45주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#
예제 — ε-N 증명을 함께 만들기#
예제 2.1은 번역표부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하며, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한 뒤 완성된 산문을 본다.
예제 2.1 — 원형: \(\lim \frac{1}{n} = 0\)#
명제. \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\).
설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 받는 것(출발점)과 만들 것(도착점)을 정의 45.1로 번역해서 먼저 정한다.
말 |
수식 번역 |
|
|---|---|---|
가정 (받는 것) |
오차 한계가 하나 주어진다 |
\(\varepsilon > 0\) (\(\varepsilon\)은 임의) |
목표 (만들 것) |
\(\frac1n \to 0\) |
자연수 \(N\)을 제시하고, \(n > N\)인 모든 \(n\)에 대해 \(\frac1n < \varepsilon\)을 보인다 |
확인 10. 이 증명에서 우리가 만들어 내야 하는 대상은 무엇이고,
상대에게서 받는 것은 무엇인가?
답
만들어 내야 하는 것은 자연수 \(N\) 하나다(\(\exists N\)이므로 제시 책임이 우리에게 있다). 받는
것은 오차 한계 \(\varepsilon\)이다(\(\forall \varepsilon\)이므로 값을 고를 권한이 없고 임의의
값으로 취급해야 한다). 2주차 §1.3의 방향 표가 양화사 두 개에 각각 적용된 것이다.
연습장 — \(N\)을 발견한다. 목표 부등식을 \(n\)에 대해 거꾸로 푼다.
따라서 \(N\)은 \(\frac{1}{\varepsilon}\)보다 큰 자연수면 된다. 여기까지가 연습장이고, 본문에는 결과만 선언한다.
1단계 — 오차를 받는다.
확인 11. 첫 문장을 완성해 보자: “\(\underline{\qquad}\)이 임의로 주어졌다고 하자.”
“임의로”를 빼면 무엇이 달라지는가?
답
“\(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자.” “임의로”가 빠지면 특정 값 하나를 다루는
문장으로 읽힐 수 있고, 그것이 §1.3의 조각 삭제 실험 ②가 보인 붕괴다. 이 낱말이 $\forall
\varepsilon$을 문장으로 옮긴 부분이다.
2단계 — 문턱을 선언한다.
확인 12. 둘째 문장을 완성해 보자: “\(\underline{\qquad}\) 성질에 의해
\(\frac1N < \varepsilon\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 이 \(N\)을 잡자.”
답
“아르키메데스 성질에 의해 …” — 근거 ④다. 연습장에서 얻은 조건 “$N >
\frac{1}{\varepsilon}\("은 "\)\frac1N < \varepsilon$”과 같은 말이므로, 성질의 진술 꼴 그대로
인용하는 편이 짧다. 근거 없이 \(N\)만 내놓으면 그 \(N\)이 자연수로 존재한다는 것을 확인하지 않은
셈이 된다(확인 7).
3단계 — 문턱 뒤의 임의의 항을 잡는다.
확인 13. 셋째 문장을 완성해 보자: “\(\underline{\qquad}\)이라 하자.”
여기서 \(n\)을 구체적인 수로 잡으면 왜 안 되는가?
답
“\(n > N\)이라 하자.” 정의가 요구하는 것은 \(\forall n\,(n > N \Rightarrow \cdots)\)이므로
문턱을 넘는 모든 \(n\)에 대해 확인해야 한다. \(n = N + 1\)처럼 하나를 고르면 나머지 항에
대해서는 아무 말도 하지 않은 것이 된다 — §1.1의 실패 사례 ②가 통과해 버리는 그 구멍이다.
4단계 — 부등식 사슬로 \(\varepsilon\)까지 간다.
확인 14. 마지막 계산을 완성해 보자:
“$\left|\frac1n - 0\right| = \frac1n < \underline{ (1) } <
\underline{ (2) }$.” 첫 부등호의 근거는 무엇인가?
답
(1) \(\frac1N\) (2) \(\varepsilon\). 첫 부등호의 근거는 “\(0 < N < n\)이면
\(\frac1n < \frac1N\)”이며, 양변에 양수 \(\frac{1}{nN}\)을 곱하는 것으로 (W3)과 (W5)에서
나온다(근거 ③). 둘째 부등호는 2단계에서 잡은 \(N\)의 성질이다. 두 부등식을 (W6) 추이성으로
이으면 \(\frac1n < \varepsilon\)이 된다.
완성본. 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.
증명의 한 줄 |
왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
\(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. |
\(\forall \varepsilon\)을 문장으로 옮긴 줄. “임의로”가 값을 고를 권한이 없음을 명시한다. |
아르키메데스 성질에 의해 \(\frac{1}{N} < \varepsilon\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 이 \(N\)을 잡자. |
\(\exists N\)의 제시 책임을 이행하고 존재 근거(근거 ④)를 밝힌다. 연습장의 역산이 여기 한 줄로 압축된다. |
\(n > N\)이라 하자. |
\(\forall n\)을 옮긴 줄. 특정 값이 아니라 문턱을 넘는 임의의 \(n\)이다. |
그러면 \(\left\lvert \frac{1}{n} - 0 \right\rvert = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \varepsilon\)이다. |
\(0 < N < n\)에서 \(\frac1n < \frac1N\)((W3)(W5)), 그 뒤는 \(N\)의 성질. 사슬을 (W6)으로 잇는다. |
따라서 정의 45.1에 의해 \(\lim_{n\to\infty} \frac1n = 0\)이다. \(\blacksquare\) |
정의 충족 선언. 어떤 정의를 만족했는지 이름을 적는다. |
확인 15. \(\varepsilon = 0.001\)일 때 둘째 줄의 \(N\)으로 무엇을 잡을 수 있고,
\(n = 1234\)에서 넷째 줄은 어떤 부등식이 되는가?
답
\(N = 1001\)을 잡을 수 있다. \(n = 1234 > 1001\)이므로 넷째 줄은 $\frac{1}{1234} <
\frac{1}{1001} < 0.001\(이 된다 — 모든 줄이 그대로 성립한다. \)\varepsilon$을 다른 수로 바꿔도
같은 네 줄이 작동한다. 문자 하나로 쓴 증명이 무한히 많은 오차 요구를 한 번에 처리하는 것이
2주차 확인 13의 일반성과 같은 구조다.
예제 2.2 — 표준형: \(\lim \frac{2n+1}{n} = 2\)#
명제. \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n} = 2\). 이번에는 설계만 함께 하고, 증명은 완성된 산문으로 본다.
확인 16. \(\left|\frac{2n+1}{n} - 2\right|\)를 하나의 분수로 정리하면
\(\underline{\qquad}\)이고, 이것이 \(\varepsilon\)보다 작을 조건을 \(n\)에 대해 풀면 $n >
\underline{ }$이다.
답
\(\left|\frac{2n+1}{n} - 2\right| = \left|\frac{2n+1-2n}{n}\right| = \frac{1}{n}\)이고, 조건은
\(n > \frac{1}{\varepsilon}\)이다. 예제 2.1과 완전히 같은 조건이므로 문턱도 그대로
재사용한다. \(\varepsilon\)-N 증명의 첫수는 거의 언제나 \(|a_n - L|\)을 하나의 분수로 정리하는 것이고,
정리하면 이미 처리한 꼴로 환원되는 경우가 많다.
증명. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 의해 \(\frac1N < \varepsilon\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 이 \(N\)을 잡자. \(n > N\)이라 하자. 그러면
이다. 따라서 정의 45.1에 의해 \(\lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{n} = 2\)이다. \(\blacksquare\)
여기서 한 일은 새 증명을 만든 것이 아니라 계산으로 예제 2.1의 상황을 만들어 낸 것이다. 문제 7~10과 문제 15가 전부 같은 리듬으로 진행된다.
