23주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

23주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 세 경로를 함께 밀어 보기#

이번 주의 예제는 증명 하나를 만드는 것이 아니라 경로를 비교하는 표를 만드는 연습이다. 예제 2.1은 세 경로를 전부 함께 밀고, 2.2는 설계만 함께 하며, 2.3은 설계부터 스스로 한다.

예제 2.1 — 같은 명제, 세 가지 증명#

명제. 정수 \(n\)에 대해, \(7n + 4\)가 짝수이면 \(n\)은 짝수이다.

설계 — 세 경로의 번역표. 쓰기 전에 각 경로의 출발점과 도착점을 정의로 번역해 둔다. 직접 행은 채워 두었으니 나머지를 채운다.

경로

가정 (출발점)

목표 (도착점)

직접

\(7n + 4 = 2k\)인 정수 \(k\)

\(n = 2 \times (\text{정수})\) 꼴

대우

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

\(\underline{\quad(2)\quad}\)

귀류

\(7n + 4 = 2k\)이고 \(\underline{\quad(3)\quad}\)

아무 모순

확인 9. 빈칸 (1)(2)(3)을 채워 보자. 대우 행을 채울 때 원명제의 가정과

결론을 각각 어떻게 다루는지 한 문장으로 적어 두자.

답

(1) \(n = 2a + 1\)인 정수 \(a\) (곧 “\(n\)이 홀수”). (2) \(7n + 4 = 2(\text{정수}) + 1\) 꼴

(곧 “\(7n + 4\)가 홀수”). (3) \(n = 2a + 1\)인 정수 \(a\).

대우는 원명제의 결론을 부정해 가정 자리로 옮기고, 원명제의 가정을 부정해

결론 자리로 옮긴다 — 두 자리를 맞바꾸면서 각각 부정한다.

(1) 직접 시도. 순서도 3단계대로 직접부터 시도해 본다. \(7n + 4 = 2k\)라 하자. 이항하면 \(7n = 2k - 4 = 2(k - 2)\)이므로 \(7n\)은 짝수이다.

확인 10. 여기서 다음 줄이 나오려면 무엇이 필요한가. 그것을 한 문장짜리

명제로 적어 보고, 그 명제의 모양을 원명제와 비교해 보자.

답

“홀수 \(7\)과 \(n\)의 곱이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다”라는 보조정리가 필요하다.

이 보조정리는 가정이 합성식(\(7n\))인 조건문 — 곧 원명제와 같은 신호를 가진

같은 종류의 문제다. 직접으로는 문제가 자기 자신으로 되돌아가므로 여기서

막힌다. 막힘의 위치를 정확히 적어 두는 것도 수확이다 — 문제 17이

이 기록을 대조표의 한 칸으로 요구한다.

(2) 대우 증명. 순서도 2단계의 신호(가정이 합성식)에 따라 대우로 갈아탄다.

확인 11. 첫 두 문장을 완성해 보자.

“대우로 증명한다. 대우는 \(\underline{\qquad}\)이다.

\(n\)이 홀수라 가정하자. 정의에 의해 \(n = \underline{\quad}\)인 정수 \(a\)가 존재한다.”

답

대우는 “\(n\)이 홀수이면 \(7n + 4\)는 홀수이다”이다. \(n = 2a + 1\)인 정수 \(a\)가

존재한다. 대우를 문장으로 적어 두는 줄을 생략하면, 읽는 사람은 왜 갑자기

\(n\)이 홀수인지 알 수 없다 — 19주차 §1.3의 서식 그대로다.

확인 12. 몸통을 완성해 보자.

“그러면 \(7n + 4 = 7(2a+1) + 4 = \underline{\quad} = 2(\underline{\quad}) + 1\)이다.”

답

\(7n + 4 = 14a + 11 = 2(7a + 5) + 1\). 상수 \(11\)을 \(10 + 1\)로 갈라 \(+1\)만 남기고

2를 묶는 것이 이 줄의 관절이다. \(7a + 5\)는 정수이므로(근거 ②) 목표 꼴

\(2(\text{정수}) + 1\)이 완성되었다.

완성본. 방금 만든 문장을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

대우로 증명한다. 대우는 “\(n\)이 홀수이면 \(7n + 4\)는 홀수이다”이다.

기법 선언과 갈아탄 명제의 진술. 이 줄이 없으면 다음 줄의 가정이 어디서 왔는지 알 수 없다.

\(n\)이 홀수라 가정하자. 정의에 의해 \(n = 2a + 1\)인 정수 \(a\)가 존재한다.

가정 선언과 정의 풀어쓰기(근거 ①). 대우의 가정은 \(n\) 자체이므로 등식이 곧바로 나온다 — 직접이 막혔던 자리가 여기서 풀린다.

그러면 \(7n + 4 = 7(2a+1) + 4 = 14a + 11 = 2(7a + 5) + 1\)이다.

목표 꼴로 변형(근거 ③). \(+1\)만 남기고 2를 묶는 것이 관절이다.

\(7a + 5\)는 정수이므로 \(7n + 4\)는 홀수이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

괄호 안 정수 확인(근거 ②) 후 정의로 마무리하고, 마지막 줄에서 원명제를 회수한다.

(3) 귀류 증명. 같은 명제를 귀류로도 써 본다.

확인 13. 첫 문장을 완성해 보자.

“모순을 이끌어내기 위해, \(\underline{\qquad}\)이고 \(\underline{\qquad}\)라고 가정하자.”

이 문장이 22주차의 어느 동치식에서 나오는가.

답

“\(7n + 4\)가 짝수이고 \(n\)이 홀수라고 가정하자.”

근거는 \(\neg(P \Rightarrow Q) \equiv P \land \neg Q\)(9주차 문제 7)이다 —

조건문을 부정하면 가정은 그대로 두고 결론만 부정한 두 개의 가정이 된다.

증명. 모순을 이끌어내기 위해, \(7n + 4\)가 짝수인데 \(n\)이 홀수라고 가정하자. 정의에 의해 \(n = 2a + 1\)인 정수 \(a\)가 존재하고,

\[ 7n + 4 = 14a + 11 = 2(7a + 5) + 1 \]

이므로 \(7n + 4\)는 홀수이다. 이는 \(7n + 4\)가 짝수라는 가정과 모순이다. 따라서 \(7n + 4\)가 짝수이면 \(n\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)

판정. 세 경로의 성적을 한 표에 모은다.

경로

몸통에서 실제로 한 일

서식으로 붙는 줄

결과

직접

보조정리 “\(7n\) 짝수 \(\Rightarrow\) \(n\) 짝수”를 새로 증명해야 함

—

막힘

대우

\(n = 2a+1\) 대입 한 줄

2줄 (기법 선언, 원명제 회수)

완성

귀류

같은 대입 한 줄

3줄 (가정 선언, 충돌 선언, 원명제 회수)

완성

확인 14. 표를 보고 최선의 경로를 고르고, 근거를 한 문장으로 적어 보자.

답

대우가 최선이다. 근거는 몸통이 귀류와 완전히 같은데 서식이 한 줄 가볍다는

것이다. 귀류가 틀렸다는 뜻이 아니다 — 귀류도 완결된 증명이고, 다만 추가로

쥔 가정 “\(7n+4\)가 짝수”를 마지막 충돌 선언 이외에는 쓰지 않았으므로 그 가정이

값을 하지 못했다. 대우는 귀류의 특수형(22주차)이라는 관계가 이 표에서

눈으로 보인다.

예제 2.2 — 직접이 최선인 경우#

명제. \(n\)이 홀수이면 \(3n + 1\)은 짝수이다.

이번에는 설계만 함께 하고, 증명은 완성된 산문으로 본다.

확인 15. 순서도를 1단계부터 적용해 보자. 이 명제는 1단계\(\cdot\)2단계 신호에

걸리는가. 걸리지 않는다면 번역표의 출발점과 도착점은 무엇인가.

답

1단계: 결론 “\(3n + 1\)은 짝수”는 부정형이 아니다 — 해당 없음.

2단계: 가정 “\(n\)이 홀수”는 합성식도 부정형도 아니고, 결론에 “또는”도 없다 —

해당 없음. 따라서 3단계, 직접이다.

출발점: \(n = 2a + 1\)인 정수 \(a\). 도착점: \(3n + 1 = 2 \times (\text{정수})\) 꼴.

증명. \(n\)이 홀수라 가정하자. 정의에 의해 \(n = 2a + 1\)인 정수 \(a\)가 존재한다. 그러면

\[ 3n + 1 = 3(2a + 1) + 1 = 6a + 4 = 2(3a + 2) \]

이고 \(3a + 2\)는 정수이므로 \(3n + 1\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)

두 줄이다. 같은 명제를 귀류로 쓰면 어떻게 되는지 비교해 본다.

귀류로 쓴 판본

“모순을 위해 \(n\)이 홀수인데 \(3n + 1\)이 홀수라고 가정하자. \(n = 2a + 1\)이므로

\(3n + 1 = 2(3a + 2)\)는 짝수이다. 이는 \(3n + 1\)이 홀수라는 가정과 모순이다.

따라서 \(3n + 1\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)”

확인 16. 위 판본에서 부정 가정 “\(3n + 1\)이 홀수”가 쓰인 줄을 모두 찾아

보자. 몇 줄인가. 그 결과 이 판본을 어떻게 평가하는가.

답

마지막 충돌 선언 한 줄뿐이다. 몸통 “\(n = 2a+1 \Rightarrow 3n+1 = 2(3a+2)\)”는

위 직접 증명과 한 글자도 다르지 않다 — 껍데기만 늘었다. 22주차 문제 18의

남용 사례와 같은 구조이고, 가이드 ④의 판별 질문(“부정 가정을 충돌 선언 이전에

실제로 썼는가”)에 걸린다. 가정이 이미 전개 가능하면 직접이 답이다.

