44주차 — 상과 원상 + 9부 총정리

44주차 — 상과 원상 + 9부 총정리#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 기호 \(f^{-1}(Y)\)는 역함수가 없어도 산다 — 원상은 \(\cup\)과 \(\cap\)을 모두 보존하고, 상은 \(\cap\)에서 반쪽만 보존한다.

이 주의 위치: 50주 과정의 44주차. 9부(함수)의 마지막 주다. 40~43주차에서 세운 함수의 언어에 집합 단위의 두 연산(상\(\cdot\)원상)을 더하고, 27주차의 집합 증명 서식을 함수 무대에서 다시 쓴 뒤, 총정리 모의시험으로 9부를 닫는다.

원서 대응: BoP(Book of Proof) 12.6 (Image and Preimage) — 병행자 참고용이고, 이 교재는 원서 없이 읽을 수 있다.

이번 주 목표#

  1. 상 \(f(X)\)와 원상 \(f^{-1}(Y)\)의 정의를 백지에 쓰고, “원상 기호는 역함수와 무관하다”를 반례와 함께 설명할 수 있다.

  2. 상\(\cdot\)원상과 \(\cup\), \(\cap\)의 궁합 정리(등호 셋, 반쪽 하나)를 증명하고, 반쪽인 자리의 반례를 제시할 수 있다.

  3. \(X \subseteq f^{-1}(f(X))\)와 \(f(f^{-1}(Y)) \subseteq Y\)를 증명하고, 등호가 되는 조건(각각 단사\(\cdot\)전사)을 말할 수 있다.

  4. 20문항 모의시험으로 9부(40~44주차)를 자가 평가한다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (43주차 복습)#

  1. 역함수가 존재할 필요충분조건을 쓰고, 그 정리에서 역관계의 전체성\(\cdot\)유일성이 각각 \(f\)의 무엇과 대응했는지 쓰시오.

  2. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\)은 역함수를 갖는가. 판정하고 이유를 쓰시오.

  3. 신발–양말 정리를 진술하시오.

답

1. \(f : A \to B\)의 역관계 \(f^{-1} = \{(b, a) : (a, b) \in f\}\)가 \(B\)에서 \(A\)로의

함수가 되는 것과 \(f\)가 전단사인 것은 같은 말이다(43주차 핵심 정리).

대응은 \(f^{-1}\)의 전체성 \(\leftrightarrow\) \(f\)의 전사성, \(f^{-1}\)의 유일성 \(\leftrightarrow\) \(f\)의 단사성이다.

2. 갖지 않는다. \(f(1) = 1 = f(-1)\)인데 \(1 \neq -1\)이므로 단사가 아니고(41주차

정의 41.1), 전단사가 아니므로 핵심 정리에 의해 역함수가 없다. 덤으로 \(-1\)은

어떤 실수의 제곱도 아니므로 전사도 아니다.

3. \(f : A \to B\)와 \(g : B \to C\)가 전단사이면 \(g \circ f\)도 전단사이고

\((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\)이다(43주차 문제 15). 합성의 역은 순서가 뒤집힌다.

자주 나오는 세 가지 답 — 2번 문항#

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

  • 유형 1 — 있다고 답하고 \(\sqrt{y}\)를 적는다. “\(f^{-1}(y) = \sqrt{y}\)”라고 적는

경우가 많다. 계산 자체는 근거가 있다 — 정의역을 \([0, \infty)\)로 제한한 함수에 대해서는 \(\sqrt{\ }\)가 실제로 역함수다(43주차 예제 2.3). 어긋난 것은 대상이다. 물음의 \(f\)는 정의역이 \(\mathbb{R}\)인 함수이고, 제한해서 만든 함수는 원래 \(f\)가 아니다. 이 혼동이 이번 주 문제 18(b)에서 정확히 같은 꼴로 다시 나온다.

  • 유형 2 — 없다고 답하고 그래프로 설명한다. “가로선이 두 번 만나므로 없다”고

적는다. 판정은 옳다. 간격은 근거의 꼴이다 — 그림은 근거 목록에 없다(41주차 §1.9). 같은 내용을 \(f(1) = f(-1)\)이고 \(1 \neq -1\)이라는 등식 두 줄로 옮겨 적어야 근거가 된다. 내용이 아니라 꼴이 근거의 자격을 정한다.

