S12주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

S12주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 대우 답안을 함께 만들기#

완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하고, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한 뒤 표 없이 산문으로 적는다. 지지대가 예제마다 하나씩 빠진다.

예제 2.1 — 가정이 합성된 식일 때#

명제. 정수 \(n\)에 대해, \(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다.

판정. 가정은 합성식 \(n^2\)의 성질, 결론은 재료 \(n\)의 성질 — 판정법 넷째 줄이다. 직접 증명은 \(n^2 = 2k\)에서 \(n\)을 꺼내야 하는데 그 조작이 근거 목록에 없다 (§1.7, S4주차 문제 10). 대우로 방향을 뒤집는다.

설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 대우 증명에서도 먼저 정할 것은 출발점과 도착점이고, 다만 그 둘이 원명제가 아니라 대우문에서 나온다.

말

수식 번역

원명제

\(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다

\(A\): \(n^2\)이 짝수 / \(B\): \(n\)이 짝수

대우의 가정 — 출발점

\(\neg B\)

\(\underline{\quad(?)\quad}\)

대우의 결론 — 도착점

\(\neg A\)

\(\underline{\quad(?)\quad}\)

확인 9. 번역표의 빈칸 두 개를 채워 보자. 그리고 출발점 칸이 §1.7의 막힘을 어떻게 없애는지 한 문장으로 적어 보자.

답

출발점: “\(n\)은 홀수이다” — 곧 \(n = 2k+1\)인 정수 \(k\)가 존재한다.

도착점: “\(n^2\)은 홀수이다” — 곧 \(n^2 = 2 \times (\text{정수}) + 1\) 꼴을 만들어야 한다.

(부정형 “짝수가 아니다”를 특성화 “홀수”로 갈아탔다 — 근거 ④, 확인 8의 (나).)

출발점이 좌변에 \(n\) 하나만 있는 등식을 즉시 주므로, 제곱근을 취할 일이 없어진다.

정보가 재료에서 합성식으로 내려가는 방향이 되었다.

1단계 — 대우를 선언한다. 답안의 첫 문장은 기법 선언과 제작물 명시다.

확인 10. 첫 문장을 완성해 보자: “대우를 증명한다. 대우는 ‘\(\underline{\qquad}\)이면 \(\underline{\qquad}\)이다’이다.” 그리고 화살표 검산 ㄱ\(\cdot\)ㄴ을 걸어 보자.

답

“대우를 증명한다. 대우는 ‘\(n\)이 홀수이면 \(n^2\)은 홀수이다’이다.”

검산 ㄱ: 가정하는 것 “\(n\)이 홀수”는 원명제 결론 “\(n\)이 짝수”의 부정 ✓.

검산 ㄴ: 보이려는 것 “\(n^2\)이 홀수”는 원명제 가정 “\(n^2\)이 짝수”의 부정 ✓.

무대 “정수 \(n\)에 대해”는 대우문에도 그대로 붙는다.

2단계 — 출발점의 정의를 푼다. 여기서부터는 보통의 직접 증명이다.

확인 11. 둘째\(\cdot\)셋째 문장을 완성해 보자: “\(n\)이 홀수라 하자. 정의에 의해 \(n = \underline{\qquad}\)인 정수 \(k\)가 존재한다.”

답

\(n = 2k + 1\). 홀수가 가정 쪽에 있으므로 정수를 받아서 쓴다.

3단계 — 도착점의 꼴을 향해 계산한다. 과녁이 “\(2 \times (\text{정수}) + 1\) 꼴”이므로, 전개한 뒤 그 꼴이 되도록 묶는다. 무엇으로 묶을지를 과녁이 지시한다는 것이 이번 주의 핵심이다 — 귀류였다면 이 묶음을 시킬 질문이 없었다.

확인 12. 넷째 문장을 완성해 보자: “\(n^2 = (2k+1)^2 = \underline{\qquad} = 2(\underline{\qquad}) + 1\).”

답

\(n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\). 상수항 \(+1\)만 남기고 나머지에서 2를 묶는

것은 1권 1주차 문제 8부터 쓴 리듬이고, 그 리듬을 지금 부르는 것이 과녁의 모양이다.

4단계 — 도착과 복귀를 선언한다.

확인 13. 마지막 두 문장을 완성해 보자: “\(2k^2 + 2k\)는 \(\underline{\qquad}\)이므로 \(n^2\)은 홀수이다. \(\underline{\qquad}\)므로 원명제가 성립한다.”

답

“\(2k^2 + 2k\)는 정수이므로(근거 ②) \(n^2\)은 홀수이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가

성립한다.” 뒤 문장의 근거는 ④(대우 동치)다.

완성본. 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

대우를 증명한다. 대우는 “\(n\)이 홀수이면 \(n^2\)은 홀수이다”이다.

걸음 ① — 기법 선언과 제작물 명시. 부정형 “짝수가 아니다”를 특성화 “홀수”로 갈아탄 것까지 이 줄에서 끝낸다(근거 ④). 화살표 검산이 걸리는 자리도 이 줄이다.

\(n\)이 홀수라 하자. 정의에 의해 \(n = 2k+1\)인 정수 \(k\)가 존재한다.

걸음 ② 개시 — 출발점의 정의를 푼다. 정보가 재료 \(n\)에서 합성식 \(n^2\)으로 내려가는 방향이 되어, 원명제에서 막혔던 제곱근이 필요 없다.

그러면 \(n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\)이다.

과녁 “\(2 \times (\text{정수}) + 1\) 꼴”이 이 묶음을 지시했다. 후진 질문이 살아 있는 자리 — 귀류였다면 무엇으로 묶을지 지시하는 것이 없다.

\(2k^2 + 2k\)는 정수이므로 \(n^2\)은 홀수이다.

괄호 안의 정수성 확인(근거 ②) 뒤 도착 선언. 대우의 결론에 정확히 닿았음을 밝힌다.

대우가 증명되었으므로, \(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)

걸음 ③ 복귀. 근거는 대우 동치(근거 ④)이고, 이 줄이 없으면 증명된 것은 대우문뿐이다.

논평. 1권 19주차 예제 2.1이 이 명제였고, 그때는 “가정이 합성식이면 대우”라는 신호로 처리했다. 이번 주가 더한 것은 그 신호의 이유다 — 자리를 바꾸면 정보가 흐르는 방향이 뒤집히고, 뒤집힌 방향에서는 정의가 곧바로 풀린다. 같은 이유로 “\(n^2\)이 3의 배수이면 \(n\)이 3의 배수”(1권 19주차 예제 2.2, S2주차 문제 16에서 후진이 막힌다고 진단한 그 명제)와 “\(mn\)이 짝수이면 \(m\)이나 \(n\)이 짝수”(문제 9)가 전부 대우로 간다.

예제 2.2 — 부등식: 대우문을 만들어 보는 비용#

명제. 실수 \(x\)에 대해, \(x^2 + x \le 0\)이면 \(x \le 0\)이다.

이번에는 설계까지만 함께 하고 본문은 완성본으로 본다.

확인 14. 판정부터 해 보자. 이 명제는 판정법 넷째 줄에 걸리기는 하지만, 예제 2.1과 달리 직접 공략도 막히지는 않는다. 신호가 이렇게 결정적이지 않을 때는 무엇을 하는가.

답

넷째 줄에 걸리되 신호가 결정적이지 않다. 가정 \(x^2 + x \le 0\)은 합성식의 성질이고

결론 \(x \le 0\)은 재료 \(x\)의 성질이므로 넷째 줄이 대우를 가리키기는 한다. 그러나

예제 2.1에서는 직접 공략이 근거 목록의 부재로 막혀 있었던 반면, 여기서는

\(x(x+1) \le 0\)으로 인수분해하는 길이 열려 있어 대우가 유일한 출구는 아니다.

신호가 이렇게 결정적이지 않으면 양쪽 게임판을 실제로 적어 비교한다. 직접 공략:

\(x^2 + x \le 0\)에서 \(x(x+1) \le 0\)을 얻고, 곱이 0 이하가 되는 조건을 부호로

따지면 \(-1 \le x \le 0\) — 경우가 낀다. 대우 공략: \(\neg B\)는 “\(x > 0\)”,

\(\neg A\)는 “\(x^2 + x > 0\)” — 둘 다 경우가 없는 부등식이다.

대우문을 만들어 보는 비용은 한 줄이고, 그 한 줄로 어느 판이 깨끗한지 눈으로

비교할 수 있다. 판정법 표는 어느 쪽이 가능한지를 가리키고, 두 게임판의 비교는

어느 쪽이 짧은지를 정한다.

확인 15. 번역표를 채워 보자. 출발점: \(\neg B = \underline{\qquad}\). 도착점: \(\neg A = \underline{\qquad}\). 도착점에 닿으려면 어떤 성질을 쓰게 되겠는가.

답

출발점 \(x > 0\), 도착점 \(x^2 + x > 0\). 도착점에 닿으려면 양수끼리의 곱과 합이

양수라는 성질 — 1권 16주차의 (W4), 근거 ② — 을 두 번 쓰게 된다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

대우를 증명한다. 대우는 “\(x > 0\)이면 \(x^2 + x > 0\)이다”이다.

걸음 ①. 검산 ㄱ: “\(x > 0\)”은 결론 “\(x \le 0\)”의 부정 ✓. 검산 ㄴ: “\(x^2 + x > 0\)”은 가정 “\(x^2 + x \le 0\)”의 부정 ✓.

\(x > 0\)이라 하자.

걸음 ② 개시. 부등식이므로 풀 정의는 없고 가정 자체가 곧 재료다.

\(x^2 = x \cdot x > 0\)이다.

양수끼리의 곱은 양수 — (W4). 과녁이 “\(x^2 + x > 0\)”이므로 먼저 \(x^2\)의 부호를 확정한다.

\(x^2 > 0\)이고 \(x > 0\)이므로 \(x^2 + x > 0\)이다.

양수끼리의 합은 양수 — (W4). 도착 선언.

대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

걸음 ③ 복귀 (근거 ④).

논평. 직접 공략에서 경우를 설계하던 문제가 두 줄이 되었다. 판정법 표의 신호가 결정적이지 않더라도 대우문 한 줄은 언제나 써 볼 값어치가 있다 — 쓰는 데 드는 비용이 한 줄이고, 얻는 것은 두 게임판의 비교이기 때문이다.

예제 2.3 — 이(inverse)로 새는 답안의 해부#

명제. 정수 \(n\)에 대해, \(3n + 1\)이 짝수이면 \(n\)은 홀수이다.

이번에는 설계부터 스스로 해 보자.

확인 16. 번역표를 스스로 채우고, 몸통에서 무엇을 계산하게 될지까지 예측해 보자. \(\neg B = \underline{\qquad}\), \(\neg A = \underline{\qquad}\).

답

\(\neg B\)는 “\(n\)은 짝수이다”(부정형 “홀수가 아니다”를 특성화로 갈아탐),

\(\neg A\)는 “\(3n + 1\)은 홀수이다”. 몸통에서는 \(n = 2k\)를 \(3n + 1\)에 대입해

\(6k + 1 = 2(3k) + 1\)을 만들게 된다 — 홀수의 정의 꼴.

증명. 대우를 증명한다. 대우는 “\(n\)이 짝수이면 \(3n + 1\)은 홀수이다”이다. \(n\)이 짝수라 하자. 정의에 의해 \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그러면

\[ 3n + 1 = 3(2k) + 1 = 6k + 1 = 2(3k) + 1 \]

이고 \(3k\)는 정수이므로 \(3n + 1\)은 홀수이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

이번 증명은 표 없이 산문으로 적었다. 표는 연습 단계의 장치이고, 실전의 답안은 처음부터 끝까지 이런 산문이다.

