# 44주차 — 상과 원상 + 9부 총정리 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 기호 $f^{-1}(Y)$는 역함수가 없어도 산다 — 원상은 $\cup$과 $\cap$을 모두 보존하고, 상은 $\cap$에서 반쪽만 보존한다. **이 주의 위치**: 50주 과정의 44주차. 9부(함수)의 마지막 주다. 40~43주차에서 세운 함수의 언어에 집합 단위의 두 연산(상$\cdot$원상)을 더하고, 27주차의 집합 증명 서식을 함수 무대에서 다시 쓴 뒤, 총정리 모의시험으로 9부를 닫는다. **원서 대응**: BoP(Book of Proof) 12.6 (Image and Preimage) — 병행자 참고용이고, 이 교재는 원서 없이 읽을 수 있다. ::: ## 이번 주 목표 1. 상 $f(X)$와 원상 $f^{-1}(Y)$의 정의를 백지에 쓰고, "원상 기호는 역함수와 무관하다"를 반례와 함께 설명할 수 있다. 1. 상$\cdot$원상과 $\cup$, $\cap$의 궁합 정리(등호 셋, 반쪽 하나)를 증명하고, 반쪽인 자리의 반례를 제시할 수 있다. 1. $X \subseteq f^{-1}(f(X))$와 $f(f^{-1}(Y)) \subseteq Y$를 증명하고, 등호가 되는 조건(각각 단사$\cdot$전사)을 말할 수 있다. 1. 20문항 모의시험으로 9부(40~44주차)를 자가 평가한다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (43주차 복습) 1. 역함수가 존재할 필요충분조건을 쓰고, 그 정리에서 역관계의 전체성$\cdot$유일성이 각각 $f$의 무엇과 대응했는지 쓰시오. 1. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$은 역함수를 갖는가. 판정하고 이유를 쓰시오. 1. 신발–양말 정리를 진술하시오. :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown **1.** $f : A \to B$의 역관계 $f^{-1} = \{(b, a) : (a, b) \in f\}$가 $B$에서 $A$로의 **함수**가 되는 것과 $f$가 **전단사**인 것은 같은 말이다(43주차 핵심 정리). 대응은 $f^{-1}$의 전체성 $\leftrightarrow$ $f$의 전사성, $f^{-1}$의 유일성 $\leftrightarrow$ $f$의 단사성이다. **2.** 갖지 않는다. $f(1) = 1 = f(-1)$인데 $1 \neq -1$이므로 단사가 아니고(41주차 정의 41.1), 전단사가 아니므로 핵심 정리에 의해 역함수가 없다. 덤으로 $-1$은 어떤 실수의 제곱도 아니므로 전사도 아니다. **3.** $f : A \to B$와 $g : B \to C$가 전단사이면 $g \circ f$도 전단사이고 $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$이다(43주차 문제 15). 합성의 역은 순서가 뒤집힌다. ::: ### 자주 나오는 세 가지 답 — 2번 문항 방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 있다고 답하고 $\sqrt{y}$를 적는다.** "$f^{-1}(y) = \sqrt{y}$"라고 적는 경우가 많다. 계산 자체는 근거가 있다 — 정의역을 $[0, \infty)$로 제한한 함수에 대해서는 $\sqrt{\ }$가 실제로 역함수다(43주차 예제 2.3). 어긋난 것은 대상이다. 물음의 $f$는 정의역이 $\mathbb{R}$인 함수이고, 제한해서 만든 함수는 원래 $f$가 아니다. 이 혼동이 이번 주 문제 18(b)에서 정확히 같은 꼴로 다시 나온다. - **유형 2 — 없다고 답하고 그래프로 설명한다.** "가로선이 두 번 만나므로 없다"고 적는다. 판정은 옳다. 간격은 근거의 꼴이다 — 그림은 근거 목록에 없다(41주차 §1.9). 