# S4주차 — 정의와 용어: 후진 질문의 표준 답안지 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 정의는 "만약"으로 적혀 있어도 언제나 "그리고 그때뿐"이다 — 그래서 이름을 조건으로 푸는 방향과 조건을 만들어 이름을 얻는 방향, 양쪽에서 쓰인다. **이 주의 위치**: 1학기 20주 과정의 S4주차. S3주차에서 세운 3단 뼈대의 첫 걸음은 "후진의 핵심 질문에 답을 댄다"였는데, 그 답을 어디서 가져오는지는 아직 정해지지 않았다. 이번 주가 첫 공급처를 붙인다. 1권 1주차(첫 정의들)$\cdot$15주차(정의 번역)$\cdot$25주차(쌍조건문)가 하나의 이름으로 묶인다. **원서 대응**: Solow 3장 — 정의와 수학 용어. 3장이 제시하는 정의 표는 이후 주차에서도 계속 참조하게 된다. ::: ## 이번 주 목표 1. 정의의 논리적 정체 — **용어 $\Leftrightarrow$ 조건**의 쌍조건문 — 를 확립하고, 관례상 "if"로 적힌 정의를 언제나 iff로 읽는 이유를 말할 수 있다. 1. 정의의 **양면**을 구분해 쓴다: 전진면(이름 $\to$ 조건 전개)과 후진면(조건 제작 $\to$ 이름 획득). 1. **동치인 여러 표현** 중에서 사실 목록$\cdot$과녁의 모양에 가까운 것을 고른다 — 표현 선택이 증명 길이와 기법까지 바꾼다는 것을 사례로 확인한다. 1. 용어 체계(공리$\cdot$정의$\cdot$명제$\cdot$정리$\cdot$보조정리$\cdot$따름정리)를 정리하고, **이미 증명된 정리**가 정의와 나란한 둘째 공급처임을 확인한다. 1. 낯선 정의를 만났을 때의 소화 절차(iff 재작성 $\to$ 양면 문장화 $\to$ 예$\cdot$비예 제작)를 절차로 장착한다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (S3주차 복습) 노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다. 1. 전진 과정의 조준 규칙을 쓰시오. 1. S3주차 문제 10에서 "$4k^2 + 4k + 1$을 $2(2k^2+2k)+1$로 묶는" 걸음의 과녁은 무엇이었는지 쓰시오. 1. 홀수$\cdot$짝수$\cdot$나누어떨어짐($a \mid b$)$\cdot$유리수$\cdot$부분집합의 정의를 백지에 쓰시오. (1권 1$\cdot$2$\cdot$4$\cdot$15주차 — 이 다섯이 이번 주 내내 재료가 된다.) ### 자주 나오는 세 가지 답 3번에서 "짝수의 정의"를 적어 보면 대개 다음 셋 중 하나가 나온다. 셋 다 짝수를 아는 사람이 쓰는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 예로 답한다.** "짝수는 $2, 4, 6, 8, \ldots$과 $0$, 그리고 음수 쪽으로 $-2, -4, \ldots$"라고 적는다. 열거는 정확하다. 문제는 증명에서 쓸 수 없다는 것이다. 임의의 짝수 $n$을 받았을 때 이 열거는 "$n$은 이 목록 어딘가에 있다"만 말하고, $n$에 대해 손에 쥘 수 있는 **식**을 하나도 주지 않는다. 정의는 대상을 가리키는 목록이 아니라 대상이 만족하는 조건이다. - **유형 2 — 한 방향만 적는다.** "$n = 2k$이면 $n$을 짝수라 한다"로 끝낸다. 이 문장은 정의의 절반이고, 그 절반은 정확하다 — 조건을 갖춘 대상이 이름을 얻는다는 약속이다. 빠진 것은 반대 방향이다. 증명에서 "$n$이 짝수라 하자"로 시작할 때 필요한 것은 **이름에서 조건을 꺼내는** 방향인데, 이 문장은 그 방향을 약속하지 않았다. §1.3이 왜 정의만 두 방향을 공짜로 갖는지 다룬다. - **유형 3 — 존재 문자를 빠뜨린다.** "$n$이 짝수 $\iff$ $n = 2k$"로 적는다. 기호로 쓴 것도, iff로 쓴 것도 옳다. 