# 5주차 — 집합의 연산 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 연산 기호를 보면 정의의 "또는/그리고/아니다"로 번역한다. **이 주의 위치**: 50주 과정의 5주차. 3~4주차에서 세운 집합$\cdot$부분집합 위에 연산 네 개($\cup$, $\cap$, $-$, 여집합)를 얹고, 첫 연산 증명을 맛본다. 고1의 집합 연산과 부등식$\cdot$구간 감각이 재료다. **원서 대응**: BoP(Book of Proof) 1.5–1.7 — 병행자 참고용. 원서 없이 읽을 수 있다. ::: ## 이번 주 목표 1. $\cup, \cap, -$, 여집합의 **정의**를 조건제시법으로 백지에 쓰고, 각 조각이 하는 일을 설명할 수 있다. 1. 유한집합$\cdot$구간에 대해 연산을 정확히 수행한다 — 끝점 판정까지 정의로. 1. 벤 다이어그램으로 드모르간 법칙을 **관찰**한다 (증명은 27주차 예약). 1. 원소 추적 틀로 첫 연산 증명($A \cap B \subseteq A$)을 쓴다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (4주차 복습) 먼저 노트에 답을 적은 뒤 아래의 유형 분석과 대조한다. 1. $A \subseteq B$의 정의를 쓰시오. 1. $\mathcal{P}(\{1, 2\})$를 나열하시오. 1. 참$\cdot$거짓: $\emptyset \in \mathcal{P}(A)$, $\emptyset \subseteq \mathcal{P}(A)$ — 각각 이유 한 줄. ### 자주 나오는 답 - **1번 — "$A$의 모든 원소가 $B$에도 있다."** 관찰로는 옳다. 다만 증명에서 굴릴 수 있는 꼴은 조건문이다: "임의의 $x$에 대해, $x \in A$이면 $x \in B$이다." 이번 주의 첫 연산 증명(예제 2.3)이 정확히 이 조건문 꼴에서 출발하므로, 말 서술에서 멈췄다면 조건문 꼴로 바꿔 적는 것부터 다시 해 둔다. - **2번 — $\{\{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}$ (세 개).** 셋은 맞게 찾았고 빠진 것은 $\emptyset$이다. $\emptyset$은 모든 집합의 부분집합이므로 원소 자격이 있다: $\mathcal{P}(\{1,2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}$ — 네 개. - **3번 — 둘 중 하나만 참이라고 판정.** 실은 둘 다 참이다. $\emptyset \in \mathcal{P}(A)$는 "$\emptyset$이 $A$의 부분집합인가"를 묻는 것이고 (그렇다 — 4주차), $\emptyset \subseteq \mathcal{P}(A)$는 "$\emptyset$은 모든 집합의 부분집합"이라는 같은 사실을 $\mathcal{P}(A)$라는 집합에 적용한 것이다. $\in$은 원소 자격, $\subseteq$는 부분집합 자격 — 묻는 것이 다르다. ## 개념 — 연산을 원소의 자격 조건으로 ### 1 "합친다"는 말로 판정을 시도하면 어디서 갈리는가 연산을 정의하기 전에 실패 사례를 하나 본다. $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{3, 4, 5\}$에 대해 "$A$ 또는 $B$에 속하는 수의 모임"을 만들라고 하면, 답이 둘로 갈리는 경우가 있다. :::{admonition} 시도 — 낱말의 느낌으로 판정하기 :class: quotebox 답 1: $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. 답 2: $\{1, 2, 4, 5\}$ — "3은 $A$ **또는** $B$가 아니라 **둘 다**에 속하므로 '또는'의 자격이 없다"는 판정이다. ::: 답 2는 틀렸다기보다, 일상어 "또는"의 양자택일 독법("짜장 또는 짬뽕")을 정확히 적용한 결과다. 문제는 낱말의 독법이 사람마다 다르면 **같은 조건에서 다른 집합**이 나온다는 것이다. 집합의 자격은 임의의 대상에 대해 속하는지 여부가 확정되는 것이다 — 3주차 정의 3.1이 모든 대상을 $x \in A$ 아니면 $x \notin A$ 둘 중 하나로 적게 한 것이 바로 이 요구다. 느낌에 얹힌 기준은 이 자격을 통과하지 못한다. :::{container} quotebox **확인 1.