S1주차 — 증명이라는 과제: 명제, 함의, 진리표의 재정비

내용

S1주차 — 증명이라는 과제: 명제, 함의, 진리표의 재정비#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 증명은 “A가 참”이라는 정보만으로 “B도 참”임을 회의적인 독자에게 확신시키는 과제다.

이 주의 위치: 1학기(Solow) 20주의 1주차. 1권 7\(\cdot\)8주차의 진리표와 15주차의 직접 증명 서식을, “지금 손에 무엇이 있고 무엇을 만들어야 하는가”라는 관리 문제로 다시 세운다.

원서 대응: Solow 1장. 주간 루틴 1일차에 원서 1장을 통독한 뒤 이 문서로 온다.

이번 주 목표#

증명을 “\(A \Rightarrow B\) 과제”로 보는 관점을 세운다 — 무엇이 주어지고(A), 무엇을 확신시켜야 하며(B), 어떤 근거가 허용되는가.
임의의 수학 명제에서 가설 A와 결론 B를 분해하는 일을 즉답 수준으로 만든다 (숨은 가설 포함).
진리표(1권 8주차)를 증명자의 책임 범위를 정하는 규칙서로 다시 읽는다 — 왜 “A 거짓” 두 행은 증명자의 일이 아닌가.
이 책 전체의 지도를 그린다: 기법이란 “A는 참, B의 진리값은 미지”인 상황의 표준 공략법들이다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

표기 — § 와 난이도 표시

§는 “절”이라고 읽는다. §1.3은 이 주차의 1.3 절을, §5는 5절 전체를 가리킨다.

다른 주차를 가리킬 때는 “S2주차 §1.2”처럼 주차를 앞에 적고, 1권을 가리킬 때는

“1권 15주차 문제 18”처럼 적는다. 원서는 “Solow 1장”처럼 장 번호로만 적는다.

절 제목에 붙은 점 표시는 단계를 뜻한다. 연습문제는 기본 1~6번, 표준 7~14번,

도전 15~20번이고, 빈칸 사다리는 훈련 1에서 3으로 갈수록 지지대가 줄어든다.

이번 주에 반복해서 나오는 “허용된 근거”는 증명의 각 줄에 붙일 수 있는 것들의

목록을 가리킨다. 이 목록 밖에 있는 것은 증명에 쓸 수 없다 — 목록을 §1.7에서 확정한다.

준비 운동 (1권 복습)#

\(P \Rightarrow Q\)의 진리표를 백지에 그리시오 (1권 8주차).
“\(P \Rightarrow Q\)가 거짓이 되는 유일한 경우”는 언제인지 한 줄로 쓰시오.
1권 15주차의 직접 증명 서식(오프닝 \(\to\) 몸통 \(\to\) 마감)을 아무 명제 하나로 재현하시오.
명제 “\(n^2\)이 짝수인 정수 \(n\)은 짝수이다”에서 무엇을 가정하고 무엇을 보여야 하는지 각각 한 줄로 적으시오.

답을 노트에 적어 둔다. 4번의 답은 §1.5를 읽은 뒤 다시 본다.

자주 나오는 세 가지 답#

4번에 적은 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 1권 범위 안에서만 움직인 답이고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

유형 1 — 무대 선언 누락. 가정을 “\(n^2\)은 짝수”, 결론을 “\(n\)은 짝수”로 적는다.

이 두 줄은 옳다. 빠진 것은 “\(n\)은 정수”라는 한 줄이다. 무대 선언을 가정에서 빼면 \(n = \sqrt2\) 같은 대상까지 논의에 들어오고, 그러면 “\(n\)이 짝수인가”라는 물음 자체가 판정 불가능해진다. 무대 선언도 가정의 일부다 — §1.3에서 이 누락이 실제로 무엇을 무너뜨리는지 본다.

유형 2 — 방향 뒤집기. “\(n\)이 짝수라 가정하고 \(n^2\)이 짝수임을 보인다”로 적는다.