진단 — 같은 명제의 새는 답안. §1.4의 삭제 실험에 나온 답안을 다시 본다.

“대우를 쓰자. \(3n + 1\)이 홀수라고 가정하면 \(3n\)이 짝수이므로 \(n\)이 짝수이다.

따라서 원명제가 성립한다.”

이 답안이 가정한 것은 “\(3n+1\)이 홀수” \(= \neg A\)이고 보인 것은 “\(n\)이 짝수” \(= \neg B\)이므로, 증명된 명제는 \(\neg A \Rightarrow \neg B\) — **이(inverse)**다. 이는 원명제가 아니라 역 \(B \Rightarrow A\)와 동치이므로(1권 9주차) 원명제의 증명이 아니다. 위험한 점은 그 이가 마침 참이라 몸통이 끝까지 완주된다는 것이고, 그래서 검사망을 통과한다. 막는 장치가 두 개다 — 걸음 ①-나의 제작물 명시와 화살표 검산.

관찰 — 같은 뼈대#

예제 2.1\(\cdot\)2.2\(\cdot\)2.3은 소재가 다르지만 걸음의 배치가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

걸음

예제 2.1

예제 2.2

예제 2.3

판정의 근거

판정법 넷째 줄

넷째 줄 + 양쪽 게임판 비교

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

출발점 \(\neg B\)

\(n\)이 홀수

\(x > 0\)

\(\underline{\quad(2)\quad}\)

도착점 \(\neg A\)

\(n^2\)이 홀수

\(x^2 + x > 0\)

\(3n+1\)이 홀수

몸통이 부른 근거

정의 ① \(\cdot\) 닫힘성 ②

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

정의 ① \(\cdot\) 닫힘성 ②

복귀 선언의 근거

근거 ④

근거 ④

\(\underline{\quad(4)\quad}\)

확인 17. 빈칸 (1)~(4)를 채우고, 세 예제에서 공통으로 반복된 순서를 세 걸음으로 적어 보자.

답

(1) 판정법 넷째 줄 — 가정이 합성식 \(3n + 1\)의 성질이고 결론이 재료 \(n\)의 성질이다.

(첫째 줄에는 걸리지 않는다: 이 교재의 용법에서 부정형은 “짝수가 아니다”이고

“홀수”가 바로 그 특성화, 곧 긍정형이다. 원명제의 \(A\) “짝수”도 \(B\) “홀수”도 처음부터

긍정형이다. 부정형이 나타나는 것은 \(\neg B\) = “홀수가 아니다”를 “짝수”로 갈아타는

대우문 제작 단계이지 판정 단계가 아니다.)

(2) \(n\)이 짝수 (3) (W4) — 양수끼리의 곱과 합, 곧 닫힘성 ② (4) 근거 ④(대우 동치).

공통 순서: ① 판정하고 대우문을 만들어 선언한다(화살표 검산 포함) \(\to\) ② \(\neg B\)를

가정하고 \(\neg A\)의 꼴을 과녁 삼아 직접 증명한다 \(\to\) ③ 대우 동치로 원명제를 회수한다.

방금 확인한 뼈대가 §1.4의 3단 서식이다. 세 예제에서 달라진 것은 몸통이 부른 근거뿐이고, 걸음 ①과 ③은 글자까지 같았다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6에 있다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다.

훈련 1 ●○○ — 수식과 절차의 빈칸#

명제. 정수 \(n\)에 대해, \(n^3 + 2\)가 홀수이면 \(n\)은 홀수이다.

판정. 가정이 합성식 \(n^3 + 2\)의 성질, 결론이 재료 \(n\)의 성질 — 판정법 \(\underline{\quad(1)\quad}\)째 줄, 곧 대우 신호다.

증명. 대우를 증명한다. 대우는 “\(n\)이 \(\underline{\quad(2)\quad}\)이면 \(n^3 + 2\)는 \(\underline{\quad(3)\quad}\)이다”이다. \(n\)이 짝수라 하자. 정의에 의해 \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그러면

\[ n^3 + 2 = 8k^3 + 2 = 2(\underline{\quad(4)\quad}) \]

이고 괄호 안은 정수이므로 \(n^3 + 2\)는 짝수이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

화살표 검산. 가정한 “\(n\)이 짝수”는 원명제 \(\underline{\quad(5)\quad}\)의 부정이고, 보인 “\(n^3 + 2\)가 짝수”는 원명제 \(\underline{\quad(6)\quad}\)의 부정이다.

훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#

이번에는 규칙 이름과 근거 문장도 빈칸이다.

명제. 정수 \(a, b\)에 대해, \(ab\)가 홀수이면 \(a\)와 \(b\)가 모두 홀수이다.

증명. 대우를 증명한다. 결론이 “그리고”이므로 그 부정은 규칙 \(\underline{\quad(1)\quad}\)에 의해 “또는”이 되고, 대우는 “\(a\)가 짝수이거나 \(b\)가 짝수이면 \(ab\)는 \(\underline{\quad(2)\quad}\)이다”이다. 가정이 “또는”이므로 경우를 나눈다.

경우 1: \(a\)가 짝수. \(a = 2j\)인 정수 \(j\)가 존재하므로 \(ab = \underline{\quad(3)\quad}\)이고, \(jb\)는 정수이다 [\(\underline{\quad(4)\quad}\)]. 따라서 \(ab\)는 짝수이다.

경우 2: \(b\)가 짝수. \(b = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재하므로 \(ab = \underline{\quad(5)\quad}\)이고, 괄호 안은 정수이므로 \(ab\)는 짝수이다.

가정이 두 경우를 빠짐없이 덮으므로 어느 경우에도 \(ab\)는 짝수이다. \(\underline{\quad(6)\quad}\) 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

화살표 검산. 가정한 “\(a\)가 짝수이거나 \(b\)가 짝수”는 원명제 결론의 부정이고, 보인 “\(ab\)가 짝수”는 원명제 \(\underline{\quad(7)\quad}\)의 부정이다.

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

이번에는 판정부터 스스로 한다. 각 칸을 문장으로 통째로 채운다.

명제. 정수 \(n\)에 대해, \(n^2 - 1\)이 8의 배수가 아니면 \(n\)은 짝수이다.

  • ① 판정과 그 근거 (판정법 표의 몇째 줄인가): \(\underline{\quad(1)\quad}\)

  • ② 대우 선언 문장 (전개까지 마친 완전한 문장으로): \(\underline{\quad(2)\quad}\)

  • ③ 몸통 — 이 대우문은 이미 증명된 명제이다. 출처를 대고 한 줄로 끝낸다: \(\underline{\quad(3)\quad}\)

  • ④ 복귀 선언과 그 근거: \(\underline{\quad(4)\quad}\)

  • ⑤ 화살표 검산 ㄱ\(\cdot\)ㄴ: \(\underline{\quad(5)\quad}\)

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 접근까지만 읽고 다시 시도한다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. 대우 답안의 제출 규격은 네 가지다: ① 대우 선언(기법 선언 + 제작물 명시) ② 화살표 검산 ㄱ\(\cdot\)ㄴ ③ 몸통의 각 줄에 붙은 근거 번호 ④ 복귀 선언. 몸통의 계산이 옳아도 ①이 없으면 그 답안이 원명제를 다루는지 역\(\cdot\)이를 다루는지 확정되지 않으므로 증명으로 읽히지 않는다. 판정을 묻는 문제는 기법 이름만 적지 말고 판정법 표의 몇째 줄이 근거인지 지목한다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. [백지] 대우법의 정의\(\cdot\)정당성\(\cdot\)귀류와의 관계(“후진의 부활”), 제작 주의 3종, 판정법 표, 3단 서식을 쓰시오.

힌트

§1.3의 두 게임 비교 표, §1.4의 서식, §1.5의 주의 표, §1.6의 판정법 표가 그대로

답이다. 통째로 외우기보다 “지정의 대가는 \(A\)를 못 쓰는 것, 얻는 것은 과녁”이라는

한 문장에서 나머지를 재구성하는 쪽이 재현률이 높다.

2. 다음 명제의 대우문을 만드시오 (증명은 하지 말 것). (a) 정수 \(n\)에 대해, \(n^2 + 4n\)이 홀수이면 \(n\)은 홀수이다. (b) 실수 \(x\)에 대해, \(x^3 < 0\)이면 \(x < 0\)이다. (c) 정수 \(m, n\)에 대해, \(mn\)이 짝수이면 \(m\)이 짝수이거나 \(n\)이 짝수이다. (d) 실수 \(x, y\)에 대해, \(x + y > 10\)이면 \(x > 5\)이거나 \(y > 5\)이다.

힌트

세 가지만 확인한다. 무대(“정수 \(n\)에 대해”)는 제자리에 두었는가, \(\land\)\(\cdot\)\(\lor\)를 뒤집었는가,

자리를 바꾸었는가. 부정형이 남으면 특성화로 갈아탄다 — “짝수가 아니다”는 “홀수”,

“\(x < 0\)이 아니다”는 “\(x \ge 0\)”.

3. 문제 2의 (c)\(\cdot\)(d)에서 원명제의 “또는” 결론이 대우문에서 무엇으로 바뀌었는지 쓰고, 그것이 왜 이득인지 한 문장으로 쓰시오.

힌트

준비 운동 유형 1과 유형 2가 각각 무엇 때문에 불편했는지 되짚는다.

결론의 “또는”은 지목 부담이고, 가정의 “그리고”는 부담이 아니라 재료다.

4. 빈칸 사다리의 훈련 1~3을 백지에서 완성하시오.

힌트

훈련 3의 몸통은 새로 계산할 것이 없다. 대우문을 만들어 놓고 “이 문장을 어디서

본 적이 있는가”를 먼저 묻는다.

5. 예제 2.1을 백지 재현하시오 — 후진 과정이 되살아나는 지점을 지목해 포함하시오.

힌트

되살아나는 지점은 셋째 줄이다. \(4k^2 + 4k + 1\)을 왜 하필 \(2(2k^2+2k)+1\)로 묶었는지를

설명하는 문장이 곧 후진 질문의 흔적이다.

6. 예제 2.3의 새는 답안을 재현하고, 화살표 검산 규칙을 쓰시오.

힌트

새는 답안은 \(\neg A\)를 가정하고 \(\neg B\)를 보인다. 검산 ㄱ과 ㄴ이 동시에, 그리고

정확히 자리를 맞바꾼 모양으로 걸린다는 것까지 적으면 완결이다.

표준 ●●○#

7. 문제 2(a)를 증명하시오.

8. 문제 2(d)를 증명하시오.

9. 문제 2(c)를 증명하시오. 대우문이 이미 증명된 정리임을 인용해 끝내는 최단 답안과, 인용 없이 재증명하는 완전 답안을 모두 쓰시오.

힌트

대우문 “\(m\)과 \(n\)이 둘 다 홀수이면 \(mn\)은 홀수이다”를 S4주차의 예제 목록에서 찾아본다.

완전 답안 쪽은 서로 다른 문자 두 개로 펼친 뒤 \(+1\)만 남기고 2를 묶는다.

10. 실수 \(x\)에 대해, \(x^2\)이 무리수이면 \(x\)도 무리수임을 증명하시오. 이어서 역 “\(x\)가 무리수이면 \(x^2\)도 무리수이다”가 거짓임을 반례로 보이시오.

힌트

가정과 결론이 둘 다 부정형(“무리수” = “유리수가 아니다”)이므로 대우에서 둘 다

긍정형이 된다. 대우문의 몸통은 유리수의 정의를 풀고 제곱하는 한 줄이다.

