2주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#
예제 — 추상 증명을 함께 만들기#
1주차의 증명에는 “짝수”, “홀수”라는 구체적 개념과 \(2\)라는 구체적 수가 있었다. 이번 주의 명제에는 문자 \(a, b, c\)뿐이다. 절차가 달라지는지 직접 만들며 확인한다. 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다.
예제 2.1 — 첫 추상 증명: 추이성 (transitivity)#
명제. 정수 \(a, b, c\)에 대해, \(a \mid b\)이고 \(b \mid c\)이면 \(a \mid c\)이다.
설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 1주차 예제 2.1과 같은 순서다. 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 정의로 번역해서 먼저 정한다.
말 |
수식 번역 |
|
|---|---|---|
가정 (주어진 것) |
\(a \mid b\), \(b \mid c\) |
\(b = ak\)인 정수 \(k\), \(c = bl\)인 정수 \(l\)이 존재 |
목표 (만들 것) |
\(a \mid c\) |
\(c = \underline{\quad(?)\quad}\) 꼴을 만든다 |
확인 8. 목표 칸의 빈칸을 채워 보자. “\(a \mid c\)임을 보인다”를 정의로
번역하면, \(c\)를 어떤 꼴로 만들어야 하는가?
답
\(c = a \times (\text{정수})\) 꼴. §1.3의 방향 표대로, 가정 쪽의 “존재한다”에서는
정수 \(k, l\)을 받아 쓰고, 목표 쪽의 “존재한다”는 그런 정수를 우리가 실제로
만들어 제시해야 한다. 출발점(등식 두 개)과 도착점(만들 꼴)이 정해졌다.
그 사이는 계산이다.
1단계 — 가정을 무대에 올린다. 1주차와 다른 점 하나: 다룰 대상이 이미 문자 \(a, b, c\)로 주어져 있으므로 새로 문자를 잡을 일이 없다. 그래도 첫 문장의 임무는 같다 — 가정을 선언하며 시작한다.
확인 9. 첫 문장을 완성해 보자: “\(\underline{\quad}\)이고 \(\underline{\quad}\)라 가정하자.”
답
“\(a \mid b\)이고 \(b \mid c\)라 가정하자.” 명제가 “~이면 ~이다” 꼴이므로,
증명은 앞부분(가정)을 참이라 선언하고 뒷부분(결론)을 만들어 가는 구조가 된다.
2단계 — 정의를 풀어 쓴다. “\(a \mid b\)”는 아직 말이다. §1.1에서 본 대로 말로는 계산이 시작되지 않으므로, 정의 2.1로 등식을 받아 온다.
확인 10. 둘째 문장을 완성해 보자:
“정의에 의해 \(b = \underline{\quad}\)인 정수 \(k\)가 존재하고,
\(c = \underline{\quad}\)인 정수 \(\underline{\quad}\)이 존재한다.”
두 정수에 왜 서로 다른 문자를 쓰는가?
답
\(b = ak\), \(c = bl\)인 정수 \(l\). 가정이 두 개이므로 존재가 보장되는 정수도
각각이다 — 같은 문자를 쓰면 두 몫이 같다고 몰래 가정한 셈이 된다
(1주차 문제 6, 준비 운동 3번). 서로 다른 대상에는 서로 다른 문자다.
3단계 — 도착점의 꼴로 계산한다. 목표 꼴이 “\(c = a \times (\text{정수})\)”이므로 \(c\)에서 출발한다. 그런데 \(c = bl\)에는 \(a\)가 없다 — 다른 등식 \(b = ak\)를 대입해 \(b\)를 소거하면 \(a\)가 나타난다.
확인 11. 셋째 문장을 완성해 보자:
“그러면 \(c = bl = (\,\underline{\quad}\,)l = a(\,\underline{\quad}\,)\)이다.”
답
\(c = bl = (ak)l = a(kl)\). 대입(근거 ③)과 곱셈의 결합법칙으로 \(a\)를 앞에
세웠다. 가정 두 개를 다리 \(b\)로 이어 붙이고 그 다리를 소거하는 것 —
이 한 줄이 추이성 증명의 전부다.
4단계 — 괄호 안이 정수인지 확인하고 결론을 선언한다. \(c = a(kl)\)이 정의를 만족하려면 괄호 안이 정수여야 한다. 이 확인이 빠지면 §1.3의 붕괴 (\(c\) 자리에 2.5가 오는 사태)를 막을 수 없다.
확인 12. 마지막 문장을 완성해 보자:
“\(\underline{\qquad}\)이므로 \(kl\)은 정수이다. 따라서 \(c = a(kl)\)은 정의를
만족하므로 \(\underline{\quad}\)이다. \(\blacksquare\)”
답
“정수의 곱은 정수이므로”(근거 ②) \(kl\)은 정수이다. 따라서 \(a \mid c\)이다.
\(\blacksquare\) — 이 네 문장이 완성된 증명이다.
완성본. 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.
증명의 한 줄 |
왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
\(a \mid b\)이고 \(b \mid c\)라 가정하자. |
가정 선언. 시작 전에 출발점(등식 두 개)과 도착점(\(c = a \times (\text{정수})\) 꼴)을 구분해 둔다. |
정의에 의해 \(b = ak\)인 정수 \(k\)가 존재하고, \(c = bl\)인 정수 \(l\)이 존재한다. |
처음 할 일은 정의 풀어쓰기(근거 ①). 가정이 두 개이므로 서로 다른 문자 \(k, l\). |
그러면 \(c = bl = (ak)l = a(kl)\)이다. |
\(c\)에서 출발해 \(b\)를 소거하고 \(a\)로 표현. 대입과 결합법칙(근거 ③). |
\(kl\)은 정수이므로, \(a \mid c\)이다. \(\blacksquare\) |
괄호 안 정수 확인(근거 ②) 후 정의로 마무리. |
이 네 줄이 “모든” 정수 셋을 처리하는 이유. 완성본의 \(a, b, c\)에 \(6, 18, 90\)을 넣어 읽어 보자.
확인 13. \(a = 6\), \(b = 18\), \(c = 90\)일 때 \(k\)와 \(l\)은 각각 무엇이고,
셋째 줄 “\(c = a(kl)\)”은 어떤 등식이 되는가?
답
\(18 = 6 \times 3\)이므로 \(k = 3\), \(90 = 18 \times 5\)이므로 \(l = 5\).
셋째 줄은 \(90 = 6 \times 15\) (\(kl = 15\))가 된다 — 모든 줄이 그대로 성립한다.
