# 46주차 — 극한 법칙과 급수 맛보기 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 오차 한도 $\varepsilon$을 두 항에 $\frac{\varepsilon}{2}$씩 나누어 배분하면, 두 개의 수렴을 하나로 합칠 수 있다. **이 주의 위치**: 50주 과정의 46주차, 10부(해석학 입문)의 둘째 주. 45주차에서 세운 $\varepsilon$-N 정의를 도구로 삼아 극한 법칙을 증명하고, 31~32주차에서 귀납법으로 확보한 합 공식과 부등식을 급수의 극한으로 청산한다. **원서 대응**: BoP(Book of Proof) 13장 중반(Limit Laws, Series). 병행자 참고용이며, 이 교재는 원서 없이 읽을 수 있다. ::: ## 이번 주 목표 1. 합의 극한 법칙($a_n + b_n \to A + B$)을 **$\varepsilon$/2 트릭**으로 증명하고, 그 세 부품(예산 배분 $\cdot$ $\max$ 문턱 $\cdot$ 삼각부등식)을 백지에서 재현할 수 있다. 1. 상수배 법칙과 샌드위치(조임) 정리를 증명하고, 두 법칙을 조립해 극한 계산을 정리 인용으로 처리할 수 있다. 1. **급수**를 부분합 수열의 극한으로 정의하고, 그 정의로 $\sum \frac{1}{2^i} = 1$을 증명한다. 1. 조화급수의 발산을 묶음 논증으로 증명하고, "항이 0으로 간다"가 필요조건일 뿐임을 설명할 수 있다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (45주차 복습) 1. 수렴의 $\varepsilon$-N 정의(정의 45.1)를 백지에 쓰시오. 1. 극한의 유일성 증명(45주차 문제 11)에서 쓴 두 부품($\max$ 문턱, 삼각부등식)이 각각 무엇을 해결했는지 말로 재현하시오. 1. $\lim \frac{5}{2n-1} = 0$의 증명에서 쓴 "눌러놓기" 한 수를 재현하시오 (45주차 문제 10). 1. $a_n \to A$이고 $b_n \to B$이면 $a_n + b_n \to A + B$인 것은 당연해 보인다. 이 주장을 정의 45.1로 증명하려 할 때 **우리가 만들어 내야 하는 대상**이 무엇인지 한 문장으로 쓰시오. :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown **1.** $\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ (n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon)$. 세 양화사의 순서까지가 정의다 — $N$은 $\varepsilon$을 보고 정한다. **2.** $\max$ 문턱은 두 개의 수렴 정의에서 받은 문턱 $N_1$, $N_2$를 **동시에** 넘는 $n$을 확보한다(큰 쪽을 넘으면 작은 쪽도 넘는다). 삼각부등식은 직접 비교할 수 없는 두 값을 공통의 세 번째 값을 경유해 잇는다. **3.** $n \ge 1$이면 $2n - 1 \ge n$이므로 $\frac{5}{2n-1} \le \frac{5}{n}$ — 분모를 더 작은 것으로 바꿔 분수를 위에서 눌러 두고, 문턱은 $\frac{1}{N} < \frac{\varepsilon}{5}$로 잡는다. **4.** 아래의 유형 분석과 §1.1이 답을 대신한다. 자신의 답이 세 유형 중 어느 것인지 대조한 뒤 §1.2로 넘어간다. ::: ### 자주 나오는 세 가지 답 — 4번 문항 방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 결론의 재선언.** "각각 가까워지므로 합도 가까워진다"라고 적는다. 결론 자체는 참이고, 직관도 정확하다. 빠진 것은 만들어 낼 대상이다 — 정의 45.1이 요구하는 것은 "가까워진다"는 서술이 아니라 자연수 $N$ 하나를 제시하는 절차이고, 그 $N$이 답안에 없다. 45주차 §0 유형 1에서 한 번 지나온 자리다. - **유형 2 — 두 문턱을 받고 정지.** 두 정의를 발동해 $N_1$과 $N_2$를 받아 적은 뒤 멈춘다. 재료를 정확히 모았다. 남은 문제는 두 조건이 서로 다른 구간에서 성립한다는 것이다 — $n > N_1$과 $n > N_2$를 **동시에** 만족하는 $n$을 확보해야 두 부등식을 한 사슬에 넣을 수 있고, 그 도구가 45주차 문제 11의 $\max$ 문턱이다. - **유형 3 — $2\varepsilon$에서 정지.** 두 정의를 $\varepsilon$으로 발동해 사슬을 세우고 $\cdots < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon$을 얻은 뒤 "정의의 $< \varepsilon$과 다르므로 실패"라고 판정한다. 