같은 내용을 $f(1) = f(-1)$이고 $1 \neq -1$이라는 등식 두 줄로 옮겨 적어야 근거가 된다. 내용이 아니라 꼴이 근거의 자격을 정한다. - **유형 3 — 없다고 답하고 이유를 전사에서만 찾는다.** "$-1$이 출력되지 않으므로 역함수가 없다"고 적는다. 관찰은 사실이고, 그것만으로도 전단사가 깨지므로 결론도 옳다. 다만 43주차 핵심 정리는 두 조각을 각각 요구한다 — 여기서는 단사도 깨진다. 어느 조각이 깨졌는지 지목하는 습관이 이번 주 문제 2와 문제 17에서 점수가 된다. ## 개념 — 상과 원상 ### 1 43주차의 도구로는 어디서 막히는가 지금까지의 도구로는 함수에 원소 하나를 넣어 원소 하나를 얻는다. 이 도구로 다음 물음을 처리해 보자. :::{container} quotebox **물음** $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$이라 하자. 제곱했을 때 $1$과 $4$ 사이(양 끝 포함)에 들어가는 실수를 **전부** 적으시오. ::: 물음에는 분명히 답이 있다. $1 \le x^2 \le 4$는 $1 \le |x| \le 2$와 같은 말이고, $x$의 부호로 경우를 나누면(17주차) $x \in [1, 2]$ 또는 $x \in [-2, -1]$이다. 답은 $[-2, -1] \cup [1, 2]$다. 문제는 이 답을 **기호로 적을 수단**이 없다는 데 있다. :::{admonition} 시도 — 역함수로 적기 :class: quotebox "되돌아오는 입력"이니 역함수를 쓰면 될 것 같다: $f^{-1}([1, 4])$. 그런데 $f$는 단사가 아니므로($f(1) = f(-1)$) 전단사가 아니고, 43주차 핵심 정리에 의해 **역함수 자체가 없다**. 존재하지 않는 대상을 인용한 셈이므로 이 표기는 아직 뜻이 없다. ::: :::{admonition} 시도 — 정의역을 제한해 우회하기 :class: quotebox 43주차 예제 2.3처럼 정의역을 $[0, \infty)$로 줄이면 $\sqrt{\ }$라는 역함수가 생긴다. 이것으로 계산하면 $[\sqrt1, \sqrt4] = [1, 2]$가 나온다. ::: :::{container} quotebox **확인 1.** 두 번째 시도가 내놓은 $[1, 2]$와 실제 답 $[-2, -1] \cup [1, 2]$를 비교해 보자. 무엇이 빠졌고, 왜 빠졌는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 음수 가지 $[-2, -1]$이 통째로 빠졌다. 정의역을 $[0, \infty)$로 제한하는 순간 음수 입력이 무대에서 사라지기 때문이다. 제한은 우회가 아니라 물음을 바꾼 것이다 — 원래 물음의 무대는 $\mathbb{R}$ 전체다. 그러므로 역함수를 거치지 않고 "되돌아오는 입력 전부"를 직접 가리키는 표기가 따로 필요하다. ::: 반대 방향에도 같은 결핍이 있다. "$[1, 2]$의 수들을 $f$에 넣으면 무엇이 나오는가"를 $f([1, 2])$로 적고 싶지만, 정의 40.1의 $f$는 $\mathbb{R}$의 **원소**를 받는 함수이고 $[1, 2]$는 원소가 아니라 부분집합이다. 이 표기도 아직 뜻이 없다. :::{container} quotebox **확인 2.** 두 결핍은 각각 무엇을 새로 약속하면 메워지는가. 한 줄씩 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ① 부분집합 $X \subseteq \mathbb{R}$를 넣었을 때 나오는 **출력들의 모임**이 무엇인지를 약속한다. ② 부분집합 $Y \subseteq \mathbb{R}$가 주어졌을 때 거기에 떨어지는 **입력들의 모임**이 무엇인지를 약속한다. 둘 다 새로운 계산이 아니라 이미 하던 일에 이름과 기호를 붙이는 일이다. ::: ### 2 표를 채우며 — 집합 단위의 두 방향 약속을 세우기 전에 두 방향을 손으로 돌려 본다. 계속 $f(x) = x^2$ ($\mathbb{R} \to \mathbb{R}$)이다. 