S12주차 — 대우법: 후진 과정이 되살아나는 자리

내용

S12주차 — 대우법: 후진 과정이 되살아나는 자리#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 대우법은 귀류에서 충돌 상대를 \(A\)로 미리 지정한 특수형이고, 지정하는 순간 과녁이 “아무 모순”에서 \(\neg A\)라는 구체적 명제로 바뀌어 후진 과정이 되살아난다.

이 주의 위치: 1학기 20주 과정의 S12주차이자 부정 3부작(S10주차 전개 \(\cdot\) S11주차 귀류 \(\cdot\) S12주차 대우)의 마지막 주. 1권 19주차에서 서식으로 익힌 대우 증명이 여기서 두 가지를 새로 얻는다 — 귀류와의 정확한 관계, 그리고 직접\(\cdot\)대우\(\cdot\)귀류 중 무엇을 고를지의 판정 기준. 다음 주 S13주차의 유일성 증명은 이 세 기법을 재료로 쓴다.

원서 대응: Solow 10장. 주간 루틴 1일차에 원서 10장을 통독한 뒤 이 문서로 온다.

이번 주 목표#

대우법을 귀류의 특수형으로 재정의한다: 충돌 상대를 \(A\)로 지정하는 대가와 그때 얻는 것을 각각 말할 수 있다.
S10주차의 NOT 전개로 \(\neg B\)와 \(\neg A\)를 정확히 만들어 대우문을 제작한다 — 무대 보존, \(\land\)\(\cdot\)\(\lor\) 뒤집기, 역\(\cdot\)이와의 구별.
직접 \(\cdot\) 대우 \(\cdot\) 귀류의 판정법을 갖춘다: 정보가 흐르는 방향, \(\neg B\)\(\cdot\)\(\neg A\)가 긍정형이 되는지, 충돌 상대를 예측할 수 있는지.
결론이 “또는”인 명제에서 대우가 그 “또는”을 가정 두 조각으로 바꿔 주는 것을 실전한다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (S11주차 복습)#

노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다.

귀류의 거래에서 얻는 것과 잃는 것을 각각 한 줄로 쓰시오.
S11주차 문제 16의 결론을 재현하시오 — “\(n^2\)이 3의 배수이면 \(n\)도 3의 배수”의 귀류판과 1권 19주차의 대우판은 어디서부터 겹쳤는가.
1권 9주차: \(P \Rightarrow Q\)의 대우\(\cdot\)역\(\cdot\)이를 각각 쓰고, 이 중 원명제와 동치인 것이 무엇인지 쓰시오.

이어서 다음 과제를 해 보자. 명제 “실수 \(x, y\)에 대해, \(x + y > 10\)이면 \(x > 5\)이거나 \(y > 5\)이다”를 증명해 보자. 이 명제는 1권 19주차 예제 2.3에서 대우로 이미 증명한 그 명제다. 그러므로 과제를 이렇게 한정한다 — 대우를 쓰지 말고, S10~S11주차의 도구만으로 다른 길을 밀어 보자. 대우를 이미 아는 상태에서 굳이 다른 길을 걷는 이유는 §0의 마지막에서 밝힌다.

자주 나오는 답의 유형#

이 자리에서 나오는 답은 대개 다음 네 가지 중 하나다. 넷 다 1권과 S10~S11주차를 제대로 익힌 사람에게서 나오는 답이고, 넷 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다.

유형 0 — 1권 19주차의 대우를 그대로 재현한다. “결론의 부정은 ‘\(x \le 5\)이고

\(y \le 5\)’이므로 대우는 ‘\(x \le 5\)이고 \(y \le 5\)이면 \(x + y \le 10\)이다’이다. 두 부등식을 변변 더하면 \(x + y \le 10\)이다.” 이 답안은 옳고 가장 짧다. 선수 학습을 마친 독자에게 실제로 가장 먼저 나올 답이기도 하다. 다만 1권에서 이 명제에 대우를 붙인 근거는 “결론이 ‘또는’이면 대우”라는 신호였고, 그 신호가 왜 맞는 신호인지는 아직 설명되지 않았다. 이번 주의 몫은 대우라는 도구가 아니라 그 신호를 판정 기준으로 바꾸는 일이다.

