15주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

15주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 서식으로 증명을 함께 만들기#

완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 서식의 오프닝부터 마감까지 한 줄씩 만든다. 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다.

예제 2.1 — 규격을 갖춘 직접 증명#

명제. \(x\)가 홀수이면 \(x^2 + 3x + 5\)는 홀수이다.

설계 — 번역표부터. 2주차 예제 2.3의 루틴 그대로, 가정(출발점)과 목표(도착점)를 정의로 번역해 먼저 정한다.

말

수식 번역

가정 (If) — 출발점

\(x\)는 홀수

\(x = 2a + 1\)인 정수 \(a\)가 존재

목표 (Then) — 도착점

\(x^2 + 3x + 5\)가 홀수

\(x^2 + 3x + 5 = \underline{\quad(?)\quad}\) 꼴을 만든다

확인 13. 목표 칸의 빈칸을 채워 보자. 정의 목록(§1.4)의 어느 줄을 어느

방향으로 쓰는 것인가?

답

\(2(\text{정수}) + 1\) 꼴. 홀수 정의의 (\(\Leftarrow\)) 방향이다 — 이 꼴을 실제로

만들어 제시하면 홀수라는 결론이 닫힌다(§1.4 확인 6). 출발점(등식 하나)과

도착점(만들 꼴)이 정해졌으니 그 사이는 계산이다.

오프닝. 조건문이므로 가정을 선언하며 연다.

확인 14. 첫 문장을 완성해 보자: “\(\underline{\qquad}\)라 가정하자.”

답

“\(x\)가 홀수라 가정하자.” 목표(\(x^2 + 3x + 5\)의 꼴)는 답안이 아니라 번역표에

둔다 — 답안에 “보일 것: ~”라고 적어 두는 것은 좋지만, 목표를 가정처럼

쓰는 순간 규범 3 위반이 된다.

몸통 1 — 정의 풀기. 가정의 “홀수”를 등식으로 바꾼다. 몸통에서 둘 수 있는 유일한 첫 수다.

확인 15. 둘째 문장을 완성해 보자:

“홀수의 정의에 의해 \(x = \underline{\quad}\)인 정수 \(\underline{\quad}\)가 존재한다.”

답

\(x = 2a + 1\)인 정수 \(a\). 규범 2대로 문자 \(a\)를 소개하는 형식(“~인 정수 \(a\)가

존재한다”)까지가 이 문장이다.

몸통 2 — 목표에 등장하는 식을 전개한다. 도착점의 주인공은 \(x^2 + 3x + 5\)다. 가정의 재료 \(2a + 1\)을 대입해 전개한다.

확인 16. 전개의 중간 단계를 채워 보자.

\((2a+1)^2 = \underline{\quad(1)\quad}\), \(3(2a+1) = \underline{\quad(2)\quad}\)이고,

두 결과에 \(5\)까지 더해 정리하면 \(x^2 + 3x + 5 = \underline{\quad(3)\quad}\)이다.

답

(1) \(4a^2 + 4a + 1\) (2) \(6a + 3\)

(3) \(4a^2 + 4a + 1 + 6a + 3 + 5 = 4a^2 + 10a + 9\).

계산은 성실하게 — 중간 단계를 답안에서 건너뛰면 읽는 사람이 검산할 수 없는

답안이 된다.

몸통 3 — 도착점의 꼴로 묶는다. \(4a^2 + 10a + 9\)를 \(2(\text{정수}) + 1\) 꼴로 재편한다.

확인 17. \(4a^2 + 10a + 9 = 2(\,\underline{\quad}\,) + 1\)의 괄호를 채우고,

괄호 안이 정수인 근거를 말해 보자.

답

\(4a^2 + 10a + 9 = 2(2a^2 + 5a + 4) + 1\). 홀수 상수 \(9\)에서 \(1\)만 남기고 \(8\)을

앞의 짝수 항들과 함께 2로 묶었다(근거 ③). \(2a^2 + 5a + 4\)는 정수의 곱과

합이므로 정수다(근거 ②).

마감. 목표 꼴이 완성되었음을 선언한다.

확인 18. 마지막 문장을 완성해 보자: “따라서 \(\underline{\qquad}\)이다. \(\blacksquare\)”

답

“따라서 \(x^2 + 3x + 5\)는 홀수이다. \(\blacksquare\)” — 정의의 (\(\Leftarrow\))

방향으로 결론을 닫는 마감이다.

완성본. 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

\(x\)가 홀수라 가정하자.

서식의 오프닝. 목표는 번역표에 두고, 답안은 가정에서 출발한다(규범 3).

홀수의 정의에 의해 \(x = 2a+1\)인 정수 \(a\)가 존재한다.

몸통의 첫 수 — 정의 풀기(근거 ①). 문자 \(a\)를 소개하는 형식까지가 규범 2다.

그러면 \(x^2 + 3x + 5 = (2a+1)^2 + 3(2a+1) + 5 = 4a^2 + 4a + 1 + 6a + 3 + 5 = 4a^2 + 10a + 9\)이다.

목표에 등장하는 식을 가정의 재료로 전개(근거 ③). 중간 단계를 건너뛰지 않는다.

\(= 2(2a^2 + 5a + 4) + 1\)이고 \(2a^2 + 5a + 4 \in \mathbb{Z}\)이다.

도착점 \(2(\text{정수})+1\) 꼴로 묶기(근거 ③) + 괄호 안 정수 확인(근거 ②).

따라서 \(x^2 + 3x + 5\)는 홀수이다. \(\blacksquare\)

정의의 (\(\Leftarrow\)) 방향으로 일치를 선언하며 마감.

대입 시뮬레이션. 완성본의 \(a\)에 \(1\)을 넣어 읽어 보자: “\(x = 3\)이 홀수라 하자. \(3 = 2 \times 1 + 1\). \(9 + 9 + 5 = 23 = 2 \times 11 + 1\). 따라서 \(23\)은 홀수이다.” — 모든 줄이 그대로 작동한다.

확인 19. \(a = -2\)(곧 \(x = -3\))를 넣으면 셋째 줄과 넷째 줄은 각각 어떤 등식이

되는가. 직접 계산해 보자.

답

셋째 줄: \(x^2 + 3x + 5 = 9 - 9 + 5 = 5\). 넷째 줄: 괄호 안은

\(2(-2)^2 + 5(-2) + 4 = 8 - 10 + 4 = 2\)이고 \(5 = 2 \times 2 + 1\) — 성립한다.

음수 홀수에서도 모든 줄이 그대로 작동한다. 증명의 어느 줄도 \(a\)가 특정

정수라는 사실을 쓰지 않았기 때문이다(1주차 확인 13의 일반성 그대로).

예제 2.2 — 유리수의 닫힘성#

명제. 두 유리수의 합은 유리수이다.

§1.1에서 막혔던 그 명제다. 이번에는 설계만 함께 하고, 증명은 완성된 산문으로 본다.

확인 20. 번역표를 채워 보자.

가정: \(x, y\)는 유리수 \(\to\) \(x = \underline{\quad}\), \(y = \underline{\quad}\)인 정수

\(a, b, c, d\) (\(\underline{\qquad}\))가 존재.

목표: \(x + y\)가 유리수 \(\to\) \(x + y\)를 어떤 꼴로 만들어야 하는가?

답

가정: \(x = \frac{a}{b}\), \(y = \frac{c}{d}\)인 정수 \(a, b, c, d\) (\(b \neq 0\),

\(d \neq 0\))가 존재. 유리수가 둘이므로 문자도 두 벌이다 — 서로 다른 대상에는

서로 다른 문자.

목표: \(x + y = \frac{(\text{정수})}{(\text{0이 아닌 정수})}\) 꼴. 도착점의 조건이

두 개(분자가 정수, 분모가 0이 아닌 정수)라는 것을 설계 단계에서 봐 두면

마지막 점검을 빠뜨리지 않는다.