1권 1주차 문제 9에서 실제로 증명한 것이 그 방향이므로 손이 그쪽으로 먼저 간다. 그러나 그것은 이 명제의 역(1권 9주차)이고, 별개의 명제다. 어느 쪽을 가정으로 놓았는지가 증명 전체를 결정한다 — 예제 2.3이 이 뒤집기를 정면으로 다룬다.

유형 3 — 진리표는 그렸으나 쓰이는 곳을 모름. 1번은 정확히 그렸는데 4번에서

진리표를 한 번도 쓰지 않는다. 진리표를 “명제의 진리값을 계산하는 표”로만 익힌 결과다. 진리표는 계산 도구이기 전에 증명자의 책임 범위를 정하는 규칙서이고, §1.4가 그 읽는 법을 세운다.

개념 — 증명이라는 과제#

1 기법을 다 알고도 막히는 자리#

Solow 1장을 통독하면 “A가 참일 때 B가 참임을 보인다”는 서술은 남지만, 실제 명제 앞에서 무엇부터 적어야 하는지는 남지 않는다. 그 자리를 이 절에서 메운다.

1권에서 직접\(\cdot\)대우\(\cdot\)귀류\(\cdot\)경우 나누기\(\cdot\)귀납을 배웠다. 그 도구만 들고 다음 명제에 달려들어 보자. 이 명제는 §2와 S2\(\cdot\)S3주차에서 계속 쓴다.

시도 — 1권의 직접 증명 서식으로 밀어붙이기

명제: 양의 실수 \(x\)에 대해, \(x + \dfrac{1}{x} = 2\)이면 \(x = 1\)이다.

“1권 15주차의 서식대로 연다. 오프닝: ‘\(x\)를 \(x + \frac1x = 2\)인 양의 실수라

하자.’ 몸통: 정의를 펼친다 — 그런데 펼칠 정의가 없다. ‘양의 실수’에는 \(2k\)

같은 꼴이 없고, 가정의 등식은 이미 등식이라 더 풀 것이 없다.

마감: ‘따라서 \(x = 1\)이다’ — 그런데 그 사이가 비어 있다.”

여기서 멈춘다. 1권의 3단계 틀 중 ②(정의 풀어쓰기)와 ③(목표 꼴 만들기)이 둘 다 작동하지 않는다. 도구가 부족한 것이 아니다. 도구는 다 있는데 어느 도구를 어디에 쓸지 판단할 재료가 정리되어 있지 않다.

확인 1. 위 시도가 멈춘 자리에서, 다음 줄을 찾으려면 무엇을 먼저 적어 두어야 하는가. “지금 손에 있는 것”과 “만들어야 할 것” 중 무엇이 정리되지 않았는가.

답

둘 다 정리되지 않았다. 손에 있는 것은 세 조각(”\(x\)는 실수”, “\(x > 0\)”,

“\(x + \frac1x = 2\)”)인데 시도문은 그 세 조각을 목록으로 적어 두지 않았고,

만들어야 할 것은 “\(x = 1\)”인데 그것을 어떤 꼴로 바꿔도 되는지 정해 두지 않았다.

1권에서는 정의가 이 두 목록을 자동으로 채워 주었으므로 목록을 따로 적을 필요가

없었다. 정의가 자동으로 채워 주지 않는 명제에서는 목록을 손으로 적어야 한다.

이 주 전체의 기준

증명의 모든 순간은 두 목록으로 관리된다 — **가진 것(A와 A에서 유도한 것)**과

만들 것(B 또는 B를 대신할 것). 이 두 목록을 명시적으로 적는 절차가

이번 주의 내용이다.

2 구체 사례를 모아 보기 — 정리는 어떤 모양인가#

1권 50주에서 증명한 명제들을 모양만 놓고 다시 본다. 표의 빈칸을 채워 보자.