반례는 제곱하면 유리수가 되는 무리수를 하나 대면 된다.

11. 정수 \(n\)에 대해, \(5 \mid n^2\)이면 \(5 \mid n\)임을 증명하시오.

몸통에 들어오는 도구 — 나머지에 의한 전수 분할

대우문의 가정은 “\(5 \nmid n\)”이라는 부정형이고, 여기에는 풀 정의가 없다.

이럴 때는 나눗셈 정리(1권 17주차 — 지금은 인정하고 쓴다; 1권 33주차 최소원리에서

증명한다)로 \(n = 5q + r\),

\(r \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\)의 다섯 경우로 무대를 덮고, 가정 “\(5 \nmid n\)”이

\(r = 0\)을 배제한다는 것을 쓴다. 부정형 가정을 경우들의 목록으로 바꾸는 이

수는 대우 몸통에서 자주 나온다. 경우 나누기의 채점 기준 두 가지(빠짐없이

덮는가, 각 경우가 완결되는가)는 1권 17주차 그대로다.

힌트

\(n = 5q + r\)을 제곱하면 \(5\)로 묶이는 항들과 \(r^2\)이 남는다. 확인할 것은

\(r^2\)을 5로 나눈 나머지뿐이고, 확인할 \(r\)은 네 개다.

12. 다음 답안을 진단하시오. 그리고 이 명제의 올바른 대우문을 만들어 증명하시오.

“명제: 실수 \(x\)에 대해, \(x^5 + 7 > 7\)이면 \(x > 0\)이다. 증명: \(x > 0\)이라 가정하자. 그러면 \(x^5 > 0\)이므로 \(x^5 + 7 > 7\)이다. 이는 가정과 일치한다. 따라서 원명제가 성립한다.”

힌트

이 답안이 가정한 것과 보인 것에 화살표 검산을 걸어 본다. 역과 이 중 어느

쪽인지가 그 자리에서 결정된다. 올바른 대우문의 몸통에서는 \(x^5 = x \cdot x^4\)로

쪼개고 \(x^4\)의 부호를 (W1)로 확정한 뒤 (W3)으로 넘긴다.

13. 다음 각 명제에 직접\(\cdot\)대우\(\cdot\)귀류 중 하나를 고르고 판정법 표의 근거 줄을 지목하시오 (증명은 하지 말 것). (a) \(\sqrt7\)은 무리수이다. (b) 정수 \(n\)에 대해, \(7 \mid n^2\)이면 \(7 \mid n\)이다. (c) 실수 \(x\)에 대해, \(x > 2\)이면 \(x^2 > 4\)이다. (d) \(x^2 - 6y = 2\)인 정수 해는 없다. (e) 정수 \(n\)에 대해, \(n^2 + n + 5\)가 짝수이면 \(n\)은 3의 배수이다.

힌트

(e)는 함정이다. 기법을 고르기 전에 가정 “\(n^2 + n + 5\)가 짝수”가 성립하는 \(n\)이

실제로 있는지 확인한다 — \(n^2 + n\)은 연속한 두 정수의 곱이다(1권 1주차 문제 16).

14. 유리수 \(q \neq 0\)과 실수 \(t\)에 대해, \(qt\)가 무리수이면 \(t\)는 무리수임을 증명하시오. 이어서 이 명제와 S11주차 문제 8의 관계를 밝히고, 조건 “\(q \neq 0\)”이 두 명제에서 각각 어디에 쓰이는지 쓰시오.

힌트

대우문의 몸통은 유리수끼리의 곱이 유리수라는 한 줄이다. 관계를 밝힐 때는

화살표를 그려 보면 된다 — 두 명제의 가정과 결론이 서로 자리를 바꾼 모양인지,

부정까지 함께 바뀐 모양인지가 대우와 역을 가른다.

도전 ●●●#

15. 정수 \(m, n\)에 대해, \(5 \mid mn\)이면 \(5 \mid m\) 또는 \(5 \mid n\)임을 증명하시오.

힌트

결론이 “또는”이므로 대우의 가정은 조각 두 개다. 각각을 문제 11처럼 나머지로

펼치면 \(mn = 5(\cdots) + rs\)가 되고, 남는 물음은 하나다 — \(r, s \in \{1,2,3,4\}\)일 때

\(rs\)가 5의 배수가 될 수 있는가. \(rs\)의 값은 열여섯 가지뿐이므로 전수 확인이 가능하다.

16. 실수 \(a\)에 대해, “모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(a < \varepsilon\)”이면 \(a \le 0\)임을 대우로 증명하시오.

가정 자리에 양화사가 오는 명제의 대우 — 전개 규칙 두 가지

이번 문제에서 \(A\)는 “모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(a < \varepsilon\)”이라는 전칭

명제다. \(\neg A\)를 만들려면 S10주차의 N5를 쓴다: 전칭의 부정은 존재이고,

자격(”\(\varepsilon > 0\)”)은 부정되지 않고 그대로 남는다. 곧

\(\neg A\)는 “\(a < \varepsilon\)이 아닌, 곧 \(a \ge \varepsilon\)인 \(\varepsilon > 0\)이 존재한다”가 된다.

과녁이 존재 명제이므로 몸통은 구성법(S5주차)이다 — 증인을 하나 제시하고

자격 검증과 사건 검증을 각각 적는다.

힌트

증인 후보는 손에 있는 것들의 식이어야 한다. 이 문제에서 손에 있는 것은

\(\neg B\), 곧 “\(a > 0\)”뿐이다.

17. 함수 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)와 실수 \(c\)에 대해, “\(f(c) \neq c\)이면 \(f\)는 항등함수가 아니다”를 증명하시오. 이어서 같은 명제를 직접 증명으로도 증명하고, 두 증명이 같은 재료를 어떻게 다르게 쓰는지 논평하시오.

힌트

대우문은 “\(f\)가 항등함수이면 \(f(c) = c\)이다”이고, 항등함수의 정의는 전칭 명제이므로

몸통은 특수화 한 줄이다(S7주차). 직접 증명 쪽은 결론 “항등함수가 아니다”를

S10주차 기계로 전개하면 존재 명제가 되고, 그러면 몸통은 구성법이다.

18. 명제 “수렴하는 수열 \((a_n)\)이 모든 \(n\)에서 \(a_n \le M\)을 만족하면, 극한 \(L\)도 \(L \le M\)이다”에 대해: (a) 대우문을 만들어 보고, \(\neg A\)가 “또는” 꼴이 되어 과녁으로 불편함을 확인하시오. (b) 귀류로 증명하시오.

이 문제가 인용하는 정의 — 수렴

수열 \((a_n)\)이 \(L\)로 수렴한다는 것은, 모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 어떤 자연수 \(N\)이

있어 \(n > N\)인 모든 \(n\)에서 \(|a_n - L| < \varepsilon\)이라는 뜻이다(1권 45주차 정의).

이 정의를 쓸 때는 넣을 \(\varepsilon\)을 먼저 정하고, 그 값이 양수임을 확인한 뒤

문턱 \(N\)을 받아 온다 — 특수화의 세 걸음(S7주차)이 그대로 적용된다.

1권 46주차는 합\(\cdot\)상수배\(\cdot\)조임의 극한 법칙을 증명했지만 부등식이 극한을

통과하는지는 다루지 않았다. 이 문제가 그 자리를 메운다.

힌트

(a)에서 \(A\)는 조각 두 개의 “그리고”다. 두 조각을 각각 적은 뒤 N2를 적용한다.

(b)에서 넣을 \(\varepsilon\)은 \(L\)과 \(M\) 사이의 여유를 절반으로 나눈 값이다 —

그래야 \(L - \varepsilon\)이 \(M\)보다 위에 남는다.

19. (설계) 정수 \(a, b\)에 대해 \(a^2 - 4b \neq 2\)임을, 곧 “\(a^2 - 4b = 2\)인 정수 \(a, b\)는 존재하지 않음”을 증명하시오. (a) 귀류로 한 번 증명하고, (b) 이 명제를 조건문으로 재포장해 대우를 시도해 본 뒤 대우가 성립할 자리가 없음을 확인해 판정법 셋째 줄의 실증 보고서로 정리하시오.

힌트

(b)에서 억지로 조건문 꼴을 만들면 가정 자리에 오는 것은 “\(a, b\)가 정수이다”라는

무대 선언뿐이다. 그 문장을 부정하면 무엇이 과녁이 되는지, 그 과녁에 수학적 내용이

있는지를 따진다. §1.5 첫째 줄이 이 자리에서 다시 쓰인다.

20. (서술) (a) “대우는 충돌 상대를 지정한 귀류이고, 지정으로 얻는 것이 후진의 부활이다”를 예제 2.1의 묶음 조준으로 뒷받침하시오 (세 문장 이내). (b) 부정 3부작(S10주차 전개 \(\to\) S11주차 귀류 \(\to\) S12주차 대우)을 하나의 판정 순서로 서술하시오 (다섯 문장 이내).

백지 재현 — 복습 프로토콜#

이번 주의 5일 루틴. 원서와 교안을 번갈아 쓰는 순서다.

요일

할 일

1일차

원서 Solow 10장 통독 (모르는 문장은 표시만 하고 통과)

2일차

교안 §0~§2 — 개념과 예제. 확인 상자는 연필로 먼저 답한다

3일차

원서 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서 10장의 연습문제 몇 개를 직접 시도

4일차

교안 §3 빈칸 사다리 + §4 연습문제 20문항

5일차

백지 재현 1차(틀 카드)\(\cdot\)2차(완전 백지) + 체크리스트

3일차의 재독이 이번 주에는 특히 중요하다. 원서 10장은 대우법을 9장(귀류)의 바로 뒤에 놓아 둘의 관계를 짧게 언급하고 지나가므로, 교안 §1.3의 두 게임 비교 표와 §1.6의 판정법 표를 손에 쥐고 다시 읽으면 원서 예제의 각 줄이 어느 게임의 문장인지 짚을 수 있다.

1차 시도 — 틀 카드 허용. 다음 세 상자만 옮겨 적은 카드를 펴 놓는다: 3단 서식(§1.4), 화살표 검산(§1.4), 판정법 표(§1.6). 그 상태에서 예제 2.1을 판정부터 복귀 선언까지 적는다. 예제 본문과 확인 상자는 보지 않는다.

2차 시도 — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다.

  • 대우법의 정의와 정당성(대우 동치, 1권 9주차 예제 2.1)을 썼다.

  • 귀류와의 관계를 두 게임 비교 표로 재현하고, 지정의 대가(\(A\)를 몸통에서 쓸 수 없다)와 얻는 것(과녁이 구체적이 되어 후진 질문이 생긴다)을 각각 한 줄로 적었다.

  • 3단 서식을 쓰고, 걸음 ①-나를 지우면 무엇이 무너지는지 예제 2.3의 답안으로 설명했다.

  • 화살표 검산 ㄱ\(\cdot\)ㄴ을 쓰고, 이(inverse)로 새는 답안에서 둘이 어떻게 걸리는지 보였다.

  • 제작 주의 3종(무대 보존\(\cdot\)\(\land\)\(\lor\) 뒤집기\(\cdot\)역이 구별)을 쓰고 각각의 어긋난 사례를 하나씩 들었다.

  • 판정법 표 여섯 줄을 재현하고, 문제 13의 다섯 명제를 표만 보고 다시 판정했다.

  • 예제 2.1을 처음부터 끝까지 재현하고, 후진이 되살아나는 줄을 손가락으로 짚었다.

  • 결론이 “또는”인 명제(문제 8\(\cdot\)15)에서 대우가 무엇을 주는지 한 문장으로 말했다.

