \(x = -3\)이다 — \(g^{-1}(\{9\}) = \{3, -3\}\). (d) \(0 \le x^2 \le 1\)은 \(|x| \le 1\)과 같고, 이는 \(-1 \le x \le 1\)이다 — \(g^{-1}([0,1]) = [-1, 1]\). (e) \(x^2 = -4\)인 실수는 없다(제곱은 음이 아니다) — \(g^{-1}(\{-4\}) = \emptyset\).

검산. (b)에서 \(|X| = 2\)인데 \(|g(X)| = 1\)이다 — 상은 크기를 줄일 수 있다(확인 5). (c)에서 \(3\)과 \(-3\)을 각각 제곱하면 \(9\) ✓. (e)에서 답을 “정의되지 않는다”로 적으면 오답이다 — 원상은 조건의 해집합이므로 해가 없으면 \(\emptyset\)이다.

문제 7#

접근. 42주차 정의 42.1은 합성을 두 단계로 푼다 — 괄호 안쪽, 곧 오른쪽 함수부터 실행한다. 두 함수가 다름을 보이려면 40주차 함수 상등의 셋째 기준을 부정해야 하므로 값이 갈리는 입력을 하나 제시한다.

풀이.

\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(3x+2) = (3x+2)^2 - 1 = 9x^2 + 12x + 4 - 1 = 9x^2 + 12x + 3 \]
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 - 1) = 3(x^2 - 1) + 2 = 3x^2 - 3 + 2 = 3x^2 - 1 \]

\(x = 0\)을 넣으면 \((g \circ f)(0) = 3\)이고 \((f \circ g)(0) = -1\)이다. \(3 \neq -1\)이므로 값이 갈리는 입력이 존재하고, 따라서 \(g \circ f \neq f \circ g\)이다. \(\blacksquare\)

검산. \(x = 1\)에서도 확인하면 \((g \circ f)(1) = 9 + 12 + 3 = 24\)이고 \((f \circ g)(1) = 3 - 1 = 2\) ✓.

복기. “규칙식이 달라 보이므로 다른 함수다”로 끝내면 근거가 목록 밖이다 — 식의 생김새는 함수 상등의 세 기준에 들어 있지 않다(40주차 문제 9). 값이 갈리는 입력 하나를 제시하는 줄이 그 자리를 대신한다.

문제 8#

접근. 결론이 “\(g \circ f\)가 단사”이므로 서식은 정해져 있다 — “\((g \circ f)(a) = (g \circ f)(a')\)이라 하자”로 시작해 “\(a = a'\)”으로 끝난다. 껍질은 바깥부터 벗긴다. 마지막에 적용된 \(g\)의 단사성을 먼저 쓰고, 그다음 \(f\)다.

풀이. \(f : A \to B\)와 \(g : B \to C\)가 모두 단사라 하자. \(a, a' \in A\)이고 \((g \circ f)(a) = (g \circ f)(a')\)이라 하자.

정의 42.1에 의해 \(g(f(a)) = g(f(a'))\)이다. 여기서 \(f(a)\)와 \(f(a')\)은 모두 \(B\)의 원소이고 \(g\)가 단사이므로, 정의 41.1을 이 두 원소에 적용하면 \(f(a) = f(a')\)이다. 다시 \(a, a' \in A\)이고 \(f\)가 단사이므로 \(a = a'\)이다.

따라서 \(g \circ f\)는 단사다. \(\blacksquare\)

복기. 벗기는 순서를 바꿔 \(f\)의 단사성을 먼저 쓰려고 하면 막힌다 — 그 시점에는 \(f(a) = f(a')\)이 아직 확보되지 않았기 때문이다. 합성 증명에서 어느 함수의 성질을 먼저 쓸지는 취향이 아니라 확보된 등식이 정한다.

문제 9#

접근. 42주차 역추적 정리가 주는 것은 “\(g \circ f\)가 전사이면 \(g\)가 전사”까지다. \(f\)까지 돌아오지 않는다는 사실은 반례로만 확인된다. 반례의 완결 조건은 두 검증이다 — 가정 부분이 참임과 결론 부분이 거짓임을 각각 보인다.