왼쪽 방향부터 — 입력 집합을 주고 출력을 모은다. | **입력 집합 $X$** | **$x \in X$의 출력들** | **모아 놓은 집합** | |---|---|---| | $\{1, 2, 3\}$ | $1,\ 4,\ 9$ | $\{1, 4, 9\}$ | | $\{-1, 1\}$ | $1,\ 1$ | $\{1\}$ | | $[0, 2]$ | $x^2$이 $0$부터 $4$까지 | $\underline{\quad(1)\quad}$ | 오른쪽 방향 — 목표 집합을 주고 거기에 떨어지는 입력을 모은다. | **목표 집합 $Y$** | **$f(x) \in Y$인 $x$** | **모아 놓은 집합** | |---|---|---| | $\{4\}$ | $x^2 = 4$인 $x$: $2,\ -2$ | $\{2, -2\}$ | | $\{-1\}$ | $x^2 = -1$인 실수 없음 | $\emptyset$ | | $[0, 1]$ | $0 \le x^2 \le 1$인 $x$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 3.** 두 표의 빈칸 (1)(2)를 채워 보자. 그리고 둘째 행 두 개($\{-1,1\}$ 행과 $\{-1\}$ 행)에서 관찰되는 현상을 각각 한 줄로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $[0, 4]$ (2) $[-1, 1]$. 관찰 ① 입력이 두 개인데 모아 놓은 집합의 원소는 하나다 — 집합은 중복을 흡수하므로(3주차) 이 방향은 크기를 줄일 수 있다. 관찰 ② 목표 집합이 비어 있지 않은데 모아 놓은 집합은 공집합이다 — 되돌아오는 입력이 하나도 없어도 계산은 멀쩡히 끝난다. ::: 이 두 방향에 이름과 형식을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일(출력 모으기, 조건으로 거르기)을 조건제시법으로 굳혔을 뿐이다. ### 정의 44.1 — 상과 원상 (image, preimage) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox $f : A \to B$이고 $X \subseteq A$, $Y \subseteq B$라 하자. $$ f(X) = \{f(x) : x \in X\} \subseteq B \qquad (X\text{의 } \textbf{상}) $$ $$ f^{-1}(Y) = \{x \in A : f(x) \in Y\} \subseteq A \qquad (Y\text{의 } \textbf{원상}) $$ ::: 읽는 법 — $f(X)$는 "$X$의 상" 또는 "$f$에 의한 $X$의 상"으로 읽는다. $f^{-1}(Y)$는 "$Y$의 원상"으로 읽고, **"에프 인버스"로 읽지 않는다**. 기호 $f^{-1}$이 붙어 있어도 역함수를 가리키는 것이 아니기 때문이다. 읽는 법까지가 정의다. 치역(40주차)은 이 표기에서 $f(A)$다 — 정의역 전체의 상이라는 특수한 경우다. $f$가 전단사여서 역함수가 실제로 있는 경우에도 두 기호는 충돌하지 않는다. 그때 $f^{-1}(\{b\})$는 원소 하나짜리 집합 $\{f^{-1}(b)\}$가 되어, 집합이냐 원소냐만 다르고 내용은 일치한다. ### 3 정의 해부 — 조각마다 하는 일 | **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** | |---|---|---| | "$X \subseteq A$", "$Y \subseteq B$" | 재료의 자격 제한 | 상은 정의역 쪽 집합을 받아 공역 쪽 집합을 내놓고, 원상은 그 반대다 — 어느 쪽에 무엇을 넣는지가 여기서 정해진다 | | "$\{f(x) : x \in X\}$" | 출력을 모은다 | $y \in f(X)$를 "$f(x) = y$인 $x \in X$가 **존재한다**"로 푼다 — 증인 $x$가 필요하다 | | "$\{x \in A : f(x) \in Y\}$" | 조건으로 거른다 | $x \in f^{-1}(Y)$를 "$f(x) \in Y$"로 푼다 — 대입 한 번뿐이고 증인이 없다 | | 기호 $f^{-1}$ | 이름표 | 역함수의 존재를 **요구하지 않는다** — $f$가 어떤 함수든 이 집합은 정의된다 | | "$\subseteq B$", "$\subseteq A$" | 결과의 소속 선언 | 두 결과가 서로 다른 무대에 산다 — $f(X)$는 $B$의 부분집합, $f^{-1}(Y)$는 $A$의 부분집합이므로, 집합 연산이나 포함 비교는 같은 무대의 집합끼리만 한다((P5)에서 $X$와 $f^{-1}(f(X))$가 둘 다 $A$ 안에 있는 것이 그 예다) | **조각 삭제 실험 1.** 상의 정의에서 조건 "$x \in X$"를 지우고 $\{f(x) : x \in A\}$로 두어 보자. 어떤 $X$를 넣어도 결과가 치역 $f(A)$ 하나로 고정된다. $X$마다 다른 답을 주는 것이 상의 전부이므로, 이 조각을 빼면 표기가 할 일이 없어진다. **조각 삭제 실험 2.** 원상에서 "이름표" 조각을 잊고 $f^{-1}$을 역함수 기호로 읽어 보자. $f^{-1}([1, 4])$를 "$[1,4]$의 각 원소에 역함수를 적용한 값들"로 읽으면, $f(x) = x^2$에서는 애초에 그런 함수가 없고, 억지로 $\sqrt{\ }$를 끌어오면 $[1, 2]$가 나와 §1.1에서 확인한 대로 음수 가지가 통째로 사라진다. 정의대로 조건 $f(x) \in [1,4]$의 해집합을 구하면 $[-2, -1] \cup [1, 2]$가 나온다. 두 답의 차이가 이 조각의 하중이다. :::{container} quotebox **확인 4.** $f(x) = x^2$일 때 $f^{-1}(\{0\})$과 $f^{-1}(\{-3\})$을 각각 구해 보자. 두 결과의 원소 개수가 다른데, 이것이 정의의 어느 조각과 어긋나는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $f^{-1}(\{0\}) = \{x : x^2 = 0\} = \{0\}$ — 원소 하나. $f^{-1}(\{-3\}) = \{x : x^2 = -3\} = \emptyset$ — 원소 없음. 어긋나는 조각은 없다. 원상은 "조건을 만족하는 것을 모두 모은 집합"이므로 원소가 몇 개든, 하나도 없든 정의가 성립한다. 개수가 항상 하나여야 하는 것은 함수의 요구($\exists!$)이고, 원상에는 그런 요구가 없다. ::: :::{container} quotebox **확인 5.** $f(x) = x^2$, $X = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$일 때 $f(X)$를 구하고, $|X|$와 $|f(X)|$를 비교해 보자. 모든 $X \subseteq \mathbb{R}$에서 두 크기가 항상 같으려면 $f$에 어떤 성질이 필요한가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $f(X) = \{4, 1, 0, 1, 4\} = \{0, 1, 4\}$이므로 $|X| = 5$, $|f(X)| = 3$이다. 서로 다른 입력 $-2$와 $2$가 같은 출력으로 뭉개졌기 때문에 줄었다. $f$가 **단사**이면 뭉개짐이 없어 모든 $X$에서 $|f(X)| = |X|$다(41주차 정의 41.1). 거꾸로 한 $X$에서만 크기가 같은 것은 그 $X$ 위에서 뭉개짐이 없다는 뜻일 뿐이다 — 같은 $f$에 $X = \{1, 2, 3\}$을 넣으면 $f(X) = \{1, 4, 9\}$로 크기가 같지만 $f$는 단사가 아니다. 이 관찰이 아래 (P2)와 (P5)에서 등호가 되는 조건으로 다시 나온다. ::: ### 4 원소 번역 — 증명의 엔진 두 정의를 증명에서 쓸 꼴로 한 줄씩 옮겨 둔다. 이번 주 모든 증명이 이 두 줄에서 출발한다. $$ y \in f(X) \iff f(x) = y\text{인 } x \in X\text{가 존재한다} $$ $$ x \in f^{-1}(Y) \iff f(x) \in Y $$ :::{container} quotebox **확인 6.