  • 유형 3 — 없다고 답하고 이유를 전사에서만 찾는다. “\(-1\)이 출력되지 않으므로

역함수가 없다”고 적는다. 관찰은 사실이고, 그것만으로도 전단사가 깨지므로 결론도 옳다. 다만 43주차 핵심 정리는 두 조각을 각각 요구한다 — 여기서는 단사도 깨진다. 어느 조각이 깨졌는지 지목하는 습관이 이번 주 문제 2와 문제 17에서 점수가 된다.

개념 — 상과 원상#

1 43주차의 도구로는 어디서 막히는가#

지금까지의 도구로는 함수에 원소 하나를 넣어 원소 하나를 얻는다. 이 도구로 다음 물음을 처리해 보자.

물음 \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\)이라 하자.

제곱했을 때 \(1\)과 \(4\) 사이(양 끝 포함)에 들어가는 실수를 전부 적으시오.

물음에는 분명히 답이 있다. \(1 \le x^2 \le 4\)는 \(1 \le |x| \le 2\)와 같은 말이고, \(x\)의 부호로 경우를 나누면(17주차) \(x \in [1, 2]\) 또는 \(x \in [-2, -1]\)이다. 답은 \([-2, -1] \cup [1, 2]\)다. 문제는 이 답을 기호로 적을 수단이 없다는 데 있다.

시도 — 역함수로 적기

“되돌아오는 입력”이니 역함수를 쓰면 될 것 같다: \(f^{-1}([1, 4])\).

그런데 \(f\)는 단사가 아니므로(\(f(1) = f(-1)\)) 전단사가 아니고,

43주차 핵심 정리에 의해 역함수 자체가 없다. 존재하지 않는 대상을

인용한 셈이므로 이 표기는 아직 뜻이 없다.

시도 — 정의역을 제한해 우회하기

43주차 예제 2.3처럼 정의역을 \([0, \infty)\)로 줄이면 \(\sqrt{\ }\)라는 역함수가 생긴다.

이것으로 계산하면 \([\sqrt1, \sqrt4] = [1, 2]\)가 나온다.

확인 1. 두 번째 시도가 내놓은 \([1, 2]\)와 실제 답 \([-2, -1] \cup [1, 2]\)를 비교해 보자. 무엇이 빠졌고, 왜 빠졌는가.

답

음수 가지 \([-2, -1]\)이 통째로 빠졌다. 정의역을 \([0, \infty)\)로 제한하는 순간

음수 입력이 무대에서 사라지기 때문이다. 제한은 우회가 아니라 물음을 바꾼 것이다 —

원래 물음의 무대는 \(\mathbb{R}\) 전체다. 그러므로 역함수를 거치지 않고

“되돌아오는 입력 전부”를 직접 가리키는 표기가 따로 필요하다.

반대 방향에도 같은 결핍이 있다. “\([1, 2]\)의 수들을 \(f\)에 넣으면 무엇이 나오는가”를 \(f([1, 2])\)로 적고 싶지만, 정의 40.1의 \(f\)는 \(\mathbb{R}\)의 원소를 받는 함수이고 \([1, 2]\)는 원소가 아니라 부분집합이다. 이 표기도 아직 뜻이 없다.

확인 2. 두 결핍은 각각 무엇을 새로 약속하면 메워지는가. 한 줄씩 적어 보자.

답

① 부분집합 \(X \subseteq \mathbb{R}\)를 넣었을 때 나오는 출력들의 모임이 무엇인지를

약속한다. ② 부분집합 \(Y \subseteq \mathbb{R}\)가 주어졌을 때 거기에 떨어지는

입력들의 모임이 무엇인지를 약속한다. 둘 다 새로운 계산이 아니라 이미 하던

일에 이름과 기호를 붙이는 일이다.

2 표를 채우며 — 집합 단위의 두 방향#

약속을 세우기 전에 두 방향을 손으로 돌려 본다. 계속 \(f(x) = x^2\) (\(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\))이다. 왼쪽 방향부터 — 입력 집합을 주고 출력을 모은다.