풀이. \(A = \{1\}\), \(B = \{1, 2\}\), \(C = \{1\}\)이라 하고, \(f : A \to B\)를 \(f(1) = 1\)로, \(g : B \to C\)를 \(g(1) = g(2) = 1\)로 정의한다. (두 규칙 모두 각 입력에 정확히 하나의 출력을 주므로 함수다.)

(검증 1 — 가정) \(g \circ f : A \to C\)이고 \((g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(1) = 1\)이다. \(C = \{1\}\)의 유일한 원소 \(1\)이 입력 \(1\)로 도달되므로 \(g \circ f\)는 전사다.

(검증 2 — 결론의 부정) \(f\)의 치역은 \(f(A) = \{1\}\)이고 \(2 \in B\)는 어떤 입력의 출력도 아니다. 따라서 \(f\)는 전사가 아니다.

두 검증이 모두 통과했으므로 이 세 집합과 두 함수가 반례다. \(\blacksquare\)

복기. 42주차의 “단사는 앞이 책임, 전사는 뒤가 책임”이 이 반례의 요약이다 — \(g \circ f\)의 전사성은 나중에 실행되는 \(g\)까지만 거슬러 올라간다.

문제 10#

접근. 좌변에 상이 있으므로 양방향 포함으로 쓴다. 두 방향 모두에서 “또는”이 나오므로 17주차 경우 나누기가 쓰인다. (\(\subseteq\))에서는 증인의 출신이 갈리고, (\(\supseteq\))에서는 \(y\)의 소속이 갈린다.

풀이.

(\(\subseteq\)) \(y \in f(X_1 \cup X_2)\)라 하자. 상의 원소 번역에 의해 \(f(x) = y\)인 \(x \in X_1 \cup X_2\)가 존재한다. 그런 \(x\)를 하나 잡자. 합집합의 정의에 의해 \(x \in X_1\)이거나 \(x \in X_2\)이다. 경우 1: \(x \in X_1\). 이때 \(x\)가 증인이 되어 \(y \in f(X_1)\)이고, 따라서 \(y \in f(X_1) \cup f(X_2)\)이다. 경우 2: \(x \in X_2\). 이때 \(x\)가 증인이 되어 \(y \in f(X_2)\)이고, 따라서 \(y \in f(X_1) \cup f(X_2)\)이다. 두 경우가 무대를 덮으므로 어느 경우든 \(y \in f(X_1) \cup f(X_2)\)이다.

(\(\supseteq\)) \(y \in f(X_1) \cup f(X_2)\)라 하자. 합집합의 정의에 의해 \(y \in f(X_1)\)이거나 \(y \in f(X_2)\)이다. 경우 1: \(y \in f(X_1)\). 상의 원소 번역에 의해 \(f(x) = y\)인 \(x \in X_1\)이 존재한다. \(X_1 \subseteq X_1 \cup X_2\)이므로 \(x \in X_1 \cup X_2\)이고, 같은 \(x\)가 증인이 되어 \(y \in f(X_1 \cup X_2)\)이다. 경우 2: \(y \in f(X_2)\). 상의 원소 번역에 의해 \(f(x) = y\)인 \(x \in X_2\)가 존재한다. \(X_2 \subseteq X_1 \cup X_2\)이므로 \(x \in X_1 \cup X_2\)이고, 같은 \(x\)가 증인이 되어 \(y \in f(X_1 \cup X_2)\)이다. 어느 경우든 \(y \in f(X_1 \cup X_2)\)이다.

양방향이 성립하므로 \(f(X_1 \cup X_2) = f(X_1) \cup f(X_2)\)이다. \(\blacksquare\)

복기. (\(\supseteq\))의 두 경우는 훈련 3(상의 단조성)을 두 번 적용한 것과 같다. \(\cup\)에서 등호가 사는 이유는 증인이 어느 쪽 출신이든 하나면 충분하기 때문이다 — \(\cap\)에서는 증인 하나가 양쪽에 동시에 속해야 해서 요구가 강해진다(예제 2.2).

문제 11#

접근. 예제 2.2의 재현이다. 할 일이 두 개(포함 증명과 등호 반례)라는 것을 먼저 확인하고, 포함 증명에서는 증인을 잡는 문장을, 반례에서는 세 줄 형식을 빠뜨리지 않는다.