예제 2.3 — 발산: \((-1)^n\)은 수렴하지 않는다#
명제. 수열 \(a_n = (-1)^n\)은 어떤 실수로도 수렴하지 않는다. 이번에는 설계부터 스스로 한 뒤 산문을 확인한다.
확인 17. 21주차의 귀류법으로 시작한다면 첫 문장은 무엇이며, 그다음 정의 45.1을
어떻게 쓰게 되는가?
답
“모순을 이끌어내기 위해 \(a_n \to L\)인 실수 \(L\)이 존재한다고 가정하자.” 그러면 정의 45.1이
가정으로 손에 들어오고, 가정 쪽의 \(\forall \varepsilon\)은 값을 골라 쓸 수 있는 자원이
된다(§1.3의 방향 감각이 뒤집힌 자리다). 짝수 항(\(+1\))과 홀수 항(\(-1\))의 거리가 2이므로
\(\varepsilon = 1\)이면 둘이 같은 \(L\) 근처에 동시에 있을 수 없다.
증명. 모순을 이끌어내기 위해 \(a_n \to L\)인 실수 \(L\)이 존재한다고 가정하자. 정의 45.1은 모든 양수 \(\varepsilon\)에 대해 성립하므로 \(\varepsilon = 1\)에 대해서도 성립한다. 그러면 자연수 \(N\)이 존재하여, \(n > N\)이면 \(|a_n - L| < 1\)이다. \(N\)보다 큰 짝수 \(n_1\)과 홀수 \(n_2\)를 잡으면 \(a_{n_1} = 1\), \(a_{n_2} = -1\)이므로 \(|1 - L| < 1\)이고 \(|-1 - L| < 1\)이다. 뒤의 것은 \(|-1 - L| = |-(L + 1)| = |L + 1|\)이므로(17주차 문제 4) \(|L + 1| < 1\)로 적을 수 있다. 삼각부등식(17주차 문제 12)에 의해
이므로 \(2 < 2\)가 되어 모순이다. 따라서 그런 \(L\)은 존재하지 않고, \((-1)^n\)은 발산한다. \(\blacksquare\)
구조 읽기. ① 귀류법(21주차) — 부정 명제이므로 존재를 가정해 모순을 만든다. ② 고른 \(\varepsilon\) — 가정 쪽의 \(\forall\)는 자원이므로 편한 값 하나를 쓴다. ③ 삼각부등식 — 두 항이 멀면 하나의 \(L\) 근처에 동시에 있을 수 없음을 부등식으로 만든다. 문제 11(유일성)이 같은 세 부품을 그대로 다시 쓴다.
관찰 — 같은 뼈대#
걸음 |
예제 2.1 |
예제 2.2 |
예제 2.3 |
|---|---|---|---|
① 오차 |
\(\varepsilon > 0\) 주어짐 |
\(\varepsilon > 0\) 주어짐 |
\(\underline{\quad(1)\quad}\) |
② 문턱 |
아르키메데스로 \(\frac1N < \varepsilon\) |
\(\underline{\quad(2)\quad}\) |
가정에서 \(N\)을 받음 |
③ 항 |
\(n > N\)이라 하자 |
\(n > N\)이라 하자 |
\(N\)보다 큰 짝수\(\cdot\)홀수 |
④ 사슬 |
\(\frac1n < \frac1N < \varepsilon\) |
\(\underline{\quad(3)\quad}\) |
삼각부등식으로 \(2 < 2\) |
확인 18. 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 예제 2.3만 ①과 ②의 성격이 다른 이유를
한 문장으로 적어 보자.
답
(1) \(\varepsilon = 1\)을 우리가 고름 (2) 아르키메데스로 \(\frac1N < \varepsilon\)
(3) \(\left|\frac{2n+1}{n} - 2\right| = \frac1n < \frac1N < \varepsilon\).
예제 2.1과 2.2는 정의 45.1을 증명하는 쪽이라 \(\varepsilon\)을 받고 \(N\)을 만들지만, 예제
2.3은 정의 45.1을 가정으로 쓰는 쪽이라 \(\varepsilon\)을 골라 쓰고 \(N\)을 받는다.
이번 주에 확인한 것
모든 \(\varepsilon\)-N 증명은 네 걸음(오차 받기 \(\to\) 문턱 선언 \(\to\) 항 잡기 \(\to\) 사슬 계산)으로 진행된다. 이 틀을
\(\varepsilon\)-N 서식이라 부른다. 정의를 가정으로 쓸 때는 같은 네 걸음의 방향이 뒤집힌다 — 오차를
고르고 문턱을 받는다.
빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#
훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.
훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸#
명제. \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0\).
증명. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 의해 \(\frac1N < \varepsilon\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 이 \(N\)을 잡자. \(n > N\)이면
이다. (첫 부등호(\(\le\))의 근거: \(n \ge 1\)이므로 \(n^2 = n \cdot n \ge n \cdot \underline{\quad(2)\quad} = n\)이고, 따라서 \(\frac{1}{n^2} \le \frac1n\)이다.) 그러므로 정의 45.1에 의해 극한은 0이다. \(\blacksquare\)
훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#
명제. \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} = 0\).
증명. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(\frac{\varepsilon}{7} > 0\)이므로 (\(\underline{\quad(1)\quad}\) — 근거 ②), \(\underline{\quad(2)\quad}\) 성질에 의해 \(\frac1N < \underline{\quad(3)\quad}\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 이 \(N\)을 잡자. \(n > N\)이라 하자. 그러면
이다. (두 부등호 모두 양변에 양수 7을 곱해 얻는다 — 첫째는 \(0 < N < n\)에서 나온 \(\frac1n < \frac1N\)에, 둘째는 문턱의 성질 \(\frac1N < \frac{\varepsilon}{7}\)에 곱한 것이다. 두 곱셈의 근거는 같다 — \(\underline{\quad(5)\quad}\).) 따라서 극한은 0이다. \(\blacksquare\)
훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#
명제. \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2}\).
증명의 뼈대.
연습장(역산): \(\left|\dfrac{n}{2n+1} - \dfrac12\right| = \underline{\quad(1)\quad}\)
① 오차 받기: \(\underline{\quad(2)\quad}\)
② 문턱 선언: \(\underline{\quad(3)\quad}\)
③ 항 잡기: \(\underline{\quad(4)\quad}\)
④ 사슬 계산과 마무리: \(\underline{\quad(5)\quad}\)
(연습장에서 정리한 분수의 분모가 \(n\)보다 크다는 점을 이용하면 예제 2.1의 문턱을 그대로 재사용할 수 있다. 이 훈련이 문제 9와 문제 10의 예행연습이다.)
연습문제 (20문항)#
해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다 \(\to\) 그래도 안 되면 풀이를 읽는다.
이번 주의 채점 기준
답이 아니라 근거가 점수다. “\(\frac1n\)은 0으로 간다(맞음)”은 0점이고, “\(\varepsilon\)이
주어졌을 때 아르키메데스 성질로 \(\frac1N < \varepsilon\)인 \(N\)을 잡으면 \(n > N\)인 모든
\(n\)에서 \(\frac1n < \frac1N < \varepsilon\)이다”가 만점이다. 특히 세 곳을 본다 — ① 첫 줄에
“임의로 주어졌다”가 있는가 ② \(N\)의 존재 근거를 적었는가
③ 부등식 사슬의 끝이 \(\varepsilon\)인가. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.
기본 ●○○#
1. [백지] 수렴의 \(\varepsilon\)-N 정의를 쓰고, 세 양화사(\(\forall\varepsilon, \exists N, \forall n\))가 각각 두 역할 중 어느 쪽에 해당하는지 쓰시오.
힌트
정의는 정의 45.1, 두 역할로 읽는 법은 그 아래의 단락이다. 양화사마다 “누가 정하는가”와
“무엇을 요구하는가” 두 가지를 적는다.
