# 1주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — 첫 증명을 함께 만들기 완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 백지에서 시작해 한 줄씩 만든다. 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다. ### 예제 2.1 — 짝수 + 짝수 = 짝수 **명제.** 짝수와 짝수의 합은 짝수이다. **설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 증명을 쓰기 전에 두 가지를 먼저 정한다. 가정이 주는 것(출발점)과, 만들어야 할 것(도착점)이다. 둘 다 정의로 번역해서 얻는다. | | **말** | **수식 번역** | |---|---|---| | 가정 (주어진 것) | $m$, $n$은 짝수 | $m = 2a$, $n = 2b$인 정수 $a, b$가 존재 | | 목표 (만들 것) | $m + n$이 짝수 | $m + n = \underline{\quad(?)\quad}$ 꼴을 만든다 | :::{container} quotebox **확인 7.** 목표 칸의 빈칸을 채워 보자. "$m+n$이 짝수임을 보인다"를 정의로 번역하면, $m + n$을 어떤 **꼴**로 만들어야 하는가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $m + n = 2 \times (\text{정수})$ 꼴. §1.3의 표에서 본 대로, 목표 쪽의 "짝수"는 그런 정수를 우리가 실제로 만들어 **제시해야** 한다는 뜻이다. 출발점(등식 두 개)과 도착점(만들 꼴)이 정해졌다. 그 사이는 계산이다. ::: **1단계 — 대상을 문자로 잡는다.** 증명의 첫 문장은 다룰 대상을 무대에 올리는 문장이다. 6이나 14 같은 특정 숫자를 올리면 그 숫자에 대해서만 증명한 것이 된다. 명제는 "모든 짝수"에 대한 주장이므로, 아무 짝수나 대표하는 **문자**를 올린다. (이것이 실제로 '모든'을 처리하는지는 이 절 끝에서 확인한다.) :::{container} quotebox **확인 8.** 첫 문장을 완성해 보자: "$\underline{\quad}$과 $\underline{\quad}$을 짝수라 하자." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$m$과 $n$을 짝수라 하자." 문자는 무엇이든 좋다 — 서로 다르기만 하면 된다. ::: **2단계 — 정의를 풀어 쓴다.** "짝수"는 아직 말이다. §1.1에서 본 대로 말로는 계산이 시작되지 않으므로 등식으로 바꾼다. 가정에 "짝수"가 있으므로, §1.3의 표에 따라 각각에서 정수를 받아 온다. :::{container} quotebox **확인 9.** 둘째 문장을 완성해 보자: "정의에 의해 $m = \underline{\quad}$인 정수 $a$가 존재하고, $n = \underline{\quad}$인 정수 $\underline{\quad}$가 존재한다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $m = 2a$, $n = 2b$인 정수 $b$. 여기서 $b$는 $a$와 **달라야 한다** — 같은 문자를 쓰면 $m = n$이라고 몰래 가정한 셈이 된다(이 절 끝의 '자주 하는 실수' 참고). ::: **3단계 — 도착점의 꼴로 계산한다.** 재료($2a$, $2b$)를 목표 꼴 $2 \times (\text{정수})$에 맞춰 조립한다. :::{container} quotebox **확인 10.** 셋째 문장을 완성해 보자: "그러면 $m + n = \underline{\quad} + \underline{\quad} = 2(\,\underline{\quad}\,)$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $m + n = 2a + 2b = 2(a + b)$. 분배법칙으로 2를 묶었다 — 근거 ③. ::: **4단계 — 괄호 안이 정수인지 확인한다.** $2(a+b)$가 짝수이려면 정의의 셋째 조각대로 **괄호 안이 정수**여야 한다. 괄호 안에 1.5 같은 수가 올 수 있다면 $3 = 2 \times 1.5$도 짝수가 되어 §1.3의 붕괴가 재연된다. 이 확인은 형식적 절차가 아니라 정의의 조각 하나를 지키는 문장이다. :::{container} quotebox **확인 11.** 넷째 문장을 완성해 보자: "$\underline{\qquad}$이므로 $a + b$는 정수이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "정수의 합은 정수이므로" — 근거 ② 닫힘성. 이 한 마디면 충분하다. ::: **5단계 — 결론을 선언한다.** 목표 꼴이 완성되었음을 선언하고 증명 끝 표시를 단다. :::{container} quotebox **확인 12.