26주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

26주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 존재와 유일을 함께 쓰기#

완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 2.2는 설계만 함께 하고, 2.3은 설계부터 스스로 한다.

예제 2.1 — 구성적: 연속한 합성수 1000개#

명제. 연속한 1000개의 자연수가 전부 합성수인 구간이 존재한다.

설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 먼저 적는다.

말

수식 번역

가정 (출발점)

없음

조건이 붙지 않은 존재 주장 — 재료는 이미 아는 정의와 정리뿐

목표 (도착점)

연속한 1000개가 전부 합성수

연속한 자연수 1000개를 지목하고, 그 1000개가 각각 합성수임을 검증

확인 9. 목표 칸의 검증은 몇 건인가. 그 건수를 한 건씩 계산할 수 있는가.

할 수 없다면 무엇으로 대신하는가.

답

1000건이다 — 목표 문장이 “1000개가 각각”이라 했으므로 검증도 1000건이다.

한 건씩은 계산할 수 없다.

대신 문자를 쓴다 — “\(2 \le k \le 1001\)인 각 \(k\)에 대하여”로 잡고 \(N+k\) 하나를

처리하면, 1000건이 한 번에 처리된다. 1주차 확인 13에서 확인한 일반성이

검증 쪽에서 그대로 작동한다.

1단계 — 증인을 제작한다. 검증할 것은 “\(N+k\)가 합성수”이므로, \(N+k\)가 1도 자신도 아닌 약수를 갖게 만들어야 한다. 가장 다루기 쉬운 후보 약수는 \(k\) 자신이다. 그러려면 \(k \mid (N+k)\)여야 하고, \(k \mid k\)는 이미 참이므로 \(k \mid N\)이기만 하면 된다(2주차 예제 2.2 — 배수의 합).

확인 10. \(2\)부터 \(1001\)까지의 모든 \(k\)에 대해 \(k \mid N\)이 되도록 하려면

\(N\)을 무엇으로 잡으면 되는가. (12주차 정의 12.2)

답

\(N = 1001!\) — 즉 \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 1001\)이다.

팩토리얼은 2부터 1001까지를 전부 인수로 포함하므로, 각 \(k\)에 대해

\(N = k \cdot (\text{나머지 인수들})\)로 쓸 수 있고 나머지 인수들의 곱은 정수다.

정의 26.1의 첫 조각 — 제작식 — 이 이것으로 확정됐다.

2단계 — 각 \(N+k\)가 \(k\)로 나누어떨어짐을 보인다. 제작식이 준 \(k \mid N\)과 자명한 \(k \mid k\)를 배수의 합으로 결합하는 자리다.

확인 11. \(2 \le k \le 1001\)일 때 \(k \mid (N + k)\)인 이유를 근거와 함께

한 줄로 적어 보자.

답

\(k \mid N\)이고 \(k \mid k\)이므로, 2주차 예제 2.2(배수의 합)에 의해

\(k \mid (N + k)\)이다 — 근거 ④.

나눗셈을 실제로 계산하지 않고 배수의 합 정리만으로 끝난다는 점이 중요하다.

\(1001!\)이 몇 자리 수인지는 이 증명에서 한 번도 필요하지 않다.

3단계 — 합성수임을 마무리한다. 약수가 하나 있다는 것만으로는 합성수가 아니다. 15주차 정의 15.3이 요구하는 것은 분해 \(N + k = ab\)이고, 두 인수가 모두 \(1 < a, b < N+k\) 범위에 있어야 한다. 한쪽 인수만 범위 안에 있음을 확인하고 끝내면 정의의 절반만 검증한 것이다.

확인 12. \(k \mid (N+k)\)에서 분해 \(N + k = km\)을 만들면 \(m\)은 무엇인가.

그리고 정의 15.3을 채우려면 어떤 부등식을 확인해야 하는가.

답

\(k \mid N\)이므로 \(N = k\ell\)인 정수 \(\ell\)이 존재하고,

\(N + k = k\ell + k = k(\ell + 1)\)이다. 즉 \(m = \ell + 1\)이다.

확인할 부등식은 \(1 < k < N+k\) 그리고 \(1 < m < N+k\) 두 줄이다.

앞줄: \(k \ge 2\)에서 \(1 < k\)가, \(N = 1001! > 0\)에서 \(k < N + k\)가 나온다.

뒷줄: \(N > 0\)이고 \(k \ge 2\)이므로 \(\ell = N/k \ge 1\), 따라서 \(m = \ell + 1 \ge 2 > 1\)이고,

\(k \ge 2\)이므로 \(m = (N+k)/k \le (N+k)/2 < N + k\)이다.

검증할 것은 두 개가 아니라 (분해 \(N+k = km\)의 존재) + (두 인수가 각각 가운데

범위에 있음) — 분해 한 줄과 부등식 두 줄이다. 하나라도 빠지면 §1.3의

“전부”를 어긴다.

확인 13. 증인으로 제시하는 수는 \(N+1\)부터인가 \(N+2\)부터인가. 그 이유는.

답

\(N+2\)부터다. \(k = 1\)이면 \(1 < k\)가 성립하지 않고, 게다가 \(m = N+1 = N+k\)가 되어

두 부등식이 동시에 깨진다 — \(N+1\)이 합성수인지는 이 논증으로 판정되지 않는다.

따라서 \(k\)는 2부터 1001까지 움직이고, 수는 \(N+2\)부터 \(N+1001\)까지 정확히

1000개다. 개수 확인도 검증의 일부다.

완성본. 방금 정한 것을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

\(N = 1001!\ (= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 1001)\)이라 하고, 증인으로 연속한 1000개의 수 \(N+2,\ N+3,\ \dots,\ N+1001\)을 제시한다.

증인 제작(정의 26.1의 첫 조각). 팩토리얼(12주차)이 “2부터 1001까지 전부를 약수로 갖는 수”를 만들어 준다.

\(2 \le k \le 1001\)인 각 \(k\)에 대해, \(k \mid N\)이다 (\(N\)이 \(k\)를 인수로 포함하므로).

제작 원리의 확인: \(N = k \cdot (\text{나머지 인수들})\) — 2주차 정의 2.1 그대로. 문자 \(k\)가 1000건의 검증을 한 번에 맡는다.

또한 \(k \mid k\)이므로 \(k \mid (N + k)\)이다 (2주차 예제 2.2 — 배수의 합).

각 수 \(N+k\)가 \(k\)로 나누어떨어짐을 확정한다. 근거 ④.

\(k \mid N\)이므로 \(N = k\ell\)인 정수 \(\ell\)이 있고, \(N + k = k(\ell + 1)\)이다. \(m = \ell + 1\)이라 하자.

정의 15.3이 요구하는 분해를 실제로 만든다. 약수를 하나 지목하는 것과 분해를 적는 것은 다른 일이다.

\(N > 0\)이므로 \(\ell \ge 1\), 즉 \(m \ge 2 > 1\)이고, \(k \ge 2\)이므로 \(m = (N+k)/k < N + k\)이다. 또한 \(k \ge 2 > 1\)이고 \(N > 0\)이므로 \(1 < k < N + k\)이다.

두 인수가 모두 가운데 범위에 있음을 확인한다 — 정의 15.3의 “\(1 < a, b < n\)”은 한쪽이 아니라 양쪽에 걸린다.

따라서 \(N + k = km\)이고 \(1 < k,\, m < N + k\)이므로 \(N + k\)는 합성수이다 (15주차 정의 15.3).

분해 하나와 부등식 두 줄이 갖춰졌으므로 판정이 끝난다. 근거 ①.

따라서 \(N+2\)부터 \(N+1001\)까지 연속한 1000개가 전부 합성수이다. \(\blacksquare\)

검증 완료 선언. 조건 개수와 검증 줄 수가 맞았음을 여기서 확인한다.

대입 시뮬레이션 — 1000을 3으로 줄여 눈으로 보기. 증명의 1001을 4로 바꾸면 \(N = 4! = 24\)이고, 증인은 \(N+2, N+3, N+4 = 26, 27, 28\)이다.

확인 14. \(26, 27, 28\)이 각각 합성수임을, 증명이 지정한 약수 \(k\)로

확인해 보자. \(k\)는 각각 무엇인가.

답

\(k = 2\): \(26 = 2 \times 13\). \(k = 3\): \(27 = 3 \times 9\). \(k = 4\): \(28 = 4 \times 7\).

세 경우 모두 분해의 두 인수가 가운데 범위에 있다 — \(1 < 2,\, 13 < 26\)이고

\(1 < 3,\, 9 < 27\)이고 \(1 < 4,\, 7 < 28\)이다. 정의 15.3이 그대로 충족되고,

증명의 모든 줄이 작동한다. 1001을 \(n+1\)로 바꾼 일반형이 문제 16이다.

해석. 소수는 무한히 많지만(21주차), 소수 사이의 간격은 얼마든지 벌어질 수 있다. 증인이 천문학적으로 큰 수라는 점은 흠이 아니다 — 존재 증명의 증인은 효율적일 필요가 없다(문제 9에서 같은 조건을 훨씬 작은 수가 만족함을 본다).

예제 2.2 — 비구성적: 무리수의 무리수 거듭제곱#

명제. \(a^b\)가 유리수가 되는 무리수 \(a, b\)가 존재한다.

이번에는 설계만 함께 하고, 증명은 완성된 산문으로 본다.

확인 15. 이 명제를 정의 26.1(구성적 서식)로 증명하려 하면 어느 조각에서

막히는가.