유형 1 — 결론의 \(\lor\) 앞에서 멈춘다. “\(x + y > 10\)이라 하자.”까지 적고 다음 줄이

나오지 않는다. 첫 문장은 옳다. 막힌 이유도 정확히 진단할 수 있다 — 결론이 “\(x > 5\) 또는 \(y > 5\)”이므로 둘 중 어느 쪽을 보일지 지목해야 하는데, 가정만으로는 지목할 수 없다(\(x = 11, y = 0\)과 \(x = 0, y = 11\)이 서로 다른 쪽을 참으로 만든다). 유형 0이 이 지목 부담을 없앴다는 것은 결과로 확인되지만, 왜 없어졌는지는 아직 말할 수 없다 — 그 설명이 §1.5 둘째 줄이다.

유형 2 — 케이스로 나눈다. “\(x > 5\)이거나 \(x \le 5\)이다. 첫 경우는 결론이 이미

참이다. 둘째 경우에는 \(y = (x+y) - x > 10 - 5 = 5\)이므로 \(y > 5\)이다.” 이 답안은 완전히 옳다. 빠진 것은 없다. 다만 첫 경우가 하는 일이 없다는 것 — 실제로 계산이 일어난 것은 둘째 경우 하나뿐이다. 유형 0의 답안에는 그 헛도는 절반이 아예 없다.

유형 3 — 귀류로 간다. “결론을 부정하여 \(x \le 5\)이고 \(y \le 5\)라 하자. 변변

더하면 \(x + y \le 10\)인데 가정은 \(x + y > 10\)이므로 모순이다.” 이 답안도 옳고, 유형 0만큼 짧다. 그런데 이 귀류에는 특이한 점이 있다 — 충돌 상대가 다른 곳이 아니라 가정 \(A\) 자신이었다. 유형 0의 대우 답안과 계산 줄이 글자까지 같다는 것도 눈에 띈다. 이것이 우연인지 규칙인지를 §1.3에서 정한다.

이번 주가 새로 주는 것. 네 유형을 늘어놓으면 이번 주의 몫이 도구가 아니라는 것이 보인다. 대우라는 도구는 유형 0이 이미 쥐고 있다. 비어 있는 것은 두 가지다 — 유형 0과 유형 3이 왜 글자까지 같아지는지(§1.3의 관계), 그리고 처음 보는 명제 앞에서 네 유형 중 어느 것을 골라야 하는지(§1.6의 판정 기준). 1권에서 신호로 처리하던 자리가 이번 주에 절차가 된다.

개념 — 대우법#

1 귀류만으로 밀어붙이면 어디서 막히는가#

새 방법을 세우기 전에, S11주차의 도구만으로 한 문제를 밀어붙여 본다.

시도 — 귀류로 개시한 뒤

명제: 정수 \(n\)에 대해, \(n^2 + 4n\)이 홀수이면 \(n\)은 홀수이다.

“결론을 부정하여, \(n^2 + 4n\)이 홀수이고 \(n\)은 짝수라 하자. \(n = 2k\)인 정수 \(k\)를

잡자. 그러면 \(n^2 + 4n = 4k^2 + 8k\)이다. 이 값은 4의 배수다. 4의 배수인데

홀수라는 것은 아무래도 이상하므로, 모순이다. 따라서 \(n\)은 홀수이다.”

여기서 답안이 끝나 버린다. “아무래도 이상하다”는 모순이 아니다 — S11주차 예제 2.3의 조기 정지가 그대로 재발한 것이다. 문제는 부주의가 아니라 구조에 있다. 다음 줄을 쓰려면 도달해야 할 문장의 모양이 필요한데, 귀류의 과녁은 “아무 모순”이므로 그 모양을 지정해 주지 않는다. 후진 질문(“모순임을 보이려면 어떻게 하는가?”)에 표준 답이 없다는 것이 곧 이 막힘이다.