\(90 \div 6\)을 계산해 보지 않았는데도 \(6 \mid 90\)이 확정됐고, 같은 네 줄이
다른 어떤 세 수 조합에도 그대로 작동한다. 문자 증명 한 번이 무한 개의
사례를 대신한다 — 1주차 확인 13에서 본 일반성이 추상 증명에서도 같다.
예제 2.2 — 배수의 합#
명제. \(a \mid b\)이고 \(a \mid c\)이면 \(a \mid (b + c)\)이다.
이번에는 설계만 함께 하고, 증명은 완성된 산문으로 본다.
확인 14. 번역표를 채워 보자.
가정: \(a \mid b\), \(a \mid c\) \(\to\) \(b = \underline{\quad}\), \(c = \underline{\quad}\)인 정수 \(k, l\)이 존재.
목표: \(a \mid (b + c)\) \(\to\) \(b + c = \underline{\qquad}\) 꼴을 만든다.
답
가정: \(b = ak\), \(c = al\). 목표: \(b + c = a \times (\text{정수})\) 꼴.
이번에는 두 가정의 약수가 같은 \(a\)다 — 그래도 몫은 각각이므로 문자는
\(k\), \(l\)로 다르게 쓴다.
증명. \(a \mid b\)이고 \(a \mid c\)라 가정하자. 정의에 의해 \(b = ak\), \(c = al\)인 정수 \(k, l\)이 존재한다. 그러면
이고 \(k + l\)은 정수이므로 \(a \mid (b + c)\)이다. \(\blacksquare\)
1주차 훈련 3에서 증명한 “3의 배수와 3의 배수의 합은 3의 배수”가 이 명제의 \(a = 3\)인 특수한 경우다. 그때는 3 하나에 대해 증명했고, 지금은 모든 약수 \(a\)에 대해 한 번에 증명했다 — 문자가 하나 늘어난 만큼 결과가 덮는 범위가 넓어졌다.
예제 2.3 — 증명 시작 전 루틴: If–Then 분해#
앞으로 모든 증명 문제에서, 풀이를 시작하기 전에 다음 표부터 채우는 습관을 들인다. 예제 2.2로 시연하면 —
내용 |
수식 번역 |
|
|---|---|---|
가정 (If) — 출발점 |
\(a \mid b\), \(a \mid c\) |
\(b = ak\), \(c = al\) (\(k, l \in \mathbb{Z}\)) |
결론 (Then) — 도착점 |
\(a \mid (b + c)\) |
\(b + c = a \times (\text{정수})\) 꼴 만들기 |
증명이 막히는 순간의 대부분은 지금 손에 있는 등식이 무엇이고 만들어야 할 꼴이 무엇인지를 잊었을 때다. 이 표가 그 둘을 시야에 고정한다. §4의 증명 문제는 전부 이 분해표를 채우고 시작한다.
확인 15. 명제 “\(a \mid b\)이고 \(a \mid c\)이면 \(a \mid (b + 3c)\)이다”의
If–Then 분해표를 채워 보자.
답
가정(If): \(b = ak\), \(c = al\)인 정수 \(k, l\)이 존재.
결론(Then): \(b + 3c = a \times (\text{정수})\) 꼴 만들기.
예제 2.2와 출발점이 같고 도착점의 계수만 다르다 — 분해표를 채우는 순간
무엇을 계산할지가 이미 정해진다.
관찰 — 문자만 남아도 뼈대는 같다#
1주차에서 세운 직접 증명의 3단계 틀이 추상 증명에서도 작동하는지, 예제 2.2의 산문에서 확인해 보자.
확인 16. 예제 2.2의 산문에서 각 단계에 해당하는 문장(또는 식)을 찾아 보자.
① 가정 선언: \(\underline{\qquad}\)
② 정의 풀어쓰기: \(\underline{\qquad}\)
③ 목표 꼴 변형(+정수 확인): \(\underline{\qquad}\)
답
① “\(a \mid b\)이고 \(a \mid c\)라 가정하자.”
② “정의에 의해 \(b = ak\), \(c = al\)인 정수 \(k, l\)이 존재한다.”
③ “\(b + c = ak + al = a(k+l)\)이고, \(k+l\)은 정수이므로 …”
예제 2.1도 같은 세 걸음이다. 소재가 숫자에서 문자로 바뀌었을 뿐,
절차는 1주차와 한 줄도 다르지 않다.
이번 주에 확인한 것
직접 증명의 3단계 틀(1주차)은 재료가 전부 문자여도 그대로 작동한다.
새로 추가된 습관은 하나 — 시작 전에 If–Then 분해표를 채운다.
빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#
필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.
훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸#
명제. \(a \mid b\)이면 임의의 정수 \(c\)에 대해 \(a \mid bc\)이다.
증명. \(a \mid b\)라 가정하고 \(c\)를 임의의 정수라 하자. 정의에 의해 \(b = \underline{\quad(1)\quad}\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그러면
이고 \(\underline{\quad(3)\quad}\)는 정수이므로 \(a \mid bc\)이다. \(\blacksquare\)
훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#
이번에는 구조 낱말과 근거 문장도 빈칸이다.
명제. \(a \mid b\)이고 \(a \mid c\)이면 \(a \mid (b + 2c)\)이다.
증명. \(a \mid b\)이고 \(a \mid c\)라 \(\underline{\quad(1)\quad}\)하자. 정의에 의해 \(b = \underline{\quad(2)\quad}\)인 정수 \(k\)가, \(c = \underline{\quad(3)\quad}\)인 정수 \(l\)이 존재한다. 그러면
이고, \(\underline{\quad(6)\quad}\)이므로 \(k + 2l\)은 정수이다. 따라서 \(b + 2c\)는 \(\underline{\quad(7)\quad}\) 꼴이므로 \(a \mid (b + 2c)\)이다. \(\blacksquare\)
훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#
이번에는 3단계 틀의 각 칸을 통째로 채운다.
명제. \(a \mid b\)이면 \((-a) \mid b\)이다.
증명의 뼈대.
① 가정 선언: \(\underline{\quad(1)\quad}\)
② 정의 풀어쓰기: \(\underline{\quad(2)\quad}\)
③ 목표 꼴 변형과 마무리: \(\underline{\quad(3)\quad}\)
(목표 꼴은 \(b = (-a) \times (\text{정수})\)이다. 부호를 어디서 흡수할지가 관건이고, 이 훈련이 문제 8의 예행연습이다.)
