S18주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#
예제 — 일반화를 함께 실행하기#
완성된 결과를 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 걸음 ①부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하고, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한 뒤 표 없이 산문으로 적는다. 지지대가 예제마다 하나씩 빠진다.
예제 2.1 — 상수 → 변수: 증명이 쓰지 않은 것 찾기#
출발 명제와 그 증명. 명제 “\(4^2 - 4\)는 3의 배수이다”의 증명은 다음 한 줄이다.
이고 4는 정수이므로 \(4^2 - 4\)는 3의 배수이다. \(\blacksquare\)
설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 일반화도 증명과 같은 순서로 설계한다. 손에 든 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 먼저 적는다.
말 |
절차 번역 |
|
|---|---|---|
가정 (주어진 것) — 출발점 |
완성된 증명문 한 편 |
각 줄이 4의 어떤 성질을 쓰는지의 목록 (걸음 ①) |
목표 (만들 것) — 도착점 |
증명이 실제로 확보한 구조가 보장하는 참인 명제 (원 명제보다 넓을 수도 있고, 다른 축에 놓일 수도 있다) |
“모든 \(\underline{\quad(?)\quad}\)에 대해 …” 꼴의 진술 + 그 위에서 도는 증명 (걸음 ②\(\cdot\)④) |
확인 8. 목표 칸의 빈칸에 무엇이 들어갈 수 있는지, 이 단계에서 정할 수 있는가. 정할 수 없다면 그것을 정하는 것은 어느 걸음인가.
답
이 단계에서는 정할 수 없다. 무대를 “모든 정수”로 할지 “모든 짝수”로 할지는
걸음 ①의 목록이 정한다 — 증명이 4에 대해 쓴 성질이 곧 새 명제의 가설이 되기
때문이다. 설계 단계에서 확정되는 것은 도착점의 모양(“모든 …에 대해” 꼴의
전칭 명제)뿐이고, 빈칸의 내용은 걸음 ①의 출력이다.
1걸음 — 증명문을 정독한다. 증명은 등식 두 개로 되어 있다. 각각이 4의 무엇을 쓰는지 갈라 적는다.
확인 9. 두 등식이 각각 4의 어떤 성질을 쓰는지 적어 보자.
첫째 등식 \(4^2 - 4 = 4(4-1)\): \(\underline{\qquad}\)
둘째 등식 \(4(4-1) = 4 \cdot 3\): \(\underline{\qquad}\)
답
첫째 등식은 4의 성질을 아무것도 쓰지 않는다. \(x^2 - x = x(x-1)\)은 임의의
수에서 성립하는 인수분해이고, 4가 그 값이라는 사실은 한 번도 인용되지 않는다.
둘째 등식은 \(4 - 1 = 3\)을 쓴다. 이것은 4에만 있는 성질이다.
목록: 쓰인 성질 = “\(4 - 1 = 3\)”, 쓰이지 않은 것 = “4가 짝수\(\cdot\)제곱수라는 것,
그리고 첫째 등식에 관한 한 4가 그 값이라는 것 전부”.
2걸음 — 축을 고르고 재진술한다. §1.6 판정법 표를 훑는다.
확인 10. 판정법 표의 어느 줄에 걸리는가. 그리고 4를 문자로 푼 명제를 적어 보자.
답
둘째 줄이다 — 4가 \(4 - 1 = 3\)이라는 계산에 값으로 들어가므로, 표의 지시는
“그 수는 풀 수 없다”이다. 그럼에도 이 걸음의 관찰을 눈에 보이게 하기 위해
일단 풀어 본다: “모든 정수 \(n\)에 대해 \(n^2 - n\)은 3의 배수이다.”
이 진술은 판정법을 어긴 상태로 만들어진 것이고, 다음 걸음이 그 대가를 보인다.
3걸음 — 반례 검문. §1.4의 서식대로 작은 사례부터 넣는다.
확인 11. \(n = 1, 2, 3\)을 대입하고, 위반이 나오면 1권 29주차 정의 29.2의 서식으로 적어 보자.
답
\(n = 1\): \(0 = 3 \cdot 0\) — 통과. \(n = 3\): \(6 = 3 \cdot 2\) — 통과.
\(n = 2\): \(2\) — 위반.
반례 서술: 제시 — \(n = 2\). 검증 1(가정 만족) — 2는 정수이므로 명제의
자격을 만족한다. 검증 2(결론 위배) — \(2^2 - 2 = 2\)이고 \(2 = 3k\)인 정수 \(k\)는 없다
(\(k = 1\)이면 3, \(k = 0\)이면 0). 따라서 새 명제는 거짓이다.
4걸음 — 되물림과 축 재선택. 산물이 거짓 명제이므로 §1.5 넷째 줄대로 걸음 ①로 돌아간다. 이번에는 첫째 등식만 남기고 다시 읽는다.
확인 12. 첫째 등식 \(n^2 - n = n(n-1)\)만 남았을 때, 이 곱에 대해 근거 목록으로 말할 수 있는 것은 무엇인가.
답
\(n - 1\)과 \(n\)은 연속한 두 정수이므로 그 곱은 짝수다 — 1권 1주차 문제 16
(근거 ④). 곧 증명이 실제로 확보한 구조는 “3의 배수”가 아니라 **연속한 두
정수의 곱**이었고, 그 구조가 보장하는 것은 짝수다. 원래 명제에서 3이 나온 것은
\(4 - 1\)이 마침 3이었던 사정이고, 구조가 아니라 우연이다.
5걸음 — 새 명제와 재검문, 그리고 증명. 축을 바꿔 다시 진술한다: “모든 정수 \(n\)에 대해 \(n^2 - n\)은 짝수이다.” 검문: \(n = 1\)은 \(0\), \(n = 2\)는 \(2\), \(n = 3\)은 \(6\), \(n = 0\)은 \(0\), \(n = -1\)은 \(2\) — 위반 없음. 증명 재검사: 첫째 등식은 임의의 정수에서 그대로 성립하고, 둘째 줄만 근거 ④의 인용으로 갈면 된다.
확인 13. 새 명제의 증명을 두 문장으로 적어 보자.
답
“정수 \(n\)을 임의로 잡자. \(n^2 - n = n(n-1)\)이고 \(n-1\)과 \(n\)은 연속한 두
정수이므로, 1권 1주차 문제 16에 의해 그 곱은 짝수이다. \(\blacksquare\)”
원래 증명문에서 살아남은 것은 첫째 등식 하나이고, 둘째 등식은 인용으로
교체되었다. 고친 증명이 새 명제 위에서 돌므로 산물은 정리이되, 되물림에서
결론이 “3의 배수”에서 “짝수”로 바뀌었으므로 §1.5의 다섯째 줄 — 원 명제를
특수 경우로 포함하지 않는 다른 축의 정리 — 에 해당한다.
이 산물이 원 명제와 맺는 관계. 새 명제 “모든 정수 \(n\)에 대해 \(n^2 - n\)은 짝수이다”는 출발 명제 “\(4^2 - 4\)는 3의 배수이다”를 특수 경우로 포함하지 않는다 — \(n = 4\)를 넣으면 “12는 짝수”가 나올 뿐이고 “12는 3의 배수”는 여기서 따라 나오지 않는다. 곧 이 산물은 원 명제보다 넓은 명제가 아니라 다른 축의 명제이며, 걸음 ③에서 반례가 나와 결론 자체를 바꾼 되물림에서는 이런 결말이 정상이다. §1.5 표의 다섯째 줄이 그것이고, 이때 답안에는 “산물이 원 명제를 특수 경우로 포함하지 않는다”를 한 줄로 밝힌다. 원 명제를 특수 경우로 되돌려 주는 확장형 일반화는 문제 17에서 따로 다룬다.
완성본. 다섯 걸음을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 옮겨 적으면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.
증명의 한 줄 |
왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
출발 증명: \(4^2 - 4 = 4(4-1) = 4 \cdot 3\). |
일반화의 입력은 명제가 아니라 증명문이다(정의 18.1). |
걸음 ①. 첫째 등식은 4의 성질을 쓰지 않는다. 둘째 등식은 \(4 - 1 = 3\)을 쓴다. |
발동 질문의 답을 줄 단위로 적는다. 목록이 없으면 축을 근거 없이 고르게 된다. |
걸음 ②(첫 시도). 4를 문자로 풀어 “모든 정수 \(n\)에 대해 \(n^2 - n\)은 3의 배수이다”. |
판정법 둘째 줄에 걸리는 진술이다 — 값으로 쓰인 수를 푼 결과가 어떻게 되는지 보기 위해 일부러 적는다. |
걸음 ③. 제시 \(n = 2\) / 검증 1(가정 만족): 2는 정수 / 검증 2(결론 위배): \(2^2 - 2 = 2\)는 3의 배수가 아니다. 따라서 거짓. |
1권 29주차 정의 29.2의 서식. 검문이 걸음 ①의 오독을 즉시 잡는다. |
걸음 ①로 되물림. 남는 구조는 \(n(n-1)\) — 연속한 두 정수의 곱. |
§1.5 넷째 줄의 지시다. 여기서 되물림이 바꾼 것은 자격이 아니라 결론이다. |
걸음 ②(재진술). “모든 정수 \(n\)에 대해 \(n^2 - n\)은 짝수이다.” |
증명이 실제로 확보한 구조를 그대로 명제로 올린다. |
걸음 ③(재검문). \(n = -1, 0, 1, 2, 3\)에서 위반 없음. |
음수와 0을 함께 넣는 것이 서식 ②의 경계 공격이다. |
걸음 ④. 정수 \(n\)을 임의로 잡으면 \(n^2 - n = n(n-1)\)이고, 1권 1주차 문제 16에 의해 짝수이다. \(\blacksquare\) 산물은 정리 — 단, 원 명제를 특수 경우로 포함하지 않는 다른 축의 정리다(§1.5 다섯째 줄). |
증명이 새 명제 위에서 도는 것을 확인해야 라벨이 “정리”가 된다. 검문 통과만으로는 “추측”에서 멈춘다. |
이 예제의 요점. 일반화의 첫 시도는 자주 빗나간다. 빗나가는 것 자체는 결함이 아니고, 빗나감을 걸음 ③이 즉시 잡아 주는 배치가 이 절차의 이득이다. 검문이 없으면 거짓 명제가 그대로 정리로 선언되고, 검문이 있으면 되물림 한 번으로 올바른 축이 드러난다.
예제 2.2 — 가설 약화: 조건을 덜어내기#
이번에는 설계만 함께 하고, 본문은 완성본으로 본다. 축 ③은 대상이 두 종류이므로 명제를 둘 다룬다 — 약화가 불가능한 것과 가능한 것이다.
명제 A. 미분가능한 함수 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 모든 \(x\)에서 \(f'(x) = 0\)이면 \(f\)는 상수함수이다. (증명은 평균값 정리로 하며, 평균값 정리는 이 교재의 범위 밖이므로 미적분학의 결과로 인정하고 쓴다. 이번 주에는 증명의 재료가 무엇인지만 쓴다.)
명제 B. 양의 정수 \(a, b\)에 대해, \(a \mid b\)이고 \(b \mid a\)이면 \(a = b\)이다. (증명: \(b = ak\), \(a = bl\)인 정수 \(k, l\)이 존재하므로 \(a = a(kl)\)이고, \(a > 0\)이라 \(kl = 1\)이다. \(k, l\)이 양의 정수이므로 \(k = l = 1\)이고 따라서 \(a = b\)이다.)
확인 14. 두 명제의 설계표를 채워 보자.
명제 A — 가설 “미분가능”이 증명에서 쓰이는 자리: \(\underline{\qquad}\)
명제 B — 가설 “양의”가 증명에서 쓰이는 자리: \(\underline{\qquad}\) (두 곳이다)
답
명제 A: 증명의 모든 줄이다. 결론에 등장하는 대상 \(f'\) 자체가 미분가능성이
있어야 존재하므로, 이 가설은 증명의 재료가 아니라 명제가 성립할 무대 자체다.
판정법 표에서 “어느 줄에서도 인용되지 않은 조건”에 해당하지 않으므로 축 ③의
대상이 아니다.
명제 B: 두 곳이다. ㄱ. \(a = a(kl)\)에서 \(kl = 1\)을 뽑을 때 \(a \neq 0\)이 필요한데,
“양의”가 그것을 보장한다. ㄴ. \(kl = 1\)에서 \(k = l = 1\)을 확정할 때 \(k, l\)이 양의
정수라는 것이 필요하다. 두 자리 모두 “양의”가 부분적으로만 쓰이므로 판정법
다섯째 줄 — 가설과 결론을 함께 조정하는 축이다.
완성본 — 명제 B의 일반화.