** 두 답이 갈린 원소는 무엇이고, 그 원소의 어떤 사정이 판정을 갈랐는가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 3이다. 3이 $A$와 $B$ **양쪽에** 속한다는 사정이 판정을 갈랐다. 한쪽에만 속하는 원소(1, 2, 4, 5)에서는 어느 독법이든 같은 답이 나오고, 양쪽에 속하는 원소에서만 "또는"의 독법 차이가 드러난다. 그러므로 정의가 이 지점을 명문화해서 못 박아야 한다. ::: :::{admonition} 이 주 전체의 기준 :class: quotebox 연산은 낱말의 느낌이 아니라 **원소의 자격 조건**으로 정의한다. 자격 조건을 명문화하는 도구가 3주차의 조건제시법 $\{x : \text{조건}\}$이다. ::: ### 2 세 연산을 조건제시법으로 — 표 채우기 $A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{3, 4, 5\}$로 세 모임을 만들어 보자. 첫 줄은 채워져 있다. | **만드는 모임** | **원소 나열** | **자격 조건** | |---|---|---| | $A$와 $B$를 합친 모임 | $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ | $x \in A$ 또는 $x \in B$ | | 공통 원소의 모임 | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $x \in A$ 그리고 $\underline{\quad(2)\quad}$ | | $A$에서 $B$의 원소를 걷어낸 모임 | $\underline{\quad(3)\quad}$ | $x \in A$ 그리고 $\underline{\quad(4)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 2.** 표의 빈칸 (1)~(4)를 채워 보자. 셋째 줄의 조건에는 $\notin$ 기호가 필요하다 — 3주차에서 "$x \notin B$"는 "$x$는 $B$의 원소가 아니다"로 읽었다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $\{3, 4\}$ (2) $x \in B$ (3) $\{1, 2\}$ (4) $x \notin B$. 세 모임 모두 "원소 하나하나에 자격 조건을 묻는다"는 같은 절차로 만들어진다. 다른 것은 조건의 접속 낱말뿐이다: 또는 / 그리고 / 그리고-아니다. ::: 이 관찰에 정식 이름과 기호를 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일을 조건제시법으로 굳혔을 뿐이다. ### 정의 5.1 — 합집합, 교집합, 차집합 (union, intersection, difference) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox $$ A \cup B = \{x : x \in A \ \text{또는}\ x \in B\} \quad \text{(합집합, union)} $$ $$ A \cap B = \{x : x \in A \ \text{그리고}\ x \in B\} \quad \text{(교집합, intersection)} $$ $$ A - B = \{x : x \in A \ \text{그리고}\ x \notin B\} \quad \text{(차집합, difference)} $$ ::: $A \cup B$는 "에이 합집합 비", $A \cap B$는 "에이 교집합 비", $A - B$는 "에이 차집합 비"로 읽는다. 두 기호가 헷갈리면 영어 이름으로 구분한다 — $\cup$은 컵(cup), $\cap$은 캡(cap)이다. :::{admonition} 표기 — 차집합 :class: quotebox BoP는 $A - B$, 고교$\cdot$다른 책은 $A \setminus B$를 쓴다. 같은 뜻이다. ::: 방금 채운 표와 정의가 일치하는지 되짚는다: $A \cup B = \{1,2,3,4,5\}$, $A \cap B = \{3,4\}$, $A - B = \{1,2\}$. :::{container} quotebox **확인 3.** 같은 $A = \{1,2,3,4\}$, $B = \{3,4,5\}$로 $B - A$를 구해 보자. $A - B$와 같은가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $B - A = \{5\}$ — $B$의 원소 중 $A$에 없는 것은 5뿐이다. $A - B = \{1, 2\}$와 다르다. **차집합은 교환되지 않는다.