# 45주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

## 예제 — ε-N 증명을 함께 만들기

예제 2.1은 번역표부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하며, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한 뒤 완성된 산문을 본다.

### 예제 2.1 — 원형: $\lim \frac{1}{n} = 0$

**명제.** $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.

**설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 받는 것(출발점)과 만들 것(도착점)을 정의 45.1로 번역해서 먼저 정한다.

|  | **말** | **수식 번역** |
|---|---|---|
| 가정 (받는 것) | 오차 한계가 하나 주어진다 | $\varepsilon > 0$ ($\varepsilon$은 임의) |
| 목표 (만들 것) | $\frac1n \to 0$ | 자연수 $N$을 제시하고, $n > N$인 모든 $n$에 대해 $\frac1n < \varepsilon$을 보인다 |

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**확인 10.** 이 증명에서 **우리가 만들어 내야 하는 대상**은 무엇이고,

**상대에게서 받는 것**은 무엇인가?
:::

:::{admonition} 답
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만들어 내야 하는 것은 자연수 $N$ 하나다($\exists N$이므로 제시 책임이 우리에게 있다). 받는

것은 오차 한계 $\varepsilon$이다($\forall \varepsilon$이므로 값을 고를 권한이 없고 임의의

값으로 취급해야 한다). 2주차 §1.3의 방향 표가 양화사 두 개에 각각 적용된 것이다.
:::

**연습장 — $N$을 발견한다.** 목표 부등식을 $n$에 대해 거꾸로 푼다.

$$
\left|\frac1n - 0\right| = \frac1n < \varepsilon \iff n > \frac{1}{\varepsilon}
$$

따라서 $N$은 $\frac{1}{\varepsilon}$보다 큰 자연수면 된다. 여기까지가 연습장이고, 본문에는 결과만 선언한다.

**1단계 — 오차를 받는다.**

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**확인 11.** 첫 문장을 완성해 보자: "$\underline{\qquad}$이 임의로 주어졌다고 하자."

"임의로"를 빼면 무엇이 달라지는가?
:::

:::{admonition} 답
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"$\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자." "임의로"가 빠지면 특정 값 하나를 다루는

문장으로 읽힐 수 있고, 그것이 §1.3의 조각 삭제 실험 ②가 보인 붕괴다. 이 낱말이 $\forall

\varepsilon$을 문장으로 옮긴 부분이다.
:::

**2단계 — 문턱을 선언한다.**

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**확인 12.** 둘째 문장을 완성해 보자: "$\underline{\qquad}$ 성질에 의해

$\frac1N < \varepsilon$인 자연수 $N$이 존재한다. 이 $N$을 잡자."
:::

:::{admonition} 답
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"아르키메데스 성질에 의해 …" — 근거 ④다. 연습장에서 얻은 조건 "$N >

\frac{1}{\varepsilon}$"은 "$\frac1N < \varepsilon$"과 같은 말이므로, 성질의 진술 꼴 그대로

인용하는 편이 짧다. 근거 없이 $N$만 내놓으면 그 $N$이 자연수로 존재한다는 것을 확인하지 않은

셈이 된다(확인 7).
:::

**3단계 — 문턱 뒤의 임의의 항을 잡는다.**

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**확인 13.** 셋째 문장을 완성해 보자: "$\underline{\qquad}$이라 하자."

여기서 $n$을 구체적인 수로 잡으면 왜 안 되는가?
:::

:::{admonition} 답
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"$n > N$이라 하자." 정의가 요구하는 것은 $\forall n\,(n > N \Rightarrow \cdots)$이므로

문턱을 넘는 **모든** $n$에 대해 확인해야 한다. $n = N + 1$처럼 하나를 고르면 나머지 항에

대해서는 아무 말도 하지 않은 것이 된다 — §1.1의 실패 사례 ②가 통과해 버리는 그 구멍이다.
:::

**4단계 — 부등식 사슬로 $\varepsilon$까지 간다.**

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**확인 14.** 마지막 계산을 완성해 보자:

"$\left|\frac1n - 0\right| = \frac1n < \underline{  (1)  } <

\underline{  (2)  }$." 첫 부등호의 근거는 무엇인가?
:::

:::{admonition} 답
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(1) $\frac1N$  (2) $\varepsilon$. 첫 부등호의 근거는 "$0 < N < n$이면

$\frac1n < \frac1N$"이며, 양변에 양수 $\frac{1}{nN}$을 곱하는 것으로 (W3)과 (W5)에서

나온다(근거 ③). 둘째 부등호는 2단계에서 잡은 $N$의 성질이다. 두 부등식을 (W6) 추이성으로

이으면 $\frac1n < \varepsilon$이 된다.
:::

**완성본.** 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다.

| 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
| $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. | $\forall \varepsilon$을 문장으로 옮긴 줄. "임의로"가 값을 고를 권한이 없음을 명시한다. |
| 아르키메데스 성질에 의해 $\frac{1}{N} < \varepsilon$인 자연수 $N$이 존재한다. 이 $N$을 잡자. | $\exists N$의 제시 책임을 이행하고 존재 근거(근거 ④)를 밝힌다. 연습장의 역산이 여기 한 줄로 압축된다. |
| $n > N$이라 하자. | $\forall n$을 옮긴 줄. 특정 값이 아니라 문턱을 넘는 임의의 $n$이다. |
| 그러면 $\left\lvert \frac{1}{n} - 0 \right\rvert = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \varepsilon$이다. | $0 < N < n$에서 $\frac1n < \frac1N$((W3)(W5)), 그 뒤는 $N$의 성질. 사슬을 (W6)으로 잇는다. |
| 따라서 정의 45.1에 의해 $\lim_{n\to\infty} \frac1n = 0$이다. $\blacksquare$ | 정의 충족 선언. 어떤 정의를 만족했는지 이름을 적는다. |

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**확인 15.** $\varepsilon = 0.001$일 때 둘째 줄의 $N$으로 무엇을 잡을 수 있고,

$n = 1234$에서 넷째 줄은 어떤 부등식이 되는가?
:::

:::{admonition} 답
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$N = 1001$을 잡을 수 있다. $n = 1234 > 1001$이므로 넷째 줄은 $\frac{1}{1234} <

\frac{1}{1001} < 0.001$이 된다 — 모든 줄이 그대로 성립한다. $\varepsilon$을 다른 수로 바꿔도

같은 네 줄이 작동한다. 문자 하나로 쓴 증명이 무한히 많은 오차 요구를 한 번에 처리하는 것이

2주차 확인 13의 일반성과 같은 구조다.
:::

### 예제 2.2 — 표준형: $\lim \frac{2n+1}{n} = 2$

**명제.** $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n} = 2$. 이번에는 설계만 함께 하고, 증명은 완성된 산문으로 본다.

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**확인 16.** $\left|\frac{2n+1}{n} - 2\right|$를 하나의 분수로 정리하면

$\underline{\qquad}$이고, 이것이 $\varepsilon$보다 작을 조건을 $n$에 대해 풀면 $n >

\underline{  }$이다.
:::

:::{admonition} 답
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$\left|\frac{2n+1}{n} - 2\right| = \left|\frac{2n+1-2n}{n}\right| = \frac{1}{n}$이고, 조건은

$n > \frac{1}{\varepsilon}$이다. 예제 2.1과 **완전히 같은 조건**이므로 문턱도 그대로

재사용한다. $\varepsilon$-N 증명의 첫수는 거의 언제나 $|a_n - L|$을 하나의 분수로 정리하는 것이고,

정리하면 이미 처리한 꼴로 환원되는 경우가 많다.
:::

**증명.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 의해 $\frac1N < \varepsilon$인 자연수 $N$이 존재한다. 이 $N$을 잡자. $n > N$이라 하자. 그러면

$$
\left|\frac{2n+1}{n} - 2\right| = \left|\frac{2n + 1 - 2n}{n}\right| = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \varepsilon
$$

이다. 따라서 정의 45.1에 의해 $\lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{n} = 2$이다. $\blacksquare$

여기서 한 일은 새 증명을 만든 것이 아니라 계산으로 예제 2.1의 상황을 만들어 낸 것이다. 문제 7~10과 문제 15가 전부 같은 리듬으로 진행된다.

