C12주차 — 함수: 단사·전사·전단사·역함수

이 주의 길잡이

핵심 문장: 단사와 전사는 식에 붙는 성질이 아니라 정의역\(\cdot\)공역까지 포함한 함수 전체에 붙는 판정이다. 같은 식이라도 무대를 바꾸면 판정이 바뀌고, 두 판정이 동시에 통과할 때에만 역산이 함수가 된다.

이 주의 위치: 2학기 20주 과정의 C12주차. C11주차가 동치관계와 분할을 하나로 묶었고, 이번 주의 함수가 그 분할을 정의역 위에 스스로 만들어 낸다. 1권 40~43주차에서 서식으로 외웠던 네 증명 형식이 여기서 S5주차 구성법과 S6주차 선택법의 특수 사례로 다시 읽히고, 1권 43주차 예제 2.3에서 손으로 하던 정의역 손질이 무대 조정이라는 이름을 얻는다. 다음 주 C13주차는 이번 주의 전단사를 무한집합의 크기를 재는 잣대로 쓴다.

원서 대응: Chartrand 10장 (Functions). 1일차에 이 장을 통독한 상태로 이 교안에 온다.

이번 주 목표

1. 함수를 “각 입력에 정확히 하나의 출력”으로 정의하고, 정의역\(\cdot\)공역\(\cdot\)치역을 구분해 선언할 수 있다.

2. 단사\(\cdot\)전사\(\cdot\)전단사를 정의하고, 네 서식(단사 증명\(\cdot\)단사 반증\(\cdot\)전사 증명\(\cdot\)전사 반증)의 걸음을 이유와 함께 백지에 쓴다.

3. 합성과 역함수를 다루고, “\(f\)가 역함수를 가진다 \(\iff\) \(f\)가 전단사이다”를 양방향으로 증명한다.

4. 상과 원상을 다루고, 원상이 정의역에 낳는 분할이 C11주차의 동치관계로 이어지는 길을 설명한다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

표기 — § 와 난이도 표시

§는 “절”이라고 읽는다. §1.3은 이 주차의 1.3 절을, §6은 6절 전체를 가리킨다.

다른 주차를 가리킬 때는 “C11주차 §1.2”처럼 주차를 앞에 적는다.

연습문제는 기본 1~6번, 표준 7~14번, 도전 15~20번이고, 빈칸 사다리는 훈련 1에서

3으로 갈수록 지지대가 줄어든다.

준비 운동 (C11주차 복습)

지난주까지의 도구를 손에 올려 둔다. 셋 다 이번 주 답안에서 그대로 쓴다.

1. C11주차의 핵심 정리를 진술하시오 — 동치관계는 동치류로 분할을 낳고, 거꾸로 분할은 동치관계를 낳는다.

2. S6주차 예제 2.2의 단사 증명 서식을 재현하시오. 첫 문장은 무엇이고 도착점은 무엇인가.

3. S5주차 §1.4의 구성법 세 걸음(연습장에서 후보 찾기 \(\to\) 답안에서 제시 \(\to\) 자격과 사건의 전수 검증)을 쓰시오.

이어서 진단 문제 하나를 풀어 보자. 풀지 못해도 된다 — 이번 주가 무엇을 메우는지 가늠하기 위한 기록이다.

1. (진단) 명제 “\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\)은 전사이다”를 증명하거나 반증하시오.

답을 노트에 적어 둔다. §5의 백지 재현 뒤에 이 기록을 다시 본다.

자주 나오는 세 가지 답

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 자연스러운 출발점이고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

• 유형 1 — 역산해서 증인 제시. “임의의 \(y\)를 잡자. \(x = \sqrt y\)로 두면

\(f(x) = y\)이다. 따라서 전사이다.” 절차는 S5주차 구성법 그대로이고, 후보를 찾는 계산도 옳다. 문제는 걸음이 하나 빠졌다는 것이다 — 제시한 \(x = \sqrt y\)가 정의역 \(\mathbb{R}\)의 원소인지를 확인하지 않았다. \(y = -1\)에서 이 답안은 존재하지 않는 수를 증인으로 내놓는다. 빠진 걸음의 이름이 자격 검증이고, §1.1이 이 답안을 그대로 해부한다.

• 유형 2 — 결론은 맞으나 형식이 없는 반증. “\(x^2\)은 음수가 안 되니까 전사가

아니다”라고 한 줄로 적는다. 판정은 옳다. 다만 “전사가 아니다”는 존재 명제의 부정이므로, 도달 불가능한 \(b_0\)를 하나 지목하고 그 \(b_0\)에 원상이 없음을 논증하는 두 걸음이 답안에 있어야 한다. 무엇을 적어야 채워지는지가 §1.3의 네 서식 표다.