  • 원서 10장을 두 번 읽었고, 1일차에 표시한 문장이 전부 해결되었다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점

처방

대우문을 만들다가 어느 쪽을 가정할지 헷갈린다

§1.4 화살표 검산 — ㄱ부터 건다. 가정하는 것은 언제나 결론의 부정이다

대우인지 이인지 구별이 안 된다

예제 2.3의 진단 — 이는 가정과 보일 것이 정확히 자리를 맞바꾼 모양으로 걸린다

대우문은 만들었는데 몸통의 첫 줄이 안 나온다

예제 2.1의 2단계 — 몸통은 보통의 직접 증명이므로 첫 일은 정의 풀기다

무엇으로 묶어야 할지 모르겠다

예제 2.1의 3단계 — 묶는 모양은 과녁 \(\neg A\)의 정의 꼴이 지시한다

세 기법 중 무엇을 고를지 모르겠다

§1.6 판정법 표를 위에서부터 훑는다. 걸리는 줄이 없거나 신호가 결정적이지 않으면 예제 2.2처럼 양쪽 게임판을 실제로 적어 비교한다

대우로 갔더니 과녁이 “또는”이 되어 불편하다

§1.5 끝과 §1.6 여섯째 줄 — 그 신호가 귀류로 되돌아가라는 뜻이다 (문제 18)

무대 조건을 어디로 보낼지 모르겠다

§1.5 첫째 줄 — 무대는 부정되지도 이동하지도 않는다

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 적고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) 넷 (2) 짝수 (3) 짝수 (4) \(4k^3 + 1\) (5) 결론(”\(n\)은 홀수”) (6) 가정(”\(n^3 + 2\)가 홀수”)

※ (4)의 검산: \(2(4k^3 + 1) = 8k^3 + 2\) ✓. \(n^3 = (2k)^3 = 8k^3\)이므로 세제곱을 전개할 일이 없다 — 대우문의 가정이 \(n\) 자체를 주기 때문에 대입 한 번으로 끝난다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) N2 (드모르간, \(\land\)의 부정) (2) 짝수 (3) \(2jb\) 또는 \(2(jb)\) (4) 정수끼리의 곱은 정수 — 근거 ② (5) \(2(ak)\) (6) 대우가 증명되었으므로 (7) 가정(”\(ab\)가 홀수”)

※ 두 경우가 겹칠 수 있다(\(a\)와 \(b\)가 둘 다 짝수인 경우). 경우 나누기의 채점 기준은 “빠짐없이 덮는가”이지 “겹치지 않는가”가 아니므로 겹침은 결함이 아니다(1권 17주차). ※ 대우문의 가정이 “또는”이 되어 경우 나누기를 부른 것 — 결론의 \(\land\)이 대우에서 가정의 \(\lor\)가 되면 경우가 생긴다. 문제 8\(\cdot\)15의 반대 방향이다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) 대우. 근거는 판정법 첫째 줄(가정 쪽 부정형)과 둘째 줄이다 — 가정 “\(n^2 - 1\)이 8의 배수가 아니다”가 부정형이라 그 자리에서는 풀 정의가 없고, 명제가 조건문이므로 \(\neg A\)라는 과녁이 생긴다. (대우문에서는 이 부정형 가정이 결론 자리로 가면서 긍정형 “8의 배수이다”가 된다 — 첫째 줄이 \(A\) 쪽과 \(B\) 쪽을 함께 덮는 이유가 이것이다.) (2) “대우를 증명한다. 대우는 ‘\(n\)이 홀수이면 \(n^2 - 1\)은 8의 배수이다’이다.” (무대 “정수 \(n\)에 대해”는 그대로 붙는다. \(\neg B\)는 “\(n\)이 짝수가 아니다”를 특성화로 갈아탄 “\(n\)이 홀수”이고, \(\neg A\)는 이중부정이 소거되어 “\(n^2 - 1\)이 8의 배수”다.) (3) “이 명제는 1권 1주차 문제 17에서 증명되었다 [근거 ④].” (4) “대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. 근거는 대우 동치(1권 9주차 예제 2.1), 곧 근거 ④다.” (5) ㄱ: 가정한 “\(n\)이 홀수”는 원명제 결론 “\(n\)은 짝수”의 부정 ✓. ㄴ: 보인 “\(n^2-1\)이 8의 배수”는 원명제 가정 “\(n^2-1\)이 8의 배수가 아니다”의 부정 ✓.

※ 이 훈련의 요점은 계산이 아니라 부정형 가정과 부정형 결론이 대우에서 동시에 긍정형이 된다는 것이다. 그리고 긍정형이 된 대우문이 이미 증명해 둔 명제여서 몸통이 인용 한 줄로 끝났다 — 이미 증명한 명제 목록이 길수록 이런 종료가 자주 일어난다.

문제 1#

접근. 네 상자를 통째로 재생하는 문제이므로, 외운 문장을 그대로 옮기기보다 각 상자가 무엇을 막아 주는지 한 줄씩 덧붙이며 적는 쪽이 재현률이 높다. 정의는 무엇을 증명하는지를, 관계는 왜 후진이 살아나는지를, 주의 3종은 전개 사고를, 판정법은 기법 선택을, 서식은 답안의 형식을 관리한다.

풀이. 정의. “\(A\)이면 \(B\)이다”의 대우법이란, \(\neg B\)를 가정으로 \(\neg A\)를 결론으로 삼은 대우문 “\(\neg B\)이면 \(\neg A\)이다”를 직접 증명한 뒤, 동치 \(A \Rightarrow B \equiv \neg B \Rightarrow \neg A\)로 원명제를 회수하는 것이다. 정당성. 두 명제가 동치라는 것은 1권 9주차 예제 2.1에서 진리표로 증명되었다. 따라서 대우문의 증명이 곧 원명제의 증명이다. 귀류와의 관계. 귀류는 \(A\)와 \(\neg B\)를 가지고 아무 모순을 찾는다. 대우는 그중 충돌 상대를 \(A\)로 미리 지정한 것이다. 대가는 \(A\)를 몸통 계산에 쓸 수 없다는 것이고, 얻는 것은 과녁이 “아무 모순”에서 \(\neg A\)라는 구체적 명제로 바뀌는 것이다. 과녁이 구체적이면 핵심 질문(”\(\neg A\)를 보이려면 어떻게 하는가?”)을 던질 수 있으므로 후진 과정이 되살아난다. 제작 주의 3종. ㄱ 무대는 부정되지도 이동하지도 않는다. ㄴ \(\land\)과 \(\lor\)는 뒤집힌다 (N2\(\cdot\)N3). ㄷ 역(\(B \Rightarrow A\))\(\cdot\)이(\(\neg A \Rightarrow \neg B\))와 구별한다. 판정법. \(A\)나 \(B\)가 부정형이면 대우 또는 귀류. 조건문이라 \(\neg A\) 과녁이 생기면 대우 우선. 무조건 명제면 귀류. 가정이 합성식이고 결론이 재료면 대우. 충돌 지점이 \(A\) 밖에서 터질 것 같으면 귀류. \(\neg A\)가 \(\lor\) 꼴이면 귀류 검토. 3단 서식. ① 대우 선언(기법 선언 + 제작물 명시) ② 직접 증명 ③ 복귀 선언.

복기. 다섯 항목은 하나의 사실을 다섯 각도에서 적은 것이다 — 충돌 상대를 지정하면 과녁이 생기고, 과녁이 생기면 후진이 살아나며, 그래서 지정할 수 있는 상황(조건문)에서는 대우가 귀류보다 편하다.

문제 2#

접근. 순서를 고정한다. ㄱ 무대를 떼어 옆에 둔다 \(\to\) ㄴ \(A\)와 \(B\)를 식별한다 \(\to\) ㄷ 각각을 S10주차 규칙으로 전개한다(\(\land\)\(\cdot\)\(\lor\)는 뒤집는다) \(\to\) ㄹ 자리를 바꿔 쓰고 무대를 다시 앞에 붙인다 \(\to\) ㅁ 화살표 검산. 부정형이 남으면 특성화로 갈아탄다.

풀이. (a) \(B\)는 “\(n\)은 홀수”, \(\neg B\)는 “\(n\)은 짝수”. \(A\)는 “\(n^2 + 4n\)은 홀수”, \(\neg A\)는 “\(n^2 + 4n\)은 짝수”. 대우문: 정수 \(n\)에 대해, \(n\)이 짝수이면 \(n^2 + 4n\)은 짝수이다. (b) \(B\)는 “\(x < 0\)”, \(\neg B\)는 “\(x \ge 0\)”(실수의 삼분법, 1권 17주차). \(A\)는 “\(x^3 < 0\)”, \(\neg A\)는 “\(x^3 \ge 0\)”. 대우문: 실수 \(x\)에 대해, \(x \ge 0\)이면 \(x^3 \ge 0\)이다. (c) \(B\)는 “\(m\)이 짝수이거나 \(n\)이 짝수”이고, N3에 의해 \(\neg B\)는 “\(m\)이 짝수가 아니고 \(n\)도 짝수가 아니다”, 곧 “\(m\)과 \(n\)이 둘 다 홀수”. \(\neg A\)는 “\(mn\)은 홀수”. 대우문: 정수 \(m, n\)에 대해, \(m\)과 \(n\)이 둘 다 홀수이면 \(mn\)은 홀수이다. (d) \(B\)는 “\(x > 5\)이거나 \(y > 5\)”이고, N3에 의해 \(\neg B\)는 “\(x \le 5\)이고 \(y \le 5\)”. \(\neg A\)는 “\(x + y \le 10\)”. 대우문: 실수 \(x, y\)에 대해, \(x \le 5\)이고 \(y \le 5\)이면 \(x + y \le 10\)이다.

복기. 네 문항 모두 무대(“정수 \(n\)에 대해”, “실수 \(x, y\)에 대해”)가 앞자리를 지켰다. 무대를 함께 부정해 “\(n\)이 정수가 아니면”으로 옮기는 것이 이 유형의 대표적 사고이고, 그렇게 만든 명제는 원명제와 아무 관계가 없다.

문제 3#

접근. N3의 모양만 보지 말고, 그 모양이 답안 작성에서 무엇을 없애 주는지를 적는다. 준비 운동 유형 1이 겪은 것이 결론의 “또는”이 만드는 지목 부담이었다.

풀이. (c)에서는 결론의 “또는”이 대우문 가정의 “그리고”가 되었고((c)의 대우 가정은 “\(m\)과 \(n\)이 둘 다 홀수”), (d)에서도 마찬가지로 “\(x \le 5\)이고 \(y \le 5\)”가 되었다. 이득인 이유: 결론에 있는 “또는”은 두 갈래 중 어느 쪽을 보일지 지목해야 하는 부담인데(가정만으로는 지목할 수 없는 경우가 많다), 가정에 있는 “그리고”는 부담이 아니라 동시에 손에 들어오는 사실 두 개이므로 지목도 경우 나누기도 필요 없다.

복기. 반대 방향도 함께 기억해 둔다. 결론의 “그리고”는 대우에서 가정의 “또는”이 되어 경우 나누기를 부르고(빈칸 사다리 훈련 2), 가정의 “그리고”는 대우에서 과녁의 “또는”이 되어 오히려 불편해진다(문제 18). 부정은 \(\land\)과 \(\lor\)를 뒤집을 뿐이고, 이득인지 손해인지는 그것이 가정 쪽에 있는지 결론 쪽에 있는지가 정한다.

문제 4#

접근. 훈련 1은 계산, 훈련 2는 근거 이름, 훈련 3은 판정과 인용이 각각 걸린다. 백지에서는 훈련 3의 ①(판정)을 먼저 확정해야 나머지가 따라 나온다.