답

검증 조각에서 막힌다. \(a = b = \sqrt2\)를 지정하는 것까지는 된다 — 첫 조각은

통과한다. 막히는 곳은 그다음이다. 조건 ①②(\(\sqrt2\)가 무리수)는 21주차의 결과로

통과하지만, ③(\(\sqrt2^{\sqrt2}\)가 유리수)을 판정할 도구가 이 과정에는 없다.

후보를 바꿔 \(a = \sqrt2^{\sqrt2}\), \(b = \sqrt2\)로 잡아도 이번에는 ①을 판정할 수

없다. 어느 증인을 지정해도 세 조건을 전부 검증할 수 없다는 것이 정의 26.1로

막히는 이유이고, 그래서 정의 26.2 ①(경우 나누기)로 길을 바꾼다.

확인 16. 번역표를 채워 보자.

목표: 무리수 \(a, b\)를 제시 \(\to\) 검증할 조건은 ① \(\underline{\quad}\) ② \(\underline{\quad}\) ③ \(\underline{\quad}\).

나눌 경우: \(\sqrt2^{\sqrt2}\)가 \(\underline{\quad}\)인 경우와 \(\underline{\quad}\)인 경우.

답

검증 조건 세 개 — ① \(a\)는 무리수 ② \(b\)는 무리수 ③ \(a^b\)는 유리수.

나눌 경우 — \(\sqrt2^{\sqrt2}\)가 유리수인 경우와 무리수인 경우.

두 경우가 전체를 덮는 근거는 배중률(§1.4, 근거 ④)이다. 어느 경우인지 판정하지

않아도 두 경우 각각에서 조건 세 개를 전부 검증하면 증명이 닫힌다.

증명. 수 \(\sqrt2^{\sqrt2}\)를 생각하자. 이 수는 유리수이거나 무리수이다 (둘 중 하나 — 배중률).

경우 1: \(\sqrt2^{\sqrt2}\)가 유리수인 경우. \(a = b = \sqrt2\)가 증인이다. \(\sqrt2\)는 무리수이고(21주차), \(a^b = \sqrt2^{\sqrt2}\)는 이 경우의 가정에 의해 유리수이다. 조건 세 개가 모두 검증됐다.

경우 2: \(\sqrt2^{\sqrt2}\)가 무리수인 경우. \(a = \sqrt2^{\sqrt2}\), \(b = \sqrt2\)로 잡는다. \(a\)는 이 경우의 가정에 의해 무리수이고, \(b\)도 무리수이다. 지수법칙에 의해

\[ a^b = \left(\sqrt2^{\sqrt2}\right)^{\sqrt2} = \sqrt2^{\sqrt2 \cdot \sqrt2} = \sqrt2^{\,2} = 2 \]

이므로 \(a^b\)는 유리수이다. 조건 세 개가 모두 검증됐다.

어느 경우인지 판정하지 않았지만, 어느 경우든 증인은 존재한다. \(\blacksquare\)

(무리수 지수에 대한 지수법칙 \((x^y)^z = x^{yz}\)는 지금은 증명 없이 인정하고 쓴다 — 실수 지수의 정의 자체가 45주차 이후 해석학의 주제다.)

관찰. 증명이 끝났는데도 증인이 \((\sqrt2, \sqrt2)\)인지 \((\sqrt2^{\sqrt2}, \sqrt2)\)인지는 알 수 없다. 그래도 존재는 확정됐다 — 이것이 비구성적 증명이다. 17주차의 경우 나누기가 존재 증명과 결합하면 이런 일이 가능해진다.

예제 2.3 — 존재 + 유일: 2단 서식#

명제. 짝수인 소수는 유일하게 존재한다.

이번에는 설계부터 스스로 해 보자. §1.1에서 막혔던 그 명제다.

확인 17. 이 명제를 \(\exists!\)로 읽고, 증명해야 할 두 의무를 각각 한 줄로

적어 보자. 유일 파트의 첫 문장까지 적어 본다.

답

\(\exists!\, p\), “\(p\)는 짝수이고 소수이다”.

(존재) 짝수이면서 소수인 수를 하나 제시하고, 조건 두 개(짝수, 소수)를

각각 검증한다.

(유일) 첫 문장은 “\(p\)를 짝수인 소수라 하자” — 조건을 만족하는 아무 대상

하나를 문자로 잡고 \(p = 2\)를 유도한다.

증명. (존재) 2는 짝수이고, 양의 약수가 1과 2뿐이므로 소수이다. 증인 완성. (유일) \(p\)를 짝수인 소수라 하자. 짝수이므로 \(2 \mid p\)이다. \(p\)는 소수이므로 양의 약수가 1과 \(p\)뿐인데, \(2\)는 \(p\)의 양의 약수이고 \(2 \neq 1\)이므로 \(2 = p\)일 수밖에 없다. 따라서 짝수인 소수는 2 하나뿐이다. \(\blacksquare\)

이 증명은 표 없이 산문으로 적었다. 표는 연습 단계의 장치이고, 실전의 증명은 처음부터 끝까지 이런 산문이다.

유일 파트의 꼴에 대하여. 위 증명은 \(p_1, p_2\) 둘을 잡는 대신 “\(p\)를 잡아 기준 증인 2와 같음을 보이는” 꼴이다. 이것도 정의 26.3의 틀이다 — \(x_1\) 자리에 \(p\)를, \(x_2\) 자리에 이미 확보한 증인 2를 놓았다고 읽으면 된다. 증인이 이미 손에 있을 때는 이 꼴이 짧다. 22주차 문제 8(\(p > 2\)인 소수는 홀수)과 같은 논증을 유일성 쪽으로 다시 포장한 것이다.

관찰 — 세 예제의 같은 뼈대#

예제 2.1, 2.2, 2.3은 소재도 논법도 다르지만 존재 파트의 칸은 셋 다 같고, 유일 파트 칸은 \(\exists!\) 명제에서만 열린다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

확인 18. 같은 물음을 세 예제에 각각 던져 칸을 채워 보자.

① 증인(또는 제작식)은 무엇인가:

2.1 \(\underline{\qquad}\) / 2.2 \(\underline{\qquad}\) / 2.3 \(\underline{\qquad}\)

② 검증한 조건은 몇 개이고 무엇인가:

2.1 \(\underline{\qquad}\) / 2.2 \(\underline{\qquad}\) / 2.3 \(\underline{\qquad}\)

③ 유일 파트가 있는가:

2.1 \(\underline{\qquad}\) / 2.2 \(\underline{\qquad}\) / 2.3 \(\underline{\qquad}\)

답

① 2.1 — 제작식 \(N = 1001!\)과 수 \(N+2, \dots, N+1001\).

2.2 — 경우 1에서는 \((\sqrt2, \sqrt2)\), 경우 2에서는 \((\sqrt2^{\sqrt2}, \sqrt2)\).

2.3 — 상수 \(2\).

② 2.1 — 각 \(k\)마다 세 건: 분해 \(N+k = km\)의 존재, \(1 < k < N+k\), \(1 < m < N+k\).

2.2 — 세 개: \(a\)가 무리수, \(b\)가 무리수, \(a^b\)가 유리수.

2.3 — 두 개: “2는 짝수이다”, “2는 소수이다”.

③ 2.1 없음 / 2.2 없음 / 2.3 있음.

①②는 세 예제에 공통으로 열리는 칸이다 — 소재가 달라도 증인과 검증 건수를

묻는 물음은 같다. ③은 명제가 \(\exists!\)일 때만 열리는 칸이고, 예제 2.1과 2.2의

명제는 존재만 주장하므로 비어 있다.

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

백지 암기 대상

존재\(\cdot\)유일 2단 서식

(존재) 증인을 제시하고 조건을 전부 검증한다 \(\to\) (유일) 조건을 만족하는 것을 \(x_1, x_2\)라 가정하고 \(x_1 = x_2\)를 유도한다 \(\to\) 두 파트가 끝났음을 선언한다.

이 서식은 40주차 이후 함수 이론에서 계속 쓰인다 — 함수의 정의 자체가 “모든 입력에 출력이 유일하게 존재한다”이기 때문이다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6 해설에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸#

명제. 방정식 \(5x + 3 = 18\)의 실수 해는 유일하게 존재한다.

증명. (존재) \(x = \underline{\quad(1)\quad}\)을 증인으로 제시한다. 검증: \(5 \cdot \underline{\quad(1)\quad} + 3 = \underline{\quad(2)\quad}\) ✓, 그리고 \(\underline{\quad(1)\quad}\)은 실수 ✓. (유일) \(x_1, x_2\)가 모두 해라고 가정하자. 그러면 \(5x_1 + 3 = 18 = 5x_2 + 3\)이므로 양변에서 3을 빼면 \(\underline{\quad(3)\quad}\), 양변을 \(\underline{\quad(4)\quad}\)로 나누면 \(x_1 = x_2\). 따라서 해는 유일하다. \(\blacksquare\)

훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#

이번에는 근거 문장도 빈칸이다.

명제. 모든 실수 \(y\)에 대해 \(x + y = y\)가 성립하는 실수 \(x\)가 유일하게 존재한다.