** 마지막 문장을 완성해 보자: "따라서 $m + n = \underline{\qquad}$는 짝수의 정의를 만족하므로 $\underline{\quad}$이다. $\blacksquare$" ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "따라서 $m + n = 2(a+b)$는 짝수의 정의를 만족하므로 **짝수**이다. $\blacksquare$" ($\blacksquare$는 증명 끝 표시다. 이 다섯 문장이 완성된 증명이다.) ::: **완성본.** 방금 만든 다섯 문장을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | $m$과 $n$을 짝수라 하자. | 증명할 대상을 문자로 잡는다. "모든 짝수"를 다루려면 특정 숫자가 아니라 문자가 필요하다. | | 짝수의 정의에 의해 $m = 2a$인 정수 $a$가 존재하고, $n = 2b$인 정수 $b$가 존재한다. | **처음 할 일은 정의 풀어쓰기**(근거 ①). "짝수"라는 말이 계산 가능한 등식이 된다. | | 그러면 $m + n = 2a + 2b = 2(a + b)$이다. | 도착점은 $2 \times (\text{정수})$ 꼴. 분배법칙으로 2를 묶는다(근거 ③). | | $a + b$는 정수이다 (정수의 합은 정수). | 괄호 안이 정수인지 확인한다(근거 ②). 이것이 빠지면 $2 \times 1.5$의 붕괴가 재연된다. | | 따라서 $m + n = 2(a+b)$는 짝수의 정의를 만족하므로 짝수이다. $\blacksquare$ | 결론이 정의와 일치함을 선언하며 마무리한다. | **이 다섯 줄이 "모든" 짝수를 처리하는 이유.** 완성본의 $a$에 3을, $b$에 $-1$을 넣어 읽어 보자: "$m = 6$과 $n = -2$를 짝수라 하자. $6 = 2 \times 3$, $-2 = 2 \times (-1)$. $6 + (-2) = 2(3 + (-1)) = 4$. …" — 모든 줄이 그대로 성립한다. $a = 100$, $b = 0$을 넣어도 마찬가지다. :::{container} quotebox **확인 13.** 이 증명의 $a$, $b$ 자리에 넣을 수 있는 것은 어느 쪽인가. (가) 방금 넣어 본 몇 개의 정수만 (나) 아무 정수나 전부 ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (나). 증명의 어느 줄도 $a$, $b$가 특정 정수라는 사실을 쓰지 않았기 때문이다 — 쓴 것은 "정수"라는 자격뿐이다. 그래서 문자 증명 한 번이 무한 개의 사례 검사를 대신한다. 준비 운동의 유형 1(예시 확인)이 메우지 못하던 간격이 여기서 메워진다. ::: **[주의] 자주 하는 실수: 문자 재사용.** $m = 2a$, $n = 2a$라고 쓰면 $m = n$이라고 가정한 셈이다. 그러면 "같은 짝수 두 개의 합"만 증명한 것이다. 서로 다른 대상에는 반드시 **서로 다른 문자**를 쓴다. (이 실수가 일으키는 오류는 문제 6에서 해부한다.) ### 예제 2.2 — 짝수 × 정수 = 짝수 **명제.** $n$이 짝수이면, 임의의 정수 $m$에 대해 $nm$은 짝수이다. 이번에는 설계만 함께 하고, 본문은 완성본으로 본다. :::{container} quotebox **확인 14.** 번역표를 채워 보자. 가정: $n$은 짝수 $\to$ $n = \underline{\quad}$인 정수 $a$가 존재. ($m$은? — 조건이 "임의의 정수"뿐이므로 그대로 둔다.) 목표: $nm$이 짝수 $\to$ $nm = \underline{\qquad}$ 꼴을 만든다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 가정: $n = 2a$. $m$은 짝수라는 조건이 없으므로 풀 정의가 없다 — 정수 그대로 둔다. 목표: $nm = 2 \times (\text{정수})$ 꼴. ::: | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | $n$을 짝수, $m$을 임의의 정수라 하자. | 대상을 문자로 잡는다. | | 정의에 의해 $n = 2a$인 정수 $a$가 존재한다. | 정의 풀어쓰기. $m$은 풀 정의가 없으므로 그대로 둔다. | | 그러면 $nm = (2a)m = 2(am)$이다. | 목표 꼴 $2 \times (\text{정수})$로 변형. | | $am$은 정수이므로(정수의 곱은 정수), $nm$은 짝수이다. $\blacksquare$ | 괄호 안 정수 확인(근거 ②) 후 정의로 마무리. | ### 예제 2.3 — 홀수 + 홀수 = 짝수 **명제.** 홀수와 홀수의 합은 짝수이다. (준비 운동 1번이 바로 이 명제였다.) 이번에는 설계부터 스스로 해 보자. :::{container} quotebox **확인 15.** 번역표: 가정 "$m$, $n$은 홀수" $\to$ $m = \underline{\quad}$, $n = \underline{\quad}$ (정수 $a$, $b$). 목표 "$m+n$이 짝수" $\to$ $\underline{\qquad}$ 꼴. