1주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

1주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 첫 증명을 함께 만들기#

완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 백지에서 시작해 한 줄씩 만든다. 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다.

예제 2.1 — 짝수 + 짝수 = 짝수#

명제. 짝수와 짝수의 합은 짝수이다.

설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 증명을 쓰기 전에 두 가지를 먼저 정한다. 가정이 주는 것(출발점)과, 만들어야 할 것(도착점)이다. 둘 다 정의로 번역해서 얻는다.

말

수식 번역

가정 (주어진 것)

\(m\), \(n\)은 짝수

\(m = 2a\), \(n = 2b\)인 정수 \(a, b\)가 존재

목표 (만들 것)

\(m + n\)이 짝수

\(m + n = \underline{\quad(?)\quad}\) 꼴을 만든다

확인 7. 목표 칸의 빈칸을 채워 보자. “\(m+n\)이 짝수임을 보인다”를 정의로

번역하면, \(m + n\)을 어떤 꼴로 만들어야 하는가?

답

\(m + n = 2 \times (\text{정수})\) 꼴. §1.3의 표에서 본 대로, 목표 쪽의 “짝수”는

그런 정수를 우리가 실제로 만들어 제시해야 한다는 뜻이다.

출발점(등식 두 개)과 도착점(만들 꼴)이 정해졌다. 그 사이는 계산이다.

1단계 — 대상을 문자로 잡는다. 증명의 첫 문장은 다룰 대상을 무대에 올리는 문장이다. 6이나 14 같은 특정 숫자를 올리면 그 숫자에 대해서만 증명한 것이 된다. 명제는 “모든 짝수”에 대한 주장이므로, 아무 짝수나 대표하는 문자를 올린다. (이것이 실제로 ‘모든’을 처리하는지는 이 절 끝에서 확인한다.)

확인 8. 첫 문장을 완성해 보자: “\(\underline{\quad}\)과 \(\underline{\quad}\)을 짝수라 하자.”

답

“\(m\)과 \(n\)을 짝수라 하자.” 문자는 무엇이든 좋다 — 서로 다르기만 하면 된다.

2단계 — 정의를 풀어 쓴다. “짝수”는 아직 말이다. §1.1에서 본 대로 말로는 계산이 시작되지 않으므로 등식으로 바꾼다. 가정에 “짝수”가 있으므로, §1.3의 표에 따라 각각에서 정수를 받아 온다.

확인 9. 둘째 문장을 완성해 보자:

“정의에 의해 \(m = \underline{\quad}\)인 정수 \(a\)가 존재하고,

\(n = \underline{\quad}\)인 정수 \(\underline{\quad}\)가 존재한다.”

답

\(m = 2a\), \(n = 2b\)인 정수 \(b\). 여기서 \(b\)는 \(a\)와 달라야 한다 — 같은 문자를

쓰면 \(m = n\)이라고 몰래 가정한 셈이 된다(이 절 끝의 ‘자주 하는 실수’ 참고).

3단계 — 도착점의 꼴로 계산한다. 재료(\(2a\), \(2b\))를 목표 꼴 \(2 \times (\text{정수})\)에 맞춰 조립한다.

확인 10. 셋째 문장을 완성해 보자:

“그러면 \(m + n = \underline{\quad} + \underline{\quad} = 2(\,\underline{\quad}\,)\)이다.”

답

\(m + n = 2a + 2b = 2(a + b)\). 분배법칙으로 2를 묶었다 — 근거 ③.

4단계 — 괄호 안이 정수인지 확인한다. \(2(a+b)\)가 짝수이려면 정의의 셋째 조각대로 괄호 안이 정수여야 한다. 괄호 안에 1.5 같은 수가 올 수 있다면 \(3 = 2 \times 1.5\)도 짝수가 되어 §1.3의 붕괴가 재연된다. 이 확인은 형식적 절차가 아니라 정의의 조각 하나를 지키는 문장이다.

확인 11. 넷째 문장을 완성해 보자: “\(\underline{\qquad}\)이므로 \(a + b\)는 정수이다.”

답

“정수의 합은 정수이므로” — 근거 ② 닫힘성. 이 한 마디면 충분하다.

5단계 — 결론을 선언한다. 목표 꼴이 완성되었음을 선언하고 증명 끝 표시를 단다.

확인 12. 마지막 문장을 완성해 보자:

“따라서 \(m + n = \underline{\qquad}\)는 짝수의 정의를 만족하므로 \(\underline{\quad}\)이다. \(\blacksquare\)”

답

“따라서 \(m + n = 2(a+b)\)는 짝수의 정의를 만족하므로 짝수이다. \(\blacksquare\)”

(\(\blacksquare\)는 증명 끝 표시다. 이 다섯 문장이 완성된 증명이다.)

완성본. 방금 만든 다섯 문장을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

\(m\)과 \(n\)을 짝수라 하자.

증명할 대상을 문자로 잡는다. “모든 짝수”를 다루려면 특정 숫자가 아니라 문자가 필요하다.