풀이. (포함) \(y \in f(X_1 \cap X_2)\)라 하자. 상의 원소 번역에 의해 \(f(x) = y\)인 \(x \in X_1 \cap X_2\)가 존재한다. 그런 \(x\)를 하나 잡자. 교집합의 정의에 의해 \(x \in X_1\)이고 \(x \in X_2\)이다. \(x \in X_1\)이고 \(f(x) = y\)이므로 \(y \in f(X_1)\)이고, \(x \in X_2\)이고 \(f(x) = y\)이므로 \(y \in f(X_2)\)이다. 따라서 \(y \in f(X_1) \cap f(X_2)\)이고, \(f(X_1 \cap X_2) \subseteq f(X_1) \cap f(X_2)\)이다. \(\blacksquare\)

(등호 반례) \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\), \(X_1 = \{1\}\), \(X_2 = \{-1\}\)이라 하자. 좌변: \(X_1 \cap X_2 = \emptyset\)이므로 \(f(X_1 \cap X_2) = f(\emptyset) = \emptyset\)이다(확인 7). 우변: \(f(X_1) = \{1\}\)이고 \(f(X_2) = \{1\}\)이므로 \(f(X_1) \cap f(X_2) = \{1\}\)이다. \(1\)은 우변에만 속하므로 \(\emptyset \neq \{1\}\)이고, 등호는 일반적으로 성립하지 않는다.

복기. 반례에서 우변의 \(1\)은 왼쪽 항에서는 증인 \(1\)이, 오른쪽 항에서는 증인 \(-1\)이 만들어 낸 값이다. 서로 다른 두 증인이 같은 값을 냈다는 이 해부까지 적어야 문제 12로 넘어갈 준비가 된다.

문제 12#

접근. (\(\subseteq\))는 단사 가정 없이 성립하므로 문제 11에서 증명한 것을 근거 ④로 쓴다. 새로 할 일은 (\(\supseteq\))뿐이다. 우변에서 출발하면 증인이 두 개 나오고, 단사의 정의가 그 둘을 같게 만든다 — 예제 2.2의 해부가 지목한 바로 그 자리다.

풀이. \(f\)가 단사라 하자.

(\(\subseteq\)) 이 방향은 단사 가정 없이 성립하며, 문제 11(예제 2.2)에서 증명했다. 즉 \(f(X_1 \cap X_2) \subseteq f(X_1) \cap f(X_2)\)이다.

(\(\supseteq\)) \(y \in f(X_1) \cap f(X_2)\)라 하자. 교집합의 정의에 의해 \(y \in f(X_1)\)이고 \(y \in f(X_2)\)이다. 상의 원소 번역을 각각 적용하면 \(f(x_1) = y\)인 \(x_1 \in X_1\)과 \(f(x_2) = y\)인 \(x_2 \in X_2\)가 존재한다. 그런 \(x_1, x_2\)를 각각 잡자. 그러면 \(f(x_1) = y = f(x_2)\)이고, \(f\)가 단사이므로 정의 41.1에 의해 \(x_1 = x_2\)이다. 이 공통 원소를 \(x\)라 하면 \(x = x_1 \in X_1\)이고 \(x = x_2 \in X_2\)이므로 \(x \in X_1 \cap X_2\)이다. 그리고 \(f(x) = y\)이므로 상의 원소 번역에 의해 \(y \in f(X_1 \cap X_2)\)이다.

양방향이 성립하므로 \(f(X_1 \cap X_2) = f(X_1) \cap f(X_2)\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 증명 전체에서 단사성을 쓴 줄은 \(x_1 = x_2\) 하나뿐이다. 반례(문제 11)가 무너진 지점과 이 증명이 살아나는 지점이 정확히 같은 줄이라는 것 — 조건이 어디에서 일하는지 확인하는 좋은 사례다.

문제 13#

접근. 포함 증명은 세 걸음이다 — \(x \in X\)를 잡고, \(x\) 자신이 \(f(x) \in f(X)\)의 증인임을 확인하고, 원상의 정의로 되감는다. 반례는 확인 8에서 계산했고, 등호가 깨진 이유를 지목하는 줄까지가 완결이다.