증명. \(x, y\)를 유리수라 하자. 정의에 의해 \(x = \frac{a}{b}\), \(y = \frac{c}{d}\)인 정수 \(a, b, c, d\) (\(b \neq 0\), \(d \neq 0\))가 존재한다. 그러면

\[ x + y = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \]

이고, \(ad + bc\)와 \(bd\)는 정수이다(근거 ②). 또한 \(b \neq 0\)이고 \(d \neq 0\)이므로 \(bd \neq 0\)이다. 따라서 \(x + y\)는 유리수의 정의를 만족한다. \(\blacksquare\)

“\(bd \neq 0\)”의 근거. 0이 아닌 정수끼리의 곱이 0이 아니라는 것은, 2주차 문제 20에서 인정하고 쓰기로 한 사실 “정수 \(x, y\)에 대해 \(xy = 0\)이면 \(x = 0\) 또는 \(y = 0\)”(25주차에서 증명)에서 곧장 나온다 — 만약 \(bd = 0\)이면 \(b = 0\) 또는 \(d = 0\)이어야 하는데 둘 다 아니다.

포인트. 통분이라는 중1 계산이 그대로 증명의 몸통이다. 다만 \(bd \neq 0\) 확인이 빠지면 무엇이 무너지는가 — 분모의 자격이 미확인인 채 “정의를 만족한다”고 선언한 셈이 되어, 정의의 조각 하나(\(b \neq 0\))가 빈 미완성 답안이 된다. 정의의 모든 조건을 점검하는 마지막 문장이 증명의 완성을 가른다.

예제 2.3 — 존재 명제: 증인 제작#

명제. 모든 홀수는 연속한 두 정수의 합으로 쓸 수 있다.

이번에는 설계부터 스스로 해 보자.

확인 21. 이 명제의 구조를 분해해 보자.

① 명제 전체의 꼴: 모든 홀수 \(n\)에 대해, \(\underline{\qquad}\)가 존재한다.

② 오프닝은 어떤 문장인가.

③ 증인의 후보를 찾기 위해, 가정이 줄 등식 \(n = 2k + 1\)의 우변을 두 정수의

합으로 쪼개 보자: \(2k + 1 = k + \underline{\quad}\).

답

① “합이 \(n\)인 연속한 두 정수”가 존재한다 — \(\forall\) 속에 \(\exists\)가 든 이중

구조다(10주차 예제 2.3의 순서 구조).

② \(\forall\) 오프닝 — “\(n\)을 홀수라 하자.”

③ \(2k + 1 = k + (k + 1)\) — 가정이 준 재료 \(k\)로 증인 쌍 \((k,\ k+1)\)을 제작한다.

검증할 것: 두 수가 연속한 정수인가, 합이 \(n\)인가.

증명. \(n\)을 홀수라 하자. 정의에 의해 \(n = 2k + 1\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그러면

\[ n = 2k + 1 = k + (k + 1) \]

이고, \(k\)와 \(k+1\)은 연속한 두 정수이다. 따라서 \(n\)은 연속한 두 정수의 합이다. \(\blacksquare\)

구조 읽기. 명제는 \(\forall n\,(\text{홀수} \Rightarrow \exists\ \text{연속 두 정수의 합 표현})\)이다. \(\forall\)은 “임의의 \(n\)”으로 열고, \(\exists\)는 증인 \((k, k+1)\)을 가정의 재료 \(k\)로 제작해 처리했다 — §1.6과 §1.7의 서식 두 개가 한 증명 안에 겹쳐 있다. 1주차 문제 10(“연속한 두 정수의 합은 홀수”)의 역방향이기도 하다 — 그 문제와 이 예제를 합치면 “홀수 = 연속한 두 정수의 합으로 쓸 수 있는 수”라는 완전한 동치가 된다.

관찰 — 서식은 하나, 오프닝이 셋#

세 예제를 서식의 부품으로 분해해 대응표의 빈칸을 채워 보자.

확인 22. 각 칸에 해당하는 문장을 예제에서 찾아 적어 보자.

① 예제 2.1의 오프닝: \(\underline{\qquad}\)

② 예제 2.2의 몸통 첫 수(정의 풀기): \(\underline{\qquad}\)

③ 예제 2.3의 증인 제작과 검증: \(\underline{\qquad}\)

답

① “\(x\)가 홀수라 가정하자.” — 조건문 오프닝.

② “정의에 의해 \(x = \frac{a}{b}\), \(y = \frac{c}{d}\)인 정수 \(a, b, c, d\)

(\(b \neq 0\), \(d \neq 0\))가 존재한다.”

③ “\(n = 2k + 1 = k + (k+1)\)이고, \(k\)와 \(k+1\)은 연속한 두 정수이다.”

오프닝과 결론 처리만 다르고, 몸통과 마감의 문법 — 정의 풀기, 변형, 정의와의

일치 선언 — 은 셋이 같다.

방금 확인한 것을 규칙으로 굳힌다.

백지 암기 대상

오프닝 선택 규칙

명제의 꼴이 첫 문장을 정한다.

① “\(P\)이면 \(Q\)이다” \(\to\) “\(P\)라 가정하자.”

② “모든 ~에 대해 …” \(\to\) “~을 임의의 …라 하자.”

③ “~가 존재한다” \(\to\) “증인 ~을 제시한다.” (이후 검증이 본체)

몸통과 마감은 공통이다 — 정의\(\cdot\)가정\(\cdot\)대수\(\cdot\)기증명 명제로 변형하고, “따라서 \(Q\)이다. \(\blacksquare\)”로 닫는다.

문제 5가 이 규칙의 연습 자리다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸#

명제. \(x, y\)가 유리수이면 \(xy\)도 유리수이다.

증명. \(x, y\)를 유리수라 하자. 정의에 의해 \(x = \frac{a}{b}\), \(y = \frac{c}{d}\)인 정수 \(a, b, c, d\) (\(b, d \neq 0\))가 존재한다. 그러면

\[ xy = \underline{\quad(1)\quad} \]

이고, \(ac\)와 \(bd\)는 \(\underline{\quad(2)\quad}\)이며, \(b \neq 0\), \(d \neq 0\)이므로 \(\underline{\quad(3)\quad}\)이다. 따라서 \(xy\)는 유리수이다. \(\blacksquare\)

훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#

이번에는 구조 낱말과 근거 문장도 빈칸이다.

명제. \(x\)가 유리수이면 \(3x + 1\)은 유리수이다.

증명. \(x\)가 유리수라 \(\underline{\quad(1)\quad}\)하자. 정의에 의해 \(x = \underline{\quad(2)\quad}\)인 정수 \(a, b\) (\(b \neq 0\))가 존재한다. 그러면

\[ 3x + 1 = \frac{3a}{b} + 1 = \underline{\quad(3)\quad} \]

이고, \(3a + b\)는 \(\underline{\quad(4)\quad}\)이며(근거 \(\underline{\quad(5)\quad}\)), \(b\)도 정수이고 \(b \neq 0\)이다. 따라서 \(3x + 1\)은 \(\underline{\quad(6)\quad}\)의 정의를 만족하므로 유리수이다. \(\blacksquare\)

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

이번에는 서식의 각 칸을 통째로 채운다. (\(\forall\) 오프닝 \(\to\) 증인 제시 \(\to\) 검증 두 건 \(\to\) 마감)

명제. 임의의 유리수 \(x\)에 대해, \(x\)보다 큰 유리수가 존재한다.

증명의 뼈대.

  • ① 오프닝: \(\underline{\quad(1)\quad}\)

  • ② 증인 제시: \(\underline{\quad(2)\quad}\)

  • ③ 검증(유리수인가 / \(x\)보다 큰가)과 마감: \(\underline{\quad(3)\quad}\)

(증인 후보가 떠오르지 않으면 예제 2.3을 다시 본다 — 가정의 재료 \(x\)로 만든다. 이 훈련이 문제 17의 예행연습이다.)