짝수의 정의에 의해 \(m = 2a\)인 정수 \(a\)가 존재하고, \(n = 2b\)인 정수 \(b\)가 존재한다.

처음 할 일은 정의 풀어쓰기(근거 ①). “짝수”라는 말이 계산 가능한 등식이 된다.

그러면 \(m + n = 2a + 2b = 2(a + b)\)이다.

도착점은 \(2 \times (\text{정수})\) 꼴. 분배법칙으로 2를 묶는다(근거 ③).

\(a + b\)는 정수이다 (정수의 합은 정수).

괄호 안이 정수인지 확인한다(근거 ②). 이것이 빠지면 \(2 \times 1.5\)의 붕괴가 재연된다.

따라서 \(m + n = 2(a+b)\)는 짝수의 정의를 만족하므로 짝수이다. \(\blacksquare\)

결론이 정의와 일치함을 선언하며 마무리한다.

이 다섯 줄이 “모든” 짝수를 처리하는 이유. 완성본의 \(a\)에 3을, \(b\)에 \(-1\)을 넣어 읽어 보자: “\(m = 6\)과 \(n = -2\)를 짝수라 하자. \(6 = 2 \times 3\), \(-2 = 2 \times (-1)\). \(6 + (-2) = 2(3 + (-1)) = 4\). …” — 모든 줄이 그대로 성립한다. \(a = 100\), \(b = 0\)을 넣어도 마찬가지다.

확인 13. 이 증명의 \(a\), \(b\) 자리에 넣을 수 있는 것은 어느 쪽인가.

(가) 방금 넣어 본 몇 개의 정수만 (나) 아무 정수나 전부

답

(나). 증명의 어느 줄도 \(a\), \(b\)가 특정 정수라는 사실을 쓰지 않았기 때문이다 —

쓴 것은 “정수”라는 자격뿐이다. 그래서 문자 증명 한 번이 무한 개의 사례 검사를

대신한다. 준비 운동의 유형 1(예시 확인)이 메우지 못하던 간격이 여기서 메워진다.

[주의] 자주 하는 실수: 문자 재사용. \(m = 2a\), \(n = 2a\)라고 쓰면 \(m = n\)이라고 가정한 셈이다. 그러면 “같은 짝수 두 개의 합”만 증명한 것이다. 서로 다른 대상에는 반드시 서로 다른 문자를 쓴다. (이 실수가 일으키는 오류는 문제 6에서 해부한다.)

예제 2.2 — 짝수 × 정수 = 짝수#

명제. \(n\)이 짝수이면, 임의의 정수 \(m\)에 대해 \(nm\)은 짝수이다.

이번에는 설계만 함께 하고, 본문은 완성본으로 본다.

확인 14. 번역표를 채워 보자.

가정: \(n\)은 짝수 \(\to\) \(n = \underline{\quad}\)인 정수 \(a\)가 존재. (\(m\)은? — 조건이 “임의의 정수”뿐이므로 그대로 둔다.)

목표: \(nm\)이 짝수 \(\to\) \(nm = \underline{\qquad}\) 꼴을 만든다.

답

가정: \(n = 2a\). \(m\)은 짝수라는 조건이 없으므로 풀 정의가 없다 — 정수 그대로 둔다.

목표: \(nm = 2 \times (\text{정수})\) 꼴.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

\(n\)을 짝수, \(m\)을 임의의 정수라 하자.

대상을 문자로 잡는다.

정의에 의해 \(n = 2a\)인 정수 \(a\)가 존재한다.

정의 풀어쓰기. \(m\)은 풀 정의가 없으므로 그대로 둔다.

그러면 \(nm = (2a)m = 2(am)\)이다.

목표 꼴 \(2 \times (\text{정수})\)로 변형.

\(am\)은 정수이므로(정수의 곱은 정수), \(nm\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)

괄호 안 정수 확인(근거 ②) 후 정의로 마무리.

예제 2.3 — 홀수 + 홀수 = 짝수#

명제. 홀수와 홀수의 합은 짝수이다. (준비 운동 1번이 바로 이 명제였다.)

이번에는 설계부터 스스로 해 보자.

확인 15. 번역표: 가정 “\(m\), \(n\)은 홀수” \(\to\) \(m = \underline{\quad}\), \(n = \underline{\quad}\)

(정수 \(a\), \(b\)). 목표 “\(m+n\)이 짝수” \(\to\) \(\underline{\qquad}\) 꼴.

답

\(m = 2a+1\), \(n = 2b+1\) / 목표: \(m + n = 2 \times (\text{정수})\) 꼴.

홀수가 가정에 있으므로 정의 1.2를 풀어 정수를 받아 오고, 짝수가 목표이므로

정의 1.1의 꼴을 만들어 제시해야 한다.

증명. \(m\)과 \(n\)을 홀수라 하자. 정의에 의해 \(m = 2a + 1\), \(n = 2b + 1\)인 정수 \(a, b\)가 존재한다. 그러면

\[ m + n = (2a+1) + (2b+1) = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1) \]

이고, \(a + b + 1\)은 정수이므로 \(m + n\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)

이번 증명은 표 없이 산문으로 적었다. 표는 연습 단계의 장치이고, 실전의 증명은 처음부터 끝까지 이런 산문이다. 이번 주의 목표는 이 산문을 백지에서 재현하는 것이다.