증명. (존재) \(x = \underline{\quad(1)\quad}\)을 증인으로 제시한다. 검증: 임의의 실수 \(y\)에 대해 \(\underline{\quad(1)\quad} + y = y\)이다 ✓, 그리고 \(\underline{\quad(1)\quad}\)은 실수 ✓. (조건이 “모든 \(y\)”이므로 특정 \(y\) 하나를 대입하는 것으로는 검증이 끝나지 않는다 — 문자 \(y\) 그대로 확인한다.) (유일) \(x_1, x_2\)가 모두 조건을 만족한다고 가정하자. \(x_1\)의 조건에 \(y = \underline{\quad(2)\quad}\)을 대입하면 \(x_1 + 1 = 1\), 즉 \(x_1 = \underline{\quad(3)\quad}\). 같은 대입을 \(x_2\)의 조건에 하면 \(x_2 = \underline{\quad(3)\quad}\). 따라서 \(x_1 = x_2\)이다. 이 마지막 단계의 근거는 \(\underline{\quad(4)\quad}\)이다. \(\blacksquare\)

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

이번에는 2단 서식의 각 칸을 통째로 채운다.

명제. \(m + n = 7\)이고 \(m - n = 3\)인 정수 쌍 \((m, n)\)이 유일하게 존재한다.

증명의 뼈대.

  • ① 존재 파트(증인 제시와 전 조건 검증): \(\underline{\quad(1)\quad}\)

  • ② 유일 파트(둘 가정과 결합): \(\underline{\quad(2)\quad}\)

  • ③ 마무리 선언: \(\underline{\quad(3)\quad}\)

(유일 파트에서는 두 쌍 \((m_1, n_1)\), \((m_2, n_2)\)를 가정하고, 각 쌍이 만족하는 두 등식을 더하거나 빼서 성분을 강제한다. 이 훈련이 문제 2(a)와 문제 13의 예행연습이다.)

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다 \(\to\) 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 존재 증명은 “증인 + 전 조건 검증”, 유일성은 “둘 가정 \(\to\) 같음”의 서식으로 쓴다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. “증인은 \(x = 3\)이다(맞음)”는 절반이고,

“\(x = 3\)이고 \(5 \cdot 3 + 3 = 18\)이므로 조건을 만족한다”가 만점이다.

\(\exists!\) 문제에서는 채점 칸이 두 개다 — 존재 파트와 유일 파트가 각각

독립으로 채점되고, 한쪽이 비면 다른 쪽 점수가 이를 메우지 않는다.

난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. [백지] (a) 구성적 존재 증명의 서식 (b) 유일성 증명의 표준 틀 (c) \(\exists!\)의 뜻(2단 의무)을 쓰시오.

힌트

통째로 외운 문장이 떠오르지 않으면 해부 표(§1.3, §1.5)의 조각 이름부터

적는다 — “증인 지정 / 검증 / 전부”, “둘 가정 / 결합 / 같음”. 조각에서

문장을 재구성하는 것이 백지 암기의 요령이다.

2. 다음 존재 명제의 증인을 제시하고 검증하시오. (a) 합이 100이고 차가 8인 두 실수가 존재한다. (b) \(x^2 = x\)인 0이 아닌 실수가 존재한다. (c) 세 연속 정수의 합이 201인 경우가 존재한다.

힌트

각 항에서 먼저 셀 것은 조건의 개수다. (a)는 합과 차로 두 개, (b)는

\(x^2 = x\)와 \(x \neq 0\)으로 두 개, (c)는 연속과 합으로 두 개. 검증 줄도

그 개수만큼 나와야 한다. 증인 제작은 (a)(c)에서는 조건을 방정식으로 풀어

역산하고, (b)에서는 후보를 대입해 맞힌다.

3. 두 무리수의 곱이 유리수인 예가 존재함을 보이시오 (증인 + 검증).

힌트

검증할 조건은 세 개다 — 첫째 수가 무리수, 둘째 수가 무리수, 곱이 유리수.

21주차에서 무리수임을 이미 증명한 수가 하나 있다. 그 수를 자기 자신과

곱하면 곱이 무엇이 되는가.

4. 빈칸 훈련을 백지에서 완성하시오.

힌트

§3의 훈련 1~3을 문제지를 덮고 처음부터 적는다. 훈련 3은 빈칸이 아니라

문단 전체를 쓰는 것이므로, 2단 서식의 두 문단 제목 “(존재)”와 “(유일)”부터

적어 놓고 안을 채운다.

5. 다음 주장의 빈틈을 지적하시오: “방정식 \(x^2 = 2\)의 양의 실수 해는 많아야 하나다. 왜냐하면 \(x_1^2 = 2 = x_2^2\)이면 \(x_1 = x_2\)이기 때문이다(\(x_1, x_2 > 0\), 19주차 문제 17). 따라서 \(\sqrt2\)라는 수가 존재한다.”

힌트

이 논증이 실제로 증명한 것과 마지막 줄이 주장한 것을 각각 한 낱말로

적어 나란히 놓는다. 확인 7에서 본 한 쌍이 그대로 재등장한다.

6. 예제 2.3(짝수 소수의 유일 존재)을 백지에 재현하시오.

힌트

유일 파트의 첫 문장은 “\(p\)를 짝수인 소수라 하자”다. 그 다음 두 줄에서

각각 짝수의 정의와 소수의 정의를 풀어 쓰면 \(2\)가 \(p\)의 양의 약수라는 사실이

손에 들어온다. 소수의 정의가 양의 약수를 몇 개로 제한하는지가 마지막 열쇠다.

표준 ●●○#

7. 임의의 유리수 \(r\)에 대해, \(r + s = r\)을 만족하는 유리수 \(s\)가 유일하게 존재함을 증명하시오 (존재 + 유일 2단).

8. 모든 실수 \(y\)에 대해 \(xy = y\)가 성립하는 실수 \(x\)가 유일하게 존재함을 증명하시오. (10주차 문제 14(b)\(\cdot\)18의 완성판)

힌트

존재 파트에서 “모든 \(y\)”를 검증하려면 특정 \(y\)가 아니라 문자 \(y\) 그대로

계산해야 한다. 유일 파트는 반대다 — \(x_1, x_2\)의 조건이 “모든 \(y\)”에 대해

성립하므로, 잘 고른 \(y\) 하나를 대입할 권리가 있다. 어떤 \(y\)를 넣으면

\(x_1\)의 값이 곧바로 강제되는가.

9. 연속한 다섯 개의 자연수가 전부 합성수인 구간이 존재함을, 예제 2.1의 방법으로 (a) \(6!\)을 이용해 증인을 제시\(\cdot\)검증하고 (b) 사실은 더 작은 증인 \(24, 25, 26, 27, 28\)도 조건을 만족함을 검증하시오.

힌트

(a)는 예제 2.1에서 1001을 6으로, 1000을 5로 바꾼 것이다 — \(k\)의 범위와

증인의 시작점이 함께 바뀐다. (b)는 팩토리얼과 무관하게 다섯 수의 분해

\(n = ab\)를 직접 하나씩 적고, 두 인수가 모두 \(1 < a, b < n\)임을 확인하면 된다.

이 묶음(문제 10\(\cdot\)11\(\cdot\)17)이 쓰는 도구 — 인수쌍 강제

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)로 인수분해하면 오른쪽은 두 정수의 곱이다. 곱이

특정 정수 \(n\)이 되는 정수 쌍은 \(n\)의 약수쌍뿐이므로 후보가 유한 개로 좁혀지고,

여기에 \(0 \le a - b \le a + b\)를 더하면 어느 인수가 어느 쪽인지가 강제된다.

존재를 보일 때는 인수쌍 하나를 골라 증인을 만들고, 유일성을 보일 때는

인수쌍이 하나뿐임을 보인다 — 같은 인수분해가 두 의무에 각각 쓰인다.

10. 홀수 \(n \ge 3\)에 대해, \(n\)을 두 제곱수의 차 \(a^2 - b^2\) (\(a, b\)는 음이 아닌 정수)으로 나타내는 방법이 존재함을 보이시오 (15주차 문제 14의 증인 재사용).

힌트

15주차 문제 14에서 계산한 것은 \((k+1)^2 - k^2\)이다. 이 값을 전개하면

무엇이 나오는가. 홀수 \(n\)을 정의 꼴 \(n = 2k+1\)로 적어 두 식을 나란히 놓으면

증인 \(a, b\)가 곧바로 읽힌다.

11. \(n = 7\)에 대해, 문제 10의 표현이 유일함을 증명하시오. (힌트: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = 7\)이고 7은 소수 — 두 인수가 무엇일 수밖에 없는가? \(0 \le a - b \le a + b\) 관찰 포함)

힌트

7의 양의 약수는 1과 7뿐이다(소수의 정의). 따라서 \((a-b)(a+b) = 7\)인 양의

정수 인수쌍은 하나뿐이고, 부등식 \(a - b \le a + b\)가 둘 중 어느 쪽이

1인지까지 정한다. 두 값이 정해지면 연립방정식이 남는다.

이 문제(12)가 쓰는 도구 — 기증명 존재 정리의 인용

새 존재 명제를 처음부터 세우지 않고, 이미 증명된 존재 정리를 **부품으로

불러 쓰는** 방식이 이번에 처음 나온다(근거 ④). 15주차 문제 17(“두 유리수

사이에는 유리수가 존재한다”)이 그 부품이다. 이 정리는 이미 증명되었으므로

다시 증명하지 않고 이름으로 인용한다. 여기에 귀류법을 결합하면 “하나 존재”가

“무한히 존재”로 증폭된다 — 21주차 소수 무한 증명과 같은 리듬이다.

12. 두 유리수 사이에는 유리수가 존재한다(15주차 문제 17). 이를 인용하여, 두 유리수 사이에는 유리수가 무한히 많이 존재함을 논증하시오. (힌트: 유한 개라고 가정하면 — 그중 가장 왼쪽 둘 사이에?)

