46주차 — 극한 법칙과 급수 맛보기#
이 주의 길잡이
핵심 문장: 오차 한도 \(\varepsilon\)을 두 항에 \(\frac{\varepsilon}{2}\)씩 나누어 배분하면, 두 개의 수렴을 하나로 합칠 수 있다.
이 주의 위치: 50주 과정의 46주차, 10부(해석학 입문)의 둘째 주. 45주차에서 세운 \(\varepsilon\)-N 정의를 도구로 삼아 극한 법칙을 증명하고, 31~32주차에서 귀납법으로 확보한 합 공식과 부등식을 급수의 극한으로 청산한다.
원서 대응: BoP(Book of Proof) 13장 중반(Limit Laws, Series). 병행자 참고용이며, 이 교재는 원서 없이 읽을 수 있다.
이번 주 목표#
합의 극한 법칙(\(a_n + b_n \to A + B\))을 \(\varepsilon\)/2 트릭으로 증명하고, 그 세 부품(예산 배분 \(\cdot\) \(\max\) 문턱 \(\cdot\) 삼각부등식)을 백지에서 재현할 수 있다.
상수배 법칙과 샌드위치(조임) 정리를 증명하고, 두 법칙을 조립해 극한 계산을 정리 인용으로 처리할 수 있다.
급수를 부분합 수열의 극한으로 정의하고, 그 정의로 \(\sum \frac{1}{2^i} = 1\)을 증명한다.
조화급수의 발산을 묶음 논증으로 증명하고, “항이 0으로 간다”가 필요조건일 뿐임을 설명할 수 있다.
본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.
준비 운동 (45주차 복습)#
수렴의 \(\varepsilon\)-N 정의(정의 45.1)를 백지에 쓰시오.
극한의 유일성 증명(45주차 문제 11)에서 쓴 두 부품(\(\max\) 문턱, 삼각부등식)이 각각 무엇을 해결했는지 말로 재현하시오.
\(\lim \frac{5}{2n-1} = 0\)의 증명에서 쓴 “눌러놓기” 한 수를 재현하시오 (45주차 문제 10).
\(a_n \to A\)이고 \(b_n \to B\)이면 \(a_n + b_n \to A + B\)인 것은 당연해 보인다. 이 주장을 정의 45.1로 증명하려 할 때 우리가 만들어 내야 하는 대상이 무엇인지 한 문장으로 쓰시오.
답
1. \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ (n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon)\).
세 양화사의 순서까지가 정의다 — \(N\)은 \(\varepsilon\)을 보고 정한다.
2. \(\max\) 문턱은 두 개의 수렴 정의에서 받은 문턱 \(N_1\), \(N_2\)를 동시에 넘는 \(n\)을
확보한다(큰 쪽을 넘으면 작은 쪽도 넘는다). 삼각부등식은 직접 비교할 수 없는 두 값을
공통의 세 번째 값을 경유해 잇는다.
3. \(n \ge 1\)이면 \(2n - 1 \ge n\)이므로 \(\frac{5}{2n-1} \le \frac{5}{n}\) — 분모를 더 작은
것으로 바꿔 분수를 위에서 눌러 두고, 문턱은 \(\frac{1}{N} < \frac{\varepsilon}{5}\)로 잡는다.
4. 아래의 유형 분석과 §1.1이 답을 대신한다. 자신의 답이 세 유형 중 어느 것인지 대조한 뒤
§1.2로 넘어간다.
자주 나오는 세 가지 답 — 4번 문항#
방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.
유형 1 — 결론의 재선언. “각각 가까워지므로 합도 가까워진다”라고 적는다. 결론 자체는
참이고, 직관도 정확하다. 빠진 것은 만들어 낼 대상이다 — 정의 45.1이 요구하는 것은 “가까워진다”는 서술이 아니라 자연수 \(N\) 하나를 제시하는 절차이고, 그 \(N\)이 답안에 없다. 45주차 §0 유형 1에서 한 번 지나온 자리다.
