# 26주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — 존재와 유일을 함께 쓰기 완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 2.2는 설계만 함께 하고, 2.3은 설계부터 스스로 한다. ### 예제 2.1 — 구성적: 연속한 합성수 1000개 **명제.** 연속한 1000개의 자연수가 전부 합성수인 구간이 존재한다. **설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 먼저 적는다. | | **말** | **수식 번역** | |---|---|---| | 가정 (출발점) | 없음 | 조건이 붙지 않은 존재 주장 — 재료는 이미 아는 정의와 정리뿐 | | 목표 (도착점) | 연속한 1000개가 전부 합성수 | 연속한 자연수 1000개를 지목하고, 그 1000개가 **각각** 합성수임을 검증 | :::{container} quotebox **확인 9.** 목표 칸의 검증은 몇 건인가. 그 건수를 한 건씩 계산할 수 있는가. 할 수 없다면 무엇으로 대신하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 1000건이다 — 목표 문장이 "1000개가 **각각**"이라 했으므로 검증도 1000건이다. 한 건씩은 계산할 수 없다. 대신 **문자**를 쓴다 — "$2 \le k \le 1001$인 각 $k$에 대하여"로 잡고 $N+k$ 하나를 처리하면, 1000건이 한 번에 처리된다. 1주차 확인 13에서 확인한 일반성이 검증 쪽에서 그대로 작동한다. ::: **1단계 — 증인을 제작한다.** 검증할 것은 "$N+k$가 합성수"이므로, $N+k$가 1도 자신도 아닌 약수를 갖게 만들어야 한다. 가장 다루기 쉬운 후보 약수는 $k$ 자신이다. 그러려면 $k \mid (N+k)$여야 하고, $k \mid k$는 이미 참이므로 $k \mid N$이기만 하면 된다(2주차 예제 2.2 — 배수의 합). :::{container} quotebox **확인 10.** $2$부터 $1001$까지의 **모든** $k$에 대해 $k \mid N$이 되도록 하려면 $N$을 무엇으로 잡으면 되는가. (12주차 정의 12.2) ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $N = 1001!$ — 즉 $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 1001$이다. 팩토리얼은 2부터 1001까지를 전부 인수로 포함하므로, 각 $k$에 대해 $N = k \cdot (\text{나머지 인수들})$로 쓸 수 있고 나머지 인수들의 곱은 정수다. 정의 26.1의 첫 조각 — 제작식 — 이 이것으로 확정됐다. ::: **2단계 — 각 $N+k$가 $k$로 나누어떨어짐을 보인다.** 제작식이 준 $k \mid N$과 자명한 $k \mid k$를 배수의 합으로 결합하는 자리다. :::{container} quotebox **확인 11.** $2 \le k \le 1001$일 때 $k \mid (N + k)$인 이유를 근거와 함께 한 줄로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $k \mid N$이고 $k \mid k$이므로, 2주차 예제 2.2(배수의 합)에 의해 $k \mid (N + k)$이다 — 근거 ④. 나눗셈을 실제로 계산하지 않고 배수의 합 정리만으로 끝난다는 점이 중요하다. $1001!$이 몇 자리 수인지는 이 증명에서 한 번도 필요하지 않다. ::: **3단계 — 합성수임을 마무리한다.** 약수가 하나 있다는 것만으로는 합성수가 아니다. 15주차 정의 15.3이 요구하는 것은 **분해** $N + k = ab$이고, 두 인수가 **모두** $1 < a, b < N+k$ 범위에 있어야 한다. 한쪽 인수만 범위 안에 있음을 확인하고 끝내면 정의의 절반만 검증한 것이다. :::{container} quotebox **확인 12.** $k \mid (N+k)$에서 분해 $N + k = km$을 만들면 $m$은 무엇인가. 그리고 정의 15.3을 채우려면 어떤 부등식을 확인해야 하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $k \mid N$이므로 $N = k\ell$인 정수 $\ell$이 존재하고, $N + k = k\ell + k = k(\ell + 1)$이다. 즉 $m = \ell + 1$이다. 확인할 부등식은 $1 < k < N+k$ **그리고** $1 < m < N+k$ 두 줄이다. 앞줄: $k \ge 2$에서 $1 < k$가, $N = 1001! > 0$에서 $k < N + k$가 나온다. 뒷줄: $N > 0$이고 $k \ge 2$이므로 $\ell = N/k \ge 1$, 따라서 $m = \ell + 1 \ge 2 > 1$이고, $k \ge 2$이므로 $m = (N+k)/k \le (N+k)/2 < N + k$이다. 검증할 것은 두 개가 아니라 (분해 $N+k = km$의 존재) + (두 인수가 각각 가운데 범위에 있음) — 분해 한 줄과 부등식 두 줄이다. 하나라도 빠지면 §1.3의 "전부"를 어긴다. ::: :::{container} quotebox **확인 13.** 증인으로 제시하는 수는 $N+1$부터인가 $N+2$부터인가. 그 이유는. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $N+2$부터다. $k = 1$이면 $1 < k$가 성립하지 않고, 게다가 $m = N+1 = N+k$가 되어 두 부등식이 동시에 깨진다 — $N+1$이 합성수인지는 이 논증으로 판정되지 않는다. 따라서 $k$는 2부터 1001까지 움직이고, 수는 $N+2$부터 $N+1001$까지 정확히 1000개다. 개수 확인도 검증의 일부다. ::: **완성본.** 방금 정한 것을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜"에 스스로 답해 본다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | $N = 1001!\ (= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 1001)$이라 하고, 증인으로 연속한 1000개의 수 $N+2,\ N+3,\ \dots,\ N+1001$을 제시한다. | 증인 제작(정의 26.1의 첫 조각). 팩토리얼(12주차)이 "2부터 1001까지 전부를 약수로 갖는 수"를 만들어 준다. | | $2 \le k \le 1001$인 각 $k$에 대해, $k \mid N$이다 ($N$이 $k$를 인수로 포함하므로). | 제작 원리의 확인: $N = k \cdot (\text{나머지 인수들})$ — 2주차 정의 2.1 그대로. 문자 $k$가 1000건의 검증을 한 번에 맡는다. | | 또한 $k \mid k$이므로 $k \mid (N + k)$이다 (2주차 예제 2.2 — 배수의 합). | 각 수 $N+k$가 $k$로 나누어떨어짐을 확정한다. 근거 ④. | | $k \mid N$이므로 $N = k\ell$인 정수 $\ell$이 있고, $N + k = k(\ell + 1)$이다. $m = \ell + 1$이라 하자. | 정의 15.3이 요구하는 **분해**를 실제로 만든다. 약수를 하나 지목하는 것과 분해를 적는 것은 다른 일이다. | | $N > 0$이므로 $\ell \ge 1$, 즉 $m \ge 2 > 1$이고, $k \ge 2$이므로 $m = (N+k)/k < N + k$이다. 또한 $k \ge 2 > 1$이고 $N > 0$이므로 $1 < k < N + k$이다. | 두 인수가 **모두** 가운데 범위에 있음을 확인한다 — 정의 15.3의 "$1 < a, b < n$"은 한쪽이 아니라 양쪽에 걸린다. | | 따라서 $N + k = km$이고 $1 < k,\, m < N + k$이므로 $N + k$는 합성수이다 (15주차 정의 15.3). | 분해 하나와 부등식 두 줄이 갖춰졌으므로 판정이 끝난다. 근거 ①. | | 따라서 $N+2$부터 $N+1001$까지 연속한 1000개가 전부 합성수이다. $\blacksquare$ | 검증 완료 선언. 조건 개수와 검증 줄 수가 맞았음을 여기서 확인한다. | **대입 시뮬레이션 — 1000을 3으로 줄여 눈으로 보기.** 증명의 1001을 4로 바꾸면 $N = 4! = 24$이고, 증인은 $N+2, N+3, N+4 = 26, 27, 28$이다. :::{container} quotebox **확인 14.