• 유형 3 — 백지. “전사임을 보인다”의 첫 문장이 무엇인지 몰라 아무것도 적지

못했다. 첫 문장은 창작이 아니라 목표의 겉모양이 정해 주는 것이며(S6주차), §1.3이 네 경우의 첫 문장을 전부 못 박는다.

개념 — 판정은 식이 아니라 무대에 붙는다

1 구성법만으로 밀어붙이면 어디서 막히는가

준비 운동 4번을 S5주차의 구성법으로 밀어붙여 보자. 결론이 “존재한다”이므로 증인을 만들어 내놓는 것이 옳은 방향이다.

시도 — 구성법으로 밀어붙이기

명제: \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\)은 전사이다.

“임의의 \(y \in \mathbb{R}\)를 잡자. \(y = x^2\)을 \(x\)에 대해 풀면 \(x = \sqrt y\)이다.

\(x = \sqrt y\)로 두면 \(f(x) = (\sqrt y)^2 = y\)이다. 따라서 \(f\)는 전사이다.”

계산은 한 줄도 틀리지 않았다. 그런데 이 명제는 거짓이다 — \(y = -1\)을 제곱해서 얻는 실수는 없다. 거짓 명제에 매끄러운 증명이 붙었으므로, 결함은 계산이 아니라 답안의 구조에 있다.

확인 1. 위 답안이 검증한 것과 검증하지 않은 것을 각각 한 줄로 적어 보자.

S5주차의 채점표 두 칸 — 자격과 사건 — 으로 나누어 적는다.

답

사건 “\(f(x) = y\)”는 검증했다. 근거는 \((\sqrt y)^2 = y\)라는 제곱근의 성질이다.

자격 “\(x \in \mathbb{R}\)”, 곧 “\(\sqrt y\)가 실수이다”는 검증하지 않았다.

그리고 채울 수 없다 — \(y = -1\)이면 \(\sqrt{-1}\)은 실수가 아니다.

S5주차 §1.6의 반칙 1(검증 누락)이 정확히 이 자리에서 났고, 그 주차 예제 2.3의

답안이 소수를 만들지 못하고 걸린 것과 같은 종류의 결함이다.

빠진 걸음을 채우면 명제가 거짓이라는 사실이 드러난다. 여기서 한 걸음 더 간다. 같은 식 \(x^2\)을 다른 무대에 올려 보자.

시도 — 무대를 바꾼 같은 식

명제: \(g : [0, \infty) \to [0, \infty)\), \(g(x) = x^2\)은 전사이다.

“임의의 \(y \in [0,\infty)\)를 잡자. \(x = \sqrt y\)로 두면 \(y \ge 0\)이므로

\(\sqrt y\)는 실수이고 \(\sqrt y \ge 0\)이다 — 자격 통과. 그리고

\(g(x) = (\sqrt y)^2 = y\) — 사건 통과. 따라서 \(g\)는 전사이다.”

이번에는 두 검증이 모두 통과한다. 식은 한 글자도 바꾸지 않았다.

기호 \(x \mapsto x^2\)은 “엑스를 엑스 제곱으로 보낸다”로 읽고, 무대를 적지 않은 채 대응 규칙만 가리킬 때 쓴다. 화살표의 꼬리가 붙어 있어 \(A \to B\)의 화살표와 구별된다 — \(\to\)는 집합에서 집합으로, \(\mapsto\)는 원소에서 원소로 간다.

확인 2. \(f\)와 \(g\)는 대응 규칙이 \(x \mapsto x^2\)으로 같은데 판정이 갈렸다.

무엇이 달랐는가. 그리고 이 관찰이 “\(x^2\)은 전사인가”라는 물음 자체에 대해

무엇을 말하는가.

답

달라진 것은 정의역과 공역, 곧 무대뿐이다. 정의역이 \([0,\infty)\)로 줄어

자격 검증이 통과했고, 공역이 \([0,\infty)\)로 줄어 검증해야 할 \(y\)의 범위가

음수를 잃었다.

따라서 “\(x^2\)은 전사인가”는 답할 수 없는 물음이다 — 무대가 적혀 있지 않기

때문이다. 판정은 식이 아니라 무대까지 포함한 함수 전체에 붙는다.

1권 41주차 확인 8의 세 문항에 정의역과 공역이 빠짐없이 적혀 있던 이유가

이것이다.

이 주 전체의 기준

함수를 선언한다는 것은 세 정보 — 정의역, 공역, 대응 규칙 — 를 함께 적는 일이다.

셋 중 하나라도 빠지면 단사\(\cdot\)전사 판정은 시작되지 않는다.

2 무대를 바꿔 가며 판정해 보기

같은 식에 무대만 갈아 끼우며 판정을 적어 보자. 표의 빈칸을 채운다. (\([0,\infty)\)는 “0 이상의 실수 전체”를 뜻하고, \(2\mathbb{Z}\)는 “짝수 전체”, 곧 \(\{2m : m \in \mathbb{Z}\}\)를 뜻한다. 둘 다 이번 주에 무대로만 쓴다.)