힌트

“무한히 많다”의 부정은 “유한 개다”이므로, 개수를 \(m\)개로 놓고 크기순으로

줄을 세운다. 그 줄에 하나를 더 끼워 넣을 자리를 찾으면 \(m\)개라는 가정이

깨진다. 끼워 넣을 자리는 구간 \((a, b)\) 바깥이 아니라 \(a\)와 목록의 왼쪽 끝 \(c_1\)

사이다 — \(c_1\)보다 왼쪽이되 \(a\)보다는 오른쪽인 자리다.

13. \(\exists!\, x \in \mathbb{R},\ 3x - 12 = 0\)을 증명하시오 (2단 서식 연습).

14. 다음 명제를 증명하시오: 임의의 실수 \(x\)에 대해, \(x + y = 0\)을 만족하는 실수 \(y\)가 유일하게 존재한다. (덧셈 역원의 유일 존재 — 존재는 증인 제작, 유일은 둘 가정)

도전 ●●●#

15. 예제 2.2(무리수의 무리수 거듭제곱)를 백지에 재현하고, 이 증명이 “구성적이지 않다”는 것이 무슨 뜻인지 한 문장으로 덧붙이시오.

16. 예제 2.1을 일반화하여 증명하시오: 임의의 자연수 \(n\)에 대해, 연속한 \(n\)개의 합성수가 존재한다.

힌트

예제 2.1에서 1000이 있던 자리에 \(n\)을, 1001이 있던 자리에 \(n+1\)을 넣는다.

증인은 \(N = (n+1)!\)에 대해 \(N+2\)부터 \(N+(n+1)\)까지이고, 그 개수가 정확히

\(n\)개인지 세어 확인한다. 다른 줄은 한 글자도 바뀌지 않는다.

17. (존재하지만 유일하지 않음) \(n = 15\)를 두 제곱수의 차로 나타내는 방법이 두 가지 이상 존재함을 보이시오. (증인 두 벌 — \((a-b)(a+b) = 15\)의 인수분해 \(1 \times 15\)와 \(3 \times 5\)에서 제작) 이 결과가 문제 11과 어떻게 대비되는지 한 문장으로.

힌트

인수쌍 하나마다 연립방정식 \(a - b = (\text{작은 쪽})\), \(a + b = (\text{큰 쪽})\)이

하나씩 생긴다. 두 식을 더하면 \(a\)가, 빼면 \(b\)가 나온다. 증인이 두 벌이므로

검증도 두 번 한다. 마지막 한 문장은 “인수쌍이 몇 개인가”를 7과 15에 대해

비교하면 나온다.

18. (유일성 없는 존재, 존재 없는 유일성) 다음 두 명제에 대해 각각 “존재 파트”와 “유일 파트”의 성립 여부를 판정하시오. (a) “\(x^2 = -1\)인 실수 \(x\)는 유일하다면 유일하다(있다면 하나뿐이다).” — 유일 파트만 보면 참인가? 존재는? (b) “\(x^2 = 4\)인 실수 \(x\)가 존재한다.” — 존재는? 유일은? 이로부터 “\(\exists!\) 증명에서 두 의무가 독립”인 이유를 정리하시오.

이 문제(19)가 쓰는 도구 — 비둘기집 원리

“\(n\)종류의 상자에 \(n+1\)개를 넣으면 두 개가 든 상자가 존재한다”는 원리를

비둘기집 원리(pigeonhole principle)라 한다. 이번 주에는 이름만 알아 두고,

논증은 귀류법으로 직접 쓴다 — “두 개가 든 상자가 없다”를 가정하면 각 상자에

많아야 하나씩이므로 총 개수가 \(n\)을 넘지 못한다는 모순이다. 이 원리의 일반형과

함수 언어로의 번역은 41주차 문제 14에서 다룬다.

19. (비구성적 존재의 다른 예) 서랍에 세 가지 색의 양말이 섞여 있다. 눈을 감고 4짝을 꺼내면 같은 색 한 쌍이 반드시 존재함을 증명하시오. (힌트: 같은 색 쌍이 없다고 가정하면 각 색은 많아야 1짝 — 세 색이면 최대 몇 짝? 22주차 문제 13의 평균 논증과 같은 과: 비둘기집 원리)

20. (서술) (a) “있다면 하나뿐”(유일)과 “하나 있다”(존재)가 서로를 함의하지 않는 이유를 문제 18의 예로 두 문장 이내로. (b) 비구성적 증명의 장단점을 한 가지씩 쓰시오.

백지 재현 — 복습 프로토콜#

권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용. 2단 서식(§2 관찰)과 근거 목록(§1.7)만 펴 놓고, 예제 2.1과 예제 2.3을 처음부터 끝까지 적는다. 정의와 본문은 보지 않는다.

2차 시도 (5일차) — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다.

  • 구성적 존재 증명의 서식(정의 26.1)을 조각 그대로 썼다 — “전부”까지 포함해서.

  • 유일성 증명의 표준 틀(정의 26.3)을 썼고, “\(x_1 \neq x_2\)”를 가정하지 않는 이유를 한 문장으로 답했다.

  • \(\exists!\)의 2단 의무를 쓰고, 각 의무를 빠뜨렸을 때 무엇이 남는지 예로 설명했다.

  • 예제 2.1(합성수 구간)의 제작 원리(\(k \mid N\)이고 \(k \mid k\)이므로 \(k \mid N+k\))를 재현하고, 분해 \(N+k = km\)과 부등식 두 줄(\(1 < k < N+k\), \(1 < m < N+k\))까지 적었다.

  • 예제 2.2(\(\sqrt2^{\sqrt2}\))를 두 경우로 재현하고 “비구성적”의 뜻을 설명했다.

  • 예제 2.3(짝수 소수)의 유일 파트를 백지에 처음부터 끝까지 적었다.

  • 비둘기집 논증(문제 19)을 귀류법으로 재현했다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점

처방

증인은 떠오르는데 그 뒤가 나오지 않는다

§1.3 해부 표 — 검증이 본체이고, 조건 개수만큼 검증 줄이 나와야 한다

유일성의 첫 문장이 나오지 않는다

§1.5 표 — 세 행 모두 “둘을 가정하면”으로 시작한다

둘을 가정한 뒤 결합이 되지 않는다

훈련 1\(\cdot\)2 — 두 등식을 등호로 이어 붙이고 같은 항을 소거한다

존재는 썼는데 유일을 빠뜨린다

§1.6 2단 의무 표 — 빠뜨렸을 때 무엇이 남는지 다시 읽는다

비구성적 증명이 왜 증명인지 납득되지 않는다

§1.4와 예제 2.2 — 두 경우가 전체를 덮으면 결론은 어느 쪽에서든 나온다

“\(k\)로 나누어떨어진다”에서 합성수로 넘어가지 못한다

예제 2.1의 3단계 — 나누어떨어짐에서 분해 \(N+k = km\)을 만들고, \(k\)와 \(m\)이 각각 가운데 범위에 있음을 확인한다(정의 15.3)

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

준비 운동#

  1. iff 증명의 서식(25주차): “(\(\Rightarrow\)) \(P\)라 가정하자. … 따라서 \(Q\)이다.

(\(\Leftarrow\)) \(Q\)라 가정하자. … 따라서 \(P\)이다. 양방향이 증명되었으므로 \(P \iff Q\)이다.” 각 방향은 독립된 조건문이므로 방향마다 직접\(\cdot\)대우\(\cdot\)귀류를 따로 고를 수 있다.

  1. 증인 하나를 제시하고, 그 증인이 \(S\)의 원소임과 \(P\)를 만족함을 검증한다 (10주차 비대칭 표의 \(\exists\) 참 칸 — 하나로 끝나는 칸이다).

  2. 증인은 \(x = 0\)이고, 유일성은 “\(x_1, x_2\)가 모두 만능이라 하자 \(\to\) 각각의 조건에 \(y = 1\)을 대입하면 \(x_1 + 1 = 1\), \(x_2 + 1 = 1\) \(\to\) \(x_1 = 0 = x_2\)”로 보였다.

조건이 “모든 \(y\)”이므로 유리한 \(y\)를 골라 대입할 권리가 있다는 것이 요점이다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) \(3\) (2) \(18\) (3) \(5x_1 = 5x_2\) (4) \(5\)

※ 조건이 두 개(등식 + 무대)이므로 검증도 두 줄이다 — 문제 13 풀이와 같은 기준이다.

※ (4)에서 나눌 수 있는 이유는 \(5 \neq 0\)이기 때문이다. 0으로 나누는 단계가 끼면 유일성 논증이 무너진다 — 계수가 0일 수 있는 문제에서는 경우를 나눠야 한다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) \(0\) (2) \(1\) (3) \(0\) (4) 등식의 성질 — 같은 값과 같은 것은 서로 같다, 곧 추이성 (근거 ③)

※ 조건이 두 개(등식 + 무대)이므로 검증도 두 줄이다 — 문제 13 풀이와 같은 기준이다.