2. (워밍업) \(a_n = \frac1n\)에 대해, 다음 각 \(\varepsilon\)에 대해 제시할 수 있는 \(N\)을 하나씩 제시하시오 (증명 불필요, 수치만): (a) \(\varepsilon = 0.1\) (b) \(\varepsilon = 0.01\) (c) \(\varepsilon = \frac{1}{1000}\)
힌트
§1.2의 표와 같은 계산이다 — \(\frac1n < \varepsilon\)을 \(n\)에 대해 푼다. 조건을 만족하는 \(N\)은
여러 개이고 하나만 제시하면 된다.
3. 상수열 \(a_n = c\)가 \(c\)로 수렴함을 증명하시오.
힌트
\(|a_n - c|\)를 먼저 계산해 보면 그 값이 \(n\)과 무관하게 정해진다. 그러면 \(N\)을 무엇으로 잡아도
네 걸음의 ④가 성립한다.
4. 빈칸 사다리 훈련 1(\(\frac{1}{n^2} \to 0\))을 백지에서 완성하시오.
힌트
관건은 \(\frac{1}{n^2}\)을 \(\frac1n\)으로 갈아 끼우는 한 수다. 32주차의 눌러놓기와 같은 방향
규칙 — 사슬 중간의 값을 키우는 교체만 넣어야 마지막의 \(< \varepsilon\)이 원래 식에 대한
결론이 된다.
5. 예제 2.1(\(\frac1n \to 0\))을 백지에 재현하시오.
힌트
네 줄이다. 각 줄이 정의 45.1의 어느 조각을 옮긴 것인지 짚으면서 쓰고, 둘째 줄에서 근거
이름(아르키메데스 성질)을 빠뜨리지 않는다.
6. “\(|a_n - L| < \varepsilon\)”을 구간의 언어로 번역하시오: \(a_n \in \underline{\qquad}\). 그리고 \(L = 3, \varepsilon = 0.5\)일 때 그 구간을 명시하시오.
힌트
17주차 문제 11의 보조정리를 \(a = a_n - L\), \(b = \varepsilon\)으로 적용한 뒤 각 변에 \(L\)을
더한다. 정의 45.1 아래에 같은 변형이 있다.
표준 ●●○#
7. \(\lim \dfrac{3n + 2}{n} = 3\)을 증명하시오.
힌트
첫수는 \(|a_n - L|\)을 하나의 분수로 정리하는 것이다. 분자가 상수인 분수가 남으면 그 상수를
\(\varepsilon\) 쪽으로 넘겨 문턱을 \(\frac1N < \frac{\varepsilon}{(\text{상수})}\)로 잡는다(훈련
2와 같은 수법).
8. \(\lim \dfrac{1}{n + 3} = 0\)을 증명하시오. (연습장: \(\frac{1}{n+3} < \frac1n\) — 부품 재사용)
9. \(\lim \dfrac{n}{n+1} = 1\)을 증명하시오 (3주차 문제 15의 완성이다). (연습장: \(\left|\frac{n}{n+1} - 1\right| = \frac{1}{n+1}\))
10. \(\lim \dfrac{5}{2n - 1} = 0\)을 증명하시오. (연습장: \(2n - 1 \ge n\) (\(n \ge 1\))이므로 \(\frac{5}{2n-1} \le \frac5n\) — \(N\)은 \(\frac1N < \frac\varepsilon 5\)로)
두 정의를 동시에 발동하기 — 문제 11에서 처음 쓴다
가정이 둘이면 정의 45.1을 두 번 발동해 문턱 \(N_1\)과 \(N_2\)를 각각 받는다. 두 조건을
동시에 쓰려면 둘 다 넘는 \(n\)이 필요하고, \(n > \max(N_1, N_2)\)가 그것이다 — 큰 쪽을
넘으면 작은 쪽도 넘기 때문이다. 이 수법을 \(\max\) 문턱이라 부르며, 46주차의 합의 극한 법칙이
이 위에 세워진다.
11. (극한의 유일성) \(a_n \to L\)이고 \(a_n \to L'\)이면 \(L = L'\)임을 증명하시오.
힌트
26주차 유일성 서식대로 \(L \neq L'\)을 가정해 모순을 노린다. 두 수가 다르면 $|L - L’| >
0\(이므로 \)\varepsilon = \frac{|L-L’|}{2}\(이 양수이고, 이 값으로 두 정의를 발동한다. \)\max$
문턱으로 \(n\)을 하나 잡은 뒤 \(L\)과 \(L'\)을 \(a_n\)을 경유해 삼각부등식으로 잇는다.
12. 수렴 정의의 부정을 층별로 완성하시오 (11주차 문제 15의 백지 재현): “\((a_n)\)이 \(L\)로 수렴하지 않는다 \(\iff\) …”
힌트
11주차의 규칙을 바깥에서부터 적용한다 — \(\forall\)는 \(\exists\)로, \(\exists\)는 \(\forall\)로,
조건문 \(P \Rightarrow Q\)의 부정은 \(P \land \lnot Q\)로. 마지막 층에서 \(<\)의 부정이 \(\ge\)가
되는 것에 주의한다.
13. 예제 2.3(\((-1)^n\) 발산)을 백지에 재현하시오.
힌트
부품 세 개의 이름만 짚는다. ① 귀류법(21주차) — 부정 명제이므로 \((-1)^n \to L\)인 실수 \(L\)의
존재를 가정한다. ② 고른 \(\varepsilon\) — 정의가 가정 쪽에 있으므로 값을 골라 쓸 수 있고,
짝수 항과 홀수 항의 거리가 2라는 점이 고르는 기준이다. ③ 삼각부등식(17주차 문제 12) —
두 거리를 하나로 합쳐 \(2 < 2\)를 만든다. 사슬은 스스로 세운다.
14. \(a_n \to L\)이면 \(a_n + 5 \to L + 5\)임을 증명하시오. (같은 \(\varepsilon\), 같은 \(N\)이 그대로 작동함을 확인 — \(|(a_n + 5) - (L+5)| = |a_n - L|\))
도전 ●●●#
15. \(\lim \dfrac{n^2 - 1}{n^2} = 1\)을 증명하시오.
힌트
차를 정리하면 훈련 1에서 다룬 분수가 그대로 나온다. 그러면 훈련 1의 사슬을 통째로 재사용할
수 있다.
\(N\)을 \(\varepsilon\)의 다른 식으로 — 문제 16에서 처음 쓴다
목표 부등식을 역산했을 때 \(\varepsilon\)의 제곱 같은 식이 나와도, 그 식이 양수이기만 하면
아르키메데스 성질을 그대로 적용할 수 있다(\(\varepsilon^2 > 0\)은 근거 ②). \(N\)의 모양이
문제마다 달라지는 것은 \(\exists N\)이 \(\forall \varepsilon\) 뒤에 있기 때문이며(§1.4),
달라져야 정상이다. 이 문제는 16주차 §1.2에서 이미 인정한 사실(양의 실수의 제곱근이
존재한다)을 그대로 쓴다 — 근거 ④에 실려 있는 항목이다.
16. \(\lim \dfrac{1}{\sqrt n} = 0\)을 증명하시오. (연습장: \(\frac{1}{\sqrt n} < \varepsilon \iff n > \frac{1}{\varepsilon^2}\) — \(N\)을 \(\frac1N < \varepsilon^2\)으로 잡고, \(n > N\)에서 \(\frac{1}{\sqrt n} = \sqrt{\frac1n} < \sqrt{\frac1N}\)… 16주차 문제 11(제곱 비교)로 마감)
힌트
\(\frac1n < \varepsilon^2\)에서 \(\frac{1}{\sqrt n} < \varepsilon\)으로 넘어가는 한 줄이
관건이다. 결론을 부정해 \(\frac{1}{\sqrt n} \ge \varepsilon\)을 가정한 뒤,
\(\varepsilon < \frac{1}{\sqrt n}\)인 경우와 \(\varepsilon = \frac{1}{\sqrt n}\)인 경우로 나누어
각각 제곱하면(앞은 16주차 문제 11, 뒤는 등식) 모순이 나온다.
