5주차 — 집합의 연산

5주차 — 집합의 연산#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 연산 기호를 보면 정의의 “또는/그리고/아니다”로 번역한다.

이 주의 위치: 50주 과정의 5주차. 3~4주차에서 세운 집합\(\cdot\)부분집합 위에 연산 네 개(\(\cup\), \(\cap\), \(-\), 여집합)를 얹고, 첫 연산 증명을 맛본다. 고1의 집합 연산과 부등식\(\cdot\)구간 감각이 재료다.

원서 대응: BoP(Book of Proof) 1.5–1.7 — 병행자 참고용. 원서 없이 읽을 수 있다.

이번 주 목표#

  1. \(\cup, \cap, -\), 여집합의 정의를 조건제시법으로 백지에 쓰고, 각 조각이 하는 일을 설명할 수 있다.

  2. 유한집합\(\cdot\)구간에 대해 연산을 정확히 수행한다 — 끝점 판정까지 정의로.

  3. 벤 다이어그램으로 드모르간 법칙을 관찰한다 (증명은 27주차 예약).

  4. 원소 추적 틀로 첫 연산 증명(\(A \cap B \subseteq A\))을 쓴다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (4주차 복습)#

먼저 노트에 답을 적은 뒤 아래의 유형 분석과 대조한다.

  1. \(A \subseteq B\)의 정의를 쓰시오.

  2. \(\mathcal{P}(\{1, 2\})\)를 나열하시오.

  3. 참\(\cdot\)거짓: \(\emptyset \in \mathcal{P}(A)\), \(\emptyset \subseteq \mathcal{P}(A)\) — 각각 이유 한 줄.

자주 나오는 답#

  • 1번 — “\(A\)의 모든 원소가 \(B\)에도 있다.” 관찰로는 옳다. 다만 증명에서 굴릴 수

있는 꼴은 조건문이다: “임의의 \(x\)에 대해, \(x \in A\)이면 \(x \in B\)이다.” 이번 주의 첫 연산 증명(예제 2.3)이 정확히 이 조건문 꼴에서 출발하므로, 말 서술에서 멈췄다면 조건문 꼴로 바꿔 적는 것부터 다시 해 둔다.

  • 2번 — \(\{\{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}\) (세 개). 셋은 맞게 찾았고 빠진 것은

\(\emptyset\)이다. \(\emptyset\)은 모든 집합의 부분집합이므로 원소 자격이 있다: \(\mathcal{P}(\{1,2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}\) — 네 개.

  • 3번 — 둘 중 하나만 참이라고 판정. 실은 둘 다 참이다.

\(\emptyset \in \mathcal{P}(A)\)는 “\(\emptyset\)이 \(A\)의 부분집합인가”를 묻는 것이고 (그렇다 — 4주차), \(\emptyset \subseteq \mathcal{P}(A)\)는 “\(\emptyset\)은 모든 집합의 부분집합”이라는 같은 사실을 \(\mathcal{P}(A)\)라는 집합에 적용한 것이다. \(\in\)은 원소 자격, \(\subseteq\)는 부분집합 자격 — 묻는 것이 다르다.

개념 — 연산을 원소의 자격 조건으로#

1 “합친다”는 말로 판정을 시도하면 어디서 갈리는가#

연산을 정의하기 전에 실패 사례를 하나 본다. \(A = \{1, 2, 3\}\), \(B = \{3, 4, 5\}\)에 대해 “\(A\) 또는 \(B\)에 속하는 수의 모임”을 만들라고 하면, 답이 둘로 갈리는 경우가 있다.

시도 — 낱말의 느낌으로 판정하기

답 1: \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\).

답 2: \(\{1, 2, 4, 5\}\) — “3은 \(A\) 또는 \(B\)가 아니라 둘 다에 속하므로

‘또는’의 자격이 없다”는 판정이다.

답 2는 틀렸다기보다, 일상어 “또는”의 양자택일 독법(“짜장 또는 짬뽕”)을 정확히 적용한 결과다. 문제는 낱말의 독법이 사람마다 다르면 같은 조건에서 다른 집합이 나온다는 것이다. 집합의 자격은 임의의 대상에 대해 속하는지 여부가 확정되는 것이다 — 3주차 정의 3.1이 모든 대상을 \(x \in A\) 아니면 \(x \notin A\) 둘 중 하나로 적게 한 것이 바로 이 요구다. 느낌에 얹힌 기준은 이 자격을 통과하지 못한다.