빠진 것은 $k$의 신분이다. $k$가 어떤 수인지, 그리고 $k$가 주어진 것인지 존재를 주장하는 것인지가 적혀 있지 않다. $k$의 범위를 실수로 열어 두면 모든 실수가 짝수가 되고, $k$를 특정한 값으로 읽으면 짝수가 하나뿐인 개념이 된다. 조건 안의 양화사를 드러내는 일이 §1.3의 해부 표가 하는 일이다. ## 개념 — 정의를 양쪽에서 쓰기 ### 1 S3주차의 도구만으로는 어디서 막히는가 명제 하나를 S3주차의 3단 뼈대에 그대로 올려 본다. **명제.** 정수 $n$이 짝수이면 $n^2$도 짝수이다. 뼈대의 ①은 후진으로 과녁을 정하는 것이다. B: "$n^2$은 짝수이다". 핵심 질문: "어떤 정수가 짝수임을 어떻게 보이는가?" — 여기서 곧바로 멈춘다. S2주차에서 이 질문에 답을 댄 방식은 "두 실수가 같음을 보이려면 차가 0임을 보인다"처럼 식에 대한 질문에 식으로 답하는 것이었다. 그런데 지금 묻는 대상은 식이 아니라 **이름**이고, S3주차까지의 도구 어디에도 이름에 답을 대는 규칙이 없다. 그러면 ②를 먼저 해 본다. 전진 과정의 절차 ①에 따라 사실 목록을 본다. 목록에는 "$n$은 짝수이다" 하나가 있다. 절차 ②는 이 사실에 정의$\cdot$정리$\cdot$대수 조작을 적용해 새 사실을 유도하라고 한다. 대수 조작을 시도해 본다. - 양변에 무엇을 더한다 — 양변이 없다. - 이항한다 — 항이 없다. - 양변을 제곱한다 — 제곱할 식이 없다. :::{container} quotebox **확인 1.** "$n$은 짝수이다"에 등식의 성질(근거 ③)을 적용할 수 없는 이유를 한 마디로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 등식이 아니기 때문이다. 근거 ③은 등식$\cdot$부등식의 **양변**에 대한 규칙인데 이 문장에는 양변이 없다. 목록에 사실이 하나 들어 있지만 손댈 자리가 없다. 전진도 후진도 여기서 한 걸음도 나가지 못한다. ::: 그런데 이 명제는 1권 1주차부터 여러 번 증명해 온 것이고, 실제로 쓴 첫 줄은 정해져 있었다. "짝수의 정의에 의해 $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다." 이 줄이 하는 일은 **이름을 등식으로 바꾸는 것**이다. 등식이 생기는 순간 근거 ③이 작동하고 전진이 재개된다. 마지막 줄도 짝을 이룬다. "$2k^2$은 정수이므로 $n^2$은 짝수이다"는 반대로 **등식을 이름으로 되돌린다**. :::{admonition} 이 주 전체의 기준 :class: quotebox 이름과 식 사이에는 두 방향의 통로가 필요하다. 그 통로를 놓는 것이 정의이고, 통로가 없으면 S3주차까지의 도구는 이름이 붙은 문장에 아무것도 하지 못한다. ::: ### 2 사례 표를 채워 보기 — 이름과 조건 1권에서 외운 정의 다섯 개를 "이름 / 약속된 조건"의 두 칸으로 다시 적어 본다. 빈칸을 채운다. | **이름** | **약속된 조건** | |---|---| | 정수 $n$은 짝수이다 | $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다 | | 정수 $n$은 홀수이다 | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | $a \mid b$ ($a, b$는 정수) | $\underline{\quad(2)\quad}$ | | 실수 $r$은 유리수이다 | $\underline{\quad(3)\quad}$ | | $A \subseteq B$ | 모든 $x$에 대해, $x \in A$이면 $x \in B$이다 | :::{container} quotebox **확인 2.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채워 보자. 