# S12주차 — 대우법: 후진 과정이 되살아나는 자리 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 대우법은 귀류에서 충돌 상대를 $A$로 미리 지정한 특수형이고, 지정하는 순간 과녁이 "아무 모순"에서 $\neg A$라는 구체적 명제로 바뀌어 후진 과정이 되살아난다. **이 주의 위치**: 1학기 20주 과정의 S12주차이자 부정 3부작(S10주차 전개 $\cdot$ S11주차 귀류 $\cdot$ S12주차 대우)의 마지막 주. 1권 19주차에서 서식으로 익힌 대우 증명이 여기서 두 가지를 새로 얻는다 — 귀류와의 정확한 관계, 그리고 직접$\cdot$대우$\cdot$귀류 중 무엇을 고를지의 판정 기준. 다음 주 S13주차의 유일성 증명은 이 세 기법을 재료로 쓴다. **원서 대응**: Solow 10장. 주간 루틴 1일차에 원서 10장을 통독한 뒤 이 문서로 온다. ::: ## 이번 주 목표 1. 대우법을 **귀류의 특수형**으로 재정의한다: 충돌 상대를 $A$로 지정하는 대가와 그때 얻는 것을 각각 말할 수 있다. 1. S10주차의 NOT 전개로 $\neg B$와 $\neg A$를 정확히 만들어 대우문을 제작한다 — 무대 보존, $\land$$\cdot$$\lor$ 뒤집기, 역$\cdot$이와의 구별. 1. **직접 $\cdot$ 대우 $\cdot$ 귀류의 판정법**을 갖춘다: 정보가 흐르는 방향, $\neg B$$\cdot$$\neg A$가 긍정형이 되는지, 충돌 상대를 예측할 수 있는지. 1. 결론이 "또는"인 명제에서 대우가 그 "또는"을 가정 두 조각으로 바꿔 주는 것을 실전한다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (S11주차 복습) 노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다. 1. 귀류의 거래에서 얻는 것과 잃는 것을 각각 한 줄로 쓰시오. 1. S11주차 문제 16의 결론을 재현하시오 — "$n^2$이 3의 배수이면 $n$도 3의 배수"의 귀류판과 1권 19주차의 대우판은 어디서부터 겹쳤는가. 1. 1권 9주차: $P \Rightarrow Q$의 대우$\cdot$역$\cdot$이를 각각 쓰고, 이 중 원명제와 동치인 것이 무엇인지 쓰시오. 이어서 다음 과제를 해 보자. **명제 "실수 $x, y$에 대해, $x + y > 10$이면 $x > 5$이거나 $y > 5$이다"를 증명해 보자.** 이 명제는 1권 19주차 예제 2.3에서 대우로 이미 증명한 그 명제다. 그러므로 과제를 이렇게 한정한다 — **대우를 쓰지 말고, S10~S11주차의 도구만으로 다른 길을 밀어 보자.** 대우를 이미 아는 상태에서 굳이 다른 길을 걷는 이유는 §0의 마지막에서 밝힌다. ### 자주 나오는 답의 유형 이 자리에서 나오는 답은 대개 다음 네 가지 중 하나다. 넷 다 1권과 S10~S11주차를 제대로 익힌 사람에게서 나오는 답이고, 넷 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 0 — 1권 19주차의 대우를 그대로 재현한다.** "결론의 부정은 '$x \le 5$이고 $y \le 5$'이므로 대우는 '$x \le 5$이고 $y \le 5$이면 $x + y \le 10$이다'이다. 두 부등식을 변변 더하면 $x + y \le 10$이다." 이 답안은 **옳고 가장 짧다**. 선수 학습을 마친 독자에게 실제로 가장 먼저 나올 답이기도 하다. 다만 1권에서 이 명제에 대우를 붙인 근거는 "결론이 '또는'이면 대우"라는 신호였고, 그 신호가 왜 맞는 신호인지는 아직 설명되지 않았다. 이번 주의 몫은 대우라는 도구가 아니라 그 신호를 **판정 기준**으로 바꾸는 일이다. - **유형 1 — 결론의 $\lor$ 앞에서 멈춘다.** "$x + y > 10$이라 하자."까지 적고 다음 줄이 나오지 않는다. 첫 문장은 옳다. 