** $26, 27, 28$이 각각 합성수임을, 증명이 지정한 약수 $k$로 확인해 보자. $k$는 각각 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $k = 2$: $26 = 2 \times 13$. $k = 3$: $27 = 3 \times 9$. $k = 4$: $28 = 4 \times 7$. 세 경우 모두 분해의 **두** 인수가 가운데 범위에 있다 — $1 < 2,\, 13 < 26$이고 $1 < 3,\, 9 < 27$이고 $1 < 4,\, 7 < 28$이다. 정의 15.3이 그대로 충족되고, 증명의 모든 줄이 작동한다. 1001을 $n+1$로 바꾼 일반형이 문제 16이다. ::: **해석.** 소수는 무한히 많지만(21주차), 소수 사이의 **간격**은 얼마든지 벌어질 수 있다. 증인이 천문학적으로 큰 수라는 점은 흠이 아니다 — 존재 증명의 증인은 효율적일 필요가 없다(문제 9에서 같은 조건을 훨씬 작은 수가 만족함을 본다). ### 예제 2.2 — 비구성적: 무리수의 무리수 거듭제곱 **명제.** $a^b$가 유리수가 되는 무리수 $a, b$가 존재한다. 이번에는 설계만 함께 하고, 증명은 완성된 산문으로 본다. :::{container} quotebox **확인 15.** 이 명제를 정의 26.1(구성적 서식)로 증명하려 하면 어느 조각에서 막히는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown **검증 조각**에서 막힌다. $a = b = \sqrt2$를 지정하는 것까지는 된다 — 첫 조각은 통과한다. 막히는 곳은 그다음이다. 조건 ①②($\sqrt2$가 무리수)는 21주차의 결과로 통과하지만, ③($\sqrt2^{\sqrt2}$가 유리수)을 판정할 도구가 이 과정에는 없다. 후보를 바꿔 $a = \sqrt2^{\sqrt2}$, $b = \sqrt2$로 잡아도 이번에는 ①을 판정할 수 없다. 어느 증인을 지정해도 세 조건을 **전부** 검증할 수 없다는 것이 정의 26.1로 막히는 이유이고, 그래서 정의 26.2 ①(경우 나누기)로 길을 바꾼다. ::: :::{container} quotebox **확인 16.** 번역표를 채워 보자. 목표: 무리수 $a, b$를 제시 $\to$ 검증할 조건은 ① $\underline{\quad}$ ② $\underline{\quad}$ ③ $\underline{\quad}$. 나눌 경우: $\sqrt2^{\sqrt2}$가 $\underline{\quad}$인 경우와 $\underline{\quad}$인 경우. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 검증 조건 세 개 — ① $a$는 무리수 ② $b$는 무리수 ③ $a^b$는 유리수. 나눌 경우 — $\sqrt2^{\sqrt2}$가 **유리수**인 경우와 **무리수**인 경우. 두 경우가 전체를 덮는 근거는 배중률(§1.4, 근거 ④)이다. 어느 경우인지 판정하지 않아도 두 경우 각각에서 조건 세 개를 전부 검증하면 증명이 닫힌다. ::: **증명.** 수 $\sqrt2^{\sqrt2}$를 생각하자. 이 수는 유리수이거나 무리수이다 (둘 중 하나 — 배중률). **경우 1: $\sqrt2^{\sqrt2}$가 유리수인 경우.** $a = b = \sqrt2$가 증인이다. $\sqrt2$는 무리수이고(21주차), $a^b = \sqrt2^{\sqrt2}$는 이 경우의 가정에 의해 유리수이다. 조건 세 개가 모두 검증됐다. **경우 2: $\sqrt2^{\sqrt2}$가 무리수인 경우.** $a = \sqrt2^{\sqrt2}$, $b = \sqrt2$로 잡는다. $a$는 이 경우의 가정에 의해 무리수이고, $b$도 무리수이다. 지수법칙에 의해 $$ a^b = \left(\sqrt2^{\sqrt2}\right)^{\sqrt2} = \sqrt2^{\sqrt2 \cdot \sqrt2} = \sqrt2^{\,2} = 2 $$ 이므로 $a^b$는 유리수이다. 조건 세 개가 모두 검증됐다. 어느 경우인지 판정하지 않았지만, **어느 경우든 증인은 존재한다**. $\blacksquare$ (무리수 지수에 대한 지수법칙 $(x^y)^z = x^{yz}$는 지금은 증명 없이 인정하고 쓴다 — 실수 지수의 정의 자체가 45주차 이후 해석학의 주제다.) **관찰.** 증명이 끝났는데도 증인이 $(\sqrt2, \sqrt2)$인지 $(\sqrt2^{\sqrt2}, \sqrt2)$인지는 알 수 없다. 그래도 존재는 확정됐다 — 이것이 비구성적 증명이다. 17주차의 경우 나누기가 존재 증명과 결합하면 이런 일이 가능해진다. ### 예제 2.3 — 존재 + 유일: 2단 서식 **명제.** 짝수인 소수는 유일하게 존재한다. 이번에는 설계부터 스스로 해 보자. §1.1에서 막혔던 그 명제다. :::{container} quotebox **확인 17.** 이 명제를 $\exists!$로 읽고, 증명해야 할 두 의무를 각각 한 줄로 적어 보자. 유일 파트의 첫 문장까지 적어 본다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $\exists!\, p$, "$p$는 짝수이고 소수이다". (존재) 짝수이면서 소수인 수를 하나 제시하고, 조건 두 개(짝수, 소수)를 각각 검증한다. (유일) 첫 문장은 "$p$를 짝수인 소수라 하자" — 조건을 만족하는 아무 대상 하나를 문자로 잡고 $p = 2$를 유도한다. ::: **증명.** (존재) 2는 짝수이고, 양의 약수가 1과 2뿐이므로 소수이다. 증인 완성. (유일) $p$를 짝수인 소수라 하자. 짝수이므로 $2 \mid p$이다. $p$는 소수이므로 양의 약수가 1과 $p$뿐인데, $2$는 $p$의 양의 약수이고 $2 \neq 1$이므로 $2 = p$일 수밖에 없다. 따라서 짝수인 소수는 2 하나뿐이다. $\blacksquare$ 이 증명은 표 없이 산문으로 적었다. 표는 연습 단계의 장치이고, 실전의 증명은 처음부터 끝까지 이런 산문이다. **유일 파트의 꼴에 대하여.** 위 증명은 $p_1, p_2$ 둘을 잡는 대신 "$p$를 잡아 기준 증인 2와 같음을 보이는" 꼴이다. 이것도 정의 26.3의 틀이다 — $x_1$ 자리에 $p$를, $x_2$ 자리에 이미 확보한 증인 2를 놓았다고 읽으면 된다. 증인이 이미 손에 있을 때는 이 꼴이 짧다. 22주차 문제 8($p > 2$인 소수는 홀수)과 같은 논증을 유일성 쪽으로 다시 포장한 것이다. ### 관찰 — 세 예제의 같은 뼈대 예제 2.1, 2.2, 2.3은 소재도 논법도 다르지만 존재 파트의 칸은 셋 다 같고, 유일 파트 칸은 $\exists!$ 명제에서만 열린다. 대응표의 빈칸을 채워 보자. :::{container} quotebox **확인 18.** 같은 물음을 세 예제에 각각 던져 칸을 채워 보자. ① 증인(또는 제작식)은 무엇인가: 2.1 $\underline{\qquad}$ / 2.2 $\underline{\qquad}$ / 2.3 $\underline{\qquad}$ ② 검증한 조건은 몇 개이고 무엇인가: 2.1 $\underline{\qquad}$ / 2.2 $\underline{\qquad}$ / 2.3 $\underline{\qquad}$ ③ 유일 파트가 있는가: 2.1 $\underline{\qquad}$ / 2.2 $\underline{\qquad}$ / 2.3 $\underline{\qquad}$ ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ① 2.1 — 제작식 $N = 1001!$과 수 $N+2, \dots, N+1001$. 2.2 — 경우 1에서는 $(\sqrt2, \sqrt2)$, 경우 2에서는 $(\sqrt2^{\sqrt2}, \sqrt2)$. 2.3 — 상수 $2$. ② 2.1 — 각 $k$마다 세 건: 분해 $N+k = km$의 존재, $1 < k < N+k$, $1 < m < N+k$. 2.2 — 세 개: $a$가 무리수, $b$가 무리수, $a^b$가 유리수. 2.3 — 두 개: "2는 짝수이다", "2는 소수이다". ③ 2.1 없음 / 2.2 없음 / 2.3 있음. ①②는 세 예제에 **공통**으로 열리는 칸이다 — 소재가 달라도 증인과 검증 건수를 묻는 물음은 같다. ③은 명제가 $\exists!$일 때만 열리는 칸이고, 예제 2.1과 2.2의 명제는 존재만 주장하므로 비어 있다. ::: 방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **존재$\cdot$유일 2단 서식** (존재) 증인을 제시하고 조건을 **전부** 검증한다 $\to$ (유일) 조건을 만족하는 것을 $x_1, x_2$라 가정하고 $x_1 = x_2$를 유도한다 $\to$ 두 파트가 끝났음을 선언한다. ::: 이 서식은 40주차 이후 함수 이론에서 계속 쓰인다 — 함수의 정의 자체가 "모든 입력에 출력이 유일하게 존재한다"이기 때문이다. ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6 해설에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다. ### 훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸 **명제.** 방정식 $5x + 3 = 18$의 실수 해는 유일하게 존재한다. **증명.** (존재) $x = \underline{\quad(1)\quad}$을 증인으로 제시한다. 검증: $5 \cdot \underline{\quad(1)\quad} + 3 = \underline{\quad(2)\quad}$ ✓, 그리고 $\underline{\quad(1)\quad}$은 실수 ✓. (유일) $x_1, x_2$가 모두 해라고 가정하자. 그러면 $5x_1 + 3 = 18 = 5x_2 + 3$이므로 양변에서 3을 빼면 $\underline{\quad(3)\quad}$, 양변을 $\underline{\quad(4)\quad}$로 나누면 $x_1 = x_2$. 따라서 해는 유일하다. $\blacksquare$ ### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께 이번에는 근거 문장도 빈칸이다. **명제.** 모든 실수 $y$에 대해 $x + y = y$가 성립하는 실수 $x$가 유일하게 존재한다. **증명.** (존재) $x = \underline{\quad(1)\quad}$을 증인으로 제시한다. 검증: 임의의 실수 $y$에 대해 $\underline{\quad(1)\quad} + y = y$이다 ✓, 그리고 $\underline{\quad(1)\quad}$은 실수 ✓. (조건이 "모든 $y$"이므로 특정 $y$ 하나를 대입하는 것으로는 검증이 끝나지 않는다 — 문자 $y$ 그대로 확인한다.) (유일) $x_1, x_2$가 모두 조건을 만족한다고 가정하자. $x_1$의 조건에 $y = \underline{\quad(2)\quad}$을 대입하면 $x_1 + 1 = 1$, 즉 $x_1 = \underline{\quad(3)\quad}$. 같은 대입을 $x_2$의 조건에 하면 $x_2 = \underline{\quad(3)\quad}$. 따라서 $x_1 = x_2$이다. 이 마지막 단계의 근거는 $\underline{\quad(4)\quad}$이다. $\blacksquare$ ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 이번에는 2단 서식의 각 칸을 통째로 채운다. **명제.** $m + n = 7$이고 $m - n = 3$인 정수 쌍 $(m, n)$이 유일하게 존재한다. **증명의 뼈대.** - ① 존재 파트(증인 제시와 전 조건 검증): $\underline{\quad(1)\quad}$ - ② 유일 파트(둘 가정과 결합): $\underline{\quad(2)\quad}$ - ③ 마무리 선언: $\underline{\quad(3)\quad}$ (유일 파트에서는 두 쌍 $(m_1, n_1)$, $(m_2, n_2)$를 가정하고, 각 쌍이 만족하는 두 등식을 더하거나 빼서 성분을 강제한다. 이 훈련이 문제 2(a)와 문제 13의 예행연습이다.) ## 연습문제 (20문항) 해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 존재 증명은 "증인 + 전 조건 검증", 유일성은 "둘 가정 $\to$ 같음"의 서식으로 쓴다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 **근거**가 점수다. "증인은 $x = 3$이다(맞음)"는 절반이고, "$x = 3$이고 $5 \cdot 3 + 3 = 18$이므로 조건을 만족한다"가 만점이다. $\exists!$ 문제에서는 채점 칸이 두 개다 — 존재 파트와 유일 파트가 각각 독립으로 채점되고, 한쪽이 비면 다른 쪽 점수가 이를 메우지 않는다. 난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** [백지] (a) 구성적 존재 증명의 서식 (b) 유일성 증명의 표준 틀 (c) $\exists!$의 뜻(2단 의무)을 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 통째로 외운 문장이 떠오르지 않으면 해부 표(§1.3, §1.5)의 조각 이름부터 적는다 — "증인 지정 / 검증 / 전부", "둘 가정 / 결합 / 같음". 조각에서 문장을 재구성하는 것이 백지 암기의 요령이다. ::: **2.** 다음 존재 명제의 증인을 제시하고 검증하시오. (a) 합이 100이고 차가 8인 두 실수가 존재한다. (b) $x^2 = x$인 0이 아닌 실수가 존재한다. (c) 세 연속 정수의 합이 201인 경우가 존재한다. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 각 항에서 먼저 셀 것은 **조건의 개수**다. (a)는 합과 차로 두 개, (b)는 $x^2 = x$와 $x \neq 0$으로 두 개, (c)는 연속과 합으로 두 개. 검증 줄도 그 개수만큼 나와야 한다. 증인 제작은 (a)(c)에서는 조건을 방정식으로 풀어 역산하고, (b)에서는 후보를 대입해 맞힌다. ::: **3.** 두 무리수의 곱이 유리수인 예가 존재함을 보이시오 (증인 + 검증). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 검증할 조건은 세 개다 — 첫째 수가 무리수, 둘째 수가 무리수, 곱이 유리수. 21주차에서 무리수임을 이미 증명한 수가 하나 있다. 그 수를 자기 자신과 곱하면 곱이 무엇이 되는가. ::: **4.** 빈칸 훈련을 백지에서 완성하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown §3의 훈련 1~3을 문제지를 덮고 처음부터 적는다. 훈련 3은 빈칸이 아니라 문단 전체를 쓰는 것이므로, 2단 서식의 두 문단 제목 "(존재)"와 "(유일)"부터 적어 놓고 안을 채운다. ::: **5.** 다음 주장의 빈틈을 지적하시오: "방정식 $x^2 = 2$의 양의 실수 해는 많아야 하나다. 왜냐하면 $x_1^2 = 2 = x_2^2$이면 $x_1 = x_2$이기 때문이다($x_1, x_2 > 0$, 19주차 문제 17). 따라서 $\sqrt2$라는 수가 존재한다." :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 이 논증이 실제로 **증명한 것**과 마지막 줄이 **주장한 것**을 각각 한 낱말로 적어 나란히 놓는다. 확인 7에서 본 한 쌍이 그대로 재등장한다. ::: **6.** 예제 2.3(짝수 소수의 유일 존재)을 백지에 재현하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 유일 파트의 첫 문장은 "$p$를 짝수인 소수라 하자"다. 그 다음 두 줄에서 각각 짝수의 정의와 소수의 정의를 풀어 쓰면 $2$가 $p$의 양의 약수라는 사실이 손에 들어온다. 소수의 정의가 양의 약수를 몇 개로 제한하는지가 마지막 열쇠다. ::: ### 표준 ●●○ **7.** 임의의 유리수 $r$에 대해, $r + s = r$을 만족하는 유리수 $s$가 유일하게 존재함을 증명하시오 (존재 + 유일 2단). **8.** 모든 실수 $y$에 대해 $xy = y$가 성립하는 실수 $x$가 유일하게 존재함을 증명하시오. (10주차 문제 14(b)$\cdot$18의 완성판) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 존재 파트에서 "모든 $y$"를 검증하려면 특정 $y$가 아니라 문자 $y$ 그대로 계산해야 한다. 유일 파트는 반대다 — $x_1, x_2$의 조건이 "모든 $y$"에 대해 성립하므로, **잘 고른 $y$ 하나**를 대입할 권리가 있다. 어떤 $y$를 넣으면 $x_1$의 값이 곧바로 강제되는가. ::: **9.** 연속한 다섯 개의 자연수가 전부 합성수인 구간이 존재함을, 예제 2.1의 방법으로 (a) $6!$을 이용해 증인을 제시$\cdot$검증하고 (b) 사실은 더 작은 증인 $24, 25, 26, 27, 28$도 조건을 만족함을 검증하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)는 예제 2.1에서 1001을 6으로, 1000을 5로 바꾼 것이다 — $k$의 범위와 증인의 시작점이 함께 바뀐다. (b)는 팩토리얼과 무관하게 다섯 수의 분해 $n = ab$를 직접 하나씩 적고, 두 인수가 모두 $1 < a, b < n$임을 확인하면 된다. ::: :::{admonition} 이 묶음(문제 10$\cdot$11$\cdot$17)이 쓰는 도구 — 인수쌍 강제 :class: quotebox $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$로 인수분해하면 오른쪽은 두 정수의 곱이다. 