확인 16 — 문제 8에서 쓸 전개. \((2a+1)(2b+1)\)을 전개해 보자. 항은 몇 개인가?

답

\((2a+1)(2b+1) = 4ab + 2a + 2b + 1\) — 항 4개.

이 전개가 문제 8의 재료다. 이 네 항을 홀수의 정의 꼴로 어떻게 정리할지는

문제 8에서 다룬다.

관찰 — 세 증명의 같은 뼈대#

예제 2.1, 2.2, 2.3은 소재만 다를 뿐 뼈대가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

확인 17. 예제 2.3의 산문에서 각 단계에 해당하는 문장(또는 식)을 찾아 보자.

① 문자 잡기: \(\underline{\qquad}\)

② 정의 풀어쓰기: \(\underline{\qquad}\)

③ 목표 꼴 변형(+정수 확인): \(\underline{\qquad}\)

답

① “\(m\)과 \(n\)을 홀수라 하자.”

② “정의에 의해 \(m = 2a+1\), \(n = 2b+1\)인 정수 \(a, b\)가 존재한다.”

③ “\(m + n = \dots = 2(a+b+1)\)이고, \(a+b+1\)은 정수이므로 …”

세 증명 모두 정확히 이 세 걸음이다.

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

백지 암기 대상

직접 증명의 3단계 틀

① 대상을 문자로 잡고 가정을 쓴다 \(\to\) ② 정의를 풀어 쓴다 \(\to\) ③ 대수 변형으로 결론의 정의 꼴을 만든다 (괄호 안이 정수인지 확인하며 마무리)

이 틀은 15주차까지 계속 쓰는 기본형이다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(6장)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸#

명제. 홀수와 짝수의 합은 홀수이다.

증명. \(m\)을 홀수, \(n\)을 짝수라 하자. 정의에 의해 \(m = \underline{\quad(1)\quad}\)인 정수 \(a\)가, \(n = \underline{\quad(2)\quad}\)인 정수 \(b\)가 존재한다. 그러면

\[ m + n = \underline{\quad(3)\quad} = 2(\underline{\quad(4)\quad}) + 1 \]

이고, \(\underline{\quad(5)\quad}\)는 정수이므로 \(m + n\)은 홀수이다. \(\blacksquare\)

훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#

이번에는 구조 낱말과 근거 문장도 빈칸이다.

명제. 짝수와 짝수의 차는 짝수이다.

증명. \(m\)과 \(n\)을 \(\underline{\quad(1)\quad}\)라 하자. 정의에 의해 \(m = \underline{\quad(2)\quad}\)인 정수 \(a\)가, \(n = \underline{\quad(3)\quad}\)인 정수 \(b\)가 존재한다. 그러면

\[ m - n = \underline{\quad(4)\quad} = 2(\underline{\quad(5)\quad}) \]

이고, \(\underline{\quad(6)\quad}\)이므로 \(a - b\)는 정수이다. 따라서 \(m - n\)은 \(\underline{\quad(7)\quad}\)의 정의를 만족하므로 짝수이다. \(\blacksquare\)

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

이번에는 처음 보는 개념의 정의를 세우는 것부터 시작한다. (짝수의 정의에서 2가 하던 역할을 3이 맡으면 된다.)

정의(직접 완성). 정수 \(n\)이 3의 배수라는 것은, \(n = \underline{\quad(1)\quad}\)인 정수 \(k\)가 존재한다는 뜻이다.

명제. 3의 배수와 3의 배수의 합은 3의 배수이다.

증명의 뼈대. 3단계 틀의 각 칸을 통째로 채운다.

  • ① 문자 잡기: \(\underline{\quad(2)\quad}\)

  • ② 정의 풀어쓰기: \(\underline{\quad(3)\quad}\)

  • ③ 목표 꼴 변형과 마무리: \(\underline{\quad(4)\quad}\)

(이 훈련이 문제 14의 예행연습이다.)

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다 \(\to\) 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 이 순서가 답지 암기 습관을 끊는 장치다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. “34는 짝수다(맞음)”는 0점이고,

“\(34 = 2 \times 17\)이고 \(17 \in \mathbb{Z}\)이므로 짝수다”가 만점이다.

난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. 34가 짝수임을 정의에 따라 한 줄로 보이시오.

힌트

34를 2로 나눈 몫이 곧 \(k\)다. 정의 문장 그대로 — “\(34 = 2 \times \underline{\quad}\)이고

그 수가 정수” — 를 적으면 끝난다.

2. \(-15\)가 홀수임을 정의에 따라 한 줄로 보이시오.

힌트

1을 먼저 떼어 놓는다: \(-15 = (\,\underline{\quad}\,) + 1\). 남은 수가 \(2k\) 꼴인지

확인하면 \(k\)가 나온다. (확인 4에서 한 번 했다.)