함수	단사	전사
\(f_1 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f_1(x) = 2x - 3\)	✓	✓
\(f_2 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f_2(x) = x^2\)	\(\underline{\quad(1)\quad}\)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
\(f_3 : [0,\infty) \to \mathbb{R}\), \(f_3(x) = x^2\)	\(\underline{\quad(3)\quad}\)	\(\underline{\quad(4)\quad}\)
\(f_4 : \mathbb{R} \to [0,\infty)\), \(f_4(x) = x^2\)	\(\underline{\quad(5)\quad}\)	\(\underline{\quad(6)\quad}\)
\(f_5 : [0,\infty) \to [0,\infty)\), \(f_5(x) = x^2\)	✓	✓
\(f_6 : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(f_6(n) = 2n\)	\(\underline{\quad(7)\quad}\)	\(\underline{\quad(8)\quad}\)
\(f_7 : \mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z}\), \(f_7(n) = 2n\)	✓	\(\underline{\quad(9)\quad}\)

확인 3. 빈칸 (1)~(9)를 ✓ 또는 ✗로 채우고, ✗인 칸마다 근거가 되는 반례를

하나씩 적어 보자. 그다음 \(f_2\)부터 \(f_5\)까지 네 줄을 위에서 아래로 읽으며

무엇이 회복되는지 한 문장으로 요약해 보자.

답

(1) ✗ — \(f_2(-1) = 1 = f_2(1)\)인데 \(-1 \neq 1\).

(2) ✗ — \(y = -1\)에 대해 \(x^2 = -1\)인 실수 \(x\)가 없다.

(3) ✓ — \(x_1, x_2 \ge 0\)이고 \(x_1^2 = x_2^2\)이라 하자. 그러면

\((x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0\)이고, \(x_1 + x_2 = 0\)인 경우는 둘 다 0이어서

\(x_1 = x_2\)가 성립하며, 그렇지 않으면 \(x_1 - x_2 = 0\)이다. 어느 경우든

\(x_1 = x_2\)이다(1권 19주차 문제 17이 같은 명제를 대우로 증명해 두었다 — 근거 ④).

(4) ✗ — 공역이 아직 \(\mathbb{R}\)이므로 \(y = -1\)이 여전히 덮이지 않는다.

(5) ✗ — 정의역이 그대로이므로 \(-1\)과 \(1\)이 여전히 뭉친다.

(6) ✓ — 공역의 모든 \(y \ge 0\)이 \(\sqrt y\)의 상이다.

(7) ✓ — \(2n_1 = 2n_2\)이면 양변을 2로 나누어 \(n_1 = n_2\).

(8) ✗ — 홀수 \(1\)에 대해 \(2n = 1\)인 정수 \(n\)이 없다.

(9) ✓ — 임의의 짝수는 \(2m\) 꼴이고 그 원상이 \(m\)이다.

요약: 정의역을 줄이면 단사가 회복되고, 공역을 줄이면 전사가 회복된다.

식은 네 줄 내내 \(x^2\) 그대로였다.

이 관찰에 이름을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일을 문장으로 굳혔을 뿐이다.

백지 암기 대상

무대 조정

단사가 실패하면 정의역을 줄여 뭉치는 입력을 떼어 놓는다.

전사가 실패하면 공역을 치역까지 줄여 덮이지 않는 출력을 없앤다.

무대를 조정한 결과는 원래 함수와 다른 함수이며, 판정은 그 새 함수에 붙는다.

1권 43주차 예제 2.3에서 \(x^2\)의 정의역과 공역을 \([0,\infty)\)로 손질해 \(\sqrt x\)를 얻던 그 절차가, 여기서 무대 조정이라는 이름과 두 방향을 얻는다.

정의 12.1 — 함수 (function) [백지 암기 대상]

집합 \(A\)에서 \(B\)로의 함수 \(f : A \to B\)란, \(A\)의 각 원소 \(a\)에 \(B\)의

원소를 정확히 하나 대응시키는 것이다. 그 유일한 원소를 \(f(a)\)로 쓴다.

\(A\)를 정의역(domain), \(B\)를 공역(codomain),

\(f(A) = \{f(a) : a \in A\}\)를 치역(range)이라 한다.

기호 \(f : A \to B\)는 “에프는 에이에서 비로 가는 함수”로 읽고, \(f(a)\)는 “에프 에이” 로 읽는다. 읽는 법까지가 정의다. 관계의 말로 옮기면 \(f \subseteq A \times B\)이고 조건은 “각 \(a\)에 대해 \((a,b) \in f\)인 \(b\)가 정확히 하나”다 — C11주차에서 다룬 관계의 특수형이며, 1권 40주차 정의 40.1이 이 형태로 적혀 있다.