### 예제 2.3 — 발산: $(-1)^n$은 수렴하지 않는다

**명제.** 수열 $a_n = (-1)^n$은 어떤 실수로도 수렴하지 않는다. 이번에는 설계부터 스스로 한 뒤 산문을 확인한다.

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**확인 17.** 21주차의 귀류법으로 시작한다면 첫 문장은 무엇이며, 그다음 정의 45.1을

어떻게 쓰게 되는가?
:::

:::{admonition} 답
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"모순을 이끌어내기 위해 $a_n \to L$인 실수 $L$이 존재한다고 가정하자." 그러면 정의 45.1이

가정으로 손에 들어오고, 가정 쪽의 $\forall \varepsilon$은 **값을 골라 쓸 수 있는 자원**이

된다(§1.3의 방향 감각이 뒤집힌 자리다). 짝수 항($+1$)과 홀수 항($-1$)의 거리가 2이므로

$\varepsilon = 1$이면 둘이 같은 $L$ 근처에 동시에 있을 수 없다.
:::

**증명.** 모순을 이끌어내기 위해 $a_n \to L$인 실수 $L$이 존재한다고 가정하자. 정의 45.1은 모든 양수 $\varepsilon$에 대해 성립하므로 $\varepsilon = 1$에 대해서도 성립한다. 그러면 자연수 $N$이 존재하여, $n > N$이면 $|a_n - L| < 1$이다. $N$보다 큰 짝수 $n_1$과 홀수 $n_2$를 잡으면 $a_{n_1} = 1$, $a_{n_2} = -1$이므로 $|1 - L| < 1$이고 $|-1 - L| < 1$이다. 뒤의 것은 $|-1 - L| = |-(L + 1)| = |L + 1|$이므로(17주차 문제 4) $|L + 1| < 1$로 적을 수 있다. 삼각부등식(17주차 문제 12)에 의해

$$
2 = |1 - (-1)| = \big|(1 - L) + (L + 1)\big| \le |1 - L| + |L + 1| < 1 + 1 = 2
$$

이므로 $2 < 2$가 되어 모순이다. 따라서 그런 $L$은 존재하지 않고, $(-1)^n$은 발산한다. $\blacksquare$

**구조 읽기.** ① 귀류법(21주차) — 부정 명제이므로 존재를 가정해 모순을 만든다. ② 고른 $\varepsilon$ — 가정 쪽의 $\forall$는 자원이므로 편한 값 하나를 쓴다. ③ 삼각부등식 — 두 항이 멀면 하나의 $L$ 근처에 동시에 있을 수 없음을 부등식으로 만든다. 문제 11(유일성)이 같은 세 부품을 그대로 다시 쓴다.

### 관찰 — 같은 뼈대

| **걸음** | **예제 2.1** | **예제 2.2** | **예제 2.3** |
|---|---|---|---|
| ① 오차 | $\varepsilon > 0$ 주어짐 | $\varepsilon > 0$ 주어짐 | $\underline{\quad(1)\quad}$ |
| ② 문턱 | 아르키메데스로 $\frac1N < \varepsilon$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | 가정에서 $N$을 받음 |
| ③ 항 | $n > N$이라 하자 | $n > N$이라 하자 | $N$보다 큰 짝수$\cdot$홀수 |
| ④ 사슬 | $\frac1n < \frac1N < \varepsilon$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | 삼각부등식으로 $2 < 2$ |

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**확인 18.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 예제 2.3만 ①과 ②의 성격이 다른 이유를

한 문장으로 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
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(1) $\varepsilon = 1$을 우리가 고름  (2) 아르키메데스로 $\frac1N < \varepsilon$

(3) $\left|\frac{2n+1}{n} - 2\right| = \frac1n < \frac1N < \varepsilon$.

예제 2.1과 2.2는 정의 45.1을 **증명하는** 쪽이라 $\varepsilon$을 받고 $N$을 만들지만, 예제

2.3은 정의 45.1을 **가정으로 쓰는** 쪽이라 $\varepsilon$을 골라 쓰고 $N$을 받는다.
:::

:::{admonition} 이번 주에 확인한 것
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모든 $\varepsilon$-N 증명은 네 걸음(오차 받기 $\to$ 문턱 선언 $\to$ 항 잡기 $\to$ 사슬 계산)으로 진행된다. 이 틀을

**$\varepsilon$-N 서식**이라 부른다. 정의를 가정으로 쓸 때는 같은 네 걸음의 방향이 뒤집힌다 — 오차를

고르고 문턱을 받는다.
:::

## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며

훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

### 훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸

**명제.** $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$.

**증명.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 의해 $\frac1N < \varepsilon$인 자연수 $N$이 존재한다. 이 $N$을 잡자. $n > N$이면

$$
\left|\frac{1}{n^2} - 0\right| = \frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \underline{\quad(1)\quad}
$$

이다. (첫 부등호($\le$)의 근거: $n \ge 1$이므로 $n^2 = n \cdot n \ge n \cdot \underline{\quad(2)\quad} = n$이고, 따라서 $\frac{1}{n^2} \le \frac1n$이다.) 그러므로 정의 45.1에 의해 극한은 0이다. $\blacksquare$

### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께

**명제.** $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} = 0$.

**증명.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $\frac{\varepsilon}{7} > 0$이므로 ($\underline{\quad(1)\quad}$ — 근거 ②), $\underline{\quad(2)\quad}$ 성질에 의해 $\frac1N < \underline{\quad(3)\quad}$인 자연수 $N$이 존재한다. 이 $N$을 잡자. $n > N$이라 하자. 그러면

$$
\left|\frac{7}{n} - 0\right| = \frac{7}{n} < \frac{7}{N} = 7 \cdot \frac1N < 7 \cdot \underline{\quad(4)\quad} = \varepsilon
$$

이다. (두 부등호 모두 양변에 양수 7을 곱해 얻는다 — 첫째는 $0 < N < n$에서 나온 $\frac1n < \frac1N$에, 둘째는 문턱의 성질 $\frac1N < \frac{\varepsilon}{7}$에 곱한 것이다. 두 곱셈의 근거는 같다 — $\underline{\quad(5)\quad}$.) 따라서 극한은 0이다. $\blacksquare$

### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고

**명제.** $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2}$.

**증명의 뼈대.**

- 연습장(역산): $\left|\dfrac{n}{2n+1} - \dfrac12\right| = \underline{\quad(1)\quad}$
- ① 오차 받기: $\underline{\quad(2)\quad}$
- ② 문턱 선언: $\underline{\quad(3)\quad}$
- ③ 항 잡기: $\underline{\quad(4)\quad}$
- ④ 사슬 계산과 마무리: $\underline{\quad(5)\quad}$

(연습장에서 정리한 분수의 분모가 $n$보다 크다는 점을 이용하면 예제 2.1의 문턱을 그대로 재사용할 수 있다. 이 훈련이 문제 9와 문제 10의 예행연습이다.)

## 연습문제 (20문항)

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다.