3. 다음 수가 짝수임을 정의에 따라 각각 한 줄로 보이시오. (a) \(0\) (b) \(-100\)

힌트

(a)는 §1.5에서 판정했다. (b)도 같은 요령이다 — \(k\)가 음수여도 정수이면 된다.

4. 다음 수를 정의의 꼴에 정확히 맞추어 쓰고 \(k\) 값을 명시하시오. (a) \(48 = 2k\) (b) \(-33 = 2k+1\)

힌트

\(k\)를 구한 뒤 반드시 검산한다 — \(2k\)(또는 \(2k+1\))를 계산해 원래 수가 나오는지.

5. 다음 중 옳은 번역을 고르시오. “\(n\)은 짝수이다”의 정의는: (a) \(n = 2k\) (\(k\)는 아무 수) (b) \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다 (c) \(n \div 2\)의 나머지가 0인 것 같다

힌트

세 선택지의 차이는 한 군데 — \(k\)에 붙은 자격이다. §1.3의 삭제 실험을 떠올린다.

6. 다음 ‘증명’에는 오류가 있다. 어느 줄이 왜 잘못인지 지적하시오.

“짝수와 짝수의 합이 4의 배수임을 보이겠다. \(m, n\)을 짝수라 하자. \(m = 2k\), \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그러면 \(m + n = 4k\)이므로 4의 배수이다.”

힌트

계산을 검사하기 전에 결론부터 의심한다: \(2 + 4 = 6\)은 4의 배수인가?

결론이 거짓인데 계산이 그럴듯하면, 오류는 계산이 아니라 설정에 있다.

표준 ●●○#

7. 짝수에서 홀수를 뺀 결과는 홀수임을 증명하시오.

힌트

정의를 풀어 빼면 \(2a - 2b - 1\)에서 멈추기 쉽다 — 목표 꼴은 \(2(\text{정수}) + 1\)인데

끝이 \(-1\)이라 어긋나 보인다. \(-1 = -2 + 1\)로 쪼개면 2를 하나 더 확보할 수 있다.

8. 홀수와 홀수의 곱은 홀수임을 증명하시오.

힌트

전개는 확인 16에서 했다: \(4ab + 2a + 2b + 1\). 이제 \(+1\)만 남기고 —

앞의 세 항이 공통으로 갖는 인수는 무엇인가?

9. \(n\)이 짝수이면 \(n^2\)도 짝수임을 증명하시오.

10. 연속한 두 정수의 합은 홀수임을 증명하시오. (힌트: 연속한 두 정수를 \(n\), \(n+1\)로 잡는다.)

11. \(n\)이 홀수이면 \(n^2\)도 홀수임을 증명하시오.

12. 두 홀수의 차는 짝수임을 증명하시오.

13. \(n\)이 홀수이면 \(n^3\)도 홀수임을 증명하시오.

14. 연속한 세 정수의 합은 3의 배수임을 증명하시오. (3의 배수의 정의는 훈련 3에서 세웠다 — \(3k\)인 정수 \(k\)가 존재)

도전 ●●●#

15. \(n\)이 홀수이면 \(n^2 - 1\)은 4의 배수임을 증명하시오. (4의 배수의 정의: \(4k\), \(k \in \mathbb{Z}\))

16. 연속한 두 정수의 곱 \(a(a+1)\)은 짝수임을 증명하시오.

이 문제가 빌려 쓰는 사실 — 경우 나누기의 첫 경험

\(a\)가 짝수인지 홀수인지 모르므로 정의를 하나로 풀 수 없다. 그런데

“모든 정수는 짝수이거나 홀수이다” — 이 사실은 지금은 증명 없이 인정하고

쓴다(33주차 나눗셈 정리에서 증명한다). 그러면 두 경우로 나누어 각각 처리하면

된다. 경우 나누기의 채점 기준은 두 가지다: ① 경우들이 전체를 빠짐없이 덮는가

② 각 경우가 각각 완결되는가. (본격 훈련은 17주차)

17. \(n\)이 홀수이면 \(n^2 - 1\)은 8의 배수임을 증명하시오. (문제 15와 16을 먼저 푼다.)

힌트

문제 15에서 \(n^2 - 1 = 4a(a+1)\)까지 왔다. 목표는 \(8 \times (\text{정수})\) —

4 뒤의 \(a(a+1)\)에서 2가 하나 더 나와야 한다. 그 2를 보장하는 것이 방금 푼

문제 중 하나다. 어느 것인가?

18. 다음 주장을 반박하시오: “\(f(n) = n^2 + n + 41\)은 모든 자연수 \(n\)에 대해 소수이다.” \(n = 1, 2, 3\)을 확인하면 43, 47, 53으로 전부 소수다. 10개를 확인해도 전부 소수다. 그래도 이 명제는 거짓이다. 거짓임을 보이려면 무엇을 찾으면 되는가? 실제로 찾으시오.