조건 안에 등장하는 문자의 신분(어떤 수이고, 주어진 것인지 존재를 주장하는 것인지)까지 적는다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $n = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재한다. (2) $b = ak$인 정수 $k$가 존재한다. (3) $r = \dfrac pq$이고 $q \neq 0$인 정수 $p, q$가 존재한다. 셋 다 조건이 "…인 정수가 존재한다"의 꼴이고, 문자는 주어진 것이 아니라 **존재를 주장하는 대상**이다. 다섯째 줄만 존재가 아니라 "모든"으로 시작한다 — 조건의 양화사는 정의마다 다르다. ::: :::{container} quotebox **확인 3.** 다섯 줄 각각에 대해, 왼쪽에서 오른쪽으로 가는 통로와 오른쪽에서 왼쪽으로 가는 통로가 둘 다 열려 있는지 확인해 보자. 어느 한쪽이 막힌 줄이 있는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 다섯 줄 모두 양쪽이 열려 있다. 조건을 갖추면 이름이 붙고, 이름이 붙어 있으면 조건을 갖춘 것이다. 막힌 줄은 하나도 없다. 이것은 우연이 아니라 정의라는 문장의 성질이며, §1.3에서 그 이유를 다룬다. ::: 두 통로에 이름을 붙일 자리다. 표에서 한 일 자체에는 새로운 것이 없다 — 1권 1주차부터 정의를 풀어 등식을 만들고, 계산 끝에 다시 정의 꼴로 묶는 두 동작을 계속 해 왔다. 새로운 것은 그 두 동작이 **하나의 문장이 갖는 두 면**이라는 것, 그리고 어느 상황에서 어느 면을 쓰는지가 정해져 있다는 것뿐이다. ### 3 정의는 쌍조건문이다 :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **정의의 논리 형식** "용어 $T$" $\iff$ "조건 $C$" 수학책의 관례는 정의를 "if"로 적는 것이다 — "정수 $n$이 **짝수**라 함은 $n = 2k$인 정수 $k$가 존재하는 것이다." 그러나 정의에서 이 if는 **언제나 iff로 읽는다**: 조건을 만족하면 그 이름을 얻고, 그 이름이 붙어 있으면 조건을 만족한다. 정의는 세계에 대한 주장이 아니라 **낱말의 약속**이므로, 한 방향만 약속하는 것은 낱말의 쓸모를 절반 없애는 일이다. ::: 기호 $\iff$는 "동치이다" 또는 "일 때 그리고 그때뿐"으로 읽는다. 1권 25주차에서 쌍조건문은 두 방향을 **각각 증명해야** 얻는 것이었다. 정의는 그 증명이 면제되는 유일한 쌍조건문이다 — 증명할 사실이 없고 약속만 있기 때문이다. **정의 문장 해부.** 짝수의 정의를 조각으로 끊어 각 조각의 일을 확인한다. | **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** | |---|---|---| | 대상의 범위 ("정수 $n$이") | 이름을 붙일 수 있는 후보를 한정한다 | 정의를 인용하기 전에 대상이 그 범위에 있는지 확인하게 한다 | | 이름 ($T$: "짝수") | 조건 전체를 낱말 하나로 줄인다 | 사실 목록과 과녁에 짧게 적히는 형태 | | 연결어 ("라 함은 …인 것이다") | 이름과 조건을 **양방향**으로 묶는다 | 전진면과 후진면 둘 다의 통행 근거 | | 조건 ($C$: "$n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다") | 이름이 실제로 요구하는 것을 식으로 적는다 | 전진에서는 잡을 것, 후진에서는 만들 것 | | 조건 안의 문자 신분 ("정수 $k$", "존재한다") | 문자의 범위와 양화사를 고정한다 | 계산 끝에 정수성을 검증하게 하는 조항 | **조각 삭제 실험 — 문자의 범위를 뺀 경우.** 조건에서 "정수"를 지우고 "$n = 2k$인 $k$가 존재한다"로 두면 어떤 실수 $n$이든 $k = \frac n2$을 잡을 수 있어 **모든 실수가 짝수**가 된다. 