:::{admonition} 이번 주의 채점 기준
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답이 아니라 **근거**가 점수다. "$\frac1n$은 0으로 간다(맞음)"은 0점이고, "$\varepsilon$이

주어졌을 때 아르키메데스 성질로 $\frac1N < \varepsilon$인 $N$을 잡으면 $n > N$인 모든

$n$에서 $\frac1n < \frac1N < \varepsilon$이다"가 만점이다. 특히 세 곳을 본다 — ① 첫 줄에

"임의로 주어졌다"가 있는가 ② $N$의 존재 근거를 적었는가

③ 부등식 사슬의 끝이 $\varepsilon$인가. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.
:::

### 기본 ●○○

**1.** [백지] 수렴의 $\varepsilon$-N 정의를 쓰고, 세 양화사($\forall\varepsilon, \exists N, \forall n$)가 각각 두 역할 중 어느 쪽에 해당하는지 쓰시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

정의는 정의 45.1, 두 역할로 읽는 법은 그 아래의 단락이다. 양화사마다 "누가 정하는가"와

"무엇을 요구하는가" 두 가지를 적는다.
:::

**2.** (워밍업) $a_n = \frac1n$에 대해, 다음 각 $\varepsilon$에 대해 제시할 수 있는 $N$을 하나씩 제시하시오 (증명 불필요, 수치만): (a) $\varepsilon = 0.1$ (b) $\varepsilon = 0.01$ (c) $\varepsilon = \frac{1}{1000}$

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

§1.2의 표와 같은 계산이다 — $\frac1n < \varepsilon$을 $n$에 대해 푼다. 조건을 만족하는 $N$은

여러 개이고 하나만 제시하면 된다.
:::

**3.** 상수열 $a_n = c$가 $c$로 수렴함을 증명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

$|a_n - c|$를 먼저 계산해 보면 그 값이 $n$과 무관하게 정해진다. 그러면 $N$을 무엇으로 잡아도

네 걸음의 ④가 성립한다.
:::

**4.** 빈칸 사다리 훈련 1($\frac{1}{n^2} \to 0$)을 백지에서 완성하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

관건은 $\frac{1}{n^2}$을 $\frac1n$으로 갈아 끼우는 한 수다. 32주차의 눌러놓기와 같은 방향

규칙 — 사슬 중간의 값을 **키우는** 교체만 넣어야 마지막의 $< \varepsilon$이 원래 식에 대한

결론이 된다.
:::

**5.** 예제 2.1($\frac1n \to 0$)을 백지에 재현하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

네 줄이다. 각 줄이 정의 45.1의 어느 조각을 옮긴 것인지 짚으면서 쓰고, 둘째 줄에서 근거

이름(아르키메데스 성질)을 빠뜨리지 않는다.
:::

**6.** "$|a_n - L| < \varepsilon$"을 구간의 언어로 번역하시오: $a_n \in \underline{\qquad}$. 그리고 $L = 3, \varepsilon = 0.5$일 때 그 구간을 명시하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

17주차 문제 11의 보조정리를 $a = a_n - L$, $b = \varepsilon$으로 적용한 뒤 각 변에 $L$을

더한다. 정의 45.1 아래에 같은 변형이 있다.
:::

### 표준 ●●○

**7.** $\lim \dfrac{3n + 2}{n} = 3$을 증명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

첫수는 $|a_n - L|$을 하나의 분수로 정리하는 것이다. 분자가 상수인 분수가 남으면 그 상수를

$\varepsilon$ 쪽으로 넘겨 문턱을 $\frac1N < \frac{\varepsilon}{(\text{상수})}$로 잡는다(훈련

2와 같은 수법).
:::

**8.** $\lim \dfrac{1}{n + 3} = 0$을 증명하시오. (연습장: $\frac{1}{n+3} < \frac1n$ — 부품 재사용)

**9.** $\lim \dfrac{n}{n+1} = 1$을 증명하시오 (3주차 문제 15의 완성이다). (연습장: $\left|\frac{n}{n+1} - 1\right| = \frac{1}{n+1}$)

**10.** $\lim \dfrac{5}{2n - 1} = 0$을 증명하시오. (연습장: $2n - 1 \ge n$ ($n \ge 1$)이므로 $\frac{5}{2n-1} \le \frac5n$ — $N$은 $\frac1N < \frac\varepsilon 5$로)

:::{admonition} 두 정의를 동시에 발동하기 — 문제 11에서 처음 쓴다
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가정이 둘이면 정의 45.1을 두 번 발동해 문턱 $N_1$과 $N_2$를 각각 받는다. 두 조건을

**동시에** 쓰려면 둘 다 넘는 $n$이 필요하고, $n > \max(N_1, N_2)$가 그것이다 — 큰 쪽을

넘으면 작은 쪽도 넘기 때문이다. 이 수법을 $\max$ 문턱이라 부르며, 46주차의 합의 극한 법칙이

이 위에 세워진다.
:::

**11.** (극한의 유일성) $a_n \to L$이고 $a_n \to L'$이면 $L = L'$임을 증명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

26주차 유일성 서식대로 $L \neq L'$을 가정해 모순을 노린다. 두 수가 다르면 $|L - L'| >

0$이므로 $\varepsilon = \frac{|L-L'|}{2}$이 양수이고, 이 값으로 두 정의를 발동한다. $\max$

문턱으로 $n$을 하나 잡은 뒤 $L$과 $L'$을 $a_n$을 경유해 삼각부등식으로 잇는다.
:::

**12.** 수렴 정의의 **부정**을 층별로 완성하시오 (11주차 문제 15의 백지 재현): "$(a_n)$이 $L$로 수렴하지 않는다 $\iff$ …"

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

11주차의 규칙을 바깥에서부터 적용한다 — $\forall$는 $\exists$로, $\exists$는 $\forall$로,

조건문 $P \Rightarrow Q$의 부정은 $P \land \lnot Q$로. 마지막 층에서 $<$의 부정이 $\ge$가

되는 것에 주의한다.
:::

**13.** 예제 2.3($(-1)^n$ 발산)을 백지에 재현하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

부품 세 개의 이름만 짚는다. ① 귀류법(21주차) — 부정 명제이므로 $(-1)^n \to L$인 실수 $L$의

존재를 가정한다. ② 고른 $\varepsilon$ — 정의가 가정 쪽에 있으므로 값을 골라 쓸 수 있고,

짝수 항과 홀수 항의 거리가 2라는 점이 고르는 기준이다. ③ 삼각부등식(17주차 문제 12) —

두 거리를 하나로 합쳐 $2 < 2$를 만든다. 사슬은 스스로 세운다.
:::

**14.** $a_n \to L$이면 $a_n + 5 \to L + 5$임을 증명하시오. (같은 $\varepsilon$, 같은 $N$이 그대로 작동함을 확인 — $|(a_n + 5) - (L+5)| = |a_n - L|$)

### 도전 ●●●

**15.** $\lim \dfrac{n^2 - 1}{n^2} = 1$을 증명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

차를 정리하면 훈련 1에서 다룬 분수가 그대로 나온다. 그러면 훈련 1의 사슬을 통째로 재사용할

수 있다.
:::

:::{admonition} $N$을 $\varepsilon$의 다른 식으로 — 문제 16에서 처음 쓴다
:class: quotebox

목표 부등식을 역산했을 때 $\varepsilon$의 제곱 같은 식이 나와도, 그 식이 양수이기만 하면

아르키메데스 성질을 그대로 적용할 수 있다($\varepsilon^2 > 0$은 근거 ②). $N$의 모양이

문제마다 달라지는 것은 $\exists N$이 $\forall \varepsilon$ 뒤에 있기 때문이며(§1.4),

달라져야 정상이다. 이 문제는 16주차 §1.2에서 이미 인정한 사실(양의 실수의 제곱근이

존재한다)을 그대로 쓴다 — 근거 ④에 실려 있는 항목이다.
:::

**16.** $\lim \dfrac{1}{\sqrt n} = 0$을 증명하시오. (연습장: $\frac{1}{\sqrt n} < \varepsilon \iff n > \frac{1}{\varepsilon^2}$ — $N$을 $\frac1N < \varepsilon^2$으로 잡고, $n > N$에서 $\frac{1}{\sqrt n} = \sqrt{\frac1n} < \sqrt{\frac1N}$… 16주차 문제 11(제곱 비교)로 마감)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

$\frac1n < \varepsilon^2$에서 $\frac{1}{\sqrt n} < \varepsilon$으로 넘어가는 한 줄이

관건이다. 결론을 부정해 $\frac{1}{\sqrt n} \ge \varepsilon$을 가정한 뒤,

$\varepsilon < \frac{1}{\sqrt n}$인 경우와 $\varepsilon = \frac{1}{\sqrt n}$인 경우로 나누어

각각 제곱하면(앞은 16주차 문제 11, 뒤는 등식) 모순이 나온다.
:::

**17.** $a_n \to L$ ($L > 0$)이면 어떤 문턱 이후 모든 $a_n > 0$임을 증명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

정의가 가정 쪽에 있으므로 $\varepsilon$을 골라 쓸 수 있다(예제 2.3의 구조). 구간 $(L -

\varepsilon, L + \varepsilon)$의 왼쪽 끝이 양수가 되려면 $\varepsilon$을 $L$보다 작게

($\varepsilon < L$) 잡아야 하는 이유를 생각해 본다.
:::