증명의 한 줄 |
왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
걸음 ①. “양의”는 두 자리에서 쓰인다: \(a \neq 0\)의 보장, 그리고 \(kl = 1\)의 해를 \(k = l = 1\)로 좁히는 데. |
가설이 쓰인 자리를 세는 것이 축 ③의 걸음 ①이다. 쓰인 횟수가 아니라 쓰인 방식이 다음 걸음을 정한다. |
걸음 ②. “양의”를 지우고 “정수 \(a, b\)”로 진술한다. 그러면 \(kl = 1\)의 정수해는 \(k = l = 1\)과 \(k = l = -1\) 둘이다. |
가설을 지우면 그 가설이 좁혀 주던 경우가 되살아난다. 되살아난 경우를 세는 것이 재진술의 실제 내용이다. |
걸음 ③. \(a = 2\), \(b = -2\): \(2 \mid -2\)이고 \(-2 \mid 2\)이지만 \(a \neq b\)이다. 원래 결론은 거짓이 된다. |
검문이 지목하는 것은 “약화가 불가능하다”가 아니라 “결론을 그만큼 낮춰야 한다”이다. |
걸음 ②(재진술). 결론을 “\(a = b\) 또는 \(a = -b\)”로 낮춘다. \(a = 0\)인 경우도 무대에 들어오는데, \(0 \mid b\)이면 \(b = 0\)이므로 결론은 성립한다. |
경계 사례 \(a = 0\)은 원래 명제의 무대에 없었으므로 새로 검사해야 한다. 서식 ②의 경계 공격이다. |
걸음 ③(재검문). \(a = 3, b = -3\) 통과. \(a = b = 0\) 통과. \(a = 4, b = 2\)는 가정이 성립하지 않으므로 무관하다. |
가정을 만족하지 않는 값은 반례가 아니다 — 1권 29주차 정의 29.2의 검증 1(가정 만족)이 그것을 거른다. |
걸음 ④. 약화된 명제는 1권 2주차 문제 20에서 이미 증명되었다. 산물은 정리. |
일반화의 도착점이 이미 증명된 정리와 만나는 일이 흔하다. 그때 인용 한 줄로 걸음 ④가 끝난다. |
명제 A에 대한 결론. 걸음 ①에서 “모든 줄에서 쓰인다”가 나왔으므로 축 ③은 적용되지 않는다. 이 판정 자체가 결과다 — 일반화가 불가능하다는 것을 근거를 대고 말한 것이며, “해 봤는데 안 된다”와는 다르다.
이 예제의 요점. 축 ③에서는 가설을 지운 뒤 결론이 그대로 남는지를 따로 물어야 한다. 가설이 부분적으로 쓰였다면 결론도 그만큼 낮아진다. 등호 하나였던 결론이 두 갈래로 갈린 것이 정확히 그 낮아짐이다.
예제 2.3 — 진단: 정찰을 증명으로 삼은 답안#
이번에는 설계부터 스스로 해 보자.
답안. “\(1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2\)이다. 따라서 처음 \(n\)개의 홀수의 합은 항상 완전제곱이고 그 값은 \(n^2\)이다 — 증명 끝.”
확인 15. 이 답안에 §1.3의 네 걸음을 대 보자. 수행된 걸음은 어느 것이고 빠진 걸음은 어느 것인가.
답
수행된 것은 걸음 ②(재진술)뿐이다. 걸음 ①은 아예 불가능하다 — 정독할 증명문이
없고 사례 하나의 계산만 있다. 걸음 ③은 한 사례(\(n = 4\), 그리고 암묵적으로
\(n = 1, 2, 3\))에서만 이루어졌으므로 검문으로는 성립하지만 그 이상은 아니다.
걸음 ④는 완전히 빠졌다. “증명 끝”이라는 마지막 세 글자가 걸음 ④의 자리를
차지하고 있으며, 그 자리에 놓인 것은 검문 결과다.
진단. 병명은 정찰을 증명으로 삼은 것이다. 유한 개의 확인은 전칭 명제의 증명이 될 수 없고, 이것은 1권 1주차 문제 18에서 \(n^2 + n + 41\)이 39개의 사례를 통과하고도 거짓이었던 것으로 이미 확인한 사실이다. 이 답안이 특히 다루기 어려운 이유는 결론이 참이라는 데 있다. 등식 \(\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^2\)은 실제로 성립하며 귀납으로 증명된다(S14주차의 소재). 결론이 참이므로 답안을 읽는 사람이 틀린 곳을 찾지 못하고 넘어가기 쉽다.
올바른 흐름은 두 작업을 분리하는 것이다. 정찰은 명제를 발견하고, 증명은 그것을 확정한다. 정찰이 끝난 시점의 산물은 §1.5 셋째 줄의 “추측”이고, 추측에는 그 라벨을 붙여 보관한다 — 증명이 붙기 전까지 정리라 부르지 않는다. 이 답안을 고치는 데 필요한 것은 계산의 수정이 아니라 마지막 세 글자를 “이 등식을 추측으로 두고 귀납으로 증명한다”로 바꾸는 것이다.
관찰 — 같은 뼈대#
세 예제는 소재가 다르지만 걸음의 배치가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.
항목 |
예제 2.1 |
예제 2.2 명제 B |
예제 2.3 |
|---|---|---|---|
걸음 ①이 찾아낸 것 |
\(4 - 1 = 3\)이 값으로 쓰였다 |
“양의”가 두 자리에서 부분적으로 쓰였다 |
\(\underline{\quad(1)\quad}\) |
고른 축 |
① 상수 \(\to\) 변수 |
\(\underline{\quad(2)\quad}\) |
① 상수 \(\to\) 변수 |
걸음 ③의 결과 |
\(n = 2\)에서 반례 |
\(a = 2, b = -2\)에서 결론 위반 |
\(\underline{\quad(3)\quad}\) |
걸음 ④의 결과 |
축을 바꾼 뒤 증명이 돈다 |
결론을 낮추면 증명이 돈다 |
\(\underline{\quad(4)\quad}\) |
산물의 라벨 |
정리 |
정리 |
추측 |
확인 16. 빈칸 (1)~(4)를 채우고, 세 예제가 공통으로 지킨 순서를 네 걸음으로 적어 보자.
답
(1) 아무것도 찾아내지 않았다 — 정독할 증명문이 없으므로 걸음 ① 자체가 수행되지
않았다.
(2) ③ 강한 가설 \(\to\) 약한 가설 (판정법 다섯째 줄).
(3) 위반 없음 — \(n = 1, 2, 3, 4\)에서 통과.
(4) 수행되지 않았다. 재검사할 증명이 없으므로 산물이 추측에서 멈춘다.
공통 순서: ① 증명문을 정독해 쓰인 성질과 쓰이지 않은 특수성을 가른다 \(\to\) ② 쓰이지
않은 자리에 문자를 놓아 명제를 다시 적는다 \(\to\) ③ 작은 사례와 경계 사례로 검문한다
\(\to\) ④ 원래 증명을 새 명제 위에서 다시 읽고 산물을 라벨한다.
방금 확인한 순서에 제출 형식의 이름을 붙인다.
백지 암기 대상
일반화 보고의 서식
① 발동 질문의 답 — 증명이 쓴 성질과 쓰지 않은 특수성의 목록
② 고른 축과 새 진술 — §1.6 판정법 표의 몇째 줄이 근거인지 함께 적는다
③ 반례 검문의 결과 — 반례가 있으면 1권 29주차 정의 29.2의 서식 세 줄로
④ 증명 재검사의 결과와 산물의 라벨 — 정리 \(\cdot\) 추측 \(\cdot\) 거짓 명제 중 하나
네 줄 중 어느 하나라도 빠지면 보고가 아니라 관찰이다. 특히 ④의 라벨이 없으면 읽는 사람은 그 명제를 증명된 것으로 읽는다.
빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#
필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6에 있다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다.
훈련 1 ●○○ — 수식과 절차의 빈칸#
출발. “\(2^2 = 4\)이고 \(2 + 2 = 4\)이다 — 즉 \(2^2 = 2 + 2\)이다.”
걸음 ①. 이 확인에서 2에 대해 쓰인 것은 \(2^2 = 4\)와 \(2 + 2 = 4\)라는 계산 자체다. 곧 2가 그 값이라는 사실이 두 줄 모두에서 쓰였다.
걸음 ②. 그래도 문자로 풀어 본다: “모든 실수 \(n\)에 대해 \(n^2 = n + n\)이다.” 이 등식은 \(n^2 = 2n\), 곧 \(n(n - 2) = 0\)이므로 \(n = 0\) 또는 \(n = \underline{\quad(1)\quad}\)일 때만 참이다.
걸음 ③. \(n = 3\)을 넣으면 \(9 \neq 6\)이다 — 검문 \(\underline{\quad(2)\quad}\)(통과/위반).
판정. §1.6 판정법 표의 \(\underline{\quad(3)\quad}\)째 줄에 걸린다. 2가 계산에 값으로 들어가므로 이 상수는 풀 수 \(\underline{\quad(4)\quad}\)(있다/없다).
산물의 라벨. \(\underline{\quad(5)\quad}\).
대조 — 같은 조작이 통하는 자리. “덧셈의 교환법칙에 의해 \(2 + 3 = 3 + 2\)이다”가 인용한 것은 교환법칙 한 줄뿐이고, 2와 3의 어떤 특수성도 쓰이지 않았다(§1.2 표 셋째 줄). 따라서 “모든 실수 \(a, b\)에 대해 \(a + b = \underline{\quad(6)\quad}\)”으로 참되게 일반화되고, 이때 산물의 라벨은 \(\underline{\quad(7)\quad}\)이다.
훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#
이번에는 축 이름과 근거 번호도 빈칸이다.
출발 증명. “\(3 \mid 6\)이고 \(6 \mid 12\)이므로 \(3 \mid 12\)이다. 증명: \(6 = 3 \cdot 2\)이고 \(12 = 6 \cdot 2\)이므로 \(12 = (3 \cdot 2) \cdot 2 = 3(2 \cdot 2) = 3 \cdot 4\)이고 4는 정수이다.”
걸음 ①. 두 등식은 나누어떨어짐의 정의를 푼 것이고, 마지막 변형은 결합법칙과 닫힘성뿐이다. 곧 3, 6, 12의 값 자체는 어느 줄에서도 \(\underline{\quad(1)\quad}\)되지 않았다.
걸음 ②. 축은 \(\underline{\quad(2)\quad}\)이고 판정법 표 \(\underline{\quad(3)\quad}\)째 줄이 근거다. 새 진술: “정수 \(a, b, c\)에 대해 \(a \mid b\)이고 \(b \mid c\)이면 \(\underline{\quad(4)\quad}\)이다.”
걸음 ③. 작은 사례 \(a = 2\), \(b = 4\), \(c = 12\)에서 통과. 경계 사례로 음수를 넣어 \(a = -3\), \(b = 6\), \(c = 6\)에서도 통과. 위반 없음.
걸음 ④. 정수 \(a, b, c\)에 대해 \(a \mid b\)이고 \(b \mid c\)라 하자. 정의에 의해 \(b = ak\), \(c = bl\)인 정수 \(k, l\)이 존재한다(근거 \(\underline{\quad(5)\quad}\)). 그러면
이고 \(kl\)은 정수이므로(근거 \(\underline{\quad(6)\quad}\)) \(a \mid c\)이다. \(\blacksquare\)
산물의 라벨. \(\underline{\quad(7)\quad}\)이며, 이 명제는 1권 2주차에서 나누어떨어짐의 \(\underline{\quad(8)\quad}\)이라는 이름으로 이미 증명되어 있다.
훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#
이번에는 걸음 ①부터 스스로 한다. 각 칸을 문장으로 통째로 채운다.
출발 명제와 그 증명. 모든 양의 정수 \(n\)에 대해 \(n^2 \ge n\)이다. 증명: \(n\)이 양의 정수이므로 \(n \ge 1\)이고 \(n > 0\)이다. 부등식 \(n \ge 1\)의 양변에 양수 \(n\)을 곱하면(1권 16주차 (W3)) \(n \cdot n \ge 1 \cdot n\), 곧 \(n^2 \ge n\)이다. \(\blacksquare\)
① 걸음 ①의 목록 — 가설 “양의 정수”가 증명의 어느 자리에서 무엇을 위해 쓰이는가: \(\underline{\quad(1)\quad}\)
② 고른 축과 새 진술, 그리고 판정법 표의 몇째 줄이 근거인가: \(\underline{\quad(2)\quad}\)
③ 반례 검문 — 작은 사례 셋과 경계 사례 셋. 위반이 나오면 1권 29주차 정의 29.2의 서식으로: \(\underline{\quad(3)\quad}\)
④ 검문 결과에 따라 자격을 정한 최종 진술 (더 넓힐 수 있는 자리가 있으면 넓혀서): \(\underline{\quad(4)\quad}\)
⑤ 최종 진술의 증명 전체와 산물의 라벨: \(\underline{\quad(5)\quad}\)
연습문제 (20문항)#
해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 접근까지만 읽고 다시 시도한다.
이번 주의 채점 기준
답이 아니라 근거가 점수다. 이번 주의 제출 규격은 §2 끝의 일반화 보고 서식 네 줄이다: ① 발동 질문의 답(증명이 쓴 성질과 쓰지 않은 특수성) ② 고른 축과 새 진술, 그리고 판정법 표의 몇째 줄이 근거인지 ③ 반례 검문의 결과 — 반례가 있으면 1권 29주차 정의 29.2의 서식 세 줄로 ④ 증명 재검사의 결과와 산물의 라벨. 새 명제가 옳아도 ①이 없으면 그 답안은 추측의 나열로 읽히고, ④의 라벨이 없으면 검문만 통과한 명제를 정리로 주장한 것이 된다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.
기본 ●○○#
1. [백지] 발동 질문, 세 일반화 축, 과일반화를 막는 반례 검문 절차, 그리고 “일반화의 산물은 정리이거나 추측이다”를 가르는 기준을 쓰시오.
힌트
정의 18.1, 정의 18.2, §1.4의 세 줄 서식, §1.5의 표가 그대로 답이다. 통째로
외우기보다 “증명이 쓴 것은 가설로 남기고 쓰지 않은 것은 문자로 푼다”라는 한
문장에서 나머지를 재구성하는 쪽이 재현률이 높다.
2. 다음 특정 명제를 상수 \(\to\) 변수 축으로 일반화한 후보를 쓰시오 (검증 불요). (a) \(3 + 3 = 2 \times 3\). (b) \(5^2 - 1 = (5-1)(5+1)\). (c) 처음 3개 자연수의 합은 6이다. (d) \(2^4 = 16\)과 \(4^2 = 16\)의 비교 (등호이므로 부등호 방향에 주의).
힌트
각 명제에서 값으로 박혀 있는 수를 하나 고르고 그 자리에 문자를 놓는다.