곱이 특정 정수 $n$이 되는 정수 쌍은 $n$의 약수쌍뿐이므로 후보가 유한 개로 좁혀지고, 여기에 $0 \le a - b \le a + b$를 더하면 어느 인수가 어느 쪽인지가 강제된다. 존재를 보일 때는 인수쌍 하나를 골라 증인을 만들고, 유일성을 보일 때는 인수쌍이 하나뿐임을 보인다 — 같은 인수분해가 두 의무에 각각 쓰인다. ::: **10.** 홀수 $n \ge 3$에 대해, $n$을 두 제곱수의 차 $a^2 - b^2$ ($a, b$는 음이 아닌 정수)으로 나타내는 방법이 **존재**함을 보이시오 (15주차 문제 14의 증인 재사용). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 15주차 문제 14에서 계산한 것은 $(k+1)^2 - k^2$이다. 이 값을 전개하면 무엇이 나오는가. 홀수 $n$을 정의 꼴 $n = 2k+1$로 적어 두 식을 나란히 놓으면 증인 $a, b$가 곧바로 읽힌다. ::: **11.** $n = 7$에 대해, 문제 10의 표현이 **유일**함을 증명하시오. (힌트: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = 7$이고 7은 소수 — 두 인수가 무엇일 수밖에 없는가? $0 \le a - b \le a + b$ 관찰 포함) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 7의 양의 약수는 1과 7뿐이다(소수의 정의). 따라서 $(a-b)(a+b) = 7$인 양의 정수 인수쌍은 하나뿐이고, 부등식 $a - b \le a + b$가 둘 중 어느 쪽이 1인지까지 정한다. 두 값이 정해지면 연립방정식이 남는다. ::: :::{admonition} 이 문제(12)가 쓰는 도구 — 기증명 존재 정리의 인용 :class: quotebox 새 존재 명제를 처음부터 세우지 않고, 이미 증명된 존재 정리를 **부품으로 불러 쓰는** 방식이 이번에 처음 나온다(근거 ④). 15주차 문제 17("두 유리수 사이에는 유리수가 존재한다")이 그 부품이다. 이 정리는 이미 증명되었으므로 다시 증명하지 않고 이름으로 인용한다. 여기에 귀류법을 결합하면 "하나 존재"가 "무한히 존재"로 증폭된다 — 21주차 소수 무한 증명과 같은 리듬이다. ::: **12.** 두 유리수 사이에는 유리수가 존재한다(15주차 문제 17). 이를 인용하여, 두 유리수 사이에는 유리수가 **무한히 많이** 존재함을 논증하시오. (힌트: 유한 개라고 가정하면 — 그중 가장 왼쪽 둘 사이에?) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown "무한히 많다"의 부정은 "유한 개다"이므로, 개수를 $m$개로 놓고 크기순으로 줄을 세운다. 그 줄에 하나를 더 끼워 넣을 자리를 찾으면 $m$개라는 가정이 깨진다. 끼워 넣을 자리는 구간 $(a, b)$ 바깥이 아니라 $a$와 목록의 왼쪽 끝 $c_1$ **사이**다 — $c_1$보다 왼쪽이되 $a$보다는 오른쪽인 자리다. ::: **13.** $\exists!\, x \in \mathbb{R},\ 3x - 12 = 0$을 증명하시오 (2단 서식 연습). **14.** 다음 명제를 증명하시오: 임의의 실수 $x$에 대해, $x + y = 0$을 만족하는 실수 $y$가 유일하게 존재한다. (덧셈 역원의 유일 존재 — 존재는 증인 제작, 유일은 둘 가정) ### 도전 ●●● **15.** 예제 2.2(무리수의 무리수 거듭제곱)를 백지에 재현하고, 이 증명이 "구성적이지 않다"는 것이 무슨 뜻인지 한 문장으로 덧붙이시오. **16.** 예제 2.1을 일반화하여 증명하시오: 임의의 자연수 $n$에 대해, 연속한 $n$개의 합성수가 존재한다. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 예제 2.1에서 1000이 있던 자리에 $n$을, 1001이 있던 자리에 $n+1$을 넣는다. 증인은 $N = (n+1)!$에 대해 $N+2$부터 $N+(n+1)$까지이고, 그 개수가 정확히 $n$개인지 세어 확인한다. 다른 줄은 한 글자도 바뀌지 않는다. ::: **17.** (존재하지만 유일하지 않음) $n = 15$를 두 제곱수의 차로 나타내는 방법이 **두 가지 이상** 존재함을 보이시오. (증인 두 벌 — $(a-b)(a+b) = 15$의 인수분해 $1 \times 15$와 $3 \times 5$에서 제작) 이 결과가 문제 11과 어떻게 대비되는지 한 문장으로. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 인수쌍 하나마다 연립방정식 $a - b = (\text{작은 쪽})$, $a + b = (\text{큰 쪽})$이 하나씩 생긴다. 두 식을 더하면 $a$가, 빼면 $b$가 나온다. 증인이 두 벌이므로 검증도 두 번 한다. 마지막 한 문장은 "인수쌍이 몇 개인가"를 7과 15에 대해 비교하면 나온다. ::: **18.** (유일성 없는 존재, 존재 없는 유일성) 다음 두 명제에 대해 각각 "존재 파트"와 "유일 파트"의 성립 여부를 판정하시오. (a) "$x^2 = -1$인 실수 $x$는 유일하다면 유일하다(있다면 하나뿐이다)." — 유일 파트만 보면 참인가? 존재는? (b) "$x^2 = 4$인 실수 $x$가 존재한다." — 존재는? 유일은? 이로부터 "$\exists!$ 증명에서 두 의무가 독립"인 이유를 정리하시오. :::{admonition} 이 문제(19)가 쓰는 도구 — 비둘기집 원리 :class: quotebox "$n$종류의 상자에 $n+1$개를 넣으면 두 개가 든 상자가 존재한다"는 원리를 **비둘기집 원리**(pigeonhole principle)라 한다. 이번 주에는 이름만 알아 두고, 논증은 귀류법으로 직접 쓴다 — "두 개가 든 상자가 없다"를 가정하면 각 상자에 많아야 하나씩이므로 총 개수가 $n$을 넘지 못한다는 모순이다. 이 원리의 일반형과 함수 언어로의 번역은 41주차 문제 14에서 다룬다. ::: **19.** (비구성적 존재의 다른 예) 서랍에 세 가지 색의 양말이 섞여 있다. 눈을 감고 4짝을 꺼내면 같은 색 한 쌍이 반드시 존재함을 증명하시오. (힌트: 같은 색 쌍이 없다고 가정하면 각 색은 많아야 1짝 — 세 색이면 최대 몇 짝? 22주차 문제 13의 평균 논증과 같은 과: 비둘기집 원리) **20.** (서술) (a) "있다면 하나뿐"(유일)과 "하나 있다"(존재)가 서로를 함의하지 않는 이유를 문제 18의 예로 두 문장 이내로. (b) 비구성적 증명의 장단점을 한 가지씩 쓰시오. ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다. **1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용.** 2단 서식(§2 관찰)과 근거 목록(§1.7)만 펴 놓고, 예제 2.1과 예제 2.3을 처음부터 끝까지 적는다. 정의와 본문은 보지 않는다. **2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다. - [ ] 구성적 존재 증명의 서식(정의 26.1)을 조각 그대로 썼다 — "전부"까지 포함해서. - [ ] 유일성 증명의 표준 틀(정의 26.3)을 썼고, "$x_1 \neq x_2$"를 가정하지 않는 이유를 한 문장으로 답했다. - [ ] $\exists!$의 2단 의무를 쓰고, 각 의무를 빠뜨렸을 때 무엇이 남는지 예로 설명했다. - [ ] 예제 2.1(합성수 구간)의 제작 원리($k \mid N$이고 $k \mid k$이므로 $k \mid N+k$)를 재현하고, 분해 $N+k = km$과 부등식 두 줄($1 < k < N+k$, $1 < m < N+k$)까지 적었다. - [ ] 예제 2.2($\sqrt2^{\sqrt2}$)를 두 경우로 재현하고 "비구성적"의 뜻을 설명했다. - [ ] 예제 2.3(짝수 소수)의 유일 파트를 백지에 처음부터 끝까지 적었다. - [ ] 비둘기집 논증(문제 19)을 귀류법으로 재현했다. **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | 증인은 떠오르는데 그 뒤가 나오지 않는다 | §1.3 해부 표 — 검증이 본체이고, 조건 개수만큼 검증 줄이 나와야 한다 | | 유일성의 첫 문장이 나오지 않는다 | §1.5 표 — 세 행 모두 "둘을 가정하면"으로 시작한다 | | 둘을 가정한 뒤 결합이 되지 않는다 | 훈련 1$\cdot$2 — 두 등식을 등호로 이어 붙이고 같은 항을 소거한다 | | 존재는 썼는데 유일을 빠뜨린다 | §1.6 2단 의무 표 — 빠뜨렸을 때 무엇이 남는지 다시 읽는다 | | 비구성적 증명이 왜 증명인지 납득되지 않는다 | §1.4와 예제 2.2 — 두 경우가 전체를 덮으면 결론은 어느 쪽에서든 나온다 | | "$k$로 나누어떨어진다"에서 합성수로 넘어가지 못한다 | 예제 2.1의 3단계 — 나누어떨어짐에서 분해 $N+k = km$을 만들고, $k$와 $m$이 **각각** 가운데 범위에 있음을 확인한다(정의 15.3) | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 준비 운동 1. iff 증명의 서식(25주차): "($\Rightarrow$) $P$라 가정하자. … 따라서 $Q$이다. ($\Leftarrow$) $Q$라 가정하자. … 따라서 $P$이다. 