입력 집합 \(X\)

\(x \in X\)의 출력들

모아 놓은 집합

\(\{1, 2, 3\}\)

\(1,\ 4,\ 9\)

\(\{1, 4, 9\}\)

\(\{-1, 1\}\)

\(1,\ 1\)

\(\{1\}\)

\([0, 2]\)

\(x^2\)이 \(0\)부터 \(4\)까지

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

오른쪽 방향 — 목표 집합을 주고 거기에 떨어지는 입력을 모은다.

목표 집합 \(Y\)

\(f(x) \in Y\)인 \(x\)

모아 놓은 집합

\(\{4\}\)

\(x^2 = 4\)인 \(x\): \(2,\ -2\)

\(\{2, -2\}\)

\(\{-1\}\)

\(x^2 = -1\)인 실수 없음

\(\emptyset\)

\([0, 1]\)

\(0 \le x^2 \le 1\)인 \(x\)

\(\underline{\quad(2)\quad}\)

확인 3. 두 표의 빈칸 (1)(2)를 채워 보자. 그리고 둘째 행 두 개(\(\{-1,1\}\) 행과 \(\{-1\}\) 행)에서 관찰되는 현상을 각각 한 줄로 적어 보자.

답

(1) \([0, 4]\) (2) \([-1, 1]\).

관찰 ① 입력이 두 개인데 모아 놓은 집합의 원소는 하나다 — 집합은 중복을

흡수하므로(3주차) 이 방향은 크기를 줄일 수 있다.

관찰 ② 목표 집합이 비어 있지 않은데 모아 놓은 집합은 공집합이다 — 되돌아오는

입력이 하나도 없어도 계산은 멀쩡히 끝난다.

이 두 방향에 이름과 형식을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일(출력 모으기, 조건으로 거르기)을 조건제시법으로 굳혔을 뿐이다.

정의 44.1 — 상과 원상 (image, preimage) [백지 암기 대상]#

\(f : A \to B\)이고 \(X \subseteq A\), \(Y \subseteq B\)라 하자.

\[ f(X) = \{f(x) : x \in X\} \subseteq B \qquad (X\text{의 } \textbf{상}) \]
\[ f^{-1}(Y) = \{x \in A : f(x) \in Y\} \subseteq A \qquad (Y\text{의 } \textbf{원상}) \]

읽는 법 — \(f(X)\)는 “\(X\)의 상” 또는 “\(f\)에 의한 \(X\)의 상”으로 읽는다. \(f^{-1}(Y)\)는 “\(Y\)의 원상”으로 읽고, “에프 인버스”로 읽지 않는다. 기호 \(f^{-1}\)이 붙어 있어도 역함수를 가리키는 것이 아니기 때문이다. 읽는 법까지가 정의다.

치역(40주차)은 이 표기에서 \(f(A)\)다 — 정의역 전체의 상이라는 특수한 경우다. \(f\)가 전단사여서 역함수가 실제로 있는 경우에도 두 기호는 충돌하지 않는다. 그때 \(f^{-1}(\{b\})\)는 원소 하나짜리 집합 \(\{f^{-1}(b)\}\)가 되어, 집합이냐 원소냐만 다르고 내용은 일치한다.

3 정의 해부 — 조각마다 하는 일#

조각

하는 일

증명에서의 역할

“\(X \subseteq A\)”, “\(Y \subseteq B\)”

재료의 자격 제한

상은 정의역 쪽 집합을 받아 공역 쪽 집합을 내놓고, 원상은 그 반대다 — 어느 쪽에 무엇을 넣는지가 여기서 정해진다

“\(\{f(x) : x \in X\}\)”

출력을 모은다

\(y \in f(X)\)를 “\(f(x) = y\)인 \(x \in X\)가 존재한다”로 푼다 — 증인 \(x\)가 필요하다

“\(\{x \in A : f(x) \in Y\}\)”

조건으로 거른다

\(x \in f^{-1}(Y)\)를 “\(f(x) \in Y\)”로 푼다 — 대입 한 번뿐이고 증인이 없다

기호 \(f^{-1}\)