막힌 이유도 정확히 진단할 수 있다 — 결론이 "$x > 5$ 또는 $y > 5$"이므로 둘 중 어느 쪽을 보일지 지목해야 하는데, 가정만으로는 지목할 수 없다($x = 11, y = 0$과 $x = 0, y = 11$이 서로 다른 쪽을 참으로 만든다). 유형 0이 이 지목 부담을 없앴다는 것은 결과로 확인되지만, 왜 없어졌는지는 아직 말할 수 없다 — 그 설명이 §1.5 둘째 줄이다. - **유형 2 — 케이스로 나눈다.** "$x > 5$이거나 $x \le 5$이다. 첫 경우는 결론이 이미 참이다. 둘째 경우에는 $y = (x+y) - x > 10 - 5 = 5$이므로 $y > 5$이다." 이 답안은 **완전히 옳다**. 빠진 것은 없다. 다만 첫 경우가 하는 일이 없다는 것 — 실제로 계산이 일어난 것은 둘째 경우 하나뿐이다. 유형 0의 답안에는 그 헛도는 절반이 아예 없다. - **유형 3 — 귀류로 간다.** "결론을 부정하여 $x \le 5$이고 $y \le 5$라 하자. 변변 더하면 $x + y \le 10$인데 가정은 $x + y > 10$이므로 모순이다." 이 답안도 옳고, 유형 0만큼 짧다. 그런데 이 귀류에는 특이한 점이 있다 — 충돌 상대가 다른 곳이 아니라 **가정 $A$ 자신**이었다. 유형 0의 대우 답안과 계산 줄이 글자까지 같다는 것도 눈에 띈다. 이것이 우연인지 규칙인지를 §1.3에서 정한다. **이번 주가 새로 주는 것.** 네 유형을 늘어놓으면 이번 주의 몫이 도구가 아니라는 것이 보인다. 대우라는 도구는 유형 0이 이미 쥐고 있다. 비어 있는 것은 두 가지다 — 유형 0과 유형 3이 왜 글자까지 같아지는지(§1.3의 관계), 그리고 처음 보는 명제 앞에서 네 유형 중 어느 것을 골라야 하는지(§1.6의 판정 기준). 1권에서 신호로 처리하던 자리가 이번 주에 절차가 된다. ## 개념 — 대우법 ### 1 귀류만으로 밀어붙이면 어디서 막히는가 새 방법을 세우기 전에, S11주차의 도구만으로 한 문제를 밀어붙여 본다. :::{admonition} 시도 — 귀류로 개시한 뒤 :class: quotebox 명제: 정수 $n$에 대해, $n^2 + 4n$이 홀수이면 $n$은 홀수이다. "결론을 부정하여, $n^2 + 4n$이 홀수이고 $n$은 짝수라 하자. $n = 2k$인 정수 $k$를 잡자. 그러면 $n^2 + 4n = 4k^2 + 8k$이다. 이 값은 4의 배수다. 4의 배수인데 홀수라는 것은 아무래도 이상하므로, 모순이다. 따라서 $n$은 홀수이다." ::: 여기서 답안이 끝나 버린다. "아무래도 이상하다"는 모순이 아니다 — S11주차 예제 2.3의 조기 정지가 그대로 재발한 것이다. 문제는 부주의가 아니라 구조에 있다. 다음 줄을 쓰려면 **도달해야 할 문장의 모양**이 필요한데, 귀류의 과녁은 "아무 모순"이므로 그 모양을 지정해 주지 않는다. 후진 질문("모순임을 보이려면 어떻게 하는가?")에 표준 답이 없다는 것이 곧 이 막힘이다. :::{container} quotebox **확인 1.** 위 시도를 완성하려면 어떤 문장에 도달해야 하는가. 그 문장을 적고, 그것이 원명제의 어느 부분과 관계있는지도 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 도달해야 할 문장은 "$n^2 + 4n$은 짝수이다"이다. $4k^2 + 8k = 2(2k^2 + 4k)$이고 괄호 안이 정수이므로 짝수의 정의 꼴이 되고, 여기서 비로소 개시 가정의 "$n^2 + 4n$은 홀수"와 홀짝의 배타성(1권 22주차 문제 5)으로 충돌한다. 그런데 "$n^2 + 4n$은 짝수"는 원명제의 **가정 $A$의 부정**, 곧 $\neg A$다. 이 귀류가 실제로 도달한 곳은 $\neg A$였다. ::: 한 사례에서만 그런 것이 아니다. 준비 운동 유형 3의 답안도 도달한 곳이 "$x + y \le 10$" — 역시 $\neg A$였다. 그렇다면 충돌 상대를 우연에 맡기지 말고 **처음부터 $A$로 지정해 두면** 된다. :::{admonition} 이 주 전체의 기준 :class: quotebox 충돌 상대를 $A$로 지정하면, 과녁이 "아무 모순"에서 "$\neg A$"라는 구체적 명제로 바뀐다. 