풀이. 위의 빈칸 사다리 해설 세 절과 대조해 자가 채점한다. 채점할 때는 값이 맞았는지보다 다음 세 가지를 본다. ㄱ 훈련 1에서 \(8k^3 + 2 = 2(4k^3+1)\)의 검산을 실제로 했는가. ㄴ 훈련 2에서 규칙 이름 “N2”와 근거 “정수끼리의 곱은 정수(근거 ②)”를 글자로 적었는가 — 계산만 맞고 이름이 비어 있으면 이번 주의 채점 기준 ③을 못 채운 것이다. ㄷ 훈련 3에서 몸통을 인용 한 줄로 끝냈는가, 아니면 \(n^2-1\)을 다시 전개했는가. 다시 전개해도 틀린 것은 아니지만, 대우문을 만든 뒤 “이 문장을 본 적이 있는가”를 묻는 습관이 이 훈련의 목적이다.

문제 5#

접근. 재현의 성패는 계산이 아니라 걸음 ①과 ③에 있다. 몸통은 1권 1주차 수준의 전개이므로, 채점은 선언 문장 두 개와 후진 지점의 지목에 집중한다.

풀이. 예제 2.1의 완성본 다섯 줄을 그대로 적는다. 후진이 되살아나는 지점은 셋째 줄이다: \(4k^2 + 4k + 1\)을 \(2(2k^2 + 2k) + 1\)로 묶은 것은 과녁 \(\neg A\)(”\(n^2\)은 홀수”)가 요구하는 정의 꼴 “\(2 \times (\text{정수}) + 1\)”이 그 묶음을 지시했기 때문이다. 귀류였다면 과녁이 “아무 모순”이라 이 묶음을 시킬 후진 질문이 없고, 전개식 \(4k^2 + 4k + 1\)을 앞에 두고 어디로 갈지 스스로 정해야 한다. 재현 답안에는 이 문장이 한 줄 들어가야 한다.

복기. “후진이 살아 있다”는 말의 검사법은 하나다 — 지금 이 변형을 왜 했는지 물었을 때 “과녁이 그 모양이므로”라고 답할 수 있으면 후진이 작동한 것이고, “해 보니 되더라”밖에 답이 없으면 작동하지 않은 것이다.

문제 6#

접근. 새는 답안을 재현하는 것이 목적이 아니라, 그 답안이 왜 완주되는지를 설명하는 것이 목적이다. 이가 참인 명제라는 것을 짚어야 진단이 완결된다.

풀이. 새는 답안: “대우를 쓰자. \(3n + 1\)이 홀수라고 가정하면 \(3n\)이 짝수이므로 \(n\)이 짝수이다. 따라서 원명제가 성립한다.” 가정한 것은 \(\neg A\)(”\(3n+1\)이 홀수”), 보인 것은 \(\neg B\)(”\(n\)이 짝수”)이므로 증명된 명제는 \(\neg A \Rightarrow \neg B\) — 이(inverse)다. 이는 역 \(B \Rightarrow A\)와 동치이고 원명제와는 동치가 아니므로 (1권 9주차) 원명제의 증명이 아니다. 이 명제 자체는 참이라 몸통이 한 줄도 막히지 않고 완주되는 것이 이 사고의 위험한 점이다. 화살표 검산: ㄱ 내가 가정하는 것이 원명제 결론의 부정인가. ㄴ 내가 보이려는 것이 원명제 가정의 부정인가. 둘 중 하나라도 아니면 역이나 이로 새는 중이다. 이 답안에서는 ㄱ과 ㄴ이 동시에, 그리고 정확히 자리를 맞바꾼 모양으로 걸린다 — 가정한 것이 원명제 가정의 부정이고, 보인 것이 원명제 결론의 부정이다.

복기. 이렇게 걸리는 모양은 이(inverse) 사고에서만 나타난다. 역 사고(문제 12)는 부정 없이 자리만 바꾼 것이라 검산 ㄱ에서 “가정한 것이 결론의 부정이 아니라 결론 자체”로 걸린다. 두 사고가 걸리는 모양이 다르므로 검산 결과만 보고도 병명을 구별할 수 있다.

문제 7#

접근. 대우문은 문제 2(a)에서 만들었다: “\(n\)이 짝수이면 \(n^2 + 4n\)은 짝수이다.” 과녁은 “\(2 \times (\text{정수})\) 꼴”이므로, \(n = 2k\)를 대입해 전개한 뒤 2를 묶는다. 인수분해 \(n(n+4)\)를 거쳐도 되지만 정의 대입이 더 짧다.

풀이. 증명. 대우를 증명한다. 대우는 “정수 \(n\)에 대해, \(n\)이 짝수이면 \(n^2 + 4n\)은 짝수이다”이다. \(n\)이 짝수라 하자. 정의에 의해 \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그러면

\[ n^2 + 4n = (2k)^2 + 4(2k) = 4k^2 + 8k = 2(2k^2 + 4k) \]

이고 \(2k^2 + 4k\)는 정수이므로(근거 ②) \(n^2 + 4n\)은 짝수이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\) 화살표 검산: 가정한 “\(n\)이 짝수”는 결론 “\(n\)은 홀수”의 부정 ✓, 보인 “\(n^2+4n\)이 짝수”는 가정 “\(n^2+4n\)이 홀수”의 부정 ✓.

복기. §1.1의 시도가 멈춘 자리가 바로 이 계산의 마지막 줄이었다. 귀류로 가면 \(4k^2 + 8k\)를 앞에 두고 “이제 무엇을 보여야 하는가”가 비어 있었지만, 대우에서는 과녁이 “\(2 \times (\text{정수})\) 꼴”이므로 무엇으로 묶을지가 처음부터 정해져 있다. 검산. \(n = 2\): \(n^2 + 4n = 12\) — 짝수 ✓. \(n = 3\): \(9 + 12 = 21\) — 홀수이고 \(n\)도 홀수 ✓ (원명제와 어긋나지 않는다).

문제 8#

접근. 이 명제는 1권 19주차 예제 2.3의 재방문이다 — 그때 이미 대우로 증명했고, 준비 운동의 유형 0이 그 답안이다. 이번에 다시 쓰는 이유는 계산이 아니라 서식과 근거에 있다: 판정 근거를 지목하고, 화살표 검산을 붙이고, “변변 더한다”를 근거 목록에서 조립한다. 대우문은 문제 2(d)에서 만들었다: “\(x \le 5\)이고 \(y \le 5\)이면 \(x + y \le 10\)이다.” 가정이 부등식 두 개이므로 할 일은 그 둘을 더하는 것뿐이다. 다만 “변변 더한다”는 조작 자체가 근거 목록에 이름으로 올라 있지 않으므로, (W2)와 (W6)에서 한 번 만들어 두고 쓴다.

풀이. 먼저 쓸 성질을 만든다. \(a \le b\)이고 \(c \le d\)라 하자. (W2)에 의해 \(a + c \le b + c\)이고, 다시 (W2)에 의해 \(b + c \le b + d\)이다. (W6) 추이성에 의해 \(a + c \le b + d\)이다. 이것이 부등식의 합 보존이고, 근거 ③에서 조립한 것이다.

증명. 대우를 증명한다. 대우는 “실수 \(x, y\)에 대해, \(x \le 5\)이고 \(y \le 5\)이면 \(x + y \le 10\)이다”이다. \(x \le 5\)이고 \(y \le 5\)라 하자. 부등식의 합 보존에 의해

\[ x + y \le 5 + 5 = 10 \]

이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\) 화살표 검산: 가정한 두 조각은 결론 “\(x > 5\) 또는 \(y > 5\)”의 부정 ✓, 보인 “\(x + y \le 10\)”은 가정 “\(x + y > 10\)”의 부정 ✓.

복기. 준비 운동에서 네 유형이 겪은 것을 나란히 놓으면 이번 주의 요지가 보인다. 유형 1은 결론의 “또는” 앞에서 지목할 수 없어 멈췄고, 유형 2는 경우를 나누어 성공했지만 한 경우가 헛돌았으며, 유형 3의 귀류는 옳았지만 충돌 상대가 결국 \(A\)였다. 유형 0의 대우는 그 셋의 결론만 남긴 것이다 — 지목 없이, 경우 없이, 헛도는 줄 없이 두 부등식을 더하는 한 줄. 1권 19주차가 이 답안을 신호로 얻었다면, 이번 주는 같은 답안을 판정 근거와 검산까지 붙여 다시 쓴 것이다. 검산. \(x = 5, y = 5\): 합은 10이고 \(\le 10\) ✓ (경계에서도 성립하므로 부등호 방향을 잘못 쓰지 않았다).

문제 9#

접근. 대우문 “\(m\)과 \(n\)이 둘 다 홀수이면 \(mn\)은 홀수이다”를 만든 순간 이 문장을 어디서 보았는지 묻는다. S4주차 예제 2.2가 정확히 이 명제다. 인용으로 끝내는 답안과 인용 없이 다시 세우는 답안을 모두 적는다.

풀이. 최단 답안. 대우를 증명한다. 대우는 “정수 \(m, n\)에 대해, \(m\)과 \(n\)이 둘 다 홀수이면 \(mn\)은 홀수이다”이다. 이 명제는 S4주차 예제 2.2에서 증명되었다 [근거 ④]. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\) 완전 답안. 대우를 증명한다. 대우는 위와 같다. \(m\)과 \(n\)이 둘 다 홀수라 하자. 정의에 의해 \(m = 2j + 1\), \(n = 2k + 1\)인 정수 \(j, k\)가 존재한다 (두 존재 진술이므로 문자를 다르게 잡는다 — 같은 문자를 쓰면 \(m = n\)인 경우만 다룬 것이 된다). 그러면

\[ mn = (2j+1)(2k+1) = 4jk + 2j + 2k + 1 = 2(2jk + j + k) + 1 \]

이고 \(2jk + j + k\)는 정수이므로(근거 ②) \(mn\)은 홀수이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

복기. 대우문을 만들어 놓고 보니 이미 증명된 정리였던 경우다. 판정법이 대우를 지목한 뒤 실제로 할 일이 인용 한 줄로 끝나는 이런 종료는 이미 증명한 명제 목록이 길수록 자주 일어난다(S4주차의 표준 답안지 ②). 그래서 대우문을 만드는 것은 증명을 시작하는 일일 뿐 아니라 이미 증명한 명제 목록을 조회하는 일이기도 하다. 검산. \(m = 3, n = 5\): \(mn = 15\) — 홀수 ✓. \(m = 2, n = 3\): \(mn = 6\) — 짝수이고 \(m\)이 짝수 ✓.

문제 10#

접근. “무리수”는 “유리수가 아니다”의 줄임이므로 가정과 결론이 둘 다 부정형이다. 대우를 취하면 둘 다 긍정형이 되고(이중부정 소거, N1), 몸통은 유리수의 정의를 풀고 제곱하는 한 줄이 된다. 역의 반례는 제곱하면 유리수가 되는 무리수를 하나 대면 된다.

풀이. 증명. 대우를 증명한다. 대우는 “실수 \(x\)에 대해, \(x\)가 유리수이면 \(x^2\)도 유리수이다”이다. \(x\)가 유리수라 하자. 정의에 의해 \(x = \frac ab\)인 정수 \(a\)와 0이 아닌 정수 \(b\)가 존재한다. 그러면

\[ x^2 = \left(\frac ab\right)^2 = \frac{a^2}{b^2} \]

이고, \(a^2\)과 \(b^2\)은 정수이며(근거 ②) \(b \neq 0\)이므로 \(b^2 \neq 0\)이다. 따라서 \(x^2\)은 유리수의 정의를 만족한다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\) 화살표 검산: 가정한 “\(x\)가 유리수”는 결론 “\(x\)는 무리수”의 부정 ✓, 보인 “\(x^2\)이 유리수”는 가정 “\(x^2\)이 무리수”의 부정 ✓.