계산은 한 줄도 틀리지 않았다. 남은 것은 배분이다 — 처음부터 각 정의를 $\frac{\varepsilon}{2}$로 발동하면 같은 사슬의 끝이 $\varepsilon$이 된다. (이 답안이 정말 실패인지는 문제 18에서 판정한다.) ## 개념 — 여러 수렴을 하나로 합치기 ### 1 정의만으로 합의 극한을 시도하면 어디서 막히는가 45주차의 도구는 정의 45.1 하나다. 그 하나만으로 이번 주의 대표 명제를 밀어붙여 보자. :::{admonition} 시도 — 정의를 그대로 두 번 발동하기 :class: quotebox 명제: $a_n \to A$이고 $b_n \to B$이면 $a_n + b_n \to A + B$. "$\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $a_n \to A$이므로 자연수 $N_1$이 존재하여 $n > N_1$이면 $|a_n - A| < \varepsilon$이다. $b_n \to B$이므로 자연수 $N_2$가 존재하여 $n > N_2$이면 $|b_n - B| < \varepsilon$이다. 그러면 삼각부등식에 의해 $|(a_n + b_n) - (A + B)| \le |a_n - A| + |b_n - B| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon$ 이다. 따라서 … " ::: 여기서 멈춘다. 정확히 두 곳이 어긋나 있다. 첫째, 두 부등식은 각각 $n > N_1$과 $n > N_2$에서만 성립하는데 사슬은 둘을 같은 $n$에서 함께 썼다 — 그런 $n$이 있다는 말을 아직 하지 않았다. 둘째, 사슬의 끝이 $2\varepsilon$인데 정의 45.1이 요구하는 문자는 $< \varepsilon$이다. :::{container} quotebox **확인 1.** 위의 두 어긋남 중 하나는 45주차에서 이미 해결한 도구가 있다. 어느 쪽이며 그 도구는 무엇인가. 남은 하나는 무엇을 새로 정해야 메워지는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 첫째 어긋남은 45주차 문제 11의 $\max$ 문턱이 해결한다 — $N = \max(N_1, N_2)$로 잡으면 $n > N$인 $n$은 $N_1$과 $N_2$를 동시에 넘으므로 두 부등식이 함께 성립한다. 남은 것은 둘째 어긋남이고, 새로 정해야 할 것은 **각 항을 얼마 이내로 누를 것인가**이다. 두 항 각각을 $\varepsilon$까지 허용했기 때문에 합이 $2\varepsilon$까지 커진 것이므로, 허용치를 미리 나누어 배분하면 된다. §1.2가 그 배분을 정한다. ::: :::{admonition} 이 주 전체의 기준 :class: quotebox 정의 45.1의 $\forall \varepsilon$은 "$\varepsilon$ 자리에 아무 양수나 넣어 발동할 수 있다"는 권리다. 오차 한도를 나누어 쓰는 모든 기술이 이 권리 위에 서 있다. ::: ### 2 오차 한도를 나누어 본다 — 표를 채워 트릭 만들기 두 항에 허용할 오차 상한을 각각 $p$, $q$라고 하자. 삼각부등식이 주는 사슬은 $$ |(a_n + b_n) - (A + B)| \le |a_n - A| + |b_n - B| < p + q $$ 이므로, 정의가 요구하는 $< \varepsilon$이 나오려면 $p + q \le \varepsilon$이면 된다. 몇 가지 배분을 실제로 계산해 보자. | **첫 항의 상한 $p$** | **둘째 항의 상한 $q$** | **합의 상한 $p + q$** | **$\varepsilon$ 이하인가** | |---|---|---|---| | $\varepsilon$ | $\varepsilon$ | $2\varepsilon$ | ✗ | | $\frac{\varepsilon}{2}$ | $\frac{\varepsilon}{2}$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad}$ | | $\frac{\varepsilon}{3}$ | $\frac{2\varepsilon}{3}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | $\underline{\quad}$ | | $\frac{\varepsilon}{4}$ | $\frac{\varepsilon}{4}$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | $\underline{\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 2.