과녁이 구체적이면 핵심 질문("$\neg A$를 보이려면 어떻게 하는가?")을 던질 수 있다 — 귀류가 잃었던 후진 과정이 되살아난다. ::: ### 2 사례 표를 채워 보기 지정을 실제로 해 보자. 아래 표의 각 명제에서 $A$와 $B$를 식별하고, $\neg B$와 $\neg A$를 S10주차의 전개로 만든다. 부정형이 나오면 배타$\cdot$전수가 증명된 특성화로 갈아탄다(S10주차 처방 ①). | **명제 (무대 포함)** | **$\neg B$ (새 가정)** | **$\neg A$ (새 결론)** | |---|---|---| | 정수 $n$: $n^2$이 짝수 $\Rightarrow$ $n$이 짝수 | $n$은 홀수 | $n^2$은 홀수 | | 실수 $x$: $x^2 + x \le 0$ $\Rightarrow$ $x \le 0$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | | 정수 $m, n$: $mn$이 짝수 $\Rightarrow$ $m$이 짝수이거나 $n$이 짝수 | $\underline{\quad(3)\quad}$ | $mn$은 홀수 | | 실수 $x, y$: $x + y > 10$ $\Rightarrow$ $x > 5$이거나 $y > 5$ | $x \le 5$이고 $y \le 5$ | $\underline{\quad(4)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 2.** 빈칸 (1)~(4)를 채우고, 완성된 네 개의 "$\neg B$이면 $\neg A$이다" 문장이 공통으로 갖는 성질을 한 문장으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $x > 0$ (2) $x^2 + x > 0$ (3) $m$과 $n$이 둘 다 홀수 (4) $x + y \le 10$. 공통 성질: 네 문장 모두 **가정과 결론이 전부 긍정형**이고, 가정 쪽이 곧바로 손에 쥘 수 있는 것이 된다 — 정수 쪽 두 줄은 정의가 풀려 등식이 나오고, 부등식 두 줄은 풀 정의가 따로 없이 가정 자체가 그대로 재료다. 원명제에서는 가정이 합성된 식의 성질이거나 결론이 "또는"이어서 손이 가지 않았는데, 자리를 바꾼 문장에서는 그런 장애물이 사라졌다. 그리고 이 표를 만드는 데 **새로운 규칙은 하나도 쓰이지 않았다** — S10주차의 전개 규칙 N2$\cdot$N3과 특성화 갈아타기를 각 명제마다 두 번씩 적용한 것이 전부다. ::: 이 관찰에 이름과 형식을 붙인다. ### 정의 12.1 — 대우법 (contrapositive method) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 명제 "$A$이면 $B$이다"의 **대우법**이란, $\neg B$를 새 가정으로 $\neg A$를 새 결론으로 삼은 명제 "$\neg B$이면 $\neg A$이다"를 직접 증명한 뒤, 동치 $A \Rightarrow B \equiv \neg B \Rightarrow \neg A$(1권 9주차 예제 2.1의 진리표)를 근거로 원명제의 증명으로 삼는 것이다. 이 새 명제를 원명제의 **대우문**이라 한다. ::: $\neg B \Rightarrow \neg A$는 소리 내어 "비가 아니면 에이가 아니다"로 읽는다. 이번 주에 새로 등장하는 기호는 없다 — $\neg$$\cdot$$\Rightarrow$$\cdot$$\equiv$는 1권 7~9주차에서 읽는 법까지 정해 두었다. **1권과의 관계.** 1권 19주차 정의 19.1이 이 정의였고, 서식도 그때 세웠다. 이번 주가 더하는 것은 정의가 아니라 두 가지다 — 이 갈아타기가 **귀류의 특수형**이라는 사실(§1.3)과, 세 기법 중 무엇을 고를지의 **판정 기준**(§1.6). 