※ 존재 파트에서는 \(y\)를 문자 그대로 두고 검증하고, 유일 파트에서는 \(y = 1\)을 대입한다. 같은 조건이 방향에 따라 다르게 쓰인다 — 가정 쪽의 “모든”은 유리한 값을 골라 쓸 권리이고, 목표 쪽의 “모든”은 전원을 처리할 의무다. 문제 8이 곱셈 판으로 같은 것을 묻는다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) (존재) \((m, n) = (5, 2)\)를 증인으로 제시한다. 검증: \(5 + 2 = 7\) ✓, \(5 - 2 = 3\) ✓, 그리고 \(5\)와 \(2\)는 정수 ✓. (조건이 세 개이므로 검증도 세 줄이다.) (2) (유일) \((m_1, n_1)\)과 \((m_2, n_2)\)가 모두 조건을 만족한다고 가정하자. 각각에 대해 \(m_i + n_i = 7\), \(m_i - n_i = 3\)이다. 두 식을 더하면 \(2m_i = 10\)이므로 \(m_1 = m_2 = 5\)이고, 빼면 \(2n_i = 4\)이므로 \(n_1 = n_2 = 2\)이다. (3) 따라서 \((m_1, n_1) = (m_2, n_2)\)이므로 조건을 만족하는 정수 쌍은 유일하게 존재한다. \(\blacksquare\)

※ 미지수가 둘이면 유일성도 성분마다 확인한다. 한 성분만 같음을 보이고 끝내면 나머지 성분에서 두 쌍이 갈릴 여지가 남는다.

문제 1#

접근. 세 서식이 이번 주 전체의 골격이다. 문장을 통째로 외워 적으려다 막히면 해부 표의 조각 이름부터 적고 그 역할에서 문장을 복원한다 — 존재 쪽은 “증인 지정 / 검증 / 전부”, 유일 쪽은 “둘 가정 / 결합 / 같음”이다.

풀이. (a) 구성적 존재 증명의 서식. “명제. \(\exists x,\ P(x)\). 증명. \(x = (\text{구체적 대상 또는 제작식})\)을 생각하자. (검증) 이 \(x\)가 \(P\)의 조건을 전부 만족함을 확인한다. \(\blacksquare\)” 증인 제시는 한 줄이고 검증이 본체다. 조건이 \(k\)개면 검증도 \(k\)건이다. (b) 유일성 증명의 표준 틀. “\(x_1\)과 \(x_2\)가 모두 \(P\)를 만족한다고 가정하자. (두 조건을 결합한다.) 따라서 \(x_1 = x_2\)이다. \(\blacksquare\)” 서로 다르다고 가정하지 않는 것, 조건을 두 번 발동해 등식 두 개를 확보하는 것이 요점이다. (c) \(\exists!\)의 뜻. \(\exists!\, x,\ P(x)\)는 “\(P(x)\)인 \(x\)가 존재한다” 그리고 “그런 \(x\)는 유일하다”의 두 주장이다. 증명은 (존재) 문단과 (유일) 문단으로 쓰며, 존재만 쓰면 증인이 여럿일 가능성이 남고, 유일만 쓰면 조건을 만족하는 것이 0개여도 참인 공허한 진술만 남는다.

복기. 서식을 외우는 목적은 백지에서 첫 문장이 나오게 하는 것이다. 존재 명제를 보면 “\(x = \)“부터, 유일성 주장을 보면 “\(x_1\)과 \(x_2\)가 모두”부터 손이 움직이면 이 문제의 목적은 달성된 것이다.

문제 2#

접근. 세 항 모두 존재 명제이므로 증인 제시 + 조건 전부 검증이다. 시작 전에 조건의 개수를 센다 — (a) 합과 차로 두 개, (b) \(x^2 = x\)와 \(x \neq 0\)으로 두 개, (c) 연속과 합으로 두 개. 증인 제작은 (a)(c)에서는 조건을 방정식으로 세워 역산하고, (b)에서는 후보를 대입해 맞힌다.

풀이. (a) 두 실수를 \(x, y\)라 하면 조건은 \(x + y = 100\), \(x - y = 8\)이다. 두 식을 더하면 \(2x = 108\)이므로 \(x = 54\), 빼면 \(2y = 92\)이므로 \(y = 46\)이다. 증인: \(54\)와 \(46\). 검증: \(54 + 46 = 100\) ✓, \(54 - 46 = 8\) ✓. 조건 두 개가 모두 확인됐다. (b) 증인: \(x = 1\). 검증: \(1^2 = 1\) ✓, \(1 \neq 0\) ✓. (\(x = 0\)도 \(x^2 = x\)를 만족하지만 둘째 조건에서 탈락한다 — 조건을 전부 확인해야 하는 이유가 바로 이 자리에 있다.) (c) 연속한 세 정수를 \(n-1, n, n+1\)이라 하면 합은 \((n-1) + n + (n+1) = 3n\)이다. \(3n = 201\)에서 \(n = 67\). 증인: \(66, 67, 68\). 검증: 세 수가 연속 ✓, \(66 + 67 + 68 = 201\) ✓.

복기. 증인 제작에는 두 길이 있다 — 조건을 방정식으로 세워 역산하거나, 후보를 대입해 맞히거나. 역산은 조건이 등식으로 깔끔할 때, 대입은 후보가 몇 개뿐일 때 빠르다. (검산: (a) \(54 + 46 = 100\), \(54 - 46 = 8\) ✓.)

문제 3#

접근. 검증할 조건은 세 개다 — 첫째 수가 무리수, 둘째 수가 무리수, 곱이 유리수. 곱이 유리수가 되게 하는 가장 짧은 길은 같은 무리수를 두 번 쓰는 것이다. 무리수임이 이미 증명된 수를 21주차에서 가져온다.

풀이. 증인: \(\sqrt2\)와 \(\sqrt2\). 검증 세 건 — ① \(\sqrt2\)는 무리수이다(21주차에서 귀류법으로 증명했다). ② 둘째 수도 \(\sqrt2\)이므로 무리수이다. ③ 곱은 \(\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2 = \frac{2}{1}\)이고, 이는 두 정수의 비이므로 유리수이다. 따라서 두 무리수의 곱이 유리수인 예가 존재한다. \(\blacksquare\)

복기. “서로 다른 두 무리수”라는 요구가 없으므로 같은 수를 두 번 써도 된다 — 문제가 요구하지 않은 조건을 스스로 얹으면 증인 찾기가 어려워진다. 다른 증인도 정답이다: \(\sqrt2 \cdot \sqrt8 = \sqrt{16} = 4\) (단 \(\sqrt8 = 2\sqrt2\)의 무리수성은 21주차 문제 8로 확인한다). (검산: \(\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2\) ✓.)

문제 4#

접근. 훈련 1은 수식만, 훈련 2는 근거 문장까지, 훈련 3은 문단 전체를 쓴다. 백지 재현에서는 빈칸을 채우는 것이 아니라 문제만 보고 증명 전체를 적는 것이므로, 2단 서식의 두 문단 제목 “(존재)”와 “(유일)”부터 적어 놓고 안을 채운다.

풀이. 훈련별 답은 위의 “빈칸 사다리 — 훈련 1/2/3” 항목에 있다. 자가 채점 기준은 세 가지다. ① 존재 문단에 증인 제시와 검증이 둘 다 있는가 — 증인만 적고 대입 계산을 빠뜨리는 것이 가장 흔한 누락이다. ② 유일 문단이 “둘을 가정하자”로 시작하는가 — “다른 해는 없다”는 선언만 적었다면 논증이 없는 것이다. ③ 결합 단계의 근거를 말할 수 있는가 — 훈련 1은 양변 소거와 0이 아닌 수로 나누기, 훈련 2는 유리한 값의 대입, 훈련 3은 연립의 가감이다.

복기. 사다리의 세 단은 지지대의 양만 다르고 뼈대는 하나다. 훈련 3에서 막혔다면 훈련 1의 두 문단 제목을 종이에 먼저 적고 시작한다.

문제 5#

접근. 이 논증이 실제로 증명한 것과 마지막 줄이 주장한 것을 각각 한 낱말로 적어 나란히 놓는다. 앞은 유일성이고 뒤는 존재다. 확인 7에서 본 한 쌍이 그대로 재등장한다.

풀이. 논증은 “\(x_1^2 = 2 = x_2^2\)이고 \(x_1, x_2 > 0\)이면 \(x_1 = x_2\)”를 보였다 — 이것은 유일성(“있다면 하나뿐”)이다. 그런데 마지막 줄은 “\(\sqrt2\)라는 수가 존재한다”라는 존재를 주장한다. 유일성은 존재를 함의하지 않으므로 이 도약이 빈틈이다. 실제로 조건을 만족하는 것이 0개여도 유일성 진술은 공허하게 참이다 (4주차 §1.4). 예를 들어 같은 논증을 \(x^2 = -1\)에 적용하면 유일성은 성립하지만 존재는 거짓이다(문제 18(a)).

복기. “\(x^2 = 2\)인 양의 실수가 존재한다”는 참이지만, 그 증명에는 실수의 완비성이라는 별개의 성질이 필요하다 — 지금은 증명 없이 인정하고 쓴다 (45주차 이후 해석학에서 다룬다). 참인 결론에 도달했다는 사실이 논증의 정당성을 보장하지 않는다는 것이 이 문제의 요점이다.

문제 6#

접근. 존재 파트는 증인 2에 대해 조건 두 개(짝수, 소수)를 각각 검증한다. 유일 파트는 “\(p\)를 짝수인 소수라 하자”로 시작해 짝수의 정의와 소수의 정의를 차례로 풀면 \(2\)가 \(p\)의 양의 약수라는 사실이 손에 들어오고, 소수의 정의가 양의 약수를 1과 \(p\)로 제한하는 것이 마지막 열쇠다.