예제 2.3 — “또는” 결론: 대우와 귀류#

명제. 정수 \(x, y\)에 대해, \(xy\)가 짝수이면 \(x\)가 짝수이거나 \(y\)가 짝수이다.

이번에는 설계부터 스스로 한다. 아래 확인에 답한 뒤 산문 두 편을 읽는다.

확인 17. 순서도의 어느 단계에 걸리는가. 그리고 결론

“\(x\)가 짝수이거나 \(y\)가 짝수이다”의 부정을 정확히 만들어 보자.

답

2단계 — 결론이 “또는”이다. 부정은 드모르간(11주차)에 의해

“\(x\)가 짝수가 아니고 \(y\)가 짝수가 아니다”, 곧 “\(x\)와 \(y\)가 모두 홀수”이다.

“또는”을 그대로 두고 “\(x\)가 홀수이거나 \(y\)가 홀수”로 적으면 다른 명제가 된다 —

이 실수를 문제 18에서 정식으로 해부한다.

대우 증명. 대우는 “\(x\)와 \(y\)가 모두 홀수이면 \(xy\)는 홀수이다”이다. 이는 1주차 문제 8(“홀수 \(\times\) 홀수 = 홀수”)이 그대로 증명한 명제다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

귀류 증명. 모순을 이끌어내기 위해, \(xy\)가 짝수인데 \(x\)와 \(y\)가 모두 홀수라고 가정하자. 1주차 문제 8에 의해 \(xy\)는 홀수이다. 이는 \(xy\)가 짝수라는 가정과 모순이다. 따라서 \(x\)가 짝수이거나 \(y\)가 짝수이다. \(\blacksquare\)

판정. 두 증명 모두 몸통이 “1주차 문제 8 인용” 한 줄이고, 서식만 각각 두 줄과 세 줄이다. 대우 쪽이 인용 한 번으로 종결되므로 서식이 더 가볍다 — §1.2 확인 3의 기준대로 대우를 택한다. 중요한 것은 둘 다 유효하다는 사실과, 어느 쪽이든 드모르간을 정확히 적용해 “모두 홀수”를 만들었다는 점이다.

관찰 — 세 경로의 같은 뼈대#

세 예제에서 반복된 것을 대응표로 확인한다. 빈칸을 먼저 채운다.

단계

예제 2.1 (대우)

예제 2.2 (직접)

예제 2.3 (대우)

① 신호 읽기

가정이 합성식 \(7n+4\)

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

결론이 “또는”

② 기법 선언과 갈아탈 명제

“\(n\) 홀수 \(\Rightarrow\) \(7n+4\) 홀수”

갈아타지 않음

\(\underline{\quad(2)\quad}\)

③ 정의 풀어쓰기

\(n = 2a + 1\)

\(n = 2a + 1\)

1주차 문제 8이 대신함

④ 목표 꼴로 변형

\(2(7a+5) + 1\)

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

(인용으로 종결)

⑤ 마무리

원명제 회수

정의로 마무리

원명제 회수

확인 18. 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 세 열에서 바뀐 칸과 바뀌지 않은 칸을

각각 지목해 보자.

답

(1) 1\(\cdot\)2단계 신호 없음 (가정이 곧바로 전개 가능). (2) “\(x, y\) 모두 홀수 \(\Rightarrow\) \(xy\) 홀수”.

(3) \(2(3a + 2)\).

바뀐 칸은 ①②이고, ⑤는 세 열에서 같다. ③④는 예제 2.1\(\cdot\)2.2에서는 똑같이

“정의를 풀고 목표 꼴로 변형한다”이지만, 예제 2.3에서는 이미 증명한 명제

(1주차 문제 8) 인용 한 줄이 그 둘을 통째로 대신한다. 곧 **기법 선택은 증명의

앞 두 칸을 정하는 일**이고, 나머지 세 칸은 어느 쪽이든 15주차 이후 계속 해 온

직접 증명 기술이다.

이 다섯 칸짜리 표를 세 예제 대응표라 부른다 — 서로 다른 세 명제를 세로로 놓고 ①~⑤의 어느 칸에서 갈리는지 보는 표다. 여기에 예제 2.1에서 쓴 또 하나의 표를 나란히 둔다. 그쪽은 한 명제를 세 경로로 각각 끝까지 밀어 본 결과를 모으는 표이고, 이름을 붙여 고정한다.

백지 암기 대상

삼단 대조표

한 명제에 대해 직접\(\cdot\)대우\(\cdot\)귀류 세 경로를 각각 끝까지 밀어 본 뒤 네 칸으로

기록하는 양식이다 — 경로 / 몸통에서 실제로 한 일 / 서식으로 붙는 줄 수 /

결과(막힘 또는 완성). 표 아래에 최선의 경로와 그 근거를 한 줄로 덧붙여 닫는다.

예제 2.1의 판정 표가 이 양식의 기준 구현이고, 문제 17이 같은 양식을 요구한다.

이번 주에 확인한 것

세 기법은 서로 다른 증명법이 아니라 같은 몸통의 세 배치다. 배치를 정하는

것은 취향이 아니라 명제의 두 자리(가정의 모양, 결론의 모양)에 있는 신호이고,

그 판정 절차가 선택 순서도다. 완성한 뒤에는 반드시 자기 점검 두 가지를

통과시킨다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸#

명제. 정수 \(n\)에 대해, \(n^2 - 2n + 7\)이 짝수이면 \(n\)은 홀수이다.

먼저 직접이 막히는 자리를 확인한다. 가정 \(n^2 - 2n + 7 = 2k\)에서 꺼낼 수 있는 것은 합성식에 대한 등식뿐이고 \(\underline{\quad(1)\quad}\)에 대한 정보는 나오지 않는다. 따라서 순서도 2단계, 대우로 간다.

증명. 대우로 증명한다. 대우는 “\(n\)이 \(\underline{\quad(2)\quad}\)이면 \(n^2 - 2n + 7\)은 \(\underline{\quad(3)\quad}\)이다”이다. \(n = 2a\)라 하면

\[ n^2 - 2n + 7 = 4a^2 - 4a + 7 = 2(\underline{\quad(4)\quad}) + 1 \]

이고 괄호 안은 정수이므로 \(n^2 - 2n + 7\)은 홀수이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#

같은 명제를 이번에는 귀류로 쓴다. 구조 낱말과 근거 문장도 빈칸이다.

명제. 정수 \(n\)에 대해, \(n^2 - 2n + 7\)이 짝수이면 \(n\)은 홀수이다.

증명. 모순을 이끌어내기 위해, \(n^2 - 2n + 7\)이 짝수이고 \(n\)이 \(\underline{\quad(1)\quad}\)라고 가정하자. (이 두 가정이 동시에 서는 근거는 \(\underline{\quad(2)\quad}\)이다.) 정의에 의해 \(n = \underline{\quad(3)\quad}\)인 정수 \(a\)가 존재하고,

\[ n^2 - 2n + 7 = \underline{\quad(4)\quad} = 2(2a^2 - 2a + 3) + 1 \]

이며 \(\underline{\quad(5)\quad}\)이므로 \(2a^2 - 2a + 3\)은 정수이다. 따라서 \(n^2 - 2n + 7\)은 홀수이고, 이는 \(\underline{\quad(6)\quad}\)라는 가정과 모순이다. 그러므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

훈련 1과 훈련 2에서 같은 계산이 나오는 자리를 손가락으로 짚어 본다.

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

이번에는 대응표의 다섯 칸을 세 항목으로 줄여 통째로 채운다.

명제. 실수 \(x\)에 대해, \(x\)가 무리수이면 \(2x\)는 무리수이다.

증명의 뼈대.

  • ① 신호 읽기와 기법 선택: \(\underline{\quad(1)\quad}\)

  • ② 기법 선언과 갈아탈 명제의 진술: \(\underline{\quad(2)\quad}\)

  • ③ 몸통과 마무리: \(\underline{\quad(3)\quad}\)

(부품 안내: “\(r\)과 \(s\)가 유리수이고 \(s \neq 0\)이면 \(\frac{r}{s}\)는 유리수이다”는 15주차 문제 15에서 증명했다. 이 훈련이 문제 12의 예행연습이다.)

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다 \(\to\) 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 이번 주는 한 문제에서 증명을 여러 번 쓰는 것이 표준이다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. 이번 주에는 근거가 두 겹이다 —

① 기법을 고른 근거(신호를 명제의 어느 자리에서 읽었는가) ② 각 줄의 근거(①~④).

“대우로 증명한다”만 적고 대우 명제를 쓰지 않은 답안, 기법 이름을 적지 않고

갑자기 다른 명제를 증명하기 시작한 답안은 ①이 비어 있다.

힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. [백지] 선택 순서도(1~3단계 + 공통 점검)를 쓰시오.

힌트

세 단계는 각각 “무엇을 보는가”와 “그러면 어느 기법인가”의 두 부분으로

되어 있다. 공통 항목은 두 개다 — 막혔을 때의 행동과 완성 후의 점검

두 가지(귀류용, 대우용).

2. 다음 명제 각각에 대해 1순위 기법과 신호(이유)를 한 줄씩 쓰시오 (증명 불필요). (a) \(x\)가 유리수이면 \(2x - 3\)은 유리수이다. (b) \(n^3 + 5\)가 짝수이면 \(n\)은 홀수이다. (c) \(\sqrt{7}\)은 무리수이다. (d) \(x^2 = 4k + 2\)인 정수 \(x, k\)는 존재하지 않는다. (e) \(a \mid b\)이면 \(a \mid 3b^2\)이다. (f) \(mn\)이 홀수이면 \(m\)과 \(n\)은 모두 홀수이다.

