S4주차 — 정의와 용어: 후진 질문의 표준 답안지

이 주의 길잡이

핵심 문장: 정의는 “만약”으로 적혀 있어도 언제나 “그리고 그때뿐”이다 — 그래서 이름을 조건으로 푸는 방향과 조건을 만들어 이름을 얻는 방향, 양쪽에서 쓰인다.

이 주의 위치: 1학기 20주 과정의 S4주차. S3주차에서 세운 3단 뼈대의 첫 걸음은 “후진의 핵심 질문에 답을 댄다”였는데, 그 답을 어디서 가져오는지는 아직 정해지지 않았다. 이번 주가 첫 공급처를 붙인다. 1권 1주차(첫 정의들)\(\cdot\)15주차(정의 번역)\(\cdot\)25주차(쌍조건문)가 하나의 이름으로 묶인다.

원서 대응: Solow 3장 — 정의와 수학 용어. 3장이 제시하는 정의 표는 이후 주차에서도 계속 참조하게 된다.

이번 주 목표

1. 정의의 논리적 정체 — 용어 \(\Leftrightarrow\) 조건의 쌍조건문 — 를 확립하고, 관례상 “if”로 적힌 정의를 언제나 iff로 읽는 이유를 말할 수 있다.

2. 정의의 양면을 구분해 쓴다: 전진면(이름 \(\to\) 조건 전개)과 후진면(조건 제작 \(\to\) 이름 획득).

3. 동치인 여러 표현 중에서 사실 목록\(\cdot\)과녁의 모양에 가까운 것을 고른다 — 표현 선택이 증명 길이와 기법까지 바꾼다는 것을 사례로 확인한다.

4. 용어 체계(공리\(\cdot\)정의\(\cdot\)명제\(\cdot\)정리\(\cdot\)보조정리\(\cdot\)따름정리)를 정리하고, 이미 증명된 정리가 정의와 나란한 둘째 공급처임을 확인한다.

5. 낯선 정의를 만났을 때의 소화 절차(iff 재작성 \(\to\) 양면 문장화 \(\to\) 예\(\cdot\)비예 제작)를 절차로 장착한다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (S3주차 복습)

노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다.

1. 전진 과정의 조준 규칙을 쓰시오.

2. S3주차 문제 10에서 “\(4k^2 + 4k + 1\)을 \(2(2k^2+2k)+1\)로 묶는” 걸음의 과녁은 무엇이었는지 쓰시오.

3. 홀수\(\cdot\)짝수\(\cdot\)나누어떨어짐(\(a \mid b\))\(\cdot\)유리수\(\cdot\)부분집합의 정의를 백지에 쓰시오. (1권 1\(\cdot\)2\(\cdot\)4\(\cdot\)15주차 — 이 다섯이 이번 주 내내 재료가 된다.)

자주 나오는 세 가지 답

3번에서 “짝수의 정의”를 적어 보면 대개 다음 셋 중 하나가 나온다. 셋 다 짝수를 아는 사람이 쓰는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다.

• 유형 1 — 예로 답한다. “짝수는 \(2, 4, 6, 8, \ldots\)과 \(0\), 그리고 음수 쪽으로

\(-2, -4, \ldots\)”라고 적는다. 열거는 정확하다. 문제는 증명에서 쓸 수 없다는 것이다. 임의의 짝수 \(n\)을 받았을 때 이 열거는 “\(n\)은 이 목록 어딘가에 있다”만 말하고, \(n\)에 대해 손에 쥘 수 있는 식을 하나도 주지 않는다. 정의는 대상을 가리키는 목록이 아니라 대상이 만족하는 조건이다.

• 유형 2 — 한 방향만 적는다. “\(n = 2k\)이면 \(n\)을 짝수라 한다”로 끝낸다.

이 문장은 정의의 절반이고, 그 절반은 정확하다 — 조건을 갖춘 대상이 이름을 얻는다는 약속이다. 빠진 것은 반대 방향이다. 증명에서 “\(n\)이 짝수라 하자”로 시작할 때 필요한 것은 이름에서 조건을 꺼내는 방향인데, 이 문장은 그 방향을 약속하지 않았다. §1.3이 왜 정의만 두 방향을 공짜로 갖는지 다룬다.