확인 1. 위 시도를 완성하려면 어떤 문장에 도달해야 하는가. 그 문장을 적고, 그것이 원명제의 어느 부분과 관계있는지도 적어 보자.

답

도달해야 할 문장은 “\(n^2 + 4n\)은 짝수이다”이다. \(4k^2 + 8k = 2(2k^2 + 4k)\)이고

괄호 안이 정수이므로 짝수의 정의 꼴이 되고, 여기서 비로소 개시 가정의

“\(n^2 + 4n\)은 홀수”와 홀짝의 배타성(1권 22주차 문제 5)으로 충돌한다.

그런데 “\(n^2 + 4n\)은 짝수”는 원명제의 가정 \(A\)의 부정, 곧 \(\neg A\)다.

이 귀류가 실제로 도달한 곳은 \(\neg A\)였다.

한 사례에서만 그런 것이 아니다. 준비 운동 유형 3의 답안도 도달한 곳이 “\(x + y \le 10\)” — 역시 \(\neg A\)였다. 그렇다면 충돌 상대를 우연에 맡기지 말고 처음부터 \(A\)로 지정해 두면 된다.

이 주 전체의 기준

충돌 상대를 \(A\)로 지정하면, 과녁이 “아무 모순”에서 “\(\neg A\)”라는 구체적 명제로

바뀐다. 과녁이 구체적이면 핵심 질문(”\(\neg A\)를 보이려면 어떻게 하는가?”)을

던질 수 있다 — 귀류가 잃었던 후진 과정이 되살아난다.

2 사례 표를 채워 보기#

지정을 실제로 해 보자. 아래 표의 각 명제에서 \(A\)와 \(B\)를 식별하고, \(\neg B\)와 \(\neg A\)를 S10주차의 전개로 만든다. 부정형이 나오면 배타\(\cdot\)전수가 증명된 특성화로 갈아탄다(S10주차 처방 ①).

명제 (무대 포함)	\(\neg B\) (새 가정)	\(\neg A\) (새 결론)
정수 \(n\): \(n^2\)이 짝수 \(\Rightarrow\) \(n\)이 짝수	\(n\)은 홀수	\(n^2\)은 홀수
실수 \(x\): \(x^2 + x \le 0\) \(\Rightarrow\) \(x \le 0\)	\(\underline{\quad(1)\quad}\)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
정수 \(m, n\): \(mn\)이 짝수 \(\Rightarrow\) \(m\)이 짝수이거나 \(n\)이 짝수	\(\underline{\quad(3)\quad}\)	\(mn\)은 홀수
실수 \(x, y\): \(x + y > 10\) \(\Rightarrow\) \(x > 5\)이거나 \(y > 5\)	\(x \le 5\)이고 \(y \le 5\)	\(\underline{\quad(4)\quad}\)

확인 2. 빈칸 (1)~(4)를 채우고, 완성된 네 개의 “\(\neg B\)이면 \(\neg A\)이다” 문장이 공통으로 갖는 성질을 한 문장으로 적어 보자.

답

(1) \(x > 0\) (2) \(x^2 + x > 0\) (3) \(m\)과 \(n\)이 둘 다 홀수 (4) \(x + y \le 10\).

공통 성질: 네 문장 모두 가정과 결론이 전부 긍정형이고, 가정 쪽이 곧바로 손에

쥘 수 있는 것이 된다 — 정수 쪽 두 줄은 정의가 풀려 등식이 나오고, 부등식 두 줄은

풀 정의가 따로 없이 가정 자체가 그대로 재료다. 원명제에서는 가정이 합성된 식의

성질이거나 결론이 “또는”이어서

손이 가지 않았는데, 자리를 바꾼 문장에서는 그런 장애물이 사라졌다.