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다 \(\to\) 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 증명 문제는 번역표(예제 2.1의 설계)부터 채우고, 답안은 서식(오프닝 \(\to\) 몸통 \(\to\) 마감)을 지킨다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. “\(\frac{7}{3}\)은 유리수다(맞음)”는 0점이고,

“\(7, 3 \in \mathbb{Z}\)이고 \(3 \neq 0\)이므로 정의를 만족한다”가 만점이다.

증명 문제는 여기에 두 가지가 더 얹힌다 — 서식(오프닝\(\cdot\)마감의 고정 문구)과

규범 1~3(문장\(\cdot\)문자 소개\(\cdot\)결론 가정 금지)도 채점 대상이다.

난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. 정리\(\cdot\)보조정리\(\cdot\)따름정리\(\cdot\)추측 중 알맞은 말을 고르시오. (a) 아직 증명되지 않았지만 참이라 믿어지는 명제 (b) 큰 정리의 증명에 쓰이는 디딤돌 결과 (c) 정리에서 즉시 따라 나오는 결과

힌트

§1.5의 표에서 구분선은 두 개였다 — 증명이 있는가, 다른 결과와의 관계가

무엇인가. 각 항목이 어느 구분선의 어느 쪽인지부터 정한다.

2. [백지] 소수, 합성수, 유리수의 정의를 쓰시오.

힌트

자가 채점 포인트를 미리 적어 둔다: 소수\(\cdot\)합성수의 “\(n \ge 2\)”와 “양의”,

합성수의 “\(1 < a, b < n\)”, 유리수의 “실수 \(x\)”와 “\(b \neq 0\)”과 “존재한다”. 조각이 왜

필요한지는 §1.2~1.3의 삭제 실험이다.

3. 다음 명제의 If–Then 분해표(가정/결론 + 수식 번역)를 만드시오 (증명은 안 해도 됨). (a) \(a \mid b\)이면 \(a^2 \mid b^2\)이다. (b) \(x\)가 유리수이면 \(3x + 1\)은 유리수이다.

힌트

예제 2.1\(\cdot\)2.2의 번역표 양식 그대로 두 행이면 된다. 가정 행은 정의를

(\(\Rightarrow\)) 방향으로 푼 등식, 목표 행은 “~꼴 만들기”로 적는다.

4. 다음 수를 소수/합성수로 판정하고, 합성수는 정의의 증인(\(n = ab\))을 제시하시오: \(91,\ 97,\ 1\)

힌트

\(91\)이 수상하다 — \(91 = 70 + 21\)로 쪼개 보면 두 덩어리가 공유하는 약수가

보인다. \(97\)은 “합성수라면 작은 쪽 인수가 어디까지 내려와야 하는가”를 생각하면

확인량이 줄어든다. \(1\)은 두 정의의 첫 조각부터 본다.

5. 다음 명제들의 “증명 첫 문장”만 쓰시오 (서식 연습). (a) \(n\)이 짝수이면 \(n^2 - n\)은 짝수이다. (b) 모든 정수 \(n\)에 대해 \(2n^2 + n + 1\)은 …이다. (c) \(x, y\)가 모두 무리수이면 …이다. (d) \(\exists n \in \mathbb{Z},\ n^2 = n\).

힌트

§2 끝의 오프닝 선택 규칙 그대로다. 각 명제의 꼴(조건문 / \(\forall\) / \(\exists\))부터

판별한다. (c)는 가정이 두 개처럼 보이지만 “모두”로 묶인 하나의 가정이다.

6. 예제 2.1을 백지에 재현하시오.

힌트

다 쓴 뒤 완성본의 “왜?” 열로 자가 채점한다 — 다섯 줄이 전부 있는가, 각 줄의

근거(①~④)를 말할 수 있는가.

표준 ●●○#

7. \(x\)가 짝수이면 \(x^2 - 6x + 5\)는 홀수임을 증명하시오.

힌트

전개하면 상수가 \(5\)다 — 목표 꼴 \(2(\text{정수}) + 1\)에 맞추려면 \(5 = 4 + 1\)로

쪼개 \(4\)를 짝수 항들 쪽으로 보낸다. 1주차 문제 7에서 쓴 그 기술이다.

8. \(a \mid b\)이면 \(a \mid (5b^2 - 3b)\)임을 증명하시오.

힌트

목표 꼴은 \(5b^2 - 3b = a \times (\text{정수})\)다. \(b = ak\)를 모든 \(b\) 자리에

대입하면 각 항에 \(a\)가 살아 있다 — 공통인수로 묶는다.

9. 두 유리수의 차는 유리수임을 증명하시오.

힌트

예제 2.2에서 부호 하나만 바뀐다 — 통분, 분자\(\cdot\)분모의 정수성, 분모 \(\neq 0\)의

세 점검이 그대로 반복된다.

10. \(m\)이 짝수이고 \(n\)이 홀수이면 \(m^2 + n^2\)은 홀수임을 증명하시오.

힌트

가정이 두 개이므로 정의도 두 번, 문자도 두 벌(\(m = 2a\), \(n = 2b + 1\))이다.

전개한 뒤 상수 \(1\)만 남기고 나머지에서 2를 묶는다.

11. \(r\)이 0이 아닌 유리수이면 \(\dfrac{1}{r}\)도 유리수임을 증명하시오. (주의: \(\frac{1}{r} = \frac{b}{a}\)라 쓰기 전에 확인할 것이 하나 있다)

힌트

뒤집은 표현 \(\frac{b}{a}\)가 정의를 만족하려면 새 분모 \(a\)의 자격을 심사해야

한다. 정의가 보장하는 것은 \(b \neq 0\)뿐이다 — \(a = 0\)이면 \(r\)은 무엇이 되는가.

가정과 대조해 보자.

12. 모든 정수 \(a\)에 대해 \(a^2 + a + 1\)은 홀수임을 증명하시오. (힌트: \(a^2 + a\)는 1주차 문제 16)

힌트

오프닝부터 — 조건문이 아니라 \(\forall\) 명제다. 몸통은 보조정리 인용(근거 ④)

한 번이 거의 전부다.

13. 모든 정수 \(n\)에 대해 \(5 \mid (10n^2 + 5n + 25)\)임을 증명하시오.

힌트

세 항 \(10n^2\), \(5n\), \(25\)가 공통으로 갖는 인수를 묶으면 목표 꼴

\(5 \times (\text{정수})\)가 한 줄에 나온다.

14. \(n\)이 홀수이면 \(n\)은 두 제곱수의 차로 쓸 수 있음을 증명하시오. (힌트: 예제 2.3처럼 증인을 제작 — \((k+1)^2 - k^2\)을 계산해 보라)

힌트

문제의 힌트 계산을 실제로 해 보면 결과가 홀수의 정의 꼴 그대로다 — 가정이

준 \(k\)가 그대로 증인의 재료가 된다.

도전 ●●●#

15. \(r, s\)가 유리수이고 \(s \neq 0\)이면 \(\dfrac{r}{s}\)는 유리수임을 증명하시오. (문제 11을 보조정리로 인용해도 좋고, 처음부터 해도 좋다)

힌트

조립 경로: \(\frac{r}{s} = r \cdot \frac{1}{s}\)로 쪼개면 문제 11(역수)과

훈련 1(곱)이 맞물린다. \(s \neq 0\)이 어느 부품의 입장 조건인지 확인한다.

16. \(n\)이 홀수이면 \(n^2 + 4n + 3\)은 4의 배수임을 증명하시오. (힌트: 인수분해 \((n+1)(n+3)\) — 두 인수가 각각 무엇의 배수인가?)

힌트

두 인수 \(n + 1\)과 \(n + 3\)을 각각 가정(\(n = 2k+1\))으로 표현해 보면, 인수마다

2가 하나씩 나온다 — 곱에서 4가 조립된다.