연습문제 (20문항)#
해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다 \(\to\) 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 증명 문제는 반드시 If–Then 분해표(예제 2.3)부터 채운다.
이번 주의 채점 기준
답이 아니라 근거가 점수다. “\(8 \mid 40\)은 참(맞음)”은 0점이고,
“\(40 = 8 \times 5\)이고 \(5 \in \mathbb{Z}\)이므로 참”이 만점이다.
난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.
기본 ●○○#
1. 다음 명제의 참\(\cdot\)거짓을 판정하고, 참이면 정의에 맞는 정수 \(c\)를 제시, 거짓이면 이유를 쓰시오. (a) \(8 \mid 40\) (b) \(9 \mid 30\) (c) \(-4 \mid 20\) (d) \(1 \mid n\) (임의의 정수 \(n\)) (e) \(3 \mid 3\)
힌트
각 항목에서 물을 것은 하나 — “\(b = a \times (\text{정수})\)가 되는가”이다.
\(b \div a\)는 연습장에서 계산하고, 답안에는 곱 등식과 정수 확인을 적는다.
2. 구석 사례 판정 (정의만으로): (a) \(7 \mid 0\) (b) \(0 \mid 7\) (c) \(0 \mid 0\) (d) \(-5 \mid 15\) (e) \(13 \mid 13\)
힌트
0이 얽히면 직관이 흔들린다 — 그럴수록 기계적으로 정의에 대입한다:
“\(b = ac\)인 정수 \(c\)가 존재하는가?” (b)에서 \(0 \times c\)는 \(c\)가 무엇이든 얼마인가.
3. \(2 \mid 6\)과 \(6 \mid 2\)의 참\(\cdot\)거짓이 왜 다른지 정의를 근거로 설명하시오.
힌트
두 명제를 각각 정의로 번역해 나란히 놓는다. 각각이 요구하는 정수가
무엇인지 비교하면 차이가 드러난다. (확인 4에서 같은 판정을 한 번 했다.)
4. “\(n\)은 3의 배수이다”를 정의 2.1의 형식(\(\exists\) 포함 문장)으로 번역하시오.
힌트
정의 2.1의 문형 “~인 정수 ~가 존재한다”에 \(3\)과 \(n\)을 끼워 넣는다.
배수는 \(b\) 자리, 약수는 \(a\) 자리다.
5. 집합 \(\{x \in \mathbb{Z} : x \mid 12\}\)의 원소를 모두 나열하시오. (주의: 무대가 \(\mathbb{Z}\)이다)
힌트
무대가 \(\mathbb{Z}\)라는 경고가 힌트다 — 중학교의 “12의 약수” 목록보다 커진다.
\(12 = (-3) \times (-4)\)를 정의로 판정해 보면 방향이 보인다.
6. 다음 표현 중 문법적으로 말이 되는 것을 모두 고르고, 안 되는 것은 이유를 쓰시오. (a) “\(3 \mid 12\)는 참이다” (b) “\(3 \mid 12 = 4\)” (c) “\(12/3 = 4\)” (d) “\(12/3\)은 참이다”
힌트
각 표현의 정체(명제인가 수인가)부터 판별한다. 참\(\cdot\)거짓은 명제에만 붙고,
등호로 다른 수와 이어지는 것은 수뿐이다 (§1.4의 표).
표준 ●●○#
7. \(a \mid b\)이고 \(a \mid c\)이면 \(a \mid (b - c)\)임을 증명하시오.
8. \(a \mid b\)이면 \(a \mid (-b)\)임을 증명하시오.
9. \(a \mid b\)이면 \(a \mid b^2\)임을 증명하시오.
10. \(a \mid b\)이고 \(c \mid d\)이면 \(ac \mid bd\)임을 증명하시오.
힌트
목표 꼴은 \(bd = (ac) \times (\text{정수})\)이다. 두 등식을 곱한 뒤,
곱셈의 교환\(\cdot\)결합법칙으로 \(a\)와 \(c\)를 앞에 모은다.
11. \(a \mid b\)이고 \(a \mid c\)이면 \(a \mid (3b + 5c)\)임을 증명하시오.
12. 모든 정수 \(n\)에 대해 \(5 \mid (10n + 5)\)임을 증명하시오.
13. 모든 정수 \(n\)에 대해 \(n \mid (n^2 + n)\)임을 증명하시오.
힌트
목표 꼴은 \(n^2 + n = n \times (\text{정수})\)이다. 공통인수로 묶는 인수분해가
곧 목표 꼴을 만드는 도구다.
14. 일의 자리가 짝수인 양의 정수는 짝수임을 증명하시오. (힌트: 일의 자리가 \(u\)인 양의 정수는 \(n = 10m + u\) (\(m\)은 음이 아닌 정수)로 쓸 수 있다.)
힌트
문제의 힌트대로 \(n = 10m + u\)로 번역한 뒤, 두 항 각각에서 2를 꺼낼 수
있는지 본다. \(10m = 2 \times 5m\)이고, \(u\)에는 가정이 하나 붙어 있다.
도전 ●●●#
반례로 반박하기 — 이번 주의 꼴
“모든 정수 \(a, b, c\)에 대해 ~이다”가 거짓임을 보이려면, 주장이 무너지는
구체적인 \(a, b, c\) 한 벌이면 된다 — 1주차 문제 18에서 쓴 반례가 이번에는
수 하나가 아니라 수의 조합이다. 반례 제시의 완결 조건은 두 가지다:
① 가정 부분이 실제로 참임을 등식으로 확인 ② 결론 부분이 실제로 거짓임을
정의로 확인.
15. 다음 명제는 거짓이다. 반례를 찾으시오: “\(a \mid bc\)이면 \(a \mid b\) 또는 \(a \mid c\)이다.”
힌트
\(a\)를 두 인수로 쪼개 \(b\)와 \(c\)에 하나씩 배정한다. \(a = 6 = 2 \times 3\)이면,
2는 \(b\)에게 3은 \(c\)에게 — 그러면 \(a\)는 곱 \(bc\)에는 걸리고 어느 한쪽에도
통째로 들어가지 않는다.
16. 다음 명제는 거짓이다. 반례를 찾으시오: “\(a \mid (b+c)\)이면 \(a \mid b\)이고 \(a \mid c\)이다.”
힌트
조각은 배수가 아닌데 합은 배수가 되도록 조립한다. \(a = 3\)이면,
3으로 나눈 나머지가 1인 수와 2인 수를 더해 본다.