• 유형 3 — 존재 문자를 빠뜨린다. “\(n\)이 짝수 \(\iff\) \(n = 2k\)”로 적는다.

기호로 쓴 것도, iff로 쓴 것도 옳다. 빠진 것은 \(k\)의 신분이다. \(k\)가 어떤 수인지, 그리고 \(k\)가 주어진 것인지 존재를 주장하는 것인지가 적혀 있지 않다. \(k\)의 범위를 실수로 열어 두면 모든 실수가 짝수가 되고, \(k\)를 특정한 값으로 읽으면 짝수가 하나뿐인 개념이 된다. 조건 안의 양화사를 드러내는 일이 §1.3의 해부 표가 하는 일이다.

개념 — 정의를 양쪽에서 쓰기

1 S3주차의 도구만으로는 어디서 막히는가

명제 하나를 S3주차의 3단 뼈대에 그대로 올려 본다.

명제. 정수 \(n\)이 짝수이면 \(n^2\)도 짝수이다.

뼈대의 ①은 후진으로 과녁을 정하는 것이다. B: “\(n^2\)은 짝수이다”. 핵심 질문: “어떤 정수가 짝수임을 어떻게 보이는가?” — 여기서 곧바로 멈춘다. S2주차에서 이 질문에 답을 댄 방식은 “두 실수가 같음을 보이려면 차가 0임을 보인다”처럼 식에 대한 질문에 식으로 답하는 것이었다. 그런데 지금 묻는 대상은 식이 아니라 이름이고, S3주차까지의 도구 어디에도 이름에 답을 대는 규칙이 없다.

그러면 ②를 먼저 해 본다. 전진 과정의 절차 ①에 따라 사실 목록을 본다. 목록에는 “\(n\)은 짝수이다” 하나가 있다. 절차 ②는 이 사실에 정의\(\cdot\)정리\(\cdot\)대수 조작을 적용해 새 사실을 유도하라고 한다. 대수 조작을 시도해 본다.

• 양변에 무엇을 더한다 — 양변이 없다.

• 이항한다 — 항이 없다.

• 양변을 제곱한다 — 제곱할 식이 없다.

확인 1. “\(n\)은 짝수이다”에 등식의 성질(근거 ③)을 적용할 수 없는 이유를 한 마디로 적어 보자.

답

등식이 아니기 때문이다. 근거 ③은 등식\(\cdot\)부등식의 양변에 대한 규칙인데

이 문장에는 양변이 없다. 목록에 사실이 하나 들어 있지만 손댈 자리가 없다.

전진도 후진도 여기서 한 걸음도 나가지 못한다.

그런데 이 명제는 1권 1주차부터 여러 번 증명해 온 것이고, 실제로 쓴 첫 줄은 정해져 있었다. “짝수의 정의에 의해 \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다.” 이 줄이 하는 일은 이름을 등식으로 바꾸는 것이다. 등식이 생기는 순간 근거 ③이 작동하고 전진이 재개된다. 마지막 줄도 짝을 이룬다. “\(2k^2\)은 정수이므로 \(n^2\)은 짝수이다”는 반대로 등식을 이름으로 되돌린다.

이 주 전체의 기준

이름과 식 사이에는 두 방향의 통로가 필요하다. 그 통로를 놓는 것이 정의이고,

통로가 없으면 S3주차까지의 도구는 이름이 붙은 문장에 아무것도 하지 못한다.

2 사례 표를 채워 보기 — 이름과 조건

1권에서 외운 정의 다섯 개를 “이름 / 약속된 조건”의 두 칸으로 다시 적어 본다. 빈칸을 채운다.

이름	약속된 조건
정수 \(n\)은 짝수이다	\(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다
정수 \(n\)은 홀수이다	\(\underline{\quad(1)\quad}\)
\(a \mid b\) (\(a, b\)는 정수)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
실수 \(r\)은 유리수이다	\(\underline{\quad(3)\quad}\)
\(A \subseteq B\)	모든 \(x\)에 대해, \(x \in A\)이면 \(x \in B\)이다

확인 2. 빈칸 (1)(2)(3)을 채워 보자. 조건 안에 등장하는 문자의 신분(어떤 수이고, 주어진 것인지 존재를 주장하는 것인지)까지 적는다.