검증은 하지 않으므로 걸음 ②까지만 하면 된다. (d)만은 자격을 붙이지 않으면
부등호가 정해지지 않는다 — 어느 \(n\)에서 등호가 되는지 먼저 확인한다.
3. 예제 2.1을 백지에 재현하시오 — 첫 일반화 시도가 왜 실패했고 올바른 축이 무엇이었는지까지.
힌트
재현의 뼈대는 다섯 줄이다: 출발 증명 / 걸음 ①의 목록 두 줄 / 실패한 첫 진술
/ 반례 \(n = 2\)의 서식 세 줄 / 되물린 진술과 그 증명. 실패한 첫 진술을 빼고
적으면 이 예제의 요점이 사라진다.
4. §3의 빈칸 사다리 훈련 1~3을 백지에서 완성하시오.
힌트
훈련 3이 막히면 훈련 1의 판정 부분을 먼저 다시 본다. 두 훈련 모두 “가설이
증명의 어느 줄에서 쓰이는가”를 세는 일이고, 세는 대상만 다르다.
5. 예제 2.3의 답안을 재현하고, 병명(정찰을 증명으로 삼음)과 올바른 흐름을 쓰시오.
힌트
병명을 “계산이 틀렸다”로 적으면 안 된다 — 계산은 옳고 결론도 참이다.
잘못된 것은 마지막 세 글자가 차지한 자리다. 네 걸음 중 어느 걸음이 그 자리에
있어야 했는지 지목한다.
6. “\(4 = 2 + 2\)이고 4는 짝수이다”에서 “모든 짝수는 두 짝수의 합인가?”를 반례 검문하시오. (\(2\)는 어떤가 — 경계 사례 공격.)
힌트
검문 결과가 갈린다. 갈리는 이유는 계산이 아니라 진술에 있다 — “짝수”에 0이
들어가는지를 명제가 정하지 않았다. 두 경우를 각각 판정하고, 일반화할 때
무엇을 먼저 특정해야 했는지 적는다.
표준 ●●○#
표기 — 서로소와 \(\gcd\)
두 정수의 공약수가 \(\pm 1\)뿐일 때 두 수는 서로소라 한다(1권 2주차에서 낱말만 나왔다). 최대공약수는 \(\gcd(a, b)\)로 적고 “지시디 에이 비”로 읽는다. 이번 주에는 “\(\gcd(n, 6) = 1\)”을 “\(n\)과 6이 서로소이다”, 곧 “\(n\)이 2로도 3으로도 나누어떨어지지 않는다”로 읽기만 하면 된다. \(\gcd\)의 정식 정의와 성질은 C15주차(Chartrand 12장)에서 다룬다.
7. 명제 “\(5^2 - 1 = 24\)”를 일반화하시오. 항등식 “\(n^2 - 1 = (n-1)(n+1)\)”은 항상 성립하지만 “\(n^2 - 1\)이 24의 배수”는 언제인가. 작은 사례 \(n = 5, 7, 11, 13\)으로 정찰하고 추측을 진술하시오 (증명은 C15주차에서 다룬다).
힌트
정찰이 통과한 네 수의 공통점부터 찾는다. 넷 다 홀수이고, 넷 다 3의 배수가
아니다. 그 다음 반례 후보를 그 공통점을 어긴 쪽에서 고른다 — \(n = 3\)과
\(n = 4\)를 각각 넣어 보면 어느 조건이 필요한지 갈린다.
8. 명제 “정수 \(a, b\)에 대해 \(a^2 + b^2 \ge 2ab\)”의 증명(\((a-b)^2 \ge 0\) — 1권 16주차 (W1))을 보고 가설 “정수”를 약화할 수 있는지 검토하시오 — “실수”로 되는가, “복소수”로는 어떤가.
힌트
걸음 ①을 증명의 두 줄에 각각 건다. 제곱이 0 이상이라는 것과 부등호가
뜻을 갖는다는 것 중 무엇이 무대에 요구되는가. 복소수에서 무너지는 것은
계산이 아니라 기호 하나의 의미다.
이 문제가 빌려 쓰는 사실
(ㄱ) 유클리드 기하의 평행선 공준과 그것으로부터 나오는 엇각의 성질, (ㄴ) 구면 위의 큰 원을 변으로 하는 삼각형에 대한 사실은 이 교재에서 증명하지 않았으므로 지금은 인정하고 쓴다(증명은 기하 교재로 미룬다). 이 문제가 요구하는 것은 두 기하를 세우는 일이 아니라, 증명이 인용한 공리가 무대를 어떻게 제한하는지를 읽는 일이다.
9. 명제 “삼각형의 세 각의 합은 \(180°\)이다”를 일반화 축들로 확장 검토하시오. (a) 사각형은? \(n\)각형은? (b) 이 일반화가 성립하는 무대(평면과 구면)의 제약. 작은 사례 \(n = 3, 4, 5\)로 정찰하시오.
힌트
(a)는 축 ①이다 — 3을 \(n\)으로 푼다. 정찰한 세 값을 나열하면 차이가 일정하고,
그 차이가 어디서 나오는지는 다각형을 삼각형으로 쪼개 보면 보인다.
(b)는 축 ②의 무대 문제다. 증명이 어떤 사실을 썼는지 물으면 무대의 조건이 나온다.
10. 다음 성급한 일반화를 반례로 잡으시오. “\(\frac12 + \frac14 = \frac34 < 1\), \(\frac12 + \frac14 + \frac18 = \frac78 < 1\) — 따라서 \(\sum_{k=1}^n \frac1{2^k} < 1\)이고, 일반적으로 분수를 계속 더하면 언제나 1 미만이다.” 마지막 일반화가 과한 이유와, 무엇을 특정하지 않아 무너졌는지 쓰시오.
힌트
반례는 아주 작은 수로 만들 수 있다. 그리고 이 문제의 요점은 반례 자체가
아니라 마지막 문장이 지운 것이다 — 앞의 두 계산이 실제로 쓴 조건 두 가지를
적어 보면 마지막 문장에 그 둘이 남아 있지 않다.
11. 명제 “짝수 2와 짝수 4의 곱 8은 4의 배수이다”를 일반화하시오. “두 짝수의 곱은 4의 배수인가?”를 반례 검문한 뒤, 참이면 증명하시오.
12. 가설 약화 종합. 명제 “\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 모든 \(x, y\)에 대해 \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)이고 연속이면 \(f(x) = cx\) 꼴이다”에서, S7주차\(\cdot\)S13주차에서 “연속” 없이 증명한 것은 어디까지였는지 밝히시오.
이 문제가 빌려 쓰는 사실
연속 가설을 완전히 지우면 \(f(x) = cx\) 꼴이 아닌 가법함수가 존재한다. 그 함수의 구성은 선택공리를 쓰는 것이어서 이 교재의 범위를 넘으므로, 존재만 인정하고 쓴다. 이 문제에서 확인할 것은 그 구성이 아니라 “연속을 지우면 결론의 범위가 어디까지 줄어드는가”이며, S7주차 문제 15와 S13주차 문제 17이 그 범위의 특수 경우를 증명해 두었다. 유리수 전체로의 확장은 이 문제의 해설에서 귀납으로 마저 증명한다.
힌트
S7주차 문제 15는 \(f(2x) = 2f(x)\)와 \(f(x/2) = f(x)/2\)까지 갔고, S13주차 문제 17은
\(f(1) = 3\)일 때 모든 정수 \(n\)에서 \(f(n) = 3n\)이 강제됨을 보였다. 두 결과가 보인
방식을 임의의 정수와 임의의 분모로 되풀이하면 어떤 수 전체에 대해
\(f(qx) = qf(x)\)가 서는지 나온다. 거기까지가 연속 없이 얻는 범위다.
13. 명제 “\(1^3 + 2^3 = 9 = (1+2)^2\)”을 일반화하시오. 작은 사례 \(n = 1, 2, 3\)으로 정찰하고, 이 추측이 S14주차 문제 8에서 증명된 정리임을 확인하시오.
14. 반례로 자격 좁히기. 1권 1주차 문제 18의 “모든 자연수 \(n\)에 대해 \(n^2 + n + 41\)은 소수이다”의 실패를 일반화의 언어로 서술하시오 — 이 명제는 어떤 과일반화였고, 참인 축소 명제(”\(1 \le n \le 39\)에서 소수”)로 되물리는 것이 왜 시시한지 쓰시오.
힌트
앞부분은 §1.5의 넷째 줄, 뒷부분은 §1.4의 되물림이다. 되물림이 값진 경우
(\(n \ge 5\)에서 \(2^n > n^2\))와 이 문제의 되물림이 무엇이 다른지 대조하면
“시시하다”의 내용이 나온다. 좁힌 뒤에도 무한이 남는가를 묻는다.
도전 ●●●#
15. (일반화 설계) 명제 “\(1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}2\)”을 가중치 축(\(\sum_{k=1}^n k \cdot r^{k}\))으로 키우는 것은 어려우므로, 첫항 \(a\)와 공차 \(d\)의 등차수열로 일반화하시오: \(\sum_{k=1}^n (a + (k-1)d)\)의 공식 \(\frac n2(2a + (n-1)d)\)를 귀납으로 증명하시오. (특정 수열에서 임의의 등차수열로, 상수 두 개를 도입하는 일반화다.)
힌트
귀납 단계에서 \(S_{n+1} = S_n + (a + nd)\)로 시작한다. 목표는
\(\frac{n+1}2(2a + nd)\)이므로, 계산 도중에 \(a\)의 계수와 \(d\)의 계수를 따로
모으면 어디로 가야 하는지 보인다. 마지막에 \(a = d = 1\)을 넣어 원래 공식이
복원되는지 확인하는 것이 검산이다.
16. (약화의 한계) 명제 “연속함수 \(f: [0,1] \to \mathbb{R}\)는 최댓값을 갖는다”(최대\(\cdot\)최소 정리)에서 가설을 하나씩 약화해 반례를 찾으시오. (a) “연속”을 제거하면? (b) 정의역 \([0,1]\)(닫히고 유계)을 \((0,1)\)(열린)로 바꾸면? (c) 정의역을 \([0,\infty)\)(닫혔으나 유계가 아님)로 바꾸면?
이 문제가 빌려 쓰는 사실
최대\(\cdot\)최소 정리 자체는 이 교재의 범위 밖이므로 지금은 인정하고 쓴다(증명은 해석학 교재로 미룬다). 이 문제가 요구하는 것은 정리의 증명이 아니라 세 가설이 각각 본질적임을 반례로 보이는 일이며, 반례는 전부 1권 29주차 정의 29.2의 서식으로 적는다.
힌트
세 반례 중 둘은 같은 함수 \(f(x) = x\)로 끝난다 — 무대만 바꾸면 된다. 나머지
하나는 함수를 손으로 만들어야 하고, 값이 한 점에서만 뚝 떨어지게 하면 된다.
(b)의 무대에서 최댓값이 없다는 증명은 S11주차 문제 18에 있다.
이 문제가 빌려 쓰는 사실
(ㄱ) 피타고라스 정리와 (ㄴ) 코사인 법칙 \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)는 이 교재에서 증명하지 않았으므로 지금은 인정하고 쓴다(증명은 기하 교재로 미룬다). 이 문제가 요구하는 것은 두 정리의 증명이 아니라, 각 일반화가 어느 축에 놓이는지의 판정과 원식이 특수 경우로 복원되는지의 검증이다.
17. (차원 일반화) 피타고라스 정리 \(a^2 + b^2 = c^2\)(직각삼각형)를 두 축으로 일반화하시오. (a) 3차원 직육면체의 대각선 \(d\)에 대한 식, 그리고 \(n\)차원으로의 확장. (b) 직각을 임의의 각으로 푼 일반화 — 코사인 법칙. 각 일반화가 원래 식을 특수 경우로 포함함을 명시하시오.
힌트
(a)는 피타고라스를 두 번 쓴다 — 밑면의 대각선을 먼저 구하고, 그것과 높이로
다시 한 번. (b)는 \(C = 90°\)를 대입해 원식이 복원되는지 확인하는 줄이 답안의
필수 항목이다. 좋은 일반화는 원식을 특수 경우로 되돌려 준다.
표기 — 페르마 수 \(F_n\)
\(2^{2^n}\)은 “2의 (\(2\)의 \(n\)제곱)제곱”으로 읽는다. 지수가 두 겹이므로 아래에서 위로 계산한다 — \(n = 3\)이면 \(2^3 = 8\)이 먼저이고 \(2^8 = 256\)이 그 다음이다. \(F_n = 2^{2^n} + 1\)을 페르마 수라 하고 “에프 엔”으로 읽는다.
18. (일반화와 반례) 추측 “모든 \(n\)에 대해 \(F_n = 2^{2^n} + 1\)은 소수이다”를 조사하시오. \(n = 0, 1, 2, 3, 4\)에서 소수임을 확인하고(3, 5, 17, 257, 65537), 오일러가 \(n = 5\)에서 찾은 반례 \(2^{32} + 1 = 641 \times 6700417\)을 서술하시오. 다섯 사례의 확인이 전칭 명제를 보증하지 못한다는 1권 1주차의 교훈과 연결하시오. (\(641 \mid 2^{32} + 1\)을 직접 계산할 필요는 없고 서술로 충분하다.)
힌트
확인 자체는 계산이다. 채점되는 것은 그 뒤의 두 줄이다 — 다섯 사례를 통과한
시점에서 산물의 라벨이 무엇이었는지, 그리고 그 라벨을 정리로 올리려면
무엇이 더 있어야 했는지. §1.3의 삭제 실험 (나)와 같은 구조다.