17. 두 유리수 \(a < b\) 사이에는 반드시 유리수가 존재함을 증명하시오. (10주차 예제 2.2(c)의 빚 회수. 증인 후보: \(\frac{a+b}{2}\). 증명할 것: ① 유리수다 ② \(a\)와 \(b\) 사이에 있다)

힌트

검증이 두 건이다. ① 유리수인 것은 닫힘성 부품 조립 — \(a + b\)는 예제 2.2,

\(\frac{1}{2}\)을 곱하는 것은 훈련 1. ② 사이에 있는 것은 \(a < b\)의 양변에 같은

수를 더하고 양수 2로 나누는 변형 — 이 두 변형은 지금은 대수 법칙(근거 ③)으로

인정하고 쓴다(16주차에서 부등식의 성질로 정식화한다).

18. 다음 ‘증명’의 문제점을 규범 1~3에 비추어 지적하시오.

“명제: \(x\)가 홀수이면 \(x^2\)은 홀수이다. 증명: \(x^2\)이 홀수라 하자. \(x^2 = 2k+1\). \(x = 2m+1\). \((2m+1)^2 = 4m^2+4m+1\) 홀수. 맞다. \(\blacksquare\)”

힌트

§1.8에서 답안 A로 이미 한 번 해부한 답안이다 — 규범 3, 2, 1 순서로 대조하고,

마지막에 올바른 증명으로 고쳐 쓰는 것까지가 완결이다.

이 문제가 빌려 쓰는 사실과 어법

아래 문제 19에서 “\(\sqrt{2}\)는 무리수이다”는 지금은 증명 없이 인정하고 쓴다

(21주차에서 증명한다). 그리고 힌트의 논증에는 “만약 ~라면 …가 되어 모순”이라는

어법이 나온다 — 어떤 가정을 놓았더니 이미 확보된 사실과 충돌하면 그 가정을

기각하는 방식이다. 정식 이름과 서식은 21주차(귀류법)에서 배우고, 여기서는

힌트가 시키는 한 걸음만 쓴다.

19. 두 무리수의 합이 유리수가 되는 예가 존재함을 보이시오. (증인: \(\sqrt{2}\)와 \(-\sqrt{2}\). “\(\sqrt{2}\)가 무리수”는 21주차에서 증명할 사실로 인정하고, “\(-\sqrt{2}\)도 무리수”는 다음 힌트로 직접 보이시오: \(-\sqrt{2}\)가 유리수라면 \((-1) \times (-\sqrt{2}) = \sqrt{2}\)도 유리수가 되어(문제 9\(\cdot\)빈칸의 닫힘성) 모순)

힌트

검증이 세 건이다 — ① \(\sqrt{2}\)가 무리수(인정하고 쓰는 사실) ② \(-\sqrt{2}\)도

무리수(문제가 준 미니 논증을 그대로 적는다) ③ 두 수의 합이 유리수(정의 15.1로

확인). ③은 합이 \(0\)이고 \(0 = \frac{0}{1}\)임을 정의에 대입하는 한 줄이다.

20. (서술) “증명의 몸통에서 쓸 수 있는 것은 정의\(\cdot\)가정\(\cdot\)대수 법칙\(\cdot\)기증명 정리뿐”이라는 규칙이 왜 필요한지, “직관적으로 당연한 사실”을 마음대로 쓰면 무엇이 무너지는지 두 문장 이내로 쓰시오.

힌트

재료 두 가지 — “당연함”의 기준은 사람마다 다르다는 점, 그리고 1주차 문제 18

(\(n^2 + n + 41\))에서 직관이 몇 번째까지 맞다가 틀렸는지.

백지 재현 — 복습 프로토콜#

권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

1차 시도 (4일차) — 서식 카드 허용. 직접 증명의 서식(§1.6)\(\cdot\)오프닝 선택 규칙 (§2 관찰)\(\cdot\)근거 목록(§1.9)만 펴 놓고, 예제 2.1과 2.2를 처음부터 끝까지 적는다. 정의 목록과 본문은 보지 않는다.

2차 시도 (5일차) — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다:

  • 소수\(\cdot\)합성수\(\cdot\)유리수의 정의를 토씨까지 정확히 썼다 (”\(n \ge 2\)”, “양의”, “\(1 < a, b < n\)”, “실수”, “\(b \neq 0\)”, “존재한다”).

  • 직접 증명의 서식(오프닝 \(\to\) 몸통 \(\to\) 마감)과 오프닝 선택 규칙 세 가지를 백지에 썼다.

  • 예제 2.2(유리수 합)와 2.3(연속 두 정수의 합)을 백지에 처음부터 끝까지 재현했다.

  • 재현한 증명에서 오프닝\(\cdot\)정의 풀기\(\cdot\)목표 꼴 변형\(\cdot\)마감을 손가락으로 짚을 수 있다.

  • 글쓰기 규범 세 가지를 말로 재현하고, 답안 A(§1.8)의 위반 지점을 지적할 수 있다.

  • 정리\(\cdot\)명제\(\cdot\)보조정리\(\cdot\)따름정리\(\cdot\)추측을 구분해 설명했다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점

처방

정의가 정확히 기억나지 않는다

§1.2~1.3 해부 표 — 조각의 이유와 함께 다시 외운다

첫 문장이 나오지 않는다

§2 관찰의 오프닝 선택 규칙 — 명제의 꼴부터 판별한다

통분 다음이 나오지 않는다

예제 2.2 — 도착점의 조건 두 개(분자\(\cdot\)분모)를 하나씩 점검한다

존재 명제에서 증인이 떠오르지 않는다

예제 2.3 — 가정의 재료를 등식으로 쪼개 본다

증명이 기호 나열이 된다

§1.8 규범 1 — 줄마다 “그러면/이므로/따라서”를 붙여 다시 쓴다

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) \(\dfrac{ac}{bd}\) (2) 정수 (근거 ②) (3) \(bd \neq 0\)

※ 예제 2.2와 같은 리듬이다 — 계산(분수의 곱셈)보다 마지막 두 점검(분자\(\cdot\)분모의 정수성, 분모 \(\neq 0\))이 채점 포인트다. 이 결과(유리수의 곱 닫힘)는 문제 15, 17, 19에서 부품으로 인용된다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) 가정 (2) \(\dfrac{a}{b}\) (3) \(\dfrac{3a + b}{b}\) (4) 정수 (5) ② (닫힘성) (6) 유리수

※ (3)의 통분(\(1 = \frac{b}{b}\))이 유일한 계산이다. 분모가 \(b\) 그대로이므로 “\(b\)는 정수이고 \(b \neq 0\)”은 가정에서 정의를 푼 것(근거 ①)을 다시 적으면 된다 — 새 분자 \(3a + b\)만이 닫힘성(근거 ②)을 필요로 한다. 근거 번호를 붙일 때 이 둘을 섞지 않는다. 문제 3(b)의 분해표가 이 증명의 설계도였다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) “\(x\)를 임의의 유리수라 하자.” (2) “\(y = x + 1\)을 증인으로 제시한다.” (3) “\(x\)는 유리수이고 \(1 = \frac{1}{1}\)도 유리수이므로, 합 \(y = x + 1\)은 유리수이다(예제 2.2). 또한 \(1 > 0\)이므로 \(y = x + 1 > x\)이다. 따라서 \(x\)보다 큰 유리수가 존재한다. \(\blacksquare\)”

※ \(\forall\) 오프닝 속의 증인 제작 — 예제 2.3과 같은 이중 구조다. 검증 두 건 (유리수인가, 큰가)을 전부 적어야 완결이다. 검증 ②의 부등식 변형(\(1 > 0\)의 양변에 \(x\) 더하기)은 지금은 대수 법칙(근거 ③)으로 인정하고 쓴다 — 16주차에서 부등식의 성질로 정식화한다. 문제 17이 같은 구조의 완성판이다.