답

(1) \(n = 2k + 1\)인 정수 \(k\)가 존재한다.

(2) \(b = ak\)인 정수 \(k\)가 존재한다.

(3) \(r = \dfrac pq\)이고 \(q \neq 0\)인 정수 \(p, q\)가 존재한다.

셋 다 조건이 “…인 정수가 존재한다”의 꼴이고, 문자는 주어진 것이 아니라

존재를 주장하는 대상이다. 다섯째 줄만 존재가 아니라 “모든”으로 시작한다 —

조건의 양화사는 정의마다 다르다.

확인 3. 다섯 줄 각각에 대해, 왼쪽에서 오른쪽으로 가는 통로와 오른쪽에서 왼쪽으로 가는 통로가 둘 다 열려 있는지 확인해 보자. 어느 한쪽이 막힌 줄이 있는가.

답

다섯 줄 모두 양쪽이 열려 있다. 조건을 갖추면 이름이 붙고, 이름이 붙어 있으면

조건을 갖춘 것이다. 막힌 줄은 하나도 없다. 이것은 우연이 아니라 정의라는

문장의 성질이며, §1.3에서 그 이유를 다룬다.

두 통로에 이름을 붙일 자리다. 표에서 한 일 자체에는 새로운 것이 없다 — 1권 1주차부터 정의를 풀어 등식을 만들고, 계산 끝에 다시 정의 꼴로 묶는 두 동작을 계속 해 왔다. 새로운 것은 그 두 동작이 하나의 문장이 갖는 두 면이라는 것, 그리고 어느 상황에서 어느 면을 쓰는지가 정해져 있다는 것뿐이다.

3 정의는 쌍조건문이다

백지 암기 대상

정의의 논리 형식

“용어 \(T\)” \(\iff\) “조건 \(C\)”

수학책의 관례는 정의를 “if”로 적는 것이다 — “정수 \(n\)이 짝수라 함은

\(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재하는 것이다.” 그러나 정의에서 이 if는 **언제나 iff로

읽는다**: 조건을 만족하면 그 이름을 얻고, 그 이름이 붙어 있으면 조건을 만족한다.

정의는 세계에 대한 주장이 아니라 낱말의 약속이므로, 한 방향만 약속하는 것은

낱말의 쓸모를 절반 없애는 일이다.

기호 \(\iff\)는 “동치이다” 또는 “일 때 그리고 그때뿐”으로 읽는다. 1권 25주차에서 쌍조건문은 두 방향을 각각 증명해야 얻는 것이었다. 정의는 그 증명이 면제되는 유일한 쌍조건문이다 — 증명할 사실이 없고 약속만 있기 때문이다.

정의 문장 해부. 짝수의 정의를 조각으로 끊어 각 조각의 일을 확인한다.

조각	하는 일	증명에서의 역할
대상의 범위 (“정수 \(n\)이”)	이름을 붙일 수 있는 후보를 한정한다	정의를 인용하기 전에 대상이 그 범위에 있는지 확인하게 한다
이름 (\(T\): “짝수”)	조건 전체를 낱말 하나로 줄인다	사실 목록과 과녁에 짧게 적히는 형태
연결어 (“라 함은 …인 것이다”)	이름과 조건을 양방향으로 묶는다	전진면과 후진면 둘 다의 통행 근거
조건 (\(C\): “\(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다”)	이름이 실제로 요구하는 것을 식으로 적는다	전진에서는 잡을 것, 후진에서는 만들 것
조건 안의 문자 신분 (“정수 \(k\)”, “존재한다”)	문자의 범위와 양화사를 고정한다	계산 끝에 정수성을 검증하게 하는 조항

조각 삭제 실험 — 문자의 범위를 뺀 경우. 조건에서 “정수”를 지우고 “\(n = 2k\)인 \(k\)가 존재한다”로 두면 어떤 실수 \(n\)이든 \(k = \frac n2\)을 잡을 수 있어 모든 실수가 짝수가 된다. 짝수와 홀수의 구분이 사라지고, 1권 17주차부터 써 온 홀짝 분할도 무의미해진다. 정의를 인용한 뒤 “그리고 \(2k^2\)은 정수이므로”라고 덧붙이는 습관은 장식이 아니라 이 조각을 지키는 일이다.