역의 반례. 역은 “\(x\)가 무리수이면 \(x^2\)도 무리수이다”이다. \(x = \sqrt2\)로 두자. \(\sqrt2\)는 무리수이고(1권 21주차) \(x^2 = 2\)는 유리수이므로, 가정은 성립하고 결론은 위반된다 — 반례의 두 조건을 모두 갖추었다(1권 29주차 반례 서식). 따라서 역은 거짓이다.

복기. 같은 명제에 대해 대우는 참을 보존하고 역은 보존하지 않는다는 것을 한 문제에서 함께 확인한 셈이다. 대우는 동치라서 증명해도 되는 명제이고, 역은 동치가 아니라서 별개의 명제다 — 1권 9주차의 결론이 여기서 실물로 확인된다. 검산. \(x = \sqrt3\): \(x^2 = 3\) 유리수, \(x\) 무리수 — 역의 또 다른 반례 ✓.

문제 11#

접근. 이 명제는 1권 19주차 문제 15와 같은 명제다. 이번에는 판정 근거까지 붙여 다시 쓴다 — 판정법 넷째 줄이다: 가정이 합성식 \(n^2\)의 성질, 결론이 재료 \(n\)의 성질. 대우문의 가정 “\(5 \nmid n\)”에는 풀 정의가 없으므로, 나눗셈 정리로 \(n\)의 꼴을 다섯 경우로 덮은 뒤 가정이 \(r = 0\)을 배제한다는 것을 쓴다. 그러면 확인할 것은 \(r^2\)을 5로 나눈 나머지뿐이다.

풀이. 증명. 대우를 증명한다. 대우는 “정수 \(n\)에 대해, \(5 \nmid n\)이면 \(5 \nmid n^2\)이다”이다. \(5 \nmid n\)이라 하자. 나눗셈 정리(1권 17주차)에 의해 \(n = 5q + r\)인 정수 \(q\)와 \(r \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\)가 존재하고, 가정에 의해 \(r \neq 0\)이므로 \(r \in \{1, 2, 3, 4\}\)이다. 그러면

\[ n^2 = (5q + r)^2 = 25q^2 + 10qr + r^2 = 5(5q^2 + 2qr) + r^2 \]

이고 \(5q^2 + 2qr\)은 정수이므로, \(5 \mid n^2\)인 것과 \(5 \mid r^2\)인 것은 같다. 이제 네 경우를 각각 확인한다. \(r = 1\)이면 \(r^2 = 1\), \(r = 2\)이면 \(r^2 = 4\), \(r = 3\)이면 \(r^2 = 9 = 5 \cdot 1 + 4\), \(r = 4\)이면 \(r^2 = 16 = 5 \cdot 3 + 1\)이다. 네 경우의 나머지는 차례로 1, 4, 4, 1이고 어느 것도 0이 아니므로 \(5 \nmid r^2\), 곧 \(5 \nmid n^2\)이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

경우를 절반으로 줄이기. \(r \in \{1,2,3,4\}\) 대신 \(n = 5q \pm 1\) 또는 \(n = 5q \pm 2\)로 잡아도 같은 무대를 덮는다(\(5q + 3 = 5(q+1) - 2\), \(5q + 4 = 5(q+1) - 1\)). 이 표현에서는 \((\pm r)^2 = r^2\)이므로 확인할 것이 \(r^2 = 1\)과 \(r^2 = 4\) 두 경우로 줄어든다. 무대를 덮는 방식이 여럿일 때 계산량이 달라지는 사례다.

복기. 대우 몸통에 나눗셈 정리에 의한 경우 나누기가 들어온 첫 자리다 (빈칸 사다리 훈련 2의 경우 나누기는 가정의 “또는”에서 나온 것이라 출처가 다르고, 1권 19주차 예제 2.2와 문제 15가 대우와 경우 나누기를 이미 겹쳐 썼다). 부정형 가정(”\(5 \nmid n\)”)은 풀 정의가 없으므로 그 자체로는 계산이 안 되고, 나눗셈 정리로 가능한 꼴의 목록으로 바꿔야 손이 간다. 이 수는 \(7 \mid n^2\)(문제 13(b))에도, \(5 \mid mn\) (문제 15)에도 그대로 이식된다. 검산. \(n = 7\): \(n^2 = 49 = 5 \cdot 9 + 4\) — 5의 배수가 아니다 ✓ (\(r = 2\)인 경우에 해당한다).

문제 12#

접근. 화살표 검산부터 건다. 이 답안이 가정한 것은 “\(x > 0\)”인데 이는 원명제의 결론 자체이지 결론의 부정이 아니다 — 검산 ㄱ에서 걸리는 모양이 문제 6과 다르다. 가정한 것이 결론이고 보인 것이 가정이면 그것은 역이다.

풀이. 진단. 이 답안이 증명한 명제는 “\(x > 0\)이면 \(x^5 + 7 > 7\)이다” — 원명제의 역(\(B \Rightarrow A\))이다. 역은 원명제와 동치가 아니므로(1권 9주차) 이 답안은 원명제를 증명하지 않았다. 마무리 문장 “이는 가정과 일치한다”도 논리적으로 무의미하다 — 유도한 결과가 원명제의 가정과 같은 문장이라는 사실은 어떤 함의도 만들지 않는다. 문제 6의 이(inverse) 사고와 구별되는 자리는 검산 ㄱ이다. 이 사고에서는 가정한 것이 결론의 부정이었고, 역 사고에서는 가정한 것이 결론 자체다. 올바른 대우문. “실수 \(x\)에 대해, \(x \le 0\)이면 \(x^5 + 7 \le 7\)이다.” 증명. 대우를 증명한다. 대우는 위와 같다. \(x \le 0\)이라 하자. 먼저 \(x^5 \le 0\)을 보인다. \(x^4 = (x^2)^2 \ge 0\)이다 [(W1)]. 여기서 두 경우로 나눈다. \(x^4 = 0\)이면 \(x^5 = x \cdot x^4 = 0 \le 0\)이다. \(x^4 > 0\)이면 \(x \le 0\)의 양변에 \(x^4\)을 곱해 [(W3), 곱하는 수가 양수이므로 방향 유지] \(x \cdot x^4 \le 0 \cdot x^4 = 0\), 곧 \(x^5 \le 0\)이다. 두 경우가 \(x^4 \ge 0\)을 빠짐없이 덮으므로 어느 경우에도 \(x^5 \le 0\)이다. 이제 양변에 7을 더하면 [(W2)] \(x^5 + 7 \le 7\)이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\) 화살표 검산: 가정한 “\(x \le 0\)”은 결론 “\(x > 0\)”의 부정 ✓, 보인 “\(x^5 + 7 \le 7\)”은 가정 “\(x^5 + 7 > 7\)”의 부정 ✓.

복기. “홀수 거듭제곱은 부호를 보존한다”를 근거 없이 한 줄로 쓰고 싶어지는 자리인데, 그 문장은 근거 목록 ①~④ 어디에도 등록되어 있지 않다. 등록된 것은 (W1)\(\cdot\)(W2)\(\cdot\)(W3)뿐이므로 그 셋으로 조립해야 한다. 조립 과정에서 \(x^4 = 0\)인 경계가 튀어나오는 것이 (W3)의 조건(“곱하는 수가 양수”)을 지키는 대가다. 검산. \(x = -1\): \(x^5 + 7 = 6 \le 7\) ✓. \(x = 0\): \(7 \le 7\) ✓ (경계 포함).

문제 13#

접근. 판정법 표를 위에서부터 훑되, 기법 이름만 적지 말고 몇째 줄이 근거인지 지목한다. (e)는 기법을 고르기 전에 가정이 성립할 수 있는지부터 확인한다.

풀이. (a) 귀류 — 셋째 줄. 조건문이 아닌 무조건 명제이므로 뒤집을 \(A\)가 없고, 따라서 \(\neg A\)라는 과녁이 만들어지지 않는다. “무리수”라는 부정형 낱말이 첫째 줄을 떠올리게 하지만, 첫째 줄은 \(A\)와 \(B\)에 대한 물음이고 이 명제에는 그 자리가 없으므로 적용 대상이 아니다 — 논리형 판독이 판정보다 먼저다(문제 19의 복기). (b) 대우 — 넷째 줄. 가정이 합성식 \(n^2\)의 성질, 결론이 재료 \(n\)의 성질이다. 증명은 문제 11의 5를 7로 바꾼 것이고, 확인할 나머지는 \(r \in \{1,\dots,6\}\)의 \(r^2\) 여섯 개(또는 \(\pm r\)로 접으면 세 개)다. (c) 직접 — 어느 줄에도 걸리지 않는다. 가정과 결론이 모두 긍정형 부등식이고, \(x > 2 > 0\)이므로 양변에 \(x\)를 곱하는 전진 [(W3)]이 즉시 작동해 \(x^2 > 2x\)를 얻고, 다시 \(x > 2\)의 양변에 2를 곱해 \(2x > 4\)를 얻어 (W6)으로 잇는다. (d) 귀류 — 셋째 줄. 부재 명제이므로 조건문이 아니고, 따라서 뒤집을 \(A\)가 없다 (문제 19가 같은 논리형을 자세히 다룬다). ※ 상수를 확인하는 습관. 부재 명제는 우변의 값 하나가 바뀌면 참이 거짓이 되므로, 판정 전에 해가 정말 없는지부터 본다. \(x\)를 6으로 나눈 나머지 여섯 경우에서 \(x^2\)을 6으로 나눈 나머지는 차례로 0, 1, 4, 3, 4, 1이므로 그 값은 \(\{0, 1, 3, 4\}\) 안에만 들어온다. 2는 이 집합 밖이므로 \(x^2 - 6y = 2\), 곧 \(x^2 = 6y + 2\)를 만족하는 정수는 없다 — 명제는 참이고 귀류의 충돌은 이 나머지 계산에서 나온다. 우변이 4였다면 4가 위 집합 안에 있어 \(x = 2, y = 0\)이 해가 되고 명제 자체가 거짓이 된다. (e) 기법 이전에 가정을 점검해야 한다. \(n^2 + n = n(n+1)\)은 연속한 두 정수의 곱이라 짝수이므로(1권 1주차 문제 16; S10주차 예제 2.2가 같은 사실을 인용해 쓴다) \(n^2 + n + 5\)는 짝수 + 홀수 = 항상 홀수다. 곧 가정 “\(n^2 + n + 5\)가 짝수”는 어떤 정수 \(n\)에서도 성립하지 않는다. 가정이 결코 성립하지 않는 조건문은 공허하게 참이므로(1권 8주차 진리표의 3\(\cdot\)4행) 증명할 것이 없다. 답안은 “가정이 어떤 \(n\)에서도 성립하지 않음”을 보이는 것으로 끝난다.

복기. (d)와 (e)가 이 문항의 요지다. 판정법 표는 명제가 참이고 실질적인 내용을 가질 때 쓰는 도구이므로, 표를 훑기 전에 두 가지를 먼저 묻는다 — (d)처럼 부재를 주장하는 명제에서는 “정말 해가 없는가”, (e)처럼 조건을 붙인 명제에서는 “이 가정이 성립하는 대상이 하나라도 있는가”. 앞의 물음에서 걸리면 명제가 거짓이라 고를 기법이 없고, 뒤의 물음에서 걸리면 명제가 공허하게 참이라 필요한 기법이 없다. 어느 쪽이든 판정 이전의 일이다.