**18.** (진단) 다음 답안의 결함을 지적하시오.

:::{container} quotebox
"명제: $\frac1n \to 0$. 증명: $n > N$이라 하자. $\varepsilon = \frac1n$으로 잡으면… 아니, $N

= \frac1\varepsilon$… 우선 $\varepsilon$을 $\frac{1}{N}$으로 정의하고, $n > N$이면 $\frac1n

< \frac1N = \varepsilon$이므로 수렴한다. $\blacksquare$"

(양화사 순서(10주차)의 관점에서: 누가 먼저 정해져야 하는데 누가 먼저 정해졌는가? "$\varepsilon$을 내가 정한다"가 왜 정의 위반인가?)
:::

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

답안의 문장 순서를 정의 45.1의 양화사 순서와 나란히 놓고 대조한다. §1.3의 조각 삭제 실험 ②가

이 답안이 실제로 증명한 것이 무엇인지 알려 준다.
:::

**19.** 34주차 문제 20(b)에서 관찰한 $\frac{F_{n+1}}{F_n} \to \varphi$에 대해: (a) 이 주장을 $\varepsilon$-N 정의로 완전히 써 보시오 (증명은 요구하지 않음). (b) 그 증명이 이번 주 도구만으로 어렵다면 무엇이 더 필요할지 한 문장으로 추측하시오 (힌트: 카시니(34주차 문제 14)로 $\left|\frac{F_{n+1}}{F_n} - \frac{F_n}{F_{n-1}}\right| = \frac{1}{F_n F_{n-1}}$…).

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

(a)는 정의 45.1의 $a_n$ 자리에 $\frac{F_{n+1}}{F_n}$을, $L$ 자리에 $\varphi$를 대입하면

된다. (b)는 이번 주의 증명들이 전부 극한값을 **미리 알고** 시작했다는 점에 주목한다 —

카시니가 주는 것은 항들끼리의 거리이지 $L$과의 거리가 아니다.
:::

**20.** (서술) (a) "한없이 가까워진다"(고3)와 $\varepsilon$-N 정의의 관계 — 직관이 어떻게 계산 가능한 조건이 되었는지 — 를 세 문장 이내로. (b) $N$이 $\varepsilon$에 의존해도 되는 이유(양화사 순서)와, 연습장/본문 분리 규율이 지키는 것을 각각 한 문장으로.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

(a)는 §0의 세 유형과 §1.1의 두 실패 사례가 재료다.

(b)는 §1.4의 비교표와 §1.6의 확인 8이 각각 답의 골자다.
:::

## 백지 재현 — 복습 프로토콜

권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현.

**1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용.** 네 걸음 서식(§1.5)과 근거 목록(§1.7)만 펴 놓고 예제 2.1을 처음부터 끝까지 적는다. 정의 45.1과 본문은 보지 않는다.

**2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다.

- [ ] 정의 45.1을 양화사 세 개의 순서까지 정확히 썼다.
- [ ] 세 조각($\forall \varepsilon$, $\exists N$, $\forall n > N$)이 각각 무엇을 요구하는지 말했다.
- [ ] 예제 2.1을 네 줄로 재현했고, 둘째 줄에 아르키메데스 성질을 인용했다.
- [ ] 연습장(역산)과 본문(순방향)을 분리해서 적었다.
- [ ] 예제 2.3을 재현하고 세 부품(귀류법$\cdot$고른 $\varepsilon$$\cdot$삼각부등식)을 짚었다.
- [ ] 수렴 정의의 층별 부정(문제 12)을 재현했다.
- [ ] $\max$ 문턱이 왜 두 조건을 동시에 성립시키는지 설명했다.

**막힌 지점별 처방.**

| **막힌 지점** | **처방** |
|---|---|
| 양화사 순서가 헷갈린다 | §1.4의 비교표 — 둘째 문장이 왜 거짓인지 다시 확인한다 |
| 무엇부터 써야 할지 모르겠다 | §1.5의 네 걸음 — 첫 줄은 언제나 "$\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자" |
| $N$을 어떻게 잡을지 모르겠다 | §1.6 — 연습장에서 목표 부등식을 $n$에 대해 역산한다 |
| $N$의 근거를 못 쓰겠다 | §1.5의 아르키메데스 상자 — 자연수의 존재는 근거 ④로 인용한다 |
| 사슬이 $\varepsilon$에서 끝나지 않는다 | 예제 2.2 — $\vert a_n - L\vert $을 하나의 분수로 먼저 정리했는지 확인한다 |
| 발산 증명의 시작이 안 보인다 | 예제 2.3의 확인 17 — 수렴을 가정하고 $\varepsilon$을 고른다 |
| 가정이 두 개일 때 막힌다 | 문제 11 앞의 $\max$ 문턱 상자 |

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

## 해설

각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 1

(1) $\varepsilon$  (2) $1$

※ (2)의 자리는 $n \ge 1$을 쓰는 곳이다. $n^2 = n \cdot n$에서 뒤의 $n$을 1로 눌러 바꾸면 $n^2 \ge n$이고, 양변이 양수이므로 역수를 취하면 부등호가 뒤집혀 $\frac{1}{n^2} \le \frac1n$이 된다((W3)(W5)). 예제 2.1의 사슬 앞에 한 칸을 덧붙인 모양이며, 문제 4와 문제 15가 이 사슬을 그대로 재사용한다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 2

(1) 양수를 양수로 나눈 값은 양수이므로 ((W5))  (2) 아르키메데스  (3) $\frac{\varepsilon}{7}$ (4) $\frac{\varepsilon}{7}$  (5) (W3) — 부등식의 양변에 양수를 곱해도 방향이 유지된다

※ 상수 7을 처리하는 위치가 관건이다. 사슬 안에서 $\frac7n < \varepsilon$을 직접 만들려 하면 막히지만, 문턱을 잡을 때 $\varepsilon$ 대신 $\frac{\varepsilon}{7}$을 쓰면 마지막 곱셈에서 7이 정확히 상쇄된다. 문제 7과 문제 10이 같은 수법을 상수 2와 5로 쓴다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 3

(1) $\left|\dfrac{n}{2n+1} - \dfrac12\right| = \left|\dfrac{2n - (2n+1)}{2(2n+1)}\right| = \dfrac{1}{4n+2}$

(2) $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자.

(3) 아르키메데스 성질에 의해 $\frac1N < \varepsilon$인 자연수 $N$이 존재한다. 이 $N$을 잡자.

(4) $n > N$이라 하자.

(5) $n \ge 1$이므로 $4n + 2 > n$이고, 따라서

$$
\left|\frac{n}{2n+1} - \frac12\right| = \frac{1}{4n+2} < \frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \varepsilon
$$

이다. 그러므로 정의 45.1에 의해 $\lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1} = \frac12$이다. $\blacksquare$

※ 분모를 더 작은 $n$으로 갈아 끼워 분수를 키우는 것이 32주차 눌러놓기의 $\varepsilon$-N 판본이다.

### 문제 1

**접근.** 정의 45.1을 재생하고, 양화사마다 "누가 정하는가"와 "무엇을 요구하는가"를 붙여 적는다.

**풀이.** 정의: $(a_n)$이 $L$로 수렴한다는 것은

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ \big(n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon\big)
$$

가 성립한다는 뜻이다. $\forall \varepsilon > 0$ — 오차 한계를 상대가 정한다. 아무리 작은 양수를 내밀어도 그 전부에 대해 아래 조건이 성립해야 하며, 증명하는 쪽에는 값을 고를 권한이 없다. $\exists N$ — 문턱은 우리가 제시한다. 조건을 만족하는 $N$을 하나만 제시하면 되고, $\varepsilon$마다 다른 $N$을 써도 된다(§1.4). $\forall n$($n > N$) — 문턱을 넘은 항 전부를 검사한다. 항 하나가 아니라 꼬리 전체가 오차 안에 있어야 한다.