** 뺄셈 $7 - 3 \neq 3 - 7$과 같은 사정이다 — 어느 쪽에서 걷어내는지가 결과를 바꾼다. ::: ### 3 정의 해부 — 조각마다 하는 일 세 정의는 같은 뼈대의 변주다. 조각마다 증명에서 맡는 역할이 다르다. | **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** | |---|---|---| | $\{x : \dots\}$ | 자격 심사 기준의 선언 | 소속과 조건을 오가는 다리 — "$x \in A \cup B$" $\leftrightarrow$ "조건 성립" | | "또는" | 합집합의 자격 조건 | 한쪽 소속만 보여도 $A \cup B$ 소속이 확정된다 | | "그리고" | 교집합의 자격 조건 | 두 소속 정보를 동시에 받는다 — 한쪽만 뽑아 쓰는 것도 허용 | | "$x \notin B$" | 차집합의 제외 조건 | 소속의 **부정**도 정보다 (문제 20에서 이 정보가 일을 한다) | **조각 변형 실험.** 첫째 줄의 "또는"을 일상어의 양자택일("둘 중 한쪽에만")로 바꿔 보자. 그러면 $A \cup A$ — 자기 자신과의 합집합 — 이 무너진다. :::{container} quotebox **확인 4.** 양자택일 독법에서 $A \cup A$는 무슨 집합이 되는가? 포함적 독법(정의 5.1)에서는 무엇이 되는가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 양자택일 독법: $A \cup A = \emptyset$. $A$의 임의의 원소는 왼쪽 $A$에도 오른쪽 $A$에도 속하므로 "한쪽에만"이라는 조건을 만족하는 원소가 하나도 없다. 합집합이 자기 자신과 합쳐 사라지는 붕괴다. 포함적 독법: $A \cup A = A$ — 기대대로다. 낱말 하나의 독법이 연산의 결과를 바꾸므로, 수학의 "또는"은 **둘 다여도 참**으로 못 박는다. (일상어와 갈라지는 이 지점은 7주차 논리에서 정면으로 다룬다.) ::: **"또는/그리고"는 방향에 따라 다르게 작동한다.** 1주차에서 "존재한다"가 가정 쪽과 목표 쪽에서 다르게 작동했던 것과 같은 사정이다. | **상황** | **정의가 하는 일** | |---|---| | 가정에 "$x \in A \cap B$"가 있을 때 | "$x \in A$ 그리고 $x \in B$" 두 정보를 **받는다** — 한쪽만 뽑아 써도 된다 | | 목표가 "$x \in A \cup B$"일 때 | "$x \in A$ 또는 $x \in B$" 중 **한쪽만** 보여서 제시하면 된다 | 이 표가 곧 예제 2.3과 문제 15의 설계다. ### 4 서로소, 전체집합과 여집합 교집합이 공집합이 되는 상황과, "~가 아닌 것 전부"라는 모임에 이름을 붙인다. ### 정의 5.2 — 서로소, 전체집합과 여집합 (disjoint, universal set, complement) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox $A \cap B = \emptyset$일 때 $A$와 $B$는 **서로소**(disjoint)라 한다. 논의 중인 대상 전체의 집합을 **전체집합**(universal set) $U$라 할 때, $A$의 **여집합**(complement)은 $$ A^c = U - A = \{x \in U : x \notin A\} $$ ::: $A^c$는 "에이 씨" 또는 "에이의 여집합"으로 읽는다. :::{admonition} 표기 — 여집합 :class: quotebox 고교는 $A^c$, BoP는 $\bar{A}$를 쓴다. 이 교재는 $A^c$를 쓰되, 원서에서 $\bar{A}$를 만나면 같은 것으로 읽는다. ::: :::{container} quotebox **확인 5.** $U = \{1, 2, \dots, 10\}$, $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$일 때 $A^c = \underline{\quad}$. 그리고 $A$와 $A^c$는 서로소인가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $A^c = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ — $U$에서 $A$를 걷어낸 나머지다. 서로소다: $A$의 원소는 정의상 $A^c$에서 걷어내졌으므로 공통 원소가 있을 수 없다 — $A \cap A^c = \emptyset$. 임의의 집합과 그 여집합은 항상 서로소다. ::: **여집합은 전체집합이 정해져야 뜻이 확정된다.