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $m = 2a+1$, $n = 2b+1$ / 목표: $m + n = 2 \times (\text{정수})$ 꼴. 홀수가 가정에 있으므로 정의 1.2를 풀어 정수를 받아 오고, 짝수가 목표이므로 정의 1.1의 꼴을 만들어 제시해야 한다. ::: **증명.** $m$과 $n$을 홀수라 하자. 정의에 의해 $m = 2a + 1$, $n = 2b + 1$인 정수 $a, b$가 존재한다. 그러면 $$ m + n = (2a+1) + (2b+1) = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1) $$ 이고, $a + b + 1$은 정수이므로 $m + n$은 짝수이다. $\blacksquare$ 이번 증명은 표 없이 **산문**으로 적었다. 표는 연습 단계의 장치이고, 실전의 증명은 처음부터 끝까지 이런 산문이다. 이번 주의 목표는 이 산문을 백지에서 재현하는 것이다. :::{container} quotebox **확인 16 — 문제 8에서 쓸 전개.** $(2a+1)(2b+1)$을 전개해 보자. 항은 몇 개인가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $(2a+1)(2b+1) = 4ab + 2a + 2b + 1$ — 항 4개. 이 전개가 문제 8의 재료다. 이 네 항을 홀수의 정의 꼴로 어떻게 정리할지는 문제 8에서 다룬다. ::: ### 관찰 — 세 증명의 같은 뼈대 예제 2.1, 2.2, 2.3은 소재만 다를 뿐 뼈대가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자. :::{container} quotebox **확인 17.** 예제 2.3의 산문에서 각 단계에 해당하는 문장(또는 식)을 찾아 보자. ① 문자 잡기: $\underline{\qquad}$ ② 정의 풀어쓰기: $\underline{\qquad}$ ③ 목표 꼴 변형(+정수 확인): $\underline{\qquad}$ ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ① "$m$과 $n$을 홀수라 하자." ② "정의에 의해 $m = 2a+1$, $n = 2b+1$인 정수 $a, b$가 존재한다." ③ "$m + n = \dots = 2(a+b+1)$이고, $a+b+1$은 정수이므로 …" 세 증명 모두 정확히 이 세 걸음이다. ::: 방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **직접 증명의 3단계 틀** ① 대상을 문자로 잡고 가정을 쓴다 $\to$ ② 정의를 풀어 쓴다 $\to$ ③ 대수 변형으로 결론의 정의 꼴을 만든다 (괄호 안이 정수인지 확인하며 마무리) ::: 이 틀은 15주차까지 계속 쓰는 기본형이다. ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(6장)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다. ### 훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸 **명제.** 홀수와 짝수의 합은 홀수이다. **증명.** $m$을 홀수, $n$을 짝수라 하자. 정의에 의해 $m = \underline{\quad(1)\quad}$인 정수 $a$가, $n = \underline{\quad(2)\quad}$인 정수 $b$가 존재한다. 그러면 $$ m + n = \underline{\quad(3)\quad} = 2(\underline{\quad(4)\quad}) + 1 $$ 이고, $\underline{\quad(5)\quad}$는 정수이므로 $m + n$은 홀수이다. $\blacksquare$ ### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께 이번에는 구조 낱말과 근거 문장도 빈칸이다. **명제.** 짝수와 짝수의 차는 짝수이다. **증명.** $m$과 $n$을 $\underline{\quad(1)\quad}$라 하자. 정의에 의해 $m = \underline{\quad(2)\quad}$인 정수 $a$가, $n = \underline{\quad(3)\quad}$인 정수 $b$가 존재한다. 그러면 $$ m - n = \underline{\quad(4)\quad} = 2(\underline{\quad(5)\quad}) $$ 이고, $\underline{\quad(6)\quad}$이므로 $a - b$는 정수이다. 따라서 $m - n$은 $\underline{\quad(7)\quad}$의 정의를 만족하므로 짝수이다. $\blacksquare$ ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 이번에는 처음 보는 개념의 정의를 세우는 것부터 시작한다. (짝수의 정의에서 2가 하던 역할을 3이 맡으면 된다.) **정의(직접 완성).