1권에서 "신호가 보이면 대우"라고 감각으로 처리하던 자리가 여기서 절차가 된다. ### 3 귀류와의 관계 — 지정의 대가와 얻는 것 두 게임을 나란히 놓는다. | | **가진 것 (가정)** | **과녁 (도달할 곳)** | **후진 질문** | |---|---|---|---| | 귀류 게임 | $A$ 그리고 $\neg B$ | 아무 모순 | 표준 답이 없다 | | 대우 게임 | $\neg B$ | $\neg A$ | "$\neg A$를 보이려면 어떻게 하는가?" | 대우는 귀류에서 **충돌 상대를 $A$로 미리 지정한 것**이다. 지정에는 대가가 있다 — $A$를 계산에 쓸 수 없게 된다. $A$는 이제 마지막에 충돌할 상대일 뿐이므로 몸통에서는 $\neg B$ 하나로 버텨야 한다. 대가를 치르고 얻는 것은 과녁의 구체성이고, 구체적 과녁은 곧 후진 질문이다. :::{container} quotebox **확인 3.** 예제 2.1에서 만들 대우 증명("$n$이 홀수이면 $n^2$은 홀수이다")을 귀류 답안으로 바꿔 적으면 어떤 줄이 늘어나는가. 그리고 늘어난 줄들이 계산에 쓰이는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 두 줄이 늘어난다. 개시 선언에 "$n^2$이 짝수이고"가 덧붙고, 마지막에 "$n^2$이 홀수인데 가정은 $n^2$이 짝수이므로 모순이다"가 붙는다. 늘어난 두 줄 모두 계산에는 한 번도 쓰이지 않는다 — 몸통은 "$n$이 홀수"만으로 굴러간다. 곧 이 귀류는 S11주차 예제 2.3의 **무늬만 귀류**(처방 과잉)이고, 대우로 다시 쓰는 것이 정확한 수리다. 거꾸로, 몸통에서 $A$를 실제로 소비한 귀류 답안은 대우로 옮길 수 없다 — 대우 게임에는 $A$가 없기 때문이다. 이것이 §1.6 판정법의 다섯째 줄이 존재하는 이유다. ::: ### 4 절차 해부 — 걸음마다 하는 일 대우 답안은 세 걸음으로 적는다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **대우 답안의 3단 서식** ① **대우 선언**: "대우를 증명한다. 대우는 '[$\neg B$의 전개]이면 [$\neg A$의 전개]이다'이다." ② **직접 증명**: $\neg B$를 가정하고 $\neg A$까지 간다. 몸통은 보통의 직접 증명이므로 정의 풀기$\cdot$전진$\cdot$후진$\cdot$선택$\cdot$구성이 전부 쓰인다. ③ **복귀 선언**: "대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다." ::: 걸음 ①은 기법 선언과 제작물 명시라는 두 임무를 겸하므로, 해부에서는 그 걸음을 두 조각으로 나누어 다섯 조각으로 본다. | **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | ①-가 "대우를 증명한다" | 기법 선언 | 아래 문장들의 신분이 없어진다 — $\neg B$ 가정이 원명제의 가정으로 읽힌다 | | ①-나 "대우는 …이다" | 제작물 명시 | 만든 것이 대우인지 이(inverse)인지 검사할 자리가 사라진다 (아래 삭제 실험) | | ② 몸통 | 직접 증명 | 등식의 출처가 비어 몸통 전체가 근거 없는 주장이 된다 | | ② 끝 "따라서 $\neg A$이다" | 도착 선언 | 대우의 결론에 정확히 닿았는지 확인되지 않는다 — $\neg A$와 비슷한 다른 문장에서 멈춰도 통과된다 | | ③ 복귀 선언 | 회수 | 증명된 것은 대우문뿐이고 원명제는 아직 증명되지 않은 상태로 남는다 | **걸음 삭제 실험 — 제작물 명시를 지우면.** 걸음 ①-나를 지우고 다음 답안을 검사해 보자. :::{admonition} 삭제 실험 — 제작물을 적지 않은 답안 :class: quotebox 명제: 정수 $n$에 대해, $3n + 1$이 짝수이면 $n$은 홀수이다. "대우를 증명한다. $3n + 1$이 홀수라 하자. 그러면 $3n$은 짝수이고, 따라서 $n$은 짝수이다. 그러므로 원명제가 성립한다." ::: :::{container} quotebox **확인 4.** 위 답안이 실제로 증명한 명제를 적어 보자. 