짝수와 홀수의 구분이 사라지고, 1권 17주차부터 써 온 홀짝 분할도 무의미해진다. 정의를 인용한 뒤 "그리고 $2k^2$은 정수이므로"라고 덧붙이는 습관은 장식이 아니라 이 조각을 지키는 일이다. **조각 삭제 실험 — 연결어의 한 방향을 뺀 경우.** 유형 2처럼 "$n = 2k$이면 $n$을 짝수라 한다"만 약속했다고 하자. 조건을 갖춘 것에 이름을 주는 통로는 그대로 있다. 그러나 예제 2.1의 둘째 줄 "$n$이 짝수이므로 $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다"는 쓸 수 없다 — 이름에서 조건으로 가는 통로가 약속되지 않았기 때문이다. 증명은 첫 줄에서 멈춘다. 정의가 한 방향만 약속하면 **가정에 등장하는 모든 용어가 쓸모를 잃는다.** :::{container} quotebox **확인 4.** 정리 "정수 $n$이 4의 배수이면 $n$은 짝수이다"에서도 if를 iff로 읽을 수 있는가. 읽을 수 없다면 그 차이는 어디서 오는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 읽을 수 없다. $n = 2$가 짝수이면서 4의 배수가 아니므로 역이 거짓이다. 차이의 출처는 문장의 성격이다. 정의는 낱말에 대한 약속이라 반대 방향도 약속에 포함시키면 그만이지만, 정리는 두 진술 사이의 **사실 관계 주장**이라 각 방향이 별도의 증명 대상이다. 정리를 정의처럼 뒤집어 쓰는 것이 1권 9주차의 역 오류이며, 원서를 읽을 때 가장 흔히 밟는 자리이기도 하다. ::: ### 4 전진면과 후진면 :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **정의의 두 면** **전진면** ($T \Rightarrow C$): 사실 목록에 있는 이름을 조건으로 푼다. "$n$은 짝수" $\to$ "$n = 2k$인 정수 $k$를 잡자". **후진면** ($C \Rightarrow T$): 과녁의 이름을 만들어야 할 조건으로 바꾼다. "$n^2$이 짝수임을 보이려면" $\to$ "$n^2 = 2 \times (\text{정수})$ 꼴을 만들면 된다". ::: 두 면이 S3주차의 3단 뼈대에서 각각 어디에 들어가는지가 이번 주의 핵심이다. | **면** | **3단 뼈대에서의 자리** | **하는 일** | **1권에서의 이름** | |---|---|---|---| | 전진면 | ② 전진의 첫 걸음 | 이름이 붙은 사실을 식으로 바꿔 근거 ③이 작동할 재료를 만든다 | "정의 번역" (1권 15주차) | | 후진면 | ① 후진의 핵심 질문에 대한 답 | 이름으로 된 과녁을 식 꼴의 과녁으로 갈아치운다 | "정의 꼴 제작" (1권 26주차의 증인 검증) | 1권에서 감각으로 하던 일이 여기서 이름을 얻는다. 1권 1주차 예제 2.1(짝수와 짝수의 합은 짝수)의 번역표는 가정 칸에 "$m = 2a$, $n = 2b$인 정수 $a, b$가 존재"를 적고 도착점 칸에 "$m + n = 2 \times (\text{정수})$ 꼴을 만든다"를 적게 했다 — 가정 칸을 채운 동작이 **전진면**이고 도착점 칸을 채운 동작이 **후진면**이며, 그때는 두 칸이 같은 문장의 양면이라는 사실만 적혀 있지 않았다. :::{container} quotebox **확인 5.** 명제 "정수 $n$이 홀수이면 $n^2$은 홀수이다"의 증명에서 홀수의 정의는 몇 번 쓰이는가. 각각 어느 면인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 완성 산문에서는 두 번이다. 첫 줄 "$n$이 홀수이므로 $n = 2k+1$인 정수 $k$가 존재한다"가 **전진면**, 마지막 줄 "$2k^2 + 2k$는 정수이므로 $n^2$은 홀수이다"가 **후진면**이다. 