그리고 이 표를 만드는 데 새로운 규칙은 하나도 쓰이지 않았다 — S10주차의

전개 규칙 N2\(\cdot\)N3과 특성화 갈아타기를 각 명제마다 두 번씩 적용한 것이 전부다.

이 관찰에 이름과 형식을 붙인다.

정의 12.1 — 대우법 (contrapositive method) [백지 암기 대상]#

명제 “\(A\)이면 \(B\)이다”의 대우법이란, \(\neg B\)를 새 가정으로 \(\neg A\)를 새 결론으로

삼은 명제 “\(\neg B\)이면 \(\neg A\)이다”를 직접 증명한 뒤, 동치

\(A \Rightarrow B \equiv \neg B \Rightarrow \neg A\)(1권 9주차 예제 2.1의 진리표)를

근거로 원명제의 증명으로 삼는 것이다. 이 새 명제를 원명제의 대우문이라 한다.

\(\neg B \Rightarrow \neg A\)는 소리 내어 “비가 아니면 에이가 아니다”로 읽는다. 이번 주에 새로 등장하는 기호는 없다 — \(\neg\)\(\cdot\)\(\Rightarrow\)\(\cdot\)\(\equiv\)는 1권 7~9주차에서 읽는 법까지 정해 두었다.

1권과의 관계. 1권 19주차 정의 19.1이 이 정의였고, 서식도 그때 세웠다. 이번 주가 더하는 것은 정의가 아니라 두 가지다 — 이 갈아타기가 귀류의 특수형이라는 사실(§1.3)과, 세 기법 중 무엇을 고를지의 판정 기준(§1.6). 1권에서 “신호가 보이면 대우”라고 감각으로 처리하던 자리가 여기서 절차가 된다.

3 귀류와의 관계 — 지정의 대가와 얻는 것#

두 게임을 나란히 놓는다.

	가진 것 (가정)	과녁 (도달할 곳)	후진 질문
귀류 게임	\(A\) 그리고 \(\neg B\)	아무 모순	표준 답이 없다
대우 게임	\(\neg B\)	\(\neg A\)	“\(\neg A\)를 보이려면 어떻게 하는가?”

대우는 귀류에서 충돌 상대를 \(A\)로 미리 지정한 것이다. 지정에는 대가가 있다 — \(A\)를 계산에 쓸 수 없게 된다. \(A\)는 이제 마지막에 충돌할 상대일 뿐이므로 몸통에서는 \(\neg B\) 하나로 버텨야 한다. 대가를 치르고 얻는 것은 과녁의 구체성이고, 구체적 과녁은 곧 후진 질문이다.

확인 3. 예제 2.1에서 만들 대우 증명(”\(n\)이 홀수이면 \(n^2\)은 홀수이다”)을 귀류 답안으로 바꿔 적으면 어떤 줄이 늘어나는가. 그리고 늘어난 줄들이 계산에 쓰이는가.

답

두 줄이 늘어난다. 개시 선언에 “\(n^2\)이 짝수이고”가 덧붙고, 마지막에 “\(n^2\)이

홀수인데 가정은 \(n^2\)이 짝수이므로 모순이다”가 붙는다. 늘어난 두 줄 모두 계산에는

한 번도 쓰이지 않는다 — 몸통은 “\(n\)이 홀수”만으로 굴러간다.

곧 이 귀류는 S11주차 예제 2.3의 무늬만 귀류(처방 과잉)이고, 대우로 다시 쓰는

것이 정확한 수리다. 거꾸로, 몸통에서 \(A\)를 실제로 소비한 귀류 답안은 대우로

옮길 수 없다 — 대우 게임에는 \(A\)가 없기 때문이다. 이것이 §1.6 판정법의 다섯째

줄이 존재하는 이유다.

4 절차 해부 — 걸음마다 하는 일#

대우 답안은 세 걸음으로 적는다.