**복기.** 세 양화사의 순서가 곧 증명의 줄 순서다 — 오차를 받고, 문턱을 선언하고, 항을 잡는다. 이 순서를 함께 외우면 증명의 첫 세 줄이 저절로 나온다.

### 문제 2

**접근.** $\frac1n < \varepsilon \iff n > \frac{1}{\varepsilon}$이므로, $\frac{1}{\varepsilon}$ 이상인 자연수를 아무거나 잡는다.

**풀이.** (a) $\frac1n < 0.1 \iff n > 10$이므로 $N = 10$. 확인하면 $n > 10$일 때 $\frac1n \le \frac{1}{11} < 0.1$이다. (b) $\frac1n < 0.01 \iff n > 100$이므로 $N = 100$. $n > 100$이면 $\frac1n \le \frac{1}{101} < 0.01$이다. (c) $\frac1n < \frac{1}{1000} \iff n > 1000$이므로 $N = 1000$. $n > 1000$이면 $\frac1n \le \frac{1}{1001} < \frac{1}{1000}$이다. 세 경우 모두 더 큰 $N$도 정답이다 — 정의는 존재만 요구하므로 최선의 $N$을 찾을 의무는 없다.

**복기.** $\varepsilon$이 작아질수록 $N$이 커지는 것이 눈에 보인다. 이 대응 $\varepsilon \mapsto N$이 §1.4에서 말한 의존 관계이며, 문제 5의 증명은 이 대응을 식 하나로 적은 것이다.

### 문제 3

**접근.** $|a_n - c| = |c - c| = 0$이고 $\varepsilon > 0$이므로 ④가 $N$과 무관하게 성립한다. 그러면 ②에서 아무 자연수나 잡으면 된다.

**풀이.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $N = 1$로 잡자(자연수이므로 존재한다). $n > 1$이라 하자. 그러면

$$
|a_n - c| = |c - c| = |0| = 0 < \varepsilon
$$

이다. 마지막 부등호는 $\varepsilon > 0$이라는 가정 그 자체다. 따라서 정의 45.1에 의해 $a_n \to c$이다. $\blacksquare$

**복기.** 네 걸음 중 ②가 자유로운 유일한 경우다. 이 예가 보여 주는 것은 "$N$을 잘 골라야 한다"가 아니라 "조건을 만족하는 $N$이 하나라도 있으면 된다"이며, 46주차의 극한 법칙에서 상수열이 부품으로 쓰인다.

### 문제 4

**접근.** 훈련 1의 사슬을 백지에서 재생한다. 관건은 $\frac{1}{n^2}$을 $\frac1n$으로 갈아 끼우는 한 수이고, 근거는 $n \ge 1$에서 나오는 $n^2 \ge n$이다.

**풀이.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 의해 $\frac1N < \varepsilon$인 자연수 $N$이 존재한다. 이 $N$을 잡자. $n > N$이라 하자. $n \ge 1$이므로 $n^2 = n \cdot n \ge n \cdot 1 = n$이고, 양변이 양수이므로 역수를 취하면 $\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n}$이다((W3)(W5)). 따라서

$$
\left|\frac{1}{n^2} - 0\right| = \frac{1}{n^2} \le \frac1n < \frac1N < \varepsilon
$$

이다. 그러므로 정의 45.1에 의해 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0$이다. $\blacksquare$

**복기.** 새 극한을 처음부터 만들지 않고 이미 처리한 $\frac1n$의 사슬 앞에 한 칸을 덧붙였다. "더 빨리 0으로 가는 것은 더 느린 것에 눌러 붙인다"가 이식 가능한 패턴이다. (검산: $\varepsilon = 0.01$, $N = 101$, $n = 200$이면 $\frac{1}{40000} \le \frac{1}{200} < \frac{1}{101} < 0.01$이다 ✓)

### 문제 5

**접근.** 예제 2.1의 네 줄을 재생한다. 각 줄이 정의 45.1의 어느 조각을 옮긴 것인지 짚으면서 쓴다.

**풀이.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자($\forall \varepsilon$). 아르키메데스 성질에 의해 $\frac1N < \varepsilon$인 자연수 $N$이 존재하므로 이 $N$을 잡자($\exists N$, 근거 ④). $n > N$이라 하자($\forall n$). $0 < N < n$이므로 $\frac1n < \frac1N$이고((W3)(W5)), 따라서

$$
\left|\frac1n - 0\right| = \frac1n < \frac1N < \varepsilon
$$

이다((W6) 추이성). 그러므로 정의 45.1에 의해 $\lim_{n\to\infty}\frac1n = 0$이다. $\blacksquare$

**복기.** 자가 채점의 기준은 세 가지다 — 첫 줄에 "임의로"가 있는가, 둘째 줄에 아르키메데스 성질이 인용되어 있는가, 사슬의 끝이 $\varepsilon$인가. §4 채점 기준 상자가 본다고 예고한 바로 그 세 곳이다.

### 문제 6

**접근.** 17주차 문제 11의 보조정리 "$b \ge 0$일 때 $|a| \le b \iff -b \le a \le b$"를 부등호 $<$ 판본으로 $a = a_n - L$, $b = \varepsilon$에 적용한 뒤 각 변에 $L$을 더한다. 부등호를 $<$로 바꿔도 같은 논증이 그대로 작동한다는 것은 18주차 문제 11의 복기에서 확인한 사실이다.

**풀이.** $|a_n - L| < \varepsilon$은 보조정리의 $<$ 판본(18주차 문제 11의 복기)에 의해 $-\varepsilon < a_n - L < \varepsilon$과 동치이고, 각 변에 $L$을 더하면((W2))

$$
L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon
$$

이다. 이는 $a_n \in (L - \varepsilon,\ L + \varepsilon)$과 같은 말이므로 빈칸의 답은 $(L - \varepsilon,\ L + \varepsilon)$이다. $L = 3$, $\varepsilon = 0.5$이면 구간은 $(3 - 0.5,\ 3 + 0.5) = (2.5,\ 3.5)$이다.

**복기.** 거리 조건과 구간 조건은 같은 명제의 두 표기다. 그림으로 생각할 때는 구간 쪽이, 계산할 때는 절댓값 쪽이 편하다. 18주차 문제 11이 $L = 3$, $\varepsilon = 2$인 사례를 이미 증명해 두었고, 문제 17이 이 번역을 결정적으로 쓴다.

### 문제 7

**접근.** 차를 하나의 분수로 정리하면 분자가 상수인 분수가 남는다. 그 상수를 문턱 쪽으로 넘겨 $\frac1N < \frac{\varepsilon}{2}$로 잡는다(훈련 2와 같은 수법).

**풀이.** 연습장: $\left|\frac{3n+2}{n} - 3\right| = \left|\frac{3n + 2 - 3n}{n}\right| = \frac2n$이고, $\frac2n < \varepsilon \iff n > \frac{2}{\varepsilon}$이다.

$\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $\frac{\varepsilon}{2} > 0$이므로(근거 ②) 아르키메데스 성질에 의해 $\frac1N < \frac{\varepsilon}{2}$인 자연수 $N$이 존재한다. 이 $N$을 잡자. $n > N$이라 하자. 그러면 $\frac1n < \frac1N$이므로

$$
\left|\frac{3n+2}{n} - 3\right| = \frac{2}{n} = 2 \cdot \frac1n < 2 \cdot \frac1N < 2 \cdot \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon
$$

이다. 따라서 정의 45.1에 의해 $\lim_{n\to\infty}\frac{3n+2}{n} = 3$이다. $\blacksquare$

**복기.** 상수 계수는 사슬 안에서 처리하지 않고 문턱을 잡는 단계로 미룬다. "계수 $c$가 붙으면 문턱을 $\frac{\varepsilon}{c}$로"가 이식 가능한 패턴이다. (검산: $\varepsilon = 0.1$이면 $N = 21$을 잡을 수 있고, $n = 100$에서 $\frac{2}{100} = 0.02 < 0.1$이다 ✓)

### 문제 8

**접근.** $n + 3 > n$이므로 $\frac{1}{n+3} < \frac1n$이다. 분모를 더 작은 $n$으로 갈아 끼워 분수를 키우면 예제 2.1의 사슬이 그대로 이어진다.

**풀이.** 연습장: $\frac{1}{n+3} < \frac1n$이므로 $\frac1n < \varepsilon$만 확보하면 된다.

$\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 의해 $\frac1N < \varepsilon$인 자연수 $N$이 존재한다. 이 $N$을 잡자. $n > N$이라 하자. $0 < n < n + 3$이므로 $\frac{1}{n+3} < \frac1n$이고((W3)(W5)), $0 < N < n$이므로 $\frac1n < \frac1N$이다. 따라서

$$
\left|\frac{1}{n+3} - 0\right| = \frac{1}{n+3} < \frac1n < \frac1N < \varepsilon
$$

이다. 그러므로 정의 45.1에 의해 $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+3} = 0$이다. $\blacksquare$

**복기.** 사슬의 첫 칸에 분모를 눌러 놓는 한 수만 추가되었고 나머지는 예제 2.1 그대로다. 32주차의 방향 규칙이 적용된다 — 중간값을 키우는 교체만 넣어야 마지막의 $< \varepsilon$이 원래 식에 대한 결론이 된다.