그 명제는 참인가. 참이라면 이 답안은 왜 원명제의 증명이 아닌가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 가정한 것은 "$3n + 1$이 홀수" $= \neg A$이고, 보인 것은 "$n$이 짝수" $= \neg B$다. 곧 증명한 명제는 $\neg A \Rightarrow \neg B$, 즉 원명제의 **이(inverse)**다. 이 명제 자체는 참이다 — 그래서 몸통이 한 줄도 막히지 않고 완주되고, 답안은 완성된 것처럼 보인다. 그러나 이는 원명제와 동치가 아니라 **역**과 동치이므로 (1권 9주차), 원명제는 한 번도 다루어지지 않았다. 걸음 ①-나는 여기서 검사할 대상을 답안 위에 **꺼내 놓는** 역할까지만 한다 — 이로 새는 사람은 ①-나에도 자기가 만든 문장("$3n+1$이 홀수이면 $n$이 짝수이다")을 적을 것이므로 몸통과는 오히려 잘 맞는다. 꺼내 놓은 그 문장에 아래의 화살표 검산을 걸어야 비로소 이가 잡힌다. ①-나가 없으면 검산을 걸 대상 자체가 없다. 이 답안의 정체는 예제 2.3에서 다시 해부한다. ::: 제작물 명시를 적은 뒤에는 검산을 한 번 더 건다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **화살표 검산** ㄱ. 내가 **가정하는 것**이 원명제 **결론**의 부정인가? ㄴ. 내가 **보이려는 것**이 원명제 **가정**의 부정인가? 둘 중 하나라도 아니면 역이나 이로 새는 중이다. ::: :::{container} quotebox **확인 5.** 삭제 실험의 답안에 화살표 검산을 걸어 보자. ㄱ과 ㄴ 중 어느 쪽이 먼저 걸리는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 둘 다 걸린다. ㄱ: 가정한 것은 "$3n+1$이 홀수"인데 원명제의 결론은 "$n$이 홀수"이고 그 부정은 "$n$이 짝수"다 — 불일치. ㄴ: 보인 것은 "$n$이 짝수"인데 원명제의 가정은 "$3n+1$이 짝수"이고 그 부정은 "$3n+1$이 홀수"다 — 불일치. 두 항목이 정확히 자리를 맞바꾼 모양으로 걸리는 것이 이(inverse)가 걸리는 모양이다. ::: ### 5 대우문 제작 — 다발 지점 세 곳 대우문은 $\neg B$와 $\neg A$를 **각각 S10주차의 규칙으로 전개해** 만든다. 전개가 틀리면 이후가 전부 무효이므로, 사고가 몰리는 세 곳을 미리 못 박는다. | **주의** | **규칙** | **어긋나면** | |---|---|---| | 무대는 이동하지 않는다 | "모든 정수 $n$에 대해 $P(n) \Rightarrow Q(n)$"의 대우는 "모든 정수 $n$에 대해 $\neg Q(n) \Rightarrow \neg P(n)$" — "정수"라는 선언은 부정되지도, 자리를 옮기지도 않는다 | 무대를 함께 부정하면 원명제와 무관한 명제가 만들어진다 (S10주차 예제 2.3 사고 3, 1권 19주차 확인 5) | | $\land$과 $\lor$는 뒤집힌다 | $A$가 "$P$ 그리고 $Q$"면 $\neg A$는 "$\neg P$ 또는 $\neg Q$"(N2). $B$가 "$P$ 또는 $Q$"면 $\neg B$는 "$\neg P$ 그리고 $\neg Q$"(N3) | 뒤집지 않으면 대우문 자체가 다른 명제가 된다 | | 역$\cdot$이와 구별한다 | 대우는 $\neg B \Rightarrow \neg A$. 역은 $B \Rightarrow A$, 이는 $\neg A \Rightarrow \neg B$이며 이 둘은 원명제와 동치가 아니다 | 참인 다른 명제를 증명하고 끝내는 답안이 된다 (§1.4 삭제 실험) | 둘째 줄에서 이번 주의 실질적인 수확이 나온다. 결론의 "또는"은 어느 쪽을 보일지 지목해야 하는 부담인데, 대우에서는 그것이 가정 쪽의 "그리고" — 곧 손에 들어오는 사실 두 개 — 로 바뀐다. :::{container} quotebox **확인 6.