백지 암기 대상

대우 답안의 3단 서식

① 대우 선언: “대우를 증명한다. 대우는 ‘[\(\neg B\)의 전개]이면 [\(\neg A\)의 전개]이다’이다.”

② 직접 증명: \(\neg B\)를 가정하고 \(\neg A\)까지 간다. 몸통은 보통의 직접 증명이므로 정의 풀기\(\cdot\)전진\(\cdot\)후진\(\cdot\)선택\(\cdot\)구성이 전부 쓰인다.

③ 복귀 선언: “대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다.”

걸음 ①은 기법 선언과 제작물 명시라는 두 임무를 겸하므로, 해부에서는 그 걸음을 두 조각으로 나누어 다섯 조각으로 본다.

걸음	하는 일	이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가
①-가 “대우를 증명한다”	기법 선언	아래 문장들의 신분이 없어진다 — \(\neg B\) 가정이 원명제의 가정으로 읽힌다
①-나 “대우는 …이다”	제작물 명시	만든 것이 대우인지 이(inverse)인지 검사할 자리가 사라진다 (아래 삭제 실험)
② 몸통	직접 증명	등식의 출처가 비어 몸통 전체가 근거 없는 주장이 된다
② 끝 “따라서 \(\neg A\)이다”	도착 선언	대우의 결론에 정확히 닿았는지 확인되지 않는다 — \(\neg A\)와 비슷한 다른 문장에서 멈춰도 통과된다
③ 복귀 선언	회수	증명된 것은 대우문뿐이고 원명제는 아직 증명되지 않은 상태로 남는다

걸음 삭제 실험 — 제작물 명시를 지우면. 걸음 ①-나를 지우고 다음 답안을 검사해 보자.

삭제 실험 — 제작물을 적지 않은 답안

명제: 정수 \(n\)에 대해, \(3n + 1\)이 짝수이면 \(n\)은 홀수이다.

“대우를 증명한다. \(3n + 1\)이 홀수라 하자. 그러면 \(3n\)은 짝수이고, 따라서 \(n\)은

짝수이다. 그러므로 원명제가 성립한다.”

확인 4. 위 답안이 실제로 증명한 명제를 적어 보자. 그 명제는 참인가. 참이라면 이 답안은 왜 원명제의 증명이 아닌가.

답

가정한 것은 “\(3n + 1\)이 홀수” \(= \neg A\)이고, 보인 것은 “\(n\)이 짝수” \(= \neg B\)다.

곧 증명한 명제는 \(\neg A \Rightarrow \neg B\), 즉 원명제의 **이(inverse)**다.

이 명제 자체는 참이다 — 그래서 몸통이 한 줄도 막히지 않고 완주되고, 답안은

완성된 것처럼 보인다. 그러나 이는 원명제와 동치가 아니라 역과 동치이므로

(1권 9주차), 원명제는 한 번도 다루어지지 않았다. 걸음 ①-나는 여기서 검사할

대상을 답안 위에 꺼내 놓는 역할까지만 한다 — 이로 새는 사람은 ①-나에도

자기가 만든 문장(”\(3n+1\)이 홀수이면 \(n\)이 짝수이다”)을 적을 것이므로 몸통과는

오히려 잘 맞는다. 꺼내 놓은 그 문장에 아래의 화살표 검산을 걸어야 비로소 이가

잡힌다. ①-나가 없으면 검산을 걸 대상 자체가 없다. 이 답안의 정체는 예제 2.3에서

다시 해부한다.

제작물 명시를 적은 뒤에는 검산을 한 번 더 건다.

백지 암기 대상

화살표 검산

ㄱ. 내가 가정하는 것이 원명제 결론의 부정인가?

ㄴ. 내가 보이려는 것이 원명제 가정의 부정인가?

둘 중 하나라도 아니면 역이나 이로 새는 중이다.

확인 5. 삭제 실험의 답안에 화살표 검산을 걸어 보자. ㄱ과 ㄴ 중 어느 쪽이 먼저 걸리는가.

