50주차 — 최종 종합 평가와 수료#
이 주의 길잡이
핵심 문장: 이 과정의 도착점은 답지를 외운 상태가 아니라, 증명을 읽고 쓰고 의심하고 완성하는 절차가 손에 남은 상태다.
이 주의 위치: 50주 과정의 마지막 주. 1~49주차 전 범위를 백지 시험 20문항으로 종합한다.
원서 대응: BoP(Book of Proof) 전 장 종합 — 원서 없이 읽을 수 있다.
이번 주 목표#
최종 백지 시험 20문항(전 범위, 권장 180분)으로 과정을 수료한다.
50주의 지도를 회고하고, 자기 언어로 요약한다.
다음 단계(이산수학\(\cdot\)선형대수\(\cdot\)해석학\(\cdot\)정수론)에서 이 과정의 무엇이 재사용되는지 확인한다.
시험 규칙#
교재와 노트를 완전히 덮는다. 서식(오프닝부터 \(\blacksquare\)까지)과 글쓰기 규칙 6조(20주차), 검증 의무가 전부 채점 대상이다.
재현 문항은 원 주차의 증명을 다시 만드는 것이다 — 목표는 기억이 아니라 재구성이다.
채점 후에는 틀린 문항을 §3 채점 가이드가 지정하는 주차로 되돌리고, 백지로 재시도한다. 통과하면 수료한다.
최종 시험 (20문항)#
제1부 — 언어 (1~14주차)#
1. [정의 메가 테스트] 다음 10개를 정의하시오: 짝수 / \(a \mid b\) / 소수 / 유리수 / \(A \subseteq B\) / \(\mathcal{P}(A)\) / \(a \equiv b \pmod n\) / 동치관계 / 단사\(\cdot\)전사 / 수열의 수렴(\(\varepsilon\)-N).
2. 다음 명제의 부정과 대우를 각각 만드시오: “모든 실수 \(x\)에 대해, \(x > 1\)이면 \(x^2 > x\)이다.”
3. 진리표로 \(P \Rightarrow Q \equiv \neg Q \Rightarrow \neg P\)를 증명하시오.
4. 드모르간 법칙 \((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\)를 원소 추적(동치 사슬)으로 증명하시오.
5. 남자 5명, 여자 4명 중 남자 2명\(\cdot\)여자 1명의 대표단을 뽑는 가짓수를 — 사용한 원리를 명시하며 — 구하시오.
제2부 — 기법 (15~35주차)#
6. \(m\)이 홀수이고 \(n\)이 짝수이면 \(m^2 + mn + n\)은 홀수임을 직접 증명하시오.
7. \(a > 0\)일 때 \(a + \dfrac{9}{a} \ge 6\)임을 등호 조건까지 증명하시오.
8. 모든 정수 \(n\)에 대해 \(n^2\)을 3으로 나눈 나머지는 0 또는 1임을 경우 나누기로 증명하시오.
9. 정수 \(n\)에 대해, \(n^2 + 4n\)이 홀수이면 \(n\)은 홀수임을 대우로 증명하시오.
10. \(\sqrt{3}\)이 무리수임을 증명하시오 (필요한 보조정리는 문제 8을 인용).
11. 모든 자연수 \(n\)에 대해 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (2i - 1) = n^2\)임을 귀납법으로 증명하시오.
12. “2 이상의 모든 정수는 소수이거나 소수들의 곱”임을 강한 귀납법으로 증명하시오.
13. 정수 \(n\)에 대해, \(n\)이 홀수 \(\iff\) \(n^2 + 2n\)이 홀수임을 증명하시오 (한 방향은 문제 9 재활용 가능).
14. 참\(\cdot\)거짓을 판정하고 실행(증명 또는 반증)하시오: “\(x, y\)가 무리수이면 \(xy\)도 무리수이다.”
제3부 — 구조와 무한 (36~49주차)#
15. \(\mathbb{Z}\) 위의 관계 \(x\,R\,y \iff 4 \mid (x - y)\)가 동치관계임을 증명하고, 서로 다른 동치류를 모두 나열하시오.
16. \(\mathbb{Z}_5\)에서 \([3][x] = [4]\)의 해를 구하시오 — 역원을 명시하고, 해가 유일한 이유를 한 줄 덧붙이시오.
17. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \dfrac{x}{3} + 2\)가 전단사임을 증명하고 역함수를 구해 검증하시오.
18. \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{2n - 1}{n} = 2\)를 \(\varepsilon\)-N 정의로 증명하시오.
19. 대각선 논법 — \((0,1)\)이 비가산임 — 을 백지에서 재현하시오.
20. (서술 — 50주의 지도) 세 개의 인류 유산 증명(\(\sqrt2\) 무리수, 소수의 무한성, 대각선 논법)을 실마리로, 이 과정 50주에서 얻은 것을 서술하시오: (a) 세 증명의 공통 뼈대(49주차 문제 20) (b) 1주차에는 하지 못했고 지금은 할 수 있게 된 것 세 가지 (c) 앞으로 새 수학을 만났을 때 적용할 작업 절차 (열 문장 이내).
해설#
틀린 문제는 접근만 읽고 재시도한 뒤에 풀이를 확인한다.
문제 1#
접근. 정의를 묻는 문항이므로 먼저 각 낱말이 어느 주차의 정의 상자에 있는지 짚는다. 짝수는 정의 1.1, 나누어떨어짐은 정의 2.1, 유리수와 소수는 정의 15.1\(\cdot\)15.2, 부분집합과 멱집합은 정의 4.1\(\cdot\)4.2, 합동은 정의 20.1, 동치관계는 정의 37.1, 단사\(\cdot\)전사는 정의 41.1\(\cdot\)41.2, 수렴은 정의 45.1이다. 채점의 급소는 낱말이 아니라 조각이다 — 존재 요구(“~인 …가 존재한다”), 자격 제한(“정수”, “\(b \neq 0\)”, “\(n \ge 2\)”), 그리고 양화사의 순서.
풀이. 열 개를 차례로 적는다.
① 짝수 (정의 1.1). 정수 \(n\)이 짝수라는 것은, \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다는 뜻이다.
② \(a \mid b\) (정의 2.1). 정수 \(a, b\)에 대해 \(a \mid b\)라는 것은, \(b = ac\)인 정수 \(c\)가 존재한다는 뜻이다.
③ 소수 (정의 15.2). \(n \ge 2\)인 정수 \(n\)이 소수라는 것은, \(n\)의 양의 약수가 \(1\)과 \(n\)뿐이라는 뜻이다.
④ 유리수 (정의 15.1). 실수 \(x\)가 유리수라는 것은, \(x = \dfrac{a}{b}\)인 정수 \(a, b\) (\(b \neq 0\))가 존재한다는 뜻이다.
⑤ \(A \subseteq B\) (정의 4.1). 모든 \(x\)에 대해, \(x \in A\)이면 \(x \in B\)이다.