17. \(a \mid (b + c)\)이고 \(a \mid b\)이면 \(a \mid c\)임을 증명하시오. (힌트: \(c\)를 이미 아는 두 배수의 차로 표현할 수 있다.)
18. 다음 명제는 거짓이다. 반례를 찾으시오: “\(b \mid a\)이고 \(c \mid a\)이면 \(bc \mid a\)이다.”
힌트
\(b\)와 \(c\)가 공통 인수를 가지면 곱 \(bc\)는 \(a\)를 넘어설 수 있다.
\(b = 4\), \(c = 6\)이면 \(bc = 24\)다 — \(a\)로 무엇을 잡으면 되는가?
19. \(a \mid b\)이면 \(a^2 \mid b^2\)임을 증명하시오.
힌트
목표 꼴은 \(b^2 = a^2 \times (\text{정수})\)이다. \(b = ak\)의 양변을 통째로
제곱하면 \(a^2\)이 저절로 나온다.
20. \(a \mid b\)이고 \(b \mid a\)이면 \(a = b\) 또는 \(a = -b\)임을 증명하시오. (힌트: \(b = ak\), \(a = bl\)을 결합하면 \(a = a(kl)\). 여기서 \(a = 0\)인 경우와 아닌 경우를 나눠 보시오.)
이 문제가 빌려 쓰는 사실
① 정수 \(x, y\)에 대해 \(xy = 0\)이면 \(x = 0\) 또는 \(y = 0\)이다 — 지금은 인정하고
쓴다(25주차 문제 13에서 영인수 성질로 재방문).
② 곱이 1인 두 정수는 \(k = l = 1\) 또는 \(k = l = -1\)뿐이다 — 지금은 인정하고
쓴다(22주차에서 “1의 약수는 \(\pm 1\)뿐”으로 재방문).
경우 나누기는 1주차 문제 16에서 처음 썼다. 채점 기준도 그대로다:
경우들이 전체를 빠짐없이 덮는가, 각 경우가 각각 완결되는가.
백지 재현 — 복습 프로토콜#
권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.
1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용. 3단계 틀\(\cdot\)근거 목록(§1.6)\(\cdot\)If–Then 분해표 양식만 펴 놓고, 예제 2.1(추이성)을 처음부터 끝까지 적는다. 정의와 본문은 보지 않는다.
2차 시도 (5일차) — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다:
\(a \mid b\)의 정의를 “정수 \(c\)가 존재한다”까지 조각 그대로 정확히 썼다.
\(a \mid b\)(명제)와 \(b/a\)(수)의 차이를 한 문장으로 설명했다.
추이성(예제 2.1)과 배수의 합(예제 2.2)을 백지에 처음부터 끝까지 재현했다.
재현한 증명에서 ① 가정 선언 ② 정의 풀기 ③ 목표 꼴 변형의 3단계를 손가락으로 짚을 수 있다.
각 줄의 근거가 ①~④ 중 무엇인지 말할 수 있다.
새 증명 문제를 만나면 If–Then 분해표부터 채운다는 루틴을 기억한다.
막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.
막힌 지점 |
처방 |
|---|---|
정의가 정확히 기억나지 않는다 |
§1.3 해부 표 — 조각의 이유와 함께 다시 외운다 |
어디서 시작할지 모르겠다 |
예제 2.3 — 가정과 목표를 If–Then 분해표로 먼저 번역한다 |
\(c = bl\) 다음이 나오지 않는다 |
예제 2.1의 3단계 — 다른 등식을 대입해 다리 \(b\)를 소거한다 |
괄호로 묶은 다음이 나오지 않는다 |
예제 2.1의 4단계 — 정수 확인과 결론 선언 |
0이 얽힌 판정이 헷갈린다 |
§1.5 — 느낌을 끄고 정의에 대입한다 |
하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.
해설#
각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.
빈칸 사다리 — 훈련 1#
(1) \(ak\) (2) \(kc\) (3) \(kc\)
※ (2)에서 결합법칙으로 \(a\)를 앞에 세우는 것이 핵심 변형이다. \(c\)에는 아무 가정이 없지만 정수이기만 하면 \(kc\)가 정수(근거 ②)이므로 증명이 닫힌다.
빈칸 사다리 — 훈련 2#
(1) 가정 (2) \(ak\) (3) \(al\) (4) \(ak + 2al\) (5) \(k + 2l\) (6) 정수의 곱과 합은 정수 (근거 ②) (7) \(a \times (\text{정수})\)
※ 계수 2가 붙어도 절차는 예제 2.2와 같다 — 계수는 괄호 안으로 들어갈 뿐이다. 문제 11에서 계수가 3과 5로 바뀐 같은 구조를 만난다.
빈칸 사다리 — 훈련 3#
(1) \(a \mid b\)라 가정하자. (2) 정의에 의해 \(b = ak\)인 정수 \(k\)가 존재한다. (3) \(b = ak = (-a)(-k)\)이고 \(-k\)는 정수이므로, \(b = (-a) \times (\text{정수})\) 꼴이다. 따라서 \((-a) \mid b\)이다. \(\blacksquare\)
※ 부호를 몫 쪽(\(-k\))에 흡수시키는 것이 관건이다. 문제 8은 같은 기술을 배수 쪽(\(-b\))에 쓴다.
문제 1#
접근. 각 항목에서 “\(b = ac\)인 정수 \(c\)가 있는가?”만 묻는다. 연습장에서 \(b \div a\)를 계산해 정수이면 그 몫이 \(c\)다 — 답안에는 곱 등식으로 적는다.
풀이. (a) 참. \(40 = 8 \times 5\)이고 \(5 \in \mathbb{Z}\)이므로 \(8 \mid 40\). (\(c = 5\)) (b) 거짓. \(30 = 9c\)이려면 \(c = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}\)인데 정수가 아니다. 실제로 \(9 \times 3 = 27\), \(9 \times 4 = 36\)으로 9의 배수는 30을 건너뛴다. (c) 참. \(20 = (-4) \times (-5)\)이고 \(-5 \in \mathbb{Z}\)이므로 \(-4 \mid 20\). (\(c = -5\) — 약수가 음수여도 정의는 그대로 작동한다.) (d) 참. \(n = 1 \times n\)이고 \(n \in \mathbb{Z}\)이므로 \(1 \mid n\). (\(c = n\) — 1은 모든 정수의 약수다.) (e) 참. \(3 = 3 \times 1\)이고 \(1 \in \mathbb{Z}\)이므로 \(3 \mid 3\). (\(c = 1\) — 모든 정수는 자기 자신을 나눈다.)