풀이. (존재) 2는 짝수이다 — \(2 = 2 \times 1\)이고 \(1\)은 정수이므로 짝수의 정의를 만족한다. 또한 2의 양의 약수는 1과 2뿐이므로 2는 소수이다. 조건 두 개가 검증됐다. (유일) \(p\)를 짝수인 소수라 하자. \(p\)가 짝수이므로 \(p = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재하고, 따라서 \(2 \mid p\)이다. 한편 \(p\)는 소수이므로 \(p\)의 양의 약수는 1과 \(p\)뿐이다. \(2\)는 \(p\)의 양의 약수인데 \(2 \neq 1\)이므로 \(2 = p\)일 수밖에 없다. 따라서 조건을 만족하는 수는 2 하나뿐이다. \(\blacksquare\)

복기. 유일 파트가 \(p_1, p_2\) 대신 \(p\) 하나와 기준 증인 2를 비교하는 꼴이다. 증인이 이미 손에 있는 \(\exists!\) 문제에서는 이 꼴이 짧다 — \(x_2\) 자리에 증인을 놓았다고 읽으면 정의 26.3의 틀 그대로다.

문제 7#

접근. \(\exists!\) 문제이므로 두 문단이다. 존재 파트에서 증인 후보는 “더해도 바뀌지 않게 하는 수”이므로 0이고, 조건이 두 개(”\(r + s = r\)”과 “\(s\)가 유리수”)임에 주의한다. 유일 파트는 \(r + s_1 = r = r + s_2\)에서 양변의 \(r\)을 소거한다.

풀이. (존재) \(s = 0\)을 증인으로 제시한다. 검증 두 건 — ① \(r + 0 = r\)이므로 조건식을 만족한다 ✓ ② \(0 = \frac{0}{1}\)은 두 정수의 비이므로 유리수이다 ✓. (유일) \(s_1, s_2\)가 모두 조건을 만족한다고 가정하자. 그러면 \(r + s_1 = r\)이고 \(r + s_2 = r\)이므로 \(r + s_1 = r + s_2\)이다. 양변에 \(-r\)을 더하면 \(s_1 = s_2\)이다(근거 ③). 따라서 조건을 만족하는 유리수 \(s\)는 유일하게 존재한다. \(\blacksquare\)

복기. 증인이 0이나 1처럼 익숙한 수일 때 검증을 생략하기 쉽다. 조건이 두 개라면 익숙한 수여도 두 건을 적는다 — 이 문제에서는 “\(0\)이 유리수”라는 둘째 검증이 실제로 빠지는 경우가 많다. (검산: \(r = \frac{3}{5}\)이면 \(\frac{3}{5} + 0 = \frac{3}{5}\) ✓.)

문제 8#

접근. 존재 파트의 조건이 “모든 \(y\)에 대해”이므로 특정 \(y\)가 아니라 문자 \(y\) 그대로 검증해야 한다. 유일 파트는 반대다 — \(x_1, x_2\)의 조건이 모든 \(y\)에 대해 성립하므로 잘 고른 \(y\) 하나를 대입할 권리가 있고, \(y = 1\)을 넣으면 \(x_1\)의 값이 곧바로 강제된다.

풀이. (존재) \(x = 1\)을 증인으로 제시한다. 검증: 임의의 실수 \(y\)에 대해 \(1 \cdot y = y\)이므로 조건이 성립한다 ✓. (\(y\)를 문자 그대로 두고 확인했으므로 “모든 \(y\)”가 처리됐다.) (유일) \(x_1, x_2\)가 모두 조건을 만족한다고 가정하자. 즉 모든 실수 \(y\)에 대해 \(x_1 y = y\)이고 \(x_2 y = y\)이다. \(x_1\)의 조건에 \(y = 1\)을 대입하면 \(x_1 \cdot 1 = 1\)이므로 \(x_1 = 1\)이다. 같은 대입을 \(x_2\)의 조건에 하면 \(x_2 = 1\)이다. 따라서 \(x_1 = x_2\)이다. 존재와 유일이 모두 보였으므로 조건을 만족하는 실수 \(x\)는 유일하게 존재한다. \(\blacksquare\)

복기. “모든 \(y\)”라는 조건은 방향에 따라 정반대로 쓰인다 — 목표 쪽에 있으면 전원을 처리할 의무이고, 가정 쪽에 있으면 유리한 값을 골라 쓸 권리다. 10주차 문제 18(덧셈 판)과 훈련 2가 같은 구조이며, 이 요령은 40주차 이후 함수의 항등원 논증에서 계속 재사용된다. (검산: \(x = 1\)일 때 \(y = 7\)이면 \(1 \cdot 7 = 7\) ✓.)

문제 9#

접근. (a)는 예제 2.1에서 1001을 6으로, 1000을 5로 바꾼 것이다 — \(k\)의 범위와 증인의 시작점이 함께 바뀐다. (b)는 팩토리얼과 무관하게 다섯 수의 분해를 직접 하나씩 적고, 두 인수가 모두 가운데 범위에 있음을 확인하면 된다 — 정의 15.3이 요구하는 것은 약수 하나가 아니라 분해와 두 부등식이다.

풀이. (a) \(N = 6! = 720\)이라 하고, 증인으로 \(722, 723, 724, 725, 726\)을 제시한다. \(2 \le k \le 6\)인 각 \(k\)에 대해 \(k \mid 720\)이고(\(720\)이 \(k\)를 인수로 포함하므로) \(k \mid k\)이므로, 배수의 합(2주차 예제 2.2)에 의해 \(k \mid (720 + k)\)이다. 분해를 실제로 적으면 \(720 = k\ell\)인 정수 \(\ell\)이 있고 \(720 + k = k(\ell + 1)\)이므로, \(m = \ell + 1\)이라 하면 \(720 + k = km\)이다. \(720 > 0\)이므로 \(\ell \ge 1\), 즉 \(m \ge 2 > 1\)이고 \(k \ge 2\)이므로 \(m = (720+k)/k < 720 + k\)이다. 또한 \(1 < k < 720 + k\)이다. 두 인수가 모두 가운데 범위에 있으므로 정의 15.3에 의해 \(720 + k\)는 합성수이다. \(k\)가 2부터 6까지 다섯 값을 가지므로 연속한 다섯 개의 자연수 \(722, \dots, 726\)이 전부 합성수이다. \(\blacksquare\) (b) 다섯 수 각각에 대해 정의 15.3의 분해를 적는다 — \(24 = 2 \times 12\), \(25 = 5 \times 5\), \(26 = 2 \times 13\), \(27 = 3 \times 9\), \(28 = 2 \times 14\). 각 분해에서 두 인수가 모두 가운데 범위에 있다: \(1 < 2,\, 12 < 24\) ✓, \(1 < 5,\, 5 < 25\) ✓, \(1 < 2,\, 13 < 26\) ✓, \(1 < 3,\, 9 < 27\) ✓, \(1 < 2,\, 14 < 28\) ✓. 따라서 다섯 수는 전부 합성수이고, \(24, 25, 26, 27, 28\)은 연속한다 ✓.

복기. 팩토리얼 증인은 존재를 보장하는 제작식일 뿐 최소가 아니다. (a)의 증인은 722부터이고 (b)의 증인은 24부터이지만, 존재 명제는 증인 하나만 요구하므로 둘 다 완전한 정답이다 — 존재 증명의 증인은 효율적일 필요가 없다. (검산: \(722 = 2 \times 361\), \(726 = 6 \times 121\) ✓.)

문제 10#

접근. 15주차 문제 14에서 계산한 것은 \((k+1)^2 - k^2\)이다. 전개하면 \(k^2 + 2k + 1 - k^2 = 2k + 1\) — 홀수의 정의 꼴이 그대로 나온다. 홀수 \(n\)을 \(n = 2k+1\)로 적어 두 식을 나란히 놓으면 증인 \(a, b\)가 곧바로 읽힌다.

풀이. \(n\)을 \(3\) 이상의 홀수라 하자. 홀수의 정의에 의해 \(n = 2k + 1\)인 정수 \(k\)가 존재하고, \(n \ge 3\)이므로 \(k \ge 1\)이다. 여기서 \(a = k+1\), \(b = k\)를 증인으로 제시한다. 검증 세 건 — ① \(a = k+1\)은 정수이고 \(k \ge 1\)이므로 \(a \ge 2 \ge 0\), 즉 음이 아닌 정수이다 ✓ ② \(b = k\)는 정수이고 \(k \ge 1 \ge 0\)이므로 음이 아닌 정수이다 ✓ ③ \(a^2 - b^2 = (k+1)^2 - k^2 = k^2 + 2k + 1 - k^2 = 2k + 1 = n\) ✓. 따라서 표현이 존재한다. \(\blacksquare\)

복기. 목표 쪽 표현(\(a^2 - b^2\))을 미리 전개해 가정의 꼴(\(2k+1\))과 겹치는지 보는 것이 증인 찾기의 요령이다. 겹치는 순간 증인이 확정된다 — 15주차 문제 14의 복기와 같은 문장이며, 여기서 재사용됐다. (검산: \(n = 7\)이면 \(k = 3\), \(a = 4\), \(b = 3\)이고 \(16 - 9 = 7\) ✓.)

문제 11#

접근. 유일성이므로 \(a, b\)를 문자로 잡고 값이 강제됨을 보인다. 인수분해 \((a-b)(a+b) = 7\)에서 시작하고, 7이 소수라는 사실이 양의 인수쌍을 하나로 줄인다. 어느 인수가 \(a-b\)이고 어느 쪽이 \(a+b\)인지는 부등식 \(a - b \le a + b\)가 정한다.