유형 2 — 두 문턱을 받고 정지. 두 정의를 발동해 \(N_1\)과 \(N_2\)를 받아 적은 뒤 멈춘다.
재료를 정확히 모았다. 남은 문제는 두 조건이 서로 다른 구간에서 성립한다는 것이다 — \(n > N_1\)과 \(n > N_2\)를 동시에 만족하는 \(n\)을 확보해야 두 부등식을 한 사슬에 넣을 수 있고, 그 도구가 45주차 문제 11의 \(\max\) 문턱이다.
유형 3 — \(2\varepsilon\)에서 정지. 두 정의를 \(\varepsilon\)으로 발동해 사슬을 세우고
\(\cdots < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon\)을 얻은 뒤 “정의의 \(< \varepsilon\)과 다르므로 실패”라고 판정한다. 계산은 한 줄도 틀리지 않았다. 남은 것은 배분이다 — 처음부터 각 정의를 \(\frac{\varepsilon}{2}\)로 발동하면 같은 사슬의 끝이 \(\varepsilon\)이 된다. (이 답안이 정말 실패인지는 문제 18에서 판정한다.)
개념 — 여러 수렴을 하나로 합치기#
1 정의만으로 합의 극한을 시도하면 어디서 막히는가#
45주차의 도구는 정의 45.1 하나다. 그 하나만으로 이번 주의 대표 명제를 밀어붙여 보자.
시도 — 정의를 그대로 두 번 발동하기
명제: \(a_n \to A\)이고 \(b_n \to B\)이면 \(a_n + b_n \to A + B\).
“\(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(a_n \to A\)이므로 자연수 \(N_1\)이 존재하여
\(n > N_1\)이면 \(|a_n - A| < \varepsilon\)이다. \(b_n \to B\)이므로 자연수 \(N_2\)가 존재하여
\(n > N_2\)이면 \(|b_n - B| < \varepsilon\)이다. 그러면 삼각부등식에 의해
\(|(a_n + b_n) - (A + B)| \le |a_n - A| + |b_n - B| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon\)
이다. 따라서 … “
여기서 멈춘다. 정확히 두 곳이 어긋나 있다. 첫째, 두 부등식은 각각 \(n > N_1\)과 \(n > N_2\)에서만 성립하는데 사슬은 둘을 같은 \(n\)에서 함께 썼다 — 그런 \(n\)이 있다는 말을 아직 하지 않았다. 둘째, 사슬의 끝이 \(2\varepsilon\)인데 정의 45.1이 요구하는 문자는 \(< \varepsilon\)이다.
확인 1. 위의 두 어긋남 중 하나는 45주차에서 이미 해결한 도구가 있다. 어느 쪽이며 그 도구는 무엇인가. 남은 하나는 무엇을 새로 정해야 메워지는가.
답
첫째 어긋남은 45주차 문제 11의 \(\max\) 문턱이 해결한다 — \(N = \max(N_1, N_2)\)로 잡으면
\(n > N\)인 \(n\)은 \(N_1\)과 \(N_2\)를 동시에 넘으므로 두 부등식이 함께 성립한다.
남은 것은 둘째 어긋남이고, 새로 정해야 할 것은 각 항을 얼마 이내로 누를 것인가이다.
두 항 각각을 \(\varepsilon\)까지 허용했기 때문에 합이 \(2\varepsilon\)까지 커진 것이므로,
허용치를 미리 나누어 배분하면 된다. §1.2가 그 배분을 정한다.
이 주 전체의 기준
정의 45.1의 \(\forall \varepsilon\)은 “\(\varepsilon\) 자리에 아무 양수나 넣어 발동할 수 있다”는
권리다. 오차 한도를 나누어 쓰는 모든 기술이 이 권리 위에 서 있다.