“정확히 하나”는 S13주차의 언어로 두 책임이다.

책임	뜻	위반하면
전체성 (존재)	모든 \(a \in A\)에 값이 있다	정의역의 일부에 값이 없다 — 문제 14(b)
유일성	한 \(a\)에 값이 둘 이상 붙지 않는다	대응이 다치가 된다 — 문제 14(a)

확인 4. 다음 두 대응은 각각 어느 책임을 위반하는가.

(가) \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), “\(h(x) = \frac 1x\)” (나) \((0,\infty) \to \mathbb{R}\), “\(h(x) = \pm \sqrt x\)”

답

(가) 전체성 위반. \(a = 0\)에 대응할 값이 없다. 정의역을 \(\mathbb{R} - \{0\}\)으로

줄이면(무대 조정) 함수가 된다.

(나) 유일성 위반. \(x = 4\)에 \(2\)와 \(-2\) 두 값이 붙어 \(h(4)\)라는 표기 자체가

무엇을 가리키는지 정해지지 않는다.

함수가 아닌 것을 함수라 부르는 답안은 이 두 위반 중 하나를 놓친 것이며,

두 위반이 곧 문제 14의 두 문항이다.

함수의 상등도 정의역\(\cdot\)공역이 함께 걸린다: \(f = g\)라는 것은 정의역이 같고 공역이 같으며 모든 \(a\)에서 \(f(a) = g(a)\)라는 뜻이다(1권 40주차). §1.2의 \(f_2\)와 \(f_5\)가 서로 다른 함수인 근거가 이 문장이다.

정의 12.2 — 단사·전사·전단사 (injective, surjective, bijective) [백지 암기 대상]

\(f : A \to B\)에 대해,

단사(one-to-one, injective): 모든 \(a_1, a_2 \in A\)에 대해 \(f(a_1) = f(a_2)\)이면 \(a_1 = a_2\)이다.

전사(onto, surjective): 모든 \(b \in B\)에 대해 \(f(a) = b\)인 \(a \in A\)가 존재한다.

전단사(bijective): 단사이면서 전사이다.

단사의 대우 표현은 “\(a_1 \neq a_2\)이면 \(f(a_1) \neq f(a_2)\)”이고, 전사의 동치 표현은 “\(f(A) = B\)” — 치역과 공역이 같다 — 이다. 두 표현은 서로 바꿔 쓸 수 있으며, 어느 쪽으로 적어도 같은 판정이다(1권 41주차 정의 41.1\(\cdot\)41.2).

말로 옮기면 단사는 “서로 다른 입력을 뭉개지 않는다”, 전사는 “공역을 남김없이 쓴다”이다. 이 두 말은 방향을 기억하는 데만 쓰고, 답안에는 정의의 수식 꼴을 적는다.

정의 해부 — 단사. 정의 12.2의 단사 조항은 세 조각으로 되어 있고, 조각마다 증명에서 맡는 역할이 다르다(1권 41주차 §1.3이 정의 41.1을 같은 방식으로 해부한다).

조각	하는 일	증명에서의 역할
“모든 \(a_1, a_2 \in A\)에 대해”	검사 범위의 전칭 선언	첫 문장에서 대표원 둘을 문자로 잡게 한다 — 특정 두 값의 확인으로는 끝나지 않는다
“\(f(a_1) = f(a_2)\)이면”	가정의 지정	출발점이 되는 등식을 준다 — 이 조각이 서식의 첫 문장이 된다
“\(a_1 = a_2\)이다”	결론의 지정	도착점을 못 박는다 — 계산이 이 꼴에 닿아야 끝난다

정의 해부 — 전사. 전사 조항도 세 조각이다.

조각	하는 일	증명에서의 역할
“모든 \(b \in B\)에 대해”	검사 범위의 전칭 선언	첫 문장에서 공역의 원소 하나를 임의로 잡게 한다
“\(f(a) = b\)인”	증인이 만족해야 할 사건의 지정	제시한 증인에 대해 검증할 등식을 준다
“\(a \in A\)가 존재한다”	증인의 존재와 자격의 지정	물건을 실제로 내놓게 하고, 그것이 정의역의 원소임을 함께 검사하게 한다

조각 삭제 실험 — 전사 정의에서 “\(\in A\)”를 빼면. 조각이 “\(f(a) = b\)인 \(a\)가 존재한다”로 줄면 증인이 어디에서 온 물건인지가 조건에서 빠진다. 그러면 §1.1의 답안이 그대로 통과한다 — \(y = -1\)에 대해 \(\sqrt{-1}\)을 증인으로 내놓아도 “\(f(a) = b\)”만 형식적으로 맞추면 되기 때문이다. 정의역 소속을 요구하는 이 두 글자가 전사 증명의 자격 검증 줄을 낳는다.