### 문제 9

**접근.** 차를 정리하면 $\frac{1}{n+1}$이 나오고, 이는 문제 8과 같은 꼴이다. 분모 $n+1$을 $n$으로 눌러 예제 2.1의 사슬에 붙인다.

**풀이.** 연습장: $\left|\frac{n}{n+1} - 1\right| = \left|\frac{n - (n+1)}{n+1}\right| = \frac{1}{n+1}$이다.

$\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 의해 $\frac1N < \varepsilon$인 자연수 $N$이 존재한다. 이 $N$을 잡자. $n > N$이라 하자. $0 < n < n+1$이므로 $\frac{1}{n+1} < \frac1n$이고, $0 < N < n$이므로 $\frac1n < \frac1N$이다. 따라서

$$
\left|\frac{n}{n+1} - 1\right| = \frac{1}{n+1} < \frac1n < \frac1N < \varepsilon
$$

이다. 그러므로 정의 45.1에 의해 $\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} = 1$이다. $\blacksquare$

**복기.** 3주차 문제 15에서 "1에 가까워지지만 $1 \notin D$"라고 관찰만 했던 것이 여기서 정리가 되었다. 관찰을 정의로 옮기면 증명 대상이 되고, 증명 대상이 되면 부등식 계산으로 판정된다 — §0 유형 1의 간격이 메워진 자리다. 46주차 문제 12가 이 결과를 인용한다.

### 문제 10

**접근.** 분모 $2n - 1$을 더 작은 $n$으로 눌러 $\frac{5}{2n-1} \le \frac5n$을 만들고, 상수 5는 문턱을 $\frac1N < \frac{\varepsilon}{5}$로 잡아 처리한다.

**풀이.** 연습장: $n \ge 1$이면 $2n - 1 - n = n - 1 \ge 0$이므로 $2n - 1 \ge n > 0$이고, 따라서 $\frac{5}{2n-1} \le \frac5n$이다.

$\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $\frac{\varepsilon}{5} > 0$이므로(근거 ②) 아르키메데스 성질에 의해 $\frac1N < \frac{\varepsilon}{5}$인 자연수 $N$이 존재한다. 이 $N$을 잡자. $n > N$이라 하자. $n \ge 1$이므로 $2n - 1 \ge n$이고, 두 값이 모두 양수이므로 $\frac{1}{2n-1} \le \frac1n$이다((W3)(W5)). 그러면

$$
\left|\frac{5}{2n-1} - 0\right| = \frac{5}{2n-1} \le \frac{5}{n} = 5 \cdot \frac1n < 5 \cdot \frac1N < 5 \cdot \frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon
$$

이다. 따라서 정의 45.1에 의해 $\lim_{n\to\infty}\frac{5}{2n-1} = 0$이다. $\blacksquare$

**복기.** 눌러놓기(분모 교체)와 계수 넘기기(문턱 조정)를 한 사슬에서 함께 썼다. 순서가 중요하다 — 먼저 분모를 정리해 $\frac{c}{n}$ 꼴로 만든 뒤 그 $c$를 보고 문턱을 정한다. (검산: $\varepsilon = 0.5$이면 $N = 11$, $n = 20$에서 $\frac{5}{39} \approx 0.128 < 0.5$이다 ✓)

### 문제 11

**접근.** 26주차 유일성 서식을 귀류법 꼴로 쓴다. $L \neq L'$을 가정하면 $|L - L'| > 0$이므로 그 절반을 $\varepsilon$으로 쓸 수 있고, 두 정의를 각각 발동해 받은 문턱을 $\max$로 합친 뒤 삼각부등식으로 마감한다.

**풀이.** 모순을 이끌어내기 위해 $L \neq L'$이라 가정하자. 그러면 $L - L' \neq 0$이고, 절댓값은 언제나 0 이상이며(17주차 문제 3) 절댓값의 케이스 정의에 의해 값이 0이 되는 것은 안의 수가 0일 때뿐이므로 $|L - L'| > 0$이다(근거 ④). 따라서 $\varepsilon = \frac{|L - L'|}{2} > 0$이다(근거 ②).

$a_n \to L$이므로 정의 45.1을 이 $\varepsilon$에 대해 발동하면, 자연수 $N_1$이 존재하여 $n > N_1$이면 $|a_n - L| < \varepsilon$이다. 마찬가지로 $a_n \to L'$이므로 자연수 $N_2$가 존재하여 $n > N_2$이면 $|a_n - L'| < \varepsilon$이다.

$n = \max(N_1, N_2) + 1$로 잡자. 그러면 $n > N_1$이고 $n > N_2$이므로 두 부등식이 동시에 성립한다. 첫 부등식은 $|L - a_n| = |-(a_n - L)| = |a_n - L|$이므로(17주차 문제 4) $|L - a_n| < \varepsilon$으로 고쳐 적을 수 있다. 삼각부등식(17주차 문제 12)에 의해

$$
|L - L'| = |(L - a_n) + (a_n - L')| \le |L - a_n| + |a_n - L'| < \varepsilon + \varepsilon = |L - L'|
$$

이다. 즉 $|L - L'| < |L - L'|$이 되어 모순이다. 따라서 $L = L'$이다. $\blacksquare$

**복기.** 두 정의를 동시에 쓰려면 $\max$ 문턱이 필요하다는 것, 두 값을 직접 비교할 수 없을 때 공통의 세 번째 값($a_n$)을 경유해 삼각부등식으로 잇는다는 것 — 두 패턴이 46주차 합$\cdot$곱의 극한 법칙에서 반복된다. 이 명제가 확보하는 것은 표기의 정당성이다. 극한이 하나뿐이어야 $\lim$ 기호가 대상을 지정할 수 있다(확인 4에서 예고한 자리다).

### 문제 12

**접근.** 11주차의 층별 부정 규칙을 바깥에서부터 적용한다. $\lnot\forall = \exists\lnot$, $\lnot\exists = \forall\lnot$, $\lnot(P \Rightarrow Q) = P \land \lnot Q$이다.

**풀이.** 원래 문장은 $\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n,\ (n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon)$이다. 1층: $\exists \varepsilon > 0,\ \lnot(\cdots)$. 2층: $\forall N \in \mathbb{N},\ \lnot(\cdots)$. 3층: $\exists n \in \mathbb{N},\ \lnot(\cdots)$. 4층: $n > N \land |a_n - L| \ge \varepsilon$. 합치면

$$
\exists \varepsilon > 0,\ \forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \in \mathbb{N},\ \big(n > N \land |a_n - L| \ge \varepsilon\big)
$$

이다. 말로 읽으면 "어떤 오차 $\varepsilon$이 있어서, 어느 문턱을 잡아도 그보다 큰 $n$ 중에 $a_n$이 $L$에서 $\varepsilon$ 이상 떨어진 것이 존재한다"이다.