2 오차 한도를 나누어 본다 — 표를 채워 트릭 만들기#
두 항에 허용할 오차 상한을 각각 \(p\), \(q\)라고 하자. 삼각부등식이 주는 사슬은
이므로, 정의가 요구하는 \(< \varepsilon\)이 나오려면 \(p + q \le \varepsilon\)이면 된다. 몇 가지 배분을 실제로 계산해 보자.
첫 항의 상한 \(p\) |
둘째 항의 상한 \(q\) |
합의 상한 \(p + q\) |
\(\varepsilon\) 이하인가 |
|---|---|---|---|
\(\varepsilon\) |
\(\varepsilon\) |
\(2\varepsilon\) |
✗ |
\(\frac{\varepsilon}{2}\) |
\(\frac{\varepsilon}{2}\) |
\(\underline{\quad(1)\quad}\) |
\(\underline{\quad}\) |
\(\frac{\varepsilon}{3}\) |
\(\frac{2\varepsilon}{3}\) |
\(\underline{\quad(2)\quad}\) |
\(\underline{\quad}\) |
\(\frac{\varepsilon}{4}\) |
\(\frac{\varepsilon}{4}\) |
\(\underline{\quad(3)\quad}\) |
\(\underline{\quad}\) |
확인 2. 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고 각 행을 판정한 뒤, 통과한 행들의 공통점을 한 문장으로 적어 보자.
답
(1) \(\varepsilon\) ✓ (2) \(\varepsilon\) ✓ (3) \(\frac{\varepsilon}{2}\) ✓.
공통점은 \(p + q \le \varepsilon\)이라는 것 하나다. 배분 방식은 여럿이고 어느 것을 써도
증명이 완성된다. 그중 \(\frac{\varepsilon}{2}\)씩 나누는 배분이 표준으로 쓰이는 이유는
두 항의 취급이 대칭이고 합이 \(\varepsilon\)에 정확히 떨어져 계산이 가장 짧기 때문이다.
배분이 정해졌으면 그 값으로 정의를 발동해야 한다.
확인 3. 정의 45.1을 \(\frac{\varepsilon}{2}\)에 대해 발동할 권리는 어디서 나오는가. \(\varepsilon\) 대신 \(-\varepsilon\)을 넣어 발동할 수는 없는데, 그 차이는 무엇인가.
답
정의 45.1의 첫 조각이 \(\forall \varepsilon > 0\)이므로, 양수이기만 하면 무엇이든 그
자리에 넣을 수 있다. \(\varepsilon > 0\)이고 \(2 > 0\)이므로 \(\frac{\varepsilon}{2} > 0\)이고
(근거 ②), 따라서 발동이 허용된다. \(-\varepsilon\)은 양수가 아니므로 \(\forall \varepsilon > 0\)의
범위 밖이고 발동할 수 없다. 조각의 조건 “\(> 0\)”이 정확히 이 경계를 긋는다.
이 배분에 이름을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 정의 45.1을 \(\varepsilon\) 대신 \(\frac{\varepsilon}{2}\)에 대해 발동했을 뿐이다.
백지 암기 대상
\(\varepsilon\)/2 트릭
합의 오차를 \(\varepsilon\) 이내로 만들려면, 두 수렴 정의를 각각 \(\frac{\varepsilon}{2}\)에
대해 발동해 문턱 \(N_1\), \(N_2\)를 받고, \(N = \max(N_1, N_2)\)로 두 조건을 동시에 성립시킨 뒤,
삼각부등식으로 두 오차를 합쳐 \(\frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\)을 만든다.
정리 46.1 — 합의 극한 법칙 [백지 암기 대상]#
\(a_n \to A\)이고 \(b_n \to B\)이면 \(a_n + b_n \to A + B\)이다.
증명은 예제 2.1에서 처음부터 끝까지 함께 쓴다.
3 서식 해부 — 조각마다 하는 일#
\(\varepsilon\)/2 트릭은 네 조각으로 되어 있고, 조각마다 증명에서 맡는 역할이 다르다.