복기. 판정의 두 얼굴 — 탐색은 나눗셈으로 해도 되지만, 답안의 근거는 곱 등식 + 정수 확인(근거 ①)이다. §1.6의 확인 7 (다)가 이 구분이었다.
문제 2#
접근. 0이 얽히면 직관이 흔들린다 — 그럴수록 기계적으로 정의에 대입한다: “\(b = ac\)인 정수 \(c\)가 존재하는가?”
풀이. (a) 참. \(0 = 7 \times 0\)이고 \(0 \in \mathbb{Z}\)이므로 \(7 \mid 0\). (\(c = 0\) — 모든 정수는 0을 나눈다.) (b) 거짓. \(7 = 0 \times c\)가 필요한데, \(c\)가 무엇이든 \(0 \times c = 0 \neq 7\)이다. 어떤 정수 \(c\)도 등식을 만족하지 못한다. (c) 참. \(0 = 0 \times c\)는 \(c = 1\)로 성립한다 (실은 아무 정수나 된다 — 정의는 존재만 요구하므로 하나면 충분하다). (d) 참. \(15 = (-5) \times (-3)\)이고 \(-3 \in \mathbb{Z}\)이므로 \(-5 \mid 15\). (\(c = -3\)) (e) 참. \(13 = 13 \times 1\)이고 \(1 \in \mathbb{Z}\)이므로 \(13 \mid 13\). (\(c = 1\))
복기. (c)가 참인 것이 “0으로 나누기 금지”와 충돌한다고 느껴지면 §1.1을 다시 본다 — 금지되는 것은 나눗셈이라는 수 계산이고, \(\mid\)는 나눗셈이 아니라 곱 등식의 존재를 묻는 명제다. 나눗셈 정의를 버리고 곱셈 정의를 택한 이유가 여기서 회수된다.
문제 3#
접근. 두 명제를 각각 정의로 번역해 나란히 놓고, 각각이 요구하는 정수가 존재하는지 비교한다.
풀이. \(2 \mid 6\)은 “\(6 = 2c\)인 정수 \(c\)의 존재”를 요구한다 — \(6 = 2 \times 3\)이고 \(3 \in \mathbb{Z}\)이므로 참이다. \(6 \mid 2\)는 “\(2 = 6c\)인 정수 \(c\)의 존재”를 요구한다 — \(c = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)은 정수가 아니므로, 등식을 만족하는 정수는 없고 거짓이다. 정의에서 \(a \mid b\)의 \(a\)는 곱해지는 쪽(약수)이므로, 좌우가 바뀌면 요구되는 등식 자체가 달라진다 — 같은 두 수로 만든 별개의 두 명제다.
복기. \(\mid\)는 대칭 기호가 아니다. 막대를 쓸 때마다 “왼쪽이 약수”를 확인하는 습관이 이후 주차의 오독을 막는다.
문제 4#
접근. “배수”라는 말을 정의 2.1의 문형 “~인 정수 ~가 존재한다”에 끼워 넣는다. 배수인 \(n\)이 \(b\) 자리, 약수인 3이 \(a\) 자리다.
풀이. “\(n = 3k\)인 정수 \(k\)가 존재한다.” 기호로는 \(3 \mid n\). (\(\exists\) 기호로 쓰면 “\(\exists k \in \mathbb{Z},\ n = 3k\)” — 이 기호 표기 자체는 10주차에서 정식으로 다루고, 지금은 말 문장이면 충분하다.)
복기. 1주차 훈련 3의 “3의 배수” 정의(\(n = 3k\))와 정의 2.1의 \(3 \mid n\)이 같은 내용의 두 표기임을 확인했다 — 정의가 통합된 것이지 새 개념이 늘어난 것이 아니다.
문제 5#
접근. 무대가 \(\mathbb{Z}\)라는 경고가 힌트다. 중학교의 “12의 약수”는 양수만 세지만, 정의 2.1은 음수도 통과시킨다 (\(12 = (-3) \times (-4)\)이므로 \(-3 \mid 12\)).
풀이. \(x \mid 12\)는 “\(12 = xc\)인 정수 \(c\)의 존재”다. 후보를 거른다. \(x = 0\)은 불가 — \(0 \times c = 0 \neq 12\). \(x \neq 0\)이면 \(12 = xc\)에서 \(|x| \cdot |c| = 12\)이고 \(|c| \geq 1\)이므로 \(|x| \leq 12\) — 후보는 \(\pm 1, \dots, \pm 12\)뿐이다. 양수 후보를 확인하면
로 \(1, 2, 3, 4, 6, 12\)가 통과하고, \(5, 7, 8, 9, 10, 11\)은 탈락한다(예: \(12 = 5c\)이면 \(c = \frac{12}{5} \notin \mathbb{Z}\)). 음수는 \(12 = d \cdot c\)이면 \(12 = (-d)(-c)\)이므로, \(d\)가 약수이면 \(-d\)도 약수다. 따라서
— 모두 12개. 양의 약수 6개에 각각 부호를 씌운 것이다.
복기. 같은 낱말(“약수”)이라도 무대(\(\mathbb{N}\)인가 \(\mathbb{Z}\)인가)에 따라 답의 목록이 달라진다. 무대 확인이 판정보다 먼저다 — 집합의 언어로 3주차에서 정식화한다.
문제 6#
접근. 각 표현의 정체(명제인가 수인가)를 먼저 판별한다. 명제에는 참\(\cdot\)거짓을 붙일 수 있고, 수에는 등호로 다른 수를 붙일 수 있다. 교차하면 문법 오류다.
풀이. 말이 되는 것: (a), (c). (a)는 명제 \(3 \mid 12\)에 진리값을 붙였다 — 문법에 맞고, 실제로 \(12 = 3 \times 4\)이므로 참이다. (b)는 명제 \(3 \mid 12\)에 수 4를 등호로 붙였으므로 무의미하다 — “참 \(= 4\)”라고 말한 셈이다. (c)는 수 \(12/3\)과 수 4를 등호로 이었다 — 문법에 맞는 참인 등식이다. (d)는 수 \(12/3\)에 진리값을 물었으므로 무의미하다 — “4는 참이다”라고 말한 셈이다.