힌트

§1.4의 표를 옆에 펴 두고 각 명제에서 결론부터 본다. 결론이 부정형인가,

“또는”인가, “그리고”인가. 그다음 가정을 본다 — 문자가 합성식 안에 갇혀

있는가, 정의로 즉시 등식이 되는가.

3. 빈칸 훈련의 명제(”\(n^2 - 2n + 7\) 짝수 \(\Rightarrow\) \(n\) 홀수”)를 대우로 완성해 증명하시오.

힌트

훈련 1의 빈칸을 메운 결과를 서식에 담는다. 빠지기 쉬운 두 줄은

대우 명제를 문장으로 적는 첫 줄과, 원명제를 회수하는 마지막 줄이다.

4. 예제 2.1의 명제(”\(7n+4\) 짝수 \(\Rightarrow\) \(n\) 짝수”)를 귀류로 백지 재현하시오.

힌트

첫 문장에 가정이 두 개 들어가야 한다(\(P\)와 \(\neg Q\)). 몸통은 예제 2.1의

대우 증명과 같은 계산이고, 마지막에 어느 가정과 충돌했는지 이름을 부른다.

5. 예제 2.2의 명제(”\(n\) 홀수 \(\Rightarrow\) \(3n+1\) 짝수”)를 직접으로 백지 재현하고, 귀류로 쓰면 왜 군더더기인지 한 문장 쓰시오.

힌트

뒷부분의 근거는 확인 16에서 이미 세었다 — 부정 가정이 쓰인 줄이 몇 줄인지

세어 그 수를 문장에 넣는다.

6. “\(n\)이 3의 배수이면 \(n^2\)은 3의 배수이다”를 증명하고, 이 명제에 대우\(\cdot\)귀류가 불필요한 이유(신호)를 쓰시오.

힌트

가정 “\(3 \mid n\)”을 정의 2.1로 풀면 \(n = 3k\)가 즉시 나온다. 목표 꼴은

\(n^2 = 3 \times (\text{정수})\)이다. 뒷부분은 순서도 1\(\cdot\)2단계를 각각 적용해

“해당 없음”인 이유를 적으면 된다.

표준 ●●○#

7. “정수 \(x, y\)에 대해, \(xy\)가 짝수이면 \(x\) 또는 \(y\)가 짝수이다”를 대우와 귀류 두 방식으로 각각 증명하시오 (예제 2.3 백지 재현).

힌트

두 방식 모두 첫 관문은 결론의 부정이다. “또는”의 부정은 “그리고”이므로

“\(x\)와 \(y\)가 모두 홀수”가 되어야 한다. 몸통은 두 방식 모두 1주차 문제 8이다.

8. “\(x + y \ge 100\)이면 \(x \ge 50\) 또는 \(y \ge 50\)”을 원하는 기법으로 증명하고, 그 기법을 고른 신호를 밝히시오.

힌트

결론이 “또는”이므로 부정하면 부등식 두 개를 동시에 손에 쥔다.

두 부등식을 변끼리 더하는 것이 몸통이다(16주차 문제 2(c)).

9. “\(a \nmid bc\)이면 \(a \nmid b\)이다”를 증명하시오. (신호를 먼저 읽는다: 가정과 결론이 모두 부정형이다.)

힌트

부정형 둘을 각각 뒤집으면 무엇이 되는지 적어 본다. 뒤집힌 두 명제를

이어 놓으면 2주차 빈칸 사다리 훈련 1에서 이미 증명한 명제가 그대로 나온다.

10. “실수 \(x, y\)에 대해, \(x^2 + y^2 = 0\)이면 \(x = 0\)이고 \(y = 0\)이다”를 귀류로 증명하시오. (힌트: \(x \neq 0\) 또는 \(y \neq 0\)이라 가정 — WLOG \(x \neq 0\) \(\to\) \(x^2 > 0\) \(\to\) 합이 0보다 커짐)

힌트

결론이 “그리고”이므로 부정은 “또는”이고, 두 경우가 \(x\)와 \(y\)에 대칭이므로

WLOG(17주차 §1.6)로 한쪽만 다룬다. 부호 근거는 (W1)이다 — 제곱은 0 이상이고

등호는 그 수가 0일 때만 성립한다(16주차).

11. “\(n^3\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다”(19주차 문제 8)를 이번엔 귀류로 증명하고, 대우 증명과 몸통을 비교하시오.

힌트

부정 가정에서 \(n\)이 홀수를 받으면, 1주차 문제 13(”\(n\) 홀수 \(\Rightarrow\) \(n^3\) 홀수”)이

몸통을 통째로 대신한다. 비교는 “두 증명에서 인용한 부품이 같은가”를 보면 된다.

12. “\(x\)가 무리수이면 \(x + 5\)는 무리수이다”를 대우와 귀류 두 방식으로 증명하시오. (대우: “\(x+5\) 유리 \(\Rightarrow\) \(x\) 유리” — 부정형 개념이 뒤집히며 긍정형이 되는 것을 관찰)

힌트

두 방식 모두 몸통은 등식 \(x = (x + 5) - 5\) 한 줄이다. 유리수의 차가

유리수라는 사실은 15주차 문제 9다.

13. 명제 “\(n^2 + 2\)는 4의 배수가 아니다 (모든 정수 \(n\))”에 대해: (a) 17주차 문제 17은 이것을 케이스 소진으로 증명했다 — 그 구조를 두 줄로 요약하시오. (b) 같은 명제를 귀류로 다시 쓰시오 (21주차 문제 19 방식). (c) 두 증명의 관계를 한 문장으로 논평하시오.

힌트

(a)의 뼈대는 “\(n\)을 짝\(\cdot\)홀로 나눠 \(n^2\)의 mod 4 나머지를 전수 계산 \(\to\) 나온

값은 0과 1뿐”이다(17주차 문제 9). (b)는 그 결과를 보조정리로 인용하고

“\(4 \mid (n^2+2)\)인 \(n\)이 있다”는 가정과 충돌시킨다.

14. “\(3 \mid (a^2 + b^2)\)이고 \(3 \mid a\)이면 \(3 \mid b^2\)이다”를 증명하시오. (신호: 가정 두 개가 이미 긍정형\(\cdot\)전개 가능 — 직접 + 2주차 문제 17)

힌트

\(b^2 = (a^2 + b^2) - a^2\)로 적어 두면, 오른쪽 두 항이 모두 3의 배수임을

아는 상태가 된다. 그 상태에서 쓰는 부품이 2주차 문제 17이다.

도전 ●●●#

새 유형 — 명제를 설계한다는 것

문제 16은 증명이 아니라 명제를 만드는 문제다. 채점 기준이 다르다 —

만든 명제가 참인지, 그리고 요구된 신호(가정이 합성식이거나 결론이 부정형)를

실제로 가지고 있는지 두 가지를 스스로 확인해야 한다. 제작 순서는 역방향이다:

먼저 대우로 쉽게 증명될 명제 “\(n\) 짝수 \(\Rightarrow\) (다항식) 홀수”를 만들고,

그 대우를 취해 문제로 제시한다. 만든 뒤에는 작은 값 한둘을 대입해 검산한다.

15. “\(n^3 + 5\)가 홀수이면 \(n\)은 짝수이다”를 (a) 대우로 (b) 귀류로 각각 증명하시오. (부품: 1주차 문제 13)

힌트

(a)의 대우는 “\(n\)이 홀수이면 \(n^3 + 5\)는 짝수이다”이다. \(n^3\)이 홀수라는

사실(1주차 문제 13)과 “홀수 + 홀수 = 짝수”(1주차 예제 2.3)를 이어 붙인다.

(b)는 (a)의 계산을 그대로 쓰고 마지막에 충돌만 선언한다.

16. 자신이 명제를 하나 설계하시오: “직접은 막히고 대우가 자연스러운” 조건문을 하나 만들고(이번 교재에 없는 것), 실제로 대우로 증명하시오. (형식: 가정이 합성식이거나 결론이 부정형이 되도록)

힌트

앞의 도입 상자의 역방향 제작법을 따른다. \(n = 2a\)를 대입했을 때 상수항이

홀수로 남도록 다항식을 고르면 대우 증명이 한 줄로 끝난다.

17. “\(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다”에 대해 세 기법의 대조표를 작성하시오: 직접이 막히는 지점(정확히 어느 단계), 대우 증명(완성), 귀류 증명(완성), 그리고 최선의 선택과 근거.

힌트

예제 2.1의 판정 표가 양식이다. 직접의 막힘은 “\(n^2 = 2k\)에서 \(n\)을 꺼내려면

무엇이 필요한가”를 적어야 하고, 그 무엇이 정수 세계 안에 있는지 함께 적는다.

새 유형 — 진단 문제 읽는 법

문제 18\(\cdot\)19는 남의 답안을 채점하는 문제다. 답안이 틀렸다고 적는 것만으로는

답이 되지 않는다. 세 가지를 순서대로 적는다 — ① 어느 줄이 무너졌는가

② 그 줄이 어느 규칙을 어겼는가(부정 규칙인가, 근거 목록인가)

③ 고치면 증명이 어떻게 완성되는가. ③까지 적어야 진단이 끝난다.

18. (진단) 다음 답안의 문제를 지적하시오.