확인 1. 두 답이 갈린 원소는 무엇이고, 그 원소의 어떤 사정이 판정을 갈랐는가?

답

3이다. 3이 \(A\)와 \(B\) 양쪽에 속한다는 사정이 판정을 갈랐다.

한쪽에만 속하는 원소(1, 2, 4, 5)에서는 어느 독법이든 같은 답이 나오고,

양쪽에 속하는 원소에서만 “또는”의 독법 차이가 드러난다.

그러므로 정의가 이 지점을 명문화해서 못 박아야 한다.

이 주 전체의 기준

연산은 낱말의 느낌이 아니라 원소의 자격 조건으로 정의한다.

자격 조건을 명문화하는 도구가 3주차의 조건제시법 \(\{x : \text{조건}\}\)이다.

2 세 연산을 조건제시법으로 — 표 채우기#

\(A = \{1, 2, 3, 4\}\), \(B = \{3, 4, 5\}\)로 세 모임을 만들어 보자. 첫 줄은 채워져 있다.

만드는 모임

원소 나열

자격 조건

\(A\)와 \(B\)를 합친 모임

\(\{1, 2, 3, 4, 5\}\)

\(x \in A\) 또는 \(x \in B\)

공통 원소의 모임

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

\(x \in A\) 그리고 \(\underline{\quad(2)\quad}\)

\(A\)에서 \(B\)의 원소를 걷어낸 모임

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

\(x \in A\) 그리고 \(\underline{\quad(4)\quad}\)

확인 2. 표의 빈칸 (1)~(4)를 채워 보자. 셋째 줄의 조건에는 \(\notin\) 기호가

필요하다 — 3주차에서 “\(x \notin B\)”는 “\(x\)는 \(B\)의 원소가 아니다”로 읽었다.

답

(1) \(\{3, 4\}\) (2) \(x \in B\) (3) \(\{1, 2\}\) (4) \(x \notin B\).

세 모임 모두 “원소 하나하나에 자격 조건을 묻는다”는 같은 절차로 만들어진다.

다른 것은 조건의 접속 낱말뿐이다: 또는 / 그리고 / 그리고-아니다.

이 관찰에 정식 이름과 기호를 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일을 조건제시법으로 굳혔을 뿐이다.

정의 5.1 — 합집합, 교집합, 차집합 (union, intersection, difference) [백지 암기 대상]#

\[ A \cup B = \{x : x \in A \ \text{또는}\ x \in B\} \quad \text{(합집합, union)} \]
\[ A \cap B = \{x : x \in A \ \text{그리고}\ x \in B\} \quad \text{(교집합, intersection)} \]
\[ A - B = \{x : x \in A \ \text{그리고}\ x \notin B\} \quad \text{(차집합, difference)} \]

\(A \cup B\)는 “에이 합집합 비”, \(A \cap B\)는 “에이 교집합 비”, \(A - B\)는 “에이 차집합 비”로 읽는다. 두 기호가 헷갈리면 영어 이름으로 구분한다 — \(\cup\)은 컵(cup), \(\cap\)은 캡(cap)이다.

표기 — 차집합

BoP는 \(A - B\), 고교\(\cdot\)다른 책은 \(A \setminus B\)를 쓴다. 같은 뜻이다.

방금 채운 표와 정의가 일치하는지 되짚는다: \(A \cup B = \{1,2,3,4,5\}\), \(A \cap B = \{3,4\}\), \(A - B = \{1,2\}\).

확인 3. 같은 \(A = \{1,2,3,4\}\), \(B = \{3,4,5\}\)로 \(B - A\)를 구해 보자.

\(A - B\)와 같은가?

답

\(B - A = \{5\}\) — \(B\)의 원소 중 \(A\)에 없는 것은 5뿐이다.

\(A - B = \{1, 2\}\)와 다르다. 차집합은 교환되지 않는다.

뺄셈 \(7 - 3 \neq 3 - 7\)과 같은 사정이다 — 어느 쪽에서 걷어내는지가 결과를 바꾼다.

3 정의 해부 — 조각마다 하는 일#

세 정의는 같은 뼈대의 변주다. 조각마다 증명에서 맡는 역할이 다르다.