조각 삭제 실험 — 단사 정의에서 전칭을 특정 값으로 바꾸면. 첫 조각을 “어떤 \(a_1, a_2 \in A\)에 대해”로 바꾸면 \(f_2 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f_2(x) = x^2\)이 단사 판정을 받는다 — \(a_1 = 1\), \(a_2 = 2\) 한 쌍만 잡으면 \(f_2(1) = 1\)이고 \(f_2(2) = 4\)라 가정 “\(f_2(a_1) = f_2(a_2)\)”가 거짓이고, 가정이 거짓인 조건문은 참이므로(C5주차 정의 1.2의 공허한 증명) 이 한 쌍에서 조건이 성립한다. 실제로는 \(-1\)과 \(1\)이 뭉치므로 단사가 아니다. 전칭 조각이 판정을 판정으로 만든다.

확인 5. 다음 각 문장이 단사\(\cdot\)전사 중 무엇의 부정인지 밝히고, 그 부정을

“…인 …가 존재한다” 꼴로 정확히 적어 보자.

(가) \(f\)는 단사가 아니다. (나) \(f\)는 전사가 아니다.

답

(가) 단사의 부정. “\(a_1 \neq a_2\)이면서 \(f(a_1) = f(a_2)\)인 \(a_1, a_2 \in A\)가

존재한다.” 전칭 조건문의 부정이므로 존재 명제가 되고, 검증할 것이 두 개다 —

두 입력이 실제로 다르다는 것과 두 값이 실제로 같다는 것.

(나) 전사의 부정. “\(f(a) = b_0\)인 \(a \in A\)가 하나도 없는 \(b_0 \in B\)가 존재한다.”

여기서도 검증할 것이 두 개다 — \(b_0\)가 공역에 실제로 속한다는 것과, 원상이

없다는 것.

두 부정 모두 S10주차의 부정 전개를 그대로 적용한 결과이고, 반증 답안이

반쪽으로 채점되는 것은 거의 언제나 두 검증 중 하나를 빠뜨렸을 때다.

3 절차 해부 — 네 서식의 걸음마다 하는 일

목표의 겉모양이 첫 문장을 정한다. 네 경우의 첫 문장과 도착점을 못 박는다.

목표	첫 문장	도착점
단사 증명	“\(f(a_1) = f(a_2)\)라 하자.”	“따라서 \(a_1 = a_2\)이다.”
단사 반증	“\(a_1 = \cdots\), \(a_2 = \cdots\)로 두자.”	\(a_1 \neq a_2\) 확인 + \(f(a_1) = f(a_2)\) 확인
전사 증명	“임의의 \(b \in B\)를 잡자.”	증인 \(a\) 제시 + \(a \in A\) 확인 + \(f(a) = b\) 확인
전사 반증	“\(b_0 = \cdots\)로 두자.”	\(b_0 \in B\) 확인 + 원상이 없음을 논증

이 표는 1권 41주차의 증명 서식 4종과 같은 것이다. 이번 주에 새로 하는 일은 각 서식이 왜 그 걸음들로 되어 있는지를 걸음마다 해부하는 것이다.

전사 증명의 해부. 걸음이 넷이고, 앞의 둘은 S6주차 선택법, 뒤의 둘은 S5주차 구성법에서 그대로 온다.

걸음	하는 일	이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가
① “임의의 \(b \in B\)를 잡자”	전칭을 대표원 하나로 교체	특정 값 몇 개만 덮어 보이고 전사라 적게 된다 — \(f_3\)을 \(y = 4\) 하나로 통과시키는 답안(실제로는 \(y = -1\)이 덮이지 않는다)
② 증인 \(a\)의 제시	존재 결론에 물건을 내놓는다	존재 명제가 유도로 나온다고 착각한다 — 유도되지 않는다는 것이 S5주차의 첫 문장
③ 자격 검증 \(a \in A\)	증인이 정의역의 원소임을 확인	§1.1의 붕괴가 그대로 재연된다 — 존재하지 않는 수를 증인으로 내놓는다
④ 사건 검증 \(f(a) = b\)	증인이 실제로 \(b\)로 감을 확인	정의역 안의 아무 값이나 증인으로 통과한다

걸음 삭제 실험 — ③을 빼면. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\)에 대해 ③ 없는 답안을 쓰면 “\(x = \sqrt y\), \(f(x) = y\)”로 끝나고 전사라는 판정이 나온다. 실제로는 \(y = -1\)에서 증인이 실수가 아니다. 같은 답안을 \(g : [0,\infty) \to [0,\infty)\)에 쓰면 결론이 참인데, 참인 결론과 거짓인 결론에 똑같이 생긴 답안이 붙는다. ③이 두 경우를 갈라 주는 유일한 걸음이다.