문제 1#

접근. §1.5의 용어 표를 두 구분선 — 증명의 유무, 다른 결과와의 관계 — 으로 다시 읽는 문제다. (a)만 “증명 없음” 쪽이고, (b)(c)는 증명된 결과들 사이의 역할 구분이다.

풀이. (a) 추측 — 참이라 믿어지지만 아직 증명되지 않은 명제. 다섯 용어 중 증명이 없는 것은 추측뿐이다. (b) 보조정리 — 더 큰 정리를 증명하기 위한 디딤돌. 1주차 문제 15\(\cdot\)16이 문제 17에 대해 맡았던 역할이다(§1.5 확인 7). (c) 따름정리 — 정리에서 짧게 따라 나오는 결과. 증명의 대부분을 본체 정리가 이미 해 두었으므로 남는 것은 짧은 연결뿐이다.

복기. 다섯 용어는 명제의 다섯 종류가 아니라 한 종류(명제)의 다섯 역할이다. 문헌에서 보조정리를 만나면 “이것은 어느 본체를 위한 디딤돌인가”를 찾는 것이 독해 요령이다.

문제 2#

접근. 백지 암기 확인. 쓰고 나서 §1.4의 목록과 낱말 단위로 대조한다 — 조각 하나가 빠지면 §1.2~1.3의 삭제 실험이 보여 준 붕괴가 그대로 재연되기 때문이다.

풀이. 다음 세 문장과 대조해 자가 채점한다.

  • 소수: \(n \ge 2\)인 정수 \(n\)의 양의 약수가 \(1\)과 \(n\)뿐이다.

  • 합성수: \(n \ge 2\)인 정수 \(n\)에 대해, \(n = ab\)인 정수 \(a, b\) (\(1 < a, b < n\))가 존재한다.

  • 유리수: 실수 \(x\)에 대해, \(x = \frac{a}{b}\)인 정수 \(a, b\) (\(b \neq 0\))가 존재한다.

채점 포인트: “\(n \ge 2\)”(\(1\)의 배제), “양의”(음의 약수 배제), “\(1 < a, b < n\)” (하나마나 한 분해 배제), “실수 \(x\)”(무대 — 무리수 후보까지 심사 대상이다. “정수 \(x\)가 …”로 적으면 무리수 판정의 무대가 사라진다), “\(b \neq 0\)”(분모 보호), “존재한다”(표현 하나면 충분). 하나라도 빠졌으면 해당 삭제 실험(§1.2, §1.3)을 다시 읽고 재암기한다.

문제 3#

접근. 증명 없이 설계만 요구하는 문제다 — 2주차 예제 2.3의 If–Then 분해표 양식 그대로, 가정은 정의를 푼 등식으로, 목표는 “~꼴 만들기”로 번역하면 완결이다.

풀이. (a) 가정: \(a \mid b\) \(\to\) 정의 2.1에 의해 \(b = ak\)인 정수 \(k\)가 존재. / 결론: \(a^2 \mid b^2\) \(\to\) \(b^2 = a^2 \times (\text{정수})\) 꼴 만들기. (이 설계의 실행은 2주차 문제 19에서 이미 했다 — \(b = ak\)의 양변 제곱.) (b) 가정: \(x\)가 유리수 \(\to\) \(x = \frac{a}{b}\)인 정수 \(a, b\) (\(b \neq 0\))가 존재. / 결론: \(3x + 1\)이 유리수 \(\to\) \(3x + 1 = \frac{(\text{정수})}{(\text{0이 아닌 정수})}\) 꼴 만들기. (실행은 훈련 2에서 했다.)

복기. 설계 단계에서 증명의 절반이 끝난다 — 출발 등식과 도착 꼴이 정해지면 남는 것은 둘을 잇는 대수뿐이다.

문제 4#

접근. 판정 문제이므로 정의 15.2\(\cdot\)15.3을 기준으로 놓는다. \(91\)은 분해 하나를 찾으면 되고(합성수 판정 = \(\exists\)의 참 = 증인 제시), \(97\)은 분해가 없음을 보여야 하므로 후보 전원을 배제해야 한다(\(\exists\)의 거짓) — 확인량을 줄이는 관찰이 필요하다. 게다가 “분해가 없다”는 정의 15.3의 부정일 뿐이므로, 소수의 정의 15.2(“양의 약수가 \(1\)과 \(n\)뿐”)로 옮기는 다리를 한 번 더 놓아야 한다 — §1.3 확인 4에서 미뤄 둔 확인이다. \(1\)은 무대 조건부터 본다.

풀이.

  • \(91\): 합성수. \(91 = 7 \times 13\)이고 \(1 < 7, 13 < 91\)이므로 정의 15.3의 증인 \(a = 7\), \(b = 13\)이 존재한다. (찾는 법: \(91 = 70 + 21 = 7(10 + 3)\) — 두 덩어리가 7을 공유한다.)

  • \(97\): 소수. 만약 \(97 = ab\) (\(1 < a, b < 97\))라면 두 인수 중 작은 쪽은 \(10\) 미만이어야 한다 — 둘 다 \(10\) 이상이면 곱이 \(100\) 이상이 되어 \(97\)을 넘기 때문이다. 그런데 \(2 \le c \le 9\)인 어느 \(c\)도 \(97\)을 나누지 않는다: \(97\)은 홀수이고(\(2, 4, 6, 8\) 배제), \(97 = 3 \times 32 + 1\)(\(3\)과 \(9\) 배제), 일의 자리가 \(7\)이라 \(5\)의 배수가 아니며(\(5\) 배제), \(97 = 7 \times 13 + 6\)(\(7\) 배제)이다. 따라서 \(1 < a, b < 97\)인 분해는 없다. 여기서 정의 15.2로 건너가려면 다리가 하나 필요하다 — 지금 보인 것은 정의 15.3(분해)의 부정이고, 소수의 정의 15.2는 약수로 적혀 있기 때문이다. 다리: \(d\)가 \(97\)의 양의 약수이고 \(d \neq 1\), \(d \neq 97\)이라 하자. \(97\)의 양의 약수는 \(97\) 이하이므로 \(1 < d < 97\)이고, \(e = 97/d\)도 \(97\)의 양의 약수인 정수다. \(e = 1\)이면 \(d = 97\), \(e = 97\)이면 \(d = 1\)이 되어 어긋나므로 \(1 < e < 97\)이다. 그러면 \(97 = de\)가 정의 15.3의 분해가 되는데, 방금 그런 분해가 없음을 보였다. 따라서 그런 \(d\)는 없다 — 즉 \(97\)의 양의 약수는 \(1\)과 \(97\)뿐이고, 정의 15.2에 의해 \(97\)은 소수다.

  • \(1\): 소수도 합성수도 아니다. 두 정의 모두 “\(n \ge 2\)”를 요구하므로 \(1\)은 심사 대상이 아니다(§1.3 확인 5).

복기. 합성수 판정은 증인 하나, 소수 판정은 후보 전원 배제 — 10주차 비대칭 표의 입증 부담 차이가 판정량의 차이로 나타난다. “작은 쪽 인수는 크기가 제한된다”는 절약 관찰은 큰 수의 소수 판정에서 늘 같은 방식으로 쓰인다. \(97\)에서 쓴 다리(\(d \leftrightarrow 97/d\)의 짝짓기)는 “가운데 범위의 분해가 없다”와 “양의 약수가 \(1\)과 \(n\)뿐이다”가 같은 조건임을 임의의 \(n \ge 2\)에 대해 보이는 논증이기도 하다 — §1.3 확인 4에서 미룬 확인이 여기서 끝난다. (검산: \(7 \times 13 = 91\) ✓)

문제 5#

접근. 오프닝 선택 규칙(§2 관찰)의 적용 연습. 각 명제의 꼴 — 조건문인가, 순수 \(\forall\)인가, \(\exists\)인가 — 를 판별하면 첫 문장은 자동으로 정해진다.