⑥ \(\mathcal{P}(A)\) (정의 4.2). \(A\)의 부분집합 전부를 원소로 모은 집합, 즉 \(\mathcal{P}(A) = \{X : X \subseteq A\}\)이다.
⑦ \(a \equiv b \pmod n\) (정의 20.1). 정수 \(a, b\)와 자연수 \(n\)에 대해, \(a \equiv b \pmod n\)이라는 것은 \(n \mid (a - b)\)라는 뜻이다.
⑧ 동치관계 (정의 37.1). 집합 \(A\) 위의 관계 \(R\)이 반사적이고 대칭적이고 추이적일 때, \(R\)을 \(A\) 위의 동치관계라 한다.
⑨ 단사\(\cdot\)전사 (정의 41.1, 41.2). \(f : A \to B\)가 단사라는 것은 모든 \(a, a' \in A\)에 대해 \(f(a) = f(a')\)이면 \(a = a'\)이라는 뜻이고, 전사라는 것은 모든 \(b \in B\)에 대해 \(f(a) = b\)인 \(a \in A\)가 존재한다는 뜻이다.
⑩ 수열의 수렴 (정의 45.1). 수열 \((a_n)\)이 실수 \(L\)로 수렴한다는 것은, 아래 기호 문장이 성립한다는 뜻이다.
⑩을 기호로 옮기면 다음과 같다.
복기. 조각이 하나 빠지면 무엇이 무너지는지가 곧 채점 기준이다. ①에서 “정수”가 빠지면 \(3 = 2 \times 1.5\)로 3이 짝수가 되고, ③에서 “양의”가 빠지면 \(-1\)과 \(-n\) 때문에 어떤 수도 소수가 아니게 되며, ④에서 “\(b \neq 0\)”이 빠지면 식 자체가 뜻을 잃는다. ⑩은 순서가 전부다 — \(\varepsilon\)이 먼저 주어지고 \(N\)이 그에 맞춰 나오는 순서를 뒤집으면 다른 명제가 된다(10주차의 양화사 순서). 한 항목이라도 조각이 빠졌다면 해당 주차의 정의 해부 표로 돌아간다.
문제 2#
접근. 부정과 대우는 서로 다른 조작이다. 부정은 11주차의 규칙 — \(\forall\)은 \(\exists\)로 뒤집고, 안쪽 조건문 “\(P\)이면 \(Q\)”의 부정은 “\(P\)인데 \(Q\)가 아니다”가 된다. 이때 무대를 지정하는 “실수 \(x\)”는 부정 대상이 아니다. 대우는 9주차의 조작이며, 여기서는 전칭이 감싸고 있는 안쪽 조건문에만 적용한다.
풀이. 원명제는 “모든 실수 \(x\)에 대해, (\(x > 1\)이면 \(x^2 > x\))”이다.
부정: 전칭을 존재로 바꾸고 안쪽 조건문을 “가정은 성립하는데 결론은 실패”로 푼다. “어떤 실수 \(x\)가 존재하여, \(x > 1\)인데 \(x^2 \le x\)이다.”
대우: 안쪽 조건문의 가정과 결론을 바꾸고 각각 부정한다. \(x^2 > x\)의 부정은 \(x^2 \le x\)이고, \(x > 1\)의 부정은 \(x \le 1\)이다. “모든 실수 \(x\)에 대해, \(x^2 \le x\)이면 \(x \le 1\)이다.”
복기. 부정문과 대우문은 진리값이 정반대라는 점으로 검산할 수 있다. 원명제는 참이므로(\(x > 1\)이면 \(x^2 - x = x(x-1) > 0\)) 대우도 참이어야 하고, 실제로 \(x^2 \le x\)는 \(x(x-1) \le 0\), 즉 \(0 \le x \le 1\)을 뜻하므로 \(x \le 1\)이 따라온다 ✓. 반면 부정문은 거짓이어야 하고, \(x > 1\)이면서 \(x^2 \le x\)인 실수는 없으므로 실제로 거짓이다 ✓.
문제 3#
접근. 논리 동치의 정의는 “모든 행에서 두 열의 진리값이 일치”이므로(정의 9.1), 할 일은 표를 남김없이 채우는 것이다. 변수가 \(P, Q\) 둘이므로 \(2^2 = 4\)행이고, 오른쪽 명제를 계산하려면 그 재료인 \(\neg Q\) 열과 \(\neg P\) 열이 먼저 있어야 한다 — 열의 순서가 곧 계산의 순서다(9주차 예제 2.1).
풀이. 여섯 열로 표를 만든다. \(\Rightarrow\)는 앞이 T이고 뒤가 F인 행에서만 F다(8주차).
\(P\) |
\(Q\) |
\(P \Rightarrow Q\) |
\(\neg Q\) |
\(\neg P\) |
\(\neg Q \Rightarrow \neg P\) |
|---|---|---|---|---|---|
T |
T |
T |
F |
F |
T |
T |
F |
F |
T |
F |
F |
F |
T |
T |
F |
T |
T |
F |
F |
T |
T |
T |
T |
셋째 열은 위에서부터 (T, F, T, T)이고 여섯째 열도 (T, F, T, T)로 네 행 모두에서 일치한다. 따라서 \(P \Rightarrow Q \equiv \neg Q \Rightarrow \neg P\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 핵심 행은 둘째 행이다. 조건문이 무너지는 유일한 상황(\(P\)가 T, \(Q\)가 F)에서 오른쪽 명제도 정확히 같은 이유(\(\neg Q\)가 T, \(\neg P\)가 F)로 무너진다. 이 표 한 장이 대우 증명이라는 기법 전체의 근거이며, 19주차 이후 모든 대우 증명은 이 동치를 인용해 성립한다.
문제 4#
접근. 집합의 상등은 “모든 \(x\)에 대해 \(x \in\) 좌변 \(\iff x \in\) 우변”이므로, 원소 하나를 잡고 양쪽 소속 조건을 동치로 이어 붙이면 된다. 단계가 전부 \(\iff\)이면 두 파트를 사슬 한 줄로 압축할 수 있고(25주차 §1.6 동치 변형 사슬 — 27주차 §1.6이 집합 상등에서의 자격 조건을 정리한다), 27주차 예제 2.1은 같은 명제를 사슬 대신 양방향 포함 두 파트로 적은 판본이다. 사슬을 굴리는 엔진은 논리의 드모르간 법칙 \(\neg(A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B\)이고(9주차), 나머지 단계는 여집합\(\cdot\)합집합\(\cdot\)교집합의 정의를 푸는 일이다.
풀이. 임의의 \(x\)를 잡는다.
단계별 근거는 차례로 여집합의 정의, 합집합의 정의, 논리의 드모르간 법칙, 여집합의 정의, 교집합의 정의다. 모든 단계가 동치이므로 임의의 \(x\)에 대해 좌변 소속과 우변 소속이 같고, 따라서 \((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 집합의 드모르간은 새 정리가 아니라 논리의 드모르간을 소속 조건에 적용한 것이다. 사슬 증명을 쓸 때는 화살표가 전부 \(\iff\)인지 확인해야 한다 — 한 곳이라도 \(\Rightarrow\)뿐이면 포함 관계 한쪽만 얻고 상등은 얻지 못한다. 확신이 서지 않으면 27주차의 방식대로(정의 27.1 — 양방향 포함) 두 포함을 따로 증명하는 편이 안전하다.