걸음 삭제 실험 — 단사 반증에서 두 입력의 다름 확인을 빼면. \(f(x) = x^2\)에 대해 “\(f(1) = 1 = f(1)\)이므로 단사가 아니다”라고 적을 수 있게 된다. 같은 입력 두 개는 어떤 함수에서도 같은 값을 주므로, 이 답안은 모든 함수를 단사가 아니라고 판정한다. 두 입력이 실제로 다르다는 확인이 판정을 판정으로 만든다.

확인 6. 다음 세 목표 각각에 어느 서식을 쓰는가. 첫 문장까지 적어 보자.

(가) \(f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(f(n) = n + 4\)는 전사이다.

(나) \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \lvert x \rvert\)는 단사가 아니다.

(다) \(f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(f(n) = 2n\)은 전사가 아니다.

답

(가) 전사 증명. “임의의 \(m \in \mathbb{Z}\)를 잡자.” 이어 증인 \(n = m - 4\)를

제시하고, \(n\)이 정수임(자격)과 \(f(n) = m\)임(사건)을 확인한다.

(나) 단사 반증. “\(a_1 = 1\), \(a_2 = -1\)로 두자.” 이어 \(1 \neq -1\)과

\(f(1) = 1 = f(-1)\)을 확인한다.

(다) 전사 반증. “\(b_0 = 1\)로 두자.” 이어 \(1 \in \mathbb{Z}\)임과, \(2n = 1\)인

정수 \(n\)이 없음을 논증한다.

세 문항 모두 정의역과 공역이 적혀 있고, §1.1이 보인 대로 그것이 없으면

서식을 고를 수조차 없다.

확인 7. 전사 증명의 걸음 ②에서 증인을 만드는 계산은 대개 “\(b = f(a)\)를

\(a\)에 대해 푸는” 역산이다. 이 역산과 역함수는 어떤 관계인가. 지금 답할 수 있는

만큼만 적어 보자.

답

역산으로 얻은 식이 곧 역함수의 후보다. 다만 후보가 함수가 되려면 각 \(b\)에

대해 값이 정확히 하나여야 하고, 존재는 전사가, 유일은 단사가 책임진다.

그래서 전사 증명 하나만으로는 역함수가 나오지 않는다. §1.5가 이 관계를

정리로 만든다.

4 합성 — 두 함수를 이어 붙이기

정의 12.3 — 합성 (composition) [백지 암기 대상]

\(f : A \to B\), \(g : B \to C\)일 때, 합성 \(g \circ f : A \to C\)는 모든 \(a \in A\)에

대해 \((g \circ f)(a) = g\big(f(a)\big)\)로 정해지는 함수이다.

기호 \(g \circ f\)는 “지 합성 에프”로 읽고, 뜻은 “\(f\)를 먼저 하고 \(g\)를 나중에 한다”이다. 쓰는 순서와 실행 순서가 반대라는 점이 이 기호의 유일한 함정이며, 문제 16의 순서 뒤집힘도 여기서 나온다. 읽는 법까지가 정의다.

또 하나의 기호를 둔다. 항등함수 \(\mathrm{id}_A : A \to A\)는 모든 \(a \in A\)에 대해 \(\mathrm{id}_A(a) = a\)로 정해지는 함수이며 “에이 위의 항등함수”로 읽는다.

두 성질을 둔다. (i)의 증명은 이 주의 문제 8에서 직접 만들고, (ii)는 1권 42주차 보존 정리 (ii)를 근거 ④로 인용해 쓴다 — 그 증명은 1권 42주차 문제 8에 있다.

• (i) 단사 보존: \(f\)와 \(g\)가 단사이면 \(g \circ f\)도 단사이다 (1권 42주차 보존 정리 (i)\(\cdot\)예제 2.2).

• (ii) 전사 보존: \(f\)와 \(g\)가 전사이면 \(g \circ f\)도 전사이다 (1권 42주차 보존 정리 (ii)).

확인 8. \(f : A \to B\), \(g : B \to C\)에 대해 \(g \circ f\)가 단사라고 하자.

\(f\)와 \(g\) 중 반드시 단사인 것은 어느 쪽인가. 그리고 나머지 한쪽이 단사가

아닐 수 있다는 것을 확정하려면 무엇을 제시해야 하는가.

답

\(f\)다. \(f(a_1) = f(a_2)\)이면 양변에 \(g\)를 적용해

\((g\circ f)(a_1) = (g \circ f)(a_2)\)를 얻고, \(g \circ f\)가 단사이므로

\(a_1 = a_2\)이다.

\(g\) 쪽을 확정하려면 이유의 설명이 아니라 반례 한 벌을 제시해야 한다.