19. (설계 — 자기 일반화) S9주차부터 S17주차 사이에 증명한 명제 하나를 골라 세 축 중 하나로 일반화하고, 반례 검문을 거쳐, 통과하면 재증명하시오. 다룰 수 있는 크기의 일반화를 고르는 것도 이 문제의 채점 대상이다.
힌트
크기 판단의 기준은 하나다 — 걸음 ④를 자기 손으로 끝낼 수 있는가. 끝낼 수
없다면 그 진술을 추측으로 라벨해 보관하고, 한 단계 작은 일반화를 다시
고른다. 보관도 정답이며, 라벨 없이 정리라 부르는 것만이 오답이다.
20. (서술) (a) “일반화는 증명이 쓰지 않은 것을 특정하지 않는 기술”임을 예제 2.1\(\cdot\)2.2로 뒷받침하고, S6주차의 임의성 원칙(“자격 외의 성질을 쓰지 않았다”)이 어떻게 능동적 도구가 되는지 세 문장 이내로 쓰시오. (b) 일반화와 반례 검문이 왜 짝이어야 하는지를 예제 2.3과 문제 18로 두 문장 이내로 설명하시오.
힌트
(a)의 핵심은 방향의 전환이다. S6주차에서는 “쓰지 않았으므로 모든 값에
통한다”였고, 이번 주는 같은 문장을 “쓰지 않았으므로 애초에 특정할 필요가
없다”로 읽는다. (b)는 §1.3의 두 삭제 실험을 각각 한 문장으로 압축하면 된다.
백지 재현 — 복습 프로토콜#
이번 주의 5일 루틴. 원서와 교안을 번갈아 쓰는 순서다.
요일 |
할 일 |
|---|---|
1일차 |
원서 Solow 16장 통독 (모르는 문장은 표시만 하고 통과) |
2일차 |
교안 §0~§2 — 개념과 예제. 확인 상자는 연필로 먼저 답한다 |
3일차 |
원서 재독 — 1일차에 표시한 문장이 전부 해결되었는지 확인하고, 원서 16장의 연습문제 몇 개를 직접 시도 |
4일차 |
교안 §3 빈칸 사다리 + §4 연습문제 20문항 |
5일차 |
백지 재현 1차(틀 카드)\(\cdot\)2차(완전 백지) + 체크리스트 |
3일차의 재독이 이번 주에는 특히 중요하다. 원서 16장은 완성된 일반화의 결과를 나란히 보이는 방식으로 지나가므로, 교안 §1.3의 네 걸음과 §1.6의 판정법 표를 손에 쥐고 다시 읽으면 원서의 각 사례가 어느 걸음에서 무엇을 관찰한 것인지 짚을 수 있다. 특히 원서가 결과만 보이고 넘어간 자리에서 걸음 ③이 수행되었는지를 스스로 채워 보는 것이 이 주의 재독 과제다.
1차 시도 — 틀 카드 허용. 다음 세 상자만 옮겨 적은 카드를 펴 놓는다: S18주차 정의 18.1, 정의 18.2, §1.6의 판정법 표. 그 상태에서 예제 2.1을 걸음 ①부터 산물의 라벨까지 적고, 이어서 예제 2.2 명제 B를 일반화 보고 서식 네 줄로 적는다. 예제 본문과 확인 상자는 보지 않는다.
2차 시도 — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다.
정의 18.1의 발동 질문을 문장 그대로 썼고, 그 물음을 명제가 아니라 증명문에 던진다는 것을 한 줄로 밝혔다.
세 축과 각 축이 무엇을 푸는지를 표로 재현했다.
일반화의 네 걸음과 각 걸음을 빼면 무너지는 것을 재현했다.
걸음 삭제 실험 둘(검문을 지운 답안, 증명 재검사를 지운 답안)을 재현하고 각각 무엇이 무너지는지 적었다.
§1.4의 반례 검문 서식 세 줄을 쓰고, 되물림의 예를 하나 들었다.
§1.5 표의 여섯 줄 — 산물의 라벨과 각각 그 다음에 할 일 — 을 재현했다.
일반화 보고 서식 네 줄(① 발동 질문의 답 ② 고른 축과 새 진술 ③ 반례 검문의 결과 ④ 증명 재검사와 산물의 라벨)을 재현했다.
§1.6 판정법 표 여섯 줄을 재현하고, 둘째 줄이 §0 유형 2의 답을 어떻게 막는지 설명했다.
예제 2.1을 처음부터 끝까지 재현하고, 첫 시도의 실패와 되물림을 빠짐없이 적었다.
예제 2.2에서 가설이 부분적으로 쓰이면 결론이 어떻게 낮아지는지 적었다.
막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.
막힌 지점 |
처방 |
|---|---|
어느 상수를 풀지 정하지 못한다 |
§1.6 판정법 표 첫째\(\cdot\)둘째 줄 — 그 수가 자격으로 쓰였는지 값으로 쓰였는지만 묻는다 |
일반화한 명제가 자꾸 거짓이 된다 |
§1.3 걸음 ① — 정독이 부실한 것이다. 증명의 각 등식이 그 값의 무엇을 쓰는지 줄 단위로 다시 적는다 |
가설 중 무엇을 지울지 모르겠다 |
예제 2.2의 걸음 ① — 가설 목록과 증명문을 한 줄씩 대조하고, 인용되지 않은 가설을 표시한다 |
검문은 통과했는데 증명이 안 된다 |
§1.5 셋째 줄 — 산물은 추측이다. 라벨을 달아 보관하는 것이 정답이며 억지로 증명을 만들 필요가 없다 |
반례를 어디서 찾을지 모르겠다 |
§1.4 서식 ② — 0, 음수, 등호 자리, 1, 정의가 갈리는 지점부터 넣는다 |
되물린 명제가 시시해 보인다 |
문제 14 — 좁힌 뒤에도 무한이 남는지를 묻는다. 남으면 정리이고 남지 않으면 목록이다 |
산물의 라벨을 무엇으로 달지 헷갈린다 |
§1.5 표 — 걸음 ③과 ④의 결과 조합이 라벨을 결정한다. 검문 통과만으로는 추측에서 멈춘다 |
하나라도 실패하면 그 항목만 다시 적고 다음날 재시도한다.
해설#
각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.
빈칸 사다리 — 훈련 1#
(1) \(2\) (2) 위반 (3) 둘 (4) 없다 (5) 거짓 명제 (6) \(b + a\) (7) 정리
※ 이 훈련의 요점은 같은 조작이 한 자리에서는 거짓 명제를, 다른 자리에서는 정리를 낳는다는 것이다. 갈림은 걸음 ①에서 이미 정해져 있었다 — “\(2^2 = 2+2\)”에서는 2가 계산에 값으로 들어갔고, “\(2 + 3 = 3 + 2\)”에서는 2와 3이 어느 줄에서도 값으로 인용되지 않았다. 뒤쪽에서 산물의 라벨이 정리가 되는 근거는 사례 검증이 아니다 — 원 증명이 인용한 것이 덧셈의 교환법칙 한 줄뿐이고 그 법칙이 임의의 실수에서 성립하므로, 걸음 ④(원 증명이 새 명제 위에서 도는가)가 그대로 통과한다. 조작을 하기 전에 정독을 하라는 지시가 §1.3 걸음 ①의 배치다.
빈칸 사다리 — 훈련 2#
(1) 인용 (2) 상수 \(\to\) 변수 (축 ①) (3) 첫 (4) \(a \mid c\) (5) ① 정의 (6) ② 닫힘성 (7) 정리 (8) 추이성
※ 훈련 1과 대조하면 판정의 기준이 선명해진다. 여기서 3, 6, 12는 정의를 푸는 자리에만 등장했고 그 값이 마지막 등식에 쓰이지 않았다 — 판정법 첫째 줄이다. 그리고 걸음 ④가 원래 증명문을 거의 그대로 복사한다는 점도 관찰할 것이다. \(3 \cdot 2\)가 \(ak\)로, \(2 \cdot 2\)가 \(kl\)로 바뀐 것이 전부다. 이것이 §1.5 첫째 줄 (“한 줄도 안 고치고 돈다”)에 가장 가까운 사례다.
빈칸 사다리 — 훈련 3#
(1) “양의 정수”는 두 가지를 준다. ㄱ. 정수이고 양수이므로 \(n \ge 1\)이다 — 이것이 부등식 \(n \ge 1\)의 출처다. ㄴ. \(n > 0\)이므로 (W3)으로 양변에 곱할 때 부등호 방향이 보존된다. 곧 “정수”라는 조각은 \(n \ge 1\)을 끌어내는 데만 쓰였고, 그 밖의 자리에서는 인용되지 않았다.
(2) 축 ③(강한 가설 \(\to\) 약한 가설), 판정법 여섯째 줄. “정수”가 \(n \ge 1\)을 끌어내는 데만 쓰였으므로 그 결론만 남기고 정수라는 조각은 지운다. 새 진술: “\(n \ge 1\)인 모든 실수 \(n\)에 대해 \(n^2 \ge n\)이다.”
(3) 작은 사례: \(n = 1\)에서 \(1 \ge 1\) ✓, \(n = 2\)에서 \(4 \ge 2\) ✓, \(n = 1.5\)에서 \(2.25 \ge 1.5\) ✓. 경계 사례: \(n = 0.5\)에서 \(0.25 \ge 0.5\)는 거짓이지만 \(0.5\)는 새 진술의 가설 \(n \ge 1\)을 만족하지 않으므로 반례가 아니다 (1권 29주차 정의 29.2의 검증 1(가정 만족)에서 걸러진다). \(n = 0\)과 \(n = -1\)도 같은 이유로 반례가 아니다. 위반 없음.
(4) 경계 공격에서 걸러진 값들을 다시 보면 넓힐 자리가 나온다. \(n \le 0\)인 실수에서는 \(n^2 \ge 0 \ge n\)이므로 결론이 성립한다. 따라서 최종 진술은 “\(n \le 0\) 또는 \(n \ge 1\)인 모든 실수 \(n\)에 대해 \(n^2 \ge n\)이다”이고, \(0 < n < 1\)에서는 거짓이다(\(n = 0.5\)가 반례).
(5) 증명. 실수 \(n\)이 \(n \le 0\) 또는 \(n \ge 1\)을 만족한다고 하자. \(n \ge 1\)인 경우, 부등식 \(n \ge 1\)의 양변에 양수 \(n\)을 곱하면 (W3)에 의해 \(n^2 \ge n\)이다. \(n \le 0\)인 경우, (W1)에 의해 \(n^2 \ge 0\)이고 \(0 \ge n\)이므로 (W6) 추이성에 의해 \(n^2 \ge n\)이다. 두 경우가 무대를 덮으므로 결론이 성립한다. \(\blacksquare\) 산물의 라벨은 정리다.
※ 이 훈련의 요점은 경계 공격이 반례만 찾는 것이 아니라는 것이다. 가설에서 걸러진 값들을 모아 보면 그중 일부가 결론을 여전히 만족하고, 그 값들이 곧 일반화를 한 번 더 넓힐 자리가 된다. 이 훈련에서는 반례가 하나도 나오지 않았으므로 넷째 줄(검문에서 반례가 나온 경우)이 걸리는 자리가 아니다. 걸음 ③의 경계 공격에서 검증 1(가정 만족)로 걸러진 값을 모아 걸음 ②로 되돌리는 별도의 순환이며, §1.5 표의 여섯째 줄이 그것을 담는다.
문제 1#
접근. 네 덩어리를 재생하는 문제다. 외운 문장을 옮기기보다 각 덩어리가 무엇을 막아 주는지 한 줄씩 덧붙이며 적는 쪽이 재현률이 높다. 발동 질문은 축을 근거 없이 고르는 것을 막고, 세 축은 풀 자리를 찾지 못해 멈추는 것을 막고, 반례 검문은 거짓 명제를 정리로 선언하는 것을 막고, 산물의 기준은 검문 통과를 증명으로 삼는 것을 막는다.
풀이. ① 발동 질문(정의 18.1). 증명 한 편을 완성한 뒤 그 증명문에 묻는다 — “이 증명은 특정한 값(또는 대상)의 어떤 성질을 실제로 사용했는가.” 사용된 성질만 가설에 남기고, 사용되지 않은 특수성은 문자로 푼다. 물음의 대상은 명제가 아니라 증명문이다.
② 세 축(정의 18.2). ㄱ. 상수 \(\to\) 변수: 명제에 값으로 박힌 수를 문자로 놓는다. ㄴ. 특정 대상 \(\to\) 임의 대상: 이름이 붙은 하나의 대상을 그 성질을 갖는 것 전체로 넓힌다. ㄷ. 강한 가설 \(\to\) 약한 가설: 증명이 인용하지 않은 가설을 지우거나 약한 것으로 바꾼다.
③ 반례 검문 서식(§1.4). ㄱ. 작은 사례 정찰 — \(n = 1, 2, 3\). ㄴ. 경계\(\cdot\)특수 사례 공격 — 0, 음수, 등호 자리, 1, 빈 집합, 정의가 갈리는 지점. ㄷ. 위반이 하나라도 나오면 1권 29주차 정의 29.2의 서식(제시 \(\cdot\) 검증 1(가정 만족) \(\cdot\) 검증 2(결론 위배))으로 적고 자격을 좁히거나 결론을 바꿔 되물린다.
④ 정리와 추측을 가르는 기준(§1.5). 검문 통과는 반례를 아직 찾지 못했다는 뜻일 뿐이므로 산물은 추측이다. 원래 증명이 새 명제 위에서 도는 것을 확인해야 정리가 된다. 검문에서 반례가 나오면 거짓 명제이고, 걸음 ①로 돌아가 자격을 좁히거나 결론을 바꿔 되물린다.