문제 5#
접근. 대표단을 “남자 2명 고르기”와 “여자 1명 고르기”라는 두 단계로 쪼갠다. 각 단계는 순서를 따지지 않는 선택이므로 조합이고(14주차), 두 단계의 선택지 수가 서로 영향을 주지 않으므로 결과는 곱셈 원리로 묶인다(13주차).
풀이. 남자 5명에서 2명을 고르는 경우의 수는
이고, 여자 4명에서 1명을 고르는 경우의 수는 \(\binom{4}{1} = 4\)이다. 남자를 어떻게 고르든 여자 쪽 선택지는 항상 4가지로 같으므로 곱셈 원리를 적용할 수 있고, 구하는 가짓수는 \(10 \times 4 = 40\)가지다. \(\blacksquare\)
복기. 답보다 원리의 명시가 채점 대상이다. “순서를 따지지 않으므로 조합”, “두 단계가 서로 무관하므로 곱셈 원리” 두 문장이 답안에 있어야 한다. 검산은 작은 수로 한다 — 남자 2명\(\cdot\)여자 2명에서 남자 2명\(\cdot\)여자 1명을 뽑으면 \(\binom{2}{2}\binom{2}{1} = 1 \times 2 = 2\)가지이고, 실제로 나열해도 두 가지다 ✓.
문제 6#
접근. 가정이 “홀수”, “짝수”이므로 할 일은 정의를 등식으로 푸는 것이다(1주차의 3단계 틀). \(m = 2a+1\), \(n = 2b\)를 대입해 전개한 뒤, 목표인 홀수의 정의 꼴 \(2(\text{정수}) + 1\)로 다시 묶는다. 묶은 뒤 괄호 안이 정수임을 근거 ②(닫힘성)로 확인하는 줄까지가 증명이다.
풀이. \(m\)이 홀수이므로 \(m = 2a + 1\)인 정수 \(a\)가 존재하고, \(n\)이 짝수이므로 \(n = 2b\)인 정수 \(b\)가 존재한다. 대입하면
이고, 이것을 홀수의 정의 꼴로 묶으면
이다. 정수의 곱과 합은 정수이므로(근거 ②) \(2a^2 + 2a + 2ab + 2b\)는 정수이고, 따라서 \(m^2 + mn + n\)은 홀수다. \(\blacksquare\)
복기. 검산은 작은 수로 한다. \(m = 1\), \(n = 2\)이면 \(1 + 2 + 2 = 5\)로 홀수 ✓, \(m = 3\), \(n = 4\)이면 \(9 + 12 + 4 = 25\)로 홀수 ✓. 답안에서 자주 빠지는 줄은 마지막 근거 ②다 — 괄호로 묶는 것만으로는 정의를 만족했다고 할 수 없고, 괄호 안이 정수라는 확인까지가 정의의 마지막 조각이다.
문제 7#
접근. \(a\)와 \(\frac9a\)의 곱이 상수 9로 고정된다는 점이 신호다. 합의 하한을 곱으로 통제하는 도구가 AM–GM이므로(16주차 예제 2.2), 두 수 \(a\)와 \(\frac9a\)에 그대로 적용한다. 부등식 문제는 등호 달성까지 보여야 완결이므로, 등호 조건을 풀어 그 값에서 실제로 6이 나오는지 확인하는 줄이 필요하다(16주차 문제 18과 같은 요구).
풀이. \(a > 0\)이므로 \(\frac9a > 0\)이고, 두 수 모두 0 이상이라 AM–GM(16주차 예제 2.2)을 적용할 수 있다.
양변에 2를 곱하면 \(a + \dfrac9a \ge 6\)이다.
등호 조건. AM–GM의 등호는 두 수가 같을 때만 성립하므로 \(a = \frac9a\), 즉 \(a^2 = 9\)이고, \(a > 0\)이므로 \(a = 3\)이다. 실제로 \(a = 3\)이면 \(3 + \frac93 = 3 + 3 = 6\)이므로 등호가 달성된다 ✓. 따라서 모든 \(a > 0\)에서 \(a + \frac9a \ge 6\)이고 등호는 \(a = 3\)일 때만 성립한다. \(\blacksquare\)
복기. AM–GM 없이도 같은 결론이 나온다. \(a > 0\)이므로
이고, 등호는 \((a-3)^2 = 0\), 즉 \(a = 3\)일 때만이다. 이것이 16주차 예제 2.1의 차–제곱 전략이며, 두 풀이 중 어느 쪽을 써도 좋으나 등호 달성의 확인 줄은 어느 쪽에도 반드시 있어야 한다. 그 줄이 없으면 “6 이상”까지만 증명되고 “최솟값이 6”은 미완성으로 남는다.
문제 8#
접근. \(n\)에 대해 아는 것이 “정수”뿐이므로 계산을 시작할 등식이 없다. 이때 등식을 공급하는 도구가 나눗셈 정리에 의한 경우 나누기다(17주차 문제 8) — 3으로 나눈 나머지에 따라 모든 정수를 \(3q\), \(3q+1\), \(3q+2\) 세 상자에 빠짐없이 담고, 상자마다 \(n^2\)을 계산한다. 세 경우가 무대를 남김없이 덮는다는 확인이 증명의 일부다.
풀이. 나눗셈 정리에 의해 임의의 정수 \(n\)은 어떤 정수 \(q\)에 대해 \(n = 3q\), \(n = 3q+1\), \(n = 3q+2\) 중 정확히 하나의 꼴로 적힌다. 세 경우를 각각 계산한다.
경우 1. \(n = 3q\)이면 \(n^2 = 9q^2 = 3(3q^2)\)이고 \(3q^2\)은 정수이므로 나머지는 0이다.
경우 2. \(n = 3q+1\)이면
이고 \(3q^2 + 2q\)는 정수이므로 나머지는 1이다.
경우 3. \(n = 3q+2\)이면
이고 \(3q^2 + 4q + 1\)은 정수이므로 나머지는 1이다.
세 경우가 모든 정수를 덮으므로, 모든 정수 \(n\)에 대해 \(n^2\)을 3으로 나눈 나머지는 0 또는 1이다. \(\blacksquare\)
복기. 이 증명의 진짜 산출물은 결론 진술이 아니라 경우 2\(\cdot\)3의 계산이다. 결론 “나머지는 0 또는 1”만으로는 나머지가 0인 \(n\)이 어떤 수인지 알 수 없으므로, 문제 10이 쓸 보조정리는 결론에서 나오지 않는다. 근거는 경우 2\(\cdot\)3이 말하는 것 — \(3 \nmid n\)이면 \(n\)은 \(3q+1\) 또는 \(3q+2\) 꼴이고 그때 나머지가 반드시 1, 즉 \(3 \nmid n^2\)이다. 이 문장의 대우가 곧 보조정리 “\(3 \mid n^2\)이면 \(3 \mid n\)”이다. 검산: \(n = 4\)이면 \(16 = 3 \times 5 + 1\) ✓, \(n = 5\)이면 \(25 = 3 \times 8 + 1\) ✓, \(n = 6\)이면 \(36 = 3 \times 12\) ✓.