풀이. (포함) \(x \in X\)라 하자. 상의 원소 번역에 의해, \(x\) 자신이 \(x \in X\)이고 \(f(x) = f(x)\)를 만족하는 증인이므로 \(f(x) \in f(X)\)이다. 그러면 원상의 원소 번역 “\(x \in f^{-1}(Y) \iff f(x) \in Y\)”를 \(Y = f(X)\)에 적용하면 \(x \in f^{-1}(f(X))\)이다. 따라서 \(X\)의 임의의 원소가 \(f^{-1}(f(X))\)의 원소이므로 \(X \subseteq f^{-1}(f(X))\)이다. \(\blacksquare\)

(등호 반례) \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\), \(X = \{1\}\)이라 하자. \(f(X) = \{1\}\)이고 \(f^{-1}(\{1\}) = \{x \in \mathbb{R} : x^2 = 1\} = \{1, -1\}\)이다. \(-1\)은 오른쪽에만 속하므로 \(\{1\} \subsetneq \{1, -1\}\)이고, 등호는 깨진다.

복기. 커진 이유는 \(X\) 밖의 원소 \(-1\)이 \(X\) 안의 원소 \(1\)과 같은 출력을 갖기 때문이다. \(f\)가 단사이면 그런 원소가 아예 없어 모든 \(X\)에서 등호가 성립하고, 거꾸로 어떤 \(X\)에서 등호가 깨지면 \(f\)는 단사가 아니다 — 확인 5에서 관찰한 뭉개짐이 여기서 등호 조건으로 나타난다.

문제 14#

접근. 좌변에 상과 원상이 겹쳐 있으므로 번역을 두 번 한다. 바깥이 상이므로 먼저 증인 \(x \in f^{-1}(Y)\)를 잡고, 그다음 원상의 번역으로 \(f(x) \in Y\)를 얻는다. 그런데 그 \(f(x)\)가 바로 \(y\)다.

풀이. (포함) \(y \in f(f^{-1}(Y))\)라 하자. 상의 원소 번역에 의해 \(f(x) = y\)인 \(x \in f^{-1}(Y)\)가 존재한다. 그런 \(x\)를 하나 잡자. 원상의 원소 번역에 의해 \(f(x) \in Y\)이다. 그런데 \(f(x) = y\)이므로 \(y \in Y\)이다. 따라서 \(f(f^{-1}(Y)) \subseteq Y\)이다. \(\blacksquare\)

(등호 반례 1) \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\), \(Y = \{-1\}\)이라 하자. \(f^{-1}(\{-1\}) = \{x : x^2 = -1\} = \emptyset\)이고 \(f(\emptyset) = \emptyset\)이다(확인 7). \(-1\)은 우변에만 속하므로 \(\emptyset \subsetneq \{-1\}\)이고, 등호는 깨진다.

(등호 반례 2) 같은 \(f\)에 \(Y = [-1, 0)\)을 두자. \(-1 \le x^2 < 0\)인 실수는 없으므로 \(f^{-1}(Y) = \emptyset\)이고 \(f(\emptyset) = \emptyset\)이다(확인 7). 한편 \(Y\)는 비어 있지 않으므로 \(\emptyset \subsetneq [-1, 0)\)이다.

복기. 두 반례 모두 \(Y\)에 치역 밖 원소가 들어 있다는 점이 같다. \(Y\)의 모든 원소가 도달 가능하려면 \(f\)가 전사여야 한다 — (P5)의 등호 조건이 단사였던 것과 짝을 이룬다. 어느 쪽이 단사이고 어느 쪽이 전사인지는 “어느 쪽이 커지는가”로 기억한다: 원상을 거쳐 돌아오면 커지고(단사가 막는다), 상을 거쳐 돌아오면 작아진다(전사가 막는다).

문제 15#

접근. 순서는 셋이다. ① 규칙이 대표원으로 적혀 있으므로 잘 정의됨 검문을 먼저 통과시킨다 ② 방이 여섯 개뿐이므로 값을 전수 계산해 목록으로 판정한다 ③ 역함수는 값 목록의 대칭을 관찰한 뒤 43주차 특징짓기 정리로 확정한다.