조각 삭제 실험 — 연결어의 한 방향을 뺀 경우. 유형 2처럼 “\(n = 2k\)이면 \(n\)을 짝수라 한다”만 약속했다고 하자. 조건을 갖춘 것에 이름을 주는 통로는 그대로 있다. 그러나 예제 2.1의 둘째 줄 “\(n\)이 짝수이므로 \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다”는 쓸 수 없다 — 이름에서 조건으로 가는 통로가 약속되지 않았기 때문이다. 증명은 첫 줄에서 멈춘다. 정의가 한 방향만 약속하면 가정에 등장하는 모든 용어가 쓸모를 잃는다.

확인 4. 정리 “정수 \(n\)이 4의 배수이면 \(n\)은 짝수이다”에서도 if를 iff로 읽을 수 있는가. 읽을 수 없다면 그 차이는 어디서 오는가.

답

읽을 수 없다. \(n = 2\)가 짝수이면서 4의 배수가 아니므로 역이 거짓이다.

차이의 출처는 문장의 성격이다. 정의는 낱말에 대한 약속이라 반대 방향도

약속에 포함시키면 그만이지만, 정리는 두 진술 사이의 사실 관계 주장이라

각 방향이 별도의 증명 대상이다. 정리를 정의처럼 뒤집어 쓰는 것이 1권 9주차의

역 오류이며, 원서를 읽을 때 가장 흔히 밟는 자리이기도 하다.

4 전진면과 후진면

백지 암기 대상

정의의 두 면

전진면 (\(T \Rightarrow C\)): 사실 목록에 있는 이름을 조건으로 푼다. “\(n\)은 짝수” \(\to\) “\(n = 2k\)인 정수 \(k\)를 잡자”.

후진면 (\(C \Rightarrow T\)): 과녁의 이름을 만들어야 할 조건으로 바꾼다. “\(n^2\)이 짝수임을 보이려면” \(\to\) “\(n^2 = 2 \times (\text{정수})\) 꼴을 만들면 된다”.

두 면이 S3주차의 3단 뼈대에서 각각 어디에 들어가는지가 이번 주의 핵심이다.

면	3단 뼈대에서의 자리	하는 일	1권에서의 이름
전진면	② 전진의 첫 걸음	이름이 붙은 사실을 식으로 바꿔 근거 ③이 작동할 재료를 만든다	“정의 번역” (1권 15주차)
후진면	① 후진의 핵심 질문에 대한 답	이름으로 된 과녁을 식 꼴의 과녁으로 갈아치운다	“정의 꼴 제작” (1권 26주차의 증인 검증)

1권에서 감각으로 하던 일이 여기서 이름을 얻는다. 1권 1주차 예제 2.1(짝수와 짝수의 합은 짝수)의 번역표는 가정 칸에 “\(m = 2a\), \(n = 2b\)인 정수 \(a, b\)가 존재”를 적고 도착점 칸에 “\(m + n = 2 \times (\text{정수})\) 꼴을 만든다”를 적게 했다 — 가정 칸을 채운 동작이 전진면이고 도착점 칸을 채운 동작이 후진면이며, 그때는 두 칸이 같은 문장의 양면이라는 사실만 적혀 있지 않았다.

확인 5. 명제 “정수 \(n\)이 홀수이면 \(n^2\)은 홀수이다”의 증명에서 홀수의 정의는 몇 번 쓰이는가. 각각 어느 면인가.

답

완성 산문에서는 두 번이다. 첫 줄 “\(n\)이 홀수이므로 \(n = 2k+1\)인 정수 \(k\)가

존재한다”가 전진면, 마지막 줄 “\(2k^2 + 2k\)는 정수이므로 \(n^2\)은 홀수이다”가

후진면이다. 설계 단계까지 세면 세 번이다 — 과녁을

“\(2 \times (\text{정수}) + 1\) 꼴을 만든다”로 갈아치운 후진 걸음이 한 번 더

있고, 그 걸음은 완성 산문에서 지워진다(S3주차 §1.6).