** 두 번역의 오른쪽을 비교해 보자. 한쪽에는 있고 다른 쪽에는 없는 것이 무엇인가. 증명을 쓸 때 그 차이가 어떤 작업으로 나타나는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 상 쪽에는 "존재한다"($\exists$)가 있고, 원상 쪽에는 없다. 증명에서는 이렇게 나타난다 — 상을 다룰 때는 존재하는 $x$를 **하나 잡아 이름을 붙이는** 작업이 필요하고(26주차의 증인 잡기), 원상을 다룰 때는 조건 $f(x) \in Y$를 그대로 옮겨 적으면 끝난다. 잡은 증인이 다른 조건에서도 같은 증인이라는 보장은 없지만, 조건을 옮겨 적는 일에는 그런 걱정이 없다. 이 비대칭이 아래 궁합 정리에서 등호와 반쪽을 가른다. ::: ### 5 궁합 — 먼저 실험하고 정리를 세운다 두 방향의 표기를 $\cup$, $\cap$과 섞으면 어떻게 되는지 실험부터 한다. :::{container} quotebox **확인 7.** $f(x) = x^2$, $X_1 = \{1\}$, $X_2 = \{-1\}$이라 하자. $f(X_1 \cap X_2)$와 $f(X_1) \cap f(X_2)$를 각각 계산하고 비교해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $X_1 \cap X_2 = \emptyset$이다. 공집합도 정의역 $\mathbb{R}$의 부분집합이므로 상을 쓸 자격이 있고, 정의 44.1에 의해 $f(\emptyset) = \{f(x) : x \in \emptyset\}$인데 모을 $x$가 하나도 없으므로 $f(\emptyset) = \emptyset$이다. 따라서 $f(X_1 \cap X_2) = \emptyset$이다. 한편 $f(X_1) = \{1\}$, $f(X_2) = \{1\}$이므로 $f(X_1) \cap f(X_2) = \{1\}$이다. $\emptyset \neq \{1\}$ — 두 집합은 같지 않다. 오른쪽의 $1$은 왼쪽 항에서는 $1$이, 오른쪽 항에서는 $-1$이 만들어 낸 값이다. **증인이 서로 다르다.** ::: :::{container} quotebox **확인 8.** 같은 $f$에 $X = \{1\}$을 두고 $f^{-1}(f(X))$를 계산해 $X$와 비교해 보자. 또 $Y = \{-1\}$에 대해 $f(f^{-1}(Y))$를 계산해 $Y$와 비교해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $f(X) = \{1\}$이고 $f^{-1}(\{1\}) = \{1, -1\}$이므로 $X \subsetneq f^{-1}(f(X))$ — 되돌아오면 $X$보다 **커진다**. $X$ 밖의 원소 $-1$이 같은 출력을 갖기 때문이다. $f^{-1}(Y) = f^{-1}(\{-1\}) = \emptyset$이고 $f(\emptyset) = \emptyset$이므로 $f(f^{-1}(Y)) \subsetneq Y$ — 되돌아오면 $Y$보다 **작아진다**. $-1$이 도달 불가능한 값이기 때문이다. 두 어긋남의 원인이 각각 단사$\cdot$전사의 실패다. ::: 실험에서 관찰한 것을 명제로 굳힌다. 여섯 항목 중 등호가 셋, 반쪽이 셋이다. ### 궁합 정리 [백지 암기 대상] :::{container} quotebox $f : A \to B$, $X, X_1, X_2 \subseteq A$, $Y, Y_1, Y_2 \subseteq B$에 대해: (P1) $f(X_1 \cup X_2) = f(X_1) \cup f(X_2)$ (P2) $f(X_1 \cap X_2) \subseteq f(X_1) \cap f(X_2)$ — 반쪽만 성립한다 ($f$가 단사이면 등호) (P3) $f^{-1}(Y_1 \cup Y_2) = f^{-1}(Y_1) \cup f^{-1}(Y_2)$ (P4) $f^{-1}(Y_1 \cap Y_2) = f^{-1}(Y_1) \cap f^{-1}(Y_2)$ (P5) $X \subseteq f^{-1}(f(X))$ ($f$가 단사이면 등호) (P6) $f(f^{-1}(Y)) \subseteq Y$ ($f$가 전사이면 등호) ::: 암기 문장은 **"원상은 둘 다 보존하고, 상은 $\cap$에서 반쪽"**이다. 