양방향이 증명되었으므로 $P \iff Q$이다." 각 방향은 독립된 조건문이므로 방향마다 직접$\cdot$대우$\cdot$귀류를 따로 고를 수 있다. 1. 증인 하나를 제시하고, 그 증인이 $S$의 원소임과 $P$를 만족함을 검증한다 (10주차 비대칭 표의 $\exists$ 참 칸 — 하나로 끝나는 칸이다). 1. 증인은 $x = 0$이고, 유일성은 "$x_1, x_2$가 모두 만능이라 하자 $\to$ 각각의 조건에 $y = 1$을 대입하면 $x_1 + 1 = 1$, $x_2 + 1 = 1$ $\to$ $x_1 = 0 = x_2$"로 보였다. 조건이 "모든 $y$"이므로 유리한 $y$를 골라 대입할 권리가 있다는 것이 요점이다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) $3$ (2) $18$ (3) $5x_1 = 5x_2$ (4) $5$ ※ 조건이 두 개(등식 + 무대)이므로 검증도 두 줄이다 — 문제 13 풀이와 같은 기준이다. ※ (4)에서 나눌 수 있는 이유는 $5 \neq 0$이기 때문이다. 0으로 나누는 단계가 끼면 유일성 논증이 무너진다 — 계수가 0일 수 있는 문제에서는 경우를 나눠야 한다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) $0$ (2) $1$ (3) $0$ (4) 등식의 성질 — 같은 값과 같은 것은 서로 같다, 곧 추이성 (근거 ③) ※ 조건이 두 개(등식 + 무대)이므로 검증도 두 줄이다 — 문제 13 풀이와 같은 기준이다. ※ 존재 파트에서는 $y$를 문자 그대로 두고 검증하고, 유일 파트에서는 $y = 1$을 대입한다. 같은 조건이 방향에 따라 다르게 쓰인다 — 가정 쪽의 "모든"은 유리한 값을 골라 쓸 권리이고, 목표 쪽의 "모든"은 전원을 처리할 의무다. 문제 8이 곱셈 판으로 같은 것을 묻는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) (존재) $(m, n) = (5, 2)$를 증인으로 제시한다. 검증: $5 + 2 = 7$ ✓, $5 - 2 = 3$ ✓, 그리고 $5$와 $2$는 정수 ✓. (조건이 세 개이므로 검증도 세 줄이다.) (2) (유일) $(m_1, n_1)$과 $(m_2, n_2)$가 모두 조건을 만족한다고 가정하자. 각각에 대해 $m_i + n_i = 7$, $m_i - n_i = 3$이다. 두 식을 더하면 $2m_i = 10$이므로 $m_1 = m_2 = 5$이고, 빼면 $2n_i = 4$이므로 $n_1 = n_2 = 2$이다. (3) 따라서 $(m_1, n_1) = (m_2, n_2)$이므로 조건을 만족하는 정수 쌍은 유일하게 존재한다. $\blacksquare$ ※ 미지수가 둘이면 유일성도 성분마다 확인한다. 한 성분만 같음을 보이고 끝내면 나머지 성분에서 두 쌍이 갈릴 여지가 남는다. ### 문제 1 **접근.** 세 서식이 이번 주 전체의 골격이다. 문장을 통째로 외워 적으려다 막히면 해부 표의 조각 이름부터 적고 그 역할에서 문장을 복원한다 — 존재 쪽은 "증인 지정 / 검증 / 전부", 유일 쪽은 "둘 가정 / 결합 / 같음"이다. **풀이.** (a) **구성적 존재 증명의 서식.** "명제. $\exists x,\ P(x)$. 증명. $x = (\text{구체적 대상 또는 제작식})$을 생각하자. (검증) 이 $x$가 $P$의 조건을 **전부** 만족함을 확인한다. $\blacksquare$" 증인 제시는 한 줄이고 검증이 본체다. 조건이 $k$개면 검증도 $k$건이다. (b) **유일성 증명의 표준 틀.** "$x_1$과 $x_2$가 모두 $P$를 만족한다고 가정하자. (두 조건을 결합한다.) 따라서 $x_1 = x_2$이다. $\blacksquare$" 서로 다르다고 가정하지 않는 것, 조건을 두 번 발동해 등식 두 개를 확보하는 것이 요점이다. (c) **$\exists!$의 뜻.** $\exists!\, x,\ P(x)$는 "$P(x)$인 $x$가 존재한다" 그리고 "그런 $x$는 유일하다"의 두 주장이다. 증명은 (존재) 문단과 (유일) 문단으로 쓰며, 존재만 쓰면 증인이 여럿일 가능성이 남고, 유일만 쓰면 조건을 만족하는 것이 0개여도 참인 공허한 진술만 남는다. **복기.** 서식을 외우는 목적은 백지에서 첫 문장이 나오게 하는 것이다. 존재 명제를 보면 "$x = $"부터, 유일성 주장을 보면 "$x_1$과 $x_2$가 모두"부터 손이 움직이면 이 문제의 목적은 달성된 것이다. ### 문제 2 **접근.** 세 항 모두 존재 명제이므로 증인 제시 + 조건 전부 검증이다. 시작 전에 조건의 개수를 센다 — (a) 합과 차로 두 개, (b) $x^2 = x$와 $x \neq 0$으로 두 개, (c) 연속과 합으로 두 개. 증인 제작은 (a)(c)에서는 조건을 방정식으로 세워 역산하고, (b)에서는 후보를 대입해 맞힌다. **풀이.** (a) 두 실수를 $x, y$라 하면 조건은 $x + y = 100$, $x - y = 8$이다. 두 식을 더하면 $2x = 108$이므로 $x = 54$, 빼면 $2y = 92$이므로 $y = 46$이다. 증인: $54$와 $46$. 검증: $54 + 46 = 100$ ✓, $54 - 46 = 8$ ✓. 조건 두 개가 모두 확인됐다. (b) 증인: $x = 1$. 검증: $1^2 = 1$ ✓, $1 \neq 0$ ✓. ($x = 0$도 $x^2 = x$를 만족하지만 둘째 조건에서 탈락한다 — 조건을 전부 확인해야 하는 이유가 바로 이 자리에 있다.) (c) 연속한 세 정수를 $n-1, n, n+1$이라 하면 합은 $(n-1) + n + (n+1) = 3n$이다. $3n = 201$에서 $n = 67$. 증인: $66, 67, 68$. 검증: 세 수가 연속 ✓, $66 + 67 + 68 = 201$ ✓. **복기.** 증인 제작에는 두 길이 있다 — 조건을 방정식으로 세워 **역산**하거나, 후보를 **대입**해 맞히거나. 역산은 조건이 등식으로 깔끔할 때, 대입은 후보가 몇 개뿐일 때 빠르다. (검산: (a) $54 + 46 = 100$, $54 - 46 = 8$ ✓.) ### 문제 3 **접근.** 검증할 조건은 세 개다 — 첫째 수가 무리수, 둘째 수가 무리수, 곱이 유리수. 곱이 유리수가 되게 하는 가장 짧은 길은 같은 무리수를 두 번 쓰는 것이다. 무리수임이 이미 증명된 수를 21주차에서 가져온다. **풀이.** 증인: $\sqrt2$와 $\sqrt2$. 검증 세 건 — ① $\sqrt2$는 무리수이다(21주차에서 귀류법으로 증명했다). ② 둘째 수도 $\sqrt2$이므로 무리수이다. ③ 곱은 $\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2 = \frac{2}{1}$이고, 이는 두 정수의 비이므로 유리수이다. 따라서 두 무리수의 곱이 유리수인 예가 존재한다. $\blacksquare$ **복기.** "서로 다른 두 무리수"라는 요구가 없으므로 같은 수를 두 번 써도 된다 — 문제가 요구하지 않은 조건을 스스로 얹으면 증인 찾기가 어려워진다. 다른 증인도 정답이다: $\sqrt2 \cdot \sqrt8 = \sqrt{16} = 4$ (단 $\sqrt8 = 2\sqrt2$의 무리수성은 21주차 문제 8로 확인한다). (검산: $\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2$ ✓.) ### 문제 4 **접근.** 훈련 1은 수식만, 훈련 2는 근거 문장까지, 훈련 3은 문단 전체를 쓴다. 백지 재현에서는 빈칸을 채우는 것이 아니라 문제만 보고 증명 전체를 적는 것이므로, 2단 서식의 두 문단 제목 "(존재)"와 "(유일)"부터 적어 놓고 안을 채운다. **풀이.** 훈련별 답은 위의 "빈칸 사다리 — 훈련 1/2/3" 항목에 있다. 