“명제: \(x + y\)가 무리수이면 \(x\)가 무리수이거나 \(y\)가 무리수이다. 증명: 대우로 증명한다. 대우는 ‘\(x\)가 유리수이거나 \(y\)가 유리수이면 \(x+y\)는 유리수이다’이다. …”

(질문: 대우가 올바르게 만들어졌는가? 무엇이 틀렸고, 올바른 대우로 고치면 증명이 어떻게 완성되는가 — 19주차 문제 16 참조)

힌트

원명제의 결론은 “또는”이다. 대우를 만들 때 그 결론을 부정해 가정 자리로

옮겨야 하는데, 답안의 문장에는 “또는”이 그대로 남아 있다. 11주차의 어느

규칙이 적용되지 않았는가.

이 문제가 빌려 쓰는 사실

\(\sqrt{10}\)이 무리수라는 사실은 지금은 인정하고 쓴다 — 이후 주차에서 따로

증명하지 않으므로, 필요한 부품 두 개가 이미 있는 지금 각자 채워 넣는다.

부품은 “\(2 \mid n^2\)이면 \(2 \mid n\)”(19주차 예제 2.1)과

“\(5 \mid n^2\)이면 \(5 \mid n\)”(19주차 문제 15)이고, 조립 수순은 21주차 문제 15

(\(\sqrt6\))와 같으며 둘을 합치는 꼴은 20주차 문제 13에 있다.

19. (진단) 다음 답안의 문제를 지적하시오.

“명제: \(\sqrt2 + \sqrt5\)는 무리수이다. 증명: \(\sqrt2\)는 무리수이고 \(\sqrt5\)도 무리수이다. 무리수와 무리수의 합은 무리수이므로 \(\sqrt2 + \sqrt5\)는 무리수이다. \(\blacksquare\)”

(힌트: 인용된 ‘정리’는 정리인가? 15주차 문제 19. 그리고 올바른 증명 방향을 21주차 문제 16에서 찾아 스케치하시오)

힌트

인용된 문장을 하나의 명제로 떼어 놓고 참\(\cdot\)거짓을 판정한다. 15주차 문제 19가

반례를 제공한다. 올바른 방향은 21주차 문제 16(\(\sqrt2 + \sqrt3\))과 같은

수순 — 유리수라 가정하고 양변을 제곱해 남은 제곱근을 고립시킨다.

20. (서술) 이번 주의 경험으로 “나의 기법 선택 순서도”를 최종본으로 작성하시오 — 개념 절의 순서도에 자신이 자주 틀리는 지점(부정 만들기, 남용 등)에 대한 경고 문구를 덧붙인 개인화 버전.

힌트

§1의 순서도를 그대로 옮긴 뒤, 이번 주에 실제로 틀린 문항의 번호를 각

단계 옆에 적는다. 경고 문구는 그 문항이 무너진 이유를 한 구절로 줄인 것이다.

백지 재현 — 복습 프로토콜#

권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용. 선택 순서도(§1.5의 상자)와 삼단 대조표 양식(§2 관찰)만 펴 놓고, 예제 2.1의 세 경로를 처음부터 끝까지 적는다. 본문과 해설은 보지 않는다.

2차 시도 (5일차) — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다.

  • 선택 순서도를 1~3단계와 공통 점검 두 가지까지 빠짐없이 썼다.

  • 직접\(\cdot\)대우\(\cdot\)귀류의 출발\(\cdot\)도착 비교표를 재현했다.

  • 한 명제를 대우와 귀류로 모두 증명하고 몸통이 겹치는 자리를 손가락으로 짚었다 (문제 7 또는 12).

  • “직접이 최선”인 사례(예제 2.2)와 “귀류 남용” 사례를 각각 하나씩 설명했다.

  • 신호 읽기 드릴(문제 2) 여섯 항목을 전부 맞혔다.

  • 잘못 만든 대우(문제 18)와 존재하지 않는 정리 인용(문제 19)을 진단했다.

  • 예제 2.1의 판정 표를 삼단 대조표 양식대로 다시 채웠다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점

처방

어느 기법으로 시작할지 모르겠다

§1.4 신호 표 — 결론부터 보고 그다음 가정을 본다

순서도는 아는데 명제에 적용이 안 된다

확인 4 — 세 명제 판정을 다시 해 본다

대우를 만들다가 “또는”이 남는다

예제 2.3 확인 17과 문제 18 — 드모르간(11주차)을 적용한다

귀류를 썼는데 남용인지 아닌지 모르겠다

§1.6 조각 삭제 실험 — 부정 가정이 쓰인 줄을 센다

갈아탄 뒤 몸통이 안 나온다

§1.7 — 갈아탄 명제에 15주차의 3단계를 그대로 적용한다

인용한 정리가 맞는지 불안하다

확인 8 (다) — 근거 목록 ④는 “실제로 증명된 것”만 받는다

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) \(n\) (곧 \(n\) 자체에 대한 등식) (2) 짝수 (3) 홀수 (4) \(2a^2 - 2a + 3\)

※ (4)의 계산은 \(4a^2 - 4a + 7\)에서 상수 7을 \(6 + 1\)로 갈라 \(4a^2 - 4a + 6 = 2(2a^2 - 2a + 3)\)을 묶은 것이다. 상수항을 어떻게 가르는지가 홀수 목표 꼴을 만드는 유일한 관절이다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) 짝수 (2) \(\neg(P \Rightarrow Q) \equiv P \land \neg Q\) (9주차 문제 7) (3) \(2a\) (4) \(4a^2 - 4a + 7\) (5) 정수의 합\(\cdot\)곱은 정수 (근거 ②) (6) \(n^2 - 2n + 7\)이 짝수

※ 훈련 1의 몸통(빈칸 (4)의 계산)과 훈련 2의 몸통(빈칸 (4))이 글자 그대로 같다. 다른 것은 앞뒤 서식뿐이며, 귀류 쪽이 한 줄 더 길다 — 예제 2.1의 판정 표와 같은 결과다. 문제 3이 훈련 1을, 이 훈련이 그 귀류 판본을 담당한다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) 결론 “\(2x\)는 무리수”가 부정형이고 가정 “\(x\)는 무리수”도 부정형이다 — 순서도 1\(\cdot\)2단계에 모두 걸린다. 서식이 가벼운 대우를 택한다. (2) 대우로 증명한다. 대우는 “\(2x\)가 유리수이면 \(x\)는 유리수이다”이다. (3) \(2x\)가 유리수라 가정하자. \(2\)는 0이 아닌 유리수이므로 \(x = \dfrac{2x}{2}\)는 유리수의 몫이고, 따라서 유리수이다(15주차 문제 15). 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

※ 부정형 개념(무리수)이 대우를 거치며 긍정형 개념(유리수)으로 바뀌는 순간 정의가 손에 들어온다. 문제 12가 같은 기술을 덧셈에 적용한다.

문제 1#

접근. 순서도는 세 단계와 공통 두 항목으로 이루어져 있다. 각 단계를 “무엇을 보는가 \(\to\) 그러면 어느 기법인가”의 두 부분으로 나눠 쓰면 빠뜨리지 않는다. 빠지기 쉬운 것은 공통의 자기 점검 두 가지다.

풀이. 1단계. 결론이 부정형\(\cdot\)비존재\(\cdot\)무리수\(\cdot\)무한인가 \(\to\) 귀류 후보. 2단계. (조건문에서) 가정이 합성식(\(n^2\), \(3n + 5\))이거나 부정형인가, 또는 결론이 “또는”인가 \(\to\) 대우 후보. 3단계. 해당 없음 \(\to\) 직접부터. 가정을 정의로 풀고 목표 꼴로 간다. 공통 ①. 시도가 막히면 다음 후보로 갈아탄다. 공통 ②. 완성 후 자기 점검 — 귀류라면 “부정 가정을 충돌 선언 이전에 실제로 썼는가”, 대우라면 “부정을 정확히 만들었는가”.

복기. 세 단계의 순서에는 이유가 있다. 결론을 먼저 보는 이유는 결론이 부정형이면 애초에 도착점으로 삼을 등식 꼴이 없어 나머지 판정이 무의미하기 때문이다. 가정을 나중에 보는 이유는 가정의 신호가 “갈아타면 풀린다”는 정보이기 때문이고, 마지막에 직접이 오는 이유는 신호가 없다는 것 자체가 직접의 신호이기 때문이다.

문제 2#

접근. 증명을 시작하지 않는다. 각 명제에서 결론과 가정의 모양만 본다 — 부정형인가, “또는”인가, “그리고”인가, 문자가 합성식 안에 갇혀 있는가. §1.4 표의 다섯 행 중 어느 행에 걸리는지만 지목하면 된다.

풀이. (a) 직접. 가정 “\(x\)가 유리수”가 정의 15.1로 \(x = \frac{a}{b}\) (\(b \neq 0\))로 즉시 전개된다. 결론도 긍정형이므로 순서도 3단계다. (b) 대우. 가정이 합성식 \(n^3 + 5\)라 \(n\) 자체의 정보를 꺼낼 수 없다. 대우의 가정 “\(n\)이 짝수”는 \(n = 2a\)로 바로 풀린다 — 순서도 2단계. (c) 귀류. 결론이 “유리수가 아니다”라는 부정형 개념뿐이라 만들 등식 꼴이 없다. 부정해서 \(\sqrt7 = \frac{a}{b}\)를 받아야 계산이 시작된다 — 1단계. (d) 귀류. 결론이 비존재(“존재하지 않는다”)다. 부정하면 그런 \(x, k\)가 실제로 존재한다는 가정을 얻고, 그 \(x, k\)가 계산 재료가 된다 — 1단계. (e) 직접. 가정 \(a \mid b\)가 정의 2.1로 \(b = ak\)가 되어 등식이 손에 들어오고, 목표 \(3b^2 = a \times (\text{정수})\)도 긍정형이다 — 3단계. (f) 대우. 가정 \(mn\)이 합성식이라 \(m\)\(\cdot\)\(n\) 각각의 정보를 꺼낼 수 없다 — §1.4 표 셋째 행, 순서도 2단계다. 다만 결론이 “그리고”라서 그 부정은 드모르간에 의해 “\(m\)이 짝수 또는 \(n\)이 짝수”가 되고, 대우의 가정이 “또는”이 되므로 경우 나누기나 WLOG가 뒤따른다(19주차 문제 10) — 이것은 대우를 고른 이유가 아니라 고른 뒤에 치르는 비용이다. 귀류도 같은 몸통으로 유효하다.