설계 단계까지 세면 세 번이다 — 과녁을 "$2 \times (\text{정수}) + 1$ 꼴을 만든다"로 갈아치운 후진 걸음이 한 번 더 있고, 그 걸음은 완성 산문에서 지워진다(S3주차 §1.6). ::: ### 5 답을 대는 공급처는 정의뿐이 아니다 후진의 핵심 질문에 답을 대는 자리는 정의가 첫째지만 유일하지는 않다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **핵심 질문의 표준 답안지** ① **정의** — 이름이 요구하는 조건을 만든다. ② **이미 증명된 정리** — 그 이름을 결론으로 갖는 정리를 찾아, 그 정리의 가정을 새 과녁으로 삼는다. ③ **표준 전략** — 소재별로 굳어진 변형(차의 부호 판정, 완전제곱, 경우 나누기 등). 낯선 개념일수록 ①이 빠르고, 이미 정리가 여럿 쌓인 개념일수록 ②가 빠르다. ::: ②의 실물은 이미 만났다. S3주차 문제 19에서 "$ab \le \frac14$"의 과녁을 산술$\cdot$기하 평균 부등식에 넘긴 것이 ②이고, 그때 확인한 대로 기성 정리를 인용하려면 그 정리의 **규격**(전제)을 갖췄는지 먼저 확인해야 한다. ①에도 확인이 없지는 않지만 그 양이 다르다 — 정의에서 확인할 전제는 §1.3 해부 표의 첫 조각, 곧 **대상의 범위** 한 줄뿐이고 (실수 $3$에 "$3 = 2 \cdot 1.5$"를 들이대지 못하는 것이 그 조각이 하는 일이다), 그 확인은 대개 문맥에서 이미 끝나 있다. 반면 기성 정리는 본문에 적힌 가정 전부를 그때그때 별도로 확인해야 한다. 이것이 ①이 언제나 첫 후보인 이유다. :::{container} quotebox **확인 6.** 과녁이 "$n$은 3의 배수이다"이고 사실 목록에 "$n = 9m$ ($m$은 정수)"이 있다. ①과 ② 중 어느 쪽이 짧은가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ①이다. 나누어떨어짐의 정의(후진면)에 따라 $n = 3 \times (\text{정수})$ 꼴을 만들면 되고, $n = 9m = 3(3m)$이 즉시 그 꼴이다. ②로 가려면 "$9 \mid n$이면 $3 \mid n$" 같은 정리를 먼저 확보해야 하는데, 그 정리의 증명이 방금 한 계산이다. 정리가 없을 때 정의로 내려가는 것이 언제나 안전한 이유다. ::: ### 6 동치인 표현들 — 선택이 증명을 바꾼다 하나의 개념을 적는 방법이 여럿일 수 있다. | **개념** | **표현 1 (원정의)** | **표현 2** | **표현 3** | |---|---|---|---| | $n$은 짝수 | $n = 2k$ ($k$는 정수) | $2 \mid n$ | $n \equiv 0 \pmod 2$ | | $n$은 홀수 | $n = 2k + 1$ ($k$는 정수) | $n$은 짝수가 아니다 | $n \equiv 1 \pmod 2$ | | $m, n$은 같은 홀짝 | 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수 | $2 \mid (m - n)$ | $m \equiv n \pmod 2$ | | $A = B$ | 같은 원소를 갖는다 | $A \subseteq B$이고 $B \subseteq A$ | — | 원정의가 아닌 표현을 **특성화**(characterization)라 한다. 특성화와 원정의의 동치는 약속이 아니라 **정리**이므로 증명이 필요하다. 예를 들어 "홀수 $\Leftrightarrow$ 짝수가 아니다"는 홀짝 분할의 전수성(1권 17주차)과 배타성(1권 22주차 문제 5)이 함께 증명하는 내용이다. 일단 증명되고 나면 특성화도 정의와 똑같이 양면으로 쓴다. 선택 기준은 S3주차의 조준 규칙과 같다 — **사실 목록과 과녁의 겉모양에 가까운 표현을 고른다.