풀이. (a) 조건문 — “\(n\)이 짝수라 가정하자.” (b) 순수 \(\forall\) — “\(n\)을 임의의 정수라 하자.” (c) 조건문(가정이 “모두 무리수”라는 하나의 조건) — “\(x, y\)가 모두 무리수라 가정하자.” (d) \(\exists\) — “증인으로 \(n = 0\)을 제시한다.” (또는 \(n = 1\). 검증까지는 §1.7 확인 10에서 했다.) 존재 증명은 첫 문장부터 증인이다 — “~라 가정하자”로 열 가정 자체가 없다.

복기. 첫 문장은 창작이 아니라 명제의 꼴이 정하는 규칙이다. 첫 문장이 막힌다면 문장력의 문제가 아니라 꼴 판별의 문제다 — 명제를 다시 읽는다.

문제 6#

접근. 재현 문제의 채점은 완성본 대조로 한다 — 다섯 줄이 전부 있는가부터 줄 단위로 본다.

풀이. 예제 2.1의 완성본과 대조해 자가 채점한다. 점검 목록: ① 오프닝이 “\(x\)가 홀수라 가정하자”인가 — 결론에서 출발하지 않았는가(규범 3). ② \(a\)가 “~인 정수 \(a\)가 존재한다”로 소개되었는가(규범 2). ③ 전개의 중간 단계(\(4a^2 + 4a + 1 + 6a + 3 + 5\))가 있는가. ④ \(2(2a^2 + 5a + 4) + 1\)로 묶고 괄호 안의 정수성을 확인했는가. ⑤ “따라서 ~는 홀수이다. \(\blacksquare\)”로 마감했는가. “왜?” 열의 내용을 각 줄에서 말로 할 수 있으면 통과다. 하나라도 빠졌으면 §5의 처방 표에서 해당 행을 찾아 그 절만 다시 본다.

문제 7#

접근. 번역표: 가정 \(x = 2a\) / 목표 \(x^2 - 6x + 5 = 2(\text{정수}) + 1\) 꼴. 대입\(\cdot\)전개하면 상수 \(5\)가 남는데 목표 꼴의 꼬리는 \(+1\)이다 — \(5 = 4 + 1\)로 쪼개 \(4\)를 짝수 항들과 함께 2로 묶는다(1주차 문제 7의 기술).

풀이. \(x\)가 짝수라 가정하자. 정의에 의해 \(x = 2a\)인 정수 \(a\)가 존재한다. 그러면

\[ x^2 - 6x + 5 = (2a)^2 - 6(2a) + 5 = 4a^2 - 12a + 5 = (4a^2 - 12a + 4) + 1 = 2(2a^2 - 6a + 2) + 1 \]

이고, \(2a^2 - 6a + 2\)는 정수의 곱\(\cdot\)합\(\cdot\)차이므로 정수다(근거 ②). 따라서 \(x^2 - 6x + 5\)는 홀수이다. \(\blacksquare\)

복기. 전개 결과의 상수가 홀수일 때마다 쓰는 리듬 — “짝수 부분 \(+\ 1\)”로 재편하는 상수 쪼개기다. 이 명제는 19주차 문제 7에서 대우 증명의 몸통으로 재등장한다. (검산: \(x = 2\)이면 \(4 - 12 + 5 = -3 = 2 \times (-2) + 1\) — 홀수 ✓)

문제 8#

접근. 번역표: 가정 \(a \mid b\) \(\to\) \(b = ak\)인 정수 \(k\)가 존재 / 목표 \(a \mid (5b^2 - 3b)\) \(\to\) \(5b^2 - 3b = a \times (\text{정수})\) 꼴. \(b\) 자리마다 \(ak\)를 대입하면 모든 항이 \(a\)를 인수로 갖는다 — 공통인수로 묶는다.

풀이. \(a \mid b\)라 가정하자. 정의에 의해 \(b = ak\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그러면

\[ 5b^2 - 3b = 5(ak)^2 - 3(ak) = 5a^2k^2 - 3ak = a(5ak^2 - 3k) \]

이고, \(5ak^2 - 3k\)는 정수의 곱과 차이므로 정수다(근거 ②). 따라서 \(5b^2 - 3b\)는 \(a \times (\text{정수})\) 꼴이므로 \(a \mid (5b^2 - 3b)\)이다. \(\blacksquare\)

복기. \(\mid\) 증명의 리듬은 2주차 그대로다 — 정의로 등식을 받고, 목표 식에 대입하고, 약수를 공통인수로 앞에 세운다. 소재가 넓어져도 절차는 늘지 않는다. (검산: \(a = 2\), \(b = 6\)이면 \(5 \cdot 36 - 18 = 162 = 2 \times 81\) ✓)

문제 9#

접근. 예제 2.2에서 \(+\)가 \(-\)로 바뀔 뿐이다 — 통분, 분자\(\cdot\)분모의 정수성, 분모 \(\neq 0\)의 세 점검이 그대로 반복된다.

풀이. \(x, y\)를 유리수라 하자. 정의에 의해 \(x = \frac{a}{b}\), \(y = \frac{c}{d}\)인 정수 \(a, b, c, d\) (\(b \neq 0\), \(d \neq 0\))가 존재한다. 그러면

\[ x - y = \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd} \]

이고, \(ad - bc\)와 \(bd\)는 정수다(근거 ②). 또한 \(b \neq 0\)이고 \(d \neq 0\)이므로 \(bd \neq 0\)이다(예제 2.2와 같은 근거). 따라서 \(x - y\)는 유리수의 정의를 만족한다. \(\blacksquare\)

복기. 합(예제 2.2)\(\cdot\)차(이 문제)\(\cdot\)곱(훈련 1)이 모였다 — 유리수 닫힘성의 수집은 문제 11\(\cdot\)15의 역수\(\cdot\)몫으로 완성된다. 이 문제는 뒤 주차들(21~23주차의 무리수 논증)에서 가장 자주 인용되는 부품이 된다.

문제 10#

접근. 가정이 두 개이므로 정의도 두 번, 문자도 두 벌(\(m = 2a\), \(n = 2b + 1\))이다. 전개한 뒤 상수 \(1\)만 남기고 나머지에서 2를 묶는다 — 1주차 문제 8의 리듬이다.

풀이. \(m\)이 짝수이고 \(n\)이 홀수라 가정하자. 정의에 의해 \(m = 2a\)인 정수 \(a\)와 \(n = 2b + 1\)인 정수 \(b\)가 존재한다. 그러면

\[ m^2 + n^2 = (2a)^2 + (2b+1)^2 = 4a^2 + 4b^2 + 4b + 1 = 2(2a^2 + 2b^2 + 2b) + 1 \]

이고, \(2a^2 + 2b^2 + 2b\)는 정수의 곱과 합이므로 정수다(근거 ②). 따라서 \(m^2 + n^2\)은 홀수이다. \(\blacksquare\)

복기. 가정 두 개 = 정의 풀기 두 번 = 서로 다른 문자 두 벌 — 1주차 예제 2.1부터 이어지는 원칙이 새 서식 안에서도 그대로다. (검산: \(m = 2\), \(n = 3\)이면 \(4 + 9 = 13 = 2 \times 6 + 1\) ✓)

문제 11#

접근. \(r = \frac{a}{b}\)를 뒤집어 \(\frac{1}{r} = \frac{b}{a}\)로 적고 싶다. 그런데 이 표현이 유리수의 정의를 만족하려면 새 분모 \(a\)가 0이 아니어야 한다 — 정의가 보장하는 것은 \(b \neq 0\)뿐이므로 \(a \neq 0\)은 별도로 확보해야 한다. 그 확보에 쓰이는 것이 아직 소비하지 않은 가정 “\(r \neq 0\)”이다.