** 정수 $n$이 **3의 배수**라는 것은, $n = \underline{\quad(1)\quad}$인 정수 $k$가 존재한다는 뜻이다. **명제.** 3의 배수와 3의 배수의 합은 3의 배수이다. **증명의 뼈대.** 3단계 틀의 각 칸을 통째로 채운다. - ① 문자 잡기: $\underline{\quad(2)\quad}$ - ② 정의 풀어쓰기: $\underline{\quad(3)\quad}$ - ③ 목표 꼴 변형과 마무리: $\underline{\quad(4)\quad}$ (이 훈련이 문제 14의 예행연습이다.) ## 연습문제 (20문항) 해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 이 순서가 답지 암기 습관을 끊는 장치다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 **근거**가 점수다. "34는 짝수다(맞음)"는 0점이고, "$34 = 2 \times 17$이고 $17 \in \mathbb{Z}$이므로 짝수다"가 만점이다. 난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** 34가 짝수임을 정의에 따라 한 줄로 보이시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 34를 2로 나눈 몫이 곧 $k$다. 정의 문장 그대로 — "$34 = 2 \times \underline{\quad}$이고 그 수가 정수" — 를 적으면 끝난다. ::: **2.** $-15$가 홀수임을 정의에 따라 한 줄로 보이시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 1을 먼저 떼어 놓는다: $-15 = (\,\underline{\quad}\,) + 1$. 남은 수가 $2k$ 꼴인지 확인하면 $k$가 나온다. (확인 4에서 한 번 했다.) ::: **3.** 다음 수가 짝수임을 정의에 따라 각각 한 줄로 보이시오. (a) $0$ (b) $-100$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)는 §1.5에서 판정했다. (b)도 같은 요령이다 — $k$가 음수여도 정수이면 된다. ::: **4.** 다음 수를 정의의 꼴에 정확히 맞추어 쓰고 $k$ 값을 명시하시오. (a) $48 = 2k$ (b) $-33 = 2k+1$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $k$를 구한 뒤 반드시 검산한다 — $2k$(또는 $2k+1$)를 계산해 원래 수가 나오는지. ::: **5.** 다음 중 옳은 번역을 고르시오. "$n$은 짝수이다"의 정의는: (a) $n = 2k$ ($k$는 아무 수) (b) $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다 (c) $n \div 2$의 나머지가 0인 것 같다 :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 세 선택지의 차이는 한 군데 — $k$에 붙은 자격이다. §1.3의 삭제 실험을 떠올린다. ::: **6.** 다음 '증명'에는 오류가 있다. 어느 줄이 왜 잘못인지 지적하시오. :::{container} quotebox "짝수와 짝수의 합이 4의 배수임을 보이겠다. $m, n$을 짝수라 하자. $m = 2k$, $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $m + n = 4k$이므로 4의 배수이다." ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 계산을 검사하기 전에 결론부터 의심한다: $2 + 4 = 6$은 4의 배수인가? 결론이 거짓인데 계산이 그럴듯하면, 오류는 계산이 아니라 **설정**에 있다. ::: ### 표준 ●●○ **7.** 짝수에서 홀수를 뺀 결과는 홀수임을 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 정의를 풀어 빼면 $2a - 2b - 1$에서 멈추기 쉽다 — 목표 꼴은 $2(\text{정수}) + 1$인데 끝이 $-1$이라 어긋나 보인다. $-1 = -2 + 1$로 쪼개면 2를 하나 더 확보할 수 있다. ::: **8.** 홀수와 홀수의 곱은 홀수임을 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 전개는 확인 16에서 했다: $4ab + 2a + 2b + 1$. 이제 $+1$만 남기고 — 앞의 세 항이 공통으로 갖는 인수는 무엇인가? ::: **9.** $n$이 짝수이면 $n^2$도 짝수임을 증명하시오. **10.** 연속한 두 정수의 합은 홀수임을 증명하시오. (힌트: 연속한 두 정수를 $n$, $n+1$로 잡는다.) **11.** $n$이 홀수이면 $n^2$도 홀수임을 증명하시오. **12.** 두 홀수의 차는 짝수임을 증명하시오. **13.** $n$이 홀수이면 $n^3$도 홀수임을 증명하시오. **14.