이름표

역함수의 존재를 요구하지 않는다 — \(f\)가 어떤 함수든 이 집합은 정의된다

“\(\subseteq B\)”, “\(\subseteq A\)”

결과의 소속 선언

두 결과가 서로 다른 무대에 산다 — \(f(X)\)는 \(B\)의 부분집합, \(f^{-1}(Y)\)는 \(A\)의 부분집합이므로, 집합 연산이나 포함 비교는 같은 무대의 집합끼리만 한다((P5)에서 \(X\)와 \(f^{-1}(f(X))\)가 둘 다 \(A\) 안에 있는 것이 그 예다)

조각 삭제 실험 1. 상의 정의에서 조건 “\(x \in X\)”를 지우고 \(\{f(x) : x \in A\}\)로 두어 보자. 어떤 \(X\)를 넣어도 결과가 치역 \(f(A)\) 하나로 고정된다. \(X\)마다 다른 답을 주는 것이 상의 전부이므로, 이 조각을 빼면 표기가 할 일이 없어진다.

조각 삭제 실험 2. 원상에서 “이름표” 조각을 잊고 \(f^{-1}\)을 역함수 기호로 읽어 보자. \(f^{-1}([1, 4])\)를 “\([1,4]\)의 각 원소에 역함수를 적용한 값들”로 읽으면, \(f(x) = x^2\)에서는 애초에 그런 함수가 없고, 억지로 \(\sqrt{\ }\)를 끌어오면 \([1, 2]\)가 나와 §1.1에서 확인한 대로 음수 가지가 통째로 사라진다. 정의대로 조건 \(f(x) \in [1,4]\)의 해집합을 구하면 \([-2, -1] \cup [1, 2]\)가 나온다. 두 답의 차이가 이 조각의 하중이다.

확인 4. \(f(x) = x^2\)일 때 \(f^{-1}(\{0\})\)과 \(f^{-1}(\{-3\})\)을 각각 구해 보자. 두 결과의 원소 개수가 다른데, 이것이 정의의 어느 조각과 어긋나는가.

답

\(f^{-1}(\{0\}) = \{x : x^2 = 0\} = \{0\}\) — 원소 하나.

\(f^{-1}(\{-3\}) = \{x : x^2 = -3\} = \emptyset\) — 원소 없음.

어긋나는 조각은 없다. 원상은 “조건을 만족하는 것을 모두 모은 집합”이므로

원소가 몇 개든, 하나도 없든 정의가 성립한다. 개수가 항상 하나여야 하는 것은

함수의 요구(\(\exists!\))이고, 원상에는 그런 요구가 없다.

확인 5. \(f(x) = x^2\), \(X = \{-2, -1, 0, 1, 2\}\)일 때 \(f(X)\)를 구하고, \(|X|\)와 \(|f(X)|\)를 비교해 보자. 모든 \(X \subseteq \mathbb{R}\)에서 두 크기가 항상 같으려면 \(f\)에 어떤 성질이 필요한가.

답

\(f(X) = \{4, 1, 0, 1, 4\} = \{0, 1, 4\}\)이므로 \(|X| = 5\), \(|f(X)| = 3\)이다.

서로 다른 입력 \(-2\)와 \(2\)가 같은 출력으로 뭉개졌기 때문에 줄었다. \(f\)가

단사이면 뭉개짐이 없어 모든 \(X\)에서 \(|f(X)| = |X|\)다(41주차 정의 41.1).

거꾸로 한 \(X\)에서만 크기가 같은 것은 그 \(X\) 위에서 뭉개짐이 없다는 뜻일

뿐이다 — 같은 \(f\)에 \(X = \{1, 2, 3\}\)을 넣으면 \(f(X) = \{1, 4, 9\}\)로 크기가

같지만 \(f\)는 단사가 아니다. 이 관찰이 아래 (P2)와 (P5)에서 등호가 되는

조건으로 다시 나온다.