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고 각 행을 판정한 뒤, 통과한 행들의 공통점을 한 문장으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $\varepsilon$ ✓ (2) $\varepsilon$ ✓ (3) $\frac{\varepsilon}{2}$ ✓. 공통점은 $p + q \le \varepsilon$이라는 것 하나다. 배분 방식은 여럿이고 어느 것을 써도 증명이 완성된다. 그중 $\frac{\varepsilon}{2}$씩 나누는 배분이 표준으로 쓰이는 이유는 두 항의 취급이 대칭이고 합이 $\varepsilon$에 정확히 떨어져 계산이 가장 짧기 때문이다. ::: 배분이 정해졌으면 그 값으로 정의를 발동해야 한다. :::{container} quotebox **확인 3.** 정의 45.1을 $\frac{\varepsilon}{2}$에 대해 발동할 권리는 어디서 나오는가. $\varepsilon$ 대신 $-\varepsilon$을 넣어 발동할 수는 없는데, 그 차이는 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 정의 45.1의 첫 조각이 $\forall \varepsilon > 0$이므로, **양수이기만 하면** 무엇이든 그 자리에 넣을 수 있다. $\varepsilon > 0$이고 $2 > 0$이므로 $\frac{\varepsilon}{2} > 0$이고 (근거 ②), 따라서 발동이 허용된다. $-\varepsilon$은 양수가 아니므로 $\forall \varepsilon > 0$의 범위 밖이고 발동할 수 없다. 조각의 조건 "$> 0$"이 정확히 이 경계를 긋는다. ::: 이 배분에 이름을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 정의 45.1을 $\varepsilon$ 대신 $\frac{\varepsilon}{2}$에 대해 발동했을 뿐이다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **$\varepsilon$/2 트릭** 합의 오차를 $\varepsilon$ 이내로 만들려면, 두 수렴 정의를 각각 $\frac{\varepsilon}{2}$에 대해 발동해 문턱 $N_1$, $N_2$를 받고, $N = \max(N_1, N_2)$로 두 조건을 동시에 성립시킨 뒤, 삼각부등식으로 두 오차를 합쳐 $\frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$을 만든다. ::: ### 정리 46.1 — 합의 극한 법칙 [백지 암기 대상] :::{container} quotebox $a_n \to A$이고 $b_n \to B$이면 $a_n + b_n \to A + B$이다. ::: 증명은 예제 2.1에서 처음부터 끝까지 함께 쓴다. ### 3 서식 해부 — 조각마다 하는 일 $\varepsilon$/2 트릭은 네 조각으로 되어 있고, 조각마다 증명에서 맡는 역할이 다르다. | **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** | |---|---|---| | "$\frac{\varepsilon}{2} > 0$이므로" | 발동 자격의 확인 | 정의 45.1의 $\forall \varepsilon > 0$ 안에 들어옴을 밝힌다(근거 ②) | | 두 정의를 $\frac{\varepsilon}{2}$로 발동 | 문턱 $N_1$, $N_2$ 확보 | 각 수열의 오차를 예산의 절반 이내로 눌러 둔다 | | $N = \max(N_1, N_2)$ | 두 조건의 동시 성립 | 서로 다른 구간의 부등식 두 개를 한 사슬에 넣을 자격을 만든다 | | $\frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$ | 예산의 합산 | 사슬의 끝을 정의의 문자 "$< \varepsilon$"에 정확히 맞춘다 | **조각 삭제 실험.** 셋째 조각을 지우고 $N = N_1$으로만 잡아 보자. 그러면 $n > N$인 $n$에 대해 $|a_n - A| < \frac{\varepsilon}{2}$은 성립하지만, $n > N_2$라는 보장이 없으므로 $|b_n - B| < \frac{\varepsilon}{2}$은 쓸 수 없다. :::{container} quotebox **확인 4.