17. \(a_n \to L\) (\(L > 0\))이면 어떤 문턱 이후 모든 \(a_n > 0\)임을 증명하시오.
힌트
정의가 가정 쪽에 있으므로 \(\varepsilon\)을 골라 쓸 수 있다(예제 2.3의 구조). 구간 $(L -
\varepsilon, L + \varepsilon)\(의 왼쪽 끝이 양수가 되려면 \)\varepsilon\(을 \)L$보다 작게
(\(\varepsilon < L\)) 잡아야 하는 이유를 생각해 본다.
18. (진단) 다음 답안의 결함을 지적하시오.
“명제: \(\frac1n \to 0\). 증명: \(n > N\)이라 하자. \(\varepsilon = \frac1n\)으로 잡으면… 아니, $N
= \frac1\varepsilon\(… 우선 \)\varepsilon\(을 \)\frac{1}{N}\(으로 정의하고, \)n > N\(이면 \)\frac1n
< \frac1N = \varepsilon\(이므로 수렴한다. \)\blacksquare$”
(양화사 순서(10주차)의 관점에서: 누가 먼저 정해져야 하는데 누가 먼저 정해졌는가? “\(\varepsilon\)을 내가 정한다”가 왜 정의 위반인가?)
힌트
답안의 문장 순서를 정의 45.1의 양화사 순서와 나란히 놓고 대조한다. §1.3의 조각 삭제 실험 ②가
이 답안이 실제로 증명한 것이 무엇인지 알려 준다.
19. 34주차 문제 20(b)에서 관찰한 \(\frac{F_{n+1}}{F_n} \to \varphi\)에 대해: (a) 이 주장을 \(\varepsilon\)-N 정의로 완전히 써 보시오 (증명은 요구하지 않음). (b) 그 증명이 이번 주 도구만으로 어렵다면 무엇이 더 필요할지 한 문장으로 추측하시오 (힌트: 카시니(34주차 문제 14)로 \(\left|\frac{F_{n+1}}{F_n} - \frac{F_n}{F_{n-1}}\right| = \frac{1}{F_n F_{n-1}}\)…).
힌트
(a)는 정의 45.1의 \(a_n\) 자리에 \(\frac{F_{n+1}}{F_n}\)을, \(L\) 자리에 \(\varphi\)를 대입하면
된다. (b)는 이번 주의 증명들이 전부 극한값을 미리 알고 시작했다는 점에 주목한다 —
카시니가 주는 것은 항들끼리의 거리이지 \(L\)과의 거리가 아니다.
20. (서술) (a) “한없이 가까워진다”(고3)와 \(\varepsilon\)-N 정의의 관계 — 직관이 어떻게 계산 가능한 조건이 되었는지 — 를 세 문장 이내로. (b) \(N\)이 \(\varepsilon\)에 의존해도 되는 이유(양화사 순서)와, 연습장/본문 분리 규율이 지키는 것을 각각 한 문장으로.
힌트
(a)는 §0의 세 유형과 §1.1의 두 실패 사례가 재료다.
(b)는 §1.4의 비교표와 §1.6의 확인 8이 각각 답의 골자다.
백지 재현 — 복습 프로토콜#
권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현.
1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용. 네 걸음 서식(§1.5)과 근거 목록(§1.7)만 펴 놓고 예제 2.1을 처음부터 끝까지 적는다. 정의 45.1과 본문은 보지 않는다.
2차 시도 (5일차) — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다.
정의 45.1을 양화사 세 개의 순서까지 정확히 썼다.
세 조각(\(\forall \varepsilon\), \(\exists N\), \(\forall n > N\))이 각각 무엇을 요구하는지 말했다.
예제 2.1을 네 줄로 재현했고, 둘째 줄에 아르키메데스 성질을 인용했다.
연습장(역산)과 본문(순방향)을 분리해서 적었다.
예제 2.3을 재현하고 세 부품(귀류법\(\cdot\)고른 \(\varepsilon\)\(\cdot\)삼각부등식)을 짚었다.
수렴 정의의 층별 부정(문제 12)을 재현했다.
\(\max\) 문턱이 왜 두 조건을 동시에 성립시키는지 설명했다.
막힌 지점별 처방.
막힌 지점 |
처방 |
|---|---|
양화사 순서가 헷갈린다 |
§1.4의 비교표 — 둘째 문장이 왜 거짓인지 다시 확인한다 |
무엇부터 써야 할지 모르겠다 |
§1.5의 네 걸음 — 첫 줄은 언제나 “\(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자” |
\(N\)을 어떻게 잡을지 모르겠다 |
§1.6 — 연습장에서 목표 부등식을 \(n\)에 대해 역산한다 |
\(N\)의 근거를 못 쓰겠다 |
§1.5의 아르키메데스 상자 — 자연수의 존재는 근거 ④로 인용한다 |
사슬이 \(\varepsilon\)에서 끝나지 않는다 |
예제 2.2 — \(\vert a_n - L\vert \)을 하나의 분수로 먼저 정리했는지 확인한다 |
발산 증명의 시작이 안 보인다 |
예제 2.3의 확인 17 — 수렴을 가정하고 \(\varepsilon\)을 고른다 |
가정이 두 개일 때 막힌다 |
문제 11 앞의 \(\max\) 문턱 상자 |
하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.
해설#
각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.
빈칸 사다리 — 훈련 1#
(1) \(\varepsilon\) (2) \(1\)
※ (2)의 자리는 \(n \ge 1\)을 쓰는 곳이다. \(n^2 = n \cdot n\)에서 뒤의 \(n\)을 1로 눌러 바꾸면 \(n^2 \ge n\)이고, 양변이 양수이므로 역수를 취하면 부등호가 뒤집혀 \(\frac{1}{n^2} \le \frac1n\)이 된다((W3)(W5)). 예제 2.1의 사슬 앞에 한 칸을 덧붙인 모양이며, 문제 4와 문제 15가 이 사슬을 그대로 재사용한다.
빈칸 사다리 — 훈련 2#
(1) 양수를 양수로 나눈 값은 양수이므로 ((W5)) (2) 아르키메데스 (3) \(\frac{\varepsilon}{7}\) (4) \(\frac{\varepsilon}{7}\) (5) (W3) — 부등식의 양변에 양수를 곱해도 방향이 유지된다
※ 상수 7을 처리하는 위치가 관건이다. 사슬 안에서 \(\frac7n < \varepsilon\)을 직접 만들려 하면 막히지만, 문턱을 잡을 때 \(\varepsilon\) 대신 \(\frac{\varepsilon}{7}\)을 쓰면 마지막 곱셈에서 7이 정확히 상쇄된다. 문제 7과 문제 10이 같은 수법을 상수 2와 5로 쓴다.
빈칸 사다리 — 훈련 3#
(1) \(\left|\dfrac{n}{2n+1} - \dfrac12\right| = \left|\dfrac{2n - (2n+1)}{2(2n+1)}\right| = \dfrac{1}{4n+2}\)
(2) \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자.
(3) 아르키메데스 성질에 의해 \(\frac1N < \varepsilon\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 이 \(N\)을 잡자.
(4) \(n > N\)이라 하자.
(5) \(n \ge 1\)이므로 \(4n + 2 > n\)이고, 따라서
이다. 그러므로 정의 45.1에 의해 \(\lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1} = \frac12\)이다. \(\blacksquare\)
※ 분모를 더 작은 \(n\)으로 갈아 끼워 분수를 키우는 것이 32주차 눌러놓기의 \(\varepsilon\)-N 판본이다.