새 낱말 — 반례 (counterexample)

“모든 \(n\)에 대해 ~이다”라는 주장을 무너뜨리는 데 필요한 것은, 주장이 거짓이

되는 \(n\) 하나다. 그런 \(n\)을 반례라 한다. (정식 정의는 9~10주차에서 다룬다)

힌트 1 — 방향

\(n = 1, 2, 3, \dots\)을 차례로 확인하는 길은 39번 실패한다. 방향을 바꾼다:

\(f(n)\)이 소수가 아니려면 인수분해가 되어야 한다. \(n^2 + n + 41\)의 세 항이

공통 약수를 갖게 되는 \(n\)은 언제인가?

힌트 2 — 마지막 계단

\(40^2 + 40 = 40 \times 41\)이다. 그러면

\(f(40) = 40 \times 41 + 41 = 41 \times (\,\underline{\quad}\,)\) — 이 수는 소수인가?

19. 다음 주장을 반박하시오: “모든 소수는 홀수이다.”

20. (서술) 문제 18~19의 경험을 바탕으로, “예시를 아무리 많이 확인해도 증명이 되지 않는 이유”와 “그럼에도 문자 \(n\)을 쓴 증명 한 번이면 충분한 이유”를 각각 두 문장 이내로 쓰시오. (확인 13이 두 번째 물음의 준비였다.)

백지 재현 — 복습 프로토콜#

권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용. 3단계 틀과 근거 목록(§1.6)만 펴 놓고, 예제 2.1을 처음부터 끝까지 적는다. 정의와 본문은 보지 않는다.

2차 시도 (5일차) — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다:

  • 짝수\(\cdot\)홀수의 정의를 수식으로 썼다 (“정수 \(k\)가 존재한다”까지 조각 그대로).

  • 예제 2.1(짝+짝)과 2.3(홀+홀)을 백지에 처음부터 끝까지 재현했다.

  • 재현한 증명에서 ① 문자 잡기 ② 정의 풀기 ③ 목표 꼴 변형의 3단계를 손가락으로 짚을 수 있다.

  • 각 줄의 근거가 ①~③ 중 무엇인지 말할 수 있다.

  • “왜 서로 다른 문자 \(a, b\)를 쓰는가?”에 한 문장으로 답했다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점

처방

첫 문장부터 나오지 않는다

예제 2.1의 1단계 — 첫 문장은 창작이 아니라 정해진 형식이다

정의가 정확히 기억나지 않는다

§1.3 해부 표 — 조각의 이유와 함께 다시 외운다

2로 묶은 다음이 나오지 않는다

예제 2.1의 4~5단계 — 정수 확인과 결론 선언

어디서 시작할지 모르겠다

번역표(예제 2.1 설계) — 가정과 목표를 먼저 수식으로 옮긴다

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) \(2a + 1\) (2) \(2b\) (3) \((2a+1) + 2b\) (4) \(a + b\) (5) \(a + b\)

※ (3)에서 \(2a + 2b + 1 = 2(a+b) + 1\)로 묶는 것이 핵심 변형이다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) 짝수 (2) \(2a\) (3) \(2b\) (4) \(2a - 2b\) (5) \(a - b\) (6) 정수의 차는 정수 (근거 ②) (7) 짝수

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) \(3k\) (2) \(m\)과 \(n\)을 3의 배수라 하자. (3) 정의에 의해 \(m = 3a\), \(n = 3b\)인 정수 \(a, b\)가 존재한다. (4) \(m + n = 3a + 3b = 3(a+b)\)이고, \(a+b\)는 정수이므로 \(m + n\)은 3의 배수이다. \(\blacksquare\)

※ 새 개념이라도 정의를 세우는 순간 3단계 틀이 그대로 작동한다.

문제 1#

접근. “짝수임을 보여라” = “정의의 꼴 \(2 \times (\text{정수})\)로 실제로 써 보여라”. 34를 2로 나눠 몫을 확인하면 끝.

풀이. \(34 = 2 \times 17\)이고 \(17 \in \mathbb{Z}\)이므로 짝수이다. \(\blacksquare\)

문제 2#

접근. 홀수의 정의 꼴은 \(2k + 1\). 음수라서 헷갈리면 “\(-15\)에서 1을 뺀 \(-16\)이 2의 배수인가?”를 확인하면 \(k\)가 나온다: \(-16 = 2 \times (-8)\).

풀이. \(-15 = 2 \times (-8) + 1\)이고 \(-8 \in \mathbb{Z}\)이므로 홀수이다. \(\blacksquare\)

※ \(-15 = 2 \times (-7) - 1\)로 쓰고 싶어지지만, 정의는 \(2k+1\) 꼴이다. 정의의 꼴에 정확히 맞추는 습관을 들인다.

문제 3#

접근. “0이나 음수는 짝수인가?” 같은 망설임이 들면 그것이 바로 정의로 돌아가라는 신호다. 정의는 \(k\)가 어떤 정수든(0이든 음수든) 허용한다.

풀이. (a) \(0 = 2 \times 0\)이고 \(0 \in \mathbb{Z}\)이므로 짝수. (b) \(-100 = 2 \times (-50)\)이고 \(-50 \in \mathbb{Z}\)이므로 짝수. \(\blacksquare\)

문제 4#

접근. 정의 꼴에 “맞춰 넣는” 연습. (b)는 문제 2처럼 1을 먼저 떼어 놓고 나머지를 2로 나눈다.