** $\max$ 조각을 지웠을 때 정확히 어느 문장이 근거를 잃는가. $N = \min(N_1, N_2)$로 잡으면 문제가 해결되는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 근거를 잃는 것은 사슬의 둘째 부등식 $|b_n - B| < \frac{\varepsilon}{2}$이다. $b$ 쪽 정의가 보장하는 것은 $n > N_2$일 때뿐인데, $n > N_1$만으로는 $n > N_2$가 따라 나오지 않는다. $\min$으로 잡아도 해결되지 않는다 — 작은 쪽을 넘는 것은 큰 쪽을 넘는다는 보장이 아니므로, $N_1 < N_2$일 때 $N_1 < n \le N_2$인 $n$에서 둘째 부등식이 다시 근거를 잃는다. **동시에 성립시키려면 큰 쪽을 넘겨야 한다** — 그것이 $\max$다. ::: ### 4 상수배 법칙 — 예산을 계수로 나눈다 ### 정리 46.2 — 상수배 법칙 [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 실수 $c$에 대해, $a_n \to A$이면 $c\,a_n \to cA$이다. ::: $|c\,a_n - cA| = |c|\,|a_n - A|$이므로(17주차 문제 10), 최종 오차를 $\varepsilon$ 이내로 만들려면 $|a_n - A|$를 $\frac{\varepsilon}{|c|}$ 이내로 누르면 된다. 배분의 방식만 다를 뿐 §1.2와 같은 계산이다. 완전한 증명은 문제 7에서 쓴다. :::{container} quotebox **확인 5.** 위 문단의 논증이 $c = 0$에서는 그대로 쓰이지 못한다. 무엇이 막히며, $c = 0$인 경우는 어떻게 처리하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $\frac{\varepsilon}{|c|}$이 $c = 0$에서 정의되지 않는다(0으로 나눌 수 없다). 그러나 $c = 0$이면 $c\,a_n$은 모든 항이 0인 상수열이고 $cA = 0$이므로, 45주차 문제 3(상수열의 수렴)을 인용하면 곧바로 끝난다. 따라서 증명은 $c = 0$과 $c \neq 0$의 두 경우로 나눈다 — 나누는 이유가 "혹시 몰라서"가 아니라 **식이 정의되지 않는 지점이 있어서**라는 점이 중요하다. ::: 두 법칙을 조립하면 $\frac{2n^2 + 3n}{n^2} = 2 + 3 \cdot \frac{1}{n}$ 같은 계산이 정리 인용만으로 처리된다. $\frac{1}{n} \to 0$(45주차 예제 2.1)에 정리 46.2($c = 3$)를 쓰면 $\frac{3}{n} \to 3 \cdot 0 = 0$이고, 여기에 상수열 $2 \to 2$(45주차 문제 3)를 얹어 정리 46.1을 쓰면 극한이 $2 + 0 = 2$로 나온다. 계수가 붙은 항은 정리 46.2로 떼어 낸 뒤 정리 46.1로 합친다 — 고등학교에서 계산 규칙으로 쓰던 것들이 여기서 증명된 정리가 되고, 그때부터 근거 ④로 인용할 수 있다. ### 5 샌드위치 정리 — 양쪽에서 조인다 식이 지저분하거나 부호가 진동해서 $|a_n - L|$을 직접 정리하기 어려운 수열이 있다. 그때는 위아래로 아는 수열을 대어 조인다. ### 정리 46.3 — 샌드위치(조임) 정리 [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 어떤 문턱 이후 모든 $n$에 대해 $a_n \le b_n \le c_n$이고, $a_n \to L$이며 $c_n \to L$이면 $b_n \to L$이다. ::: 증명의 그림은 구간 번역이다. $n$이 크면 $a_n$과 $c_n$이 모두 구간 $(L - \varepsilon,\ L + \varepsilon)$ 안에 들어가고, 그 사이에 낀 $b_n$은 갈 곳이 없다. 완전한 증명은 예제 2.2에서 쓴다. :::{container} quotebox **확인 6.** 정리 46.3에서 "$c_n \to L$" 조각을 지우면 무엇이 무너지는가. 또 양끝의 극한이 서로 달라도 되게 하면 무엇이 무너지는가. 각각 반례를 하나씩 만들어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$c_n \to L$"을 지우면 위쪽 통제가 사라진다. $a_n = 0$, $b_n = n$, $c_n = n^2$로 잡으면 $a_n \le b_n \le c_n$이고 $a_n \to 0$이지만 $b_n$은 어떤 실수로도 수렴하지 않는다(문제 15의 결과로 유계가 아니므로 수렴할 수 없다). 양끝의 극한이 달라도 되게 하면 $a_n = -1 \to -1$, $b_n = (-1)^n$, $c_n = 1 \to 1$이 조건을 통과하지만 $b_n$은 발산한다(45주차 예제 2.3). 