복기. 네 덩어리 중 실전에서 가장 먼저 손이 가는 것은 ③이다. 값이 싸고 결과가 즉시 나오기 때문이다. 그러나 ③만 반복하면 산물이 영원히 추측에 머문다 — ①과 ④가 있어야 라벨이 올라간다.
문제 2#
접근. 검증이 요구되지 않으므로 걸음 ②까지만 한다. 각 명제에서 값으로 박혀 있는 수를 하나 고르고 그 자리에 문자를 놓으면 된다. 다만 (c)는 우변의 6을 그대로 두면 문자 자리가 보이지 않으므로 \(6 = \frac{3 \cdot 4}{2}\)로 다시 적어야 하고, (d)는 자격을 붙이지 않으면 부등호가 정해지지 않는다.
풀이. (a) \(3 + 3 = 2 \times 3\)에서 3을 푼다. 후보: “모든 실수 \(n\)에 대해 \(n + n = 2n\)이다.” (검증은 요구되지 않았으나, 이 후보는 분배법칙 한 줄로 참이다.)
(b) \(5^2 - 1 = (5-1)(5+1)\)에서 5를 푼다. 후보: “모든 실수 \(n\)에 대해 \(n^2 - 1 = (n-1)(n+1)\)이다.” 우변을 전개하면 \(n^2 - 1\)이므로 항등식이다.
(c) 우변을 먼저 다시 적는다: \(6 = \frac{3 \times 4}{2}\). 그러면 3이 두 자리에 나타나므로 후보: “모든 자연수 \(n\)에 대해 처음 \(n\)개 자연수의 합은 \(\frac{n(n+1)}{2}\)이다.” 값 6을 그대로 둔 채 “처음 \(n\)개의 합은 6”이라고 적으면 문자가 좌변에만 들어가 무의미한 진술이 된다 — 상수를 풀 때는 양변에서 동시에 푸는지 확인해야 한다.
(d) \(2^4 = 16\)과 \(4^2 = 16\)에서 4를 푼다. 출발 관찰이 등식이므로 첫 후보도 등식이다.
후보 ㄱ(등식). “모든 자연수 \(n\)에 대해 \(2^n = n^2\)이다.” 검문하면 \(n = 1\)에서 \(2 \neq 1\), \(n = 3\)에서 \(8 \neq 9\)이므로 거짓 명제다. 이 등식이 참인 \(n\)은 2와 4 둘뿐이며, 값 두 개에서만 참인 등식을 전칭으로 올린 것이라는 점에서 §3 훈련 1의 “\(n^2 = n + n\)”과 정확히 같은 구조다.
후보 ㄴ(부등식). 검문에서 나온 값들을 나란히 놓으면 방향이 보인다 — \(n = 1\)에서 \(2 > 1\), \(n = 2\)에서 \(4 = 4\), \(n = 3\)에서 \(8 < 9\), \(n = 4\)에서 \(16 = 16\), \(n = 5\)에서 \(32 > 25\), \(n = 6\)에서 \(64 > 36\)이다. \(n \ge 5\)부터는 좌변이 한 방향으로 벌어진다. 그래서 등식 후보를 버리고 부등식 후보 “모든 자연수 \(n\)에 대해 \(2^n > n^2\)이다”로 옮긴다. 이 후보는 \(n = 2\)에서 \(4 = 4\), \(n = 3\)에서 \(8 < 9\), \(n = 4\)에서 \(16 = 16\)이므로 무너진다. 출발 자리인 \(n = 4\)가 하필 등호였다는 것이 이 문제의 함정이며, 등호는 부등호를 주지 않는다. 자격을 “\(n \ge 5\)”로 좁힌 “\(5\) 이상의 모든 자연수 \(n\)에 대해 \(2^n > n^2\)이다”가 참인 진술이고, S14주차 문제 11에서 귀납으로 증명되었다.
복기. (c)와 (d)가 보이는 것은 걸음 ②가 기계적이지 않다는 것이다. (c)는 상수를 푸는 자리가 한 곳이 아니었고, (d)는 출발 사례가 경계였다. 출발 사례가 등호나 경계이면 일반화의 자격이 그 자리에서 갈린다는 것을 기억해 둘 것.
문제 3#
접근. 재현의 뼈대는 다섯 덩어리다: 출발 증명 / 걸음 ①의 목록 / 실패한 첫 진술 / 반례의 서식 세 줄 / 되물린 진술과 증명. 실패한 첫 진술을 빼고 결과만 적으면 이 예제가 가르치는 것이 사라진다 — 예제 2.1의 요점은 올바른 답이 아니라 틀린 답이 어떻게 잡히는가이기 때문이다.
풀이. 출발 증명. \(4^2 - 4 = 4(4-1) = 4 \cdot 3\)이고 4는 정수이므로 3의 배수이다.
걸음 ①. 첫째 등식 \(4^2 - 4 = 4(4-1)\)은 4의 성질을 아무것도 쓰지 않는다 (\(x^2 - x = x(x-1)\)은 임의의 수에서 성립한다). 둘째 등식 \(4(4-1) = 4 \cdot 3\)은 \(4 - 1 = 3\)을 쓰며, 이것은 4에만 있는 성질이다.
걸음 ②(첫 시도). “모든 정수 \(n\)에 대해 \(n^2 - n\)은 3의 배수이다.”
걸음 ③. 제시: \(n = 2\). 검증 1(가정 만족): 2는 정수이므로 명제의 자격을 만족한다. 검증 2(결론 위배): \(2^2 - 2 = 2\)이고 \(2 = 3k\)인 정수 \(k\)는 없다. 따라서 첫 진술은 거짓 명제다.
되물림과 재진술. 걸음 ①로 돌아가면 남는 구조는 \(n(n-1)\), 곧 연속한 두 정수의 곱이다. 새 진술: “모든 정수 \(n\)에 대해 \(n^2 - n\)은 짝수이다.” 재검문에서 \(n = -1, 0, 1, 2, 3\) 모두 통과.
걸음 ④(증명). 정수 \(n\)을 임의로 잡자. \(n^2 - n = n(n-1)\)이고 \(n - 1\)과 \(n\)은 연속한 두 정수이므로, 1권 1주차 문제 16에 의해 그 곱은 짝수이다. \(\blacksquare\) 산물의 라벨은 정리다.
실패의 원인. 첫 시도가 실패한 이유는 판정법 둘째 줄을 어겼기 때문이다 — 4는 \(4 - 1 = 3\)이라는 계산에 값으로 들어가므로 풀 수 없는 상수였다. 원래 명제에서 3이 나온 것은 구조가 아니라 \(4 - 1\)이 마침 3이었던 사정이다.
문제 4#
접근. 세 훈련이 검사하는 것이 서로 다르므로, 백지에서 막히는 자리도 다르다. 훈련 1은 판정(값으로 쓰였는가 자격으로 쓰였는가), 훈련 2는 근거 번호를 대는 습관, 훈련 3은 가설이 증명의 어느 자리에서 무엇을 위해 쓰이는지 세는 일을 검사한다. 막힌 훈련이 어느 것인지가 곧 다시 볼 절을 지목한다.
풀이. 답은 이 절 앞의 “빈칸 사다리 — 훈련 1\(\cdot\)2\(\cdot\)3” 항목에 있다. 자가 채점의 기준은 다음 세 가지다. ① 훈련 1에서 (3)과 (4)를 맞혔는가 — 판정을 근거 없이 “풀 수 있다”로 적었다면 §1.6 판정법 표로 돌아간다. ② 훈련 2에서 (5)와 (6)의 근거 번호를 정확히 댔는가 — 근거를 대지 않고 계산만 적었다면 채점 기준 상자의 ①이 비어 있는 답안이다. ③ 훈련 3에서 (4)의 넓힘(\(n \le 0\) 쪽)을 찾아냈는가 — 찾지 못했다면 경계 공격에서 걸러진 값을 버리고 지나간 것이다.
복기. 훈련 3의 (4)가 이 사다리의 최고 난도 지점이고, 거기서 하는 일이 문제 16(약화의 한계)에서 반복된다. 걸러진 경계값을 버리지 않고 다시 검사하는 습관 하나가 두 문제를 함께 해결한다.
문제 5#
접근. 병명을 “계산이 틀렸다”로 적으면 오답이다 — 이 답안의 계산은 옳고 결론도 참이다. 잘못은 마지막 세 글자(“증명 끝”)가 차지한 자리에 있고, 네 걸음 중 어느 걸음이 그 자리에 있어야 했는지를 지목하는 것이 이 문제의 채점 대상이다.
풀이. 답안 재현. “\(1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2\)이다. 따라서 처음 \(n\)개의 홀수의 합은 항상 완전제곱이고 그 값은 \(n^2\)이다 — 증명 끝.”
걸음별 진단. 수행된 것은 걸음 ②(재진술)뿐이다. 걸음 ①은 불가능했다 — 정독할 증명문이 없고 사례 하나의 계산만 있기 때문이다. 걸음 ③은 \(n = 1, 2, 3, 4\)에서만 이루어졌으므로 검문으로는 성립하지만 그 이상이 아니다. 걸음 ④는 완전히 빠졌고, 그 자리에 검문 결과가 대신 놓였다.
병명. 정찰을 증명으로 삼은 것이다. 유한 개의 확인은 전칭 명제의 증명이 될 수 없으며, 이는 1권 1주차 문제 18에서 \(n^2 + n + 41\)이 39개의 사례를 통과하고도 거짓이었던 것으로 이미 확인된 사실이다.
올바른 흐름. 정찰은 명제를 발견하고, 증명은 그것을 확정한다. 정찰이 끝난 시점의 산물은 추측이므로 그 라벨을 달아 둔다. 그 다음 등식 \(\sum_{k=1}^{n}(2k-1) = n^2\)을 귀납으로 증명하면 라벨이 정리로 올라간다. 이 답안을 고치는 데 필요한 것은 계산의 수정이 아니라 마지막 세 글자를 “이 등식을 추측으로 두고 귀납으로 증명한다”로 바꾸는 것이다.
복기. 이 답안이 특히 다루기 어려운 이유는 결론이 참이라는 데 있다. 결론이 참인 잘못된 답안은 읽는 사람이 틀린 곳을 찾지 못한 채 지나가기 쉽고, 그래서 산물의 라벨을 명시하는 규칙(채점 기준 ④)이 형식적 요구가 아니라 검출 장치가 된다.
문제 6#
접근. 검문을 시작하기 전에 명제를 정확히 읽어야 한다. “짝수”에 0이 들어가는지에 따라 판정이 갈리기 때문이다. 1권 정의 1.1에 따르면 \(0 = 2 \times 0\)이므로 0은 짝수다. 그러나 문제의 출발 관찰(”\(4 = 2 + 2\)”)은 양의 짝수 둘의 합이었다. 곧 이 일반화는 무대를 특정하지 않은 채 만들어졌고, 검문의 첫 일은 그 특정이다.
풀이. 해석 ㄱ — 0을 짝수로 인정하는 경우. 명제 “모든 짝수는 두 짝수의 합이다”는 참이다. 짝수 \(n\)에 대해 \(n = 0 + n\)이고 0과 \(n\)이 모두 짝수이기 때문이다. 다만 이 참은 내용이 거의 없다 — 어떤 짝수든 0을 더한 것으로 쓸 수 있다는 말뿐이다.
해석 ㄴ — 두 양의 짝수의 합. 명제 “모든 양의 짝수는 두 양의 짝수의 합이다”는 거짓이다. 반례 서술: 제시 — \(n = 2\). 검증 1(가정 만족) — 2는 양의 짝수이므로 명제의 자격을 만족한다. 검증 2(결론 위배) — 양의 짝수는 2 이상이므로 두 양의 짝수의 합은 \(2 + 2 = 4\) 이상이고, 따라서 2는 그런 합으로 쓸 수 없다.
되물림. 자격을 좁힌다: “4 이상의 모든 짝수는 두 양의 짝수의 합이다.” 증명: 짝수 \(n \ge 4\)에 대해 \(n = 2 + (n - 2)\)이고, \(n - 2\)는 짝수이며 \(n \ge 4\)이므로 \(n - 2 \ge 2 > 0\)이다. 따라서 두 양의 짝수의 합이다. \(\blacksquare\)
복기. 이 문제가 보이는 것은 걸음 ②의 재진술이 무대를 정하는 일까지 포함한다는 것이다. “짝수”라는 낱말 하나에 0을 넣는지 마는지가 명제의 참\(\cdot\)거짓을 뒤집으므로, 재진술은 문자를 놓는 데서 끝나지 않고 그 문자의 자격을 명시하는 데서 끝난다.
문제 7#
접근. 항등식과 배수 조건을 갈라야 한다. \(n^2 - 1 = (n-1)(n+1)\)은 모든 수에서 성립하는 항등식이므로 일반화할 것이 없고, 실제 물음은 “그 곱이 24의 배수가 되는 \(n\)은 언제인가”다. 정찰이 통과한 수들의 공통점을 찾은 뒤, 그 공통점을 어긴 수를 반례 후보로 넣어 어느 조건이 정말 필요한지 가른다.
풀이. 정찰. \(n = 5\): \(24 = 24 \cdot 1\) ✓. \(n = 7\): \(48 = 24 \cdot 2\) ✓. \(n = 11\): \(120 = 24 \cdot 5\) ✓. \(n = 13\): \(168 = 24 \cdot 7\) ✓.
공통점과 반례. 넷 다 홀수이고 넷 다 3의 배수가 아니다. 각 조건을 하나씩 어겨 본다. \(n = 3\)(홀수이지만 3의 배수): \(n^2 - 1 = 8\)이고 \(24 \nmid 8\) — 위반. \(n = 4\)(3의 배수는 아니지만 짝수): \(n^2 - 1 = 15\)이고 \(24 \nmid 15\) — 위반. 따라서 두 조건이 모두 필요하고, 둘을 합치면 “\(n\)이 2로도 3으로도 나누어떨어지지 않는다”, 곧 \(\gcd(n, 6) = 1\)이다.