조각

하는 일

증명에서의 역할

\(\{x : \dots\}\)

자격 심사 기준의 선언

소속과 조건을 오가는 다리 — “\(x \in A \cup B\)” \(\leftrightarrow\) “조건 성립”

“또는”

합집합의 자격 조건

한쪽 소속만 보여도 \(A \cup B\) 소속이 확정된다

“그리고”

교집합의 자격 조건

두 소속 정보를 동시에 받는다 — 한쪽만 뽑아 쓰는 것도 허용

“\(x \notin B\)”

차집합의 제외 조건

소속의 부정도 정보다 (문제 20에서 이 정보가 일을 한다)

조각 변형 실험. 첫째 줄의 “또는”을 일상어의 양자택일(“둘 중 한쪽에만”)로 바꿔 보자. 그러면 \(A \cup A\) — 자기 자신과의 합집합 — 이 무너진다.

확인 4. 양자택일 독법에서 \(A \cup A\)는 무슨 집합이 되는가?

포함적 독법(정의 5.1)에서는 무엇이 되는가?

답

양자택일 독법: \(A \cup A = \emptyset\). \(A\)의 임의의 원소는 왼쪽 \(A\)에도 오른쪽

\(A\)에도 속하므로 “한쪽에만”이라는 조건을 만족하는 원소가 하나도 없다.

합집합이 자기 자신과 합쳐 사라지는 붕괴다.

포함적 독법: \(A \cup A = A\) — 기대대로다. 낱말 하나의 독법이 연산의 결과를

바꾸므로, 수학의 “또는”은 둘 다여도 참으로 못 박는다. (일상어와 갈라지는

이 지점은 7주차 논리에서 정면으로 다룬다.)

“또는/그리고”는 방향에 따라 다르게 작동한다. 1주차에서 “존재한다”가 가정 쪽과 목표 쪽에서 다르게 작동했던 것과 같은 사정이다.

상황

정의가 하는 일

가정에 “\(x \in A \cap B\)”가 있을 때

“\(x \in A\) 그리고 \(x \in B\)” 두 정보를 받는다 — 한쪽만 뽑아 써도 된다

목표가 “\(x \in A \cup B\)”일 때

“\(x \in A\) 또는 \(x \in B\)” 중 한쪽만 보여서 제시하면 된다

이 표가 곧 예제 2.3과 문제 15의 설계다.

4 서로소, 전체집합과 여집합#

교집합이 공집합이 되는 상황과, “~가 아닌 것 전부”라는 모임에 이름을 붙인다.

정의 5.2 — 서로소, 전체집합과 여집합 (disjoint, universal set, complement) [백지 암기 대상]#

\(A \cap B = \emptyset\)일 때 \(A\)와 \(B\)는 서로소(disjoint)라 한다.

논의 중인 대상 전체의 집합을 전체집합(universal set) \(U\)라 할 때,

\(A\)의 여집합(complement)은

\[ A^c = U - A = \{x \in U : x \notin A\} \]

\(A^c\)는 “에이 씨” 또는 “에이의 여집합”으로 읽는다.

표기 — 여집합

고교는 \(A^c\), BoP는 \(\bar{A}\)를 쓴다. 이 교재는 \(A^c\)를 쓰되, 원서에서

\(\bar{A}\)를 만나면 같은 것으로 읽는다.

확인 5. \(U = \{1, 2, \dots, 10\}\), \(A = \{2, 4, 6, 8, 10\}\)일 때

\(A^c = \underline{\quad}\). 그리고 \(A\)와 \(A^c\)는 서로소인가?

답

\(A^c = \{1, 3, 5, 7, 9\}\) — \(U\)에서 \(A\)를 걷어낸 나머지다.

서로소다: \(A\)의 원소는 정의상 \(A^c\)에서 걷어내졌으므로 공통 원소가 있을 수

없다 — \(A \cap A^c = \emptyset\). 임의의 집합과 그 여집합은 항상 서로소다.

여집합은 전체집합이 정해져야 뜻이 확정된다. 정의의 첫 조각이 \(x \in U\)인 이유다 — 이 조각을 지우면 “\(A\)가 아닌 것”의 범위가 무한정 벌어진다.

확인 6. \(E\)를 짝수 전체의 집합이라 하자. \(U = \mathbb{Z}\)일 때와

\(U = \mathbb{R}\)일 때의 \(E^c\)를 각각 말로 서술해 보자. \(0.5\)는 각각 어느 쪽인가?