문제 1#
접근. 정의 45.1을 재생하고, 양화사마다 “누가 정하는가”와 “무엇을 요구하는가”를 붙여 적는다.
풀이. 정의: \((a_n)\)이 \(L\)로 수렴한다는 것은
가 성립한다는 뜻이다. \(\forall \varepsilon > 0\) — 오차 한계를 상대가 정한다. 아무리 작은 양수를 내밀어도 그 전부에 대해 아래 조건이 성립해야 하며, 증명하는 쪽에는 값을 고를 권한이 없다. \(\exists N\) — 문턱은 우리가 제시한다. 조건을 만족하는 \(N\)을 하나만 제시하면 되고, \(\varepsilon\)마다 다른 \(N\)을 써도 된다(§1.4). \(\forall n\)(\(n > N\)) — 문턱을 넘은 항 전부를 검사한다. 항 하나가 아니라 꼬리 전체가 오차 안에 있어야 한다.
복기. 세 양화사의 순서가 곧 증명의 줄 순서다 — 오차를 받고, 문턱을 선언하고, 항을 잡는다. 이 순서를 함께 외우면 증명의 첫 세 줄이 저절로 나온다.
문제 2#
접근. \(\frac1n < \varepsilon \iff n > \frac{1}{\varepsilon}\)이므로, \(\frac{1}{\varepsilon}\) 이상인 자연수를 아무거나 잡는다.
풀이. (a) \(\frac1n < 0.1 \iff n > 10\)이므로 \(N = 10\). 확인하면 \(n > 10\)일 때 \(\frac1n \le \frac{1}{11} < 0.1\)이다. (b) \(\frac1n < 0.01 \iff n > 100\)이므로 \(N = 100\). \(n > 100\)이면 \(\frac1n \le \frac{1}{101} < 0.01\)이다. (c) \(\frac1n < \frac{1}{1000} \iff n > 1000\)이므로 \(N = 1000\). \(n > 1000\)이면 \(\frac1n \le \frac{1}{1001} < \frac{1}{1000}\)이다. 세 경우 모두 더 큰 \(N\)도 정답이다 — 정의는 존재만 요구하므로 최선의 \(N\)을 찾을 의무는 없다.
복기. \(\varepsilon\)이 작아질수록 \(N\)이 커지는 것이 눈에 보인다. 이 대응 \(\varepsilon \mapsto N\)이 §1.4에서 말한 의존 관계이며, 문제 5의 증명은 이 대응을 식 하나로 적은 것이다.
문제 3#
접근. \(|a_n - c| = |c - c| = 0\)이고 \(\varepsilon > 0\)이므로 ④가 \(N\)과 무관하게 성립한다. 그러면 ②에서 아무 자연수나 잡으면 된다.
풀이. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(N = 1\)로 잡자(자연수이므로 존재한다). \(n > 1\)이라 하자. 그러면
이다. 마지막 부등호는 \(\varepsilon > 0\)이라는 가정 그 자체다. 따라서 정의 45.1에 의해 \(a_n \to c\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 네 걸음 중 ②가 자유로운 유일한 경우다. 이 예가 보여 주는 것은 “\(N\)을 잘 골라야 한다”가 아니라 “조건을 만족하는 \(N\)이 하나라도 있으면 된다”이며, 46주차의 극한 법칙에서 상수열이 부품으로 쓰인다.
문제 4#
접근. 훈련 1의 사슬을 백지에서 재생한다. 관건은 \(\frac{1}{n^2}\)을 \(\frac1n\)으로 갈아 끼우는 한 수이고, 근거는 \(n \ge 1\)에서 나오는 \(n^2 \ge n\)이다.
풀이. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 의해 \(\frac1N < \varepsilon\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 이 \(N\)을 잡자. \(n > N\)이라 하자. \(n \ge 1\)이므로 \(n^2 = n \cdot n \ge n \cdot 1 = n\)이고, 양변이 양수이므로 역수를 취하면 \(\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n}\)이다((W3)(W5)). 따라서
이다. 그러므로 정의 45.1에 의해 \(\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 새 극한을 처음부터 만들지 않고 이미 처리한 \(\frac1n\)의 사슬 앞에 한 칸을 덧붙였다. “더 빨리 0으로 가는 것은 더 느린 것에 눌러 붙인다”가 이식 가능한 패턴이다. (검산: \(\varepsilon = 0.01\), \(N = 101\), \(n = 200\)이면 \(\frac{1}{40000} \le \frac{1}{200} < \frac{1}{101} < 0.01\)이다 ✓)
문제 5#
접근. 예제 2.1의 네 줄을 재생한다. 각 줄이 정의 45.1의 어느 조각을 옮긴 것인지 짚으면서 쓴다.
풀이. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자(\(\forall \varepsilon\)). 아르키메데스 성질에 의해 \(\frac1N < \varepsilon\)인 자연수 \(N\)이 존재하므로 이 \(N\)을 잡자(\(\exists N\), 근거 ④). \(n > N\)이라 하자(\(\forall n\)). \(0 < N < n\)이므로 \(\frac1n < \frac1N\)이고((W3)(W5)), 따라서
이다((W6) 추이성). 그러므로 정의 45.1에 의해 \(\lim_{n\to\infty}\frac1n = 0\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 자가 채점의 기준은 세 가지다 — 첫 줄에 “임의로”가 있는가, 둘째 줄에 아르키메데스 성질이 인용되어 있는가, 사슬의 끝이 \(\varepsilon\)인가. §4 채점 기준 상자가 본다고 예고한 바로 그 세 곳이다.
문제 6#
접근. 17주차 문제 11의 보조정리 “\(b \ge 0\)일 때 \(|a| \le b \iff -b \le a \le b\)”를 부등호 \(<\) 판본으로 \(a = a_n - L\), \(b = \varepsilon\)에 적용한 뒤 각 변에 \(L\)을 더한다. 부등호를 \(<\)로 바꿔도 같은 논증이 그대로 작동한다는 것은 18주차 문제 11의 복기에서 확인한 사실이다.
풀이. \(|a_n - L| < \varepsilon\)은 보조정리의 \(<\) 판본(18주차 문제 11의 복기)에 의해 \(-\varepsilon < a_n - L < \varepsilon\)과 동치이고, 각 변에 \(L\)을 더하면((W2))
이다. 이는 \(a_n \in (L - \varepsilon,\ L + \varepsilon)\)과 같은 말이므로 빈칸의 답은 \((L - \varepsilon,\ L + \varepsilon)\)이다. \(L = 3\), \(\varepsilon = 0.5\)이면 구간은 \((3 - 0.5,\ 3 + 0.5) = (2.5,\ 3.5)\)이다.
복기. 거리 조건과 구간 조건은 같은 명제의 두 표기다. 그림으로 생각할 때는 구간 쪽이, 계산할 때는 절댓값 쪽이 편하다. 18주차 문제 11이 \(L = 3\), \(\varepsilon = 2\)인 사례를 이미 증명해 두었고, 문제 17이 이 번역을 결정적으로 쓴다.
문제 7#
접근. 차를 하나의 분수로 정리하면 분자가 상수인 분수가 남는다. 그 상수를 문턱 쪽으로 넘겨 \(\frac1N < \frac{\varepsilon}{2}\)로 잡는다(훈련 2와 같은 수법).
풀이. 연습장: \(\left|\frac{3n+2}{n} - 3\right| = \left|\frac{3n + 2 - 3n}{n}\right| = \frac2n\)이고, \(\frac2n < \varepsilon \iff n > \frac{2}{\varepsilon}\)이다.