추측. \(\gcd(n, 6) = 1\)인 모든 정수 \(n\)에 대해 \(24 \mid n^2 - 1\)이다.
유도(추측의 근거). \(n\)이 홀수이므로 \(n - 1\)과 \(n + 1\)은 연속한 두 짝수다. 연속한 두 짝수 중 하나는 4의 배수이므로 그 곱은 \(2 \times 4 = 8\)의 배수이고, 따라서 \(8 \mid n^2 - 1\)이다. 또 \(3 \nmid n\)이므로 \(n\)을 3으로 나눈 나머지는 1 또는 2이고, 어느 쪽이든 \(n - 1\) 또는 \(n + 1\)이 3의 배수이므로 \(3 \mid n^2 - 1\)이다. 8과 3이 서로소이므로 \(24 \mid n^2 - 1\)이다.
산물의 라벨. 마지막 결합 단계(“서로소인 두 수로 각각 나누어떨어지면 곱으로도 나누어떨어진다”)는 이번 주에 증명하지 않았으므로 지금은 인정하고 쓴다 — C15주차에서 정식으로 다룬다. 따라서 이 주차에서의 라벨은 추측이며, C15주차의 인용이 붙는 시점에 정리가 된다.
검산. \(n = 25\): \(625 - 1 = 624 = 24 \cdot 26\) ✓. \(n = 35\): \(1225 - 1 = 1224 = 24 \cdot 51\) ✓.
문제 8#
접근. 걸음 ①을 증명의 두 줄에 각각 건다. 증명은 (ㄱ) \((a-b)^2 \ge 0\)이라는 선언과 (ㄴ) 전개 후 이항, 두 줄이다. 무대에 요구되는 것은 제곱이 정의될 것, \(\ge\)가 뜻을 가질 것, 그리고 (W1)과 (W2)가 성립할 것이다. “정수”는 이 목록의 어디에도 나오지 않는다.
풀이. 걸음 ①. 증명문 전체를 옮겨 적으면 “\((a-b)^2 \ge 0\)이므로(1권 16주차 (W1)) \(a^2 - 2ab + b^2 \ge 0\)이고, 양변에 \(2ab\)를 더하면((W2)) \(a^2 + b^2 \ge 2ab\)이다”이다. \(a\)와 \(b\)가 정수라는 사실은 어느 줄에서도 인용되지 않았다.
걸음 ②(실수로 약화). 새 진술: “모든 실수 \(a, b\)에 대해 \(a^2 + b^2 \ge 2ab\)이다.” 판정법 넷째 줄(가설 목록에 있으나 인용되지 않은 조건이 있다)이 근거다.
걸음 ③. \(a = 0.5\), \(b = -1.5\): 좌변 \(0.25 + 2.25 = 2.5\), 우변 \(-1.5\) — 통과. \(a = b = \sqrt2\): 좌변 4, 우변 4 — 등호로 통과(경계 사례). 위반 없음.
걸음 ④. 위 증명문에서 “정수”라는 낱말만 “실수”로 바꾸면 모든 줄이 그대로 성립한다. (W1)과 (W2)가 실수의 성질이기 때문이다. 산물은 정리이고, 실제로 1권 16주차 예제 2.1이 이 실수판을 증명해 두었다 — 곧 일반화의 도착점이 이미 증명된 정리와 만난 경우다(§1.5 첫째 줄).
복소수는 어떤가. 무너진다. 무너지는 것은 계산이 아니라 기호의 의미다 — 복소수에는 곱셈과 덧셈에 어울리는 순서 관계가 없으므로 “\(a^2 + b^2 \ge 2ab\)”라는 문장 자체가 뜻을 갖지 못한다. 곧 걸음 ③에서 반례가 나오는 것이 아니라 걸음 ②의 재진술이 명제가 되지 못하는 경우다. 되살리려면 실수값을 만드는 절댓값으로 바꿔 “\(\lvert a \rvert^2 + \lvert b \rvert^2 \ge 2\lvert a \rvert \lvert b \rvert\)”로 적어야 하는데, 이것은 새 명제가 아니라 실수판을 \(\lvert a \rvert\), \(\lvert b \rvert\)에 적용한 특수화일 뿐이다.
복기. 축 ③의 검사에는 두 종류의 실패가 있다. 반례가 나오는 실패(예제 2.2의 명제 B)와, 진술 자체가 뜻을 잃는 실패(여기 복소수)다. 뒤쪽은 걸음 ③으로 잡히지 않으므로 걸음 ②에서 “이 문장의 각 기호가 새 무대에서 정의되는가”를 먼저 물어야 한다.
문제 9#
접근. (a)는 축 ①이다 — 3을 \(n\)으로 푼다. 정찰한 값들을 나열하면 차이가 일정하고, 그 차이의 출처는 다각형을 삼각형으로 쪼개 보면 나온다. (b)는 축 ②의 무대 문제이며, 원래 증명이 어떤 사실을 썼는지 물으면 무대에 요구되는 조건이 나온다.
풀이. (a) 정찰과 일반화. \(n = 3\): \(180°\). \(n = 4\): 대각선 하나로 삼각형 둘이 되므로 \(2 \times 180° = 360°\). \(n = 5\): 한 꼭짓점에서 대각선 둘을 그으면 삼각형 셋이므로 \(3 \times 180° = 540°\). 세 값의 차이가 일정하게 \(180°\)이고, 삼각형의 개수는 \(n - 2\)다. 일반화: “볼록 \(n\)각형(\(n \ge 3\))의 내각의 합은 \((n-2) \times 180°\)이다.”
검문. \(n = 3\)에서 \(1 \times 180° = 180°\) ✓(원래 명제가 특수 경우로 복원된다). \(n = 4\)에서 \(360°\) ✓. 경계로 \(n = 3\)이 최솟값임을 확인한다 — \(n = 2\)는 다각형이 아니므로 검증 1(가정 만족)에서 걸러진다.
증명의 개요. 한 꼭짓점에서 나머지 꼭짓점으로 대각선을 그으면 볼록 \(n\)각형이 삼각형 \(n - 2\)개로 분할되고, 분할된 삼각형들의 내각의 합이 원래 다각형의 내각의 합과 같다. 따라서 \((n-2) \times 180°\)이다. (\(n\)에 대한 귀납으로도 같은 결론이 나오며, 귀납 단계는 삼각형 하나를 떼어 내는 조작이다.)
(b) 무대의 제약. 삼각형의 내각의 합이 \(180°\)라는 사실의 증명은 평행선 공준을 쓴다 — 한 변에 평행한 직선을 한 꼭짓점에 그어 엇각을 옮기는 것이 그 증명이다. 곧 이 명제의 무대는 유클리드 평면이다. 구면에서는 평행선 공준이 성립하지 않고, 실제로 구면 삼각형의 내각의 합은 \(180°\)보다 크다 — 적도 위의 두 점과 북극을 잇는 삼각형은 세 각이 모두 직각이어서 합이 \(270°\)다.
복기. 축 ②에서 새 무대로 옮길 때 검사할 것은 명제가 아니라 증명이 인용한 공리다. 인용된 공리가 새 무대에 없으면 증명이 옮겨 가지 않고, 그때 명제는 거짓이 될 수도 있다. 무대와 공리를 명시적으로 다루는 것이 다음 주 S19주차의 주제다.
문제 10#
접근. 반례는 아주 작은 수로 만들 수 있다. 그러나 이 문제의 채점 대상은 반례 자체가 아니라 마지막 문장이 무엇을 지웠는가다. 앞의 두 계산이 실제로 쓴 조건을 적어 보면 마지막 문장에 그 조건이 하나도 남아 있지 않다는 것이 드러난다.
풀이. 반례. 제시: \(\frac12 + \frac12\). 검증 1(가정 만족): \(\frac12\)은 분수이고, 이 식은 “분수를 계속 더한” 것이다. 검증 2(결론 위배): 합이 \(1\)이므로 “1 미만”이 아니다. 더 크게 벌리려면 \(1 + 1 = 2\)를 쓸 수도 있다(1도 분수 \(\frac11\)이다).
무엇이 지워졌는가. 앞의 두 계산이 실제로 쓴 조건은 두 가지다. ㄱ. 더하는 항이 \(\frac{1}{2^k}\) 꼴이라는 것(공비가 \(\frac12\)인 등비수열). ㄴ. 항을 \(k = 1\)부터 차례로 더한다는 것. 마지막 문장 “분수를 계속 더하면”에는 이 둘이 하나도 남아 있지 않다. 곧 걸음 ②에서 상수를 푼 것이 아니라 구조를 통째로 지운 것이며, 이것이 과일반화의 전형이다.
참인 일반화와 그 증명. 구조를 보존하면 다음이 성립한다: 모든 자연수 \(n\)에 대해
이다. 귀납으로 증명한다. 기저 \(n = 1\): 좌변 \(\frac12\), 우변 \(1 - \frac12 = \frac12\) ✓. 귀납 단계: \(\sum_{k=1}^{n+1} \frac1{2^k} = \left(1 - \frac1{2^n}\right) + \frac1{2^{n+1}} = 1 - \frac{2}{2^{n+1}} + \frac{1}{2^{n+1}} = 1 - \frac{1}{2^{n+1}}\) ✓. 그리고 \(\frac1{2^n} > 0\)이므로 \(\sum_{k=1}^n \frac1{2^k} < 1\)이다. \(\blacksquare\)
얼마나 더 넓힐 수 있는가. 공비를 문자로 푼다. 먼저 \(0 < r < 1\)인 실수 \(r\)과 모든 자연수 \(n\)에 대해
임을 \(n\)에 대한 귀납으로 확인한다. 기저 \(n = 1\): 좌변은 \(r\)이고 우변은 \(\frac{r(1-r)}{1-r} = r\)이다 ✓. 귀납 단계: \(n\)에서 성립한다고 하면
이므로 \(n+1\)에서도 성립한다 ✓. 이제 \(r^n > 0\)이므로 이 합은 \(\frac{r}{1-r}\)보다 작고, 이 상계가 1 이하가 되는 것은 \(r \le \frac12\)일 때다. 곧 “1 미만”이라는 결론은 공비 \(\frac12\)에 붙어 있던 조건이었고, 공비를 푸는 순간 결론도 함께 조정해야 한다 — 예제 2.2에서 본 가설\(\cdot\)결론 동시 조정이다.
복기. 과일반화에는 두 종류가 있다. 자격을 너무 넓힌 것(문제 14)과, 여기처럼 구조를 지운 것이다. 뒤쪽이 더 위험한 이유는 지워진 자리가 명제의 문면에 흔적을 남기지 않기 때문이다. 걸음 ①의 목록을 적어 두면 무엇이 지워졌는지 대조할 수 있다.
문제 11#
접근. 걸음 ①부터 한다. 원래 증명 “\(2 = 2 \cdot 1\)이고 \(4 = 2 \cdot 2\)이므로 \(2 \cdot 4 = (2 \cdot 1)(2 \cdot 2) = 4(1 \cdot 2)\)이고 \(1 \cdot 2\)는 정수이다”가 실제로 쓴 것은 2와 4가 각각 2를 인수로 갖는다는 것뿐이고, 그 값이 2와 4라는 사실은 마지막 등식에 인용되지 않았다(§1.2 표 다섯째 줄). 판정법 첫째 줄이므로 축 ①이 그대로 통한다.
풀이. 걸음 ②. 새 진술: “두 짝수의 곱은 4의 배수이다.” 정확히 적으면 “\(m\)과 \(n\)이 짝수이면 \(mn\)은 4의 배수이다”이다.
걸음 ③(반례 검문). \(2 \cdot 4 = 8 = 4 \cdot 2\) ✓. \(6 \cdot 10 = 60 = 4 \cdot 15\) ✓. 경계로 0을 넣으면 \(0 \cdot 2 = 0 = 4 \cdot 0\) ✓. 음수를 넣으면 \((-2) \cdot 6 = -12 = 4 \cdot (-3)\) ✓. 위반 없음.
걸음 ④(증명). \(m\)과 \(n\)을 짝수라 하자. 짝수의 정의에 의해 \(m = 2j\), \(n = 2k\)인 정수 \(j, k\)가 존재한다(근거 ①). 그러면
이고 \(jk\)는 정수이므로(근거 ②), \(mn\)은 4의 배수의 정의를 만족한다. \(\blacksquare\)
산물의 라벨. 정리다. 그리고 원래 증명문과 새 증명문을 나란히 놓으면 \(2\)가 \(2j\)로, \(4\)가 \(2k\)로 바뀐 것이 전부다 — §1.5 첫째 줄(“한 줄도 안 고치고 돈다”)에 가장 가까운 사례이며, 예제 2.1과 정반대의 결말이다.
복기. 같은 축 ①을 같은 방식으로 적용했는데 예제 2.1은 거짓 명제를 낳고 이 문제는 정리를 낳았다. 갈림은 걸음 ①에서 이미 결정되어 있었다 — 예제 2.1의 4는 계산에 값으로 들어갔고, 여기의 2와 4는 인수의 자격으로만 들어갔다. 판정법 첫째 줄과 둘째 줄의 차이가 이것이다.
문제 12#
접근. 가설 “연속”을 지웠을 때 결론이 어디까지 남는지를 묻는 문제다. 지운 뒤에도 증명이 도는 범위를 확인하는 것이 걸음 ④이며, 그 범위는 S7주차와 S13주차에서 이미 증명해 두었다. 곧 이 문제는 새 증명을 만드는 문제가 아니라 기존 결과의 범위를 읽는 문제다.