\(A = \{1\}\), \(B = \{1, 2\}\), \(C = \{1\}\)로 두고 \(f(1) = 1\),

\(g(1) = g(2) = 1\)로 정한다. 검증 ① \(g \circ f\)는 단사다 — 정의역 \(A\)의 원소가

하나뿐이라 \((g\circ f)(a_1) = (g \circ f)(a_2)\)인 \(a_1, a_2\)는 둘 다 \(1\)이고,

따라서 \(a_1 = a_2\)이다. 검증 ② \(g\)는 단사가 아니다 — \(1 \neq 2\)이면서

\(g(1) = 1 = g(2)\)이다. 두 검증이 모두 있어야 반례가 반례로 선다(확인 5).

반례가 성립하는 까닭은 \(g\)가 \(f\)의 치역 밖에서 무엇을 하든 \(g \circ f\)는 영향을

받지 않기 때문이다 — 이 반례에서 \(f\)의 치역은 \(\{1\}\)이고 \(g\)의 두 값이 뭉치는

사건은 치역 밖의 점 \(2\)에서 일어난다. 보존은 한 방향으로만 돌아온다.

5 역함수 — 전단사가 자격인 이유

정의 12.4 — 역함수 (inverse function) [백지 암기 대상]

\(f : A \to B\)에 대해, \(g \circ f = \mathrm{id}_A\)이고 \(f \circ g = \mathrm{id}_B\)인

함수 \(g : B \to A\)가 존재할 때 \(f\)가 역함수를 가진다고 하고, 그 \(g\)를

\(f^{-1}\)로 쓴다.

기호 \(f^{-1}\)은 “에프 인버스”로 읽는다. 지수 \(-1\)과 생김새가 같지만 값의 역수 \(\frac 1f\)와는 전혀 다른 것이다(1권 43주차 정의 43.1).

역함수는 있으면 하나뿐이다. \(g_1\)과 \(g_2\)가 둘 다 정의 12.4의 조건을 만족하면

\[ g_1 = g_1 \circ \mathrm{id}_B = g_1 \circ (f \circ g_2) = (g_1 \circ f) \circ g_2 = \mathrm{id}_A \circ g_2 = g_2 \]

이므로 같다. (가운데 등호는 합성의 결합법칙이다 — 1권 42주차 확인 5와 문제 7이 함수 상등의 세 기준으로 이것을 확인해 두었으므로 근거 ④로 인용한다.) 그래서 \(f^{-1}\)이라는 표기가 무엇을 가리키는지 정해진다. 이 유일성은 문제 16에서 그대로 쓴다.

백지 암기 대상

핵심 정리 12.1

\(f : A \to B\)가 역함수를 가진다 \(\iff\) \(f\)가 전단사이다.

증명은 문제 15에서 양방향으로 완성한다. 지금은 왜 하필 전단사인지를 본다. \(f^{-1}(b)\)를 “\(f(a) = b\)인 \(a\)”로 정하고 싶다. 이 정의가 함수가 되려면 정의 12.1의 두 책임을 통과해야 한다.

책임	필요한 것	담당
전체성	모든 \(b \in B\)에 그런 \(a\)가 존재	전사
유일성	그런 \(a\)가 하나뿐	단사

곧 “정확히 하나”(S13주차)를 존재와 유일로 쪼갠 것이 그대로 전사와 단사다. 전단사가 역함수의 자격이라는 말의 내용은 이 표 한 장이다.

확인 9. 전사가 아닌 함수에서 \(f^{-1}\)을 억지로 정의하면 무엇이 무너지는가.

단사가 아닌 함수에서는 무엇이 무너지는가. \(f_2 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\),

\(f_2(x) = x^2\)으로 각각 확인해 보자.

답

전사가 아니면 전체성이 무너진다 — \(f_2^{-1}(-1)\)에 붙일 값이 없다.

단사가 아니면 유일성이 무너진다 — \(f_2^{-1}(4)\)에 \(2\)와 \(-2\)가 함께 붙어

표기가 무엇을 가리키는지 정해지지 않는다.

두 붕괴는 확인 4의 두 위반과 정확히 같은 것이다. 역함수의 자격 심사는

함수의 자격 심사를 되돌린 방향으로 다시 하는 일이다.

확인 10. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 3x + 1\)에 대해 역산으로

후보 \(g(y) = \frac{y-1}3\)을 얻었다. 이 후보가 역함수임을 확정하려면 무엇을

더 확인해야 하는가.

답

양방향 합성이 항등함수임을 둘 다 확인해야 한다 — \((g \circ f)(x) = x\)와

\((f \circ g)(y) = y\). 한쪽만 확인하면 정의 12.4의 절반만 채운 것이다.

이 확인이 예제 2.3에서 하는 일이고, 계산 자체는 두 줄이면 끝난다.