조각 |
하는 일 |
증명에서의 역할 |
|---|---|---|
“\(\frac{\varepsilon}{2} > 0\)이므로” |
발동 자격의 확인 |
정의 45.1의 \(\forall \varepsilon > 0\) 안에 들어옴을 밝힌다(근거 ②) |
두 정의를 \(\frac{\varepsilon}{2}\)로 발동 |
문턱 \(N_1\), \(N_2\) 확보 |
각 수열의 오차를 예산의 절반 이내로 눌러 둔다 |
\(N = \max(N_1, N_2)\) |
두 조건의 동시 성립 |
서로 다른 구간의 부등식 두 개를 한 사슬에 넣을 자격을 만든다 |
\(\frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\) |
예산의 합산 |
사슬의 끝을 정의의 문자 “\(< \varepsilon\)”에 정확히 맞춘다 |
조각 삭제 실험. 셋째 조각을 지우고 \(N = N_1\)으로만 잡아 보자. 그러면 \(n > N\)인 \(n\)에 대해 \(|a_n - A| < \frac{\varepsilon}{2}\)은 성립하지만, \(n > N_2\)라는 보장이 없으므로 \(|b_n - B| < \frac{\varepsilon}{2}\)은 쓸 수 없다.
확인 4. \(\max\) 조각을 지웠을 때 정확히 어느 문장이 근거를 잃는가. \(N = \min(N_1, N_2)\)로 잡으면 문제가 해결되는가.
답
근거를 잃는 것은 사슬의 둘째 부등식 \(|b_n - B| < \frac{\varepsilon}{2}\)이다. \(b\) 쪽 정의가
보장하는 것은 \(n > N_2\)일 때뿐인데, \(n > N_1\)만으로는 \(n > N_2\)가 따라 나오지 않는다.
\(\min\)으로 잡아도 해결되지 않는다 — 작은 쪽을 넘는 것은 큰 쪽을 넘는다는 보장이 아니므로,
\(N_1 < N_2\)일 때 \(N_1 < n \le N_2\)인 \(n\)에서 둘째 부등식이 다시 근거를 잃는다.
동시에 성립시키려면 큰 쪽을 넘겨야 한다 — 그것이 \(\max\)다.
4 상수배 법칙 — 예산을 계수로 나눈다#
정리 46.2 — 상수배 법칙 [백지 암기 대상]#
실수 \(c\)에 대해, \(a_n \to A\)이면 \(c\,a_n \to cA\)이다.
\(|c\,a_n - cA| = |c|\,|a_n - A|\)이므로(17주차 문제 10), 최종 오차를 \(\varepsilon\) 이내로 만들려면 \(|a_n - A|\)를 \(\frac{\varepsilon}{|c|}\) 이내로 누르면 된다. 배분의 방식만 다를 뿐 §1.2와 같은 계산이다. 완전한 증명은 문제 7에서 쓴다.
확인 5. 위 문단의 논증이 \(c = 0\)에서는 그대로 쓰이지 못한다. 무엇이 막히며, \(c = 0\)인 경우는 어떻게 처리하는가.
답
\(\frac{\varepsilon}{|c|}\)이 \(c = 0\)에서 정의되지 않는다(0으로 나눌 수 없다). 그러나
\(c = 0\)이면 \(c\,a_n\)은 모든 항이 0인 상수열이고 \(cA = 0\)이므로, 45주차 문제 3(상수열의
수렴)을 인용하면 곧바로 끝난다. 따라서 증명은 \(c = 0\)과 \(c \neq 0\)의 두 경우로 나눈다 —
나누는 이유가 “혹시 몰라서”가 아니라 식이 정의되지 않는 지점이 있어서라는 점이 중요하다.