풀이. (잘 정의됨) \([a] = [a']\)이라 하자. 즉 \(a \equiv a' \pmod 6\)이다. 20주차 문제 9(b)에 의해 \(5a \equiv 5a' \pmod 6\)이고, 따라서 \([5a] = [5a']\), 즉 \(\varphi([a]) = \varphi([a'])\)이다. 대표원을 어느 것으로 잡아도 출력이 같으므로 \(\varphi\)는 잘 정의된다.

(전수 판정) 여섯 방의 값을 모두 계산한다.

\[ [0] \mapsto [0],\quad [1] \mapsto [5],\quad [2] \mapsto [10] = [4],\quad [3] \mapsto [15] = [3],\quad [4] \mapsto [20] = [2],\quad [5] \mapsto [25] = [1] \]

출력 목록 \([0], [5], [4], [3], [2], [1]\)에 중복이 없으므로 단사이고, 여섯 방이 모두 등장하므로 전사다. 따라서 \(\varphi\)는 전단사다.

(역함수) 값 목록이 \([1] \leftrightarrow [5]\), \([2] \leftrightarrow [4]\)로 짝을 이루고 \([0], [3]\)은 제자리다. 식으로 확인하면 모든 \(a\)에 대해

\[ \varphi(\varphi([a])) = \varphi([5a]) = [25a] = [a] \]

이다(\(25 = 4 \cdot 6 + 1\)이므로 \(25 \equiv 1 \pmod 6\)). 즉 \(\varphi \circ \varphi = \mathrm{id}_{\mathbb{Z}_6}\)이고, 같은 등식이 두 항등식 역할을 동시에 하므로 43주차 특징짓기 정리에 의해 \(\varphi^{-1} = \varphi\)이다. \(\blacksquare\)

복기. \([5] = [-1]\)이므로 \(\varphi([a]) = [-a]\) — 부호 뒤집기다. 두 번 하면 제자리인 함수를 대합이라 하고, 42주차 문제 14의 \(\frac1x\)이 같은 종류다. 대합은 자기 자신이 역함수이므로 역함수 계산이 필요 없다.

문제 16#

접근. 규칙이 홀짝으로 갈리므로 단사 증명도 경우로 나뉜다. 다만 경우를 나누기 전에 “출력의 부호가 입력의 홀짝을 결정한다”를 먼저 확보해야 짝수-홀수 교차 경우가 배제된다. 전사는 \(\mathbb{Z}\)를 \(k \ge 1\)과 \(k \le 0\)으로 나누어 각각 증인을 제작하고, 만든 증인이 자연수인지 확인한다.

풀이. \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{Z}\)를 “\(n\)이 짝수면 \(f(n) = \frac{n}{2}\), 홀수면 \(f(n) = -\frac{n-1}{2}\)”로 정의한다. 값을 몇 개 보면 \(f(1) = 0\), \(f(2) = 1\), \(f(3) = -1\), \(f(4) = 2\), \(f(5) = -2\), \(f(6) = 3\)이다.

(부호 관찰) \(n\)이 짝수인 자연수이면 \(n \ge 2\)이므로 \(f(n) = \frac{n}{2} \ge 1 > 0\)이다. \(n\)이 홀수인 자연수이면 \(n \ge 1\)이므로 \(f(n) = -\frac{n-1}{2} \le 0\)이다. 따라서 출력이 양수이면 입력은 짝수, 출력이 \(0\) 이하이면 입력은 홀수다.

(단사) \(m, n \in \mathbb{N}\)이고 \(f(m) = f(n)\)이라 하자. 부호 관찰에 의해 \(m\)과 \(n\)의 홀짝은 같다. 경우 1: 둘 다 짝수. \(\frac{m}{2} = \frac{n}{2}\)이므로 양변에 \(2\)를 곱하면 \(m = n\)이다. 경우 2: 둘 다 홀수. \(-\frac{m-1}{2} = -\frac{n-1}{2}\)이므로 양변에 \(-2\)를 곱하면 \(m - 1 = n - 1\)이고, 양변에 \(1\)을 더하면 \(m = n\)이다. 어느 경우든 \(m = n\)이므로 \(f\)는 단사다.