5 답을 대는 공급처는 정의뿐이 아니다

후진의 핵심 질문에 답을 대는 자리는 정의가 첫째지만 유일하지는 않다.

백지 암기 대상

핵심 질문의 표준 답안지

① 정의 — 이름이 요구하는 조건을 만든다.

② 이미 증명된 정리 — 그 이름을 결론으로 갖는 정리를 찾아, 그 정리의 가정을 새 과녁으로 삼는다.

③ 표준 전략 — 소재별로 굳어진 변형(차의 부호 판정, 완전제곱, 경우 나누기 등).

낯선 개념일수록 ①이 빠르고, 이미 정리가 여럿 쌓인 개념일수록 ②가 빠르다.

②의 실물은 이미 만났다. S3주차 문제 19에서 “\(ab \le \frac14\)”의 과녁을 산술\(\cdot\)기하 평균 부등식에 넘긴 것이 ②이고, 그때 확인한 대로 기성 정리를 인용하려면 그 정리의 규격(전제)을 갖췄는지 먼저 확인해야 한다. ①에도 확인이 없지는 않지만 그 양이 다르다 — 정의에서 확인할 전제는 §1.3 해부 표의 첫 조각, 곧 대상의 범위 한 줄뿐이고 (실수 \(3\)에 “\(3 = 2 \cdot 1.5\)”를 들이대지 못하는 것이 그 조각이 하는 일이다), 그 확인은 대개 문맥에서 이미 끝나 있다. 반면 기성 정리는 본문에 적힌 가정 전부를 그때그때 별도로 확인해야 한다. 이것이 ①이 언제나 첫 후보인 이유다.

확인 6. 과녁이 “\(n\)은 3의 배수이다”이고 사실 목록에 “\(n = 9m\) (\(m\)은 정수)”이 있다. ①과 ② 중 어느 쪽이 짧은가.

답

①이다. 나누어떨어짐의 정의(후진면)에 따라 \(n = 3 \times (\text{정수})\) 꼴을

만들면 되고, \(n = 9m = 3(3m)\)이 즉시 그 꼴이다. ②로 가려면 “\(9 \mid n\)이면

\(3 \mid n\)” 같은 정리를 먼저 확보해야 하는데, 그 정리의 증명이 방금 한

계산이다. 정리가 없을 때 정의로 내려가는 것이 언제나 안전한 이유다.

6 동치인 표현들 — 선택이 증명을 바꾼다

하나의 개념을 적는 방법이 여럿일 수 있다.

개념	표현 1 (원정의)	표현 2	표현 3
\(n\)은 짝수	\(n = 2k\) (\(k\)는 정수)	\(2 \mid n\)	\(n \equiv 0 \pmod 2\)
\(n\)은 홀수	\(n = 2k + 1\) (\(k\)는 정수)	\(n\)은 짝수가 아니다	\(n \equiv 1 \pmod 2\)
\(m, n\)은 같은 홀짝	둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수	\(2 \mid (m - n)\)	\(m \equiv n \pmod 2\)
\(A = B\)	같은 원소를 갖는다	\(A \subseteq B\)이고 \(B \subseteq A\)	—

원정의가 아닌 표현을 특성화(characterization)라 한다. 특성화와 원정의의 동치는 약속이 아니라 정리이므로 증명이 필요하다. 예를 들어 “홀수 \(\Leftrightarrow\) 짝수가 아니다”는 홀짝 분할의 전수성(1권 17주차)과 배타성(1권 22주차 문제 5)이 함께 증명하는 내용이다. 일단 증명되고 나면 특성화도 정의와 똑같이 양면으로 쓴다.

선택 기준은 S3주차의 조준 규칙과 같다 — 사실 목록과 과녁의 겉모양에 가까운 표현을 고른다. S2주차 문제 13은 “\(m\)과 \(n\)은 같은 홀짝”이라는 하나의 결론에 두 갈래 후진을 모두 기록하게 했는데, 그 두 갈래가 정확히 위 표의 표현 1과 표현 3(=표현 2를 합동 기호로 적은 것)이다. 어느 갈래를 고를지는 그때 손에 있는 사실이 정한다.