문제 14#

접근. 대우문은 “\(t\)가 유리수이면 \(qt\)도 유리수이다”이고, 몸통은 유리수끼리의 곱이 유리수라는 닫힘 한 줄이다. 관계를 밝힐 때는 두 명제의 가정과 결론을 나란히 적고 자리와 부정이 각각 어떻게 다른지를 본다.

풀이. 증명. 대우를 증명한다. 대우는 “유리수 \(q \neq 0\)과 실수 \(t\)에 대해, \(t\)가 유리수이면 \(qt\)도 유리수이다”이다. \(t\)가 유리수라 하자. \(q\)도 유리수이고 유리수끼리의 곱은 유리수이므로 [닫힘 — 근거 ④; 정의로 풀면 \(q = \frac ab\), \(t = \frac cd\)일 때 \(qt = \frac{ac}{bd}\)이고 \(bd \neq 0\)이다] \(qt\)는 유리수이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\) 화살표 검산: 가정한 “\(t\)가 유리수”는 결론 “\(t\)는 무리수”의 부정 ✓, 보인 “\(qt\)가 유리수”는 가정 “\(qt\)가 무리수”의 부정 ✓.

S11주차 문제 8과의 관계. S11주차 문제 8은 “0이 아닌 유리수 \(q\)와 무리수 \(t\)에 대해 \(qt\)는 무리수이다”, 곧 “\(t\)가 무리수이면 \(qt\)가 무리수이다”이다. 이번 문제는 “\(qt\)가 무리수이면 \(t\)가 무리수이다”이다. 가정과 결론이 자리만 바꾸고 부정은 그대로 이므로 두 명제는 서로의 역이다. 역은 동치가 아니므로 두 명제는 서로 다른 정리이고 각각 증명이 필요하다 — 여기서는 둘 다 참이고, 하나는 귀류로 하나는 대우로 증명되었다. 이번 명제의 대우는 “\(t\)가 유리수이면 \(qt\)가 유리수이다”이지 S11주차 문제 8이 아니다. 이것을 확인하는 것이 화살표 검산의 습관이다.

조건 \(q \neq 0\)의 소비처. S11주차 문제 8 쪽에서는 이 조건이 반드시 소비된다 — \(q = 0\)이면 \(qt = 0\)이 유리수가 되어 명제가 거짓이 되기 때문이다. 이번 명제 쪽에서는 소비되지 않는다. \(q = 0\)이면 \(qt = 0\)이 유리수이므로 가정 “\(qt\)가 무리수”가 어떤 \(t\)에서도 성립하지 않고, 명제는 공허하게 참이 된다. 곧 이번 명제는 \(q \neq 0\)이 없어도 참이다.

복기. 역 관계인 두 정리를 나란히 놓으면 조건의 소비처가 한쪽에만 있는 경우가 드러난다. 가정에 붙은 조건이 증명에서 한 번도 쓰이지 않았다면 두 가지 중 하나다 — 증명이 그 조건을 놓쳤거나, 그 조건이 이 방향에서는 정말 불필요하거나. 어느 쪽인지는 조건을 지운 명제가 여전히 참인지 확인하면 정해진다.

문제 15#

접근. 결론이 “또는”이므로 대우의 가정은 조각 두 개다: “\(5 \nmid m\) 그리고 \(5 \nmid n\)”. 각각을 문제 11처럼 나머지로 펼치면 곱의 나머지가 \(rs\)로 정리되고, 남는 물음은 \(r, s \in \{1,2,3,4\}\)일 때 \(rs\)가 5의 배수가 될 수 있는가 하나다.

풀이. 증명. 대우를 증명한다. 대우는 “정수 \(m, n\)에 대해, \(5 \nmid m\)이고 \(5 \nmid n\)이면 \(5 \nmid mn\)이다”이다 [결론의 “또는”이 N3에 의해 가정의 “그리고”가 되었다]. \(5 \nmid m\)이고 \(5 \nmid n\)이라 하자. 나눗셈 정리에 의해 \(m = 5a + r\), \(n = 5b + s\)인 정수 \(a, b\)와 \(r, s \in \{0,1,2,3,4\}\)가 존재하고, 가정에 의해 \(r \neq 0\)이고 \(s \neq 0\)이므로 \(r, s \in \{1, 2, 3, 4\}\)이다. 그러면

\[ mn = (5a+r)(5b+s) = 25ab + 5as + 5br + rs = 5(5ab + as + br) + rs \]

이고 \(5ab + as + br\)은 정수이므로, \(5 \mid mn\)인 것과 \(5 \mid rs\)인 것은 같다. 이제 \(rs\)를 조사한다. \(r\)과 \(s\)가 각각 네 값이므로 \(rs\)가 가질 수 있는 값은 다음 열여섯 개이고, 중복을 없애면

\[ rs \in \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16\} \]

이다. \(1 \le rs \le 16\) 범위의 5의 배수는 5, 10, 15뿐인데 위 목록에는 그 셋이 없다. 따라서 \(5 \nmid rs\), 곧 \(5 \nmid mn\)이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

목록을 나열하지 않는 논증. 열여섯 개를 나열하는 대신 다음과 같이 적어도 된다. \(rs\)가 5의 배수라면 \(1 \le rs \le 16\)이므로 \(rs \in \{5, 10, 15\}\)이다. \(rs = 5\)이면 \(r\)과 \(s\) 중 하나가 5여야 하고, \(rs = 10\)이면 하나가 5 또는 10이어야 하며, \(rs = 15\)이면 하나가 5 또는 15여야 한다. 어느 경우에도 \(r, s \le 4\)와 어긋난다.

복기. 이 명제가 유클리드 보조정리(”\(p\)가 소수이고 \(p \mid mn\)이면 \(p \mid m\) 또는 \(p \mid n\)”)의 \(p = 5\) 사례다. S11주차 문제 14에서 증명 없이 인정하고 썼던 정리의 한 사례를 손으로 갚은 것이고, 일반 \(p\)에 대한 증명은 2학기 C15주차의 최대공약수와 베주 항등식으로 간다. 여기서 쓴 전수 확인 방식은 \(p\)가 작을 때만 통한다 — \(p\)가 커지면 확인할 곱이 \((p-1)^2\)개로 늘어나기 때문이다. 검산. \(m = 10, n = 3\): \(mn = 30\)은 5의 배수이고 \(m\)이 5의 배수 ✓. \(m = 3, n = 4\): \(mn = 12\)는 5의 배수가 아니다 ✓ (\(r = 3, s = 4\), \(rs = 12\)).

문제 16#

접근. \(\neg B\)는 “\(a > 0\)”으로 곧바로 나온다. \(\neg A\)를 만들 때가 이 문제의 관문이다 — \(A\)가 전칭 명제이므로 N5를 쓰되 자격 “\(\varepsilon > 0\)”은 부정하지 않고 그대로 남긴다. 그러면 과녁이 존재 명제가 되고 몸통은 구성법이다. 증인은 손에 있는 것(\(a\))의 식이어야 한다.

풀이. 증명. 대우를 증명한다. \(A\)는 “모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(a < \varepsilon\)”이고, N5와 본체 반전에 의해 \(\neg A\)는 “\(a \ge \varepsilon\)인 \(\varepsilon > 0\)이 존재한다”이다 [자격 “\(\varepsilon > 0\)”은 부정되지 않고 남는다 — S10주차의 자격 보존]. \(B\)는 “\(a \le 0\)”이므로 \(\neg B\)는 “\(a > 0\)”이다. 곧 대우는 “실수 \(a\)에 대해, \(a > 0\)이면 \(a \ge \varepsilon\)인 \(\varepsilon > 0\)이 존재한다”이다. \(a > 0\)이라 하자. \(\varepsilon = a\)로 두자 [구성 — 증인 제시]. 자격 검증: \(\varepsilon = a > 0\)이므로 자격을 만족한다 ✓. 사건 검증: \(a \ge a\)이므로 \(a \ge \varepsilon\)이 성립한다 ✓ [부등호 \(\ge\)의 반사성 — 1권 16주차 정의 16.1에서 \(a - a = 0\)이므로 근거 ①]. 따라서 그런 \(\varepsilon\)이 존재한다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\) 화살표 검산: 가정한 “\(a > 0\)”은 결론 “\(a \le 0\)”의 부정 ✓, 보인 존재 명제는 가정인 전칭 명제의 부정 ✓.

귀류판과의 비교. 같은 명제를 귀류로 하면 “\(a > 0\)이고 모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(a < \varepsilon\)”에서 출발해 어디서 충돌을 낼지 스스로 정해야 한다 (\(\varepsilon = a\)나 \(\varepsilon = \frac a2\)에 특수화해 \(a < a\)나 \(a < \frac a2\)을 만드는 것이 표준 수다 — S7주차 문제 17이 같은 형태의 정리다). 대우판이 매끈한 이유는 \(\neg A\)가 존재 명제라서 과녁이 곧바로 구성 게임으로 환원되고, 무엇을 제시해야 하는지가 처음부터 확정되기 때문이다.

복기. 증인 \(\varepsilon = a\)가 \(a\)의 식인 것은 합법이다. \(a\)는 첫 문장에서 이미 확정되었고, 안쪽에서 만드는 대상은 바깥에서 확정된 문자의 식이어도 되기 때문이다 (S8주차의 의존성 문법). \(\varepsilon = \frac a2\)로 두어도 자격(\(\frac a2 > 0\))과 사건(\(a \ge \frac a2\))이 모두 검증되므로 답이 하나뿐인 문제는 아니다.

문제 17#

접근. 가정 “\(f(c) \neq c\)”와 결론 “\(f\)는 항등함수가 아니다”가 둘 다 부정형이므로 판정법 첫째 줄에 양쪽으로 걸리고, 조건문이므로 둘째 줄에도 걸린다 — 대우 우선이다. 대우문의 가정 “항등함수”는 전칭 명제이므로 몸통은 특수화 한 줄이다. 직접 증명 쪽은 그 부정형 결론을 S10주차 기계로 전개해 존재 명제로 만들면 구성법이 된다.

풀이. 대우판. 대우를 증명한다. 대우는 “\(f\)가 항등함수이면 \(f(c) = c\)이다”이다 [결론 “항등함수가 아니다”의 부정은 이중부정 소거로 “항등함수이다”, 가정 “\(f(c) \neq c\)”의 부정은 “\(f(c) = c\)”]. \(f\)가 항등함수라 하자. 항등함수의 정의에 의해 모든 실수 \(x\)에 대해 \(f(x) = x\)이다. 이 전칭 명제를 \(x = c\)에 특수화하면 [자격 검증: \(c\)는 실수 ✓ — S7주차의 특수화 세 걸음] \(f(c) = c\)를 얻는다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\) 직접판. \(f(c) \neq c\)라 하자. 결론 “\(f\)는 항등함수가 아니다”를 전개하면 [정의 노출 후 N5\(\cdot\)본체 반전] “\(f(x) \neq x\)인 실수 \(x\)가 존재한다”이다. \(x = c\)로 두자 [구성 — 증인 제시]. 자격 검증: \(c\)는 실수 ✓. 사건 검증: 가정에 의해 \(f(c) \neq c\) ✓. 따라서 그런 \(x\)가 존재하고, \(f\)는 항등함수가 아니다. \(\blacksquare\)

논평. 두 증명은 같은 재료 — 항등함수의 정의에 붙은 전칭 양화사와 배반점 \(c\) — 를 쓰지만, 그 양화사를 소비하는 방식이 반대다. 대우판은 정의의 전칭을 가정 쪽에 놓고 특수화로 소비했고, 직접판은 부정을 전개해 나온 존재를 결론 쪽에 놓고 구성으로 소비했다. 곧 부정을 취하는 방향이 양화사를 어느 쪽 자리로 옮기는지를 정하고, 자리가 정해지면 기법은 자동으로 결정된다(S5~S8주차의 네 칸 표).