풀이. 걸음 ①(연속이 쓰이는 자리). 가법성 \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)만으로 유도되는 것과 연속이 있어야 유도되는 것을 가른다. 유도의 순서는 다음과 같다.
ㄱ. \(f(0) = 0\). \(f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0)\)이므로 양변에서 \(f(0)\)을 빼면 \(f(0) = 0\)이다.
ㄴ. \(f(-x) = -f(x)\). \(0 = f(0) = f(x + (-x)) = f(x) + f(-x)\)이므로 \(f(-x) = -f(x)\)이다.
ㄷ. 모든 정수 \(n\)에 대해 \(f(nx) = nf(x)\). 자연수 \(n\)에 대해 귀납한다. \(n = 1\)이면 \(f(1 \cdot x) = f(x) = 1 \cdot f(x)\)이므로 성립한다. \(n\)에서 성립한다고 하면 \(f((n+1)x) = f(nx + x) = f(nx) + f(x) = nf(x) + f(x) = (n+1)f(x)\)이므로 \(n+1\)에서도 성립한다. 음의 정수는 ㄴ으로 넘어간다. (S13주차 문제 17(b)가 \(f(1) = 3\)인 경우의 이 결과이며, 거기서 \(f(n) = 3n\)이 강제된다.)
ㄹ. 모든 유리수 \(q\)에 대해 \(f(qx) = qf(x)\). \(q = \frac{p}{m}\)(\(p\)는 정수, \(m\)은 자연수)이라 하자. ㄷ에 의해 \(m \cdot f(qx) = f(mqx) = f(px) = p f(x)\)이므로 \(f(qx) = \frac{p}{m} f(x) = q f(x)\)이다. (S7주차 문제 15가 \(m = 2, 3\)인 경우를 직접 증명한 것이다.)
연속 없이 얻는 결론. \(c = f(1)\)로 두면 ㄹ에서 \(x = 1\)로 놓아 **모든 유리수 \(q\)에 대해 \(f(q) = cq\)**를 얻는다. 여기까지가 가법성만으로 가는 끝이다.
연속이 하는 일. 유리수는 실수 안에서 조밀하므로, \(f\)가 연속이면 유리수에서의 값이 실수 전체에서의 값을 결정한다 — 임의의 실수 \(x\)에 대해 \(x\)로 수렴하는 유리수열 \(q_i\)를 잡으면 \(f(x) = \lim f(q_i) = \lim c q_i = cx\)이다. 연속을 지우면 이 마지막 단계가 사라지고, 실제로 \(f(x) = cx\) 꼴이 아닌 가법함수가 존재한다(문제 앞 상자 — 지금은 인정하고 쓴다).
산물의 라벨과 구조. 가설 “연속”을 지운 결과는 결론의 범위가 “모든 실수”에서 “모든 유리수”로 줄어든 정리다. 예제 2.2 명제 B에서 “양의”를 지우자 결론이 \(a = b\)에서 “\(a = b\) 또는 \(a = -b\)”로 낮아진 것과 같은 구조이며, 판정법 다섯째 줄이 지시하는 가설\(\cdot\)결론 동시 조정이다.
복기. 축 ③에서 가설을 지울 때 물어야 할 것은 “명제가 아직 참인가”만이 아니라 “결론의 어느 부분이 그 가설에 매달려 있었는가”다. 이 문제에서 매달려 있던 것은 결론의 내용(\(f(x) = cx\))이 아니라 그것이 성립하는 범위였다.
문제 13#
접근. 정찰로 추측을 만들고, 그 추측이 이미 증명된 정리임을 확인하는 문제다. 이 주차에서 가장 순조로운 일반화이며, 순조롭기 때문에 걸음 ④를 건너뛰기 쉽다 — 검문 세 개를 통과한 시점의 라벨이 무엇인지 명시하는 것이 채점 대상이다.
풀이. 걸음 ②(재진술). \(1^3 + 2^3 = 9 = (1+2)^2\)에서 2를 문자로 푼다. 새 진술: “모든 자연수 \(n\)에 대해 \(\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2\)이다.”
걸음 ③(정찰). \(n = 1\): 좌변 \(1\), 우변 \(1^2 = 1\) ✓. \(n = 2\): 좌변 \(1 + 8 = 9\), 우변 \((1+2)^2 = 9\) ✓. \(n = 3\): 좌변 \(1 + 8 + 27 = 36\), 우변 \((1+2+3)^2 = 36\) ✓. \(n = 4\): 좌변 \(36 + 64 = 100\), 우변 \(10^2 = 100\) ✓. 위반 없음.
이 시점의 라벨. 추측이다. 네 사례를 통과했을 뿐이며, 문제 18이 다섯 사례를 통과하고도 거짓인 명제를 보인다.
걸음 ④. \(\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\)이므로 우변은 \(\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\)이고, 이 등식은 S14주차 문제 8에서 귀납으로 증명되었다. 따라서 라벨이 정리로 올라간다.
검산. \(n = 5\): 좌변 \(100 + 125 = 225\), 우변 \(\left(\frac{5 \cdot 6}{2}\right)^2 = 15^2 = 225\) ✓.
복기. 이 문제가 보이는 것은 두 기법의 분업이다. 일반화가 명제를 발견하고 귀납이 그것을 확정한다. S14주차에서는 증명할 명제가 문제로 주어졌지만, 실제 수학에서 그 명제를 만들어 낸 것은 여기서 한 정찰이다.
문제 14#
접근. 앞부분은 §1.5 넷째 줄(검문에서 반례가 나온 경우), 뒷부분은 §1.4의 되물림이다. “시시하다”의 내용을 적으려면 값진 되물림과 대조해야 한다 — \(n \ge 5\)로 좁힌 \(2^n > n^2\)와 무엇이 다른지 물으면 답이 나온다.
풀이. 과일반화의 서술. 출발 관찰은 “\(n = 1, 2, 3, \dots\)에서 \(n^2 + n + 41\)이 소수다”라는 정찰 결과였다. 이것을 “모든 자연수 \(n\)에 대해”로 올린 것이 걸음 ②이고, 걸음 ③(반례 검문)이 수행되지 않았거나 39개까지만 수행되었다. 곧 §1.3의 삭제 실험 (나)와 정확히 같은 구조 — 검문 통과를 증명으로 삼은 것이다.
반례. 제시: \(n = 40\). 검증 1(가정 만족): 40은 자연수다. 검증 2(결론 위배): \(40^2 + 40 + 41 = 40 \cdot 41 + 41 = 41 \cdot (40 + 1) = 41^2 = 1681\)이고, \(1681 = 41 \times 41\)이므로 소수가 아니다. (\(n = 41\)도 반례다: \(41^2 + 41 + 41 = 41 \cdot 43\).)
되물림이 시시한 이유. 자격을 “\(1 \le n \le 39\)”로 좁히면 진술은 참이 된다. 그러나 그 진술이 주장하는 것은 39개의 개별 사실뿐이고, 39번의 계산으로 전부 확인할 수 있다. 곧 그것은 정리가 아니라 목록이다. 전칭 명제의 값어치는 무한히 많은 경우를 한 번에 처리하는 데 있는데, 유한한 자격으로 좁히면 그 값어치가 남지 않는다.
대조 — 값진 되물림. “모든 자연수 \(n\)에 대해 \(2^n > n^2\)”은 \(n = 2, 3, 4\)에서 무너지지만, 자격을 “\(n \ge 5\)”로 좁히면 참이 되고 그 자격 안에 여전히 무한히 많은 \(n\)이 남는다. 그래서 이 되물림의 산물은 목록이 아니라 정리이며, 실제로 S14주차 문제 11에서 귀납으로 증명되었다.
복기. 되물림의 값어치를 재는 기준은 하나다 — 좁힌 뒤에도 무한이 남는가. 남으면 자격의 확정이고, 남지 않으면 명제를 표로 바꾼 것이다. 이 기준이 §1.4의 “되물림은 후퇴가 아니라 자격의 확정”이라는 문장의 정확한 뜻이다.
문제 15#
접근. 걸음 ①부터 한다. \(1 + 2 + \cdots + n\)의 공식은 “첫항 1, 공차 1”인 등차수열의 합이고, 그 증명(귀납)은 1이라는 값을 계산에 쓰지 않는다 — 첫항과 공차의 자리에만 쓴다. 판정법 첫째 줄이므로 축 ①이 통하고, 상수 두 개를 동시에 푸는 것이 이 문제의 크기다.
풀이. 걸음 ②(재진술). 첫항 \(a\), 공차 \(d\)인 등차수열의 처음 \(n\)항의 합을 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \big(a + (k-1)d\big)\)라 하면
이다.
걸음 ③(검문). \(a = d = 1\), \(n = 4\): 좌변 \(1+2+3+4 = 10\), 우변 \(\frac42(2 + 3) = 10\) ✓. \(a = 5\), \(d = 0\), \(n = 3\): 좌변 \(15\), 우변 \(\frac32(10 + 0) = 15\) ✓(공차 0의 경계 사례). \(a = 1\), \(d = -1\), \(n = 3\): 좌변 \(1 + 0 + (-1) = 0\), 우변 \(\frac32(2 - 2) = 0\) ✓(음의 공차). 위반 없음.
걸음 ④(귀납 증명). 기저 \(n = 1\). 좌변은 \(a\)이고 우변은 \(\frac12(2a + 0) = a\)이므로 성립한다.
귀납 단계. \(S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\)가 성립한다고 하자. 그러면 \((n+1)\)번째 항이 \(a + nd\)이므로
이다. 우변을 전개하면 \(na + \frac{n(n-1)d}{2} + a + nd\)이고, \(a\)의 계수와 \(d\)의 계수를 각각 모으면
이다. 마지막으로 \(\frac{n+1}{2}\)을 묶어 내면
이므로 \(n+1\)에서도 공식이 성립한다. 귀납법에 의해 모든 자연수 \(n\)에서 성립한다. \(\blacksquare\)
검산 — 특수화로 원식 복원. \(a = 1\), \(d = 1\)을 넣으면 \(\frac{n}{2}(2 + (n-1)) = \frac{n}{2}(n+1) = \frac{n(n+1)}{2}\)이므로 원래 공식이 복원된다. 산물의 라벨은 정리다.
복기. 좋은 일반화는 특수화로 원식을 되돌려 준다. 이 되돌림 한 줄이 검산의 역할을 하므로, 상수를 여러 개 도입한 일반화에서는 반드시 적어 둔다 — 문제 17에서 같은 검산을 두 번 더 쓴다.
문제 16#
접근. 가설이 셋(연속 \(\cdot\) 정의역이 닫힘 \(\cdot\) 정의역이 유계)인 정리에서 하나씩 지워 반례를 찾는 문제다. 각 반례는 “그 가설이 본질적이다”의 증명 역할을 하므로, 세 반례가 모두 있어야 답안이 완결된다. 반례는 전부 1권 29주차 정의 29.2의 서식으로 적는다.
풀이. (a) 연속을 제거하면. 제시: \(g: [0,1] \to \mathbb{R}\)를 \(0 \le x < 1\)에서 \(g(x) = x\), \(g(1) = 0\)으로 정의한다. 검증 1(가정 만족): 정의역은 \([0,1]\) 그대로이고 \(g\)는 함수이지만 \(x = 1\)에서 연속이 아니다 — 곧 약화된 가설만 만족한다. 검증 2(결론 위배): \(c \in [0,1]\)을 임의로 잡자. \(c = 1\)이면 \(g(1) = 0 < \frac12 = g(\frac12)\)이고, \(c < 1\)이면 \(c' = \frac{c+1}{2}\)이 \(c < c' < 1\)을 만족하므로 \(g(c') = c' > c = g(c)\)이다. 어느 경우든 \(g(c)\)보다 큰 값이 있으므로 최댓값이 존재하지 않는다.
(b) 정의역을 \((0,1)\)로 바꾸면. 제시: \(f: (0,1) \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x\). 검증 1(가정 만족): \(f\)는 연속이고 정의역은 유계이지만 닫혀 있지 않다. 검증 2(결론 위배): \(c \in (0,1)\)을 임의로 잡으면 \(c' = \frac{c+1}{2}\)이 \((0,1)\)에 속하고 \(f(c') = c' > c = f(c)\)이므로 최댓값이 없다. (같은 논법의 완전한 답안이 S11주차 문제 18에 있다.)
(c) 정의역을 \([0,\infty)\)로 바꾸면. 제시: \(f: [0,\infty) \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x\). 검증 1(가정 만족): \(f\)는 연속이고 정의역은 닫혀 있으나 유계가 아니다. 검증 2(결론 위배): \(c \ge 0\)을 임의로 잡으면 \(c + 1\)이 정의역에 속하고 \(f(c+1) = c + 1 > c = f(c)\)이므로 최댓값이 없다.
결론. 세 가설을 하나씩 지울 때마다 반례가 나오므로 어느 하나도 약화할 수 없다. 곧 최대\(\cdot\)최소 정리에서 축 ③은 적용되지 않으며, 이 판정 자체가 답이다 — 예제 2.2의 명제 A에서 “미분가능”이 본질적이었던 것과 같은 결말이되, 여기서는 근거가 논증이 아니라 세 개의 반례다.
복기. 가설이 여럿인 정리에서 “각 가설이 본질적이다”를 보이는 표준 절차가 이 문제의 형태다 — 가설을 하나씩만 지우고 나머지는 남긴 채 반례를 찾는다. 두 개를 동시에 지운 반례는 어느 가설이 필요했는지 지목하지 못하므로 답이 되지 않는다.
문제 17#
접근. 두 축을 각각 다르게 다룬다. (a)는 차원을 푸는 축 ②이고, (b)는 “직각”이라는 가설을 약화하는 축 ③이다. 축 ③에서는 결론이 그대로 남지 않고 보정항이 붙는데, 그 보정항이 예제 2.2에서 본 “결론의 낮아짐”에 해당한다. 두 일반화 모두 원식을 특수 경우로 복원하는 줄이 답안의 필수 항목이다.