두 법칙을 조립하면 \(\frac{2n^2 + 3n}{n^2} = 2 + 3 \cdot \frac{1}{n}\) 같은 계산이 정리 인용만으로 처리된다. \(\frac{1}{n} \to 0\)(45주차 예제 2.1)에 정리 46.2(\(c = 3\))를 쓰면 \(\frac{3}{n} \to 3 \cdot 0 = 0\)이고, 여기에 상수열 \(2 \to 2\)(45주차 문제 3)를 얹어 정리 46.1을 쓰면 극한이 \(2 + 0 = 2\)로 나온다. 계수가 붙은 항은 정리 46.2로 떼어 낸 뒤 정리 46.1로 합친다 — 고등학교에서 계산 규칙으로 쓰던 것들이 여기서 증명된 정리가 되고, 그때부터 근거 ④로 인용할 수 있다.
5 샌드위치 정리 — 양쪽에서 조인다#
식이 지저분하거나 부호가 진동해서 \(|a_n - L|\)을 직접 정리하기 어려운 수열이 있다. 그때는 위아래로 아는 수열을 대어 조인다.
정리 46.3 — 샌드위치(조임) 정리 [백지 암기 대상]#
어떤 문턱 이후 모든 \(n\)에 대해 \(a_n \le b_n \le c_n\)이고, \(a_n \to L\)이며 \(c_n \to L\)이면
\(b_n \to L\)이다.
증명의 그림은 구간 번역이다. \(n\)이 크면 \(a_n\)과 \(c_n\)이 모두 구간 \((L - \varepsilon,\ L + \varepsilon)\) 안에 들어가고, 그 사이에 낀 \(b_n\)은 갈 곳이 없다. 완전한 증명은 예제 2.2에서 쓴다.
확인 6. 정리 46.3에서 “\(c_n \to L\)” 조각을 지우면 무엇이 무너지는가. 또 양끝의 극한이 서로 달라도 되게 하면 무엇이 무너지는가. 각각 반례를 하나씩 만들어 보자.
답
“\(c_n \to L\)”을 지우면 위쪽 통제가 사라진다. \(a_n = 0\), \(b_n = n\), \(c_n = n^2\)로 잡으면
\(a_n \le b_n \le c_n\)이고 \(a_n \to 0\)이지만 \(b_n\)은 어떤 실수로도 수렴하지 않는다(문제 15의
결과로 유계가 아니므로 수렴할 수 없다).
양끝의 극한이 달라도 되게 하면 \(a_n = -1 \to -1\), \(b_n = (-1)^n\), \(c_n = 1 \to 1\)이 조건을
통과하지만 \(b_n\)은 발산한다(45주차 예제 2.3). 두 조각이 함께 있어야 \(b_n\)이 갇히는 구간이
하나로 좁혀진다.
6 급수 — 무한합을 판정 가능한 문장으로#
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots\)처럼 항이 끝나지 않는 덧셈에 값을 붙이는 일은 아직 정의된 적이 없다. 덧셈은 두 수에 대해 정의된 연산이고, 두 수의 덧셈을 유한 번 반복하는 것까지만 뜻이 있다. 그래서 무한합을 새로 정의하는 대신, 유한합을 차례로 나열해 수열로 만들고 45주차의 정의를 재사용한다. 먼저 그 유한합을 계산해 보자.
\(n\) |
\(S_n = \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2^n}\) |
값 |
\(1 - S_n\) |
|---|---|---|---|
\(1\) |
\(\frac{1}{2}\) |
\(\frac{1}{2}\) |
\(\frac{1}{2}\) |
\(2\) |
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\) |
\(\underline{\quad(1)\quad}\) |
\(\underline{\quad}\) |
\(3\) |
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\) |
\(\underline{\quad(2)\quad}\) |
\(\underline{\quad}\) |
\(4\) |
\(\frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{16}\) |
\(\underline{\quad(3)\quad}\) |
\(\underline{\quad}\) |
확인 7. 빈칸 (1)(2)(3)과 마지막 열을 채우고, “\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1\)”이라는 문장이 이 표의 어느 열에 대한 어떤 주장인지 한 문장으로 적어 보자.