6 상과 원상 — 기호가 겹쳐도 다른 것

정의 12.5 — 상과 원상 (image, preimage) [백지 암기 대상]

\(f : A \to B\)이고 \(S \subseteq A\), \(T \subseteq B\)라 하자.

\[ f(S) = \{f(a) : a \in S\} \subseteq B \qquad (S \text{의 } \textbf{상}) \]

\[ f^{-1}(T) = \{a \in A : f(a) \in T\} \subseteq A \qquad (T \text{의 } \textbf{원상}) \]

읽는 법 — \(f(S)\)는 “에스의 상”, \(f^{-1}(T)\)는 “티의 원상”으로 읽고, 원상을 “에프 인버스”로 읽지 않는다. 기호 \(f^{-1}\)이 붙어 있어도 역함수를 가리키는 것이 아니기 때문이다(1권 44주차 정의 44.1). 원상은 \(f\)가 전단사가 아니어도 언제나 정의되며, 값이 아니라 집합이다.

두 연산은 대칭이 아니다. 원상은 교집합을 보존해 \(f^{-1}(T_1 \cap T_2) = f^{-1}(T_1) \cap f^{-1}(T_2)\)가 성립하지만(문제 11), 상은 \(f(S_1 \cap S_2) \subseteq f(S_1) \cap f(S_2)\)까지만 성립하고 등호는 단사일 때 보장된다.

섬유와 분할. 한 점의 원상 \(f^{-1}(\{b\})\)를 \(b\)의 섬유(fiber)라 한다. \(b\)가 치역을 훑을 때 섬유들은 정의역 \(A\)를 겹치지 않게 덮는다 — 각 \(a\)는 자기 값 \(f(a)\)의 섬유에 정확히 한 번 들어가기 때문이다. 곧 함수는 정의역에 분할을 낳는다(문제 13에서 확인한다).

C11주차의 핵심 정리를 여기에 대면, 이 분할이 낳는 동치관계는 “\(a_1 \sim a_2 \iff f(a_1) = f(a_2)\)”, 곧 “출력이 같다”이다. 동치관계와 분할이 같은 것의 두 얼굴이라는 지난주의 결론이, 이번 주에는 모든 함수가 자기 정의역 위에 동치관계를 하나 만든다는 문장으로 돌아온다.

확인 11. \(f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(f(n) = n^2\)의 섬유

\(f^{-1}(\{4\})\), \(f^{-1}(\{0\})\), \(f^{-1}(\{3\})\)을 각각 구해 보자.

셋 중 분할의 조건을 위협하는 것이 있는가.

답

\(f^{-1}(\{4\}) = \{2, -2\}\), \(f^{-1}(\{0\}) = \{0\}\), \(f^{-1}(\{3\}) = \emptyset\).

셋째가 공집합이지만 분할은 위협받지 않는다 — 분할의 조각으로 세는 것은

치역의 원소에 대한 섬유뿐이고, \(3\)은 치역 밖이라 애초에 조각이 아니다.

공역 전체가 아니라 치역을 훑어야 한다는 조건이 여기서 일한다.

7 이번 주에 쓸 수 있는 근거 — 목록 갱신

이번 주에도 근거의 칸은 네 개다. ①과 ④의 내용물이 넓어질 뿐이다.

근거	내용	이번 주에 쓰는 자리
① 정의	정의 12.1~12.5 (함수\(\cdot\)단사\(\cdot\)전사\(\cdot\)전단사\(\cdot\)합성\(\cdot\)역함수\(\cdot\)상\(\cdot\)원상)	판정의 첫 문장과 마지막 문장
② 닫힘성	정수\(\cdot\)유리수\(\cdot\)실수의 사칙연산 결과가 같은 무대에 남는가	증인의 자격 검증
③ 등식의 성질	양변 연산\(\cdot\)전개\(\cdot\)묶기\(\cdot\)교차곱	단사 증명의 몸통, 역산
④ 이미 증명한 명제	1권 40~43주차의 결과(상\(\cdot\)원상은 1권 44주차 정의 44.1을 개별 인용), 1권 19주차 문제 17, S13주차의 유일성과 문제 19, C11주차의 핵심 정리, 그리고 이 주의 핵심 정리 12.1	역함수 존재의 인용, 섬유 분할의 마무리

확인 12. 다음 세 근거 문장은 각각 몇 번 근거인가.

(가) “\(\frac{y+3}2\)은 실수이므로” (나) “\(f\)가 전단사이므로 역함수가 존재한다”

(다) “\(2x_1 - 3 = 2x_2 - 3\)의 양변에 3을 더하면”

답

(가) ② 닫힘성. 실수의 합과 0이 아닌 수로의 나눗셈은 실수다. 전사 증명의

자격 검증 줄이 대부분 이 근거다.

(나) ④ 이미 증명한 명제 — 핵심 정리 12.1의 인용이다. 단, 인용되는 것은

정리이지 “\(f\)가 전단사이다”라는 앞 문장이 아니다. 그 앞 문장은 반드시

별도로 논증되어 있어야 한다.

(다) ③ 등식의 성질.