** 준비 운동의 명제에서, 직접 공략이 멈춘 지점과 대우로 갈아탄 뒤 손에 들어오는 것을 각각 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 직접 공략의 멈춤: 결론 "$x > 5$ 또는 $y > 5$"에서 어느 쪽을 보일지 지목해야 하는데, 가정 "$x + y > 10$"만으로는 지목할 수 없다. 지목하려면 경우를 나눠야 하고, 그러면 준비 운동 유형 2처럼 한쪽 경우가 헛돈다. 대우로 갈아탄 뒤: N3에 의해 가정이 "$x \le 5$이고 $y \le 5$" — 부등식 두 개가 동시에 손에 들어온다. 지목할 일이 없고 경우도 없다. 남은 일은 두 부등식을 더하는 것뿐이다(문제 8). ::: 거꾸로도 성립한다. $A$가 "$P$ 그리고 $Q$"인 명제에서는 $\neg A$가 "$\neg P$ 또는 $\neg Q$"가 되어 이번에는 **과녁이 $\lor$**가 된다. 과녁이 $\lor$면 대우의 이점이 사라지고, 그때는 귀류가 편하다(§1.6 여섯째 줄, 문제 18). ### 6 판정법 — 직접 · 대우 · 귀류 [백지 암기 대상] 명제를 읽고 세 기법 중 하나를 고르는 물음표 목록이다. 위에서부터 훑는다. | **물음** | **답이 "예"일 때 보이는 것** | **처방** | |---|---|---| | $A$나 $B$가 부정형인가 ($\neq$, $\nmid$, 무리수, "…가 아니다") | 부정형이 자리를 바꾸며 긍정형이 되어 정의가 풀린다 | 대우 또는 귀류 — 직접은 풀 정의가 없다 | | 명제가 조건문이어서 $A$에도 부정할 내용이 있는가 | $\neg A$라는 구체적 과녁이 생긴다 | 대우를 먼저 시도한다 | | 무조건 명제인가 ($\sqrt2$는 무리수, 소수는 무한히 많다) | 뒤집을 $A$가 없어 과녁 $\neg A$가 만들어지지 않는다 | 귀류 — 대우가 성립할 자리가 없다 | | 가정이 합성된 식($n^2$, $mn$, $x + y$)의 성질이고 결론이 그 재료($n$, $x$)의 성질인가 | 정보가 합성식에서 재료 쪽으로 거슬러야 한다 | 대우 — 방향이 재료에서 합성식으로 뒤집힌다 | | $\neg B$에서 전진해도 $\neg A$에 닿을 그림이 보이지 않고, 충돌이 다른 데서 터질 것 같은가 | 충돌 상대를 $A$로 고정하는 것이 손해다 | 귀류 — 충돌 상대를 자유롭게 고른다 | | $A$가 여러 조각의 $\land$이어서 $\neg A$가 $\lor$ 꼴인가 | 과녁이 $\lor$이라 어느 쪽을 보일지 다시 지목해야 한다 | 귀류를 검토한다 | 한 줄 요약: **부정형은 자리를 뒤집어 긍정형으로 만들고, 뒤집을 $A$가 없으면 무너뜨린다.** 첫째 줄은 $A$ 쪽과 $B$ 쪽을 함께 덮는다. $B$가 부정형이면 대우문의 **가정**이 긍정형이 되어 정의가 풀리고, $A$가 부정형이면 대우문의 **결론**이 긍정형이 되어 과녁의 모양이 생긴다. 어느 쪽이든 이득의 정체는 같다 — 부정형이 놓인 자리가 바뀌면서 풀 수 있는 문장이 된다. :::{container} quotebox **확인 7.** 다음 세 명제에 어느 기법이 붙는지 고르고, 위 표의 몇째 줄이 근거인지 적어 보자. (가) 정수 $n$에 대해, $n^3$이 짝수이면 $n$은 짝수이다. (나) $\sqrt3$은 무리수이다. (다) 실수 $x$에 대해, $x > 2$이면 $x^2 > 4$이다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 대우 — 넷째 줄. 가정이 합성식 $n^3$의 성질이고 결론이 재료 $n$의 성질이다. 대우문 "$n$이 홀수이면 $n^3$은 홀수이다"에서는 $n = 2k+1$이 즉시 풀린다. (나) 귀류 — 셋째 줄. 조건문이 아니므로 뒤집을 $A$가 없다. "무리수"라는 부정형 낱말이 있어 첫째 줄을 떠올리게 되지만, 이 명제에는 $A$ 자리도 $B$ 자리도 없으므로 첫째 줄은 적용 대상이 아니다 — 문제 19의 복기대로 **논리형 판독이 판정보다 먼저**다. 논리형이 조건문이 아님을 확정한 뒤 셋째 줄로 곧장 간다. (다) 직접 — 어느 줄에도 걸리지 않는다. 