답
(1) \(\frac{3}{4}\) (2) \(\frac{7}{8}\) (3) \(\frac{15}{16}\). 마지막 열은 차례로
\(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}\)이므로 \(S_n = 1 - \frac{1}{2^n}\)이다.
“합이 1”이라는 문장은 셋째 열의 수열 \((S_n)\)이 1로 수렴한다는 주장이다 — 무한개를
실제로 더한다는 뜻이 아니라, 유한합의 수열에 정의 45.1을 적용한 극한 명제다.
무한합의 신비는 여기서 사라지고, 이미 아는 질문 하나만 남는다.
이 관찰에 정식 이름과 기호를 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일에 이름을 붙였을 뿐이다.
정의 46.1 — 급수와 부분합 (series, partial sum) [백지 암기 대상]#
수열 \((a_i)\)에 대해 \(S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i\)를 \(n\)번째 부분합이라 하고, 수열 \((S_n)\)을
부분합 수열이라 한다. 부분합 수열이 실수 \(L\)로 수렴하면 급수
\(\sum_{i=1}^{\infty} a_i\)가 \(L\)로 수렴한다고 하고
로 쓴다. 부분합 수열이 발산하면 급수가 발산한다고 한다.
기호 \(\sum_{i=1}^{n} a_i\)는 “아이가 1부터 엔까지 에이 아이의 합”으로 읽고, \(\sum_{i=1}^{\infty} a_i\)는 “아이가 1부터 무한대까지 에이 아이의 합”으로 읽는다. 위끝의 \(\infty\)는 “무한대까지 실제로 더한다”는 지시가 아니라 부분합 수열의 극한을 가리키는 표기다 — 읽는 법까지가 정의다.
7 정의 해부 — 조각마다 하는 일#
조각 |
하는 일 |
판정에서의 역할 |
|---|---|---|
“\(S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i\)” |
유한합만 만든다 |
정의되지 않은 무한 덧셈을 한 번도 하지 않는다 |
“수열 \((S_n)\)이” |
판정 대상의 교체 |
급수 문제가 45주차의 수열 문제로 바뀐다 |
“\(L\)로 수렴하면” |
정의 45.1의 인용 |
\(\varepsilon\)-N 서식을 그대로 쓴다 — 새 판정 절차가 없다 |
“\(\sum_{i=1}^{\infty} a_i = L\)로 쓴다” |
표기의 약속 |
이 등호는 근사가 아니라 극한값의 지정이다 |
조각 삭제 실험. 첫째 조각을 지우고 “무한히 많은 항을 전부 더한 값”을 급수의 값으로 삼아 보자. \(1 - 1 + 1 - 1 + \cdots\)에 이 방식을 적용하면 \((1-1) + (1-1) + \cdots = 0\)으로도, \(1 - (1-1) - (1-1) - \cdots = 1\)로도 묶을 수 있다.
확인 8. 조각 삭제 실험에서 정확히 무엇이 무너지는가. 정의 46.1로 판정하면 이 급수는 어떻게 처리되는가.
답
값이 하나로 정해지지 않는다 — 묶는 방식에 따라 0도 되고 1도 되므로, 등호의 오른쪽이
무엇을 가리키는지 표기가 지정하지 못한다. 45주차 확인 4에서 극한의 유일성이 없으면
\(\lim\) 표기가 무너진다고 확인한 것과 같은 붕괴다.
정의 46.1로 판정하면 부분합은 \(S_1 = 1, S_2 = 0, S_3 = 1, S_4 = 0, \dots\)이다. 이 수열이
수렴한다고 가정하고 \(\varepsilon = \frac{1}{2}\)로 발동하면, 어떤 문턱 뒤의 홀수 번째와 짝수
번째를 각각 잡아 \(|1 - L| < \frac{1}{2}\)과 \(|0 - L| < \frac{1}{2}\)을 동시에 얻는다.