\(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(\frac{\varepsilon}{2} > 0\)이므로(근거 ②) 아르키메데스 성질에 의해 \(\frac1N < \frac{\varepsilon}{2}\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 이 \(N\)을 잡자. \(n > N\)이라 하자. 그러면 \(\frac1n < \frac1N\)이므로
이다. 따라서 정의 45.1에 의해 \(\lim_{n\to\infty}\frac{3n+2}{n} = 3\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 상수 계수는 사슬 안에서 처리하지 않고 문턱을 잡는 단계로 미룬다. “계수 \(c\)가 붙으면 문턱을 \(\frac{\varepsilon}{c}\)로”가 이식 가능한 패턴이다. (검산: \(\varepsilon = 0.1\)이면 \(N = 21\)을 잡을 수 있고, \(n = 100\)에서 \(\frac{2}{100} = 0.02 < 0.1\)이다 ✓)
문제 8#
접근. \(n + 3 > n\)이므로 \(\frac{1}{n+3} < \frac1n\)이다. 분모를 더 작은 \(n\)으로 갈아 끼워 분수를 키우면 예제 2.1의 사슬이 그대로 이어진다.
풀이. 연습장: \(\frac{1}{n+3} < \frac1n\)이므로 \(\frac1n < \varepsilon\)만 확보하면 된다.
\(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 의해 \(\frac1N < \varepsilon\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 이 \(N\)을 잡자. \(n > N\)이라 하자. \(0 < n < n + 3\)이므로 \(\frac{1}{n+3} < \frac1n\)이고((W3)(W5)), \(0 < N < n\)이므로 \(\frac1n < \frac1N\)이다. 따라서
이다. 그러므로 정의 45.1에 의해 \(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+3} = 0\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 사슬의 첫 칸에 분모를 눌러 놓는 한 수만 추가되었고 나머지는 예제 2.1 그대로다. 32주차의 방향 규칙이 적용된다 — 중간값을 키우는 교체만 넣어야 마지막의 \(< \varepsilon\)이 원래 식에 대한 결론이 된다.
문제 9#
접근. 차를 정리하면 \(\frac{1}{n+1}\)이 나오고, 이는 문제 8과 같은 꼴이다. 분모 \(n+1\)을 \(n\)으로 눌러 예제 2.1의 사슬에 붙인다.
풀이. 연습장: \(\left|\frac{n}{n+1} - 1\right| = \left|\frac{n - (n+1)}{n+1}\right| = \frac{1}{n+1}\)이다.
\(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 의해 \(\frac1N < \varepsilon\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 이 \(N\)을 잡자. \(n > N\)이라 하자. \(0 < n < n+1\)이므로 \(\frac{1}{n+1} < \frac1n\)이고, \(0 < N < n\)이므로 \(\frac1n < \frac1N\)이다. 따라서
이다. 그러므로 정의 45.1에 의해 \(\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} = 1\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 3주차 문제 15에서 “1에 가까워지지만 \(1 \notin D\)”라고 관찰만 했던 것이 여기서 정리가 되었다. 관찰을 정의로 옮기면 증명 대상이 되고, 증명 대상이 되면 부등식 계산으로 판정된다 — §0 유형 1의 간격이 메워진 자리다. 46주차 문제 12가 이 결과를 인용한다.
문제 10#
접근. 분모 \(2n - 1\)을 더 작은 \(n\)으로 눌러 \(\frac{5}{2n-1} \le \frac5n\)을 만들고, 상수 5는 문턱을 \(\frac1N < \frac{\varepsilon}{5}\)로 잡아 처리한다.
풀이. 연습장: \(n \ge 1\)이면 \(2n - 1 - n = n - 1 \ge 0\)이므로 \(2n - 1 \ge n > 0\)이고, 따라서 \(\frac{5}{2n-1} \le \frac5n\)이다.
\(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(\frac{\varepsilon}{5} > 0\)이므로(근거 ②) 아르키메데스 성질에 의해 \(\frac1N < \frac{\varepsilon}{5}\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 이 \(N\)을 잡자. \(n > N\)이라 하자. \(n \ge 1\)이므로 \(2n - 1 \ge n\)이고, 두 값이 모두 양수이므로 \(\frac{1}{2n-1} \le \frac1n\)이다((W3)(W5)). 그러면
이다. 따라서 정의 45.1에 의해 \(\lim_{n\to\infty}\frac{5}{2n-1} = 0\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 눌러놓기(분모 교체)와 계수 넘기기(문턱 조정)를 한 사슬에서 함께 썼다. 순서가 중요하다 — 먼저 분모를 정리해 \(\frac{c}{n}\) 꼴로 만든 뒤 그 \(c\)를 보고 문턱을 정한다. (검산: \(\varepsilon = 0.5\)이면 \(N = 11\), \(n = 20\)에서 \(\frac{5}{39} \approx 0.128 < 0.5\)이다 ✓)
문제 11#
접근. 26주차 유일성 서식을 귀류법 꼴로 쓴다. \(L \neq L'\)을 가정하면 \(|L - L'| > 0\)이므로 그 절반을 \(\varepsilon\)으로 쓸 수 있고, 두 정의를 각각 발동해 받은 문턱을 \(\max\)로 합친 뒤 삼각부등식으로 마감한다.
풀이. 모순을 이끌어내기 위해 \(L \neq L'\)이라 가정하자. 그러면 \(L - L' \neq 0\)이고, 절댓값은 언제나 0 이상이며(17주차 문제 3) 절댓값의 케이스 정의에 의해 값이 0이 되는 것은 안의 수가 0일 때뿐이므로 \(|L - L'| > 0\)이다(근거 ④). 따라서 \(\varepsilon = \frac{|L - L'|}{2} > 0\)이다(근거 ②).
\(a_n \to L\)이므로 정의 45.1을 이 \(\varepsilon\)에 대해 발동하면, 자연수 \(N_1\)이 존재하여 \(n > N_1\)이면 \(|a_n - L| < \varepsilon\)이다. 마찬가지로 \(a_n \to L'\)이므로 자연수 \(N_2\)가 존재하여 \(n > N_2\)이면 \(|a_n - L'| < \varepsilon\)이다.
\(n = \max(N_1, N_2) + 1\)로 잡자. 그러면 \(n > N_1\)이고 \(n > N_2\)이므로 두 부등식이 동시에 성립한다. 첫 부등식은 \(|L - a_n| = |-(a_n - L)| = |a_n - L|\)이므로(17주차 문제 4) \(|L - a_n| < \varepsilon\)으로 고쳐 적을 수 있다. 삼각부등식(17주차 문제 12)에 의해
이다. 즉 \(|L - L'| < |L - L'|\)이 되어 모순이다. 따라서 \(L = L'\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 두 정의를 동시에 쓰려면 \(\max\) 문턱이 필요하다는 것, 두 값을 직접 비교할 수 없을 때 공통의 세 번째 값(\(a_n\))을 경유해 삼각부등식으로 잇는다는 것 — 두 패턴이 46주차 합\(\cdot\)곱의 극한 법칙에서 반복된다. 이 명제가 확보하는 것은 표기의 정당성이다. 극한이 하나뿐이어야 \(\lim\) 기호가 대상을 지정할 수 있다(확인 4에서 예고한 자리다).
문제 12#
접근. 11주차의 층별 부정 규칙을 바깥에서부터 적용한다. \(\lnot\forall = \exists\lnot\), \(\lnot\exists = \forall\lnot\), \(\lnot(P \Rightarrow Q) = P \land \lnot Q\)이다.
풀이. 원래 문장은 \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n,\ (n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon)\)이다. 1층: \(\exists \varepsilon > 0,\ \lnot(\cdots)\). 2층: \(\forall N \in \mathbb{N},\ \lnot(\cdots)\). 3층: \(\exists n \in \mathbb{N},\ \lnot(\cdots)\). 4층: \(n > N \land |a_n - L| \ge \varepsilon\). 합치면
이다. 말로 읽으면 “어떤 오차 \(\varepsilon\)이 있어서, 어느 문턱을 잡아도 그보다 큰 \(n\) 중에 \(a_n\)이 \(L\)에서 \(\varepsilon\) 이상 떨어진 것이 존재한다”이다.