자가 채점 기준은 세 가지다. ① 존재 문단에 증인 제시와 검증이 **둘 다** 있는가 — 증인만 적고 대입 계산을 빠뜨리는 것이 가장 흔한 누락이다. ② 유일 문단이 "둘을 가정하자"로 시작하는가 — "다른 해는 없다"는 선언만 적었다면 논증이 없는 것이다. ③ 결합 단계의 근거를 말할 수 있는가 — 훈련 1은 양변 소거와 0이 아닌 수로 나누기, 훈련 2는 유리한 값의 대입, 훈련 3은 연립의 가감이다. **복기.** 사다리의 세 단은 지지대의 양만 다르고 뼈대는 하나다. 훈련 3에서 막혔다면 훈련 1의 두 문단 제목을 종이에 먼저 적고 시작한다. ### 문제 5 **접근.** 이 논증이 실제로 **증명한 것**과 마지막 줄이 **주장한 것**을 각각 한 낱말로 적어 나란히 놓는다. 앞은 유일성이고 뒤는 존재다. 확인 7에서 본 한 쌍이 그대로 재등장한다. **풀이.** 논증은 "$x_1^2 = 2 = x_2^2$이고 $x_1, x_2 > 0$이면 $x_1 = x_2$"를 보였다 — 이것은 **유일성**("있다면 하나뿐")이다. 그런데 마지막 줄은 "$\sqrt2$라는 수가 존재한다"라는 **존재**를 주장한다. 유일성은 존재를 함의하지 않으므로 이 도약이 빈틈이다. 실제로 조건을 만족하는 것이 0개여도 유일성 진술은 공허하게 참이다 (4주차 §1.4). 예를 들어 같은 논증을 $x^2 = -1$에 적용하면 유일성은 성립하지만 존재는 거짓이다(문제 18(a)). **복기.** "$x^2 = 2$인 양의 실수가 존재한다"는 참이지만, 그 증명에는 실수의 완비성이라는 별개의 성질이 필요하다 — 지금은 증명 없이 인정하고 쓴다 (45주차 이후 해석학에서 다룬다). 참인 결론에 도달했다는 사실이 논증의 정당성을 보장하지 않는다는 것이 이 문제의 요점이다. ### 문제 6 **접근.** 존재 파트는 증인 2에 대해 조건 두 개(짝수, 소수)를 각각 검증한다. 유일 파트는 "$p$를 짝수인 소수라 하자"로 시작해 짝수의 정의와 소수의 정의를 차례로 풀면 $2$가 $p$의 양의 약수라는 사실이 손에 들어오고, 소수의 정의가 양의 약수를 1과 $p$로 제한하는 것이 마지막 열쇠다. **풀이.** (존재) 2는 짝수이다 — $2 = 2 \times 1$이고 $1$은 정수이므로 짝수의 정의를 만족한다. 또한 2의 양의 약수는 1과 2뿐이므로 2는 소수이다. 조건 두 개가 검증됐다. (유일) $p$를 짝수인 소수라 하자. $p$가 짝수이므로 $p = 2k$인 정수 $k$가 존재하고, 따라서 $2 \mid p$이다. 한편 $p$는 소수이므로 $p$의 양의 약수는 1과 $p$뿐이다. $2$는 $p$의 양의 약수인데 $2 \neq 1$이므로 $2 = p$일 수밖에 없다. 따라서 조건을 만족하는 수는 2 하나뿐이다. $\blacksquare$ **복기.** 유일 파트가 $p_1, p_2$ 대신 $p$ 하나와 기준 증인 2를 비교하는 꼴이다. 증인이 이미 손에 있는 $\exists!$ 문제에서는 이 꼴이 짧다 — $x_2$ 자리에 증인을 놓았다고 읽으면 정의 26.3의 틀 그대로다. ### 문제 7 **접근.** $\exists!$ 문제이므로 두 문단이다. 존재 파트에서 증인 후보는 "더해도 바뀌지 않게 하는 수"이므로 0이고, 조건이 두 개("$r + s = r$"과 "$s$가 유리수")임에 주의한다. 유일 파트는 $r + s_1 = r = r + s_2$에서 양변의 $r$을 소거한다. **풀이.** (존재) $s = 0$을 증인으로 제시한다. 검증 두 건 — ① $r + 0 = r$이므로 조건식을 만족한다 ✓ ② $0 = \frac{0}{1}$은 두 정수의 비이므로 유리수이다 ✓. (유일) $s_1, s_2$가 모두 조건을 만족한다고 가정하자. 그러면 $r + s_1 = r$이고 $r + s_2 = r$이므로 $r + s_1 = r + s_2$이다. 양변에 $-r$을 더하면 $s_1 = s_2$이다(근거 ③). 따라서 조건을 만족하는 유리수 $s$는 유일하게 존재한다. $\blacksquare$ **복기.** 증인이 0이나 1처럼 익숙한 수일 때 검증을 생략하기 쉽다. 조건이 두 개라면 익숙한 수여도 두 건을 적는다 — 이 문제에서는 "$0$이 유리수"라는 둘째 검증이 실제로 빠지는 경우가 많다. (검산: $r = \frac{3}{5}$이면 $\frac{3}{5} + 0 = \frac{3}{5}$ ✓.) ### 문제 8 **접근.** 존재 파트의 조건이 "모든 $y$에 대해"이므로 특정 $y$가 아니라 문자 $y$ 그대로 검증해야 한다. 유일 파트는 반대다 — $x_1, x_2$의 조건이 모든 $y$에 대해 성립하므로 **잘 고른 $y$ 하나**를 대입할 권리가 있고, $y = 1$을 넣으면 $x_1$의 값이 곧바로 강제된다. **풀이.** (존재) $x = 1$을 증인으로 제시한다. 검증: 임의의 실수 $y$에 대해 $1 \cdot y = y$이므로 조건이 성립한다 ✓. ($y$를 문자 그대로 두고 확인했으므로 "모든 $y$"가 처리됐다.) (유일) $x_1, x_2$가 모두 조건을 만족한다고 가정하자. 즉 모든 실수 $y$에 대해 $x_1 y = y$이고 $x_2 y = y$이다. $x_1$의 조건에 $y = 1$을 대입하면 $x_1 \cdot 1 = 1$이므로 $x_1 = 1$이다. 같은 대입을 $x_2$의 조건에 하면 $x_2 = 1$이다. 따라서 $x_1 = x_2$이다. 존재와 유일이 모두 보였으므로 조건을 만족하는 실수 $x$는 유일하게 존재한다. $\blacksquare$ **복기.** "모든 $y$"라는 조건은 방향에 따라 정반대로 쓰인다 — 목표 쪽에 있으면 전원을 처리할 의무이고, 가정 쪽에 있으면 유리한 값을 골라 쓸 권리다. 10주차 문제 18(덧셈 판)과 훈련 2가 같은 구조이며, 이 요령은 40주차 이후 함수의 항등원 논증에서 계속 재사용된다. (검산: $x = 1$일 때 $y = 7$이면 $1 \cdot 7 = 7$ ✓.) ### 문제 9 **접근.** (a)는 예제 2.1에서 1001을 6으로, 1000을 5로 바꾼 것이다 — $k$의 범위와 증인의 시작점이 함께 바뀐다. (b)는 팩토리얼과 무관하게 다섯 수의 분해를 직접 하나씩 적고, 두 인수가 모두 가운데 범위에 있음을 확인하면 된다 — 정의 15.3이 요구하는 것은 약수 하나가 아니라 분해와 두 부등식이다. **풀이.** (a) $N = 6! = 720$이라 하고, 증인으로 $722, 723, 724, 725, 726$을 제시한다. $2 \le k \le 6$인 각 $k$에 대해 $k \mid 720$이고($720$이 $k$를 인수로 포함하므로) $k \mid k$이므로, 배수의 합(2주차 예제 2.2)에 의해 $k \mid (720 + k)$이다. 분해를 실제로 적으면 $720 = k\ell$인 정수 $\ell$이 있고 $720 + k = k(\ell + 1)$이므로, $m = \ell + 1$이라 하면 $720 + k = km$이다. $720 > 0$이므로 $\ell \ge 1$, 즉 $m \ge 2 > 1$이고 $k \ge 2$이므로 $m = (720+k)/k < 720 + k$이다. 또한 $1 < k < 720 + k$이다. 두 인수가 모두 가운데 범위에 있으므로 정의 15.3에 의해 $720 + k$는 합성수이다. $k$가 2부터 6까지 다섯 값을 가지므로 연속한 다섯 개의 자연수 $722, \dots, 726$이 전부 합성수이다. $\blacksquare$ (b) 다섯 수 각각에 대해 정의 15.3의 분해를 적는다 — $24 = 2 \times 12$, $25 = 5 \times 5$, $26 = 2 \times 13$, $27 = 3 \times 9$, $28 = 2 \times 14$. 각 분해에서 두 인수가 모두 가운데 범위에 있다: $1 < 2,\, 12 < 24$ ✓, $1 < 5,\, 5 < 25$ ✓, $1 < 2,\, 13 < 26$ ✓, $1 < 3,\, 9 < 27$ ✓, $1 < 2,\, 14 < 28$ ✓. 따라서 다섯 수는 전부 합성수이고, $24, 25, 26, 27, 28$은 연속한다 ✓. **복기.** 팩토리얼 증인은 존재를 보장하는 제작식일 뿐 최소가 아니다. (a)의 증인은 722부터이고 (b)의 증인은 24부터이지만, 존재 명제는 증인 하나만 요구하므로 둘 다 완전한 정답이다 — 존재 증명의 증인은 효율적일 필요가 없다. (검산: $722 = 2 \times 361$, $726 = 6 \times 121$ ✓.) ### 문제 10 **접근.** 15주차 문제 14에서 계산한 것은 $(k+1)^2 - k^2$이다. 전개하면 $k^2 + 2k + 1 - k^2 = 2k + 1$ — 홀수의 정의 꼴이 그대로 나온다. 홀수 $n$을 $n = 2k+1$로 적어 두 식을 나란히 놓으면 증인 $a, b$가 곧바로 읽힌다. **풀이.** $n$을 $3$ 이상의 홀수라 하자. 