삼각부등식에 의해 \(1 = |(1 - L) + L| \le |1 - L| + |L| < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)이
되어 모순이므로 발산한다. 즉 “값이 정해지지 않는다”가 아니라 발산한다는 판정이 나온다 —
정의가 애매함을 판정으로 바꾼 자리다.
8 세 급수의 서로 다른 운명#
같은 정의로 판정했을 때 결과는 극적으로 갈린다.
급수 |
부분합 |
판정 |
근거 |
|---|---|---|---|
\(\sum \frac{1}{2^i}\) |
\(S_n = 1 - \frac{1}{2^n}\) |
수렴(합 \(= 1\)) |
31주차 문제 11 + 훈련 1 |
\(\sum \frac{1}{i}\) |
\(S_{2^k} \ge 1 + \frac{k}{2}\) |
발산 |
예제 2.3의 묶음 논증 |
\(\sum \frac{1}{i^2}\) |
\(S_n \le 2 - \frac{1}{n} < 2\) |
수렴 |
32주차 문제 10 + 아래 상자 |
이번 주에 인정하고 쓰는 사실 — 단조수렴정리 (monotone convergence theorem)
증가하는 수열이 위로 유계이면 수렴한다. 증명에는 실수의 완비성이 필요하므로 이 과정에서는
유도하지 않고 인정하며 근거 ④로 쓴다 — 45주차의 아르키메데스 성질과 같은 자격이다.
\(\sum \frac{1}{i^2}\)의 부분합은 항이 모두 양수라 증가하고 32주차 문제 10에 의해 2 미만이므로,
이 사실을 인용하면 수렴이 나온다. 합의 값은 이 도구로는 나오지 않는다.
세 급수 모두 항이 0으로 간다. 그런데 하나는 발산한다.
확인 9. 세 급수 모두 \(a_i \to 0\)인데 운명이 갈렸다. “항이 0으로 간다”는 수렴의 필요조건인가 충분조건인가. 8주차의 낱말로 답하고, 그 판정의 근거가 되는 사례를 지목해 보자.
답
필요조건이지 충분조건이 아니다. 필요조건인 것은 문제 19에서 증명한다 — 급수가 수렴하면
항은 반드시 0으로 간다. 충분조건이 아닌 것은 조화급수가 보인다 — \(\frac{1}{i} \to 0\)이지만
\(\sum \frac{1}{i}\)은 발산하므로, “항이 0으로 감”에서 “급수가 수렴함”으로 가는 화살표는
거짓이고 조화급수가 그 반례다. 이 거짓 화살표에서 조화급수는 꼬리 쪽 조건(항이 0으로 감)만
만족하고 머리 쪽(급수가 수렴함)을 만족하지 않는다. 8주차의 표현으로 바꾸어 적으면, 참인
화살표는 “급수가 수렴함 \(\Rightarrow\) 항이 0으로 감”이고, 조화급수는 그 머리 쪽(항이 0으로 감)만
만족하고 꼬리 쪽(급수가 수렴함)을 만족하지 않는 사례다 — 머리 쪽에 놓인 조건이 필요조건이다.
무엇이 운명을 가르는지는 항의 크기가 아니라 줄어드는 속도다. \(\frac{1}{i}\)은 값이 절반이 되는 데 항의 개수가 두 배 필요할 만큼 느리게 줄어들고, 그 느림이 예제 2.3의 묶음마다 \(\frac{1}{2}\)씩을 남긴다. \(\frac{1}{i^2}\)은 훨씬 빨리 줄어 부분합이 천장 아래 갇힌다.
9 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개#
칸의 개수는 늘지 않는다. ① 칸에 정의 46.1이 추가되고, ④ 칸에 이번 주가 증명하는 정리 셋과 채택하는 사실 둘(단조수렴정리, 유한개의 최댓값)이 들어올 뿐이다.