** 정의의 첫 조각이 $x \in U$인 이유다 — 이 조각을 지우면 "$A$가 아닌 것"의 범위가 무한정 벌어진다. :::{container} quotebox **확인 6.** $E$를 짝수 전체의 집합이라 하자. $U = \mathbb{Z}$일 때와 $U = \mathbb{R}$일 때의 $E^c$를 각각 말로 서술해 보자. $0.5$는 각각 어느 쪽인가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $U = \mathbb{Z}$: 홀수 전체다. $U = \mathbb{R}$: 짝수가 아닌 실수 전부 — 홀수뿐 아니라 $0.5$, $\pi$도 들어온다. $0.5$는 앞의 경우 아예 무대 밖이고($0.5 \notin U$), 뒤의 경우 $E^c$의 원소다. 같은 기호 $E^c$가 전체집합에 따라 다른 집합이 된다 — 여집합을 쓸 때는 전체집합을 먼저 선언한다. ::: ### 5 벤 다이어그램 — 관찰 도구 벤 다이어그램은 **증명이 아니라 관찰$\cdot$검산 도구**다 — 그림 하나가 모든 경우를 대표한다는 보장이 없기 때문이다. 대신 명제를 발견하고 검산하는 데는 빠르다. 다음 두 등식을 직접 그려서 확인해 보자. 각 등식마다 왼쪽 식과 오른쪽 식을 따로 그려 색칠을 비교한다. $$ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c, \qquad (A \cap B)^c = A^c \cup B^c $$ :::{container} quotebox **확인 7.** $(A \cup B)^c$가 색칠하는 영역을 "~에 속하지 않는" 꼴의 말로 서술해 보자. 같은 영역을 $A^c$와 $B^c$로 만들려면 어떤 연산이 필요한가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$A$에도 $B$에도 속하지 않는 부분" — 두 원 바깥의 영역 전부다. "$A$에 속하지 않고 **그리고** $B$에도 속하지 않는다"이므로 $A^c \cap B^c$, 곧 바깥끼리의 교집합이다. 색칠하면 두 그림이 같은 영역이 된다. ::: 이 두 등식이 **드모르간 법칙**(DeMorgan's laws)이다. 여집합을 취하면 $\cup$과 $\cap$이 서로 뒤집힌다. 고1 때 외운 이 공식의 정체는 9주차(논리의 드모르간)에서 밝혀지고, 27주차에서 엄밀하게 증명된다. 지금은 그림 관찰의 단계다 — 예제 2.1에서 수치로 한 번 더 확인한다. ### 6 구간 — 실수의 부분집합 실수의 부분집합 중 가장 자주 쓰는 꼴에 표기를 준다. 전부 조건제시법의 준말이다. $$ [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}, \qquad (a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\} $$ $[a, b]$는 **닫힌 구간**(끝점 포함), $(a, b)$는 **열린 구간**(끝점 제외)이라 읽는다. 반개구간 $[a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}$, 무한 구간 $(a, \infty) = \{x \in \mathbb{R} : x > a\}$ 등도 같은 요령이다. 대괄호 = 끝점 포함, 소괄호 = 끝점 제외. $\infty$는 수가 아니므로 "포함할 끝점"이 없다 — 항상 소괄호다. :::{container} quotebox **확인 8.** $4 \in [1, 4)$인가? 정의의 조건 $1 \le x < 4$에 $x = 4$를 넣어 판정해 보자. $1$은 어떤가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $4 \notin [1, 4)$. 조건의 뒷조각 $4 < 4$가 거짓이기 때문이다. $1 \in [1, 4)$. $1 \le 1$ 참, $1 < 4$ 참 — 두 조각 모두 성립한다. 끝점 판정은 느낌이 아니라 **부등식 대입**이다. 예제 2.2에서 이 판정을 반복해서 쓴다. ::: 구간의 연산은 수직선을 그려 처리한다 — 고1 부등식 감각이 그대로 쓰인다. 끝점만 정의로 판정하면 틀리지 않는다. ### 7 근거 목록 — 이번 주의 갱신 증명에서 쓸 수 있는 근거는 1주차 §1.6의 목록 ①~④ 그대로다. 이번 주에 달라지는 것은 서랍 ①(정의)의 내용물이다 — 정의 5.1, 5.2와 구간의 정의가 들어간다. 그리고 4주차의 $\subseteq$ 증명 틀("왼쪽 집합의 임의의 원소를 잡아 오른쪽 집합에 속함을 보인다")이 이 정의들과 결합해 처음으로 실전에 쓰인다. 그 실전이 예제 2.3이다.