복기. 여섯 항목 중 (c)(d)는 결론 쪽 신호, (b)(f)는 가정이 합성식인 신호, (a)(e)는 신호 없음이다. 판정의 순서를 “결론 \(\to\) 가정 \(\to\) 남으면 직접”으로 고정하면 여섯 항목이 세 무리로 저절로 갈린다.

문제 3#

접근. 훈련 1에서 채운 빈칸을 서식에 담는다. 대우 증명의 서식은 세 부분이다 — 대우 명제의 진술, 몸통, 원명제 회수. 몸통만 적고 앞뒤를 빠뜨리는 답안이 많다.

풀이. 대우로 증명한다. 대우는 “\(n\)이 짝수이면 \(n^2 - 2n + 7\)은 홀수이다”이다. \(n\)이 짝수라 하면 정의에 의해 \(n = 2a\)인 정수 \(a\)가 존재한다. 그러면

\[ n^2 - 2n + 7 = (2a)^2 - 2(2a) + 7 = 4a^2 - 4a + 7 = 2(2a^2 - 2a + 3) + 1 \]

이고, 정수의 합\(\cdot\)곱은 정수이므로 \(2a^2 - 2a + 3\)은 정수이다. 따라서 \(n^2 - 2n + 7\)은 \(2(\text{정수}) + 1\) 꼴이므로 홀수이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

(검산: \(n = 3\)이면 \(9 - 6 + 7 = 10\)으로 짝수이고 \(n\)은 홀수 ✓. \(n = 2\)이면 \(4 - 4 + 7 = 7\)로 홀수 — 대우가 말하는 그대로다 ✓.)

복기. 상수항 7을 \(6 + 1\)로 가르는 것이 홀수 목표 꼴을 만드는 관절이다. 짝수 목표 꼴이면 상수항이 통째로 2로 묶여야 하고, 홀수 목표 꼴이면 \(+1\) 하나만 남기고 나머지가 묶여야 한다 — 상수항의 홀짝이 대우의 결론을 미리 결정한다.

문제 4#

접근. 귀류의 첫 문장에는 가정이 두 개 들어간다 — \(\neg(P \Rightarrow Q) \equiv P \land \neg Q\)(9주차 문제 7)에 따라 \(P\)는 그대로, \(Q\)만 부정한다. 몸통은 예제 2.1의 대우 증명과 같은 계산이고, 마지막에 어느 가정과 충돌했는지 이름을 부른다.

풀이. 모순을 이끌어내기 위해, \(7n + 4\)가 짝수인데 \(n\)이 홀수라고 가정하자. \(n\)이 홀수이므로 정의에 의해 \(n = 2a + 1\)인 정수 \(a\)가 존재한다. 그러면

\[ 7n + 4 = 7(2a + 1) + 4 = 14a + 11 = 2(7a + 5) + 1 \]

이고 \(7a + 5\)는 정수이므로 \(7n + 4\)는 홀수이다. 그런데 어떤 정수도 짝수이면서 동시에 홀수일 수 없으므로(22주차 문제 5), 이는 \(7n + 4\)가 짝수라는 가정과 모순이다. 따라서 \(7n + 4\)가 짝수이면 \(n\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)

(검산: \(n = 4\)이면 \(7 \cdot 4 + 4 = 32\)로 짝수이고 \(n\)은 짝수 ✓. \(n = 3\)이면 \(25\)로 홀수 — 가정 자체가 서지 않는다 ✓.)

복기. 충돌 선언에서 “짝수이면서 홀수일 수 없다”의 근거를 22주차 문제 5로 명시했다. 이 사실은 17주차부터 당연시해 온 것이고, 22주차에서 증명이 끝났으므로 이제 근거 ④로 정식 인용할 수 있다.

문제 5#

접근. 앞부분은 예제 2.2를 그대로 재현한다. 뒷부분의 판단 근거는 확인 16에서 이미 세었다 — 부정 가정이 실제로 쓰인 줄이 몇 줄인지가 판별 기준이다.

풀이. \(n\)이 홀수라 가정하자. 정의에 의해 \(n = 2a + 1\)인 정수 \(a\)가 존재한다. 그러면

\[ 3n + 1 = 3(2a + 1) + 1 = 6a + 4 = 2(3a + 2) \]

이고 \(3a + 2\)는 정수이므로 \(3n + 1\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)

귀류로 쓰면 군더더기인 이유: 부정 가정 “\(3n + 1\)이 홀수”가 마지막 충돌 선언 한 줄에서만 쓰이고 몸통은 위 두 줄 그대로이므로, 귀류 서식이 아무 일도 하지 않은 채 문장 수만 늘린다 (22주차 가이드 ④).

복기. 남용 판별은 취향 문제가 아니라 세는 문제다. “부정 가정이 등장하는 줄에 밑줄을 긋고, 그 줄이 충돌 선언뿐이면 남용”이라는 기계적 절차로 바뀐다. 문제 20의 개인화 순서도에 이 절차를 한 줄로 넣어 두면 자기 점검이 빨라진다.

문제 6#

접근. 순서도를 차례로 적용한다. 결론 “\(3 \mid n^2\)”은 부정형이 아니고(1단계 해당 없음), 가정 “\(3 \mid n\)”은 합성식도 부정형도 아니며 결론에 “또는”도 없다 (2단계 해당 없음). 따라서 3단계 — 직접이다.

풀이. \(3 \mid n\)이라 가정하자. 정의 2.1에 의해 \(n = 3k\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그러면

\[ n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2) \]

이고 \(3k^2\)은 정수이므로(근거 ②) \(n^2 = 3 \times (\text{정수})\) 꼴이다. 따라서 \(3 \mid n^2\)이다. \(\blacksquare\)

대우\(\cdot\)귀류가 불필요한 이유(신호): 가정이 긍정형이고 정의로 즉시 등식이 되며, 결론도 긍정형 목표 꼴이다 — 순서도 1\(\cdot\)2단계에 걸리는 것이 하나도 없고 3단계의 직접이 그대로 통한다. 갈아탈 이유가 없을 때 갈아타면 얻는 것 없이 서식만 늘어난다.

복기. 방향을 뒤집은 “\(3 \mid n^2\)이면 \(3 \mid n\)”이었다면 이야기가 달라진다 — 가정이 합성식 \(n^2\)이 되므로 2단계 신호에 걸리고, 실제로 19주차 예제 2.2가 그 명제를 대우와 케이스로 증명했다. 같은 두 대상이라도 어느 쪽이 가정 자리에 오는지가 기법을 바꾼다.

문제 7#

접근. 예제 2.3의 백지 재현이다. 두 방식 모두 첫 관문은 결론 “또는”의 부정을 드모르간으로 정확히 만드는 것이고, 몸통은 두 방식 모두 1주차 문제 8 (“홀수 \(\times\) 홀수 = 홀수”) 인용 한 줄이다.

풀이. (대우) 대우로 증명한다. 결론 “\(x\)가 짝수이거나 \(y\)가 짝수이다”의 부정은 드모르간에 의해 “\(x\)와 \(y\)가 모두 홀수이다”이고, 가정 “\(xy\)가 짝수”의 부정은 “\(xy\)가 홀수”이다. 따라서 대우는 “\(x\)와 \(y\)가 모두 홀수이면 \(xy\)는 홀수이다”이다. 이는 1주차 문제 8에서 증명한 명제이므로 대우가 성립하고, 그러므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

(귀류) 모순을 이끌어내기 위해, \(xy\)가 짝수인데 \(x\)와 \(y\)가 모두 홀수라고 가정하자. 1주차 문제 8에 의해 \(xy\)는 홀수이다. 어떤 정수도 짝수이면서 동시에 홀수일 수 없으므로(22주차 문제 5), 이는 \(xy\)가 짝수라는 가정과 모순이다. 따라서 \(x\)가 짝수이거나 \(y\)가 짝수이다. \(\blacksquare\)

(검산: \(x = 3\), \(y = 4\)이면 \(xy = 12\)로 짝수이고 \(y\)가 짝수 ✓. \(x = 3\), \(y = 5\)이면 \(xy = 15\)로 홀수 — 가정이 서지 않는다 ✓.)

복기. 채점의 두 지점은 고정되어 있다 — 대우에서 “모두 홀수”를 드모르간으로 정확히 만들었는가, 귀류에서 가정 두 개(\(xy\)가 짝수, \(x\)와 \(y\)가 모두 홀수)를 첫 문장에 모두 적었는가. 몸통은 인용 한 줄이므로 점수는 전부 서식에 있다.

문제 8#

접근. 결론이 “또는”이므로 순서도 2단계 — 대우(또는 귀류)다. 부정하면 “\(x < 50\)이고 \(y < 50\)”이라는 부등식 두 개를 동시에 손에 쥐고, 두 부등식을 변끼리 더하는 것이 몸통이다(16주차 문제 2(c)).