두 조각이 함께 있어야 $b_n$이 갇히는 구간이 하나로 좁혀진다. ::: ### 6 급수 — 무한합을 판정 가능한 문장으로 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$처럼 항이 끝나지 않는 덧셈에 값을 붙이는 일은 아직 정의된 적이 없다. 덧셈은 두 수에 대해 정의된 연산이고, 두 수의 덧셈을 유한 번 반복하는 것까지만 뜻이 있다. 그래서 무한합을 새로 정의하는 대신, 유한합을 차례로 나열해 수열로 만들고 45주차의 정의를 재사용한다. 먼저 그 유한합을 계산해 보자. | **$n$** | **$S_n = \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2^n}$** | **값** | **$1 - S_n$** | |---|---|---|---| | $1$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | | $2$ | $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad}$ | | $3$ | $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | $\underline{\quad}$ | | $4$ | $\frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{16}$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | $\underline{\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 7.** 빈칸 (1)(2)(3)과 마지막 열을 채우고, "$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1$"이라는 문장이 이 표의 어느 열에 대한 어떤 주장인지 한 문장으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $\frac{3}{4}$ (2) $\frac{7}{8}$ (3) $\frac{15}{16}$. 마지막 열은 차례로 $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$이므로 $S_n = 1 - \frac{1}{2^n}$이다. "합이 1"이라는 문장은 셋째 열의 수열 $(S_n)$이 1로 **수렴한다**는 주장이다 — 무한개를 실제로 더한다는 뜻이 아니라, 유한합의 수열에 정의 45.1을 적용한 극한 명제다. 무한합의 신비는 여기서 사라지고, 이미 아는 질문 하나만 남는다. ::: 이 관찰에 정식 이름과 기호를 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일에 이름을 붙였을 뿐이다. ### 정의 46.1 — 급수와 부분합 (series, partial sum) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 수열 $(a_i)$에 대해 $S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i$를 $n$번째 **부분합**이라 하고, 수열 $(S_n)$을 부분합 수열이라 한다. 부분합 수열이 실수 $L$로 수렴하면 **급수** $\sum_{i=1}^{\infty} a_i$가 $L$로 **수렴한다**고 하고 $$ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = L \iff \lim_{n \to \infty} S_n = L $$ 로 쓴다. 부분합 수열이 발산하면 급수가 **발산한다**고 한다. ::: 기호 $\sum_{i=1}^{n} a_i$는 "아이가 1부터 엔까지 에이 아이의 합"으로 읽고, $\sum_{i=1}^{\infty} a_i$는 "아이가 1부터 무한대까지 에이 아이의 합"으로 읽는다. 위끝의 $\infty$는 "무한대까지 실제로 더한다"는 지시가 아니라 부분합 수열의 극한을 가리키는 표기다 — 읽는 법까지가 정의다. ### 7 정의 해부 — 조각마다 하는 일 | **조각** | **하는 일** | **판정에서의 역할** | |---|---|---| | "$S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i$" | 유한합만 만든다 | 정의되지 않은 무한 덧셈을 한 번도 하지 않는다 | | "수열 $(S_n)$이" | 판정 대상의 교체 | 급수 문제가 45주차의 수열 문제로 바뀐다 | | "$L$로 수렴하면" | 정의 45.1의 인용 | $\varepsilon$-N 서식을 그대로 쓴다 — 새 판정 절차가 없다 | | "$\sum_{i=1}^{\infty} a_i = L$로 쓴다" | 표기의 약속 | 이 등호는 근사가 아니라 극한값의 지정이다 | **조각 삭제 실험.