답

\(U = \mathbb{Z}\): 홀수 전체다. \(U = \mathbb{R}\): 짝수가 아닌 실수 전부 —

홀수뿐 아니라 \(0.5\), \(\pi\)도 들어온다.

\(0.5\)는 앞의 경우 아예 무대 밖이고(\(0.5 \notin U\)), 뒤의 경우 \(E^c\)의 원소다.

같은 기호 \(E^c\)가 전체집합에 따라 다른 집합이 된다 — 여집합을 쓸 때는

전체집합을 먼저 선언한다.

5 벤 다이어그램 — 관찰 도구#

벤 다이어그램은 증명이 아니라 관찰\(\cdot\)검산 도구다 — 그림 하나가 모든 경우를 대표한다는 보장이 없기 때문이다. 대신 명제를 발견하고 검산하는 데는 빠르다.

다음 두 등식을 직접 그려서 확인해 보자. 각 등식마다 왼쪽 식과 오른쪽 식을 따로 그려 색칠을 비교한다.

\[ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c, \qquad (A \cap B)^c = A^c \cup B^c \]

확인 7. \((A \cup B)^c\)가 색칠하는 영역을 “~에 속하지 않는” 꼴의 말로

서술해 보자. 같은 영역을 \(A^c\)와 \(B^c\)로 만들려면 어떤 연산이 필요한가?

답

“\(A\)에도 \(B\)에도 속하지 않는 부분” — 두 원 바깥의 영역 전부다.

“\(A\)에 속하지 않고 그리고 \(B\)에도 속하지 않는다”이므로 \(A^c \cap B^c\),

곧 바깥끼리의 교집합이다. 색칠하면 두 그림이 같은 영역이 된다.

이 두 등식이 드모르간 법칙(DeMorgan’s laws)이다. 여집합을 취하면 \(\cup\)과 \(\cap\)이 서로 뒤집힌다. 고1 때 외운 이 공식의 정체는 9주차(논리의 드모르간)에서 밝혀지고, 27주차에서 엄밀하게 증명된다. 지금은 그림 관찰의 단계다 — 예제 2.1에서 수치로 한 번 더 확인한다.

6 구간 — 실수의 부분집합#

실수의 부분집합 중 가장 자주 쓰는 꼴에 표기를 준다. 전부 조건제시법의 준말이다.

\[ [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}, \qquad (a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\} \]

\([a, b]\)는 닫힌 구간(끝점 포함), \((a, b)\)는 열린 구간(끝점 제외)이라 읽는다. 반개구간 \([a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}\), 무한 구간 \((a, \infty) = \{x \in \mathbb{R} : x > a\}\) 등도 같은 요령이다. 대괄호 = 끝점 포함, 소괄호 = 끝점 제외. \(\infty\)는 수가 아니므로 “포함할 끝점”이 없다 — 항상 소괄호다.

확인 8. \(4 \in [1, 4)\)인가? 정의의 조건 \(1 \le x < 4\)에 \(x = 4\)를 넣어

판정해 보자. \(1\)은 어떤가?

답

\(4 \notin [1, 4)\). 조건의 뒷조각 \(4 < 4\)가 거짓이기 때문이다.

\(1 \in [1, 4)\). \(1 \le 1\) 참, \(1 < 4\) 참 — 두 조각 모두 성립한다.

끝점 판정은 느낌이 아니라 부등식 대입이다. 예제 2.2에서 이 판정을

반복해서 쓴다.

구간의 연산은 수직선을 그려 처리한다 — 고1 부등식 감각이 그대로 쓰인다. 끝점만 정의로 판정하면 틀리지 않는다.

7 근거 목록 — 이번 주의 갱신#

증명에서 쓸 수 있는 근거는 1주차 §1.6의 목록 ①~④ 그대로다. 이번 주에 달라지는 것은 서랍 ①(정의)의 내용물이다 — 정의 5.1, 5.2와 구간의 정의가 들어간다. 그리고 4주차의 \(\subseteq\) 증명 틀(“왼쪽 집합의 임의의 원소를 잡아 오른쪽 집합에 속함을 보인다”)이 이 정의들과 결합해 처음으로 실전에 쓰인다. 그 실전이 예제 2.3이다.