문제 9#
접근. 가정 “\(n^2 + 4n\)이 홀수”는 \(n\)의 생김새를 알려 주지 않으므로 직접 증명은 첫 줄부터 막힌다. 반대로 대우 “\(n\)이 짝수이면 \(n^2 + 4n\)은 짝수”는 가정이 곧 \(n = 2k\)라는 등식을 주므로 계산이 바로 시작된다. 가정 쪽이 정의로 풀리는 형태일 때 대우로 갈아타는 것이 19주차의 신호다.
풀이. 대우 “\(n\)이 짝수이면 \(n^2 + 4n\)은 짝수이다”를 증명한다.
\(n\)이 짝수이므로 \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 대입하면
이고, \(2k^2 + 4k\)는 정수이므로(근거 ②) \(n^2 + 4n\)은 짝수다.
대우가 참이므로 9주차의 동치 \(P \Rightarrow Q \equiv \neg Q \Rightarrow \neg P\)(문제 3)에 의해 원명제 “\(n^2 + 4n\)이 홀수이면 \(n\)은 홀수이다”도 참이다. \(\blacksquare\)
복기. 대우로 증명했음을 답안 첫 줄에 명시하는 것이 서식의 요구다 — 어느 명제를 증명하고 있는지 독자가 첫 줄에서 알 수 있어야 한다. 검산: \(n = 3\)이면 \(9 + 12 = 21\)로 홀수이고 \(n\)은 홀수 ✓, \(n = 4\)이면 \(16 + 16 = 32\)로 짝수이므로 원명제의 가정이 아예 성립하지 않는다 ✓.
문제 10#
접근. 21주차 문제 7과 같은 뼈대다. “무리수임”은 부정형 결론이므로 귀류법으로 간다 — 유리수라고 가정해 기약분수 표현을 잡고, 3의 배수임을 두 번 유도해 기약 가정과 충돌시킨다. 이때 “\(3 \mid a^2\)이면 \(3 \mid a\)”라는 부품이 필요하고, 그 부품은 문제 8의 대우에서 나온다.
풀이. 먼저 부품을 확보한다. 문제 8에 의해 \(3 \nmid a\)이면 \(a\)는 \(3q+1\) 또는 \(3q+2\) 꼴이고 그때 \(a^2\)을 3으로 나눈 나머지는 1이므로 \(3 \nmid a^2\)이다. 대우를 취하면 다음을 얻는다.
이제 모순을 이끌어내기 위해 \(\sqrt3\)이 유리수라고 가정하자. 그러면 \(\sqrt3 = \dfrac{a}{b}\)인 정수 \(a, b\) (\(b \neq 0\))가 존재하고, “모든 유리수는 기약분수로 나타낼 수 있다”는 사실(정의 21.2 아래의 명제 — 33주차 예제 2.3에서 증명)에 의해 \(\dfrac{a}{b}\)를 기약분수로 잡을 수 있다. 즉 \(a\)와 \(b\)의 공통 약수는 \(\pm 1\)뿐이라고 두어도 된다.
양변을 제곱하면 \(3 = \dfrac{a^2}{b^2}\)이므로 \(a^2 = 3b^2\)이다. 따라서 \(3 \mid a^2\)이고, 위 부품에 의해 \(3 \mid a\)이므로 \(a = 3c\)인 정수 \(c\)가 존재한다. 대입하면
이므로 \(3 \mid b^2\)이고, 같은 부품에 의해 \(3 \mid b\)이다.
그러면 3이 \(a\)와 \(b\)의 공약수인데, 이것은 \(\dfrac{a}{b}\)가 기약이라는 가정과 모순이다. 따라서 \(\sqrt3\)은 유리수가 아니다 — 즉 무리수다. \(\blacksquare\)
복기. 이 증명에서 “3”을 “2”로 바꾸면 21주차 예제 2.2의 \(\sqrt2\) 증명이 그대로 나오고, 부품 자리에는 “\(2 \mid a^2\)이면 \(2 \mid a\)”가 들어간다. 반대로 “4”로 바꾸면 부품이 거짓이 되어(예: \(4 \mid 2^2\)이지만 \(4 \nmid 2\)) 증명이 무너지며, 실제로 \(\sqrt4 = 2\)는 유리수다. 부품의 성립 여부가 결론을 결정한다는 점이 이 뼈대의 급소다.
문제 11#
접근. 좌변이 \(n\)에 대한 합이므로 귀납법의 표준 상황이다. 기초에서 \(n = 1\)을 직접 확인하고, 귀납 단계에서는 \(n = k+1\)의 합을 “\(n = k\)까지의 합 + 새 항”으로 쪼갠 뒤 그 앞부분에 귀납 가정을 투입한다. 귀납 가정을 정확히 어느 자리에 넣었는지 밝히는 것이 채점 대상이다(31주차).
풀이. \(P(n)\)을 “\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(2i-1) = n^2\)”이라 하자.
[기초] \(n = 1\)일 때 좌변은 \(2 \cdot 1 - 1 = 1\)이고 우변은 \(1^2 = 1\)이므로 \(P(1)\)은 참이다. ✓
[귀납 단계] 자연수 \(k\)에 대해 \(P(k)\)가 참이라고 가정하자. 즉 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}(2i-1) = k^2\)이다. 그러면
이다. 둘째 등호에서 귀납 가정을 투입했고, 마지막 등호는 완전제곱 전개다. 따라서 \(P(k+1)\)도 참이다.
기초와 귀납 단계가 모두 성립하므로, 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 \(n\)에 대해 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(2i-1) = n^2\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 검산: \(n = 4\)이면 \(1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2\) ✓. 답안에서 자주 빠지는 것은 합을 쪼개는 첫 등호다 — 이 줄이 없으면 귀납 가정을 넣을 자리 자체가 만들어지지 않는다. 귀납법 답안의 골격은 언제나 “쪼갠다 \(\to\) 가정을 넣는다 \(\to\) 목표 꼴로 정리한다” 세 동작이다.
문제 12#
접근. 33주차 예제 2.1의 분해형 강귀납이다. \(k+1\)이 합성수일 때 \(k+1 = ab\)로 쪼개지는데 \(a\)와 \(b\)가 구간 어디에 있는지 지정할 수 없으므로, 바로 앞 하나 \(P(k)\)만 쥔 보통 귀납으로는 쓸 데가 없다. 구간 전체를 가정하는 강한 귀납법이 필요한 이유가 여기에 있고, 그 이유를 답안에 쓰는 것이 채점 포인트다.