풀이. (대우를 택한다.) 신호: 결론이 “또는”이므로 부정하면 “그리고”가 되어 가정 두 개를 얻는다 — 가정이 늘어나는 쪽으로 갈아타는 것이 이득이다.

대우로 증명한다. 결론의 부정은 “\(x < 50\)이고 \(y < 50\)”이고 가정의 부정은 “\(x + y < 100\)”이므로, 대우는 “\(x < 50\)이고 \(y < 50\)이면 \(x + y < 100\)이다”이다. \(x < 50\)이고 \(y < 50\)이라 가정하자. 두 부등식을 변끼리 더하면(16주차 문제 2(c))

\[ x + y < 50 + 50 = 100 \]

이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

(검산: \(x = 60\), \(y = 45\)이면 \(x + y = 105 \ge 100\)이고 \(x \ge 50\) ✓. \(x = 49\), \(y = 49\)이면 \(x + y = 98 < 100\) — 가정이 서지 않는다 ✓.)

복기. 부등식이 결론에 “또는”으로 붙어 있으면 대우가 거의 항상 유리하다. 부정이 “그리고”를 만들고, “그리고”로 묶인 부등식 둘은 변끼리 더할 수 있기 때문이다. 22주차 문제 9는 같은 명제를 귀류로 썼고 몸통이 동일하다 — 서식만 한 줄 더 길다.

문제 9#

접근. 가정 \(a \nmid bc\)도 결론 \(a \nmid b\)도 부정형이다 — 순서도 2단계의 “가정이 부정형” 신호가 켜진다. 대우를 취하면 둘 다 긍정형으로 뒤집힌다: “\(a \mid b\)이면 \(a \mid bc\)이다”. 부정형투성이 명제가 대우 한 번으로 이미 증명한 명제가 되는 유형이다.

풀이. 대우로 증명한다. 결론 \(a \nmid b\)의 부정은 \(a \mid b\)이고, 가정 \(a \nmid bc\)의 부정은 \(a \mid bc\)이므로, 대우는 “\(a \mid b\)이면 \(a \mid bc\)이다”이다. 이는 2주차 빈칸 사다리 훈련 1에서 증명한 명제다. 그 증명을 다시 적으면 — \(a \mid b\)라 가정하면 정의에 의해 \(b = ak\)인 정수 \(k\)가 존재하고,

\[ bc = (ak)c = a(kc) \]

이며 \(kc\)는 정수이므로 \(a \mid bc\)이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

복기. 부정형 두 개는 대우에서 동시에 뒤집힌다 — 하나만 뒤집히는 것이 아니다. 신호 읽기의 이득이 가장 큰 유형이며, 대우를 취한 뒤에는 “이미 증명한 명제인가”를 먼저 확인하는 것이 순서다. 뒤집고 나서야 부품이 보이는 경우가 많다.

문제 10#

접근. 결론이 “\(x = 0\)이고 \(y = 0\)”이므로 그 부정은 드모르간에 의해 “\(x \neq 0\) 또는 \(y \neq 0\)”이다. 두 경우가 \(x\)와 \(y\)에 대칭이므로 WLOG로 한쪽만 다룬다(17주차 §1.6). 부호 근거는 16주차의 (W1)(W2)(W6)이다 — 실수의 제곱은 0 이상이고 등호는 그 수가 0일 때만 성립하며((W1)), 부등식 양변에 같은 수를 더해도 부등호가 유지되고((W2)), 두 부등식이 이어 붙는다((W6)).

풀이. 모순을 이끌어내기 위해, \(x^2 + y^2 = 0\)인데 결론이 거짓, 곧 \(x \neq 0\) 또는 \(y \neq 0\)이라고 가정하자. 두 경우는 \(x\)와 \(y\)를 맞바꾸면 서로 옮겨 가므로, WLOG \(x \neq 0\)이라 하자.

\(x \neq 0\)이므로 (W1)의 등호 조건에 의해 \(x^2 > 0\)이다. 또 \(y\)가 실수이므로 (W1)에 의해 \(y^2 \ge 0\)이다. 이 부등식의 양변에 \(x^2\)을 더하면 (W2)에 의해

\[ x^2 + y^2 \ge x^2 + 0 = x^2 \]

이고, \(x^2 > 0\)이므로 (W6)의 추이성에 의해 \(x^2 + y^2 > 0\)이다. 이는 \(x^2 + y^2 = 0\)이라는 가정과 모순이다. 따라서 \(x = 0\)이고 \(y = 0\)이다. \(\blacksquare\)

(검산: \(x = 0\), \(y = 0\)이면 \(x^2 + y^2 = 0\) ✓. \(x = 0\), \(y = 1\)이면 \(x^2 + y^2 = 1 \neq 0\)으로 가정이 서지 않는다 ✓.)

복기. “제곱의 합이 0이면 각 항이 0”이라는 결론은 이후 여러 곳에서 부품으로 쓰인다. 두 축이 이 증명을 지탱한다 — 결론 “그리고”의 부정이 “또는”이라는 드모르간, 그리고 (W1)의 등호 조건(0일 때만 등호)이다. 등호 조건 없이 \(x^2 \ge 0\)만 쓰면 \(x^2 + y^2 \ge 0\)까지밖에 못 가서 충돌이 생기지 않는다.

문제 11#

접근. 귀류로 가정 두 개를 쥔다 — “\(n^3\)이 짝수”와 “\(n\)이 홀수”. 뒤쪽에서 1주차 문제 13(”\(n\)이 홀수이면 \(n^3\)은 홀수이다”)이 몸통을 통째로 대신하고, 결과가 앞쪽 가정과 정면 충돌한다.

풀이. 모순을 이끌어내기 위해, \(n^3\)이 짝수인데 \(n\)이 홀수라고 가정하자. \(n\)이 홀수이므로 1주차 문제 13에 의해 \(n^3\)은 홀수이다. 어떤 정수도 짝수이면서 동시에 홀수일 수 없으므로(22주차 문제 5), 이는 \(n^3\)이 짝수라는 가정과 모순이다. 따라서 \(n^3\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)

몸통 비교: 19주차 문제 8은 같은 명제를 대우로 증명하면서 몸통을 두 가지로 채웠다 — 풀이 1은 \(n = 2a+1\)을 넣어 \((2a+1)^3 = 8a^3 + 12a^2 + 6a + 1 = 2(4a^3 + 6a^2 + 3a) + 1\)을 직접 전개했고, 풀이 2는 1주차 문제 11(”\(n\) 홀수 \(\Rightarrow\) \(n^2\) 홀수”)과 1주차 문제 8(홀\(\times\)홀=홀)을 이어 붙였다. 그런데 그 대우 명제 “\(n\)이 홀수이면 \(n^3\)은 홀수이다”는 1주차 문제 13 자체이므로, 그것을 그대로 인용하면 대우 증명의 몸통도 이번 귀류 증명과 똑같이 인용 한 줄이 된다. 그때 남는 차이는 그 한 줄을 감싸는 서식뿐이다 — 대우는 두 줄(선언, 회수), 귀류는 세 줄(가정, 충돌, 회수)이다.

복기. “대우는 귀류의 특수형”(22주차)이 이 문제에서 가장 선명하다. 귀류 증명에서 도달한 결론이 하필 \(P\)의 부정(”\(n^3\)이 홀수”)이었고, 충돌 상대가 \(P\)로 미리 정해져 있었다면 그것이 곧 대우다. 충돌 상대가 \(P\)가 아닌 다른 사실일 때(예제로는 21주차 \(\sqrt2\) 증명의 기약성)만 귀류가 대우보다 넓다.

문제 12#

접근. 가정도 결론도 부정형(무리수)이라 1\(\cdot\)2단계에 모두 걸린다(확인 6에서 다룬 명제다). 두 방식 모두 몸통은 등식 \(x = (x + 5) - 5\) 한 줄이고, 근거는 “유리수의 차는 유리수”(15주차 문제 9)다.

풀이. (대우) 대우로 증명한다. 결론 “\(x + 5\)는 무리수”의 부정은 “\(x + 5\)는 유리수”이고, 가정 “\(x\)는 무리수”의 부정은 “\(x\)는 유리수”이므로, 대우는 “\(x + 5\)가 유리수이면 \(x\)는 유리수이다”이다. \(x + 5\)가 유리수라 가정하자. 5는 유리수이고 \(x = (x + 5) - 5\)는 두 유리수의 차이므로 유리수이다(15주차 문제 9). 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

(귀류) 모순을 이끌어내기 위해, \(x\)가 무리수인데 \(x + 5\)가 유리수라고 가정하자. 그러면 \(x = (x + 5) - 5\)는 두 유리수의 차이므로 유리수이다 (15주차 문제 9). 이는 \(x\)가 무리수라는 가정과 모순이다. 따라서 \(x\)가 무리수이면 \(x + 5\)는 무리수이다. \(\blacksquare\)

복기. 관찰할 것은 개념의 전환이다 — “무리수”는 부정형이라 정의를 풀어도 등식이 나오지 않지만, 대우\(\cdot\)귀류 어느 쪽을 거치든 “유리수”(정의 15.1이 있는 긍정형 개념)로 바뀌고 그 순간 \(\frac{a}{b}\) 꼴이 손에 들어온다. 무리수가 얽힌 명제에서 기법을 갈아타는 진짜 이유가 이것이다.

문제 13#

접근. (a)는 17주차 문제 17의 뼈대를 두 줄로 압축하는 요약 문제다. (b)는 그 결과를 보조정리로 인용하고 존재 가정과 충돌시킨다. (c)는 두 증명 중 어느 쪽이 수학적 내용을 담당하는지 지목한다.