풀이. \(r\)을 0이 아닌 유리수라 하자. 정의에 의해 \(r = \frac{a}{b}\)인 정수 \(a, b\) (\(b \neq 0\))가 존재한다. 만약 \(a = 0\)이면 \(r = \frac{0}{b} = 0\)이 되어 \(r \neq 0\)이라는 가정과 어긋나므로, \(a \neq 0\)이다. 그러면

\[ \frac{1}{r} = \frac{b}{a} \]

는 정수 \(b\)를 0이 아닌 정수 \(a\)로 나눈 표현이므로, \(\frac{1}{r}\)은 유리수의 정의를 만족한다. \(\blacksquare\)

복기. 가정(\(r \neq 0\))이 증명 어디서 소비되는지 확인하는 습관 — 가정을 한 번도 쓰지 않은 증명은 대개 어딘가 잘못된 것이다. (“만약 ~라면 어긋난다” 어법은 문제 19와 21주차의 예고편이다.)

문제 12#

접근. 순수 \(\forall\) 명제이므로 오프닝은 “임의의 정수 \(a\)라 하자”. 몸통은 문제의 힌트대로 \(a^2 + a = a(a+1)\) — 연속한 두 정수의 곱 — 에 1주차 문제 16을 보조정리로 인용(근거 ④)하면 한 걸음에 끝난다.

풀이. \(a\)를 임의의 정수라 하자. \(a^2 + a = a(a + 1)\)은 연속한 두 정수의 곱이므로 짝수이다(1주차 문제 16). 즉 \(a^2 + a = 2m\)인 정수 \(m\)이 존재한다. 그러면

\[ a^2 + a + 1 = 2m + 1 \]

이고 \(m \in \mathbb{Z}\)이므로, \(a^2 + a + 1\)은 홀수이다. \(\blacksquare\)

복기. 11주차 문제 19에서 같은 명제를 증명했다 — 그때 빌려 쓰던 절차가 이번 주에 “보조정리 인용”이라는 정식 이름과 근거 번호(④)를 얻었다. 인용문에 출처(어느 주차의 어느 문제인지)를 밝히는 것까지가 서식이다. (검산: \(a = 3\)이면 \(9 + 3 + 1 = 13\) — 홀수 ✓)

문제 13#

접근. 목표는 \(10n^2 + 5n + 25 = 5 \times (\text{정수})\) 꼴. 세 항이 전부 5의 배수이므로 공통인수 5로 묶는 인수분해(근거 ③) 한 줄이 몸통의 전부다.

풀이. \(n\)을 임의의 정수라 하자. 그러면

\[ 10n^2 + 5n + 25 = 5(2n^2 + n + 5) \]

이고, \(2n^2 + n + 5\)는 정수의 곱과 합이므로 정수다(근거 ②). 따라서 \(10n^2 + 5n + 25\)는 \(5 \times (\text{정수})\) 꼴이므로, 정의 2.1에 의해 \(5 \mid (10n^2 + 5n + 25)\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 짧다고 의심하지 않는다 — 근거(③ 묶기, ② 정수 확인, ① 정의 마감)가 전부 있으면 세 줄도 완결이다(2주차 문제 8의 복기와 같은 원칙). (검산: \(n = 1\)이면 \(10 + 5 + 25 = 40 = 5 \times 8\) ✓)

문제 14#

접근. 존재 명제(“~로 쓸 수 있다”)이므로 서식은 증인 제작 + 검증이다. 힌트의 계산 \((k+1)^2 - k^2 = 2k + 1\)이 홀수의 정의 꼴 그대로이므로, 가정 \(n = 2k + 1\)의 \(k\)가 곧바로 증인 쌍 \(\big((k+1)^2,\ k^2\big)\)의 재료가 된다 — 예제 2.3과 같은 구조다.

풀이. \(n\)을 홀수라 하자. 정의에 의해 \(n = 2k + 1\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 두 제곱수로 \((k+1)^2\)과 \(k^2\)을 제시한다. 실제로

\[ (k+1)^2 - k^2 = k^2 + 2k + 1 - k^2 = 2k + 1 = n \]

이므로, \(n\)은 두 제곱수의 차다. \(\blacksquare\)

복기. 증인을 찾는 요령 — 목표 쪽 표현(여기서는 \((k+1)^2 - k^2\) 같은 후보)을 미리 계산해 가정의 꼴과 겹치는지 본다. 겹치는 순간 증인이 확정된다. 이 증인은 26주차 문제 10에서 재사용된다. (검산: \(7 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9\) ✓)

문제 15#

접근. 보조정리 조립 — \(\frac{r}{s} = r \cdot \frac{1}{s}\)로 쪼개면 문제 11 (역수)과 훈련 1(곱)이 정확히 맞물린다. \(s \neq 0\)은 문제 11의 입장 조건으로 소비된다. 통분으로 처음부터 직접 해도 된다 — 두 길을 다 적는다.

풀이 1 (보조정리 조립). \(r, s\)를 유리수라 하고 \(s \neq 0\)이라 하자. \(s\)가 0이 아닌 유리수이므로 문제 11에 의해 \(\frac{1}{s}\)는 유리수이다. 유리수끼리의 곱은 유리수이므로(훈련 1) \(\frac{r}{s} = r \cdot \frac{1}{s}\)는 유리수이다. \(\blacksquare\)

풀이 2 (직접). \(r, s\)를 유리수라 하고 \(s \neq 0\)이라 하자. 정의에 의해 \(r = \frac{a}{b}\), \(s = \frac{c}{d}\)인 정수 \(a, b, c, d\) (\(b \neq 0\), \(d \neq 0\))가 존재한다. \(s \neq 0\)이므로 \(c \neq 0\)이다 (만약 \(c = 0\)이면 \(s = \frac{0}{d} = 0\)이 되어 가정과 어긋난다). 그러면

\[ \frac{r}{s} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \]

이고, \(ad\)와 \(bc\)는 정수이며(근거 ②), \(b \neq 0\)이고 \(c \neq 0\)이므로 \(bc \neq 0\)이다. 따라서 \(\frac{r}{s}\)는 유리수이다. \(\blacksquare\)

복기. 좋은 보조정리를 갖추면 증명이 두 줄짜리 조립이 된다(1주차 문제 13 풀이 2와 같은 감각) — 이미 증명한 결과를 쌓아 올리는 것이 수학이 커지는 방식이다. 이로써 유리수는 사칙연산(0으로 나누기 제외)에 닫혀 있음이 완비되었다 — 합(예제 2.2)\(\cdot\)차(문제 9)\(\cdot\)곱(훈련 1)\(\cdot\)역수(문제 11)\(\cdot\)몫(이 문제). 이 다섯이 21~23주차 무리수 논증의 상비 부품이다.

문제 16#

접근. 문제의 힌트대로 인수분해 \((n+1)(n+3)\)에서 시작한다. \(n\)이 홀수이면 \(n + 1\)과 \(n + 3\)은 둘 다 짝수 — 각 인수가 2를 하나씩 내놓으므로 곱에서 4가 조립된다. 목표 꼴은 \(4 \times (\text{정수})\)다.

풀이. \(n\)이 홀수라 가정하자. 정의에 의해 \(n = 2k + 1\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그러면 \(n + 1 = 2k + 2 = 2(k+1)\)이고 \(n + 3 = 2k + 4 = 2(k+2)\)이므로

\[ n^2 + 4n + 3 = (n+1)(n+3) = 2(k+1) \cdot 2(k+2) = 4(k+1)(k+2) \]

이고, \((k+1)(k+2)\)는 정수의 곱이므로 정수다(근거 ②). 따라서 \(n^2 + 4n + 3\)은 4의 배수이다. \(\blacksquare\)

복기. 전개 대신 인수분해 — 목표가 “4의 배수”처럼 곱의 성질일 때는 식을 곱으로 유지하는 쪽이 빠르다. 덧붙여 \((k+1)(k+2)\)는 연속한 두 정수의 곱이라 짝수이므로(1주차 문제 16) 실은 8의 배수까지 참이다 — 1주차 문제 17과 같은 강화가 가능하다. (검산: \(n = 3\)이면 \(9 + 12 + 3 = 24 = 4 \times 6\), 그리고 \(8 \times 3\) ✓)

문제 17#

접근. 10주차 예제 2.2(c)에서 기호로 번역만 하고 참을 약속했던 명제의 빚 회수다. \(\forall\) 두 개(\(a, b\)) 속의 \(\exists\)(사이의 유리수) — 오프닝은 “임의의”, \(\exists\)는 증인 제작 + 검증 두 건(유리수인가, 사이에 있는가)이다. 증인 후보는 문제가 준 \(\frac{a+b}{2}\).