풀이. \(P(n)\)을 “\(n\)은 소수이거나 소수들의 곱이다”라 하고, 무대는 \(n \ge 2\)인 정수로 둔다.
[기초] \(n = 2\)일 때, 2의 양의 약수는 1과 2뿐이므로 2는 소수다(정의 15.2). 따라서 \(P(2)\)는 참이다. ✓
[강한 귀납 단계] \(k \ge 2\)에 대해, 2부터 \(k\)까지의 모든 정수 \(j\)에서 \(P(j)\)가 참이라고 가정하자. \(k+1 \ge 3\)이고, 2 이상의 정수는 소수이거나 합성수이므로(정의 15.2\(\cdot\)15.3과 15주차 문제 4) 두 경우로 나눈다.
경우 1 — \(k+1\)이 소수인 경우. 그 자체로 \(P(k+1)\)이 성립한다.
경우 2 — \(k+1\)이 합성수인 경우. 정의 15.3에 의해 \(k+1 = ab\)인 정수 \(a, b\) (\(1 < a, b < k+1\))가 존재한다. 정수에서 \(1 < a\)는 \(2 \le a\)와 같고 \(a < k+1\)은 \(a \le k\)와 같으므로 \(2 \le a \le k\)이고, 같은 이유로 \(2 \le b \le k\)이다. 이 구간이 정확히 강한 가정의 범위이므로 \(a\)와 \(b\)에 각각 가정을 적용하면, \(a\)와 \(b\)는 각각 소수이거나 소수들의 곱이다. 그러면 그 곱 \(ab = k+1\)도 소수들의 곱으로 적힌다.
두 경우 모두에서 \(P(k+1)\)이 참이다. 따라서 강한 귀납법에 의해 2 이상의 모든 정수는 소수이거나 소수들의 곱이다. \(\blacksquare\)
복기. 왜 강한 가정인지를 한 줄로 적어 두면 채점에서 가장 큰 항목이 확보된다. \(k+1 = 12\)이면 분해 \(12 = 3 \times 4\)에서 \(a = 3\), \(b = 4\)이고 \(k = 11\)은 어디에도 등장하지 않는다 — 보통 귀납이 쥔 유일한 참 \(P(11)\)은 이 자리에서 쓸모가 없다. 이 증명은 존재성만 준다는 점도 함께 기억한다. 분해가 순서를 빼고 유일하다는 사실은 유클리드 보조정리가 필요하며, 33주차 문제 16이 그 빚을 정수론 과목으로 넘겨 두었다.
문제 13#
접근. \(\iff\)이므로 두 방향을 각각 증명한다(25주차). (\(\Rightarrow\)) 방향은 가정이 “\(n\) 홀수”라 정의가 바로 등식을 주므로 직접 증명이 되고, (\(\Leftarrow\)) 방향은 가정이 “\(n^2+2n\) 홀수”로 생김새를 주지 않으므로 문제 9와 같은 이유에서 대우로 간다.
풀이.
(\(\Rightarrow\)) \(n\)이 홀수라 하자. 그러면 \(n = 2k+1\)인 정수 \(k\)가 존재하고,
이다. \(2k^2 + 4k + 1\)은 정수이므로(근거 ②) \(n^2 + 2n\)은 홀수다.
(\(\Leftarrow\)) 대우 “\(n\)이 짝수이면 \(n^2 + 2n\)은 짝수이다”를 증명한다. \(n\)이 짝수이므로 \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재하고,
이다. \(2k^2 + 2k\)는 정수이므로 \(n^2 + 2n\)은 짝수다. 대우가 참이므로 원래 방향 “\(n^2 + 2n\)이 홀수이면 \(n\)은 홀수이다”도 참이다.
두 방향이 모두 성립하므로 \(n\)이 홀수인 것과 \(n^2 + 2n\)이 홀수인 것은 동치다. \(\blacksquare\)
복기. 문제 9는 \(n^2 + 4n\)을 다루었고 여기서는 \(n^2 + 2n\)을 다루지만, (\(\Leftarrow\)) 방향의 계산은 문제 9와 같은 자리에서 같은 방식으로 진행된다. 그렇더라도 답안에는 이 문제의 식으로 계산을 다시 적어야 한다 — 인용만 하고 계산을 생략하면 독자가 검사할 수 없다. 검산: \(n = 3\)이면 \(9 + 6 = 15\)로 홀수 ✓, \(n = 4\)이면 \(16 + 8 = 24\)로 짝수 ✓.
문제 14#
접근. 전칭 명제이므로 먼저 작은 실험으로 참\(\cdot\)거짓을 정한다. 무리수 두 개를 곱해 유리수가 나오는 조합이 하나라도 있으면 명제는 거짓이고, \(\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2\)가 곧바로 떠오른다. 반증은 반례 하나면 충분하지만, 반례에는 두 가지 검증 의무가 따라온다 — 가정을 실제로 만족하는가, 결론을 실제로 위반하는가.
풀이. 명제는 거짓이다.
반례로 \(x = y = \sqrt2\)를 잡는다.
(검증 1 — 가정 확인) \(\sqrt2\)는 무리수다(21주차 예제 2.2). 따라서 \(x\)와 \(y\)는 둘 다 무리수이므로 명제의 가정을 만족한다. ✓
(검증 2 — 결론 위반 확인) \(xy = \sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2\)이고, \(2 = \dfrac{2}{1}\)이므로 정의 15.1에 의해 \(2\)는 유리수다. 즉 \(xy\)는 무리수가 아니다. ✗
가정을 만족하면서 결론을 위반하는 사례가 존재하므로 “\(x, y\)가 무리수이면 \(xy\)도 무리수이다”는 거짓이다. \(\blacksquare\)
복기. 전칭 명제를 무너뜨리는 데는 사례 하나면 충분하지만, 참임을 보이는 데는 사례를 아무리 모아도 부족하다는 1주차의 비대칭이 여기서 그대로 쓰인다. 반례를 제시하고 두 검증을 적지 않는 답안이 흔한데, 그 두 줄이 없으면 제시된 것이 반례라는 주장 자체가 근거 없는 단언으로 남는다.
문제 15#
접근. 동치관계의 정의는 반사\(\cdot\)대칭\(\cdot\)추이 세 조각이므로(정의 37.1), 세 조각을 각각 정의로 풀어 확인한다. \(4 \mid (x-y)\)는 곧 \(x \equiv y \pmod 4\)이므로 20주차의 (C1)(C2)(C3)을 \(n = 4\)에 적용한 것과 같고, 여기서는 그 세 증명을 직접 적는다. 동치류는 나눗셈 정리가 나머지를 네 종류로 나눈다는 사실에서 나온다.
풀이. 관계 \(R\)은 \(x\,R\,y \iff 4 \mid (x-y)\)로 정의된다.
(반사) 임의의 정수 \(x\)에 대해 \(x - x = 0 = 4 \cdot 0\)이므로 \(4 \mid (x-x)\), 즉 \(x\,R\,x\)다.