답

둘 다 걸린다. ㄱ: 가정한 것은 “\(3n+1\)이 홀수”인데 원명제의 결론은 “\(n\)이 홀수”이고

그 부정은 “\(n\)이 짝수”다 — 불일치. ㄴ: 보인 것은 “\(n\)이 짝수”인데 원명제의 가정은

“\(3n+1\)이 짝수”이고 그 부정은 “\(3n+1\)이 홀수”다 — 불일치.

두 항목이 정확히 자리를 맞바꾼 모양으로 걸리는 것이 이(inverse)가 걸리는 모양이다.

5 대우문 제작 — 다발 지점 세 곳#

대우문은 \(\neg B\)와 \(\neg A\)를 각각 S10주차의 규칙으로 전개해 만든다. 전개가 틀리면 이후가 전부 무효이므로, 사고가 몰리는 세 곳을 미리 못 박는다.

주의	규칙	어긋나면
무대는 이동하지 않는다	“모든 정수 \(n\)에 대해 \(P(n) \Rightarrow Q(n)\)”의 대우는 “모든 정수 \(n\)에 대해 \(\neg Q(n) \Rightarrow \neg P(n)\)” — “정수”라는 선언은 부정되지도, 자리를 옮기지도 않는다	무대를 함께 부정하면 원명제와 무관한 명제가 만들어진다 (S10주차 예제 2.3 사고 3, 1권 19주차 확인 5)
\(\land\)과 \(\lor\)는 뒤집힌다	\(A\)가 “\(P\) 그리고 \(Q\)”면 \(\neg A\)는 “\(\neg P\) 또는 \(\neg Q\)”(N2). \(B\)가 “\(P\) 또는 \(Q\)”면 \(\neg B\)는 “\(\neg P\) 그리고 \(\neg Q\)”(N3)	뒤집지 않으면 대우문 자체가 다른 명제가 된다
역\(\cdot\)이와 구별한다	대우는 \(\neg B \Rightarrow \neg A\). 역은 \(B \Rightarrow A\), 이는 \(\neg A \Rightarrow \neg B\)이며 이 둘은 원명제와 동치가 아니다	참인 다른 명제를 증명하고 끝내는 답안이 된다 (§1.4 삭제 실험)

둘째 줄에서 이번 주의 실질적인 수확이 나온다. 결론의 “또는”은 어느 쪽을 보일지 지목해야 하는 부담인데, 대우에서는 그것이 가정 쪽의 “그리고” — 곧 손에 들어오는 사실 두 개 — 로 바뀐다.

확인 6. 준비 운동의 명제에서, 직접 공략이 멈춘 지점과 대우로 갈아탄 뒤 손에 들어오는 것을 각각 적어 보자.

답

직접 공략의 멈춤: 결론 “\(x > 5\) 또는 \(y > 5\)”에서 어느 쪽을 보일지 지목해야 하는데,

가정 “\(x + y > 10\)”만으로는 지목할 수 없다. 지목하려면 경우를 나눠야 하고, 그러면

준비 운동 유형 2처럼 한쪽 경우가 헛돈다.

대우로 갈아탄 뒤: N3에 의해 가정이 “\(x \le 5\)이고 \(y \le 5\)” — 부등식 두 개가

동시에 손에 들어온다. 지목할 일이 없고 경우도 없다. 남은 일은 두 부등식을 더하는

것뿐이다(문제 8).

거꾸로도 성립한다. \(A\)가 “\(P\) 그리고 \(Q\)”인 명제에서는 \(\neg A\)가 “\(\neg P\) 또는 \(\neg Q\)”가 되어 이번에는 **과녁이 \(\lor\)**가 된다. 과녁이 \(\lor\)면 대우의 이점이 사라지고, 그때는 귀류가 편하다(§1.6 여섯째 줄, 문제 18).