** 첫째 조각을 지우고 "무한히 많은 항을 전부 더한 값"을 급수의 값으로 삼아 보자. $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$에 이 방식을 적용하면 $(1-1) + (1-1) + \cdots = 0$으로도, $1 - (1-1) - (1-1) - \cdots = 1$로도 묶을 수 있다. :::{container} quotebox **확인 8.** 조각 삭제 실험에서 정확히 무엇이 무너지는가. 정의 46.1로 판정하면 이 급수는 어떻게 처리되는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 값이 **하나로 정해지지 않는다** — 묶는 방식에 따라 0도 되고 1도 되므로, 등호의 오른쪽이 무엇을 가리키는지 표기가 지정하지 못한다. 45주차 확인 4에서 극한의 유일성이 없으면 $\lim$ 표기가 무너진다고 확인한 것과 같은 붕괴다. 정의 46.1로 판정하면 부분합은 $S_1 = 1, S_2 = 0, S_3 = 1, S_4 = 0, \dots$이다. 이 수열이 수렴한다고 가정하고 $\varepsilon = \frac{1}{2}$로 발동하면, 어떤 문턱 뒤의 홀수 번째와 짝수 번째를 각각 잡아 $|1 - L| < \frac{1}{2}$과 $|0 - L| < \frac{1}{2}$을 동시에 얻는다. 삼각부등식에 의해 $1 = |(1 - L) + L| \le |1 - L| + |L| < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$이 되어 모순이므로 발산한다. 즉 "값이 정해지지 않는다"가 아니라 **발산한다**는 판정이 나온다 — 정의가 애매함을 판정으로 바꾼 자리다. ::: ### 8 세 급수의 서로 다른 운명 같은 정의로 판정했을 때 결과는 극적으로 갈린다. | **급수** | **부분합** | **판정** | **근거** | |---|---|---|---| | $\sum \frac{1}{2^i}$ | $S_n = 1 - \frac{1}{2^n}$ | 수렴(합 $= 1$) | 31주차 문제 11 + 훈련 1 | | $\sum \frac{1}{i}$ | $S_{2^k} \ge 1 + \frac{k}{2}$ | 발산 | 예제 2.3의 묶음 논증 | | $\sum \frac{1}{i^2}$ | $S_n \le 2 - \frac{1}{n} < 2$ | 수렴 | 32주차 문제 10 + 아래 상자 | :::{admonition} 이번 주에 인정하고 쓰는 사실 — 단조수렴정리 (monotone convergence theorem) :class: quotebox 증가하는 수열이 위로 유계이면 수렴한다. 증명에는 실수의 완비성이 필요하므로 이 과정에서는 유도하지 않고 인정하며 근거 ④로 쓴다 — 45주차의 아르키메데스 성질과 같은 자격이다. $\sum \frac{1}{i^2}$의 부분합은 항이 모두 양수라 증가하고 32주차 문제 10에 의해 2 미만이므로, 이 사실을 인용하면 수렴이 나온다. 합의 **값**은 이 도구로는 나오지 않는다. ::: 세 급수 모두 항이 0으로 간다. 그런데 하나는 발산한다. :::{container} quotebox **확인 9.** 세 급수 모두 $a_i \to 0$인데 운명이 갈렸다. "항이 0으로 간다"는 수렴의 필요조건인가 충분조건인가. 8주차의 낱말로 답하고, 그 판정의 근거가 되는 사례를 지목해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown **필요조건이지 충분조건이 아니다.** 필요조건인 것은 문제 19에서 증명한다 — 급수가 수렴하면 항은 반드시 0으로 간다. 충분조건이 아닌 것은 조화급수가 보인다 — $\frac{1}{i} \to 0$이지만 $\sum \frac{1}{i}$은 발산하므로, "항이 0으로 감"에서 "급수가 수렴함"으로 가는 화살표는 거짓이고 조화급수가 그 반례다. 