(전사) \(k \in \mathbb{Z}\)라 하자. 경우 1: \(k \ge 1\). \(n = 2k\)로 두면 \(n \ge 2\)이므로 자연수이고 짝수다. 따라서 \(f(n) = \frac{2k}{2} = k\)이다. 경우 2: \(k \le 0\). \(n = 1 - 2k\)로 두면 \(-2k \ge 0\)이므로 \(n \ge 1\)인 자연수이고, \(1 - 2k\)는 짝수 \(2k\)를 \(1\)에서 뺀 값이므로 홀수다. 따라서 \(f(n) = -\frac{(1-2k)-1}{2} = -\frac{-2k}{2} = k\)이다. 두 경우가 \(\mathbb{Z}\) 전체를 덮으므로 \(f\)는 전사다.

단사이고 전사이므로 \(f\)는 전단사다. \(\blacksquare\)

검산. \(k = 3\)이면 경우 1에서 \(n = 6\)이고 \(f(6) = 3\) ✓. \(k = -2\)이면 경우 2에서 \(n = 1 - (-4) = 5\)이고 \(f(5) = -2\) ✓. 이 함수가 48주차에서 \(|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}|\)의 근거가 된다.

문제 17#

접근. 동치이므로 두 방향을 각각 증명한다. “많아야 한 원소”는 “원소가 두 개 있다고 하면 사실은 같다”로 번역해 다룬다(26주차 \(\exists!\)의 유일성 부분과 같은 어법). 양쪽 방향에서 다리 역할을 하는 등식은 \(f(a) = b = f(a')\) 하나뿐이다.

풀이. ((i) \(\Rightarrow\) (ii)) \(f\)가 단사라 하자. \(b \in B\)를 임의로 잡고, \(a, a' \in f^{-1}(\{b\})\)라 하자. 원상의 원소 번역에 의해 \(f(a) \in \{b\}\)이고 \(f(a') \in \{b\}\)이므로 \(f(a) = b\)이고 \(f(a') = b\), 즉 \(f(a) = f(a')\)이다. \(f\)가 단사이므로 \(a = a'\)이다. \(f^{-1}(\{b\})\)의 임의의 두 원소가 항상 같으므로 이 집합의 원소는 많아야 하나다.

((ii) \(\Rightarrow\) (i)) 모든 \(b \in B\)에 대해 \(f^{-1}(\{b\})\)가 많아야 한 원소라 하자. \(a, a' \in A\)이고 \(f(a) = f(a')\)이라 하자. \(b = f(a)\)로 두면 \(b \in B\)이고, \(f(a) = b\)이므로 원상의 원소 번역에 의해 \(a \in f^{-1}(\{b\})\)이며, \(f(a') = f(a) = b\)이므로 같은 이유로 \(a' \in f^{-1}(\{b\})\)이다. 가정에 의해 이 집합의 원소는 많아야 하나이므로 \(a = a'\)이다. 따라서 \(f\)는 단사다. \(\blacksquare\)

복기. 41주차 문제 19의 “많아야 하나”라는 문장이 여기서 정식 동치로 승격했다. 같은 언어로 전사는 “모든 \(b\)에 대해 \(f^{-1}(\{b\}) \neq \emptyset\)”(적어도 하나), 전단사는 “모든 \(b\)에 대해 \(f^{-1}(\{b\})\)가 정확히 한 원소”다. 셋째 문장이 곧 43주차 핵심 정리를 원상의 언어로 다시 읽은 것이다.

문제 18#

접근. (a)는 답안의 첫 문장과 마지막 문장을 정의 41.1의 조건문과 나란히 놓으면 화살표 방향이 드러난다. (b)는 결함이 두 개다 — 인용한 대상이 존재하는지와, 기호 \(f^{-1}\)을 어떻게 읽었는지를 따로 심문한다.

풀이. (a) 답안이 실제로 증명한 문장은 “\(a = a'\)이면 \(f(a) = f(a')\)”이다. 이것은 함수라면 무엇이든 만족하는 유일성 조건(40주차 정의 40.1)이지 단사가 아니다. 단사의 정의(41주차 정의 41.1)는 화살표가 반대다 — “\(f(a) = f(a')\)이면 \(a = a'\)”. 올바른 답안은 “\(3a - 2 = 3a' - 2\)이라 하자”로 시작해, 양변에 \(2\)를 더해 \(3a = 3a'\)을 얻고, 양변을 \(3\)으로 나누어 \(a = a'\)을 얻은 뒤 단사를 선언한다.