복기. 이번 주의 핵심 문장 그대로다: \(a \mid b\)는 수가 아니라 명제다. 기호를 쓰기 전에 그 기호가 만드는 것이 수인지 문장인지부터 확인한다. (같은 유형의 함정을 4주차에서 \(\in\)과 \(\subseteq\)로 다시 만난다.)
문제 7#
접근. If–Then 분해부터(예제 2.3의 루틴). 출발점: \(b = ak\), \(c = al\) / 도착점: \(b - c = a \times (\text{정수})\) 꼴. 예제 2.2에서 부호만 바뀐다.
풀이. \(a \mid b\)이고 \(a \mid c\)라 가정하자. 정의에 의해 \(b = ak\), \(c = al\)인 정수 \(k, l\)이 존재한다. 그러면
이고, 정수의 차는 정수이므로 \(k - l \in \mathbb{Z}\)이다. 따라서 \(b - c\)는 \(a \times (\text{정수})\) 꼴이므로 \(a \mid (b - c)\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 예제 2.2(합)와 이 문제(차)를 합치면 “배수끼리의 합\(\cdot\)차는 배수”다. 문제 11에서 계수까지 붙인 완전한 일반화를 만난다.
문제 8#
접근. 목표는 \(-b = a \times (\text{정수})\) 꼴. \(b = ak\)의 양변에 \(-1\)을 곱하면 끝이다 — 짧다고 의심하지 않는다. 근거가 다 있으면 짧아도 완결이다.
풀이. \(a \mid b\)라 가정하자. 정의에 의해 \(b = ak\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 양변에 \(-1\)을 곱하면(근거 ③) \(-b = a(-k)\)이고, \(-k \in \mathbb{Z}\)이므로 \(-b\)는 \(a \times (\text{정수})\) 꼴이다. 따라서 \(a \mid (-b)\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 두 줄짜리 증명도 ①(정의 풀기) ③(양변 연산) ②(정수 확인)의 근거가 전부 들어 있으면 완결이다. 증명의 완결성은 길이가 아니라 근거의 사슬로 잰다. 훈련 3(부호를 약수 쪽에서 처리)과 이 문제(배수 쪽에서 처리)는 같은 기술의 두 방향이다.
문제 9#
접근. 목표는 \(b^2 = a \times (\text{정수})\) 꼴. \(b^2 = b \cdot b\)에서 \(b\) 하나만 \(ak\)로 바꿔도 \(a\)가 앞으로 나온다 — 전부 바꿀 필요가 없다.
풀이. \(a \mid b\)라 가정하자. 정의에 의해 \(b = ak\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그러면
이고, \(k\)와 \(b\)가 정수이므로 \(kb \in \mathbb{Z}\)이다. 따라서 \(a \mid b^2\)이다. \(\blacksquare\)
(\(b^2 = (ak)^2 = a^2k^2 = a(ak^2)\)으로 전개해도 좋다. 목표 꼴 \(a \times (\text{정수})\)만 만들면 어느 길이든 정답이다.)
복기. 목표 꼴에 필요한 만큼만 대입한다 — 최소 개입이 계산을 줄인다. 전부 제곱하는 길은 문제 19(\(a^2 \mid b^2\))에서 필요해진다.
문제 10#
접근. 목표가 \(ac \mid bd\)이므로 목표 꼴은 “\(bd = (ac) \times (\text{정수})\)”. 두 가정을 각각 풀고 두 등식을 곱한 뒤, 곱셈의 교환\(\cdot\)결합법칙으로 \(ac\)를 앞에 모은다.
풀이. \(a \mid b\)이고 \(c \mid d\)라 가정하자. 정의에 의해 \(b = ak\), \(d = cl\)인 정수 \(k, l\)이 존재한다. 두 등식을 변끼리 곱하면
이고 (곱셈의 교환\(\cdot\)결합법칙 — 근거 ③), \(kl \in \mathbb{Z}\)이므로 \(bd\)는 \((ac) \times (\text{정수})\) 꼴이다. 따라서 \(ac \mid bd\)이다. \(\blacksquare\)
(검산: \(2 \mid 6\), \(3 \mid 12\)에서 \(6 \mid 72\)가 나와야 한다 — \(72 = 6 \times 12\) ✓.)
복기. 등식 두 개를 변끼리 곱하는 것도 근거 ③의 한 형태다. 목표 꼴이 \(ac\)로 시작하므로 곱을 만들 수밖에 없다는 역산 — 도착점이 계산을 정한다.
문제 11#
접근. 예제 2.2(\(a \mid b + c\))의 계수 붙은 판이다. If–Then 분해: 출발점 \(b = ak\), \(c = al\) / 도착점 \(3b + 5c = a \times (\text{정수})\) 꼴. 훈련 2에서 계수 2로 같은 구조를 지났다.
풀이 1 (직접 전개). \(a \mid b\)이고 \(a \mid c\)라 가정하자. 정의에 의해 \(b = ak\), \(c = al\)인 정수 \(k, l\)이 존재한다. 그러면
이고, \(3k + 5l\)은 정수의 곱과 합이므로 정수다. 따라서 \(a \mid (3b + 5c)\)이다. \(\blacksquare\)
풀이 2 (부품 재사용). 훈련 1의 결과(배수에 임의의 정수를 곱해도 배수)에 의해, \(a \mid b\)에서 \(a \mid 3b\)가, \(a \mid c\)에서 \(a \mid 5c\)가 나온다. 예제 2.2(배수의 합)에 의해 \(a \mid (3b + 5c)\)이다. \(\blacksquare\)
두 풀이 모두 정답이다. 풀이 2가 §1.6 표의 예고 — 예제 2.2의 결과를 문제 11의 부품으로 쓴다 — 를 실행한 자리다: 정의까지 내려가지 않고, 이미 증명한 명제를 근거 ④로 이어 붙였다.
복기. 계수 3, 5 자리에 어떤 정수 \(x, y\)가 와도 같은 증명이 통한다 — 곧 \(a \mid b\), \(a \mid c\)이면 임의의 정수 \(x, y\)에 대해 \(a \mid (xb + yc)\)다 (“배수의 정수 결합은 배수”). 정수론 전체에서 가장 자주 재사용되는 부품 중 하나이고, 이 일반형은 이후 주차에서 근거 ④로 계속 소환된다.
문제 12#
접근. “모든 \(n\)”이 붙었지만 할 일은 같다 — 임의의 정수 \(n\)을 잡고, \(10n + 5\)가 \(5 \times (\text{정수})\) 꼴로 묶이는지 본다. 이번에는 풀 가정이 없으므로 정의 풀어쓰기 단계가 비고, 곧바로 목표 꼴 변형이다.