** 연속한 세 정수의 합은 3의 배수임을 증명하시오. (3의 배수의 정의는 훈련 3에서 세웠다 — $3k$인 정수 $k$가 존재) ### 도전 ●●● **15.** $n$이 홀수이면 $n^2 - 1$은 4의 배수임을 증명하시오. (4의 배수의 정의: $4k$, $k \in \mathbb{Z}$) **16.** 연속한 두 정수의 곱 $a(a+1)$은 짝수임을 증명하시오. :::{admonition} 이 문제가 빌려 쓰는 사실 — 경우 나누기의 첫 경험 :class: quotebox $a$가 짝수인지 홀수인지 모르므로 정의를 하나로 풀 수 없다. 그런데 "**모든 정수는 짝수이거나 홀수이다**" — 이 사실은 지금은 증명 없이 인정하고 쓴다(33주차 나눗셈 정리에서 증명한다). 그러면 두 경우로 나누어 각각 처리하면 된다. 경우 나누기의 채점 기준은 두 가지다: ① 경우들이 전체를 빠짐없이 덮는가 ② 각 경우가 각각 완결되는가. (본격 훈련은 17주차) ::: **17.** $n$이 홀수이면 $n^2 - 1$은 8의 배수임을 증명하시오. (문제 15와 16을 먼저 푼다.) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 문제 15에서 $n^2 - 1 = 4a(a+1)$까지 왔다. 목표는 $8 \times (\text{정수})$ — 4 뒤의 $a(a+1)$에서 2가 하나 더 나와야 한다. 그 2를 보장하는 것이 방금 푼 문제 중 하나다. 어느 것인가? ::: **18.** 다음 주장을 반박하시오: "$f(n) = n^2 + n + 41$은 모든 자연수 $n$에 대해 소수이다." $n = 1, 2, 3$을 확인하면 43, 47, 53으로 전부 소수다. 10개를 확인해도 전부 소수다. 그래도 이 명제는 거짓이다. 거짓임을 보이려면 무엇을 찾으면 되는가? 실제로 찾으시오. :::{admonition} 새 낱말 — 반례 (counterexample) :class: quotebox "모든 $n$에 대해 ~이다"라는 주장을 무너뜨리는 데 필요한 것은, 주장이 거짓이 되는 $n$ **하나**다. 그런 $n$을 **반례**라 한다. (정식 정의는 9~10주차에서 다룬다) ::: :::{admonition} 힌트 1 — 방향 :class: quotebox dropdown $n = 1, 2, 3, \dots$을 차례로 확인하는 길은 39번 실패한다. 방향을 바꾼다: $f(n)$이 소수가 **아니려면** 인수분해가 되어야 한다. $n^2 + n + 41$의 세 항이 **공통 약수**를 갖게 되는 $n$은 언제인가? ::: :::{admonition} 힌트 2 — 마지막 계단 :class: quotebox dropdown $40^2 + 40 = 40 \times 41$이다. 그러면 $f(40) = 40 \times 41 + 41 = 41 \times (\,\underline{\quad}\,)$ — 이 수는 소수인가? ::: **19.** 다음 주장을 반박하시오: "모든 소수는 홀수이다." **20.** (서술) 문제 18~19의 경험을 바탕으로, "예시를 아무리 많이 확인해도 증명이 되지 않는 이유"와 "그럼에도 문자 $n$을 쓴 증명 한 번이면 충분한 이유"를 각각 두 문장 이내로 쓰시오. (확인 13이 두 번째 물음의 준비였다.) ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다. **1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용.** 3단계 틀과 근거 목록(§1.6)만 펴 놓고, 예제 2.1을 처음부터 끝까지 적는다. 정의와 본문은 보지 않는다. **2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다: - [ ] 짝수$\cdot$홀수의 정의를 수식으로 썼다 ("정수 $k$가 존재한다"까지 조각 그대로). - [ ] 예제 2.1(짝+짝)과 2.3(홀+홀)을 백지에 처음부터 끝까지 재현했다. - [ ] 재현한 증명에서 ① 문자 잡기 ② 정의 풀기 ③ 목표 꼴 변형의 3단계를 손가락으로 짚을 수 있다. - [ ] 각 줄의 근거가 ①~③ 중 무엇인지 말할 수 있다. - [ ] "왜 서로 다른 문자 $a, b$를 쓰는가?"에 한 문장으로 답했다. **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | 첫 문장부터 나오지 않는다 | 예제 2.1의 1단계 — 첫 문장은 창작이 아니라 정해진 형식이다 | | 정의가 정확히 기억나지 않는다 | §1.3 해부 표 — 조각의 이유와 함께 다시 외운다 | | 2로 묶은 다음이 나오지 않는다 | 예제 2.1의 4~5단계 — 정수 확인과 결론 선언 | | 어디서 시작할지 모르겠다 | 번역표(예제 2.1 설계) — 가정과 목표를 먼저 수식으로 옮긴다 | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) $2a + 1$ (2) $2b$ (3) $(2a+1) + 2b$ (4) $a + b$ (5) $a + b$ ※ (3)에서 $2a + 2b + 1 = 