6 판정법 — 직접 · 대우 · 귀류 [백지 암기 대상]#

명제를 읽고 세 기법 중 하나를 고르는 물음표 목록이다. 위에서부터 훑는다.

물음	답이 “예”일 때 보이는 것	처방
\(A\)나 \(B\)가 부정형인가 (\(\neq\), \(\nmid\), 무리수, “…가 아니다”)	부정형이 자리를 바꾸며 긍정형이 되어 정의가 풀린다	대우 또는 귀류 — 직접은 풀 정의가 없다
명제가 조건문이어서 \(A\)에도 부정할 내용이 있는가	\(\neg A\)라는 구체적 과녁이 생긴다	대우를 먼저 시도한다
무조건 명제인가 (\(\sqrt2\)는 무리수, 소수는 무한히 많다)	뒤집을 \(A\)가 없어 과녁 \(\neg A\)가 만들어지지 않는다	귀류 — 대우가 성립할 자리가 없다
가정이 합성된 식(\(n^2\), \(mn\), \(x + y\))의 성질이고 결론이 그 재료(\(n\), \(x\))의 성질인가	정보가 합성식에서 재료 쪽으로 거슬러야 한다	대우 — 방향이 재료에서 합성식으로 뒤집힌다
\(\neg B\)에서 전진해도 \(\neg A\)에 닿을 그림이 보이지 않고, 충돌이 다른 데서 터질 것 같은가	충돌 상대를 \(A\)로 고정하는 것이 손해다	귀류 — 충돌 상대를 자유롭게 고른다
\(A\)가 여러 조각의 \(\land\)이어서 \(\neg A\)가 \(\lor\) 꼴인가	과녁이 \(\lor\)이라 어느 쪽을 보일지 다시 지목해야 한다	귀류를 검토한다

한 줄 요약: 부정형은 자리를 뒤집어 긍정형으로 만들고, 뒤집을 \(A\)가 없으면 무너뜨린다.

첫째 줄은 \(A\) 쪽과 \(B\) 쪽을 함께 덮는다. \(B\)가 부정형이면 대우문의 가정이 긍정형이 되어 정의가 풀리고, \(A\)가 부정형이면 대우문의 결론이 긍정형이 되어 과녁의 모양이 생긴다. 어느 쪽이든 이득의 정체는 같다 — 부정형이 놓인 자리가 바뀌면서 풀 수 있는 문장이 된다.

확인 7. 다음 세 명제에 어느 기법이 붙는지 고르고, 위 표의 몇째 줄이 근거인지 적어 보자.

(가) 정수 \(n\)에 대해, \(n^3\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다.

(나) \(\sqrt3\)은 무리수이다.

(다) 실수 \(x\)에 대해, \(x > 2\)이면 \(x^2 > 4\)이다.

답

(가) 대우 — 넷째 줄. 가정이 합성식 \(n^3\)의 성질이고 결론이 재료 \(n\)의 성질이다.

대우문 “\(n\)이 홀수이면 \(n^3\)은 홀수이다”에서는 \(n = 2k+1\)이 즉시 풀린다.

(나) 귀류 — 셋째 줄. 조건문이 아니므로 뒤집을 \(A\)가 없다. “무리수”라는 부정형

낱말이 있어 첫째 줄을 떠올리게 되지만, 이 명제에는 \(A\) 자리도 \(B\) 자리도 없으므로

첫째 줄은 적용 대상이 아니다 — 문제 19의 복기대로 **논리형 판독이 판정보다

먼저**다. 논리형이 조건문이 아님을 확정한 뒤 셋째 줄로 곧장 간다.

(다) 직접 — 어느 줄에도 걸리지 않는다. 가정과 결론이 모두 긍정형 부등식이고,

\(x > 2 > 0\)이므로 양변에 \(x\)를 곱하는 전진((W3), 1권 16주차)이 즉시 작동한다.

신호가 없을 때 대우로 가면 오히려 부정형 둘을 다루게 되어 어려워진다.