4 원소 번역 — 증명의 엔진#

두 정의를 증명에서 쓸 꼴로 한 줄씩 옮겨 둔다. 이번 주 모든 증명이 이 두 줄에서 출발한다.

\[ y \in f(X) \iff f(x) = y\text{인 } x \in X\text{가 존재한다} \]
\[ x \in f^{-1}(Y) \iff f(x) \in Y \]

확인 6. 두 번역의 오른쪽을 비교해 보자. 한쪽에는 있고 다른 쪽에는 없는 것이 무엇인가. 증명을 쓸 때 그 차이가 어떤 작업으로 나타나는가.

답

상 쪽에는 “존재한다”(\(\exists\))가 있고, 원상 쪽에는 없다. 증명에서는 이렇게

나타난다 — 상을 다룰 때는 존재하는 \(x\)를 하나 잡아 이름을 붙이는 작업이

필요하고(26주차의 증인 잡기), 원상을 다룰 때는 조건 \(f(x) \in Y\)를 그대로

옮겨 적으면 끝난다. 잡은 증인이 다른 조건에서도 같은 증인이라는 보장은 없지만,

조건을 옮겨 적는 일에는 그런 걱정이 없다.

이 비대칭이 아래 궁합 정리에서 등호와 반쪽을 가른다.

5 궁합 — 먼저 실험하고 정리를 세운다#

두 방향의 표기를 \(\cup\), \(\cap\)과 섞으면 어떻게 되는지 실험부터 한다.

확인 7. \(f(x) = x^2\), \(X_1 = \{1\}\), \(X_2 = \{-1\}\)이라 하자. \(f(X_1 \cap X_2)\)와 \(f(X_1) \cap f(X_2)\)를 각각 계산하고 비교해 보자.

답

\(X_1 \cap X_2 = \emptyset\)이다. 공집합도 정의역 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이므로 상을

쓸 자격이 있고, 정의 44.1에 의해 \(f(\emptyset) = \{f(x) : x \in \emptyset\}\)인데 모을 \(x\)가

하나도 없으므로 \(f(\emptyset) = \emptyset\)이다. 따라서 \(f(X_1 \cap X_2) = \emptyset\)이다.

한편 \(f(X_1) = \{1\}\), \(f(X_2) = \{1\}\)이므로 \(f(X_1) \cap f(X_2) = \{1\}\)이다.

\(\emptyset \neq \{1\}\) — 두 집합은 같지 않다. 오른쪽의 \(1\)은 왼쪽 항에서는 \(1\)이,

오른쪽 항에서는 \(-1\)이 만들어 낸 값이다. 증인이 서로 다르다.

확인 8. 같은 \(f\)에 \(X = \{1\}\)을 두고 \(f^{-1}(f(X))\)를 계산해 \(X\)와 비교해 보자. 또 \(Y = \{-1\}\)에 대해 \(f(f^{-1}(Y))\)를 계산해 \(Y\)와 비교해 보자.

답

\(f(X) = \{1\}\)이고 \(f^{-1}(\{1\}) = \{1, -1\}\)이므로 \(X \subsetneq f^{-1}(f(X))\) —

되돌아오면 \(X\)보다 커진다. \(X\) 밖의 원소 \(-1\)이 같은 출력을 갖기 때문이다.

\(f^{-1}(Y) = f^{-1}(\{-1\}) = \emptyset\)이고 \(f(\emptyset) = \emptyset\)이므로

\(f(f^{-1}(Y)) \subsetneq Y\) — 되돌아오면 \(Y\)보다 작아진다. \(-1\)이 도달

불가능한 값이기 때문이다. 두 어긋남의 원인이 각각 단사\(\cdot\)전사의 실패다.

실험에서 관찰한 것을 명제로 굳힌다. 여섯 항목 중 등호가 셋, 반쪽이 셋이다.

궁합 정리 [백지 암기 대상]#

\(f : A \to B\), \(X, X_1, X_2 \subseteq A\), \(Y, Y_1, Y_2 \subseteq B\)에 대해:

(P1) \(f(X_1 \cup X_2) = f(X_1) \cup f(X_2)\)

(P2) \(f(X_1 \cap X_2) \subseteq f(X_1) \cap f(X_2)\) — 반쪽만 성립한다 (\(f\)가 단사이면 등호)

(P3) \(f^{-1}(Y_1 \cup Y_2) = f^{-1}(Y_1) \cup f^{-1}(Y_2)\)