복기. 부정문의 \(\forall N\) 때문에 발산을 직접 보이려면 모든 \(N\)에 대해 반례 항을 만들어야 한다 — 예제 2.3이 귀류법을 택한 이유가 여기에 있다. 두 길 모두 유효하다. (검산: \(a_n = e_n\)(§1.1), \(L = 0\), \(\varepsilon = 0.5\)이면 어느 \(N\)에 대해서도 \(N\)보다 큰 홀수 \(n\)에서 $|e_n
0| = 1 \ge 0.5$이므로 부정문이 성립한다 ✓)
문제 13#
접근. 예제 2.3의 세 부품을 순서대로 재생한다 — 귀류법으로 \(L\)의 존재를 가정, \(\varepsilon = 1\)을 고름, 삼각부등식으로 \(2 < 2\)를 만듦.
풀이. 모순을 이끌어내기 위해 \((-1)^n \to L\)인 실수 \(L\)이 존재한다고 가정하자. 정의 45.1은 모든 양수 \(\varepsilon\)에 대한 조건이므로 \(\varepsilon = 1\)에 대해서도 성립한다. 그러면 자연수 \(N\)이 존재하여, \(n > N\)이면 \(|(-1)^n - L| < 1\)이다. \(N\)보다 큰 짝수 \(n_1\)을 잡으면 \((-1)^{n_1} = 1\)이므로 \(|1 - L| < 1\)이고, \(N\)보다 큰 홀수 \(n_2\)를 잡으면 \((-1)^{n_2} = -1\)이므로 \(|-1 - L| < 1\)이다. 뒤의 것은 \(|-1 - L| = |-(L + 1)| = |L + 1|\)이므로(17주차 문제 4) \(|L + 1| < 1\)이다. 삼각부등식(17주차 문제 12)에 의해
이므로 \(2 < 2\)가 되어 모순이다. 따라서 그런 \(L\)은 존재하지 않으며 \((-1)^n\)은 발산한다. \(\blacksquare\)
복기. 자가 채점의 핵심은 “\(\varepsilon = 1\)을 골라 쓸 권리”의 근거를 적었는지다 — 정의가 가정 쪽에 있으면 \(\forall \varepsilon\)은 자원이 된다. \(\varepsilon\)을 1로 고른 이유(두 항의 거리가 2이므로 반지름 1짜리 구간 두 개가 겹칠 수 없다)를 한 줄 적으면 설계가 드러난다.
문제 14#
접근. \(|(a_n + 5) - (L + 5)| = |a_n - L|\)이므로 검사할 부등식이 가정의 것과 글자 그대로 같다. 새 문턱을 만들 필요가 없고 가정에서 받은 \(N\)을 그대로 쓴다.
풀이. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(a_n \to L\)이므로 정의 45.1에 의해 이 \(\varepsilon\)에 대해 자연수 \(N\)이 존재하여, \(n > N\)이면 \(|a_n - L| < \varepsilon\)이다. 이 \(N\)을 그대로 잡자. \(n > N\)이라 하자. 그러면
이다. 따라서 정의 45.1에 의해 \(a_n + 5 \to L + 5\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 가정에 수렴이 있으면 \(\varepsilon\)을 받는 즉시 그 \(\varepsilon\)으로 정의를 발동해 \(N\)을 받는 것이 표준 순서다. 상수를 더해도 거리가 변하지 않는다는 관찰이 증명의 전부이며, 46주차 합의 극한 법칙은 이 문제의 5를 수렴하는 수열로 바꾼 것이다. (검산: \(a_n = \frac1n\), \(L = 0\)이면 \(|5 + \frac1n - 5| = \frac1n\)으로 거리가 그대로다 ✓)
문제 15#
접근. 차를 정리하면 훈련 1과 문제 4에서 다룬 \(\frac{1}{n^2}\)이 그대로 나온다. 그러면 그 사슬을 통째로 재사용한다.
풀이. 연습장: \(\left|\frac{n^2-1}{n^2} - 1\right| = \left|\frac{n^2 - 1 - n^2}{n^2}\right| = \frac{1}{n^2}\)이다.
\(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 의해 \(\frac1N < \varepsilon\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 이 \(N\)을 잡자. \(n > N\)이라 하자. \(n \ge 1\)이므로 \(n^2 \ge n\)이고, 두 값이 양수이므로 \(\frac{1}{n^2} \le \frac1n\)이다. 따라서
이다. 그러므로 정의 45.1에 의해 \(\lim_{n\to\infty}\frac{n^2-1}{n^2} = 1\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 겉모습이 문제 4와 전혀 다른데 연습장 한 줄을 지나면 같은 문제가 되었다. \(\varepsilon\)-N 증명에서 실제로 새로운 부분은 \(|a_n - L|\)을 정리하는 첫 줄뿐인 경우가 많다. (검산: \(n = 10\)이면 \(\frac{99}{100} - 1 = -0.01\)이고 절댓값은 \(0.01 = \frac{1}{10^2}\)이다 ✓)
문제 16#
접근. 연습장에서 \(\frac{1}{\sqrt n} < \varepsilon\)을 풀면 \(n > \frac{1}{\varepsilon^2}\)이 나온다. \(\varepsilon^2 > 0\)이므로 아르키메데스 성질을 \(\varepsilon^2\)에 적용하고, 마지막 한 줄은 제곱근을 직접 씌우는 대신 16주차 문제 11로 처리한다. 그 명제는 순부등식 꼴이므로 등호 경우를 따로 확인하는 경우 나누기가 한 번 들어간다.
풀이. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(\varepsilon^2 > 0\)이므로(근거 ②) 아르키메데스 성질에 의해 \(\frac1N < \varepsilon^2\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 이 \(N\)을 잡자. $n
N\(이라 하자. 그러면 \)\frac1n < \frac1N < \varepsilon^{}2$이다.
이제 \(\frac{1}{\sqrt n} < \varepsilon\)임을 보인다. 모순을 이끌어내기 위해 \(\frac{1}{\sqrt n} \ge \varepsilon\)이라 가정하자. 근거 목록에 있는 명제는 \(0 \le a < b \Rightarrow a^2 < b^2\)(16주차 문제 11)이므로 그대로는 \(\ge\)에 적용되지 않는다. 가정을 두 경우로 나눈다. 경우 1: \(\varepsilon < \frac{1}{\sqrt n}\). \(\varepsilon > 0\)이므로 \(0 \le \varepsilon < \frac{1}{\sqrt n}\)이고, 16주차 문제 11에 의해 \(\varepsilon^2 < \left(\frac{1}{\sqrt n}\right)^2 = \frac1n\)이다. 경우 2: \(\varepsilon = \frac{1}{\sqrt n}\). 양변을 제곱하면 \(\varepsilon^2 = \frac1n\)이다(근거 ③). 두 경우가 가정 \(\frac{1}{\sqrt n} \ge \varepsilon\) 전체를 덮고, 어느 경우든 \(\varepsilon^2 \le \frac1n\)이다. 이는 위에서 얻은 \(\frac1n < \varepsilon^2\)과 모순이다. 따라서
이고, 정의 45.1에 의해 \(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt n} = 0\)이다. \(\blacksquare\)
복기. \(N\)이 \(\varepsilon\)의 제곱과 얽힌 식으로 만들어졌다. 문턱의 모양이 문제마다 달라도 되는 이유는 \(\exists N\)이 \(\forall \varepsilon\) 뒤에 있기 때문이다(§1.4). (검산: \(\varepsilon = 0.1\)이면 \(N = 101\), \(n = 200\)에서 \(\frac{1}{\sqrt{200}} \approx 0.0707 < 0.1\)이다 ✓)
문제 17#
접근. 정의가 가정 쪽에 있으므로 \(\varepsilon\)을 골라 쓸 수 있다. 구간 \((L - \varepsilon, L + \varepsilon)\)의 왼쪽 끝이 양수가 되도록 \(\varepsilon\)을 \(L\)보다 작게 잡으면 되고, \(\varepsilon = \frac{L}{2}\)이 가장 간단하다.