7 근거 목록 갱신#

근거의 칸은 이번 주에도 네 개다. 이번 주가 채우는 것은 ①과 ④다.

근거	이번 주에 추가\(\cdot\)갱신되는 것	이번 주에는 이렇게 쓴다
① 정의	정의 12.1(대우법)	원명제를 대우문으로 번역한다. 몸통에서는 짝수\(\cdot\)나누어떨어짐\(\cdot\)유리수\(\cdot\)항등함수의 기존 정의와 대소 관계(1권 16주차 정의 16.1 — \(a \ge a\)는 여기서 나온다)를 그대로 푼다. 수열의 수렴(1권 45주차 정의 45.1)은 문제 18에서만 쓰고, 그 문제 앞 상자로 다시 도입한다
② 닫힘성	변화 없음	“\(2k^2 + 4k\)는 정수이므로”를 별도 설명 없이 쓴다. 부등식 쪽의 닫힘은 (W4)(W5)이고, 1권 16주차가 이 둘을 근거 ②에 배정했다 — 예제 2.2의 “양수끼리의 곱과 합은 양수”가 그것이다
③ 등식\(\cdot\)부등식의 성질	변화 없음	1권 16주차 (W2)(W3)(W6) — 양변 연산과 추이성. (W1)은 근거 ④에, (W4)(W5)는 근거 ②에 있다(1권 16주차의 배정 그대로이므로 번호를 옮겨 붙이지 않는다). 이번 주에는 (W2)와 (W6)을 이어 붙인 “부등식의 합 보존”이 자주 나온다(문제 8 해설에서 유도)
④ 이미 증명한 명제\(\cdot\)채택한 사실	대우 동치(1권 9주차 예제 2.1)가 복귀 선언의 근거로 소비된다. 몸통의 부품: 홀짝의 배타성(1권 22주차 문제 5), 나눗셈 정리(1권 17주차 — 인정하고 사용, 1권 33주차 최소원리에서 증명), 실수의 삼분법(1권 17주차 — 인정하고 사용), (W1) \(x^2 \ge 0\)(1권 16주차), 두 홀수의 곱은 홀수(S4주차 예제 2.2), 연속한 두 정수의 곱은 짝수(1권 1주차 문제 16), \(n\)이 홀수이면 \(n^2 - 1\)은 8의 배수(1권 1주차 문제 17 — 훈련 3의 몸통이 이 인용으로 끝난다), \(\sqrt2\)는 무리수(1권 21주차), 유리수의 곱과 합의 닫힘, 유클리드 보조정리의 \(p = 5\) 사례(문제 15에서 직접 증명)	“S4주차 예제 2.2에 의해”처럼 출처를 대고 한 줄로 끝낸다

목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 “\(n^2\)이 짝수이므로 양변에 제곱근을 취해 \(n = \sqrt{2k}\)”는 목록에 없다 — 근호를 씌운 값이 정수라는 보장이 근거 ①~④ 어디에도 없기 때문이고(S4주차 문제 10의 진단), 예제 2.1이 대우로 가는 직접적인 이유가 이것이다.

확인 8. 어떤 답안에 다음 두 문장이 나왔다. 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) “대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다.”

(나) “\(n\)이 짝수가 아니므로 \(n\)은 홀수이다.”

답

(가) 허용 — 근거 ④. 인용하는 것은 1권 9주차 예제 2.1에서 진리표로 증명한 동치이고,

이 한 줄이 대우문의 결과를 원명제로 옮기는 유일한 통로다.

(나) 허용 — 근거 ④. 정수는 짝수이거나 홀수이고 동시에 둘일 수 없다는 사실

(전수성은 1권 17주차 나눗셈 정리, 배타성은 1권 22주차 문제 5)을 쓴 것이다.

다만 이 갈아타기는 공짜가 아니라 증명된 정리의 인용이므로, 출처를 대지 않고

조용히 바꾸면 근거 없는 줄이 된다(S10주차 예제 2.2의 마지막 문장).