한 가지 경보 — 부정문 표현

“홀수 = 짝수가 아니다”를 원정의처럼 쓰면 사실 목록에 들어오는 것이 부정문이

된다. 부정문에는 풀어낼 조건이 없어서 전진면이 작동하지 않고, 대우나 귀류로

게임을 통째로 바꿔야 한다. \(2k+1\) 꼴이 표준 정의인 이유는 긍정문이자

존재문이라 전진면이 즉시 작동하기 때문이다. 부정문을 다루는 기술은 S10주차의 주제다.

확인 7. 사실 목록에 “\(m + n\)은 짝수”가 있고 과녁이 “\(m\)과 \(n\)은 같은 홀짝”이다. 표 셋째 줄의 어느 표현을 고르는가.

답

표현 2(\(2 \mid (m-n)\))다. 목록의 사실이 \(m + n\)에 대한 등식이고, 과녁을

표현 2로 두면 과녁도 \(m - n\)에 대한 등식이 되어 두 식이 같은 소재가 된다.

실제로 \(m + n = 2k\)에서 \(m - n = (m+n) - 2n = 2(k - n)\)이 한 줄에 나온다.

표현 1을 고르면 경우 나누기가 필요해 훨씬 길어진다.

7 용어 체계 — 수학 문헌의 등장인물

용어	뜻	1권에서의 예
공리 (axiom)	증명 없이 참으로 약속하는 출발점	실수의 기본 성질(1권 16주차), 최소원리(1권 33주차)
정의 (definition)	낱말의 약속 (iff)	짝수, 부분집합, 상등 판정(1권 27주차 정의 27.1), 극한(1권 45주차)
명제 (proposition)	참으로 증명된 진술	각 주차의 연습 명제들
정리 (theorem)	특히 중요한 증명된 진술	나눗셈 정리(1권 33주차 예제 2.2\(\cdot\)문제 10), 칸토어 정리(1권 49주차 예제 2.3)
보조정리 (lemma)	더 큰 증명에 부품으로 쓰려고 미리 떼어 증명한 진술	“\(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수”(1권 19주차 예제 2.1)
따름정리 (corollary)	이미 증명한 정리에서 짧게 따라 나오는 진술	칸토어 정리에서 나오는 무한 위계의 무한성

뒤의 넷(명제\(\cdot\)정리\(\cdot\)보조정리\(\cdot\)따름정리)을 가르는 것은 논리가 아니라 편집이다. 넷 다 “증명된 참”이라는 자격이 같고, 핵심 질문의 답으로 인용될 권리도 같다. 원서에서 Lemma를 만나면 “다음 정리의 부품을 미리 깎는 중”이라고 읽으면 된다.

확인 8. 급의 구분이 편집이라면, 원서를 읽을 때 이 구분에서 얻을 정보는 무엇인가.

답

문서의 구조다. Lemma는 곧 뒤따를 정리에서 쓰인다는 예고이고, Corollary는

바로 앞 정리의 재고용이며, Theorem은 그 절의 목적지다. 어느 것을 먼저 읽고

어느 것에 시간을 쓸지가 이 표시로 정해진다. 참\(\cdot\)거짓의 등급이 아니라 읽는

순서에 대한 안내로 받는다.

8 낯선 정의의 소화 절차

앞으로 두 학기 동안 새 정의를 수십 개 만난다. 만날 때마다 같은 순서로 처리한다.

백지 암기 대상

낯선 정의의 소화 절차

① iff로 재작성 — “…라 함은 …인 것이다”를 \(T \iff C\)로 옮기고, 조건 \(C\) 안의 양화사(\(\exists\)인가 \(\forall\)인가)와 문자의 범위를 드러낸다.

② 양면 문장화 — 전진면(”\(T\)가 사실 목록에 있으면 나는 …를 잡을 수 있다”)과 후진면(”\(T\)임을 보이려면 …를 만들면 된다”)을 각각 한 문장으로 적는다.