명제	가정에 해당하는 부분	결론에 해당하는 부분
\(n\)이 홀수이면 \(n^2\)은 홀수이다 (1권 1주차 문제 11)	\(n\)은 정수이고 \(n\)은 홀수	\(n^2\)은 홀수
\(a \mid b\)이고 \(b \mid c\)이면 \(a \mid c\) (1권 2주차)	\(\underline{\quad(1)\quad}\)	\(a \mid c\)
짝수와 짝수의 합은 짝수이다 (1권 1주차 예제 2.1)	\(m\), \(n\)은 정수이고 둘 다 짝수	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 + x + 1 > 0\) (1권 16주차 문제 5)	\(\underline{\quad(3)\quad}\)	\(x^2 + x + 1 > 0\)

확인 2. 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 네 줄에서 공통으로 관찰되는 것을 한 문장으로 적어 보자.

답

(1) \(a, b, c\)는 정수이고 \(a \mid b\)이고 \(b \mid c\) (2) \(m + n\)은 짝수

(3) \(x\)는 실수.

공통점: 네 명제 모두 **”어떤 것이 주어졌을 때, 어떤 것이 성립한다”**는 한 가지

모양이다. 넷째 줄처럼 “이면”이라는 낱말이 없는 명제도 무대 선언을 가정 쪽으로

올리면 같은 모양이 된다.

이 관찰에 이름과 형식을 붙인다. 관찰 자체에 새로운 수학은 없다 — 1권 15주차에서 오프닝\(\cdot\)몸통\(\cdot\)마감으로 하던 일을 목록 세 줄로 굳혔을 뿐이다.

백지 암기 대상

증명 과제의 세 요소

수학의 정리는 거의 전부 “A이면 B이다” 꼴이다. 이 명제를 증명한다는 것은:

주어진 것: “A는 참”이라는 정보
해야 할 일: “B도 참”임을 확립하는 것
허용된 근거: 정의, 공리, 이미 증명된 정리, 논리 규칙

이 세 가지가 정해진 상태에서 해야 할 일을 완수하는 것이다.

1권의 어느 자리가 이것이었는가. 1권 15주차에서 “\(P\)라 가정하자”로 열고 “따라서 \(Q\)이다”로 닫으라고 배운 서식이, 여기서 “주어진 것 A”와 “해야 할 일 B”라는 두 목록의 이름을 얻는다. 서식은 그대로이고, 달라지는 것은 그 두 목록을 증명 도중에도 계속 갱신한다는 점이다 — S2\(\cdot\)S3주차의 후진\(\cdot\)전진 과정이 그 갱신 절차다.

3 절차 해부 — 세팅의 네 걸음#

명제를 받았을 때 실제로 하는 일은 네 걸음이다. 걸음마다 맡은 일이 다르고, 하나를 빼면 무엇이 무너지는지도 다르다.

걸음	하는 일	이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가
① A를 남김없이 적는다 (숨은 무대 선언 포함)	손에 쥔 정보의 목록을 만든다	판정 자체가 불가능해진다 (아래 실험 1)
② B를 정확히 적는다	언제 끝나는지의 기준을 만든다	원명제 대신 역을 증명하게 된다 (실험 2)
③ 허용된 근거의 목록을 확정한다	각 줄의 근거가 될 수 있는 것을 한정한다	거짓 명제가 정리 행세를 하고 통과한다 (실험 3)
④ “A가 참인 세계에 선다”를 선언한다	검토 범위를 A 참인 경우로 자른다	참이 아닌 더 강한 명제를 스스로 떠맡는다 (실험 4)

걸음 삭제 실험 1 — ①을 빼면. 명제 “\(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다”에서 무대 선언 “\(n\)은 정수”를 A에서 빼 보자. 그러면 \(n = \sqrt2\)가 논의 대상이 되고, \(n^2 = 2\)는 짝수인데 \(n = \sqrt2\)는 짝수도 홀수도 아니다. 짝수의 정의(1권 1주차 정의 1.1)는 첫 조각에서 “정수 \(n\)이”라고 판정 대상을 정수로 한정하므로, 정수가 아닌 \(\sqrt2\)에는 이 정의를 적용하는 것 자체가 불가능하다 — 따라서 “\(\sqrt2\)는 짝수인가”라는 물음이 참\(\cdot\)거짓을 갖지 못한다. 결론의 진리값이 정해지지 않으므로 명제의 판정이 성립하지 않는다.