(b) 결함 두 개. ① 존재하지 않는 대상의 인용. \(f(x) = x^2\) (\(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\))은 \(f(1) = f(-1)\)이고 \(1 \neq -1\)이므로 단사가 아니고, 따라서 전단사가 아니며, 43주차 핵심 정리에 의해 역함수가 없다. “\(f^{-1}(y) = \sqrt{y}\)”는 없는 함수를 불러낸 것이다. 정의역을 \([0, \infty)\)로 제한한 함수라면 \(\sqrt{\ }\)가 역함수가 되지만(43주차 예제 2.3), 그 제한된 함수는 원래 \(f\)가 아니다. ② 기호 오독. \(f^{-1}([1,4])\)는 역함수의 값이 아니라 원상, 즉 \(\{x \in \mathbb{R} : x^2 \in [1,4]\}\)다(정의 44.1). \(1 \le x^2 \le 4\)는 \(1 \le |x| \le 2\)와 같으므로 음수 가지까지 포함해 \(f^{-1}([1,4]) = [-2,-1] \cup [1,2]\)이다. \([1,2]\)는 절반만 수집한 답이다.

복기. (b)의 두 결함은 뿌리가 하나다 — \(f^{-1}\)을 함수 기호로 읽었다는 것. 정의 44.1에서 \(f^{-1}\)은 집합을 받아 집합을 내놓는 이름표일 뿐이고, 역함수의 존재를 요구하지 않는다(§1.3 조각 삭제 실험 2).

문제 19#

접근. 신발–양말은 후보를 세워 항등식 두 개를 확인한 뒤 43주차 특징짓기 정리와 유일성을 근거 ④로 인용해 확정하는 길이다. 유일성 재현은 그 유일성 자체가 증명 대상이므로 근거로 쓸 수 없고, 항등함수의 성질과 가정만으로 \(g_1\)에서 출발해 \(g_2\)로 도착하는 등식 사슬을 만드는 길이다. 두 길 모두 결합법칙이 결정적으로 쓰이므로 그 자리에 표시를 남긴다.

풀이 (선택 1 — 역함수 유일성). \(f : A \to B\)에 대해 \(g_1, g_2 : B \to A\)가 모두 \(g_i \circ f = \mathrm{id}_A\)와 \(f \circ g_i = \mathrm{id}_B\)를 만족한다고 하자. 그러면

\[ g_1 = g_1 \circ \mathrm{id}_B = g_1 \circ (f \circ g_2) \overset{(\ast)}{=} (g_1 \circ f) \circ g_2 = \mathrm{id}_A \circ g_2 = g_2 \]

이다. 첫 등호는 항등함수의 성질, 둘째는 \(g_2\)의 가정, \((\ast)\)는 합성의 결합법칙(42주차 문제 7), 넷째는 \(g_1\)의 가정, 다섯째는 다시 항등함수의 성질이다. 따라서 그런 \(g\)는 유일하다. \(\blacksquare\)

풀이 (선택 2 — 신발–양말 정리). \(f : A \to B\), \(g : B \to C\)가 전단사라 하자. 42주차 보존 정리에 의해 \(g \circ f\)도 전단사이므로 \((g \circ f)^{-1}\)가 존재한다. 후보로 \(h = f^{-1} \circ g^{-1} : C \to A\)를 두고 항등식 두 개를 확인한다.

\[ h \circ (g \circ f) = (f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) \overset{(\ast)}{=} f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f = f^{-1} \circ \mathrm{id}_B \circ f = f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A \]
\[ (g \circ f) \circ h = (g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) \overset{(\ast)}{=} g \circ (f \circ f^{-1}) \circ g^{-1} = g \circ \mathrm{id}_B \circ g^{-1} = g \circ g^{-1} = \mathrm{id}_C \]

\((\ast)\)로 표시한 두 등호가 결합법칙을 쓴 자리다. 43주차 특징짓기 정리와 유일성에 의해 \(h = (g \circ f)^{-1}\)이고, 따라서 \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 두 증명 모두 “역함수를 직접 계산하지 않고 항등식으로 확정한다”는 같은 전략을 쓴다. 규칙식이 없는 추상 함수에서는 이것이 유일한 길이며, 결합법칙이 없으면 괄호를 옮길 수 없어 두 증명 다 첫 줄에서 멈춘다.