풀이. \(a^2 - b^2 = 7\)인 음이 아닌 정수 \(a, b\)가 있다고 하자. 인수분해하면 \((a-b)(a+b) = 7\)이다. \(a, b \ge 0\)이므로 \(a + b \ge 0\)이고, 곱이 양수 7이므로 \(a + b \neq 0\), 즉 \(a + b > 0\)이다. 따라서 \(a - b = \frac{7}{a+b} > 0\)이다. 이제 \(a-b\)와 \(a+b\)는 곱이 7인 두 양의 정수이고, 7은 소수이므로 양의 약수가 1과 7뿐이다 — 가능한 인수쌍은 \(\{1, 7\}\) 하나다. 또한 \(b \ge 0\)에서 \(a - b \le a + b\)이므로 작은 쪽이 \(a-b\)다. 즉

\[ a - b = 1, \qquad a + b = 7 \]

로 강제된다. 두 식을 더하면 \(2a = 8\)이므로 \(a = 4\)이고, 빼면 \(2b = 6\)이므로 \(b = 3\)이다. 따라서 표현은 \(7 = 4^2 - 3^2\) 하나뿐이다. \(\blacksquare\)

복기. “둘 가정 \(\to\) 같음”의 변형으로, 조건이 값을 강제함을 보여 유일성을 얻었다. 강제형 유일성 증명의 뼈대는 세 걸음이다 — ① 후보 집합을 유한하게 좁힌다(여기서는 소수성) ② 부등식으로 배정을 정한다 ③ 남은 연립을 푼다. (검산: \(4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7\) ✓.)

문제 12#

접근. “무한히 많다”의 부정은 “유한 개다”이므로 귀류법으로 간다. 개수를 \(m\)개로 놓고 크기순으로 줄을 세운 뒤, 그 줄에 하나를 더 끼워 넣을 자리를 찾는다. 끼워 넣을 자리는 \(a\)와 목록의 왼쪽 끝 \(c_1\) 사이다 — 그 자리에 유리수가 존재한다는 것이 15주차 문제 17이 보장하는 부품이다(근거 ④).

풀이. 두 유리수 \(a < b\)를 잡고, 모순을 위해 \(a\)와 \(b\) 사이의 유리수가 유한 개, 즉 \(m\)개뿐이라고 가정하자.

\(m = 0\)인 경우: 15주차 문제 17에 의해 \(a\)와 \(b\) 사이에 유리수가 적어도 하나 존재하므로 곧바로 모순이다.

\(m \ge 1\)인 경우: 그 유리수들을 크기순으로 \(c_1 < c_2 < \cdots < c_m\)이라 하자. \(a\)와 \(c_1\)은 서로 다른 두 유리수이고 \(a < c_1\)이므로, 15주차 문제 17에 의해 \(a < c' < c_1\)인 유리수 \(c'\)이 존재한다. 이 \(c'\)은 \(a < c' < c_1 < b\)이므로 \(a\)와 \(b\) 사이의 유리수이고, \(c' < c_1\)이므로 목록 \(c_1, \dots, c_m\)의 어느 원소와도 같지 않다. 따라서 \(a\)와 \(b\) 사이의 유리수가 \(m+1\)개 이상이 되어 “\(m\)개뿐”이라는 가정과 모순이다.

두 경우 모두 모순이므로, \(a\)와 \(b\) 사이의 유리수는 무한히 많다. \(\blacksquare\)

복기. 존재 정리 하나가 귀류법과 결합해 “무한 존재”로 증폭되는 패턴이다 — 21주차의 소수 무한 증명과 같은 리듬이고, 45주차 해석학에서 유리수의 조밀성으로 재등장한다. 증폭의 열쇠는 “유한 목록을 만들었더니 목록에 없는 원소가 생산된다”는 구조이며, 목록의 어느 자리를 노릴지(여기서는 구간 \((a,b)\) 바깥이 아니라 \(a\)와 목록의 왼쪽 끝 \(c_1\) 사이)를 정하는 것이 설계의 전부다.

문제 13#

접근. 2단 서식을 그대로 쓴다. 존재는 방정식을 풀어 증인을 역산하고 대입으로 검증하며, 유일은 두 해를 가정해 등식을 이어 붙인 뒤 계수 3으로 나눈다. 3이 0이 아니라는 것이 마지막 나눗셈의 근거다.

풀이. (존재) \(3x - 12 = 0\)에서 \(3x = 12\), \(x = 4\)를 후보로 얻는다. \(x = 4\)를 증인으로 제시한다. 검증: \(3 \cdot 4 - 12 = 12 - 12 = 0\) ✓, 그리고 \(4\)는 실수이다 ✓. (유일) \(x_1, x_2\)가 모두 해라고 가정하자. 그러면 \(3x_1 - 12 = 0\)이고 \(3x_2 - 12 = 0\)이므로 \(3x_1 - 12 = 3x_2 - 12\)이다. 양변에 12를 더하면 \(3x_1 = 3x_2\)이고, \(3 \neq 0\)이므로 양변을 3으로 나누면 \(x_1 = x_2\)이다. 따라서 \(\exists!\, x \in \mathbb{R},\ 3x - 12 = 0\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 일차방정식 \(\alpha x + \beta = 0\)의 해가 유일한 근거는 \(\alpha \neq 0\) 하나다 — 그래야 마지막에 나눌 수 있다. 이 유일성이 실수 세계의 특권이라는 것은 38주차에서 \(\mathbb{Z}_6\) 위의 일차방정식이 해를 여럿 갖는 사례로 확인한다. (검산: \(3 \cdot 4 - 12 = 0\) ✓.)

문제 14#

접근. 존재는 증인 제작이다 — “더해서 0이 되게 하는 수”이므로 \(x\)의 부호를 뒤집는다. 유일은 \(x + y_1 = 0 = x + y_2\)에서 양변에 \(-x\)를 더해 소거한다. \(x\)가 임의의 실수라는 점에 주의한다 — 증인이 \(x\)에 따라 달라지는 제작식이다.

풀이. \(x\)를 임의의 실수라 하자. (존재) \(y = -x\)를 증인으로 제시한다. 검증 두 건 — ① \(-x\)는 실수이다 ✓ ② \(x + (-x) = 0\)이므로 조건식을 만족한다 ✓. (유일) \(y_1, y_2\)가 모두 조건을 만족한다고 가정하자. 그러면 \(x + y_1 = 0\)이고 \(x + y_2 = 0\)이므로 \(x + y_1 = x + y_2\)이다. 양변에 \(-x\)를 더하면 \(y_1 = y_2\)이다. 따라서 임의의 실수 \(x\)에 대해 \(x + y = 0\)인 실수 \(y\)가 유일하게 존재한다. \(\blacksquare\)

복기. 증인이 상수가 아니라 \(x\)로 만든 제작식(\(-x\))이라는 점이 문제 7과 다르다. 양화사의 순서가 “모든 \(x\)에 대해 어떤 \(y\)가”이므로 \(y\)는 \(x\)에 의존해도 된다(10주차 예제 2.2). 이 서식은 대학 선형대수에서 “역원의 유일성”으로 그대로 재등장하며, 43주차 역함수의 유일성도 같은 틀이다. (검산: \(x = 5\)이면 \(y = -5\)이고 \(5 + (-5) = 0\) ✓.)

문제 15#

접근. 예제 2.2의 재현이다. 기억해야 할 것은 세 가지 — ① 배중률로 두 경우를 나눈다 ② 각 경우에서 증인을 지정하고 조건 세 개를 검증한다 ③ 어느 경우인지 판정하지 않는다. 덧붙일 한 문장은 ③의 의미를 풀어 쓴 것이다.

풀이. 수 \(\sqrt2^{\sqrt2}\)를 생각하자. 이 수는 유리수이거나 무리수이다(배중률). 경우 1: \(\sqrt2^{\sqrt2}\)가 유리수인 경우. \(a = b = \sqrt2\)로 잡는다. \(a, b\)는 무리수이고(21주차), \(a^b = \sqrt2^{\sqrt2}\)는 이 경우의 가정에 의해 유리수이다. 조건 세 개가 검증됐다. 경우 2: \(\sqrt2^{\sqrt2}\)가 무리수인 경우. \(a = \sqrt2^{\sqrt2}\), \(b = \sqrt2\)로 잡는다. \(a\)는 이 경우의 가정에 의해 무리수이고 \(b\)도 무리수이며,

\[ a^b = \left(\sqrt2^{\sqrt2}\right)^{\sqrt2} = \sqrt2^{\sqrt2 \cdot \sqrt2} = \sqrt2^{\,2} = 2 \]

이므로 \(a^b\)는 유리수이다. 조건 세 개가 검증됐다. 두 경우가 전체를 덮고 각 경우에서 증인이 마련되었으므로, 조건을 만족하는 무리수 \(a, b\)가 존재한다. \(\blacksquare\)

덧붙임. “구성적이지 않다”는 것은, 증명이 끝난 뒤에도 증인이 \((\sqrt2, \sqrt2)\)인지 \((\sqrt2^{\sqrt2}, \sqrt2)\)인지 특정되지 않는다는 뜻이다.

복기. 존재의 확정과 증인의 특정은 별개다. 참고로 \(\sqrt2^{\sqrt2}\)가 무리수라는 것은 알려져 있지만(겔폰트-슈나이더 정리, 1934), 이 증명은 그 사실을 쓰지 않고도 닫힌다 — 판정을 회피하는 것이 이 논법의 설계다.

문제 16#

접근. 예제 2.1에서 1000이 있던 자리에 \(n\)을, 1001이 있던 자리에 \(n+1\)을 넣는다. 문자 일반화이므로 논증의 구조는 한 줄도 바뀌지 않고, 바뀌는 것은 \(k\)의 범위와 증인의 개수뿐이다. 마지막에 개수가 정확히 \(n\)개인지 센다.