**복기.** 부정문의 $\forall N$ 때문에 발산을 직접 보이려면 모든 $N$에 대해 반례 항을 만들어야 한다 — 예제 2.3이 귀류법을 택한 이유가 여기에 있다. 두 길 모두 유효하다. (검산: $a_n = e_n$(§1.1), $L = 0$, $\varepsilon = 0.5$이면 어느 $N$에 대해서도 $N$보다 큰 홀수 $n$에서 $|e_n

- 0| = 1 \ge 0.5$이므로 부정문이 성립한다 ✓)

### 문제 13

**접근.** 예제 2.3의 세 부품을 순서대로 재생한다 — 귀류법으로 $L$의 존재를 가정, $\varepsilon = 1$을 고름, 삼각부등식으로 $2 < 2$를 만듦.

**풀이.** 모순을 이끌어내기 위해 $(-1)^n \to L$인 실수 $L$이 존재한다고 가정하자. 정의 45.1은 모든 양수 $\varepsilon$에 대한 조건이므로 $\varepsilon = 1$에 대해서도 성립한다. 그러면 자연수 $N$이 존재하여, $n > N$이면 $|(-1)^n - L| < 1$이다. $N$보다 큰 짝수 $n_1$을 잡으면 $(-1)^{n_1} = 1$이므로 $|1 - L| < 1$이고, $N$보다 큰 홀수 $n_2$를 잡으면 $(-1)^{n_2} = -1$이므로 $|-1 - L| < 1$이다. 뒤의 것은 $|-1 - L| = |-(L + 1)| = |L + 1|$이므로(17주차 문제 4) $|L + 1| < 1$이다. 삼각부등식(17주차 문제 12)에 의해

$$
2 = |1 - (-1)| = |(1 - L) + (L + 1)| \le |1 - L| + |L + 1| < 1 + 1 = 2
$$

이므로 $2 < 2$가 되어 모순이다. 따라서 그런 $L$은 존재하지 않으며 $(-1)^n$은 발산한다. $\blacksquare$

**복기.** 자가 채점의 핵심은 "$\varepsilon = 1$을 골라 쓸 권리"의 근거를 적었는지다 — 정의가 가정 쪽에 있으면 $\forall \varepsilon$은 자원이 된다. $\varepsilon$을 1로 고른 이유(두 항의 거리가 2이므로 반지름 1짜리 구간 두 개가 겹칠 수 없다)를 한 줄 적으면 설계가 드러난다.

### 문제 14

**접근.** $|(a_n + 5) - (L + 5)| = |a_n - L|$이므로 검사할 부등식이 가정의 것과 글자 그대로 같다. 새 문턱을 만들 필요가 없고 가정에서 받은 $N$을 그대로 쓴다.

**풀이.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $a_n \to L$이므로 정의 45.1에 의해 이 $\varepsilon$에 대해 자연수 $N$이 존재하여, $n > N$이면 $|a_n - L| < \varepsilon$이다. 이 $N$을 그대로 잡자. $n > N$이라 하자. 그러면

$$
|(a_n + 5) - (L + 5)| = |a_n + 5 - L - 5| = |a_n - L| < \varepsilon
$$

이다. 따라서 정의 45.1에 의해 $a_n + 5 \to L + 5$이다. $\blacksquare$

**복기.** 가정에 수렴이 있으면 $\varepsilon$을 받는 즉시 그 $\varepsilon$으로 정의를 발동해 $N$을 받는 것이 표준 순서다. 상수를 더해도 거리가 변하지 않는다는 관찰이 증명의 전부이며, 46주차 합의 극한 법칙은 이 문제의 5를 수렴하는 수열로 바꾼 것이다. (검산: $a_n = \frac1n$, $L = 0$이면 $|5 + \frac1n - 5| = \frac1n$으로 거리가 그대로다 ✓)

### 문제 15

**접근.** 차를 정리하면 훈련 1과 문제 4에서 다룬 $\frac{1}{n^2}$이 그대로 나온다. 그러면 그 사슬을 통째로 재사용한다.

**풀이.** 연습장: $\left|\frac{n^2-1}{n^2} - 1\right| = \left|\frac{n^2 - 1 - n^2}{n^2}\right| = \frac{1}{n^2}$이다.

$\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 의해 $\frac1N < \varepsilon$인 자연수 $N$이 존재한다. 이 $N$을 잡자. $n > N$이라 하자. $n \ge 1$이므로 $n^2 \ge n$이고, 두 값이 양수이므로 $\frac{1}{n^2} \le \frac1n$이다. 따라서

$$
\left|\frac{n^2 - 1}{n^2} - 1\right| = \frac{1}{n^2} \le \frac1n < \frac1N < \varepsilon
$$

이다. 그러므로 정의 45.1에 의해 $\lim_{n\to\infty}\frac{n^2-1}{n^2} = 1$이다. $\blacksquare$

**복기.** 겉모습이 문제 4와 전혀 다른데 연습장 한 줄을 지나면 같은 문제가 되었다. $\varepsilon$-N 증명에서 실제로 새로운 부분은 $|a_n - L|$을 정리하는 첫 줄뿐인 경우가 많다. (검산: $n = 10$이면 $\frac{99}{100} - 1 = -0.01$이고 절댓값은 $0.01 = \frac{1}{10^2}$이다 ✓)

### 문제 16

**접근.** 연습장에서 $\frac{1}{\sqrt n} < \varepsilon$을 풀면 $n > \frac{1}{\varepsilon^2}$이 나온다. $\varepsilon^2 > 0$이므로 아르키메데스 성질을 $\varepsilon^2$에 적용하고, 마지막 한 줄은 제곱근을 직접 씌우는 대신 16주차 문제 11로 처리한다. 그 명제는 순부등식 꼴이므로 등호 경우를 따로 확인하는 경우 나누기가 한 번 들어간다.

**풀이.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $\varepsilon^2 > 0$이므로(근거 ②) 아르키메데스 성질에 의해 $\frac1N < \varepsilon^2$인 자연수 $N$이 존재한다. 이 $N$을 잡자. $n

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N$이라 하자. 그러면 $\frac1n < \frac1N < \varepsilon\^{}2$이다.
:::

이제 $\frac{1}{\sqrt n} < \varepsilon$임을 보인다. 모순을 이끌어내기 위해 $\frac{1}{\sqrt n} \ge \varepsilon$이라 가정하자. 근거 목록에 있는 명제는 $0 \le a < b \Rightarrow a^2 < b^2$(16주차 문제 11)이므로 그대로는 $\ge$에 적용되지 않는다. 가정을 두 경우로 나눈다. **경우 1: $\varepsilon < \frac{1}{\sqrt n}$.** $\varepsilon > 0$이므로 $0 \le \varepsilon < \frac{1}{\sqrt n}$이고, 16주차 문제 11에 의해 $\varepsilon^2 < \left(\frac{1}{\sqrt n}\right)^2 = \frac1n$이다. **경우 2: $\varepsilon = \frac{1}{\sqrt n}$.** 양변을 제곱하면 $\varepsilon^2 = \frac1n$이다(근거 ③). 두 경우가 가정 $\frac{1}{\sqrt n} \ge \varepsilon$ 전체를 덮고, 어느 경우든 $\varepsilon^2 \le \frac1n$이다. 이는 위에서 얻은 $\frac1n < \varepsilon^2$과 모순이다. 따라서

$$
\left|\frac{1}{\sqrt n} - 0\right| = \frac{1}{\sqrt n} < \varepsilon
$$

이고, 정의 45.1에 의해 $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt n} = 0$이다. $\blacksquare$

**복기.** $N$이 $\varepsilon$의 제곱과 얽힌 식으로 만들어졌다. 문턱의 모양이 문제마다 달라도 되는 이유는 $\exists N$이 $\forall \varepsilon$ 뒤에 있기 때문이다(§1.4). (검산: $\varepsilon = 0.1$이면 $N = 101$, $n = 200$에서 $\frac{1}{\sqrt{200}} \approx 0.0707 < 0.1$이다 ✓)

### 문제 17

**접근.** 정의가 가정 쪽에 있으므로 $\varepsilon$을 골라 쓸 수 있다. 구간 $(L - \varepsilon, L + \varepsilon)$의 왼쪽 끝이 양수가 되도록 $\varepsilon$을 $L$보다 작게 잡으면 되고, $\varepsilon = \frac{L}{2}$이 가장 간단하다.