(P4) \(f^{-1}(Y_1 \cap Y_2) = f^{-1}(Y_1) \cap f^{-1}(Y_2)\)

(P5) \(X \subseteq f^{-1}(f(X))\) (\(f\)가 단사이면 등호)

(P6) \(f(f^{-1}(Y)) \subseteq Y\) (\(f\)가 전사이면 등호)

암기 문장은 **”원상은 둘 다 보존하고, 상은 \(\cap\)에서 반쪽”**이다. 이유는 §1.4의 비대칭 하나뿐이다 — 상의 번역에는 \(\exists\)가 끼어서 “\(X_1\)에서의 증인”과 “\(X_2\)에서의 증인”이 같은 원소라는 보장이 없고(확인 7), 원상의 번역에는 \(\exists\)가 없어서 모든 단계가 왕복 가능하다. (P1)과 (P3)의 증명은 문제 10과 훈련 2에서, (P2)와 (P4)의 증명은 예제 2.2와 2.3에서 한다.

6 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개#

칸의 개수는 늘지 않는다. ① 칸에 정의 44.1이 추가되고, ④ 칸에 이번 주의 궁합 정리와 9부에서 증명해 둔 명제 전부가 들어온다.

근거

내용

이번 주에는 이렇게 쓴다

① 정의

1~43주차의 정의 전부 + 정의 44.1(상\(\cdot\)원상)

§1.4의 원소 번역 두 줄로 기호를 조건으로 푼다 — 모든 증명의 첫 변형이다

② 닫힘성

정수\(\cdot\)실수의 합\(\cdot\)차\(\cdot\)곱은 각각 정수\(\cdot\)실수이고, 0이 아닌 실수로 나눈 몫은 실수 (정수를 정수로 나눈 몫은 정수라는 보장이 없다)

문제 3의 증인 \(n = k\)가 정수임을, 문제 4의 증인 \(\frac{5-y}{2}\)가 실수임을 보장한다

③ 등식의 성질

대입 / 전개 / 묶기 / 양변 연산

문제 5의 검증 계산, 문제 7의 전개, 문제 15의 \(\mathbb{Z}_6\) 계산

④ 이미 증명한 명제

40주차 정의 40.1과 함수 상등의 세 기준, 41주차 정의 41.1~41.3과 서식 4종, 42주차 보존 정리\(\cdot\)역추적 정리\(\cdot\)결합법칙(42주차 문제 7), 43주차 핵심 정리\(\cdot\)특징짓기\(\cdot\)유일성, 27주차 양방향 포함 서식, 20주차 문제 9(b), 16주차 §1.2 인정 사실(제곱근의 존재와 유일), 43주차 예제 2.3(\(\sqrt{\ }\)의 정의) + 이번 주의 (P1)~(P6)

문제 12를 예제 2.2의 한 방향 인용으로 절반 줄이고, 문제 19를 결합법칙 두 줄로 끝낸다

목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 그래프와 “\(f^{-1}\)은 역함수니까”는 목록에 없다.

확인 9. 다음 세 문장은 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가. (가) “\(y \in f(X)\)이므로 \(f(x) = y\)인 \(x \in X\)가 존재한다” (나) “\(f^{-1}(Y)\)는 \(f\)의 역함수를 \(Y\)의 원소마다 적용한 결과이므로” (다) “\(x \in f^{-1}(Y_1) \cap f^{-1}(Y_2)\)이므로 \(f(x) \in Y_1\)이고 \(f(x) \in Y_2\)이다”

답

(가) 허용 — 근거 ①, 정의 44.1의 상 쪽 원소 번역이다.

(나) 불허 — 정의 44.1에 역함수는 등장하지 않는다. \(f\)가 전단사가 아니면

인용 대상 자체가 존재하지 않는다(문제 18(b)가 같은 결함을 다룬다).

(다) 허용 — 근거 ①을 두 번 썼다. 교집합의 정의(5주차)로 두 조각을 분리하고,

각 조각에 원상의 원소 번역을 적용한 것이다.

정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 정의 44.1은 두 집합의 소속 조건(”\(X \subseteq A\)”, “\(Y \subseteq B\)”)까지 포함해 외운다.