이유는 §1.4의 비대칭 하나뿐이다 — 상의 번역에는 $\exists$가 끼어서 "$X_1$에서의 증인"과 "$X_2$에서의 증인"이 같은 원소라는 보장이 없고(확인 7), 원상의 번역에는 $\exists$가 없어서 모든 단계가 왕복 가능하다. (P1)과 (P3)의 증명은 문제 10과 훈련 2에서, (P2)와 (P4)의 증명은 예제 2.2와 2.3에서 한다. ### 6 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개 칸의 개수는 늘지 않는다. ① 칸에 정의 44.1이 추가되고, ④ 칸에 이번 주의 궁합 정리와 9부에서 증명해 둔 명제 전부가 들어온다. | **근거** | **내용** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | 1~43주차의 정의 전부 + **정의 44.1(상$\cdot$원상)** | §1.4의 원소 번역 두 줄로 기호를 조건으로 푼다 — 모든 증명의 첫 변형이다 | | ② 닫힘성 | 정수$\cdot$실수의 합$\cdot$차$\cdot$곱은 각각 정수$\cdot$실수이고, 0이 아닌 실수로 나눈 몫은 실수 (정수를 정수로 나눈 몫은 정수라는 보장이 없다) | 문제 3의 증인 $n = k$가 정수임을, 문제 4의 증인 $\frac{5-y}{2}$가 실수임을 보장한다 | | ③ 등식의 성질 | 대입 / 전개 / 묶기 / 양변 연산 | 문제 5의 검증 계산, 문제 7의 전개, 문제 15의 $\mathbb{Z}_6$ 계산 | | ④ 이미 증명한 명제 | 40주차 정의 40.1과 함수 상등의 세 기준, 41주차 정의 41.1~41.3과 서식 4종, 42주차 보존 정리$\cdot$역추적 정리$\cdot$결합법칙(42주차 문제 7), 43주차 핵심 정리$\cdot$특징짓기$\cdot$유일성, 27주차 양방향 포함 서식, 20주차 문제 9(b), 16주차 §1.2 인정 사실(제곱근의 존재와 유일), 43주차 예제 2.3($\sqrt{\ }$의 정의) + **이번 주의 (P1)~(P6)** | 문제 12를 예제 2.2의 한 방향 인용으로 절반 줄이고, 문제 19를 결합법칙 두 줄로 끝낸다 | 목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 그래프와 "$f^{-1}$은 역함수니까"는 목록에 없다. :::{container} quotebox **확인 9.** 다음 세 문장은 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가. (가) "$y \in f(X)$이므로 $f(x) = y$인 $x \in X$가 존재한다" (나) "$f^{-1}(Y)$는 $f$의 역함수를 $Y$의 원소마다 적용한 결과이므로" (다) "$x \in f^{-1}(Y_1) \cap f^{-1}(Y_2)$이므로 $f(x) \in Y_1$이고 $f(x) \in Y_2$이다" ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 허용 — 근거 ①, 정의 44.1의 상 쪽 원소 번역이다. (나) 불허 — 정의 44.1에 역함수는 등장하지 않는다. $f$가 전단사가 아니면 인용 대상 자체가 존재하지 않는다(문제 18(b)가 같은 결함을 다룬다). (다) 허용 — 근거 ①을 두 번 썼다. 교집합의 정의(5주차)로 두 조각을 분리하고, 각 조각에 원상의 원소 번역을 적용한 것이다. ::: 정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 정의 44.1은 두 집합의 소속 조건("$X \subseteq A$", "$Y \subseteq B$")까지 포함해 외운다.