풀이. \(n\)을 임의의 정수라 하자. 분배법칙으로 묶으면
이고, \(2n + 1\)은 정수의 곱과 합이므로 정수다. 따라서 \(10n + 5\)는 \(5 \times (\text{정수})\) 꼴이므로 \(5 \mid (10n + 5)\)이다. \(n\)은 임의였으므로 모든 정수 \(n\)에 대해 성립한다. \(\blacksquare\)
(검산: \(n = 3\)이면 \(10 \times 3 + 5 = 35 = 5 \times 7\) ✓.)
복기. “모든 \(n\)에 대해”를 처리하는 방법은 1주차와 같다 — 특정 수 대신 문자를 잡고, 문자에 어떤 정수가 와도 성립하는 변형만 쓴다.
문제 13#
접근. 목표 꼴은 \(n^2 + n = n \times (\text{정수})\). 공통인수 \(n\)으로 묶는 것이 보이는가 — 인수분해가 증명 도구가 되는 순간이다.
풀이. \(n\)을 임의의 정수라 하자. 공통인수로 묶으면
이고, \(n + 1\)은 정수다(정수의 합은 정수). 따라서 \(n^2 + n\)은 \(n \times (\text{정수})\) 꼴이므로 \(n \mid (n^2 + n)\)이다. \(\blacksquare\)
(검산: \(n = 4\)이면 \(16 + 4 = 20 = 4 \times 5\) ✓. \(n = 0\)이어도 \(0 \mid 0\)은 문제 2(c)에서 판정한 대로 참이므로 명제가 무너지지 않는다.)
복기. 전개가 목표 꼴을 만들 때도 있고(1주차 문제 8), 거꾸로 묶기 (인수분해)가 만들 때도 있다. 어느 쪽인지는 도착점의 꼴이 정한다.
문제 14#
접근. “일의 자리”라는 일상 개념을 수식으로 번역하는 것이 관문이다: \(n = 10m + u\). 그다음은 \(10m\)이 이미 짝수임을 알아채면 \(u\)만 처리하면 된다. 목표는 1주차의 짝수 정의 — \(n = 2 \times (\text{정수})\) 꼴이다.
풀이. \(n\)을 일의 자리가 짝수인 양의 정수라 하자. 일의 자리를 \(u\)라 하면 \(n = 10m + u\)인 음이 아닌 정수 \(m\)이 존재한다. 가정에 의해 \(u\)가 짝수이므로, 정의 1.1에 의해 \(u = 2j\)인 정수 \(j\)가 존재한다. 그러면
이고, \(5m + j\)는 정수의 곱과 합이므로 정수다. 따라서 \(n\)은 짝수의 정의를 만족하므로 짝수이다. \(\blacksquare\)
(검산: \(n = 74\)이면 \(m = 7\), \(u = 4 = 2 \times 2\)이고 \(74 = 2 \times 37\) ✓.)
복기. 학교에서 외운 판정법(“일의 자리가 짝수이면 짝수”)이 증명 가능한 정리였다. 자릿수 표현 \(n = 10m + u\)는 이후에도 자주 쓰는 번역 부품이다.
문제 15#
접근. 반례 탐색의 설계: \(a\)가 \(b\)와 \(c\)에 반씩 걸쳐 있는 상황을 만든다. \(a = 6 = 2 \times 3\)으로 쪼개지니, 2는 \(b\)에게 3은 \(c\)에게 하나씩 배정한다 — 그러면 \(a\)는 곱 \(bc\)에는 걸리지만 어느 한쪽에도 통째로 들어가지 않는다.
풀이. 반례: \(a = 6\), \(b = 4\), \(c = 9\). 가정 확인 — \(bc = 36\)이고 \(36 = 6 \times 6\), \(6 \in \mathbb{Z}\)이므로 \(6 \mid 36\)은 참이다. 결론 확인 — \(4 = 6c'\)이려면 \(c' = \frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}\)이므로 \(6 \nmid 4\)이고, \(9 = 6c'\)이려면 \(c' = \frac{3}{2} \notin \mathbb{Z}\)이므로 \(6 \nmid 9\)이다. 가정이 참인데 결론 “\(6 \mid 4\) 또는 \(6 \mid 9\)”가 거짓이므로, 명제는 거짓이다.
복기. 반례 제시는 두 확인(가정 참 / 결론 거짓)까지가 완결이다 — §4의 상자에서 선언한 조건 그대로다. 그럴듯한 명제도 거짓일 수 있다: 참임을 보이려면 증명, 거짓임을 보이려면 반례 하나 — 이 두 모드의 구분은 29주차 (반증)의 주제다. (참고로 \(a\)가 소수이면 이 명제는 참이 된다 — 33주차 문제 16에서 진술로 만나는 유클리드 보조정리다. 그 문제가 이 반례를 다시 소환하며, 증명 자체는 정수론 과목의 몫으로 남는다. 반례가 성립한 이유는 정확히 \(6\)이 소수가 아니라서다.)
문제 16#
접근. 조각은 배수가 아닌데 합이 우연히 배수가 되게 조립한다. \(a = 3\)이면 3으로 나눈 나머지가 1인 수와 2인 수를 더하면 된다.
풀이. 반례: \(a = 3\), \(b = 1\), \(c = 2\). 가정 확인 — \(b + c = 3\)이고 \(3 = 3 \times 1\)이므로 \(3 \mid (1 + 2)\)는 참이다. 결론 확인 — \(1 = 3c'\)이려면 \(c' = \frac{1}{3} \notin \mathbb{Z}\)이므로 \(3 \nmid 1\)이고, \(2 = 3c'\)이려면 \(c' = \frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}\)이므로 \(3 \nmid 2\)이다. 가정이 참인데 결론 “\(3 \mid 1\)이고 \(3 \mid 2\)”가 거짓이므로, 명제는 거짓이다.
복기. 이 명제는 예제 2.2를 거꾸로 뒤집은 것이다 — 예제 2.2는 참이지만 그 역은 거짓이다. 명제와 그 역(converse)은 별개의 명제이고, 한쪽의 참이 다른 쪽을 보장하지 않는다 — 9주차에서 정면으로 다룬다.
문제 17#
접근. If–Then 분해: 출발점 \(b + c = ak\), \(b = al\) / 도착점 \(c = a \times (\text{정수})\) 꼴. 그런데 \(c\)에 대한 직접 정보가 없다 — 대신 \(c = (b + c) - b\)로, 이미 배수임을 아는 두 덩어리의 차로 \(c\)를 다시 쓸 수 있다. “목표를 아는 재료로 다시 쓰기”는 증명의 단골 발상이다.