걸음 삭제 실험 2 — ②를 빼면. 명제 “이등변삼각형의 두 밑각은 같다”에서 B를 확정하지 않고 시작하면, “두 밑각이 같다고 하자”로 여는 답안이 나온다. 그 답안이 증명하는 것은 원명제가 아니라 역(“두 밑각이 같으면 이등변삼각형이다”)이다. 둘 다 참인 명제이지만 서로 다른 명제이고, 하나를 증명해도 다른 하나는 증명되지 않는다. 예제 2.3에서 이 답안을 정면으로 해부한다.

걸음 삭제 실험 3 — ③을 빼면. 어떤 답안이 “무리수와 무리수의 곱은 무리수이다”를 정리로 인용해 \(\sqrt2 \cdot \sqrt2\)가 무리수라고 결론짓는다. 인용된 문장은 정리가 아니라 거짓 명제이고, 실제로 \(\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2\)는 유리수다. 허용된 근거의 목록을 미리 확정해 두었다면 “④ 이미 증명한 명제”라는 자격 심사에서 이 인용이 걸렸을 것이다. 목록이 없으면 답안의 각 줄이 그럴듯해 보이는 한 그대로 통과한다. 이런 종류의 규칙 위반을 1권 23주차 문제 19에서 한 번 진단했고, 문제 13에서 그 사례를 회수한다.

걸음 삭제 실험 4 — ④를 빼면. 명제 “실수 \(x\)가 \(x > 5\)이면 \(x^2 > 25\)이다”를 증명하면서 “\(x \le 5\)인 경우에 \(x^2 \le 25\)인 것도 보여야 완전하다”고 판단하면, 실제로 증명하려는 것은 “\(x > 5 \iff x^2 > 25\)”라는 더 강한 명제가 된다. 그런데 그 명제는 거짓이다 — \(x = -6\)은 \(x^2 = 36 > 25\)이면서 \(x > 5\)가 아니다. 검토 범위를 자르지 않으면 참인 명제를 증명하려다 거짓인 명제를 떠맡는다. 같은 병을 다른 수로 앓는 답안을 문제 10에서 진단한다.

확인 3. 네 걸음 중 하나를 빼면 “증명이 조금 허술해지는” 정도가 아니라 “증명 대상 자체가 다른 것이 되는” 걸음은 어느 것인가. 그 이유를 한 줄로 적어 보자.

답

②와 ④. ②를 빼면 증명 대상이 역으로 바뀌고, ④를 빼면 증명 대상이 더 강한

명제로 바뀐다 — 둘 다 원명제가 아닌 다른 명제를 증명하게 된다.

①과 ③은 증명 대상은 그대로 두되 판정과 근거를 무너뜨린다. 네 걸음이 각각

다른 종류의 붕괴를 막는다는 것이 이 표의 요점이다.

4 진리표를 규칙서로 읽기#

1권 8주차에서 만든 진리표를 그대로 가져와, 각 행이 증명자에게 무엇을 지시하는지 넷째 열에 적는다.

\(A\)	\(B\)	\(A \Rightarrow B\)	증명자에게 주는 지시
T	T	T	증명이 도달할 칸
T	F	F	명제가 거짓이 되는 유일한 칸 — 이 칸이 불가능함을 보이는 것이 증명이다
F	T	T	검토 대상 아님 — A가 거짓이면 보증할 일이 없다
F	F	T	검토 대상 아님 — 셋째 행과 같다

셋째\(\cdot\)넷째 행에서 \(A \Rightarrow B\)는 진리표에 의해 자동으로 참이다(1권 8주차의 공허한 참). 증명자가 손댈 것이 없다. 남는 것은 A가 참인 두 행이고, 그중 둘째 행이 일어나지 않음을 보이면 명제가 참이다.