(대칭) \(x\,R\,y\)라 하자. 그러면 \(4 \mid (x-y)\)이므로 \(x - y = 4k\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그러면 \(y - x = -(x-y) = 4(-k)\)이고 \(-k\)는 정수이므로 \(4 \mid (y-x)\), 즉 \(y\,R\,x\)다.
(추이) \(x\,R\,y\)이고 \(y\,R\,z\)라 하자. 그러면 \(x - y = 4k\), \(y - z = 4m\)인 정수 \(k, m\)이 존재한다. 두 식을 더하면
이고 \(k+m\)은 정수이므로 \(4 \mid (x-z)\), 즉 \(x\,R\,z\)다.
세 조각이 모두 성립하므로 \(R\)는 \(\mathbb{Z}\) 위의 동치관계다.
(동치류) 나눗셈 정리(17주차 §1)에 의해 임의의 정수는 \(4k\), \(4k+1\), \(4k+2\), \(4k+3\) 중 정확히 하나의 꼴이고, 같은 꼴의 두 수는 차가 4의 배수이므로 서로 동치다. 반대로 나머지가 다른 두 수 \(4k+r\), \(4m+r'\) (\(0 \le r < r' \le 3\))의 차는 \(4(k-m) + (r - r')\)이고 \(0 < r' - r < 4\)이므로 4의 배수가 될 수 없다. 따라서 서로 다른 동치류는
네 개다. \(\blacksquare\)
복기. 세 조각의 증명이 각각 2주차의 어느 부품을 쓰는지 보면 구조가 드러난다 — 반사는 \(0\)이 모든 수의 배수라는 사실, 대칭은 부호 뒤집기, 추이는 배수의 합이다. 동치류를 나열할 때 “네 개”라고만 적고 서로 다르다는 확인을 빠뜨리는 답안이 많은데, 겹치지 않음을 보이는 마지막 문단이 “서로 다른”이라는 요구에 답하는 부분이다.
문제 16#
접근. \(\mathbb{Z}_5\)에서 \([3]\)을 소거하려면 \([3]\)의 곱셈 역원이 필요하다(38주차). 역원은 \([3][d] = [1]\)이 되는 \([d]\)이고, \(3 \times 2 = 6 \equiv 1 \pmod 5\)이므로 \([2]\)가 후보다. 역원을 양변에 곱해 \([x]\)를 고립시키고, 마지막에 검산과 유일성의 근거를 덧붙인다.
풀이. 먼저 역원을 확인한다. \([3][2] = [6] = [1]\)이므로 \([3]^{-1} = [2]\)이다.
주어진 식 \([3][x] = [4]\)의 양변에 \([2]\)를 곱하면
이다(가운데에서 곱셈의 결합법칙을 썼고, \([8] = [3]\)은 \(8 - 3 = 5\)가 5의 배수이기 때문이다).
검산. \([3][3] = [9] = [4]\)이므로 \([x] = [3]\)은 실제로 해다 ✓.
유일성. \([3][x] = [3][x']\)이면 양변에 \([3]^{-1} = [2]\)를 곱해 \([x] = [x']\)을 얻으므로 해는 하나뿐이다. 역원이 존재하는 근거는 5가 소수라는 것이며, 이때 \(\mathbb{Z}_5\)에는 영인수가 없어(38주차 문제 15) 소거가 항상 허용된다. \(\blacksquare\)
복기. 역원이 없는 세계에서는 같은 계산이 통하지 않는다. \(\mathbb{Z}_6\)에서 \([3][x] = [0]\)은 \([x] = [0]\), \([2]\), \([4]\) 세 해를 가지는데, \([3]\)의 역원이 없고 \([3][2] = [0]\)이라는 영인수가 존재하기 때문이다. 법이 소수인지 아닌지가 방정식의 해 개수를 가른다.
문제 17#
접근. 전단사는 단사와 전사 두 조각이므로 각각을 정의로 증명한다(정의 41.1, 41.2). 단사는 \(f(a) = f(a')\)에서 출발해 \(a = a'\)을 유도하는 계산이고, 전사는 임의의 \(y\)에 대해 증인 \(x\)를 실제로 제작해 \(f(x) = y\)를 확인하는 작업이다. 증인은 \(y = \frac x3 + 2\)를 \(x\)에 대해 풀면 얻어진다. 역함수를 구한 뒤에는 두 항등식으로 검증하는 것이 43주차의 요구다.
풀이.
(단사) \(a, a' \in \mathbb{R}\)에 대해 \(f(a) = f(a')\)이라 하자. 그러면
이다(양변에서 2를 빼고 3을 곱했다 — 근거 ③). 따라서 \(f\)는 단사다.
(전사) 임의의 \(y \in \mathbb{R}\)을 잡는다. \(x = 3(y-2)\)로 두면 \(x\)는 실수이고,
이다. 따라서 \(f\)는 전사다.
단사이고 전사이므로 \(f\)는 전단사다.
(역함수) 전사 증명에서 만든 증인이 곧 역함수의 식이다. \(f^{-1}(y) = 3(y-2) = 3y - 6\).
(검증) 두 항등식을 확인한다.
두 합성이 모두 항등함수이므로 \(f^{-1}(y) = 3y - 6\)은 \(f\)의 역함수다. \(\blacksquare\)
복기. 전사 증명의 증인 제작과 역함수 구하기는 같은 계산이다 — \(y = f(x)\)를 \(x\)에 대해 푼 식이 증인이자 \(f^{-1}\)의 정의식이다. 검증에서 한쪽 합성만 확인하는 답안이 흔한데, 역함수의 정의는 양쪽 합성이 모두 항등함수일 것을 요구하므로 두 줄이 다 있어야 한다.
문제 18#
접근. \(\varepsilon\)-N 증명의 첫수는 언제나 \(|a_n - L|\)을 하나의 분수로 정리하는 것이다(45주차 예제 2.2). 정리하면 \(\frac1n\)이 되므로 45주차 예제 2.1과 같은 상황이 되고, 문턱 \(N\)은 아르키메데스 성질로 \(\frac1N < \varepsilon\)이 되도록 잡는다. 증명문의 순서는 정의 45.1의 양화사 순서와 정확히 같아야 한다 — \(\varepsilon\)을 받고, \(N\)을 제시하고, \(n > N\)을 가정한다.
풀이. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질(45주차에서 채택한 사실)에 의해 \(\dfrac1N < \varepsilon\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 이 \(N\)을 잡자.
\(n > N\)이라 하자. 그러면
이다(마지막 부등식 앞의 단계는 \(n > N > 0\)에서 \(\frac1n < \frac1N\)이 따라오기 때문이다).