**풀이.** $L > 0$이므로 $\varepsilon = \frac{L}{2} > 0$이다(근거 ②). $a_n \to L$이므로 정의 45.1을 이 $\varepsilon$에 대해 발동하면, 자연수 $N$이 존재하여 $n > N$이면 $|a_n - L| < \frac{L}{2}$이다. $n > N$이라 하자. 문제 6의 번역에 의해

$$
L - \frac{L}{2} < a_n < L + \frac{L}{2}, \quad \text{즉} \quad \frac{L}{2} < a_n < \frac{3L}{2}
$$

이다. 왼쪽 부등식과 $\frac{L}{2} > 0$을 (W6) 추이성으로 이으면 $a_n > 0$이다. 따라서 $n > N$인 모든 $n$에 대해 $a_n > 0$이다. $\blacksquare$

**복기.** "$\varepsilon$을 잘 고른다"의 두 번째 실전이다(첫 번째는 예제 2.3). 고르는 기준은 언제나 같다 — 무엇을 확보하고 싶은지를 먼저 정하고 그것이 성립하도록 $\varepsilon$을 역산한다. 여기서는 "왼쪽 끝이 양수"가 목표였고 $\varepsilon < L$이면 충분했다. (검산: $a_n = \frac1n + 3 \to 3$이면 $\varepsilon = 1.5$, $N = 1$로 충분하다 ✓)

### 문제 18

**접근.** 답안의 문장 순서를 정의 45.1의 양화사 순서와 나란히 놓고 대조한다. 정의는 $\forall \varepsilon$이 먼저이고 $\exists N$이 나중인데, 답안은 $N$(과 $n$)을 먼저 놓고 $\varepsilon$을 그것으로 정의했다.

**풀이.** 결함은 양화사 순서의 위반이며 세 가지로 나눠 지적할 수 있다.

첫째, 순서의 도치다. 답안은 "$n > N$이라 하자"로 시작한다. 정의 45.1에서 $n$은 가장 안쪽의 양화사이므로 $\varepsilon$과 $N$이 정해진 뒤에야 등장할 수 있다. 증명의 첫 줄은 "$\varepsilon

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0$이 임의로 주어졌다고 하자"여야 한다.
:::

둘째, $\varepsilon$을 증명하는 쪽이 정했다. 정의에서 $\varepsilon$은 임의로 주어지는 것이고 $N$은 그것을 보고 제시하는 것이다. 자기가 고른 $\varepsilon$ 하나에 대해서만 조건을 확인한 것은 $\forall \varepsilon$을 $\exists \varepsilon$으로 바꿔치기한 것이며, §1.3의 조각 삭제 실험 ②가 보인 대로 그 문장은 $(-1)^n$ 같은 발산 수열까지 통과시킨다. 실제로 답안이 증명한 명제는 "어떤 $\varepsilon > 0$과 어떤 $N$이 있어서 $n > N$이면 $\frac1n < \varepsilon$"이며, 훨씬 약한 별개의 명제다.

셋째, 계산 $\frac1n < \frac1N = \varepsilon$ 자체는 옳다. 무너지는 것은 계산이 아니라 계산이 놓인 논리적 위치다. 수정하면 예제 2.1의 네 줄이 된다.

**복기.** 1주차에서 "모든 $n$에 대해"를 예시 몇 개로 확인하고 끝낸 오류와 같은 계보다. 양화사가 늘어나면 같은 오류가 순서 도치의 모습으로 나타난다. 47주차에서 함수 극한의 $\delta$를 다룰 때 이 문제의 $\delta$ 판본을 다시 만난다.

### 문제 19

**접근.** (a)는 정의 45.1에 $a_n = \frac{F_{n+1}}{F_n}$, $L = \varphi$를 대입하는 기계적 작업이다. (b)는 이번 주의 증명들이 전부 극한값을 미리 알고 시작했다는 점에 주목한다.

**풀이.**

(a) 정의 45.1을 그대로 대입하면

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ \left(n > N \Rightarrow \left|\frac{F_{n+1}}{F_n} - \varphi\right| < \varepsilon\right)
$$

이다. 말로 읽으면 "어떤 오차 한계가 주어져도, 그 뒤로는 모든 이웃 피보나치 수의 비가 $\varphi$에서 그 오차 안에 있는 문턱이 존재한다"이다.

(b) 카시니 항등식(34주차 문제 14)을 쓰면 이웃한 두 비의 차가

$$
\left|\frac{F_{n+1}}{F_n} - \frac{F_n}{F_{n-1}}\right| = \frac{|F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2|}{F_n F_{n-1}} = \frac{1}{F_n F_{n-1}}
$$

임을 보일 수 있고, 분모가 급격히 커지므로 이 차는 매우 작아진다. 그런데 이번 주의 도구는 전부 **항과 극한값의 거리** $|a_n - L|$을 다루는데, 카시니가 주는 것은 **항들끼리의 거리**다. "항들끼리 서로 가까워지는 수열이 어딘가로 수렴한다"는 별개의 명제이며, 이를 보장하려면 실수의 완비성(코시 수열의 수렴)이 필요하다 — 아르키메데스 성질과 마찬가지로 이 과정에서는 유도하지 않고 넘기는 항목이며, 여기서는 다루지도 않는다.

**복기.** 극한값을 모르는 채로 수렴을 증명하려면 다른 종류의 도구가 필요하다는 것이 (b)의 요점이다. 34주차에서 관찰만 하고 미뤄 두었던 항목이 여기서 "정확히 무엇이 부족한가"까지 답해졌다 — 관찰, 정확한 진술, 증명은 각각 별개의 단계다.

### 문제 20

**접근.** (a)는 §0의 세 유형과 §1.1의 두 실패 사례가 재료다. (b)는 §1.4의 비교표와 §1.6의 확인 8이 답의 골자다.

**풀이.**

(a) (예시 답안) "한없이 가까워진다"는 움직임을 묘사하는 말이라 검사할 부등식이 없고, 그래서 참$\cdot$거짓을 판정할 수 없다. $\varepsilon$-N 정의는 그것을 "임의의 오차 한계 $\varepsilon$에 대해 문턱 $N$이 존재한다"는 정적인 조건으로 옮긴다. 이 조건은 부등식 계산으로 확인되므로 수렴이 증명의 대상이 되고, 동시에 부정(문제 12)을 통해 반증의 대상도 된다.

(b) (예시 답안) $\exists N$이 $\forall \varepsilon$ 뒤에 놓여 있으므로 $N$은 $\varepsilon$에 의존해도 된다 — 오차마다 다른 문턱을 대는 것이 정의가 허용하는 바이며, 문턱 하나가 모든 오차를 감당해야 한다는 문장은 §1.4의 표에서 보았듯 훨씬 강한 별개의 명제다. 연습장과 본문의 분리는 "결론에서 거꾸로 푼 탐색"과 "가정에서 출발한 검증"을 섞지 않게 하여 16주차 이래의 순방향 규율을 지킨다.

**복기.** 서술형 문항의 채점 기준도 근거다 — (a)에서는 "판정 절차"라는 낱말이, (b)에서는 "양화사의 순서"와 "탐색과 검증의 구분"이 답의 뼈대다. 문장을 예쁘게 쓰는 것이 아니라 어느 절의 어느 장치를 인용했는지가 점수를 만든다.

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**다음 주 예고:** 극한을 하나씩 정의로 증명하는 대신 이미 아는 극한을 조립하는 법을 배운다 — 합$\cdot$곱의 극한 법칙(각 항을 $\frac{\varepsilon}{2}$ 이내로 누르는 수법과 문제 11의 $\max$ 문턱), 샌드위치 정리, 그리고 **급수**. $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots = 1$은 수렴하고 $1 + \frac12 + \frac13 + \cdots$은 발산하는 이유를 부분합의 수열로 환원해 판정한다. 32주차 문제 10에서 세운 상한 $2 - \frac1n$이 그때 제 역할을 찾는다.