풀이. \(a \mid (b + c)\)이고 \(a \mid b\)라 가정하자. 정의에 의해 \(b + c = ak\), \(b = al\)인 정수 \(k, l\)이 존재한다. \(c\)를 아는 재료의 차로 쓰면
이고, \(k - l \in \mathbb{Z}\)이므로(정수의 차는 정수) \(c\)는 \(a \times (\text{정수})\) 꼴이다. 따라서 \(a \mid c\)이다. \(\blacksquare\)
(검산: \(a = 5\), \(b = 10\), \(c = 25\)이면 \(5 \mid 35\), \(5 \mid 10\)이 참이고 \(5 \mid 25\)도 참 ✓.)
복기. 문제 7(“배수의 차는 배수”)을 알고 있으면 이 증명은 한 줄로 줄어든다: \(b + c\)와 \(b\)가 모두 \(a\)의 배수이므로 그 차 \(c\)도 배수다(근거 ④). 직전 문제가 부품이 되도록 배치된 것을 알아채는 것도 실력이다 — 1주차 문제 17과 같은 설계다.
문제 18#
접근. \(bc\)가 \(a\)보다 커지게 만들면 쉽게 무너진다. \(b\)와 \(c\)가 공통 인수를 가지면 곱 \(bc\)는 \(a\)를 초과할 수 있다 — \(b = 4\), \(c = 6\)이면 \(bc = 24\)이므로, 둘 다로 나누어떨어지는 \(a = 12\)를 잡는다.
풀이. 반례: \(a = 12\), \(b = 4\), \(c = 6\). 가정 확인 — \(12 = 4 \times 3\)이므로 \(4 \mid 12\)는 참이고, \(12 = 6 \times 2\)이므로 \(6 \mid 12\)도 참이다. 결론 확인 — \(bc \mid a\)는 \(24 \mid 12\)인데, \(12 = 24c'\)이려면 \(c' = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}\)이므로 거짓이다. 가정이 참인데 결론이 거짓이므로, 명제는 거짓이다.
복기. 무너진 원인은 \(b = 4\)와 \(c = 6\)이 공통 인수 2를 갖는 것이다 — \(b\)와 \(c\)가 공통 인수를 갖지 않으면(공약수가 \(\pm 1\)뿐이면 — 이를 서로소라 부른다) 이 명제는 참이 된다. 같은 조건을 21주차의 기약분수와 36주차 문제 12에서 다시 만난다.
문제 19#
접근. 목표 꼴은 \(b^2 = a^2 \times (\text{정수})\). 문제 9와 달리 \(a^2\)이 필요하므로 이번에는 \(b = ak\)를 통째로 제곱한다 — 그러면 \(a^2\)이 저절로 나온다.
풀이. \(a \mid b\)라 가정하자. 정의에 의해 \(b = ak\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 양변을 제곱하면(근거 ③)
이고, \(k^2 = k \cdot k\)는 정수다(정수의 곱은 정수). 따라서 \(b^2\)은 \(a^2 \times (\text{정수})\) 꼴이므로 \(a^2 \mid b^2\)이다. \(\blacksquare\)
(검산: \(3 \mid 6\)에서 \(9 \mid 36\)이 나와야 한다 — \(36 = 9 \times 4\) ✓.)
복기. 역방향 “\(a^2 \mid b^2\)이면 \(a \mid b\)”도 참이지만 증명은 차원이 다르게 어렵다 — 소인수분해의 유일성이 필요해서 33주차 이후에나 가능하다. 명제와 역은 진위만 별개인 것이 아니라 난이도도 별개다.
문제 20#
접근. 두 가정을 서로에게 대입해 \(a = a(kl)\) 꼴의 “자기 자신 등식”을 만들면 정보가 \(kl\) 하나로 압축된다. \(a\)로 나누고 싶어지는 순간이 경우 나누기의 신호다 — 나눗셈은 \(a = 0\)에서 정의되지 않으므로, 0인 경우를 따로 처리한다 (1주차 문제 16에서 배운 그 기술).
풀이. \(a \mid b\)이고 \(b \mid a\)라 가정하자. 정의에 의해 \(b = ak\)인 정수 \(k\)가, \(a = bl\)인 정수 \(l\)이 존재한다. 둘째 등식에 첫째 등식을 대입하면
이고, 이항하면 \(a - a(kl) = 0\), 곧 \(a(1 - kl) = 0\)이다.
경우 1: \(a = 0\). 첫째 등식에서 \(b = ak = 0 \cdot k = 0\)이므로 \(a = b\) (둘 다 0)이다.
경우 2: \(a \neq 0\). 곱 \(a(1 - kl)\)이 0인데 \(a \neq 0\)이므로, 빌려 쓰는 사실 ①에 의해 \(1 - kl = 0\), 곧 \(kl = 1\)이다. 빌려 쓰는 사실 ②에 의해 \(k = l = 1\) 또는 \(k = l = -1\)이다. \(k = 1\)이면 \(b = ak = a\)이고, \(k = -1\)이면 \(b = -a\), 곧 \(a = -b\)이다.
모든 정수 \(a\)는 \(a = 0\)이거나 \(a \neq 0\)이므로 두 경우가 전체를 빠짐없이 덮고, 어느 경우든 \(a = b\) 또는 \(a = -b\)이다. \(\blacksquare\)
(검산: \(a = 5\), \(b = -5\)이면 \(-5 = 5 \times (-1)\), \(5 = (-5) \times (-1)\)로 가정이 둘 다 참이고, 결론 \(a = -b\)가 성립한다 ✓.)
복기. 자기 자신 등식으로의 압축, 그리고 “나누고 싶을 때 0을 경계하라”는 신호 — 두 발상 모두 이후 주차에서 반복해 쓴다. 경우 나누기의 채점 기준 (전체를 덮는가, 각 경우가 완결인가)을 마지막 문장이 명시적으로 닫았다.
다음 주 예고: 지금까지 “정수 \(k\)가 존재한다” 같은 표현을 계속 써 왔다. 3주차부터는 이런 표현의 무대인 집합의 언어를 체계적으로 배운다. \(\{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 10\}\) 같은 표기를 읽고 쓸 수 있게 되는 것이 목표다 — 문제 5에서 이미 한 번 마주쳤다.