복기. 이 문제는 대우와 직접이 같은 길이인 드문 사례다. 대우가 유리한 것은 \(\neg B\)나 \(\neg A\)가 원문보다 다루기 쉬울 때이고, 여기서는 어느 쪽도 특별히 쉽지 않아 이득이 상쇄됐다. 판정법 표는 대우를 지목하지만 그 지목이 “반드시 대우여야 한다”는 뜻은 아니다.

문제 18#

접근. (a)에서 \(A\)가 조각 두 개의 “그리고”라는 것을 먼저 확인해야 한다 — “수렴한다”와 “모든 \(n\)에서 \(a_n \le M\)”이다. N2를 적용하면 \(\neg A\)는 “또는”이 되고, 판정법 여섯째 줄이 귀류를 가리킨다. (b)에서 넣을 \(\varepsilon\)은 \(L\)과 \(M\) 사이 여유의 절반이다.

풀이. (a). \(A\)는 “\((a_n)\)이 수렴한다 그리고 모든 \(n\)에 대해 \(a_n \le M\)”이고 \(B\)는 “\(L \le M\)”이다. \(\neg B\)는 “\(L > M\)”, \(\neg A\)는 N2에 의해 “\((a_n)\)이 수렴하지 않거나, \(a_n > M\)인 \(n\)이 존재한다”이다. 대우문은 “\(L > M\)이면 \((a_n)\)이 수렴하지 않거나 \(a_n > M\)인 \(n\)이 존재한다”가 된다. 불편한 점이 둘이다. 첫째, 과녁이 “또는”이라 어느 갈래를 보일지 지목해야 하는데 첫 갈래(“수렴하지 않는다”)는 이 상황에서 보일 수 없다 — 수렴은 여전히 참이기 때문이다. 실질적으로 둘째 갈래만 살아 있는데도 서식은 갈래 둘을 다 안고 가야 한다. 둘째, 더 근본적으로 대우문의 가정 “\(L > M\)”에 등장하는 \(L\)은 수열이 수렴할 때만 정의되는 대상이다. 곧 이 가정은 \(A\)의 첫째 조각을 몰래 요구하고 있어서, 대우문이 문장으로서 온전히 서지 않는다. 두 이유 모두 판정법 여섯째 줄이 가리키는 곳, 곧 귀류로 간다. (b). 증명. \((a_n)\)이 \(L\)로 수렴하고 모든 \(n\)에 대해 \(a_n \le M\)이라 하자. 결론을 부정하여 \(L > M\)이라 가정한다 [귀류 개시 — \(A\)의 두 조각은 그대로 쓴다]. \(\varepsilon_0 = \frac{L - M}{2}\)으로 두자. \(L > M\)이므로 \(L - M > 0\)이고 따라서 \(\varepsilon_0 > 0\)이다 [자격 검증]. 수렴의 정의를 \(\varepsilon_0\)에 특수화하면 자연수 \(N\)이 존재하여, \(n > N\)인 모든 \(n\)에서 \(|a_n - L| < \varepsilon_0\)이다 [특수화 + 수령]. \(n = N + 1\)을 잡자 [\(N + 1 > N\) ✓]. 그러면 \(|a_{N+1} - L| < \varepsilon_0\)이므로 \(a_{N+1} > L - \varepsilon_0\)이고,

\[ L - \varepsilon_0 = L - \frac{L - M}{2} = \frac{L + M}{2} \]

이다. 한편 \(L > M\)이므로 \(\frac{L+M}{2} > \frac{M+M}{2} = M\)이다. 두 부등식을 (W6)으로 이으면 \(a_{N+1} > M\)이다. 그런데 가정의 둘째 조각을 \(n = N+1\)에 특수화하면 \(a_{N+1} \le M\)이다. 곧 \(a_{N+1} > M\)과 \(a_{N+1} \le M\)이 동시에 성립하여 모순이다 [산지 ① — 유도한 사실과 가정 \(A\)의 충돌; 두 당사자는 “\(a_{N+1} > M\)”과 “\(a_{N+1} \le M\)”]. 따라서 \(L \le M\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 이 문제가 판정법 여섯째 줄의 실증이다. 가정이 조각 여러 개의 “그리고”이면 \(\neg A\)가 “또는”이 되어 과녁이 불편해지고, 그때는 지정을 포기하고 충돌 상대를 자유롭게 고르는 귀류가 낫다. 실제로 (b)에서 충돌한 상대는 \(A\)의 둘째 조각 하나였고, 첫째 조각(수렴)은 계산 도중에 쓰였다 — \(A\) 전체를 통째로 과녁 삼는 대우로는 나오지 않는 배치다. 검산. \(a_n = 1 - \frac1n\), \(M = 1\): 모든 \(n\)에서 \(a_n \le 1\)이고 \(L = 1 \le 1\) ✓ (등호가 성립할 수 있으므로 결론을 \(L < M\)으로 강화할 수는 없다).

문제 19#

접근. (a)는 S11주차 예제 2.2와 같은 구조다 — 해가 있다고 가정해 잡고, 끝까지 계산해 홀짝 충돌을 만든다. (b)의 요점은 계산이 아니라 논리형이다. 이 명제가 조건문이 아니라는 것을 밝히면 대우가 성립할 자리가 없다는 결론이 따라 나온다.

풀이. (a). 증명. 결론을 부정하여, \(a^2 - 4b = 2\)인 정수 \(a, b\)가 존재한다고 가정하고 그런 \(a, b\)를 잡자 [귀류 개시 — “없다”의 부정이 구체적인 해를 준다]. 그러면 \(a^2 = 4b + 2 = 2(2b + 1)\)이고 \(2b + 1\)은 정수이므로 \(a^2\)은 짝수다. \(a^2\)이 짝수이면 \(a\)도 짝수이므로 [예제 2.1 — 대우로 증명한 보조정리, 근거 ④] \(a = 2k\)인 정수 \(k\)를 잡자. 대입하면 \(4k^2 = 4b + 2\)이고, 양변을 2로 나누면 \(2k^2 = 2b + 1\)이다. 좌변 \(2k^2\)은 짝수이고 우변 \(2b+1\)은 홀수이므로, 같은 수가 짝수이면서 홀수다 — 홀짝의 배타성(1권 22주차 문제 5)과 모순이다 [산지 ③; 두 당사자는 “\(2k^2\)은 짝수”와 “\(2b+1\)은 홀수”]. 따라서 그런 정수는 존재하지 않고, 모든 정수 \(a, b\)에 대해 \(a^2 - 4b \neq 2\)이다. \(\blacksquare\) (b) 보고서. 이 명제의 논리형은 \(\neg \exists a, b\,[a^2 - 4b = 2]\) — 조건문이 아니라 부정된 존재 명제다. 조건문 꼴로 억지로 포장하면 “(\(a, b\)가 정수)이면 (\(a^2 - 4b \neq 2\))”가 되는데, 이때 가정 자리에 오는 것은 무대 선언뿐이다. 그 무대를 부정한 \(\neg A\)는 “\(a\)나 \(b\)가 정수가 아니다”이고, 이것을 과녁으로 삼으면 증명해야 할 것이 “정수가 아님”이 되어 원명제와 아무 관계가 없다. 무대는 주장의 내용이 아니라 심사가 벌어지는 범위의 선언이므로 부정의 대상이 아니라는 §1.5 첫째 줄이 여기서 그대로 작동한다. 곧 뒤집을 \(A\)가 없으므로 대우가 성립할 자리가 없고, 처방은 귀류다 — 판정법 셋째 줄이 이런 명제를 위해 존재한다.

복기. 조건문이 아닌 명제를 만나면 순서는 이렇다. ㄱ 논리형을 먼저 적는다 (무조건 전칭인가, 부정된 존재인가). ㄴ 조건문이 아니면 판정법 둘째\(\cdot\)넷째 줄은 적용 자체가 되지 않으므로 건너뛴다. ㄷ 셋째 줄로 가서 귀류를 연다. 기법 선택 이전에 논리형 판독이 있다는 것이 이 문제의 교훈이다. 검산. \(a\)가 짝수면 \(a^2 - 4b\)는 4의 배수, \(a\)가 홀수면 \(a^2 - 4b\)는 홀수다. 어느 쪽도 2가 될 수 없다 — 위 증명을 경우 나누기로 다시 적은 것이다 ✓.

문제 20#

접근. (a)는 예제 2.1의 셋째 줄 하나에서 근거를 끌어와야 한다. (b)는 세 주차의 결론을 한 줄기로 잇는 것이므로, 공통의 첫 동작(전개)에서 출발해 분기 조건을 차례로 적는다.

풀이. (예시 답안) (a). 예제 2.1에서 \(4k^2 + 4k + 1\)을 \(2(2k^2 + 2k) + 1\)로 묶은 것은, 도달할 문장이 “\(n^2\)은 홀수”라는 구체적 명제여서 홀수의 정의 꼴이 묶는 모양을 지시했기 때문이다. 같은 명제를 귀류로 하면 과녁이 “아무 모순”이므로 이 묶음을 지시할 후진 질문이 없고, 전개식을 앞에 두고 어디로 갈지 스스로 정해야 한다. 충돌 상대를 \(A\)로 지정하는 순간 \(\neg A\)가 과녁이 되어 후진 질문이 되살아나는 것 — 그것이 지정으로 얻는 것이다. (b). 부정형이 보이면 먼저 S10주차의 규칙으로 정확히 전개한다. 전개 결과가 특성화로 긍정화되어 그대로 다룰 수 있게 되면 직접 증명으로 간다. 명제가 조건문 이어서 \(\neg A\)라는 과녁이 만들어지고 \(\neg B\)\(\cdot\)\(\neg A\)가 모두 깨끗한 긍정형이면 대우를 먼저 시도한다. 뒤집을 \(A\)가 없거나(무조건 명제\(\cdot\)부재 명제) \(\neg A\)가 “또는” 꼴이라 과녁으로 불편하면 귀류로 가서 모순의 세 산지를 훑으며 전진한다. 어느 길로 가든 전개의 정확성이 전제이므로, 무대 보존과 \(\land\)\(\cdot\)\(\lor\) 뒤집기를 화살표 검산과 함께 확인한다.

복기. 세 주차를 한 줄로 요약하면 “부정은 위치의 문제”다. S10주차는 부정 기호를 안으로 미는 법을, S11주차는 부정을 가정 자리로 보내는 법을, S12주차는 부정 둘을 자리째 맞바꾸는 법을 다루었다. 셋 다 명제의 내용을 바꾸지 않고 부정이 놓인 위치만 옮기며, 위치가 바뀌면 다룰 수 있는 모양이 되는지가 기법 선택의 기준이다.

다음 주 예고 (S13주차): 부정 3부작 다음은 유일성이다. “정확히 하나 존재한다”는 존재 진술과 유일성 진술이 붙어 있는 명제이고, 유일성 쪽은 두 얼굴을 갖는다 — 둘을 잡아 같음을 보이는 직접 유일성과, 둘이 다르다고 가정해 모순을 내는 간접 유일성. 뒤엣것이 방금 익힌 귀류의 재취업이고, 1권 26주차에서 서식으로 익힌 존재\(\cdot\)유일 증명이 여기서 두 경로의 선택 문제로 정리된다. 원서 Solow 11장을 통독하고 오자.