근거 |
내용 |
이번 주에는 이렇게 쓴다 |
|---|---|---|
① 정의 |
지금까지의 정의들 + 정의 45.1(수렴) + 정의 46.1(급수) |
“급수가 \(L\)로 수렴한다”와 “부분합 수열이 \(L\)로 수렴한다” 사이를 번역한다 |
② 닫힘성 |
양수의 합\(\cdot\)곱\(\cdot\)역수는 양수 ((W4)(W5)) |
\(\frac{\varepsilon}{2} > 0\), \(\frac{\varepsilon}{\lvert c \rvert} > 0\)을 설명 없이 쓴다 |
③ 등식\(\cdot\)부등식의 성질 |
대입\(\cdot\)전개\(\cdot\)묶기 + (W1)~(W6)(16주차) |
부등식 사슬을 (W6) 추이성으로 잇고, 양변에 양수를 곱한다 |
④ 이미 증명한 명제\(\cdot\)채택한 사실 |
삼각부등식(17주차 문제 12), 절댓값 보조정리(17주차 문제 11), \(\lvert xy \rvert = \lvert x \rvert \lvert y \rvert\)(17주차 문제 10), \(\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert\)(17주차 문제 4), \(\lvert x \rvert \ge 0\)과 \(x \neq 0 \Rightarrow \lvert x \rvert > 0\)(17주차 문제 3 + 절댓값의 케이스 정의), 아르키메데스 성질(45주차 §1.5), 상수열의 수렴(45주차 문제 3), \(\lim \frac1n = 0\)(45주차 예제 2.1), \(\lim \frac{1}{n^2} = 0\)(45주차 훈련 1\(\cdot\)문제 4), \(\lim \frac{n}{n+1} = 1\)(45주차 문제 9), 등비합과 망원합(31주차 문제 10\(\cdot\)11\(\cdot\)18), \(n < 2^n\)(31주차 문제 16), \(\sum \frac{1}{i^2} \le 2 - \frac1n\)(32주차 문제 10), 베르누이 부등식(32주차 문제 11), 처음 유한 개 항은 극한에 영향을 주지 않는다(문제 19에서 문턱을 하나 올려 확인한다), 정리 46.1~46.3(이번 주), 단조수렴정리(이번 주 채택), 유한개의 실수에는 최댓값이 존재한다(이번 주 채택 — 문제 15) |
극한 계산을 \(\varepsilon\)-N 증명 대신 정리 인용으로 처리하고, 부분합의 닫힌 꼴은 귀납법으로 확보한 공식을 인용한다 |
목록 밖의 것은 근거가 되지 않는다. “무한히 더하면 1에 가까워지니까”는 목록에 없다 — 같은 취지를 “부분합 \(S_n = 1 - \frac{1}{2^n}\)이 1로 수렴한다”로 적어야 근거 ①이 되어 허용된다.
확인 10. 다음 세 문장은 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가.
(가) “\(\frac{\varepsilon}{2} > 0\)이므로 정의 45.1을 이 값에 대해 발동한다”
(나) “\(\sum \frac{1}{i^2}\)의 부분합은 증가하고 2보다 작으므로 수렴한다”
(다) “\(\frac{1}{i} \to 0\)이므로 \(\sum \frac{1}{i}\)도 수렴한다”
답
(가) 허용 — 근거 ②로 양수임을 확인하고 근거 ①로 정의를 발동한 것이다.
(나) 허용 — 근거 ④. 유계는 32주차 문제 10에서 나오고, 증가는 항 \(\frac{1}{i^2}\)이 모두
양수라는 데서 나오며(근거 ②), 결론은 이번 주에 채택한 단조수렴정리를 인용한다.
인용한 이름을 적으면 완결된다.
(다) 불허. 그런 정리가 목록에 없다. 실제로 이 추론은 거짓이며 조화급수가 반례다 —
화살표의 방향이 반대로 뒤집힌 형태이고, 그 정확한 판정이 문제 19다.
정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 정의 46.1은 §1.7의 조각별 역할과 함께 외운다. 문장을 잊어도 “무한합을 유한합의 수열로 바꾼다”는 역할에서 재구성할 수 있다.