문제 20#

접근. 마디가 다섯이고 화살표가 넷이므로 문장도 다섯이면 충분하다. 각 문장에는 정리 이름 하나와, 그 정리가 무엇을 무엇으로 바꿔 놓았는지가 들어가야 한다. 문장을 나열하기 전에 마디 다섯 개를 먼저 적어 두고 그 사이를 메우는 순서가 안전하다.

풀이 (예시 답안). 함수는 관계에 “모든 입력에 정확히 하나의 출력”(\(\exists!\))이라는 조건을 얹은 대상이다(40주차 정의 40.1) — 이 조건이 규칙이라는 막연한 말을 순서쌍의 집합으로 바꿔 놓았다. 그 \(\exists!\)를 원상의 개수로 풀면 세 성질이 갈라져 나온다 — 전사는 “적어도 하나”, 단사는 “많아야 하나”, 전단사는 “정확히 하나”이며, 단사 쪽 동치가 이번 주 문제 17이다. 합성은 이 성질들을 앞에서 뒤로 전달하고(보존 정리), 뒤에서 앞으로는 절반만 돌려준다(역추적 정리 — 단사는 앞이, 전사는 뒤가 책임진다). 역관계가 함수가 되는 조건이 정확히 전단사이며(43주차 핵심 정리 — 전체성은 전사가, 유일성은 단사가 답한다), 그때의 역함수는 항등식 두 개로 특징지어지고 유일하다. 마지막으로 상과 원상은 집합 연산과의 궁합에서 갈리는데, 원상은 \(\cup\)과 \(\cap\)을 모두 보존하고 상은 \(\cap\)에서 반쪽 포함만 성립한다 — 원인은 상의 원소 번역에만 \(\exists\)(증인)가 끼어 있다는 비대칭 하나다((P1)~(P6)).

복기. 다섯 문장을 관통하는 낱말이 “원상의 개수”다. 함수의 \(\exists!\)도, 단사\(\cdot\)전사\(\cdot\)전단사도, 역함수의 존재 조건도 전부 \(f^{-1}(\{b\})\)의 원소 개수 이야기로 다시 적을 수 있다. 9부를 한 문장으로 줄이면 그것이다.

채점 가이드와 9부 수료#

  • 수료 기준: 문제 1(정의 5종) 만점 + 증명 문항(8, 10~14, 17) 중 다섯 개 이상 무결 + 역함수 문항(5, 15)에서 자격\(\cdot\)계산\(\cdot\)검증 완비 + 진단(18)의 두 결함 모두 정확.

  • 원상 계산(6, 18(b))에서 가지 누락이 반복되면 \(\to\) 예제 2.1의 확인 13과 17주차(경우 나누기)를 재복습한다.

  • 상\(\cdot\)원상 궁합(10~14)이 혼동되면 \(\to\) 확인 7\(\cdot\)8의 실험을 손으로 다시 돌리고 예제 2.2의 해부를 재독한다.

  • 정의 문항(1, 2)에서 어느 조각이 깨졌는지 지목하지 못하면 \(\to\) 40\(\cdot\)41\(\cdot\)44주차의 정의 해부 표로 돌아간다.

  • 추상 증명(17, 19)의 첫 문장이 나오지 않으면 \(\to\) §2 관찰의 3단계와 훈련 3을 재필사한다.

9부까지의 지도. 집합과 논리(1~2부) 위에 증명 기법(4~7부)을 세우고, 관계(8부)와 함수(9부)로 구조를 얻었다. 남은 두 파트는 이 구조로 실수의 세계를 정밀하게 측정하는 일이다 — 극한(10부)과 무한(11부).

다음 주 예고: 45주차에서 \(\varepsilon\)-\(N\) 정의를 다룬다. 10주차 문제 19에서 해독만 해 두었던 수열 극한의 정의를 완전히 손에 넣고, \(\lim \frac1n = 0\)을 서식대로 증명하며, \((-1)^n\)이 수렴하지 않음을 증명한다. 수열이 정의역 \(\mathbb{N}\)의 함수라는 40주차의 관점, 절댓값 부등식(18주차), 경우 나누기(17주차)가 그 정의 하나에 모인다.