풀이. (a) 모든 정수 \(n\)을 짝수와 홀수로 나눠 \(n^2\)을 4로 나눈 나머지를 전수 계산하면 \(n = 2m\)일 때 \(n^2 = 4m^2 \equiv 0\), \(n = 2m+1\)일 때 \(n^2 = 4(m^2 + m) + 1 \equiv 1\)이므로 나머지는 \(\{0, 1\}\)뿐이다(17주차 문제 9). 따라서 \(n^2 + 2\)를 4로 나눈 나머지는 \(\{2, 3\}\)뿐이고 0이 될 수 없으므로, \(n^2 + 2\)는 4의 배수가 아니다.

(b) 모순을 이끌어내기 위해, \(4 \mid (n^2 + 2)\)인 정수 \(n\)이 존재한다고 가정하자. 17주차 문제 9에 의해 \(n^2 \equiv 0 \pmod 4\) 또는 \(n^2 \equiv 1 \pmod 4\)이므로, 양변에 2를 더하면 \(n^2 + 2 \equiv 2 \pmod 4\) 또는 \(n^2 + 2 \equiv 3 \pmod 4\)이다. 그런데 \(4 \mid (n^2 + 2)\)는 \(n^2 + 2 \equiv 0 \pmod 4\)을 뜻하므로 모순이다. 따라서 그런 \(n\)은 존재하지 않고, 모든 정수 \(n\)에 대해 \(n^2 + 2\)는 4의 배수가 아니다. \(\blacksquare\)

(c) 두 증명의 수학적 내용은 동일하다 — 귀류 판본은 케이스 소진의 결과를 보조정리로 인용해 충돌만 선언한 재포장이며, 불가능성 명제의 본체는 언제나 “가능한 값의 전수 조사”이고 귀류는 그것을 담는 서식의 선택일 뿐이다.

복기. 불가능성 명제(“~인 것은 없다”)에서 귀류는 문을 여는 역할만 한다. 문을 연 뒤 실제로 벽을 쌓는 것은 케이스 소진이나 합동식 계산이다. 귀류로 시작했는데 진도가 나가지 않는다면, 부정 가정에서 얻은 대상의 가능한 값을 전부 세는 쪽으로 방향을 트는 것이 표준 처방이다.

문제 14#

접근. 가정이 두 개인데 둘 다 긍정형이고 정의로 즉시 전개된다 — 순서도 1\(\cdot\)2단계 해당 없음, 3단계의 직접이다. 목표 \(3 \mid b^2\)을 만들려면 \(b^2\)을 이미 3의 배수임을 아는 것들로 표현해야 하고, \(b^2 = (a^2 + b^2) - a^2\)이 그 표현이다.

풀이. \(3 \mid (a^2 + b^2)\)이고 \(3 \mid a\)라 가정하자. 먼저 \(3 \mid a\)이므로 문제 6에 의해 \(3 \mid a^2\)이다. 한편

\[ b^2 = (a^2 + b^2) - a^2 \]

이고, 3이 \(a^2 + b^2\)과 \(a^2\)을 모두 나누므로 2주차 문제 17 (”\(a \mid (b+c)\)이고 \(a \mid b\)이면 \(a \mid c\)”)에 의해 \(3 \mid b^2\)이다. \(\blacksquare\)

(검산: \(a = 3\), \(b = 6\)이면 \(a^2 + b^2 = 45\)로 \(3 \mid 45\)이고 \(3 \mid 3\)이며, \(b^2 = 36\)으로 \(3 \mid 36\) ✓.)

복기. 신호 읽기의 결론이 “갈아타지 않는다”인 경우다. 가정 두 개가 모두 긍정형\(\cdot\)전개 가능하면 순서도는 3단계에서 멈추고, 남은 일은 목표를 이미 아는 것들의 합\(\cdot\)차로 표현하는 것뿐이다. 2주차 문제 17은 그 표현이 완성되는 순간 바로 발동하는 부품이다.

문제 15#

접근. 가정이 합성식 \(n^3 + 5\)이므로 2단계 — 대우가 1순위다. (a)의 대우는 “\(n\)이 홀수이면 \(n^3 + 5\)는 짝수이다”이고, 부품 두 개(1주차 문제 13, 1주차 예제 2.3)를 이어 붙이면 끝난다. (b)는 (a)의 계산을 그대로 쓰고 마지막에 충돌만 선언한다.

풀이. (a) 대우. 대우로 증명한다. 결론 “\(n\)은 짝수”의 부정은 “\(n\)은 홀수”이고, 가정 “\(n^3 + 5\)가 홀수”의 부정은 “\(n^3 + 5\)가 짝수”이므로, 대우는 “\(n\)이 홀수이면 \(n^3 + 5\)는 짝수이다”이다. \(n\)이 홀수라 가정하자. 1주차 문제 13에 의해 \(n^3\)은 홀수이다. 5도 홀수이고, 홀수와 홀수의 합은 짝수이므로(1주차 예제 2.3) \(n^3 + 5\)는 짝수이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

(b) 귀류. 모순을 이끌어내기 위해, \(n^3 + 5\)가 홀수인데 \(n\)이 홀수라고 가정하자. (a)와 같은 계산으로, 1주차 문제 13에 의해 \(n^3\)이 홀수이고 1주차 예제 2.3에 의해 \(n^3 + 5\)는 짝수이다. 어떤 정수도 짝수이면서 동시에 홀수일 수 없으므로(22주차 문제 5), 이는 \(n^3 + 5\)가 홀수라는 가정과 모순이다. 따라서 \(n^3 + 5\)가 홀수이면 \(n\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)

(검산: \(n = 2\)이면 \(n^3 + 5 = 13\)으로 홀수이고 \(n\)은 짝수 ✓. \(n = 3\)이면 \(32\)로 짝수 — 가정이 서지 않는다 ✓.)

복기. 부품 두 개를 사슬로 잇는 유형이다. \(n^3\)의 홀짝을 먼저 확정한 뒤 상수 5와의 합에서 두 번째 부품을 쓴다 — 순서를 바꾸면 \(n^3 + 5\)를 한꺼번에 다루려다 막힌다. 합성식은 항별로 홀짝을 확정한 뒤 마지막에 합치는 것이 표준 수순이다.

문제 16#

접근. 제작은 역방향이다. 먼저 대우 쪽 명제(”\(n\)이 짝수이면 (다항식)이 홀수이다”)를 쉽게 증명되도록 설계하고, 그 대우를 취해 문제로 제시한다. \(n = 2a\)를 대입했을 때 상수항이 홀수로 남으면 대우 증명이 한 줄로 끝난다.

풀이. (예시 답)

설계. \(n = 2a\)를 대입할 다항식을 \(n^2 + 4n + 7\)로 잡는다. 짝수 \(n\)을 넣으면 \(n^2\)과 \(4n\)이 모두 짝수이고 상수 7만 홀수로 남으므로, 값 전체가 홀수가 된다. 따라서 대우 쪽은 “\(n\)이 짝수이면 \(n^2 + 4n + 7\)은 홀수이다”이고, 이것의 대우를 취한 원명제는 다음과 같다.

명제. 정수 \(n\)에 대해, \(n^2 + 4n + 7\)이 짝수이면 \(n\)은 홀수이다.

증명. 대우로 증명한다. 대우는 “\(n\)이 짝수이면 \(n^2 + 4n + 7\)은 홀수이다”이다. \(n\)이 짝수라 하면 \(n = 2a\)인 정수 \(a\)가 존재하고,

\[ n^2 + 4n + 7 = 4a^2 + 8a + 7 = 2(2a^2 + 4a + 3) + 1 \]

이며 \(2a^2 + 4a + 3\)은 정수이므로 \(n^2 + 4n + 7\)은 홀수이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

자기 채점 세 항목. ① 가정이 합성식인가 — \(n\)이 \(n^2 + 4n + 7\) 안에 갇혀 있으므로 직접은 막힌다 ✓. ② 대우의 가정이 전개 가능한가 — “\(n\)이 짝수”는 \(n = 2a\)로 즉시 풀린다 ✓. ③ 검산 — \(n = 1\)이면 \(1 + 4 + 7 = 12\)로 짝수이고 \(n\)은 홀수로 명제와 부합하며, \(n = 2\)이면 \(4 + 8 + 7 = 19\)로 홀수라 가정이 서지 않는다 ✓.

복기. 명제를 만드는 능력은 명제를 푸는 능력의 뒷면이다. 어느 신호가 어느 기법을 부르는지 알면 그 신호를 의도적으로 심을 수 있고, 심을 수 있다는 것은 신호를 읽을 수 있다는 것의 가장 확실한 증거다. 상수항의 홀짝만 조절하면 같은 방식으로 명제를 얼마든지 더 만들 수 있다.

문제 17#

접근. 삼단 대조표(§2 관찰) 양식을 그대로 채운다. 직접 항목은 “막힌다”로 끝내지 말고 어느 단계에서 막히는지 적어야 하고, 대우\(\cdot\)귀류 항목은 완성된 증명문이어야 하며, 마지막에 최선과 그 근거를 적는다.

풀이.

직접 — 막히는 지점. \(n^2\)이 짝수라 가정하면 \(n^2 = 2k\)인 정수 \(k\)를 얻는다. 여기서 \(n\)을 꺼내려면 양변에 제곱근을 취해 \(n = \sqrt{2k}\)로 가야 하는데, \(\sqrt{2k}\)는 정수라는 보장이 없어 정수 세계 밖으로 나간다. 곧 정의를 풀어 등식을 얻은 직후, 목표 꼴로 변형하는 단계에서 막힌다 — 가정이 합성식이라 \(n\) 자체의 정보가 나오지 않는 §1.1의 그 자리다.