** S2주차 문제 13은 "$m$과 $n$은 같은 홀짝"이라는 하나의 결론에 두 갈래 후진을 모두 기록하게 했는데, 그 두 갈래가 정확히 위 표의 표현 1과 표현 3(=표현 2를 합동 기호로 적은 것)이다. 어느 갈래를 고를지는 그때 손에 있는 사실이 정한다. :::{admonition} 한 가지 경보 — 부정문 표현 :class: quotebox "홀수 = 짝수가 아니다"를 원정의처럼 쓰면 사실 목록에 들어오는 것이 **부정문**이 된다. 부정문에는 풀어낼 조건이 없어서 전진면이 작동하지 않고, 대우나 귀류로 게임을 통째로 바꿔야 한다. $2k+1$ 꼴이 표준 정의인 이유는 긍정문이자 존재문이라 전진면이 즉시 작동하기 때문이다. 부정문을 다루는 기술은 S10주차의 주제다. ::: :::{container} quotebox **확인 7.** 사실 목록에 "$m + n$은 짝수"가 있고 과녁이 "$m$과 $n$은 같은 홀짝"이다. 표 셋째 줄의 어느 표현을 고르는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 표현 2($2 \mid (m-n)$)다. 목록의 사실이 $m + n$에 대한 등식이고, 과녁을 표현 2로 두면 과녁도 $m - n$에 대한 등식이 되어 두 식이 같은 소재가 된다. 실제로 $m + n = 2k$에서 $m - n = (m+n) - 2n = 2(k - n)$이 한 줄에 나온다. 표현 1을 고르면 경우 나누기가 필요해 훨씬 길어진다. ::: ### 7 용어 체계 — 수학 문헌의 등장인물 | **용어** | **뜻** | **1권에서의 예** | |---|---|---| | **공리** (axiom) | 증명 없이 참으로 약속하는 출발점 | 실수의 기본 성질(1권 16주차), 최소원리(1권 33주차) | | **정의** (definition) | 낱말의 약속 (iff) | 짝수, 부분집합, 상등 판정(1권 27주차 정의 27.1), 극한(1권 45주차) | | **명제** (proposition) | 참으로 증명된 진술 | 각 주차의 연습 명제들 | | **정리** (theorem) | 특히 중요한 증명된 진술 | 나눗셈 정리(1권 33주차 예제 2.2$\cdot$문제 10), 칸토어 정리(1권 49주차 예제 2.3) | | **보조정리** (lemma) | 더 큰 증명에 부품으로 쓰려고 미리 떼어 증명한 진술 | "$n^2$이 짝수이면 $n$은 짝수"(1권 19주차 예제 2.1) | | **따름정리** (corollary) | 이미 증명한 정리에서 짧게 따라 나오는 진술 | 칸토어 정리에서 나오는 무한 위계의 무한성 | 뒤의 넷(명제$\cdot$정리$\cdot$보조정리$\cdot$따름정리)을 가르는 것은 논리가 아니라 **편집**이다. 넷 다 "증명된 참"이라는 자격이 같고, 핵심 질문의 답으로 인용될 권리도 같다. 원서에서 Lemma를 만나면 "다음 정리의 부품을 미리 깎는 중"이라고 읽으면 된다. :::{container} quotebox **확인 8.** 급의 구분이 편집이라면, 원서를 읽을 때 이 구분에서 얻을 정보는 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 문서의 구조다. Lemma는 곧 뒤따를 정리에서 쓰인다는 예고이고, Corollary는 바로 앞 정리의 재고용이며, Theorem은 그 절의 목적지다. 어느 것을 먼저 읽고 어느 것에 시간을 쓸지가 이 표시로 정해진다. 참$\cdot$거짓의 등급이 아니라 읽는 순서에 대한 안내로 받는다. ::: ### 8 낯선 정의의 소화 절차 앞으로 두 학기 동안 새 정의를 수십 개 만난다. 