홀수의 정의에 의해 $n = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재하고, $n \ge 3$이므로 $k \ge 1$이다. 여기서 $a = k+1$, $b = k$를 증인으로 제시한다. 검증 세 건 — ① $a = k+1$은 정수이고 $k \ge 1$이므로 $a \ge 2 \ge 0$, 즉 음이 아닌 정수이다 ✓ ② $b = k$는 정수이고 $k \ge 1 \ge 0$이므로 음이 아닌 정수이다 ✓ ③ $a^2 - b^2 = (k+1)^2 - k^2 = k^2 + 2k + 1 - k^2 = 2k + 1 = n$ ✓. 따라서 표현이 존재한다. $\blacksquare$ **복기.** 목표 쪽 표현($a^2 - b^2$)을 미리 전개해 가정의 꼴($2k+1$)과 겹치는지 보는 것이 증인 찾기의 요령이다. 겹치는 순간 증인이 확정된다 — 15주차 문제 14의 복기와 같은 문장이며, 여기서 재사용됐다. (검산: $n = 7$이면 $k = 3$, $a = 4$, $b = 3$이고 $16 - 9 = 7$ ✓.) ### 문제 11 **접근.** 유일성이므로 $a, b$를 문자로 잡고 값이 강제됨을 보인다. 인수분해 $(a-b)(a+b) = 7$에서 시작하고, 7이 소수라는 사실이 양의 인수쌍을 하나로 줄인다. 어느 인수가 $a-b$이고 어느 쪽이 $a+b$인지는 부등식 $a - b \le a + b$가 정한다. **풀이.** $a^2 - b^2 = 7$인 음이 아닌 정수 $a, b$가 있다고 하자. 인수분해하면 $(a-b)(a+b) = 7$이다. $a, b \ge 0$이므로 $a + b \ge 0$이고, 곱이 양수 7이므로 $a + b \neq 0$, 즉 $a + b > 0$이다. 따라서 $a - b = \frac{7}{a+b} > 0$이다. 이제 $a-b$와 $a+b$는 곱이 7인 두 양의 정수이고, 7은 소수이므로 양의 약수가 1과 7뿐이다 — 가능한 인수쌍은 $\{1, 7\}$ 하나다. 또한 $b \ge 0$에서 $a - b \le a + b$이므로 작은 쪽이 $a-b$다. 즉 $$ a - b = 1, \qquad a + b = 7 $$ 로 강제된다. 두 식을 더하면 $2a = 8$이므로 $a = 4$이고, 빼면 $2b = 6$이므로 $b = 3$이다. 따라서 표현은 $7 = 4^2 - 3^2$ 하나뿐이다. $\blacksquare$ **복기.** "둘 가정 $\to$ 같음"의 변형으로, 조건이 값을 **강제**함을 보여 유일성을 얻었다. 강제형 유일성 증명의 뼈대는 세 걸음이다 — ① 후보 집합을 유한하게 좁힌다(여기서는 소수성) ② 부등식으로 배정을 정한다 ③ 남은 연립을 푼다. (검산: $4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$ ✓.) ### 문제 12 **접근.** "무한히 많다"의 부정은 "유한 개다"이므로 귀류법으로 간다. 개수를 $m$개로 놓고 크기순으로 줄을 세운 뒤, 그 줄에 하나를 더 끼워 넣을 자리를 찾는다. 끼워 넣을 자리는 $a$와 목록의 왼쪽 끝 $c_1$ **사이**다 — 그 자리에 유리수가 존재한다는 것이 15주차 문제 17이 보장하는 부품이다(근거 ④). **풀이.** 두 유리수 $a < b$를 잡고, 모순을 위해 $a$와 $b$ 사이의 유리수가 유한 개, 즉 $m$개뿐이라고 가정하자. $m = 0$인 경우: 15주차 문제 17에 의해 $a$와 $b$ 사이에 유리수가 적어도 하나 존재하므로 곧바로 모순이다. $m \ge 1$인 경우: 그 유리수들을 크기순으로 $c_1 < c_2 < \cdots < c_m$이라 하자. $a$와 $c_1$은 서로 다른 두 유리수이고 $a < c_1$이므로, 15주차 문제 17에 의해 $a < c' < c_1$인 유리수 $c'$이 존재한다. 이 $c'$은 $a < c' < c_1 < b$이므로 $a$와 $b$ 사이의 유리수이고, $c' < c_1$이므로 목록 $c_1, \dots, c_m$의 어느 원소와도 같지 않다. 따라서 $a$와 $b$ 사이의 유리수가 $m+1$개 이상이 되어 "$m$개뿐"이라는 가정과 모순이다. 두 경우 모두 모순이므로, $a$와 $b$ 사이의 유리수는 무한히 많다. $\blacksquare$ **복기.** 존재 정리 하나가 귀류법과 결합해 "무한 존재"로 증폭되는 패턴이다 — 21주차의 소수 무한 증명과 같은 리듬이고, 45주차 해석학에서 유리수의 조밀성으로 재등장한다. 증폭의 열쇠는 "유한 목록을 만들었더니 목록에 없는 원소가 생산된다"는 구조이며, 목록의 어느 자리를 노릴지(여기서는 구간 $(a,b)$ 바깥이 아니라 $a$와 목록의 왼쪽 끝 $c_1$ 사이)를 정하는 것이 설계의 전부다. ### 문제 13 **접근.** 2단 서식을 그대로 쓴다. 존재는 방정식을 풀어 증인을 역산하고 대입으로 검증하며, 유일은 두 해를 가정해 등식을 이어 붙인 뒤 계수 3으로 나눈다. 3이 0이 아니라는 것이 마지막 나눗셈의 근거다. **풀이.** (존재) $3x - 12 = 0$에서 $3x = 12$, $x = 4$를 후보로 얻는다. $x = 4$를 증인으로 제시한다. 검증: $3 \cdot 4 - 12 = 12 - 12 = 0$ ✓, 그리고 $4$는 실수이다 ✓. (유일) $x_1, x_2$가 모두 해라고 가정하자. 그러면 $3x_1 - 12 = 0$이고 $3x_2 - 12 = 0$이므로 $3x_1 - 12 = 3x_2 - 12$이다. 양변에 12를 더하면 $3x_1 = 3x_2$이고, $3 \neq 0$이므로 양변을 3으로 나누면 $x_1 = x_2$이다. 따라서 $\exists!\, x \in \mathbb{R},\ 3x - 12 = 0$이다. $\blacksquare$ **복기.** 일차방정식 $\alpha x + \beta = 0$의 해가 유일한 근거는 $\alpha \neq 0$ 하나다 — 그래야 마지막에 나눌 수 있다. 이 유일성이 실수 세계의 특권이라는 것은 38주차에서 $\mathbb{Z}_6$ 위의 일차방정식이 해를 여럿 갖는 사례로 확인한다. (검산: $3 \cdot 4 - 12 = 0$ ✓.) ### 문제 14 **접근.** 존재는 증인 제작이다 — "더해서 0이 되게 하는 수"이므로 $x$의 부호를 뒤집는다. 유일은 $x + y_1 = 0 = x + y_2$에서 양변에 $-x$를 더해 소거한다. $x$가 임의의 실수라는 점에 주의한다 — 증인이 $x$에 따라 달라지는 제작식이다. **풀이.** $x$를 임의의 실수라 하자. (존재) $y = -x$를 증인으로 제시한다. 검증 두 건 — ① $-x$는 실수이다 ✓ ② $x + (-x) = 0$이므로 조건식을 만족한다 ✓. (유일) $y_1, y_2$가 모두 조건을 만족한다고 가정하자. 그러면 $x + y_1 = 0$이고 $x + y_2 = 0$이므로 $x + y_1 = x + y_2$이다. 양변에 $-x$를 더하면 $y_1 = y_2$이다. 따라서 임의의 실수 $x$에 대해 $x + y = 0$인 실수 $y$가 유일하게 존재한다. $\blacksquare$ **복기.** 증인이 상수가 아니라 $x$로 만든 **제작식**($-x$)이라는 점이 문제 7과 다르다. 양화사의 순서가 "모든 $x$에 대해 어떤 $y$가"이므로 $y$는 $x$에 의존해도 된다(10주차 예제 2.2). 이 서식은 대학 선형대수에서 "역원의 유일성"으로 그대로 재등장하며, 43주차 역함수의 유일성도 같은 틀이다. (검산: $x = 5$이면 $y = -5$이고 $5 + (-5) = 0$ ✓.) ### 문제 15 **접근.** 예제 2.2의 재현이다. 기억해야 할 것은 세 가지 — ① 배중률로 두 경우를 나눈다 ② 각 경우에서 증인을 지정하고 조건 세 개를 검증한다 ③ 어느 경우인지 판정하지 않는다. 덧붙일 한 문장은 ③의 의미를 풀어 쓴 것이다. **풀이.** 수 $\sqrt2^{\sqrt2}$를 생각하자. 이 수는 유리수이거나 무리수이다(배중률). **경우 1: $\sqrt2^{\sqrt2}$가 유리수인 경우.** $a = b = \sqrt2$로 잡는다. $a, b$는 무리수이고(21주차), $a^b = \sqrt2^{\sqrt2}$는 이 경우의 가정에 의해 유리수이다. 조건 세 개가 검증됐다. **경우 2: $\sqrt2^{\sqrt2}$가 무리수인 경우.** $a = \sqrt2^{\sqrt2}$, $b = \sqrt2$로 잡는다. $a$는 이 경우의 가정에 의해 무리수이고 $b$도 무리수이며, $$ a^b = \left(\sqrt2^{\sqrt2}\right)^{\sqrt2} = \sqrt2^{\sqrt2 \cdot \sqrt2} = \sqrt2^{\,2} = 2 $$ 이므로 $a^b$는 유리수이다. 조건 세 개가 검증됐다. 두 경우가 전체를 덮고 각 경우에서 증인이 마련되었으므로, 조건을 만족하는 무리수 $a, b$가 존재한다. $\blacksquare$ **덧붙임.