풀이. (a) \(48 = 2 \times 24\), \(k = 24\). (b) \(-33 = 2 \times (-17) + 1\), \(k = -17\) (확인: \(2(-17)+1 = -34+1 = -33\) ✓).

문제 5#

접근. 세 선택지의 차이는 “\(k\)에 붙은 조건”. 정의에서 단어 하나를 빼면 무엇이 무너지는지 시험한다 — §1.3의 삭제 실험 그대로.

풀이. (b). (a)는 \(k\)가 정수라는 조건이 빠져 틀렸고(\(n=3\)도 \(3 = 2 \times 1.5\)로 쓸 수 있으므로 모든 수가 짝수가 되어버린다), (c)는 수식이 아니라 느낌이다. “정수 \(k\)가 존재한다”는 조건이 정의의 생명이다.

문제 6#

접근. 결론(4의 배수)이 수상하다: 2+4=6은 4의 배수가 아니다. 그런데 계산은 그럴듯해 보인다 \(\to\) 계산이 아니라 설정 단계에 오류가 숨어 있다는 뜻이다. 각 줄이 “모든 짝수 \(m, n\)”을 정말 대표하는지 검사한다.

풀이. 둘째 줄 “\(m = 2k\), \(n = 2k\)”가 오류. 같은 문자 \(k\)를 재사용하면 \(m = n\)이라고 몰래 가정한 것이 되어, “같은 짝수 두 개의 합”(\(2k + 2k = 4k\))만 다룬 셈이다. 실제로 \(m = 2, n = 4\)면 \(m + n = 6\)은 4의 배수가 아니므로 원래 명제 자체가 거짓. 올바른 설정은 \(m = 2a\), \(n = 2b\) (서로 다른 문자).

복기. 이 오류가 그럴듯한 이유는 계산이 한 줄도 틀리지 않았기 때문이다. 오류는 계산이 아니라 선언(”\(n = 2k\)”라고 적은 순간)에 있다. 증명 검사는 계산 검사이기 전에 설정 검사다.

문제 7#

접근. 번역표부터: 가정 = \(m\) 짝수, \(n\) 홀수 / 목표 = \(m - n\)이 홀수, 즉 \(2(\text{정수}) + 1\) 꼴. 정의를 풀고 빼 보면 \(2a - 2b - 1\)처럼 “\(-1\)”이 나와서 목표 꼴(\(+1\))과 어긋난다 — 이때 \(-1 = -2 + 1\)로 쪼개 2를 하나 더 확보한다.

풀이. \(m\)을 짝수, \(n\)을 홀수라 하자. \(m = 2a\), \(n = 2b+1\)인 정수 \(a, b\)가 존재한다. 그러면

\[ m - n = 2a - (2b+1) = 2a - 2b - 2 + 1 = 2(a - b - 1) + 1 \]

이고 \(a - b - 1 \in \mathbb{Z}\)이므로 \(m - n\)은 홀수이다. \(\blacksquare\)

포인트: \(2a - 2b - 1\)에서 멈추면 정의 꼴이 아니다. 목표 꼴이 정확히 나올 때까지 변형을 밀어붙이는 것도 기술이다.

문제 8#

접근. 목표가 “홀수”이므로 목표 꼴은 \(2(\text{정수}) + 1\). 두 홀수를 서로 다른 문자로 펼쳐 곱하면 — 전개는 확인 16에서 했다 — 전개식에서 1만 남기고 나머지에서 2를 묶는다.

풀이. \(m, n\)을 홀수라 하자. 정의에 의해 \(m = 2a+1\), \(n = 2b+1\)인 정수 \(a, b\)가 존재한다. 그러면

\[ mn = (2a+1)(2b+1) = 4ab + 2a + 2b + 1 = 2(2ab + a + b) + 1 \]

이고, \(2ab + a + b\)는 정수이므로 \(mn\)은 홀수이다. \(\blacksquare\)

복기. 전개형 증명의 리듬: 전개 \(\to\) \(+1\)만 남기고 \(\to\) 2로 묶기. 이 리듬은 문제 11(제곱), 13(세제곱), 15(\(n^2-1\))에서 그대로 재사용된다.

문제 9#

접근. 가정(\(n\) 짝수)을 정의로 풀어 \(n = 2a\)를 얻으면, 목표인 \(n^2\)은 양변을 제곱해서 만든다. “목표에 등장하는 식(\(n^2\))을 가정의 재료(\(2a\))로 조립한다”는 감각.

풀이. \(n\)을 짝수라 하자. \(n = 2a\)인 정수 \(a\)가 존재한다. 그러면 \(n^2 = (2a)^2 = 4a^2 = 2(2a^2)\)이고, \(2a^2\)은 정수이므로 \(n^2\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)

문제 10#

접근. “연속한 두 정수”라는 조건부터 수식으로 번역해야 시작된다: 하나를 \(n\)이라 하면 다음 수는 \(n+1\). 조건의 번역도 정의 풀어쓰기의 일종이다.