만날 때마다 같은 순서로 처리한다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **낯선 정의의 소화 절차** ① **iff로 재작성** — "…라 함은 …인 것이다"를 $T \iff C$로 옮기고, 조건 $C$ 안의 양화사($\exists$인가 $\forall$인가)와 문자의 범위를 드러낸다. ② **양면 문장화** — 전진면("$T$가 사실 목록에 있으면 나는 …를 잡을 수 있다")과 후진면("$T$임을 보이려면 …를 만들면 된다")을 각각 한 문장으로 적는다. ③ **예 2개와 비예 2개 제작** — 조건을 만족하는 대상 둘과 아슬아슬하게 실패하는 대상 둘을 직접 만들어 경계를 확인한다. ::: **절차 해부.** 세 걸음이 각각 다른 일을 한다. | **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | ① iff 재작성 | 조건의 논리 구조와 문자 신분을 노출한다 | 무엇을 잡고 무엇을 검증해야 하는지 모른 채 정의를 외우게 된다 | | ② 양면 문장화 | 정의를 증명의 두 자리에 배치한다 | 정의를 외웠는데 증명에서 쓰지 못한다 | | ③ 예$\cdot$비예 제작 | 조건의 경계를 실물로 확인한다 | 조건을 잘못 읽은 것을 끝까지 발견하지 못한다 | **걸음 삭제 실험 — ③을 뺀 경우.** 완전수의 정의를 "약수의 합이 자기 자신과 같은 수"로 줄여 외웠다고 하자. ①과 ②만 돌리면 이 축약이 잘못됐다는 신호가 나오지 않는다. ③을 실행하는 순간 드러난다: $6$의 약수는 $1, 2, 3, 6$이고 합은 $12$이므로 $6$은 완전수가 아니게 되고, 같은 계산을 $28$에 해도 실패한다. 원래 개념의 대표 사례 둘이 함께 탈락하는 순간 축약이 잘못됐음이 드러난다. 실제로 이 오염된 정의를 끝까지 밀면 $n \ge 2$인 수는 모두 탈락하고 — 양의 약수에 언제나 $1$과 $n$이 함께 있어 합이 $n$을 넘기 때문이다 — $n = 1$ 하나만 살아남아, 완전수라고는 $1$뿐인 원래와 전혀 다른 개념이 된다. 지워진 것은 "$n$ 자신을 제외한"이라는 조각이다. 예를 만들어 보지 않으면 조각 하나가 빠진 것을 알아낼 방법이 없다. **걸음 삭제 실험 — ②를 뺀 경우.** 조건은 정확히 외웠지만 두 면의 문장을 만들지 않은 경우가 이 자리다. 확인 2의 답을 글자 그대로 적을 수 있으면서도 예제 2.1의 첫 줄("$n$이 짝수이므로 $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다")은 쓰지 못하는 상태다. 정의를 아는 것과 쓸 수 있는 것을 가르는 것이 ②다. (§0의 유형 1은 이 자리가 아니라 ① 결손이다 — 열거는 $T \iff C$ 꼴이 아니어서 iff 재작성에서 이미 걸리고, 문장화할 조건 $C$ 자체가 만들어지지 않는다.) 기호 하나를 미리 읽어 둔다. 예제 2.3에서 쓰는 $\displaystyle\sum_{d \mid n,\ 0 < d < n} d$는 "$n$을 나누고 $0$보다 크며 $n$보다 작은 모든 $d$에 대한 $d$의 합"으로 읽는다. 합 기호 아래의 조건이 더할 대상을 고르는 조건이고, 그 조건 자체가 나누어떨어짐의 정의를 쓰고 있다. ### 9 근거 목록 갱신 칸이 늘지는 않는다. ① 칸이 이번 주의 주역이고, ④ 칸에 새 종류가 들어온다. | **근거** | **이번 주에 추가되는 것** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | 항목은 그대로 — 대신 인용할 때 **어느 면인지**를 말할 수 있게 된다 | "정의의 전진면에 의해", "정의의 후진면에 의해" | | ② 닫힘성 | 변화 없음 | 정의 꼴을 완성한 직후의 정수성 검증에서 쓴다 | | ③ 등식의 성질 | 변화 없음 | 전진면으로 얻은 등식을 과녁의 꼴로 조작할 때 쓴다 | | ④ 이미 증명한 명제 | **특성화 정리**가 들어온다 — 원정의와 다른 표현의 동치를 증명해 둔 것 | "특성화에 의해 $A \subseteq B$를 $A \cup B = B$로 바꿔 쓴다" |