풀이. (a) 차원 일반화. 세 변이 \(a, b, c\)인 직육면체의 공간 대각선을 \(d\)라 하자. 밑면의 대각선을 \(e\)라 하면 밑면은 변이 \(a, b\)인 직사각형이므로 피타고라스에 의해 \(e^2 = a^2 + b^2\)이다. 공간 대각선은 밑면의 대각선 \(e\)와 높이 \(c\)가 이루는 직각삼각형의 빗변이므로 다시 피타고라스에 의해
이다.
\(n\)차원으로의 확장. 주장: 변의 길이가 \(a_1, \dots, a_n\)인 \(n\)차원 직육면체(\(n \ge 2\))의 대각선 \(d_n\)은 \(d_n^2 = \sum_{i=1}^{n} a_i^2\)을 만족한다. \(n\)에 대한 귀납으로 증명한다.
기저 \(n = 2\). 변이 \(a_1, a_2\)인 직사각형의 대각선은 두 변이 이루는 직각삼각형의 빗변이므로, 피타고라스 정리에 의해 \(d_2^2 = a_1^2 + a_2^2\)이다.
귀납 단계. \(n\)차원에서 \(d_n^2 = \sum_{i=1}^{n} a_i^2\)이 성립한다고 하자. 변이 \(a_1, \dots, a_{n+1}\)인 \((n+1)\)차원 직육면체에서, 처음 \(n\)개의 변이 이루는 \(n\)차원 면을 밑면이라 하고 그 대각선을 \(d_n\)이라 하자. 새 모서리 \(a_{n+1}\)은 밑면이 놓인 \(n\)차원 공간의 모든 방향과 수직이므로, 특히 밑면의 대각선 \(d_n\)과도 직각을 이룬다. 따라서 \(d_n\)과 \(a_{n+1}\)을 두 변으로 하는 직각삼각형이 생기고, 그 빗변이 \((n+1)\)차원 대각선 \(d_{n+1}\)이다. 피타고라스 정리에 의해
이므로 \(n+1\)에서도 성립한다. 귀납법에 의해 \(2\) 이상의 모든 \(n\)에서 성립한다. \(\blacksquare\)
원식의 복원: \(n = 2\)로 놓으면 \(d_2^2 = a_1^2 + a_2^2\)이므로 원래 피타고라스 정리가 특수 경우로 돌아온다. \(n = 3\)으로 놓으면 위에서 손으로 유도한 \(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\)이 그대로 나온다.
(b) 각도 일반화. 가설 “끼인각이 직각이다”를 “끼인각이 임의의 각 \(C\)이다”로 약화하면 결론은 등식 그대로 남지 않고 보정항이 붙는다 — 코사인 법칙
이다. 원식의 복원: \(C = 90°\)이면 \(\cos 90° = 0\)이므로 보정항이 사라져 \(c^2 = a^2 + b^2\)가 된다. 검문: \(C\)가 예각이면 \(\cos C > 0\)이라 \(c^2 < a^2 + b^2\)이고, 둔각이면 \(\cos C < 0\)이라 \(c^2 > a^2 + b^2\)이다. 두 방향 모두 도형의 모양과 일치하므로 위반이 없다.
두 축의 대조. (a)는 원식을 그대로 포함하며 결론의 모양이 바뀌지 않았다 — 축 ②의 전형이다. (b)는 가설을 약화한 대가로 결론에 항이 하나 붙었다 — 축 ③에서 가설이 부분적으로 쓰였을 때 일어나는 일이며, 예제 2.2 명제 B에서 등호가 두 갈래로 갈린 것과 같은 구조다.
복기. 두 일반화 모두에서 마지막에 한 일은 같다 — 새 공식에 원래의 조건을 대입해 원식이 나오는지 확인한 것이다. 이 확인은 검산일 뿐 아니라 일반화가 옳은 방향인지 재는 기준이기도 하다. 다만 이 기준은 축 ②\(\cdot\)③의 확장형 일반화에 한해 쓴다 — 그런 일반화에서 원식을 특수 경우로 포함하지 못하는 진술은 일반화가 아니라 다른 명제다. 걸음 ③에서 반례가 나와 결론 자체를 바꾼 경우(예제 2.1)는 여기에 해당하지 않는다. 그때의 산물이 원 명제를 포함하지 않는 것은 정상이며, §1.5 다섯째 줄이 그 결말을 따로 담는다.
문제 18#
접근. 확인 자체는 계산이다. 채점되는 것은 그 뒤의 두 줄 — 다섯 사례를 통과한 시점에서 산물의 라벨이 무엇이었는지, 그리고 그 라벨을 정리로 올리려면 무엇이 더 있어야 했는지다. §1.3의 삭제 실험 (나)와 같은 구조이며, 다른 점은 여기서는 결론이 실제로 거짓이라는 것뿐이다.
풀이. 정찰. \(F_0 = 2^{2^0} + 1 = 2^1 + 1 = 3\) — 소수. \(F_1 = 2^{2} + 1 = 5\) — 소수. \(F_2 = 2^{4} + 1 = 17\) — 소수. \(F_3 = 2^{8} + 1 = 257\) — 소수. \(F_4 = 2^{16} + 1 = 65537\) — 소수.
이 시점의 라벨. 다섯 사례가 통과했으므로 산물은 추측이다. 페르마는 이 단계에서 모든 \(F_n\)이 소수라고 추측했다.
반례. 제시: \(n = 5\). 검증 1(가정 만족): 5는 자연수이므로 “모든 \(n\)”의 자격을 만족한다. 검증 2(결론 위배): \(F_5 = 2^{32} + 1 = 4294967297\)이고 \(4294967297 = 641 \times 6700417\)이므로 소수가 아니다. 이 인수분해는 오일러가 1732년에 찾았다. 따라서 추측은 거짓 명제다.
1권 1주차와의 연결. 1권 1주차 문제 18은 39개의 사례를 통과하고도 40번째에서 무너지는 명제를 보였고, 여기서는 다섯 개의 사례가 100년 가까이 유지되다가 무너졌다. 사례의 개수는 문제가 아니다 — 유한한 확인은 원리적으로 전칭 명제를 보증하지 못하며, 그것이 §1.5에서 검문 통과의 라벨을 “추측”으로 고정한 이유다.
덧붙임. \(F_5\) 이후로 소수인 페르마 수는 하나도 발견되지 않았다. 곧 추측이 “대부분 참”인 정도로 살아남은 것이 아니라 정반대로 뒤집혔다.
복기. 이 문제는 걸음 ③과 걸음 ④의 역할 분담을 가장 선명하게 보인다. 걸음 ③은 거짓을 걸러 낼 뿐 참을 만들지 못하고, 걸음 ④가 없으면 그 사이의 간격을 사람이 직관으로 메우게 된다. 페르마가 메운 것이 그 간격이다.
문제 19#
접근. 이 문제의 채점 대상은 두 가지다 — 일반화가 규격에 맞게 실행되었는가, 그리고 다룰 수 있는 크기를 골랐는가. 크기 판단의 기준은 하나뿐이다: 걸음 ④를 자기 손으로 끝낼 수 있는가. 끝낼 수 없으면 추측으로 라벨해 보관하고 한 단계 작은 일반화를 다시 고르는 것이 정답이며, 라벨 없이 정리라 부르는 것만이 오답이다.
풀이(예시 답안). 고른 명제. S13주차 예제 2.1 — “실수 \(a \neq 0\)과 \(b\)에 대해 방정식 \(ax + b = 0\)의 실수 해는 정확히 하나다.”
걸음 ①. 증명은 존재(해 \(x_0 = -\frac{b}{a}\)의 구성)와 유일성(\(ax_1 + b = ax_2 + b\)에서 \(a(x_1 - x_2) = 0\)과 \(a \neq 0\)으로 \(x_1 = x_2\))의 두 부분이다. 두 부분 모두 \(a\)와 \(b\)의 값을 쓰지 않으며, 쓰는 것은 “\(a \neq 0\)”과 실수의 사칙연산뿐이다. 차수가 1이라는 사실은 존재 부분에서 역수 하나로 해결된다는 형태로 쓰인다.
걸음 ②(큰 일반화 시도). 차수를 문자로 푼다: “실수 계수의 \(n\)차 다항식은 많아야 \(n\)개의 실근을 갖는다.”
걸음 ③. \(n = 1\): 원래 명제이므로 통과. \(n = 2\): \(x^2 - 1\)은 근이 2개, \(x^2 + 1\)은 근이 0개 — 둘 다 \(n = 2\) 이하이므로 통과. \(n = 3\): \(x^3 - x\)는 근이 \(-1, 0, 1\)의 3개 — 통과. 위반 없음.
걸음 ④. 증명에는 인수정리(근 \(r\)가 있으면 \((x - r)\)로 나누어떨어진다)와 차수에 대한 귀납이 필요하고, 인수정리는 이번 학기에 증명하지 않았다. 곧 걸음 ④를 자기 손으로 끝낼 수 없다. 라벨: 추측(보관).
크기를 줄인 재선택. 상수만 하나 늘리는 쪽으로 되돌린다: “실수 \(a \neq 0\)과 \(b, c\)에 대해 방정식 \(ax + b = c\)의 실수 해는 정확히 하나다”(S13주차 문제 7). 검문: \(a = 2, b = 1, c = 7\)에서 해는 \(x = 3\) 하나 — 통과. \(c = b\)이면 해는 \(x = 0\) 하나 — 통과(경계).
재증명. (존재) \(x_0 = \frac{c - b}{a}\)로 두면 \(a \neq 0\)이므로 이 값이 정의되고, \(a x_0 + b = (c - b) + b = c\)이므로 해다. (유일) \(x_1\)과 \(x_2\)가 모두 해라 하면 \(a x_1 + b = c = a x_2 + b\)이므로 양변에서 \(b\)를 빼 \(a x_1 = a x_2\), 곧 \(a(x_1 - x_2) = 0\)이다. \(a \neq 0\)이므로 영인수 성질에 의해 \(x_1 - x_2 = 0\), 곧 \(x_1 = x_2\)이다. 따라서 해는 정확히 하나다. \(\blacksquare\) 라벨: 정리.
복기. 하나의 출발 명제에서 두 개의 일반화가 나왔고 하나는 추측으로, 다른 하나는 정리로 끝났다. 두 산물 모두 답안에 남기는 것이 옳다 — 큰 쪽을 버리면 “어디까지 갈 수 있는가”에 대한 정보가 사라지고, 작은 쪽을 버리면 이번 주에 확정된 것이 없어진다.
문제 20#
접근. (a)는 방향의 전환을 한 문장으로 말하는 문제다. S6주차에서는 “자격 외의 성질을 쓰지 않았으므로 모든 값에 통한다”였고, 이번 주는 같은 문장을 “쓰지 않았으므로 애초에 특정할 필요가 없다”로 읽는다. (b)는 §1.3의 두 삭제 실험을 각각 한 문장으로 압축하면 된다.
풀이(예시 답안). (a) 예제 2.1에서 증명이 4에 대해 실제로 쓴 것은 \(4 - 1 = 3\) 하나였고, 쓰지 않은 특수성(짝수라는 것, 제곱수라는 것)은 명제에서 지울 수 있는 자리였다 — 지운 자리에 문자를 놓아 얻은 것이 “\(n^2 - n\)은 짝수이다”라는 더 넓은 정리다. 예제 2.2의 가설 약화도 같은 작업이며, 다른 점은 지우는 대상이 값이 아니라 가설이라는 것뿐이다. S6주차의 임의성 원칙은 “증명이 자격 외의 성질을 쓰지 않았으므로 임의의 값에 통한다”였는데, 이 문장을 거꾸로 읽으면 “증명이 쓰지 않은 성질은 애초에 명제에서 특정할 필요가 없다”가 되어, 완성된 증명을 검사하던 원칙이 새 명제를 만드는 도구로 바뀐다.
(b) 일반화는 명제가 참인 범위를 넓히려는 시도이고 반례 검문은 그 범위에서 정말 참인지 묻는 검사이므로, 검문 없는 일반화는 예제 2.3처럼 정찰 결과를 정리로 선언하게 된다. 거꾸로 일반화 없는 검문은 새 명제를 만들지 못하므로, 문제 18이 보이듯 다섯 사례를 통과한 추측조차 걸음 ④ 없이는 정리가 되지 못한다.
복기. (a)와 (b)를 합치면 이번 주가 한 문장으로 접힌다 — 증명이 쓴 것은 가설로 남기고 쓰지 않은 것은 문자로 풀되, 푼 결과에는 반드시 검문과 재증명이 따라야 한다. 백지 재현에서 다른 것이 다 기억나지 않아도 이 한 문장에서 네 걸음과 세 라벨을 재구성할 수 있다.
다음 주 예고 (S19주차). 이번 주가 이미 있는 명제를 키우는 기술이었다면, 다음 주는 한 걸음 더 나아가 정의를 만들고 공리계를 세우는 기술을 다룬다(Solow 17~18장). 좋은 정의가 갖춰야 할 조건, 무정의 용어와 공리에서 이론을 짓는 절차, 그리고 어떤 무대에서 어떤 명제가 성립하는지를 공리로 통제하는 방법이 그 내용이다. 이번 주 문제 9(b)에서 구면과 평면이 갈린 자리, 문제 8에서 복소수가 진술 자체를 잃은 자리가 다음 주의 출발점이며, 1권 6주차(러셀의 역설)와 1권 20주차(수학적 글쓰기)가 “정의를 만드는 자의 책임”으로 확장된다. 원서 17~18장을 통독하고 온다.