풀이. 연속한 두 정수를 \(n\)과 \(n+1\)이라 하자 (\(n \in \mathbb{Z}\)). 그 합은

\[ n + (n+1) = 2n + 1 \]

이고 \(n\)은 정수이므로, 합은 홀수의 정의를 만족한다. \(\blacksquare\)

문제 11#

접근. 문제 9와 같은 구조, 재료만 홀수. \((2a+1)^2\)을 전개한 뒤 문제 8의 리듬(1만 남기고 2로 묶기)이 통하는지 확인한다.

풀이. \(n\)을 홀수라 하자. \(n = 2a+1\)인 정수 \(a\)가 존재한다. 그러면

\[ n^2 = (2a+1)^2 = 4a^2 + 4a + 1 = 2(2a^2 + 2a) + 1 \]

이고 \(2a^2 + 2a\)는 정수이므로 \(n^2\)은 홀수이다. \(\blacksquare\)

예고: 거꾸로 “\(n^2\)이 홀수이면 \(n\)도 홀수”는 어떻게 증명하는가. \(n^2 = 2a+1\)에서 \(n\)을 꺼낼 방법이 없어 3단계 틀이 막힌다. 이 막힘을 해결하는 도구가 대우 증명(contrapositive, 19주차)이다. 지금은 “직접 증명이 통하지 않는 문제도 있다”는 것만 기억해 두자.

문제 12#

접근. 홀수 둘을 서로 다른 문자로 펼쳐 빼기. \(+1\)끼리 소거되는 것이 보이면 끝난 것이다.

풀이. \(m, n\)을 홀수라 하자. \(m = 2a+1\), \(n = 2b+1\)인 정수 \(a, b\)가 존재한다. 그러면

\[ m - n = (2a+1) - (2b+1) = 2a - 2b = 2(a-b) \]

이고 \(a - b \in \mathbb{Z}\)이므로 \(m - n\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)

문제 13#

접근. 문제 11의 세제곱 버전. 전개가 커지는 것이 부담스러우면 지름길이 있다: \(n^3 = n^2 \cdot n\) — 이미 증명한 “홀\(\times\)홀=홀”(문제 8)과 “홀수의 제곱은 홀수”(문제 11)를 부품으로 재사용할 수 있다. 증명된 명제는 새 증명의 근거가 된다 — 근거 ④의 첫 등장.

풀이 1 (직접 전개). \(n = 2a+1\)이라 하면

\[ n^3 = (2a+1)^3 = 8a^3 + 12a^2 + 6a + 1 = 2(4a^3 + 6a^2 + 3a) + 1 \]

이고 괄호 안은 정수이므로 \(n^3\)은 홀수이다. \(\blacksquare\)

풀이 2 (부품 재사용). \(n\)이 홀수이면 문제 11에 의해 \(n^2\)이 홀수이고, 홀수 \(n^2\)과 홀수 \(n\)의 곱 \(n^3\)은 문제 8에 의해 홀수이다. \(\blacksquare\)

두 풀이 모두 정답이다. 풀이 2처럼 이미 증명한 정리를 쌓아 올리는 방식이 수학이 커지는 방식이다.

문제 14#

접근. 조건 번역: 연속한 세 정수는 \(n, n+1, n+2\) (또는 가운데를 \(n\)으로 잡아 \(n-1, n, n+1\) — 계산이 더 깔끔하다). 목표 꼴은 \(3 \times (\text{정수})\) — 훈련 3에서 세운 그 정의.

풀이. 연속한 세 정수를 \(n-1, n, n+1\)이라 하자 (\(n \in \mathbb{Z}\)). 합은

\[ (n-1) + n + (n+1) = 3n \]

이고 \(n \in \mathbb{Z}\)이므로 합은 3의 배수이다. \(\blacksquare\)

(\(n, n+1, n+2\)로 잡으면 합이 \(3n + 3 = 3(n+1)\) — 역시 정답. 문자를 어디에 두느냐로 계산량이 달라진다는 것도 배울 점이다.)

문제 15#

접근. 가정: \(n = 2a+1\). 목표: \(n^2 - 1 = 4(\text{정수})\). 일단 \(n^2 - 1\)을 가정의 재료로 전개해 보고, 4로 묶이는지 확인한다.

풀이. \(n\)을 홀수라 하자. \(n = 2a+1\)인 정수 \(a\)가 존재한다. 그러면

\[ n^2 - 1 = (2a+1)^2 - 1 = 4a^2 + 4a = 4(a^2 + a) \]

이고 \(a^2 + a\)는 정수이므로 \(n^2 - 1\)은 4의 배수이다. \(\blacksquare\)

관찰: \(4a^2 + 4a = 4a(a+1)\)로도 묶인다. \(a(a+1)\)은 연속한 두 정수의 곱 — 이 관찰이 문제 16, 17로 이어진다.