따라서 정의 45.1에 의해 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{n} = 2\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 문턱을 잡는 근거를 밝히는 줄이 채점 대상이다 — “\(\frac1N < \varepsilon\)인 \(N\)을 잡자”만 적고 아르키메데스 성질을 인용하지 않으면 그런 \(N\)이 존재한다는 보장이 없다. 절댓값을 벗길 때 분자가 음수인 \(\frac{-1}{n}\)을 그냥 \(\frac{-1}{n}\)으로 두는 실수도 흔한데, \(|-x| = |x|\)(17주차 문제 4)를 거쳐 \(\frac1n\)으로 바꾸는 단계가 필요하다.
문제 19#
접근. 49주차 예제 2.1의 5단 구조를 그대로 세운다 — ① 빠짐없는 목록을 가정하는 귀류 오프닝 ② 목록을 십진 전개의 무한 숫자표로 배열 ③ 대각선 성분만 보고 그와 다르게 만드는 제작 규칙 ④ 제작된 수가 구간에 속하고 목록의 모든 원소와 다름을 확인 ⑤ 모순 선언. 4와 5만 쓰는 규칙을 택하는 이유(십진 표기의 유일성 확보)를 적는 것이 채점의 급소다.
풀이. 명제: 구간 \((0,1)\)은 비가산이다.
모순을 이끌어내기 위해 \((0,1)\)이 가산이라고, 즉 \((0,1)\)의 원소를 빠짐없이 담은 목록 \(r_1, r_2, r_3, \dots\)이 존재한다고 가정하자.
각 \(r_n\)을 십진 전개로 쓴다: \(r_n = 0.\,d_{n1}d_{n2}d_{n3}\cdots\), 여기서 \(d_{nk}\)는 \(r_n\)의 소수점 아래 \(k\)번째 자리 숫자다. 목록 전체는 \(n\)행 \(k\)열에 \(d_{nk}\)가 놓인 무한 숫자표가 된다.
이제 새 실수 \(b = 0.\,b_1b_2b_3\cdots\)을 다음 규칙으로 제작한다.
\(b\)가 구간에 속함을 확인한다. 모든 자리가 4 또는 5이므로 \(b\)는 \(0.444\cdots\) 이상 \(0.555\cdots\) 이하이고, 따라서 \(b \in (0,1)\)이다. 또한 0과 9를 한 번도 쓰지 않으므로 \(0.4999\cdots = 0.5\) 같은 이중 표기가 생기지 않고, \(b\)의 십진 표기는 유일하다.
\(b\)가 목록에 없음을 확인한다. 임의의 \(n\)을 잡으면, \(b\)의 \(n\)번째 자리 \(b_n\)은 제작 규칙에 의해 \(r_n\)의 \(n\)번째 자리 \(d_{nn}\)과 다르다. 표기가 유일하므로 한 자리라도 다르면 다른 수이고, 따라서 \(b \neq r_n\)이다. \(n\)이 임의였으므로 \(b\)는 목록의 어떤 원소와도 같지 않다.
그러면 \(b \in (0,1)\)인데 목록에 없다 — 목록이 \((0,1)\)을 빠짐없이 담았다는 가정과 모순이다. 따라서 \((0,1)\)은 가산이 아니다, 즉 비가산이다. \(\blacksquare\)
복기. 이 논법의 힘은 특정 목록이 아니라 임의의 목록이 당한다는 데 있다. 목록을 받아 그 목록 자체를 재료로 탈출자를 제작하므로, 목록을 아무리 잘 고쳐도 같은 제작이 다시 작동한다. 자기 채점 항목은 다섯이다 — ① 귀류 가정에 “빠짐없는”이 들어갔는가 ② 4/5 제작 규칙을 적었는가 ③ \(b \in (0,1)\)과 표기 유일성을 확인했는가 ④ 모든 \(n\)에서 \(b \neq r_n\)을 논증했는가 ⑤ 목록의 임의성을 서술했는가.
문제 20#
접근. (a)는 49주차 문제 20에서 분석한 공통 구조를 다시 쓰는 항목이므로 정답이 있다. (b)와 (c)는 자기 서술이라 정해진 답이 없고, 요구되는 것은 구체성이다 — “많이 늘었다” 같은 총평이 아니라 어떤 동작을 할 수 있게 되었는지, 새 개념 앞에서 어떤 순서로 손을 움직일 것인지를 절차로 적는다.
풀이.
(a) 세 증명의 공통 뼈대는 “가정 \(\to\) 제작 \(\to\) 모순”의 3단이다. 먼저 “전부 담았다”류의 가정을 받는다 — \(\sqrt2\)(21주차 예제 2.2)에서는 “기약분수로 다 적었다”, 소수의 무한성(21주차 예제 2.3)에서는 “소수를 \(p_1, \dots, p_k\)로 다 적었다”, 대각선 논법(49주차 예제 2.1)에서는 “\((0,1)\)을 목록에 다 담았다”이다. 다음으로 그 가정이 준 목록 자체를 재료로 가정을 배반하는 증인을 제작한다 — 각각 2의 배수가 되는(둘 다 짝수인) \(a\)와 \(b\)(\(\sqrt3\)이면 3의 배수 — 문제 10), \(p_1p_2\cdots p_k + 1\), 대각선을 비튼 \(b\)다. 마지막으로 제작물이 가정의 울타리 안에 있으면서 가정을 위반함을 확인하고 폭파한다. 이 3단이 유한한 문장으로 무한을 다루는 표준 절차다. 제작물이 새 대상인 두 증명 — 소수의 무한성과 대각선 논법 — 에서는 제작물의 소속 확인이 빠지면 논증이 성립하지 않는다는 점도 같다. \(N = p_1 \cdots p_k + 1 \ge 2\)라야 소수인 약수를 가지고, \(b \in (0,1)\)이라야 목록이 담았어야 할 수가 된다. \(\sqrt2\)에서 이 자리에 대응하는 것은 새 대상의 소속이 아니라 \(a = 2c\)의 \(c\)가 정수라는 확인(근거 ②)이다.
(b) 예를 들어 다음 세 가지를 적을 수 있다. “정의를 말이 아니라 수식으로 백지에 옮겨 적는 것”, “막혔을 때 답지를 여는 대신 가정과 결론의 꼴에서 기법 신호를 읽어 접근부터 스스로 세우는 것”, “틀린 증명을 보고 정확히 어느 줄에서 무엇이 무너졌는지 지목하는 것”.
(c) 예를 들어 다음과 같은 절차를 적을 수 있다. 새 개념을 만나면 ① 정의를 한 글자도 바꾸지 않고 옮겨 적고 ② 작은 예와 반례로 조각마다 실험하고 ③ 관련 명제의 가정과 결론을 분해해 기법 신호를 읽고 ④ 증명을 쓴 뒤 가정이 소비된 자리와 검증 의무를 점검하며 ⑤ 일주일 뒤 백지에 재현한다.