2(a+b) + 1$로 묶는 것이 핵심 변형이다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) 짝수 (2) $2a$ (3) $2b$ (4) $2a - 2b$ (5) $a - b$ (6) 정수의 차는 정수 (근거 ②) (7) 짝수 ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) $3k$ (2) $m$과 $n$을 3의 배수라 하자. (3) 정의에 의해 $m = 3a$, $n = 3b$인 정수 $a, b$가 존재한다. (4) $m + n = 3a + 3b = 3(a+b)$이고, $a+b$는 정수이므로 $m + n$은 3의 배수이다. $\blacksquare$ ※ 새 개념이라도 정의를 세우는 순간 3단계 틀이 그대로 작동한다. ### 문제 1 **접근.** "짝수임을 보여라" = "정의의 꼴 $2 \times (\text{정수})$로 실제로 써 보여라". 34를 2로 나눠 몫을 확인하면 끝. **풀이.** $34 = 2 \times 17$이고 $17 \in \mathbb{Z}$이므로 짝수이다. $\blacksquare$ ### 문제 2 **접근.** 홀수의 정의 꼴은 $2k + 1$. 음수라서 헷갈리면 "$-15$에서 1을 뺀 $-16$이 2의 배수인가?"를 확인하면 $k$가 나온다: $-16 = 2 \times (-8)$. **풀이.** $-15 = 2 \times (-8) + 1$이고 $-8 \in \mathbb{Z}$이므로 홀수이다. $\blacksquare$ ※ $-15 = 2 \times (-7) - 1$로 쓰고 싶어지지만, 정의는 $2k+1$ 꼴이다. 정의의 꼴에 정확히 맞추는 습관을 들인다. ### 문제 3 **접근.** "0이나 음수는 짝수인가?" 같은 망설임이 들면 그것이 바로 정의로 돌아가라는 신호다. 정의는 $k$가 어떤 정수든(0이든 음수든) 허용한다. **풀이.** (a) $0 = 2 \times 0$이고 $0 \in \mathbb{Z}$이므로 짝수. (b) $-100 = 2 \times (-50)$이고 $-50 \in \mathbb{Z}$이므로 짝수. $\blacksquare$ ### 문제 4 **접근.** 정의 꼴에 "맞춰 넣는" 연습. (b)는 문제 2처럼 1을 먼저 떼어 놓고 나머지를 2로 나눈다. **풀이.** (a) $48 = 2 \times 24$, $k = 24$. (b) $-33 = 2 \times (-17) + 1$, $k = -17$ (확인: $2(-17)+1 = -34+1 = -33$ ✓). ### 문제 5 **접근.** 세 선택지의 차이는 "$k$에 붙은 조건". 정의에서 단어 하나를 빼면 무엇이 무너지는지 시험한다 — §1.3의 삭제 실험 그대로. **풀이.** **(b).** (a)는 $k$가 정수라는 조건이 빠져 틀렸고($n=3$도 $3 = 2 \times 1.5$로 쓸 수 있으므로 모든 수가 짝수가 되어버린다), (c)는 수식이 아니라 느낌이다. **"정수 $k$가 존재한다"는 조건이 정의의 생명이다.** ### 문제 6 **접근.** 결론(4의 배수)이 수상하다: 2+4=6은 4의 배수가 아니다. 그런데 계산은 그럴듯해 보인다 $\to$ 계산이 아니라 **설정 단계**에 오류가 숨어 있다는 뜻이다. 각 줄이 "모든 짝수 $m, n$"을 정말 대표하는지 검사한다. **풀이.** 둘째 줄 "$m = 2k$, $n = 2k$"가 오류. 같은 문자 $k$를 재사용하면 $m = n$이라고 몰래 가정한 것이 되어, "같은 짝수 두 개의 합"($2k + 2k = 4k$)만 다룬 셈이다. 실제로 $m = 2, n = 4$면 $m + n = 6$은 4의 배수가 아니므로 원래 명제 자체가 거짓. 올바른 설정은 $m = 2a$, $n = 2b$ (서로 다른 문자). **복기.** 이 오류가 그럴듯한 이유는 계산이 한 줄도 틀리지 않았기 때문이다. 오류는 계산이 아니라 선언("$n = 2k$"라고 적은 순간)에 있다. 증명 검사는 계산 검사이기 전에 설정 검사다. ### 문제 7 **접근.** 번역표부터: 가정 = $m$ 짝수, $n$ 홀수 / 목표 = $m - n$이 홀수, 즉 $2(\text{정수}) + 1$ 꼴. 정의를 풀고 빼 보면 $2a - 2b - 1$처럼 "$-1$"이 나와서 목표 꼴($+1$)과 어긋난다 — 이때 $-1 = -2 + 1$로 쪼개 2를 하나 더 확보한다. **풀이.** $m$을 짝수, $n$을 홀수라 하자. $m = 2a$, $n = 2b+1$인 정수 $a, b$가 존재한다. 그러면 $$ m - n = 2a - (2b+1) = 2a - 2b - 2 + 1 = 2(a - b - 1) + 1 $$ 이고 $a - b - 1 \in \mathbb{Z}$이므로 $m - n$은 홀수이다. $\blacksquare$ **포인트:** $2a - 2b - 1$에서 멈추면 정의 꼴이 아니다. **목표 꼴이 정확히 나올 때까지 변형을 밀어붙이는 것**도 기술이다. ### 문제 8 **접근.** 목표가 "홀수"이므로 목표 꼴은 $2(\text{정수}) + 1$. 