③ 예 2개와 비예 2개 제작 — 조건을 만족하는 대상 둘과 아슬아슬하게 실패하는 대상 둘을 직접 만들어 경계를 확인한다.

절차 해부. 세 걸음이 각각 다른 일을 한다.

걸음	하는 일	이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가
① iff 재작성	조건의 논리 구조와 문자 신분을 노출한다	무엇을 잡고 무엇을 검증해야 하는지 모른 채 정의를 외우게 된다
② 양면 문장화	정의를 증명의 두 자리에 배치한다	정의를 외웠는데 증명에서 쓰지 못한다
③ 예\(\cdot\)비예 제작	조건의 경계를 실물로 확인한다	조건을 잘못 읽은 것을 끝까지 발견하지 못한다

걸음 삭제 실험 — ③을 뺀 경우. 완전수의 정의를 “약수의 합이 자기 자신과 같은 수”로 줄여 외웠다고 하자. ①과 ②만 돌리면 이 축약이 잘못됐다는 신호가 나오지 않는다. ③을 실행하는 순간 드러난다: \(6\)의 약수는 \(1, 2, 3, 6\)이고 합은 \(12\)이므로 \(6\)은 완전수가 아니게 되고, 같은 계산을 \(28\)에 해도 실패한다. 원래 개념의 대표 사례 둘이 함께 탈락하는 순간 축약이 잘못됐음이 드러난다. 실제로 이 오염된 정의를 끝까지 밀면 \(n \ge 2\)인 수는 모두 탈락하고 — 양의 약수에 언제나 \(1\)과 \(n\)이 함께 있어 합이 \(n\)을 넘기 때문이다 — \(n = 1\) 하나만 살아남아, 완전수라고는 \(1\)뿐인 원래와 전혀 다른 개념이 된다. 지워진 것은 “\(n\) 자신을 제외한”이라는 조각이다. 예를 만들어 보지 않으면 조각 하나가 빠진 것을 알아낼 방법이 없다.

걸음 삭제 실험 — ②를 뺀 경우. 조건은 정확히 외웠지만 두 면의 문장을 만들지 않은 경우가 이 자리다. 확인 2의 답을 글자 그대로 적을 수 있으면서도 예제 2.1의 첫 줄(”\(n\)이 짝수이므로 \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다”)은 쓰지 못하는 상태다. 정의를 아는 것과 쓸 수 있는 것을 가르는 것이 ②다. (§0의 유형 1은 이 자리가 아니라 ① 결손이다 — 열거는 \(T \iff C\) 꼴이 아니어서 iff 재작성에서 이미 걸리고, 문장화할 조건 \(C\) 자체가 만들어지지 않는다.)

기호 하나를 미리 읽어 둔다. 예제 2.3에서 쓰는 \(\displaystyle\sum_{d \mid n,\ 0 < d < n} d\)는 “\(n\)을 나누고 \(0\)보다 크며 \(n\)보다 작은 모든 \(d\)에 대한 \(d\)의 합”으로 읽는다. 합 기호 아래의 조건이 더할 대상을 고르는 조건이고, 그 조건 자체가 나누어떨어짐의 정의를 쓰고 있다.

9 근거 목록 갱신

칸이 늘지는 않는다. ① 칸이 이번 주의 주역이고, ④ 칸에 새 종류가 들어온다.

근거	이번 주에 추가되는 것	이번 주에는 이렇게 쓴다
① 정의	항목은 그대로 — 대신 인용할 때 어느 면인지를 말할 수 있게 된다	“정의의 전진면에 의해”, “정의의 후진면에 의해”
② 닫힘성	변화 없음	정의 꼴을 완성한 직후의 정수성 검증에서 쓴다
③ 등식의 성질	변화 없음	전진면으로 얻은 등식을 과녁의 꼴로 조작할 때 쓴다
④ 이미 증명한 명제	특성화 정리가 들어온다 — 원정의와 다른 표현의 동치를 증명해 둔 것	“특성화에 의해 \(A \subseteq B\)를 \(A \cup B = B\)로 바꿔 쓴다”