복기. (a)는 채점에 정답이 있는 유일한 부항이고, 3단의 세 동작 — “전부 담았다” 가정 / 그 가정이 준 목록 자체를 재료로 한 제작 / 제작물의 자격 확인 뒤 폭파 — 가운데 셋째의 확인 단계를 빠뜨린 답안이 가장 흔하다(49주차 문제 20과 같은 채점 항목). 확인이 없으면 제작물이 가정의 울타리 안에 있다는 보장이 없어 모순 선언이 근거를 잃는다. (b)와 (c)는 정답이 없으므로 채점 기준은 진실성과 구체성이다. (c)에 적은 절차는 이 과정이 끝난 뒤 실제로 사용할 문서이므로, 남에게 보여 줄 문장이 아니라 자기가 다음 책에서 그대로 따라 할 수 있는 순서로 적는 편이 쓸모 있다.
채점 가이드와 수료 기준#
구간 |
기준 |
|---|---|
수료 |
1번 만점 + 증명 문항(3~19) 중 13개 이상 서식\(\cdot\)논리 무결 + 20번 성실 작성 |
조건부 수료 |
10~12개 — 틀린 문항의 주차만 복습한 뒤 해당 문항 재시험 |
재수강 권장 구간 |
특정 파트에 오답이 몰린 경우: 언어(1~5) \(\to\) 1~14주차 / 기법(6~14) \(\to\) 15~35주차 / 구조(15~19) \(\to\) 36~49주차의 총정리 주간(6\(\cdot\)11\(\cdot\)14\(\cdot\)18\(\cdot\)24\(\cdot\)30\(\cdot\)35\(\cdot\)39\(\cdot\)44)만 골라 재주행 |
시험보다 중요한 최종 기준. 이 과정에서 “마쳤다”의 뜻은 처음부터 백지 재현이었다(1주차 §5의 백지 재현 프로토콜). 세 인류 유산(\(\sqrt2\)의 무리성, 소수의 무한성, 대각선 논법)을 아무것도 보지 않고 재현할 수 있다면 이 과정은 수료된 것이다.
다음 단계 — 이 과정이 열어 주는 문들#
1) 이산수학 (추천: Rosen 또는 Epp). 재사용: 논리\(\cdot\)집합\(\cdot\)세기\(\cdot\)귀납\(\cdot\)관계\(\cdot\)함수\(\cdot\)비둘기집 — 사실상 이 과정의 직계 확장이다. 새로 만날 것: 그래프 이론, 재귀와 알고리즘 분석(하노이 탑(34주차 예제 2.1)이 그 예고편이다), 생성함수. 이질감이 가장 적은 다음 걸음이다.
2) 선형대수 (추천: Friedberg 또는 Axler). 재사용: 공리에서 정리를 유도하는 서식(역원의 유일성 — 26주차 문제 14와 43주차의 서식 그대로), 단사\(\cdot\)전사(동형사상의 언어), TFAE 순환 사슬(25주차 — 가역행렬 정리가 그 결정판이다), 잘 정의됨의 확인(몫공간). 행렬 곱셈이 결합적이면서 비가환인 이유는 42주차의 결과에서 그대로 따라온다 — 행렬은 함수이고 행렬 곱은 그 함수들의 합성이므로, 결합법칙은 합성의 결합법칙(42주차 문제 7)이고 비가환성은 합성의 순서가 바뀌면 다른 함수가 된다는 사실(42주차 예제 2.1)이다.
확인 1. 선형대수에서 그대로 재사용되는 이 과정의 서식을 세 가지 이상 적어 보자.
답
예를 들어 ① 공리에서 정리를 유도하고 유일성을 “둘 가정 후 같음 유도”로 마감하는 서식(26주차 문제 14, 43주차) ② 단사\(\cdot\)전사\(\cdot\)전단사의 증명 서식 4종(41주차) ③ TFAE 순환 사슬(25주차) ④ 잘 정의됨의 확인(38주차) ⑤ 합성의 결합법칙과 역의 역추적(42주차 문제 7\(\cdot\)17)이다. 새로 배우는 것은 대상(벡터공간\(\cdot\)행렬)이고, 증명의 절차는 이 과정에서 쓰던 것과 같다.
3) 해석학 (추천: Abbott, Understanding Analysis). 재사용: \(\varepsilon\)-N과 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 전부(45~47주차가 그 1장에 해당한다), 삼각부등식과 max/min 기술, 최소원리와 “최솟값 없는 집합”(22주차 — sup\(\cdot\)inf의 예고), 가산과 비가산(48~49주차). 새로 만날 것: 완비성 공리, 코시 수열, 미분과 적분의 엄밀화.
확인 2. 45~47주차에서 증명 없이 인정하고 쓴 사실 두 가지는 무엇이며, 해석학은 그것을 어디에서 청산하는가.
답
아르키메데스 성질(45주차에서 채택한 사실)과 단조수렴정리\(\cdot\)코시 수열의 수렴(46주차, 45주차 문제 19가 남긴 빚)이다. 둘 다 실수의 완비성 공리에서 유도된다. 해석학의 1장이 완비성을 공리로 세우고 이 두 사실을 정리로 증명하는 자리이므로, 이 과정에서 “지금은 인정하고 쓴다”고 표시해 둔 항목이 그곳에서 정리로 바뀐다.
4) 기초 정수론. 재사용: 나눗셈 정리\(\cdot\)합동\(\cdot\)기약분수(전부 이 과정에서 증명해 두었다). 남겨 둔 빚의 청산: 유클리드 보조정리와 소인수분해의 유일성(33주차 문제 16), 베주 항등식(28주차 문제 14의 \(\{12a + 4b\}\)), 페르마 소정리(38주차 문제 12에서 관찰한 거듭제곱의 순환이 가리키던 정리).
학습법은 그대로 가져간다. 정의 백지 암기 \(\to\) 예제 필사(“왜?”에 답하지 않은 채 다음 줄로 넘어가지 않는다) \(\to\) 접근 먼저, 풀이는 나중 \(\to\) 백지 재현 \(\to\) 오답이 나온 주차로 회귀. 이 루틴이 이 과정의 실제 산출물이며, 교재가 바뀌어도 그대로 작동한다.
수료사#
1주차의 첫 줄은 \(34 = 2 \times 17\)을 쓰는 것이었고, 첫 증명은 “짝수 + 짝수 = 짝수”였다. 50주차의 마지막 줄은 49주차의 대각선 논법으로 실수 전체가 목록화될 수 없음을 증명하는 것이다. 그 두 줄 사이가 이 과정의 지도이며, 그 사이에 있었던 것은 재능의 발견이 아니라 — 정의로 돌아가는 습관, 막힌 지점을 정확히 말하는 언어, 그리고 백지 앞에서 다시 써 보는 반복이었다.
이 절차는 교재가 바뀌어도 남는다. 어느 책의 어느 정리 앞에서든 던질 질문은 네 개로 같다 — “정의가 무엇인가. 가정은 무엇을 주는가. 결론은 어떤 꼴인가. 신호는 무엇인가.” 이 네 질문은 이 과정의 모든 주차에서 반복된 순서이며, 다음 책의 첫 정리 앞에서도 같은 순서로 쓰인다.
50주 과정을 여기서 마친다. \(\blacksquare\)