두 홀수를 서로 다른 문자로 펼쳐 곱하면 — 전개는 확인 16에서 했다 — 전개식에서 1만 남기고 나머지에서 2를 묶는다. **풀이.** $m, n$을 홀수라 하자. 정의에 의해 $m = 2a+1$, $n = 2b+1$인 정수 $a, b$가 존재한다. 그러면 $$ mn = (2a+1)(2b+1) = 4ab + 2a + 2b + 1 = 2(2ab + a + b) + 1 $$ 이고, $2ab + a + b$는 정수이므로 $mn$은 홀수이다. $\blacksquare$ **복기.** 전개형 증명의 리듬: 전개 $\to$ $+1$만 남기고 $\to$ 2로 묶기. 이 리듬은 문제 11(제곱), 13(세제곱), 15($n^2-1$)에서 그대로 재사용된다. ### 문제 9 **접근.** 가정($n$ 짝수)을 정의로 풀어 $n = 2a$를 얻으면, 목표인 $n^2$은 양변을 제곱해서 만든다. "목표에 등장하는 식($n^2$)을 가정의 재료($2a$)로 조립한다"는 감각. **풀이.** $n$을 짝수라 하자. $n = 2a$인 정수 $a$가 존재한다. 그러면 $n^2 = (2a)^2 = 4a^2 = 2(2a^2)$이고, $2a^2$은 정수이므로 $n^2$은 짝수이다. $\blacksquare$ ### 문제 10 **접근.** "연속한 두 정수"라는 조건부터 수식으로 번역해야 시작된다: 하나를 $n$이라 하면 다음 수는 $n+1$. 조건의 번역도 정의 풀어쓰기의 일종이다. **풀이.** 연속한 두 정수를 $n$과 $n+1$이라 하자 ($n \in \mathbb{Z}$). 그 합은 $$ n + (n+1) = 2n + 1 $$ 이고 $n$은 정수이므로, 합은 홀수의 정의를 만족한다. $\blacksquare$ ### 문제 11 **접근.** 문제 9와 같은 구조, 재료만 홀수. $(2a+1)^2$을 전개한 뒤 문제 8의 리듬(1만 남기고 2로 묶기)이 통하는지 확인한다. **풀이.** $n$을 홀수라 하자. $n = 2a+1$인 정수 $a$가 존재한다. 그러면 $$ n^2 = (2a+1)^2 = 4a^2 + 4a + 1 = 2(2a^2 + 2a) + 1 $$ 이고 $2a^2 + 2a$는 정수이므로 $n^2$은 홀수이다. $\blacksquare$ **예고:** 거꾸로 "$n^2$이 홀수이면 $n$도 홀수"는 어떻게 증명하는가. $n^2 = 2a+1$에서 $n$을 꺼낼 방법이 없어 3단계 틀이 **막힌다**. 이 막힘을 해결하는 도구가 대우 증명(contrapositive, 19주차)이다. 지금은 "직접 증명이 통하지 않는 문제도 있다"는 것만 기억해 두자. ### 문제 12 **접근.** 홀수 둘을 서로 다른 문자로 펼쳐 빼기. $+1$끼리 소거되는 것이 보이면 끝난 것이다. **풀이.** $m, n$을 홀수라 하자. $m = 2a+1$, $n = 2b+1$인 정수 $a, b$가 존재한다. 그러면 $$ m - n = (2a+1) - (2b+1) = 2a - 2b = 2(a-b) $$ 이고 $a - b \in \mathbb{Z}$이므로 $m - n$은 짝수이다. $\blacksquare$ ### 문제 13 **접근.** 문제 11의 세제곱 버전. 전개가 커지는 것이 부담스러우면 지름길이 있다: $n^3 = n^2 \cdot n$ — 이미 증명한 "홀$\times$홀=홀"(문제 8)과 "홀수의 제곱은 홀수"(문제 11)를 **부품으로 재사용**할 수 있다. 증명된 명제는 새 증명의 근거가 된다 — 근거 ④의 첫 등장. **풀이 1 (직접 전개).** $n = 2a+1$이라 하면 $$ n^3 = (2a+1)^3 = 8a^3 + 12a^2 + 6a + 1 = 2(4a^3 + 6a^2 + 3a) + 1 $$ 이고 괄호 안은 정수이므로 $n^3$은 홀수이다. $\blacksquare$ **풀이 2 (부품 재사용).** $n$이 홀수이면 문제 11에 의해 $n^2$이 홀수이고, 홀수 $n^2$과 홀수 $n$의 곱 $n^3$은 문제 8에 의해 홀수이다. $\blacksquare$ 두 풀이 모두 정답이다. 풀이 2처럼 **이미 증명한 정리를 쌓아 올리는 방식**이 수학이 커지는 방식이다. ### 문제 14 **접근.** 조건 번역: 연속한 세 정수는 $n, n+1, n+2$ (또는 가운데를 $n$으로 잡아 $n-1, n, n+1$ — 계산이 더 깔끔하다). 목표 꼴은 $3 \times (\text{정수})$ — 훈련 3에서 세운 그 정의. **풀이.** 연속한 세 정수를 $n-1, n, n+1$이라 하자 ($n \in \mathbb{Z}$). 합은 $$ (n-1) + n + (n+1) = 3n $$ 이고 $n \in \mathbb{Z}$이므로 합은 3의 배수이다. $\blacksquare$ ($n, n+1, n+2$로 잡으면 합이 $3n + 3 = 3(n+1)$ — 역시 정답. **문자를 어디에 두느냐로 계산량이 달라진다**는 것도 배울 점이다.) ### 문제 15 **접근.** 가정: $n = 2a+1$. 목표: $n^2 - 1 = 4(\text{정수})$. 일단 $n^2 - 1$을 가정의 재료로 전개해 보고, 4로 묶이는지 확인한다. **풀이.