확인 4. 위 표에서, 증명자가 실제로 검토해야 하는 행은 몇 개이며 어느 것인가. 그리고 그 사실이 증명의 첫 문장을 어떻게 결정하는가.

답

두 개, 첫째\(\cdot\)둘째 행(A가 참인 행들)이다. 셋째\(\cdot\)넷째 행은 이미 참으로

확정되어 있어 증명할 것이 없다. 따라서 증명자는 처음부터 “A가 참인 세계”에

들어가 서면 되고, 그것을 선언하는 문장이 “A라 가정하자”이다.

이 첫 문장은 예의나 관습이 아니라 진리표의 직접 귀결이다.

백지 암기 대상

A가 참인 세계만 검토한다

증명자가 검토할 세계는 A가 참인 세계뿐이다. A가 거짓인 세계에서

\(A \Rightarrow B\)는 이미 참이므로, 그 세계에서 B가 무엇이든 명제를 훼손하지 못한다.

명제가 거짓이 되는 유일한 길은 “A는 참인데 B가 거짓인 세계”를 하나라도 찾는

것이고, 그런 세계가 곧 반례다(1권 29주차).

표기 — 문자 \(A\), \(B\)

1권에서 \(P \Rightarrow Q\)로 쓰던 것을 이 학기에는 \(A \Rightarrow B\)로 쓴다.

원서가 가정을 \(A\), 결론을 \(B\)로 고정해 두었기 때문이고, 원서를 읽는 동안

문자 대응이 흔들리지 않도록 교안도 같은 문자를 쓴다. 읽는 법은 그대로

“에이면 비” 또는 “에이는 비를 함의한다”이다. 뜻은 1권의 \(P \Rightarrow Q\)와

완전히 같다 — 바뀐 것은 이름뿐이다.

5 가설과 결론의 분해 — 숨은 것까지#

명제가 언제나 “A이면 B” 꼴로 오지는 않는다. 한국어 문장에서 A와 B를 끄집어내는 훈련을 한다. 표의 빈칸을 채워 보자.

겉모습	A (가설)	B (결론)
직각삼각형의 빗변은 가장 긴 변이다	삼각형 \(T\)는 직각삼각형이다	\(T\)의 빗변은 가장 긴 변이다
\(n^2\)이 짝수인 정수 \(n\)은 짝수다	\(n\)은 정수이고 \(n^2\)은 짝수	\(\underline{\quad(1)\quad}\)
소수는 무한히 많다	\(\underline{\quad(2)\quad}\)	소수의 집합은 무한하다
\(x > 2 \Rightarrow x^2 > 4\)	\(\underline{\quad(3)\quad}\)	\(x^2 > 4\)

확인 5. 빈칸 (1)(2)(3)을 채워 보자. (2)는 “이면”이 없는 명제라는 점에 주의한다.

답

(1) \(n\)은 짝수 (2) 수학의 표준 정의와 공리들 — 언제나 참으로 주어져 있는 것 전부

(3) \(x\)는 실수이고 \(x > 2\).

(3)에서 “\(x\)는 실수”는 문장에 적혀 있지 않지만 A에 들어간다. 이런 조각을

숨은 가설이라 하고, 대개 무대 선언이다(1권 3주차에서 집합이 무대라고 부른

그 무대다).

무조건 명제도 같은 틀로 다룬다. “소수는 무한히 많다”처럼 “이면”이 없는 명제에서는 A 자리에 표준 정의와 공리 전부가 들어간다. 즉 손에 아무것도 없이 시작하는 것이 아니라, 언제나 주어져 있는 것으로 시작한다. 그래서 \(A \Rightarrow B\) 틀은 예외 없이 적용된다.

확인 6. 무조건 명제의 A가 “표준 정의와 공리 전부”라면, 그런 명제에서 “A가 거짓인 세계”의 예를 들 수 있는가.