** "구성적이지 않다"는 것은, 증명이 끝난 뒤에도 증인이 $(\sqrt2, \sqrt2)$인지 $(\sqrt2^{\sqrt2}, \sqrt2)$인지 특정되지 않는다는 뜻이다. **복기.** 존재의 확정과 증인의 특정은 별개다. 참고로 $\sqrt2^{\sqrt2}$가 무리수라는 것은 알려져 있지만(겔폰트-슈나이더 정리, 1934), 이 증명은 그 사실을 쓰지 않고도 닫힌다 — 판정을 회피하는 것이 이 논법의 설계다. ### 문제 16 **접근.** 예제 2.1에서 1000이 있던 자리에 $n$을, 1001이 있던 자리에 $n+1$을 넣는다. 문자 일반화이므로 논증의 구조는 한 줄도 바뀌지 않고, 바뀌는 것은 $k$의 범위와 증인의 개수뿐이다. 마지막에 개수가 정확히 $n$개인지 센다. **풀이.** $n$을 임의의 자연수라 하고 $N = (n+1)!$이라 하자. 증인으로 $N+2, N+3, \dots, N+(n+1)$을 제시한다. $2 \le k \le n+1$인 각 $k$에 대해, $N = (n+1)!$은 $k$를 인수로 포함하므로 $k \mid N$이고, $k \mid k$이므로 배수의 합(2주차 예제 2.2)에 의해 $k \mid (N + k)$이다. 여기서 분해를 만든다 — $N = k\ell$인 정수 $\ell$이 존재하므로 $N + k = k(\ell + 1)$이고, $m = \ell + 1$이라 하면 $N + k = km$이다. $N > 0$이고 $k \ge 2$이므로 $\ell \ge 1$, 즉 $m \ge 2 > 1$이고 $m = (N+k)/k < N + k$이다. 또한 $k \ge 2 > 1$이고 $N > 0$이므로 $1 < k < N + k$이다. 두 인수가 모두 가운데 범위에 있으므로 정의 15.3(15주차)에 의해 $N + k$는 합성수이다. $k$가 2부터 $n+1$까지 움직이므로 이런 수는 $(n+1) - 2 + 1 = n$개이고, 이들은 연속한다. 따라서 연속한 $n$개의 합성수가 존재한다. $\blacksquare$ **복기.** 구체적인 수 하나로 쓴 증명에서 그 수를 문자로 바꾸었을 때 어느 줄도 고칠 필요가 없다면, 원래 증명이 그 수의 특별한 성질을 쓰지 않았다는 뜻이다 — 예제 2.1은 1000이 1000이라는 사실을 한 번도 쓰지 않았다. (검산: $n = 3$이면 $N = 24$이고 $26, 27, 28$ — 예제 2.1의 대입 시뮬레이션과 일치한다 ✓.) ### 문제 17 **접근.** 인수쌍 하나마다 연립방정식이 하나씩 생긴다. $15$의 양의 인수쌍은 $1 \times 15$와 $3 \times 5$ 두 개이므로 증인도 두 벌이고, 검증도 두 번 한다. 마지막 한 문장은 7과 15의 인수쌍 개수를 비교하면 나온다. **풀이.** 첫째 증인: $a - b = 1$, $a + b = 15$로 놓는다. 두 식을 더하면 $2a = 16$이므로 $a = 8$, 빼면 $2b = 14$이므로 $b = 7$이다. 검증: $8$과 $7$은 음이 아닌 정수 ✓, $8^2 - 7^2 = 64 - 49 = 15$ ✓. 둘째 증인: $a - b = 3$, $a + b = 5$로 놓는다. 더하면 $2a = 8$이므로 $a = 4$, 빼면 $2b = 2$이므로 $b = 1$이다. 검증: $4$와 $1$은 음이 아닌 정수 ✓, $4^2 - 1^2 = 16 - 1 = 15$ ✓. $(8, 7) \neq (4, 1)$이므로 서로 다른 두 표현이 존재한다. $\blacksquare$ **대비.** 7은 소수라 양의 인수쌍이 $\{1, 7\}$ 하나뿐이어서 표현이 유일했지만(문제 11), $15 = 3 \times 5$는 인수쌍이 $\{1, 15\}$와 $\{3, 5\}$ 둘이므로 표현이 하나로 강제되지 않는다 — 문제 11의 유일성은 7이 소수라는 사실에서 나온 것이었다. 여기서 보인 것은 표현이 **적어도 둘**이라는 것이고, "정확히 둘"을 말하려면 문제 11의 세 걸음(후보를 유한하게 좁히기 $\to$ 부등식으로 배정 정하기 $\to$ 연립 풀기)을 15에 대해 그대로 되풀이해야 한다. **복기.** 존재는 참인데 유일이 거짓인 실물 사례다. 문제 18(b)의 $x^2 = 4$가 같은 상황의 더 짧은 판이며, 두 문제가 함께 "$\exists$는 참, $\exists!$는 거짓"인 명제를 보여 준다. (검산: $64 - 49 = 15$, $16 - 1 = 15$ ✓.) ### 문제 18 **접근.** 각 명제에서 존재 파트와 유일 파트를 분리해 각각 따로 판정한다. (a)는 조건을 만족하는 실수가 아예 없는 경우이고, (b)는 조건을 만족하는 실수가 둘인 경우다. 두 사례가 정반대의 조합을 보인다. **풀이.** (a) **유일 파트: 참.** 유일성 주장은 "$x_1^2 = -1$이고 $x_2^2 = -1$이면 $x_1 = x_2$"라는 조건문이다. 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 \ge 0$이므로 $x^2 = -1$인 실수는 없고, 따라서 이 조건문의 가정이 성립하는 경우가 하나도 없다. 어길 사례가 없으므로 참이다 — 공허한 참(4주차 §1.4). **존재 파트: 거짓.** $x^2 = -1$인 실수가 없으므로 증인이 존재하지 않는다. (b) **존재 파트: 참.** 증인 $x = 2$: $2^2 = 4$ ✓, $2$는 실수 ✓. **유일 파트: 거짓.** $x = -2$도 $(-2)^2 = 4$를 만족하고 $2 \neq -2$이므로 서로 다른 두 증인이 존재한다. **정리.** (a)는 유일$\circ$$\cdot$존재✗, (b)는 존재$\circ$$\cdot$유일✗이다. 한쪽의 성립이 다른 쪽을 전혀 보장하지 않으므로 두 의무는 논리적으로 독립이며, $\exists!$ 증명은 두 파트를 각각 써야 한다. **복기.** 유일성이 공허하게 참이 되는 자리를 알아 두면 문제 5 같은 논증의 빈틈이 곧바로 보인다 — "있다면 하나뿐"은 대상이 0개일 때도 참이므로, 그 진술만으로는 대상이 있는지 없는지 판별되지 않는다. ### 문제 19 **접근.** "같은 색 한 쌍이 존재한다"의 부정은 "어떤 색도 두 짝 이상 나오지 않았다", 곧 "각 색은 많아야 1짝"이다. 이 부정을 가정하면 총 짝 수의 상한이 색의 개수로 묶이므로, 4짝이라는 사실과 충돌한다. 귀류법이므로 비구성적이다. **풀이.** 모순을 위해, 꺼낸 4짝 중 같은 색인 쌍이 없다고 가정하자. 그러면 각 색의 양말은 많아야 1짝씩 꺼내졌다. 색은 세 가지뿐이므로 꺼낸 양말의 총수는 많아야 $1 + 1 + 1 = 3$짝이다. 그런데 실제로 꺼낸 것은 4짝이므로 $4 \le 3$이 되어 모순이다. 따라서 꺼낸 4짝 중에는 같은 색인 한 쌍이 반드시 존재한다. $\blacksquare$ **복기.** 어느 색의 쌍인지는 증명이 끝난 뒤에도 알 수 없다 — 비구성적 존재 증명이다(정의 26.2 ②). 이 논법의 일반형이 비둘기집 원리이며, 22주차 문제 13의 평균 논증과 같은 과에 속한다. 상한을 계산해 가정과 충돌시키는 것이 공통 뼈대다. (검산: 색이 3종일 때 안전하게 꺼낼 수 있는 최대 짝수는 3이고, 4짝부터 쌍이 강제된다 ✓.) ### 문제 20 **접근.** (a)는 문제 18의 두 사례를 그대로 인용하면 두 문장으로 끝난다. (b)는 비구성적 증명이 무엇을 주고 무엇을 주지 않는지를 예제 2.2와 문제 19에서 읽어 낸다 — 주는 것은 존재의 확정, 주지 않는 것은 증인의 정체다. **풀이.** (예시 답안) (a) $x^2 = -1$은 유일성이 공허하게 성립하지만 존재는 거짓이고, $x^2 = 4$는 존재는 참이지만 유일성이 거짓이다. 한쪽의 성립이 다른 쪽을 전혀 보장하지 않으므로, $\exists!$ 증명은 존재 파트와 유일 파트를 각각 써야 한다. (b) 장점: 증인을 만들 방법을 모르거나 원리적으로 특정할 수 없어도 존재를 확정할 수 있으므로 적용 범위가 넓다 — 예제 2.2가 그 사례로, 어느 쌍이 증인인지 모르는 채로 증명이 닫힌다. 단점: "무엇인지"를 주지 않으므로, 그 대상을 계산하거나 이후 논증에서 사용해야 하는 상황에서는 정보가 부족하다 — 문제 19에서 어느 색의 쌍인지 알 수 없는 것이 그 예다. **복기.** 존재 증명을 읽을 때 붙일 질문은 두 개다 — "증인이 무엇인가"와 "그 증인을 실제로 손에 넣을 수 있는가". 구성적 증명은 둘 다에 답하고, 비구성적 증명은 앞의 질문에만 부분적으로 답한다. --- **다음 주 예고:** 7부 — 집합의 증명. "$x \in A$라 하자"로 시작하는 원소 추적 논법으로 $A \subseteq B$와 $A = B$를 증명한다. 5주차에서 벤 다이어그램으로 관찰만 했던 드모르간 법칙이 정리가 되고, 이번 주의 증인 제작은 "생성형 집합의 원소 판정"이라는 이름으로 그대로 다시 쓰인다.