풀이. \(n\)을 임의의 자연수라 하고 \(N = (n+1)!\)이라 하자. 증인으로 \(N+2, N+3, \dots, N+(n+1)\)을 제시한다. \(2 \le k \le n+1\)인 각 \(k\)에 대해, \(N = (n+1)!\)은 \(k\)를 인수로 포함하므로 \(k \mid N\)이고, \(k \mid k\)이므로 배수의 합(2주차 예제 2.2)에 의해 \(k \mid (N + k)\)이다. 여기서 분해를 만든다 — \(N = k\ell\)인 정수 \(\ell\)이 존재하므로 \(N + k = k(\ell + 1)\)이고, \(m = \ell + 1\)이라 하면 \(N + k = km\)이다. \(N > 0\)이고 \(k \ge 2\)이므로 \(\ell \ge 1\), 즉 \(m \ge 2 > 1\)이고 \(m = (N+k)/k < N + k\)이다. 또한 \(k \ge 2 > 1\)이고 \(N > 0\)이므로 \(1 < k < N + k\)이다. 두 인수가 모두 가운데 범위에 있으므로 정의 15.3(15주차)에 의해 \(N + k\)는 합성수이다. \(k\)가 2부터 \(n+1\)까지 움직이므로 이런 수는 \((n+1) - 2 + 1 = n\)개이고, 이들은 연속한다. 따라서 연속한 \(n\)개의 합성수가 존재한다. \(\blacksquare\)

복기. 구체적인 수 하나로 쓴 증명에서 그 수를 문자로 바꾸었을 때 어느 줄도 고칠 필요가 없다면, 원래 증명이 그 수의 특별한 성질을 쓰지 않았다는 뜻이다 — 예제 2.1은 1000이 1000이라는 사실을 한 번도 쓰지 않았다. (검산: \(n = 3\)이면 \(N = 24\)이고 \(26, 27, 28\) — 예제 2.1의 대입 시뮬레이션과 일치한다 ✓.)

문제 17#

접근. 인수쌍 하나마다 연립방정식이 하나씩 생긴다. \(15\)의 양의 인수쌍은 \(1 \times 15\)와 \(3 \times 5\) 두 개이므로 증인도 두 벌이고, 검증도 두 번 한다. 마지막 한 문장은 7과 15의 인수쌍 개수를 비교하면 나온다.

풀이. 첫째 증인: \(a - b = 1\), \(a + b = 15\)로 놓는다. 두 식을 더하면 \(2a = 16\)이므로 \(a = 8\), 빼면 \(2b = 14\)이므로 \(b = 7\)이다. 검증: \(8\)과 \(7\)은 음이 아닌 정수 ✓, \(8^2 - 7^2 = 64 - 49 = 15\) ✓. 둘째 증인: \(a - b = 3\), \(a + b = 5\)로 놓는다. 더하면 \(2a = 8\)이므로 \(a = 4\), 빼면 \(2b = 2\)이므로 \(b = 1\)이다. 검증: \(4\)와 \(1\)은 음이 아닌 정수 ✓, \(4^2 - 1^2 = 16 - 1 = 15\) ✓. \((8, 7) \neq (4, 1)\)이므로 서로 다른 두 표현이 존재한다. \(\blacksquare\)

대비. 7은 소수라 양의 인수쌍이 \(\{1, 7\}\) 하나뿐이어서 표현이 유일했지만(문제 11), \(15 = 3 \times 5\)는 인수쌍이 \(\{1, 15\}\)와 \(\{3, 5\}\) 둘이므로 표현이 하나로 강제되지 않는다 — 문제 11의 유일성은 7이 소수라는 사실에서 나온 것이었다. 여기서 보인 것은 표현이 적어도 둘이라는 것이고, “정확히 둘”을 말하려면 문제 11의 세 걸음(후보를 유한하게 좁히기 \(\to\) 부등식으로 배정 정하기 \(\to\) 연립 풀기)을 15에 대해 그대로 되풀이해야 한다.

복기. 존재는 참인데 유일이 거짓인 실물 사례다. 문제 18(b)의 \(x^2 = 4\)가 같은 상황의 더 짧은 판이며, 두 문제가 함께 “\(\exists\)는 참, \(\exists!\)는 거짓”인 명제를 보여 준다. (검산: \(64 - 49 = 15\), \(16 - 1 = 15\) ✓.)

문제 18#

접근. 각 명제에서 존재 파트와 유일 파트를 분리해 각각 따로 판정한다. (a)는 조건을 만족하는 실수가 아예 없는 경우이고, (b)는 조건을 만족하는 실수가 둘인 경우다. 두 사례가 정반대의 조합을 보인다.

풀이. (a) 유일 파트: 참. 유일성 주장은 “\(x_1^2 = -1\)이고 \(x_2^2 = -1\)이면 \(x_1 = x_2\)”라는 조건문이다. 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 \ge 0\)이므로 \(x^2 = -1\)인 실수는 없고, 따라서 이 조건문의 가정이 성립하는 경우가 하나도 없다. 어길 사례가 없으므로 참이다 — 공허한 참(4주차 §1.4). 존재 파트: 거짓. \(x^2 = -1\)인 실수가 없으므로 증인이 존재하지 않는다. (b) 존재 파트: 참. 증인 \(x = 2\): \(2^2 = 4\) ✓, \(2\)는 실수 ✓. 유일 파트: 거짓. \(x = -2\)도 \((-2)^2 = 4\)를 만족하고 \(2 \neq -2\)이므로 서로 다른 두 증인이 존재한다.

정리. (a)는 유일\(\circ\)\(\cdot\)존재✗, (b)는 존재\(\circ\)\(\cdot\)유일✗이다. 한쪽의 성립이 다른 쪽을 전혀 보장하지 않으므로 두 의무는 논리적으로 독립이며, \(\exists!\) 증명은 두 파트를 각각 써야 한다.

복기. 유일성이 공허하게 참이 되는 자리를 알아 두면 문제 5 같은 논증의 빈틈이 곧바로 보인다 — “있다면 하나뿐”은 대상이 0개일 때도 참이므로, 그 진술만으로는 대상이 있는지 없는지 판별되지 않는다.

문제 19#

접근. “같은 색 한 쌍이 존재한다”의 부정은 “어떤 색도 두 짝 이상 나오지 않았다”, 곧 “각 색은 많아야 1짝”이다. 이 부정을 가정하면 총 짝 수의 상한이 색의 개수로 묶이므로, 4짝이라는 사실과 충돌한다. 귀류법이므로 비구성적이다.

풀이. 모순을 위해, 꺼낸 4짝 중 같은 색인 쌍이 없다고 가정하자. 그러면 각 색의 양말은 많아야 1짝씩 꺼내졌다. 색은 세 가지뿐이므로 꺼낸 양말의 총수는 많아야 \(1 + 1 + 1 = 3\)짝이다. 그런데 실제로 꺼낸 것은 4짝이므로 \(4 \le 3\)이 되어 모순이다. 따라서 꺼낸 4짝 중에는 같은 색인 한 쌍이 반드시 존재한다. \(\blacksquare\)

복기. 어느 색의 쌍인지는 증명이 끝난 뒤에도 알 수 없다 — 비구성적 존재 증명이다(정의 26.2 ②). 이 논법의 일반형이 비둘기집 원리이며, 22주차 문제 13의 평균 논증과 같은 과에 속한다. 상한을 계산해 가정과 충돌시키는 것이 공통 뼈대다. (검산: 색이 3종일 때 안전하게 꺼낼 수 있는 최대 짝수는 3이고, 4짝부터 쌍이 강제된다 ✓.)

문제 20#

접근. (a)는 문제 18의 두 사례를 그대로 인용하면 두 문장으로 끝난다. (b)는 비구성적 증명이 무엇을 주고 무엇을 주지 않는지를 예제 2.2와 문제 19에서 읽어 낸다 — 주는 것은 존재의 확정, 주지 않는 것은 증인의 정체다.

풀이. (예시 답안) (a) \(x^2 = -1\)은 유일성이 공허하게 성립하지만 존재는 거짓이고, \(x^2 = 4\)는 존재는 참이지만 유일성이 거짓이다. 한쪽의 성립이 다른 쪽을 전혀 보장하지 않으므로, \(\exists!\) 증명은 존재 파트와 유일 파트를 각각 써야 한다. (b) 장점: 증인을 만들 방법을 모르거나 원리적으로 특정할 수 없어도 존재를 확정할 수 있으므로 적용 범위가 넓다 — 예제 2.2가 그 사례로, 어느 쌍이 증인인지 모르는 채로 증명이 닫힌다. 단점: “무엇인지”를 주지 않으므로, 그 대상을 계산하거나 이후 논증에서 사용해야 하는 상황에서는 정보가 부족하다 — 문제 19에서 어느 색의 쌍인지 알 수 없는 것이 그 예다.

복기. 존재 증명을 읽을 때 붙일 질문은 두 개다 — “증인이 무엇인가”와 “그 증인을 실제로 손에 넣을 수 있는가”. 구성적 증명은 둘 다에 답하고, 비구성적 증명은 앞의 질문에만 부분적으로 답한다.

다음 주 예고: 7부 — 집합의 증명. “\(x \in A\)라 하자”로 시작하는 원소 추적 논법으로 \(A \subseteq B\)와 \(A = B\)를 증명한다. 5주차에서 벤 다이어그램으로 관찰만 했던 드모르간 법칙이 정리가 되고, 이번 주의 증인 제작은 “생성형 집합의 원소 판정”이라는 이름으로 그대로 다시 쓰인다.