풀이. \(a, b\)를 \(a < b\)인 유리수라 하자. \(c = \frac{a+b}{2}\)를 증인으로 제시한다.

검증 ① — \(c\)는 유리수다: \(a + b\)는 유리수이고(예제 2.2), \(\frac{1}{2}\)도 유리수이므로(\(1, 2 \in \mathbb{Z}\)이고 \(2 \neq 0\)), 곱 \(c = (a+b) \cdot \frac{1}{2}\)는 유리수이다(훈련 1).

검증 ② — \(a < c < b\)다: \(a < b\)의 양변에 \(a\)를 더하면 \(2a < a + b\)이고, 양변을 양수 2로 나누면 \(a < \frac{a+b}{2}\)이다. 같은 부등식의 양변에 \(b\)를 더하면 \(a + b < 2b\)이고, 2로 나누면 \(\frac{a+b}{2} < b\)이다. 따라서 \(a < c < b\).

①\(\cdot\)②에 의해 \(a\)와 \(b\) 사이에 유리수 \(c\)가 존재한다. \(\blacksquare\)

복기. 검증 두 건을 전부 적는 것이 존재 증명의 완결 기준이다 — 하나만 적으면 증인의 자격 심사가 반쪽이다. 이 명제의 별명은 “유리수의 조밀성(density)” — 26주차 문제 12에서 “사이의 유리수는 무한히 많다”로 증폭되고, 45주차 해석학에서 재회한다. (검산: \(a = 0\), \(b = 1\)이면 \(c = \frac{1}{2}\) — 유리수이고 사이에 있다 ✓)

문제 18#

접근. §1.8에서 해부한 답안 A의 정식 채점이다. 규범 3(결론 가정), 2(문자 소개), 1(문장) 순서로 대조하고, 올바른 증명으로 고쳐 쓰는 것까지가 완결이다.

풀이. 결함은 네 곳이다. ① 규범 3 위반 (치명적). 첫 문장 “\(x^2\)이 홀수라 하자”는 증명해야 할 결론 \(Q\)에서 출발했다. 이후의 모든 계산이 순환이 된다. 올바른 오프닝은 가정 쪽 — “\(x\)가 홀수라 하자”. ② 규범 2 위반. \(k\)와 \(m\)이 소개 없이 등장한다. “\(x^2 = 2k+1\)”의 \(k\)는 어디서 온 것인지, “\(x = 2m+1\)”의 \(m\)은 존재가 보장된 것인지 아무 선언이 없다 — “~인 정수 \(m\)이 존재한다”가 필요하다. ③ 규범 1 위반. “그러면/이므로/따라서”가 전혀 없는 기호 나열이라, 어느 줄이 어느 줄의 근거인지 읽는 사람이 복원할 수 없다. ④ 마감 부재. “맞다”는 수학 문장이 아니다 — “따라서 \(x^2\)은 홀수이다. \(\blacksquare\)”가 마감이다.

고쳐 쓰면: “\(x\)가 홀수라 하자. 정의에 의해 \(x = 2m + 1\)인 정수 \(m\)이 존재한다. 그러면 \(x^2 = (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 2(2m^2 + 2m) + 1\)이고, \(2m^2 + 2m\)은 정수이므로 \(x^2\)은 홀수이다. \(\blacksquare\)”

복기. 답안 A의 계산 내용은 옳은 방향이었다 — 서술이 증명을 무너뜨린 사례다. 증명 검사는 계산 검사이기 전에 오프닝 검사\(\cdot\)소개 검사다(1주차 문제 6의 복기 — “설정 검사가 먼저다” — 와 짝을 이룬다).

문제 19#

접근. 존재 명제이므로 증인 쌍 하나 + 검증. 검증할 것이 세 건이다 — 첫째 수가 무리수(인정하고 쓰는 사실), 둘째 수가 무리수(힌트의 미니 논증), 합이 유리수 (정의로 확인). 둘째 검증에서 처음으로 “만약 ~라면 모순” 어법을 쓴다.

풀이. 증인으로 \(\sqrt{2}\)와 \(-\sqrt{2}\)를 제시한다.

검증 ① — \(\sqrt{2}\)는 무리수다(21주차에서 증명할 사실로 인정하고 쓴다). 검증 ② — \(-\sqrt{2}\)도 무리수다: 만약 \(-\sqrt{2}\)가 유리수라면, \(-1 = \frac{-1}{1}\)도 유리수이므로 곱 \((-1) \times (-\sqrt{2}) = \sqrt{2}\)가 유리수가 된다(훈련 1의 곱 닫힘). 이는 검증 ①과 어긋난다. 따라서 \(-\sqrt{2}\)는 유리수가 아니다 — 정의 15.1에 의해 무리수다. 검증 ③ — 합은 유리수다: \(\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 = \frac{0}{1}\)이고 \(0, 1 \in \mathbb{Z}\), \(1 \neq 0\)이므로 유리수의 정의를 만족한다.

①~③에 의해, 합이 유리수인 두 무리수가 존재한다. \(\blacksquare\)

복기. 이 결과는 “무리수는 덧셈에 닫혀 있지 않다”는 뜻이기도 하다 — 닫힘성은 공짜가 아니라 집합마다 증명하거나 반증해야 할 성질이고, “무리수 + 무리수 = 무리수”를 정리처럼 인용하는 답안은 이 반례 앞에서 무효가 된다(23주차에서 그런 답안을 실제로 채점한다). 검증 ②의 “만약 ~라면 모순” 어법은 21주차 귀류법의 예고편이다.

문제 20#

접근. 근거 목록과 서식이 왜 규칙인지 언어로 정리하는 문제다. 재료 두 가지 — 검증 가능성(누가 검사해도 같은 결론이 나와야 한다), 그리고 직관이 무너진 실제 사례(1주차 문제 18).

풀이. (예시 답안) 증명의 힘은 모든 단계가 누구나 검사할 수 있는 근거(정의\(\cdot\)가정\(\cdot\)대수 법칙\(\cdot\)이미 증명된 정리)로 소급된다는 데서 나오는데, “직관적으로 당연한 사실”은 사람마다 당연의 범위가 달라 검사가 불가능해진다. 실제로 1주차 문제 18의 \(n^2 + n + 41\)은 39개의 사례에서 직관(“계속 소수일 것”)이 맞다가 \(n = 40\)에서 무너졌다 — 당연해 보이는 것과 증명된 것 사이의 간격이 오류가 스며드는 자리다.

복기. 허용 목록이 유한하다는 것은 제약이 아니라 장치다 — 막혔을 때 검토할 서랍이 네 칸뿐이고, 완성된 증명을 검사할 때도 각 줄을 네 칸 중 하나에 대응시키기만 하면 된다.

다음 주 예고: 직접 증명을 부등식으로 확장한다. “\(A \ge B\)를 보이려면 차 \(A - B\)를 만들어 \(\ge 0\)을 보인다” — 그리고 \(\ge 0\)의 근원은 거의 언제나 제곱이다. 고1의 절대부등식(산술–기하 평균)이 증명 훈련의 소재로 돌아온다. 이번 주의 서식과 규범 3(결론을 가정하지 않는다)이 부등식에서 특히 중요해진다 — “증명할 부등식에서 출발해 변형하는” 답안의 진단이 다음 주의 훈련이다.