** $n$을 홀수라 하자. $n = 2a+1$인 정수 $a$가 존재한다. 그러면 $$ n^2 - 1 = (2a+1)^2 - 1 = 4a^2 + 4a = 4(a^2 + a) $$ 이고 $a^2 + a$는 정수이므로 $n^2 - 1$은 4의 배수이다. $\blacksquare$ **관찰:** $4a^2 + 4a = 4a(a+1)$로도 묶인다. $a(a+1)$은 연속한 두 정수의 곱 — 이 관찰이 문제 16, 17로 이어진다. ### 문제 16 **접근.** $a(a+1)$에서 $a$가 무엇인지 모르므로 정의를 하나로 풀 수 없다. 문제에 딸린 상자의 사실 — 모든 정수는 짝수 아니면 홀수 — 을 인정하고 쓰면, 두 경우로 나눠 각 경우에는 정의를 쓸 수 있다. "정보가 부족해 막히면, 전체를 빠짐없이 나눠 각각 처리한다"가 경우 나누기의 원리다. **풀이.** **경우 1: $a$가 짝수.** $a = 2k$인 정수 $k$가 존재하므로 $a(a+1) = 2k(a+1) = 2\big(k(a+1)\big)$. 괄호 안은 정수이므로 짝수. **경우 2: $a$가 홀수.** $a = 2k+1$인 정수 $k$가 존재하므로 $a + 1 = 2k+2 = 2(k+1)$. 따라서 $a(a+1) = a \cdot 2(k+1) = 2\big(a(k+1)\big)$ — 짝수. 모든 정수는 짝수이거나 홀수이므로 두 경우로 충분하고, 어느 경우든 $a(a+1)$은 짝수이다. $\blacksquare$ **포인트:** 경우 나누기의 채점 기준은 ① 경우들이 전체를 빠짐없이 덮는가 ② 각 경우가 완결됐는가. (17주차에서 본격 훈련) ### 문제 17 **접근.** 문제 15에서 $n^2 - 1 = 4a(a+1)$까지 왔다. 목표는 $8 \times (\text{정수})$이므로 4 뒤에 붙은 $a(a+1)$에서 2가 하나 더 나오면 된다 — 그것이 정확히 문제 16이다. **직전 문제들이 부품이 되도록 설계된 문제**임을 알아채는 것도 실력이다. **풀이.** $n$을 홀수라 하자. 문제 15의 계산에 의해 $n^2 - 1 = 4a(a+1)$ (단, $n = 2a+1$, $a \in \mathbb{Z}$). 문제 16에 의해 $a(a+1)$은 짝수이므로 $a(a+1) = 2m$인 정수 $m$이 존재한다. 따라서 $$ n^2 - 1 = 4 \cdot 2m = 8m $$ 이고 $m \in \mathbb{Z}$이므로 $n^2 - 1$은 8의 배수이다. $\blacksquare$ (검산: $n = 5 \Rightarrow n^2 - 1 = 24 = 8 \times 3$ ✓. 검산은 증명이 아니지만 오류 탐지기로는 훌륭하다.) ### 문제 18 **접근.** "모든 $n$에 대해 ~이다"가 거짓임을 보이는 데는 **반례 하나**면 충분하다(문제에 딸린 상자, 9~10주차에서 정식화). 반례 후보를 어디서 찾는가. $f(n) = n^2 + n + 41$이 소수가 아니려면 인수분해가 되어야 한다. $n^2 + n + 41$의 세 항이 모두 41의 배수가 되는 순간을 노리면 — $n$이 41의 배수일 때, 또는 $n = 40$일 때 ($40^2 + 40 = 40 \cdot 41$). **풀이.** 반례: $n = 40$. $$ f(40) = 40^2 + 40 + 41 = 40 \cdot 41 + 41 = 41 \cdot (40 + 1) = 41^2 = 1681 $$ $1681 = 41 \times 41$은 소수가 아니므로 명제는 거짓이다. ($n = 41$도 반례: $41^2 + 41 + 41 = 41 \times 43$.) **교훈:** $n = 1$부터 39까지 39개의 예시가 성립하지만 명제는 거짓이다. 예시 확인은 증명이 될 수 없다. ### 문제 19 **접근.** "모든 소수는 홀수" — 짝수인 소수가 하나라도 있으면 무너진다. 짝수 중에 약수가 1과 자신뿐인 수가 있는지 가장 작은 것부터 훑는다. **풀이.** 반례: $2$. $2$는 소수이지만(약수가 1과 2뿐) 짝수이므로 홀수가 아니다. 따라서 명제는 거짓이다. (참고: 2는 유일한 짝수 소수다 — 2보다 큰 짝수는 2를 약수로 가진다. "유일한"의 증명은 26주차 유일성 증명에서 다룬다.) ### 문제 20 **접근.** 문제 18에서 "39개 확인해도 거짓", 문제 8~17에서 "문자 하나로 무한히 많은 경우를 처리" — 이 두 경험을 일반화해 문장으로 만든다. 확인 13의 대입 관찰이 두 번째 물음의 근거다. **풀이.** (예시 답안) 예시 확인은 확인한 그 숫자들에 대해서만 참임을 보장할 뿐, 확인하지 않은 무한히 많은 경우 중에 반례가 숨어 있을 수 있다(실제로 문제 18은 40번째에서 무너졌다). 반면 문자 $n$을 쓴 증명은 $n$에 어떤 정수를 넣어도 성립하는 변형만 사용하므로, 무한히 많은 경우를 **한 번에** 처리한다. --- **다음 주 예고:** "나누어떨어진다"를 정의하고($a \mid b$), 처음으로 눈에 보이지 않는 추상적 성질(추이성)을 증명한다. 이번 주의 번역표와 3단계 틀이 그대로 쓰인다 — 재료만 바뀐다.