풀이. \(L > 0\)이므로 \(\varepsilon = \frac{L}{2} > 0\)이다(근거 ②). \(a_n \to L\)이므로 정의 45.1을 이 \(\varepsilon\)에 대해 발동하면, 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)이면 \(|a_n - L| < \frac{L}{2}\)이다. \(n > N\)이라 하자. 문제 6의 번역에 의해
이다. 왼쪽 부등식과 \(\frac{L}{2} > 0\)을 (W6) 추이성으로 이으면 \(a_n > 0\)이다. 따라서 \(n > N\)인 모든 \(n\)에 대해 \(a_n > 0\)이다. \(\blacksquare\)
복기. “\(\varepsilon\)을 잘 고른다”의 두 번째 실전이다(첫 번째는 예제 2.3). 고르는 기준은 언제나 같다 — 무엇을 확보하고 싶은지를 먼저 정하고 그것이 성립하도록 \(\varepsilon\)을 역산한다. 여기서는 “왼쪽 끝이 양수”가 목표였고 \(\varepsilon < L\)이면 충분했다. (검산: \(a_n = \frac1n + 3 \to 3\)이면 \(\varepsilon = 1.5\), \(N = 1\)로 충분하다 ✓)
문제 18#
접근. 답안의 문장 순서를 정의 45.1의 양화사 순서와 나란히 놓고 대조한다. 정의는 \(\forall \varepsilon\)이 먼저이고 \(\exists N\)이 나중인데, 답안은 \(N\)(과 \(n\))을 먼저 놓고 \(\varepsilon\)을 그것으로 정의했다.
풀이. 결함은 양화사 순서의 위반이며 세 가지로 나눠 지적할 수 있다.
첫째, 순서의 도치다. 답안은 “\(n > N\)이라 하자”로 시작한다. 정의 45.1에서 \(n\)은 가장 안쪽의 양화사이므로 \(\varepsilon\)과 \(N\)이 정해진 뒤에야 등장할 수 있다. 증명의 첫 줄은 “$\varepsilon
0$이 임의로 주어졌다고 하자”여야 한다.
둘째, \(\varepsilon\)을 증명하는 쪽이 정했다. 정의에서 \(\varepsilon\)은 임의로 주어지는 것이고 \(N\)은 그것을 보고 제시하는 것이다. 자기가 고른 \(\varepsilon\) 하나에 대해서만 조건을 확인한 것은 \(\forall \varepsilon\)을 \(\exists \varepsilon\)으로 바꿔치기한 것이며, §1.3의 조각 삭제 실험 ②가 보인 대로 그 문장은 \((-1)^n\) 같은 발산 수열까지 통과시킨다. 실제로 답안이 증명한 명제는 “어떤 \(\varepsilon > 0\)과 어떤 \(N\)이 있어서 \(n > N\)이면 \(\frac1n < \varepsilon\)”이며, 훨씬 약한 별개의 명제다.
셋째, 계산 \(\frac1n < \frac1N = \varepsilon\) 자체는 옳다. 무너지는 것은 계산이 아니라 계산이 놓인 논리적 위치다. 수정하면 예제 2.1의 네 줄이 된다.
복기. 1주차에서 “모든 \(n\)에 대해”를 예시 몇 개로 확인하고 끝낸 오류와 같은 계보다. 양화사가 늘어나면 같은 오류가 순서 도치의 모습으로 나타난다. 47주차에서 함수 극한의 \(\delta\)를 다룰 때 이 문제의 \(\delta\) 판본을 다시 만난다.
문제 19#
접근. (a)는 정의 45.1에 \(a_n = \frac{F_{n+1}}{F_n}\), \(L = \varphi\)를 대입하는 기계적 작업이다. (b)는 이번 주의 증명들이 전부 극한값을 미리 알고 시작했다는 점에 주목한다.
풀이.
(a) 정의 45.1을 그대로 대입하면
이다. 말로 읽으면 “어떤 오차 한계가 주어져도, 그 뒤로는 모든 이웃 피보나치 수의 비가 \(\varphi\)에서 그 오차 안에 있는 문턱이 존재한다”이다.
(b) 카시니 항등식(34주차 문제 14)을 쓰면 이웃한 두 비의 차가
임을 보일 수 있고, 분모가 급격히 커지므로 이 차는 매우 작아진다. 그런데 이번 주의 도구는 전부 항과 극한값의 거리 \(|a_n - L|\)을 다루는데, 카시니가 주는 것은 항들끼리의 거리다. “항들끼리 서로 가까워지는 수열이 어딘가로 수렴한다”는 별개의 명제이며, 이를 보장하려면 실수의 완비성(코시 수열의 수렴)이 필요하다 — 아르키메데스 성질과 마찬가지로 이 과정에서는 유도하지 않고 넘기는 항목이며, 여기서는 다루지도 않는다.
복기. 극한값을 모르는 채로 수렴을 증명하려면 다른 종류의 도구가 필요하다는 것이 (b)의 요점이다. 34주차에서 관찰만 하고 미뤄 두었던 항목이 여기서 “정확히 무엇이 부족한가”까지 답해졌다 — 관찰, 정확한 진술, 증명은 각각 별개의 단계다.
문제 20#
접근. (a)는 §0의 세 유형과 §1.1의 두 실패 사례가 재료다. (b)는 §1.4의 비교표와 §1.6의 확인 8이 답의 골자다.
풀이.
(a) (예시 답안) “한없이 가까워진다”는 움직임을 묘사하는 말이라 검사할 부등식이 없고, 그래서 참\(\cdot\)거짓을 판정할 수 없다. \(\varepsilon\)-N 정의는 그것을 “임의의 오차 한계 \(\varepsilon\)에 대해 문턱 \(N\)이 존재한다”는 정적인 조건으로 옮긴다. 이 조건은 부등식 계산으로 확인되므로 수렴이 증명의 대상이 되고, 동시에 부정(문제 12)을 통해 반증의 대상도 된다.
(b) (예시 답안) \(\exists N\)이 \(\forall \varepsilon\) 뒤에 놓여 있으므로 \(N\)은 \(\varepsilon\)에 의존해도 된다 — 오차마다 다른 문턱을 대는 것이 정의가 허용하는 바이며, 문턱 하나가 모든 오차를 감당해야 한다는 문장은 §1.4의 표에서 보았듯 훨씬 강한 별개의 명제다. 연습장과 본문의 분리는 “결론에서 거꾸로 푼 탐색”과 “가정에서 출발한 검증”을 섞지 않게 하여 16주차 이래의 순방향 규율을 지킨다.
복기. 서술형 문항의 채점 기준도 근거다 — (a)에서는 “판정 절차”라는 낱말이, (b)에서는 “양화사의 순서”와 “탐색과 검증의 구분”이 답의 뼈대다. 문장을 예쁘게 쓰는 것이 아니라 어느 절의 어느 장치를 인용했는지가 점수를 만든다.
다음 주 예고: 극한을 하나씩 정의로 증명하는 대신 이미 아는 극한을 조립하는 법을 배운다 — 합\(\cdot\)곱의 극한 법칙(각 항을 \(\frac{\varepsilon}{2}\) 이내로 누르는 수법과 문제 11의 \(\max\) 문턱), 샌드위치 정리, 그리고 급수. \(\frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots = 1\)은 수렴하고 \(1 + \frac12 + \frac13 + \cdots\)은 발산하는 이유를 부분합의 수열로 환원해 판정한다. 32주차 문제 10에서 세운 상한 \(2 - \frac1n\)이 그때 제 역할을 찾는다.