대우 — 완성. 대우는 “\(n\)이 홀수이면 \(n^2\)은 홀수이다”이다. \(n\)이 홀수라 하면 \(n = 2a + 1\)인 정수 \(a\)가 존재하고,

\[ n^2 = (2a+1)^2 = 4a^2 + 4a + 1 = 2(2a^2 + 2a) + 1 \]

이며 \(2a^2 + 2a\)는 정수이므로 \(n^2\)은 홀수이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

귀류 — 완성. 모순을 이끌어내기 위해, \(n^2\)이 짝수인데 \(n\)이 홀수라고 가정하자. \(n = 2a + 1\)이므로 위와 같은 계산으로 \(n^2 = 2(2a^2 + 2a) + 1\)은 홀수이다. 어떤 정수도 짝수이면서 동시에 홀수일 수 없으므로(22주차 문제 5), 이는 \(n^2\)이 짝수라는 가정과 모순이다. 따라서 \(n\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)

최선과 근거. 대우다. 몸통이 귀류와 완전히 같은 한 줄인데 서식이 한 줄 가볍고, 귀류가 추가로 쥔 가정(”\(n^2\)이 짝수”)을 마지막 충돌 선언 이외에 쓰지 않았으므로 그 가정이 값을 하지 못했다. 귀류도 유효한 증명이지만 이 명제에서는 이득이 없다.

복기. 대조표의 진짜 산출물은 “대우가 최선”이라는 결론이 아니라 직접이 막힌 위치의 기록이다. 막힌 위치가 “가정에서 문자가 안 나온다”로 기록되면, 다음에 같은 모양의 명제를 만났을 때 순서도 2단계가 즉시 발동한다. 19주차 예제 2.1이 같은 명제를 대우로 다뤘고, 22주차 빈칸 훈련 1이 짝\(\cdot\)홀을 맞바꾼 짝(”\(n^2\) 홀수 \(\Rightarrow\) \(n\) 홀수”)을 귀류로 다뤘다 — 이 문제는 같은 명제의 세 경로를 한 표에 모은 것이다.

문제 18#

접근. 결론이 “또는”인 명제의 대우를 만들 때, 그 결론을 부정해 가정 자리로 옮겨야 한다. 답안의 문장에는 “또는”이 그대로 남아 있다 — 드모르간(11주차)이 적용되지 않았다. 진단은 세 부분으로 적는다: 어느 줄이 무너졌는가, 어느 규칙을 어겼는가, 고치면 어떻게 완성되는가.

풀이. 대우가 잘못 만들어졌다.

① 무너진 줄. “대우는 ‘\(x\)가 유리수이거나 \(y\)가 유리수이면 \(x + y\)는 유리수이다’이다”라는 줄이다.

② 어긴 규칙. 결론 “\(x\)가 무리수이거나 \(y\)가 무리수이다”의 부정은 드모르간에 의해 “\(x\)가 유리수이고 그리고 \(y\)가 유리수이다”이다. 답안은 “또는”을 그대로 두었으므로 원명제와 동치가 아닌 별개의 명제를 증명 대상으로 삼았다. 게다가 그 별개의 명제는 참이기까지 하지 않다 — \(x = 1\)(유리수), \(y = \sqrt2\)(무리수)를 넣으면 가정 “\(x\)가 유리수이거나 \(y\)가 유리수”는 참인데 결론 “\(x + y = 1 + \sqrt2\)가 유리수”는 거짓이다 (21주차 문제 11(a)). 잘못 만든 대우는 원명제와의 동치성뿐 아니라 참\(\cdot\)거짓조차 보장되지 않는다.

③ 고친 증명. 올바른 대우는 “\(x\)와 \(y\)가 모두 유리수이면 \(x + y\)는 유리수이다”이고, 이는 15주차 예제 2.2(“두 유리수의 합은 유리수이다”)가 그대로 증명한 명제다. 따라서 고친 증명은 다음과 같다 — 대우로 증명한다. 대우는 “\(x\)와 \(y\)가 모두 유리수이면 \(x + y\)는 유리수이다”이고, 이는 15주차 예제 2.2다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\) (19주차 문제 16이 같은 명제를 같은 방식으로 다룬다.)

복기. 대우 증명에서 점수의 절반은 부정 만들기에 있다. 몸통이 인용 한 줄로 끝나는 이 명제에서는 사실상 전부다. “또는”이 결론에 있으면 대우의 가정에는 반드시 “그리고”가 와야 한다는 대응을 §2 확인 17과 함께 외워 둔다.

문제 19#

접근. 인용된 문장 “무리수와 무리수의 합은 무리수이다”를 하나의 명제로 떼어 놓고 참\(\cdot\)거짓부터 판정한다. 근거 목록 ④는 실제로 증명된 명제만 받으므로 (확인 8 (다)), 거짓 명제를 인용한 증명은 결론과 무관하게 무효다.

풀이.

① 무너진 줄. “무리수와 무리수의 합은 무리수이므로”라는 줄이다.

② 어긴 규칙. 인용된 문장은 정리가 아니라 거짓 명제다. 반례가 있다 — \(\sqrt2\)와 \(-\sqrt2\)는 둘 다 무리수인데 합은 \(0\)으로 유리수다(15주차 문제 19). 거짓 명제를 근거로 삼으면, 결론이 실제로 참이더라도 그 증명은 결론을 정당화하지 못한다. 근거 목록 ④의 자격 심사(확인 8)를 통과하지 못한 인용이다.

③ 올바른 방향의 스케치. 21주차 문제 16(\(\sqrt2 + \sqrt3\))과 같은 수순으로 간다. 모순을 이끌어내기 위해 \(\sqrt2 + \sqrt5 = r\)인 유리수 \(r\)이 있다고 가정하자. 양변을 제곱하면

\[ 2 + 2\sqrt{10} + 5 = r^2, \quad \text{곧} \quad \sqrt{10} = \frac{r^2 - 7}{2} \]

이다. 오른쪽은 유리수의 차와 몫이므로 유리수이고(15주차 문제 9\(\cdot\)15), 따라서 \(\sqrt{10}\)이 유리수가 된다. 이는 \(\sqrt{10}\)이 무리수라는 사실과 모순이다. 그러므로 \(\sqrt2 + \sqrt5\)는 무리수이다. \(\blacksquare\) (\(\sqrt{10}\)의 무리수성은 §4의 안내대로 지금은 인정하고 쓴다 — 증명은 21주차 문제 15(\(\sqrt6\))와 같은 수순이며, 부품은 19주차 예제 2.1과 19주차 문제 15다.)

복기. 몸통을 검사하기 전에 부품을 검수한다. 답안에서 “~이므로”로 인용된 문장마다 “그것은 어디서 증명되었는가”를 묻는 것이 이번 주에 추가되는 자기 점검이고, 대답이 나오지 않는 문장은 그 자리에서 반례를 찾아본다. 무리수는 특히 닫힘성이 없는 집합이라 이런 가짜 정리가 자주 만들어진다 — 합\(\cdot\)차\(\cdot\)곱\(\cdot\)몫 어느 것에 대해서도 무리수는 닫혀 있지 않다.

문제 20#

접근. §1의 순서도를 뼈대로 삼고, 이번 주에 실제로 틀린 문항의 번호를 각 단계 옆에 적은 뒤 그 문항이 무너진 이유를 한 구절짜리 경고로 줄인다. 경고가 붙지 않은 단계는 아직 검증되지 않았다는 뜻이므로, 다음 복습에서 그 단계에 해당하는 문제를 먼저 푼다.

풀이. (예시 답안)

1단계 — 결론이 부정형\(\cdot\)비존재\(\cdot\)무리수\(\cdot\)무한인가 \(\to\) 귀류. 경고: 부정을 만들 때 무대(\(x \in \mathbb{Z}\) 등)까지 뒤집지 않는다(11주차). 점검 문항: 문제 2(c)(d), 문제 19.

2단계 — 가정이 합성식\(\cdot\)부정형이거나 결론이 “또는”인가 \(\to\) 대우. 경고: “또는”의 부정은 “그리고”다 — 드모르간을 빠뜨리면 다른 명제를 증명하게 된다. 점검 문항: 문제 7, 문제 18.

3단계 — 해당 없음 \(\to\) 직접. 경고: 가정을 전부 쓰기 전에 갈아타지 않는다. 가정이 두 개면 두 개 다 소비했는지 확인한다. 점검 문항: 문제 6, 문제 14.

완성 후 자기 점검. ① 귀류라면 부정 가정이 충돌 선언 이전의 줄에서 실제로 쓰였는가(문제 5). ② 대우라면 두 부정을 모두 정확히 만들었는가(문제 18). ③ 인용한 정리가 실제로 증명된 것인가(문제 19).

복기. 개인화의 핵심은 경고 문구가 자기 오답에서 나왔다는 점이다. 남의 목록을 옮겨 적으면 점검 항목이 늘기만 하고 발동하지 않는다. 다음 주의 종합 평가에서 틀린 문항이 생기면 그 번호를 이 표의 해당 단계에 추가한다 — 순서도는 완성품이 아니라 계속 갱신되는 기록이다.

다음 주 예고: 1~23주차 전 범위 중간 종합 백지 시험이다. 정의\(\cdot\)논리\(\cdot\)집합\(\cdot\) 세기\(\cdot\)직접\(\cdot\)케이스\(\cdot\)대우\(\cdot\)귀류\(\cdot\)합동을 한 번에 점검하고, 틀린 문항을 주차별로 되짚는 오답 클리닉으로 상반기를 닫는다. 이번 주의 선택 순서도는 그 시험에서 문제마다 가장 먼저 발동하는 절차가 된다.