문제 16#

접근. \(a(a+1)\)에서 \(a\)가 무엇인지 모르므로 정의를 하나로 풀 수 없다. 문제에 딸린 상자의 사실 — 모든 정수는 짝수 아니면 홀수 — 을 인정하고 쓰면, 두 경우로 나눠 각 경우에는 정의를 쓸 수 있다. “정보가 부족해 막히면, 전체를 빠짐없이 나눠 각각 처리한다”가 경우 나누기의 원리다.

풀이. 경우 1: \(a\)가 짝수. \(a = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재하므로 \(a(a+1) = 2k(a+1) = 2\big(k(a+1)\big)\). 괄호 안은 정수이므로 짝수. 경우 2: \(a\)가 홀수. \(a = 2k+1\)인 정수 \(k\)가 존재하므로 \(a + 1 = 2k+2 = 2(k+1)\). 따라서 \(a(a+1) = a \cdot 2(k+1) = 2\big(a(k+1)\big)\) — 짝수. 모든 정수는 짝수이거나 홀수이므로 두 경우로 충분하고, 어느 경우든 \(a(a+1)\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)

포인트: 경우 나누기의 채점 기준은 ① 경우들이 전체를 빠짐없이 덮는가 ② 각 경우가 완결됐는가. (17주차에서 본격 훈련)

문제 17#

접근. 문제 15에서 \(n^2 - 1 = 4a(a+1)\)까지 왔다. 목표는 \(8 \times (\text{정수})\)이므로 4 뒤에 붙은 \(a(a+1)\)에서 2가 하나 더 나오면 된다 — 그것이 정확히 문제 16이다. 직전 문제들이 부품이 되도록 설계된 문제임을 알아채는 것도 실력이다.

풀이. \(n\)을 홀수라 하자. 문제 15의 계산에 의해 \(n^2 - 1 = 4a(a+1)\) (단, \(n = 2a+1\), \(a \in \mathbb{Z}\)). 문제 16에 의해 \(a(a+1)\)은 짝수이므로 \(a(a+1) = 2m\)인 정수 \(m\)이 존재한다. 따라서

\[ n^2 - 1 = 4 \cdot 2m = 8m \]

이고 \(m \in \mathbb{Z}\)이므로 \(n^2 - 1\)은 8의 배수이다. \(\blacksquare\)

(검산: \(n = 5 \Rightarrow n^2 - 1 = 24 = 8 \times 3\) ✓. 검산은 증명이 아니지만 오류 탐지기로는 훌륭하다.)

문제 18#

접근. “모든 \(n\)에 대해 ~이다”가 거짓임을 보이는 데는 반례 하나면 충분하다(문제에 딸린 상자, 9~10주차에서 정식화). 반례 후보를 어디서 찾는가. \(f(n) = n^2 + n + 41\)이 소수가 아니려면 인수분해가 되어야 한다. \(n^2 + n + 41\)의 세 항이 모두 41의 배수가 되는 순간을 노리면 — \(n\)이 41의 배수일 때, 또는 \(n = 40\)일 때 (\(40^2 + 40 = 40 \cdot 41\)).

풀이. 반례: \(n = 40\).

\[ f(40) = 40^2 + 40 + 41 = 40 \cdot 41 + 41 = 41 \cdot (40 + 1) = 41^2 = 1681 \]

\(1681 = 41 \times 41\)은 소수가 아니므로 명제는 거짓이다. (\(n = 41\)도 반례: \(41^2 + 41 + 41 = 41 \times 43\).)

교훈: \(n = 1\)부터 39까지 39개의 예시가 성립하지만 명제는 거짓이다. 예시 확인은 증명이 될 수 없다.

문제 19#

접근. “모든 소수는 홀수” — 짝수인 소수가 하나라도 있으면 무너진다. 짝수 중에 약수가 1과 자신뿐인 수가 있는지 가장 작은 것부터 훑는다.

풀이. 반례: \(2\). \(2\)는 소수이지만(약수가 1과 2뿐) 짝수이므로 홀수가 아니다. 따라서 명제는 거짓이다. (참고: 2는 유일한 짝수 소수다 — 2보다 큰 짝수는 2를 약수로 가진다. “유일한”의 증명은 26주차 유일성 증명에서 다룬다.)

문제 20#

접근. 문제 18에서 “39개 확인해도 거짓”, 문제 8~17에서 “문자 하나로 무한히 많은 경우를 처리” — 이 두 경험을 일반화해 문장으로 만든다. 확인 13의 대입 관찰이 두 번째 물음의 근거다.

풀이. (예시 답안) 예시 확인은 확인한 그 숫자들에 대해서만 참임을 보장할 뿐, 확인하지 않은 무한히 많은 경우 중에 반례가 숨어 있을 수 있다(실제로 문제 18은 40번째에서 무너졌다). 반면 문자 \(n\)을 쓴 증명은 \(n\)에 어떤 정수를 넣어도 성립하는 변형만 사용하므로, 무한히 많은 경우를 한 번에 처리한다.

다음 주 예고: “나누어떨어진다”를 정의하고(\(a \mid b\)), 처음으로 눈에 보이지 않는 추상적 성질(추이성)을 증명한다. 이번 주의 번역표와 3단계 틀이 그대로 쓰인다 — 재료만 바뀐다.