가정과 결론이 모두 긍정형 부등식이고, $x > 2 > 0$이므로 양변에 $x$를 곱하는 전진((W3), 1권 16주차)이 즉시 작동한다. 신호가 없을 때 대우로 가면 오히려 부정형 둘을 다루게 되어 어려워진다. ::: ### 7 근거 목록 갱신 근거의 칸은 이번 주에도 네 개다. 이번 주가 채우는 것은 ①과 ④다. | **근거** | **이번 주에 추가$\cdot$갱신되는 것** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | **정의 12.1**(대우법) | 원명제를 대우문으로 번역한다. 몸통에서는 짝수$\cdot$나누어떨어짐$\cdot$유리수$\cdot$항등함수의 기존 정의와 대소 관계(1권 16주차 정의 16.1 — $a \ge a$는 여기서 나온다)를 그대로 푼다. 수열의 수렴(1권 45주차 정의 45.1)은 문제 18에서만 쓰고, 그 문제 앞 상자로 다시 도입한다 | | ② 닫힘성 | 변화 없음 | "$2k^2 + 4k$는 정수이므로"를 별도 설명 없이 쓴다. 부등식 쪽의 닫힘은 (W4)(W5)이고, 1권 16주차가 이 둘을 근거 ②에 배정했다 — 예제 2.2의 "양수끼리의 곱과 합은 양수"가 그것이다 | | ③ 등식$\cdot$부등식의 성질 | 변화 없음 | 1권 16주차 (W2)(W3)(W6) — 양변 연산과 추이성. (W1)은 근거 ④에, (W4)(W5)는 근거 ②에 있다(1권 16주차의 배정 그대로이므로 번호를 옮겨 붙이지 않는다). 이번 주에는 (W2)와 (W6)을 이어 붙인 "부등식의 합 보존"이 자주 나온다(문제 8 해설에서 유도) | | ④ 이미 증명한 명제$\cdot$채택한 사실 | **대우 동치**(1권 9주차 예제 2.1)가 복귀 선언의 근거로 소비된다. 몸통의 부품: 홀짝의 배타성(1권 22주차 문제 5), 나눗셈 정리(1권 17주차 — 인정하고 사용, 1권 33주차 최소원리에서 증명), 실수의 삼분법(1권 17주차 — 인정하고 사용), (W1) $x^2 \ge 0$(1권 16주차), 두 홀수의 곱은 홀수(S4주차 예제 2.2), 연속한 두 정수의 곱은 짝수(1권 1주차 문제 16), $n$이 홀수이면 $n^2 - 1$은 8의 배수(1권 1주차 문제 17 — 훈련 3의 몸통이 이 인용으로 끝난다), $\sqrt2$는 무리수(1권 21주차), 유리수의 곱과 합의 닫힘, 유클리드 보조정리의 $p = 5$ 사례(문제 15에서 직접 증명) | "S4주차 예제 2.2에 의해"처럼 출처를 대고 한 줄로 끝낸다 | 목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 "$n^2$이 짝수이므로 양변에 제곱근을 취해 $n = \sqrt{2k}$"는 목록에 없다 — 근호를 씌운 값이 정수라는 보장이 근거 ①~④ 어디에도 없기 때문이고(S4주차 문제 10의 진단), 예제 2.1이 대우로 가는 직접적인 이유가 이것이다. :::{container} quotebox **확인 8.** 어떤 답안에 다음 두 문장이 나왔다. 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가. (가) "대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다." (나) "$n$이 짝수가 아니므로 $n$은 홀수이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 허용 — 근거 ④. 인용하는 것은 1권 9주차 예제 2.1에서 진리표로 증명한 동치이고, 이 한 줄이 대우문의 결과를 원명제로 옮기는 유일한 통로다. (나) 허용 — 근거 ④. 정수는 짝수이거나 홀수이고 동시에 둘일 수 없다는 사실 (전수성은 1권 17주차 나눗셈 정리, 배타성은 1권 22주차 문제 5)을 쓴 것이다. 다만 이 갈아타기는 공짜가 아니라 **증명된 정리의 인용**이므로, 출처를 대지 않고 조용히 바꾸면 근거 없는 줄이 된다(S10주차 예제 2.2의 마지막 문장). :::