이 거짓 화살표에서 조화급수는 꼬리 쪽 조건(항이 0으로 감)만 만족하고 머리 쪽(급수가 수렴함)을 만족하지 않는다. 8주차의 표현으로 바꾸어 적으면, 참인 화살표는 "급수가 수렴함 $\Rightarrow$ 항이 0으로 감"이고, 조화급수는 그 머리 쪽(항이 0으로 감)만 만족하고 꼬리 쪽(급수가 수렴함)을 만족하지 않는 사례다 — 머리 쪽에 놓인 조건이 필요조건이다. ::: 무엇이 운명을 가르는지는 항의 크기가 아니라 줄어드는 속도다. $\frac{1}{i}$은 값이 절반이 되는 데 항의 개수가 두 배 필요할 만큼 느리게 줄어들고, 그 느림이 예제 2.3의 묶음마다 $\frac{1}{2}$씩을 남긴다. $\frac{1}{i^2}$은 훨씬 빨리 줄어 부분합이 천장 아래 갇힌다. ### 9 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개 칸의 개수는 늘지 않는다. ① 칸에 정의 46.1이 추가되고, ④ 칸에 이번 주가 증명하는 정리 셋과 채택하는 사실 둘(단조수렴정리, 유한개의 최댓값)이 들어올 뿐이다. | **근거** | **내용** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | 지금까지의 정의들 + 정의 45.1(수렴) + **정의 46.1(급수)** | "급수가 $L$로 수렴한다"와 "부분합 수열이 $L$로 수렴한다" 사이를 번역한다 | | ② 닫힘성 | 양수의 합$\cdot$곱$\cdot$역수는 양수 ((W4)(W5)) | $\frac{\varepsilon}{2} > 0$, $\frac{\varepsilon}{\lvert c \rvert} > 0$을 설명 없이 쓴다 | | ③ 등식$\cdot$부등식의 성질 | 대입$\cdot$전개$\cdot$묶기 + (W1)~(W6)(16주차) | 부등식 사슬을 (W6) 추이성으로 잇고, 양변에 양수를 곱한다 | | ④ 이미 증명한 명제$\cdot$채택한 사실 | 삼각부등식(17주차 문제 12), 절댓값 보조정리(17주차 문제 11), $\lvert xy \rvert = \lvert x \rvert \lvert y \rvert$(17주차 문제 10), $\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$(17주차 문제 4), $\lvert x \rvert \ge 0$과 $x \neq 0 \Rightarrow \lvert x \rvert > 0$(17주차 문제 3 + 절댓값의 케이스 정의), 아르키메데스 성질(45주차 §1.5), 상수열의 수렴(45주차 문제 3), $\lim \frac1n = 0$(45주차 예제 2.1), $\lim \frac{1}{n^2} = 0$(45주차 훈련 1$\cdot$문제 4), $\lim \frac{n}{n+1} = 1$(45주차 문제 9), 등비합과 망원합(31주차 문제 10$\cdot$11$\cdot$18), $n < 2^n$(31주차 문제 16), $\sum \frac{1}{i^2} \le 2 - \frac1n$(32주차 문제 10), 베르누이 부등식(32주차 문제 11), 처음 유한 개 항은 극한에 영향을 주지 않는다(문제 19에서 문턱을 하나 올려 확인한다), **정리 46.1~46.3(이번 주)**, **단조수렴정리(이번 주 채택)**, **유한개의 실수에는 최댓값이 존재한다(이번 주 채택 — 문제 15)** | 극한 계산을 $\varepsilon$-N 증명 대신 정리 인용으로 처리하고, 부분합의 닫힌 꼴은 귀납법으로 확보한 공식을 인용한다 | 목록 밖의 것은 근거가 되지 않는다. "무한히 더하면 1에 가까워지니까"는 목록에 없다 — 같은 취지를 "부분합 $S_n = 1 - \frac{1}{2^n}$이 1로 수렴한다"로 적어야 근거 ①이 되어 허용된다. :::{container} quotebox **확인 10.** 다음 세 문장은 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가. (가) "$\frac{\varepsilon}{2} > 0$이므로 정의 45.1을 이 값에 대해 발동한다" (나) "$\sum \frac{1}{i^2}$의 부분합은 증가하고 2보다 작으므로 수렴한다" (다) "$\frac{1}{i} \to 0$이므로 $\sum \frac{1}{i}$도 수렴한다" ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 허용 — 근거 ②로 양수임을 확인하고 근거 ①로 정의를 발동한 것이다. (나) 허용 — 근거 ④. 유계는 32주차 문제 10에서 나오고, 증가는 항 $\frac{1}{i^2}$이 모두 양수라는 데서 나오며(근거 ②), 결론은 이번 주에 채택한 단조수렴정리를 인용한다. 인용한 이름을 적으면 완결된다. (다) 불허. 그런 정리가 목록에 없다. 실제로 이 추론은 거짓이며 조화급수가 반례다 — 화살표의 방향이 반대로 뒤집힌 형태이고, 그 정확한 판정이 문제 19다. ::: 정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 정의 46.1은 §1.7의 조각별 역할과 함께 외운다. 문장을 잊어도 "무한합을 유한합의 수열로 바꾼다"는 역할에서 재구성할 수 있다.