답

들 수 없다. 표준 정의와 공리는 이 논의 안에서 언제나 참이므로 A가 거짓이 되는

세계가 없다. 따라서 무조건 명제에서는 진리표의 셋째\(\cdot\)넷째 행이 아예 등장하지

않고, 검토할 행이 첫째\(\cdot\)둘째 행뿐이다. 이 관찰이 문제 8과 훈련 3의 요점이다.

분해가 틀리면 그 뒤의 모든 줄이 틀린다. 이번 주 연습문제의 절반이 분해 훈련인 이유다.

6 이 책의 지도 — 기법은 상황별 표준 공략법#

앞으로 배울 것을 미리 배치해 둔다. 지금 외울 것은 아니고, 이번 학기 내내 돌아와 읽을 지도다.

기법을 정하는 것은 A와 B의 겉모양이다

B에서 출발해 거꾸로 묻기 \(\to\) 후진 과정 (S2주차)
A에서 밀고 나가기 \(\to\) 전진 과정 (S3주차)
B에 “존재한다” \(\to\) 구성법 (S5주차) / B에 “모든” \(\to\) 선택법 (S6주차)
A에 “모든” \(\to\) 특수화 (S7주차) / 양화사가 겹치면 \(\to\) 중첩 양화사 (S8주차)
B에 부정 \(\to\) 귀류\(\cdot\)대우 (S10~S12주차) / “유일” \(\to\) S13주차 / 귀납 꼴 \(\to\) S14주차
“또는” \(\to\) S15주차 / 최대\(\cdot\)최소 \(\to\) S16주차

1권 23주차에서 “기법은 취향이 아니라 신호가 정한다”고 배운 것이, 이 학기에 신호별 절차의 목록으로 확장된다. 1권이 기법을 하나씩 세운 과정이었다면 이 책은 그 기법들을 언제 어떤 순서로 꺼내는지의 관리 절차다.

7 근거 목록 갱신 — 1권의 ①~④에 ⑤가 붙는다#

1권에서 증명의 각 줄에 붙일 수 있는 근거는 네 가지였다. 이번 학기의 “허용된 근거”는 그 네 가지에 하나를 더한 목록이다.

근거	내용	허용된 근거 목록에서의 이름
① 정의	짝수\(\cdot\)홀수\(\cdot\)나누어떨어짐\(\cdot\)소수\(\cdot\)수렴 등 정의 전부	정의
② 닫힘성 등 기본 성질	정수의 합\(\cdot\)곱은 정수, 부등식의 기본 성질 (1권 16주차 (W1)~(W6))	공리와 기본 성질
③ 등식\(\cdot\)부등식의 조작	대입, 전개, 묶기, 양변에 같은 연산	공리와 기본 성질
④ 이미 증명한 명제	1권 1~50주차의 예제\(\cdot\)문제 전부, 이 학기에 증명한 것	이미 증명된 정리
⑤ 논리 규칙	진리표, 대우의 동치성(1권 9주차), 부정 만들기(1권 11주차)	논리 규칙

⑤가 새로 목록에 오른다. 1권에서도 대우와 부정을 썼지만, 그때는 기법의 이름으로 썼다. 이번 학기에는 “이 줄의 근거는 논리 규칙”이라고 명시할 자리가 생긴다 — S10주차의 부정 계산이 그 자리를 본격적으로 쓴다.

확인 7. 다음 세 문장이 근거 목록의 몇 번에 해당하는지, 또는 목록 밖인지 판정해 보자. (가) “\(2ab + a + b\)는 정수이므로” (나) “그래프를 그려 보면 명백하므로” (다) “\(P \Rightarrow Q\)와 \(\neg Q \Rightarrow \neg P\)는 같은 명제이므로”

답

(가) ② — 정수의 곱과 합은 정수. (나) 목록 밖 — 그림은 근거가 아니다. 그림에서

읽은 사실을 ①~⑤로 다시 세워야 쓸 수 있다. (다) ⑤ — 1권 9주차에서 진리표로

확인한 논리 규칙이다.